LEIBNIZ-GYMNASIUM Altdorf Kollegstufe Abiturjahrgang 2002

LEIBNIZ-GYMNASIUM
Altdorf
Kollegstufe
Abiturjahrgang 2002
FACHARBEIT
aus der Physik
Computersimulation eines idealen Gases
Verfasser:
Thomas Schneider
Leistungskurs:
PhL0
Kursleiter:
OstR Heim
Erzielte Punkte:
(einfache Wertung)
..............................................
(Unterschrift des Kursleiters)
1
1
2
Einleitung................................................................................................................ 3
1.1
Computersimulationen in der Physik ............................................................... 3
1.2
Problemstellung............................................................................................... 3
Theoretischer Teil................................................................................................... 4
2.1
Definitionen ..................................................................................................... 4
2.2
Möglichkeiten zur Untersuchung eines Systems ............................................. 4
2.3
Allgemeines über Computersimulationen ........................................................ 5
2.3.1
Skalierung der Zeit ................................................................................... 5
2.3.2
Skalierung der Länge ............................................................................... 6
2.3.3
Koordinatenachsen................................................................................... 6
2.4
Zweidimensionales Modell zur Simulation eines idealen Gases ..................... 6
2.4.1
Prämissen des simulierten Gases ............................................................ 6
2.4.2
Vorgehensweise bei der Simulation der Gasteilchen ............................... 7
2.4.3
Simulierte Gasteilchen.............................................................................. 8
2.4.4
Bewegung eines Gasteilchens ................................................................. 8
2.4.5
Reflexion an einer Wand .......................................................................... 9
2.4.5.1 Reflexionszeitpunkt............................................................................... 9
2.4.5.2 Reflexion............................................................................................. 10
2.4.5.3
2.4.6
2.5
Druckberechnung ............................................................................... 10
Kollision zweier Teilchen ........................................................................ 11
2.4.6.1
Kollisionszeitpunkt.............................................................................. 11
2.4.6.2
Kollision.............................................................................................. 13
Gültigkeitsbereich des Modells ...................................................................... 15
2.5.1
Unterschiede gegenüber dreidimensionalem Modell.............................. 15
2.5.2
Vergleich: Simulation <=> Realität ......................................................... 16
2
3
Praktischer Teil..................................................................................................... 19
3.1
Die Computersprache Java ........................................................................... 19
3.2
Programmierung............................................................................................ 20
3.3
Aufbau des Programms................................................................................. 20
3.4
Herleitung des idealen Gasgesetzes durch Simulationsreihen...................... 22
4
Abschließende Betrachtung.................................................................................. 25
5
Anhang ................................................................................................................. 26
5.1
Bildschirmfotos des Programms.................................................................... 26
5.2
Quellenverzeichnis ........................................................................................ 29
5.3
Abbildungsverzeichnis................................................................................... 30
5.4
Anlagen (auf beiliegender, unterschriebener CD-ROM) ................................ 30
5.4.1
Digitale Version dieser Facharbeit.......................................................... 30
5.4.2
Programm: Computersimulation eines idealen Gases............................ 30
5.4.2.1
Benutzerdokumentation (in HTML)..................................................... 30
5.4.2.2
Internetseite mit Programm ................................................................ 30
5.4.2.3
Quellcode des Programms................................................................. 30
5.4.3
6
Java-Dokumentationen........................................................................... 30
5.5
Ausdruck der verwendeten Internetquellen ................................................... 31
5.6
Danksagung .................................................................................................. 33
Erklärung .............................................................................................................. 34
3
1
1.1
Einleitung
Computersimulationen in der Physik
Computer werden für unsere Gesellschaft zunehmend wichtiger. Wie jede neue Technologie nehmen sie Einfluss darauf, wie wir lernen und wie wir denken. Computersimulationen, auch Computerexperimente genannt, sind ein wesentlicher Bestandteil der
modernen Physik und werden ebenso wichtig wie Theorie und Experiment. Die Fähigkeit „zu simulieren“ ist heute wesentlicher Bestandteil der Qualitäten eines Wissenschaftlers.
Computersimulationen ermöglichen die Untersuchung von nicht-linearen Problemen,
die nicht mit analytischen Mitteln („von Hand“) gelöst werden können. Auch Systeme
mit vielen Variablen oder vielen Freiheitsgraden können mit Hilfe von Simulationen
erforscht werden.
Entwicklungen in der Computertechnologie führen zu neuen Wegen, über physikalische Systeme nachzudenken:
Die Frage „Wie kann ich das Problem auf einem Computer formulieren?“ führte zu
neuen Formulierungen von Naturgesetzen und zu der Erkenntnis, dass es praktischer
und natürlicher ist, Naturgesetze als Regeln für Computer anstatt in Form von Differentialgleichungen darzustellen. Diese neue Art, über physikalische Prozesse nachzudenken, veranlasst viele Physiker dazu, neue Computerarchitekturen zu entwickeln,
die physikalische Systeme effizienter modellieren und simulieren können.
(nach Q1, Kapitel 1.2: The nature of computer simulation)
1.2
Problemstellung
Diese Facharbeit beschäftigt sich mit der numerischen Simulation und Visualisierung
(grafischen Darstellung) von idealen Gasteilchen in einem geschlossenen, zweidimensionalen Raum. Dabei sollen die Teilchen nach den Gesetzen des elastischen Stoßes
gegeneinander (Kollision) und an die Wände (Reflexion) stoßen. Die Teilchen können
sich in jede beliebige Richtung bewegen und ändern bei der Kollision mit einem anderen Teilchen sowohl ihre Flugrichtung als auch ihre Geschwindigkeit. Neben den Gasteilchen (mikroskopisch) können auch makroskopische Größen des simulierten Gases (Druck, Temperatur, Volumen) betrachtet werden. Aus diesen Simulationsgrößen
kann das ideale Gasgesetz mit einer Folge von Simulationsreihen gefolgert werden.
4
2
2.1
Theoretischer Teil
Definitionen
Ideale Gase sind „Gase, die sich im idealen Zustand befinden, d.h. den Zustandsgleichungen der i. G. streng genügen.“ (Q2, S. 1831)
Eine Form der Zustandsgleichung des idealen Gases, aus der sich die anderen Formen ableiten lassen, lautet
pV
= Nk .
T
Idealer Zustand (von lat. idea = Urbild) bezeichnet einen „durch einfache Gesetzmäßigkeiten beschreibbaren, hypothetischen Zustand der Materie, in dem sich diese
durch idealisierte Eigenschaften auszeichnet. Charakteristisch für den i. Z. ist, dass die
Bestandteile der betrachteten Systeme keinen wechselseitigen Einwirkungen unterliegen sollen. Die Abweichungen vom i. Z. ( = realer Zustand) kommen durch eben diese
gegenseitige Beeinflussung zustande.“ (Q2, S. 1831)
2.2
Möglichkeiten zur Untersuchung eines Systems
Es gibt unterschiedliche MöglichkeiSystem
ten, um ein System (reeller Gegenstand oder Sachverhalt) näher zu
Experimente
mit dem
echten System
untersuchen (vgl. Fig. 1):
Bei einem Gas würden diese etwa
Experimente mit
einem Modell des
Systems
so aussehen:
physikalisches
Modell
Experimente mit dem echten System
mathematisches
Modell
würden physikalischen Versuchen
analytische
Lösung
über das Verhalten der Gase mit
Simulation
einem realen Gas entsprechen.
