Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em Econometria
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Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em Econometria
Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em Econometria Marcelo C. Medeiros Departamento de Economia Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 2 Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso O Modelo Estrutural Seja zt = (z1t , . . . , zmt )0 ∈ Rm um vetor composto das variáveis de interesse. Considere o seguinte modelo “estrutural”: Bzt = A0 + A1 zt−1 + . . . + Ap zt−p + ut , Bzt = A0 + A(L)zt + ut , onde: B ∼ (m × m), A0 ∼ (m × 1), A1 ∼ (m × m), . . . , Ap ∼ (m × m) são parâmetros; ut = (u1,t , . . . , um,t )0 é um vetor composto pelos choques (efeitos não-antecipados) estruturais e A(L) = A1 L + A2 L2 + · · · + Ap Lp ; L é o operador defasagem. Em geral, os elementos da diagonal principal de B são todos iguais a 1. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Operador Defasagem Definição Seja {yt } um processo estocástico. Defina o operador defasagem L tal que: Lyt = yt−1 Lj yt = yt−j ∀ j ∈ N. Se |α| < 1, então: (1 − αL)−1 = 1 + αL + α2 L2 + . . . Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Operador Diferença Definição Seja {yt } um processo estocástico. Defina o operador diferença ∆ tal que: ∆yt = (1 − L)yt = yt − yt−1 ∆j yt = (1 − L)j yt ∀ j ∈ N+ ∆j yt = 1 − Lj yt = yt − yt−j . Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso O Modelo Estrutural - Hipóteses Algumas hipóteses importantes: Seja Ft−1 o conjunto de toda a informação disponı́vel até o instante t − 1. E[ut |Ft−1 ] = 0 ⇒ ut é um processo diferença martingal. E[ut u0t |Ft−1 ] = Σu , onde Σu é uma matriz de covariância diagonal ⇒ Toda simultaneidade está modelada via B. Na verdade, os parâmetros B, A0 , A1 , . . . , Ap são “pseudo”-estruturais, dado que eles são funções dos parâmetros primitivos (deep) da economia (ver o exemplo de otimização intertemporal da Aula 1). Atenção Note que, devido à presença de simultaneidade, E[uit |zjt ] 6= 0, ∀ i 6= j e i = 1, . . . , m. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Processos Martingais Considere a seguinte sequência de σ-álgebras {Ft , t = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} de forma a representar o conjunto de informação até o instante t. Suponha também a seguinte ordenação: . . . , Ft−2 ⊆ Ft−1 ⊆ Ft ⊆ Ft+1 ⊆ Ft+2 , . . . . O conhecimento se acumula ao longo do tempo! Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Processos Martingais Considere também a sequência aleatória (processo estocástico) {yt , t = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} tal que σ(yt , yt−1 , . . .) ⊆ Ft . Neste caso, yt é Ft -mensurável e a sequência {yt } é “adaptada” para {Ft }. {yt , Ft } é chamada de sequência adaptada. Mensurabilidade implica que a expectativa condicional existe (a condição E[|yt |] < ∞ é suficiente). Portanto, E[yt |Ft ] = yt , a.s.. No entanto, E[yt |Ft−1 ], quando existir, é uma variável aleatória! Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Processos Martingais Martingal Uma sequência adaptada {yt , Ft } é chamada de martingal se para todo instante t: E[|yt |] < ∞ e E[yt |Ft−1 ] = yt−1 , a.s.. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Processos Martingais Diferença Martingal Uma sequência adaptada {yt , Ft } é chamada de diferença martingal se para todo instante t: E[|yt |] < ∞ e E[yt |Ft−1 ] = 0, a.s.. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Processos Martingais Um Teorema Importante para Processos Martingais Seja {yt } uma sequência do tipo diferença martingal (DM) e gt−1 = g (yt−1 , yt−2 , . . .) uma função não-linear mensurável e integrável de valores defasados da sequência {yt }. Portanto, {yt gt−1 } também é uma sequência do tipo diferença martingal e yt e gt−1 são variáveis aleatórias não correlacionadas. Prova: {yt gt−1 } será uma sequência DM dado que E(yt gt−1 |Ft−1 ) = E(yt |Ft−1 )gt−1 = 0 a.s. Pela Lei das Expectativas Iteradas (LEI), E(yt ) = E[E(yt |Ft−1 )] = E(0) = 0 E(yt gt−1 ) = E[gt−1 E(yt |Ft−1 )] = E(gt−1 · 0) = 0. Portanto, C(gt−1 , yt ) = E(gt−1 yt ) − E(yt )E(gt−1 ) = 0 − 0 = 0. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso O Modelo Estrutural - Um Caso Particular Suponha que zt = (yt , x0t )0 , onde yt ∈ R e xt ∈ Rm−1 . Logo, a1,y a01,yx yt−1 1 b0yx yt a0,y = + ··· + bxy Bx xt a0,x a1,xy A1,x xt−1 uy ,t ap,y a0p,yx yt−p . + + ux,t ap,xy Ap,x xt−p Neste caso, yt = a0,y − b0yx xt + p X i =1 yt = α0 + p X i =0 β 0i xt−i + ai ,y yt−i + a0i ,yx xt−i + uy ,t p X αi yt−i + uy ,t i =1 ⇒ Modelo Auto-regressivo com defasagens distribuı́das. