Lista de Exercícios – 01
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Lista de Exercícios – 01
Lista de Exercícios – 01 Conjunto: representa uma coleção de objetos. Exemplos a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os números naturais. c. O conjunto de todos os números reais tal que x² - 4 = 0. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. Elemento: é um dos componentes de um conjunto. Exemplos a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² - 4=0. Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0. Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence". Exemplo: a. 1 N: 1 PERTENCE a N b. 0 N: 0 NÃO PERTENCE a N Algumas notações para conjuntos Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. a. A={a,e,i,o,u} b. N={1,2,3,4,...} c. M={João,Maria,José} Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. a. A={x: x é uma vogal} b. N={x: x é um número natural} c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria} Note que o "elemento" x é usado para representa os elementos dos conjunto A, N e M, isto é, uma vogal, um número natural ou uma pessoa da família de Maria. 1 Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Assim, o conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B que contém A. Matematicamente: x A x B (lê-se: "para todo x que pertence a A implica que x pertence a B") Alguns conjuntos especiais Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos (Ø A, para qualquer conjunto A). Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo. Reunião (União) de conjuntos A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. A ∪ B = { x: x A ou x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A ∪ B={a,e,i,o,3,4}. Interseção de conjuntos A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A ∩B = { x: x A e x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A∩B=Ø. A = {1,2,3,4,5} e B = {3,5,6,7} Diagrama: então A ∩ B = {3,5} OBS: Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos. 2 Propriedades dos conjuntos 1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A∪B e a interseção de A e B, denotada por A∩B, ainda são conjuntos no universo. 2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A ∪A = A e A ∩A = A 3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A ∪B, B A ∪B, A ∩B A, A ∩B B 4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B equivale a A ∪B = B A B equivale a A ∩B = A 5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩C 6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A∪B = B ∪A A ∩B = B ∩A 7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A ∪Ø = A 8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. A ∩Ø = Ø 9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A ∩U = A 10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: I) A ∩ (B ∪C ) = (A ∩B) ∪ (A ∩C) II) A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C) Os gráficos abaixo mostram a distributividade no item I. Exercício: Construa os diagramas para mostrar o item II. 3 Diferença de conjuntos A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. A-B = {x: x A e x B} Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como: Complemento de um conjunto O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. CAB = A-B = {x: x A e x B} Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por: Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento. Exemplos: Øc=U e Uc=Ø. Exercícios: 01. Observe o diagrama e responda: Quais os elementos dos conjuntos abaixo: a) b) c) d) A= B= C= ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) = e) A∩C∪B = f) A – B = g) (A ∪B) – C = 4 02 - São dados os conjuntos A = {x ∈ IN / x é impar}, B = {x ∈ Z / – 3 ≤ x < 4} e C = {x ∈ Ζ / x < 6}. Calcule a) A = b) B = c) C = d) ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) = e) A∩ C ∪ B 03. Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos nenhum. O número total de alunos é a) 230 b) 300 c) 340 d) 380 04. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi: a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600 05. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2 Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência à pelo menos um dos produtos, pergunta-se: a) Quantas consumiam somente o produto P3? b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3? 06. ( Faap) Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova? 07) Seja A o conjunto de links apresentados pela busca da palavra “X” em um site. Analogamente temos os conjuntos B e C dos links encontrados com a busca das palavras “Y” e “Z”, respectivamente. Se A, B e C são três conjuntos onde n(A)=25, n(B)=18, n(C)=27, n(AB)=9, n(BC)=10, n(AC)=6 e n(ABC)=4, (sendo n(X) o número de elementos do conjunto X), determine o número de links encontrados pela busca ((“X” ou “Y”) e “Z”), ou seja, valor de n ((AB)C). 08) Sejam os conjuntos: A = {2n : n Z} e B = {2n - 1 : n Z} Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar: I. A B = . II. A é o conjunto dos números pares. III. B A = Z. Está correto o que se afirma em: a) I e II, apenas. b) II, apenas. c) II e III, apenas. d) III, apenas. e) I, II e III. 5 09) O diagrama de Venn para os conjunto A, B e C decompõe o plano em oito regiões. Numere-as e exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de algumas dessas regiões. a) (AC B)C b) (AC B) CC Leis de Augustus De Morgan 1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A ∪B)c = Ac ∩Bc Exercício: Faça um diagrama para os conjuntos e verifique essa propriedade. 2. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A ∩B)c = Ac ∪Bc Exercício: Faça um diagrama para os conjuntos e verifique essa propriedade. Intervalo Real Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {x R/a < x < b} Aberto à esquerda e aberto à direita Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {x R/a < x ≤ b} Aberto à esquerda e fechado à direita Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {x R/a ≤ x < b} Fechado à esquerda e aberto à direita Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], {x R/a ≤ x ≤ b} Fechado à esquerda e fechado à direita 6 Intervalos infinitos {x R/x > a} ou ]a, [ {x R/x<a} ou ] - , a[ {x R/x≥a} ou [a, [ {x R/≤a} ou ] - , a] Exercícios: 10. Representar graficamente os seguintes conjuntos: a. [2,5] ∪ [3,7] = b. [2,5] ∩ [3,7] = c. [ 0,3[ ∪ ]1,5 [ = d. [1,5] - ]3,6[ = e. [5,8[∪]3,10]= f. ]- ,2] ∩[2,3[ = g. ]1,5[ ∪ ]- ,10] = 11. Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo a. { x R/ 1< x 2}= b. { x R/ -2 x < 4}= c. { x R/ x > - 3}= d. { x R/ x 5}= e. { x R/ x < - 1 ou x > 1}= 12. Seja A o conjunto dado por A = [1,5] ∩ [ -1,4] ∩ [3,8]. Qual é o elemento máximo e o elemento mínimo de A? Respostas: 01. a) A = {0,1,2,3,4} b) B = {2,4,5,8,9} c) C = {2,3,5,6,7} d) ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) = {2,3,5} 02. a) A = {1,3,5,...} b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3} e) A∩ C ∪ B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,5} e) A∩C∪B = {2,3,4} f) A – B = {0,1,4} g) (A ∪B) – C = {0,1,3,6,7} c) C = {..., 3,4,5} d) ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) = B 7 03. Número total de aluno = 340 04. d) 500 5) 50+10+15+40+20+30+x=200 => x = 35 a) 35 b) 40+20+10+30=100 c) 50+10+15=75 6) 610 7) (AB) C = 12 8) e 9) b) a) {1} 10) a. [2,5] ∪ [3,7] = [2,7] b. [2,5] ∩ [3,7] = [3,5] c. [ 0,3[ ∪ ]1,5 [ = [0,5[ d. [1,5] - ]3,6[ = [1,3] e. [5,8[∪]3,10]= ]3,10] f. ]- ,2] ∩[2,3[ = {2} g. ]1,5[ ∪ ]- ,10] = ]- ,10] {1,2,3,5,6,7,8} 12) A = [1,5] ∩ [ -1,4] ∩ [3,8] = [3,4]. Assim, o máximo é 4 e o mínimo é 3. Referência: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm Profº Leandro Colombi Resendo 8
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