Relatório Final da disciplina de Controlo de Qualidade e Fiabilidade

Transcrição

Relatório Final da disciplina de
Controlo de Qualidade e Fiabilidade
Matemática e Ciências da Computação
Engenharia Agro-alimentar
Paulo Infante
Ano Lectivo 2003/2004
Índice
• Relatório Crítico de Leccionação
• Relatório Crítico de Leccionação em Inglês
• Programa Detalhado e Informação da Disciplina
• Programa Detalhado e Informação da Disciplina em
Inglês
• Programa Resumido da Disciplina
• Programa Resumido da Disciplina em Inglês
• Sumários das Aulas
• Algum Material de Apoio às Aulas Teóricas
• Algum Material de Apoio às Aulas Práticas
• Provas de Avaliação
• Resultados da Avaliação
• Inquérito Anónimo Realizado aos Alunos
Relatório Crítico de Leccionação
Matemática e Ciências da Computação e Engenharia Agro-alimentar
Ano Lectivo 2003/2004
Relatório Crítico de Leccionação
A disciplina de Controlo de Qualidade e Fiabilidade é ministrada aos Cursos de
Licenciatura em Matemática e Ciências da Computação e Engenharia Agro-alimentar.
Funciona também para os alunos inscritos em Controlo de Qualidade dos Cursos mais
antigos (Ensino de Matemática, Matemática Aplicada, Matemática, Análise Matemática
e Probabilidades e Estatística). Trata-se de uma disciplina semestral, sendo leccionada
no 8º Semestre.
Sendo uma disciplina nova (embora com vários pontos comuns à disciplina de
Controlo de Qualidade anteriormente leccionada), houve necessidade de construir todo
um suporte em torno do Programa aprovado pela Comissão de Curso, o qual foi
globalmente cumprido. Podemos afirmar que os objectivos inicialmente propostos
foram atingidos.
Todo o material de apoio foi colocado à disposição dos alunos numa página
própria da disciplina na Internet. Esta página servia também para informações aos
alunos e disponibilização dos sumários das aulas. Pensamos que se trata de uma medida
a fomentar, pois num semestre lectivo, e para um número médio de alunos (que
participaram nas aulas e que se submeteram a alguma prova de avaliação) inferior a 40,
esta página teve mais de 1300 visitas, o que demonstra a importância da informação aí
disponibilizada.
Relativamente ao curso de Matemática e Ciências da Computação, esta disciplina
tem como disciplinas precedentes as disciplinas de Probabilidades e Estatística I (antiga
Introdução à Probabilidade) e de Probabilidades e Estatística II (antiga Introdução à
Estatística), leccionadas no 3º e 4º semestres respectivamente, e que funcionam como
seu suporte de base em termos teóricos e metodológicos. No início do semestre fez-se
uma revisão de conhecimentos básicos fundamentais. Houve necessidade de leccionar
alguma matéria como se fosse a primeira vez devido à turma ser muito heterogénea. Em
1
parte, esta heterogeneidade pode ser explicada pelo facto dos alunos frequentarem as
disciplinas base em anos lectivos distintos. Por exemplo, grande parte dos estudantes
não tinham ainda abordado o teste qui-quadrado de ajustamento e o teste de
Kolmogorov-Smirnov. Pensamos que, com as revisões curriculares levadas a cabo no
ano lectivo anterior, tal situação poderá ser corrigida no próximo ano lectivo ou daqui a
dois anos. Consequentemente, para uma primeira parte do Programa foi necessário mais
algum tempo de leccionação do que o inicialmente previsto.
No que concerne à sua carga horária semanal, esta disciplina tem 3 horas de aulas
teóricas e 2 horas de aulas práticas. Tem, assim, por semana, um total de 5 horas,
correspondendo-lhe 7 ECTS. Esta carga horária parece-nos insuficiente, tendo em conta
o potencial desta disciplina e o tipo de abordagens que se podem levar a cabo.
Pensamos, inclusive, que numa disciplina com uma vertente eminentemente prática,
como pensamos ser o caso desta, se justificava um número de horas práticas superior ao
número de horas teóricas. É, assim, difícil colocar em prática a perspectiva que
defendemos de que o Professor deve ensinar a pensar e ensinar a aprender. Refira-se,
com base em alguma experiência que temos do ensino deste tipo de matérias, que esta é
uma disciplina muito atractiva para os alunos e da qual estes esperam muito, mas que
pelos conhecimentos anteriores, capacidade de análise e sentido crítico que requer, se
torna muito exigente.
Decidimos, assim, reduzir alguma profundidade relativamente a um ou outro
tópico, procurando dar apenas uma visão panorâmica, enquanto que outros foram mais
aprofundados, até porque por muito que se leccione, fica sempre, e cada vez mais, muito
por leccionar. Este é um dos pontos que nos irá merecer alguma reflexão em cada ano
lectivo.
Refira-se, ainda, que se pretendeu dar uma perspectiva do potencial da
Investigação nesta área, no contexto da Investigação Científica desenvolvida pelo
Docente, procurando não só estimular o aluno e dar-lhe uma ideia do que é e o que se
pode fazer em Investigação, mas também dar-lhe um tipo de abordagem diferente da
usual.
Estando esta disciplina integrada nos Curricula de Engenharia Agro-Alimentar
(na prática, com alunos potenciais a partir de 2005/2006), será necessário reflectir um
pouco sobre como abordar determinadas matérias, pois são alunos com formações
diferentes e com perspectivas e objectivos diferentes. Neste caso, apenas existe uma
disciplina suporte base em termos teóricos e metodológicos, a disciplina de Estatística
2
que é leccionada no 6º semestre daquele curso. A questão não se colocou este ano
lectivo, pois não se inscreveu à disciplina ninguém daquele curso, até porque se trata de
uma disciplina que aparece num curso novo e numa fase curricular avançada.
O programa desta disciplina deve incluir também a utilização efectiva de software
estatístico. Neste ano optámos por ministrar algumas noções da folha de cálculo EXCEL,
importante para solucionar variadas questões em Controlo de Qualidade e pouco
conhecida pelos nossos alunos. Contudo, vimo-nos obrigado a limitar um pouco o uso
do computador pelo facto de estarem inscritos muitos alunos, o que implicaria falta de
condições físicas, quer ao nível do número de computadores quer ao nível das
infraestruturas. Aliás, como planeámos um pouco as aulas em função desse número de
inscritos, ficámos um pouco limitados na nossa acção, embora tivéssemos adaptado a
posteriori o planeamento da disciplina em função do número de alunos que
habitualmente assistiam às aulas. Pensamos que o facto dos alunos se poderem inscrever
a todas as disciplinas levanta algumas questões importantes relacionadas com o
planeamento e funcionamento das aulas, tipo de abordagens a determinadas matérias,
avaliação, marcação de salas para testes, entre outros.
O esquema de avaliação foi o usualmente utilizado na anterior disciplina de
Controlo de Qualidade. Os alunos podiam optar por Avaliação Contínua ou por
Avaliação por Exame Final. No sistema de Avaliação Contínua foram realizadas duas
provas de avaliação. O sistema de Avaliação por Exame Final consistiu na realização de
dois exames na época normal, onde o aluno optava por um, e dum exame em época de
recurso.
Mais uma vez pudemos concluir que o trabalho desenvolvido pelos alunos fora
das aulas constitui um aspecto muito importante, pois quase todas as notas mais
relevantes foram obtidas por alunos que passaram pela Avaliação Contínua.
Apesar de termos disponibilizado um horário para, de uma forma complementar e
menos formal, esclarecer dúvidas e aprofundar matérias, a verdade é que muito poucos
alunos apareceram, aumentando um pouco nos 2 ou 3 dias que antecederam cada prova
de avaliação. Em particular, registámos alguma utilização do e-mail para esclarecimento
de dúvidas.
Parece-nos de salientar que, excepto nas duas semanas finais, o número de alunos
que assistiram às aulas se manteve constante durante todo o ano lectivo, sendo
aproximadamente igual ao número de alunos que consideramos avaliáveis. Pensamos
que tal é revelador do interesse pela disciplina e da empatia entre alunos e docente,
3
podendo-se confirmar através dos resultados de um inquérito anónimo realizado aos
alunos. Refira-se que mais de 90% dos alunos que responderam ao inquérito avaliaram
globalmente o docente com notas de Bom ou Muito Bom.
Relativamente às aulas práticas, refira-se que foram criadas folhas de exercícios e
fornecidas as respectivas soluções, procurando incentivar-se o trabalho do aluno em
casa. Na parte da Fiabilidade, pela sua vertente mais teórica, justificava-se um menor
número de exercícios e optou-se por os ditar na aula. Houve a preocupação de adoptar
exercícios capazes de estimular os alunos, desenvolver o seu raciocínio e criar neles o
gosto pela disciplina. Pensamos que tais folhas podem ser melhoradas no próximo ano
lectivo através da introdução de novos exercícios num ou noutro tópico e,
eventualmente, na reformulação de um ou outro exercício que nos pareceu menos
conseguido.
No desenrolar das aulas práticas procurou-se corresponder às expectativas do
Processo de Bolonha. Procurámos, sempre que possível, que os alunos dinamizassem as
aulas, apesar de alguma resistência inicial. Fomentou-se as dúvidas carteira a carteira e
a resolução do exercício individualmente pelo aluno. Ainda em relação às aulas,
optámos por aulas teórico-práticas (respeitando a carga horária estabelecida) de modo a
que os tópicos fossem abordados muito pouco tempo após a sua introdução ao nível
teórico, permitindo não haver praticamente desfasamento entre a parte teórica e a sua
aplicação prática.
Finalmente, podemos considerar que os resultados finais, em termos de
aprovações e reprovações, foram bastante satisfatórios. Se tivermos como referência o
número de inscritos na disciplina (algo que, com o actual sistema de inscrições não nos
parece fazer qualquer sentido), a percentagem de aprovações foi igual a 23,4%.
Tomando como referência o número de alunos que compareceram a toda a avaliação
contínua e a algum dos exames, o que nós designamos por alunos avaliáveis (33), a
percentagem de aprovações foi igual a 66,7%.
O Docente
_______________________________
(Professor Auxiliar)
4
Relatório Crítico de Leccionação em
Inglês
Quality Control and Reliability
Mathematics and Computer Science and Agro-Alimentar Engineering
2003/2004
Critical Report
Quality Control and Reliability is lectured to Mathematics and Computer Science
and Agro-Alimentar Engineering. This is a semester course, being lectured at 8th
semester and it comes to substitute Quality Control that was lectured in previous years
to old Mathematic courses (Education, Applied Mathematics, Mathematics,
Mathematical Analysis and Probabilities and Statistics).
Because it is a new course (although with some common points to Quality
Control) we had necessity to construct all the needed support around the Program
approved for the Course Commission, which globally was fulfilled. We can say that the
objectives initially considered had been reached.
The whole support material was available to the students in an internet page. This
page also provides information to the students including the summaries of the lessons.
We think that it should be a measure to implement because in about a period of learning
semester, and for an average number of students (that had participated in the lessons and
in some evaluation test) lesser than 40, this page had more than 1300 visits, which
demonstrates the importance of the information encountered there.
Relatively to Mathematics and Computer Science, this course has a theoretical and
methodological support on Probability and Statistics I (previously Introduction to
Probability) and on Probability and Statistics II (previously Introduction to Statistics)
lectured in the 3rd and 4th semester, respectively. In the beginning of the semester we
made a revision of the basic statistical methods, but we had necessity to lecture some
points as if it was the first time because our students had attended to the support courses
in different school years. For example, a great part of the students did not know the chisquare and the Kolmogorov-Smirnov goodness of fit tests. We think that, with the
curricular revisions taken in the previous school year, such situation could be corrected
in the next school year or in the next two years. Therefore, some topics of the Program
were lectured slowly than the initially foreseen.
1
In that it concerns to its workload, this course has 3 hours of theoretical lessons
and 2 hours of practical lessons. It has, thus, per week, a total of 5 hours, corresponding
to it 7 ECTS. In our opinion, this workload seems to be insufficient if we have into
account the different points of the program that we could explore in a course with this
potential. We think, also, that in a practical course, as we think to be the case of this, it
justified a number of practical lessons greater than the theoretical ones. Such becomes
difficult to place in practical the perspective that we defend of that the Professor should
teach to think and teach to learn. We can say, according to some experience that we
have in teaching the topics included in the program of this course which is very
attractive and from which the students expect very much, that it comes very demanding
by previously knowledge’s required, the capacity of analysis and the critical sense
inherent.
Therefore we had necessity to reduce some depth relatively to one or other topic,
looking to give only one panoramic vision, even because no matter how much we teach,
it is always, and each time more, much for teaching. This is one of the points that
deserve some reflection in each academic year.
We had intended to give a perspective of the potential research in this area, in the
context of the scientific research developed by us. We looked for not only to stimulate
the students and give an idea of what it is and what we can do in scientific research but
also to give a different perspective of the usual one.
Because this course is integrated in Agro-Alimentar Engineering Curricula (in the
practical one, with potential students in 2005/2006), it will be necessary to think a little
on how to board different topics since students have different formation and different
perspectives and objectives. In this case it has a theoretical and methodological support
only on Statistics lectured in the 6th semester. The question did not take place in this
academic year because no registration occurred, since it appears in an advanced phase
of a new course.
The program of this disciplines should also includes the effective use of statistical
software. In this year we opted to EXCEL, important to solve different questions in
Quality Control and little known by our students. However, we saw ourselves obliged to
limit the use of the computer since we expected many students and it would imply a
lack of physical conditions (number of computers and infrastructures). Moreover, as we
planned the lessons in function of the number of expected students, we were a little
limited. Even so, we had adapted a posteriori the lessons planning in function of the
2
number of students that usually attended to the lessons. We think that the fact of the
students be able to inscribe to all that they want raises some important questions related
with the planning and functioning of the lessons, the way we board some topics, the
evaluation, the classrooms reserve for tests, among others.
The assessment method was the usually used in the past in Quality Control. The
students should opt between continuous evaluation and evaluation for final exam. The
continuous evaluation scheme consisted in two tests. In the final exam scheme, the
students choose to attend to one of two calls at normal time and accomplish one exam at
appeal time.
One more time we could conclude that the work developed by the students outside
the class constitutes a very important aspect since almost all the good marks had been
gotten by students that had opted by continuous evaluation.
Although we had presented a schedule for students complementary and less
formal form support, to clarify some questions and eventually to deep some topics, the
truth is that few students had appeared, with a relative increase when it misses 2 or 3
days to accomplish each test. Particularly, we noted some use of the email by the
students in order to solve some questions.
We must point out that, with the exception of the last two weeks, the number of
students that attended to the lessons stayed almost constant during the whole semester,
being approximately equal to the number of students which we consider available. We
think that it reflects the interest of the course and the empathy between students and
professor which we can confirm through the results of an anonymous inquiry carried out
by us in the second test of continuous evaluation and in the two calls of the exam at
normal time. The results of this inquiry show that more than 90% of the students that
answered to the inquiry evaluated globally the Professor with notes of Good or Very
Good.
Relatively to the practical lessons, we must point out that were created different
exercises and the respective solutions had been supplied, looking for to stimulate the
student’s homework. In Reliability part, because it’s more theoretical, we think that
lesser exercises were needed and we opted to dictate it in the lessons. We had the
concern of adopt exercises capable to stimulate the students and creating in them the
incentive and the taste for this course. We think that such exercises can be improved in
the next academic year through the introduction of new exercises in one or other topic
and, eventually, with the suppression of others with inferior pedagogical quality.
3
In uncurling of the lessons, we also tried to correspond to the ideas of the Bologna
Process. We looked that, when it was possible, the students put animation on the
lessons, although some initial resistance. We fomented the individually questions wallet
to wallet and the resolution of the exercises by the students. Still in relation to the
lessons, we opted by theoretical-practical lessons (respecting the established workload)
in order that the topics were boarded very little time after its theoretical introduction,
allowing a great proximity between the theoretical subjects and its practical application.
Finally, we can consider the final results, in terms of approbation or reprobation,
very satisfactory. If we have the number of inscribed students to the course as reference
(something that, with the actual system of registrations doesn’t seem to make much
sense), the percentage of approbation was equal to 23.4%. Taking as reference the
number of students that attended to all continuous evaluation and to some of the exams,
what we assign the available students (33) the percentage of approbations was equal
to 66.7%.
The Responsible
_______________________________
(Assistant Professor)
4
Programa Detalhado
e
Informação da Disciplina
UNIVERSIDADE DE ÉVORA - Departamento de Matemática
CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE
Ano lectivo 2003/2004
•
LICENCIATURA
EM
MATEMÁTICA
E
CIÊNCIAS
DA
COMPUTAÇÃO e ENGENHARIA
AGRO-ALIMENTAR
•
8º Semestre
•
Carga horária: 3 T + 2 P
•
7 ECTS
•
Docente: Paulo Infante – [email protected]
•
Todas as informações relativas à disciplina podem ser consultadas através do
link:
http://www.ensino.uevora.pt/cqf
OBJECTIVOS
Fornecer aos alunos, com base em conhecimentos anteriores de probabilidades e
estatística, uma perspectiva prática da sua aplicação em diferentes áreas, tais como a
indústria e os serviços, em que o controlo de qualidade e a fiabilidade assumem um
papel relevante, numa perspectiva essencialmente estatística, sem menosprezar os
aspectos de natureza económica.
PROGRAMA
1.
Introdução ao Controlo de Qualidade
• Conceitos
• Aplicações
• Importância
• Fases de aplicação
• Custos
• Software estatístico
2.
Distribuição Normal
• Teorema do limite central (Recapitulação)
• Teste do qui-quadrado e teste de Kolmogorov-Smirnov (Recapitulação)
• Papel de probabilidade
• Recta de Henry
• Estimação da média e do desvio padrão
3.
Distribuições Amostrais
• Médias
• Amplitudes
• Desvios padrões
4.
Controlo por variáveis
• Carta de controlo para a média
• Carta de controlo para a amplitude
• Carta de controlo para o desvio padrão
• Cálculo de probabilidades associadas às cartas
• Erros de tipo I e II
• Outras cartas de controlo
• Eficácia das cartas de controlo
5.
Controlo por atributos
• Carta de controlo para o número de peças defeituosas
• Carta de controlo para a proporção de peças defeituosas
• Carta de controlo para o número de defeitos por unidade
• Eficácia das diferentes cartas de controlo
6.
Controlo na recepção
• Custos de inspecção a 100%.
• Amostragem
• Lotes – Amostras
• Nível de qualidade aceitável
• Risco do fornecedor
• Risco do cliente
7.
Planos de Amostragem
• Simples
• Dupla
• Múltipla
• Controlo normal
• Controlo reforçado
• Controlo reduzido
8.
Tabelas
• Tabelas MIL STD 105 D
• Tabelas MIL STD 414
• Cálculo de probabilidades associadas
9.
Métodos de amostragem
• Métodos periódicos
• Métodos não periódicos
• Métodos não adaptativos
• Métodos adaptativos
10. Optimização em controlo de qualidade
• Custos envolvidos
• Grandezas optimizantes
• Minimização de um custo total médio
11. Fiabilidade
• Distribuições de tempos de vida
• Função de fiabilidade
• Taxa de risco
• Taxa cumulativa de risco
• Sistemas em série
• Sistemas em paralelo
12. Políticas de inspecção de sistemas
• Tipos de inspecção
• Políticas periódicas
• Custo total médio por ciclo
• Minimização de custos
• Políticas não periódicas
OSERVAÇÕES:
¾ Pré-requisitos (não são precedências): Probabilidades e Estatística I e
Probabilidades e Estatística II
¾ O programa desta disciplina pode incluir a utilização do software estatístico
SPSS e da folha de cálculo EXCEL.
AVALIAÇÃO
Nesta disciplina, os alunos podem optar por dois tipos de avaliação:
1. Avaliação Contínua
a. O regime de avaliação contínua consiste na realização de 2 Frequências.
b. A primeira Frequência a realizar em 17 de Abril de 2004
c. A segunda Frequência a realizar em 29 de Maio de 2004
d. A matéria para avaliação em cada Frequência será definida nas aulas
teóricas uma semana antes da data prevista para a realização da
frequência.
e. Em cada Frequência o aluno(a) terá que ter uma nota superior ou igual a
8 valores. Caso a nota seja inferior a 8 valores na primeira Frequência, o
aluno(a) opta automaticamente pelo regime de avaliação por Exame
Final e caso a nota seja inferior a 8 valores na segunda Frequência o
aluno reprova à disciplina.
f. A nota final será a média aritmética das notas obtidas nas duas
frequências.
g. A apreciação do desempenho do aluno durante as aulas poderá, se daí
resultar benefício para o aluno, alterar a nota final.
h. Para obter aprovação à disciplina a nota final deverá ser igual ou superior
a 9.5 valores.
i. Caso o aluno(a) não realize uma das Frequências, opta automaticamente
pelo regime de avaliação por Exame Final.
2. Exame Final
a. O regime de avaliação por Exame Final, em época normal, consiste na
realização de duas chamadas, optando o aluno(a) por ir a uma só
chamada.
b. A primeira chamada realizar-se-á em 17 de Junho de 2004 e a segunda
chamada realizar-se-á em 25 de Junho de 2004.
c. A nota final será a da prova de exame e terá de ser igual ou superior a 9.5
valores para obter aprovação à disciplina.
d. A matéria para avaliação será toda aquela leccionada durante o semestre.
e. O Exame de Recurso realizar-se-á em 8 de Julho de 2004.
f. O Exame de Época Especial realizar-se-á em 16 de Setembro de 2004.
OBSERVAÇÕES:
¾ As Frequências e os Exames são provas sem consulta, podendo os alunos utilizar
tabelas estatísticas fornecidos para o efeito.
¾ Os alunos podem utilizar máquina de calcular (pessoal e intransmissível).
BIBLIOGRAFIA
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Barlow, R. E.; Proschan, F. (1996) – Mathematical Theory of Reliability, SIAM.
•
Controle Statistique de la Qualité (1967) - Institut de Statistique des Universités
de Paris.
•
Duncan, A. J. (1986) - Quality control and Industrial Statistics, 5th ed., Irwin,
Illinois.
•
Infante, P. (1997) – Optimização em Controlo Estatístico de Qualidade, PAPCC
– Trabalho de Síntese, Universidade de Évora.
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Infante, P. (2003) – Métodos de Amostragem em Controlo de Qualidade, Tese
de Doutoramento, Universidade de Évora.
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Juran, J. M. (1974) – Quality Control Handbook, McGraw-Hill, 3rd ed..
•
Montgomery, D.C. (2002) – Introduction to Statistical Quality Control, 4th ed.,
John Wiley.
•
Rodrigues Dias, J. (1981) – Cartas de Controlo de Qualidade nas Indústrias
Agro-Alimentares, Jornadas de Informação Agrária 81 (JIA 81), Universidade
de Évora, 26 pp.
•
Rodrigues Dias, J. (1983) – Importância do Controlo Estatístico de Qualidade na
Vida das Empresas, Economia e Sociologia, nº 36, pp 53-66.
•
Rodrigues Dias, J. (1987) – Políticas de Inspecção de Sistemas, Tese de
Doutoramento, Universidade de Évora.
•
Rodrigues Dias, J. (1990) – A New Approximation for the Inspection Period of
Systems with Different Failure Rates”, EJOR, European Journal of Operational
Research 45, pp 219-223.
•
Ryan, T. P. (2000) – Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley.
•
Ushakov, I. A. (1994) – Handbook of Reliability Engineering, John Wiley.
•
Wadsworth, H. M.; Stephens, K. S.; Godfrey, A. B. (2001) – Modern Methods
for Quality Control and Improvement, 2nd Edition, John Wiley.
ATENDIMENTO AOS ALUNOS
Segundas-feiras: 10h-11h
Quintas-feiras: 16h-17h
¾ O docente apresenta total disponibilidade para responder a qualquer dúvida por email.
Programa Detalhado
e
Informação da Disciplina em Inglês
UNIVERSITY OF ÉVORA – Department of Mathematics
QUALITY CONTROL AND RELIABILITY
2003/2004
•
MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCES and Agro-Alimentar Engineering
•
8th Semester
•
Work load: 3 T + 2 P
•
7 ECTS
•
Professor: Paulo Infante – [email protected]
•
All of the information about the course can be consulted through the link:
http://www.ensino.uevora.pt/cqf
OBJECTIVES
To provide the students, on basis of previous knowledge of probability and statistics, a
practical perspective of its application in different areas, such as the industry and the
services, where the quality control and the reliability assume an important role, in a
perspective essentially statistics, without undervalue economic aspects.
PROGRAM CONTENTS
1.
Introduction to Quality Control
• Concepts
• Applications
• Importance
• Application Phases
• Costs
• Statistical Software
2.
Normal Distribution
• Central limit Theorem (Recapitulation)
• The Chi-square and the Kolmogorov-Smirnov goodness of fit tests
(Recapitulation)
• Probability paper
• Henry straight line
• Estimation of the mean and standard deviation
3.
Sampling Distributions
• Mean
• Range
• Standard deviation
4.
Control Charts for Variables
• The Control chart for the sample mean
• The Control chart for the range
• The Control chart for the standard deviation
• Calculation of probabilities
• Type I and type II errors
• Other control charts
• Operating-characteristic curves
5.
Control Charts for Attributes
• The control chart for fraction nonconforming
• The control chart for nonconformities
• The control chart for the number of defects in a unit of product
• Operating-characteristic curves
6.
Acceptance Sampling
• Costs of 100% inspection
• Sampling
• Lot – Samples
• Acceptance quality level
• Vendor’s risk
• Consumer’s risk
7.
Sampling Plans
• Single sampling
• Double sampling
• Multiple sampling
• Normal inspection
• Tightened inspection
• Reduced inspection
8.
Tables
• Military Standard 105 D
• Military Standard 414
• Calculation of associate probabilities
9.
Sampling Methods
• Periodic sampling procedures
• Non periodic sampling procedures
• Adaptive sampling procedures
• Non adaptive sampling procedures
10. Optimization in Quality Control
• Costs
• Optimization parameters
• Minimizing an expected total cost
11. Reliability
• Lifetime distributions
• Reliability function
• Hazard rate
• Cumulative hazard rate
• Series systems
• Redundant sytems
12. Inspection Policies of Systems
• Different inspection types
• Periodic policies
• Expected total cost during a cycle
• Costs minimization
• Non periodic policies
OSERVATIONS:
¾ Per-requisites (not precedences): Probabilidades e Estatística I e Probabilidades
e Estatística II
¾ This program can include EXCEL and the statistical software SPSS.
ASSESSMENT METHODS
In this course, the students can opt between two evaluation methods:
1. Continuous Evaluation
a. The regimen of continuous evaluation consists in 2 Partial Tests.
b. The matter for evaluation in each Partial Test will be defined in the
lecture classes one week before the date foreseen for the accomplishment
of the partial test.
c. In each Partial Test the student must have a score greater or equal to 8
values. Case of score is less than 8 values in the first Partial Test, the
student automatically opts to the evaluation regimen of Final Exam and
case of score is less than 8 values in the second Partial Test the student
reproves.
d. The final score will be the arithmetic mean of the scores on both tests.
e. The student’s performance during the lessons can modify the final score,
if it benefits the student
f. To get approbation to the course the final score must be greater or equal
than 9.5 values.
g. Case the student doesn't attend to one of the Partial Tests automatically
opts to the regimen of evaluation for Final Exam.
2. Final Exam
a. In the Final Exam evaluation regimen, at normal time, the student
chooses to attend to one of two calls.
b. The final score will be the one of the exam proof and the student must
have a score greater or equal than 9.5 to obtain approval to the course.
c. The matter for evaluation will be that whole lectured during the
semester.
d. There will be one Appeal Exam and one Exam at Special Time.
OBSERVATIONS:
¾ The Partial Tests and the Final Exams are proofs without consultation. The
students can use statistical tables supplied for the professor.
¾ The students should use a personal calculator.
BIBLIOGRAPHY
•
Barlow, R. E.; Proschan, F. (1996) – Mathematical Theory of Reliability, SIAM.
•
Controle Statistique de la Qualité (1967) - Institut de Statistique des Universités
de Paris.
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Duncan, A. J. (1986) - Quality control and Industrial Statistics, 5th ed., Irwin,
Illinois.
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Infante, P. (1997) – Optimização em Controlo Estatístico de Qualidade, PAPCC
– Trabalho de Síntese, Universidade de Évora.
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Infante, P. (2003) – Métodos de Amostragem em Controlo de Qualidade, Tese
de Doutoramento, Universidade de Évora.
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Juran, J. M. (1974) – Quality Control Handbook, McGraw-Hill, 3rd ed..
•
Montgomery, D.C. (2002) – Introduction to Statistical Quality Control, 4th ed.,
John Wiley.
•
Rodrigues Dias, J. (1981) – Cartas de Controlo de Qualidade nas Indústrias
Agro-Alimentares, Jornadas de Informação Agrária 81 (JIA 81), Universidade
de Évora, 26 pp.
•
Rodrigues Dias, J. (1983) – Importância do Controlo Estatístico de Qualidade na
Vida das Empresas, Economia e Sociologia, nº 36, pp 53-66.
•
Rodrigues Dias, J. (1987) – Políticas de Inspecção de Sistemas, Tese de
Doutoramento, Universidade de Évora.
•
Rodrigues Dias, J. (1990) – A New Approximation for the Inspection Period of
Systems with Different Failure Rates”, EJOR, European Journal of Operational
Research 45, pp 219-223.
•
Ryan, T. P. (2000) – Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley.
•
Ushakov, I. A. (1994) – Handbook of Reliability Engineering, John Wiley.
•
Wadsworth, H. M.; Stephens, K. S.; Godfrey, A. B. (2001) – Modern Methods
for Quality Control and Improvement, 2nd Edition, John Wiley.
STUDENTS SUPPORT
Monday: 10h-11h
Thursday: 16h-17h
The professor presents total availability to answer to any doubt for email.
Programa Resumido da Disciplina
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Introdução ao controlo de qualidade: conceitos, fases e custos; software
estatístico.
Distribuição normal: recapitulação; recta de Henry.
Distribuições amostrais: médias, amplitudes e desvios padrões
Controlo por variáveis: cartas de controlo para a média, amplitude e desvio
padrão; erros de tipo I e II; eficácia das cartas; outras cartas de controlo.
Controlo por atributos: cartas de controlo para o número de peças defeituosas,
proporção de peças defeituosas e número de defeitos por unidade; eficácia das
cartas.
Controlo na recepção: lotes e amostras; nível de qualidade aceitável; risco do
fornecedor; risco do cliente.
Planos de amostragem: diferentes tipos e níveis de amostragem.
Tabelas: tabelas MIL STD 105 D e MIL STD 414.
Métodos de amostragem: periódicos, não periódicos, adaptativos e não
adaptativos.
Optimização em controlo de qualidade: custos envolvidos e sua minimização.
Fiabilidade: tempos de vida e taxas de risco; sistemas em série e paralelo.
Políticas de inspecção de sistemas: diferentes tipos e custos; optimização.
Programa Resumido da Disciplina em Inglês
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Introduction to Quality Control: concepts, phases and costs; statistical software.
Normal distribution: recapitulation; Henry straight line.
Sampling distributions: mean; range and standard deviation.
Control charts for variables: control charts for the sample mean, control charts
for the range and control charts for the standard deviation; type I and type II
errors; operating-characteristic curve; other control charts.
Control charts for attributes: control charts for nonconformities, control charts
for fraction of defectives and control charts for the number of defects in a unit of
product; operating-characteristic curve.
Acceptance sampling: lots and samples; acceptance quality level; vendor’s risk;
consumer’s risk.
Sampling plans: different types and levels.
Tables: MIL STD 105 D and MIL STD 414
Sampling methods: periodic, non periodic, adaptive and non adaptive.
Optimization in quality control: involved costs and its minimization.
Reliability: lifetime distributions and hazard rates; series systems and redundant
systems.
Systems inspection policies: different inspection types and costs; optimization.
Sumários
Lição Nº 1 – 16/02/04
Apresentação genérica do Programa e da Bibliografia. Considerações gerais sobre o
modo de funcionamento das aulas. Definição do método de avaliação da disciplina.
Marcação das datas dos testes e do horário de atendimento aos alunos. Introdução ao
Controlo de Qualidade: contextualização, conceitos básicos, importância, custos e
aplicações. Causas aleatórias e causas assinaláveis. As diferentes fases de aplicação do
controlo de qualidade.
Lição Nº 2 – 19/02/04
Estatística Descritiva (recapitulação): agrupamento dos dados e formação de classes;
frequências e tábuas de distribuição de frequências; representações gráficas. Estimação
da média e do desvio padrão. Distribuição Normal. Teste do qui-quadrado e recta de
Henry. Exercício de aplicação.
Lição Nº 3 – 26/02/04
Estatística Descritiva (recapitulação): mediana; moda; medidas de assimetria e de
achatamento. Cálculo empírico de probabilidades. Estimação da média e do desvio
padrão pela recta de Henry. Teste de Kolmogorov-Smirnov. Continuação do exercício
de aplicação.
Lição Nº 4 – 1/03/04
Teorema do limite central. Distribuição amostral de médias e de amplitudes. Intervalos
de confiança para a amplitude. Cartas de controlo do tipo Shewhart: princípios
estatísticos fundamentais. Erro do tipo I e erro do tipo II. Cartas de controlo por
variáveis. Carta de controlo para a média e carta de controlo para a amplitude.
Estimação da média e do desvio padrão na fase inicial do processo. Interpretação das
cartas de controlo. Exemplos e exercícios de aplicação.
Lição Nº 5 – 4/03/04
Limites de controlo provisórios. Algumas considerações sobre a fase inicial de controlo
do processo. Limites de controlo para a produção futura. Limites de aviso. Cálculo de
probabilidades associadas à carta de controlo para a média. Distribuição Binomial
(recapitulação).
Lição Nº 6 – 8/03/04
Breve referência e algumas considerações sobre regras de controlo suplementares.
Principais padrões não aleatórios associados às cartas de controlo. Exemplos. Curvas de
eficácia para alterações da média e do desvio padrão. Distribuição Geométrica
(recapitulação). Número médio de amostras até detecção (ARL). Exercícios de
aplicação.
Lição Nº 7 – 11/03/04
Algumas considerações sobre a distribuição do número de amostras até ao aparecimento
de um ponto fora dos limites de controlo (RL). Cálculo de probabilidades associadas à
carta de controlo para a média usando a distribuição geométrica. Limites naturais de
tolerância e limites de especificação. Exemplos. Capacidade do processo em produzir
dentro das especificações. Exercícios.
Lição Nº 8 – 15/03/04
Processos centrados e não centrados. Exemplo. Índices de capacidade do processo.
Interpretação. Exemplos de aplicação. Exercícios. Carta de controlo para o desvio
padrão. Estimação do desvio padrão na fase inicial.
Lição Nº 9 – 18/03/04
Exercícios envolvendo análise de cartas de controlo na fase inicial, análise de
capacidade do processo e cartas para médias e desvio padrão. Cartas para medidas
individuais: carta X e carta MR (amplitudes móveis). Estimação do desvio padrão
através das amplitudes móveis. Exemplo de aplicação.
Lição Nº 10 – 22/03/04
Algumas considerações sobre questões de amostragem vs questões de estimação.
Introdução ao controlo por atributos. Carta para a proporção de elementos defeituosos
(Carta p) e carta para o número de elementos defeituosos (carta np). Limites provisórios
e limites standard. Questões relacionadas com a definição do tamanho das amostras.
Curvas de eficácia. Exemplos e exercícios de aplicação. Aproximação da distribuição
binomial pela distribuição normal.
Lição Nº 11 – 25/03/04
Exercícios sobre a carta p. Carta para o número de defeitos por unidade (carta c).
Exemplos de aplicação. Alteração da unidade de inspecção numa carta c. Carta para o
número médio de defeitos por unidade inspeccionada (carta u).
Lição Nº 12 – 29/03/04
Exercícios sobre a carta c e sobre a carta u. Aproximação da distribuição de Poisson
pela distribuição normal. Amostras de tamanhos variáveis. Exemplos e exercícios de
aplicação. Controlo por atributos vs controlo por variáveis.
Lição Nº 13 – 01/04/04
Princípios básicos das cartas de controlo CUSUM e EWMA. Exemplos de aplicação.
Exercícios.
Lição Nº 14 – 15/04/04
Aula Laboratorial.
Lição Nº 15 – 19/04/04
Controlo na recepção. Amostragem por aceitação. Lotes e amostras. Planos de controlo
por atributos: conceito de plano de amostragem simples e de plano de amostragem
duplo. Conceitos de nível de qualidade aceitável, risco do fornecedor e risco do cliente.
Tabelas MIL STD 105. Controlo normal, controlo reduzido e controlo reforçado.
Critérios de passagem entre os diferentes tipos de controlo. Exemplos e exercícios de
aplicação utilizando planos de amostragem simples.
Lição Nº 16 – 22/04/04
Planos de amostragem duplos. Número médio de elementos inspeccionados por lote.
Exemplos e exercícios de aplicação utilizando planos de amostragem duplos.
Lição Nº 17 – 26/04/04
Cálculo de probabilidades associadas a planos de amostragem duplos. Breve referência
a curvas de eficácia associadas aos planos de amostragem. Inspecção rectificativa:
conceito, obtenção do número médio de elementos inspeccionados por lote e do nível
médio de qualidade de saída. Planos de controlo por variáveis. Vantagens e
desvantagens dos planos de controlo por variáveis. Tabelas MIL STD 414. Exemplos de
aplicação. Caso em que a variabilidade é conhecida: Forma 1, Forma 2, um só limite de
especificação e dois limites de especificação com um e dois níveis de qualidade
aceitável. Exercícios. Caso em que a variabilidade é desconhecida – método do desvio
padrão: Forma 1, Forma 2, um só limite de especificação e dois limites de especificação
com um e dois níveis de qualidade aceitável. Exercícios.
Lição Nº 18 – 29/04/04
Caso em que a variabilidade é desconhecida – método da amplitude: Forma 1, Forma 2,
um só limite de especificação e dois limites de especificação com um e dois níveis de
qualidade aceitável. Exercícios. Breve referência a outros planos e esquemas de
amostragem: Dodge-Romig, amostragem contínua (CSP-1) e lotes alternados (skip-lot).
Inspecção a 100% vs planos de amostragem.
Lição Nº 19 – 03/05/04
Algumas considerações sobre a primeira frequência. Introdução à Fiabilidade: conceitos
de tempo de vida, fiabilidade, taxa de risco e de taça cumulativa de risco. Relações entre
a função de fiabilidade, função densidade, função distribuição, taxa de risco e taxa
cumulativa de risco. Exemplos e exercícios de aplicação.
Lição Nº 20 – 06/05/04
Modelos de tempos de vida de sistemas. Modelo Exponencial e Modelo Weibull:
função densidade, função de distribuição, função de fiabilidade, taxa de risco, falta de
memória, valor médio e variância. Exemplos e exercícios de aplicação.
Lição Nº 21 – 10/05/04
Continuação dos exercícios da aula anterior. Outros modelos de tempos de vida de
sistemas: normal, lognormal, Hjorth. Sistemas em série: função de fiabilidade, taxa de
risco, exemplos e exercícios de aplicação.
Lição Nº 22 – 13/05/04
Sistemas em paralelo: função de fiabilidade, taxa de risco, exemplos e exercícios de
aplicação. Redundância activa e redundância passiva. Sistemas com componentes em
série e em paralelo. Exemplos e exercícios de aplicação.
Lição Nº 23 – 17/05/04
Políticas de Inspecção de sistemas. Tipos de Inspecções: determinísticas e aleatórias,
periódicas e não periódicas, perfeitas e imperfeitas. Conceito de ciclo. Custo total médio
por ciclo. Número médio de inspecções e tempo médio de detecção. Minimização do
custo total médio por ciclo quando se consideram inspecções periódicas. Obtenção de
uma aproximação para o período de amostragem. Exemplos e exercícios de aplicação.
Lição Nº 24 – 20/05/04
Obtenção de uma outra aproximação para o período de inspecção. Inspecções não
periódicas: política de risco constante. Exemplos e exercícios de aplicação.
Lição Nº 25 – 31/05/04
Optimização em Controlo de Qualidade: custos envolvidos, grandezas optimizantes,
número médio de amostras inspeccionadas e período médio de mau funcionamento.
Métodos de amostragem em controlo de qualidade: método periódico clássico, métodos
de intervalos predefinidos e métodos adaptativos.
Lição Nº 26 – 03/06/04
Aula de dúvidas.
Algum Material de Apoio
Às Aulas Teóricas
Generalidades sobre o Controlo
de Qualidade
Matemática e Ciências da Computação 2003/04
1
Qualidade