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso A Forma Reduzida Considere agora a forma reduzida (supondo que B seja invertı́vel): zt = B−1 A0 + B−1 A1 zt−1 + . . . + B−1 Ap zt−p + B−1 ut , zt = C0 + C1 zt−1 + . . . + Cp zt−p + vt , zt = C0 + C(L)zt + vt , ⇒ Modelo Auto-regressivo Vetorial de ordem p – VAR(p) onde: C0 ∼ (m × 1), C1 ∼ (m × m), . . . , Cp ∼ (m × m) são novos parâmetros; vt é um vetor de erros (que são combinações lineares dos choques estruturais) e C(L) = C1 L + C2 L2 + · · · + Cp Lp . Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Função de Resposta ao Impulso Em geral, estamos interessados no efeito causal dinâmico ∂zt+h , j = 1, . . . , m , h = 0, 1, 2, . . . . ∂uj,t Para isto precisamos conhecer B! Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Função de Resposta ao Impulso Considere p = 1 e escreva zt = C0 + C1 zt−1 + vt ⇒ VAR(1). Portanto, zt = C0 + C1 zt−1 + vt zt+1 = C0 (I + C1 ) + C21 zt−1 + C1 vt + vt+1 zt+2 = C0 I + C1 + C21 + C31 zt−1 + C21 vt + C1 vt+1 + vt+2 .. . zt+h = C0 h X Ci1 + Ch+1 1 zt−1 i =0 Marcelo C. Medeiros + h X Ci1 vt+h−i . i =0 Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Função de Resposta ao Impulso Mas vt = B−1 ut . Logo, zt+h = C0 zt+h = C0 h X i =0 h X Ci1 + Ch+1 1 zt−1 + Ci1 + Ch+1 1 zt−1 + i =0 h X Ci1 B−1 ut+h−i Φi ut+h−i , i =0 i =0 onde h X φ11,i .. Φi = . φm1,i Marcelo C. Medeiros ··· .. . ··· φ1m,i .. . . φmm,i Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Função de Resposta ao Impulso A quantidade de interesse é ∂zj,t+h = φjk,h ⇒ Resposta impulsional! ∂uk,t o∞ n ∂z é chamada de A sequência ∂uj,t+h k,t h=0 Função de Resposta ao Impulso (FRI). Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Definição Função de Resposta ao Impulso Função de Resposta ao Impulso Qual é o formato esperado da FRI? Vai depender da dinâmica do processo estocástico vetorial zt . Mais precisamente, o formato da FRI vai depender de uma propriedade chamada de estacionariedade. Mas o que é estacionariedade e quais são as condições para que zt seja um processo estacionário? Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Processos Estocásticos Estacionários Estacionariedade Fraca Um processo estocástico {yt } é dito fracamente estacionário (ou estacionário de segunda ordem, ou ainda estacionário em covariância) se, e somente se, os dois primeiros momentos de {yt } existirem e forem constantes ao longo do tempo, ou seja: E[yt ] = µ, |µ| < ∞, ∀ t ∈ T e E[(yt − µ)(yt−h − µ)] = γh , |γh | < ∞, ∀ t ∈ T e h = 0, ±1, ±2, . . . Estacionariedade implica que γ−h = γh . Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Processos Estocásticos Estacionários Estacionariedade Forte Um processo estocástico {yt } é dito fortemente estacionário (ou estacionário no sentido estrito) se, e somente se, a distribuição conjunta de (y1 , y2 , . . . , yT ) for invariante com relação à translações temporais, ou seja, F (y1 , y2 , . . . , yT ) = F (y1+τ , y2+τ , . . . , yT +τ ), ∀ τ. Pontos importantes: distribuição conjunta é constante ao longo do tempo e estacionariedade forte implica que todos momentos existentes sejam constantes ao longo do tempo. No entanto, estacionariedade forte não implica em estacionaridade fraca! Exemplo: variáveis Cauchy. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Ergodicidade Ergodicidade é uma propriedade referente à relação entre a média temporal de um processo estocástico calculada a partir de uma realização temporal (série temporal). Ergodicidade Seja {yt (ω), ω ∈ Ω, t ∈ T } um processo estocástico fracamente estacionário, taloque E[yt (ω)] = µ < ∞ e n P E [yt (ω) − µ]2 = γ0 < ∞, ∀ t ∈ T e y T = T1 T t=1 yt (média amostral). Se o processo {yt } for ergódico para média, então p y T −→ µ, T −→ ∞. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos Estocásticos Estacionários Ergodicidade Exemplo Blanchard e Perotti - QJE (2002) An Empirical Characterization Of The Dynamic Effects Of Changes In Government Spending And Taxes On Output. VAR com três variáveis timestrais - impostos (Tt ), gastos do governo (Gt ) e PIB (Xt ): zt = C(L)zt−1 + vt , onde zt = (Tt , Gt , Xt )0 e vt = (tt , gt , xt ). Forma reduzida x forma estrutural: tt = a1 xt + a2 etg + ett , gt = b1 xt + b2 ett + etg , xt = c1 tt + c2 gt + etx , onde ett , etg e etx são choques estruturais. Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos