Lineare Gleichungen lösen mit Derive

Kutzler: Lineare Gleichungen lösen mit DERIVE
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J Ist der Schnittpunkt graphisch leicht zu bestimmen? Erläutern Sie Ihre Antwort.
Die genaue Position des Schnittpunktes ist graphisch schwer zu bestimmen, weil es sich
hier um einen „schleifenden Schnitt“ zweier Geraden handelt.
J Welche zwei Ideen stecken in der graphischen Methode?
Zuerst haben wir hinausgezoomt bis wir den Schnittpunkt gesehen haben, dann haben wir
hineingezoomt, bis wir ihm nahe genug waren.
J Vergleichen Sie die Ideen der graphischen Methode mit denen der Tabellenmethode.
In beiden Fällen haben wir zuerst den Maßstab vergrößert (= hinausgezoomt), um einen
Überblick zu erhalten und dann den Maßstab in der Nähe des Schnittpunktes verkleinert
(= hineingezoomt), um eine hinreichend gute (Näherung der) Lösung zu finden.
Übung: Lösen Sie die Gleichungen aus den Übungen 1 und 2 graphisch.
5. Lineare Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen
Die bisher beschriebenen Methoden haben meist eine Näherungslösung geliefert. Eine systematische Methode zum Finden der exakten Lösung einer linearen Gleichung ist die Methode der Umformung einer Gleichung wie z.B. 5 x − 5 = 2 x + 1 in eine äquivalente Gleichung wie z.B. x = 2 . (Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösung haben.)
Da das Lösen der zweiten Gleichung trivial ist, reduziert sich das Lösen einer Gleichung auf
das Problem des Umformens in die äquivalente Gestalt x = t , wobei x in t nicht vorkommt.
(t ist eine Lösung von x = t und daher auch eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.)
q Beginnen Sie ein neues Algebra-Dokument mit Datei:Neu.
Wir beginnen mit der Untersuchung von Gleichungsumformungen:
q 5x-5=2x+1
Addieren Sie 1 zur Gleichung, indem Sie Schreiben:Ausdruck... aktivieren, mit (F4) den
markierten Ausdruck in Klammern gesetzt in die Eingabezeile kopieren, ...
q Schreiben:Ausdruck... (F4)
... und dann +1 anfügen. Vereinfachen Sie dann den dabei entstandenen Ausdruck.
q +1 (¢)
Vereinfachen:Algebraisch...
J Erklären Sie die Antwort.
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Die Antwort ist jene neue Gleichung, die entsteht, wenn man 1 zu beiden Seiten der
ursprünglichen Gleichung addiert (d.h. 5 x − 5 + 1 = 2 x + 1 + 1 ) und dann die linke Seite
5 x − 5 + 1 zu 5 x − 4 vereinfacht und die rechte Seite 2 x + 1 + 1 zu 2 x + 2 . Das Ergebnis ist
die Gleichung 5 x − 4 = 2 x + 2 .
Subtrahieren Sie als nächstes 3x (was dasselbe ist wie die Addition von –3x).
q (F4)-3x
Die drei Gleichungen #1, #3 und #5 sind äquivalent, was leicht mit der Tabellenmethode
oder graphisch nachzuweisen ist. Ganz allgemein führt die Addition einer Zahl oder eines
Ausdrucks zu beiden Seiten der Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung. Man nennt
daher die Addition eines Ausdrucks zu einer Gleichung eine Äquivalenzumformung. Den
Beweis überlassen wir einer formalen Behandlung dieses Themas.
Wir betrachten die Gleichung, mit der wir begonnen haben, nämlich #1. Diese Gleichung
ist in die Form x=... zu bringen.
J Die Addition welcher Zahl würde die Anzahl der Terme in 5 x − 5 = 2 x + 1 reduzieren?
Kandidaten dafür sind +5 und –1. Addieren Sie 5 zur Gleichung: Statt die Gleichung zu
markieren und dann mit (F4) zu kopieren, geben Sie einfach die Referenz #1 ein:
q #1 +5
Vereinfachen:Algebraisch...
Die neue Gleichung, 5 x = 2 x + 6 , hat einen Term weniger als 5 x − 5 = 2 x + 1 .
J Erklären Sie, warum ‘+5’ einen Term zum Verschwinden gebracht hat.
Auf der linken Seite der Gleichung hat die Umformung zu 5 x − 5 + 5 geführt, was weiter zu
5x vereinfacht wurde. +5 eliminiert –5, weil es sich dabei um das additive Inverse handelt.
Auf der rechten Seite steht die Zahl 6. Probieren Sie, ob man durch das additive Inverse von
+6 (nämlich –6) die Anzahl der Terme weiter reduzieren kann:
q (F4) -6
Vereinfachen Sie den Ausdruck.
Die neue Gleichung, 5 x − 6 = 2 x , hat ebensoviele Terme.
J Erklären Sie, warum –6 eine Gleichung erzeugt hat, die nicht weniger Terme hat.
Die Umformung –6 eliminiert zwar den Term +6 auf der rechten Seite aber fügt
gleichzeitig einen neuen Term auf der linken Seite ein.
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J Gehen Sie zurück zur vorletzten Umformung. Warum hat +5 keinen neuen Term
eingefügt?