Indústria, serviços, ..., vida

Factor determinante na selecção de produtos e
serviços
Papel fundamental nas estratégias competitivas de
muitas empresas
Sobrevivência de muitas empresas ⇒ qualidade
permanentemente melhorada

2
Preocupação com a “Qualidade”

APQ – Associação Portuguesa para a Qualidade
EOQ – European Organization for Quality
EFQM – European Foundation for Quality
Management

DECO – Associação de Defesa do Consumidor

Certificação
Níveis de Excelência
....

3
Crescente de Importância

Shewhart (1930)

Duncan (1956)

Controlo de qualidade começa a assumir um
papel importante
Controlo de qualidade começa a assumir
importância do ponto de vista dos decisores
empresariais
Introdução de normas e consequente adopção
a nível mundial (MIL STD, ISO)
4
Qualidade
Preço

Quantidade
Nível óptimo de qualidade
Controlo Estatístico de Qualidade
Controlo total (integrado) de qualidade (ex: TQM)

Recursos humanos
Relações com fornecedores
Introdução de novos produtos
Gestão dos processos produtivos
Enfoque do cliente
5

Senso comum

Um produto tem qualidade quando satisfaz uma ou
mais características que nele se pretende encontrar
Qualidade tem a ver com:

“materiais”
métodos
máquinas
medidas
mão-de-obra
...
6

Variabilidade

Intrínseca ( “natural”)
Causas aleatórias – inerentes ao processo
Não Intrínseca
Causas assinaláveis – detectadas e eliminadas
Redução da variabilidade - Uma das chaves
para melhorar a qualidade de um produto
7
Avaliar uma ou mais características:

Índole Quantitativa – Controlo por Variáveis

Qualidade expressa por um número (mensurável)
(ex: volume, peso, diâmetro, resistência,...)
Índole Qualitativa – Controlo por Atributos

Proporção de elementos defeituosos
(possui ou não determinado atributo – defeituoso ou
não defeituoso)
(ex: sabor, cor, aspecto,...)
Número de defeitos por unidade
8
Controlo de Qualidade

Conhecer o nível da qualidade
Corrigir / melhorar a qualidade

Perspectiva:

preventiva / correctiva
não punitiva
9
Controlo Estatístico de Qualidade

Controlo estatístico do processo (SPC)
Delineamento experimental
Amostragem por aceitação
Análise se capacidade do processo
10
Fases do Controlo de Qualidade
“Matérias
Primas”

...
na recepção
durante a produção
na comercialização
Produto
Final
11
Na Recepção

Verificar se o que está recebendo corresponde ao
nível de qualidade que acordou com o fornecedor

Impossibilidade prática (custos, tempo, testes
destrutivos, ...) de analisar todos os produtos
(inspecção a 100%)

Analisar amostras, definindo regras e limites de
aceitação (e de rejeição) da qualidade da produção
em causa
Planos de Controlo
(MIL STD 105D / MIL STD 414
12
Na Recepção
N ⇒n

⇒
NQA
n
Maior (menor) convicção do cliente, obtida a
partir de dados anteriores, menor (maior) é a
exigência ao nível da dimensão das amostras
extraídas, associada ao controlo dito reduzido
(reforçado).
Risco fornecedor (cliente rejeitar um lote bom)
Risco do Cliente (aceitar um lote mau)
13
Durante a Produção (de um qualquer
bem ou serviço)

Fase inicial

Verificar se está sob controlo e se a qualidade
corresponde ou não ao que foi previamente
definido
Fase de normal funcionamento

Detectar eventuais alterações como resultado do
aparecimento de causas assinaláveis
14
Durante a Produção
• Sistema (produtivo) ⇒
⇒ Vigilância ⇒ Obtenção de
(produção defeituosa)
Amostras
Falhas
T v.a.
Cartas de Controlo
• Distinguir entre causas aleatórias e causas assinaláveis
• Avaliar o desempenho do processo ao longo do tempo
• Estimar parâmetros
15
Aplicações das Cartas de Controlo

Indústria
Saúde
Área financeira
Laboratórios clínicos
Desempenho atlético
Educação
Engenharia Civil
Ecologia
Leis
... “quase tudo”
16
Fase de Normal Funcionamento

Distribuição Normal – grande parte das aplicações
práticas – Teorema do Limite Central
Processo está sob controlo?

Erro de 1ª espécie (falso alarme)
Erro de 2ª espécie (considerar que está sob controlo quando,
de facto, não está)
Quando recolher as amostras?
Quantos elementos analisar?
Quais os limites das cartas?
Optimização
17
Na Comercialização

Eventualmente aquando da constituição de lotes
O produtor deverá ter uma informação final global do produto
que está colocando no mercado.
Cliente (ou consumidor) tem uma palavra importante, que
poderá ser decisiva para a aceitação do produto

Reflexos directos, imediatos ou não, no sucesso do produtor

Destinatário: fábrica, departamento, grande público

Em certo sentido, esta terceira fase pode considerar-se como
sendo coincidente com a primeira – Fecha-se o ciclo.
18
MÉTODOS DE AMOSTRAGEM EM
CONTROLO DE QUALIDADE
e
Fiabilidade
Introdução
• Sistema (produtivo) ⇒ Falhas
X~N(µ, σ)
⇒ Vigilância ⇒ Obtenção de
(produção defeituosa)
Amostras
x, R, s, p, c
T v.a.
Cartas de Controlo
• Distinguir entre causas aleatórias e causas assinaláveis
• Avaliar o desempenho do processo ao longo do tempo
• Estimar parâmetros
Métodos de Amostragem
2
Introdução (continuação)

Carta de controlo para a média
Questões?
Quando
Inspeccionar?
Qual o Tamanho das Amostras?
Quais os Limites de Controlo?
3
Procedimentos de Amostragem
Clássico
Carta com limites fixos (“3-sigma”), amostras de
tamanho fixo (4 a 9) retiradas periodicamente.
Parâmetros Predefinidos
Parâmetros fixos, mas não constantes durante o controlo do
processo. Os seus valores são obtidos no início do processo
produtivo, não sendo actualizados.
Parâmetros Adaptativos
Pelo menos um parâmetro varia em função dos valores da
estatística amostral. Informação do estado do processo
actualizada em cada instante de amostragem.
(VSI, VSS, VSSI, VP, DP, VSIFT, VSSIFT, DPVSI, SPRT,...)
4
Um Critério de Comparabilidade
Condições iguais sob controlo:
Número
Médio de Falso Alarmes
Número Médio de Amostras
Número Médio de Elementos Analisados
QAATS
AATSP − AATSNP
=
× 100%
AATSP
Medida da Redução Relativa no AATS,
quando se utiliza um Prodedimento Não Periódico .
7
Método VSS
L
W
0
-W
-L
n2>n>n1
n1
n2
n1
 2Φ ( L )( n 2 − n ) + n − n1 
W=Φ 

−
2
n
n
(
)
2
1


−1
VSS (a) - (n1, n2)=(2, 25); W=1.5032
8
Método VSI
L
W
0
-W
-L
d2>d>d1
d1
d2
d1
 2Φ (L )(d1 − d ) + d − d 2 
W = Φ −1 

2(d1 − d 2 )


VSI (b)- (d1, d2)=(0.015, 1.5); W=0.9572
9
Outros Métodos Adaptativos
VSSI – Alterna um longo intervalo de amostragem com uma
amostra pequena e um pequeno intervalo de amostragem com uma
amostra grande
VSSI (a)- (d1, d2)=(0.015, 1.394); (n1, n2)=(1, 15); W=1.0633
VP – Estatísticas amostrais representadas numa carta de controlo
com dois limites de aviso (superiores e inferiores) e dois limites de
controlo (superiores e inferiores).
Tem-se L1>L>L2 e W1>W2, onde i=1 se a última amostra é pequena
e i=2 se a última amostra é grande.
VP (a) - (d1, d2)=(0.015, 1.394); (n1, n2)=(1, 15);
(L1, L2)=(6.0000, 2.5953); (W1, W2)=(1.0676; 1.0527)
10
Valores dos Parâmetros para Estudo Comparativo
Método de
Amostragem
Parâmetros
VSI (a)
(d1, d2)=(0.015, 2.0); W=0.6665
VSI (b)
(d1, d2)=(0.015, 1.5); W=0.9572
VSI (c)
(d1, d2)=(0.015, 1.2); W=1.3689
VSS (a)
(n1, n2)=(2, 25); W=1.5032
VSS (b)
(n1, n2)=(3, 15); W=1.3757
VSS (c)
(n1, n2)=(4, 9); W=1.2754
VSSI (a)
(d1, d2)=(0.015, 1.394); (n1, n2)=(1, 15); W=1.0633
VSSI (b)
(d1, d2)=(0.015, 1.281); (n1, n2)=(3, 12); W=1.2151
VSSI (c)
(d1, d2)=(0.015, 1.328); (n1, n2)=(4, 8); W=1.1454
VP (a)
(d1, d2)=(0.015, 1.394); (n1, n2)=(1, 15);
(L1, L2)=(6.0000, 2.5953); (W1, W2)=(1.0676; 1.0527)
VP (b)
(d1, d2)=(0.015, 1.281); (n1, n2)=(3, 12);
(L1, L2)=(6.0000, 2.5078); (W1, W2)=(1.2206; 1.1961)
VP (c)
(d1, d2)=(0.015, 1.328); (n1, n2)=(4, 8);
(L1, L2)=(6.0000, 2.5491); (W1, W2)=(1.1504; 1.1309)
11
Método Adaptativo RD
Instantes de amostragem são obtidos através de (Rodrigues
Dias (1999)):
t i +1 = t i + kφ ( u i )
u i = ( mi − µ 0 ) n σ 0 ,

ti mi φ(u) K -
t 0 = 0, t1 = kφ(0)
instante de inspecção de ordem i φ ( u ) = 1 exp  − u 2 


2π
 2 
média da amostra de ordem i
função densidade da distribuição normal reduzida
constante de escala
12
Estudo de Robustez
Comparação entre FSI e RD por forma a que o intervalo médio de
amostragem sob controlo seja o mesmo.
Distribuição normal contaminada –

X∩ p% N(µ0, σ0)

Desvios padrões amostrais, SE, estimados com base em 200 000
p=0.01; 0.05; 0.10; 0.20, 1.00 ; σ0=1.5; 3
valores simulados de cada estatística

