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C1_MEDICINA_MAT_2016_Rose 07/01/16 10:26 Página I
MATEMÁTICA
C1_MEDICINA_MAT_2016_Rose 07/01/16 10:26 Página II
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MÓDULO 1
Problemas Elementares
Exercícios Propostos
1. (FEI) – Maria tem em sua bolsa somente moedas de cinquenta
centavos e/ou um real. Considere que ela possuía um total de nove
moedas e as distribuiu entre três crianças. Se as crianças receberam,
respectivamente, 2 moedas, 3 moedas e 4 moedas e se todas as
crianças receberam a mesma quantia (em reais), então cada criança
recebeu:
a) R$ 1,50
b) R$ 2,00
c) R$ 2,50
d) R$ 3,00
e) R$ 3,50
2. (UNVG) – Um torneio de tênis será disputado entre 12
jogadores. Os jogadores disputarão partidas entre si, definidas de
modo aleatório, ou seja, dois jogadores podem jogar entre si mais de
uma vez ou podem nem se encontrar.
Cada partida é disputada por dois jogadores e sempre terá um
vencedor. O jogador que perder três partidas no torneio é eliminado.
O vencedor do torneio será o único jogador a não ser eliminado, logo,
o número máximo de partidas que serão disputadas nesse torneio será
a) 38.
b) 35.
c) 33.
d) 41.
e) 44.
RESOLUÇÃO:
Como cada jogador só é eliminado após sofrer 3 derrotas, os 11 primeiros
eliminados participaram de 3 . 11 = 33 jogos.
O vencedor teve, no máximo, duas derrotas.
Assim, o número máximo de jogos é 33 + 2 = 35.
Resposta: B
RESOLUÇÃO:
1) A criança que recebeu 2 moedas pode ter recebido:
2 moedas de R$ 0,50 totalizando R$ 1,00 ou
2 moedas de R$ 1,00 totalizando R$ 2,00 ou
uma moeda de R$ 0,50 e uma moeda de R$ 1,00 totalizando R$ 1,50.
2) Somente R$ 2,00 pode ser dividido em 3 ou 4 moedas das que Maria
tem.
R$ 2,00 pode ser dividido em 3 moedas da seguinte forma uma moeda
de R$ 1,00 e duas de R$ 0,50
R$ 2,00 também pode ser dividido em quatro moedas de R$ 0,50.
Resposta: B
– 65
3. (UNICAMP) – São conhecidos os valores calóricos dos
seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de
leite, 550 kcal; 200 g de manteiga, 1.400 kcal; 1 kg de queijo,
3.200 kcal; uma banana, 80 kcal.
a) Qual o valor calórico de uma refeição composta por duas fatias de
pão integral, um copo de 200 ml de leite, 10 g de manteiga, 4 fatias
de queijo, de 10 g cada uma, e duas bananas?
b) Um copo de leite integral contém 248 mg de cálcio, o que
representa 31% do valor diário de cálcio recomendado. Qual é
esse valor recomendado?
RESOLUÇÃO:
a) Conforme as condições do enunciado, cada fatia de pão integral
contém 55 kcal, cada 1ml de leite contém 0,55 kcal, cada grama de
manteiga contém 7 kcal, cada banana contém 80 kcal, cada grama de
queijo contém 3,2 kcal. A refeição descrita terá valor calórico, em
kcal, igual a
2 . 55 + 200 . 0,55 + 10 . 7 + 40 . 3,2 + 2 . 80 = 578
b) Sendo Vr o valor recomendado diário de cálcio, tem-se
31% . Vr = 248 mg ⇔ Vr = 800 mg
Respostas: a) 578 kcal
b) 800 mg
4. (FUVEST-2016) – De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes
mudanças de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado o cruzeiro,
cada cruzeiro valendo mil réis; (2) em 1967, foi criado o cruzeiro
novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro
novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3) em 1986, foi criado o
cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; (4) em 1989, foi criado
o cruzado novo, cada um valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado
novo passou a se chamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, foi criado
o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi
criado o real, cada um valendo 2.750 cruzeiros reais. Quando morreu,
em 1869, Brás Cubas possuía 300 contos. Se esse valor tivesse ficado
até hoje em uma conta bancária, sem receber juros e sem pagar taxas,
e se, a cada mudança de moeda, o depósito tivesse sido normalmente
convertido para a nova moeda, o saldo hipotético dessa conta seria,
aproximadamente, de um décimo de
a) real.
b) milésimo de real.
c) milionésimo de real.
d) bilionésimo de real.
e) trilionésimo de real.
Dados:
Um conto equivalia a um milhão de réis.
Um bilhão é igual a 109 e um trilhão é igual a 1012.
RESOLUÇÃO:
Em 1869: Brás Cubas possuía 300 contos = 300 . 106 réis
300 . 106
Em 1942: 300 . 106 réis = ––––––––– cruzeiros = 300 . 103 cruzeiros
103
300 . 103
Em 1967: 300 . 103 cruzeiros = ––––––––– cruzeiros novos =
103
= 300 cruzeiros novos
Em 1970: 300 cruzeiros novos = 300 cruzeiros, apenas troca de nome da
moeda.
300
Em 1986: 300 cruzeiros = ––––– cruzados.
103
300
300
Em 1989: ––––– cruzados = ––––– cruzados novos.
103
106
300
Em 1990: ––––– cruzados novos =
106
300
––––– cruzeiros, apenas troca de
106
nome da moeda.
300
300
Em 1993: ––––– cruzeiros = ––––– cruzeiro real.
106
109
300
1
300
Em 1994: ––––– cruzeiro real = ––––– . ––––– real =
109
2750
109
300
1
1
1
= ––––– . –––– real ––– . –––– real
10
2750
109
109
Resposta: D
66 –
5. (Insper-2016) – O quadriculado representa uma região de
edifícios, sendo que, em cada um dos 16 quadrados, está localizado
um único edifício. Em cada linha ou coluna, dois edifícios quaisquer
têm números diferentes de pisos, tendo de 1 a 4 andares. Os números
que estão na borda externa do quadriculado indicam a quantidade de
edifícios que podem ser vistos por alguém que olha frontalmente para
o quadriculado, na direção e sentido indicados pela seta. O número 2
circulado indica que o edifício nesse quadrado tem 2 andares. As
letras A, B e C, também circuladas, indicam os números de andares
dos edifícios nos respectivos quadrados em que estão.
