função de A em B

Função
Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de
associação entre eles, que faça corresponder a
todo elemento do primeiro conjunto um único
elemento do segundo, ocorre uma função.
Definição formal:
Considere dois conjuntos: o conjunto X com
elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto
é:
diz-se que a função f de X em Y que relaciona
cada elemento x em X, um único elemento y = f
(x) em Y. Observe, por exemplo, o diagrama das
relações abaixo:
Observe que a relação acima não é função,
pois o elemento 1 no conjunto A não está
associado a nenhum elemento do conjunto B.
A relação acima também não é uma função, o
elemento 4 no conjunto A, está associado a mais
de um elemento no conjunto B.
A relação acima é função, pois todo elemento do
conjunto A, está associado a somente um
elemento no conjunto B.
De modo geral, dado dois conjuntos A e B, e uma
relação entre eles, dizemos que essa relação é uma
função de A em B se e somente se, para todo x є
A existe um único y є B de modo que x se
relacione com y.
Domínio, Imagem e Contradomínio
Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9,
12}criamos a função f: A→B. Definida por f(x) =
x + 5 que também pode ser representada por y = x
+ 5. A representação, utilizando conjuntos, desta
função, é:
O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o
conjunto de chegada.
Domínio é um sinônimo para conjunto de
saída, ou seja, para esta função o domínio é
o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.
O conjunto de chegada "B", também possui
um sinônimo, é chamado de contradomínio.
Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do
contradomínio (conjunto azul da figura). Podemos
ter elementos do contradomínio que não são
relacionados com algum elemento do Domínio e
outros que são. Por isso, devemos levar em
consideração esta subdivisão (esta é até mais
importante do que o próprio contradomínio).
Este subconjunto é chamado de conjunto
imagem, e é composto por todos os elementos em
que as flechas de relacionamento chegam. O
conjunto Imagem é representado por "Im", e cada
ponto que a flecha chega é chamado de imagem.
*Obs.: Note que existe uma diferença entre
imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto
em que a flecha de relacionamento toca, e o
segundo é o conjunto de todos elementos que as
flechas tocam.
No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o
contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o
conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:
- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado
por
f(1)
=
6;
- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado
por
f(4)
=
9;
- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado
por f(7) = 12.
Exemplo: Dado o esquema abaixo, representando
uma função de "A" em "B", determine:
a) O Domínio:
b) A imagem
c) f(5)
d) f(12)
Resolução:
a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as
flechas saem, é o conjunto Domínio, D={5, 12,
23}.
b) Conjunto Imagem é todos os elementos do
contradomínio (conjunto "B") em que há
relacionamento com o Domínio, então:
Im={7, 14, 25}
c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é
a mesma coisa que perguntar qual a imagem do
ponto
5.
f(5)=7
d) Como no exercício anterior: f(12)=14.
Função Injetora
Uma função é injetora se os elementos distintos
do domínio tiverem imagens distintas. Em outras
palavras, quando x1 ≠ x2 , em A, implica f(x1) ≠
f(x2).
Por exemplo, dada a função f : A→B, tal que f(x)
= 3x.
Função Sobrejetora
Uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu
conjunto imagem for especificadamente igual ao
contradomínio, Im = B. Em outras palavras,
dizemos que uma função f: A → B sobrejetora
quando para todo y ∈ B, existe pelo menos um x
∈ A tal que f(x) = y.
Por exemplo, se temos uma função f :
Z→Z definida por
y = x +1 ela é
sobrejetora, pois Im = Z.
Função Bijetora
Uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora.
Por exemplo, a função f : A→B, tal que f(x) = 5x + 4.
Note que ela é injetora, pois x1 ≠ x2 implica em
f(x1)
≠
f(x2)
É sobrejetora, pois para cada elemento em B existe
pelos menos um em A, tal que f(x) = y.
Função do 1º Grau
Chama-se função polinomial do 1º grau,
ou função afim, a qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da formação f(x) = ax + b, onde a
e b são números reais dados e a ≠ 0.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais
do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de
coeficiente de x ou coeficiente angular e o
número b é chamado termo constante.
Obs: Na definição, dissemos que a tem que ser
diferente de zero. Se a for igual a zero não será
uma função do primeiro grau. Será uma função
constante.
Grafico da Função do 1º Grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º
grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta
oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo: Vamos construir o gráfico da
função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de
seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto,
um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 1/3,
logo o ponto é (1/3, 0).
x
0
1/3
y
-1
0
Marcando os pontos no Plano Cartesiano, e os
ligue com uma reta.
x
0
1/3
y
-1
0
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º
grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal
que f(x) = 0.
Temos: f(x) = 0, então ax + b = 0. Com isso temos
que x = -b/a.
Vejamos alguns exemplos:
A. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
Temos f(x) = 0 então 2x - 5 = 0, logo x = 5/2
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
Temos g(x) = 0 então 3x + 6 = 0, logo x = -2
B.
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico
de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é
aquele
em
que
h(x)
=
0;
então:
-2x + 10 = 0
x=5
C.
Função Crescente e Decrescente
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1.
Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e
observar o que ocorre com y:
x
y
-3 -2
-10 -7
-1
-4
0
-1
1
2
2
5
3
8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os
correspondentes valores de y também aumentam.
Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é
crescente.
Obs: Quando os valores de x aumentam e os
valores de y diminuem dizemos qua a função é
decrescente.
A regra geral é:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente
quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente
quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Estudo do Sinal
Estudar o sinal de uma função do 1º Grau
qualquer, y = f(x), é determinar os valor de x para
os quais y é positivo, os valores de x para os quais
y é zero e os valores de x para os quais y é
negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b
vamos estudar seu sinal
Sabendo que a raiz de uma função é
Então quando o coeficiente angular (a) é positivo a
função é crescente
 Logo y > 0 então ax + b > 0
ax > -b
x > -b/a
Com isso temos para y > 0, x > -b/a
Conclusão
y é positivo para valores de x maiores
que a raiz;
 y é negativo para valores de x menores
que a raiz

Função Inversa
Para determinar se uma função possui inversa
é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares
ordenados da função f devem pertencer à função
inversa
f–1
.
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,3,-1,1,3} e a função A→B definida pela fórmula y
= 2x – 1, veja o diagrama dessa função abaixo:
Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}
Essa função é bijetora, pois cada elemento do
domínio está associado a um elemento diferente no
conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função
admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f -1: B→A
definida pela fórmula x = (y+1)/2. Veja o diagrama
abaixo:
Então: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}
Obs: O que é domínio na função f vira imagem na
f -1 e vice-versa.
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para
encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns
passos.
EX: Dada a função y = 3x – 5 determinaremos a
sua inversa da seguinte maneira:
1º passo: isolar x.
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5)/3
2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais
usual termos como variável independente a letra x.
y = (x + 5)/3
Portanto, a função f(x) = 3x – 5 terá inversa igual a
f –1 (x) = (x + 5)/3
Exemplo
Determine a INVERSA da função definida por y =
2x + 3.
Resposta:
y = 2x + 3
– 2x = 3 – y
2x = – 3 + y
x = (– 3 + y)/ 2
Agora é só inverter o que é x vira y. E o que é y
vira x
y = (– 3 + x)/ 2 = f -1
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua
inversa.
Observe que as curvas representativas de f e de f-1,
são simétricas em relação à reta