Cramersche Regel

Cramersche Regel
Je mehr Gleichungen und Variablen man hat, desto schwerer wird es, eine Lösung zu finden. In diesem Fall erstellt man eine Koeffizientenmatrix A erweitert durch den Lösungsvektor b. Im Folgenden
wird die Lösungsmöglichkeit mittels der Cramerschen Regel vorgestellt.
Die Cramersche Regel ist anwendbar auf quadratische Matrizen (n = m), wobei die Gleichungen
linear unabhängig sind. Die Variablen x1 , . . . , xn lassen sich durch folgende Gleichungen bestimmen.
Dabei wird die i-te Spalte durch den Lösungsvektor b ersetzt.


a11 · · · a1i−1 b1 a1i+1 · · · a1n

..
..
..
.. 
..
..
det  ...
.
.
.
.
.
. 
xi =
an1
···
ani−1 bn ani+1 · · ·


a11 · · · a1n

.. 
..
det  ...
.
. 
an1 · · · ann
ann
Dabei bezeichnet det die Determinante einer Matrix. Um die Cramersche Regel anwenden zu
können, benötigt man die Vorgehensweise der Determinantenberechnung einer quadratischen Matrix.
Für n = 2 gilt:
a b
det
= ad − bc
c d
Für n = 3 gilt:

a11 a12
det a21 a22
a31 a32

a13
a

a23 = a11 · det 22
a32
a33
a23
a33
a
− a12 · det 12
a32
a13
a33
a
+ a31 · det 12
a22
a13
a23
Dabei wird für die Matrizen auf der rechten Seite jeweils die Zeile und Spalte gestrichen, in der der
vorgezogene Koeffizient steht.
Oder man wendet die Regel von Sarrus an:


a11 a12 a13
det a21 a22 a23  = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
a31 a32 a33
− a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33
Dabei erhält man die einzelnen Summanden, indem man die ersten beiden Spalten der Matrix
wiederholt und dann entlang der Diagonalen multipliziert. Für die positiven Summanden von oben
1
links nach unten

a11 a12
a21 a22
a31 a32
Und für die

a11
a21
a31
rechts:
a13
a23
a33
a11
a21
a31

a12
a22 
a32
negativen Summanden von oben rechts nach unten links:

a12 a13 a11 a12
a22 a23 a21 a22 
a32 a33 a31 a32
Für n > 3 ist die Cramersche Regel sehr aufwendig und unökonomisch und daher nicht empfehlenswert.
Beispiel
Gegeben:
I
II
III
4x1 − 5x2 + x3 = −13
2x2 − x3 =
10
2x1 − x2 + 3x3 =
11
Gesucht: Lösung für x1 , x2 und x3
1. Matrix A und Vektor b ablesen:




4
5
1
−13
2 −1
A = 0
b =  10
2 −1
3
11
2. Determinante von A bestimmen:


4
5
1
2 −1
det A = det 0
2 −1
3
= 4 · 2 · 3 + 5 · (−1) · 2 + 1 · 0 · (−1) − 1 · 2 · 2 − 4 · (−1) · (−1) − 5 · 0 · 3
=6
3. Die xi bestimmen:


−13
5
1
2 −1
det  10
11 −1
3
x1 =
det A
(−13) · 2 · 3 + 5 · (−1) · 11 + 1 · 10 · (−1) − 1 · 2 · 11 − (−13) · (−1) · (−1) − 5 · 10 · 3
=
6
276
=−
= −46
6
2

4
det 0
2

−13
1
10 −1
11
3
x2 =
det A
4 · 10 · 3 + (−13) · (−1) · 2 + 1 · 0 · 11 − 1 · 10 · 2 − (−13) · 0 · 3 − 4 · (−1) · 11
=
6
170
85
=
=
6
3

4
det 0
2

5 −13
2
10
−1
11
x3 =
det A
4 · 2 · 11 + 5 · 10 · 2 + (−13) · 0 · (−1) − (−13) · 2 · 2 − 10 · (−1) · 4 − 5 · 0 · 11
=
6
280
140
=
=
6
3
3