III) Obedecendo agora o critério de que “em cada linha ou coluna, dois
edifícios quaisquer têm números diferentes de pisos” é possível
completar o quadriculado da forma:
Nas condições descritas, 3A + 4B + 2C é igual a
a) 15.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
e) 24.
RESOLUÇÃO:
Chamamos de �, �, � e � os edifícios com respectivamente 1, 2, 3 e 4
andares.
I)
Quem da rua só encherga um edifício e porque o primeiro prédio
que vê é o de 4 andares. Assim, podemos preencher parcialmente o
quadriculado da forma:
IV) Desta forma, A = 1, B = 2, C = 3 e 3A + 4B + 2C =
= 3 . 1 + 4 . 2 + 2 . 3 = 17
Resposta: B
II)
Na segunda linha, quem olha da esquerda para a direita só vê dois
prédios. Isto só ocorre se o prédio próximo à rua for o de 3 andares,
pois este encobre os outros dois prédios. O mesmo ocorre para quem
olha na terceira coluna no sentido norte-sul.
Desta forma, o quadriculado fica
– 67
exercícios-tarefa
1. Carlos tem 2012 blocos iguais de 10 cm de largura por 20 cm de
comprimento e 1,5 cm de espessura e resolveu empilhá-los formando
uma coluna de 20 cm de largura por 40 cm de comprimento, como na
figura. Qual dos valores a seguir, em metros, é o mais próximo da
altura dessa coluna?
a)
b)
c)
d)
e)
7
7,5
8
8,5
9
2. (OBM) – No pentágono ABCDE abaixo, AB = BC = CD = 2 metros e DE = EA = 3 metros. Uma formiguinha parte do vértice A e
caminha com velocidade constante de um metro por segundo ao longo
de seus lados, sempre no mesmo sentido. Em que ponto estará no
2013º segundo?
Se o resultado foi 44, com qual valor positivo de x se iniciou?
a) 7,2
b) 7,4
c) 7
d) 7,8
e) 8
4. O preço de uma corrida de táxi é igual a R$ 2,50 (“bandeirada”),
mais R$ 0,10 por cada 100 metros rodados. Tenho apenas R$ 10,00
no bolso. Logo tenho dinheiro para uma corrida de até:
a) 2,5 km
b) 5,0 km
c) 7,5 km
d) 10,0 km
e) 12,5 km
5. (FGV) – Uma pulga com algum conhecimento matemático
brinca, pulando sobre as doze marcas correspondentes aos números
das horas de um relógio. Quando ela está sobre uma marca
correspondente a um número não primo, ela pula para a primeira
marca a seguir, no sentido horário. Quando ela está sobre a marca de
um número primo, ela pula para a segunda marca a seguir, sempre no
sentido horário. Se a pulga começa na marca do número 12, onde ela
estará após o 2014o. pulo?
6.
(OBM) – Ana começou a descer uma escada no mesmo instante
3
em que Beatriz começou a subi-la. Ana tinha descido ––– da escada
4
quando cruzou com Beatriz. No momento em que Ana terminar de
descer, que fração da escada Beatriz ainda terá que subir?
1
1
1
5
2
b) –––
c) –––
d) –––
e) –––
a) –––
4
3
12
12
3
a)
A
b) B
c) C
d) D
e) E
7. Em cinco dados, a soma dos números das cincos faces voltadas
para cima é 17. Em cada dado, a soma dos números em duas faces
opostas é sempre 7.
3. Na figura a seguir, está indicada uma sequência de operações a
serem efetuadas com o número obtido na operação anterior.
A soma dos números das faces em contato com o solo é
a) um divisor de 35.
b) um múltiplo de 5.
c) um número primo.
d) um quadrado perfeito.
e) um múltiplo comum de 2, 3 e 6.
8. (FUVEST) – Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de
4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o próximo
ano a começar também em uma segunda-feira será
a) 2012
b) 2014
c) 2016
d) 2018
e) 2020
respostas dos exercícios-tarefa
Vide resoluções comentadas no site:
www.curso-objetivo.br
68 –
1)
B
2) E
3) E
4) C
5)
9
6) E
7) E
8) D
MÓDULO 2
Problemas Elementares
Exercícios Propostos
1.
(FATEC) – Considere o exemplo.
Proposição
O cachorro é um animal ou a alface é um
vegetal.
Negação dessa
proposição
O cachorro não é um animal e a alface não é
um vegetal.
Assinale a alternativa que apresenta a negação da seguinte proposição:
Maria não faz o curso de Polímeros
ou Júlia faz o curso de Silvicultura.
2.
(FATEC) – Considere verdadeira a seguinte afirmação.
Todos os irmãos de Pedro estudam na Fatec.
Assim sendo, pode-se concluir corretamente que
a) se Marcelo estuda na Fatec, então ele é irmão de Pedro.
b) se Társio é irmão de Pedro, então ele não estuda na Fatec.
c) se Júlio não estuda na Fatec, então ele é irmão de Pedro.
d) se Sérgio não é irmão de Pedro, então ele não estuda na Fatec.
e) se Roberto não estuda na Fatec, então ele não é irmão de Pedro.
RESOLUÇÃO:
A frase:
“Todos os irmãos de Pedro estudam na Fatec”
é equivalente a frase:
“Se é irmão de Pedro, então estuda na Fatec”
Esta frase, por sua vez, é equivalente a frase:
“Se não estuda na Fatec, então não é irmão de Pedro”
Assim, pode-se concluir que
“se Roberto não estuda na Fatec, então ele não é irmão de Pedro”, pois se
fosse irmão de Pedro estudaria na Fatec.
Resposta: E
a) Maria faz o curso de Polímeros e Júlia faz o curso de Silvicultura.
b) Maria faz o curso de Polímeros e Júlia não faz o curso de
Silvicultura.
c) Maria faz o curso de Polímeros ou Júlia não faz o curso de
Silvicultura.
d) Maria não faz o curso de Polímeros e Júlia não faz o curso de
Silvicultura.
e) Maria não faz o curso de Polímeros ou Júlia não faz o curso de
Silvicultura.
