Goldener Schnitt und Fibonacci

Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen
Thorsten Rohwedder und Thomas Uhlemann
HU Berlin
Tag der Mathematik 2013
Quadrat mit Seitenlänge
89 cm,
also Flächeninhalt 7921 cm2
Quadrat mit Seitenlänge
89 cm,
also Flächeninhalt 7921 cm2
Rechteck mit Seitenlängen
144 cm und 55 cm,
also Flächeninhalt 7920 cm2
Quadrat mit Seitenlänge
89 cm,
also Flächeninhalt 7921 cm2
Rechteck mit Seitenlängen
144 cm und 55 cm,
also Flächeninhalt 7920 cm2
Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?
Hier ist er!
Quadrat mit Seitenlänge
55 cm,
also Flächeninhalt 3025 cm2
Rechteck mit Seitenlängen
89 cm und 34 cm,
also Flächeninhalt 3026 cm2
Hier ist er!
Quadrat mit Seitenlänge
55 cm,
also Flächeninhalt 3025 cm2
Rechteck mit Seitenlängen
89 cm und 34 cm,
also Flächeninhalt 3026 cm2
Danke für den einen Quadratzentimeter!
Bei dieser Art von Flächenumwandlung
scheint irgend etwas nicht zu stimmen,
aber was??
Bei dieser Art von Flächenumwandlung
scheint irgend etwas nicht zu stimmen,
aber was??
Und vor allem:
Was ist zu tun, um den Fehler zu finden?
Erste Idee: Nachrechnen
Strahlensatzfigur:
Es müsste eigentlich
89
144
=
34
55
gelten, es ist aber
89
144
≈ 2.6176,
= 2, 618.
34
55
Erste Idee: Nachrechnen
Strahlensatzfigur:
Es müsste eigentlich
89
144
=
34
55
gelten, es ist aber
89
144
≈ 2.6176,
= 2, 618.
34
55
Winkel an geschn. Parallelen:
Es müsste eigentlich α = β
gelten, es ist aber
tan α =
34
; α ≈ 20, 908◦
89
und
21
tan β =
; β ≈ 20, 898◦ .
55
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Quadrat mit Seitenlänge
x+y,
also Flächeninhalt
(x + y)2
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Quadrat mit Seitenlänge
x+y,
also Flächeninhalt
(x + y)2
Rechteck mit Seitenlängen
x und 2x+y,
also Flächeninhalt
(2x + y) · x
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Quadrat mit Seitenlänge
x+y,
also Flächeninhalt
(x + y)2
Rechteck mit Seitenlängen
x und 2x+y,
also Flächeninhalt
(2x + y) · x
Es muss also (x + y)2 = (2x + y ) · x gelten.
(x + y)2 = (2x + y ) · x
(x + y)2 = (2x + y ) · x
⇐⇒
x 2 − xy − y 2 = 0
(x + y)2 = (2x + y ) · x
⇐⇒
x 2 − xy − y 2 = 0
⇐⇒
1
y±
=
2
x1,2
r
y2
+ y2
4
(x + y)2 = (2x + y ) · x
⇐⇒
x 2 − xy − y 2 = 0
⇐⇒
1
y±
=
2
x1 =
√
( 1+2 5 )
x1,2
· y,
also
r
y2
+ y2
4
√
x
1+ 5
=
=: Φ
y
2
(x + y)2 = (2x + y ) · x
⇐⇒
x 2 − xy − y 2 = 0
⇐⇒
1
y±
=
2
x1 =
√
( 1+2 5 )
x1,2
· y,
also
r
y2
+ y2
4
√
x
1+ 5
=
=: Φ
y
2
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1, 618034!
(x + y)2 = (2x + y ) · x
⇐⇒
x 2 − xy − y 2 = 0
⇐⇒
1
y±
=
2
x1 =
x1,2
√
( 1+2 5 )
· y,
also
r
y2
+ y2
4
√
x
1+ 5
=
=: Φ
y
2
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1, 618034!
x2 = (
√
1− 5
) · y = (1 − Φ) · y ,
2
x2 < 0
Strahlensatz:
Φ + 1 ! 2Φ + 1
=
1
Φ
Strahlensatz:
Φ + 1 ! 2Φ + 1
=
1
Φ
⇐⇒
Φ+1=2+
1
Φ
Strahlensatz:
Φ + 1 ! 2Φ + 1
=
1
Φ
⇐⇒
Φ+1=2+
⇐⇒
Φ−1=
1
Φ
1
Φ
Φ − 1 = Φ1 ?
