integração: riemann e lebesgue, um estudo comparativo

Transcrição

TRABALHO DE GRADUAÇÃO
INTEGRAÇÃO: RIEMANN E LEBESGUE, UM ESTUDO COMPARATIVO
ALESSANDRA PISKE
JOINVILLE, 2013
ALESSANDRA PISKE
INTEGRAÇÃO: RIEMANN E LEBESGUE, UM ESTUDO
COMPARATIVO
Trabalho de Graduação apresentado ao
Curso de Licenciatura em Matemática
do Centro de Ciências Tecnológicas,
da Universidade do Estado de Santa
Catarina, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Licenciatura em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. José Rafael
Santos Furlanetto
JOINVILLE, SC
2013
P677i
Piske, Alessandra
Integração: Riemann e Lebesgue, um estudo comparativo /
Alessandra Piske - 2013.
143.: il.
Bibliografia: p. 137
Trabalho de Graduação
Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de
Ciências Tecnológicas, Curso de Licenciatura em
Matemática, Joinville, 2013.
Orientador: José Rafael Santos Furlanetto
1. Integral de Riemann. 2. Integral de Lebesgue.
3. Continuidade. 4. Função mensurável. 5. Limite.
I. Furlanetto, J. R. S. II. Integração: Riemann e Lebesgue, um estudo comparativo
CDD: 515
Agradecimentos
Pensei em tantas pessoas e jeitos para agradecer, mas escrever
é uma tarefa mais complicada do que se pensa.
Agradeço a Deus que me deu a vida, a capacidade, as oportunidades e as condições físicas e psicológicas que permitiram a conclusão
desse trabalho.
Agradeço à minha mãe pelo amor, carinho, proteção, educação
e pelas tantas vezes que me fez massageá-la "cantando" a tabuada. À
minha irmã por seu carinho, pelos momentos em que cuidou de mim,
que me ajudou nas tarefas e por ter me dado o prazer de ser tia. Agradeço também aos meus familiares que estiveram ao meu lado, uma pena
não ser mais possível agradecer a duas pessoas tão especiais.
Durante a nossa vida, conhecemos várias pessoas, algumas delas se tornam mais do que amigos e, sem dúvidas, eu não poderia deixar
de agradecer às minhas queridas amigas Graziele e Júlia que, embora
nos desencontremos, sempre arranjamos um tempinho para irmos ao
cinema, almoçarmos juntas e sairmos para colocar o papo em dia. Agradeço a Valesca que eu posso passar tempos sem ver, mas quando a vejo
é como se tivessemos nos visto no dia anterior. Não posso deixar de
agradecer ao Matheus que entrou na minha vida por acaso e se fez um
grande amigo e irmão.
Muitas vezes tive medo de estar sozinha, mas eu vi que no meu
curso isso não é possível. Agradeço a Sabrina, a Manu, a Jo, a Nathi,
a Fran, a Tamara e as meninas de estágio por tornarem os meus dias
na UDESC muito divertidos, inclusive aqueles em que eu estou tão
rabugenta.
Eu não lembro por quantos professores eu já passei, mas com
certeza todos eles me ensinaram muito e me inspiraram a escolher essa
profissão. Gostaria de agradecer a Professora Elisandra pela sua dedicação, por acreditar em mim e pela sua amizade. Agradeço ao Professor
José Rafael por me orientar mesmo antes de eu estar matriculada na disciplina de TGR, pela sua paciência e dedicação. Agradeço a Professora
Patricia pela sua amizade e por ter aceito avaliar meu trabalho. Agradeço ao Professor Rodrigo pela sua ajuda em meu trabalho e também
por aceitar ser banca deste. Agradeço também a todos os professores
que colaboraram com a minha formação.
Agradeço ao Alexandre que, por muita boa vontade, me ajudou
com o Latex e ao Bruno por ter lido o meu TGR. Agradeço ao Sandro,
a Nayra e ao Viktor por terem me auxiliado quando eu solicitei e por
terem aturado os meus momentos de paranoia.
"Prioridades corretas e uma boa administração do tempo exigem uma
consciência de que hoje é o único
momento que temos para agir. O
passado é irrevogavelmente findo, e
o futuro é apenas uma possibilidade."
Dorothy Kelley Patterson
Resumo
PISKE, Alessandra. Integração: Riemann e Lebesgue, um
estudo comparativo. 2013. 143p.. Trabalho de Conclusão de
Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2013.
O presente trabalho tem por objetivo o estudo rigoroso das integrais de Riemann e Lebesgue, definindo-as e analisando os resultados decorrentes de suas definições a fim de compará-las.
A primeira integral permite, apenas, que funções contínuas em
quase todo ponto de seu domínio sejam integráveis, enquanto a
segunda, baseada na teoria de medida, exige que a função seja
mensurável e que possua integral finita para que seja integrável.
Sabe-se que a Integral de Lebesgue é uma generalização da Integral de Riemann. Com essa ideia, além de formalizá-las, este
trabalho tem por objetivo mostrar as vantagens que existem de
uma sobre a outra, especialmente as que se referem a integrabilidade de funções e a troca do limite com o sinal de integral,
e de que forma a Integral de Riemann é um caso particular da
Integral de Lebesgue.
Palavras-chave: Integral de Riemann. Integral de Lebesgue.
Continuidade. Função mensurável. Limite.
Abstract
PISKE, Alessandra. Integration: Riemann and Lebesgue,
a comparative study. 2013. 143p.. Work of Course Conclusion (Graduate Degree in Mathematics) - Santa Catarina State
University, Joinville, 2013.
The present work aims to rigorous study of Riemann’s and Lebesgue’s integrals, defining them, and analyzing the results due to
their definitions in order to compare them. The first integral allows only that continuous functions on almost everywhere of its
domain are integrable, while the second, based on the measure
theory, requires that the function has measurable and has finite
integral to be integrable. It is known that the Lebesgue Integral
is a generalization of the Riemann integral. With this idea, beyond formalize them, this work has as objective show that there
are advantages of one over the other, especially those concerning
the integrability of functions and exchange the limit with the
integral sign, and how the Riemann integral is a special case of
Lebesgue Integral.
Key-words: Riemann Integral. Lebesgue Integral. Continuity.
Measurable Function. Limit.
Lista de ilustrações
Figura 1 – s(f ; P ) = 21.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Figura 2 – S(f ; P ) = 24.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 3 – s(f ; Q) = 22.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
30
Figura 4 – S(f ; Q) = 23.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R7
Figura 5 – 1.1 ln(x3 )dx = 22.85 . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Figura 6 – Sequência de funções conforme Lema 2.5 . . . . . .
35
90
Lista de símbolos
N
Conjunto dos números naturais
Q
Conjunto dos números racionais
R
Conjunto dos números reais
Cn
Conjunto das funções contínuas com derivadas contínuas até ordem n.
Sumário
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 A INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1
GEORG RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2
CONCEITOS INICIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3
INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.4
CÁLCULO COM INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . .
50
1.5
O LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN . . . . . . . . .
59
1.6
O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS . . . . . .
64
1.7
SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES . . . . . . . . . . . . . .
68
1.8
PASSAGEM AO LIMITE SOB INTEGRAL . . . . . . .
72
2 FUNÇÕES MENSURÁVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 A INTEGRAL DE LEBESGUE
. . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1
HENRI LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2
INTEGRAL DE LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3
FUNÇÕES INTEGRÁVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4
TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA . . . 125
5 A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . 129
5.1
A INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2
A INTEGRAL DE LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3
LEBESGUE GENERALIZA RIEMANN . . . . . . . . . 131
CONCLUSÃO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Anexos
139
ANEXO A TEOREMAS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . 141
ANEXO B CONJUNTO DE CANTOR . . . . . . . . . . . . . 143
19
INTRODUÇÃO
Durante a graduação, o estudo de integrais está concentrado
no que se refere ao cálculo, para complementar a formação matemática
surgiu a necessidade de formalizar o conceito de Integral. Com essa
ideia, pretende-se, com este trabalho, formalizar a Integral de Riemann,
com a qual os estudos desenvolvidos durante o curso foram embasados,
e em seguida definiremos a Integral de Lebesgue.
A teoria que formaliza a integral com a qual já tivemos contato,
chamada Integral de Riemann, requer muitas condições para o seu desenvolvimento. Em contrapartida, a Integral de Lebesgue, baseada na
Teoria de Medida, exige menos condições para desenvolver um estudo
e, por esse motivo, é mais vantajosa em relação a Integral de Riemann.
Nesse sentido, existem funções que são Lebesgue-integráveis, mas não
são Riemann-integráveis. Dessa forma, estudar-se-ão as Integrais de Riemann e de Lebesgue a fim de compreendê-las e compará-las.
A principal comparação que busca-se fazer, neste trabalho, é
a que existe entre o Teorema de Passagem ao Limite sob o Sinal de
Integral, para a Integral de Riemann, e o Teorema da Convergência
Dominada, para a Integral de Lebesgue. Esses dois teoremas nos fornecem o mesmo resultado, porém sob condições diferentes. Além disso,
sabe-se que a Integral de Riemann é um caso particular da Integral de
Lebesgue, mas de que forma e sob que condições isso é verdade?
Este trabalho está dividido da seguinte forma: no Capítulo 1
será formalizada a Integral de Riemann. No Capítulo 2 será iniciado o
estudo de Funções Mensuráveis, no Capítulo 3 será definida Medida, no
Capítulo 4 será apresentada, definida e estudada a Integral de Lebesgue.
Finalmente, no Capítulo 5, as duas integrais serão comparadas e será
provado que, de fato, a Integral de Riemann é um caso particular da
20
Introdução
Integral de Lebesgue. Ao final, serão adicionadas as conclusões deste
trabalho.
21
1 A INTEGRAL DE RIEMANN
Durante a graduação, o estudo de integrais se restringiu ao
cálculo da Função Primitiva e mais tarde o uso de limites de somas
de Riemann, porém a Integral de Riemann não foi formalizada. Neste
capítulo pretende-se definir a Integral de Riemann, estudar os teoremas
e as suas demonstrações, procurando analisar as condições necessárias
para obtê-los. A fim de estudá-la será utilizado o livro de Lima (2012).
1.1 GEORG RIEMANN
Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu no ano de 1826, na
cidade de Hanover e, em virtude de uma tubercolose, faleceu em 1866
na Itália. Estudou na Universidade de Berlim e obteve o grau de Doutor
na Universidade de Göttingen.
Riemann fez grandes contribuições para a Matemática, como as
equações diferencias de Cauchy-Riemann, as superfícies de Riemann, a
geometria riemanniana e a função zeta de Riemann, além disso, dentre
os Problemas de Hilbert se encontra a Hipótese de Riemann que ainda
está em aberto.
Com respeito ao trabalho de Riemann, nesta monografia vamos
tratar apenas da Integral de Riemann, que é a mais conhecida integral
nos cursos de graduação (EVES, 2004).
1.2 CONCEITOS INICIAIS
A definição de Integral de Riemann está alicerçada nos conceitos de supremo e ínfimo de uma função em um intervalo. Assim, para
demonstrar os teoremas, usaremos o fato de que o supremo M de uma
função limitada f : X → R é um número real que deve satisfazer:
Capítulo 1. A INTEGRAL DE RIEMANN
22
i. Para todo x ∈ X, f (x) 6 M ;
ii. Se c < M então existe f (x) ∈ f (X) tal que c 6 f (x).
De modo análogo, o ínfimo m de uma função limitada f : X → R é um
número real que deve satisfazer:
i. Para todo x ∈ X, f (x) > m;
ii. Se c > m então existe f (x) ∈ f (X) tal que c > f (x).
Observação 1.1. Se a função f : [a, b] → R é contínua então, pelo
Teorema de Weierstrass (A.1), existem x0 , x1 ∈ [a, b] tais que f (x0 ) 6
f (x) 6 f (x1 ) para todo x ∈ [a, b], pois [a, b] é compacto, isto é, a função
atinge valores de máximo e mínimo em [a, b]. Isso vale para as restrições
de f aos intervalos da partição, que são compactos.
Os lemas a seguir são necessários para demonstrar os resultados
decorrentes da definição de Integral de Riemann.
Lema 1.1. Sejam A, B ⊂ R tais que para todo x ∈ A e para todo
y ∈ B se tenha x 6 y. Então
i. sup A 6 inf B.
ii. sup A = inf B se, e somente se, ∀ε > 0 existem x ∈ A e y ∈ B
com y − x < ε.
Demonstração:
i. Suponha que para todo x ∈ A e para
todo y ∈ B sempre se tenha x 6 y. Assim, pela definição de cota
superior, todo y ∈ B é uma cota superior do conjunto A, em particular,
sup A 6 y, pois sup A é a menor das cotas superiores de A. Logo,
inf (sup A) 6 inf y
B
B
E portanto,
sup A 6 inf B.
1.2. CONCEITOS INICIAIS
23
ii. (⇐) Suponha que ∀ε > 0 existem x ∈ A e y ∈ B com y − x < ε.
Já provamos que sup A 6 inf B, então vamos supor por absurdo que
sup A < inf B. Pela relação de ordem, temos que existe ε > 0 tal que
ε = inf B − sup A. Sabemos que, para todo x ∈ A e todo y ∈ B,
x 6 sup A e inf B 6 y, assim
x 6 sup A < inf B 6 y
Logo, y − x > ε, o que contradiz a hipótese. Portanto, se y − x < ε
então sup A = inf B.
(⇒) Suponha que sup A = inf B. Como sup A é a menor cota superior
ε
de A, para qualquer ε > 0 temos sup A − não é cota superior de A,
2
ε
assim existe x ∈ A tal que sup A − < x < sup A. De modo análogo,
2
ε
para qualquer ε > 0, inf B + não é cota inferior de B, assim existe
2
ε
y ∈ B tal que inf B < y < inf B + .
2
Por hipótese sup A = inf B, então
sup A −
ε
ε
< x < sup A = inf B < y < inf B +
2
2
Logo,
y − x < inf B +
E, portanto,
ε ε
− sup A −
2
2
y−x<ε
O item (i) desse Lema é bastante natural, já o item (ii) nos diz
que a fim de que sup A = inf B é necessário, e suficiente, que sempre
seja possível encontrar elementos em A e em B tais que a distância
entre eles é tão pequena quanto se queira.
Lema 1.2. Sejam A, B ⊂ R conjuntos limitados e c ∈ R, então os con-
juntos A + B = {x + y; x ∈ A e y ∈ B} e c · A = {c · x; x ∈ A e c ∈ R}
também são limitados. Além disso,
i. inf(A + B) = inf A + inf B e sup(A + B) = sup A + sup B.
24
ii. Se c > 0, então inf(c · A) = c · inf A e sup(c · A) = c · sup A, caso
contrário inf(c · A) = c · sup A e sup(c · A) = c · inf A.
Demonstração: i. Suponha A e B conjuntos limitados. Assim, existem a, b tais que a = inf A e b = inf B. Pela definição de ínfimo,
para todo x ∈ A e todo y ∈ B temos x > a e y > b, logo x + y > a + b
e, então, a + b é cota inferior de A + B. Como a = inf A então, para
ε
qualquer ε > 0, a + não é cota inferior de A, pois a é a menor delas.
2
ε
Do mesmo modo b + não é cota inferior de B. Desta forma, existem
2
ε
ε
x ∈ A e y ∈ B tais que a 6 x 6 a + e b 6 y 6 b + . Então
2
2
x + y 6 a + b + ε, ou seja, para qualquer ε > 0 temos que a + b + ε não é
cota inferior de A + B, portanto a + b é a maior cota inferior de A + B
e, assim, inf(A + B) = inf A + inf B e A + B é limitado inferiormente.
De modo análogo temos que sup(A + B) = sup A + sup B. Com isso,
concluímos que A + B é um conjunto limitado.
ii. Suponha A limitado. Assim, existe a tal que a = inf A, ou seja, para
todo x ∈ A temos x > a.
Para c = 0 o conjunto c · A = {0}, e portanto inf(0 · A) = 0 = 0 · inf A.
Se c > 0, então c · x > c · a para todo x ∈ A, logo c · a é cota inferior de
d
c · A. Tome d tal que d > c · a, então a < e, como a = inf A, existe
c
d
x ∈ A tal que a < x < , então c · a < c · x < d, assim d não é cota
c
inferior de c · A e c · a é a maior delas. Portanto, inf(c · A) = c · inf A.
A demonstração para sup(c · A) = c · sup A é feita de modo análogo.
Se c < 0 e a = sup A então, pela definição de supremo, para todo x ∈ A
temos x 6 a, assim, c · a 6 c · x, deste modo c · a é cota inferior de c · A.
d
Tome d tal que d > c · a, então < a, como a = sup A, existe x ∈ A
c
d
tal que 6 x 6 a, assim c · a 6 c · x 6 d e d não é cota inferior de c · A.
c
Portanto, inf(c·A) = c·sup A. A demonstração para sup(c·A) = c·inf A
é feita de modo análogo.
Com isso provamos que o conjunto c · A é limitado.
1.2. CONCEITOS INICIAIS
25
O Lema que acabamos de provar em comunhão com o Corolário
que segue serão muito importantes para as demonstrações que faremos
no estudo de integrais, uma vez que a definição desse conceito está
associada ao supremo e ínfimo de uma função em um intervalo.
Corolário 1.1. Sejam f, g : X → R funções limitadas. Então para
todo c ∈ R as funções f + g : X → R e c · f : X → R são limitadas.
Além disso,
i. sup(f + g) 6 sup f + sup g, inf(f + g) > inf f + inf g.
ii. Se c > 0, temos sup(c · f ) = c · sup f e inf(c · f ) = c · inf f . Caso
contrário, sup(c · f ) = c · inf f e inf(c · f ) = c · sup f .
Demonstração: Para demonstrar este corolário, tome
A = f (X) = {f (x); x ∈ X} e B = g(X) = {g(x); x ∈ X} .
i. Sejam C = (f + g)(X) = {f (x) + g(x); x ∈ X} e, como no Lema
anterior, A + B = {f (x) + g(y); f (x) ∈ f (X) e g(y) ∈ g(X)}. Posto
isso, fica claro que C ⊂ A + B, pois um elemento f (x) + g(x) ∈ C
também pertence a A + B, então inf C > inf(A + B) e sup C 6
sup(A + B). Mas pelo Lema 1.2 temos que inf(A + B) = inf A + inf B
e sup(A + B) = sup A + sup B. Portanto, inf(f + g) > inf f + inf g e
sup(f + g) 6 sup f + sup g.
ii. Para c > 0, segue do Lema 1.2 que inf(c·f ) = inf {c · f (x); x ∈ X} =
inf(c · A) = c · inf A = c · inf f e, de modo análogo, sup(c · f ) = c · sup f .
E para c < 0, inf(c · f ) = inf {c · f (x); x ∈ X} = inf(c · A) = c · sup A =
c · sup f e, de modo análogo, sup(c · f ) = c · inf f .
Lema 1.3. Dada f : X → R limitada. Sejam m = inf f , M =
sup f e ω = M − m, chamada de oscilação de f em X. Então ω =
sup {|f (x) − f (y)| ∀x, y ∈ X}.
26
Demonstração: Tome x, y ∈ X arbitrários e suponha f (x) >
f (y). Assim, m 6 f (y) 6 f (x) 6 M , pois m e M são ínfimo e supremo
de f , desta forma |f (x) − f (y)| 6 M −m = ω, ou seja, ω é cota superior
de {|f (x) − f (y)| ∀x, y ∈ X}.
ε
Além disso, para todo ε > 0, existem x, y ∈ X tais que f (x) > M − e
2
ε
f (y) > m + , pois M e m são supremo e ínfimo de f , respectivamente.
2
Assim,
|f (x) − f (y)| 6 f (x) − f (y) < M − m − ε = ω − ε
Portanto,
ω = sup {|f (x) − f (y)| ∀x, y ∈ X} .
A oscilação de uma função é um importante conceito para obtermos uma relação que nos facilitará as provas, especialmente, as que
se referem a integrabilidade de funções. E esse Lema será bastante utilizado nas demonstrações em que não podemos garantir que a função
atinja os valores de máximo e mínimo, sendo necessário tomar o supremo de todas as diferenças possíveis entre todos os valores - dois a
dois - que a função atinge em um intervalo.
Lema 1.4. Sejam A′ ⊂ A e B ′ ⊂ B conjuntos limitados de números
reais. Se para cada a ∈ A e cada b ∈ B existem a′ ∈ A′ e b′ ∈ B ′ tais
que a 6 a′ e b′ 6 b, então sup A′ = sup A e inf B = inf B ′ .
Demonstração: Suponha que para cada b ∈ B exista b′ ∈ B ′
tal que b′ 6 b e B ′ ⊂ B. Sendo assim, inf B é cota inferior de B ′ . Tome
c > inf B, então c não é cota inferior de B e, pela definição de ínfimo,
existe b ∈ B tal que inf B 6 b < c. Mas, por hipótese, existe b′ ∈ B ′ tal
que b′ 6 b < c, então c também não é cota inferior de B ′ . Logo, inf B
é a menor cota inferior de B ′ e, portanto, inf B = inf B ′ . De modo
análogo, temos sup A′ = sup A.
1.3. INTEGRAL DE RIEMANN
27
Definição 1.1. Uma partição de um intervalo [a, b] é um subconjunto
finito de pontos P = {t0 , t1 , ..., tn } ⊂ [a, b] tal que a ∈ P e b ∈ P , sendo
a = t0 e b = tn e, além disso, a = t0 < t1 < ... < tn = b.
E usaremos as seguintes notações. Dada uma função f : [a, b] →
R, então
m = inf{f (x); x ∈ [a, b]} e M = sup{f (x); x ∈ [a, b]}.
Se tomarmos f |[ti−1 , ti ], chamada restrição de f ao i-ésimo intervalo da partição, então podemos tomar o ínfimo e supremo da função
neste intervalo e denotaremos da seguinte forma:
mi = inf {f (x); x ∈ [ti−1 , ti ]} e Mi = sup{f (x); x ∈ [ti−1 , ti ]}.
Além das definições de ínfimo e supremo de uma função, no
Lema 1.3, definimos a oscilação de uma função no intervalo [a, b]. Se
tomarmos a restrição de f ao i-ésimo intervalo denotaremos a oscilação
neste intervalo como ωi = Mi − mi e, além disso,
ωi = sup {|f (x) − f (y)| ∀x, y ∈ [ti−1 , ti ]}.
Provados os lemas anteriores e fixadas essas notações podemos
definir a integral de Riemann.
1.3 INTEGRAL DE RIEMANN
Além da definição de Função Primitiva, a integral foi vista
como uma ferramenta para calcular áreas delimitadas por uma função, e
é essa noção inicial de Integral de Riemann. Nesse sentido, vamos definir
a soma inferior e a superior de uma função limitada f : [a, b] → R:
Definição 1.2. A soma inferior relativamente à partição P é o valor
s(f ; P ) = m1 (t1 − t0 ) + ... + mn (tn − tn−1 ) =
n
X
i=1
mi (ti − ti−1 ).
28
A Figura abaixo representa uma Soma Inferior relativa a partição P = {1.1, 1.69, 2.28, 2.87, 3.46, 4.05, 4.64, 5.23, 5.82, 6.41, 7} para
a função f (x) = ln(x3 ) definida no intervalo [1.1, 7] e, utilizando um
software matemático, resulta em s(f ; P ) = 21.15.
Figura 1 – s(f ; P ) = 21.15
Definição 1.3. A soma superior relativamente à partição P é o valor
S(f ; P ) = M1 (t1 − t0 ) + ... + Mn (tn − tn−1 ) =
n
X
i=1
Mi (ti − ti−1 ).
A Figura abaixo representa uma Soma Superior relativa a partição P = {1.1, 1.69, 2.28, 2.87, 3.46, 4.05, 4.64, 5.23, 5.82, 6.41, 7} para
a função f (x) = ln(x3 ) definida no intervalo [1.1, 7] e, utilizando um
software matemático, resulta em S(f ; P ) = 24.42.
Observe que, em módulo, a soma inferior s(f ; P ) representa um
valor aproximado, por falta, da área da região limitada pela função f e
a soma superior S(f ; P ) representa um valor aproximado, por excesso,
da mesma área.
A partição escolhida nas figuras 1 e 2 possui intervalos de comprimentos iguais, no entanto isso não é necessário. Observando essas
figuras é fácil notar que s(f ; P ) 6 S(f ; P ), como formaliza a observação abaixo.
29
Figura 2 – S(f ; P ) = 24.42
Observação 1.2. Como [ti−1 , ti ] ⊂ [a, b], então m 6 mi 6 Mi 6 M .
Desta forma, m(b − a) 6 s(f ; P ) 6 S(f ; P ) 6 M (b − a). Ou seja, a
soma inferior relativa a uma partição é sempre menor ou igual do que
a soma superior relativa a mesma partição.
Agora observe a soma inferior e a superior, para a partição Q,
com n = 30 intervalos, tal que
Q
= {1.1, 1.29, 1.49, 1.69, 1.89, 2.08, 2.28, 2.48, 2.67, 2.87, 3.07, 3.26,
3.46, 3.66, 3.85, 4.05, 4.25, 4.44, 4.64, 4.84, 5.03, 5.23, 5.43, 5.62,
5.82, 6.02, 6.21, 6.41, 6.61, 6.8, 7} .
Temos que s(f ; Q) = 22.3 e S(f ; Q) = 23.39. Perceba que
P ⊂ Q, nesse caso, dizemos que Q refina P e claramente vemos que
s(f ; P ) 6 s(f ; Q) 6 S(f ; Q) 6 S(f ; P ). Nesse sentido, segue o Teorema.
Teorema 1.1. Quando se refina uma partição, a soma inferior não
diminui e a soma superior não aumenta. Ou seja, se P ⊂ Q então
s(f ; P ) 6 s(f ; Q) e S(f ; Q) 6 S(f ; P ).
30
Figura 3 – s(f ; Q) = 22.3
Figura 4 – S(f ; Q) = 23.39
Seja P = {t0 , t1 , ..., tn } uma partição de
Demonstração:
[a, b] e suponha Q uma partição do mesmo intervalo que refine P de tal
modo que Q = P ∪ {t′ }, assim existe algum i tal que t′ ∈ [ti−1 , ti ], ou
seja, Q = {t0 , ..., ti−1 , t′ , ti , ..., tn }.
Sejam Mi o supremo da função f no intervalo [ti−1 , ti ] da partição P e
M ′ e M ′′ os supremos de f no intervalos [ti−1 , t′ ] e [t′ , ti ], respectivamente, da partição Q. Posto isso, temos
S(f ; P ) − S(f ; Q) =
Pn
j=1
Mj (tj − tj−1 ) −
Pi−1
j=1
Mj (tj − tj−1 ) −
M ′ (t′ − ti−1 ) − M ′′ (ti − t′ ) −
31
Pn
j=i
Mj (tj − tj−1 )
Logo,
S(f ; P ) − S(f ; Q) = Mi (ti − ti−1 ) − M ′ (t′ − ti−1 ) − M ′′ (ti − t′ )
Somando Mi t′ − Mi t′ na expressão acima e a manipulando, convenientemente, podemos escrevê-la assim
S(f ; P ) − S(f ; Q) = (Mi − M ′′ )(ti − t′ ) + (Mi − M ′ )(t′ − ti−1 )
Mas como [ti−1 , t′ ] e [t′ , ti ] estão contidos em [ti−1 , ti ], então M ′ 6 Mi
e M ′′ 6 Mi . Além disso, t′ 6 ti e ti−1 6 t′ . Logo,
S(f ; P ) − S(f ; Q) > 0
Portanto,
S(f ; Q) 6 S(f ; P ).
Dessa forma provamos que se adicionarmos um ponto à partição P ,
temos S(f ; Q) 6 S(f ; P ). Se adicionarmos n pontos a ela, o procedimento é o mesmo.
Demonstramos que s(f ; P ) 6 s(f ; Q) de modo análogo.
O Teorema 1.1 nos diz que quando tomamos uma partição inicial e a divimos em mais intervalos, preservando os pontos originais,
mais aproximadas estarão a soma inferior e a superior da área, quando
a função for não negativa, da região limitada pela função f . Com base
nessa ideia, iremos definir (na Definição 1.4) a integral inferior e a
superior de uma função.
Corolário 1.2. Para quaisquer partições P e Q de [a, b] e qualquer
função limitada f : [a, b] → R tem-se s(f ; P ) 6 S(f ; Q).
32
Suponha f limitada e P e Q partições de
Demonstração:
[a, b]. Tome a partição P ∪ Q, que refina P e Q. Pelo teorema anterior
e pela Observação 1.2, temos
s(f ; P ) 6 s(f ; P ∪ Q) 6 S(f ; P ∪ Q) 6 S(f ; Q).
Portanto, s(f ; P ) 6 S(f ; Q) para quaisquer partições P, Q de [a, b].
O Corolário 1.2 amplia a Observação 1.2, pois nos diz que para
todas as partições possíveis de um intervalo [a, b] a soma inferior é sempre menor ou igual do que a soma superior independente das partições
que tomarmos.
Definição 1.4. Seja f : [a, b] → R uma função limitada, então
i. A integral inferior é definida por
Z
b
f (x)dx = sup s(f ; P )
P
a
ii. A integral superior é definida por
Z¯ b
f (x)dx = inf S(f ; P )
P
a
onde sup e inf são tomados em relação a todas as partições P do intervalo [a, b].
É intuitivo que, como as integrais superior e inferior são definidas com base no supremo e ínfimo de uma função, a integral inferior
seja menor ou igual a integral superior, e assim formaliza o próximo
corolário.
Corolário 1.3. Dada f : [a, b] → R então
m(b − a) 6
Z
b
f (x)dx 6
a
Z¯ b
a
f (x)dx 6 M (b − a)
33
Demonstração: Sejam A = {s(f ; P ); P é partição} e B =
{S(f ; Q); Q é partição}. Pela definição desses conjuntos e pela Defini-
ção 1.4 sabemos que
sup A = sups(f ; P ) =
P
Z
inf B = inf S(f ; Q) =
Q
b
f (x)dx e
a
Z¯ b
f (x)dx
a
E pelo Corolário 1.2 sabemos que, para quaisquer partições P e Q,
sempre temos
s(f ; P ) 6 S(f ; Q)
Então, pelo Lema 1.1, sups(f ; P ) 6 inf S(f ; Q), ou seja,
Q
P
Z
Além disso, m(b − a) 6
b
f (x)dx 6
a
Rb
a
Observação 1.2. Portanto,
m(b − a) 6
Z
f (x)dx
a
f (x)dx e
R¯b
b
f (x)dx 6
a
Z¯ b
a
f (x)dx 6 M (b − a) ocorrem pela
Z¯ b
a
f (x)dx 6 M (b − a)
A Definição 1.4, nos diz que para encontrarmos o valor da integral superior e da inferior de uma função f : [a, b] → R é necessário
tomar um supremo e um ínfimo relativos a todas as partições que existem para o intervalo [a, b], no entanto não é preciso tomar todas essas
partições, pois o corolário abaixo nos garante isso.
Corolário 1.4. Seja P0 uma partição de [a, b]. Se considerarmos as
somas s(f ; P ) e S(f ; P ) relativas às partições P que refinam P0 obteRb
R¯b
remos os mesmos valores para a f (x)dx e a f (x)dx.
Demonstração: Sejam A = {s(f ; Q); Q é partição}, que é
o conjunto das somas inferiores relativas a todas as partições, e A′ =
34
{s(f ; P ); P é partição e P0 ⊂ P }, logo A′ ⊂ A pois P é partição.
Para todo s(f, Q) ∈ A existe, pelo Teorema 1.1, s(f ; P ) ∈ A′ tal que
s(f ; Q) 6 s(f ; P )
basta tomar P = P0 ∪ Q, que refina P0 e Q.
Sendo assim o Lema 1.4 nos garante que sup A = sup A′ , pois A′ ⊂ A,
isto é,
Z b
sups(f ; P ) = sups(f ; Q) =
f (x)dx
P
Q
a
Analogamente, provamos que obtemos os mesmos valores para
independente da partição que tomarmos.
R¯b
a f (x)dx
De fato, o Corolário 1.4 nos diz que não precisamos tomar todas
as partições do intervalo [a, b] para obtermos os valores da integral
inferior e da superior, basta tomar uma partição e refiná-la.
Definição 1.5. Uma função limitada f : [a, b] → R é Riemann integrável quando
Z¯ b
Z b
f (x)dx =
f (x)dx.
a
a
E a esse valor chamamos de Integral de Riemann da função e denotamos por
Z b
f (x)dx.
a
Quando definimos a Soma Inferior e a Superior falamos de área,
nesse sentido, dizer que uma função não negativa é integrável implica
em dizer que a região delimitada pela função possui área, se a função
também assumir valores negativos, devemos considerar o módulo dessa
função. Além disso, desta definição segue que
Z
a
b
f (x)dx = sup s(f ; P ) = inf S(f ; P )
P
P
e isso pode nos ser útil para as próximas demonstrações.
35
Figura 5 –
R7
1.1
ln(x3 )dx = 22.85
Na Figura 5, temos a representação gráfica da Integral da função ln(x3 ) e com o auxílio de um software, temos que
Z
7
ln(x3 )dx = 22.85.
1.1
Pelos comentários das Figuras 1, 2, 3 e 4 temos
s(f ; P ) 6 s(f ; Q) 6
Z
7
ln(x3 )dx 6 S(f ; Q) 6 S(f ; P ).
1.1
Isso acontece sempre que Q ⊂ P , pois o Corolário 1.3 nos diz que
Z
b
f (x)dx 6
a
Z¯ b
f (x)dx.
a
Mas definimos a Integral Inferior e a Superior como
Z
b
f (x)dx = sup s(f ; P ) e
a
P
Z¯ b
a
P
Assim, pela definição de supremo e ínfimo, para qualquer partição P ,
temos
Z¯ b
Z b
f (x)dx 6
f (x)dx 6 S(f ; P )
s(f ; P ) 6
a
a
36
E o Teorema 1.1 nos diz que quando Q ⊂ P , temos que a soma inferior
não diminui e a superior não aumenta, então temos
s(f ; P ) 6 s(f ; Q) 6
Z
b
f (x)dx 6
a
Z¯ b
f (x)dx 6 S(f ; Q) 6 S(f ; P )
a
Além disso, pela Definição de Integrabilidade segue que
Z b
s(f ; P ) 6 s(f ; Q) 6
f (x)dx 6 S(f ; Q) 6 S(f ; P ).
a
Assim, o que se observa pelas imagens, vale para qualquer função integrável e para partições tais que P ⊂ Q.
Teorema 1.2 (Condição imediata de integrabilidade). Seja f : [a, b] →
R uma função limitada. Então as seguintes afirmações são equivalentes:
i. f é integrável.
ii. Para todo ε > 0, existem partições P, Q de [a, b] tais que S(f ; Q)−
s(f ; P ) < ε.
iii. Para todo ε > 0, existe uma partição P = {t0 , t1 , ..., tn } de [a, b]
Pn
tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) = i=1 ω(ti − ti−1 ) < ε.