Fig. 1: Möglichkeiten zur Untersuchung eines Systems
Ein physikalisches Modell des Gases wären beispielsweise
kleine Stahlkugeln in einem Zylinder, die von einer schwingenden Membran als Boden des Zylinders in die Luft gewirbelt werden (Fig. 2).
Alternativ zu diesen praktischen Modellen kann man auch
ein mathematisches Modell als Abbild des Systems erstellen
und untersuchen:
Fig. 2: physikalisches Modell
des idealen Gases
5
Mit Hilfe der analytischen Methode können aus einem mathematischen Modell durch
logische Überlegungen und Berechnungen Folgerungen geschlossen werden, wie dies
im Unterricht der 13. Klasse für ideale Gase geschieht.
Eine andere Möglichkeit zur Untersuchung des Systems ist die Simulation eines mathematischen Modells mit einem Computer, dem Thema dieser Facharbeit.
2.3
Allgemeines über Computersimulationen
Dynamische Computersimulationen geben die Veränderungen
des simulierten Systems über der Zeit wieder (Q3, S.5):
t0
Dies ist vergleichbar mit einem Film, bei dem eine Bewegung
durch eine schnelle Abfolge von Einzelbildern dargestellt wird
t1
(vgl. Fig.3).
Das menschliche Auge nimmt diese einzelnen Bilder als flüs-
t2
sige Bewegung wahr.
2.3.1 Skalierung der Zeit
t3
Eine dynamische Computersimulation berechnet aus dem
mathematischen Modell nach jedem Zeitintervall ∆t den Zu-
t4
stand des Modells und stellt diesen am Bildschirm dar.
Der Zustand des Modells zur Zeit ti heißt i-ter Simulationsrahmen (vgl. Fig. 3).
Fig. 3: Bewegungsablauf
Die Zeit, die zum Berechnen eines Simulationsrahmens benötigt wird, hängt vom verwendeten Computer (Prozessortyp, Taktfrequenz, Arbeitsspeicher) ab. Somit ist es
sinnvoll eine neue Zeit zu definieren, die vom verwendeten Computer unabhängig ist:
Eine Simulationssekunde [S] sei die reale Zeit, die für die Berechnung eines Simulationsrahmens benötigt wird.
Die Simulationszeit t in Simulationssekunden [S] ist somit eine fiktive Zeit und keine
reale Zeit in Sekunden.
Das verwendete Modell basiert ausschließlich auf dieser fiktiven Simulationszeit und
nicht auf der realen Zeit.
6
2.3.2 Skalierung der Länge
Ein weiteres Problem ist die Darstellung von Längen in Computersimulationen:
Ein Bildschirm besteht aus einzelnen Bildpunkten (Pixel). Die Anzahl der Pixel auf dem
Bildschirm hängt von der eingestellten Auflösung ab und der Abstand zweier Pixel von
der Lochmaske des Bildschirms. Da der Computer den Bildschirm nur pixelweise ansteuern kann, ist es unmöglich auf dem Bildschirm eine exakte Länge zu zeichnen,
wenn man die eingestellte Auflösung und den zugehörigen Lochmaskenabstand des
Systems nicht kennt.
Somit muss ebenfalls eine neue Längeneinheit definiert werden:
Ein Pixel (px) sei der Abstand zweier benachbarter Bildpunkte auf dem jeweiligen Bildschirm.
Größe
Physik
Computersimulation
Das Modell arbeitet folglich nur mit
Zeit
reelle Zeit [s]
Simulationszeit [S]
einer anderen Skalierung von Zeit
Länge
Länge [m]
Pixel [px]
und Länge. (vgl. Fig. 4)
Fig. 4: Skalierung von Zeit und Länge
2.3.3 Koordinatenachsen
Eine Besonderheit der Ausgabe auf dem
y
x
Bildschirm ist die Ansteuerung der Pixel.
Entgegen der gewohnten Richtung der YAchse von unten nach oben ist die YAchse für die Ansteuerung der Bildpunkte,
wie sie im Programm verwendet wird, ge-
y
x
gewöhnliche
Ausrichtug
Ausrichtug im
Programm
Fig. 5: Ausrichtung der Koordinatenachsen
nau umgekehrt, also von oben nach unten gerichtet (Fig. A). Dies resultiert daraus,
dass der Bildschirm zeilen- und spaltenweise von links-oben nach rechts-unten geschrieben wird.
2.4
Zweidimensionales Modell zur Simulation eines idealen Gases
2.4.1 Prämissen des simulierten Gases
Bei der Modellierung eines physikalischen Vorganges müssen zunächst Prämissen
gesetzt werden. Diese sollen einerseits möglichst nah an den realen Gegebenheiten
liegen (Modell als Abbild der Realität), andererseits sollte das Modell jedoch auch
möglichst einfach sein, damit es noch handhabbar und berechenbar bleibt.
Zur Simulation des Gases möchte ich folgende Prämissen für die Gasteilchen setzen,
die weitgehend den Prämissen des idealen Gases entsprechen (Q4, S.41):
7
Jedes Teilchen des einatomigen Gases
a) hat die Teilchenmasse m – das simulierte Gas besteht also nicht aus einer Mischung von unterschiedlichen Isotopen desselben Stoffes mit unterschiedlichen
Massen, wie dies bei fast allen Elementen der Fall ist.
b) bewegt sich im Zweidimensionalen, also nur in X und Y-Richtung (2.5.1 erläutert
die Unterschiede und Parallelen zwischen 2- und 3-dimensionaler Darstellung).
c) hat die Form einer Kreisscheibe mit dem Radius r, was dem dreidimensionalen
Modell einer Kugel entspricht.
Ferner gelten folgende Prämissen der kinetischen Gastheorie:
d) Es gibt keine Kräfte zwischen den Teilchen außer bei Stößen ð geradliniger
Flug zwischen zwei Stößen
e) Die Reflexion eines Teilchens an einer Wand und die Kollision zweier Teilchen
ist vollkommen elastisch, d.h. Impuls- und Energieerhaltungssatz gelten.
f) Die Gasteilchen befinden sich im Zustand idealer Unordnung, bevorzugen also
weder eine bestimmte Richtung noch eine bestimmte Geschwindigkeit.
g) Die Teilchendichte
N
ist räumlich und zeitlich nahezu konstant.
V
2.4.2 Vorgehensweise bei der Simulation der Gasteilchen
Das Gas besteht aus mehreren Gasteilchen, die sich so lange mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegen, bis sie an eine Wand oder ein anderes Teilchen stoßen.
Das Problem besteht darin, den jeweils nächsten Zusammenstoß zu finden und die
vektorielle Teilchengeschwindigkeit (Betrag und Richtung) der dabei betroffenen Teilchen entsprechend zu ändern.
Dies wird folgendermaßen gelöst (Vorgehensweise nach Q1, Kapitel 8.9 und Q5):
Für jedes Teilchen i wird die früheste Zeit t i berechnet, in der es mit einem anderen
Teilchen oder einer Wand zusammenstoßen wird.