Caso 1 – Normalidade Assumida – Limites de controlo iguais a ±3SE.
Caso 2 – Normalidade Não Assumida – Limites de controlo
determinados com base em 200 000 amostras por forma a que uma
proporção específica das observações caísse dentro dos limites de
controlo (99.73%)
14
Estudo de Robustez
Distribuição de Burr

X ∩Burr(c=2, k’=5) - α3=1.22 α4=5.83
n=1
Caso 1 – Normalidade Assumida – Limites simétricos
Caso 2 – Normalidade Não Assumida - Limites de
controlo com simetria probabilística (Yourstone and
Zimmer (1992))
AATS obtido para as diferentes populações considerando
diferentes aumentos e diminuições da média
15
Alguns Resultados do Estudo de Robustez
Q1 =
AATSP − AATSRD
.100%
AATSRD
λ=
| µ1 − µ 0 |
σE
Caso 1- Normalidade Assumida
%
cont.
0
Q1
AATS(RD)
Q1
Q1
Q1
Q1
λ
2
3
4
0
1
2
3
4
.01
25.28
101.04
91.56
15.60
.01
25.28
101.04
91.56
15.60
34.81
2.88
.78
.60
369.56
34.81
2.88
.78
.60
25.27
101.74
91.19
15.24
-2.53
24.64
112.04
91.19
10.73
34.43
2.88
.78
.60
128.02
31.33
2.99
.78
.61
25.20
102.76
91.19
14.91
-3.22
24.39
116.07
89.48
8.48
34.09
2.90
.78
.60
136.48
29.07
3.05
.79
.61
25.22
103.11
91.43
15.10
-1.55
24.94
107.43
90.20
12.25
34.14
2.89
.78
.60
205.79
31.96
2.96
.79
.60
-.08
-.35
AATS(RD) 306.84
50
λ
1
AATS(RD) 339.33
20
σ=3.0
0
AATS(RD) 369.56
5
σ=1.5
-.36
AATS(RD) 305.75
16
Alguns Resultados do Estudo de Robustez
Caso 2- Normalidade Não Assumida
Q1
Distrib. Alteração
da
Burr
média AATS(RD)
c=2;
k=5
α3=1.22
α4=5.83
c=3;
k=4
α3=.68
α4=4.04
c=3;
k=6
α3=.48
α4=3.38
Aumento
Redução
Aumento
Redução
Aumento
Redução
λ
0
.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
Q1
-.72
-.47
10.58
40.21
100.96
318.25
168.44
18.07
AATS(RD)
372.57
403.01
147.32
47.90
14.54
1.44
.62
.58
Q1
-.72
14.06
31.41
42.45
38.05
7.76
-8.57
-12.71
AATS(RD)
372.57
26.38
5.89
2.12
1.13
.67
.60
.58
Q1
-.24
4.07
22.60
61.82
127.15
201.80
56.21
-4.33
AATS(RD)
371.44
216.68
62.7
18.49
5.23
.89
.60
.58
Q1
-.24
7.31
26.05
51.15
67.58
36.58
-.17
-11.07
AATS(RD)
371.44
87.74
17.81
4.77
1.82
.73
.60
.58
Q1
.02
4.71
23.33
60.97
119.58
159.86
40.00
-6.42
AATS(RD)
370.49
196.02
53.45
14.68
4.29
.85
.60
.58
Q1
.02
7.13
25.84
52.89
74.11
45.47
2.18
-10.75
AATS(RD)
370.49
97.27
20.24
5.37
1.97
.74
.60
.58
17
Menor Intervalo Imposto
Variações Relativas do AATS (d1=0.015)
Valores de d1
Valores de λ
0.05
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.50
3.00
0,0
0,0
0,1
0,3
0,7
0,9
0,7
0,4
0,2
0,0
0,0
0.10
0,1
0,2
0,5
1,5
3,0
3,5
2,4
1,1
0,2
-0,4
-0,5
0.25
0,7
1,2
3,5
8,6
15,6
17,3
11,7
5,5
1,9
-0,3
-0,5
0.50
3,2
5,3
12,7
27,9
45,7
46,6
29,5
13,2
4,0
-1,1
-1,5
19
Método RD: Algumas Conclusões
Melhor que o esquema periódico na detecção
de alterações pequenas e moderadas.
Mais eficaz que outros esquemas adaptativos
na detecção de alterações moderadas da
média.
Robusto em situações de afastamento da
normalidade e quando o menor intervalo de
amostragem é limitado.
20
Uma Nova Metodologia:
Intervalos Diferentes Predefinidos
Instantes de Amostragem ti obtidos através de (Rodrigues
Dias (2002)):
H(t i ) = i∆H
H(t i +1 ) = (i + 1)∆H
ti = R
−1
H(t) = t h(t)dt − taxa cumulativa de risco
∫0



R(t) = exp − H(t) − funçao
de fiabilidade
[
]

[exp(−i∆H)]
t0 = 0

se IFR → ti+1-ti < ti-t i-1
se DFR→ ti+1-tk>ti-ti-1
se h(t) = c.te → ti+1-ti=ti-ti-1
21
Valor de ∆H
∆H obtido por forma a que o número médio de amostras até à
falha seja igual nos dois métodos
Ni , Nd - número de amostras, incluindo a 1ª após a falha
(intervalos iguais, diferentes)
1
E( N d ) =
1 − exp(− ∆H )

1 
E(N i ) = E(N d ) → ∆H = − ln 1 −

E(N
)
i 

P
∆H ≅
E (T )
23
Alguns Resultados (Caso δ=3)
QAATS =
AATSP − AATSIP
× 100%
AATSP
P / E(T)
λ
0.25
0.50
1.00
1.50
2.00
3.00
0.0001
22.6
14.6
7.3
4.5
3.2
2.9
0.001
43.5
29.7
15.4
9.5
6.9
6.2
0.005
62.0
45.9
25.5
16.0
11.6
10.5
0.01
69.8
53.8
31.3
19.9
14.5
13.1
0.02
76.7
61.9
37.9
24.6
18.0
16.3
0.05
84.4
72.0
47.8
32.1
23.8
21.6
0.1
88.8
78.7
55.8
38.7
29.0
26.4
24
Intervalos Predefinidos: Algumas
Conclusões
As reduções no AATS tornam-se mais
acentuadas com o aumento da taxa de risco.
Melhor quanto menor a alteração do
processo.
Melhor quanto menor o número de amostras
analisadas no período de controlo.
Sempre melhor que o esquema periódico (o
que não acontece com os esquemas
adaptativos)
Mais rápido na detecção que os esquemas
adaptativos para alterações pequenas e
grandes.
25
λ
0.125 0.250 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 3.000
RD
1,8
VSI(a)
VSI(c)
3,0 11,6 37,3 58,4 61,2 42,2 5,1 -38,4 -72,6 -98,5
2,6 10,0 33,4 55,2 63,3 53,2 27,4 -4,4 -29,9 -49,2
1,8 7,2 25,4 45,8 58,0 55,7 39,0 15,4 -4,3 -19,7
VSS(a)
4,7 34,3 74,2 67,4 42,9
VSS(b)
2,0 17,6 58,7 66,0 52,9 27,2
VSS(c)
0,7
VSSI(a)
5,5 31,4 74,1 71,4 46,4 10,2 -29,3 -60,2 -73,2 -47,7
3,6 21,0 66,0 77,7 69,1 51,5 28,4 4,0 -14,5 -27,7
2,8 13,7 49,7 71,4 71,2 56,9 33,1 5,8 -15,8 -32,3
Intervalos Adaptativos
VSI(b)
VSSI(b)
VSSI(c)
VP(a)
VP(b)
VP(c)
7,0 24,2 42,7 53,6 51,8 37,5 16,7
-1,1 -15,1
5,6 -37,1 -70,7 -81,4 -18,6
-4,7 -28,7 -34,2
6,3 30,5 45,5 43,1 29,1 10,0
-4,9
-9,0
-2,3
33,5 62,4 80,6 71,8 46,2 9,7 -29,9 -61,0 -74,1 -49,4
24,7 52,7 77,7 79,3 69,0 51,2 27,7 2,8 -16,3 -30,1
12,9 35,1 66,4 76,2 71,7 56,5 32,2 4,3 -18,0 -33,8
Intervalos Predefinidos
Weibull
δ=2.0
33,9 26,7 15,4
4,0
2,9
2,2
1,7
1,5
δ=3.0
51,3 43,5 29,7 20,9 15,4 11,9
9,5
7,9
6,9
6,2
δ=4.0
62,7 54,3 40,6 31,1 24,7 20,4 17,2 14,9 13,5 12,5
δ=5.0
68,2 61,7 48,8 39,4 32,8 28,0 24,5 21,9 20,2 19,1
δ=7.0
76,5 71,1 60,1 51,5 45,1 40,3 36,6 33,8 32,0 30,8
9,2
5,9
λ=
-0,2
µ0 −µ1
σ0
AATSP −AATSNP
QAATS =
×100%
AATSP
Burr
c=4.8737
v=6.15784
65,9 59,5 46,9 37,6 31,2 26,5 23,1 20,6 19,0 17,9
c=3
v=1
32,6 29,5 21,2 15,1 11,1
8,3
6,2
4,6
3,6
2,8
26
Método Combinado de Amostragem

Instantes de Amostragem
t i+1 =
t
RD
i+1
t 0 = 0, t1 =
+t
2
IP
i+1
=
t
RD
i
+ kφ ( ui ) + R exp ( −i∆H − ∆H) 
2
−1
kφ ( 0 ) + R −1 exp ( ∆H) 
2
Tempo de Vida Weibull
(
)
1/ δ
1/ δ
1/ δ


2π i − ( i − 1) α ( ∆H) + k exp −ui2 / 2


∆ti =
2 2π
27
Método Combinado: cálculo dos valores dos
parâmetros
2π α ( ∆H)
1/ δ
∆t 1 =
+k
2 2π
Mesmas condições durante o período de
controlo:

número médio de falsos alarmes
número médio de amostras
número médio de itens
k=
Φ
(
β π
)
2 L − 0.5
1
∆H =
E(T)
28
Influência do Tamanho da Amostra
QAATS
δ=4
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
λ
n=1
n=3
n=5
n=8
n=15
30
Período Médio de Mau Funcionamento
(AATS)
70
QAATS
55
40
25
10
-5 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
δ= 4
δ= 5
δ= 7
λ
δ= 0 . 8
δ= 1
δ= 2
δ= 3
31
Comparação com VSI
λ
0.25
0.50
δ
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
3.00
VSI (b) – (d1=0.015; d2=1.5)
0.8
-9,9 -31,8 -73,5 -95,9 -53,3
-8,0
15,5
26,1
30,8
1.0
-7,2 -31,8 -75,3 -98,4 -56,1
-9,5
14,7
25,1
30,1
2.0
11,7 -10,9 -47,9 -66,5 -32,9
5,3
24,6
33,3
37,2
3.0
24,5
-7,1
21,6
36,0
41,8
45,0
4.0
30,6
16,7
9,2
32,2
43,0
47,6
50,0
5.0
34,9
22,8
5,7
-0,9
19,3
38,4
47,5
51,1
53,1
7.0
39,7
30,0
16,3
12,4
30,2
45,1
52,0
55,0
56,2
7,3 -21,7 -34,0
-5,2 -13,5
QAATS =
AATSVSI −AATSC
×100%
AATSVSI
32
Número Médio de Amostras sob Controlo
8
7
6
QN
5
4
3
2
1
0
P /E(T)=0,001
P /E(T)=0,005
δ=0,8
P /E(T)=0,01
δ=3
P /E(T)=0,05
δ=5
34
Esquema Combinado: Algumas Conclusões
Sempre melhor que o esquema periódico em