Demonstração: (i⇒ii) Suponha f integrável e sejam A =
{s(f ; P ); P é partição} e B = {S(f ; Q); Q é partição} . Pelo Corolário
1.2, para quaisquer partições P e Q sempre temos
s(f ; P ) 6 S(f ; Q)
Mas como f é integrável, então sup A = inf B. E, pelo ítem (ii) do
Lema 1.1, para todo ε > 0 existem partições P e Q tais que S(f ; Q) −
s(f ; P ) < ε.
(ii⇒iii) Suponha que para todo ε > 0 existem partições P e Q tais que
S(f ; Q) − s(f ; P ) < ε. Tome P0 = P ∪ Q, que refina P e Q. Então, pelo
Teorema 1.1,
s(f ; P ) 6 s(f ; P0 ) 6 S(f ; P0 ) 6 S(f ; Q)
37
Como S(f ; Q) − s(f ; P ) < ε, então S(f ; P0 ) − s(f ; P0 ) < ε.
(iii⇒i) Suponha que para todo ε > 0, exista uma partição P0 de [a, b]
tal que S(f ; P0 ) − s(f ; P0 ) < ε.
Sejam
A = {s(f ; P ); P é partição e P0 ⊂ P } e
B = {S(f ; P ); P é partição e P0 ⊂ P } .
Por hipótese temos que
S(f ; P0 ) − s(f ; P0 ) < ε
Mas S(f ; P0 ) ∈ B e s(f ; P0 ) ∈ A, então, pelo Lema 1.1,
inf B = sup A, ou seja,
inf S(f ; P ) = sup s(f ; P )
P0 ⊂P
P0 ⊂P
e, pelo corolário 1.4, podemos tomar apenas as partições que refinam
P0 para obtermos a integral superior e a inferior, assim
Z
b
f (x)dx =
a
Z¯ b
f (x)dx
a
Portanto, f é integrável.
Esse teorema irá facilitar as demonstrações dos próximos resultados e pode ser visto como uma definição para Riemann Integrabilidade. Podemos dizer que uma função é Riemann Integrável se sempre
for possível conseguir uma partição P de [a, b] tal que s(f ; P ) e S(f ; P )
estão tão próximas quanto se queira.
Teorema 1.3. Seja a < c < b. A função f : [a, b] → R é integrável se,
e somente se, suas restrições f |[a, c] e f |[c, b] são integráveis. No caso
afirmativo
Z
a
b
f (x)dx =
Z
a
c
f (x)dx +
Z
c
b
f (x)dx
38
Demonstração: Suponha f : [a, b] → R limitada e c ∈ (a, b).
Sejam P1 = {a = t0 , t1 , ..., ti = c} e P2 = {c = ti , ti+1 , ..., tn = b}
partições de [a, c] e [c, b], respectivamente. Desta forma, P0 = P1 ∪ P2
é uma partição de [a, b] que contém c.
Defina
A = {s(f ; P ); P1 ⊂ P } e
B = {s(f ; P ); P2 ⊂ P }
Afirmo que
A + B = {s(f ; P ); P0 ⊂ P } ,
que será provado ao final da demonstração. Pelo Lema 1.2 sup(A+B) =
sup A + sup B e, pelo Corolário 1.4 podemos tomar apenas as partições
que refinem P0 , P1 e P2 para obtermos a integral inferior, assim
Z
b
f (x)dx =
a
Analogamente, defina
Z
c
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx
(1.1)
c
A′ = {S(f ; P ); P1 ⊂ P } e
B ′ = {S(f ; P ); P2 ⊂ P }
Então,
A′ + B ′ = {S(f ; P ); P0 = P1 ∪ P2 ⊂ P }
Pelo mesmo motivo de antes,
Z¯ b
f (x)dx =
a
Z¯ c
f (x)dx +
a
Z¯ b
f (x)dx
c
Subtraindo (1.2) de (1.1), temos
Z¯ b
a
f (x)dx −
Z
b
f (x)dx =
a
Z¯ b
c
Z¯ c
a
f (x)dx −
Z
f (x)dx −
b
f (x)dx
c
Z
c
f (x)dx +
a
(1.2)
39
Mas, pelo Corolário 1.3, temos que
Z¯ b
a
Z¯ c
a
Com isso temos que
f (x)dx −
Z¯ b
c
f (x)dx −
Z
Z
f (x)dx −
b
f (x)dx > 0,
a
c
f (x)dx > 0 e
a
Z
b
f (x)dx > 0.
c
Rc
R¯b
Rb
(⇒) Se f é integrável, então a f (x)dx− a f (x)dx = 0, logo ¯a f (x)dx−
Rc
R¯b
Rb
a f (x)dx = 0 e c f (x)dx − c f (x)dx = 0. Portanto, f |[a, c] e f |[c, b]
são integráveis.
Rc
Rc
(⇐) Se f |[a, c] e f |[c, b] são integráveis, teremos que ¯ f (x)dx− f (x)dx =
0e
R¯b
c
f (x)dx −
Rb
c
f (x)dx = 0, logo
R¯b
a
a
f (x)dx −
Rb
a
a
f (x)dx = 0. Por-
tanto, f : [a, b] → R é integrável.
Além disso, se f : [a, b] → R é integrável, sabemos que a integral in-
ferior (e superior) é igual a integral, então pela equação (1.1) temos
que
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
Para concluir a demonstração, vamos provar que
A + B = {s(f ; P ); P0 ⊂ P } .
Sejam s(f ; P ′ ) ∈ A e s(f ; P ′′ ) ∈ B, onde P ′ é uma partição para [a, c]
e P ′′ é uma partição para [c, b]. Temos que P ′ ∩ P ′′ = {c}, assim
s(f ; P ′ ) + s(f ; P ′′ ) =
m1 (t1 − a) + ... + mi (c − ti−1 ) + mi+1 (ti+1 − c) + ... + mn (b − tn−1 ) =
s(f ; P )
sendo P = P ′ ∪ P ′′ então A + B ⊂ {s(f ; P ); P0 ⊂ P }, pois P0 ⊂ P .
Por outro lado, se tomarmos s(f ; P ) ∈ {s(f ; P ); P0 = P1 ∪ P2 ⊂ P },
40
então podemos separar a partição P em duas partições que refinem P1
e P2 . Portanto, {s(f ; P ); P0 = P1 ∪ P2 ⊂ P } ⊂ A + B.
Teorema 1.4 (Propriedades da Integral de Riemann). Sejam f, g :
[a, b] → R funções limitadas e integráveis. Então
i. A soma f + g é integrável e
Z
b
f (x) + g(x)dx =
a
Z
b
f (x)dx +
a
Z
b
g(x)dx.
a
ii. O produto f · g e integrável. Se c ∈ R, então
Z
b
a
c · f (x)dx = c ·
Z
b
f (x)dx.
a
iii. Se 0 < k 6 |g(x)| para todo x ∈ [a, b], então
f
é integrável.
g
iv. Se f (x) 6 g(x) para todo x ∈ [a, b], então
Z
a
b
f (x)dx 6
Z
b
g(x)dx.
a
v. |f | é integrável e
Z
Z
b
b
|f (x)| dx.
f (x)dx 6
a
a
Demonstração: Para demonstrar este teorema, vamos denotar por m′i , Mi′ , m′′i , Mi′′ e ωi′ , ωi′′ os ínfimos, supremos e oscilações de
f e g, respectivamente, no i-ésimo intervalo de P .
i. Pelo Teorema 1.2 temos que, se f e g são integráveis, então
para todo ε > 0, existe uma partição P = {t0 , t1 , ..., tn } tal que
n
X
i=1
41
ωi′ (ti − ti−1 ) <
n
X
i=1
ε
e
2
ωi′′ (ti − ti−1 ) <
ε
2
Pelo Corolário 1.1, a função (f + g)(x) é limitada e além disso,
mi = inf(f + g) > inf f + inf g = m′i + m′′i e
Mi = sup(f + g) 6 sup f + sup g = Mi′ + Mi′′
Assim,
S(f +g; P ) =
n
X
i=1
s(f + g; P ) =
Mi (ti −ti−1 ) 6
n
X
i=1
n
X
i=1
mi (ti − ti−1 ) >
Mi′ (ti −ti−1 )+
n
X
i=1
n
X
i=1
m′i (ti − ti−1 ) +
Mi′′ (ti −ti−1 ) e
n
X
i=1
m′′i (ti − ti−1 )
Subtraindo a segunda expressão da primeira, temos
S(f + g; P ) − s(f + g; P ) 6
n
X
i=1
(Mi′ − m′i )(ti − ti−1 ) +
n
X
i=1
ωi′ (ti − ti−1 ) +
n
X
n
X
i=1
i=1
(Mi′′ − m′′i )(ti − ti−1 ) =
ωi′′ (ti − ti−1 ) <
ε ε
+
2 2
Portanto, S(f + g; P ) − s(f + g; P ) < ε e, pelo Teorema 1.2, f + g é
integrável.
Além disso, suponha f, g limitadas e integráveis e P uma partição de
[a, b], então
Z
b
f (x)dx +
a
Z
b
g(x)dx = sups(f ; P ) + sups(g; P ) 6
a
P
P
42
Z
sups(f + g; P ) =
P
b
f (x) + g(x)dx
a
e
Z¯ b
f (x)dx +
a
Z¯ b
g(x)dx = inf S(f ; P ) + inf S(g; P ) >
P
a
Z¯ b
inf S(f + g; P ) =
P
P
f (x) + g(x)dx
a
Mas como f , g e f + g são integráveis temos que a integral inferior é
igual a integral superior, portanto
Z
b
f (x) + g(x)dx =
a
Z
b
f (x)dx +
a
Z
b
g(x)dx.
a
ii. Suponha f e g integráveis e limitadas, dessa forma existem
k1 , k2 ∈ R tais que |f (x)| 6 k1 e |g(x)| 6 k2 para todo x ∈ [a, b]. Tome
k = max {k1 , k2 }, assim
|f (x)| 6 k e
|g(x)| 6 k para todo x ∈ [a, b].
Além disso, como f e g são integráveis, temos que para todo ε > 0,
existe uma partição P = {t0 , t1 , ..., tn } tal que
n
X
i=1
ωi′ (ti − ti−1 ) <
n
X
i=1
ε
e
2k
ωi′′ (ti − ti−1 ) <
ε
2k
Mas para x, y ∈ [ti−1 , ti ] arbitrários, temos
|f (y) · g(y) − f (x) · g(x)|
= |f (y)g(y) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (x)g(x)|
= |g(y)| |f (y) − f (x)| + |f (x)| |g(y) − g(x)|
6 |g(y)| |f (y) − f (x)| + |f (x)| |g(y) − g(x)|
6 k(ωi′ + ωi′′ )
43
Pelo Lema 1.3, temos que
ωi = sup {|f (y) · g(y) − f (x) · g(x)| ; x, y ∈ [ti−1 , ti ]}
Mas como tomamos x, y arbitrários temos que ωi 6 k(ωi′ + ωi′′ ), então
#
" n
n
n
X
X
X
ωi′′ (ti − ti−1 ) < ε
ωi′ (ti − ti−1 ) +
ωi (ti − ti−1 ) 6 k
i=1
i=1
i=1
Portanto, f · g é integrável pelo Teorema 1.2.
Além disso, seja c ∈ R, pelo Lema 1.2, sabemos que
sup s(c · f ; P ) = c · sup(f ; P )
Como f e c · f são integráveis, por hipótese e pelo o que acabamos de
provar, então
Z
a
b
c · f (x)dx = c ·
Z
b
f (x)dx.
a
iii. Acabamos de provar que se f e g são integráveis, então f · g
1
f
é integrável. Se provarmos que é integrável, então será integrável.
g
g
Suponha g integrável e 0 < k 6 |g(x)| para todo x ∈ [a, b]. Como g é
integrável existe uma partição P = {t0 , t1 , ..., tn } de [a, b] tal que
n
X
i=1
ωi′ (ti − ti−1 ) < ε · k 2
Para x, y ∈ [ti−1 , ti ] arbitrários, temos
1
1 g(y) − g(x) |g(y) − g(x)|
|g(y) − g(x)|
=
−
g(x) g(y) g(y)g(x) = |g(y)g(x)| 6
k2
1
1 −
Pelo Lema 1.3, ωi = sup ; x, y ∈ [ti−1 , ti ] será a oscig(x) g(y) 1
lação de em [ti−1 , ti ], e como tomamos x, y arbitrários, então
g
ωi 6
ωi′
k2
44
E assim,
n
X
n
X
ωi′
ε · k2
(t
−
t
)
<
=ε
ωi (ti − ti−1 ) 6
i
i−1
k2
k2
i=1
i=1
1
f
é integrável e, portanto, é também é.
g
g
Então, pelo Teorema 1.2,
iv. Suponha f (x) 6 g(x) e sejam m′i , m′′i ínfimos de f, g no
intervalo [ti−1 , ti ] de uma partição P de [a, b] e tome
A = {s(f ; P ); P é partição} e
B = {s(g; P ); P é partição}
Como f (x) 6 g(x) para todo x ∈ [a, b], então m′i 6 m′′i . Assim, sempre
teremos s(f ; P ) 6 s(g; P ) e, pelo Lema 1.1 sup A 6 sup B, ou seja,
sups(f ; P ) 6 sups(g; P ). Portanto, como f e g são integráveis, e
P
P
Z
b
f (x)dx 6
Z
b
g(x)dx.
a
a
v. Suponha f integrável. Seja ωi a oscilação de |f | no intervalo
[ti−1 , ti ] de uma partição P de [a, b] e ωi′ a oscilação de f nesse mesmo
intervalo. Como f é integrável, temos que
n
X
i=1
ωi′ (ti − ti−1 ) < ε
Para x, y ∈ [ti−1 , ti ] arbitrários, temos
||f (y)| − |f (x)|| 6 |f (y) − f (x)| 6 ωi′
Pelo Lema 1.3, ωi = sup {||f (y)| − |f (x)|| ; x, y ∈ [ti−1 , ti ]}, e como to-
mamos x, y arbitrários, temos ωi 6 ωi′ e assim
n
X
i=1
ωi (ti − ti−1 ) 6
n
X
i=1
ωi′ (ti − ti−1 ) < ε
45
Portanto, |f | é integrável.
Além disso, sabemos que f (x) 6 |f (x)| para todo x ∈ [a, b], então
− |f (x)| 6 f (x) 6 |f (x)|, e pelo ítem (iv) deste teorema, temos
Z b
Z b
Z b
|f (x)| dx
f (x)dx 6
|f (x)| dx 6
−
a
a
Portanto,
a
Z
Z
b
b
|f (x)| dx.
f (x)dx 6
a
a
Corolário 1.5. Se f : [a, b] → R é integrável e |f (x)| 6 k pra todo
x ∈ [a, b] então
Z
b
f (x)dx 6 k(b − a).
a
Demonstração: Suponha f integrável e tal que |f (x)| 6 k
pra todo x ∈ [a, b]. Pelo Teorema 1.4 sabemos que
Z
Z
b
b
f (x)dx 6
|f (x)| dx
a
a
Além disso, como |f (x)| é integrável, temos que
Z b
|f (x)| dx = inf S(|f | ; P )
a
E pelo Corolário 1.3 segue
inf S(|f | ; P ) 6 M (b − a)
onde M é o supremo da função em [a, b], mas M 6 k. Portanto,
Z
b
f (x)dx 6 k(b − a).
a
Esses últimos resultados nos traziam como hipótese funções
integráveis e buscávamos uma conclusão. Mas além de procurarmos
consequências da integrabilidade, precisamos encontrar condições que
tornem uma função integrável. Nesse sentido, seguem os teoremas.
46
Teorema 1.5. Toda função contínua f : [a, b] → R é integrável.
Demonstração: Suponha f contínua em [a, b], que é limitado
e fechado e, portanto, compacto. Assim, pelo Anexo A.2, f é uniformemente contínua, isto é, para todo ε > 0 dado e para todo x ∈ [a, b] é
possível obter δ > 0 tal que, se y ∈ [a, b] temos
|y − x| < δ ⇒ |f (y) − f (x)| <
ε
b−a
(1.3)
Seja P = {t0 , t1 , ..., tn } uma partição de [a, b] tal que |ti − ti−1 | <
δ para todo i = 0, ..., n. Além disso, como f é contínua, pela Observação
1.1, existem xi , yi ∈ [ti−1 , ti ], tais que f (xi ) = mi e f (yi ) = Mi . Dessa
forma, como |yi − xi | 6 |ti − ti−1 | < δ, segue da Expressão (1.3) que
|yi − xi | < δ ⇒ |f (yi ) − f (xi )| <
ε
b−a
Pn
ε
(b − a) = ε
Mas |f (yi ) − f (xi )| = ωi , então i=1 ωi (ti − ti−1 ) <
b−a
e, pelo Teorema 1.2, f é integrável.
É esperado que funções contínuas definidas em um intervalo
[a, b] sejam integráveis, pois se particionarmos o conjunto [a, b] em intervalos de comprimentos tão pequenos quanto se queira, os valores
de supremo e ínfimo, que pela Observação 1.1 são assumidos pela função, também estarão tão próximos quanto se queira, pela definição de
continuidade de funções.
Teorema 1.6. Toda função monótona f : [a, b] → R é integrável.
Demonstração: Suponha f monótona não decrescente e tome
ε
.
uma partição P = {t0 , t1 , ..., tn } de [a, b] tal que |ti − ti−1 | <
f (b) − f (a)
Como f é monótona não decrescente então, em cada [ti−1 , ti ], temos
ωi = f (ti ) − f (ti−1 ), assim
n
X
i=1
ωi = [f (t1 ) − f (t0 )] + [f (t2 ) − f (t1 )] + ... + [f (tn ) − f (tn−1 )]
Logo,
Pn
i=1
47
ωi = f (tn ) − f (t0 ) = f (b) − f (a) e, além disso,
n
X
i=1
n
ωi (ti − ti−1 ) <
X
ε
ωi = ε
f (b) − f (a) i=1
Portanto, pelo Teorema 1.2, f é integrável.
De modo análogo, provamos que uma função monótona não crescente
também é integrável.
Definição 1.6. O comprimento |I| do intervalo [a, b] ⊂ R é dado por
|I| = b − a.
Observação 1.3. Uma cobertura de um conjunto X ⊂ R é uma família
de conjuntos tais que a união deles contém X.
Definição 1.7 (Medida nula). Dizemos que um conjunto X ⊂ R tem
medida nula quando, para todo ε > 0 dado, existe uma cobertura finita
S
ou infinita enumerável X ⊂ k Ik de X por intervalos abertos Ik cuja
soma dos comprimentos é tal que
X
k
|Ik | < ε.
No Capítulo 3 deste trabalho, iremos definir medida de maneira rigorosa, mas nesse momento essa definição para Medida Nula é
suficiente para provar os próximos teoremas.
A Definição 1.7 nos diz que um conjunto tem medida nula se
for possível cobrí-lo com intervalos cuja soma de seus comprimentos
seja tão pequena quanto se queira, mas se não conseguirmos cobrir
uma pequena parte do conjunto todo com nem mesmo um intervalo
com medida tão pequena quanto se queira, é suficiente, para dizer que
o conjunto todo tem medida nula. Sendo assim, para cada ε > 0 tome
a vizinhança (a − ε, a + ε), que possui |I| = 2ε. Essa vizinhança não
possui medida nula, pois para cada vizinhança (a−ε, a+ε) não é possível
cobrí-la com um intervalo de comprimento ε. Por outro lado, para todo
ε > 0 é possível cobrir o ponto a com uma vizinhança (a + ε, a − ε).
48
Assim, podemos concluir que os únicos intervalos de números reais que
possuem medida nula são degenerados.
Teorema 1.7. Se o conjunto D dos pontos de descontinuidade de uma
função limitada f : [a, b] → R tem medida nula, então f é integrável.
Demonstração: Suponha que D tem medida nula, ou seja,
para todo ε > 0 existe uma cobertura de intervalos abertos I1 , ..., Ik , ...
S
P
ε
tais que D ⊂ k Ik e k |Ik | <
, com ω = M − m.
2ω
Para cada x em que f é contínua tome uma vizinhança Jx de x tal que
S
ε
. Assim, x Jx é
a oscilação de f |(Jx ∩ [a, b]) seja menor que
2(b − a) S
uma cobertura aberta de [a, b] − D, pois [a, b] − D ⊂ x Jx .
S
S
Desta forma, [a, b] ⊂ ( x Jx ) ∪ ( k Ik ) é uma cobertura aberta de
[a, b] que, pelo Teorema de Borel-Lebesgue (Anexo A.3), possui uma
subcobertura finita, seja ela [a, b] ⊂ I1 ∪ ... ∪ Im ∪ Jx1 ∪ ... ∪ Jxn .
Agora, considere uma partição de [a, b] formada pelos pontos a, b e pelos
extremos de cada Ik e Jxi desta subcobertura finita que pertençam ao
intervalo [a, b]. E sejam os intervalos que pertencem a partição P tais
que [tα−1 , tα ] ⊂ I¯k para algum Ik , isto é, são formados por pontos que
pertencem a D, e [tβ−1 , tβ ] ⊂ Jxi , que são formados por pontos de [a, b]
onde f é contínua. Assim,
X
X
ε
e
(tα − tα−1 ) <
|Ik | <
2ω
α
k
ε
2(b − a)
dessa forma. Então,
ωβ <
pois tomamos Ik e Jxi
S(f ; P ) − s(f ; P ) =
X
α
ω(tα − tα−1 ) +
X
X
β
α
ωα (tα − tα−1 ) +
X
β
ωβ (tβ − tβ−1 ) <
ε
ωε ε(b − a)
(tβ − tβ−1 ) <
+
=ε
2(b − a)
2ω 2(b − a)
Portanto, pelo Teorema 1.2, se o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem medida nula, então f é integrável.
49
Para demonstrar o próximo teorema, é necessário definir a oscilação de f em um ponto x.
Definição 1.8. Seja f : [a, b] → R uma função limitada. Chamamos de
oscilação de f em um ponto x, o valor ω(f ; x) que é dado da seguinte
forma:
Para cada δ > 0, seja ωδ = Mδ − mδ , com Mδ e mδ supremo e ínfimo
de f em [a, b] ∩ [x − δ, x + δ].
Note que,
i. ωδ é não negativa, pois Mδ > mδ ;
ii. ωδ é limitada, pois f é limitada;
iii. ωδ é não descrescente, pois a medida que diminuimos o valor de
δ o supremo e ínfimo se aproximam.
Desta forma, definimos ω(f ; x) = limδ→0 ωδ , pois, pelo Anexo A.8, este
limite existe.
Observação 1.4. A função f é descontínua em x se, e somente se,
ω(f ; x) > 0. Isso equivale a dizer que, se f é contínua em x, então
ω(f ; x) = 0. Isto é intuitivo, pois se uma função é contínua em um
ponto x, o supremo e ínfimo de f neste ponto são o próprio valor f (x).
Observação 1.5. Se x pertence ao interior de um intervalo I ⊂ [a, b],
então ω(f ; x) 6 ω(f ; I) = supf (x) − inf f (x).
x∈I
x∈I
Teorema 1.8. O conjunto D dos pontos de descontinuidade de uma
função integrável f : [a, b] → R tem medida nula.
Demonstração: Suponha f integrável e seja D o conjunto
dos pontos
de descontinuidade
de f em [a, b]. Para cada k ∈ N, tome
1
Dk = x ∈ [a, b]; ω(f ; x) >
, ou seja, pela Observação 1.4, cada Dk
k
50
S
contém apenas pontos em que f é descontínua. Logo, D = k Dk ,
P
S
então |D| = | k Dk | = k |Dk | e para provar que D possui medida
nula, basta provar que cada Dk é tal que |Dk | = 0.
Como f é integrável, então pelo Teorema 1.2, existe uma partição P =
{t0 , t1 , ..., tn } de [a, b] tal que
n
X
i=1
ωi (ti − ti−1 ) <
ε
k
Sejam [tα−1 , tα ] os intervalos da partição P que contenham pontos de
Dk em seu interior e, pela Observação 1.5 e pelo modo como definimos
1
cada Dk , temos ωα > . Além disso, note que temos uma cobertura
k
S
para Dk ⊂ ( α [tα−1 , tα ] ∪ F ), onde F é o conjuntos dos pontos em
que f é descontinua, mas que são extremos dos intervalos da partição.
Assim,
0 6 |Dk | 6
X
α
(tα − tα−1 ) + |F |
Mas F é um conjunto de intervalos degenerados, então |F | = 0. Assim,
n
X
X
ε
1X
(tα − tα−1 ) 6
ωα (tα − tα−1 ) 6
ωi (ti − ti−1 ) <
k α
k
α
i=1
P
Portanto, α |tα − tα−1 | < ε e D tem medida nula.
Com esses dois últimos teoremas podemos dizer que é necessá-
rio e suficiente que uma função seja contínua em quase todo ponto (Veja
Observação 3.2) de [a, b] para que seja integrável, ou seja, a função não
precisa ser contínua para todo x ∈ [a, b] para que seja integrável, basta
que só não seja contínua em um conjunto cuja medida seja nula.
1.4 CÁLCULO COM INTEGRAIS
No primeiro contato que tivemos com integrais este conceito
nos foi apresentado totalmente relacionado com a derivada. Porém, na
Definição 1.5, percebemos que não há relação direta entre eles. No entanto, nos teoremas que seguem, vamos ver que, de fato, esses dois conceitos se relacionam, em decorrência do estudo que fizemos até agora.
1.4. CÁLCULO COM INTEGRAIS
51
Além de provarmos essa relação entre a integral e a derivada, também serão provados os métodos utilizados para facilitar o cálculo de
integrais.
Definição 1.9 (Função Primitiva). Seja f : I → R uma função contínua em I. Dizemos que F : I → R é uma primitiva de f se F ′ (x) =
f (x) para todo x ∈ I.
Definição 1.10 (Integral Indefinida). Seja f : I → R uma função
contínua em I. Dizemos que F : I → R é uma integral indefinida se
existe a ∈ I tal que
F (x) = F (a) +
Z
x
f (t)dt
a
para todo x ∈ I.
Teorema 1.9 (Teorema fundamental do Cálculo). Seja f : I → R
uma função contínua em I, então F é uma integral indefinida de f se,
e somente se, F é uma primitiva de f .
Demonstração: (⇒) Suponha F (x) = F (a) +
Rx
a
f (t)dt para
todo x ∈ I. E seja a = x0 ∈ I e x = x0 + h ∈ I, com h > 0, assim temos
Z x0 +h
f (t)dt
F (x0 + h) = F (x0 ) +
x0
então dividindo a expressão acima por h obtemos
Z
1
1 x0 +h
[F (x0 + h) − F (x0 )] =
f (t)dt
h
h x0
(1.4)
Além disso, sabemos que f (x0 ) é uma função constante, assim inf[f (x0 )] =
f (x0 ) = sup[f (x0 )], então
Z x0 +h
f (x0 )dt = f (x0 )(x0 + h − x0 )
x0
Logo,
f (x0 ) =
1
h
Z
x0 +h
x0
f (x0 )dt
(1.5)
52
Subtraindo 1.5 de 1.4, temos
Z x0 +h
F (x0 + h) − F (x0 )
1
−
f
(x
)
=
(f
(t)
−
f
(x
))
dt
0 0
h x0
h
Mas, pelo Teorema 1.4, temos que
Z x0 +h
F (x0 + h) − F (x0 )
1
−
f
(x
)
6
|f (t) − f (x0 )| dt
0 h
|h| x0
(1.6)
Além disso, como f é contínua em I, em particular é contínua em x0 ,
para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se t ∈ I e |t − x0 | < δ ⇒
|f (t) − f (x0 )| < ε, logo, pela equação 1.6,
Z x0 +h
F (x0 + h) − F (x0 )
< 1
|ε| = ε
−
f
(x
)
0
|h|
h
x0
F (x0 + h) − F (x0 )
Portanto, − f (x0 ) < ε e pela Definição de Derih
vada F ′ (x0 ) = f (x0 ), logo F é primitiva de f .
(⇐) Suponha que F seja uma primitiva de f , isto é, F ′ (x) = f (x) para
Rx
todo x ∈ I. Seja a ∈ I, tome ϕ(x) = a f (t)dt a integral indefinida de
f . Pelo que acabamos de provar, sabemos que se ϕ(x) é uma integral
indefinida de f , então é uma primitiva de f , ou seja, ϕ′ (x) = f (x). Da
hipótese segue que
F ′ (x) = f (x) = ϕ′ (x) para todo x ∈ I.
Desse modo, existe k ∈ R tal que F (x) = ϕ(x) + k, pelo Anexo A.4.
Assim,
F (x) =
Z
x
f (t)dt + k
(1.7)
a
E aplicando x = a na expressão 1.7, temos k = F (a)−
Portanto,
Z
x
F (x) = F (a) +
Ra
a
f (t)dt = F (a).
f (t)dt
a
para todo x ∈ I e F é uma integral indefinida de f .
Este teorema nos prova a relação entre a Integral e a Derivada
de uma função contínua e garante que, realmente, a fim de calcularmos
53
a área, quando a função for não negativa, da região delimitada por
essa função não é necessário calcular o supremo das somas inferiores
ou o ínfimo das somas superiores relativas a todas as partições para o
intervalo no qual a função está definida, basta calcular a sua Função
Primitiva e aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo. No caso
geral, em que a função também atinge valores negativos, basta usar
o Teorema 1.3, tomando as restrições da função no intervalos em que
atinge apenas valores negativos e trocar o sinal do valor obtido com o
Teorema Fundamental do Cálculo, apenas nesse intervalo.
Algumas vezes, é conveniente fazermos uma mudança de variável para calcular a integral de uma função, o teorema que segue nos
garante que isso é possível e nos diz de que forma esse procedimento
deve ser feito.
Teorema 1.10 (Mudança de Variável). Sejam f : [a, b] → R contínua
e g : [c, d] → R, com g ∈ C 1 e g([c, d]) ⊂ [a, b]. Então
Z
g(d)
f (x)dx =
g(c)
Z
d
f (g(t))g ′ (t)dt
c
Demonstração: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
Z
g(d)
g(c)
f (x)dx = F (g(d)) − F (g(c)) = (F ◦ g)(d) − (F ◦ g)(c)
(1.8)
Desse modo, F ◦ g é primitiva de f (x) em [g(c), g(d)]. Mas pela Regra
da Cadeia,
(F ◦ g)′ (t) = F ′ (g(t))g ′ (t) = f (g(t))g ′ (t)
Logo, (F ◦ g) também é primitiva de f (g(t))g ′ (t), aplicando o Teorema
Fundamental do Cálculo, temos
Z
c
d
f (g(t))g ′ (t) = (F ◦ g)(d) − (F ◦ g)(c)
(1.9)
54
Igualando as expressões 1.8 e 1.9, temos
Z d
Z g(d)
f (g(t))g ′ (t)dt.
f (x)dx =
c
g(c)
De fato, fazendo uma mudança de variável encontramos o mesmo
valor para a integral de uma função. Porém é necessário que a função
escolhida para fazer essa mudança de variável seja contínua e com derivada contínua. E além disso, quando fazemos esse procedimento é
necessário utilizar um fator que equilibra essa mudança de variável,
que aqui aparece como o diferencial dx = g ′ (t)dt, mas que em dimensões maiores ou iguais a dois é chamado de Determinante Jacobiano da
mudança de variável.
Teorema 1.11 (Integração por Partes). Sejam f, g : [a, b] → R que
pertençam a classe C 1 então
Z b
Z
′
b
f (x) · g (x)dx = (f · g)(x)|a −
a
b
f ′ (x) · g(x)dx
a
Demonstração: Suponha f, g ∈ C 1 e tome a função f · g :
[a, b] → R,
(f · g)(x)|ba = (f · g)(b) − (f · g)(a)
Isso significa que f · g é primitiva de (f · g)′ , pelo Teorema Fundamental
do Cálculo. Mas pela Regra do Produto para derivadas, temos
(f · g)′ (x) = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x)
Dessa forma,
Z b
Z b
′
(f · g) (x)dx =
[f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x)]dx = (f · g)(x)|ba
a
a
Portanto,
Z
a
b
′
f (x) · g (x)dx = (f ·
g)(x)|ba
−
Z
a
b
f ′ (x) · g(x)dx
55
Teorema 1.12 (Fórmula do Valor Médio para Integrais). Sejam f, p :
[a, b] → R tais que f é contínua e p(x) > 0 para todo x ∈ [a, b] e
integrável. Então existe c ∈ [a, b] tal que
Z
Z b
f (x)p(x)dx = f (c)
b
p(x)dx
a
a
Demonstração: Pelo Teorema de Weierstrass (A.1), como f
é contínua em um intervalo compacto, então temos que m 6 f (x) 6 M
para todo x ∈ [a, b], com m e M ínfimo e supremo de f em [a, b],
respectivamente, e como p(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], temos
m · p(x) 6 f (x) · p(x) 6 M · p(x)
Além disso, pelo Teorema 1.5 f é integrável e os itens (ii) e (iv) do
Teorema 1.4 nos garantem que
Z b
Z b
Z b
m
p(x) 6
f (x)p(x) 6 M
p(x)
a
a
a
Rb
Observe que f (x) a p(x)dx é contínua em [a, b], pois f e a função
Rb
p(x)dx também são. E como f é contínua em [a, b], pelo Anexo A.9,
a
existe algum c ∈ [a, b] tal que
Z b
Z
f (x)p(x)dx = f (c)
a
b
p(x)dx
a
Teorema 1.13. Seja f : [a, b] → R contínua. Existe c ∈ [a, b] tal que
Z b
f (x)dx = f (c)(b − a)
a
Demonstração: Pelo Teorema 1.12, basta tomar p(x) = 1
para todo x ∈ [a, b].
Z b
Z
f (x)dx = f (c)
a
a
b
1dx = f (c) · x|ba = f (c)(b − a)
56
Embora, neste trabalho, não iremos usar as Fórmulas de Taylor
para demonstrarmos outros resultados da Integral, elas são importantes ferramentas para aproximar o valor de uma função em um ponto
e as integrais de Riemann podem aparecer nessas aproximações. Em
Otimização, por exemplo, as Fórmulas de Taylor são úteis na demonstração das condições de Otimalidade de Segunda Ordem e também no
Método de Newton (RIBEIRO; KARAS, 2013). Com essa motivação
seguem teoremas que provam a relação das Integrais com a Fórmulas
de Taylor.
Lema 1.5. Seja ϕ : [0, 1] → R tal que ϕ ∈ C n , então
n−1
X ϕ(i) (0) Z 1 (1 − t)n−1
+
ϕ(n) (t)dt.
ϕ(1) =
i!
(n
−
1)!
0
i=0
Demonstração: Vamos provar este teorma usando indução.
i. Pelo Teorema fundamental do Cálculo 1.9, temos que
Z 1
Z 1
′
ϕ (t)dt = ϕ(1) − ϕ(0) ⇒ ϕ(1) = ϕ(0) +
ϕ′ (t)dt
0
0
Portanto, o teorema vale para n = 1.
ii. Suponha que o teorema é verdadeiro para algum n, ou seja,
n−1
X ϕ(i) (0) Z 1 (1 − t)n−1
ϕ(1) =
+
ϕ(n) (t)dt
i!
(n
−
1)!
0
i=0
ou, como iremos usar a seguir,
Z 1
n−1
X ϕ(i) (0)
(1 − t)n−1 (n)
ϕ (t)dt = ϕ(1) −
(n − 1)!
i!
0
i=0
vamos provar que vale para n + 1.
Perceba que,
′
(1 − t)n
n(1 − t)n−1
n(1 − t)n−1
(1 − t)n−1
=
(−1) = −
=−
n!
n!
n(n − 1)!
(n − 1)!
Por Integração por partes, temos
Z 1
Z 1
(1 − t)n (n) 1
(1 − t)n−1 (n)
(1 − t)n (n+1)
ϕ
(t)dt =
ϕ (t)|0 +
ϕ (t)dt
n!
n!
(n − 1)!
0
0
57
Mas usando a hipótese de indução, obtemos
Z
1
0
n−1
X ϕ(i) (0)
(1 − t)n (n+1)
(1 − t)n (n) 1
ϕ
(t)dt =
ϕ (t)|0 + ϕ(1) −
n!
n!
i!
i=0
Observe que,
(0)n (n)
(1)n (n)
1
(1 − t)n (n) 1
ϕ (t)|0 =
ϕ (1) −
ϕ (0) = − ϕ(n) (0).
n!
n!
n!
n!
Com isso, podemos reescrever a equação anterior como
Z
1
0
n−1
X ϕ(i) (0)
(1 − t)n (n+1)
1
ϕ
(t)dt = ϕ(1) −
− ϕ(n) (0)
n!
i!
n!
i=0
Além disso,
n−1
X
i=0
. Assim,
ϕ(1) =
n
X ϕ(i) (0)
ϕ(i) (0)
1
+ ϕ(n) (0) =
i!
n!
i!
i=1
n
X
ϕ(i) (0)
i=0
i!
+
Z
1
0
(1 − t)n (n+1)
ϕ
(t)dt
n!
Portanto, o teorema vale para todo n ∈ N.
Teorema 1.14 (Fómula de Taylor com resto integral). Seja f : [a, a +
h] → R com derivadas de ordem n contínuas neste intervalo, então
f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + ... +
Z
1
0
f (n−1) (a) n−1
h
+
(n − 1)!
(1 − t)n−1 f (n) (a + th)
dt hn
(n − 1)!
Demonstração: Tome ϕ : [0, 1] → R, como ϕ(t) = f (a +
th), assim ϕ(0) = f (a) e ϕ(1) = f (a + h), além disso, como f possui
derivadas contínuas, ϕ também possui, então pelo Lema 1.5,
ϕ(1) =
n−1
X
i=1
ϕ(i) (0)
+
i!
Z
0
1
(1 − t)n−1 (n)
ϕ (t)dt.
(n − 1)!
58
Observe que, pela Regra da Cadeia, ϕ(n) (t) = f (n) (a+th) = hn f (n) (a+
th), logo ϕ(n) (0) = hn f (n) (a). Assim,
f (a + h) =
n−1
X
i=1
hi f (i) (0)
+
i!
Z
1
0
(1 − t)n−1 n (n)
h f (a + th) dt.
(n − 1)!
Portanto,
f (n−1) (a) n−1
h
+
(n − 1)!
(1 − t)n−1 f (n) (a + th)
dt hn
(n − 1)!
f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + ... +
Z
1
0
Corolário 1.6 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Seja f :
[a, a + h] → R com derivadas de ordem n contínuas neste intervalo,
então existe θ ∈ [0, 1] tal que
f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + ... +
f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n
h
+
h
(n − 1)!
n!
Demonstração: Pelo Teorema 1.14 temos que
f (n−1) (a) n−1
h
+
(n − 1)!
(1 − t)n−1 f (n) (a + th)
dt hn
(n − 1)!
f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + ... +
Z
0
Note que
1
(1 − t)n−1
> 0 para todo t ∈ [0, 1]
(n − 1)!
Então, pelo Teorema 1.12, existe θ ∈ [0, 1] tal que
Z 1
Z 1
(1 − t)n−1
(1 − t)n−1 (n)
f (a + th)dt = f (n) (a + θh)
dt
(n − 1)!
(n − 1)!
0
0
Além disso,
Z
0
1
(1 − t)n 1
1
(1 − t)n−1
dt = −
|0 =
(n − 1)!
n!
n!
1.5. O LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN
59
Portanto,
f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + ... +
f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n
h
+
h
(n − 1)!
n!
1.5 O LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN
Na Definição 1.4 vimos que a Integral de Riemann de uma
função é definida como o ínfimo ou o supremo de conjuntos que, em
geral, são infinitos. Sendo assim, calcular uma integral usando essa
definição pode não ser o melhor método.
A ideia que se estuda, durante a graduação, para aproximar
áreas é particionar um intervalo no qual a função está definida e calcular a "área" definida pelo retângulo cujas dimensões correspondem ao
comprimento de cada intervalo da partição e o valor supremo ou ínfimo
da função em cada um desses intervalos. Em harmonia com o Teorema
1.1, quanto maior o número de intervalos na partição, o erro entre o
valor que calculamos e o valor real da área diminui. Quando queremos
obter o valor real dessa área, quando existe, tomamos o limite com o
comprimento de cada um desses intervalos tendendo a zero. Mas como
esse limite está associado a Definição 1.4?
Definição 1.11. A norma de uma Partição P = {t0 , t1 , ..., tn } é dada
por
|P | = max {|ti − ti−1 | ; i = 1, ..., n}
Teorema 1.15. Seja f : [a, b] → R limitada. Para todo ε > 0 dado,
existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então
s(f ; P ) >
Z
b
a
f (x)dx − ε e S(f ; P ) <
Z¯ b
a
f (x)dx + ε.
60
R¯b
Demonstração: Vamos provar que S(f ; P ) < a f (x)dx + ε.
Suponha f limitada e f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Sabemos que
Z¯ b
S(f ; P ) >
f (x)dx para toda partição P de [a, b]
a
Então, dado ε > 0 é possível obter uma partição P0 = {t0 , t1 , ..., tn } tal
que
S(f ; P0 ) <
Z¯ b
f (x)dx +
a
ε
2
ε
, onde n
2M n
é o número de intervalos da partição P0 . Seja P = {r0 , r1 , ..., rk } uma
partição de [a, b] tal que |P | < δ.
Suponha M supremo de f em [a, b]. E tome 0 < δ <
i. Sejam [rα−1 , rα ] ⊂ P os intervalos de P tais que [rα−1 , rα ] = A ⊂
[ti−1 , ti ] = I para algum i.
Como A ⊂ I então Mα 6 Mi , com Mα supremo de f em [rα−1 , rα ] e