√
1+ 5
Φ=
2
also
√
;
√
(Φ − 1) · Φ =
Φ−1=
5−1
·
2
√
5−1
≈ 0, 62
2
5+1
5−1
=
= 1.
2
4
Φ − 1 = Φ1 ?
√
1+ 5
Φ=
2
also
√
√
(Φ − 1) · Φ =
Φ−1=
;
5−1
·
2
√
5−1
≈ 0, 62
2
5+1
5−1
=
= 1.
2
4
Daher:
Φ−1=
Φ und
1
Φ
1
,
Φ
Φ·
1
Φ
=1
und
Φ−
1
Φ
=1
sind die einzigen positiven Zahlen, deren Produkt und
Differenz gleichzeitig 1 ergibt.
Goldener Schnitt in Kunst und Architektur
...und Popkultur
Approximation von Φ durch Kettenbrüche
Wegen Φ = 1 +
1
Φ:
Φ=1+
1
Φ
1
1 + Φ1
1
= 1+
1 + 1+1 1
= 1+
Φ
= ...
Approximation von Φ durch Kettenbrüche
Wegen Φ = 1 +
1
Φ:
Φ=1+
1
Φ
1
1 + Φ1
1
= 1+
1 + 1+1 1
= 1+
= ...
Φ
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + x1 (der einzige mit x > 0).
Approximation von Φ durch Kettenbrüche
Wegen Φ = 1 +
1
Φ:
Φ=1+
1
Φ
1
1 + Φ1
1
= 1+
1 + 1+1 1
= 1+
= ...
Φ
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + x1 (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 +
1
φn
→ Φ für beliebiges φ1 > 0.
Approximation von Φ durch Kettenbrüche
Wegen Φ = 1 +
1
Φ:
Φ=1+
1
Φ
1
1 + Φ1
1
= 1+
1 + 1+1 1
= 1+
= ...
Φ
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + x1 (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 +
1
φn
→ Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5
φ6
φ7
φ8
...
1
1
13
8
21
13
34
21
...
2
1
3
2
5
3
8
5
Approximation von Φ durch Kettenbrüche
Wegen Φ = 1 +
1
Φ:
Φ=1+
1
Φ
1
1 + Φ1
1
= 1+
1 + 1+1 1
= 1+
= ...
Φ
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + x1 (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 +
1
φn
→ Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5
φ6
φ7
φ8
...
1
1
13
8
21
13
34
21
...
2
1
3
2
5
3
8
5
Approximation von Φ durch Kettenbrüche
Wegen Φ = 1 +
1
Φ:
Φ=1+
1
Φ
1
1 + Φ1
1
= 1+
1 + 1+1 1
= 1+
= ...
Φ
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + x1 (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 +
1
φn
→ Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5
φ6
φ7
φ8
...
1
1
13
8
21
13
34
21
...
2
1
3
2
5
3
8
5
Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 ,
;
Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .)
Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 ,
;
Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .)
mit
Φ = limn→∞
Fn+1
,
Fn
Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 ,
;
Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .)
mit
Φ = limn→∞
Fn+1
,
Fn
umgekehrt
Fn =
√1
5
(Φn − (1 − Φ)n )
(Formel von Binet)
Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?
Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedern
approximieren Φ:
Φ = lim
n→∞
Fn+1
Fn+1
≈
für große n ∈ N.
Fn
Fn
Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?
Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedern
approximieren Φ:
Φ = lim
n→∞
Fn+1
Fn+1
≈
für große n ∈ N.
Fn
Fn
...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung fast“
”
für Teilungsverhältnis 55 : 34 = 1, 618 ≈ Φ .
Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?
Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedern
approximieren Φ:
Φ = lim
n→∞
Fn+1
Fn+1
≈
für große n ∈ N.
Fn
Fn
...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung fast“
”
für Teilungsverhältnis 34 : 21 = 1, 619 ≈ Φ.
