identificação e controlo adaptativo de processos biotecnológicos

Transcrição

EUGÉNIO MANUEL DE FARIA CAMPOS FERREIRA
IDENTIFICAÇÃO E CONTROLO ADAPTATIVO
DE PROCESSOS BIOTECNOLÓGICOS
UNIVERSIDADE DO PORTO
FACULDADE DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
1995
EUGÉNIO MANUEL DE FARIA CAMPOS FERREIRA
IDENTIFICAÇÃO E CONTROLO ADAPTATIVO
DE PROCESSOS BIOTECNOLÓGICOS
Dissertação para Doutoramento em Engenharia Química
na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
1995
Provas de Doutoramento realizadas
em 11 de Julho de 1995
Constituição do Júri
Presidente: Doutor Jorge Leite Martins de Carvalho, Professor
Catedrático da Faculdade de Engenharia da Universidade do
Porto
Vogais:
Doutor Manuel José Magalhães Gomes Mota, Professor
Catedrático da Universidade do Minho
Doutor João Manuel Lage de Miranda Lemos, Professor
Auxiliar do Instituto Superior Técnico da Universidade
Técnica de Lisboa
Doutor Carlos Albino Veiga da Costa, Professor Associado
com Agregação da Faculdade de Engenharia da Universidade
do Porto
Doutor Sebastião José Cabral Feyo de Azevedo, Professor
Associado da Faculdade de Engenharia da Universidade do
Porto
Tese realizada sob a orientação do
Doutor Sebastião José Cabral Feyo de Azevedo
Professor Associado
“O conhecido é finito, o desconhecido infinito; intelectualmente, estamos
numa ilha no meio dum oceano ilimitado de inexplicabilidade. O nosso
dever em cada geração é recuperar um pouco mais de terra”
T. H. HUXLEY
“The best model of a cat is another cat or, better, the cat itself”
N. WIENER
à Madalena
a meus Pais: Irene e Eugénio
1
Preâmbulo
O autor, tendo concluído a licenciatura em Engenharia Química em 1986, teve de
imediato o primeiro contacto com a investigação científica com a atribuição de uma bolsa
para trabalhar no INETI (ex-LNETI), no projecto “Produtos Químicos por vias
Biotecnológicas”. Os dois primeiros anos foram dedicados à modelação de processos
metanogénicos com culturas puras em ambiente anaeróbio.
Em 1989 envereda pelo programa de doutoramento cuja dissertação se apresenta neste
documento. Esse ano e o seguinte são passados no INETI. O autor participa, durante esse
período, num projecto de investigação para a síntese enzimática de ampicilina no âmbito
de um programa comunitário.
Em 1991 ingressa na Universidade do Minho como assistente, tendo desde essa data
conciliado a actividade lectiva com a continuação do seu programa de investigação, agora
aplicado à produção de fermento de padeiro.
O autor teve oportunidade de realizar vários estágios no estrangeiro (Inglaterra, França
e Bélgica), tendo, no âmbito de uma estadia na Universidade Católica de Louvain (UCL),
trabalhado com dados provenientes de uma instalação de fermentação etanólica.
O fio condutor desta Dissertação é a aplicação da teoria de sistemas à área da
engenharia biológica, com aplicação real e/ou virtual a três processos biotecnológicos, a
saber: dois processos fermentativos (produção de fermento de padeiro, fermentação
etanólica) e um processo bioquímico (síntese enzimática de um antibiótico). O presente
trabalho, devido à importante carga matemática, foi orientado fortemente para a
investigação teórica, não menosprezando contudo a componente laboratorial de validação
de algoritmos.
Espera-se que, para além da satisfação pessoal proporcionada, o presente trabalho, que
se pensa ser pioneiro em Portugal na abordagem matemática e utilização da teoria de
sistemas em biotecnologia, sirva de contributo para investigações em curso ou a
desenvolver neste domínio.
2
Ao finalizar esta tese o autor deseja agradecer as ajudas, apoios e a amizade de todos
aqueles que o acompanharam.
Ao orientador científico, Professor SEBASTIÃO FEYO
DE
AZEVEDO, gostaria de expressar o
seu reconhecimento pelo constante incentivo e por todo o acompanhamento (inicialmente
limitado pela distância) científico e humano. Os conselhos encorajadores e o sempre
presente optimismo foram determinantes para a realização desta tese.
Aos directores do Departamento de Engenharia Biológica da Universidade do Minho
Doutora MARIA ODETE MAIA e Professor MANUEL MOTA pelas facilidades concedidas para a
execução laboratorial e pelos constantes incentivos. Ao Professor MANUEL MOTA e ao
Doutor JOSÉ TEIXEIRA deseja agradecer algumas discussões relativas à produção de fermento
de padeiro.
Ao Doutor JOSÉ CARDOSO DUARTE pelo convite e acolhimento no seu grupo de
Biotecnologia do LNETI. Ao LUÍS M. PEREIRA e J. MENAIA pelo seu companheirismo e
introdução à investigação científica, especialmente em anaerobiose. Às colegas no projecto
“AMPICILINA” VERA, VIRGÍNIA, ELISABETE e LEONOR pela troca de ideias e empenho na parte
experimental. Pela amizade e constantes incentivos não poderia esquecer o JOÃO LOURENÇO
e o JOSÉ MATOS.
À FILOMENA OLIVEIRA pela colaboração experimental no projecto de produção de fermento
de padeiro e pela amizade demonstrada desde sempre. Ao RUI OLIVEIRA pelo interesse que
demonstra na abordagem à investigação nesta área e pela contribuição para os problemas
de estimação. Ao PEDRO PIMENTA pela colaboração em alguns estudos de simulação.
Je voudrais exprimer ma gratitude a GEORGES BASTIN qui m’a permis d’effectuer quelques
séjours au sein du Laboratoire d’Automatique, Dynamique et Analyse des Systèmes
(LADAS-UCL). Les nombreuses suggestions ont beacoup favorablement influencé la
évolution de cette thèse. Je remercie aussi DENIS DOCHAIN pour toutes les discussions
fructueuses sur le sujets d’estimation et de contrôle. Sa collaboration et ses
éclaircissements on toujours été précieux.
Je remercie LIBEI CHEN pour sa sympáthique compagnie et ses nombreux conseils sur
l’identification de systèmes.
Pour l’accueil chaleureux à chacun de mes passages au LADAS je voudrais remercier
VINCENT VAN BREUSEGEM et VINCENT WERTZ.
3
Mes remerciements vont également au Professeur EDMOND-JACQUES NYNS et à PASCALE
RENARD pour avoir accepté l’utilisation de certaines données expérimentales provenant de
leur laboratoire (Génie Biologique, UCL).
Agradece ainda a disponibilidade para o substituir na sua actividade de docência
durante uma estadia de 3 meses na Bélgica, às seguintes pessoas: Prof. SEBASTIÃO FEYO
DE
AZEVEDO, TERESA TAVARES e MADALENA ALVES.
A ajuda de MADALENA ALVES e CATARINA FREITAS (IST) foi imprescindível para a instalação
e arranque do espectrómetro de massa. O meu reconhecimento à preciosa ajuda técnica
prestada pelo indispensável MANUEL SANTOS.
Finalmente, é devido um reconhecimento a diversas instituições e organismos que
contribuíram para a realização deste trabalho: Universidade do Minho, ao INETI, FEUP e
Universidade Católica de Lovaina pela disponibilização de meios e infra-estruturas para a
realização deste trabalho; por bolsas concedidas: JNICT no âmbito do programa
Mobilizador de Biotecnologia, à Fundação Calouste Gulbenkian, ao British Council, à
Fundação Luso-Americana (FLAD) e à Comissão das Comunidades Europeias no âmbito
do “BAP - Biotechnology Action Programme”.
Aos pais, sogros e Madalena, sua esposa, agradece o constante incentivo à realização
desta dissertação.
Braga, Abril de 1995
4
Sumário
Esta tese tem como objectivos principais a elaboração e implementação de soluções para a monitorização
avançada e controlo por computador de processos biotecnológicos. Os processos em estudo incluem dois
processos de fermentação, a saber, produção de fermento de padeiro e fermentação etanólica, e um processo
enzimático de síntese de ampicilina.
São apresentadas as metodologias para a identificação de coeficientes de rendimento através de medições
completas do estado. São propostas estratégias de planificação experimental que visam a optimização da
riqueza informativa da experiência, quantificada por índices relativos à matriz de informação de FISHER. O
objectivo da planificação experimental foi endereçado em termos da programação de trajectórias de entradas.
A planificação experimental é ensaiada para o fermento de padeiro com o objectivo de calcular trajectórias
de alimentação de substrato.
São desenvolvidos sensores por programação para estimação de estados e de parâmetros (taxas de
reacção) em processos biotecnológicos. São apresentados algoritmos para a estimação de variáveis de estado
não mensuráveis em linha, através de um observador assimptótico que utiliza as variáveis medidas em linha.
São desenvolvidos estimadores de taxas de reacção, especialmente das taxas específicas de crescimento. É
proposta uma alternativa de sintonização dos ganhos que conduz a uma dinâmica de resposta de 2ª ordem.
Os sensores por programação são validados por simulação e em experiências reais para os processos em
estudo.
Para o fermento de padeiro estimam-se as concentrações de etanol, biomassa e glucose com base em
medições de oxigénio e dióxido de carbono dissolvidos e em fase gasosa. São calculadas as três taxas
específicas de crescimento através de um estimador de dinâmica de resposta de 2ª ordem e com um
estimador baseado no observador. No caso da fermentação etanólica é proposto um estimador da taxa
específica de crescimento que não necessita conhecer os coeficientes de rendimento. Os valores obtidos da
taxa específica de crescimento permitem calcular em linha as concentrações de biomassa e glucose. A
estimação desta última permite detectar os instantes do seu consumo total. Para a síntese enzimática de
ampicilina são calculadas as concentrações de ampicilina, metilfenilglicina e metanol por via da medição das
concentrações de fenilglicina e ácido 6-aminopenicilânico. São também estimadas as taxas específicas de
reacção e a partir destas calculam-se as velocidades de reacção.
São propostas leis de controlo adaptativo para a regulação monovariável e regulação multivariável. A
síntese das leis de controlo não linear é realizada por técnicas de geometria diferencial com linearização do
sistema por retroacção de estado. A adaptação é feita com base na estimação de parâmetros variáveis no
tempo. É proposto um novo algoritmo de adaptação com dinâmica de convergência de segunda ordem.
Os controladores desenvolvidos, obtidos por redução de ordem do modelo de estado, são verificados por
simulação para a produção de fermento de padeiro. O objectivo do controlo monovariável foi endereçado em
termos da regulação da concentração de etanol. Na situação de controlo multivariável, pretendeu regular-se
as concentrações de etanol e de oxigénio dissolvido. Os resultados obtidos indicam um bom desempenho
para as leis de controlo usando diferentes esquemas de adaptação. O estimador de dinâmica de 2ª ordem
mostrou, no entanto, os melhores valores para os critérios ITAE e erro médio. A análise da robustez das leis
de controlo e de adaptação demonstrou uma boa adequação do modelo reduzido para a síntese de controlo
adaptativo baseado em modelo. O controlo multivariável permitiu a obtenção de maiores valores de
produtividade e de rendimento.
Palavras-chave: Controlo de Processos Biotecnológicos. Identificação de Sistemas. Simulação. Planificação
de Experiências. Modelação. Observadores de Estados. Sensores por Programação.
Controlo Adaptativo. Saccharomyces cerevisiae. Fermento de Padeiro. Ampicilina. Etanol.
5
Abstract
Identification and Adaptive Control of Biotechnological Processes
The main objectives of this thesis are the elaboration and implementation of solutions for the advanced
monitoring and computer aided control of biotechnological processes. Two fermentation processes are
studied (baker’s yeast and ethanolic fermentation) as well as an enzymatic process (ampicillin synthesis).
Methodologies are presented that allow the identification of yield coefficients through complete
measurements of the state. Experiment design strategies are proposed in order to optimise the richness of
data coming out from the experiments, quantified by indexes related to the FISHER information matrix. The
objectives of the experimental planning have been addressed in terms of the programming of input
trajectories. The experimental planning is tested for baker’s yeast aiming at the computation of the substrate
feed trajectories.
Software sensors are developed for state and parameter (reaction rates) estimation in biotechnological
processes. Algorithms are presented to estimate state variables not measured on line. Reaction rates
estimators are developed, particularly for the specific growth rates. An alternative to tuning the gains is
proposed, leading to responses with 2nd order dynamics. The software sensors are then validated, by
simulation and in real experiments, for the processes under study.
The concentrations of ethanol, biomass and glucose are estimated for baker’s yeast production, based on
measurements of oxygen and carbon dioxide both for liquid and gaseous phases. The three specific growth
rates are calculated by means of a 2nd order dynamics estimator and of an observer based estimator. In the
particular case of ethanolic fermentation, an estimator of the specific growth rate is proposed that does not
require the knowledge of the yield coefficients. The values obtained for the specific growth rate allow the on
line calculation of the biomass and glucose concentrations. For the enzymatic synthesis of ampicillin the
concentrations of ampicillin, methylphenylglycine and methanol are calculated by means of the
measurements of the concentrations of phenylglycine and 6-aminopenicillanic acid. The specific reaction
rates are also estimated and, from these, it is possible to calculate the reaction rates.
Adaptive control laws are proposed for both SISO and MIMO regulation. The synthesis of nonlinear
control laws is achieved by differential geometry techniques, with system linearization by state feedback.
The adaptation is made based on the estimation of time variable parameters. A new adaptation algorithm is
proposed, having 2nd order convergence dynamics.
The controllers developed, obtained by order reduction of the state model, are verified by simulating the
production of baker’s yeast. The goal of the single-variable control has been addressed in terms of the
regulation of ethanol concentration. In the MIMO control situation, the main objective has been to regulate
the concentration of ethanol and dissolved oxygen. The results obtained show a good performance for the
control laws using different adaptation schemes. The 2nd order dynamics estimator has shown, however, the
best values for the ITAE and mean error criteria. The robustness analysis for the control and adaptation laws
has demonstrated that the reduced model was adequate for the synthesis of model based adaptive control.
The MIMO control configuration has lead to higher values of productivity and yield.
Keywords: Bioprocess Control. System Identification. Modelling. Simulation. Experiment Design. State
Observers. Software-Sensors. Adaptive Control. Saccharomyces cerevisiae. Baker’s Yeast.
Ampicillin. Ethanol.
6
Résumé
Identification et contrôle adaptatif des procédés biotechnologiques
Cette thèse a pour objectif l’élaboration et l’implémentation de solutions pour la suivie et le contrôle par
ordinateur de procédés biotechnologiques. Trois procédés ont été étudiés: la production de levure de
boulangerie, la fermentation ethanolique et un procédé enzymatique pour la synthèse de l’ampiciline.
On a développé des méthodologies pour l'identification des coefficients de rendement avec la mesure de
l’état complet. On propose des stratégies de planification expérimentale qui ont pour but d'optimiser la
consistance informative de l’expérience, quantifiée par des indexes relatifs à la matrice de l'information de
FISHER. Le but de la planification expérimentale a été envisagé en terme de programmation de trajectoires
des entrées. La planification expérimentale est testée pour la levure de boulangerie avec le but de calculer les
trajectoires d'alimentation en substrat.
On a développé des capteurs logiciels pour l’estimation d’état et de paramètres (taux de réactions) en
procédés biotechnologiques. On présente des algorithmes pour l’estimation des variables d’état non mesurées
en ligne par un estimateur asymptotique qui utilise les variables mesurées en ligne. On développe des
estimateurs des taux de réaction, spécialement des taux spécifiques de croissance. On propose une alternative
de syntonisation des gains qui conduit à une dynamique de réponse de deuxième ordre. Les capteurs logiciels
sont validés par simulation et par expériences réelles pour les procédés étudiés.
Pour la levure de boulangerie on a estimé les concentrations d’éthanol, de la biomasse et du glucose en se
basant sur les mesures de l’oxygène et du dioxyde de carbone dissous et en phase gazeuse. On calcule les
trois taux spécifiques de croissances par un estimateur de dynamique de réponse de deuxième ordre et avec
un estimateur en se basant sur l'observateur. Dans le cas de la fermentation éthanolique, on propose un
estimateur du taux spécifique de croissance qui ne requiert pas la connaissance des coefficients de
rendement. Les valeurs obtenues pour le taux spécifique de croissance permettent de calculer en ligne la
concentration de biomasse et celle du glucose. Pour la synthèse enzymatique de l’ampiciline on a calculé les
concentrations de l’ampiciline, celle du methyl-phenyl-glycine et celle du méthanol avec la mesure des
concentrations de phenyl-glycine et acide 6-aminopenicilanique. On a également estimé les taux spécifiques
de réaction et on a calculé à partir de celles-ci, les vitesses de réaction.
On propose des lois de contrôle adaptatif pour la régulation mono-variable et régulation multi-variable.
La synthèse des lois de contrôle non linéaire est réalisée par des techniques de géométrie différentielle avec
linéarization du système par rétroaction d’état. L’adaptation réalisée par estimation des paramètres variables
au cours du temps. On propose un nouvel algorithme d'adaptation avec dynamique de convergence de
deuxième ordre.
Les contrôleurs développés, obtenus par réduction de l'ordre du modèle d’état, sont vérifiés par
simulation pour la production de levure de boulangerie. Le but du contrôle mono-variable a été envisagé en
termes de régulation de la concentration d'éthanol. Dans la situation de contrôle multi-variable, on a prévu de
réguler les concentrations d'éthanol et de l'oxygène dissous. Les résultats obtenus indiquent une bonne
performance pour les lois de contrôle utilisant différents schémas d'adaptation. L’estimateur de dynamique
de deuxième ordre a montré les meilleures valeurs pour les critères ITAE et ceux de l’erreur moyenne.
L’analyse de la robustesse des lois de contrôle et d'adaptation ont démontré une bonne adéquation du modèle
réduit pour la synthèse de contrôle adaptatif. Le contrôle multi-variable a permis l’obtention de meilleures
valeurs de productivité et de rendement.
Mots clés: Contrôle des bioprocédés. Identification des systèmes. Modélisation. Simulation. Planification
des expériences. Estimateurs d’état. Capteurs logiciels. Contrôle adaptatif. Saccharomyces
cerevisiae. Ampiciline. Ethanol.
7
Índice
PREÂMBULO..................................................................................................................................................1
SUMÁRIO ........................................................................................................................................................4
ABSTRACT .......................................................................................................................................................5
RÉSUMÉ ...........................................................................................................................................................6
ÍNDICE .............................................................................................................................................................7
LISTA DE TABELAS....................................................................................................................................12
LISTA DE FIGURAS ....................................................................................................................................14
LISTA DE SÍMBOLOS .................................................................................................................................18
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................23
1.1
CONTEXTO E MOTIVAÇÃO .............................................................................................................24
1.1.1
A Biotecnologia ........................................................................................................................24
1.1.2
Aspectos Económicos ...............................................................................................................27
1.1.3
Metodologias de Desenvolvimento...........................................................................................28
1.1.4
Operação Assistida por Computador.......................................................................................29
1.1.4.1
Perspectiva Histórica..................................................................................................................... 30
1.1.5
Metodologias Adaptativas........................................................................................................34
1.1.6
Processos biotecnológicos em estudo ......................................................................................34
1.1.6.1
Produção de fermento de padeiro .................................................................................................. 34
1.1.6.2
Fermentação etanólica................................................................................................................... 35
1.1.6.3
Síntese enzimática de ampicilina .................................................................................................. 35
1.2
OBJECTIVOS E METODOLOGIA .......................................................................................................36
1.2.1
Produção de fermento de padeiro ............................................................................................37
1.2.2
Fermentação etanólica.............................................................................................................37
1.2.3
Síntese enzimática de ampicilina .............................................................................................37
1.3
ORGANIZAÇÃO DA TESE.................................................................................................................38
1.4
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................41
8
2. DESCRIÇÃO DOS PROCESSOS BIOTECNOLÓGICOS .................................................................45
2.1
PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO ..........................................................................................46
2.1.1
Introdução ................................................................................................................................46
2.1.2
Aspectos biológicos ..................................................................................................................46
2.1.3
Aspectos metabólicos ...............................................................................................................48
2.1.4
Aspectos processuais................................................................................................................54
2.2
FERMENTAÇÃO ETANÓLICA ...........................................................................................................55
2.3
SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA.............................................................................................56
2.3.1
Características da ampicilina ..................................................................................................56
2.3.2
Métodos de produção ...............................................................................................................57
2.3.2.1
Síntese química ............................................................................................................................. 57
2.3.2.2
Produção microbiológica............................................................................................................... 57
2.3.2.3
Isolamento e purificação ............................................................................................................... 57
2.3.3
2.4
Síntese enzimática laboratorial................................................................................................57
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................60
3. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL - MATERIAIS E MÉTODOS .......................................................63
3.1
PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO ..........................................................................................64
3.1.1
Fermentação.............................................................................................................................64
3.1.1.1
Microrganismo .............................................................................................................................. 64
3.1.1.2
Meio de cultura ............................................................................................................................. 64
3.1.1.3
Fermentador .................................................................................................................................. 65
3.1.1.4
Condições experimentais............................................................................................................... 69
3.1.2
Métodos de análise em linha ....................................................................................................69
3.1.2.1
Análise de gases por espectrometria de massa .............................................................................. 69
3.1.2.2
Análise da concentração de etanol dissolvido ............................................................................... 74
3.1.3
Análises em diferido .................................................................................................................75
3.1.3.1
Determinação da concentração de glucose.................................................................................... 75
3.1.3.2
Determinação da concentração de biomassa ................................................................................. 75
3.1.4
3.2
Sistema informático..................................................................................................................76
FERMENTAÇÃO ETANÓLICA ...........................................................................................................78
3.2.1
Fermentação.............................................................................................................................78
3.2.1.1
Inóculo .......................................................................................................................................... 78
3.2.1.2
Meio de cultura ............................................................................................................................. 78
3.2.1.3
Reactor .......................................................................................................................................... 79
3.2.2
Métodos de análise em linha ....................................................................................................80
3.2.2.1
Determinação da concentração de dióxido de carbono em fase gasosa......................................... 80
3.2.2.2
Determinação da “concentração” de biomassa.............................................................................. 80
3.2.2.3
Caudal volumétrico de gás ............................................................................................................ 80
3.2.3
Análises em diferido .................................................................................................................81
3.2.3.1
Determinação da concentração de glucose.................................................................................... 81
9
3.2.3.2
3.2.4
3.3
Determinação da concentração de etanol ...................................................................................... 81
Sistema informático..................................................................................................................81
SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA.............................................................................................82
3.3.1
Reacção bioquímica .................................................................................................................82
3.3.1.1
Enzima e reagentes principais ....................................................................................................... 82
3.3.1.2
Reactor .......................................................................................................................................... 82
3.3.2
Métodos de análise...................................................................................................................83
3.3.2.1
Determinação das concentrações de metilfenilglicina, ácido 6-amino-penicilânico e fenilglicina 83
3.3.2.2
Determinação da concentração de ampicilina ............................................................................... 83
3.4
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................83
4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA - DINÂMICA DE PROCESSOS....................................................87
4.1
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................88
4.2
CLASSES DE MODELOS MATEMÁTICOS ...........................................................................................88
4.3
MODELO DINÂMICO DE REACTORES BIOLÓGICOS ...........................................................................91
4.3.1
Modelação das taxas de reacção .............................................................................................94
4.3.1.1
A taxa específica de crescimento .................................................................................................. 95
4.3.1.2
Modelação da formação de um produto de síntese - A taxa específica de produção..................... 97
4.4
DINÂMICA DA FASE GASOSA ..........................................................................................................98
4.5
DINÂMICA DE GASES DISSOLVIDOS ................................................................................................99
4.5.1
Dinâmica do oxigénio dissolvido .............................................................................................99
4.5.2
Dinâmica do dióxido de carbono dissolvido..........................................................................102
4.5.3
O quociente respiratório ........................................................................................................106
4.6
MODELO MATEMÁTICO PARA A PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO .......................................107
4.7
MODELO MATEMÁTICO PARA A FERMENTAÇÃO ETANÓLICA ........................................................111
4.8
MODELO MATEMÁTICO PARA A SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA .........................................113
4.9
SÍNTESE .......................................................................................................................................115
4.10
BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................................................115
5. MODELAÇÃO MATEMÁTICA - IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS..........................................119
5.1
INTRODUÇÃO À IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ..............................................................................120
5.2
IDENTIFICAÇÃO DE COEFICIENTES DE RENDIMENTO .....................................................................121
5.3
PLANIFICAÇÃO DE EXPERIÊNCIAS.................................................................................................125
5.3.1
A matriz de informação ..........................................................................................................125
5.3.2
Critérios de optimalidade na medição da informação...........................................................128
5.4
IDENTIFICAÇÃO NA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO ..........................................................129
5.4.1
Projecto dos regressores para o modelo global a três reacções ...........................................130
5.4.2
Projecto dos regressores para os modelos parciais a duas reacções....................................133
5.4.3
Resultados ..............................................................................................................................136
5.5
5.5.1
IDENTIFICAÇÃO NA FERMENTAÇÃO ETANÓLICA ...........................................................................144
Projecto do regressor.............................................................................................................144
10
5.5.2
Resultados ..............................................................................................................................146
5.5.2.1
Identificação experimental .......................................................................................................... 146
5.5.2.2
Validação experimental............................................................................................................... 150
5.6
IDENTIFICAÇÃO NA SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA ............................................................153
5.7
SÍNTESE .......................................................................................................................................154
5.8
BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................................................155
6. MONITORIZAÇÃO AVANÇADA - OS SENSORES POR PROGRAMAÇÃO ............................159
6.1
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................160
6.2
OBSERVADORES DE ESTADOS .......................................................................................................163
6.3
ESTIMADORES DE CINÉTICA .........................................................................................................167
6.3.1
Introdução ..............................................................................................................................167
6.3.2
Estimadores baseados em observadores................................................................................170
6.3.3
Estimadores de dinâmica de segunda ordem .........................................................................172
6.4
ESTIMADORES E OBSERVADORES PARA A PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO ........................175
6.4.1
Introdução ..............................................................................................................................175
6.4.2
Projecto de observadores assimptóticos ................................................................................175
