Konzentrationsmaße Messung der absoluten Konzentration

Transcrição

Konzentrationsmaße
Messung der absoluten Konzentration
¾Konzentrationsrate
¾Herfindahl-Index
Dr. Ricabal Delgado / Prof. Kück
Lehrstuhl für Statistik
Absolute Konzentration
1
Bibliografie:
¾ Prof. Dr. Kück;
Universität Rostock
Statistik, Vorlesungsskript, Abschnitt 6.2
¾ Bleymüller / Gehlert / Gülicher;
Verlag Vahlen;
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler.
¾ Hartung;
Oldenburg Verlag;
Statistik.
¾ http://www.wiwi.uni-rostock.de/~stat/download.htm
2
1
Konzentration
Sie bedeutet soviel wie Verdichtung,
Schwerpunktbildung, Ballung oder
Ungleichverteilung.
Der Nachweis einer Konzentration ist nur
sinnvoll bei der Untersuchung nichtnegativer
extensiver Merkmale.
3
Extensive Merkmale
Extensive Merkmale werden dadurch
charakterisiert, dass eine Summenbildung der
Merkmalsausprägungen ein interpretierbares, real
vorstellbares Aggregat bildet.
Beispiele:
¾
Landwirtschaftliche Fläche
¾
Einkommen
¾
Umsatz
4
2
Konzentration - Klassifikation
¾
Statische Konzentration
¾
Dynamische Konzentration
¾
¾
Relative Konzentration
5
Statische und Dynamische Konzentration
¾Statische Konzentration:
Konzentration im Sinne eines Zustandes, in einem
bestimmten Zeitpunkt, etwa in dem Satz: „Die
Textilindustrie des Bundeslandes A ist stark konzentriert.“
¾Dynamische Konzentration:
Konzentration im Sinne eines Prozesses,
in einem bestimmten Zeitraum, so etwa in
dem Satz: „Zwischen 1960 und 1980 war die
Textilindustrie des Bundeslandes A einer
starken Konzentration unterworfen.“
6
3
Die Merkmalssumme ist auf eine kleine bzw. kleiner werdende Zahl von
Merkmalsträger verteilt, ohne dass notwendigerweise Ungleichheit unter
ihnen besteht. In etwas unschärferer Form spricht man von absoluter
Konzentration auch dann, wenn ein großer Anteil der Merkmalssumme auf
eine kleine Zahl von Merkmalsträger fällt.
Beispiel:
Die drei größten deutschen Häfen sind
Hamburg, Wilhelmshaven und
Bremen (Stand 1999). Sie hatten einen
Jahresumschlag von 91 Mio. Tonnen,
das sind etwa zwei Drittel des
Umschlages aller deutschen Häfen.
7
Relative Konzentration
Zuordnung eines großen bzw. eines größer werdenden
Anteils einer Merkmalssumme zu einem kleinen bzw.
kleiner werdenden Anteil der Merkmalsträger.
Beispiel:
In der BRD sind im Jahr 1999 80 %
der gesamten Einkommenssteuer
von 20 % der Steuerpflichtigen
erbracht worden.
8
4
Hohe Unternehmenskonzentration im
Intrahandel. Statistisches Bundesamt, 2002
Beispiel:
Ein Großteil der Umsätze im innergemeinschaftlichen
Warenverkehr (Intrahandel) wird von einer vergleichsweise
geringen Zahl von Unternehmen erwirtschaftet. So wurden
in der Versendung knapp 82 % der Umsätze durch rund 2 %
der Unternehmen erzielt. Beim Wareneingang aus anderen
EU-Staaten entfielen 78 % des Wertes auf 1 % der
einführenden Unternehmen in Deutschland.
http://www.destatis.de/presse/deutsch/pm2002/p1380181.htm:
9
Messung der absoluten Konzentration
¾ Konzentrationsrate
¾ Herfindahl-Index
10
5
Verteilungen des Gesamtumsatzes
eines Industriezweiges - Beispiel
Unternehmen
Denkbare Verteilungen des Gesamtumsatzes
A
1000
0
0
0
0
F
G
H
U1
180 100 199
U2
180 100 199
U3
150 100 199
U4
150 100 199
U5
100 100 199
U6
100 100
1
U7
40 100
1
U8
40 100
1
U9
30 100
1
U10
30 100
1
Merkmals- 1000 1000 1000 1000 2000 1000 1000 1000
summe
B
360
300
200
80
60
C
200
200
200
200
200
D
E
500 1000
140 280
130 260
120 240
110 220
11
Konzentrationsrate (concentration ratio)
¾Die Konzentrationsrate ist das Verhältnis der Teilsumme
der m größten Merkmalswerte zur gesamten
Merkmalssumme. Es wird gemessen, wie sich eine
gegebene Summe von Merkmalsausprägungen auf die
Merkmalsträger verteilt.