sistemas com taxas de risco crescentes (o que não
acontece com os outros esquemas adaptativos).
Reduções muito significativas (superiores a 50%)
50%
no AATS para diferentes alterações da média.
Muito bom desempenho para diferentes dimensões
amostrais.
Globalmente mais eficiente que o método VSI em
sistemas com taxas de risco crescentes.
Redução no número médio de amostras analisadas
sob controlo (superiores a 5%) – acentua-se com
os aumentos de P e de δ.
41
Algum Material de Apoio
Às Aulas Práticas
CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE (2003/04)
Exercícios – Folha 1
Considere a seguinte tábua de distribuição de frequências relativa a um determinado lote de
1524 fichas, em que se considerou uma dada grandeza mensurável X - diâmetro das fichas
(microns).
a) Reflicta sobre o modo como foi elaborada a tábua de distribuição de frequências.
b) Esboce o histograma e o polígono de frequências absolutas e relativas.
c) Esboce o polígono de frequências acumuladas (ogiva) absolutas e relativas.
d) Que tipo de distribuição de X será eventualmente sugerido pelos gráficos anteriores?
e) Determine a média, a mediana e a moda.
f) Determine o desvio padrão.
g) Classifique a distribuição quanto à assimetria e ao achatamento.
h) Calcule a percentagem (probabilidade) de valores:
__________________________________________________________________________________________
Licenciatura em MATEMÁTICA E CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO
1
i.
menores que 2481;
ii.
maiores que 2481;
iii.
entre 2471 e 2541;
iv.
entre 2465 e 2512.
i) Havendo uma tolerância inferior Ti e uma tolerância superior Ts, como determinaria a
percentagem de elementos não defeituosos?
j) Analise a hipótese da distribuição de X ser normal (ou aproximadamente normal),
usando:
i.
a recta de Henry;
ii.
o teste Qui-Quadrado.
Classes
<2431
[2431, 2441)
[2441, 2451)
[2451, 2461)
[2561, 2471)
[2471, 2481)
[2481, 2491)
[2491, 2501)
[2501, 2511)
[2511, 2521)
[2521, 2531)
[2531, 2541)
[2541, 2551)
[2551, 2561)
[2561, 2571)
>2571
ni
Probabilidades
0
1
4
13
43
144
235
300
300
235
144
69
26
8
2
0
1524
9,2E-05
0,000572
0,003017
0,011705
0,036164
0,081949
0,147458
0,199104
0,200761
0,160522
0,095647
0,042826
0,015242
0,004005
0,000794
0,000142
nei
(ni-nei)^2/nei
0,140266
0,871272
4,598542
17,838611
55,114633
124,890001
224,725546
303,434287
305,960304
244,635923
145,765840
65,267183
23,228963
6,102921
1,209688
0,216020
5
13
43
144
235
300
300
235
144
69
26
10
5,610079
17,838611
55,114633
124,890001
224,725546
303,434287
305,960304
244,635923
145,765840
65,267183
23,228963
7,528630
0,066344
1,312443
2,662893
2,924110
0,469748
0,038869
0,116111
0,379548
0,021392
0,213490
0,330563
0,811259
Qui-quadrado=
9,346770
1524
0,4059
k) Estime os parâmetros da distribuição de X a partir da recta de Henry.
__________________________________________________________________________________________
2
__________________________________________________________________________________________
3
l) Suponha que apenas tinha uma amostra de 20 valores da mesma população:
2445
2480
2508
2530
2560
2472
2555
2465
2500
2512
2530
2525
2460
2520
2465
2505
2490
2540
2520
2490
Para testar a normalidade da distribuição aplicou-se o teste de Kolmogorov-Smirnov.
Reflicta sobre como se obtiveram as tabelas (a) e (b) e conclua.
(a)
xi
ni
2445
2460
2465
2472
2480
2490
2500
2505
2508
2512
2520
2525
2530
2540
2555
2560
S(x)
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
0,05
0,10
0,20
0,25
0,30
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,70
0,75
0,85
0,90
0,95
1,00
F(x)
0,0013
0,0135
0,0257
0,0572
0,1235
0,2638
0,4581
0,5627
0,6239
0,7007
0,8283
0,8870
0,9297
0,9772
0,9974
0,9989
20
D-
D+
0,0013
0,0365
0,0743
0,1428
0,1265
0,0362
0,0581
0,1127
0,1239
0,1507
0,2283
0,1870
0,1797
0,1272
0,0974
0,0489
0,0487
0,0865
0,1743
0,1928
0,1765
0,1362
0,0081
0,0627
0,0739
0,1007
0,1283
0,1370
0,0797
0,0772
0,0474
0,0011
0,2283
0,1928
D-
D+
(b)
xi
2445
2460
2465
2472
2480
2490
2500
2505
2508
2512
2520
2525
2530
2540
2555
2560
ni
S(x)
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
20
0,05
0,10
0,20
0,25
0,30
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,70
0,75
0,85
0,90
0,95
1,00
F(x)
0,0350
0,0889
0,1164
0,1643
0,2328
0,3371
0,4557
0,5173
0,5541
0,6024
0,6939
0,7459
0,7928
0,8697
0,9440
0,9594
0,0350
0,0389
0,0164
0,0357
0,0172
0,0371
0,0557
0,0673
0,0541
0,0524
0,0939
0,0459
0,0428
0,0197
0,0440
0,0094
0,0150
0,0111
0,0836
0,0857
0,0672
0,0629
0,0057
0,0173
0,0041
0,0024
0,0061
0,0041
0,0572
0,0303
0,0060
0,0406
0,0939
0,0857
__________________________________________________________________________________________
4
2. Relativamente aos dados do exercício anterior:
a) Calcule a probabilidade do diâmetro médio de uma amostra de 4 fichas ser inferior a
2516.
b) Calcule a probabilidade do diâmetro médio ser inferior a 2516, considerando agora
uma amostra de 9 fichas.
c) Obtenha intervalos de confiança a 95%, 95.44%, 99.73% e 99.8 % para o diâmetro
médio das fichas, considerando amostras de tamanhos 4 e 9.
d) Obtenha intervalos de confiança a 95% e 99% para a amplitude do diâmetro das
fichas, considerando amostras de tamanhos 4 e 9.
e) Obtenha os intervalos de confiança pedidos na alínea anterior, considerando a
distribuição das amplitude aproximadamente normal. Que conclui?
f) Comente a proposição: “A probabilidade da amplitude de uma amostra de 9 fichas ser
superior a 95 microns é inferior a 0.05.”.
3. Suponha que, para controlar o valor médio de uma determinada grandeza num
processo produtivo, usa uma carta de controlo para a média.
a) Diga como na fase inicial do processo pode estimar a respectiva média.
b) Calcule, em termos genéricos, os limites de controlo e de aviso da respectiva carta.
c) Comente a proposição: “Como a média de uma amostra é menor que o limite superior
de controlo, então o desvio padrão do processo mantém-se.”.
d) Calcule a probabilidade de ter:
i) Um valor da média de uma amostra entre os limites de aviso e de controlo.
ii) Dois valores consecutivos entre aqueles limites.
iii) Um valor acima do LSC e a seguir um valor entre os limites superiores de
aviso e de controlo.
iv) Em três amostras consecutivas ter 2 médias entre os limites de aviso e de
controlo de um só lado da linha central.
v) Em 5 amostras consecutivas ter 4 médias de um dos lados dos limites situados
a um desvio padrão da linha central.
vi) Oito médias consecutivas acima da linha central.
__________________________________________________________________________________________
1
e) Suponha que o desvio padrão do processo produtivo duplicou. Calcule, para amostras
de tamanhos 4 e 9, as probabilidades das respectivas médias estarem fora dos limites
de controlo. Que comentários lhe merecem os resultados obtidos?
f) Resolva a alínea anterior, supondo que tinha ocorrido uma alteração da média de
magnitude λ=1.
4. As figuras (a)-(e) descrevem o comportamento da distribuição de uma dada
característica da qualidade ao longo do tempo. Diga, justificando, quais as cartas de
médias e amplitudes, representadas nas figuras 1-5, que correspondem a cada um.
5. A
p
a
r
t
i
r
d
e
u
m
d
e
t
e
r
m
i
__________________________________________________________________________________________
2
nado processo de produção de fontes de alimentação retiraram-se 20 amostras de
dimensão 5, sendo medida a tensão de saída de cada fonte analisada. No quadro
seguinte apresentam-se as médias e as amplitudes obtidas.
Nº amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Média
104
105
104
106
102
105
106
104
105
103
102
105
104
105
106
102
105
103
103
102
2081
Amplitude
2
11
4
3
7
2
4
3
4
2
3
4
5
3
5
2
4
2
4
5
79
a) Calcule as linhas centrais e os limites de
controlo apropriados para controlar a futura
produção.
b) Assumindo que a tensão de saída segue uma
distribuição normal, estime o desvio padrão do
processo.
c) Obtenha os limites de tolerância natural do
processo.
d) Estime
a
percentagem
de
produtos
não
conformes, caso as especificações tenham sido
fixadas em 103±4.
e) Como poderia reduzir a percentagem de fontes
que não estão de acordo com as especificações?
6. Suponha que na fase inicial de um processo produtivo se utilizaram 30 amostras de
dimensão 5, sendo a média das médias e a média das amplitudes iguais a 101.5 cm e
12.5 cm, respectivamente.
a) Deduza as expressões e calcule os limites de controlo das cartas das médias e das
amplitudes.
b) Suponha que pretendia testar a hipótese de, nessa fase inicial, a produção ser normal,
com média 100 cm e desvio padrão 5 cm. Que poderia concluir, usando o teste do quiquadrado, sabendo que 30% dos valores são inferiores a 100 cm e 60% iguais ou
maiores que 100 cm e inferiores ao limite superior de aviso?
c) Admita agora que, após correcções e ajustamentos feitos no processo produtivo, a
média passou a ser 100 cm e o desvio padrão 5 cm.
i) Calcule os novos limites de controlo das cartas das médias e das amplitudes,
continuando a considerar n=5.
__________________________________________________________________________________________
3
ii) Mantendo-se o processo sob controlo, calcule a probabilidade de obter em 4
médias consecutivas:
1. A primeira amostra entre o limite superior de aviso e o limite superior
de controlo.
2. As 3 primeiras amostras acima da linha central.
3. Três de entre elas estarem do mesmo lado da linha central.
iii) Calcule o número médio de amostras a analisar até obter um falso alarme.
d) Que comentários lhe merecem as seguintes seqüências de médias amostrais:
i) 117.0, 99.9, 100.2, 106.5, 107.9, 112.0, 109.9.
ii) 97.5, 93.5, 108.5, 93.8.
e) Suponha agora que o processo produtivo, devido a uma causa assinalável, sofreu uma
alteração na média, passando esta a ser igual a 110 cm, mantendo-se o desvio padrão.
i) Calcule o número médio de amostras até detectar essa alteração através da
carta das médias.
ii) Calcule a probabilidade da alteração ser detectada apenas na 3ª amostra
analisada após esta ter ocorrido.
iii) Calcule a probabilidade da alteração ser detectada nas primeiras 4 amostras
analisadas após esta ter ocorrido.
iv) Refaça as sub-alíneas anteriores, considerando amostras de tamanho 9.
f) Esboce as curvas de eficácia da carta de médias, considerando amostras de dimensão 5
e 9.
g) Considere agora que a média se mantém, mas que o desvio padrão aumenta para 7.5
cm.
i) Qual o número médio de amostras até ter um ponto fora dos limites de controlo
da carta das médias?
ii) Admitindo que retira as amostras de duas em duas horas e que o custo de mau
funcionamento por hora é igual a 100, determine um limite inferior para o
custo médio de mau funcionamento quando utiliza apenas uma carta de
controlo para a média.
iii) No contexto descrito na subalínea anterior, obtenha um limite superior
aproximado para o custo médio de mau funcionamento se utilizar as duas
__________________________________________________________________________________________
4
cartas (médias e amplitudes) simultaneamente. Que comentários lhe merecem
os resultados obtidos?
h) Que comentários lhe merecem as seguintes sequências de amplitudes:
i) 1.5, 2.0, 1.8, 1.0.
ii) 18.8, 9.0, 16.0, 18.9, 10.0, 18.0, 18.3.
7. Suponha que, para controlar uma determinada característica, usa amostras de
dimensão 4 e simultaneamente uma carta de controlo para a média e uma carta de
controlo para o desvio padrão, cujos limites e linhas centrais são dados por:
Carta X
Carta S
LSC
710
18.080
C
700
7.979
LIC
690
0
Admita, ainda, que o processo está sob controlo estatístico e que a característica da
qualidade segue uma distribuição normal.
a) Estime a média e o desvio padrão do processo.
b) Caso pretendesse usar uma carta para amplitudes em vez da carta para o desvio
padrão, quais seriam a linha central e os limites de controlo desta?
c) Sabendo que as especificações foram colocadas em 705±15, que conclusões pode tirar
relativamente à capacidade do processo produzir itens dentro das especificações?
d) Calcule a probabilidade de ocorrer um falso alarme na carta de controlo para a média.
e) Admita que a média do processo se alterou para 698 e que o desvio padrão
simultaneamente se alterou para 12. Determine o número médio de amostras
necessárias para detectar esta alteração quando usa apenas a carta de médias.
f) Calcule a probabilidade da alteração anterior não ser detectada pela carta de controlo
para a média nas duas primeiras amostras analisadas após esta ter ocorrido.
8. Num determinado processo são retiradas periodicamente amostras de 8 elementos,
sendo medida uma certa característica da qualidade do produto e calculada a média e a
amplitude de cada amostra. Após a observação de 50 amostras, obteve-se
__________________________________________________________________________________________
5
50
∑x
i =1
i
= 2000
e
50
∑R
i
= 250 .
i=1
a) Esboce as cartas de controlo para a média e para a amplitude.
b) Admitindo que todas as amostras estão dentro dos limites, quais são os limites de
tolerância natural do processo?
c) Com base num intervalo de confiança para a amplitude, comente a proposição: “O
erro de 1ª espécie associado à carta das amplitudes é inferior a 1 em 100.”.
d) Caso as especificações tenham sido fixadas em 41±5, que conclusões se podem tirar
relativamente à capacidade do processo produzir elementos dentro dessas
especificações? E se a média pudesse ser ajustada para 41?
e) Admita que os produtos cuja característica da qualidade está acima do limite superior
de especificação podem ser aproveitados, enquanto que aqueles cuja característica
analisada se encontra abaixo do limite inferior de especificação são considerados
sucata. Calcule a percentagem de produtos que são considerados sucata.
f) Caso a média do processo pudesse ser ajustada para µ=41, qual seria o efeito na
percentagem de produtos que seriam considerados sucata? E na percentagem de
produtos que, embora fora das especificações, podiam ainda ser aproveitados?
9. Os dados seguintes correspondem a 15 leituras da viscosidade de uma determinada
tinta utilizada para a pintura de aviões, cada uma correspondente a um lote.
Lote
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Viscosidade
3375
3305
3400
3381
3346
3402
3368
3327
3349
3320
3362
3300
3354
3312
3384
a) Estabeleça as cartas de controlo para a amplitude móvel
e para as medições individuais da viscosidade. Que
pode concluir relativamente ao estado do processo?
b) Estime a média e o desvio padrão do processo.
c) Admita que 10 novos lotes foram observados, tendo-se
obtido os seguintes valores para a viscosidade: 3350;
3325; 3340; 3327; 3465; 3450; 3470; 3429; 3449;
3503. Retire as conclusões que entender convenientes.
__________________________________________________________________________________________
6
Soluções dos Exercícios da Folha 2 (Controlo por Variáveis)
2.
a) P ( X4 < 2516 ) = 0.9292
b) P ( X9 < 2516 ) = 0.9854
c) n=4
n=9
i.c. para X a 95% (2483.4, 2520.6)

i.c. para X a 95.44% (2483.0, 2521.0)

i.c. para X a 99.73% (2473.5, 2530.5)
i.c. para X a 99.8% (2472.6, 2531.4)

d) n=4
i.c. para X a 95% (2489.6, 2514.4)

i.c. para X a 95.44% (2489.3, 2514.7)

i.c. para X a 99.73% (2483.0, 2521.0)
i.c. para X a 99.8% (2482.4, 2521.6)

n=9
i.c. para R a 95% (11.21, 75.62)

i.c. para R a 99% (6.46, 89.11)
e) n=4
i.c. para R a 95% (29.45, 89.30)

i.c. para R a 99% (22.99, 101.46)
n=9
i.c. para R a 95% (6.35, 71.89)

i.c. para R a 99% (0.00, 82.18)
i.c. para R a 95% (26.34, 86.52)

i.c. para R a 99% (16.90, 95.96)
e′ verdadeira.
f) P (R > 95 ) < P ( W > 4.70 ) = 0.025, pelo que a proposiçao
3.
d) i) 0.0429 ii) 0.0018 iii) 0.00003 iv) 0.00135 v) 0.0027
vi) 0.0039
e) 0.1336
f) n= 4 0.1587; n=9 0.5
4.
(a) – 2; (b) – 4; (c) – 5; (d) – 1; (e) – 3
5.
LSC X = 106.06

a) µˆ = X = 104.00
LIC = 101.94
X

LSCR = 7.57

µˆ R = R = 3.58
LIC = 0
R

b) σˆ = 1.539
c) LNTS= 108.62
LNTI = 99.38
__________________________________________________________________________________________
1
d) p̂ = 0.0262 (26185 ppm)
6.
LSC X = 108.71

a) µˆ = X = 101.50
LIC = 94.29
X

LSCR = 26.43

µˆ R = R = 12.50
LIC = 0
R

b) Como χ2=4.8> χ1;2 0.95 = 3.84 , podemos concluir, ao nível de 5%, que a produção não é
normal com média 100 e desvio padrão 5.
LSC X = 106.71

c) i) 
µˆ = 100.00
LIC = 93.29
X

ii) 1.) 0.0215
LSCR = 24.59

 µˆ R = 11.63
LIC = 0
R

2.) 0.1250 3.) 0.5000
e) i) 1.08 ii) 0.0047 iii) 0.999975 iv) 1.00; 1.8×10-6; 1
g) i) 21.93 ii) 4186 iii) 1124
7.
a) µˆ = 700; σˆ = 8.661
LSCR = 40.696

b)  µR = 17.832
LIC = 0
X

c) p̂ = 0.1355 (135500 ppm); CPk=0.38
d) α=0.0208
e) 8.73
f) 0.7839
8.
LSC X = 41.86

µˆ = 40.00
a) 
LIC = 38.14
X

LSCR = 9.32

 R = 5.00
LIC = 0.68
R

b) LNTS= 45.27
LNTI=34.73
__________________________________________________________________________________________
2
c) i.c. para R a 99% (1.90, 9.24) - Proposição Verdadeira
d) p̂ = 0.01164 (11640 ppm) ; ĈPk = 0.76 ; ĈP = 0.95 (4400 ppm)
e) p̂L = 0.0113 (1.13%)
f) pˆ U = 0.0022 = pˆ L (0.22%)
9.
LSC X = 3480.17

