Cramersche Regel
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Cramersche Regel
Cramersche Regel Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem Ax = b ist xi det A = det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) , wobei aj die Spalten der Koeffizientenmatrix A bezeichnen. Cramersche Regel 1-1 Cramersche Regel Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem Ax = b ist xi det A = det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) , wobei aj die Spalten der Koeffizientenmatrix A bezeichnen. Ist det A 6= 0, so existiert eine eindeutige Lösung x = A−1 b für beliebiges b und die Inverse C = A−1 kann durch ci,j = det(a1 , . . . , ai−1 , ej , ai+1 , . . . , an ) det A bestimmt werden, wobei ej der j-te Einheitsvektor ist. Cramersche Regel 1-2 Beweis: Multilinearität und Antisymmetrie der Determinante det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) = det(a1 , . . . , ai−1 , =⇒ n X aj xj , ai+1 , .., an ) j=1 = n X xj det(a1 , . . . , ai−1 , aj , ai+1 , .., an ) j=1 = xi det(a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , an ) Cramersche Regel 2-1 Beweis: Multilinearität und Antisymmetrie der Determinante det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) = det(a1 , . . . , ai−1 , =⇒ n X aj xj , ai+1 , .., an ) j=1 = n X xj det(a1 , . . . , ai−1 , aj , ai+1 , .., an ) j=1 = xi det(a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , an ) b = ej j-te Spalte x = (ci,j , . . . , cn,j )t der Inversen, denn AC = E = (e1 , . . . , en ) =⇒ Ax = ej Cramersche Regel 2-2 Beispiel: Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix a b A= c d Cramersche Regel 1 b 0 d c1,1 = det A = d , det A Cramersche Regel 3-1 Beispiel: Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix a b A= c d Cramersche Regel 1 b 0 d c1,1 = det A = d , det A c1,2 = 0 b 1 d det A Cramersche Regel = −b , det A 3-2 Beispiel: Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix a b A= c d Cramersche Regel 1 b 0 d c1,1 = det A a 1 c 0 c2,1 = det A = d , det A = −c , det A c1,2 = 0 b 1 d det A Cramersche Regel = −b , det A 3-3 Beispiel: Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix a b A= c d Cramersche Regel 1 b 0 d c1,1 = det A a 1 c 0 c2,1 = det A = = d , det A −c , det A c1,2 = c2,2 = 0 b 1 d det A a 0 c 1 det A Cramersche Regel = −b , det A = a , det A 3-4 Beispiel: Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix a b A= c d Cramersche Regel 1 b 0 d d c1,1 = = , det A det A a 1 c 0 −c = , c2,1 = det A det A bzw. mit det A = ad − cb A−1 = 1 ad − cb c1,2 = c2,2 = d −b −c a 0 b 1 d det A a 0 c 1 det A = −b , det A = a , det A Cramersche Regel 3-5 Beispiel: lineares Gleichungssystem 4 −1 −1 x1 8 −3 −4 4 x2 = 5 −2 2 −1 x3 −7 Cramersche Regel 4-1 Beispiel: lineares Gleichungssystem 4 −1 −1 x1 8 −3 −4 4 x2 = 5 −2 2 −1 x3 −7 eindeutige Lösung, da −4 4 −3 4 det A = 4 + 2 −1 −2 −1 = −16 + 11 + 14 = 9 6= 0 −3 −4 − −2 2 Cramersche Regel 4-2 Cramersche Regel =1 x1 = 8 −1 −1 1 5 −4 4 9 −7 2 −1 x2 = 4 8 −1 1 −3 5 4 = −3 9 −2 −7 −1 x2 = 4 −1 8 1 −3 −4 5 9 −2 2 −7 = −1 Cramersche Regel 4-3