6.4.3
Projecto de estimadores de cinética.......................................................................................178
6.4.4
Resultados ..............................................................................................................................181
6.4.4.1
Estimação de estado .................................................................................................................... 182
6.4.4.2
Estimação da cinética .................................................................................................................. 184
6.5
OBSERVADORES E ESTIMADORES PARA A FERMENTAÇÃO ETANÓLICA .........................................189
6.5.1
Introdução ..............................................................................................................................189
6.5.2
Projecto de observadores e estimadores................................................................................190
6.5.3
Resultados ..............................................................................................................................193
6.6
OBSERVADORES E ESTIMADORES PARA A SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA...........................197
6.6.1
Introdução ..............................................................................................................................197
6.6.2
Projecto de observadores assimptóticos ................................................................................198
6.6.3
Projecto de estimadores de cinética.......................................................................................200
6.6.4
Resultados ..............................................................................................................................202
6.6.4.1
Apresentação da experiência ....................................................................................................... 202
6.6.4.2
Estimação de estado .................................................................................................................... 203
6.6.4.3
Estimação de cinética .................................................................................................................. 206
6.7
SÍNTESE .......................................................................................................................................212
6.8
BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................................................213
7. CONTROLO ADAPTATIVO ...............................................................................................................219
7.1
INTRODUÇÃO GERAL AO CONTROLO.............................................................................................220
7.2
INTRODUÇÃO AO CONTROLO ADAPTATIVO ...................................................................................222
7.2.1
Aspectos gerais.......................................................................................................................222
7.2.2
Controlo auto-sintonizável .....................................................................................................222
11
7.2.3
Modelo de referência..............................................................................................................223
7.2.4
Controlo adaptativo não linear..............................................................................................223
7.2.5
Controlo preditivo de horizonte recidivo ...............................................................................223
7.2.6
Controlo robusto adaptativo ..................................................................................................224
7.2.7
Estimação e controlo inferencial ...........................................................................................224
7.2.8
Perturbações singulares.........................................................................................................224
7.2.9
Controlo óptimo .....................................................................................................................225
7.3
CONTROLO ADAPTATIVO LINEARIZANTE ......................................................................................225
7.3.1
Controlo monovariável ..........................................................................................................227
7.3.2
Controlo multivariável ...........................................................................................................230
7.4
LEIS DE ADAPTAÇÃO ....................................................................................................................231
7.5
CONTROLO DA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO .................................................................234
7.5.1
Introdução ..............................................................................................................................234
7.5.2
Controlo adaptativo monovariável ........................................................................................237
7.5.2.1
Modelo global a 3 reacções ......................................................................................................... 238
7.5.2.2
Modelo parcial ............................................................................................................................ 241
7.5.2.3
Resultados ................................................................................................................................... 244
7.5.3
Controlo adaptativo multivariável .........................................................................................254
7.5.3.1
Resultados ................................................................................................................................... 257
7.6
SÍNTESE .......................................................................................................................................265
7.7
BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................................................266
8. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ............................................................................................273
APÊNDICES.................................................................................................................................................277
APÊNDICE A: MODELO DE SIMULAÇÃO DA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO ...279
1. MODELO CINÉTICO ................................................................................................................................279
2. MODELO DINÂMICO DO FERMENTADOR .................................................................................................283
3. BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................................285
APÊNDICE B: ANÁLISE DE ESTABILIDADE, SINTONIZAÇÃO E CONVERGÊNCIA DE
ESTIMADORES.....................................................................................................................................287
1. ESTABILIDADE E SINTONIZAÇÃO DO ESTIMADOR EBO ..........................................................................287
2. ESTABILIDADE E SINTONIZAÇÃO DO ESTIMADOR EDSO (II)..................................................................289
3. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA .......................................................292
4. BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................................295
12
Lista de Tabelas
Tabela 1.1 Tipos de reactores biológicos ........................................................................................................27
Tabela 2.1 Composição em açucares para diferentes melaços .......................................................................49
Tabela 3.1 Composição do meio de cultura para produção de fermento de padeiro......................................65
Tabela 3.2 Tipo de controlo das variáveis ambientais ....................................................................................66
Tabela 3.3 Instalação de fermentação para produção de fermento de padeiro ..............................................68
Tabela 3.4 Referências para controlo das variáveis ambientais .....................................................................69
Tabela 3.5 Composição da mistura de gases de calibração do espectrómetro de massa ...............................71
Tabela 3.6 Interfaces de aquisição e comunicação de dados ..........................................................................77
Tabela 3.7 Composição do meio de cultura para a fermentação etanólica ....................................................79
Tabela 4.1 Pares de grupos de modelos matemáticos .....................................................................................90
Tabela 4.2 Influência do modo de operação de reactores biológicos no modelo dinâmico geral ..................94
Tabela 4.3 Correspondência do balanço à formação de um produto de síntese ao modelo geral de reactores
biológicos .......................................................................................................................................98
Tabela 4.4 Correspondência do balanço ao oxigénio ao modelo geral de reactores biológicos..................102
Tabela 4.5 Correspondência do balanço ao dióxido de carbono ao modelo geral de reactores biológicos 106
Tabela 4.6 Estado metabólico vs. quociente respiratório..............................................................................108
Tabela 5.1 Partições induzidas de K e correspondente matriz A ..................................................................134
Tabela 5.2 Expressões de cálculo dos coeficientes de rendimento ................................................................135
Tabela 5.3 Valores iniciais para a simulação................................................................................................136
Tabela 5.4 Condições de operação das diferentes experiências de simulação .............................................137
Tabela 5.5 Valores calculados de coeficientes de rendimento para o período respiro-fermentativo............139
Tabela 5.6 Valores calculados de coeficientes de rendimento para o período respirativo ...........................139
-1
-1
Tabela 5.7 Coeficientes de Rendimento (mmol.L .NTU ) ............................................................................150
Tabela 5.8 Coeficientes de rendimento ..........................................................................................................154
Tabela 6.1 Sintonização baseada em dinâmica de 2ª ordem para estimação de cinéticas de reacções........173
Tabela 6.2 Exemplos de observadores na produção de fermento de padeiro ...............................................175
Tabela 6.3 Exemplos de estimadores na produção de fermento de padeiro..................................................175
Tabela 6.4 Partições induzidas de K e correspondente matriz A ..................................................................176
-1
Tabela 6.6 Valores iniciais para as equações do observador (g.L ) ............................................................183
Tabela 6.7 Efeito da variação de ζ para τ = 0.15 h ......................................................................................187
Tabela 6.8 Efeito da variação de τ para ζ = 1.0 ...........................................................................................187
13
Tabela 6.9 Valores dos ganhos para o estimador baseado no observador ...................................................188
Tabela 6.10 Valores iniciais para o estimador da taxa específica de crescimento .......................................193
Tabela 6.11 Parâmetros de sintonização dos estimadores ............................................................................206
Tabela 6.12 Valores iniciais para o estimador de cinéticas ..........................................................................206
Tabela 7.1 Exemplos de controlo da produção semi-contínua de fermento de padeiro................................236
Tabela 7.2 Exemplos de controlo multivariável na produção semi-contínua de fermento de padeiro..........237
Tabela 7.3 Equações de estado para os modelos parciais ............................................................................241
Tabela 7.4 Quadro resumo do modelo de entrada/saída...............................................................................243
Tabela 7.6 Valores dos parâmetros θi ...........................................................................................................246
Tabela 7.7 Comparação das leis de adaptação através dos critérios ITAE e erro médio.............................246
Tabela 7.8 Comparação do presença ou ausência da antecipação...............................................................249
Tabela 7.9 Quadro resumo do modelo de entrada/saída para o controlo multivariável ..............................256
Tabela 7.10 Valores dos parâmetros θi .........................................................................................................258
Tabela 7.11 Comparação das leis de adaptação através dos critérios ITAE e erro médio...........................259
Tabela A.1 Parâmetros cinéticos ...................................................................................................................282
Tabela A.2 Valores de coeficientes de rendimento ........................................................................................285
Tabela B.1 Valores próprios do sistema discreto de erros do estimador EDSO e correspondentes tempos de
amostragem..................................................................................................................................294
14
Lista de Figuras
Figura 1.1 Fases do crescimento de um microrganismo em cultura descontínua...........................................25
Figura 1.2 Perfis de concentração de microrganismo (X), substrato (S) e produto (P) para dois tipos de
formação de produto: (I) associado ao crescimento, (II) não associado ao crescimento .............26
Figura 1.3 Valor comercial de alguns produtos das indústrias de fermentação.............................................27
Figura 1.4 Investigação na área de modelação e controlo em processos biotecnológicos.............................34
Figura 1.5 Organização da tese por capítulos ................................................................................................40
Figura 2.1 Reprodução duma célula típica de levedura..................................................................................47
Figura 2.2 Mapa metabólico simplificado da utilização da glucose pela S. cerevisiae ..................................51
Figura 2.3 Representação esquemática do metabolismo da glucose em S. cerevisiae....................................52
Figura 2.4 Representação esquemática da capacidade respiratória limitada ................................................54
Figura 2.5 Estrutura química da ampicilina ...................................................................................................56
Figura 2.6 Esquema reaccional da síntese de ampicilina ...............................................................................59
Figura 3.1 Esquema da instalação experimental para a produção de fermento de padeiro...........................67
Figura 3.2 Espectro de massas para os componentes puros ...........................................................................73
Figura 3.3 Sistema reaccional para a síntese enzimática de ampicilina.........................................................82
Figura 4.1 Reactor biológico perfeitamente agitado.......................................................................................91
Figura 5.1 Sistema com entradas, saídas e perturbações..............................................................................120
Figura 5.2 Conteúdo informativo medido em termos de optimalidade D para várias experiências .............138
Figura 5.3 Elipses de desvios dos parâmetros θi para os períodos de funcionamento em regime respirofermentativo (a) e em regime respirativo (b) para o problema de identificação através de modelos
parciais.........................................................................................................................................140
Figura 5.4 Experiência de identificação com perfil de alimentação exponencial (Simulação 4). (a) perfis de
biomassa, etanol e dióxido de carbono (traço - valores “reais”, pontos - validação); (b) perfis de
glucose e oxigénio; (c) taxas de transferência de oxigénio e de dióxido de carbono; (d) perfil de
alimentação: caudal e taxa de diluição .......................................................................................141
Figura 5.5 Perfis de taxas específicas de crescimento (a) e perfis dos regressores (b) ................................142
Figura 5.6 Efeito da concentração de glucose na alimentação e do tempo de operação no grau de riqueza
informativo para o período respiro-fermentativo ........................................................................143
Figura 5.7 Efeito da concentração de glucose na alimentação e do tempo de operação no grau de riqueza
informativo para o período respirativo........................................................................................143
Figura 5.8 Taxa de diluição e volume de reactor ..........................................................................................147
Figura 5.9 Perfis de concentração de glucose, etanol e biomassa................................................................148
15
Figura 5.10 Caudal volumétrico de dióxido de carbono à saída do reactor: (a) dados em bruto, (b) dados
filtrados. Taxa de transferência de dióxido de carbono (c) .........................................................149
Figura 5.11 Ajuste das equações de regressão de cálculo dos coeficientes de rendimento ..........................150
Figura 5.12 Taxa de diluição e volume de reactor ........................................................................................151
Figura 5.13 Caudal volumétrico de dióxido de carbono à saída do reactor: (a) dados em bruto, (b) dados
filtrados. Taxa de transferência de dióxido de carbono (c) .........................................................152
Figura 5.14 Validação experimental da identificação dos coeficientes de rendimento ................................153
Figura 6.1 Sensores por programação ..........................................................................................................160
Figura 6.2 Esquema geral de um estimador - observador ............................................................................161
Figura 6.3 Observador assimptótico .............................................................................................................166
Figura 6.4 Perfis de caudal de alimentação (a), volume do reactor (b) e taxa de diluição (c).....................181
Figura 6.5 Perfis das pseudo medidas das concentrações de oxigénio dissolvido (a) e de dióxido de carbono
dissolvido (b)................................................................................................................................182
Figura 6.6 Perfis de pseudo medidas de taxa de transferência de oxigénio (a) e taxa de transferência de
dióxido de carbono (b) .................................................................................................................183
Figura 6.7 Perfis das estimativas das concentrações de biomassa (a), glucose (b) etanol (c). (Traço - valores
pseudo reais, Pontos - valores estimados) ...................................................................................184
Figura 6.8 Taxa específica de crescimento para a respiração da glucose: (a) efeito da variação de ζ para τ
constante, (b) efeito da variação de τ para ζ constante (traço contínuo: valores pseudo reais,
pontos ou traço descontínuo: valores estimados) ........................................................................185
