Matriz adjunta, regra de Cramer

MA33 - Introdução à Álgebra Linear
Unidade 18 - Matriz adjunta, regra de Cramer
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Matriz adjunta
Nesta unidade, vamos definir a adjunta de uma matriz quadrada e em
seguida enunciar resultados sobre a adjunta que permite provar vários
resultados sobre matrizes, entre eles um que fornece uma fórmula
para a inversa de uma matriz e também a regra de Cramer, usada na
resolução de sistema lineares. Tanto a adjunta quanto os resultados
que vem a seguir são de importância teórica.
Seja A = (aij ) ∈ M(n). Define-se o cofator do elemento aij da matriz
A como
∆ij (A) = (−1)i+j D(A(i|j)).
A matriz (∆ij (A)) ∈ M(n) é chamada de matriz dos cofatores da
matriz A e sua transposta é chamada de matriz adjunta de A e é
denotada por adj(A).
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Matriz adjunta
Exemplo: Seja


1 2 3
A =  0 3 2 .
0 0 −2
Temos que ∆11 (A) = −6, ∆12 (A) = 0, ∆13 (A) = 0, ∆21 (A) = 4,
∆22 (A) = −2, ∆23 (A) = 0, ∆31 (A) = −5, ∆32 (A) = −2 e ∆33 (A) =
3. Assim, a adjunta de A é
t 

−6 0 0
−6 4 −5
adj(A) =  4 −2 0  =  0 −2 −2  .
−5 −2 3
0
0
3

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Matriz adjunta e regra de Cramer
A seguir, veremos uma relação entre uma matriz e a sua adjunta.
I Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então,
adj(A) · A = D(A) · In .
Usando a adjunta de uma matriz, mostraremos como expressar a
solução única de um sistema de n equações com n incógnitas AX = B,
onde A é uma matriz invertı́vel. É a chamada Regra de Cramer, que
apresentamos para n = 2 e n = 3, que se relaciona naturalmente com
os determinantes e que serviu de motivação para a sua introdução e
posterior estudo de suas propriedades.
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Regra de Cramer
Regra de Cramer: Seja AX = B um sistema linear n × n. Se
D(A) 6= 0, então o sistema tem uma única solução dada por
xj =
D(A(j) )
, j = 1, . . . , n,
D(A)
onde A(j) denota a matriz obtida de A substituindo a sua j-ésima
coluna pela única coluna de B.
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