a) 
µˆ = 3352.33
LIC = 3224.48
X

LSCMR = 157.12

 MR = 48.07
LIC = 0
MR

b) µˆ = 3352.33; σˆ = 42.62
__________________________________________________________________________________________
3
10. Considere uma carta de controlo para a proporção de elementos defeituosos de numa
determinada produção, com limite inferior de controlo nulo, limite superior de
controlo igual a 0.1951 e linha central igual a 0.08.
a) Obtenha os limites de controlo e a linha central da carta de controlo equivalente para
o número de elementos defeituosos.
b) Utilize a aproximação mais adequada para calcular o erro de 1ª espécie associado.
c) Calcule o erro de 2ª espécie se a percentagem de elementos defeituosos, devido ao
aparecimento de uma causa assinalável, se alterar para 20%.
d) Relativamente à alteração referida na alínea anterior:
i. Calcule o número médio de amostras a analisar até a detectar.
ii. Calcule a probabilidade de ser detectada apenas na 3ª amostra extraída após o
aparecimento da causa assinalável.
iii. Calcule a probabilidade de ser detectada nas duas primeiras amostras extraídas
após o aparecimento da causa assinalável.
e) Esboce a curva de eficácia da carta de controlo.
f) Se pretender detectar uma alteração da proporção para 0.15 em pelo menos 50% dos
casos, qual o tamanho da amostra que deveria utilizar? E em pelo menos 90% dos
casos?
g) Caso fosse considerado importante ter um limite inferior de controlo positivo, que
dimensão amostral deveria ser utilizada?
11. Após se inspeccionarem 20 amostras de 100 interruptores cada, registou-se no quadro
seguinte o número de interruptores defeituosos em cada amostra.
Nº amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº elementos 7
defeituosos
Nº amostra
11
4
1
3
6
8
10
5
2
7
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Nº elementos 6
defeituosos
15
0
9
5
1
4
5
7
12
a) Obtenha uma carta p para controlar a futura produção de interruptores.
__________________________________________________________________________________________
1
b) Admita que nas cinco amostras seguintes obteve 5, 6, 4, 6 e 5 interruptores
defeituosos. Comente.
c) Sabendo que são inspeccionados 200 interruptores por dia, determine a probabilidade
de detectar uma alteração da proporção de defeitos para 0,10 no final do terceiro dia
após esta ter ocorrido.
d) Que alteração na proporção de interruptores defeituosos seria detectada após
inspeccionar em média 200 interruptores?
12. Num determinado processo são produzidas correias de borracha em lotes de 2500. Os
registos dos últimos 20 lotes produzidos são apresentados no quadro seguinte.
Nº lote
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº correias
defeituosas
230 435 221 346 230 327 285 311 342 308
Nº lote
11
Nº correias
defeituosas
456 394 285 331 198 414 131 269 221 407
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a) Calcule os limites provisórios de uma carta de controlo para a proporção de correias
defeituosas.
b) Se pretender uma carta para a produção futura, como utilizaria a informação anterior
para obter a linha central e os limites de controlo?
13. Na fase inicial de um processo produtivo obtiveram-se 140 defeitos em 25 amostras de
dimensão 100.
a) Esboce uma carta apropriada para analisar, nesta fase, a qualidade através do número
de elementos defeituosos.
b) Supondo que, após correcções e melhoramentos feitos no processo, a proporção de
peças defeituosas passou a ser igual a 5%, ajuste a carta de controlo para a futura
produção.
c) Determine o erro de 1ª espécie associado a esta carta.
d) Relativamente à dimensão das amostras, que aconteceria se considerasse 80 peças?
__________________________________________________________________________________________
2
e) Se a percentagem de peças defeituosas se alterar para 17%, determine o número
médio de peças a analisar até se questionar sobre a alteração, caso utilize amostras
de dimensão 100 e caso utilize amostras de dimensão 80. Comente.
14. No quadro seguinte estão registados o número de defeitos por 1000 metros de cabo
telefónico em 20 unidades inspeccionadas.
Unidade
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº defeitos
1
1
3
7
8
10
5
13
0
19
Unidade
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Nº defeitos
24
6
9
11
15
8
3
6
7
4
a) Determine uma carta de controlo apropriada para a futura produção.
b) Admita que se considera uma nova unidade de 2500 m de cabo.
i. Obtenha a linha central e os limites de controlo da carta adequada para controlar
a futura produção baseada no número total de defeitos na nova unidade.
ii. Se pretender controlar o número médio de defeitos por cada metro de cabo, quais
deverão ser os limites de controlo e a linha central da carta apropriada?
15. Suponha que, na produção de um determinado tipo de unidades de tecido (calças, por
exemplo), o número médio de defeitos por unidade é igual a 9.
a) Calcule a probabilidade de uma dessas unidades ter pelo menos dois defeitos.
b) Calcule a probabilidade de uma dessas unidades ter no máximo um defeito.
c) Calcule a probabilidade de em 500 unidades haver pelo menos metade delas com
pelo menos 10 defeitos cada uma.
d) Obtenha uma carta de controlo apropriada para este caso.
e) Admita que o número de defeitos por unidade passou a ser igual a 12 (por exemplo,
devido a alteração de matérias-primas).
i. Calcule a probabilidade, através de uma unidade inspeccionada, de não detectar
a alteração.
ii. Calcule o número médio de unidades de tecido a inspeccionar até poder concluir
que a qualidade piorou.
__________________________________________________________________________________________
3
iii. Que distribuições de probabilidade considerou nas duas questões anteriores?
Justifique.
f) Esboce a curva de eficácia para esta carta de controlo
16.
Suponha que em 20 rolos de papel se observaram 320 pequenos defeitos.
a) Determine os limites de controlo e a linha central de uma carta de controlo apropriada.
b) Comente a afirmação: “A carta de controlo que obteve na alínea anterior pode ser
utilizada na futura produção de rolos de papel.”.
c) Se num rolo de papel encontrar 23 pequenos defeitos, que considerações poderia
fazer?
d) No seguimento da alínea anterior, admita que na inspecção de mais 5 rolos de papel se
registaram 25, 26, 28, 18, 12 pequenos defeitos, respectivamente. Que considerações
poderia fazer?
e) Melhoramentos introduzidos no processo permitiram reduzir para 10 o número de
pequenos defeitos por rolo.
i. Quantos rolos necessitam ser inspeccionados em média até se poder questionar
sobre a melhoria da qualidade?
ii. Admita que apenas rejeita uma determinada qualidade caso dois pontos
consecutivos estejam fora dos limites de controlo. Neste contexto, calcule o
número médio de rolos a analisar até se questionar sobre a alteração.
iii. Calcule o erro de 1ª espécie quando usa a regra de decisão referida na alínea
anterior. Que comentários lhe merecem os resultados obtidos?
17. Uma empresa de manutenção procura melhorar a eficiência do seu trabalho de
reparação através do controlo do número de pedidos de manutenção que necessitaram
de uma segunda chamada para completar a reparação. No quadro seguinte está
registada a informação referente a 15 semanas.
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Pedidos
200
250
250
250
200
200
150
150
150
150
100
100
100
200
200
6
8
9
7
3
4
2
1
0
2
1
0
1
4
5
Nova
Visita
Reflicta sobre o esquema de controlo adequado para esta situação.
__________________________________________________________________________________________
4
Soluções dos Exercícios da Folha 3 (Controlo por Atributos)
10.
LSC = 9.76 (9)

a) np = 4
LIC = 0

b) α ≅0.0081
c) β ≅0.4286
d) i) 1.75 ii) 0.1050 iii) 0.8163
f) n≥150; n≥345
g) n≥104
11.
LSC = 0.1213

a) p = 0.0537
LIC = 0

c) 0.0653
d) p=0.1263
12.
LSC = 0.1425

a) p = 0.1228
LIC = 0.1031

13.
LSC = 12.50 (12)

a) np = 5.6
LIC = 0

LSC = 11.54 (11)

b) np = 5
LIC = 0

c) α ≅0.0055 (α=0.0043)
LSC = 9.85 (9)

d) np = 4
; α ≅0.0081 (α=0.0065)
LIC = 0

__________________________________________________________________________________________
1
Soluções dos Exercícios da Folha 3 (Controlo por Atributos)
e) ARL= 1.06 para n=100; ARL=1.13 para n=80.
14.
LSC = 13.35 (13)

a) c = 6
LIC = 0

LSC = 26.62 (26)

b) i) nc = 15
LIC = 3.38 (4)