Figura 6.9 Taxa específica de crescimento para a fermentação da glucose: (a) efeito da variação de ζ para
τ constante, (b) efeito da variação de τ para ζ constante (traço contínuo: valores pseudo reais,
Figura 6.10 Taxa específica de crescimento para a respiração do etanol: (a) efeito da variação de ζ para τ
constante, (b) efeito da variação de τ para ζ constante (traço contínuo: valores pseudo reais,
Figura 6.11 Validação da estimação através do quociente respiratório.......................................................188
Figura 6.12 Taxas específica de crescimento: (a) respiração da glucose, (b) fermentação da glucose, (c)
respiração do etanol (traço contínuo: valores pseudo reais, pontos ou traço descontínuo: valores
estimados) ....................................................................................................................................189
Figura 6.13 Perfil de concentração de etanol ...............................................................................................194
Figura 6.14 Valores estimados de taxa específica de crescimento................................................................195
Figura 6.15 Perfis de concentração de biomassa (a) e de glucose (b)..........................................................196
Figura 6.16 Estimação da variável ψ e valores da pseudo medida ψm .........................................................196
Figura 6.17 Estimavas em linha do coeficiente de rendimento k2 .................................................................197
Figura 6.18 Perfis de taxa de diluição (a) e caudais de alimentação dos reagentes (b)...............................203
Figura 6.19 Variáveis de estado pseudo medidas em linha: (a) 6-APA, (b) FG ...........................................204
Figura 6.20 Variáveis de estado estimadas em linha: (a) MFG, (b) Ampicilina, (c) Metanol ......................205
Figura 6.21 Comparação entre as estimativas para k1 = k2 =0.7 e k1 = k2 =1.0..........................................205
16
Figura 6.22 Perfis das variável ψ1 (a) e ψ2 (b)..............................................................................................207
Figura 6.23 Perfis de estimativas das taxas específicas de reacção (a) ρ1, (b) ρ2 ........................................207
Figura 6.24 Perfis de estimativas das taxas de reacção (a) ϕ1, (b) ϕ2, (c) ϕ3 ...............................................208
Figura 6.25 Validação da estimação das cinéticas: comparação entre valores medidos e valores estimados
para (a) concentração de fenilglicina, (b) ampicilina .................................................................209
Figura 6.26 Perfis dos ganhos dos estimadores: (a) ω1 (b) ω2 (c) Ω1 (d) Ω2 (a, b, c, d - colocação de pólos;
c, d - dinâmica de 2ª ordem) ........................................................................................................209
Figura 6.27 Efeito do coeficiente de amortecimento ζ na estimação de ρ1 (a) e ρ2 (b) ................................210
Figura 6.28 Efeito da constante de tempo τ na estimação de ρ1 (a) e ρ2 (b).................................................211
Figura 6.29 Efeito da posição do pólo na estimação de ρ1 (a) e ρ2 (b).........................................................212
Figura 7.1 Estrutura da configuração de controlo por retroacção...............................................................221
Figura 7.2 Controlo adaptativo .....................................................................................................................223
Figura 7.3 Controlo inferencial.....................................................................................................................225
Figura 7.4 Controlo convencional vs. Controlo linearizante ........................................................................226
Figura 7.5 Erro de convergência...................................................................................................................228
*
Figura 7.6 Controlo do etanol para E = 0.5 (a) e a correspondente acção de controlo (b)........................247
Figura 7.7 Comparação das estimativas (traço) dos parâmetros θ2 (a) e θ3 (b) com os valores verdadeiros
(linha contínua)............................................................................................................................248
Figura 7.8 Alteração de ±10% no valor de referência ..................................................................................248
Figura 7.9 Efeito da antecipação para alterações de ±50% na carga Se ......................................................250
Figura 7.10 Estimativas dos parâmetros θ2 e θ3 (traços) para alteração na carga......................................250
Figura 7.11 Efeito do ruído na medição do etanol e taxa de transferência de oxigénio...............................251
Figura 7.12 Estimativas dos parâmetros θ2 e θ3 (traços) para medições com ruído ....................................251
Figura 7.13 Efeito da utilização de diferentes valores iniciais de θ2 e θ3 .....................................................253
Figura 7.14 Estimativas de θ2 e θ3 para valores iniciais diferentes ..............................................................253
Figura 7.15 Arranque da fermentação com regulação do etanol..................................................................254
Figura 7.16 Controlo do etanol (a) e do oxigénio dissolvido (b) com as correspondentes acções de controlo
(c, d) - lei de adaptação EDSO ....................................................................................................260
Figura 7.17 Estimativas (traço) dos parâmetros θ1 (c) e θ3 (d) através da lei de adaptação EDSO versus
valores verdadeiros (linha contínua); perfil do regressor (a) e do quociente respiratório (b) ...261
Figura 7.18 Controlo do etanol (a) e do oxigénio dissolvido (b) e correspondentes acções de controlo (c e d)
para a lei de adaptação MQR......................................................................................................261
Figura 7.19 Estimativas dos parâmetros θ1 (c) e θ3 (d) através da lei de adaptação MQR; perfil do regressor
(a) e do quociente respiratório (b)...............................................................................................262
Figura 7.20 Controlo do etanol (a) e do oxigénio dissolvido (b) e correspondentes acções de controlo (c e d)
para medições com ruído branco.................................................................................................263
Figura 7.21 Estimativas dos parâmetros θ1 (c) e θ3 (d) para medições com ruído branco; perfil do regressor
(a) e do quociente respiratório (b)...............................................................................................263
17
Figura 7.22 Efeito da utilização de diferentes valores iniciais de θ1 e θ3 .....................................................264
Figura 7.23 Estimativas de θ1 (c) e θ3 (d) para valores iniciais diferentes; perfil do regressor (a) e do
quociente respiratório (b) ............................................................................................................265
Figura A.1 Esquema de cálculo das taxas específicas de crescimento na produção de fermento de padeiro
......................................................................................................................................................283
18
Lista de Símbolos
LETRAS LATINAS MAIÚSCULAS
A
B
C
C
Csat
CG,CO
matriz função de coeficientes de rendimento
vector de perturbação externa
concentração de dióxido de carbono na fase líquida
matriz (diagonal) de calibração
concentração de saturação de dióxido de carbono dissolvido
concentração molar de dióxido de carbono na fase gasosa
(ML )
-3
(ML )
sat
CL,i
concentração (molar) de saturação na fase líquida para o componente i
(ML )
CL,i
D
concentração (molar) na fase líquida para o componente i
taxa de diluição
(ML )
-1
(T )
-3
(ML )
-3
2
i
-3
-3
2 -1
LT
DL
difusividade de fase líquida para o componente i
E
F
Fe
Fi
FI
Fs
Ge
Gs
H
HCO
concentração de etanol
(ML )
-1 -3
vector de caudais (mássicos) de entradas líquidas no reactor
(MT L )
-1
caudal (mássico) de alimentação do reactor na forma líquida
(MT )
-1
caudal (mássico) de alimentação do reactor na forma líquida, para o componente i (MT )
matriz de informação de Fisher
-1
caudal (mássico) de saída do reactor na forma líquida
(MT )
-1
caudal (molar) de entrada de gás
(MT )
-1
caudal (molar) de saída de gás
(MT )
-3
matriz diagonal função das concentrações das variáveis de estado
(ML )
constante de HENRY para o dióxido de carbono
-3
2
I
Io
K
+
intensidade medida
intensidade de referência
matriz de coeficientes de rendimento ou coeficientes estequiométricos
Ka
inversa generalizada ou a pseudo-inversa da matriz Ka
KC
vector dos coeficientes de rendimento para o dióxido de carbono
i
KLa
KO
Ks
L
L
M, Mi
NC
O
Osai
P
P
P
P
coeficiente global de transferência de massa para o componente i
vector dos coeficientes de rendimento para o oxigénio
parâmetro de saturação
comprimento da célula de medida
matriz n×n de permutação de linhas
massa molar; massa molar do componente i
número de condicionamento
concentração de oxigénio dissolvido
concentração de saturação de oxigénio dissolvido
produtividade
vector dos sinais desacoplados
concentração na fase líquida para o produto de síntese
pressão total
-1
(T )
(L)
(M)
-3
(ML )
-3
(ML )
-1
(ML-3T )
-3
(ML )
-1 --2
(ML T )
19
-3
P1
P2
P3
Q
Qe
QP
Qs
concentração de fenilglicina
(ML )
-3
concentração de ampicilina
(ML )
-3
concentração de metanol
(ML )
-3 -1
vector de caudais mássicos de saídas gasosas do reactor
(ML T )
-3 -1
caudal volumétrico de entrada de gás
(L T )
-3 -1
caudal mássico gasoso de saída do produto P por unidade de volume de reactor (ML T )
-3 -1
caudal volumétrico de saída de gás
(L T )
e
caudal mássico do componente i gasoso à entrada do reactor
Qi
s
-1
(MT )
-1
Qi
R
R
R
-1
R
Si
Sij
S
S
Se
S1
S2
T
T
Tt
U
caudal mássico do componente i gasoso à saída do reactor
(MT )
constante dos gases perfeitos
matriz de fragmentação
rendimento global
matriz de desconvolução
intensidade (ou altura) total do pico ou sinal
contribuição do componente j para a intensidade do pico da massa i
vector dos sinais gerados pelo espectrómetro
-3
concentração de glucose
(ML )
-3
concentração de glucose no meio de alimentação
(ML )
-3
concentração de ácido 6-aminopenicilânico
(ML )
-3
concentração de metilfenilglicina
(ML )
temperatura absoluta
(θ)
período de amostragem
(T)
tempo total da experiência
(T)
vector que representa o balanço entre entradas e/ou saídas de substratos e
-3 -1
produtos gasosos
(ML T )
Volume de líquido no reactor
(L)
volume de fase gasosa
(L)
-3
concentração em biomassa
(ML )
vector das observações
-3
vector transformação de estado resultante de uma partição no modelo de estado
(ML )
V
VG
X
Ym
Z
LETRAS LATINAS MINÚSCULAS
a
c
d
d
e
h
ki
kij
n
nj
nT
m
p
pi
qs
max
qs
resp
qs
t
ri
u
x
coeficiente de absorção
-3
concentração
(ML )
vector de perturbações medidas
diâmetro das elipsóides de desvios
erro na medição
elemento da matriz H
coeficientes de rendimento
coeficientes de rendimentos ou coeficientes estequiométricos do componente j na reacção i
número de variáveis de estado
número de componentes envolvidos na reacção j
número de pontos experimentais
número de reacções; número de entradas de controlo
característica da matriz K; vector com posições de pólos no plano Z (0 a 1)
-1 --2
pressão parcial do componente i
(ML T )
-1
taxa específica (total) de consumo de glucose
(T )
valor máximo para taxa específica de consumo de glucose
taxa específica de consumo respirativo de glucose
tempo
velocidade de reacção i
vector de entradas
vector de variáveis de estado
-1
(T )
-1
(T )
(T)
-3 -1
(ML T )
20
y
y
ye,i
ys,i
w
z
vector de saídas medidas
fracção molar
fracção molar (ou volúmica) do componente i na corrente gasosa de entrada
fracção molar (ou volúmica) do componente i na corrente gasosa de saída
vector de perturbações não medidas; ruído branco
vector de saídas não medidas; observações
LETRAS GREGAS MAIÚSCULAS
Φ
Γ
Λ
Ω
Ψ
matriz de funções de estado
matriz de ganhos dos estimadores
matriz de ganhos das leis de controlo
matriz de ganhos dos estimadores
matriz de funções de estado
LETRAS GREGAS MINÚSCULAS
j
αi
β
δ
ε
razão entre os coeficientes de rendimento j e i
constante de proporcionalidade
grau relativo (ordem da equação diferencial)
erro de estimação; erro de controlo
vector regressor
ganho; factor de esquecimento para o método dos mínimos quadrados recursivos
vector de velocidades de reacção
valor próprio da matriz de informação de FISHER; ganho da lei de controlo
taxa específica de crescimento
(T )
taxa específica de crescimento fermentativo em glucose
(T )
taxa específica de crescimento respirativo em etanol
(T )
µs
taxa específica de crescimento respirativo em glucose
(T )
µ max
θ
τ
υ
υp
ξ
ξGe,i
ξGs,i
ρj
ξj
ξL,i
taxa específica máxima de crescimento
vector de parâmetros do modelo
período natural de oscilação
taxa específica de produção
taxa específica de produção não associada ao crescimento
vector de estado constituído pelas concentrações dos componentes
concentração mássica do componente i na corrente gasosa de entrada no reactor
concentração mássica do componente i na corrente gasosa à saída do reactor
taxa específica de reacção j
variável de estado (concentração do componente j)
concentração mássica do componente i no reactor (fase líquida)
(T )
φ
γ
ϕ
λ
µ
r
µs
o
µe
o
sat
ξL,i
ω
ψ
ζ
concentração mássica de saturação do componente i no reactor (fase líquida)
ganho
matriz de transformação de estado
coeficiente de amortecimento
ÍNDICES
a, b
e
f
l
m
designa partição
entrada
condições finais da fermentação
refere-se a uma linha de uma dada matriz
medida
-1
-1
-1
-1
-1
(T)
-1
(T )
-1
(T )
-3
(ML )
-3
(ML )
-3
(ML )
-1
(T )
-3
(ML )
-3
(ML )
-3
(ML )
21
max
min
R
RF
r
s
máximo
mínimo
respirativo
respiro-fermentativo
partição de dinâmica rápida
partição de dinâmica lenta; subconjunto; saída
NOTAÇÃO MATEMÁTICA
T
Transposta de uma matriz
inversa de uma matriz
pseudo-inversa de uma matriz
valor estimado
erro de estimação; determinante
média
-1
+
^
~
–
.
*
cov
diag
det
E{...}
ƒ(Z|θ)
In
[...]
δ
∂
...
derivada em ordem ao tempo (d/dt)
valor de referência
co-variância
designa uma matriz diagonal
determinante
operador estatístico esperança
função densidade de probabilidade condicional de Z dado θ
designa a matriz identidade (ordem n)
concentração
variação
derivada parcial
norma
|...|
valor absoluto
gradiente
∇
SIGLAS DE INSTITUIÇÕES
ATCC
CIPAN
DTIQ
EFB
ETH
IFAC
IUPAC
LADAS
LNETI
UCL
American Type Culture Collection
Companhia Portuguesa de Antibióticos SA
Departamento de Tecnologia e Indústria Química
European Federation of Biotechnology
Eidgenössische Technische Hochschule
International Federation of Automatic Control
International Union of Pure and Applied Chemistry
Laboratoire d’Automatique et Dynamique et Analyse des Systèmes
Laboratório Nacional de Engenharia e Tecnologia Industrial
Université Catolique de Louvain
OUTRAS SIGLAS
ADN
ADP
APA
ARMAX
ATC
ATP
BLUE
CER
CTR
DCU
DDE
Ácido Desoxirribonucleico
Adenosine-Di-Phosphate
Aminopenicilânico
Auto Regressive Moving Average Auxiliar input
Ácidos Tri-Carboxílicos
Adenosine-Tri-Phosphate
Best Linear Unbiased Estimator
Carbon Dioxide Evolution Rate
Carbon Transfer Rate
Digital Control Unit
Dynamic Data Exchange
22
EBO
EDSO
ELEL
ELSL
EMP
FEK
FG
GPC
HPLC
I&D
ITAE
L/A
LCD
LIT
LQC
LVT
MFG
MQR
NADH
NTU
OTR
OUR
PC
PID
PTN
PTV
r.p.m.
RGA
RQ
R
RF
SAD
TGS
u.m.a.
Estimador Baseado num Observador
Estimador de Dinâmica de Segunda Ordem
Entrada Limitada Estado Limitado
Entrada Limitada Saída Limitada
Embden-Meyerhof-Parnas
Filtro Estendido de Kalman
Fenilglicina
Generalized Predictive Control
High Performance Liquide Chromatography
Investigação e Desenvolvimento
Integral of Time-weighted Absolute Error (Integral do erro absoluto pesado pelo tempo)
Iniciais dos nomes dos filhos de M. LAKRORI
Liquid Crystal Display
Linear Invariável no Tempo
Linear Quadratic Control
Linear Variável no Tempo
Metilfenilglicina
Mínimos Quadrados Recursivos
Nicotinamide Adenine Dinucleotide Hydrogen (forma reduzida de NAD)
Nephelometric Turbidity Unit
Oxygen Transfer Rate
Oxygen Uptake Rate
Personnal Computer
Proporcional, Integral e Derivativo
Pressão e Temperatura Normais (1 atm e O °C)
Pressão, Temperatura e Volume
rotações por minuto
Residual Gas Analysis
Respiratory Quotient (Quociente Respiratório)
estado Respiratório do Processo
estado Respiro-fermentativo do Processo
Sistema de Aquisição de Dados
Taguchi Gas Sensor
unidade de massa atómica
NOTAS:
1. Pelo facto de não ser frequente a utilização de unidades SI no domínio da biotecnologia, recorreu-se por
-1
vezes a unidades mais comuns, como por exemplo, a utilização de g.L para exprimir concentrações.
2. Por uma questão de legibilidade, optou-se pela capitalização da letra que designa a unidade litro. Assim,
o convencional l é substituído por L.
IDENTIFICAÇÃO E CONTROLO ADAPTATIVO DE PROCESSOS BIOTECNOLÓGICOS
EUGÉNIO C. FERREIRA
TESE DE DOUTORAMENTO EM ENGENHARIA QUÍMICA
FEUP 1995
1. Introdução
Sumário
Neste capítulo são apresentados o contexto e a motivação para a realização desta tese. É feito um
enquadramento da Biotecnologia nos aspectos operacionais e económicos. Situa-se o trabalho relativamente
às metodologias habituais de desenvolvimento em Biotecnologia: a escolha da abordagem de teoria de
sistemas é confrontada com as abordagens biológica e tecnológica. Apresenta-se uma breve revisão sobre a
operação de reactores biológicos assistidos por computador. É feita uma ligeira introdução às metodologias
adaptativas.
São apresentados os objectivos principais e a metodologia utilizada. Termina-se o capítulo com a
descrição da organização da tese.
1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO 1.2 OBJECTIVOS E METODOLOGIA
1.3 ORGANIZAÇÃO DA TESE 1.4 BIBLIOGRAFIA
1. INTRODUÇÃO
24
1.1 Contexto e Motivação
1.1.1 A Biotecnologia
Nos últimos anos têm-se assistido a um grande e rápido desenvolvimento na área da
Biotecnologia, com o aparecimento de novos processos a nível industrial que recorrem a
microrganismos. Os processos biotecnológicos têm actualmente uma grande aplicação em
sectores tais como o agro-alimentar, a química-fina e farmacêutico, a energia e o ambiente.
Existem várias definições de Biotecnologia. Um documento da European Foundation
for the Improvement of Living and Working Conditions (1989) refere a existência de 41
(quarenta e uma!) definições no seio da Comunidade Europeia. A European Federation of
Biotechnology (1994) propõe a seguinte definição:
“Biotecnologia é a integração das Ciências Naturais e das Ciências de
Engenharia com vista à aplicação industrial de organismos, células, partes
destas e análogos moleculares para a obtenção de produtos e serviços.”
A generalidade dos processos biotecnológicos pode dividir-se em duas categorias:
reacções de crescimento microbiano (reacções microbiológicas), e reacções catalisadas por
enzimas (reacções bioquímicas ou bio-transformações). Os processos biotecnológicos são
usados para a produção de uma vasta gama de produtos com diferentes valores comerciais.
Um processo biotecnológico pode então definir-se como aquele em que há uma utilização
de microrganismos (fermentos, bactérias, etc.) e/ou enzimas, podendo ter como objectivo a
síntese de compostos químicos intracelulares (proteínas) ou extracelulares (antibióticos,
álcool), a produção de biomassa (caso da produção de fermento de padeiro), de alimentos
(bebidas), de energia (biogás, etanol) ou ainda a despoluição biológica de efluentes
(degradação da matéria poluente pelos microrganismos).
O crescimento dos organismos num reactor biológico decorre através do fornecimento
ao meio líquido de certos nutrientes ou substratos (fontes de carbono, azoto, oxigénio, …,
vitaminas, micronutrientes) na presença de condições ambientais favoráveis (temperatura,
pH, arejamento, agitação, …). Um reactor biológico é, portanto, um tanque onde ocorre
uma ou várias reacções biológicas geralmente em meio líquido.