RESOLUÇÃO:
A negação da proposição
Maria não faz o curso de Polímeros ou
Júlia faz o curso de Silvicultura.
é
Maria faz o curso de Polímeros e
Júlia não faz o curso de Silvicultura.
Resposta: B
– 69
3. (FUVEST) – Três ladrões, Zúlio, Zizo e Zózimo, eram velhos
conhecidos do detetive, o Sr. Silva. Novamente tinham eles
cometido um assalto, dessa vez a uma loja de carros importados.
Foram levados três carros, um de cor prata, outro preto e outro
vermelho. O Sr. Silva já havia feito investigações, e tinha certeza de
que cada um daqueles homens havia roubado um dos carros.
Finalmente, no dia do julgamento, cada um deles fez uma afirmação:
4. (UNIFESP) – O 2007º dígito na sequência 123454321234543...
é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
RESOLUÇÃO:
Supondo que os dígitos do número 123454321234543… são formados pela
repetição dos 8 dígitos iniciais
1
Zúlio: “Zizo não levou o carro preto.”
Zizo: “Zózimo levou o carro preto.”
Zózimo: “Eu roubei o carro vermelho.”
e sabendo-se que
2007
7
3
4
5
4
3
2
8
, conclui-se que o 8o., 16o., 24o.,…, 2000o.
250
termos são todos iguais a 2 e o 2007o. dígito será o sétimo termo da
Conhecendo bem os três ladrões, o Sr. Silva sabe que Zózimo
sempre mente. Quanto a Zúlio e Zizo, sempre que um deles mente,
o outro fala a verdade, e sempre que um deles fala a verdade, o
outro mente.
A partir daí, o Sr. Silva concluiu corretamente que
a) Zúlio roubou o carro vermelho e Zizo, o preto.
b) Zózimo roubou o carro prata e Zúlio, o preto.
c) Zizo roubou o carro prata e Zózimo, o vermelho.
d) Zizo roubou o carro vermelho e Zózimo, o preto.
e) Zózimo roubou o carro preto e Zúlio, o carro prata.
RESOLUÇÃO:
Como Zózimo sempre mente, Zózimo não roubou o carro vermelho.
Assim, podemos ter, a respeito das frases (I) e (II), primeira e segunda
respectivamente.
Prata
Preto
Vermelho
Comentário
Zózimo
Zúlio
Zizo
I – verdadeira
II – falsa
Zózimo
Zizo
Zúlio
I – falsa
II – falsa
Zúlio
Zózimo
Zizo
I – verdadeira
II – verdadeira
Zizo
Zózimo
Zúlio
I – verdadeira
II – verdadeira
Como o delegado sabe que quando Zúlio mente Zizo fala a verdade e vice
versa só podemos ter a primeira possibilidade da tabela.
Resposta: B
70 –
2
sequência inicial que é, 3.
Resposta: C
5. Seja N um número inteiro de 5 algarismos. O número P é construído agregando-se o algarismo 1 à direita de N e o número Q é
construído agregando-se o algarismo 1 à esquerda de N. Sabendo-se
que P é o triplo de Q, o algarismo das centenas do número N é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
RESOLUÇÃO:
Seja N = abcde o número inteiro considerado. Agregando-se 1 à direita de
N, temos:
P = abcde1 = abcde0 + 1 = 10N + 1
Agregando-se 1 à esquerda de N, temos:
Q = 1abcde = 100000 + abcde = 100000 + N
Como P = 3Q, temos:
10N + 1 = 3 . (100000 + N) ⇒ 7N = 299999 ⇒ N = 42857
Resposta: E
exercícios-tarefa
1. Um arquiteto apresenta ao seu cliente cinco plantas diferentes
para o projeto de ajardinamento de um terreno retangular, onde as
linhas cheias representam a cerca que deve ser construída para
proteger as flores. As regiões claras são todas retangulares e o tipo de
cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custo da
construção da cerca será maior?
3. A soma dos algarismos representados pelos asteriscos na
multiplicação seguinte:
∗∗∗4∗∗ × 7 = 6743∗56 é:
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e) 35
(100 jogos numéricos – Pierre Berloquin)
4. (FGV) – O número natural representado por x possui todos os
algarismos iguais a 2, e o número natural representado por y possui
todos os algarismos iguais a 1. Sabe-se que x possui 2n algarismos, e
que y possui n algarismos, com n sendo um inteiro positivo.
Nas condições dadas, a soma dos algarismos do resultado de x – y é
igual a
a) 4n–1.
b) n.
c) 2n.
d) 3n.
e) 2n–1.
5. Sejam m e n dois números naturais não nulos, com m < n.
Definimos m ∗ n como sendo a soma dos números naturais de m a n,
(4 ∗ 6) ∗ (8 ∗ 9)
incluindo m e n. Calcular o valor de –––––––––––––– .
1∗3
2. (FGV) – Conta a lenda:
Havia um rei que tinha costume de dar liberdade a um prisioneiro no
dia do seu aniversário. Em certa ocasião levou três condenados a um
quarto escuro, no qual havia três chapéus brancos e dois chapéus
negros. Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor de cada
um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro, depois os tirou do
quarto e levou-os a um lugar onde cada um pudesse ver o chapéu dos
outros dois, mas não o seu.
Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu chapéu e ele não soube
responder.
O mesmo aconteceu com o prisioneiro B.
Finalmente, fez a mesma pergunta ao prisioneiro C, que era totalmente cego e havia escutado as respostas dos outros dois.
“Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é branco.”
Foi colocado em liberdade assim que todos observaram que havia
acertado a resposta.
a) Faça uma tabela em que apareçam todas as possibilidades das
cores dos chapéus colocados nos prisioneiros.
b) Explique por que o condenado C somente podia estar com o
chapéu branco.
6. (OBM) – Um jornal publicou a tabela de um campeonato de
futebol formado por quatro times, apresentando os gols marcados e os
gols sofridos por eles. Por uma falha de impressão, a tabela saiu com
dois números borrados, conforme reprodução a seguir.