Mi supremo de f em [ti−1 , ti ].
Além disso, para todos os intervalos [rα−1 , rα ] que estão contidos em
algum [ti−1 , ti ], temos
X
(rα − rα−1 ) 6 (ti − ti−1 )
A⊂I
Então,
X
A⊂I
Mα (rα − rα−1 ) 6 Mi (ti − ti−1 )
ii. Sejam [rβ−1 , rβ ] os intervalos de P que não estejam contidos em
algum [ti−1 , ti ], assim, existe r ∈ [rβ−1 , rβ ] tal que r ∈
/ [ti−1 , ti ], então
r ∈ [tj−1 , tj ], portanto existe pelo menos um ti que pertence a [rβ−1 , rβ ],
então existem, no máximo, n intervalos [rβ−1 , rβ ]. E como |P | < δ,
então rβ − rβ−1 < δ e 0 6 Mβ 6 M , onde Mβ é o supremo de f em
[rβ−1 , rβ ]. Desse modo,
X
β
E então,
X
β
(rβ − rβ−1 ) < nδ
Mδ (rβ − rβ−1 ) < nM δ <
ε
nM ε
<
2M n
2
61
Note que,
S(f ; P ) =
X
A⊂I
n
X
i=1
Mα (rα − rα−1 ) +
β
Mδ (rβ − rβ−1 ) <
ε
ε
= S(f ; P0 ) + <
2
2
Mi (ti − ti−1 ) +
Z¯ b
X
f (x)dx +
a
ε ε
+
2 2
Portanto, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então
S(f ; P ) <
Z¯ b
f (x)dx + ε
a
se f (x) > 0.
Provamos que para f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b], agora vamos prova
para o caso geral.
Como f é limitada, sabemos que o ínfimo m de f em [a, b] é o maior
valor, em módulo, para o qual a função é negativa, então g(x) = f (x) +
|m| > 0 para todo x ∈ [a, b]. Pelo que provamos, dado ε > 0, existe
δ > 0 tal que se |P | < δ, então
S(g; P ) <
Z¯ b
g(x)dx + ε
a
Mas definimos g(x) = f (x) + |m|, então
S(f ; P ) + |m|(b − a) <
=
Z¯ b
f (x)dx +
a
Então
Z¯ b
S(f ; P ) + |m|(b − a) <
a
[f (x) + |m|] dx + ε
Z¯ b
a
|m|dx + ε
Z¯ b
f (x)dx + |m|(b − a) + ε
Z¯ b
f (x)dx + ε
a
Portanto, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então
S(f ; P ) <
a
62
Analogamente provamos que s(f ; P ) >
Rb
f (x)dx − ε
a
Observação 1.6. O resultado que o Teorema 1.15 nos dá é muito
importante, pois dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |P | < δ, então
S(f ; P ) <
Z¯ b
f (x)dx + ε e s(f ; P ) >
a
Z
b
a
f (x)dx − ε
E podemos reescrevê-lo da seguinte forma:
i. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ||P | − 0| < δ, então
Z¯ b
f (x)dx < ε,
S(f ; P ) −
a
mas essa é a definição de limite, portanto
Z −b
lim S(f ; P ) =
f (x).
|P |→0
a
ii. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ||P | − 0| < δ, então
Z b
f (x)dx < ε,
s(f ; P ) −
a
assim
lim s(f ; P ) =
|P |→0
Z
b
f (x).
a
Portanto, podemos ver a intregral inferior e a superior como um limite
da soma inferior e da superior quando a norma da partição de [a, b]
tende a zero.
Definição 1.12 (Partição Pontilhada). Seja P = {t0 , ..., tn } uma par-
tição de [a, b] e seja ξ = (ξ1 , ..., ξn ), com ξi ∈ [ti−1 , ti ]. A partição
pontilhada é dada por P ∗ = (P, ξ).
Definição 1.13 (Soma de Riemann). Dada uma função f : [a, b] → R
e uma partição pontilhada P ∗ de [a, b], têm-se a Soma de Riemann
n
X
X
f (ξi )(ti − ti−1 )
(f ; P ∗ ) =
i=1
63
Observação 1.7. Como em cada intervalo i da partição pontilhada
P ∗ temos mi 6 f (ξi ) 6 Mi então, fica claro que
X
s(f ; P ) 6
(f ; P ∗ ) 6 S(f ; P ).
P
Definição 1.14. Diz-se que o número real I é o limite de (f ; P ∗ )
P
quando |P | → 0 e escreve-se I = lim|P |→0 (f ; P ∗ ), quando, para todo
P
ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que | (f ; P ∗ ) − I| < ε seja qual
for a partição pontilhada P ∗ com |P | < δ.
Teorema 1.16. Seja f : [a, b] → R uma função integrável então
Z b
X
f (x)dx = lim
(f ; P ∗ )
|P |→0
a
Demonstração: Pela Observação 1.6 e sabendo que a função
f é integrável temos que
lim s(f ; P ) =
|P |→0
Z
b
f (x)dx =
a
Além disso, temos s(f ; P ) 6
Então
Z
b
f (x)dx =
a
P
|P |→0
Mas como
lim s(f ; P ) =
|P |→0
Z
f (x)dx = lim S(f ; P )
a
|P |→0
(f ; P ∗ ) 6 S(f ; P ) pela Observação 1.7.
lim s(f ; P ) 6 lim
|P |→0
Z¯ b
X
(f ; P ∗ ) 6 lim S(f ; P )
|P |→0
b
f (x)dx = lim S(f ; P ),
|P |→0
a
o Teorema do Sanduíche (A.5) nos diz que
Z b
X
lim
(f ; P ∗ ) =
f (x)dx.
|P |→0
a
Esse Teorema nos diz que, ao usarmos limites, não é necessário
tomar o supremo e o ínfimo da função em cada intervalo da partição
para obter o valor da integral, basta tomar algum valor que a função
atinge nos intervalos da partição pontilhada.
64
1.6 O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS
Muitas vezes, podemos nos deparar com funções que são ilimitadas ou estão definidas em intervalos ilimitados. Mas o fato de uma
função estar definida em um intervalo ilimitado ou "atingir" valores
infinitos não é uma condição que torna a sua integral infinita. Com
isso, pode existir a Integral de Riemann para essas funções, porém é
necessário ajustar a Definição da Integral de Riemann para funções que
se incluam nesse contexto.
Teorema 1.17. Seja f : (a, b] → R limitada e para todo c ∈ (a, b]
a restrição f |[c, b] é integrável. Então, para qualquer valor de f (a), a
função f : [a, b] → R é integrável e, além disso,
Z b
Z b
f (x)dx
f (x)dx = lim+
a
c→a
c
Demonstração: Inicialmente, vamos provar que f : [a, b] →
R é integrável.
Como a função f é limitada então existe k ∈ R tal que |f (x)| 6 k
para todo x ∈ [a, b]. Dado ε > 0 tome c ∈ (a, b] de tal modo que
ε
k(c − a) < , ou seja, tome c a uma distância de a tão pequena quanto
4
se queira. Como f |[c, b] é integrável, para todo ε > 0 existe uma partição
P = {c, ..., b} de [c, b] tal que
ε
S(f ; P ) − s(f ; P ) <
2
Além disso, Q = P ∪ {a} = {a, c, ..., b} é uma partição para [a, b] e
como |f (x)| 6 k para todo x ∈ [a, b], temos −k < f (x) < k e assim
S(f ; Q) < S(f ; P ) + k(c − a) e s(f ; Q) > s(f ; P ) + (−k)(c − a)
Logo,
ε ε
S(f ; Q) − s(f ; Q) < 2k(c − a) + S(f ; P ) − s(f ; P ) < 2 + = ε
4 2
Portanto, S(f ; Q) − s(f ; Q) < ε e pelo Teorema 1.2, f é integrável.
Agora, vamos provar que
Z b
Z
f (x)dx = lim+
a
c→a
c
b
f (x)dx
1.6. O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS
65
Seja c um valor tão próximo de a quanto se queira. Para todo ε > 0,
ε
tome δ > 0 tal que δ < . Seja P = {a, c, ..., b} com |P | < δ, assim
k
a< c< a+δ e
Z
Z
Z b
Z c
Z b
b
b
f (x)dx −
f (x)dx = f (x)dx −
f (x)dx +
f (x)dx
c
c
a
a
c
usando o Teorema 1.3, pois temos f |ca e f |bc são restrições de f . Assim,
Z
Z
Z b
b
c
ε
f (x)dx = f (x)dx −
f (x)dx < k(c − a) < kδ < k = ε
c
k
a
a
Portanto,
Z
a
b
f (x)dx = lim+
c→a
Z
b
f (x)dx.
c
Com esse teorema, garatimos que se a função f : (a, b] → R
não está definida apenas no ponto a, que possui medida nula, podemos
integrá-la da mesma forma no intervalo [a, b]. Assim, segue a definição
de Integral Imprópria.
Definição 1.15. Seja f : (a, b] → R ilimitada e contínua em (a, b].
Definimos a integral imprópria de f como
Z b
Z b
f (x)dx = lim
f (x)dx.
ε→0+
a
a+ε
Analogamente, seja f : [a, b) → R ilimitada e contínua em [a, b). Defi-
nimos a integral imprópria de f como
Z b
Z
f (x)dx = lim
ε→0+
a
b−ε
f (x)dx.
a
Observação 1.8. Se f : (a, b) → R ilimitada e contínua em (a, b), pelo
Rb
Rc
Rb
Teorema 1.3, temos a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx com c ∈ (a, b),
então a integral imprópria é dada por
Z b
Z c
Z
f (x)dx = lim
f (x)dx + lim
a
ε→0+
ε→0+
a+ε
= lim
ε→0+
Z
b−ε
a+ε
f (x)dx.
b−ε
f (x)dx
c
66
Para definirmos a Integral Imprópria supomos que a função f
é contínua no intervalo (a, b), então, pelo Teorema 1.5, f é integrável,
mas o limite que tomamos pode ou não existir, nesse sentido, segue a
definição.
Rb
Definição 1.16. Se o limite limε→0+ a+ε f (x)dx existe então a integral é convergente, caso contrário é divergente. Analogamente, se o
R b−ε
limite limε→0+ a f (x)dx existe, então a integral é convergente e se
não existe a integral é divergente.
Observação 1.9. Se f : (a, b] → R é tal que f (x) > 0 para todo
Rb
x ∈ (a, b] então a f (x)dx converge se, e somente se, existe k > 0 tal
que
Z
e
Rb
a
b
a+ε
f (x)dx 6 k para todo ε ∈ (0, b − a).
Demonstração: (⇒) Suponha f (x) > 0 para todo x ∈ (a, b]
f (x)dx convergente, desse modo
0 6 lim
ε→0+
Z
b
f (x)dx = L =
a+ε
Z
b
f (x)dx.
a
Por outro lado, como f está definida em [a+ ε, b] que é compacto, então
pelo Anexo A.3, a função atinge o valor de máximo, seja M
0 6 f (x) 6 M para todo x ∈ [a + ε, b]
E como a integral é convergente, então
06
Z
b
f (x)dx 6 lim
a+ε
ε→0+
Z
b
a+ε
M dx 6 M (b − a)
Portanto, tome k = M (b − a).
Rb
(⇐) Suponha que existe k > 0 tal que a+ε f (x)dx 6 k para todo
ε ∈ [0, b − a]. Como f (x) > 0 para todo x ∈ [a + ε, b], então
06
Z
b
a+ε
f (x)dx 6 k para todo ε ∈ [0, b − a]
1.6. O INFINITO NO ESTUDO DE INTEGRAIS
Rb
Note que
a+ε
67
f (x)dx é monótona, pois a medida que aumentamos o
valor de ε o valor da função diminui, e também é limitada. E, pelo
Anexo A.8, o limite existe. Portanto, a integral converge.
Definição 1.17 (Convergência absoluta). A integral imprópria é dita
absolutamente convergente quando
Z
b
a
|f (x)| dx
converge.
Observação 1.10. Se
também é convergente.
tome f
Rb
a
f (x)dx é absolutamente convergente, então
Demonstração: Dada uma função f : (a, b] → R contínua,
+
= max {(f (x), 0)} e f − = max {(−f (x), 0)} contínuas, pois f
é contínua. Assim,
f (x) = f + (x) − f − (x) e |f (x)| = f + (x) + f − (x)
Somando e subtraindo essas expressões, temos
f + (x) =
1
1
[|f (x)| + f (x)] e f − (x) = [|f (x)| − f (x)]
2
2
Além disso,
0 6 f + 6 |f | e 0 6 f − 6 |f |
Logo,
06
Z
b
f + (x)dx 6
a
Z
a
b
|f (x)|dx e 0 6
Z
b
f − (x)dx 6
a
Z
a
b
|f (x)|dx
Rb
Rb
Rb
Como a |f (x)|dx converge, então a f+ (x)dx e a f− (x)dx devem conRb
vergir, caso contrário, a |f (x)|dx não convirgiria. Da definição de parte
positiva e negativa, temos
Z
a
b
f (x)dx =
Z
b
a
[f + (x) − f− (x)]dx
68
E pelo Teorema 1.4, segue que
Z
b
f (x)dx =
a
Portanto,
Rb
a
Z
b
Z
f + (x)dx −
a
b
f− (x)dx
a
f (x)dx também converge.
Definição 1.18. Seja f : [a, +∞) → R contínua, define-se a integral
imprópria como
Z
+∞
f (x)dx =
a
lim
B→+∞
Z
B
f (x)dx.
a
Analogamente, se f : (−∞, b] → R contínua, define-se a integral imprópria como
Z b
Z b
f (x)dx = lim
f (x)dx.
A→−∞
−∞
A
Se f : (−∞, +∞) → R contínua, define-se a integral imprópria como
Z
+∞
f (x)dx = lim
−∞
A→−∞
Z
c
f (x)dx + lim
A
B→+∞
Z
B
f (x)dx.
c
para algum c ∈ R.
1.7 SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES
Estamos acostumados a trabalhar com sequências numéricas,
no entanto também existem as sequências de funções, que no caso numérico podem ou não convergir. Mas o que significa uma sequência de
funções convergir e quais os critérios para se ter convergência?
Definição 1.19 (Convergência Pontual). Seja fn : X → R uma sequência de funções. Dizemos que esta sequência converge pontualmente para
uma função f : X → R quando a sequência definida para cada x ∈ X
converge para f (x). Assim, fn → f quando para todo ε > 0 e para cada
x ∈ X, existir n0 ∈ N, tal que se n > n0 , então
|fn (x) − f (x)| < ε.
1.7. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES
69
Assim, a convergência pontual é um conceito local, pois para
cada x e para cada ε obtemos um n0 e escrevemos n0 (ε; x).
Definição 1.20 (Convergência Uniforme). Seja fn : X → R uma
sequência de funções. Dizemos que esta sequência converge uniformemente para uma função f : X → R quando para todo ε > 0, existir
n0 ∈ N, tal que se n > n0 , então
|fn (x) − f (x)| < ε
para todo x ∈ X
Diferente da convergência pontual, na convergência uniforme o
valor de n0 depende apenas de ε, ou seja, para todos os x ∈ X temos o
mesmo valor para n0 e escrevemos n0 (ε), assim a convergêcia uniforme
é um conceito global.
Além disso, podemos definir a convergência da série
Definindo sn = f1 (x) + ... + fn (x), dizemos que a série
+∞
X
P+∞
n=1 (fn ).
(fn ) = f
n=1
converge para f quando
lim sn = f.
n→+∞
Se sn → f converge pontualmente, então a série também converge pon-
tualmente, se sn → f converge uniformemente a série também converge
uniformemente.
Observação 1.11. Se definirmos o resto da série como
rn (x) = f(n+1) (x) + f(n+2) (x) + ...,
teremos que,
+∞
X
(fn ) = sn + rn .
n=1
70
Dizer que
P+∞
n=1 (fn )
= f equivale a dizer que rn → 0 uniformemente.
Pois, para todo ε > 0 existe n0 tal que se n > n0 então
n
X
(fi ) − f < ε,
i=1
assim
+∞
X
(fn ) − f = |sn + rn − f | < ε
n=1
E como sn → f , então
|rn | < ε
Portanto, rn → 0 uniformemente.
Teorema 1.18. Se uma sequência de funções fn : X → R converge
uniformemente para f : X → R e cada fn é contínua no ponto a ∈ X,
então f também é contínua.
Demonstração: Como fn → f uniformemente, então para
ε
para
3
ε
todo x ∈ X, em particular vale para x = a, então |fn (a) − f (a)| < .
3
Além disso, como cada fn é contínua no ponto a, então para todo ε > 0,
ε
existe δ > 0 tal que se x ∈ Xe |x − a| < δ então |fn (x) − fn (a)| < .
3
Com isso,
todo ε > 0, existe n0 tal que se n > n0 então |fn (x) − f (x)| <
|f (x) − f (a)| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (a) + fn (a) − f (a)| 6
ε
=ε
3
Portanto, se |x − a| < δ então |f (x) − f (a)| < ε, logo f é contínua.
|f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (a)| + | |fn (a) − f (a)| < 3
Definição 1.21 (Convergência Monótona). Seja fn : X → R uma
sequência de funções. Dizemos que fn converge monotonicamente para
f : X → R, quando para cada x ∈ X e para cada n ∈ N a sequência
(fn (x))n∈N é monótona e converge pontualmente para f (x).
Teorema 1.19 (Dini). Se a sequência de funções contínuas fn : X →
R converge monotonicamente para f : X → R e se X é compacto, então
a convergência é uniforme.
1.7. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES
71
Demonstração: Suponha que fn convirja para f monotonicamente e que cada fn e a função f sejam convergentes. Dado ε > 0,
tome
Xn = {x ∈ X; |fn (x) − f (x)| > ε}
para cada n ∈ N. Vamos usar o fato de que os conjuntos Xn são compactos e provaremos isso ao final desta demonstração.
Como fn converge monotonicamente, então
|f1 (x) − f (x)| > |f2 (x) − f (x)| > ... > |fn (x) − f (x)| > ε
pois a medida que aumentamos o valor de n a distância entre fn (x) e
f (x) diminui, pois fn → f .
Como limn→+∞ fn (x) = f (x), então
lim fn (x) − f (x) = |f (x) − f (x)| = 0.
n→+∞
Assim, para n suficientemente grande, temos |fn (x) − f (x)| < ε para
todo x ∈ X. Ou seja, para algum n0 o conjunto Xn é vazio. Portanto,
+∞
\
Xn = φ
n=1
Então, pelo Anexo A.6, para n > n0 temos Xn = φ. Portanto, dado
ε > 0, existe n0 tal que se n > n0 então |fn (x) − f (x)| < ε para todo
x ∈ X e, assim, fn converge uniformemente para f .
Para concluir a demonstração, vamos provar que os Xn são
compactos.
De fato, seja x ∈ X¯n , então existe alguma sequência (xk ) ⊂ Xn tal que
xk → x, quando k → +∞. Mas f e fn são contínuas em X, então
f (xk ) → f (x) e fn (xk ) → f (x)
quando k → +∞ e n → +∞.
Mas para todo k ∈ N, temos que
|fn (xk ) − f (xk )| > ε
72
Tomando o limite quando k → +∞, temos
lim |fn (xk ) − f (xk )| > ε
k→+∞
lim [fn (xk ) − f (xk )] > ε
k→+∞
Mas supomos xk → x, então
|fn (x) − f (x)| > ε
logo x ∈ Xn e todo ponto de aderência de Xn está nesse conjunto,
portanto Xn é fechado.
Resta provar que Xn é limitado. Sabemos que X é compacto, então é
limitado. Mas para todo n ∈ N, temos que Xn ⊂ X, portanto Xn é
limitado. Assim, como Xn é limitado e fechado, é compacto.
Os últimos teoremas que provamos servirão para alcançar o
objetivo final do estudo de Integral de Riemann para este trabalho.
1.8 TEOREMA DE PASSAGEM AO LIMITE SOB O SINAL
DE INTEGRAL
No estudo de sequências de funções, podemos falar das sequências de funções integráveis convergentes. Mas quais as condições para
que o limite dessa sequência também seja integrável e, além disso, para
que seja possível trocar o sinal da integral com o limite?
Teorema 1.20 (Passagem ao limite sob o sinal de integral). Se a
sequência de funções integráveis fn : [a, b] → R converge uniformemente
para f : [a, b] → R então f é integrável e
Z b
Z b
Z
lim fn (x)dx =
f (x)dx = lim
a n→+∞
a
n→+∞
b
fn (x)dx
a
Demonstração: Suponha fn : [a, b] → R uma sequência de
funções integráveis que converge uniformemente para f : [a, b] → R.
1.8. PASSAGEM AO LIMITE SOB INTEGRAL
73
Inicialmente, vamos provar que f é integrável. Como fn converge uniformemente para f , temos que dado ε > 0, existe n0 tal que se n > n0
então
|f (x) − fn (x)| <
para todo x ∈ [a, b].
ε
4(b − a)
Fixe m > n0 . Como fm é integrável, então existe uma partição P =
{t0 , ..., tn } de [a, b] tal que, se ωi′ é a oscilação de fm no intervalo [ti−1 , ti ]
Pn
ε
de P , temos i=1 ωi′ (ti − ti−1 ) < e, ainda, |fm (y) − fm (x)| < ωi′ .
2
Além disso, para quaisquer x, y ∈ [a, b], sempre temos
|f (y) − f (x)| 6 |f (y) − fm (y) + fm (y) − fm (x) + fm (x) − f (x)| 6
|f (y) − fm (y)| + |fm (y) − fm (x)| + |fm (x) − f (x)| <
ε
ωi′ + 2
4(b − a)
Mas pelo Lema 1.3 temos que ωi é o sup |f (y) − f (x)|, e como tomamos
x, y ∈ [a, b] arbitrários, temos
ωi 6 ωi′ +
e assim
n
X
i
ε
2(b − a)
n
ωi (ti −ti−1 ) 6
Logo,
X
n
ωi′ (ti −ti−1 )+
n
X
i
X
ε
ε ε
(ti −ti−1 ) < + = ε
2(b − a) i
2 2
ωi (ti − ti−1 ) < ε
e, assim, f é integrável, pelo Teorema 1.2.
Rb
Rb
Agora, vamos provar que a f (x)dx = limn→+∞ a f (x)dx. De fato,
Z
Z
Z b
b
b
f (x)dx −
fn (x)dx = [f (x) − fn (x)]dx
a
a
a
Mas pelo Teorema 1.4, temos que
Z
Z
b
b
(b − a)ε
<ε
|f (x) − fn (x)| dx 6
[f (x) − fn (x)]dx 6
a
4(b
− a)
a
74
Portanto, pela definição de limite,
Z b
Z b
Z
lim fn (x)dx =
f (x)dx = lim
a n→+∞
n→+∞
a
b
fn (x)dx
a
Com esse Teorema, provamos que para uma sequência de funções integráveis convergir para uma função integrável segundo Riemann
e a fim de trocar o sinal da integral com o limite é necessário que, além
de que (fn ) seja uma sequência de funções integráveis, essa sequência
seja uniformemente convergente.
Exemplo 1.1. Seja fn : [0, 4] → R uma sequência de funções definida
por
1
.
n
fn (x) = x −
Perceba que a sequência fn (x) converge uniformemente para a
função f (x) = x. Isso ocorre pois
1
=x
n
e, além disso, para cada x que pertence ao compacto [0, 4] temos que a
lim fn (x) = lim x −
n→+∞
n→+∞
sequência numérica fn (x) é monótona, então pelo Teorema 1.19, essa
convergência é uniforme.
Desse modo as condições do Teorema de passagem ao limite sob o sinal
de integral estão satisfeitas e é possível aplicá-lo. Logo,
lim
n→+∞
Z
0
4
x−
1
dx
n
=
=
4
Z
lim x −
0 n→+∞
Z 4
1
dx
n
xdx
0
=
x2
2
4
= 8.
0
Assim encerramos o que se pretendia a respeito da Integral de
Riemann para este trabalho.
75
2 FUNÇÕES MENSURÁVEIS
Para iniciarmos o estudo da Integral de Lebesgue é fundamental
o estudo de funções mensuráveis, pois é uma condição necessária para
formalizar essa integral. E, além disso, em tudo que nos referirmos a
funções mensuráveis e a essa integral iremos mencionar uma coleção
de conjuntos chamada de σ-álgebra. A partir deste Capítulo, vamos
convencionar que 0 · (+∞) = 0. A fim de definir e estudar tudo o que
se refere a essa integral, iremos usar o livro de Bartle (1995).
Definição 2.1. Seja X um conjunto. Uma família χ de subconjuntos
de X é chamada de σ-álgebra quando satisfaz:
i. Os conjuntos X e φ pertencem a χ;
ii. Se um subconjunto A está em χ então seu complementar Ac também está em χ;
iii. Seja (An )n∈N uma sequência de conjuntos em χ, então a união
S
enumerável n∈N An também está em χ.
Perceba que, em geral, para o mesmo conjunto é possível en-
contrar mais de uma σ-álgebra, desde que sejam satisfeitas as condições
da Definição.
Observação 2.1. Segue que, se χ é uma σ-álgebra e (An )n∈N é uma
T
sequência de conjuntos em χ então a intersecção enumerável n∈N An
também pertence a χ. Isso ocorre porque, pelo item (ii) da definição
2.1, temos que o complementar Acn de cada termo da sequência também
S
pertence a χ e, pelo ítem (iii) da mesma definição, n∈N Acn pertence
c
T
S
e, pelo
a χ. Mas, pelas lei de De Morgan, n∈N Acn =
n∈N An
T
item (ii), o complementar deste conjunto pertence a χ, assim n∈N An
também está na σ-álgebra.
76
Capítulo 2. FUNÇÕES MENSURÁVEIS
Chamamos de espaço mensurável o par ordenado (X, χ) formado pelo conjunto X e por uma σ-álgebra e dizemos que X é χmensurável ou apenas mensurável, quando a σ-álgebra estiver clara no
contexto.
Exemplo 2.1. 1. A menor σ-álgebra χ de um conjunto X é formada
por X e pelo conjunto vazio, ou seja, χ = {φ, X} e a maior é dada por
χ = {A; A ⊆ X}, isto é, formada por todos os subconjuntos de X.
2. Sejam χ1 , χ2 duas σ-álgebras de X, então a interseção χ
delas também é uma σ-álgebra. Pois,
i. φ, X pertencem a χ1 e χ2 , então pertencem a χ1 ∩ χ2 = χ.
ii. Se A está em χ, então A ∈ χ1 e χ2 , como χ1 , χ2 são σ-álgebras
então Ac ∈ χ1 e χ2 , portanto Ac ∈ χ.
iii. Seja uma sequência de conjuntos An em χ, então An ∈ χ1 e χ2
S
S
e, pela definição, n∈N An ∈ χ1 e χ2 , portanto n∈N An ∈ χ.
3. Seja A uma coleção de subconjuntos de X, tome todas as
σ-álgebras que contêm A, a interseção destas também é uma σ-álgebra,
pelo exemplo anterior. Essa interseção é a menor σ-álgebra que contém
A e é chamada de σ-álgebra gerada por A.
4. A Álgebra de Borel é uma σ-álgebra B para o conjunto dos
números reais R que é gerada por todos os intervalos abertos (a, b)
de números reais. Observe que a Álgebra de Borel também é gerada
por todos os intervalos fechados [a, b] da reta, pois como B é formado
por todos os intervalos abertos da reta, temos que para todo n ∈ N o
conjunto
1
1
x ∈ R; a − < x < b +
n
n
pertence a B, por ser um intervalo aberto. Mas se para todo n isso acontece, temos uma sequência de conjuntos em B, então pela Observação
77
2.1, segue que
+∞
\
1
1
∈ B.
x ∈ R; a − < x < b +
n
n
n=1
Observe também que essa sequência é decrescente no sentido de que
A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ..., assim se tomarmos a interseção finita
Tn
teremos que i=1 Ai = An , então como queremos a interseção infinita,
devemos tomar o conjunto do tipo An no qual n → +∞, assim
lim a −
n→+∞
1
1
6 lim x 6 lim b +
n→+∞
n n→+∞
n
Logo,
+∞
\
1
1
= {x ∈ R; a 6 x 6 b} .
x ∈ R; a − < x < b +
n
n
n=1
Portanto, a Álgebra de Borel, também é a σ−álgebra gerada por todos
os intervalos fechados da reta.
Qualquer conjunto na Álgebra de Borel é chamado de conjunto de Borel.
Definição 2.2 (Função Mensurável). Dizemos que uma função f :
X → R é χ−mensurável se para todo α ∈ R o conjunto
{x ∈ X; f (x) > α}
pertence a χ.
Lema 2.1. Seja f : X → R e χ uma σ-álgebra. As seguintes afirmações
são equivalentes:
i. Para todo α ∈ R o conjunto Aα = {x ∈ X; f (x) > α} está em χ.
ii. Para todo α ∈ R o conjunto Bα = {x ∈ X; f (x) 6 α} está em χ.
iii. Para todo α ∈ R o conjunto Cα = {x ∈ X; f (x) > α} está em χ.
iv. Para todo α ∈ R o conjunto Dα = {x ∈ X; f (x) < α} está em χ.
78
Acα
Demonstração: (i ⇔ ii) Se Aα ∈ χ, então pela definição 2.1,
∈ χ, mas Acα = Bα .
(i ⇒ iii) Suponha que para cada α ∈ R o conjunto Aα ∈ χ, em
1
particular temos que isso vale para o número real α − , assim
n
1
A 1 = x ∈ X; f (x) > α −
α− n
n
pertence a χ para cada n ∈ N. Pela Observação 2.1, temos que a interseção enumerável
\
Aα− 1
n∈N
n
também pertence a χ.
T
T
Observe que Cα ⊃ n∈N Aα− 1 , pois seja x ∈ n∈N Aα− n1 , então para
n
todo n ∈ N
f (x) > α −
1
n
Mas como isso vale para todo n, temos
lim f (x) > lim α −
n→+∞
n→+∞
1
n
Logo,
f (x) > α
Mas essa é a condição para pertencer a Cα , então Cα ⊃
T
Além disso, Cα ⊂ n∈N Aα− 1 , pois seja x ∈ Cα então
n
f (x) > α > α −
Então x ∈ A
1
α− n
T
n∈N
1.
α− n
A
1
para qualquer n ∈ N.
n
para todo n ∈ N. Dessa forma, temos que
Cα =
\
n∈N
Aα− n1 ∈ χ
e, portanto, Cα ∈ χ.
(i ⇐ iii) Suponha que para cada α ∈ R o conjunto Cα ∈ χ, em parti-
cular, para cada n ∈ N o conjunto
1
Cα+ 1 = x ∈ X; f (x) > α +
n
n
79
pertence a χ. Pela definição de σ−álgebra, temos que
+∞
[
Cα+ 1
n
n=1
também pertence a χ.
S+∞
S+∞
Mas perceba que Aα ⊃ n=1 Cα+ n1 , pois se x ∈ n=1 Cα+ n1 , então
para algum n ∈ N temos x ∈ Cα+ n1 e
x é tal que f (x) > α +
1
n
1
> α, então f (x) > α, logo x ∈ Aα .
n
S+∞
Além disso, Aα ⊂ n=1 Cα+ n1 , pois se x ∈ Aα , então
Mas α +
f (x) > α,
dessa forma, existe algum q ∈ R tal que
f (x) > q > α
1
1
= α e para todo n ∈ N temos α + > α,
n
n
então para algum n ∈ N temos que
Mas como limn→+∞ α +
q > α+
1
> α.
n
1
Então f (x) > α + para algum n, o que é suficiente para x pertencer
n
S+∞
a n=1 Cα+ n1 . Logo,
+∞
[
Aα =
C 1
n=1
α+ n
e, portanto, Aα ∈ χ.
(iii ⇔ iv) Se Cα ∈ χ, então pela definição 2.1, Cαc ∈ χ, mas Cαc = Dα .
Exemplo 2.2. 1. Seja f : X → R uma função limitada e seja B a
Álgebra de Borel. Então a função f é mensurável.
Como f é limitada, então existe algum k ∈ R tal que
−k 6 f (x) 6 k para todo x ∈ X.
80
Se α < −k, temos que
{x ∈ X; f (x) 6 α} = φ ∈ χ
Se α > k, temos que
{x ∈ X; f (x) > α} = φ ∈ χ
Se −k 6 α 6 k, então
{x ∈ X; f (x) > α}
pertence a B, pois é um intervalo de números reais. Portanto, uma
função limitada é B−mensurável.
No entanto, se considerarmos χ como sendo a menor σ−álgebra,
isto é, χ = {φ, X} a função não é mensurável, pois nos casos α < −k e
α > k, em nada difere.
Mas se −k 6 α 6 k, então o conjunto
{x ∈ X; f (x) > α}
não pertence a χ. E assim, uma função limitada não é χ−mensurável.
2. Toda função contínua f : X → R é B-mensurável.
De fato, para todo α ∈ R, temos que o conjunto
{x ∈ X; f (x) > α}
é um intervalo de números reais, e portanto, pertence a B.
3. Toda função monótona f : X → R é B-mensurável.
Suponha f monótona não decrescente, sendo assim temos que x 6 y ⇔
f (x) 6 f (y) para x, y ∈ X. Então, temos que o conjunto
{x ∈ X; f (x) > α}
corresponde ao conjunto
{x ∈ X; x > a}
81
para algum a tal que f (a) = α e a ∈ X, que pertence a χ por ser um
intervalo.
Assim como para as funções limitadas, as contínuas e as monótonas podem não ser mensuráveis dependendo da σ−álgebra que tomarmos.
Pelos exemplos acima, vimos que uma função pode ser mensurável com relação a uma σ−álgebra, mas em relação a outra pode não
ser. No entanto, o estudo da Integral de Lebesgue irá considerar apenas
as funções mensuráveis em determinada σ−álgebra.
Lema 2.2. Sejam f, g : X → R funções mensuráveis e seja c ∈ R.
Então também são mensuráveis as funções: (i.) c · f ;
f + g; (iv.) f · g; (v.) |f |.
(ii.) f 2 ; (iii.)
Demonstração: i. Suponha f mensurável, então para todo
α ∈ R o conjunto
{x ∈ X; f (x) > α} ∈ χ.
Se c = 0, então c · f (x) = 0 para todo x ∈ X, então pelo exemplo
anterior, c · f é mensurável.
n
αo
e, como f
Se c > 0, então {x ∈ X; c · f (x) > α} = x ∈ X; f (x) >
c
é mensurável, este conjunto pertence a χ.
n
αo
e, como f
Se c < 0, então {x ∈ X; c · f (x) > α} = x ∈ X; f (x) <
c
é mensurável e pelo Lema 2.1, este conjunto pertence a χ. Portanto, a
função c · f é mensurável.
ii. Suponha f mensurável e α > 0, então
√ √ x ∈ X; f 2 (x) > α = x ∈ X; f (x) < − α ∪ x ∈ X; f (x) > α
Como f é mensurável, usando o Lema 2.1, sabemos que os conjuntos
√ √ x ∈ X; f (x) < − α e x ∈ X; f (x) > α
pertencem a χ e, pela Definição 2.1, a união deles também pertence a
χ.
82
Se α < 0, então
x ∈ X; f 2 (x) > α = X
que pertence a χ, por definição.
iii. Suponha f e g mensuráveis, então
{x ∈ X; f (x) > q} ∈ χ e
{x ∈ X; g(x) > α − q} ∈ χ
onde fixamos q ∈ Q. Então, pela observação 2.1, temos
Sq = {x ∈ X; f (x) > q} ∩ {x ∈ X; g(x) > α − q} ∈ χ
Afirmo que,
[
q∈Q
Sq = {x ∈ X; (f + g)(x) > α}
que é uma união enumerável de conjuntos que estão em χ, então pertence a χ, por definição.
S
De fato, seja x ∈ q∈Q Sq , então para algum q ′ ∈ Q temos x ∈ Sq′ e é
tal que
f (x) > q ′ e g(x) > α − q ′
S
então f (x)+ g(x) > α e, portanto, q∈Q Sq ⊂ {x ∈ X; (f + g)(x) > α}.
Por outro lado, se x ∈ {x ∈ X; (f + g)(x) > α}, então x é tal que
f (x) + g(x) > α ⇒ α − g(x) < f (x)
Mas em todo intervalo da reta existem sempre números irracionais e
racionais, então existe q ∈ Q tal que
α − g(x) < q < f (x)
S
Assim, f (x) > q e g(x) > α − q, então x ∈ q∈Q Sq . Portanto,
[
Sq = {x ∈ X; (f + g)(x) > α} ∈ χ
q∈Q
e, assim, f + g é mensurável.
iv. Suponha f e g mensuráveis e observe que
i
1h
2
2
(f + g) + (f − g)
f ·g =
4
(2.1)
83
Pois,
i 1
1h
(f + g)2 − (f − g)2 =
f 2 + 2f g + g 2 − f 2 + 2f g − g 2 = f · g
4
4
Como f e g são mensuráveis, então na expressão 2.1 temos soma de
quadrados, portanto, pelos ítens anteriores desse Lema, f · g é mensurável.
v. Suponha f mensurável e α > 0, então
{x ∈ X; |f (x)| > α} = {x ∈ X; f (x) > α} ∪ {x ∈ X; f (x) < −α}
que pertence a χ, pois f é mensurável e pelo Lema 2.1.
Se α < 0, então
{x ∈ X; |f (x)| > α} = X
que pertence a χ por definição.
Observação 2.2. Seja f uma função mensurável. Defina a parte positiva f + e a parte negativa f − da função, que são funções não negativas,
tais que
f + = sup {f (x), 0} e f − = sup {−f (x), 0}
Observe que f = f + − f − e |f | = f + + f − , assim
f+ =
1
1
(|f | + f ) e f − = (|f | − f )
2
2
Então, pelo Lema 2.2, as funções f + e f − são mensuráveis.
Definição 2.3. Chamamos uma função f de função estendida quando
f : X → R̄, ou seja, a função assume os valores de +∞ e −∞. A coleção
de todas as funções estendidas que são χ−mensuráveis é denotado por
M (X, χ).
Observação 2.3. Seja f ∈ M (X, χ) então os conjuntos
i. {x ∈ X; f (x) = +∞} e ii. {x ∈ X; f (x) = −∞}
84
pertencem a χ.
i. Perceba que
{x ∈ X; f (x) = +∞} =
∞
\
n=1
{x ∈ X; f (x) > n}
Pois seja x ∈ {x ∈ X; f (x) = +∞} então f (x) = +∞ se, e somente se,
T∞
para todo n ∈ N temos f (x) > n, portanto x ∈ n=1 {x ∈ X; f (x) > n}.
Assim, como cada {x ∈ X; f (x) > n} pertence a χ pela definição de
Funções Mensuráveis, então pela Observação 2.1, a interseção desses
conjuntos também pertence a χ e, assim,
{x ∈ X; f (x) = +∞} ∈ χ.
ii. Observe que
{x ∈ X; f (x) = −∞} =
"
∞
[
n=1
#c
{x ∈ X; f (x) > −n}
Pois se x ∈ {x ∈ X; f (x) = −∞}, então x ∈ X, mas
x∈
/ {x ∈ X; f (x) > −n} para todo n ∈ N,
portanto
x∈
"
∞
[
n=1
#c
{x ∈ X; f (x) > −n}
.
S
c
Se x ∈ [ ∞
n=1 {x ∈ X; f (x) > −n}] , então, pela Lei de De Morgan,
"∞
#
\
x∈
{x ∈ X; f (x) 6 −n}
n=1
Logo
Então, f (x) 6 limn→∞ −n = −∞, portanto f (x) = −∞.
{x ∈ X; f (x) = −∞} =
"
∞
[
n=1
#c
{x ∈ X; f (x) > −n}
.
S∞
c
Como o conjunto [ n=1 {x ∈ X; f (x) > −n}] pertence a χ pela definição de Função Mensurável e de σ−álgebra, temos,
{x ∈ X; f (x) = −∞} ∈ χ.
85
Lema 2.3. Uma função f ∈ M (X, χ) se, e somente se, os conjuntos
A = {x ∈ X; f (x) = +∞} e B = {x ∈ X; f (x) = −∞}
pertencem a χ e a função
é mensurável.

