TP Starre Körper

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DREHSCHWINGUNGEN AN DER DRILLACHSE
1) Einführung
Die Bewegung eines ausgedehnten starren Körpers lässt sich im allgemeinen durch die
Überlagerung zweier Bewegungen, nämlich einer translatorischen und einer rotatorischen
Bewegung, zusammensetzen. Mit der kleinen Drillachse lassen sich solche Experimente
durchführen, bei denen der Körper nicht als Ganzes fortschreitet, sondern seine Bewegung
sich ausschließlich auf Drehungen beschränkt. Die Achse dieser Drehbewegungen ist dabei
durch feste Lager gegeben !
2) Eichung der Drillfeder – Teilversuch <A>
Für die lineare Dehnung einer Feder gilt das Gesetz von Hooke :
F  D  l
Durch Analogie folgt für die Drehschwingung einer Drillfeder :
M
mit
M
D*

 D*  
Drehmoment
Winkelrichtgröße
Drehwinkel
Eichen der Drillfeder ist gleichbedeutend mit dem Bestimmen der Winkelrichtgröße der
Drillfeder.

F
Besteht zwischen Kraft und Kraftarm ein rechter Winkel und greift die Kraft im Abstand r von
der Achse an, so ist das resultierende Drehmoment gleich
M
 F r
Zur Bestimmung der Winkelrichtgröße D* befestigen wir den Kraftmesser im größtmöglichen
Abstand r zur Drehachse und messen die Kraft F die erforderlich ist um einen Drehwinkel
 = 45° zu erzielen. Wir wiederholen die Messung für die Drehwinkel 90°, 135°, ........, 450°.
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3) Drehschwingungen – Trägheitsmomente – Teilversuch <B>
Durch Drehschwingungen lassen sich die Trägheitsmomente von starren Körpern experimentell bestimmen. Dazu wird der zu untersuchende Körper am oberen Ende der Drillachse
befestigt; dabei muss die Drehachse des Körpers mit der gedachten Verlängerung der
Drillachse zusammenfallen. Dreht man den Körper um einen Winkel von etwa 135° aus seiner
Ruhelage heraus, so führt er nach dem Loslassen Drehschwingungen der Schwingungsdauer
T aus.
Für die Schwingungsdauer bei geradlinigen Schwingungen gilt :
T
 2 
m
D
Durch Analogie ergibt sich für die Schwingungsdauer T einer Drehschwingung die Formel :
T
mit
T
D*
JS

2 
JS
D*
Schwingungsdauer oder Periode
Winkelrichtgröße
Experimentelles Trägheitsmoment in bezug auf den Schwerpunkt
Bei der Durchführung dieses Teilversuches wird man natürlich nicht nur die Dauer einer
einzelnen Schwingung messen, sondern man mißt jeweils die Zeit t für n Schwingungen und
berechnet daraus dann T.
Man führt den Versuch für verschiedene starre Körper durch : Holzscheibe, Metallscheibe,
Holzkugel, Vollzylinder und Hohlzylinder.
Bestimme auch die Masse m und den Durchmesser d der starren Körper; diese Größen sind
zur Berechnung des Sollwertes JS* der verschiedenen Körper erforderlich.
4) Auswertung
a)
Teilversuch <A>
o Fertige eine Tabelle an mit den Größen r, F,  und M !
o Zeichne ein Schaubild M = f () !
o Bestimme in diesem Schaubild die Richtgröße D* als Steigung der Ausgleichsgeraden !
b)
Teilversuch <B>
o Fertige eine Tabelle an mit den Größen Körperart, t, n, T, D* und JS !
o Fertige eine Tabelle an mit den Größen Körperart, m, d, und JS* !
o Vergleiche die prozentuale Abweichung zwischen dem experimentellen Wert JS und
dem Sollwert JS* ! Kommentiere !
5) Bericht
 Fertige zu diesem Praktikum einen Bericht nach den bekannten Richtlinien an !
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6) Formeln zur Berechnung der Trägheitsmomente in bezug auf den Schwerpunkt S des starren Körpers
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SATZ VON STEINER
1) THEORETISCHE GRUNDLAGEN
D
a
S
Sei ein flacher Körper, z.B. eine Scheibe oder eine Stange, der frei beweglich um einen Punkt D
schwingen kann. Wird dieser Körper um weniger als 30° aus seiner Ruhelage ausgelenkt und sich dann
selbst überlassen, so führt er harmonische Schwingungen aus.
Die Schwingungsdauer T des Körpers ist abhängig von seinem Trägheitsmoment JD relativ zum
Drehpunkt D, vom Abstand a zwischen dem Drehpunkt D und dem Schwerpunkt S, sowie von seiner
Gewichtskraft FG =mg . Es gilt die Formel :
T
 2
JD
m g a
Aus der Messung der Schwingungsdauer T lassen sich für flache Körper bekannter Masse m die
Trägheitsmomente JD für verschiedene Abstände a experimentell ermitteln.
Tragen wir nun JD in Funktion von a2 in einem Diagramm auf, so erhalten wir die grafische Darstellung
des Satzes von Steiner für den untersuchten Körper. Aus dem Verlauf des Graphen lässt sich dann die
allgemeine Form dieses Satzes ableiten
2) VERSUCHSDURCHFÜHRUNG

Bestimme die Masse m des Körpers !

Bestimme den Durchmesser d der Scheibe bzw. die Länge l der Stange !

Wähle den Drehpunkt D in a = 2 cm Entfernung zum Schwerpunkt S und bestimme die Dauer t für
fünf aufeinanderfolgende Schwingungen. Wiederhole die gleiche Messung noch zweimal und
bestimme die Schwingungsdauer T als Mittelwert dieser drei Messungen !

Steigere nun den Abstand a in regelmässigen Schritten und bestimme jeweils die dazugehörige
Schwingungsdauer T wie oben beschrieben. Die Messungen sind für insgesamt 8 verschiedene
Abstände a durchzuführen.
m = ................
a (cm)
t1 (s)
d bzw. l = ................
t2 (s)
t3 (s)
t (s)
T (s)
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3) AUSWERTUNG
 Stelle die Formel für die Schwingungsdauer nach dem Trägheitsmoment JD um :
 Vervollständige folgende Tabelle :
m = ................
a (cm)
a2 (cm2)
d bzw. l = ................
T (s)
JD (kgm2)
 Zeichne das Schaubild JD = f (a2)
 Beschreibe sehr genau den Verlauf des Graphen !
 Entwickle die Gleichung der Näherungsgeraden im Koordinatensystem ( a2, JD ). Diese Gleichung ist
der Satz von Steiner für den untersuchten Körper !
 Bestimme aus dem Diagramm das Trägheitsmoment JS des Körpers relativ zu seinem Schwerpunkt.
Erkläre und begründe !
 Berechne den Sollwert des Trägheitsmomentes JS* !
 Berechne den relativen Fehler auf der Bestimmung des Trägheitsmomentes JS !
4) Bericht
 Fertige zu diesem Praktikum einen Bericht nach den bekannten Richtlinien an !