Matriz Inversa

Álgebra Linear – AL
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Matrizes Inversas
1 Matriz Inversa e Propriedades
2 Cálculo da matriz inversa por operações elementares
3 Matriz Adjunta
4 Regra de Cramer Laplace
Matriz Inversa
Definição: Uma matriz A n × n é chamada invertı́vel ou nãosingular se existir uma matriz B n × n tal que
AB = BA = In
A matriz B é chamada a inversa de A. Se essa matriz B não existir,
então A é chamda singular ou não-invertı́vel.
Observação: Se AB = BA = In então A é também uma inversa de
B.
Exemplo (1) Sejam A =
2 3
2 2
eB=
−1 32
. Verifique que:
1 −1
AB = BA = I2
Neste caso, B é a inversa de A e A é uma matriz invertı́vel.
Matriz Inversa: Teorema
Teorema (1) Uma inversa de uma matriz, se existir, é unica.
Demonstração Sejam B e C inversas de A. Então BA = AC = In.
Portanto:
B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C.
Notação Denotamos a inversa de A, se existir, por A−1.
1
2
Exemplo (2) Encontre A−1 de A =
.
3 4
Sabemos que AA−1 = In, então:
1 2
a b
1 0
·
=
3 4
c d
0 1
Exemplo (3) Encontre A−1 de A =
1 2
, se existir.
2 4
Propriedades da Inversa (a)
Teorema (2a) Se A é uma matriz invertı́vel, então A−1 é invertı́vel e
−1 −1
A
=A
Demonstração A−1 é invertı́vel se podemos encontrar uma matriz B
tal que
A−1B = BA−1 = In.
Como A é invertı́vel,
A−1A = AA−1 = In.
Como B = A é uma inversa de A−1, e como as inversas são únicas,
conclı́mos que
−1
A−1
= A.
Assim, a inversa da inversa da matriz invertı́vel A é A.
Propriedades da Inversa (b)
Teorema (2b) Se A e B são matrizes invertı́veis, então AB é invertı́vel
e
−1
(AB) = B −1A−1.
Demonstração Temos
−1
−1 −1
−1
(AB) B A
= A BB
A = AInA−1 = AA−1 = In
e
B −1A−1 (AB) = B −1 A−1A B = B −1InB = B −1B = In
Portanto, AB é invertı́vel. Como a inversa de uma matriz é única:
−1
BA
= B −1A−1.
Assim, a inversa de um produto de duas matrizes invertı́veis é o produto de suas inversas na ordem contrária.
Propriedades da Inversa (c)
Teorema (2c) Se A é uma matriz invertı́vel, então
T −1
−1 T
A
= A
.
Demonstração Temos
AA−1 = In
e
Transpondo as matrizes, obtemos
−1 T
AA
= InT = In e
Então
A
−1 T
T
A = In
e
A−1A = In
−1
A A
A
T
A
Estas equações implicam que
T −1
−1 T
A
= A
.
T
= InT = In.
−1 T
= In.
Propriedades das Inversas: Continuação
Exemplo (4) Seja A =
1 2
.
3 4
Determine A−1, (A−1)T , AT e
(AT )−1.
Teorema (3) Suponha que A e B sejam matriz n × n .
(a) Se AB = In, então BA = In.
(b) Se BA = In, então AB = In.
Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares
Idéia Se A é uma matriz n × n dada, procuramos uma matriz B n × n
tal que
AB = BA = In.
Passo 1 Forme a matriz [A|In] n × 2n obtida juntando-se a matriz
identidade In e a matriz A.
Passo 2 Calcule a forma escalonada reduzida da matriz obtida no
Passo 1 utilizando operações elementares nas linhas. Lembre-se
de que o que fizer em uma linha de A também deverá fazer na linha
correspondente de In.
Passo 3 Suponha que o Passo 2 produziu a matriz [C|D] na forma
escalonada reduzida.
1. Se C = In, então D = A−1;
2. Se C 6= In, então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular
e A−1 não existe.
Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares: Exemplo
Exemplo (5) Encontre as inversas das matrizes abaixo, se existir.


1 1 1
(a) A1 =  0 2 3 .
5 5 1


1 2 −3
(b) A2 =  1 −2 1 .
5 −2 3
Passo 1

1
(a) [A1|I3] =  1
5

1
(b) [A2|I3] =  0
5

2 −3 1 0 0
−2 1 0 1 0  – Lousa!
−2 −3 0 0 1

1 1 1 0 0
2 3 0 1 0  – Lousa!
5 1 0 0 1
Matriz Adjunta
Definição Seja A uma matriz n × n. Definimos a matriz adjunta
(clássica) de A, denotada por adj(A), como a transposta da matriz
formada pelos cofatores de A, ou seja,


T 
A11 A21 . . . An1
A11 A12 . . . A1n
 A12 A22 . . . An2 
 A21 A22 . . . A2n 
 .

=
adj(A) = 
... . . . ... 
... . . . ... 

 ..
 ...
An1 An2 . . . Ann
A1n A2n . . . Ann
onde Aij = (−1)
1 : n.
i+j
det (Aij ) é o cofator do elemento aij , para i, j =


3 −2 1
Exemplo (6) Seja A =  5 6 2 . Calcule adj(A). – Lousa.
1 0 −3
Matriz Adjunta: Teorema
Teorema (4) Se A é uma matriz n × n, então
A(adjA) = (adjA)A = det(A)In.
Demonstração Temos

a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n
 .
...
...
 ..