Gols marcados
Gols sofridos
Craques do Momento
8
4
Independentes
1
6
EC Boleiros
4
***
Esmeralda FC
5
***
Sabe-se que o time Esmeralda FC sofreu dois gols a mais que o time
EC Boleiros. Quantos gols sofreu o time Esmeralda FC?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
7. (FUVEST) – Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de
gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o
automóvel consome 37 litros deste combustível para percorrer 259
km. Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o
preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por
esse automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como
combustível, seja o mesmo?
a) R$ 1,00
b) R$ 1,10
c) R$ 1,20
d) R$ 1,30
e) R$ 1,40
b) I)
O primeiro prisioneiro (A) não viu dois chapéus
negro, pois neste caso teria acertado a cor de seu
chapéu.
II) O segundo prisioneiro (B) não viu um chapéu negro
no terceiro prisioneiro, pois neste caso, depois de ter
escutado o primeiro prisioneiro, saberia que seu chapéu é branco.
III) O terceiro prisioneiro, que escutou os outros dois
sabe que o segundo prisioneiro não viu chapéu negro
na sua cabeça e, portanto, pode afirmar que seu
chapéu é branco.
1)
C
2)
a)
Prisioneiro A
Prisioneiro B
Prisioneiro C
branco
branco
branco
branco
branco
negro
branco
negro
branco
negro
branco
branco
branco
negro
negro
negro
branco
negro
negro
negro
branco
3)
D
4) D
5) 8
6) D
7) E
– 71
MÓDULOS 3 e 4
Números, Porcentagem
e Grandezas Proporcionais
2) Duas grandezas são diretamente proporcionais se,
e somente se, o quociente entre valores correspondentes é constante. Se as grandezas A = (a1, a2,
a3, …) e B = (b1, b2, b3, …) forem diretamente
proporcionais, então:
a1
a2
a3
––– = ––– = ––– = …
b1
b2
b3
Resumo teórico
Porcentagem
3) Duas grandezas são inversamente proporcionais
se, e somente se, o produto entre valores
correspondentes é constante. Se as grandezas
A = (a1, a2, a3, …) e B = (b1, b2, b3, …) forem
inversamente proporcionais, então:
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = …
1) Porcentagem é uma fração de denominador 100.
p
p% = ––––
100
p
Observação: p‰ = –––––– e lê-se “p por mil”.
1000
2) Aumentar um valor x de p% é multiplicá-lo por
1 + p%. De fato:
x + p% de x = 1 . x + p% . x = (1 + p%) . x
3) Aumentar um valor x de 20%, por exemplo, equivale
a multiplicá-lo por 1,2. De fato:
x + 20% de x = 1 . x + 20% . x =
= (1 + 20%) . x = (1 + 0,2) . x = 1,2x
4) Diminuir um valor x de p% equivale a multiplicá-lo
por 1 – p%. De fato:
x – p% de x = 1 . x – p% . x = (1 – p%) . x
5) Diminuir um valor x de 20%, por exemplo, equivale
a multiplicá-lo por 0,8. De fato:
x – 20% de x = 1 . x – 20% . x =
= (1 – 20%) . x = (1 – 0,2) . x = 0,8x
Razões e proporções; regra de
três
1) Se os números a, b, c e d formarem, nessa ordem,
uma proporção, então:
a)
a
c
––– = ––– ⇔ a . d = b . c
b
d
a
c
a+c
a
c
b) ––– = ––– ⇔ –––––– = ––– = –––
b
d
b+d
b
d
72 –
Exercícios Propostos – Módulo 3
1. (OBM) – O Aluno D (usaremos este codinome para proteger a
identidade do aluno) não prestou atenção na aula e não aprendeu
como verificar, sem realizar a divisão, se um número é múltiplo de 7
ou não. Por isso, D decidiu usar a regra do 3, ou seja, ele vai somar os
dígitos e verificar se o resultado é um múltiplo de 7. Para quantos
números inteiros positivos menores que 100 esse método incorreto
indicará que um número é múltiplo de 7, sendo o número realmente
múltiplo de 7?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO:
Os números inteiros positivos menores que 100 são 1, 2, 3, …, 99. A maior
soma que os algarismos desses números pode ter é 9 + 9 = 18.
As possíveis soma dos algarismos múltiplos de 7 são 7 ou 14.
São números cuja soma dos algarismos é 7: 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61 e 70.
São números cuja soma dos algarismos e 14: 59, 68, 77, 86 e 95.
Desses números, são realmente divisíveis por 7 os números 7, 70 e 77.
Resposta: D
2. (FGV) – Carlos é um doador voluntário e regularmente faz
doações de sangue. Em um determinado ano ele fez uma doação de
450 mL de sangue no dia 12 de junho, uma quarta-feira.
De acordo com as regras para doação de sangue, Carlos teve que
esperar pelo menos 60 dias para fazer uma nova doação. Entretanto,
Carlos só faz doações de sangue às quartas-feiras, único dia da
semana que ele tem livre. Na primeira quarta-feira após os 60 dias
Carlos fez outra doação. Esta outra doação foi feita no dia
a) 11 de agosto
b) 12 de agosto
c) 13 de agosto.
d) 14 de agosto.
e) 15 de agosto.
RESOLUÇÃO:
1) Para que as doações ocorram sempre às quarta-feiras, a quantidade de
dias transcorridos entre uma doação e a seguinte deverá ser múltiplo
de sete.
2) 60 não é múltiplo de 7. O primeiro múltiplo de 7 após o 60 é 63.
3) 63 dias após 12 de junho será 14 de agosto, pois: em junho restam 18
dias; em julho 31 dias e mais 14 dias de agosto.
Resposta: D
4. (FUVEST) – Há um ano, Bruno comprou uma casa por
R$ 50000,00. Para isso, tomou emprestado R$ 10000,00 de Edson e
R$ 10000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro após um
ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa
valorizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno
vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro
foi de
a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
e) R$ 800,00
RESOLUÇÃO:
Preço inicial da casa: R$ 50 000,00
Preço final da casa:
R$ 50 000,00 × 1,03 = R$ 51 500,00
Valor que Edson receberá:
R$ 10 000,00 × 1,05 = R$ 10 500,00
Valor que Carlos receberá:
R$ 10 000,00 × 1,04 = R$ 10 400,00
Vendendo a casa, Bruno lucrará, em reais:
(51 500 – 50 000) – (10 500 – 10 000) – (10 400 – 10 000) = 600
Resposta: C
3. (VUNESP) – Um determinado casaco é vendido nas lojas A e B,
sendo que o seu preço na loja A é de R$ 30,00 mais caro que o da loja
B. Se a loja A der um desconto de 15% no seu preço, os preços de
venda desse produto em ambas as lojas ficarão iguais.