¾Häufige Werte von m sind 2, 3, 5, 10. Man gibt z. B. die
Aussage über die Konzentrationsrate der 2, 3, 5, 10 größten
Firmen und ihren Umsatzanteil am Branchentotal an.
Beispiel:
Die drei größten Automobilkonzerne haben einen
Umsatzanteil von 80 % des Umsatzes des gesamten
Automobilmarktes.
12
6
Konzentrationsrate (Aufsteigende Reihe)
aufsteigend geordnete Reihe der Merkmalswerte: a[1] ≤ a[2] ≤ ... ≤ a[N]
Teilsumme der m größten Merkmalswerte
1≤m≤N-1
N
Concentration
ratio
Cm =
∑a
[i]
i = N − m +1
N
∑ a [i]
=
a [i]
N
∑
i = N − m +1
i =1
∑ a [i]
=
N
∑p
[i]
i = N − m +1
i =1
Merkmalssumme
(Gesamt)
N
Anteile an Merkmalssumme
13
Konzentrationsrate (Absteigende Reihe)
absteigend geordnete Reihe der Merkmalswerte: a[1] ≥ a[2] ≥ ... ≥ a[N]
Teilsumme der m größten Merkmalswerte
1≤m≤N-1
m
Concentration
ratio
Cm =
∑a
i =1
N
∑ a [i]
i =1
Merkmalssumme
(Gesamt)
[i]
a [i]
m
=∑
i =1
m
= ∑ p [i]
N
∑a
i =1
[i]
i =1
Anteile an Merkmalssumme
14
7
Konzentrationsrate - Beispiel
Unternehmen
m
Verteilungen
A
B
U1
1000 360
U2
0 300
U3
0 200
U4
0
80
U5
0
60
Merkmals- 1000 1000
summe
m=1
1 0,36
m=2
1 0,66
m=3
1 0,86
C
D
E
200 500 1000
200 140 280
200 130 260
200 120 240
200 110 220
1000 1000 2000
0,20 0,50 0,50
0,40 0,64 0,64
0,60 0,77 0,77
Cm =
∑a
[i]
∑a
[i]
i =1
N
i =1
m
= ∑ p [i]
i =1
absteigend geordnete
Reihe der Merkmalswerte
Interpretation von C3 bei
der Verteilung B:
86 % des Gesamtumsatzes
wurde von drei
Unternehmen
erwirtschaftet.
15
Konzentrationsrate
- Vorteile und Nachteile Vorteil:
¾ rechnerisch sehr einfach
¾ leichte Interpretation
Nachteile:
¾ Subjektivität bei der Wahl von m.
¾ Durch die Beschränkung auf ein einziges, vorgegebenes m bleibt die
gesamte sonstige in der Verteilung enthaltene Information
unausgeschöpft.
¾ Wechsel der Identitäten der m größten Unternehmen im Laufe der Zeit.
16
8
Herfindahl-Index - Einzelwerte
Der Herfindahl-Index, oft auch Hirschman-Index genannt, ist für einzelne
Merkmalswerte bzw. Merkmalsanteile durch folgende Formel definiert:
Anteil an Merkmalssumme
N
N
H = ∑ p i2 =
i =1
∑ a i2
i =1
⎛
⎞
⎜ ∑ ai ⎟
⎝ i =1 ⎠
N
mit
2
p [i] =
a [i]
N
∑
i =1
a [i]
Das positive Charakteristikum dieser Kennzahl gegenüber der Konzentrationsrate
m
C m = ∑ p [i]
i =1
ist, dass alle Merkmalsträger in die Berechnung einbezogen werden.