Aus all diesen Teilchenzeiten t i wird die früheste Zeit t next herausgesucht und die beiden Stoßpartner (2 Teilchen bei Kollision oder Teilchen und Wand bei Reflexion) werden vermerkt.
Diese beiden Stoßpartner werden folglich als Nächstes zusammenstoßen.
Nun werden alle Teilchen bis zu diesem Zeitpunkt t next geradlinig bewegt und dann die
Stoßpartner reflektiert bzw. kollidiert.
8
Anschließend
werden
wieder
die
nächsten
ti
Stoßzeiten
berechnet,
t next herausgesucht, usw. (vgl. Fig. 20).
2.4.3 Simulierte Gasteilchen
Alle Gasteilchen besitzen
vy
a) die gleiche Teilchenmasse m in
v
[u] ( Prämisse 2.4.1a ).
vy
b) den gleichen Radius r in Pixel [px]
r
( Prämisse 2.4.1c ).
vx
M (X;Y)
Jedes einzelne Gasteilchen besitzt
c) einen Mittelpunkt M mit den Koor-
m
dinaten (X,Y) in Pixel [px].
d) zwei Geschwindigkeitskompo-
Fig. 6: Größen eines Gasteilchens
nenten vx und vy in Pixel pro Simulationssekunde [px/S].
e) eine Geschwindigkeit v in Pixel pro Simulationssekunde [px/S].
Für die Geschwindigkeit v gilt nach dem Satz des Pythagoras:
v2 = vx2 + vy2 (vgl. Fig. 6).
f) eine nächste Stoßzeit ti in Simulationssekunden [S], in der es mit einem anderen Teilchen oder einer Wand zusammenstoßen wird (vgl. 2.4.2).
g) einen Stoßpartner (Teilchen oder Wand), mit dem es zur Zeit ti zusammenstoßen wird.
2.4.4 Bewegung eines Gasteilchens
In der Zeit ∆t legt ein Teilchen die Strecke
r
v ⋅ ∆t zurück (Fig. 7).
Somit gilt für die neuen Koordinaten des Teilchens X’ und Y’:
r
X ' = X + | v x | ⋅∆t
r
Y ' = Y + | v y | ⋅∆t
r
v y ⋅ ∆t
r r
vy v
r
(X;Y) v x
r
v ⋅ ∆t
r r
vy v
r
vx
(X’;Y’)
r
v x ⋅ ∆t
Fig. 7: Bewegung eines Teilchens
r r
r
Bei der Bewegung bleiben die Geschwindigkeiten v , v x und v y konstant, da nach Prä-
misse 2.4.1d zwischen zwei Stößen keine Kraft auf das Teilchen wirkt (Fig.7).
9
2.4.5 Reflexion an einer Wand
Die Reflexion an einer Wand wird zunächst exemplarisch an der rechten Wand erklärt.
Für die linke Wand kann über analoge Überlegungen eine ähnliche Beziehung gefunden werden.
Die Formeln für die untere Wand entsprechen denen der rechten und die der oberen
Wand denen der linken (vgl. 2.3.3), wobei „x“- und „y“-Bezeichnungen jeweils vertauscht werden müssen.
2.4.5.1 Reflexionszeitpunkt
∆x
Die Reflexion eines Teilchens T an der Wand erfolgt, wenn dieses die Wand berührt (vgl. Fig.8):
r
T’ (X’;Y’)
X ' = X w − r (G1),
Wand
wobei X’ die X-Koordinate des Teilchenmittelpunktes
und Xw die X-Koordinate der Wand ist.
T (X;Y)
Bis zu diesem Zeitpunkt muss das Teilchen T noch
xw
Fig.
die Strecke ∆x in X-Richtung fliegen.
Mit G1 folgt : ∆x = X '− X = ( X w − r ) − X
Die dafür benötigte Zeit ∆t beträgt somit:
∆t =
∆x ( X w − r ) − X
=
,
vx
vx
wobei vx der Betrag der Geschwindigkeit des Teilchens in X-Richtung ist (vgl. Fig. 6).
Für die linke Wand gilt analog mit X ' = X w + r : ∆t =
∆x ( X w + r ) − X
=
vx
vx
10
2.4.5.2 Reflexion
Das Teilchen wird nach den Gesetzen des elastischen Stoßes
an der Wand reflektiert.
Da die Masse des Teilchens sehr klein gegenüber der Masse
der Wand ist ( m Teilchen << m Wand ), bleibt seine Energie beim elastischen Stoß mit der Wand erhalten.
r
Die zur Wand senkrechte Geschwindigkeitskomponente v ⊥
r
r
wird komplett reflektiert (vgl. Fig. 9): v ' ⊥ = −v ⊥
r
Die zur Wand parallele Geschwindigkeitskomponente v|| bleibt
r
r v||
v'
r
r
v '⊥
r
v
r
r
v⊥
Wand
Fig. 9: Reflexion an
einer Wand
r
r
unverändert: v '|| = v||
Insgesamt bleibt die Gesamtenergie des Teilchens bei der Reflexion erhalten:
1
1
1
1
2
2
2
2
2
mv' 2 = m(v' ⊥ +v'|| ) = m((−v ⊥ ) 2 + v|| ) = m(v ⊥ + v|| ) = E kin
2
2
2
2
r
r
r r
Bei der linken und rechten Wand ist v ⊥ = v x und v|| = v y , bei der oberen und unteren
E ' kin =
Wand umgekehrt.
2.4.5.3 Druckberechnung
Betrachtet man das Zeitintervall ∆t zwischen zwei Teilchenstößen gegen eine Wand,
so ist nach dem 2. Newton’schen Gesetz die mittlere Kraft F auf diese Wand
F =
2mv ⊥
∆p p '− p (− mv ⊥ ) − mv ⊥
=
=
=−
.
∆t
∆t
∆t
∆t
Der Betrag des mittleren Drucks p im Zeitintervall ∆t auf die Wand der Fläche A ist
p =
F
A
=
2m v ⊥
A∆t
.
11
2.4.6 Kollision zweier Teilchen
Die Überlegungen und Algorithmen, die in Verbindung mit der Kollision zweier Teilchen verwendet werden, sind Q1 (Kapitel 8.9) entnommen.
Die Implementierung dieser Algorithmen erfolgte in Anlehnung an Julio Gea-Banacloche’s Java-Applet (Q5).
2.4.6.1 Kollisionszeitpunkt
Die
zeitaufwendigste
Berechnung
der
Kollision
ist
die
Kollisionserkennung.
Alle Teilchen müssen paarweise auf Kollision geprüft werden:
Im Folgenden wird die Bedingung für die Kollision zweier Teilchen 1 und 2 hergeleitet
und daraus der Zeitpunkt t12 , zu dem diese Kollision stattfinden wird.
Da diese Formeln vektoriell hergeleitet werden, gelten sie für alle Bewegungsrichtungen der Teilchen, unterschiedliche Teilchengeschwindigkeiten und sogar im Dreidimensionalen (vgl. 2.5.1).