A Figura 1.1 representa a variação do número de células vivas ao longo do tempo (a
massa destas células é designada por biomassa) para o crescimento de um dado
1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO
25
microrganismo em cultura descontínua. São evidenciadas as várias fases do crescimento:
uma primeira fase, após inoculação, em que não se verifica crescimento - fase de latência
(1), uma fase de aceleração (2), uma fase de crescimento exponencial (3) seguida de
desaceleração (4), para se atingir uma fase estacionária (5) em que se alcança o máximo
tamanho da população. Eventualmente, poderá ocorrer de seguida um declínio no número
de células - fase de decaimento ou morte celular (6).
Número de Células (log)
4
5
6
3
1
2
Tempo
Figura 1.1 Fases do crescimento de um microrganismo em cultura descontínua
O objectivo geral de um processo biotecnológico com crescimento microbiano, muitas
vezes designado de fermentação♦, é minimizar a duração da fase de latência e maximizar a
taxa de crescimento e a duração da fase exponencial. É comum perspectivar a obtenção do
tamanho máximo para uma dada população no final do crescimento - caso da produção de
fermento de padeiro.
A dinâmica dos processos de fermentação é consequência da cinética de crescimento
dos microrganismos, da hidrodinâmica e tipo de reactor, do modo de alimentação de
substratos e nutrientes.
Relacionados com o crescimento dos organismos podem distinguir-se dois tipos de
formação de produtos microbianos (MOSER, 1988):
♦
Tradicionalmente, a designação fermentação referia-se aos processos com metabolismo anaeróbio,
sendo os processos de metabolismo aeróbio denominados de respiração. Contudo o termo tem sido usado
como sinónimo de qualquer processo biotecnológico, seja aeróbio ou anaeróbio.
1. INTRODUÇÃO
26
• Tipo I: a acumulação de produtos está directamente associada com a fase de
crescimento (metabolismo primário); estes produtos são denominados de
metabolitos primários. São normalmente obtidos com grandes rendimentos e
apresentam um baixo valor comercial. Exemplos: etanol, ácido láctico, biomassa.
• Tipo II: não há uma relação directa entre o crescimento e a formação do produto
que ocorre após o metabolismo primário; estes produtos são denominados de
metabolitos secundários e apresentam, normalmente, um alto valor comercial
devido ao baixo rendimento desta etapa. Exemplos: antibióticos, vitaminas,
pigmentos.
No caso das enzimas pode falar-se de metabolitos intermédios, sendo contudo,
normalmente incluídas no grupo dos metabolitos secundários.
A Figura 1.2 ilustra os perfis de concentração do microrganismo, substrato e produto
para os dois tipos de formação de produto microbiano.
Tiipo
po II
Tipo
i po I
S
S
X
P
t
X
P
t
Figura 1.2 Perfis de concentração de microrganismo (X), substrato (S) e produto (P) para dois tipos
de formação de produto: (I) associado ao crescimento, (II) não associado ao crescimento
Dependendo do regime de alimentação, a operação dos reactores pode obedecer à
seguinte classificação:
• operação descontínua: não há adição de substrato para além do colocado
inicialmente, nem retirada de meio de cultura até ao final do processo; exemplo de
aplicação: formulações farmacêuticas;
• operação semi-contínua: os substratos necessários ao crescimento são alimentados
contínua ou intermitentemente sem retirada de meio de cultura. No início do
processo, o reactor é operado em modo descontínuo e no final pode proceder-se à
recolha de todo o meio ou à recolha parcial de modo a repetir o procedimento.
Exemplo: produção de fermento de padeiro (KRISTIANSEN, 1993), produção de
antibióticos (MOU e COONEY, 1983);
• operação contínua: decorre com a adição contínua de substrato e remoção
contínua de meio de cultura; exemplo: eliminação de poluentes num sistema de
lamas activadas (ANDREWS, 1992).
A concepção de reactores podem conduzir a várias configurações (ver por exemplo
BAILEY e OLLIS, 1986), apresentando-se alguns tipos na Tabela 1.1:
27
Tabela 1.1 Tipos de reactores biológicos
Tipo de Reactor
Exemplo
Reactor de mistura completa
Reactor tubular de fluxo pistão
Membrana
Reactor de circulação por arejamento (air-lift)
Coluna de bolhas
Leito fluidizado
células imobilizadas
Leito fixo
enzimas imobilizadas
filtro percolador
Cascata de reactores
Reciclagem de células
RENARD et al. (1991)
CUZIN et al. (1992)
MARIGNETTI et al. (1993)
CHISTI (1989)
DECKWER (1992)
SCHÜGERL (1989)
MELICK et al. (1987)
TANAKA et al. (1993)
LOGAN (1987)
DOURADO et al. (1987)
TEIXEIRA et al. (1989)
1.1.2 Aspectos Económicos
Na Figura 1.3 estão representados alguns produtos obtidos industrialmente por
fermentação e o seu respectivo valor comercial por tonelada (adaptado de DUNNILL, 1987).
A maior parte destes produtos é obtida em reactores de mistura completa. O elevadíssimo
preço apresentado para a obtenção de produtos usando culturas de células animais
(anticorpos monoclonais, por exemplo) é justificado pela utilização de nutrientes
complexos dispendiosos. O custo da operação destas fermentações é desprezável quando
comparado com o custo dos nutrientes e com outros custos elevados como seja o
investimento em I&D e a aprovação regulamentar.
1E+10
1E+00
Proteina
Vitamina B12
Penicilina
1E+02
Fermento
de Padeiro
1E+04
Figura 1.3 Valor comercial de alguns produtos das indústrias de fermentação
Cultura de Células Animais
1E+06
Tratamento
de efluentes
Preço ($EUA)/ton.
1E+08
1. INTRODUÇÃO
28
No outro extremo da Figura 1.3, pode encontrar-se, por exemplo, o processo de digestão
anaeróbia para o tratamento de efluentes domésticos e industriais, cujo objectivo principal
é alcançar um grau de remoção/purificação a custos mínimos.
O meio nutriente utilizado para a produção de metabolitos secundários representa 60 a
90% dos custos de fermentação. Para a obtenção de metabolitos primários esse custo
representará 40 a 70% do custo total (ROYCE, 1993). A energia consumida num reactor
industrial de mistura completa para agitação, arejamento e fornecimento de água apresenta
um valor médio de 8.2 KWh/m3. O custo da electricidade para a indústria é de 55
ECU/MWh (KRISTIANSEN, 1993). Uma fermentação de 6 dias para produção de antibiótico
num fermentador de 100 m3 necessita de cerca de 8000 $EUA de potência.
Para ambos os casos de produção, o objectivo predominante é alcançar rendimentos
elevados, sendo a economia de energia um objectivo secundário. Um objectivo global será
expresso em termos de concentração, pureza e rendimento do processo.
O rendimento de um processo estará sempre limitado por considerações termodinâmicas
e estequiométricas para as vias bioquímicas que constituem o metabolismo celular.
1.1.3 Metodologias de Desenvolvimento
Para aumentar a competitividade dos processos biotecnológicos, torna-se necessário a
aplicação de metodologias operacionais capazes de assegurar de modo estável e
reprodutível uma produtividade máxima com um mínimo de custos. Para tal, é preciso
conjugar três abordagens ao problema:
• a abordagem biológica ou bioquímica em que se procura melhorar o desempenho
do processo e dos próprios catalisadores pela selecção de microrganismos e de
meios de cultura apropriados ou por manipulações genéticas (mutagénese induzida;
recombinação genética baseada em fusão de protoplastos,…) - objectivos da
Engenharia Genética e da Microbiologia;
• a abordagem tecnológica que se concentra no desenvolvimento de melhores
tecnologias e condições operacionais (regime de funcionamento, processos
imobilizados, novas concepções de reactores, etc.) - objectivos da Engenharia
Biológica e da Bioquímica;
• a abordagem matemática que recorre à modelação matemática dos processos e à
utilização de estratégias (por vezes automáticas) de monitorização e controlo da
operação dos biorreactores - objectivos da Teoria de Sistemas e da Matemática
Aplicada.
29
A abordagem matemática é normalmente utilizada após a concepção e optimização do
processo sob o ponto de vista das abordagens biológica e tecnológica. Os ganhos de
desempenho introduzidos pela abordagem matemática não são tão importantes, sobretudo
quando comparados com as outras abordagens. A abordagem biológica/bioquímica pode
melhorar significativamente o baixo rendimento na produção de metabolitos secundários.
A engenharia genética poderá introduzir incrementos de 50 vezes em certos processos. A
abordagem tecnológica conseguirá melhoramentos na ordem dos 50% (MORGAN, 1992).
A importância económica de obtenção de altos rendimentos justifica a introdução de
estratégias de monitorização e controlo, para acompanhar de um modo regular e preciso,
de forma a garantir uma certa reprodutibilidade do processo.
Estes requisitos ganham uma grande importância na situação de utilização de
metabolitos secundários para fins terapêuticos (ROYCE, 1993). Neste caso, a aprovação por
autoridades regulamentares, implica que todo o processo seja validado (que observe as
especificações) e que o controlo do processo seja estabelecido de modo a garantir uma
qualidade consistente do produto (GERSON et al., 1988; WERNER e LANGLOUIS-GAU, 1989). Um
segundo factor prende-se com a utilização de patentes na fase de desenvolvimento de um
produto: o melhoramento da monitorização do processo e a remoção de etapas limitantes
poderá minimizar os custos de I&D normalmente associados a esta fase.
1.1.4 Operação Assistida por Computador
O investimento em automação e em sistemas informáticos, em novas instalações piloto
de desenvolvimento de produtos e processos, duplicou na última década, representando
15% do total a investir (LÜBBERT, 1991). A indústria tem-se mostrado reticente na
introdução de novas estratégias de monitorização e controlo devido aos riscos de
contaminação e preocupação em relação à robustez e fiabilidade dos sensores. A aplicação
de modelos no controlo em ciclo fechado em fermentações industriais é ainda
insignificante. A indústria utiliza principalmente modelos parciais ou empíricos.
A Monitorização (avançada) pode ser entendida como a aquisição e análise de
informação com vista ao melhoramento da capacidade de acompanhamento de variáveis
críticas que afectam o processo biotecnológico. Um aspecto avançado da monitorização é a
incorporação de medidas em modelos e em algoritmos de estimação de estados
(observadores) que forneçam informação não directamente mensurável.
1. INTRODUÇÃO
30
A etapa de Controlo pode ser vista como a aplicação da informação recolhida e tratada
na etapa de monitorização. A utilização de estratégias de operação óptima em processos é
aquilo a que em linguagem de Teoria de Sistemas se designa por Controlo de Processos.
Resumidamente, o objectivo do controlo é manter algumas variáveis de estados do
processo (ou uma função dessas variáveis) próximas de valores de referência
preestabelecidos, face a perturbações e/ou variações nas cinéticas do processo.
Os objectivos da monitorização e controlo de processos biotecnológicos dependem,
pois, do tipo de produto que se pretende obter. No caso de um metabolito primário
(fermento de padeiro, etanol) estas estratégias deverão ser orientadas para a obtenção de
rendimentos e concentrações elevadas ao mais baixo custo total. Na produção de
metabolitos secundários (antibióticos, enzimas) pretende-se, com auxílio destas estratégias,
garantir uma boa reprodutibilidade, alcançar um elevado grau de pureza e facilitar os
estudos de desenvolvimento com vista ao aumento de escala.
No controlo de um reactor biotecnológico exige-se o acesso em tempo real a variáveis
medidas em linha, isto é, o algoritmo de controlo deve dispor, periodicamente, de
determinados valores de variáveis do processo. É nesta fase que os computadores adquirem
um papel relevante, dada a sua capacidade de aquisição rápida de dados através de uma
interface ad hoc - Sistema de Aquisição de Dados (SAD). Um SAD deverá permitir a
aquisição e armazenamento de dados a frequências variáveis, de modo a corresponder aos
períodos críticos do processo biotecnológico, possibilitando o processamento posterior da
informação. Deverá também permitir a automatização das várias etapas do processo
(enchimento, fornecimento de nutrientes, esterilização, etc.).
Uma das grandes dificuldades do controlo de processos biotecnológicos reside nos
problemas associados à tecnologia de medição das variáveis de interesse. Importa
distinguir entre as variáveis que podem ser realizadas em linha e as que têm de ser feitas
em diferido. Os algoritmos de controlo devem ter em conta estas condicionantes.
1.1.4.1 Perspectiva Histórica
A primeira proposta de aplicação de computadores no controlo de um processo
biotecnológico surge no início dos anos 60 (FULD, 1960). As indústrias químicas tinham
iniciado a introdução do controlo digital directo por computador em finais da década de 50.
As primeiras aplicações de computadores nas indústrias de fermentação surgem, somente,
31
em finais da década de 60 (ARMIGER e HUMPHREY, 1979), com um atraso de 10 anos em
relação à indústria química. No início da década de 70 surgem os primeiros artigos de
revisão (NYIRI, 1972; AIBA et al., 1973; RYU e HUMPHREY, 1973) da escassa literatura
científica sobre aplicação de computadores em processos biotecnológicos.
O primeiro encontro dedicado ao controlo por computador de processos de fermentação
foi realizado em Londres no início da década de setenta (LABEX SYMP. ON COMPUTER CONTROL
OF
FERMENTATION PROCESSES, 1971). Realiza-se, em 1973, em Dijon (França) a primeira
conferência internacional dedicada a esta temática. Esta conferência, que constituiu a
primeira de uma série, originou a edição de um livro com sete comunicações (THE FIRST
EUROPEAN CONF. ON COMPUTER PROCESS CONTROL IN FERMENTATION, 1973). A segunda conferência
desta série decorreu em 1978 em Filadélfia (EUA) com publicação das comunicações num
volume da colecção Biotechnology & Bioengineering Symposia (ARMIGER, 1979). A terceira
foi efectuada pouco tempo depois, em Manchester (R.U.) em 1981 (COMPUTER APPLICATIONS
IN
FERMENTATION TECHNOLOGY, 1982). A quarta conferência realizar-se-ia somente em 1988
em Cambridge (FISH et al., 1989). A quinta e última conferência decorreu em Keystone
(EUA) em 1992 e passou a integrar anteriores eventos de uma série intitulada Modelling
and Control of Biotechnological Processes (HALME, 1983; JOHNSON, 1986) com organização
da IFAC (Federação Internacional de Controlo Automático). A publicação (KARIM e
STEPHANOPOULOS, 1992) de mais de 100 comunicações seleccionadas de entre os trabalhos
apresentados é reveladora do estado actual do saber nas diversas áreas que integram este
vasto campo de investigação. Nessa última conferência decide procurar-se uma designação
mais curta para o nome desta série de eventos. Assim, a próxima conferência, a realizar em
Garmisch-Partenkirshen (Alemanha), assumirá a denominação de Computer Applications
in Biotechnology - CAB6.