17
Herfindahl-Index - Spezialfälle
bei maximaler Konzentration
(p1 = p2 = ... = pN-1 = 0, pN = 1)
p [N] =
a [N]
N
∑
i =1
=
a [i]
a [N]
a [N]
=1
N
H = ∑ p i2 = 0 + 0 + ... + 0 + 1 = 1
i =1
bei minimaler Konzentration; Gleichverteilung
(p1 = p2 = ... = pN = 1 / N)
N
∑
p [i] =
a [i]
N
∑
i =1
a [i]
i =1
=
N
∑
a [i]
N
i =1
a [i]
=
1
N
N
N
1
H = ∑ p i2 = ∑ ( ) 2
i =1
i =1 N
N
=∑
i =1
1
1
1
= 2 ⋅N =
2
N
N
N
18
9
Herfindahl-Index - Wertebereich
H =1
bei maximaler Konzentration (p[1] = p[2] = ... = p[N-1] = 0, p[N] = 1)
Minimum
N
H = ∑ p i2 = 0 + 0 + ... + 0 + 1 = 1
i =1
1
≤ H ≤1
N
Wertebereich:
Maximum
H=
1
N
bei minimaler Konzentration, d. h. gleichmäßiger Verteilung
der Merkmalssumme: (p[1] = p[2] = ... = p[N] = 1 / N)
N
N
N
1
1
1
1
H = ∑ p i2 = ∑ ( ) 2 = ∑ 2 = 2 ⋅ N =
N
N
N
N
i =1
i =1
i =1
19
Herfindahl-Index - Verteilung A
Unternehmen
U1
U2
U3
U4
U5
Merkmalssumme
Verteilung
A
1000
1,00
0
0,00
0
0,00
0
0,00
0
0,00
1000 HerfindahlIndex
2
p[i]
p
[i]
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
p [i] =
a [i]
N
∑
i =1
a [i]
N
H = ∑ p i2
i =1
= 12 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
20
10
Herfindahl-Index - Verteilung C
Unternehmen
U1
U2
U3
U4
U5
Merkmalssumme
Verteilung
C
2
p[i]
p
200
0,20
200
0,20
200
0,20
200
0,20
200
0,20
p [i] =
[i]
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,20
a [i]
N
∑
i =1
=
a [i]
1
N
N
H = ∑ p i2
i =1
N
⎛1⎞
= ∑⎜ ⎟
i =1 ⎝ N ⎠
2
=
1
⋅N
N2
=
1 1
= = 0,20
N 5
21
Herfindahl-Index - Verteilung B
Unternehmen
U1
U2
U3
U4
U5
Merkmalssumme
Verteilung
B
2
p[i]
p
360
0,36
300
0,30
200
0,20
80
0,08
60
0,06
[i]
0,1296
0,0900
0,0400
0,0064
0,0036
0,2696
p [i] =
a [i]
N
∑
i =1
a [i]
N
H = ∑ p i2
i =1
0,20 ≤ H ≤ 1
22
11
Herfindahl-Index - Verteilung D
Unternehmen
U1
U2
U3
U4
U5
Merkmalssumme
Verteilung
D
2
p[i]
p
500
0,50
140
0,14
130
0,13
120
0,12
110
0,11
[i]
0,2500
0,0196
0,0169
0,0144
0,0121
0,3130
p [i] =
a [i]
N
∑
i =1
a [i]
N
H = ∑ p i2
i =1
0,20 ≤ H ≤ 1
23
Herfindahl-Index - Verteilung E
Unternehmen
U1
U2
U3
U4
U5
Merkmalssumme
Verteilung
E
2
p
p[i]
1000
0,50
280
0,14
260
0,13
240
0,12
220
0,11
[i]
0,2500
0,0196
0,0169
0,0144
0,0121
0,3130
p [i] =
a [i]
N
∑
i =1
a [i]
N
H = ∑ p i2
i =1
0,20 ≤ H ≤ 1
24
12
Herfindahl-Index - Verteilung G
Unternehmen
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
Merkmalssumme
Verteilung
G
p[i]
2
p
[i]
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
100
0,10
0,0100
1000 Herfindahl0,1000
Index
a [i]
p [i] =
N
∑
a [i]
i =1
N
H = ∑ p i2
i =1
25
Herfindahl-Index - Verteilung F
Unternehmen