Für das in dieser Facharbeit verwendete zweidimensionale Modell des idealen Gases
müssen in die in den nachfolgenden Kapiteln hergeleiteten Vektorgleichungen zweidimensionale Orts- und Geschwindigkeitsvektoren eingesetzt werden:
r æXö
Ortsvektoren: r = çç ÷÷
èY ø
r æ vx ö
Geschwindigkeitsvektoren: v = çç ÷÷
èvy ø
r
r
Gegeben seien zwei Teilchen 1 und 2 mit den Ortsvektoren r1 (t ) und r2 (t ) zur Zeit t=0.
Beim Zusammenstoß zur Zeit t12 sind ihre Mittelpunkte
genau d = 2 ⋅ r voneinander entfernt (Fig. 10):
r
r
r1 (t12 ) − r2 (t12 ) = d | ²
r
r
2
ð (r1 (t12 ) − r2 (t12 ) ) = d 2 (G1)
d
Fig. 10: Abstand von
zwei Teilchen
12
Im Zeitraum ∆t12 = t12 − t = t12 (s.o.) bewegen sich die Teilchen mit konstanten Ger
r
schwindigkeiten (vgl 2.4.1d) v1 (0) und v 2 (0) :
r
r
r
r
r
r
r1 (t12 ) = r1 (0) + v1 (0)t12 und r2 (t12 ) = r2 (0) + v 2 (0)t12 (G2)
G2 in G1liefert:
[(rr1 (0) + vr1 (0)t12 ) − (rr2 (0) + vr2 (0) t12 )]2 = d 2
[rr1 (0) + vr1 (0)t12 − rr2 (0) − vr2 (0) t12 ]2 = d 2
[(rr1 (0) − rr2 (0) ) + (vr1 (0) − vr2 (0) )t12 ]2 = d 2
r
r
r
r
r
r
mit r12 = r1 (0) − r2 (0) (G3) und v12 = v1 (0) − v 2 (0) (G4):
(rr12 + vr12 t12 )2
= d2
r 2
r r
r 2 2
r12 + 2 ( r12 o v12 )t12 + v12 t12 = d 2
r 2 2
r r
r 2
v12 t12 + 2 ( r12 o v12 )t12 + ( r12 − d 2 ) = 0
r r
r r
r 2 r 2
− 2 ( r12 o v12 ) ± 4 ( r12 o v12 ) 2 − 4 v12 ( r12 − d 2 )
t12 =
r 2
2 v12
r
r
< r12 o v12
>0
r r
r r
r 2 r 2
− r12 o v12 ± (r12 o v12 ) 2 − v12 (r12 − d 2 )
t12 =
r 2
v12
(G5)
r r
Da die Zeit t12 > 0 sein muss, folgt aus den Überlegungen zu G5: r12 o v12 < 0 (G6)
r r
Falls r12 o v12 > 0 , fliegen die Teilchen voneinander weg und können nicht kollidieren.
Falls die Bedingung in G6 erfüllt ist, muss zusätzlich die Diskriminante in G5 die Ber r
r 2 r 2
dingung (r12 o v12 ) 2 − v12 (r12 − d 2 ) ≥ 0 (G7) erfüllen.
Wenn G7 erfüllt ist, so hat G5 zwei Lösungen. Lediglich die kleinere der beiden ist jedoch die physikalisch relevante, da die Teilchen bereits zu diesem früheren Zeitpunkt
zusammenstoßen.
Allgemein stoßen somit zwei Teilchen i und j zur Zeit tij zusammen, falls die Bedingungen G6 und G7 erfüllt sind (vgl. G5):
r r
r r
r 2 r2
− rij o v ij − (rij o vij ) 2 − vij (rij − d 2 )
(G8)
t ij =
r 2
v ij
13
2.4.6.2 Kollision
r
r
Im Folgenden werden die Geschwindigkeitsvektoren v1 ' und v 2 ' zweier Teilchen T1
und T2, die gerade miteinander kollidieren, nach der Kollision hergeleitet. Alle Teilchen
sind bis zum Zeitpunkt t12 bewegt (vgl. 2.4.2); T1 und T2 berühren sich also gerade (vgl.
r
r
2.4.6.1). Die Mittelpunktsvektoren der Teilchen sind r1 und r2 , ihre Geschwindigkeitsr
r
vektoren vor der Kollision v1 und v 2 .
Da die Kollision den Gesetzen des elastischen Stoßes genügt (vgl. 2.4.1e ), gilt der
Impulserhaltungssatz in vektorieller Form:
r r
p = p'
r
r
r
r
mv1 + mv 2 = mv1 '+ mv 2 ' |: m (vgl. 2.41a )
r r
r r
v1 + v 2 = v1 '+v 2 '
somit gilt für die vektoriellen Geschwindigkeitsänderungen der Teilchen:
r r r
r r
r
∆v1 = v1 '−v1 = −(v 2 '−v 2 ) = − ∆v 2 (G1)
Bei der Kollision der beiden Teilchen wirkt die Kraft entlang der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte (Fig. 11):
r
r r
r12 = r1 − r2 (G2)
r 0
Der zugehörige Einheitsvektor r12 beträgt:
r
r
r12
r 0 r12
r12 = r =
(G3)
r12
d
r 0
r12
r
r12
T1
T2
Fig. 11: Mittelpunktsvektor
vor der Kollision (vgl. Fig. 12):
r
Die Geschwindigkeitsvektoren v der beiden Teilr 0
chen können in zwei Komponenten parallel zu r12
r
r
( v|| ) und senkrecht dazu ( v ⊥ ) zerlegt werden:
r r r
v = v|| + v ⊥ (G4)
r
r
r
v|| erhält man durch Projektion von v auf r12 :
r
r r0 r0
v|| = (v o r12 )r12 (G5)
r
v 2, ⊥
r
v2
r
v1,||
r
v 2,||
r
v1
T1
T2
Fig. 12: vor der Kollision
r
v1, ⊥
14
nach der Kollision (vgl. Fig. 13):
Bei der Kollision werden die parallelen Geschwin-
r
v1,|| '
digkeitskomponenten der beiden Teilchen ausgetauscht:
r
r
r
r
v1,|| ' = v 2,|| und v 2,|| ' = v1,|| (G6)
r
v2 '
r
v 2, ⊥ '
r
v1,⊥ '
r
v 2,|| '
r
v1 '
T1
Die senkrechten Geschwindigkeitskomponenten
bleiben erhalten:
r
r
r
r
v1,⊥ ' = v1,⊥ und v 2,⊥ ' = v 2,⊥ (G7)
T2
Fig. 13: nach der Kollision
Damit ist die vektorielle Geschwindigkeit von T1 nach der Kollision:
r r
r
v1 ' = v1,|| '+ v1, ⊥ ' (vgl. G4)
r
r
= v 2,|| + v1, ⊥
(vgl. G6, G7)
r
r
r
r
= v 2,|| − v1,|| + v1,|| + v1, ⊥
r
r
r
= v 2,|| − v1,|| + v1 (vgl. G4)
r r 0 r 0
r r 0 r 0 r
= (v 2 o r12 )r12 − (v1 o r12 ) r12 + v1 (vgl. G5)
r
r
r 0 r 0 r
= (v 2 − v1 ) o r12 r12 + v1
r r
r 0 r 0 r
= − (v1 − v 2 ) o r12 r12 + v1 (G8)
[
[
]
]
Die vektoriellen Geschwindigkeitsänderungen der Teilchen bei der Kollision betragen
somit :
r r r
∆ v1 = v1 '− v1 (vgl. G1)
r r
r 0 r 0 r r
= −[( v1 − v 2 ) o r12 ]r12 + v1 − v1 (vgl. G8)
r r
r 0 r 0
= −[( v1 − v 2 ) o r12 ]r12
r r
r12 r12
r
r
r r
(vgl. G3); v12 = v1 − v 2
= −[v12 o
]
d d
r
r r
[v o r ]r
= − 12 212 12
(G9)
d
r
r
∆v 2 = − ∆v1
r r r
[v12 o r12 ]r12
=
d2
(vgl. G1)
15
2.5
Gültigkeitsbereich des Modells
2.5.1 Unterschiede gegenüber dreidimensionalem Modell
Bei einem dreidimensionalen Modell des idealen Gases können sich die Gasteilchen
nicht nur in x- und y-Richtung, sondern auch noch in z-Richtung bewegen.