...für den Unterricht:
Als Arbeitsauftrag für Schüler klappt das Ganze auch prima mit
kleineren Fibonaccizahlen:
Wo kommt die Fibonacci-Folge vor?
erstmals 1202 im Liber abbaci“, Leonardo de Pisa alias
”
Fibonacci:
Quelle: Wikipedia
Der Klassiker: Vermehrung von Kaninchen
(nach Liber abbaci“, Ficonacci)
”
Quelle: fibonaccifolge.ch
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eine
Honigbiene?
I
Mensch: 2k Vorfahren in k -ter Vorfahrengeneration
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eine
Honigbiene?
I
I
Mensch: 2k Vorfahren in k -ter Vorfahrengeneration
Honigbiene: ♀ → ♂, ♀ + ♂ → ♀
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eine
Honigbiene?
I
I
Mensch: 2k Vorfahren in k -ter Vorfahrengeneration
Honigbiene: ♀ → ♂, ♀ + ♂ → ♀
Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eine
Honigbiene?
I
I
Mensch: 2k Vorfahren in k -ter Vorfahrengeneration
Honigbiene: ♀ → ♂, ♀ + ♂ → ♀
Es ergeben sich 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . Ahnen!
Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts
Φ = 1Φ
Φ2 = 1Φ + 1
Φ3 = 2Φ + 1
Φ4 = 3Φ + 2
Φ5 = 5Φ + 3
Φ6 = 8Φ + 5
Φ7 = 13Φ + 8
Φ8 = 21Φ + 13
..
.
Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts
Φ = 1Φ
Φ2 = 1Φ + 1
Φ3 = 2Φ + 1
Φ4 = 3Φ + 2
Φ5 = 5Φ + 3
Φ6 = 8Φ + 5
Φ7 = 13Φ + 8
Φ8 = 21Φ + 13
..
.
Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts
Φ = 1Φ
Φ2 = 1Φ + 1
Φ3 = 2Φ + 1
Φ4 = 3Φ + 2
Φ5 = 5Φ + 3
Φ6 = 8Φ + 5
Φ7 = 13Φ + 8
Φ8 = 21Φ + 13
..
.
Fibonacci im Pascalschen Dreieck
Quelle: hirnwindungen.de
Fibonacci in der Physik
Fibonacci in der Physik
R3 = R ·
1
1+
=
1
1+
1
1+ 1
1+1
5
· R,
8
allgemein: Rn =
F2n−1
F2n
·R
Fibonacci in der Physik
R3 = R ·
1
1+
=
1
1+
1
5
· R,
8
allgemein: Rn =
F2n−1
F2n
1+ 1
1+1
beide aus: Basin, S. L.: The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;
”
zit. n. M. Kuhn: Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990
”
·R
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
...eine merkwürdige Summe:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0, 1
0, 01
0, 002
0, 0003
0, 00005
0, 000013
0, 0000021
0, 00000034
0, 000000055
0, 0000000089
...
= ?
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
...eine merkwürdige Summe:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
0, 1
0, 01
0, 002
0, 0003
0, 00005
0, 000013
0, 0000021
0, 00000034
0, 000000055
0, 0000000089
...
10
!
89
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
Häufigkeit der ersten Ziffer der Fibonacci-Zahlen:
(1, 1, 2, 3, 5 ,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. . . )
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
...entspricht der Benford-Verteilung p(z) = lg 1 +
1
z
.
Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt
I
insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-Stelen
Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt
I
I
insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-Stelen
Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cm
Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt
I
I
I
insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-Stelen
Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cm
Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1
Standorte der einzelnen Pfähle
Standorte der einzelnen Pfähle
In 20 Stelen um die Welt!
...und zu all dem lächelt die Mona Lisa.
Quelle: de.academic.ru
Wort zum Samstag:
Dass zwei Dinge sich auf eine schöne Art vereinigen ohne ein
”
drittes, das ist unmöglich. Denn es muss ein Band zwischen
ihnen entstehen, dass sie vereinigt.
Das kann die Proportion am besten vollbringen. Denn wenn
von irgend drei Zahlen die mittlere sich zu der kleinsten verhält,
wie die größte zu der mittleren selbst, [. . . ] dann wird das
Letzte und das Erste das Mittlere und das Mittlere Erstes und
Letztes, alles wird also mit Notwendigkeit dasselbe, und da es
dasselbe wird, bildet es ein einziges. “
Plato: Timaios, zit. nach Henning/Hartfeld:
Goldener Schnitt in der Mathematik
Vielen Dank für
Ihre Aufmerksamkeit!