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
Merkmalssumme
Verteilung
F
p[i]
180
0,18
180
0,18
150
0,15
150
0,15
100
0,10
100
0,10
40
0,04
40
0,04
30
0,03
30
0,03
2
p
[i]
0,0324
0,0324
0,0225
0,0225
0,0100
0,0100
0,0016
0,0016
0,0009
0,0009
0,1348
a [i]
p [i] =
N
∑
i =1
a [i]
N
H = ∑ p i2
0,10 ≤ H ≤ 1
i =1
26
13
Herfindahl-Index - Verteilung H
Unternehmen
Verteilung
H
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
Merkmalssumme
p[i]
2
p
[i]
199
0,199
0,0396
199
0,199
0,0396
199
0,199
0,0396
199
0,199
0,0396
199
0,199
0,0396
1
0,001
0,0000
1
0,001
0,0000
1
0,001
0,0000
1
0,001
0,0000
1
0,001
0,0000
1000 Herfindahl0,1980
Index
p [i] =
a [i]
N
∑
i =1
a [i]
N
H = ∑ p i2
0,10 ≤ H ≤ 1
i =1
27
Herfindahl-Index - Vergleich
Verteilungen
UnterA
B
C
D
E
F
G
H
nehmen
U1
1000
360
200
500 1000
180
100
199
U2
0
300
200
140
280
180
100
199
U3
0
200
200
130
260
150
100
199
U4
0
80
200
120
240
150
100
199
U5
0
60
200
110
220
100
100
199
U6
100
100
1
U7
40
100
1
U8
40
100
1
U9
30
100
1
U10
30
100
1
Summe
1000
1000 1000 1000 2000
1000 1000 1000
Herfindahl1,0000 0,2696 0,2000 0,3130 0,3130 0,1348 0,1000 0,1980
Index
0,20 ≤ H ≤ 1
0,10 ≤ H ≤ 1
28
14
Zusammenhang zwischen Streuung
und Konzentration
(
)
1
1 ⎛ σ2 ⎞
2
(VC) + 1 = ⎜⎜ 2 + 1⎟⎟
H=
N
N⎝µ
⎠
VC: Variationskoeffizient
VC =
σ
µ
29
Zusammenhang zwischen Streuung und
Konzentration - Beispiel
Verteilung B
H = 0,2696
µ =1000/5= 200
1
σ 2 = ⋅ ((360 − 200)2 + (300 − 200)2
5
+ (200 − 200)2 + (80 − 200)2 + (60 − 200)2 ) = 13920
H=
(
)
⎛ 2 ⎞
1
(VC)2 + 1 = 1 ⎜⎜ σ 2 + 1⎟⎟
N
N⎝µ
⎠
1 ⎛ 13920 ⎞
H = ⋅⎜
+ 1⎟ = 0,2696
5 ⎝ 200 2
⎠
30
15
Herfindahl-Index für klassierte bzw.
gehäufte Werte
Der Herfindahl-Index ist für gehäufte Merkmalswerte bzw.
Merkmalsanteile durch folgende Formel zu berechnen:
x1
x2
h1
h2
x1·h1
x2·h2
p1
p2
...
...
...
...
xk
hk
xk ·hk
pk
Summe
k
k
H = ∑p hj =
j=1
N Gesamtsumme
pj =
k
∑x ⋅h
j=1
j
2
j
j=1
2
j
⋅hj
⎛ k
⎞
⎜ ∑ x j⋅ h j ⎟
⎜
⎟
⎝ j=1
⎠
2
xj
k
∑x ⋅h
j
j=1
j
∑x
j
31
Herleitung der Formel des HerfindahlIndex für klassierte bzw. gehäufte Werte
x1
h1
x1·h1
p1
x2
h2
x2·h2
p2
...
...
...
...
xk
hk
xk·hk
pk
Summe
N
Gesamtsumme
H = ∑p
i =1
∑x ⋅h
j
j=1
j
k
N
2
i
xj
k
Gehäufte oder klassierte Werte
Einzelwerte
N
pj =
k
k
H = ∑p = ∑p hj = ∑
i =1
2
i
j=1
2
j
j=1
x
2
j
⎛ k
⎞
⎜ ∑ x j⋅ h j ⎟
⎜
⎟
⎝ j=1
⎠
2
hj =
∑x
j=1
2
j
⋅hj
⎛ k
⎞
⎜ ∑ x j⋅ h j ⎟
⎜
⎟
⎝ j=1
⎠
2
32
16
Herfindahl-Index für klassierte Werte
-BeispielBeispiel:
Es soll die absolute Konzentration für die Bauhauptbetriebe
in MV nach ihrem Umsatz analysiert werden, (Stand 1999).