f (x) se x ∈
/ A∪B
f1 (x) =
0 se x ∈ A ∪ B
Demonstração: ⇒ Suponha f ∈ M (X, χ) então pela obser-
vação 2.3 os conjuntos A e B pertencem a χ. Além disso, se α > 0
temos
{x ∈ X; f1 (x) > α} = {x ∈ X; f (x) > α} − A
pois, nesse caso, queremos os valores de x tais que a função f1 (x) > 0,
e os valores de x que estão em A são os valores em que f1 (x) = 0. Se
α < 0, então
{x ∈ X; f1 (x) > α} = {x ∈ X; f (x) > α} ∪ B
pois queremos todos os valores em que f1 (x) = 0, mas no conjunto
{x ∈ X; f (x) > α} estão apenas os elementos de A, no entanto os elementos de B também tornam f1 (x) = 0. Assim, como f é mensurável,
f1 também é.
⇐Suponha f1 mensurável e A, B ∈ χ. Se α > 0, temos
{x ∈ X; f (x) > α} = {x ∈ X; f1 (x) > α} ∪ A
pois, nesse caso, queremos os valores de x tais que f (x) > 0 e no
conjunto {x ∈ X; f1 (x) > α} estão apenas valores finitos, mas a função
f é estendida, então assume o valor de +∞. Se α < 0, temos
{x ∈ X; f (x) > α} = {x ∈ X; f1 (x) > α} − B
pois os valores de x tais que f (x) > α são maiores que −∞, portanto os
elementos de B não estão em {x ∈ X; f (x) > α}. Dessa forma, a função
estendida f é mensurável e, assim, pertence a M (X, χ).
86
Definição 2.4 (Limites de sequências). Seja (xn ) : N → R̄ uma
sequência, definimos
lim sup xn = inf
m
sup xn
inf xn
n>m
lim inf xn = sup
m
n>m
Quando lim sup xn = lim inf xn a sequência é convergente e chamamos
esse valor de limite da sequência e denotamos por lim xn .
Para sequência de funções, definimos a sequência numérica definida para cada x que pertence ao domínio (X) e tomamos o seu limite.
O limite da sequência de funções será a função f : X → R definida por
f (x) = lim fn (x) para cada x ∈ X.
Lema 2.4. Seja fn uma sequência de funções em M (X, χ), então também pertencem a M (X, χ) as funções:
(i.) f (x) = inf fn (x) (ii.) F (x) = sup fn (x)
(iii.) f ∗ (x) = lim inf fn (x) e (iv.) F ∗ (x) = lim sup fn (x)
Demonstração: i. Suponha f (x) = inf fn (x) e observe que
A = {x ∈ X; f (x) > α} =
\
n∈N
{x ∈ X; fn (x) > α} = B.
T
O conjunto B = n∈N {x ∈ X; fn (x) > α} pertence a χ, pois as funções
fn são mensuráveis, então cada {x ∈ X; fn (x) > α} pertence a χ e,
assim, a interseção enumerável desses conjuntos também pertence a χ.
Seja x ∈ A, então f (x) > α, ou seja, inf fn (x) > α, então para todo
n ∈ N temos α 6 inf fn (x) 6 fn (x), pela definição de ínfimo, assim x
também pertence a {x ∈ X; fn (x) > α} para todo n, portanto x ∈ B.
Se x ∈ B, então para todo n ∈ N temos fn (x) > α assim inf fn (x) > α,
ou seja, f (x) > α e x ∈ A. Portanto, A = B e a função f (x) = inf fn (x)
87
também pertence a M (X, χ).
ii. Suponha F (x) = sup fn (x) e observe que
U = {x ∈ X; F (x) > α} =
[
n∈N
{x ∈ X; fn (x) > α} = W
S
O conjunto W = n∈N {x ∈ X; fn (x) > α} pertence a χ, pois as funções fn são mensuráveis, então cada {x ∈ X; fn (x) > α} pertence a χ
e, assim, a união enumerável desses conjuntos também pertence a χ.
Seja x ∈ U , então F (x) > α, ou seja, sup fn (x) > α, assim, para algum
n ∈ N temos fn > α, logo x ∈ W .
Se x ∈ W , então para algum n temos fn (x) > α, mas sup fn (x) >
fn > α, então x ∈ U . Assim, U = W e, portanto, F (x) = sup fn (x) ∈
M (X, χ).
iii. Suponha f ∗ (x) = lim inf fn (x), pela definição de limite inferior temos
f ∗ (x) = sup inf fm (x) .
n>1
m>n
Mas inf fm (x) pertence a M (X, χ) pelo item (i) desse Lema e pelo item
m>n
(ii) sup inf fm (x) pertence a M (X, χ) . Portanto f ∗ (x) pertence a
m>n
n>1
M (X, χ).
iv. Suponha F ∗ (x) = lim sup fn (x), pela definição de limite superior
temos
∗
F (x) = inf sup fm (x) .
n>1
m>n
Mas sup fm (x) pertence a M (X, χ) pelo item (ii) desse Lema, e pelo
m>n
ítem (i) inf sup fm (x) também pertence a M (X, χ). Portanto F ∗ (x)
n>1
m>n
pertence a M (X, χ).
Corolário 2.1. Seja (fn ) uma sequência de funções em M (X, χ) que
converge pontualmente para f , então f ∈ M (X, χ).
Demonstração: Suponha fn (x) → f (x) para cada x ∈ X,
pelo Lema anterior, sabemos que lim inf fn (x) e lim sup fn (x) perten-
88
cem a M (X, χ). Mas pela definição de limite, temos
lim inf fn (x) = lim sup fn (x) = lim fn (x) para cada x ∈ X
Como fn (x) → f (x) então
f (x) = lim fn (x) para cada x ∈ X
que pertence a χ, pelo Lema 2.4.
Portanto, o limite de uma sequência de funções mensuráveis, também
é mensurável.
Lema 2.5. Seja f ∈ M (X, χ) uma função não negativa, então existe
uma sequência (ϕn ) ∈ M (X, χ) que satisfaz
i. 0 6 ϕn (x) 6 ϕn+1 (x) para cada x ∈ X e para todo n ∈ N.
ii. f (x) = lim ϕn (x) para cada x ∈ X.
iii. Cada ϕn possui apenas um número finito de valores reais, isto é,
é uma função simples (Definição 4.1).
Demonstração: Suponha f ∈ M (X, χ) e tal que f (x) > 0
para todo x ∈ X. Para cada n ∈ N, tome
Ekn = x ∈ X; k · 2−n 6 f (x) < (k + 1)2−n
para k = 0, 1, ..., n · 2n − 1. E para k = n · 2n , tome
Ekn = {x ∈ X; f (x) > n} .
Perceba que
a) Os conjuntos Ekn são disjuntos para cada n, pois o extremo da direita do conjunto Ekn é o extremo da esquerda do conjunto Ek(n+1) .
b) Cada Ekn pertence a χ, pois supomos f mensurável.
S+∞
c) Perceba também que n=1 Ekn = X, pois por (a) temos que o extremo a direita de um conjunto Ekn é o extremo a esquerda do Ek(n+1) ,
89
assim
S+∞
i=1
Ekn é um intervalo de números reais. Além disso, temos que,
para k = n · 2n ,
Ekn = {x ∈ X; f (x) > n} .
Assim, o intervalo não é limitado superiormente. E ainda, para n = 1
e k = 0, temos que
E01
1
= x ∈ X; 0 6 f (x) <
2
e como a função é não-nagativa, temos que
S+∞
i=1
Ekn = X. Com isso,
tome ϕn (x) = k · 2 para x ∈ Ekn e segue que:
i. 0 6 ϕn (x) 6 ϕn+1 (x) para cada x ∈ X e para todo n ∈ N.
−n
ii. f (x) = lim ϕn (x) para cada x ∈ X.
Pois tomamos ϕn (x) = k · 2−n para x ∈ Ekn , mas perceba que nos
conjuntos
Ekn = x ∈ X; k · 2−n 6 f (x) < (k + 1)2−n
temos que nesses conjuntos x é tal que ϕ(x) 6 f (x) < ϕ(x)+2−n , assim
para n grande o bastante temos que ϕ(x) está tão próxima quanto se
queira da função f (x) para cada x.
iii. Cada ϕn possui apenas um número finito de valores reais, pois tomamos apenas um número finito de Ekn .
Esse lema pode ser representado pelo gráfico abaixo, no qual
cada cor indica uma função da sequência. Observe que o Lema não
exige convergência uniforme. Então para todo ε > 0 existe n0 (ε) ∈ N
tal que se n > n0 então |f (x) − ϕn (x)| < ε para cada x ∈ X.
O Lema 2.5 é de fundamental importância para o estudo da
Integral de Lebesgue, pois nos garante a existência de uma sequência
de funções simples que converge para uma função não negativa e mensurável, ou seja, para uma função que pertence a M + (X, χ). Mais do
que isso, devemos lembrar que pela Observação 2.2 podemos tomar a
parte positiva e a negativa de uma função, que são não negativas. Então
para a parte positiva conseguimos uma sequência de funções e para a
90
Figura 6 – Sequência de funções conforme Lema 2.5
parte negativa também conseguimos uma sequência que cumprem as
condições do lema acima.
91
3 MEDIDA
No Capítulo 1 deste trabalho, definimos Medida Nula utilizando Coberturas e o comprimento de cada intervalo que compõe essa
Cobertura. Porém essa não é a uma definição rigorosa para Medida.
Neste Capítulo será definida e estudada Medida como uma função que
associa a cada elemento da σ−álgebra um valor não negativo que pertence a R̄. Este capítulo, assim como capítulo anterior constituem uma
preparação para o estudo da Integral de Lebesgue. Para alcançar esse
objetivo será utilizado o livro de Bartle (1995).
Definição 3.1 (Medida). Uma medida é uma função µ : χ → R̄ tal
que
i. µ(φ) = 0;
ii. Para todo E ∈ χ, µ(E) > 0;
iii. A função µ deve ser enumerável aditiva, isto é, seja (En )n∈N uma
sequência de conjuntos em χ tal que En ∩ Em = φ para n 6= m
então
µ(
[
n∈N
En ) =
∞
X
µ(En ).
n=1
S
Observação 3.1. No ítem (iii) desta definição, se ocorrer µ( n∈N En ) =
P∞
+∞ então para algum n ∈ N temos µ(En ) = +∞ ou a série n=1 µ(En )
diverge.
S
Se µ( n∈N En ) < ∞, então a medida µ é dita finita.
S
Se existir uma sequência (En )n∈N ∈ χ tal que X = n∈N En e µ(En ) <
+∞ para todo n ∈ N, então a medida µ é dita σ−finita.
Exemplo 3.1. 1.Seja X 6= φ e χ uma σ−álgebra de X e tome p ∈ X
fixo. Então a função
Capítulo 3. MEDIDA
92
é uma medida. Pois,