A(adjA) = 
 a.i1 a.i2 . . . a.in
..
..
 ..
an1 an2 . . . ann


 A11 A12 . . . Aj1 . . . An1

  A12 A22 . . . Aj2 . . . An2
· .
...
...
...
  ..

 A1n A2n . . . Ajn . . . Ann
O i, j-ésimo elemento na matriz produto A(adjA) é
ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn = det(A)
ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn = 0
se i = j
se i =
6 j




Matriz Adjunta: Demonstração – continuação
Demonstração – cont. Isto significa que


det(A)
0
...
0
 0
det(A) . . .
0 
 = det(A)In.
A(adjA) = 
...
...
...
...


0
0
. . . det(A)
O i, j-ésimo elemento na matriz produto (adjA)A é
a1iA1j + a2iA2j + · · · + aniAnj = det(A)
a1iA1j + a2iA2j + · · · + aniAnj = 0
Assim, (adjA)A = det(A)In.


3 −2 1
Exemplo (7) Seja A =  5 6 2 .
1 0 −3
adj(A) A = det(A) In. – Lousa!
se i = j
se i =
6 j
Verifique A adj(A) =
Matriz Adjunta: Corolário
Corolário Se A é uma matriz n × n e det(A) 6= 0, então:

A12
A11
A1n
.
.
.
 det(A) det(A)
det(A)


 A12
A22
An2

.
.
.
1

det(A)
A−1 =
(adj A) =  det(A) det(A)

det(A)
...
...
...
...



 A1n
A2n
Ann
...
det(A) det(A)
det(A)













Demonstração Do teorema anterior, temos que A(adjA)
(adjA)A = det(A)In. Se det(A) 6= 0, então:
A
=
1
1
1
[A(adj A)] =
(det(A)In) = In.
(adj A) =
det(A)
det(A)
det(A)
Portanto A−1 =
1
(adj A).
det(A)
Matriz Adjunta e Inversa: Exemplo e mais
Teorema!


3 −2 1
Exemplo (8) Seja A =  5 6 2 . Calcule a sua inversa usando
1 0 −3
1
A−1 =
(adj A). – Lousa !
det(A)
Teorema Uma matriz A é invertı́vel se e somente se det(A) 6= 0.
Demonstração Como A é invertı́vel, AA−1 = In então:
det(AA−1) = det(A)det(A−1) = det(In) = In,
implica que det(A) 6= 0.
Corolário Para uma matriz A n×n, o sistema linear homogêneo Ax =
0 tem apenas uma solução trivial se e somente se det(A) 6= 0.
Regra de Cramer
Sistema linear com n equações e n incógnitas, na forma matricial:


  
a11 a12 · · · a1n
x1
b1
 a21 a22 · · · a2n   x2   b2 


  
 · · · · · · . . . · · ·   ...  =  ... 
am1 am2 · · · amn
xn
bn
|
{z
} | {z } | {z }
A
X
B
Suponha que det(A) 6= 0 e assim, A seja inversı́vel. Então
AX
A (AX)
(A−1A)X
InX
X
−1
=
=
=
=
=
B
A−1B
A−1B
A−1B
A−1B
Regra de Cramer (2)
1
(adj A), temos que:
det(A)


  
b1
A11 A21 . . . An1


  
 = 1  A.12 A.22 .. . . A.n2  ·  b.2 
..
. . ..   .. 
 det(A)  ..
bn
A1n A2n . . . Ann
} |
{z
} | {z }
Matricialmente Lembrando que A−1 =

x1
 x2
 .
 ..
xn
| {z
X
A−1
Então:
x1 =
B
A11b1 + A21b2 + · · · + Annbn
.
det(A)
Note que:

b1 a12
 b2 a22
1
x1 =
·det 
 ... ...
det(A)
bn an2

. . . a1n
A11b1 + A21b2 + · · · + Annbn
. . . a2n 

=
.
. . . ... 
det(A)
. . . ann
Regra de Cramer (3): Regra geral
Analogamente

a11 . . .
1
xi =
· det  ...
det(A)
an1 . . .
det(Ai)
=
det(A)

b1 . . . a1n
...
...  = A1ib1 + A2ib2 + · · · + Anibn
det(A)
bn . . . ann
Passo 1 Calcule det(A). Se det(A) = 0, a regra de Cramer não é
aplicável. Caso contrário, vá ao Passo 2.
Passo 2 Se det(A) 6= 0, para cada i,
xi =
det(Ai)
,
det(A)
onde Ai é a matriz obtida de A substituindo-se a i-ésima coluna de
A pelo vetor B.
Regra de Cramer (4): Exemplo
Exemplo (9) Resolva os sistemas lineares abaixo usando a Regra de
Cramer.

 −2x1 + 3x2 − x3 = 1
x1 + 2x2 − x3 = 4
(a)
 −2x − x + x = −3
1
2
3

 2x1 − 3x2 + 7x3 = 1
x1
+ 3x3 = 5
(b)

2x2 − x3 = 0