Pode-se concluir, então, que o preço de venda desse casaco na loja B
é de
a) R$ 220,00.
b) R$ 200,00.
c) R$ 170,00.
d) R$ 150,00.
RESOLUÇÃO:
Sendo a e b respectivamente os preços dos casacos nas lojas A e B temos,
em reais:
a = b + 30
a = b + 30
⇔
⇔
b = (100% – 15%)a
b = 0,85(b + 30)
⇔
0,15b = 0,85 . 30
a = b + 30
Resposta: B
⇔
b = 170
a = 200
5. (FUVEST) – Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte
urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de
R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$
4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um
usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$
12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o
saldo do bilhete após algumas utilizações é
a) R$ 0,85
b) R$ 1,15
c) R$ 1,45
d) R$ 2,50
e) R$ 2,80
RESOLUÇÃO:
Observemos que para 4 viagens simples ou menos o usuário não necessita
de recarga, pois
4 . R$ 3,00 = R$ 12,00 < R$ 12,50. Também não precisa de recarga para 2
viagens de integração.
A tabela mostra alguns valores de recarga que permitem, ao usuário,
zerar o saldo após algumas utilizações.
Viagens
simples
Viagem
Integração
Custo
em reais
Recarga
em reais
0
3
13,95
1,45
2
2
15,30
2,80
3
1
13,65
1,15
5
0
15,00
2,50
Qualquer outra combinação de passagens necessita de recargas maiores,
ou não necessita de recargas. A menor recarga, portanto, é R$ 1,15.
Resposta: B
– 73
exercícios-tarefa
1. (FUVEST) – A tabela informa a extensão territorial e a
população de cada uma das regiões do Brasil, segundo o IBGE.
Região
Extensão territorial
(km2)
População
(habitantes)
Centro-Oeste
1.606.371
14.058.094
Nordeste
1.554.257
53.081.950
Norte
3.853.327
15.864.454
Sudeste
924.511
80.364.410
Sul
576.409
27.386.891
IBGE: Sinopse do Censo Demográfico 2010 e
Brasil em números, 2011.
a) Qual cartucho preto e qual cartucho colorido a empresa deveria
usar para o custo por página ser o menor possível?
b) Por razões logísticas, a empresa usa apenas cartuchos de alto
rendimento (os modelos do tipo AR) e imprime apenas em um
lado do papel (ou seja, não há impressão no verso das folhas). Se
20% das páginas dos relatórios são coloridas, quanto a empresa
gasta mensalmente com impressão, excluindo a amortização da
impressora? Suponha, para simplificar, que as páginas coloridas
consomem apenas o cartucho colorido.
5. (FUVEST-ADAPTADO) – Em 2008, o candidato do Partido
Democrata, Barack Obama, foi eleito presidente dos Estados Unidos
da América (EUA). Os gráficos abaixo se referem a uma pesquisa
eleitoral realizada no dia das eleições nos estados da Califórnia e do
Mississipi.
Sabendo que a extensão territorial do Brasil é de, aproximadamente,
8,5 milhões de km2, é correto afirmar
que a
a) densidade demográfica da região sudeste é de, aproximadamente,
87 habitantes por km2.
b) região norte corresponde a cerca de 30% do território nacional.
c) região sul é a que tem a maior densidade demográfica.
d) região centro-oeste corresponde a cerca de 40% do território
nacional.
e) densidade demográfica da região nordeste é de, aproximadamente,
20 habitantes por km2.
2.
O setor de Recursos Humanos de uma empresa entrevistou
2
pessoas pretendentes a empregos, sendo ––– a razão entre o número
3
de aprovados e o de reprovados. Dos entrevistados, foram aprovados:
a) 30%
b) 32%
c) 36%
d) 40%
e) 45%
3. Um fazendeiro quer adubar dois lotes A e B cujas áreas são
5400 m2 e 9000 m2, respectivamente. Ele dispõe de 4 400 kg de adubo
para dividir entre os dois lotes, proporcionalmente às suas áreas. A
quantidade de adubo, em toneladas, que ele deve utilizar no lote A é:
a) 275
b) 27,5
c) 16,5
d) 2,75
e) 1,65
4. (UNICAMP) – Uma empresa imprime cerca de 12.000 páginas
de relatórios por mês, usando uma impressora jato de tinta colorida.
Excluindo a amortização do valor da impressora, o custo de
impressão depende do preço do papel e dos cartuchos de tinta. A
resma de papel (500 folhas) custa R$ 10,00. Já o preço e o rendimento
aproximado dos cartuchos de tinta da impressora são dados na tabela
abaixo.
Cartucho
Preço
Rendimento
(cor/modelo)
(R$)
(páginas)
Preto BR
R$ 90,00
810
Colorido BR
R$ 120,00
600
Preto AR
R$ 150,00
2400
Colorido AR
R$ 270,00
1200
74 –
Com base nesses gráficos e tendo em vista o contexto das eleições de
2008 e as particularidades históricas dos Estados Unidos, considere a
seguinte afirmação:
• Os gráficos relativos ao estado da Califórnia sinalizaram a vitória
de Obama com mais de 70% dos votos, obtidos de modo majoritário em todos os segmentos raciais.
Classifique esta afirmação em V ou F.
6. Para lotar um estádio na final de um campeonato, planejou-se,
inicialmente, distribuir os 23000 ingressos em três grupos da seguinte
forma: 30% seriam vendidos para a torcida organizada local; 10%
para a torcida organizada do time rival; os restantes para os espectadores não filiados às torcidas.
Posteriormente, por motivos de segurança, os organizadores resolveram que 3 000 desses
ingressos não seriam mais postos à venda, cancelando então 1 000 ingressos destinados a cada um dos três grupos.
Qual o percentual de ingressos destinados a torcedores não filiados às
torcidas, após o cancelamento dos 3 000 ingressos?
7. Uma certa pessoa compra, mensalmente, 8 kg de arroz e 5 kg de
feijão. Em um dado mês, o preço, por kg, do arroz e do feijão eram,
respec tivamente, R$ 2,20 e R$ 1,60. No mês seguinte, o preço do
kg de arroz teve um aumento de 10% e o do kg de feijão teve uma
redução de 5%. Assim sendo, o gasto mensal dessa pessoa, com a
compra de arroz e feijão, teve que aumento percentual?
8. (UPE) – As famílias Tatu, Pinguim e Pardal realizaram uma
viagem juntas, cada uma em seu carro. Cada família sabe muito bem
o quanto o seu carro consome de gasolina. O quadro a seguir mostra
o carro de cada uma das famílias, com os respectivos consumos
médios.
Família
Carro
Consumo
Tatu
Penault
20 km/l
Pinguim
Pevrolet
15 km/l
Pardal
Piat
12 km/l
Nessa viagem, eles sempre pagaram a gasolina com o mesmo cartão
de crédito. Ao final da viagem, eles perceberam que consumiram
1 200 litros de gasolina e gastaram 3 mil reais com esses abastecimentos.
Como eles decidiram dividir a despesa de forma proporcional ao que
cada família consumiu, quanto deverá pagar cada família?
5)
Falsa
6)
64%
1)
A
7)
5,3%, aproximadamente.
2)
D
8)
x = 750, y = 1000, z = 1250
3)
E
4)
a) Preto AR e colorido BR
b) R$ 1380,00
– 75
1. (UNIFESP-2016) – A heparina é um medicamento de ação
anticoagulante prescrito em diversas patologias. De acordo com
indicação médica, um paciente de 72 kg deverá receber 100 unidades
de heparina por quilograma por hora (via intravenosa).
No rótulo da solução de heparina a ser ministrada consta a informação
10 000 unidades/50 mL.
a) Calcule a quantidade de heparina, em mL, que esse paciente
deverá receber por hora.
b) Sabendo que 20 gotas equivalem a 1 mL, esse paciente deverá
receber 1 gota a cada x segundos. Calcule x.
RESOLUÇÃO:
a) O paciente de 72kg deverá receber (72 . 100) unidades = 7200 unidades
de heparina por hora. Se o rótulo indica 10 000 unidades em 50 mL,
tem-se:
unidades
volume
10 000
50 mL
7 200
q
A quantidade q de heparina que esse paciente deverá receber por hora
é tal que:
50 mL
10 000
––––––– = ––––––– ⇒ q = 36 mL
7 200
q
b) I) Se 1 mL = 20 gotas, então:
36 mL = 36 . 20 gotas = 720 gotas
II) O paciente deverá receber 720 gotas em 1 hora = 3600 s, assim,
tem-se:
no. de gotas
tempo(em segundos)
720
3 600
1
x
720
3 600
––––– = ––––– ⇒ x = 5
1
x
Respostas: a) 36 mL
76 –
b) x = 5
2. (FUVEST) – No próximo dia 08/12, Maria, que vive em
Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e uma
prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com vencimento nesse dia.
O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será
depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12.
Maria está considerando duas opções para pagar a prestação:
1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia
sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias;
2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2%
sobre o valor total da prestação.
Suponha que não haja outras movimentações em sua
conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em
relação à opção 1,
a) desvantagem de 22,50 euros.
b) vantagem de 22,50 euros.
c) desvantagem de 21,52 euros.
d) vantagem de 21,52 euros.
e) vantagem de 20,48 euros.
RESOLUÇÃO:
1) Pela primeira opção Maria ficará devendo, no dia 8/12,
(3500,00 – 2300,00) euros = 1200,00 euros
No dia 9/12 pagará 2% . 1200,00 euros = 24,00 euros de juros e sua
dívida atualizada passará para 1224,00 euros.
No dia 10/12 pagará 2%.1224,00 euros = 24,48 euros de juros e a dívida
final passará para 1248,48 euros.
Pela 1ª opção, portanto, o valor total dos juros pagos será 48,48 euros.
2) Na segunda opção Maria pagará uma multa de
2%. 3500,00 euros = 70,00 euros.
3) A opção 2, em relação à opção 1, representa uma desvantagem de
(70,00 – 48,48) euros = 21,52 euros.
Resposta: C
3. (FUVEST) – Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de
um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país.
Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2%
ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve
crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente,
20
Dado: 2 1,035
a) 4,2%
b) 5,6%
c) 6,4%
d) 7,5%
e) 8,9%
RESOLUÇÃO:
Sejam PIB0, P0 e R0 o Produto Interno Bruto, a população e a renda per
capita inicial desse país. Sejam ainda PIB20, P20 e R20 o Produto Interno
Bruto, a população e a renda per capita desse mesmo país, 20 anos após,
e seja i a taxa de crescimento anual do PIB durante esses 20 anos. Temos:
R20 = 2 R0,
4. (MACKENZIE) – Quando foi admitido em uma empresa, José
contratou um plano de saúde, cujo valor correspondia a 5% do seu
salário. Hoje, José tem um salário 30% maior e o plano de saúde teve,
desde a admissão de José, um aumento de 82%, representando,
atualmente, K% do salário de José. O valor de K é
a) 7%
b) 8%
c) 9%
d) 10%
e) 11%
RESOLUÇÃO:
Sendo p o valor do plano de saúde e s o valor do salário, de acordo com o
enunciado, temos:
p = 0,05 . s
1,82 . p = k . 1,3s
0,05
1
⇒ –––– = –––––– ⇔
1,82
k.1,3
1,82 . 0,05
⇔ k = –––––––––– = 0,07 ⇔ k%= 7%
1,3
O valor de k é 7 e não 7%
PIB0
R0 = –––––– e
P0
PIB20
(1 + i%)20 PIB0
R20 = –––––– = –––––––––––––––– =
P20
(1 + 2%)20 P0
Resposta: A
1 + i%
–––––––––
1,02
20
. R0 = 2R0 ⇔
20
1 + i%
⇔ ––––––– = 2 ⇔ 1 + i%= 1,02 . 1,035 ⇔
1,02
⇔ 1 + i% = 1,0557 ⇔ i% = 0,0557 = 5,57% 5,6%
Resposta: B
– 77
exercícios-tarefa
1. No período de um ano, certa aplicação financeira obteve um
rendimento de 26%. No mesmo período, porém, ocorreu uma inflação de
20%. Então, é correto afirmar que o rendimento efetivo da referida
aplicação foi de:
a) 3%
b) 5%
c) 5,2%
d) 6%
e) 6,2%
estrada (que não aparece na figura). Os traços perpendiculares à
estrada estão uniformemente espaçados de 1 cm.