Ao longo destes 20-30 anos foram sendo publicados vários trabalhos de revisão do
estado do saber nesta área da Ciência e Tecnologia. Sem pretender ser exaustivo
destacaria, contudo, algumas contribuições que permitem acompanhar a evolução nos
diferentes estágios de desenvolvimento.
O primeiro artigo, devido a NYIRI (1972), examina as (poucas) referências até ao início
da década de setenta. Tratavam-se, essencialmente de artigos que relatavam a utilização de
computadores em diferido para a análise de dados experimentais, simulação, cálculo
(óptimo) de trajectórias e estimação de parâmetros cinéticos. HUMPHREY (1977) revê as
1. INTRODUÇÃO
32
primeiras utilizações de computadores ligados em linha a fermentadores. DOBRY e JOST
(1977) examinam os desenvolvimentos publicados entre 1972 e 1977 sob um ponto de
vista industrial. São apresentados 11 sistemas de fermentação com monitorização e
controlo por computador, dos quais somente 2 são originais da indústria, sendo os restantes
baseados em laboratórios académicos ou de institutos de investigação. WEIGAND (1978)
apresenta uma revisão de um ponto de vista de investigação académica, centrando-se nas
omissões do artigo anterior. ARMIGER e HUMPHREY (1979) apresentam uma revisão
enfatizando a utilização de medições indirectas para a estimação da concentração de
biomassa e de taxas de crescimento utilizando técnicas de balanço aos componentes, com
vista ao controlo da fermentação. ZABRISKIE (1979) revê a aplicação de computadores
principalmente na óptica do controlo de fermentadores. Apresenta 5 casos de aplicação a
reactores descontínuos e 3 exemplos de aplicação a reactores contínuos. Discute a
aplicação de modelos de “caixa negra” e de métodos baseados em modelos inferenciais.
ROLF e LIM (1982) revêem vários equipamentos e programas informáticos disponíveis para
o controlo por computador. Discutem também vários algoritmos de optimização de estado
estacionário para reactores descontínuos e, optimização dinâmica para reactores semicontínuos e reactores contínuos. Discutem ainda técnicas de estimação, identificação e
filtragem necessárias para a etapa de controlo em linha. HATCH (1982) apresenta uma
revisão centrada nos requisitos do fermentador para o seu controlo por computador. BULL
(1983) apresenta uma revisão centrada na instrumentação necessária para a ligação
fermentador ao computador e em estudos de optimização da fermentação.
WANG e STEPHANOPOULOS (1984) publicam uma importante e completa resenha sobre a
aplicação de computadores em fermentação. Detalham, em mais de 100 páginas, o estado
de conhecimento na área até essa data. ONKEN e WEILAND (1984) analisam, sob uma forma
tutorial, a principal literatura sobre modelação, controlo e optimização. ZABRISKIE (1985)
enumera e detalha as principais tarefas de análise de dados em linha para processos de
fermentação. REUSS (1986) surge com um trabalho de revisão e de antevisão, focalizado nos
novos desenvolvimentos em tecnologia de amostragem automática essencial para as etapas
de monitorização e estimação em linha. Analisa ainda a principal literatura sobre
optimização de trajectórias de alimentação de reactores semi-contínuos. MONTAGUE et al.
(1989) apresentam um importante artigo de revisão que se debruça sobre quase todos os
aspectos desta área, com ênfase especial nas técnicas de estimação e no controlo
adaptativo. WILLIAMS (1990) faz uma perspectiva dos problemas práticos de
33
condicionamento de sinal e de aplicação de algoritmos de controlo. SHIMIZU (1993, 1994)
escreve dois artigos revisão da área. O primeiro faz uma panorâmica do desenvolvimento
em sensores, da estimação de estados e de parâmetros, da optimização e controlo. O
segundo centra-se na optimização em linha e controlo baseado em conhecimento.
Esta área é descrita em traços gerais por alguns autores (FISH e THORNHILL, 1988; BROWN,
1991) em pequenos trabalhos, normalmente orientados para uma audiência diferente e
publicados em revistas não especializadas nesta temática.
O estado actual de conhecimento na área de monitorização e controlo de processos
biotecnológicos é descrito em CHATTAWAY et al. (1993) e LIM e LEE (1991).
Nas publicações de revisão mais recentes, principalmente nos últimos cinco anos, temse notado um grande incremento na aplicação de algoritmos baseados em conhecimento,
na utilização de sistemas periciais e redes neuronais, e na utilização da lógica difusa.
Existem já vários artigos de revisão destas novas técnicas (HALME e KARIM, 1991; AYNSLEY et
al., 1993; KARIM e RIVERA, 1992; KONSTANTINOV et al., 1993; LÜBBERT e SIMUTIS, 1994;
MONTAGUE e MORRIS, 1994).
Apesar do aumento significativo da literatura na área de monitorização e controlo de
processos biotecnológicos, cuja via de publicação preferencial tem sido o artigo científico,
só muito recentemente surgiram os primeiros livros de texto com orientação didáctica:
OMSTEAD (1990), SCHÜGERL (1991), BASTIN e DOCHAIN, (1990), PONS (1992), VOLESKY e
VOTRUBA (1992). Anteriores à década de 90 foram publicados alguns livros nesta área
(LEIGH, 1986; BUSHELL, 1988) que consistiam basicamente em compilações de diferentes
autores, muitas vezes sem um fio de ligação entre eles.

A preocupação actual de investigação na área da modelação (BASTIN e MORRIS, 1992) está
centrada nos problemas de identificação de sistemas e planificação de experiências, no
recurso necessário a técnicas de redução de modelos e na aplicação de métodos
alternativos, como sejam os estudos recentes explorando a utilização de redes neuronais.
Na área de controlo tem vindo a desenvolver-se esforços significativos na procura de
métodos de estimação de estados e na concomitante utilização de estratégias de controlo
também com base em modelos. Este panorama está sumariado na Figura 1.4.
1. INTRODUÇÃO
34
Modelização
Identificação de Sistemas
e Projecto de Experiências
Monitorização
e Controlo
Uso de Modelos para
Monitorização e Controlo
Aproximação (redução)
de modelos
Controlo Óptimo
Redes Neuronais
Controlo Adaptativo
Análise Estrutural
Controlo Inteligente
Figura 1.4 Investigação na área de modelação e controlo em processos biotecnológicos
1.1.5 Metodologias Adaptativas
Na Teoria de Sistemas existem variadas definições de sistema adaptativo. NARENDRA e
ANNASWAMY (1989) apresentam um estudo retrospectivo da evolução das várias definições
de sistema adaptativo.
Neste trabalho, o termo adaptativo é utilizado para designar técnicas de projecto de
sistemas (estimadores, controladores) para situações de modelo parcialmente conhecido
(GOODWIN e SIN, 1984). Estas técnicas incorporam normalmente mecanismos de reajuste de
parâmetros em linha.
A motivação para a utilização de técnicas adaptativos na síntese de estimadores e
controladores advém de:
• preocupação em basear os algoritmos em modelos determinísticos dos
processos biotecnológicos, contribuindo para uma melhor compreensão dos
mecanismos metabólicos e processuais;
• os estimadores de estado e os estimadores de parâmetros constituem uma
alternativa válida para a falta (ou custo proibitivo) de sensores fiáveis para a
medição em linha das principais variáveis de estado;
• Os processos biotecnológicos apresentarem características dinâmicas com
variação no tempo e serem sistemas com estrutura não linear.
1.1.6 Processos biotecnológicos em estudo
1.1.6.1 Produção de fermento de padeiro
A levedura Saccharomyces cerevisiae (fermento de padeiro) foi escolhida como
organismo-modelo devido às seguintes razões:
35
• é um microrganismo bem conhecido em investigação e na indústria;
• o preço do fermento de padeiro é determinado principalmente pela etapa de
conversão do processo de fabrico;
• as leveduras começam a desempenhar um papel importante como
organismos hospedeiros em tecnologia de ADN recombinante. Exemplos de
utilização de S. cerevisiae: produção de γ-interferão (GUTHKE et al., 1990), de
pro-insulina (TØTTRUP e CARLSEN, 1990), de α-amilase (SHIBA et al., 1994);
• A nível europeu (Federação Europeia de Biotecnologia) existe uma proposta
conjunta dos grupos de trabalho (Working-Party) Bioreactor Performance e
Measurement and Control de utilização desta levedura como caso de estudo
para comparação e validação de resultados entre vários laboratórios de
investigação.
A operação de um fermentador para a produção desta levedura é realizada em modo
semi-contínuo, justificada pela baixa produtividade da operação descontínua e da grande
sensibilidade da cultura contínua a contaminantes, não permitindo a maturação do
fermento de modo a obter-se uma boa qualidade de conservação. De um ponto de vista de
Engenharia de Controlo, os processos semi-contínuos apresentam um grande interesse
(YAMANÈ e SHIMIZU, 1984; PARULEKAR e LIM, 1985; JOHNSON, 1987). Nestes, o caudal de
alimentação pode ser alterado durante o processo, sem remoção do produto desejado até ao
fim da fermentação. O fermento de padeiro é produzido industrialmente deste modo,
existindo um enorme incentivo económico para a sua optimização (WILLIAMS, 1986).
1.1.6.2 Fermentação etanólica
A fermentação etanólica (ou alcoólica) pode ser vista como uma das etapas das
diferentes vias do metabolismo da levedura Saccharomyces cerevisiae. Enquanto que na
produção de fermento de padeiro o objectivo será a produção de biomassa, na fermentação
etanólica o objectivo coloca-se na obtenção de etanol.
1.1.6.3 Síntese enzimática de ampicilina
A ampicilina é um antibiótico com grande utilização clínica no tratamento de doenças
infecciosas. Esta penicilina é normalmente obtida por via química através da condensação
do ácido 6-aminopenicilânico com α-fenilglicina. O recurso a tecnologia enzimática tem
sido avaliado laboratorialmente como alternativa à síntese química (KASCHE, 1985).
Paralelamente ao desenvolvimento das abordagens bioquímica e tecnológica, julgou
importante avançar-se desde logo com estratégias de monitorização avançadas.
1. INTRODUÇÃO
36
O estudo constituía à época a primeira aplicação a um processo enzimático do tipo de
abordagem matemática utilizado neste trabalho.
1.2 Objectivos e Metodologia
O presente trabalho foi orientado para uma abordagem matemática ao problema da
melhoria de desempenho de processos biotecnológicos, não descurando contudo, os
aspectos relacionados com os outros tipos de abordagem, tendo como meta final a sua
validação em processos à escala laboratorial ou piloto.
O tema de doutoramento surge na sequência de estudos realizados na área de
Modelação e Controlo de Processos Biotecnológicos (FERREIRA et al., 1989a e 1989b) e
teve como objectivos de fundo a elaboração e aplicação de soluções para monitorização e
controlo por computador de processos biotecnológicos. Foi dada especial incidência à
supervisão e controlo de processos de fermentação utilizando algoritmos adaptativos. Os
problemas de monitorização endereçadas neste trabalho podem resumir-se à elaboração de
algoritmos (sensores por programação) para a estimação em linha de variáveis de estado
não medidas e de cinéticas de reacção. Procurou também planear-se experiências para
identificação de coeficientes de rendimento.
Um aspecto importante destas metodologias é o facto de se considerar as taxas de
reacção como parâmetros não estacionários que podem ser estimados em tempo real.
Nunca é assumido um modelo cinético para a descrição matemática das leis de velocidade
de reacção.
A descrição dinâmica do tipo de processos biotecnológicos em estudo assenta numa
equação não linear do espaço dos estados denominada de Modelo Dinâmico Geral de
Reactores Biológicos (BASTIN e DOCHAIN, 1990). As abordagens matemáticas utilizadas no
desenvolvimento de algoritmos de estimação, de identificação e de controlo adaptativo,
tem por base este modelo dinâmico geral e inspiram-se nas propostas apresentadas por
esses autores. A abordagem matemática para a identificação dos parâmetros coeficientes
de rendimento foi baseada numa proposta de CHEN (1992).
Como principais contribuições desta tese saliente-se a análise dos processos em estudo
(é dado destaque especial à produção de fermento de padeiro), a planificação de
1.2 OBJECTIVOS E METODOLOGIA
37
experiências e a procura de soluções alternativas para a sintonização das leis de estimação
e controlo.
1.2.1 Produção de fermento de padeiro
Os objectivos endereçados para este processo incluíam os seguintes aspectos: cálculo
(identificação) de coeficientes de rendimento sem conhecimento de cinéticas de
crescimento; estimação em linha de variáveis de estado não medidas e de velocidades de
reacção (taxas específicas de crescimento); estudo do controlo monovariável (regulação)
da concentração de etanol e do controlo multivariável das concentrações de etanol e
oxigénio dissolvido; configuração de uma instalação laboratorial para teste e validação dos
algoritmos desenvolvidos.
Para a identificação dos coeficientes de rendimento do modelo torna necessário
efectuar-se medições de estado completo, não se realizando necessariamente todas as
medições em linha.
Para a estimação de estado e de taxas de crescimento é somente necessário o
conhecimento de duas variáveis de estado e da composição da fase gasosa.
1.2.2 Fermentação etanólica
A abordagem matemática tinha como principal objectivo a implementação de
estimadores da concentração de glucose que possibilitassem a determinação em linha do
momento em que se dá o consumo total do açúcar de modo a realimentar o fermentador.
De realçar que a análise de glucose disponível não era efectuada em linha, sendo bastante
demorada. Paralelamente, pretendia estimar-se em linha a taxa específica de crescimento.
1.2.3 Síntese enzimática de ampicilina
A abordagem de teoria de sistemas tinha como objectivo principal estudar a
implementação de uma estratégia de monitorização que possibilidade a redução do tempo
de análise por cromatografia líquida (HPLC) de 4 componentes envolvidos nas reacções de
síntese e hidrólise. Desse modo, pretendia utilizar-se os dois primeiros picos do
cromatograma para estimar as restantes concentrações. Os dois componentes analisados
permitiriam também conhecer a evolução das três taxas de reacção do esquema reaccional.
1. INTRODUÇÃO
38
1.3 Organização da Tese
O capítulo 2 faz uma descrição dos processos biotecnológicos em estudo: produção de
fermento de padeiro, fermentação etanólica e síntese enzimática de ampicilina. São
expostos aspectos biológicos e/ou bioquímicos e são apresentados os processos
tecnológicos de fabrico. São apontadas as principais reacções que constituem os esquemas
reaccionais utilizados no decorrer deste trabalho.
No capítulo 3 é exposta a metodologia experimental para a realização de experiências à
escala laboratorial. Faz-se uma descrição dos métodos analíticos e da instrumentação
utilizada para os três processos em estudo. São apresentados os requisitos e realizações de
um laboratório de teste de estratégias de monitorização e controlo de processos de
fermentação, com aplicação à produção de fermento de padeiro.
No capítulo 4 são estabelecidos os modelos matemáticos de espaço de estados para os
processos em estudo. Para o fermento de padeiro propõem-se um modelo global a três
reacções e modelos parciais melhor adequados às vias metabólicas.