Dies führt jedoch bei der Darstellung auf einem zweidimensionalen Bildschirm zu Darstellungsproblemen (Überlagerungen vorne/hinten, Verzerrung von z-Achse, Winkeln
etc.) und trägt somit nicht der Anschaulichkeit bei.
Die Grundlagen der Teilchenbewegung (gradlinige Bewegung, Reflexion, Kollision)
sind im Dreidimensionalen grundsätzlich genauso wie im Zweidimensionalen, nur dauern die Berechnungen länger, da eine zusätzliche Dimension mit berücksichtigt werden muss (vgl. Fig. 14):
Im Zweidimensionalen
Ort eines Teilchens
(X,Y)
Geschwindigkeitskomponenten
vx, vy
Gesamtgeschwindigkeit
vx ² + vy ²
Abstand zweier Teilchen
( X 2 − X 1)² + (Y 2 − Y 1)²
Anzahl der Wände (Reflexion)
4
Im Dreidimensionalen
(X,Y,Z)
vx, vy, vz
vx ² + vy ² + vz ²
( X 2 − X 1)² + (Y 2 − Y 1)² + ( Z 2 − Z 1)²
6
Fig. 14: Vergleich 2D ó 3D
Die Formeln für Bewegung, Reflexion und Kollision von Gasteilchen im Dreidimensionalen entsprechen denen aus 2.4, wobei einfach die 2-dimensionalen Orts- und Geschwindigkeitsvektoren durch 3-dimensionale ersetzt werden müssen:
æXö
r ç ÷
Ortsvektoren: r = ç Y ÷
çZ÷
è ø
æ vx ö
r ç ÷
Geschwindigkeitsvektoren: v = ç v y ÷
çv ÷
è zø
16
2.5.2 Vergleich: Simulation <=> Realität
Da die Teilchen und ihre Bewegung auf dem Bildschirm dargestellt werden sollen, sind
einige Rahmenbedingungen zu beachten:
a) Der Teilchendurchmesser sollte mindestens 5px betragen, damit die Kollision
zweier Teilchen auf dem Bildschirm beobachtet werden kann.
Größe
Realität
I) Teilchendurchmesser (d)
2 ⋅ 10 −10 m
II) Mittlerer Teilchenabstand (ca. 10d) 2 ⋅ 10 −9 m
Simulation
5px
50px
Fig. 15: Größenordnungen des idealen Gases
Wie Fig. 15 zeigt, muss der mittlere Teilchenabstand in der Simulation folglich
ca. 50px betragen, damit die Rahmenbedingungen der Simulation den realen
Verhältnissen entsprechen.
Ebenso folgt aus Fig. 15 folgender Zusammenhang:
1m =ˆ 2,5 ⋅ 1010 px ð 1px =ˆ 4 ⋅ 10 -11 m
Ergebnis 1: Damit die Gasteilchen auf dem Bildschirm dargestellt werden können, muss das Gas stark vergrößert werden. Dadurch entspricht ein Pixel auf
dem Bildschirm einer sehr kleinen Strecke in der Realität.
Ebenso kann mit Hilfe von Fig. 15
b
und 16 eine möglichst realitätsnahe
Teilchenzahl N abgeleitet werden:
h
N=
b⋅h
(10d ) 2
10d
Bei
10d
Fig. 16: Abschätzung der Teilchenzahl
einer
Simulationsfenstergröße
von 500px mal 300px wären dies
N=
500 px ⋅ 300 px
= 60 Teilchen.
(10 ⋅ 5 px) 2
Ergebnis 2: Damit der mittlere Teilchenabstand der simulierten Gasteilchen dem
der realen Gasteilchen entspricht, muss die Teilchenzahl relativ gering gewählt
werden, da die Bildschirmgröße begrenzt ist.
17
b) Die Geschwindigkeit eines Teilchens sollte höchstens 10 Pixel pro Simulationssekunde betragen, damit die fliegenden Teilchen am Bildschirm nicht zu sehr
„hüpfen“ und als „flüssige“ Bewegung wahrgenommen werden.
Im Folgenden möchte ich das Verhältnis von simulierter Zeit (in realen Sekunden s) und Simulationszeit (in virtuellen Simulationssekunden S) herleiten (vgl.
2.3.1):
Eine exemplarische Betrachtung für Wasserstoff bei Normalbedingungen liefert:
M m (H 2 ) = 2,0 kg kmol -1 ; T = 273K
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt:
v = 0,92
3 ⋅ 8,3145 ⋅ 10 3 JK −1 kmol −1 ⋅ 273K
3RT
= 0,92
≈ 1,7 ⋅ 10 3 m / s
−1
Mm
2,0 kg kmol
= 1,7 ⋅ 10 3
2,5 ⋅ 1010 px
≈ 4,3 ⋅ 1013 px / s
s
(vgl. 2.4.2a )
Somit kann folgende Beziehung zwischen simulierter Zeit und Simulationszeit
aufgestellt werden:
4,3 ⋅ 1013
px
px
s⋅S
=ˆ 10
| ⋅1
s
S
px
4,3 ⋅ 1013 S =ˆ 10 s
1S =ˆ
10
4,3 ⋅ 1010
−13
s
=
2
,
3
⋅
10
s
1
s
=
S = 4,3 ⋅ 1012 S
ˆ
bzw.
13
4,3 ⋅10
10
Ergebnis 3: Wenn die Bewegung der Teilchen unter Berücksichtigung der Rahmenbedingung aus 2.5.2a am Bildschirm flüssig wahrgenommen werden soll,
muss eine Simulationssekunde einem winzigen Bruchteil einer Sekunde entsprechen.
18
Gesamtergebnis:
Damit die Rahmenbedingungen eines idealen Gases nachgebildet werden können,
muss man sich das simulierte Gas als einen sehr kleinen Ausschnitt des homogenen
Gases vorstellen (vgl. 2.5.2a ).
Zusätzlich ist der Zeitraum, in dem das Gas simuliert wird, extrem kurz (vgl. 2.5.2b).