2. O Senhor Silva comprou um apartamento e, logo depois, o
vendeu por R$ 476 000,00. Se ele tivesse vendido esse apartamento
por R$ 640 000,00, ele teria lucrado 60%. Calcule
a) quanto o Senhor Silva pagou pelo apartamento;
b) qual foi, de fato, o seu lucro percentual.
3. Uma loja virtual oferece as seguintes alternativas para o pagamento de um notebook:
•
À vista, no boleto bancário, com 5% de desconto sobre o preço
tabelado.
•
No cartão de crédito, em uma única parcela, o valor de tabela.
Considerando que o consumidor tenha dinheiro para efetuar a compra
à vista, e que esse dinheiro possa ser aplicado em uma instituição
financeira a uma taxa de 1%, por um prazo de 30 dias, qual a opção
mais vantajosa para o consumidor? Justifique sua resposta usando
argumentos matemáticos.
a
c
Sejam a, b, c e d números naturais não nulos tais que –– = –– .
b
d
a+b
c+d
Provar que ––––– = ––––– .
a
d
4.
5. (UNICAMP) – A figura abaixo mostra um fragmento de mapa,
em que se vê o trecho reto da estrada que liga as cidades de Paraguaçu
e Piripiri. Os números apresentados no mapa representam as
distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da
a) Para representar a escala de um mapa, usamos a notação 1 : X, onde
X é a distância real correspondente à distância de 1 unidade do
mapa. Usando essa notação, indique a escala do mapa dado acima.
b) Repare que há um posto exatamente sobre um traço perpendicular
à estrada. Em que quilômetro (medido a partir do ponto de início
da estrada) encontra-se tal posto?
c) Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado usando a
escala 1 : 500000. Se você fizer a figura em uma folha de papel,
qual será a distância, em centímetros, entre as cidades de
Paraguaçu e Piripiri?
6. (FUVEST) – Um comerciante compra calças, camisas e saias e
as revende com lucro de 20%, 40% e 30%, respectivamente. O preço
x que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga
por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Um certo
dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e
obteve um desconto de 10% sobre o preço total.
a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x?
b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda?
1)
B
2)
a) R$ 400 000,00
3)
à vista
4)
demonstração
78 –
b) 19%
5)
a) 1: 425000
b) 34,25
c) 6,8
6)
a) 4,17 . x
b) 13,72%
MÓDULOS 5 e 6
Fatoração
1. (FUVEST-2016) – A igualdade correta para quaisquer a e b,
números reais maiores do que zero, é
3
a3 + b3 = a + b
a)
Resumo teórico
1. Fatoração
Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais
parcelas num produto de dois ou mais fatores.
1
1
b) –––––––––––– = – –––
b
a – a2 + b2
a – b)2 = a – b
c) (
1
1
1
–––
d) –––––– = –––
a + b
a+b
a3 – b3
e) ––––––––––––
=a–b
a2 + ab + b2
2. Casos típicos
RESOLUÇÃO:
1.º caso: Fator Comum
ax + bx = x . (a + b)
2 o. caso: Agrupamento
ax + bx + ay + by =
= x . (a + b) + y . (a + b) = (a + b) . (x + y)
a3 – b3
De acordo com o enunciado, a igualdade correta é –––––––––––– = a – b.
a2 + ab + b2
De fato:
a3 – b3
(a – b) . (a2 + ab + b2)
–––––––––––– = –––––––––––––––––––– = a – b
a2 + ab + b2
(a2 + ab + b2)
Resposta: E
3 o. caso: Diferença de Quadrados
a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
4 o. caso: Quadrado Perfeito
a2 + 2ab + b2 = (a + b) . (a + b) = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b) . (a – b) = (a – b)2
5 o. caso: Soma e Diferença de Cubos
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)
6 o. caso: Cubo Perfeito
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =
= (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3
2.
Se x e y forem números reais positivos tais que x > y e
x+y
x2 + y2 = 6xy, qual o valor de –––––– ?
x–y
RESOLUÇÃO:
Se x2 + y2 = 6xy, então:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 6xy + 2xy = 8xy
2 = x2 + y2 – 2xy = 6xy – 2xy = 4xy ⇒
(x – y)
⇒
x+y
––––––
x–y
2
x+y
= 2, pois x > y
= 2 ⇔ ––––––
x–y
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 =
= (a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3
7 o. caso: Trinômio do 2o. grau
ax2 + bx + c = a(x – r1) (x – r2) ,em que r1 e r2
são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0
– 79
3.
Na adição de termos iguais
20132013 + 20132013 + … + 20132013 = 20132014, escrita de forma
simplificada, foram escritos muitos sinais de adição (+). Quantos
foram escritos?
a) 1006
b) 2009
c) 2012
d) 2014
e) 4026
RESOLUÇÃO:
20132014 = 2013 . 20132013 =
= 144444424444443
20132013 + 20132013 + … + 20132012
2013 parcelas
Se existem 2013 parcelas existem 2012 sinais de adição (+).
Resposta: C
4. (IFSUL-modificado) – Para que o valor numérico da expressão
n2 – 16n + 63 seja um número primo, o valor de n poderá ser
a) 7
b) 10
c) 11
d) 15
RESOLUÇÃO:
n2 – 16n + 63 = n2 + 7n – 9n + 63 = n(n – 7) – 9(n – 7) = (n – 7)(n – 9)
Para que n2 – 16n + 63 seja um número primo devemos ter
n – 7 = 1 ou n – 7 = – 1 ou n – 9 = 1 ou n – 9 = – 1 ⇔
⇔ n = 8 ou n = 6 ou n = 10.
Para n = 8, temos: 82 – 16 . 8 + 63 = – 1
Para n = 6, temos: 62 – 16 . 6 + 63 = 3
Para n = 10, temos: 102 – 16 . 10 + 63 = 3
Assim, somente para n = 6 ou n = 10 é que n2 – 16n + 63 é primo.