O capítulo começa com uma breve introdução às diferentes classes de modelos
matemáticos. É apresentado o modelo geral para a dinâmica de reactores biológicos, cuja
estrutura matricial será usada ao longo da tese. Dá-se particular ênfase à modelação da fase
gasosa e à dinâmica de gases dissolvidos.
No capítulo 5 são desenvolvidos algoritmos para identificação de coeficientes de
rendimento em processos biotecnológicos. São apresentadas as metodologias para a
estimação de coeficientes de rendimento através de medições completas do estado. São
propostas estratégias de planificação experimental que visam a optimização da riqueza
informativa da experiência, quantificada por índices relativos à matriz de informação de
FISHER. O objectivo da planificação experimental é endereçado em termos da programação
de trajectórias de entradas. A planificação experimental é ensaiada para o fermento de
padeiro com o objectivo de calcular trajectórias de alimentação de substrato.
As matrizes de coeficientes de rendimento calculadas no capítulo 5 constituem uma
peça fundamental para a implementação de estratégias de monitorização avançada. O
capítulo 6 utilizará estas matrizes para cálculo dos sensores por programação.
O capítulo 6 tem como objectivo o desenvolvimento de sensores por programação para
1.3 ORGANIZAÇÃO DA TESE
39
estimação de estados e de parâmetros (taxas de reacção) em processos biotecnológicos.
São apresentados algoritmos para a estimação de variáveis de estado não mensuráveis em
linha, através de um observador assimptótico que utiliza as variáveis medidas em linha.
São desenvolvidos estimadores de taxas de reacção, especialmente das taxas específicas de
crescimento. É proposta uma alternativa de sintonização dos ganhos que conduz a uma
dinâmica de resposta de 2ª ordem. Os sensores por programação são validados por
simulação e em experiências reais para os processos em estudo.
Para o fermento de padeiro estimam-se as concentrações de etanol, biomassa e glucose
com base em medições de oxigénio e dióxido de carbono dissolvidos e em fase gasosa. São
estimadas as três taxas específicas de crescimento através de um estimador de dinâmica de
resposta de 2ª ordem e com um estimador baseado no observador.
No caso da fermentação etanólica é proposto um estimador da taxa específica de
crescimento que não necessita conhecer os coeficientes de rendimento. As estimativas da
taxa específica de crescimento permitem estimar em linha as concentrações de biomassa e
glucose. A estimação desta última permite detectar os instantes do seu consumo total.
Para a síntese enzimática de ampicilina são estimadas as concentrações de ampicilina,
metilfenilglicina e metanol por via da medição das concentrações de fenilglicina e ácido 6aminopenicilânico. São também estimadas as taxas específicas de reacção e a partir destas
calculam-se as velocidades de reacção.
O capítulo 7 é orientado para o desenvolvimento de algoritmos para controlo de
processos biotecnológicos. São propostas leis de controlo adaptativo para a regulação
monovariável e regulação multivariável. A síntese das leis de controlo não linear é
realizada por técnicas de geometria diferencial com linearização do sistema por retroacção
de estado. A adaptação é feita com base na estimação de parâmetros variáveis no tempo. É
proposto um novo algoritmo de adaptação com dinâmica de convergência de segunda
ordem.
Os controladores desenvolvidos, obtidos por redução de ordem do modelo de estado,
são verificados por simulação para a produção de fermento de padeiro. O objectivo do
controlo monovariável é endereçado em termos da regulação da concentração de etanol.
Na situação de controlo multivariável, pretendem regular-se as concentrações de etanol e
de oxigénio dissolvido.
No capítulo 8 são apresentadas as conclusões deste trabalho juntamente com algumas
1. INTRODUÇÃO
40
sugestões de trabalho futuro.
Finalmente, em anexo apresentam-se dois apêndices. O primeiro é dedicado à
apresentação do modelo de simulação da produção de fermento de padeiro. O apêndice B
apresenta uma análise de estabilidade e sintonização de estimadores. São feitas algumas
considerações sobre a implementação numérica dos estimadores.
A Figura 1.5 apresenta um esquema da organização da tese em que se a mostra a
interacção entre os diferentes capítulos.
Introdução
Capítulo 1
Descrição dos Processos
Capítulo 2
Descrição Experimental
Capítulo 3
Modelação Matemática
Dinâmica de Processos
Identificação de Modelos
Capítulo 4
Capítulo 5
Monitorização Avançada
Sensores por Programação
Capítulo 6
Controlo Adaptativo
Capítulo 7
Conclusões
Capítulo 8
Figura 1.5 Organização da tese por capítulos
1.4 BIBLIOGRAFIA
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Biotecnológicos
Sumário
Neste capítulo faz-se uma descrição dos processos biotecnológicos em estudo: produção de fermento de
padeiro, fermentação etanólica e síntese enzimática de ampicilina. São expostos aspectos biológicos e/ou
bioquímicos e são apresentados os processos tecnológicos de fabrico. São apontadas as principais reacções
que constituem os esquemas reaccionais utilizados no decorrer deste trabalho.
2.1 PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO 2.2 FERMENTAÇÃO ETANÓLICA
2.3 SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA 2.4 BIBLIOGRAFIA
2. DESCRIÇÃO DOS PROCESSOS BIOTECNOLÓGICOS
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2.1 Produção de fermento de padeiro
2.1.1 Introdução
As leveduras constituem na actualidade o grupo de microrganismos mais importante a
ser explorado comercialmente e a ser consumido pela Humanidade. PEPPLER (1978),
VERACHTERT e DE MOT (1990), SPENCER e SPENCER (1990) apresentam diversas aplicações
industriais das leveduras (cerveja, destilarias, sumos, alimentos fermentados, queijo,
etanol, etc.). O fermento de padeiro, utilizado nas indústrias de panificação para fazer
levedar a massa, é composto, essencialmente, por células vivas da levedura Saccharomyces
cerevisiae. A produção industrial de fermento de padeiro iniciou-se há mais de 100 anos na
Europa, provavelmente na Holanda, havendo sinais da sua utilização há já alguns milhares
de anos (TRIVEDI et al., 1986). Até ao século passado, os padeiros recorriam às cervejeiras
para fornecimento da chamada levedura de cerveja. Quando estas alteraram o processo de
produção da cerveja, de levedura de fermentação alta para uma levedura de fermentação
baixa, as padarias passaram a não poder utilizar este novo tipo de levedura (fraco poder
gaseificante e sabor amargo), recorrendo à levedura de destilaria, que foi sendo substituída
lentamente pelo fermento produzido em pequenas fábricas, emergindo desde então uma
nova indústria.
O processo de fabrico do fermento de padeiro foi sendo aperfeiçoado ao longo do
século passado, tendo havido vários saltos tecnológicos, como a introdução do arejamento
na fermentação (devido a MARQUARDT em 1879, segundo TRIVEDI et al., 1986) e a
alimentação lenta de açúcar ao reactor arejado (entre 1915 e 1920). Esta última
contribuição foi proposta independentemente por dois cientistas, o dinamarquês S. SAK e o
alemão F.F. HAYDUCK. Este tipo de processo de alimentação foi denominado de
Zulaufverfahrenulaf ou processo Zulauf. Historicamente, esta proposta corresponde à
introdução da operação semi-contínua (“fed-batch”) em fermentadores, método hoje muito
utilizado noutros processos biotecnológicos.
2.1.2 Aspectos biológicos
As leveduras são microrganismos eucariotas, normalmente maiores e mais complexos
do que os organismos procariotas, como as bactérias. As leveduras constituem um grupo
2.1 PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
47
de organismos do tipo fungo, com predominância da forma unicelular e reprodução
assexual vegetativa por gemulação. As leveduras, não constituindo uma entidade
taxionómica, compreendem 39 géneros e cerca de 400 espécies (STEWART e RUSSELL, 1985).
RATLEDGE (1990) refere a classificação das leveduras em dois grupos: ascosporógenas ou
ascomicéticas (33 géneros) e basidiomicéticas (6 géneros). Refere ainda a existência de um
terceiro grupo com 17 géneros: as leveduras imperfeitas. As Saccharomyces são incluídas
no grupo das formadoras de ascósporos.
A descrição pormenorizada da citologia das células de levedura pode ser encontrada em
várias obras de referência (ROSE e HARRISON, 1987). Na Figura 2.1 apresenta-se um desenho
simplificado de uma célula de levedura (RATLEDGE, 1990).
Figura 2.1 Reprodução duma célula típica de levedura
As células de levedura apresentam normalmente uma forma oval, com tamanhos
compreendidos entre 4-8 µm × 5-18 µm. A caracterização dos componentes celulares
compreende mais de doze microestruturas, com destaque para a parede celular, membrana
citoplasmática, retículo endoplasmático, mitocôndrias, ribossomas, núcleo, vacúolos e
inclusões diversas (glicogénio, lípidos, pigmentos, etc.).
A reprodução das leveduras pode dar-se vegetativamente por gemulação (assexual), em
condições adversas por esporulação (sexual) e ainda por fissão. Em condições normais de
crescimento as leveduras reproduzem-se por gemulação que consiste na formação de uma
célula nova a partir de uma pequena protuberância - a gémula - na superfície da célula
mãe. Quando a gémula estiver com tamanho próximo do da célula mãe (cerca de 30
minutos), dá-se finalmente a separação. Tanto a célula filha como célula mãe continuarão a
repetir o processo de gemulação. Uma célula produz, durante a sua vida, cerca de 24
células filhas. A reprodução sexual é induzida em condições adversas ao crescimento
vegetativo, através da produção de esporos sexuados (ascósporos no caso da
48
Saccharomyces). Os esporos (no interior do asco) permitem à Saccharomyces sobreviver
durante longos períodos em condições de secagem, altas temperaturas, etc. Detalhes da
formação dos ascósporos em resultado da fusão de sexuada dos núcleos de duas células
pode ser encontrado em textos base de microbiologia (PELCZAR et al., 1988).
2.1.3 Aspectos metabólicos
O crescimento das leveduras, como organismos heterotróficos que são, depende duma
variedade de compostos orgânicos e de alguns nutrientes minerais. Estes compostos são
degradados por um conjunto de reacções químicas que ocorrem no interior da célula - o
metabolismo. Durante o crescimento, as células utilizam os substratos de forma a
satisfazer os seguintes requisitos: síntese de material celular, energia (através do ATP) e
poder redutor (na forma de nucleótidos de piridina - NADH) expresso no potencial de
oxidação-redução. O catabolismo é o conjunto de reacções metabólicas que permite
executar os dois últimos requisitos. Ao conjunto de reacções metabólicas envolvidas na
síntese de material celular dá-se o nome de anabolismo. Num meio aeróbio, o poder
redutor é convertido em energia adicional através de um processo chamado fosforilação
oxidativa.
As leveduras são seres aeróbios (utilizam o oxigénio durante o metabolismo como
aceitador final de electrões) e podem ser também anaeróbios facultativos, dado que
conseguem crescer na presença ou ausência de ar. Os açúcares normalmente utilizados
pelas leveduras como fonte de carbono incluem a sacarose, a glucose e frutose (TRIVEDI et
al., 1986). Este autor refere ainda a galactose e a maltose como carbo-hidratos passíveis de
serem metabolizados. Industrialmente, a produção de fermento de padeiro é efectuada
usando melaço como substrato carbonatado. Os melaços, incluem normalmente sacarose,
glucose e frutose, apresentando uma composição variada conforme a fonte utilizada para a
sua obtenção, conforme se pode ver na Tabela 2.1 (TRIVEDI et al., 1986). A sacarose é
hidrolisada no exterior da célula, em glucose e em frutose, pela enzima invertase presente
na parede celular. Estas hexoses são de seguida degradadas no interior da célula.
49
Tabela 2.1 Composição em açucares para diferentes melaços
Tipo de melaço
% Sacarose
% Glucose
% Frutose
Cana
5.0
6.6
5.2
Beterraba
35.8
5.2
3.1
Beterraba
15.4
5.6
3.2
Beterraba
48.8
1.2
1.6
A levedura S. cerevisiae cresce em glucose segundo três importantes vias metabólicas,
podendo, contudo ocorrer outras vias dependendo das condições do meio de cultura
(LIEVENSE, 1984). Na presença de altas concentrações de glucose (ou na ausência de
oxigénio) ocorre a chamada fermentação da glucose ou crescimento fermentativo (via
redutiva) com produção de etanol e dióxido de carbono. Esta etapa é relativamente pouco
eficiente, apresentando um rendimento energético de aproximadamente 2 moles de ATP
por mole de glucose. A conversão estequiométrica da glucose em etanol é traduzida pela
seguinte equação:
i. Fermentação da glucose
C6H12O6 → 2C2H5OH + 2CO2 + Energia
(2.1)
A oxidação da glucose é a via predominante em culturas aeróbias para concentrações de
-1
glucose inferiores a 90 - 100 mg.L (WOEHRER e ROEHR, 1981). É uma via mais eficiente
que a anterior, apresentando um rendimento energético de 16 a 28 moles de ATP por mole
de glucose oxidada (LIEVENSE, 1984). Esta via oxidativa, também conhecida como
crescimento respirativo, apresenta a seguinte estequiometria:
ii. Oxidação da glucose
C6H12O6 + 6O2 → 6CO2 + 6H2O + Energia
(2.2)
O etanol formado pela via fermentativa pode ser consumido por via oxidativa na
presença de baixas concentrações de glucose. Esta via apresenta um rendimento energético
de 6 a 11 moles de ATP por mole de etanol oxidado (LIEVENSE, 1984) e tem a seguinte
estequiometria:
iii. Oxidação do etanol
C2H5OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2O + Energia
(2.3)
-1
Para concentrações de glucose superiores ao valor crítico (50-100 mg.L ) as vias
respiratória e fermentativa da glucose podem ocorrer em paralelo, falando-se nesse caso de
50
um regime respiro-fermentativo ou oxido-redutivo (SONNLEITNER e KÄPELLI, 1986). Em
cultura contínua ou descontínua não é normalmente observado a respiração conjunta de
glucose e etanol (GEURTS et al., 1980). Estas etapas respiratórias poderão ocorrer em
fermentações semi-contínuas e fala-se neste caso de regime respirativo ou oxidativo. Em
reactores em que seja difícil manter condições de homogeneidade poderá acontecer a
produção de etanol por algumas células e a utilização deste por outras células, implicando
uma correspondente diminuição do rendimento (SWEERE et al., 1988).
No interior da célula a glucose é metabolizada através de várias etapas nas seguintes
vias: a glicólise, o ciclo dos ácidos tri-carboxílicos (ATC) também conhecido por ciclo de
KREBBS ou ciclo do ácido cítrico e a cadeia respiratória. A Figura 2.2 apresenta uma
versão simplificada do metabolismo da glucose para a S. cerevisiae (ENFORS et al., 1990).