0 se p ∈
/E
µ(E) =
1 se p ∈ E 6= φ
i. µ(φ) = 0, pois p ∈
/ φ;
ii. Para todo E ∈ χ, µ(E) > 0;
iii. Se (En )n∈N é uma sequência disjunta de conjuntos em χ então se
S
p∈
/ n∈N En então
µ(
[
En ) = 0 =
S
n∈N En ,
µ(En )
n=1
n∈N
mas se p ∈
∞
X
então para um, e somente um, En temos
p ∈ En , portanto
µ(
[
En ) = 1 =
n∈N
∞
X
µ(En )
n=1
2. Seja X = N e χ a σ−álgebra formada por todos os subconjuntos de N. Defina a função µ como: se E ∈ χ é finito, então
µ(E) = #E e se E ∈ χ for infinito, então µ(E) = +∞. Então µ é uma
medida.
i. µ(φ) = #φ = 0, por definição;
ii. Para todo E ∈ χ, µ(E) = #E > 0 ou µ(E) = +∞ > 0;
iii. Se (En )n∈N é uma sequência disjunta de conjuntos em χ então
µ(
[
n∈N
En ) = +∞ =
∞
X
µ(En )
n=1
pois a união infinita da sequência disjunta é um conjunto infinito
e a série é crescente sem limitante superior.
93
Observe que essa medida não é finita, porém é σ−finita, basta tomar a
S
sequência En = {n}, na qual #En = 1 para todo n ∈ N e n∈N En = N.
3. Seja X = R e B a Álgebra de Borel. A medida λ(E) =
b − a com E = (a, b) é a única que coincide com o comprimento dos
intervalos abertos e chama-se Medida de Lebesgue. Essa Medida não
é finita, pois se tomarmos uma sequêcia de conjuntos En ∈ B então
S
λ( n∈N En ) = +∞, porém ela é σ−finita, basta tomarmos a sequência
de todos os intervalos abertos de números reais de comprimento finito.
4. Seja X = R, B a σ−álgebra de Borel e seja f uma função
contínua, monótona não decrescente. Existe única medida λf (E) =
f (b) − f (a) definida em E = (a, b), que se chama Medida de BorelStieltjes gerada por f .
Os próximos exemplos serão úteis para demonstrações do próximo capítulo.
Exemplo 3.2. Seja µ uma medida em χ e seja A ∈ χ fixo, então
λ(E) = µ(A ∩ E) é uma medida em χ.
Suponha A ∈ χ um conjunto fixo, E ∈ χ qualquer e µ uma medida.
i. Se A ∩ E = φ, então µ(φ) = 0, pois µ é medida.
ii. Temos que o conjunto A ∩ E pertence a χ, pois A ∩ E = (Ac ∪ E c )c ,
que pertence a χ pela definição de σ−álgebra. Como A ∩ E ∈ χ, então
µ(A ∩ E) > 0.
iii. Seja (A ∩ E)j uma sequência disjunta de conjunto em χ. Então
temos que (A ∩ E)j = (A ∩ Ej ) pois A é fixo, e como a sequência é
disjunta os Ej devem ser disjuntos.
Assim, temos