Trotzdem verhält sich dieses simulierte „Miniaturgas“ ähnlich wie ein ideales Gas, da
die Teilchendichte N/V des idealen Gases räumlich und zeitlich konstant ist (vgl.
2.3.1g) und das simulierte Gas somit nur ein kleiner Ausschnitt aus dem durchgängig
homogenen idealen Gas ist.
Unterschiede sind darauf zurückführen, dass ein ideales Gas aus sehr, sehr vielen
Teilchen besteht, wohingegen die Teilchenzahl in der Simulation sehr gering ist (vgl.
Ergebnis 2).
Dadurch ist beispielsweise der Druck im realen idealen Gas zeitlich nahezu konstant,
während er in der Simulation aufgrund der begrenzten Teilchenzahl stark um einen
mehr oder weniger konstanten Mittelwert schwankt.
19
3
Praktischer Teil
Hier soll nur kurz auf die grundlegenden Methoden und Prinzipien des Programms
eingegangen werden.
Nähere Informationen zur Funktionsweise und Bedienung des Programms sind in der
Benutzerdokumentation auf der beiliegenden CD-ROM (vgl. Anhang) zu finden.
3.1
Die Computersprache Java
Sun Microsystems, die Entwicklerfirma von Java, definiert Java folgendermaßen
(übersetzt aus Q6, Kapitel 1.1):
Java: eine einfache, objektorientierte, verteilte, interpretierte, robuste, sichere, architekturunabhängige, portable, schnelle, mehrprozessfähige und dynamische Sprache.
Als Implementierungssprache für das Programm habe ich Java aus folgenden Gründen gewählt:
Java garantiert - verglichen mit anderen objektorientierten Hochsprachen - ein ausgeglichenes Maß an (vgl. Fig. 17):
Fig. 17: Vergleich: C/C++, Java, Smalltalk, Tcl
a) Schnelligkeit - dadurch, dass der Quellcode (Source Code) in einen universellen Byte Code kompiliert wird.
b) Portabilität - dadurch, dass dieser Byte Code interpretiert wird, d.h. auf dem
ausführenden System in die jeweilige systemabhängige Maschinensprache
übersetzt wird.
c) Sicherheit - dadurch, dass bei dieser Übersetzung der Zugriff auf das System
(Dateien, Drucker, Schnittstellen etc.) streng geregelt ist und bei einem Applet
(Java Byte Code, der in einem Internetbrowser ausgeführt werden kann) zunächst einmal überhaupt nicht möglich ist.
20
Durch diese Applets kann ein
Java Programm sowohl auf
einer Internetseite als auch
lokal von einer CD-ROM oder
von der Festplatte aus auf
beliebigen Systemen (vgl. Fig.
18) in einem Internetbrowser
ausgeführt werden.
Fig. 18: Java Code-Modell
3.2
Programmierung
Das Programm in Form eines Java-Applets wurde mit Forte(TM) for Java(TM) 1, einer Java-Entwicklungsumgebung von Sun Microsystems, Inc. geschrieben.
Die grafische Benutzeroberfläche (engl. GUI - graphical user interface) wurde von dieser nahezu vollständig automatisch generiert, was sehr viel Programmieraufwand ersparte.
3.3
Aufbau des Programms
Das Programm besteht aus drei voneinander unabhängigen, parallelen Prozessen
(Programmstränge, die gleichzeitig ausgeführt werden können), die auf die gemeinsamen Daten (Variablen der einzelnen Gasteilchen (vgl. 2.4.3) etc.) zugreifen (vgl. Fig.
19):
Rechnen
lesen
u. schreiben
Daten
Ausgeben
lesen
Fig. 19: Prozesse des Programms
1
http://www.sun.com/forte/ffj/buy.html
Anzeigen
21
a) Der „Rechnen-Prozess“ berechnet die eiRechnen
gentliche Simulation (vgl. Fig. 20):
Zunächst werden die Teilchen generiert:
Teilchen generieren
Sie werden zufällig so im Simulationsfen-
ersten Stoß berechnen (tnext)
ster verteilt, dass sie sich nicht überlapalle Teilchen bis tnext bewegen
pen und erhalten die aus den zu Beginn
Stoß ausführen
gesetzten Größen berechnete mittlere
Geschwindigkeit v =
3RT
als AnfangsM
geschwindigkeit.
nächsten Stoß berechnen (tnext)
Fig. 20: Rechnen-Prozess
Ihre Flugrichtung wird zufällig bestimmt.
Nun wird die Simulation gemäß der in 2.4 beschriebenen Vorgehensweise und
den in 2.4.4 bis 2.4.6 hergeleiteten Algorithmen berechnet.
Der Rechnen-Prozess ist der einzige Prozess, der die Daten verändert - die beiden anderen Prozesse lesen die Daten nur aus.
b) Der „Anzeigen-Prozess“ stellt die Teilchen im Simulationsfenster als bunte Kreisscheiben dar. So kann die Bewegung der einzelnen Teilchen verfolgt werden.
c) Der „Ausgeben-Prozess“ stellt die simulierten Größen (Anzahl der Kollisionen,
Reflexionen etc.) im Ausgabefenster dar. Er berechnet außerdem aus den Simulationsdaten Größen wie den aktuellen Druck, das aktuelle Volumen oder die
Temperatur und stellt diese als Zahlen und teilweise grafisch in einem Diagramm
dar.
Diese Untergliederung des Programms in unabhängige Prozesse hat einige Vorteile
gegenüber einem linearen Programmablauf:
• Die einzelnen Prozesse können unterschiedlich schnell ablaufen und ihre Geschwindigkeiten gegeneinander individuell abgestimmt werden. Dadurch kann die
Simulationsgeschwindigkeit auf den verwendeten Computer eingestellt werden.
• Die Prozesse Ausgeben und Anzeigen können einzeln (de-)aktiviert werden, je
nachdem, ob man die Teilchen oder die Simulationsgrößen betrachten will.
22
3.4
Herleitung des idealen Gasgesetzes durch Simulationsreihen
Im Folgenden möchte ich an einigen Beispielen zeigen, wie mit dem Programm sogenannte „Computerexperimente“ durchgeführt werden können und so, ähnlich wie in
Experimenten mit realen Gasen (vgl. 2.2), Beziehungen für das ideale Gas ausschließlich durch Simulation gewonnen werden können.
Aus einer Reihe von Simulationsdurchläufen kann das ideale Gasgesetz hergeleitet
werden:
Bei allen Simulationsreihen wird der Radius auf 1 Pixel gesetzt, da auch bei Versuchen mit realen Gasen der Teilchenradius sehr gering gegenüber dem Volumen des
Gases ist.
Simulationsreihe 1: V(p)
T=273K; 100 Teilchen; m=10u; Volumen variabel
Für jeden Messwert wird die Simulation gestoppt, der Druck p eingegeben, die Simulation gestartet und das mittlere Volumen V nach einiger Zeit im Ausgabefenster abgelesen.