LSC = 0.0133

ii) u = 0.0060
LIC = 0

15.
a) 0.9988
b) 0.0012
c) 0.00135
LSC = 18

d) c = 9
LIC = 0

e) i) 0.9699 ii) 33.22
16.
LSC = 28

a) c = 16
LIC = 4

e) i) 97.09 ii) 9425.96 iii) α=5×10-6
__________________________________________________________________________________________
2
18. Na tabela seguinte apresentam-se os cálculos necessários para obter uma carta CUSUM
para a média com h=5 e k=0.5 e uma carta EWMA para a média com δ=0.1 e L=2.7, a
partir de 30 amostras. As primeiras 20 amostras foram extraídas de um processo com a
média µ=10 e desvio padrão σ=1, enquanto que as últimas 10 amostras foram extraídas de
um processo com média µ=11 e desvio padrão σ=1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
xi-(µ0+k)
xi
10,45
-0,05
9,63
-0,87
11,54
1,04
11,71
1,21
9,91
-0,59
8,84
-1,66
9,04
-1,46
11,30
0,80
9,89
-0,61
9,35
-1,15
9,59
-0,91
12,02
1,52
8,85
-1,65
10,34
-0,16
9,87
-0,63
10,24
-0,26
8,57
-1,93
11,13
0,63
10,10
-0,40
8,64
-1,86
11,01
0,51
10,45
-0,05
10,55
0,05
10,39
-0,11
10,79
0,29
11,16
0,66
12,32
1,82
11,08
0,58
11,50
1,00
12,26
1,76
C+
(µ0-k)-xi
0,00
-0,95
0,00
-0,13
1,04
-2,04
2,25
-2,21
1,66
-0,41
0,00
0,66
0,00
0,46
0,80
-1,80
0,19
-0,39
0,00
0,15
0,00
-0,09
1,52
-2,52
0,00
0,65
0,00
-0,84
0,00
-0,37
0,00
-0,74
0,00
0,93
0,63
-1,63
0,23
-0,60
0,00
0,86
0,51
-1,51
0,46
-0,95
0,51
-1,05
0,40
-0,89
0,69
-1,29
1,35
-1,66
3,17
-2,82
3,75
-1,58
4,75
-2,00
6,51
-2,76
C0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,66
1,12
0,00
0,00
0,15
0,06
0,00
0,65
0,00
0,00
0,00
0,93
0,00
0,00
0,86
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
zi
10,05
10,00
10,16
10,31
10,27
10,13
10,02
10,15
10,12
10,05
10,00
10,20
10,07
10,09
10,07
10,09
9,94
10,06
10,06
9,92
10,12
10,09
10,12
10,26
10,40
10,43
10,40
10,67
10,90
11,02
LSC
10,27
10,36
10,42
10,47
10,50
10,52
10,54
10,56
10,57
10,58
10,59
10,59
10,60
10,60
10,61
10,61
10,61
10,61
10,61
10,61
10,62
10,62
10,62
10,62
10,62
10,62
10,62
10,62
10,62
10,62
LIC
9,73
9,64
9,58
9,53
9,50
9,48
9,46
9,44
9,43
9,42
9,41
9,41
9,40
9,40
9,39
9,39
9,39
9,39
9,39
9,39
9,38
9,38
9,38
9,38
9,38
9,38
9,38
9,38
9,38
9,38
a) Reflicta sobre o modo como se obtiveram os valores necessários à obtenção da carta
CUSUM.
b) Reflicta sobre o modo como se obtiveram os valores necessários à obtenção da carta
EWMA.
__________________________________________________________________________________________
1
c) Nas figuras seguintes estão representadas as respectivas cartas CUSUM e EWMA,
bem como a carta X.
i.
Identifique cada carta.
ii.
Que comentários lhe merecem a observação das referidas cartas?
7,0
5,0
3,0
1,0
-1,0
-3,0
-5,0
-7,0
14
12
10
8
6
4
0
5
10
15
20
25
30
5
10
0
5
10
15
20
25
30
11,5
11,0
10,5
10,0
9,5
9,0
8,5
0
15
20
25
30
19. Os dados seguintes representam observações individuais do peso molecular obtido de hora
a hora a partir de um processo químico.
1045
1055
1037
1064
1095
1008
1050
1087
1125
1146
1139
1169
1151
1128
1238
1125
1163
1188
1146
1167
Sabendo que µ0=1050 e que o desvio padrão do processo é igual a 25:
a) Obtenha uma carta CUSUM para a média deste processo com h=4 e k=0.5. Comente.
b) Obtenha uma carta EWMA para a média deste processo com δ=0.2 e L=3. Comente.
20. Aplique uma carta CUSUM tabular com h=8.01 e k=0.25 e uma carta EWMA com δ=0.2
e L=2.86 aos dados do exercício 9, admitindo que o valor médio da viscosidade a
controlar é µ0 = 3350. Retire as conclusões que entender convenientes.
__________________________________________________________________________________________
2
Soluções dos Exercícios da Folha 4 (Cartas CUSUM e EWMA )
19.
xi
xi-(µ0+kσ)
1045
-17,50
1055
-7,50
1037
-25,50
1064
1,50
1095
32,50
1008
-54,50
1050
-12,50
1087
24,50
1125
62,50
1146
83,50
1139
76,50
1169
106,50
1151
88,50
1128
65,50
1238
175,50
1125
62,50
1163
100,50
1188
125,50
1146
83,50
1167
104,50
20.
xi
3375
3305
3400
3381
3346
3402
3368
3327
3349
3320
3362
3300
3354
3312
3384
3350
3325
3340
3327
3465
3450
3470
3429
3449
3503
x i-(µ0+kσ)
14,35
-55,65
39,35
20,35
-14,65
41,35
7,35
-33,65
-11,65
-40,65
1,35
-60,65
-6,65
-48,65
23,35
-10,65
-35,65
-20,65
-33,65
104,35
89,35
109,35
68,35
88,35
142,35
C+
(µ0-kσ)-xi
0,00
-7,50
0,00
-17,50
0,00
0,50
1,50
-26,50
34,00
-57,50
0,00
29,50
0,00
-12,50
24,50
-49,50
87,00
-87,50
170,50
-108,50
247,00
-101,50
353,50
-131,50
442,00
-113,50
507,50
-90,50
683,00
-200,50
745,50
-87,50
846,00
-125,50
971,50
-150,50
1055,00
-108,50
1159,50
-129,50
C0,00
0,00
0,50
0,00
0,00
29,50
17,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
zi
1049,00
1050,20
1047,56
1050,85
1059,68
1049,34
1049,47
1056,98
1070,58
1085,67
1096,33
1110,87
1118,89
1120,71
1144,17
1140,34
1144,87
1153,50
1152,00
1155,00
LSC
1065,00
1069,21
1071,47
1072,81
1073,62
1074,13
1074,44
1074,65
1074,77
1074,86
1074,91
1074,94
1074,96
1074,98
1074,98
1074,99
1074,99
1075,00
1075,00
1075,00
LIC
1035,00
1030,79
1028,53
1027,19
1026,38
1025,87
1025,56
1025,35
1025,23
1025,14
1025,09
1025,06
1025,04
1025,02
1025,02
1025,01
1025,01
1025,00
1025,00
1025,00
C+
(µ0-kσ)-x i
14,35
-35,65
0,00
34,35
39,35
-60,65
59,69
-41,65
45,04
-6,65
86,39
-62,65
93,73
-28,65
60,08
12,35
48,42
-9,65
7,77
19,35
9,12
-22,65
0,00
39,35
0,00
-14,65
0,00
27,35
23,35
-44,65
12,69
-10,65
0,00
14,35
0,00
-0,65
0,00
12,35
104,35
-125,65
193,69
-110,65
303,04
-130,65
371,39
-89,65
459,73
-109,65
602,08
-163,65
C0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2,69
9,69
0,00
16,69
24,69
12,69
0,00
0,00
3,69
13,69
11,69
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
zi
3355,00
3345,00
3356,00
3361,00
3358,00
3366,80
3367,04
3359,03
3357,03
3349,62
3352,10
3341,68
3344,14
3337,71
3346,97
3347,58
3343,06
3342,45
3339,36
3364,49
3381,59
3399,27
3405,22
3413,97
3431,78
LSC
3374,38
3381,22
3384,90
3387,06
3388,38
3389,21
3389,72
3390,05
3390,26
3390,39
3390,48
3390,53
3390,56
3390,59
3390,60
3390,61
3390,62
3390,62
3390,62
3390,62
3390,62
3390,63
3390,63
3390,63
3390,63
LIC
3325,62
3318,78
3315,10
3312,94
3311,62
3310,79
3310,28
3309,95
3309,74
3309,61
3309,52
3309,47
3309,44
3309,41
3309,40
3309,39
3309,38
3309,38
3309,38
3309,38
3309,38
3309,37
3309,37
3309,37
3309,37
3440
800
3420
600
3400
400
3380
200
3360
3340
0
3320
-200
3300
-400
0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25
__________________________________________________________________________________________
1
Exercícios – Folha 5 (Controlo na Recepção)
21. Considere que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 5000 peças, e que
entre ambos foi acordado um nível de qualidade aceitável de 0,4%.
a) Com base no facto de, num determinado lote, o cliente ter encontrado 3 peças defeituosas
num plano de amostragem simples e controlo normal, que decisão tomaria no que concerne
à aceitação do referido lote? Justifique.
b) Admitindo que num lote existem 50 peças defeituosas, calcule o inerente risco do cliente.
c) Estando em controlo normal, passando o nível de qualidade para 2%, qual a probabilidade
de introduzir controlo reforçado?
d) Caso tenha adoptado um plano de amostragem simples e controlo normal, se em 9 lotes
consecutivos aceites o número total de elementos defeituosos fosse igual a 2, acha que o
tipo de controlo poderia vir a ser alterado no 10º lote?
e) Estabeleça regras de decisão apropriadas admitindo um plano de amostragem dupla e:
i) controlo normal;
ii) controlo reforçado;
iii) controlo reduzido.
f) Calcule a probabilidade de passar de um plano duplo e controlo reduzido para um plano
duplo e controlo normal.
g) Admita que utiliza um plano de amostragem dupla e controlo normal.
i) Calcule o número médio de peças a inspeccionar.
ii) Se no lote existirem 250 peças defeituosas, calcule o inerente risco do cliente.
22. Suponha que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 3000 peças e que,
entre ambos, foi acordado um nível de qualidade aceitável de 1%.
a) Estabeleça regras de decisão quanto à aceitação dos lotes considerando que usa um plano
de amostragem:
i) simples e controlo normal;
ii) simples e controlo reduzido;
iii) duplo e controlo normal.
b) Diga em que condições, neste contexto, passaria do plano i) para o plano ii) referidos na
alínea anterior.
__________________________________________________________________________________________
1
c) Admitindo que adopta um plano de amostragem simples e controlo normal e que num lote
existem 6 peças defeituosas, calcule o inerente risco do fornecedor.
d) Esboce a curva de eficácia do plano de amostragem simples e controlo reforçado.
23. Relativamente ao exercício anterior, suponha que adoptou um plano de amostragem dupla
e controlo normal.
a) Caso o cliente, nos primeiros 100 elementos inspeccionados de um determinado lote, tenha
encontrado 4 peças defeituosas, que decisão tomaria no que concerne à aceitação do lote?
Justifique.
b) Admita, agora, que a proporção de peças defeituosas em lotes consecutivos submetidos a
controlo é igual a 5%.
i) Calcule o inerente risco do cliente.
ii) Calcule a probabilidade de passar a controlo reforçado, explicitando, então, o respectivo
plano de amostragem.
24. Suponha que ao armazém de uma fábrica chegam lotes de 500 peças cada e que entre
cliente e fornecedor foi acordado um nível de qualidade aceitável de 1,5%, tendo sido
estabelecido um plano de amostragem simples e controlo reduzido.
a) Caso numa amostra extraída a proporção de peças defeituosas fosse igual a 1%, que
decisão tomaria?
b) Calcule a probabilidade de passar a controlo normal, sabendo que a proporção de peças
defeituosas num determinado lote é igual a 1,66%.
c) Admita que algum tempo depois teve de adoptar controlo reforçado. Caso a proporção de
peças defeituosas, num determinado lote, fosse igual a 10,3%, como justificaria, sem
efectuar cálculos, a afirmação: “ O risco do cliente é inferior a 10%.”
25. Considere que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 400 peças e que,
entre ambos, foi acordado um nível de qualidade aceitável de 2.5%.
a) Caso extraísse uma amostra de dimensão 40 e tivesse 5 peças defeituosas, que decisão
poderia tomar? Justifique convenientemente.
__________________________________________________________________________________________
2
b) Comente a proposição: “Caso se se extraísse uma amostra de dimensão 50 de um lote em
que a proporção de peças defeituosas fosse 2.7%, a probabilidade de ele ser aceite seria
inferior a 95%.”.
c) Caso passasse a um plano reduzido apropriado e obtivesse numa amostra de um lote duas
peças defeituosas, que pensaria e o que faria?
d) Suponha que a proporção de peças defeituosas em lotes consecutivos submetidos a controlo
é 12.9%.
i) Calcule a probabilidade de rejeitar um primeiro lote.
ii) Calcule a probabilidade de passar no máximo, ao fim de 3 lotes, a controlo reforçado,
explicitando, então, o respectivo plano de amostragem.
26. O limite de elasticidade mínima de um certo material é fixado em 58000 psi. Um lote de
500 elementos é submetido a controlo adoptando-se um nível de qualidade aceitável igual
a 1,5%. Sabe-se, ainda, que σ=3000.
a) Estabeleça um plano de amostragem apropriado.
b) Considerando que numa amostra se obtiveram os valores 62500, 60500, 68000, 59000,
65500, 62000, 61000, 69000, 58000 e 645000, que decidiria quanto à aceitação do lote?
c) Estime a percentagem de produtos defeituosos no lote.
27. No seguimento da alínea anterior, admita que também foi fixado um limite de elasticidade
máxima igual a 67000 psi.
a) Que decidiria, neste caso, quanto à aceitação do lote?
b) Caso fosse adoptado NQA (Ts)=1% e NQA (Ti)=2.5%, e numa amostra tivesse obtido os
valores 62500, 60500, 64000, 59000, 65500, 62000, 61000, 60631, 68000, 62000 e
63000, que decisão tomaria?
28. A densidade de uma peça plástica utilizada numa calculadora de bolso está fixada num
mínimo de 0.7 g/cm3. Um conjunto de 1000 peças é submetido a controlo, sendo adoptado
um nível de qualidade aceitável igual a 2.5%. Retirada uma amostra de dimensão
conveniente, obteve-se uma densidade média igual a 0.73 g/cm3 e um desvio padrão igual
a 0.0135 g/cm3.
a) Que decidiria quanto à aceitação das 1000 peças?
__________________________________________________________________________________________
3
b) Admita que foi especificado também um limite superior igual a 0.755 g/cm3.
i) Adoptando o mesmo nível de qualidade aceitável, qual seria a sua decisão?
ii) Supondo que para o limite superior foi adoptado um nível de qualidade aceitável igual a
1.5%, qual seria a sua decisão?
29. O número máximo especificado de rotações por unidade de tempo dum certo equipamento
está fixado em 54. Um conjunto de 100 equipamentos é submetido a controlo, sendo
adoptado um NQA=0.4%. Considerando que utiliza o método da amplitude e que numa
amostra obteve os valores 50, 52, 54, 51, 53, 48, 50, 52, 49 e 51:
a) Que decidiria quanto à aceitação do lote?
b) No caso de também ser especificado um número mínimo de rotações igual a 47, adoptando
aqui um nível de qualidade aceitável de 1%, qual seria a sua decisão?
c) Estime as percentagens de equipamentos defeituosos, considerando separadamente o caso
da alínea a) e da alínea b) anteriores.
30. A resistência mínima especificada de um determinado equipamento está fixada em 46.
Um conjunto de 80 unidades é submetido a controlo, sendo adoptado um NQA de 0.65%.
Considere que numa amostra obteve os valores 47, 50, 52, 50, 51, 47, 49, 51, 48 e 50.
a) Caso utilizasse o método da amplitude, que decidiria quanto à aceitação do lote?
b) Utilizando, ainda, o método da amplitude, admita, agora, que também tinha um limite
superior de especificação, igual a 53. Adoptando, relativamente a este limite, um NQA de
1%, qual seria a sua decisão?
c) Resolva as alíneas anteriores, caso utilizasse o método do desvio padrão.
__________________________________________________________________________________________
4
Soluções dos Exercícios da Folha 5 (Controlo na Recepção)
22.
a) i) n=125; A=3, R=4
ii) n=50; A=1; R=4
iii) n1=n2=80; A1=1 e R1=4; A2=4 e R2=5
b) Aceitar 10 lotes consecutivos e nº total de elementos defeituosos não excede 7 e aprovação
do cliente.
c) 0,013%.
23. a) Continuar a inspeccionar as restantes 60.
b) i) 13,6%
ii) 0,9985 atendendo a que P(rejeitar o lote | p=0,05)=0,8636.
Em controlo reforçado tem-se n1=n2=80; A1=0 e R1=3; A2=3 e R2=4
25. b) Falso
c) n=20; A=1; R=4 – aceitar o lote e passar a controlo normal
29. a) Qs=1,80; p̂s =2,19%; M=1,14% - Rejeitar o lote
b) Rejeitar o lote
ˆ
ˆ
c) p(a)
= 2,19%; p(b)
= 2, 21%
30. a) Qi=1,87; p̂i =1,65%; M=2,05% - Aceitar o lote
b) Qs=1,87; p̂s =1,65%; Ms=3,23% - Rejeitar o lote
c) s=1,72
i) Qi=2,03; p̂i =1,03%; M=2,17% - Aceitar o lote
ii) Qs=2,03; p̂s =1,03%; Ms=3,26% - Aceitar o lote
__________________________________________________________________________________________
1
Provas de Avaliação
1ª Frequência de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE
17 de Abril de 2004
Notas:
•
Justifique as respostas de uma forma sucinta.
•
Indique na primeira página o número de folhas de teste.
•
Duração: 2h30m
1. Indique um teste estatístico que pode utilizar para testar a normalidade de uma dada
distribuição de valores. Apresente os seus traços fundamentais.
2. Suponha que, numa dada estrada nacional, o número médio de multas, por semana, devido
a infracções várias, é igual a 25. Admita que recentemente foi efectuada uma campanha
publicitária e que, nas 5 semanas seguintes se registaram 26, 18, 12, 16 e 11 multas,
respectivamente. Utilizando uma carta de controlo apropriada, diga, justificando em
termos analíticos, se a campanha publicitária poderá ter provocado uma diminuição do
número médio de multas por semana.
3. Suponha que, na fase inicial de um processo produtivo, após a observação de 25 amostras
de dimensão 4, obteve os valores 10.50 e 2.06 para a média das médias das amostras e
para a média das amplitudes, respectivamente.
a) Obtenha, justificando analiticamente, limites de controlo para uma carta de médias e
para uma carta de amplitudes. Como procederia para poder controlar a futura
produção?
b) Caso o processo esteja sob controlo e as especificações tenham sido fixadas em 10±3,
que pode concluir acerca da capacidade do processo produzir elementos dentro destas
especificações?
4. Relativamente ao exercício anterior, admita que, após ajustamentos feitos ao processo
produtivo, a média passou a ser 10 e o desvio padrão 1. Admita, ainda, que as amostras
são retiradas de hora a hora.
a) Caso pretendesse substituir a carta de controlo para a amplitude por uma carta de
controlo para o desvio padrão, quais seriam a linha central e os limites de controlo
apropriados para essa carta?
b) Suponha agora que o processo produtivo, devido ao aparecimento de uma causa
assinalável, sofreu uma alteração na média, passando esta a ser igual a 8.5.
Considerando apenas a carta de médias:
i) Comente, sem efectuar cálculos, a proposição: “Em média necessitamos
inspeccionar menos de duas amostras até detectar a alteração.”
ii) Calcule a probabilidade de ter a alteração detectada antes de terem decorrido 3
horas após o aparecimento da causa assinalável.
iii) Caso a alteração da média tenha ocorrido 15 minutos depois de uma dada amostra
ter sido inspeccionada, determine o prejuízo esperado (em termos do número de
elementos defeituosos produzidos) que resulta deste procedimento de controlo.
5. Admita que para controlar a proporção de interruptores defeituosos, usa amostras de
dimensão 200 e uma carta de controlo com linha central igual a 0.04, limite superior de
controlo igual a 0.075 e limite inferior de controlo igual a 0.005.
a) Descreva, de uma forma sucinta, a fase inicial do controlo na qual foi obtida a
estimativa para a proporção de interruptores defeituosos.
b) Sabendo que a probabilidade de ter uma proporção inferior ou igual ao limite superior
de controlo é igual a 0.9970, determine o erro de 1ª espécie associado a esta carta.
c) Suponha que o aparecimento de uma causa assinalável provocou um aumento da
proporção de interruptores defeituosos para 10%. Determine o número médio de
amostras a inspeccionar até detectar a alteração.
6. Diga, justificando sucintamente, se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:
a) “Quando temos amostras de tamanhos variáveis o procedimento mais correcto é usar
cartas de controlo com limites variáveis.”
b) “As cartas de controlo CUSUM e EWMA dão o mesmo peso à informação contida nas
diferentes amostras.”
2ª Frequência de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE
5 de Junho de 2004
Notas:
•
•
Duração: 2h30m
1. Suponha que ao armazém de uma fábrica chegam lotes de 1000 peças cada.
a) Caso o cliente, usando amostragem simples e controlo normal, rejeitasse um dos lotes
com base no facto de ter encontrado na amostra respectiva 3 peças defeituosas, o que
pensaria então do NQA que teria sido acordado entre ele e o fornecedor?
b) Admita que foi acordado um NQA igual a 1% e que num determinado lote sujeito a
controlo existem 70 peças defeituosas. Comente a proposição: “O risco do cliente é
inferior a 10%.”.
c) Ainda considerando um NQA igual a 1%, suponha, agora, que adoptou um plano de
amostragem dupla e controlo reduzido e que a proporção de peças a inspeccionar em
lotes consecutivos submetidos a controlo é igual a 2%. Calcule a probabilidade de
passar a controlo normal no máximo ao fim de 3 lotes inspeccionados.
2. A resistência mínima especificada de um determinado equipamento está fixada em 46.
Um conjunto de 80 unidades é submetido a controlo, sendo adoptado um NQA de 0.65%.
Considere que numa amostra obteve os valores 47, 50, 52, 50, 51, 47, 49, 51, 48 e 50.
a) Caso utilizasse o método da amplitude, que decidiria quanto à aceitação do lote?
b) Utilizando, ainda, o método da amplitude, admita, agora, que também tinha um limite
superior de especificação, igual a 53. Adoptando, relativamente a este limite, um NQA
de 1%, qual seria a sua decisão?
3. Suponha que um sistema tem 3 componentes A, B e C, com tempos de vida Weibull,
estando A e B em série e estando C em paralelo em relação ao subsistema constituído por
A e B. Considere, ainda, que a distribuição do tempo de vida dos três componentes tem o