+∞
+∞
+∞
+∞
X
[
X
[
µ(A∩E)j
µ
(A ∩ E)j  = µ 
µ(A∩Ej ) =
(A ∩ Ej ) =
j=1
j=1
pois µ é medida e A ∩ Ej ∈ χ.
Logo, µ(A ∩ E) é uma medida.
j=1
j=1
Capítulo 3. MEDIDA
94
Exemplo 3.3. Sejam µ1 , ..., µn medidas em χ e a1 , ..., an números reais
não negativos. Então a função λ definida em E ∈ χ por
λ(E) =
n
X
aj µj (E)
j=1
é uma medida.
De fato, como µj para j = 1, ...n são medidas, temos
i. Se E = φ, então
λ(E) =
n
X
aj µj (E) = 0
j=1
pois µj (φ) = 0 para todo j = 1, ..., n.
ii. Para todo E ∈ χ, temos
λ(E) =
n
X
aj µj (E) > 0
j=1
pois µj (E) > 0 e aj são não negativos para todo j = 1, ..., n.
iii. Seja En uma sequência disjunta de conjuntos em χ, então temos
λ
+∞
[
i=1
Ei
!
=
n
X
aj µj
a1 µ1
+∞
[
i=1
+∞
X
Ei
i=1
j=1
=
+∞
[
Ei
!
!
+ ... + an µn
a1
=
i=1
n
+∞
XX
i=1 j=1
Ei
i=1
µ1 (Ei )) + ... + an
=
+∞
[
+∞
X
!
µn (Ei )
i=1
aj µj (Ei ) =
+∞
X
λ(Ei )
i=1
Logo, λ é enumerável aditiva. E assim λ é uma medida.
Lema 3.1. Seja µ uma medida definida em uma σ−álgebra χ. Se
E, F ∈ χ tais que E ⊂ F , então µ(E) 6 µ(F ). Além disso, se µ(E) <
+∞, então µ(F − E) = µ(F ) − µ(E).
95
Demonstração:
Sejam E, F ∈ χ, com E ⊂ F e suponha
E 6= φ. Sabemos que (F − E) ∩ E = φ, então pela Definição 3.1 temos
que
µ[(F − E) ∪ E] = µ(F − E) + µ(E)
Mas E ⊂ F , então (F − E) ∪ E = F , assim
µ(F ) = µ(F − E) + µ(E)
Como µ é uma medida então µ(F − E) > 0 e µ(E) > 0, então
µ(F ) = µ(F − E) + µ(E) > µ(E)
Portanto µ(F ) > µ(E). Além disso, se µ(E) < +∞ então podemos
subtrair µ(E) em ambos os lados da expressão µ(F ) = µ(F −E)+µ(E),
logo
µ(F − E) = µ(F ) − µ(E).
Esse Lema é evidente para a Álgebra de Borel tomando a medida de Lebesgue. Pois se (c, d) ⊂ (a, b), então temos que a 6 c 6 d 6 b,
assim a distância entre a e b é maior ou igual a distância entre c e d.
Lema 3.2. Seja µ uma medida definida em uma σ−álgebra χ.
i. Se (En )n∈N é uma sequêcia não decrescente em χ, então
S
µ( n∈N En ) = lim µ(En ).
ii. Se (Fn )n∈N é uma sequêcia não crescente em χ, então
T
µ( n∈N Fn ) = lim µ(Fn ).
Demonstração: i. Suponha (En )n∈N uma sequência não decrescente de conjuntos em χ, ou seja, En ⊂ En+1 para todo n ∈ N.
Se tivermos µ(En0 ) = +∞ para algum n0 então, pelo Lema 3.1, temos
que para todo n > n0 µ(En ) = +∞, e pela Definição 3.1, temos que
Capítulo 3. MEDIDA
96
S
µ( n∈N En ) = +∞ = lim µ(En ), que satisfaz o Lema.
Assim, suponha que µ(En ) < +∞ e defina a sequência de conjuntos
(An )n∈N como
A1 = E1 e An = En − En−1 para n > 1.
Dessa forma, se n 6= m temos An ∩ Am = φ, além disso
Sn
1. En = i=1 Ai , pois se x ∈ En , então x ∈ Ai para algum i ∈
S
{1, ..., n} e se x ∈ ni=1 Ai , então x ∈ Ai para algum i ∈ {1, ..., n}
e, como (En )n∈N é uma sequência não decrescente, x ∈ En .
S+∞
S+∞
S+∞
2. n=1 En = n=1 An , pois se x ∈ n=1 En , então x ∈ Ei para
S+∞
S+∞
algum i ∈ N, assim x ∈ Ai , logo x ∈ n=1 An . E se x ∈ n=1 An ,
S+∞
então x ∈ Ai para algum i ∈ N, assim x ∈ Ei , logo x ∈ n=1 En .
Desse ítem e pela definição de medida, segue que
!
!
m
+∞
+∞
X
[
[
µ(An )
µ
An = lim
En = µ
n=1
n=1
.
n=1
Mas pelo Lema 3.1, como An = En − En−1 , temos µ(An ) = µ(En ) −
µ(En−1 ), então
m
X
µ(An ) =
n=1
µ(E1 )+ [µ(E2 ) − µ(E1 )]+ [µ(E3 ) − µ(E2 )]+ ...+ [µ(Em ) − µ(Em−1 )] =
µ(Em )
Segue que,
µ(
+∞
[
n=1
En ) = lim
m
X
µ(An ) = lim µ(En )
n=1
S+∞
Portanto, µ( n=1 En ) = lim µ(En ).
ii. Suponha (Fn )n∈N uma sequência não crescente em χ, ou seja, Fn+1 ⊂
Fn e suponha µ(F1 ) < +∞ assim, pelo Lema 3.1, temos que µ(Fn ) <
+∞ para todo n ∈ N. Defina a sequência (En )n∈N ,
En = F1 − Fn
97
e observe que esta sequência é não decrescente, então pelo ítem (i) deste
S+∞
Lema temos que µ( n=1 En ) = lim µ(En ).
Mas, pelo Lema 3.1 sabemos que, como En = F1 − Fn , então µ(En ) =
µ(F1 ) − µ(Fn ), logo
!
+∞
[
µ
En = lim[µ(F1 −Fn )] = lim[µ(F1 )−µ(Fn )] = µ(F1 )−lim µ(Fn )
n=1
Então,
µ
+∞
[
En
n=1
!
= µ(F1 ) − lim µ(Fn ).
T+∞
S+∞
Afirmo que n=1 En = F1 − n=1 Fn , que será provado no final da
demonstração. Assim temos,
!
!
+∞
+∞
[
\
µ
En = µ(F1 ) − µ
Fn .
n=1
n=1
Dessa forma,
µ(F1 ) − lim µ(Fn ) = µ(F1 ) − µ
+∞
\
n=1
Fn
!
.
Portanto,
µ
+∞
\
n=1
Fn
!
= lim µ(Fn ).
+∞
[
n=1
Se x ∈
En = F1 −
+∞
\
Fn .
n=1
S+∞
n=1 En , então x ∈ En = F1 − Fn para algum n ∈ N, dessa
T+∞
T+∞
forma x ∈ F1 , então x ∈ F1 − n=1 Fn . E se x ∈ F1 − n=1 Fn , então
S+∞
x ∈ F1 e, assim, x ∈ En = F1 − Fn , logo x ∈ n=1 En
Definição 3.2 (Espaço de Medida). Um espaço de medida é um trio
(X, χ, µ) formado pelo conjunto X, por uma σ−álgebra e por uma medida definida sobre essa.
Capítulo 3. MEDIDA
98
Observação 3.2. Dizemos que uma propriedade vale em µ−quase todo
ponto (µ−q.t.p) se existe um conjunto N ∈ χ de medida nula, isto é,
µ(N ) = 0 tal que a propriedade vale em todo conjunto X − N .
Observação 3.3. Se considerarmos B a Àlgebra de Borel e µ a medida de Lebesgue temos que apenas os intervalos degenerados possuem
medida nula.
Demonstração: De fato, seja I = [a, a] um intervalo degenerado, então sabemos que µ(I) = a − a = 0, portanto se um intervalo é
degenerado, então possui medida nula.
Agora suponha por absurdo que o intervalo J = [a, b] com a < b tenha
medida nula, isto é, µ(J) = 0.
Como a medida de J é 0, temos que b − a = 0, ou seja, b = a. Mas isso
é um absurdo, pois supomos a < b. Portanto, se um intervalo é não
degenerado, então não possui medida nula quando estivermos falando
da Medida de Lebesgue.
Exemplo 3.4. Tomando a Àlgebra de Borel e a medida de Lebesgue,
temos que o Conjunto de Cantor (ver Anexo B) possui medida nula,
pois não contém intervalos.
Exemplo 3.5. Dizer que o conjunto dos pontos de descontinuidade de
uma função tem medida nula (como nos teoremas 1.7 e 1.8) equivale a
dizer que a função f é contínua em quase todo ponto de X.
Definição 3.3 (Carga). Seja χ uma σ−álgebra de X, então a função
real λ : χ → R é chamada de carga se
i. λ(φ) = 0;
ii. Seja (En )n∈N uma sequência de conjuntos em χ tal que En ∩Em =
φ para n 6= m então
P∞
S
λ( n∈N En ) = n=1 λ(En ).
99
Assim, podemos dizer que Carga é uma generalização de Medida, pois satisfaz os itens (i) e (iii) definição de Medida, porém permite
que os conjuntos E ∈ χ também possuam carga negativa.
Com isso concluimos o estudo preliminar que precisavamos
para formalizar a Integral de Lebesgue.
101
4 A INTEGRAL DE LEBESGUE
A Integral de Riemann foi desenvolvida no século XIX, enquanto a Integral de Lebesgue foi desenvolvida no século seguinte. Mas
qual a necessidade de elaborar uma nova integral envolvendo outra
teoria? Certamente, a Integral de Lebesgue é mais vantajoa que a de
Riemann, caso contrário não faria sentido outra formalização. Sendo assim, pretendemos mostrar que, de fato, existe vantagem de uma sobre
a outra.
Ao estudarmos a Integral de Riemann procuramos analisar as
condições necessárias para obter alguns resultados que dizem respeito
a integração. Ao estudarmos a Integral de Lebesgue iremos fazer a
mesma abordagem, utilizando o livro de Bartle (1995), para depois
compararmos as duas integrais.
4.1 HENRI LEBESGUE
Henri Léon Lebesgue nasceu no ano de 1875 na cidade de Beausvais, na França, e faleceu em 1941 em Paris. Estudou Matemática
na Escola Normal Superior de Paris, que foi frequentada por outros
grandes matemáticos, na qual obteve o diploma em 1897. No ano de
1902, Henri Lebesgue formulou a Teoria de Medida com base na qual
generalizou as integrais, através da Integral de Lebesgue, apresentando
a Faculdade de Ciências de Paris com a tese Integrále, lougueur, aire.
Além disso, Lebesgue também contribuiu para a Topologia, Séries de
Fourier e cálculo variacional. Pelas suas obras recebeu diversos prêmios,
dentre eles o Prêmio Poncelet, em 1914, foi eleito para a Academia de
Ciências, em 1922, e várias universidades lhe concederam o título de
Doutor honoris causa (O’CONNOR; ROBERTSON, 2004).
Capítulo 4. A INTEGRAL DE LEBESGUE
102
4.2 INTEGRAL DE LEBESGUE
No Capítulo 2 provamos que para qualquer função mensurável, não negativa é possível encontrar uma sequência não decrescente,
de funções que assumem apenas um número finito de números reias e
que converge para a função em questão. Nos apropriando dessa verdade matemática, conseguiremos definir a integral para funções que se
encaixam nesse contexto.
Definição 4.1. Uma função real é dita simples se assume apenas uma
quantidade finita de valores reais.
Podemos representar uma função simples e mensurável ϕ :
X → R como
ϕ=
n
X
a j χE j
j=1
onde aj ∈ R e χEj

0 se x ∈
/ Ej
=
1 se x ∈ E
j
.
No entanto, existe única representação padrão que se caracteriza pelo fato de que
i. Se i 6= j então ai 6= aj e Ei ∩ Ej = φ.
ii. Para todo j tivermos Ej 6= φ e, além disso, X =
Sn
j=1
Ej .
Definição 4.2. Seja ϕ : X → R uma função simples em M + (X, χ)
com representação padrão. Definimos a integral de ϕ relativamente a
medida µ como
Z
ϕdµ =
n
X
aj µ(Ej )
j=1
Observe que não há nenhuma restrição a integral ser infinita.
R
No entanto, pela definição, fica claro que ϕdµ > 0.
Perceba que a única condição para definir a integral de uma função
simples é que seja não negativa e mensurável. Além disso, podemos
4.2. INTEGRAL DE LEBESGUE
103
comparar a integral de funções simples com a Soma Inferior relativa
a uma partição, considerando que teremos retângulos cujas dimensões
representam a medida de um conjunto En ∈ χ e o valor que a função
simples assume nesse conjunto, porém não podemos garantir que a
integral restrita a cada En represente a área do retângulo, isso depende
da medida em questão.
O Lema a seguir servirá de ferramenta para que, depois de definirmos a integral para funções mensuráveis e não negativas, possamos
provar propriedades dessa integral.
Lema 4.1. Sejam ϕ, ψ ∈ M + (X, χ) funções simples e c > 0. Então
R
c · ϕdµ = c · ϕdµ.
R
R
R
ii. ϕ + ψdµ = ϕdµ + ψdµ
i.
R
iii. Se λ está definido em E ∈ χ por
Z
λ(E) = ϕχE dµ
então λ é uma medida.
Demonstração: i. Suponha c > 0 e ϕ =
presentação padrão de ϕ. Como c > 0, então
c·ϕ =
n
X
Pn
j=1
aj χEj a re-
caj χEj
j=1
é uma representação padrão para c · ϕ, pois c · ai 6= c · aj para i 6= j.
Pela Definição 4.2, temos
Z
Mas
Pn
j=1
c · ϕdµ =
aj µ(Ej ) =
R
n
X
j=1
c · aj µ(Ej ) = c ·
n
X
j=1
ϕdµ, portanto
Z
Z
c · ϕdµ = c · ϕdµ
aj µ(Ej )
104
.
ii. Suponha ϕ, ψ ∈ M + (X, χ) e sejam
ϕ=
n
X
a j χE j e ψ =
j=1
m
X
bk χFk
m
X
bk χFk
k=1
suas representações padrões. Temos que,
ϕ+ψ =
n
X
a j χE j +
j=1
Mas
n
X
a j χE j +
j=1
m
X
k=1
bk χFk =
ϕ+ψ =
(aj + bk )χEj ∩Fk ,
j=1 k=1
k=1
então
n X
m
X
n X
m
X
(aj + bk )χEj ∩Fk .
j=1 k=1
No entanto, essa não é a representação padrão, pois nada nos garante
que os aj + bk são distintos. Sendo assim, vamos construir uma representação padrão para ϕ + ψ.
Tome ch , com h = 1, ..., p os elementos distintos do conjunto
{aj + bk ; j = 1, ...n e k = 1, ..., m}
e sejam Gh o conjunto formando pelos Ej ∩ Fk 6= φ tais que se tenha
os valores de ch , isto é,
Gh =
Note que,
n[
Ej ∩ Fk ; aj + bk = ch
o
[
X
µ(Ej ∩ Fk )
µ(Gh ) = µ( Ej ∩ Fk ) =
(j,k)
Agora temos que
ϕ+ψ =
p
X
h=1
c h χG h
105
é uma representação padrão para ϕ + ψ. Pela Definição 4.2, temos que
Z
ϕ + ψdµ =
p
X
ch µ(Gh ) =
h=1
=
h=1 (j,k)
p X
X
h=1 (j,k)
=
p X
X
n X
m
X
j=1 k=1
ch µ(Ej ∩ Fk )
(aj + bk )µ(Ej ∩ Fk )
aj µ(Ej ∩ Fk ) +
n X
m
X
j=1 k=1
bk µ(Ej ∩ Fk )
S
S
Pn
Como X = nj=1 Ej = m
j=1 µ(Ej ∩ Fk ) = µ(Fk ) e
k=1 Fk , então
Pm
µ(E
∩
F
)
=
µ(E
).
Assim,
temos
j
k
j
k=1
p
X
ch µ(Gh ) =
n
X
aj µ(Ej ) +
j=1
h=1
m
X
bk µ(Fk )
k=1
Logo,
Z
iii. Suponha
Sn
i=1
ϕ + ψdµ =
Z
ϕdµ +
Z
ψdµ.
Ej = E e seja λ uma função definida em E ∈ χ por
λ(E) =
Z
ϕχE dµ.
Para demonstrar esse item vamos usar o seguinte fato
Z
Z
µ(Ej ) = χEj dµ = χE∩Ej dµ
pois para ψ(x) = 1 para todo x ∈ X, temos
Z
Mas como
Sn
i=1
ψ(x)χEj =
n
X
1µ(Ej )
j=1
Ej = E, temos
n
X
j=1
1µ(Ej ) =
n
X
j=1
1µ(Ej ∩ E) =
Z
χEj ∩E dµ.
106
Provado isso, temos,
Z
λ(E) = ϕχE dµ =
=
n
X
j=1
n
X
j=1
Assim, temos que
λ(E) =
n
X
j=1
aj µ(Ej ) =
n
X
j=1
aj
Z
χEj ∩E dµ
aj µ(Ej ∩ E).
aj µ(Ej ∩ E)
onde aj > 0 para j = 1, ..., n. Dos Exemplos 3.2 e 3.3 segue que λ(E)
é uma medida.
No Lema 2.5 garantimos a existência de uma sequência de funções simples e mensuráveis que converge para uma função mensurável
e não negativa, nesse sentido podemos definir a integral de funções não
negativas.
Definição 4.3. Seja f ∈ M + (X, χ). Definimos a integral de f relativamente a medida µ como sendo o valor que pertence a R̄ tal que
Z
Z
f dµ = sup ϕdµ
onde o supremo é tomado relativo a todas as funções simples ϕ ∈
M + (X, χ) que satisfazem 0 6 ϕ(x) 6 f (x) para todo x ∈ X. Além
disso, se E ∈ χ, então definimos a integral de f sobre E relativamente
a medida µ como sendo o valor que pertence a R̄ tal que
Z
Z
f dµ = f χE dµ
E
Perceba que na Definição de Integral de Riemann era necessário
que a função fosse limitada, mas para a integral que estamos vendo
agora é preciso, somente, que a função seja mensurável.
Lema 4.2.
i. Sejam f, g ∈ M + (X, χ) e f 6 g, então
Z
Z
f dµ 6 gdµ
107
ii. Seja f ∈ M + (X, χ) e sejam E, F ∈ χ tais que E ⊂ F , então
Z
Z
f dµ 6
f dµ
E
F
Demonstração: i. Suponha f, g ∈ M + (X, χ) e f 6 g. Sabemos que,
Z
f dµ = sup ∈ ϕdµ
e
Z
gdµ = sup ∈ ψdµ
com 0 6 ϕ(x) 6 f (x) e 0 6 ψ(x) 6 f (x) para todo x ∈ X.
Tome os conjuntos