Somit ergibt sich folgende Wertetabelle:
p in kg/pxS²
V in px³
p*V
500
750
1000
1250
1500
146280
99912
77832
63480
51888
73140000 74934000 77832000 79350000 77832000
Die hyperbelförmige Kurve im
p - V Diagramm (T = const)
daraus erstellten p-V Diagramm
160000
lässt vermuten, dass das Volu-
140000
men indirekt proportional zum
120000
Druck ist:
100000
V 80000
V ~
60000
1
oder p ⋅ V = const ,
p
40000
was die Spalte „p*V“ am Ende
20000
der Wertetabelle (von Simulati-
0
0
200
400
600
800
p
1000
1200
1400
1600
onsfehlern durch relativ geringe
Teilchenzahlen abgesehen) bestätigt.
23
Simulationsreihe 2: V(T)
p=1000kg/pxS²; 100 Teilchen, m=10u; Volumen variabel
Für jeden Messwert wird die Simulation gestoppt, die Temperatur T eingegeben, die
Simulation gestartet und das mittlere Volumen V nach einiger Zeit im Ausgabefenster
abgelesen.
Somit ergibt sich folgende Wertetabelle:
T in K
V in px³
V/T
200
56304
281,52
300
82248
274,16
400
109848
274,62
500
133584
267,168
600
160080
266,8
Die Ursprungsgerade im daraus
T - V Diagramm (p=const)
erstellten T-V Diagramm lässt
180000
160000
vermuten, dass das Volumen
140000
direkt proportional zur Tempe-
120000
V
ratur ist:
100000
80000
V ~ T oder
60000
40000
V
= const ,
T
was die Spalte „V/T“ am Ende
20000
0
0
100
200
300
400
500
600
T
700
der Wertetabelle (von Simulationsfehlern durch relativ geringe
Teilchenzahlen abgesehen)
bestätigt.
Aus den Proportionalitäten dieser beiden Simulationsreihen folgt direkt das
ideale Gasgesetz in der 1. Form:
p ⋅V
= const
T
Somit ist mit Hilfe von zwei Simulationsreihen das ideale Gasgesetz hergeleitet worden.
24
Simulationsreihe 3: p(N)
m=10u; Höhe=250pxðV=const.; T=273K; Druck variabel
Für jeden Messwert wird die Simulation gestoppt, eine Teilchenzahl N eingegeben, die
Simulation gestartet und der mittlere Druck p nach einiger Zeit im Ausgabefenster abgelesen.
Somit ergibt sich folgende Wertetabelle:
N
P in kg/pxS²
p/N
25
112,2
4,49
50
236,4
4,73
75
368,5
4,91
100
479,7
4,80
125
599,3
4,79
150
713,3
4,76
175
820,8
4,69
200
936,3
4,68
Die Ursprungsgerade im daraus er-
N - p Diagramm (V=const; T=const)
stellten N - p Diagramm lässt vermuten,
1000
dass der Druck direkt proportional zur
900
800
Teilchenzahl ist:
700
600
p ~ N oder
p 500
p
= const , was die Spalte
N
400
„p/N“ am Ende der Wertetabelle (von
300
200
Simulationsfehlern durch relativ geringe
100
0
0
50
100
150
200
250
Teilchenzahlen abgesehen) bestätigt.
N
Durch diese in der dritten Simulationsreihe festgestellte Proportionalität kann das
ideale Gasgesetz in der 1. Form (s.o.) wie folgt erweitert werden:
p ⋅V
p ⋅V
= N ⋅ K , wobei K ein konstanter Proportionalitätsfaktor ist.
= const oder
T
T ⋅N
In der Realität ist dieser Proportionalitätsfaktor K die Boltzmann – Konstante
k = 1,3807 ⋅ 10 −23 JK −1 (-> ideales Gasgesetz in der 3. Form).
Dies ist in der Simulation jedoch nicht der Fall, da diese das ideale Gas nicht in seinen
quantitativ exakten Werten, sondern nur in seinen qualitativen Verhältnissen simulieren kann (vgl. 2.5.2).
25
4
Abschließende Betrachtung
Abschließend möchte ich noch auf weitere Möglichkeiten eingehen, die bei der Simulation eines idealen Gases zwar interessant wären, den Rahmen dieser Facharbeit
jedoch sprengen würden.
In Julio Gea-Banacloche’s Applet zur Simulation von Gasteilchen (vgl. Q5) beispielsweise kann die Verteilungskurve der Teilchengeschwindigkeiten beobachtet werden,
die sich bei längerer Simulation der aus dem Unterricht bekannten Verteilungskurve
annähert.
Auch kann die Umkehrbarkeit der Teilchenstöße (Reflexion und Kollision) gezeigt werden:
Zu Beginn der Simulation sind die Teilchen in einem quadratischen Raster angeordnet.
Nach einiger Zeit, in der die Teilchen untereinander und mit den Behälterwänden zusammengestoßen sind, kann die Simulation gestoppt werden.
Nun werden die Geschwindigkeitsvektoren aller Teilchen umgedreht und die Simulation genau so lang wie zuvor laufen gelassen.
Am Ende sind die Teilchen (bis auf kleinere Abweichungen, die durch Rundungsfehler
im Kollisionsalgorithmus entstehen,) wieder im ursprünglichen quadratischen Raster.
Die Simulation ist quasi „rückwärts“ gelaufen.
Die Simulation von realen Gasgemischen (Gasteilchen unterschiedlicher Radien) wäre
mit den in 2.4 hergeleiteten Algorithmen ebenfalls möglich. Zusätzlich müssten jedoch
die unterschiedlichen Teilchenmassen mit berücksichtigt werden.
Auch wäre es interessant, das thermische Gleichgewicht zweier durch einen Kanal
verbundener, gasgefüllter Gefäße zu simulieren und zu untersuchen, wie sich Temperatur- oder Druckänderungen in einem Gefäß auf das andere Gefäß auswirken.
Alles in allem hat mir die Bearbeitung des Themas und die damit verbundene intensive
Beschäftigung mit Simulationsmethoden, Gasteilchen, sehr viel zerknülltem Papier und
nicht zuletzt mit der Computersprache Java sowie objektorientierter Programmierung
sehr viel Spaß gemacht und war ein großer Gewinn für mich.
26
5
5.1
Anhang
Bildschirmfotos des Programms
Das Programm kann mit jedem der gängigen javafähigen Browser gestartet werden:
Appletviewer (JDK)
Opera
(getestet mit Version 1.3.1)
(getestet mit Version 5.02)
Microsoft Internet Explorer
Netscape
(getestet mit Version 5.00)
(getestet mit Version 4.72)
27
Das Programmfenster besteht aus folgenden Bereichen:
(Näheres in der Benutzerdokumentation auf der CD)
Im Eingabefenster werden die Anfangsgrößen
für die Simulation gesetzt.
Im Simulationsfenster bewegen
sich die simulierten Gasteilchen.
Bei einem Klick mit der linken Maustaste
auf einen Text wird die Einheit des zugehörigen Ein- oder Ausgabefeldes angezeigt; die rechte Maustaste öffnet die
zugehörige Hilfeseite der Benutzerdokumentation mit weiteren Informationen.
Im Ausgabefenster werden die simulierten Größen des Gases
(Druck, Temperatur, Volumen) und
Simulationsgrößen (Anzahl der Reflexionen und Kollisionen, Prozessdurchläufe etc.) als Zahlenwerte
ausgegeben.