mesmo parâmetro de escala igual a 1000, o tempo médio de vida de cada componente em
série é igual a 1000 horas e que a distribuição do tempo de vida do componente C tem um
parâmetro de forma igual a 3.
a) Qual o tipo de taxa de risco do componente C? Explique o seu significado.
b) Justifique a afirmação:”O subsistema em série não envelhece nem rejuvenesce.”.
c) Calcule a probabilidade do sistema estar ainda operacional ao fim de 500 horas de
utilização.
4. Considere um sistema, sujeito a inspecções periódicas e perfeitas, com taxa de risco
constante e cuja fiabilidade para 5000 horas é igual a e −1 .
a) Com base numa aproximação para o tempo médio de detecção, obtenha uma solução
aproximada para o período de inspecção, com o objectivo de minimizar o custo total
médio por ciclo, explicitando as grandezas que achar apropriadas.
b) No seguimento da alínea anterior, sabendo que o custo de uma inspecção é igual a 10 e
que o custo por unidade de tempo de mau funcionamento é igual a 1000, calcule o
número médio de inspecções por ciclo. Deduza analiticamente a expressão que
utilizou.
5. Diga, justificando sucintamente, se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:
a) “Num método de amostragem adaptativo a amostragem pode ser periódica.”.
b) “A Inspecção rectificativa de lotes conduz a uma melhoria da qualidade dos lotes e a
uma redução do número médio de elementos inspeccionados.”
Cotação:
1a)1.5 1b)1.5 1c)2.0 2a)1.5 2b)1.5 3a)1.0 3b)1.5 3c)2.5 4a)2.5 4b)2.5
5a)1.0 5b)1.0
Exame de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE – 1ª Chamada
17 de Junho de 2004
Notas:
•
•
Duração: 3h
1. Suponha que, na fase inicial de um processo produtivo, a soma das média e das
amplitudes de 30 amostras, de dimensão 8, são iguais, respectivamente, a 900 e a 120.
a) Obtenha, justificando analiticamente, limites de controlo para uma carta de médias.
b) Caso o processo esteja sob controlo e as especificações tenham sido fixadas em
30 ± 5 , que comentários pode fazer relativamente à capacidade do processo produzir
elementos dentro dessas especificações?
c) Admita que a carta de controlo para a média obtida anteriormente é utilizada para
controlar a futura produção e que, como resultado do aparecimento de uma causa
assinalável, a média do processo diminuiu uma unidade de desvio padrão.
i) Calcule a probabilidade de necessitar analisar pelo menos 3 amostras até detectar a
alteração.
ii) Se pretender detectar a alteração anterior com uma probabilidade não inferior a
0.5, qual deveria ser a dimensão da sua amostra?
2. No controlo de qualidade por atributos, na fase inicial de um processo produtivo, diga, de
uma forma sucinta, como procede para estimar a proporção de elementos defeituosos.
3. Suponha que, na produção de um determinado tipo de unidades de tecido (calças, por
exemplo), o número médio de defeitos por unidade é igual a 9. Admita, ainda, que o
número médio de defeitos por unidade passou a ser igual a 12 (por exemplo, devido a
alteração de matérias-primas). Com base numa carta de controlo apropriada, calcule o
número médio de unidades de tecido a inspeccionar até poder concluir que a qualidade
piorou.
4. Suponha que, entre cliente e fornecedor, foi acordado um nível de qualidade aceitável de
0,25% e que os produtos são enviados em lotes de 20000 peças.
a) Estabeleça um plano de amostragem dupla e controlo normal.
b) Tendo passado a controlo reforçado, acha que, após a observação de 4 elementos
defeituosos obtidos a partir de amostras convenientes extraídas de 5 lotes
consecutivos, poderia passar a controlo normal? Justifique, apresentando um exemplo.
5. Suponha que um sistema tem 3 componentes A, B e C, com tempos de vida Weibull,
estando A e B em paralelo e estando C em série em relação ao subsistema constituído por
A e B. Considere, ainda, que a distribuição do tempo de vida dos três componentes tem o
mesmo parâmetro de escala igual a 1000, o tempo médio de vida do componente C é igual
a 1000 horas e que a distribuição do tempo de vida dos componentes A e B tem um
parâmetro de forma igual a 4.
a) Qual o tipo de taxa de risco do componente C? Explique o seu significado.
b) Calcule a probabilidade do sistema não estar operacional ao fim de 1000 horas de
utilização.
6. Considere um sistema sujeito a inspecções de hora a hora e cuja taxa de risco é constante e
igual a 0.001 horas. Admitindo que existe uma probabilidade igual a 0.2 de uma falha não
ser detectada através de uma inspecção, calcule um valor exacto e outro aproximado do
respectivo tempo médio de mau funcionamento.
7. Interprete geometricamente, justificando em termos analíticos, o tempo médio de vida de
um sistema com base na respectiva função de fiabilidade.
8. Comente a seguinte proposição: “Num método de amostragem com intervalos
predefinidos a amostragem não pode ser periódica.”.
Cotação:
1a)1.5
1b)1.5
7)1.5 8)1.0
1ci)2.0
1cii)1.5 2)1.0
3)2.0
4a)1.5 4b)1.5
5a)1.0
5b)2.0
6)2.0
Exame de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE – 2ª Chamada
25 de Junho de 2004
Notas:
•
•
Duração: 3h
1. Suponha que quer elaborar uma carta de controlo para a média e uma carta de controlo
para a amplitude para controlar uma dada característica da qualidade de média 100 e
desvio padrão 10, usando amostras de tamanho 9.
a) Obtenha, justificando analiticamente, os limites de controlo da carta de amplitudes.
b) Admita que, como resultado do aparecimento de uma causa assinalável, a média se
alterou para 105 e que o desvio padrão se alterou para 12. Considerando apenas a carta
de controlo para a média:
i) Calcule o número médio de amostras a analisar até detectar a alteração.
ii) Sabendo que o custo de mau funcionamento por hora é igual a 1000 e que utiliza
um período de amostragem igual a 2 horas, acha que 18000 é um valor possível
para o custo médio de mau funcionamento?
2. Comente a proposição: “Um processo centrado na média tem uma maior capacidade de
produzir elementos de acordo com as especificações do que um processo não centrado.”
3. Suponha que a percentagem de elementos defeituosos numa dada produção é igual a 10%
e que usa amostras de 50 elementos para a controlar. No caso dessa percentagem passar a
ser 15%, qual a probabilidade de encontrar 2 valores consecutivos entre os limites de
controlo de uma carta apropriada?
4. Pretendendo controlar o número de defeitos por unidade, diga, de uma forma sucinta,
como procede para estimar a linha central de uma carta de controlo apropriada.
5. Suponha que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 3000 peças e que,
entre ambos, foi acordado um nível de qualidade aceitável de 1%. Admita, ainda, que
adoptou um plano de amostragem dupla e controlo normal.
a) Caso o cliente, nos primeiros 100 elementos inspeccionados de um determinado lote,
tenha encontrado 4 peças defeituosas, que decisão tomaria? Justifique.
b) Calcule o número médio de elementos a inspeccionar.
6. A resistência especificada de um determinado equipamento está fixada num mínimo igual
a 450 e num máximo igual a 520. Sabe-se, ainda, que σ=19. Um conjunto de 100 unidades
é submetido a controlo, sendo adoptado um NQA de 1%. Caso, numa amostra apropriada,
tivesse obtido uma média igual a 490, qual seria a sua decisão no que concerne à aceitação
do lote?
7. Suponha que um sistema tem 4 componentes A, B, C e D, com tempos de vida
exponenciais, estando A e B em série, C e D também em série e estando o subsistema
constituído por C e D em paralelo em relação ao subsistema constituído por A e B.
Considere, ainda, que o tempo médio de vida de cada componente é igual a 10000 horas.
a) Obtenha a expressão da função de fiabilidade do sistema.
b) Sabendo que o sistema esteve operacional durante 20000 horas, calcule a
probabilidade do sistema não ter avarias num serviço de 10000 horas.
8. Para uma política periódica de inspecção, obtenha analiticamente, com base na função de
fiabilidade, a expressão do número médio de inspecções (perfeitas e imperfeitas).
9. Diga, em traços gerais, o que entende por método de amostragem adaptativo.
Cotação:
1a)1.0
1bi)2.0
8)2.0 9)1.0
1bii)1.5
2)1.5
3)2.5
4)1.0
5a)2.0
5b)1.5
6)1.5
7a)1.5
7b)1.0
Exame de Recurso CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE
8 de Julho de 2004
Notas:
•
•
Duração: 3h
1. No controlo de qualidade por variáveis, na fase inicial de um processo produtivo, diga, de
uma forma sucinta, como procede para estimar a média e o desvio padrão no caso de
utilizar uma carta de controlo para a média e outra para a amplitude.
2. Apresente, recorrendo a ilustrações, dois padrões não aleatórios que pode encontrar numa
carta de controlo para a média ou para a amplitude, indicando uma possível causa que
esteja eventualmente na origem de cada um.
3. Suponha que, na fase de normal funcionamento de um processo produtivo, controla uma
determinada característica da qualidade, com média 100 e desvio padrão 5.
a) No caso da média se alterar para 105, mantendo-se o desvio padrão, calcule o número
médio de amostras a analisar, com base na carta de médias e amostras de tamanho 4,
até detectar a alteração.
b) Considere que a fábrica estabeleceu dois limites de especificação para a produção
iguais a 90 e a 115. Elabore uma carta de controlo para a proporção de elementos
defeituosos, admitindo que utiliza amostras de 25 elementos.
4. Suponha que pretende controlar o número de pequenos defeitos em aparelhos de televisão
e que ao inspeccionar 15 conjuntos de 6 aparelhos cada encontrou 225 pequenos defeitos.
Admita, ainda, que rejeita a produção apenas quando dois valores consecutivos aparecem
fora dos limites de controlo.
a) Calcule o erro de 1ª espécie associado a uma carta de controlo adequada.
b) Se o número de pequenos defeitos passasse a ser 9, devido a uma melhoria da
qualidade na matéria-prima, calcule a probabilidade de poder questionar-se sobre a
alteração depois de ter inspeccionado, no máximo, 3 conjuntos.
5. Suponha que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 3000 peças.
a) Caso o cliente, usando amostragem simples e controlo reduzido, tivesse passado a
controlo normal com base no facto de num lote inspeccionado ter encontrado na
amostra respectiva 3 peças defeituosas, o que pensaria então do NQA que teria sido
acordado entre ele e o fornecedor?
b) Considerando que o NQA acordado foi 1%, admita que adoptou um plano de
amostragem dupla e controlo normal e que a proporção de peças defeituosas em lotes
consecutivos submetidos a controlo é igual a 5%. Calcule o inerente risco do cliente.
6. Suponha que um sistema tem 3 componentes A, B e C, com tempos de vida exponencial,
estando A em paralelo com o sub-sistema constituído por B e C que estão em série.
Sabendo que cada componente tem uma fiabilidade de 95% para 1000 horas e que o
sistema funciona sem avarias há 500 horas, calcule a probabilidade de ocorrer uma avaria
nas próximas 500 horas.
7. Considere um sistema sujeito a inspecções periódicas e perfeitas, sendo C1 o custo de cada
inspecção e C2 o custo por unidade de tempo de mau funcionamento.
a) Deduza uma solução aproximada para o período de inspecção que minimiza o custo
total médio por ciclo.
b) Sabendo que o sistema tem uma taxa de risco constante igual a 0.001, C1=1 e C2=100,
calcule um valor aproximado para o custo total médio de funcionamento do sistema
por unidade de tempo, quando utiliza para período de inspecção o valor obtido através
da fórmula deduzida na alínea anterior.
8. Em que se distinguem, no essencial, um procedimento de amostragem com intervalos
adaptativos e um procedimento de amostragem com intervalos predefinidos.
Cotação:
1)1.5 2)1.5 3a)2.0 3b)2.0 4a)1.5 4b)1.5 5a)1.5 5b)2.0 6)2.5 7a)1.5 7b)1.5 8)1.0
Resultados da Avaliação
Notas de Controlo de Qualidade e Fiabilidade (Finais)
Número
10551
10862
12552
12598
12604
12783
12816
13618
13628
13698
13890
14135
14500
14776
14936
14978
15112
15271
15341
15347
15654
15670
15752
15814
15839
15924
16091
16122
16201
16273
16298
16354
16378
16497
16671
16752
16763
17014
17558
Nome
Ana Filipa da Silva Ramos Estiveira
Sonia Andreia Nunes Lopes Rodrigues
Dina Maria Fernandes Saraiva Correia
Ana Isabel Godinho dos Santos
Elisabete Pires Custodio Bajanca
José João Sardinha Cabaceira
Cristina Isabel Félix Antunes
Carla Margarida da Rocha Martins
Vera Lúcia dos Santos Marques
Bruno Miguel Ferreira das Neves Barata
André Guia Martins
Pedro Manuel Quitério Marques Firmino
Filipa Alexandra Rijo Paixão
Sérgio Miguel Tomaz Torrinha
Nuno Miguel Costa Marcelo
Ana Isabel dos Santos Custódio
Ana Patrícia dos Reis Vigário
Andrea Sofia Miranda Eduardo
Vanda Isabel Faustino Mocho
Helena Isabel Martins de Oliveira
Nádia Figueiredo Agostinho
Marta Andreia Borges Castanheira
Silvia Marisa Santos Sousa
Elisabete Pereira da Silva
Sandra Cristina Lobato Ramos
Ana Maria Sousa Reforço Apolinario
Emanuel António Geraldes Duarte Matos
Rute Jacinta Curião Feiteira
Maria João Belchior Martins Vieira
Cláudia Marina da Cruz Antunes
Francisco Manuel Gomes Saias
Claudia Alexandra Santos da Silva
Ana Rita Gomes Frazao Carreira
Susana Isabel Condeço Nunes
Rita Mafalda Comenda da Silva Isidro
Janete Cristina Mendes Batista
Ana Rita Jeremias Carapinha
Catarina Liborio Ferreira
Carlos Miguel Andrade dos Santos
Curso 1ª Freq. 2ª freq
MA
MCC
MCC
MCC
MEN
MEN
10,0
13,2
MCC
MEN
12,2
11,5
MEN
12,6
16,7
MEN
7,5
MEN
12,4
14,2
MCC
D
MCC
MCC
7,5
MCC
6,5
MCC
D
MCC
4,4
MCC
MCC
MCC
8,1
16,9
MCC
7,5
D
MCC
9,1
10,4
MCC
8,9
MCC
5,8
MCC
5,3
MCC
D
MCC
6,3
MCC
7,5
MCC
3,4
MCC
9
MCC
14,1
13,7
MCC
9,8
13,3
MCC
5,0
MCC
D
MCC
5,6
MCC
10,2
MCC
4,1
MCC
4,7
MEN
Ex 1
8,0
8,3
11,5
11,8
Ex 2
Recurso Final
1,6
2
2,0
2
4,5
9,5
10
D
D
9,5
10
12
5,5
6
12
15
4,3
4
14
9,5
10
D
D
7,6
8
14,5
15
F
F
2,9
3,8
4
2,0
2
13
9,6
10
10
12
9,6
10
9,8
10
F
F
7,9
11,6
12
F
9,9
D
10
15,7
16
11,5
12
5,9
7,9
8
9,5
10
6,1
8,0
8
13,6
14
F
7,2
12,6
13
16,7
17
Frequencies
Statistics
Notas Finais
N
Valid
Missing
Mean
Median
Mode
Std. Deviation
Skewness
Std. Error of Skewness
Kurtosis
Std. Error of Kurtosis
Minimum
Maximum
Percentiles
31
0
10,0323
10,0000
10,00
4,07008
-,567
,421
-,206
,821
2,00
17,00
2,4000
8,0000
10,0000
13,0000
15,0000
10
25
50
75
90
Notas Finais
Valid
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,00
17,00
Total
Frequency
3
2
1
3
9
5
2
2
2
1
1
31
Percent
9,7
6,5
3,2
9,7
29,0
16,1
6,5
6,5
6,5
3,2
3,2
100,0
Valid Percent
9,7
6,5
3,2
9,7
29,0
16,1
6,5
6,5
6,5
3,2
3,2
100,0
Cumulative
Percent
9,7
16,1
19,4
29,0
58,1
74,2
80,6
87,1
93,5
96,8
100,0
Page 1
Notas Finais
10
8
6
Frequency
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Notas Finais
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
N=
31
Notas Finais
Page 2
Inquérito Anónimo
Realizado Aos Alunos
Proposta de Avaliação do Docente e da Disciplina
Controlo de Qualidade e Fiabilidade 2003/2004
Departamento de Matemática da Universidade de Évora
Caro aluno,
Com o objectivo de melhorar a forma e o conteúdo desta disciplina neste e nos próximos anos,
muito lhe agradecíamos se pudesse partilhar a sua opinião sobre o conteúdo e a docência desta
disciplina. Nos pontos que a seguir se seguem, avalie, por favor, o Docente e a Disciplina,
assinalando com uma cruz a sua opção. Use as seguintes categorias de resposta:
A – Muito Bom
B – Bom
C – Suficiente
D – Insuficiente
E – Muito insuficiente
A) Avaliação da disciplina
1. A adequação do número de horas lectivas desta disciplina é:
2. Na sua opinião, o acesso bibliografia recomendada nesta disciplina é:
3. A correspondência entre conhecimentos avaliados e matéria leccionada é:
4. A adequação dos recursos utilizados para a leccionação desta disciplina
5. Considera a sua assiduidade às aulas desta disciplina
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
E
E
E
E
E
______ A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
E
E
E
E
E
E
E
E
E
B) Avaliação do Docente
6. Preparação, organização e utilização do tempo de aula
7. Clareza com que o Docente expõe a matéria__
8. Empenho e entusiasmo mostrados no ensino ________
9. Aptidão para incentivar e para estimular o interesse dos Alunos
10. Disponibilidade do Docente para esclarecer dúvidas _
11. Respeito, tolerância e honestidade para com os Alunos
12. Assiduidade e pontualidade do Docente _
13. Transparência, lealdade e igualdade na avaliação dos Alunos
14. Classificação global do Docente ___
CRÍTICAS / COMENTÁRIOS / SUGESTÕES
A) Avaliação da Disciplina
Adequação do número de horas lectivas
Valid
Insuficiente
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Frequency
1
5
4
4
14
Percent
7,1
35,7
28,6
28,6
100,0
Valid Percent
7,1
35,7
28,6
28,6
100,0
Cumulative
Percent
7,1
42,9
71,4
100,0
40
30
20
Percent
10
0
Insuficiente
Suficiente
Bom
Muito Bom
Adequação do número de horas lectivas
Acesso à bibliografia recomendada
Insuficiente
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Percent
28,6
28,6
21,4
21,4
100,0
Valid Percent
28,6
28,6
21,4
21,4
100,0
30
20
10
Percent
Valid
Frequency
4
4
3
3
14
0
Insuficiente
Suficiente
Acesso à bibliografia recomendada
Bom
Muito Bom
Cumulative
Percent
28,6
57,1
78,6
100,0
Correspondência entre conhecimentos avaliados e matéria leccionada
Valid
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Frequency
3
7
4
14
Percent
21,4
50,0
28,6
100,0
Valid Percent
21,4
50,0
28,6
100,0
Cumulative
Percent
21,4
71,4
100,0
60
50
40
30
20
Percent
10
0
Suficiente
Bom
Muito Bom
Adequação dos recursos utilizados para leccionação
Missing
Total
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
System
Percent
35,7
28,6
28,6
92,9
7,1
100,0
Valid Percent
38,5
30,8
30,8
100,0
40
30
20
10
Percent
Valid
Frequency
5
4
4
13
1
14
0
Suficiente
Bom
Muito Bom
Cumulative
Percent
38,5
69,2
100,0
Assiduidade do Aluno
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Percent
21,4
28,6
50,0
100,0
Valid Percent
21,4
28,6
50,0
100,0
60
50
40
30
20
10
Percent
Valid
Frequency
3
4
7
14
0
Suficiente
Bom
Muito Bom
Cumulative
Percent
21,4
50,0
100,0
B) Avaliação do Docente
Preparação, organização e utilização do tempo de aula
Valid
Frequency
1
1
5
7
14
Muito Insuficiente
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Percent
7,1
7,1
35,7
50,0
100,0
Valid Percent
7,1
7,1
35,7
50,0
100,0
Cumulative
Percent
7,1
14,3
50,0
100,0
60
50
40
30
Percent
20
10
0
Muito Insuficiente
Bom
Suficiente
Muito Bom
Clareza de exposição
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Percent
21,4
50,0
28,6
100,0
Valid Percent
21,4
50,0
28,6
100,0
60
50
40
30
20
10
Percent
Valid
Frequency
3
7
4
14
0
Suficiente
Bom
Muito Bom
Cumulative
Percent
21,4
71,4
100,0
Empenho e entusiasmo no ensino
Valid
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Frequency
1
2
11
14
Percent
7,1
14,3
78,6
100,0
Valid Percent
7,1
14,3
78,6
100,0
Cumulative
Percent
7,1
21,4
100,0
100
80
60
40
Percent
20
0
Suficiente
Bom
Muito Bom
Aptidão para incentivar e estimular o interesse dos Alunos
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Percent
7,1
42,9
50,0
100,0
Suficiente
Bom
Valid Percent
7,1
42,9
50,0
100,0
60
50
40
30
20
Percent
Valid
Frequency
1
6
7
14
10
0
Muito Bom
Cumulative
Percent
7,1
50,0
100,0
Disponibilidade para esclarecer dúvidas
Valid
Bom
Muito Bom
Total
Frequency
4
10
14
Percent
28,6
71,4
100,0
Valid Percent
28,6
71,4
100,0
Cumulative
Percent
28,6
100,0
80
60
40
Percent
20
0
Bom
Muito Bom
Respeito, tolerância e honestidade para com os alunos
Bom
Muito Bom
Total
Percent
21,4
78,6
100,0
Valid Percent
21,4
78,6
100,0
100
80
60
40
20
Percent
Valid
Frequency
3
11
14
0
Bom
Muito Bom
Cumulative
Percent
21,4
100,0
Assiduidade e pontualidade
Valid
Bom
Muito Bom
Total
Frequency
5
9
14
Percent
35,7
64,3
100,0
Valid Percent
35,7
64,3
100,0
Cumulative
Percent
35,7
100,0
70
60
50
40
30
Percent
20
10
0
Bom
Muito Bom
Transparência, lealdade e igualdade na avaliação dos Alunos
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Percent
7,1
42,9
50,0
100,0
Valid Percent
7,1
42,9
50,0
100,0
60
50
40
30
20
10
Percent
Valid
Frequency
1
6
7
14
0
Suficiente
Bom
Muito Bom
Cumulative
Percent
7,1
50,0
100,0
Clasificação global do Docente
Suficiente
Bom
Muito Bom
Total
Percent
7,1
28,6
64,3
100,0
Valid Percent
7,1
28,6
64,3
100,0
70
60
50
40
30
20
Percent
Valid
Frequency
1
4
9
14
10
0
Suficiente
Bom
Muito Bom
Cumulative
Percent
7,1
35,7
100,0