n
n

X
X
aj χEj e 0 6 ϕ(x) 6 f (x)
aj µ(Ej ); ϕ =
A=


j=1
j=1
e
B=
(
m
X
bk µ(Fk ); ϕ =
k=1
m
X
)
bk χFk e 0 6 ψ(x) 6 g(x)
k=1
que são os cojuntos das integrais de todas as funções simples que satisfazem 0 6 ϕ(x) 6 f (x) e 0 6 ψ(x) 6 f (x) para todo x ∈ X.
Por hipótese temos que 0 6 ϕ(x) 6 f (x) 6 g(x) para todo x ∈ X,
Pn
então A ⊂ B. Logo, temos que para todo [ j=1 aj µ(Ej )] ∈ A
n
X
j=1
aj µ(Ej ) 6 sup
B
"
m
X
#
bk µ(Fk )
k=1
Assim,


(
"m
#)
n
X
X


sup
aj µ(Ej ) 6 sup sup
bk µ(Fk )
A
j=1
A
B
k=1
108
Pm
Pm
Mas sup sup [ k=1 bk µ(Fk )] = sup [ k=1 bk µ(Fk )], então
A
B
B


"m
#
n
X
X
aj µ(Ej ) 6 sup
sup 
bk µ(Fk )
A
E portanto,
B
j=1
Z
f dµ 6
Z
k=1
gdµ.
ii. Suponha f ∈ M + (X, χ) e sejam E, F ∈ χ com E ⊂ F . Observe que,


0 se x ∈
0 se x ∈
/F
/E
e f χF =
f χE =
f se x ∈ F
f se x ∈ E
Então f χE 6 f χF e segue do ítem (i) deste teorema que
Z
Z
f χE dµ 6 f χF dµ.
Mas, pela Definição 4.3, sabemos que
Z
Z
Z
Z
f dµ = f χF dµ
f dµ = f χE dµ e
F
E
Portanto,
Z
E
f dµ 6
Z
f dµ.
F
Teorema 4.1 (Teorema da Convergência Monótona). Seja (fn ) uma
sequência não descrescente de funções em M + (X, χ) que converge para
f , então
Z
f dµ = lim
Z
fn dµ
Demonstração: Seja (fn ) uma sequência não descrescente
tal que fn (x) → f (x) para todo x ∈ X. Como a sequência é não
decrescente, então para cada x ∈ X temos
0 6 fn (x) 6 fn+1 (x) 6 f (x) para todo n ∈ N
109
Sendo assim, f ∈ M + (X, χ) pelo Lema 2.4. E pelo teorema anterior
temos que
Z
fn (x) 6
Z
f (x)
Aplicando o limite em ambos os lados, obtemos
Z
Z
lim fn (x) 6 f (x)
.
R
R
Agora vamos provar que lim fn (x) > f (x).
Seja α ∈ R e tal que 0 < α < 1 e ϕ uma função simples tal que
0 6 ϕ(x) 6 f (x) para cada x ∈ X. E tome o conjunto
An = {x ∈ X; fn (x) > αϕ(x)}
Vamos assumir que An ∈ χ e provaremos no final da demonstração.
S∞
Além disso, An ⊂ An+1 e n=1 An = X. Assim, pelo Lema 4.2 segue
que
Z
Z
Z
fn dµ 6
αϕdµ 6
(4.1)
fn dµ
An
An
Como An é uma sequência não descrescente e
Z
Z
ϕdµ
ϕdµ = lim
S∞
n=1
An = X, temos
(4.2)
An
Tomando o limite em 4.1 temos
Z
Z
αϕdµ 6 lim
lim
fn dµ 6 lim
An
An
Z
fn dµ
E de 4.2 resulta que
α
Z
ϕdµ 6
Z
fn dµ
Como α ∈ (0, 1) podemos tomar o limα→1 α = 1 e da expressão acima
temos
Z
ϕdµ 6
Z
fn dµ
E como tomamos ϕ ∈ M + (X, χ) tal que 0 6 ϕ 6 f arbitrária, então
Z
Z
Z
f dµ = sup ϕdµ 6 fn dµ
110
Como 6
R
f dµ 6
R
fn dµ e
Z
fn dµ, então
Z
f dµ = lim fn dµ.
R
f dµ >
R
An = {x ∈ X; fn (x) > αϕ(x)} ∈ χ
Para os valores x tais que ϕ(x) = 0, temos que
An = {x ∈ X; fn (x) > 0}
que pertence a χ pois fn é mensurável. Agora suponha ϕ(x) 6= 0, então
fn (x)
>α
An = x ∈ X;
ϕ(x)
fn (x)
é mensurável, então An ∈ χ. Pelo Lema 2.2, saϕ(x)
bemos que o produto de funções mensuráveis é uma função mensurável,
1
então, vamos provar que
é mensurável. Seja o conjunto
ϕ(x)
1
>k
x ∈ X;
ϕ(x)
se provarmos que
para k ∈ R. Se k = 0, então
x ∈ X;
1
>0
ϕ(x)
=X
pois supomos ϕ(x) > 0, e por definição X ∈ χ. Se k > 0, então
1
1
> k = x ∈ X; ϕ(x) 6
x ∈ X;
ϕ(x)
k
que pertence a χ, pois ϕ é mensurável. Se k < 0, então
1
1
x ∈ X;
> k = x ∈ X; ϕ(x) >
ϕ(x)
k
que também pertence a χ por ϕ ser mensurável. Portanto, An ∈ χ.
Perceba que, com o Teorema da Convergência Monótona, já
conseguimos uma troca do limite com o sinal da Integral de Lebesgue
111
em uma sequência de funções monótonas e integráveis que converge,
enquanto para a Integral de Riemann conseguimos apenas no Teorema
de Passagem ao Limite sob o sinal de Integral, que exigia convergência
uniforme da sequência.
Corolário 4.1. Sejam f, g ∈ M + (X, χ) e c > 0 então
i. c · f ∈ M + (X, χ) e
.
ii. f + g ∈ M + (X, χ) e
Z
.
Z
c · f dµ = c ·
f + gdµ =
Z
Z
f dµ
f dµ +
Z
gdµ
Demonstração: i. Suponha f ∈ M + (X, χ) e c > 0. Como f
é uma função não negativa, então, pelo Lema 2.5, existe uma sequência
de funções simples (ϕn ), não decrescente e tal que ϕn (x) → f (x) para
cada x ∈ X. Como c > 0 então c · f ∈ M + (X, χ) e pelo Teorema da
Convergência Monótona, temos
Z
Z
Z
Z
c · f dµ = lim c · ϕn dµ = c · lim ϕn dµ = c f dµ
ii. Suponha f, g ∈ M + (X, χ). Como f > 0 e g > 0 são mensuráveis,
então f + g > 0 e é mensurável pelo Lema 2.2, além disso a função f + g
está bem definida.
Como f, g são funções não negativas então, pelo Lema 2.5 existem
sequências de funções simples (ϕn ) e (ψn ), não decrescentes e tais que
ϕn (x) → f (x) e ψn (x) → g(x) para cada x ∈ X. Então pelo Teorema
da Convergência Monótona e pelo Lema 4.2 temos que
Z
Z
Z
Z
f + gdµ = lim ϕ + ψdµ = lim
ϕdµ + ψdµ =
112
lim
Z
ϕdµ + lim
Z
ψdµ =
Z
f dµ +
Z
gdµ
Observe a importância do Teorema da Convergência Monótona
e do Lema 2.5 para a Integral de Lebesgue de funções não-negativas.
R
R
R
R
Pois conseguimos provar que c · f dµ = c · f dµ e f + gdµ = f dµ +
R
gdµ, com bastante facilidade, enquanto para a Integral de Riemann,
se fez necessário um estudo usando a oscilação de f no intervalo na
qual está definida.
Lema 4.3 (Lema de Fatou). Se (fn ) ∈ M + (X, χ) então
Z
Z
(lim inf fn )dµ 6 lim inf fn dµ
Demonstração: Suponha (fn ) ∈ M + (X, χ) e tome a sequên-
cia
que representa
gm = inf {fm , fm+1 , ...}
inf fn da Definição 2.4. Como gm representa o ínfimo
n>m
deste conjunto então temos que gm 6 fn para todo n > m, portanto
gm é uma sequência monótona não decrescente e
Z
Z
gm dµ 6 fn dµ para n > m
Como
R
R
fn dµ 6 lim inf fn dµ, temos que
Z
Z
gm dµ 6 lim inf fn dµ
Além disso, temos que gm → sup
m
inf fn , pois gm = inf fn e
n>m
n>m
como gm 6 gm+1 , temos que gm → sup {gm }, Anexo A.7, portanto
m
lim gm = sup inf fn . E como gm é uma sequência não decrescente
m
n>m
de funções não negativas, pelo Teorema da Convergência Monótona,
temos que
Z
(lim inf fn )dµ = lim
Z
gm dµ 6 lim inf
Z
fn dµ.
113
O Lema de Fatou nos traz outra relação para a integral do
limite de uma sequência de funções integráveis não negativas, embora
não seja uma igualdade, irá facilitar algumas demonstrações, inclusive
a do Teorema da Convergência Dominada.
Corolário 4.2. Seja f ∈ M + (X, χ), se λ está definida sobre χ por
Z
f dµ
λ(E) =
E
então λ é uma medida.
Demonstração: Suponha f ∈ M + (X, χ).
i. Se E = φ, então fχE = 0 para todo x ∈ X. Então
Z
f dµ = 0
E
. ii. Como f ∈ M + (x, χ), então f (x) > 0 para todo x ∈ X, segue do
Lema 4.2 que
06
Z
f dµ
E
para todo E ∈ χ.
iii. Seja (En ) ∈ χ uma sequência tal que En ∩ Em = φ para n 6= m com
S
E= ∞
n=1 En defina
fn =
n
X
k=1
f χEk ⇒ fn →
∞
X
f χEk = fχE
(4.3)
k=1
Segue da expressão acima e do Corolário 4.1 que
Z
fn =
Z X
n
k=1
f χEk =
n Z
X
f χEk =
k=1
n
X
λ(Ek )
k=1
Note que fn é uma sequência monótona não decrescente, pois
fn+1 =
n
X
k=1
f χEk + f χEn+1 >
n
X
k=1
f χEk = fn
(4.4)
114
Pelo Teorema da Convergência Monótona temos
Z
Z
lim fn dµ = lim fn dµ
Mas
Z
lim fn dµ =
Z
fχE =
Z
f dµ = λ(E) = λ
E
∞
[
Ek
k=1
!
E, pela Expressão 4.4,
lim
Z
fn dµ = lim
n Z
X
f χEk =
k=1
∞ Z
X
f χEk =
k=1
∞
X
λ(Ek )
k=1
Portanto,
λ
∞
[
k=1
Ek
!
Dessa forma, λ(E) é uma medida.
=
∞
X
λ(Ek ).
k=1
Podemos comparar o item (iii) da demonstração deste corolário, com a Teorema 1.3, pois nos diz que podemos calcular a integral das
restrições de f em cada conjunto Ek ∈ χ da sequência (En ) ∈ χ, que é
disjunta, e somá-las para obter o valor da integral da função restrita a
união desses conjuntos.
Corolário 4.3. Seja f ∈ M + (X, χ). Então f (x) = 0 em quase todo
ponto se, e somente se,
Z
f dµ = 0.
Demonstração: (⇐) Suponha f ∈ M + (X, χ) e
Tome a sequência de conjuntos (En ) ∈ χ tais que
1
En = x ∈ X; f (x) >
n
R
f dµ = 0.
que são os conjuntos onde a função f (x) > 0, então vamos provar que
os conjuntos En tem medida nula.
S∞
1
Perceba que n=1 En = X, pois lim = 0 e como f ∈ M + (X, χ)
n
115
temos que f (x) > 0 para todo x ∈ X.
1
Como f > χEn temos que
n
Z
Z
1
f dµ >
χE dµ
n n
R
Mas temos por hipótese que f dµ = 0, então
Z
Z
Z
1
1
χE dµ =
χEn dµ
0 = f dµ >
n n
n
R
Pela Definição 4.2 temos que χEn dµ = µ(En ), então resulta da expressão acima que
1
0 > µ(En )
n
1
Mas > 0, e µ(En ) > 0, portanto
n
1
µ(En ) > 0
n
0>
E assim, µ(En ) = 0.
(⇒) Suponha f (x) = 0 em quase todo ponto. Tome o conjutno
E = {x ∈ X; f (x) > 0}
então, como f (x) = 0 em quase todo ponto, temos que µ(E) = 0.
E defina fn = nχE , então f 6 lim inf fn , pois a sequência fn tende ao
infinito,
Z
Z
0 6 f dµ 6 (lim inf fn )dµ
Mas pelo Lema 4.3 temos que
Z
Z
(lim inf fn )dµ 6 lim inf fn dµ
E além disso temos
Z
fn dµ =
Z
nχE dµ =
Z
E
pois µ(E) = 0. Logo,
06
Z
f dµ 6 0
ndµ = 0
116
e, portanto,
Z
f dµ = 0.
Corolário 4.4. Seja f ∈ M + (X, χ) e seja a função
Z
λ(E) =
f dµ
E
definida sobre χ. Se µ(E) = 0, então λ(E) = 0.
Demonstração: Seja
λ(E) =
Z
f dµ
E
e suponha µ(E) = 0. Assim,
f χE = 0 em quase todo ponto de X
pois f (x) 6= 0 apenas no conjunto E que tem medida nula. Então, pelo
Corolário 4.3, temos
Mas
Z
Z
f χE dµ = 0
f χE dµ =
Z
f dµ = λ(E).
E
Portanto, se µ(E) = 0, então λ(E) = 0.
Corolário 4.5. Seja (fn ) ∈ M + (X, χ) uma sequência monótona não
decrescente que converge em quase todo ponto de X para f ∈ M + (X, χ),
então
Z
Z
f dµ = lim
fn dµ.
Demonstração: Suponha (fn ) ∈ M + (X, χ) uma sequência
monótona não decrescente e seja N ∈ χ tal que µ(N ) = 0 e que fn (x) →
117
f (x) para cada x ∈ M = X −N . Assim, temos que fn (x)χM → f (x)χM
para todo x ∈ X. Logo, pelo Teorema da Convergência Monótona temos
Z
Z
f χM dµ = lim fn χM dµ
Como µ(N ) = 0 então as funções f χN = 0 e fn χN = 0 em quase todo
ponto de X, segue do Corolário 4.3 que
Z
Z
f χN dµ = 0 e
fn χN dµ = 0
Como X = M ∪ N temos que f = f χN + f χM e fn = fn χN + fn χM ,
então
Z
Z
Z
Z
Z
f dµ = f χN dµ + f χM dµ = lim
fn χM dµ + fn χN dµ =
lim
Portanto,
Z
f n χM
Z
Z
+ fn χN dµ = lim fn dµ.
f dµ = lim
Z
fn dµ.
Esse corolário amplia o Teorema da Convegência Monótona,
pois nos diz que não é necessário que a sequência seja convergente para
todo x ∈ X, basta que seja convergente em quase todo ponto.
Corolário 4.6. Seja (gn ) uma sequência em M + (X, χ), então
!
Z X
∞ Z
∞
X
gn dµ.
gn dµ =
n=1
n=1
Demonstração: Suponha (gn ) uma sequência em M + (X, χ)
e defina
fn =
n
X
gk
n=1
dessa forma, fn é monótona não decrescente e tal que
fn =
n
X
n=1
gk →
∞
X
n=1
gk = f
118
Então
Z X
∞
gk dµ =
n=1
Z
f dµ = lim
Z
fn dµ = lim
Z X
n
gk dµ = lim
n=1
n Z
X
gk dµ
n=1
Portanto,
∞
X
Z
!
gn dµ =
n=1
∞ Z
X
gn dµ.
n=1
Agora que fizemos um estudo para a integral de funções mensuráveis não negativas, podemos abordar as funções que também assumem valores negativos.
4.3 FUNÇÕES INTEGRÁVEIS
Definição 4.4. A coleção L = L(X, χ, µ) das funções integráveis é
R
formado por todas as funções f : X → R tais que f + dµ < +∞ e
R −
f dµ < +∞. E definimos a integral de f relativamente a µ como
Z
Z
Z
+
f dµ = f dµ − f − dµ
Se o conjunto E ∈ χ então definimos a integral de f relativamente a µ
como
Z
E
f dµ =
Z
E
f + dµ −
Z
f − dµ
E
Perceba que a única condição para que exista a Integral de
Lebesgue de uma função é que a sua parte positiva e a negativa possuam
integrais finitas, enquanto a Integral de Riemann exige que a função seja
contínua em quase todo ponto.
Observação 4.1. Sejam f1 , f2 ∈ M + (X, χ) tais que f = f1 − f2 ,
R
R
f1 dµ < +∞ e f2 dµ < +∞ então
Z
Z
Z
f dµ = f1 dµ − f2 dµ
4.3. FUNÇÕES INTEGRÁVEIS
119
De fato, suponha f = f1 − f2 e sabemos que f = f + − f − , então
f1 − f2 = f + − f −
f1 + f − = f + + f2
Como f1 + f − ∈ M + (X, χ) e f + + f2 ∈ M + (X, χ) temos
Z
Z
−
f1 + f dµ = f + + f2 dµ
Pelo corolário 4.1 temos que
Z
Z
Z
Z
−
+
f1 dµ + f dµ = f dµ + f2 dµ
Além disso, sabemos que as funções f1 , f2 , f + , f − possuem integrais
finitas, portanto
Z
Z
Z
Z
f1 dµ − f2 dµ = f + dµ − f − dµ
R
R
R
Mas pela Definição 4.4, temos que f + dµ − f − dµ = f dµ, logo
Z
Z
Z
f dµ = f1 dµ − f2 dµ
Lema 4.4. Se f ∈ L e λ está definido em λ : χ → R como
Z
f dµ
λ(E) =
E
então λ é uma carga.
Demonstração: Suponha f ∈ L, sendo assim temos que
R
R
f = f − f − com f + dµ < +∞ e f − dµ < +∞ e temos que
Z
Z
Z
+
f − dµ
f dµ −
f dµ =
+
E
E
E
Pela definição de parte positiva e parte negativa de uma função, sabemos que f + ef − ∈ M + (X, χ), logo, pelo Corolário 4.2,
Z
Z
+
f − dµ
f dµ e λ2 (E) =
λ1 (E) =
E
E
120
são medidas. E temos que
λ(E) = λ1 (E) − λ2 (E)
Fixado isso, segue que
i. Se E = φ temos
λ(φ) = λ1 (φ) − λ2 (φ),
então
λ(φ) = 0, pois λ1 , λ2 são medidas
ii. Seja En uma sequência disjusta de conjuntos que pertencem a χ,
então
!
!
!
∞
∞
∞
[
[
[
En
λ
En + λ2
En = λ1
Note que
n=1
λ1
En ⊂ X, então pelo Lema 4.2, temos que
∞
[
En
n=1
λ2
n=1
n=1
n=1
S∞
∞
[
!
En
n=1
Z
= S∞
!
n=1
Z
= S∞
f + dµ 6
En
Z
f − dµ 6
n=1
En
f + dµ < ∞ e
Z
f − dµ < ∞
Mas λ1 e λ2 são medidas, então são enumeráveis aditivas, logo
∞
X
λ(En ) =
n=1
∞
X
n=1
λ1 (En ) −
∞
X
λ2 (En )
n=1
Então,
∞
X
λ(En ) =
n=1
Logo,
∞
X
n=1
λ
∞
[
n=1
En
!
λ1 (En ) − λ2 (En )
=
∞
X
n=1
Portanto, a função λ define uma carga.
λ(En )
121
Essa função λ é chamada de integral indefinida de f relativamente a medida µ e pelo item (ii) da demonstração acima vemos que a
integral é uma função enumerável aditiva, portanto, podemos particionar o conjunto X, calcular a integral em cada intervalo da partição e
somar esses valores para obtermos o valor da integral da função em X.
Teorema 4.2. Uma função f ∈ L se, e somente se, |f | ∈ L. Além
disso,
Z
Z
f dµ 6 |f | dµ.
Demonstração: (⇒) Suponha f ∈ L, sabemos que f = f + −
R
f − e f + dµ < +∞ e f − dµ < +∞. Pela Observação 2.2 temos que
|f | = f + + f − , dessa forma temos
R
|f |+ = f + + f − e |f |− = 0
Observe que, usando o Corolário 4.1,
Z
Z
Z
Z
|f |+ dµ = f + + f − dµ = f + dµ + f − dµ < ∞,
pois temos uma soma finita de valores finitos. Assim, a função |f | satisfaz as condições da Definição 4.4, temos
Z
Z
Z
|f |dµ = |f |+ dµ − |f |− dµ
Mas
Z
|f | dµ =
Z
f
Z
Z
f + + f − dµ =
+
Logo
|f |dµ =
E, portanto, |f | ∈ L.
+
−
Z
+
+ f dµ = f dµ +
Z
Z
−
|f | dµ = 0dµ = 0.
Z
Z
f − dµ e
Z
f − dµ
f + dµ +
(⇐) Suponha f uma função mensurável e tal que |f | ∈ L. Como na
parte (⇒) deste Teorema, temos
|f |+ = f + + f − e |f |− = 0
122
e tais que
Z
Como
temos que
Z
f + + f − dµ < ∞ e
f + + f − dµ =
Z
Z
f + dµ +
|f |− dµ = 0
Z
f − dµ < ∞,
Z
f + dµ < ∞ e
f − dµ < ∞
R
caso contrário teríamos f + + f − dµ = ∞. Pela Observação 2.2 temos
que f = f + − f − . Desse modo f satisfaz as condições da Definição 4.4
e temos que
Z
Z
f dµ =
Z
f + dµ −
Z
f − dµ
Portanto, f ∈ L. Além disso, temos
Z
Z
Z
Z
Z
f dµ = f + dµ − f − dµ 6 f + dµ + f − dµ
R
R
Mas f + e f − são funções não negativas, então f + dµ > 0 e f − dµ >
0, logo
Z
Z
Z
Z
f + dµ + f − dµ = f + dµ + f − dµ =
Z
Z
+
f + f − dµ = |f | dµ
Portanto,
Z
Z
f dµ 6 |f | dµ.
Corolário 4.7. Se f é mensurável, g é integrável e |f | 6 |g|, então f
é integrável e
Z
Z
|f |dµ 6 |g|dµ.
Demonstração: Suponha f é mensurável, g é integrável com
|f | 6 |g|. Sabemos que |f | = f + + f − ∈ M + (X, χ) e |g| ∈ M + (X, χ).
Então, pelo Lema 4.2, segue que
Z
Z
|f |dµ 6 |g|dµ
123
Além disso, como g é integrável, então
Sendo assim,
R
Z
|f |dµ =
Z
f + dµ +
R
Z
|g|dµ < ∞, logo
f − dµ < ∞
R
f + dµ < ∞ e f − dµ < ∞ logo
Z
Z
Z
+
f dµ = f dµ − f − dµ
e, portanto, f ∈ L.
Nesse corolário, vimos uma função mensurável f tal que |f | 6
|g|, com g integrável. Nesse caso, dizemos que a função f é dominada
pela função g.
Teorema 4.3. Seja α ∈ R, f, g ∈ L. Então
i. α · f ∈ L e
ii. f + g ∈ L e
Z
Z
αf dµ = α
f + gdµ =
Z
Z
f dµ.
f dµ +
Z
gdµ.
Demonstração: i. Suponha α ∈ R, f ∈ L.
Se α = 0, temos que αf = 0, então αf ∈ L.
Pelo Lema 1.2, temos que se A é um conjunto limitado e α > 0 temos
que sup(α · A) = α sup A, então vamos usar esse fato abaixo.
Se α > 0, temos que
(αf )+ = sup {αf, 0} = α sup {f, 0} = αf +
(αf )− = sup {−αf, 0} = α sup {−f, 0} = αf −
R
R
Como f é integrável, temos que αf + dµ < ∞ e αf − dµ < ∞, então
Z
Z
Z
+
αf dµ = αf dµ − αf − dµ
124
Mas f + e f − são não negativas, então pelo Corolário 4.1, temos
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
−
αf dµ = α f dµ − α f dµ = α
f dµ − f dµ
Portanto, se α > 0, temos
Z
αf dµ = α
Z
f dµ.
Se α < 0, temos que −α > 0 e assim
(αf )+ = sup {αf, 0} = sup {(−α)(−f ), 0} = −α sup {−f, 0} = −αf −
(αf )− = sup {−αf, 0} = −α sup {f, 0} = −αf +
R
R
Como f é integrável, temos que αf + dµ < ∞ e αf − dµ < ∞, então
Z
Z
Z
−
αf dµ = −αf dµ − −αf + dµ
Mas f + e f − são não negativas e −α > 0, então pelo Corolário 4.1,
temos
Z
Z
Z
Z
Z
−
+
+
−
αf dµ = −α f dµ + α f dµ = α
f dµ − f dµ
Portanto, se α < 0, temos
Z
αf dµ = α
Z
f dµ.
E assim, se α ∈ R, temos que αf ∈ R e
Z
Z
αf dµ = α f dµ.
ii. Suponha f, g ∈ L. Então sabemos que
Z
Z
Z
f dµ = f + dµ − f − dµ < ∞
Z
gdµ =
Z
g + dµ −
Z
g − dµ < ∞
Como f = f + − f − e g = g + − g − , então f + g = f + − f − + g + −
g − = (f + + g + ) − (f − + g − ). Como f, g são integráveis, então as suas
4.4. TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA
125
partes positivas e negativas possuem integrais finitas, então as funções
(f + +g + ) e (f − +g − ) também possuem, e pela Observação 4.1 podemos
usar essas funções para encontrarmos a integral de f + g. Desse modo,
a função f + g satisfaz as condições da Definição 4.4 e temos
Z
Z
Z
+
+
f + gdµ = (f + g )dµ − (f − + g − )dµ
Mas as funções f + , f − , g + e g − pertencem a M + (X, χ), então
Z
Z
Z
Z
Z
Z
+
+
−
−
+
+
−
(f +g )dµ− (f +g )dµ = f dµ+ g dµ− f dµ− g − dµ =
Z
f + dµ −
Portanto, f + g ∈ L e
Z
Z
Z
Z
f − dµ +
g + dµ − g − dµ
f + gdµ =
Z
f dµ +
Z
gdµ.
4.4 TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA
O Teorema da Convergência Dominada junto com o Teorema
de Passagem ao Limite sob o Sinal de Integral representam os resultados
mais importantes deste trabalho, pois nos mostram a maior vantagem
que uma integral tem sobre a outra.
Para demonstrar o Teorema da Convergência Dominada, vamos
precisar do seguinte fato
lim inf (−xn ) = − lim sup (xn )
Pois,
inf (−xn )
n>m
m
lim inf(−xn ) = sup
m
n>m
Mas pelo Lema 1.2 temos,
sup inf (−xn ) = sup − sup xn = −inf sup xn
m
n>m
m
n>m
126
Portanto,
lim inf(−xn ) = − lim sup xn
Teorema 4.4 (Teorema da Convergência Dominada). Seja (fn ) : X →
R uma sequência de funções em L que converge em quase todo ponto
para f : X → R mensurável. Se existe uma função g integrável tal que
|fn | < g para todo n ∈ N, então f é integrável e
Z
Z
f dµ = lim fn dµ.
Demonstração: Suponha que (fn ) : X → R convirja para
f em quase todo ponto, desse modo, pelo Corolário 2.1 temos que f
é mensurável. Sendo assim, como fn só não converge para f em um
conjunto de medida nula, vamos supor que fn (x) → f (x) para cada
x ∈ X.
Suponha também que exista uma função g integrável tal que |fn | 6 g
para todo n ∈ N, assim temos que −g 6 fn 6 g, ou seja, temos
fn + g > 0 e g − fn > 0 para todo n ∈ N.
Como |fn | 6 g e supomos fn (x) → f (x) para cada x ∈ X, então
lim |fn | 6 lim g
Mas lim |fn | = |f |, então
|f | 6 g 6 |g|
E pelo Corolário 4.7, temos que f é integrável.
Além disso, temos que fn + g > 0 para todo n é mensurável, pois
fn , g são mensuráveis e pelo Lema 2.2 a soma de funções mensuráveis
é mensurável. Sendo assim, fn + g ∈ M + (X, χ). Desse modo, vale o
Lema de Fatou
Z
Z
lim inf [fn + g] dµ 6 lim inf [fn + g] dµ
Como fn (x) → f (x) temos que lim inf fn = lim fn = f e, usando o
Teorema 4.3, temos
Z
Z
Z
Z
f dµ + gdµ 6 lim inf fn dµ + gdµ
4.4. TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA
127
Sabendo que g é integrável, temos
Z
Z
f dµ 6 lim inf fn dµ.
Agora vamos provar que
Z
f dµ > lim inf
Z
fn dµ.
Temos que g − fn > 0 é mensurável pelo Lema 2.2, então g − fn ∈
M + X, χ, então pelo Lema de Fatou
Z
Z
lim inf [g − fn ] dµ 6 lim inf [g − fn ] dµ
Como fn (x) → f (x) temos que lim inf fn = lim fn = f e, usando o
Teorema 4.3 e sabendo que g é integrável, temos
Z
Z
Z
− f dµ 6 lim inf −fn dµ = lim inf − fn dµ
Mas lim inf −
R
R
fn dµ = − lim sup fn dµ então, temos que
Z
Z
f dµ > lim sup fn dµ.
Logo, temos que
lim sup
Z
fn dµ 6
Z
f dµ 6 lim inf
Z
fn dµ
R
R
Mas lim sup fn dµ > lim inf fn dµ. Portanto,
Z
Z
Z
lim sup fn dµ = f dµ = lim inf fn dµ
R
R
E como lim sup fn dµ = lim inf fn dµ, segue que
Z
f dµ = lim
Z
fn dµ.
Observe que, para a Integral de Lebesgue, trocar o limite com
o sinal da integral é necessário, apenas, que a sequência de funções
128
integráveis fn convirja em quase todo ponto para a função f e que
todos os elementos dessa sequência sejam limitados por uma função
integrável, isto é, sejam dominados por essa função.
Exemplo 4.1. Para calcular o limite
Z +∞
xn
dx
lim
n→+∞ 0
1 + xn+2
xn
podemos verificar qual o limite da sequência de funções
e, se
1 + xn+2
as condições do Teorema da Convergência Dominada forem satisfeitas,
aplicá-lo. (PIRES, 20??)
Como sempre temos 1 + xn+2 > 1, então
xn
6 xn 6 1 se 0 < x < 1
1 + xn+2
E para x > 1, temos
xn
xn
1
6 n+2 = 2
n+2
1+x
x
x
Assim, a sequência é dominada pela função g : [0, ∞[ definida por