Auf der rechten Seite der Gleichung hat die Umformung +5 zu 2 x + 1 + 5 geführt, was zu
2 x + 6 vereinfacht wurde. +5 „verschmolz“ mit dem Term +1.
Wir machen die letzte Umformung rückgängig, indem wir 6 addieren:
q Geben Sie (F4) +6 ein und vereinfachen Sie den Ausdruck.
Die zwei letzten Rechenschritte demonstrieren, wie ein Term (z.B. die Zahl 6) von rechts
nach links oder von links nach rechts gebracht werden kann, indem man die entsprechende
additive Inverse als Umformung verwendet. Wenn ein Term auf die andere Seite gebracht
wird, ändert er sein Vorzeichen.
J Wann reduziert eine Umformung die Anzahl der Terme?
Die Anzahl der Terme wird reduziert, wenn die Umformung auf einer Seite der Gleichung
einen Term eliminiert und auf der anderen Seite mit einem Term verschmilzt.
J Welche Umformung(en) würde(n) die Anzahl der Terme in 5 x = 2 x + 6 reduzieren?
Die Kandidaten für das Eliminieren eines Terms sind die additiven Inverse (die Negative)
der in der Gleichung vorkommenden Terme. Dies sind: -5x, -2x und –6. Von diesen
Kandidaten werden nur jene, die einen „passenden“ Term auf der anderen Seite haben, sich
mit diesem verschmelzen, daher keinen neuen Term einfügen, und insgesamt die Anzahl der
Terme reduzieren. Damit bleiben zwei Umformungen zur Wahl: -5x und -2x. Wir
versuchen letztere:
q (F4) -2x
Vereinfachen Sie den Ausdruck.
Das war ein Erfolg und wir sind nun sehr viel näher bei dem gewünschten Format x = t . Bis
hierher haben wir folgende Strategie angewandt: Durch das Addieren passender Ausdrücke
(additive Inverse von in der Gleichung vorkommenden Terme) haben wir alle Terme mit x
auf die linke Seite gebracht und alle anderen Terme auf die rechte Seite.
Wir müssen noch die Zahl 3, die vor der Variablen x steht, „loswerden“.
J Welche Umformung sollten wir dazu verwenden?
So mancher wird vielleicht vorschlagen, 3 zu subtrahieren, mit dem Argument, daß „eine 3
vor der x steht, die durch Subtrahieren von 3 wegfiele.“ Wir probieren das:
q (F4) -3
Vereinfachen Sie den Ausdruck.
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Oje! Das Ergebnis ist wieder komplizierter geworden. Die 3 vor der x ist nicht verschwunden, ja es wurde sogar ein neuer Term eingefügt. –3 ist also keine zielführende Umformung.
Hinweis für Lehrer: Für jene, die 3 subtrahieren wollten, ist das eine sehr wichtige Erfahrung. In einer Handrechnung wäre so ein Schüler zur Gleichung x = 3 gelangt mit dem
Argument: “Die linke Seite wird zu x vereinfacht, weil die Umformung ja so gewählt wurde,
daß die 3 vor der x verschwindet. Die rechte Seite ist 3, weil 6 weniger 3 die Zahl 3 gibt.” Nur
ein Test, der Lösungsteil des Schulbuches, ein Schulkollege oder der Lehrer würden auf den
Fehler hinweisen und der Schüler wüßte trotzdem noch nicht, was er/sie falsch gemacht
hat. Die Zeitspanne zwischen dem Begehen und dem Erkennen des Fehlers ist zu groß, als
daß ein Lernprozeß möglich wäre. (Wieviel würde ein Kind lernen, das seine Finger auf eine
heiße Herdplatte legt und dessen Gehirn den Schmerz erst drei Minuten später meldete?)
In der oben beschriebenen DERIVE-unterstützten Trainingseinheit würde der Schüler sofort
eine Rückmeldung erhalten, ob die gewählte Umformung zielführend war.
Machen Sie den erfolglosen Versuch rückgängig, indem Sie 3 wieder addieren:
q (F4) +3
Vereinfachen Sie.
Was sonst könnten wir tun, um die Zahl vor der Variablen x zu eliminieren?
Wir machen einige zusätzliche Experimente. Multiplizieren Sie die Gleichung mit 10.
q (F4) *10
Vereinfachen Sie.
Wird eine Gleichung mit einer Zahl multipliziert, ergibt das eine neue Gleichung. Diese
entsteht aus der ursprünglichen, indem jede Seite der Gleichung mit der Zahl multipliziert
wird. Dividieren Sie die neue Gleichung durch 5. Das ist so, als würde mit 1/5 multipliziert.
q (F4) /5
Die drei Gleichungen #17, #19 und #21 sind alle äquivalent. Das läßt sich leicht mit der
Tabellenmethode oder graphisch nachprüfen. Allgemein führt die Multiplikation mit oder
die Division durch einen von Null verschiedenen Ausdruck zu einer äquivalenten Gleichung und ist daher eine Äquivalenzumformung. Wieder überlassen wir den entsprechenden Beweis einer formalen Behandlung dieses Themas.
Zurück zur Gleichung 3x = 6 , welche wir neu eingeben oder aus der vorherigen mittels
Division durch 2 erzeugen:
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