Anzahl der
Beschäftigten
Anzahl der
Betriebe
1 bis 9
10 bis 19
20 bis 49
50 bis 99
100 bis 199
200 und mehr
Summe
383
438
362
135
69
29
1416
Umsatz
1000 DM
23559
65564
148123
121159
109989
128300
596694
33
Herfindahl-Index für klassierte Werte -Beispiel
Anzahl der
Beschäftigten
Anzahl der
Betriebe (hj )
1 bis 9
10 bis 19
20 bis 49
50 bis 99
100 bis 199
200 und mehr
Summe
k
H=
∑h ⋅x
j=1
j
xj
383
23559
61,512
438
65564
149,689
362
148123
409,180
135
121159
897,474
69
109989 1594,043
29
128300 4424,138
1416
596694
Herfindahl-Index
2
j
⎞
⎛
⎜ ∑ h j⋅ x j ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝ j=1
k
Umsatz
(xj .hj )
2
x
2
j
3783,695
22406,946
167427,911
805459,714
2540974,611
19572996,433
hj .x
2
j
1449155,3
9814242,2
60608904
108737061
175327248
567616897
923553507
0,0025939
xj: durchschnittlicher Umsatz eines Betriebes der Gruppe i
xj: Umsatz der Gruppe/ Zahl der Betriebe je Gruppe
34
17
1. Aufgabe - Klausur Februar 2005
Über Investitionen, Betriebe und Beschäftigte im verarbeitenden Gewerbe
liegen Ihnen für kreisfreie Städte folgende Angaben eines Jahres vor:
Kreisfreie Stadt
Bruttoanlageinvestitionen Betriebe Beschäftigte
in Mill. Euro
Anzahl
Anzahl
Greifswald
14
25
1.700
Neubrandenburg
22
30
2.500
Rostock
34
80
6.500
Schwerin
16
40
3.800
Stralsund
Wismar
12
15
1.900
102
30
3.600
1. Berechnen Sie die Konzentrationsrate C3 für die
Bruttoanlageinvestitionen.
2. Ermitteln Sie an Hand der Maßzahl nach Herfindahl die Konzentration
bei Bruttoanlageinvestitionen sowie bei der Beschäftigtenzahl.
35
Lösung 1.1- Klausur 02. 2005
Berechnung der Konzentrationsrate C3 für die Bruttoanlageinvestitionen.
Kreisfreie Stadt
Bruttoanlageinvestitionen Betriebe Beschäftigte
in Mill. Euro
Anzahl
Anzahl
Greifswald
14
25
1.700
Neubrandenburg
22
30
2.500
Rostock
34
80
6.500
Schwerin
16
40
3.800
Stralsund
12
15
1.900
Wismar
102
30
3.600
Summe
200
C3 =(102+34+22)/(14+22+34+16+12+102)=158/200=0,79
Interpretation: 3 Städte verfügen über 158 Mill. Euro
Bruttoanlageinvestition (ca. 79 % des Totales).
36
18
Lösung 1.2- Klausur 02. 2005
Ermittlung Sie des Herfindahl-Index bei Bruttoanlageinvestitionen
sowie bei der Beschäftigtenzahl.
BruttoanlageKreisfreie Stadt investitionen
in Mill. Euro
Greifswald
14
(pi)2
Beschäftigte
Anzahl
(pi)2
0,0049
1.700
0,007225
Neubrandenburg
22
0,0121
2.500
0,015625
Rostock
34
0,0289
6.500
0,105625
Schwerin
16
0,0064
3.800
0,036100
Stralsund
12
0,0036
1.900
0,009025
Wismar
102
0,2601
3.600
0,032400
Summe
200
0,3160
20.000
0,206000
Interpretation: Bei der Beschäftigtenzahl wird mit dem Herfindahl –Index kaum
Konzentration gemessen (0,206 gegenüber 0,2), bei Bruttoanlageinvestitionen ist
schwache Konzentration feststellbar.
37
Hausarbeit: auch eine Frage der Konzentration?
38
19

Konzentrationsmaße Messung der absoluten Konzentration

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