1 se 0 < x < 1
g(x) =
 1 se x > 1
x2
que é integrável. Além disso,

1 se 0 < x < 1
xn
=
lim
n→+∞ 1 + xn+2
 1 se x > 1
x2
Dessa forma, as condições do Teorema da Convergência Dominada estão satisfeitas e, no próximo capítulo, vamos provar que a Integral de
Lebesgue é a Integral de Riemann quando tomamos a Álgebra de Borel
e a Medida de Lebesgue, então
lim
n→+∞
Z
0
+∞
xn
dx =
1 + xn+2
=
+∞
xn
dx
n→+∞ 1 + xn+2
0
Z 1
Z +∞
1
0dx +
dx = 1
2
x
0
1
Z
lim
129
5 A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS
No início do Capítulo 4 deste trabalho, sugerimos que uma integral representa vantagem sobre a outra, neste capítulo iremos abordar
quais são essas vantagens. Para isso, iremos relembrar superficialmente
a construção das duas integrais. Além disso, vamos ver como uma integral pode ser vista como um caso particular da outra.
5.1 A INTEGRAL DE RIEMANN
Para construir a Integral de Riemann, inicialmente, foram definidas a Soma Superior e a Inferior de uma função f : [a, b] → R limitada
relativas a uma partição para o intervalo [a, b], e representavam uma
aproximação para a área limitada pela função. E a partir desses dois
conceitos definiram-se a Integral Inferior e a Superior como sendo
Z b
f (x)dx = sup s(f ; P ) e
P
a
Z¯ b
P
a
A fim de que uma função limitada seja integrável segundo Riemann, é necessário que
Z
b
f (x)dx =
a
Z¯ b
f (x)dx.
a
Com o teoremas 1.7 e 1.8 percebemos como o conceito de continuidade para Integral de Riemann é importante. Para que uma função
seja integrável segundo Riemann é necessário e suficiente que seja contínua em quase todo ponto.
Capítulo 5. A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS
130
Concluindo o estudo dessa integral, demonstramos o Teorema
de Passagem ao Limite sob o sinal de Integral que nos mostra condições
para que seja possível fazer a troca entre o sinal da integral com o limite
da seguinte forma
Z b
Z b
lim fn (x)dx = lim
f (x)dx.
a n→+∞
n→+∞
a
Para isso é necessário que a sequêcia de funções integráveis fn seja
uniformemente convergente.
5.2 A INTEGRAL DE LEBESGUE
A construção da Integral de Lebesgue inicia-se com o estudos
das funções mensuráveis e de medidas. Concluído esse estudo preliminar, foi definida a integral de uma função ϕ : X → R simples, não
negativa e mensurável, como o somatório
Z
n
X
aj µ(Ej ).
ϕdµ =
j=1
No capítulo 2, vimos que o Lema 2.5 nos garante que para qualquer função f : X → R mensurável, não negativa existe uma sequência
não decrescente ϕn : X → R de funções simples que converge para
a função f . Com isso, define-se a Integral de Lebesgue para funções
mensuráveis e não negativas como
Z
Z
f dµ = sup ϕdµ
onde este supremo é tomado em relação a todas as funções simples ϕ
tais que 0 6 ϕ(x) 6 f (x), que nos é garantido que existe pelo lema que
acabamos de mencionar. Perceba que esta Integral que foi definida para
funções não negativas pode representar a área delimitada pela função,
no entanto é necessário que a medida µ coincida com o comprimento
dos conjuntos Ej que pertecem a σ−álgebra.
Concluído o estudo para funções não negativas, vimos que para
uma função mensurável f ser integrável segundo Lebesgue é necessário
5.3. LEBESGUE GENERALIZA RIEMANN
131
que as integrais da parte positiva e da negativa sejam finitas e define-se
a integral dessa função como
Z
Z
Z
f dµ = f + dµ − f − dµ.
Assim, para uma função mensurável ser Lebesgue integrável é necessário que tenha integral finita.
Finalizando o estudo da integral de Lebesgue, provamos o Teorema da Convergência Dominada que nos diz quando e como a troca
entre o sinal da integral e o limite pode ser feita. Nesse caso é necessário, apenas, que a sequência de funções integráveis fn seja convergente,
em quase todo ponto, e dominada por uma função integrável, o que é
mais simples do que ter convegência uniforme.
5.3 A INTEGRAL DE LEBESGUE GENERALIZA A INTEGRAL DE RIEMANN
Seja f : [a, b] → R uma função limitada e não negativa.
Suponha χ = B = {Ei = [ti−1 , ti ]; (ti−1 , ti ) ⊂ [a, b]} a Álgebra de Borel
para o intervalo [a, b] e seja µ(Ei ) = ti − ti−1 , a medida de Lebesgue.
Pelo Exemplo 2.2, sabemos que f é mensurável. Ora, a Álgebra de Borel
contém todas as partições possíveis para o intervalo [a, b]. Sabemos que
a integral de Riemann da função é dada por
Z b
f (x)dx = sup s(f ; P ).
P
a
E a integral de Lebesgue é dada por
Z
Z
f dµ = sup ϕdµ.
ϕ
Tome os conjuntos
R = {s(f ; P ); P é partição} e
Q=
Z
ϕdµ; ϕ é uma função simples e 0 6 ϕ(x) 6 f (x)
Capítulo 5. A COMPARAÇÃO DAS INTEGRAIS
132
Suponha s(f ; P ) ∈ R, então
s(f ; p) =
n
X
i=1
mi (ti − ti−1 ) mas (ti − ti−1 ) = µ(Ei ), então
s(f ; p) =
n
X
mi µ(Ei )
i=1
Como P é uma partição então
uma função
Sn
ϕ=
i=1
Ei = [a, b] e assim, podemos definir
n
X
m i χE i
i=1
que é simples, pois existem apenas um número finito de intervalos na
partição P e, além disso, em cada intervalo Ei existe apenas um mi =
inf f |Ei . Como supomos f não negativa e pela definição de ínfimo,
temos que 0 6 ϕ(x) 6 f (x) para cada x ∈ [a, b]. Logo, R ⊂ Q e, assim,
sup R 6 sup Q.
R
Agora suponha ϕdµ ∈ Q, então
Z
ϕdµ =
n
X
ai µ(Ei ) com ϕ =
i=1
n
X
a i χE i
i=1
e tal que 0 6 ϕ(x) 6 f (x) para cada x ∈ [a, b].
Perceba que em cada conjunto Ei ∈ B temos que a função simples que
atinge o maior valor nesse intervalo deve coincidir com o ínfimo mi da
função em cada um desses conjuntos, pois se mi = inf f |Ei então
mi 6 f (x) para todo x ∈ Ei
Suponha que exista uma função simples ϕ tal que no intervalo Ei assuma o valor ai = mi + ε, então, temos que ai não é ínfimo da função
neste intervalo, assim existe algum x ∈ Ei tal que
mi < f (x) < mi + ε,
neste caso a função ϕ não satisfaz a condição de que 0 6 ϕ(x) 6 f (x)
para todo x ∈ [a, b]. Logo, a maior função em cada Ei ∈ B corresponde
5.3. LEBESGUE GENERALIZA RIEMANN
133
ao ínfimo da função em cada um desses intervalos e, assim, sup Q não
pode ser maior que sup R.
Portanto, quando estamos trabalhando com funções limitadas, usando
Álgebra de Borel e a medida de Lebesgue temos que sup R = sup Q, ou
seja,
Z
a
b
f (x)dx =
Z
f dµ.
Observação 5.1. Para concluirmos a igualdade acima, supomos f
não negativa, mas isso vale para toda função limitada, o que pode ser
verificado facilmente usando a integral da parte positiva e da negativa,
nos apropriando de que f = f + − f − e aplicando os teoremas 1.4 para
a Integral de Riemann e 4.3 para Integral de Lebesgue.
Agora, como sabemos que a Integral de Riemann é uma Integral
de Lebesgue podemos dizer que todo estudo feito para a segunda se
aplica a primeira, no entanto não podemos dizer o contrário. Assim,
não é necessário que uma função seja contínua em quase todo ponto
para ser integrável segundo Riemann, basta que os valores das integrais
da parte positiva e da negativa sejam finitos.
Além disso, a fim de aplicar o Teorema de Passagem ao limite sob o Sinal de Integral é necessário que a sequência de funções
integráveis, segundo Riemann, seja uniformemente convergente, porém
sabemos que é suficiente que a sequência seja convergente e dominada
por uma função integrável, como nos afirma o Teorema da Convergência
Dominada.
Portanto, vemos que a teoria por trás da Integral de Riemann
não é tão forte quanto a de Lebesgue, sendo assim, a primeira teoria
precisa de muitas condições para demonstrar os resultados, enquanto a
outra é menos rigorosa em relação as funções, porém mais bem elaborada.
135
CONCLUSÃO
Com esse trabalho, tinhamos por objetivo principal mostrar
que a Integral de Lebesgue possui vantagens sobre a Integral de Riemann e, por fim, mostrar que esta é um caso particular daquela.
No primeiro capítulo desse trabalho, foi formalizada a integral
mais conhecida nos cursos de graduação, podendo provar que os teoremas vistos durante esse estágio decorrem da Definição de Integral
de Riemann. Isso pode não ter ficado claro no estudo feito durante a
graduação, principalmente, pelo fato de que o estudo desse conceito
iniciou-se com o cálculo da Função Primitiva, quando, na verdade, isso
decorre da Definição que vimos no referido capítulo. Nesse mesmo capítulo, vimos quão importante é o conceito de continuidade para essa
Integral, sendo necessário e suficiente, que uma função seja contínua
para ser integrável.
Nos dois capítulo seguintes, pudemos conhecer e estudar uma
teoria que não foi vista na graduação, no entanto é uma teoria simples
para ser compreendida, porém muito rigorosa. No Capítulo 4, baseado
no estudo feito nesses dois capítulos, foi definida e estudada a Integral
de Lebesgue. Vimos que a fim de uma função mensurável ser Lebesgueintegrável é necessário apenas que as integrais de sua parte positiva e
da negativa sejam finitas.
No último capítulo desse trabalho as duas integrais foram comparadas e foi provado que tomando a Álgebra de Borel, a medida de
Lebesgue e supondo a função limitada podemos ver a Integral de Riemann como uma Integral de Lebesgue, no entanto, a Integral de Lebesgue, por adimitir funções mensuráveis segundo uma σ−álgebra e
qualquer medida definida neste conjunto, não pode ser vista como um
caso particular da primeira e sim como uma generalização. Além disso,
Conclusão
136
nos exemplos do Capítulo 2, vimos que uma função contínua, considerando a Álgebra de Borel, é mensurável, e como no Capítulo 1 definimos a Integral de Riemann em um intervalo compacto, é evidente
que a integral de Riemann de uma função contínua é finita, portanto é
Lebesgue-integrável.
Nesse sentido, podemos dizer que a Integral de Lebesgue é mais
vantajosa que a Integral de Riemann, pois exige menos condições para
integrabilidade de funções, especialmente, no que se refere ao processo
da troca de limite com o sinal de integral. Vimos que a Integral de
Riemann é uma Integral de Lebesgue, mas a teoria de Lebesgue é mais
forte do que a teoria de Riemann. Porém é necessário ressaltar que o
estudo da Integral de Riemann é mais acessível a cursos de graduação,
sendo a forma mais natural de calcular áreas de regiões limitadas por
funções. Sendo assim, podemos dizer que as duas integrais apresentam
vantagens, a primeira é mais natural e a segunda é mais abrangente.
137
Referências
BARTLE, R. G. The Elements of Integration and Lebesgue Measure.
2a. ed. New York: Wiley Classics Library, 1995. Citado 3 vezes nas
páginas 75, 91 e 101.
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino h.
domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. Citado na página
21.
LIMA, E. L. Análise Real - Funções de Uma Variável. 11a. ed. Rio de
Janeiro: IMPA, 2012. Citado 3 vezes nas páginas 21, 141 e 143.
O’CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. Henri léon lebesgue.
Scotland, 2004. Disponível em: <www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lebesgue.html>. Acesso em: 06 Nov, 2013. Citado na
página 101.
PIRES, G. Integrabilidade. 20?? Disponível em: <www.math.ist.utl.pt/˜jmourao/AMIII/integra.pdf>. Acesso em: 10 Dez, 2013. Citado
na página 128.
RIBEIRO, A. A.; KARAS, E. W. Otimização Contínua - Aspectos
teóricos e computacionais. Curitiba: [s.n.], 2013. Citado na página 56.
Anexos
141
ANEXO A – TEOREMAS IMPORTANTES
Seguem alguns teoremas importantes retirados do livro de Lima
(2012).
Teorema A.1 (Teorema de Weierstrass). Seja f : X → R contínua
no conjunto compacto X ⊂ R. Existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) 6
f (x) 6 f (x1 ) para todo x ∈ X.
Teorema A.2. Seja X ⊂ R compacto. Toda função contínua f : X →
R é uniformemente contínua.
Teorema A.3 (Teorema Borel-Lebesgue). Toda cobertura aberta de
um conjunto compacto possui uma subcobertura finita.
Teorema A.4. Se f, g : I → R são funções contínuas, deriváveis no
interior de I, com f ′ (x) = g ′ (x) para todo x que pertence ao interior
de I, então existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c para todo x ∈ I.
Teorema A.5 (Teorema do Sanduíche). Sejam f, g, h : X → R, a ∈
X ′ e limx→a f (x) = limx→a g(x) = L. Se f (x) 6 h(x) 6 g(x) para todo
x ∈ X − {a}, então limx→a h(x) = L.
Teorema A.6. Dada uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ ... ⊃
Xn ⊃ ... de conjuntos compactos não-vazios, existe (pelo menos) um
número real que pertence a todos os Xn .
Teorema A.7. Toda sequência monótona limitada é convergente.
Teorema A.8. Seja f : X → R uma função monótona limitada.
′
′
, existem L = limx→a+ f (x) e
e todo b ∈ X−
Para todo a ∈ X+
M = limx→b− f (x).
142
ANEXO A. TEOREMAS IMPORTANTES
Teorema A.9. Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Se f (a) <
d < f (b), então existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.
143
ANEXO B – CONJUNTO DE CANTOR
O procedimento para obter o Conjunto de Cantor, assim como a
demonstração de suas propriedades, podem ser encontrados de maneira
mais detalhada no livro de Lima (2012). Segue, de forma resumida,
a definição desse conjunto e suas propriedades que se encontram no
mesmo livro.
Retira-se do intervalo [0, 1] seu terço médio aberto. Depois
retira-se o terço médio aberto de cada um dos intervalos restantes e
assim se repete o procedimento indefinidamente. O conjunto dos pontos
não retirados é o Conjunto de Cantor, que possui as seguintes propriedades:
i. É compacto;
ii. Tem interior vazio (não contém intervalos);
iii. Não contém pontos isolados (todos seus pontos são de acumulação);
iv. É não-enumerável.

integração: riemann e lebesgue, um estudo comparativo

Transcrição

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