Resposta: B
exercícios-tarefa
1.
x 4 – y4
Calcular o valor de –––––––––––––––– para x = 17,4 e y = 2,6.
x3 – x2y + xy2 – y3
a
2ab + 2ac + 2bc
b
c
––––––––––––––– sabendo que –– = –– = –– .
b
a2 + b2 + c2
c
a
2.
(a + c)2 + (b – c)2 – 9
Se a + b = 3, então –––––––––––––––––––– vale
(a + c)(b – c)
5.
Provar: Se {a, b, c} , ⺢+*, então (a + b + c)2 > a2 + b2 + c2
6.
Se x = (4
3 + 7)2 + (4
3 – 7)2 então o valor de x
x é:
a) 1
b) – 2
3
3.
O número
c) 3
d) 2
e) 1
20132 – 10132
––––––––––––– vale
2013 + 1013
a) 1013
b) 1000
c) 100
d) 10
4. Calcular o valor da expressão algébrica
a) 2
e) 1
7.
4
4
2
b) 2
c) 4
Fatorar a4 + a2 + 1
1)
20
2)
B
3)
D
80 –
4)
2
5)
demonstração
6)
E
7)
(a2 + a + 1)(a2 – a + 1)
d) 4
2
e) 8
1
Seja x > 1 é um número real tal que x + ––– = 5. Qual o valor
x
1.
de
1
b) x – –––
x
1
a) x2 + –––
x2
1
c) x3 + –––
x3
=5⇔
1
c) x + –––
x
x
2
2
=x
2
1
+ –––
x2
c) 10
d) 12
e) 14
(n + 5).(n – 5)
62
62
= ––––––––––––––– + –––––– = n – 5 + ––––––
n
+
5
n+5
n+5
1
1
⇔ x2 + ––– + 2 = 5 ⇔ x2 + ––– = 3
x2
x2
1
b) x > 1 ⇒ x – –––
x
b) 8
n2 + 37
n2 – 25 + 62
(n + 5)(n – 5) + 62
–––––––––– = ––––––––––––– = –––––––––––––––––– =
n+5
n+5
n+5
2
igual a:
a) 6
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
1
1
a) x + ––– = 5 ⇒ x + –––
x
x
n2 + 37
(Colégio Naval-2014) – O maior inteiro “n”, tal que ––––––––
n+5
também é inteiro, tem como soma dos seus algarismos um valor
3.
n2 + 37
62
Como –––––––– e n – 5 são inteiros, –––––– deverá ser inteiro. Desta
n+5
n+5
1
1
+ ––– – 2 = 3 – 2 = 1 ⇒ x – ––– = 1
x
x2
+ x + ––– = 3
5⇔
= (5 ) . (3) ⇔ x3 + –––
x
x
1
1
3
forma n + 5 é divisor de 62. O maior divisor de 62 é o próprio 62. Assim,
n + 5 = 62 ⇔ n = 57.
A soma dos algarismos de 57 é 5 + 7 = 12.
Resposta: D
1
1
⇔ x3 + ––– + 5 = 3
5 ⇔ x3 + ––– = 2
5
x3
x3
ou então:
1
1
x3 + ––– = x + –––
x3
2.
x
x
2
1
– 1 + –––
x2
= 5 . (3 – 1) = 25
x
y
(FGV) – Sendo x, y e z números reais tais que –– = 7 e –– = 3,
y
z
x–y
o valor de –––––– é igual a
y–z
5
a) ––
4
4
b) ––
3
3
c) ––
2
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z números reais, temos:
I)
y
––– = 7 ⇔ y = 7z
z
II)
x
––– = 3 ⇔ x = 3y
y
5
d) ––
3
7
e) ––
3
4. Pedro pretende cobrir uma área retangular cujas medidas são
números inteiros de metros e maiores que 3 metros. Chamou duas
empresas para fazer o orçamento da cobertura e constatou que a
primeira cobra R$ 1,00 por metro quadrado. A segunda também cobra
R$ 1,00 porém por metro linear do perímetro a ser coberto. Quais são
as medidas da área se o orçamento da primeira ficou R$ 139,00 mais
caro que o orçamento da segunda empresa?
RESOLUÇÃO:
Sejam a e b as medidas, em metros, da área a ser coberta.
1) Orçamento da 1a. empresa: ab . R$ 1,00.
2) Orçamento da 2a. empresa: 2(a + b) . R$ 1,00.
3) Diferença de orçamentos:
ab . R$ 1,00 – 2(a + b) . R$ 1,00 = R$ 139,00 ⇔
⇔ ab – 2a – 2b = 139 ⇔ ab – 2a – 2b + 4 = 143 ⇔
⇔ (b – 2)(a – 2) = 11 . 13 ⇔ (b – 2 = 11 e a – 2 = 13) ou
(b – 2 = 13 e a – 2 = 11), por a > 3 e b > 3.
Assim, (a = 13 e b = 15) ou (a = 15 e b = 13)
Respostas: 13 m e 15 m
x–y
y
3y – y
2y
III) –––––– = ––––––– = –––– = –––– =
y–z
6z
7z – z
3z
1
y
1
= ––– . ––– = ––– . 7
3
z
3
x–y
7
Assim, –––––– = –––
y–z
3
Resposta: E
– 81
exercícios-tarefa
1.
Prove que:
1
*
a) a + –– ≥ 2, ∀a ∈ ⺢+
a
4.
3.
Se
1
a) 3
x5
1
1
+ ––– , sabendo que x2 + ––– = 7 e que
5
x
x2
demonstração
2)
47
3)
53
4)
C
5)
C
82 –
25
––– –
2
625
–––– – 1 ,
4
b) 2
3
c) 3
3
d) 27
e) 81
5. Sendo x e y números reais tais que x3 + y3 = 35 e xy2 + x2y = 30
entre x + y é igual a:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
x > 0.
1)
625
–––– – 1 +
4
1
?
x + ––a = 5, qual o valor de x8 + –––
x8
Calcular o valor de
25
––– +
2
obtém-se:
1
*
b) a + –– ≤ – 2, ∀a ∈ ⺢–
a
2.
Simplificando

exercícios-tarefa - Idea-VR

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