Das Diagramm stellt
die Veränderung der
simulierten Größen
des Gases (Druck,
Volumen und Temperatur) über der Zeit
grafisch dar.
Im Steuerungsfenster wird der
Ablauf der Simulation gesteuert.
28
Reflexion eines Teilchens an einer Wand:
(T=500; Schrittweise; Spur zeichnen; Vektoren zeichnen)
Einfalls- und Ausfallswinkel des Teilchens sind gleich groß.
Die Geschwindigkeit bleibt erhalten (äquidistante Teilchenspur).
Reflexion eines Teilchens an einer Ecke (zwei Wänden):
(T=1000; Schrittweise; Spur zeichnen; Vektoren zeichnen)
Bewegungsrichtung des „einfallenden“ Teilchens und Bewegungsrichtung des doppelt reflektierten Teilchens sind
parallel und entgegengesetzt.
Mehrfache Reflexion eines Teilchens:
(Anzahl=1; T=1; Schrittweise; Spur zeichnen)
Die Teilchenbahnen bilden Parallelogramme.
Nichtkollision zweier Teilchen
(T=1; Spur zeichnen; Kollision deaktiviert)
Ist die Kollision deaktiviert, so fliegen zwei Teilchen einfach durcheinander hindurch. Ihre Bewegungsrichtungen bleiben gleich.
Kollision zweier Teilchen (Richtungsänderung)
(T=1; Spur zeichnen)
Bei der Kollision zweier Teilchen ändern sich die Bewegungsrichtungen der kollidierten Teilchen.
Kollision zweier Teilchen (Geschwindigkeitsänderung)
(T=1000; Radius=10; Schrittweise)
Bei der Kollision zweier Teilchen werden neben den Richtungen
der Bewegungsvektoren auch die Geschwindigkeitsbeträge
(Länge der Bewegungsvektoren) geändert.
nachher
vorher
29
5.2
Quellenverzeichnis
Q 1) Harvey Gould und Jan Tobochnik
An Introduction to Computer Simulation Methods – Applications to physical
systems
o.O. 19962 Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Q 2) Otto-Albrecht Neumüller
Römpps Chemie Lexikon
Stuttgart 19818 Frankh’sche Verlagshandlung W. Keller & Co, Band 3
Q 3) Averill M. Law und W. David Kelton
Simulation Modeling and Analysis
USA 20003 McGraw-Hill Higher Education
Q 4) Siegfried Kühnel
Physik Leistungskurs: Theorie der Wärme – Atomphysik
München 19841 R. Oldenbourg Verlag GmbH
Q 5) Julio Gea-Banacloche (Physikprofessor an der „University of Arkansas“ in
Fayetteville)
The Kinetic Theory web page,
http://comp.uark.edu/~jgeabana/mol_dyn/, aufgerufen am 29.11.2001
(Ausdruck vgl. 5.5)
Quellcode des Applets unter http://www.uark.edu/misc/julio/MolDynI.java,
aufgerufen am 29.11.2001
(Ausdruck aus urheberrechtlichen Gründen nicht möglich)
Q 6) David Flanagan
Java in a Nutshell - A Desktop Quick Reference for Java Programmers
o.O. 1997 O'Reilly & Associates, Inc. (HTML-Version)
Q 7) Professor Dorn
Physik
Würzburg 197115 Hermann Schrödel Verlag KG
Q 8) Florian Janoschek
Facharbeit: Computersimulation von Beschleunigungs-, Brems- und Überholvorgängen vom 12.7.2001
http://privat.schlund.de/f/fjanoschek/facharbeit/facharbeit.pdf, aufgerufen
am 29.11.2001
(verwendeter Auszug vgl. 5.5)
30
Q 9) Anton Müller, Ernst Leitner, Wolfgang Dilg
Physik – Leistungskurs 3. Semester - Theorie der Wärme, Atomphysik
München 19855 Franz Ehrenwirth Verlag GmbH & Co. KG
Q 10) Pat Niemeyer u. Josh Peck
Exploring Java
o.O. 19972 O'Reilly & Associates, Inc. (HTML-Version)
5.3
Abbildungsverzeichnis
Fig. 1:
übersetzt aus Q3, Figure 1.1 Ways to study a system
Fig. 2:
aus Q7, S. 120, Abb. 120.2: Modellversuch zum Gasdruck mit Hilfe bewegter
Stahlkugeln
Fig. 3:
aus Q8, Figur 10
Fig. 15: Werte aus Q9, S. 36
Fig. 17: aus Q10
Fig. 18: aus Q6
Die nicht aufgelisteten Abbildungen sind eigengestaltet bzw. Bildschirmfotos des von
mir entwickelten Programms zur Computersimulation eines idealen Gases.
5.4
Anlagen (auf beiliegender, unterschriebener CD-ROM)
5.4.1 Digitale Version dieser Facharbeit
5.4.2 Programm: Computersimulation eines idealen Gases
5.4.2.1
Benutzerdokumentation (in HTML)
5.4.2.2
Internetseite mit Programm
5.4.2.3
Quellcode des Programms
5.4.3 Java-Dokumentationen
31
5.5
Ausdruck der verwendeten Internetquellen
Für den Inhalt dieser Seiten sind ausschließlich die im Quellenverzeichnis genannten
Autoren verantwortlich.
Ausdruck von Q5:
32
Ausdruck von Q9 (verwendeter Auszug)
33
5.6
Danksagung
Zum Schluss möchte ich noch einigen Personen danken, die direkt oder indirekt einen
nicht unerheblichen Teil zu meiner Facharbeit beigetragen und mich tatkräftig unterstützt haben - ohne sie wäre diese Facharbeit in diesem Umfang gar nicht möglich gewesen:
Allen voran meinem Vater für seine stundenlangen Internetrecherchen, hitzige, aber
lehrreiche Diskussionen über Kollisionsalgorithmen, Programmtests und tausende seiner „dummen Fragen“, wie er zu sagen pflegt, die eigentlich gar nicht so dumm waren,
sondern mich stets zum Ordnen meiner Gedanken zwangen und deshalb enorm weiterhalfen.
Meiner Mutter für die linguistische Unterstützung, und das Aufspüren vieler Kommafehler beim Korrekturlesen.
Meiner Freundin für die erholsamen, abwechslungsreichen Spaziergänge und Unterhaltungen nach den Stunden und Nachmittagen vor dem Computer, sowie meinen
Geschwistern für ihre Unterstützung durch zahlreiche Programmtests.
Julio Gea-Banacloche für die Überlassung des Programmcodes seines Applets (vgl.
Q5), den freundlichen Mailkontakt und den Hinweis auf das Buch mit dem in Echtzeit
berechenbaren Kollisionsalgorithmus (Q1).
Der Firma Sun Microsystems, Inc. für die kostenlose Version ihrer sehr leistungsfähigen Java-Entwicklungsumgebung Forte™ for Java™, da ich die ca. 2500 automatisch
generierten Zeilen für die GUI nur sehr ungern selbst getippt hätte...
Vielen Dank.
34
6
Erklärung
Ich versichere, dass ich diese Arbeit selbstständig angefertigt habe;
die verwendete Literatur habe ich vollständig angegeben.
_______________________________________