Um mapa bastante mais pormenorizado e uma descrição bastante completa deste
metabolismo podem ser encontrados em LIEVENSE (1984). A glucose entra na glicólise
sendo oxidada a piruvato por co-enzimas oxidados (NAD). O piruvato é o composto
intermediário chave da síntese celular. A partir deste ponto pode haver formação de etanol
por descarboxilação do piruvato e re-oxidação do co-enzima reduzido (NADH), ou,
entrada no ciclo ATC por descarboxilação do piruvato em acetil-coenzima A. No ciclo dos
ATC o carbono é oxidado a dióxido de carbono por diferentes coenzimas. Os coenzimas
são re-oxidados na cadeia respiratória, através da fosforilação do ADP a ATP. Como
vimos anteriormente, o etanol pode ser utilizado pela célula, entrando no ciclo dos ATC. A
etapa da glicólise decorre no citoplasma e o ciclo dos ATC e a cadeia respiratória são
realizados no interior das mitocôndrias. A série de reacções do regime respiro-fermentativo
de degradação da glucose é denominada de via de EMBDEN-MEYERHOF-PARNAS (EMP).
Ao metabolismo de excreção do etanol pelas células dá-se o nome de fermentação
alcoólica. A respiração do etanol, efectuada por uma via inversa da via EMP, necessita da
produção de certos precursores para a síntese de polissacáridos estruturais e de reserva, tal
como acontece durante o crescimento em glucose, na etapa glicolítica. A síntese destes
polissacáridos é designada por gluconeogénese. Esta etapa é reprimida e inibida pela
presença de pequenas quantidades de glucose (LIEVENSE, 1984).
51
Glu-1P
Glucose
ATP
Polisacáridos
Glu-6P
Ribulose-5P
ATP
Fru-1,6diP
Gliceraldeído-3P
NAD
Etanol
NADH
NADH
2ATP
CO2
Acetaldeído
Piruvato
Dihidróxi
acetona-P
Glicólise
Ácidos
Nucleicos
Lípidos
NADH
Ácidos
Gordos
Acetil-CoA
Respiração
Oxaloacetato
CO2
Ciclo
dos ATC
ADP ATP
NADH
O2
ácido
α−ceto
glutárico
NAD
H2O
NH3
Aminoácidos
Proteínas
Figura 2.2 Mapa metabólico simplificado da utilização da glucose pela S. cerevisiae
Para além dos produtos principais da três vias metabólicas consideradas nas equações
(2.1) a (2.3), poderão surgir quantidades apreciáveis de outros compostos, dependendo das
condições ambientais e da estirpe de levedura. Entre outros, refira-se o acetato,
acetaldeído, piruvato e glicerol (DANTIGNY et al., 1989).
Na regulação do metabolismo energético das leveduras são normalmente referidos dois
fenómenos, o efeito PASTEUR e o efeito CRABTREE. O efeito PASTEUR está relacionado com o
crescimento aeróbio da levedura: a fermentação (metabolismo redutivo) é inibida pela
respiração e concomitantemente a glucose é menos utilizada do que na situação de
crescimento anaeróbio. Basicamente, PASTEUR verificou uma diminuição da “eficiência
fermentativa” pela presença de ar (FIECHTER e SEGHEZZI, 1992). O efeito CRABTREE refere-se à
repressão do metabolismo oxidativo devido à presença de quantidades elevadas de glucose
(superior a um certo valor crítico). A diminuição da capacidade de oxidação da glucose
provoca uma alteração no metabolismo resultando na produção de etanol em presença de
oxigénio. O efeito CRABTREE é também conhecido por efeito de glucose, se bem que, este
efeito repressivo tenha sido observado noutros açúcares (frutose e manose). FIECHTER e
52
SEGHEZZI (1992) recomendam a não utilização das designações efeito de PASTEUR e efeito de
CRABTREE, para descrever o metabolismo da glucose e a formação de etanol em presença de
oxigénio. Referem que, os mecanismos de regulação poderão ser explicados em termos de
capacidade respiratória das células (RIEGER et al., 1983; SONNLEITNER e KÄPPELI, 1986).
Acrescentam ainda a conveniência de se realizarem experiências dinâmicas e utilizar
fluxos em vez de concentrações estáticas.
SONNLEITNER e KÄPPELI (1986) propuseram, com base na capacidade respiratória limitada
das células, um novo conceito para a regulação do metabolismo da S. cerevisiae. Este
mecanismo explica a formação do etanol como resultado de um sobre-fluxo de glucose na
glicólise, que excede a capacidade oxidativa das células. Havendo excesso de glucose, a
glicólise produzirá piruvato para além de um valor limite que o sistema respiratório
consegue metabolizar. Este piruvato irá ser encaminhado para a produção de etanol. O
modelo proposto por estes autores considera a glucose, o etanol e o oxigénio como
substratos da levedura. A Figura 2.3 ilustra o metabolismo da glucose para a levedura S.
cerevisiae (FIECHTER e SEGHEZZI, 1992). Dentro da célula podem distinguir-se três estruturas
cinéticas: a capacidade limitada das células, o material de carbo-hidratos de reserva e a
biomassa residual.
glucose
meio
carbo-hidratos
de reserva
estrutura
celular
Crescimento
Oxidativo
em Glucose
glucose
Célula
de levedura
Crescimento
Redutivo
em Glucose
piruvato
etanol
oxigénio
restrição
respiratória
CO2
etanol
H2O
Figura 2.3 Representação esquemática do metabolismo da glucose em S. cerevisiae
A Figura 2.4 (adaptada de SONNLEITNER e KÄPPELI, 1986) constitui uma tentativa ilustrada
de explicação do conceito de capacidade respiratória limitada, através da figura da
53
restrição ou estrangulamento respiratório. São evidenciadas três situações relativamente à
saturação da capacidade respiratória:
• fluxo sub-crítico: o fluxo total de substratos consegue passar a restrição, isto
é, os substratos são metabolizados oxidativamente;
• fluxo crítico: o fluxo de substratos preenche completamente a restrição;
• fluxo supra-crítico: o fluxo de substratos excede a restrição
Relativamente à situação de fluxo de substrato(s) supra-crítico poderão ocorrer as
seguintes situações:
• fluxo de glucose supra-crítico.
A parte de glucose que não consegue passar o estrangulamento é
metabolizada redutivamente, com produção de etanol (a). Na situação de
existência de etanol, este não será metabolizado (c) porque a restrição está
já preenchida com glucose e não existe nenhuma via metabólica redutiva
para o etanol.
• fluxo de glucose sub-crítico e etanol adicional no meio.
Enquanto os fluxos de etanol e de glucose não preenchem o
estrangulamento, o etanol é utilizado oxidativamente (b). Após a saturação
da restrição, o etanol já não é metabolizado (c).
O modelo matemático proposto por SONNLEITNER e KÄPPELI (1986) é apresentado em
detalhe no Apêndice A.
ZENG e DECKWER (1994) demonstraram recentemente que a capacidade respiratória
limitada da S. cerevisiae é devida a uma limitação da actividade do ciclo dos ATC.
Relacionam as vias metabólicas com balanços macroscópicos para cálculo das taxas de
utilização de oxigénio resultante dos diferentes caminhos de geração de equivalentes
redutores e da actividade do ciclo dos ATC.
Em cultura contínua de S. cerevisiae verifica-se por vezes, após ligeiras perturbações ou
mesmo espontaneamente, a ocorrência de um fenómeno de sincronização, com oscilações
regulares em várias variáveis metabólicas (HEINZLE et al., 1983; LIEVENSE, 1984; BELLGARDT,
1994ab). Estes autores explicam o fenómeno com base no ciclo de reprodução da levedura.
STRÄSSLE et al. (1988 e 1989) e MUNCH et al. (1992) utilizam o conceito de capacidade
respiratória limitada para tentar compreender a sincronização: na fase de gemulação
verifica-se uma transferência dos carbo-hidratos de reserva a uma taxa que excede a
capacidade limitada, decorrendo daí a excreção de etanol e sua utilização imediata pelas
células.
sub-crítico
54
supra-crítico
crítico
a
b
c
b
b
a
glucose
metabolizada
oxidativamente
etanol
metabolizado
etanol
produzido
c
etanol
não utilizado
Figura 2.4 Representação esquemática da capacidade respiratória limitada
2.1.4 Aspectos processuais
Estão disponíveis na literatura da especialidade várias descrições bastante completas do
processo de fabrico de fermento de padeiro (por exemplo: TRIVEDI et al., 1986; VERACHTERT
e DE MOT, 1990 e KRISTIANSEN, 1993). No seguimento, faz-se uma descrição simplificada da
obtenção industrial de fermento de padeiro.
O processo de fabrico é antecedido pelas etapas de tratamento dos melaços e preparação
das matérias-primas auxiliares. Paralelamente, decorre em laboratório, a propagação de
culturas puras de Saccharomyces cerevisiae, que são sucessivamente transferidas para
estágios de preparação do inóculo em fermentadores descontínuos aeróbios de volume
crescente. O estágio de produção é efectuado em reactores de grande dimensão (é comum
um volume de 250 m3) operados em modo semi-contínuo através da alimentação dos
melaços. Terminada a fermentação, o caldo é tratado em equipamento de separação
(centrifugação e filtração) de forma a concentrar o creme de levedura por remoção de água.
2.2 FERMENTAÇÃO ETANÓLICA
55
O creme espessado é então alimentado a um secador e a massa obtida é finalmente
extrudida e embalada em blocos. As embalagens são armazenadas a frio mantendo a sua
actividade para além de um ano.
A actividade levedante do fermento, a estabilidade de armazenamento, o rendimento em
substrato e a aparência do produto são função do estado fisiológico no fim da fermentação.
No estágio final da fermentação há, normalmente, uma diminuição da taxa de crescimento
das células. A alimentação azotada deve ser interrompida algumas horas antes do fim da
fermentação, de modo a evitar o início da gemulação e favorecer a síntese de carbohidratos de reserva (TRIVEDI e JACOBSON, 1986). É recomendável uma ligeira produção de
etanol de forma a induzir o sistema enzimático da via catabólica fermentativa e evitar
assim um longo período de adaptação aquando da utilização do fermento (POMERLEAU,
1990). Os objectivos de fim de fermentação relacionam-se com a obtenção de leveduras
com fortes reservas de hidratos de carbono e actividade enzimática apropriada (indicada
pela percentagem de proteínas).
2.2 Fermentação etanólica
O etanol pode ser produzido a partir de recursos renováveis de baixo custo (melaços,
amido, materiais agrícolas e celulósicos, efluentes industriais), constituindo uma
alternativa à diminuição dos recursos petrolíferos, utilizados na síntese química. A
obtenção de etanol por via fermentativa é efectuada há já vários milénios. A produção por
fermentação recorre a algumas espécies de Saccharomyces, às leveduras Kluyveromyces
(TEIXEIRA et al., 1990) e Candida (MANN, 1980) e à bactéria Zymomonas (ROGERS et al.,
1982).
Conforme foi referido no item anterior, relativo à produção de fermento de padeiro, o
etanol constitui um produto da degradação fermentativa da glucose, a chamada
fermentação alcoólica ou fermentação etanólica. A conversão estequiométrica da glucose
em etanol é traduzida pela seguinte equação:
Fermentação etanólica
C6H12O6 → 2C2H5OH + 2CO2 + Energia
(2.1)=(2.4)
É conhecido o efeito inibitório dos álcoois no crescimento das leveduras (VAN UDEN,
56
1989). A toxicidade do etanol é mais pronunciada no caso da utilização do etanol
produzido no decorrer da fermentação do que no caso da adição externa (NOVACK et al.,
1981). CRUEGER e CRUEGER (1989) referem que um aumento da concentração de etanol até
-1
35 g.L provoca uma diminuição na síntese celular, e que para valores superiores (a partir
-1
de 40 - 65 g.L ) se verifica a inibição da síntese de etanol. Os efeitos conjugados da
glucose e do etanol na inibição da síntese celular foram objecto do trabalho de MOTA
(1985). Recentemente, DASARI et al. (1990) referem a inexistência de diferenças de
toxicidade entre etanol produzido e etanol adicionado através de experiências efectuadas
-1
em meio rico (80 g.L de extracto de levedura). Estes autores sugerem que o magnésio
existente no extracto de levedura constitui o factor responsável por esse efeito.
2.3 Síntese enzimática de ampicilina
2.3.1 Características da ampicilina
A ampicilina é um antibiótico pertencente ao grupo das penicilinas β-lactâmicas. Foi a
primeira penicilina semi-sintética activa por ingestão oral no tratamento de doenças
infecciosas, a obter uma grande aceitação em utilizações clínicas.
Na convenção da IUPAC, a ampicilina é designada pelo seguinte nome: ácido [2S-
[2a,5a,6β(S*)]] -6-[(aminofenilacetil)-amino-3,3-dimetil-7-oxo-4-tio-1-azabiciclo- [3.2.0]
heptano-2-carboxílico. Por vezes, é também designada por α-aminobenzilpenicilina. A
ampicilina pode ser representada pela seguinte fórmula elemental C16H19N3O4S de peso
molecular 349.41 g.mole-1, correspondente à seguinte estrutura química:
NH2 O
H
S
C
H
C
CH3
N
N
O
CH3
COOH
Figura 2.5 Estrutura química da ampicilina
A ampicilina é um pó cristalino de cor branca. Apresenta o cheiro característico das
penicilinas. Pode existir na forma anidro, mono-, sesqui- e tri- hidratada.
2.3 SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA
57
2.3.2 Métodos de produção
2.3.2.1 Síntese química
A ampicilina tem sido produzida quimicamente por condensação do ácido 6aminopenicilânico (6-APA) com α-fenilglicina (FG) protegida. A protecção da amina
primária da FG é efectuada com auxílio de vários grupos químicos (por exemplo: 2-nitro4-metoxifenilsulfenil, furfural, N-carboxianidro). A ampicilina é regenerada por remoção
dos grupos protectores. A ampicilina pode também ser sintetizada por tratamento do 6APA com brometo de α-bromofenilacetil através da hidrogenação catalítica da penicilina
azido, reacção do 6-APA com cloreto de D(-)-2-fenilglicina e tri-metilsiliconamina e
piridina. A ampicilina é ainda preparada por tratamento de α-bromobezilpenicilina com
hexametilenotetramina.
2.3.2.2 Produção microbiológica
A ampicilina pode ser obtida microbiologicamente por incubação de micróbios
(algumas espécies de Pseudomonas, Kluyvera citrophila, Rhodopseudomonas spheroides,
Micrococcus ureae) com 6-APA e FG, através da acilação enzimática do 6-APA. Pode
ainda ser sintetizada através da enzima penicilina acilase obtida de Escherichia coli (COLE,
1969).
2.3.2.3 Isolamento e purificação
A ampicilina é normalmente purificada através de recristalizações ácidas ou alcalinas. É
dissolvida num ácido mineral ou numa solução cáustica e precipitada por ajuste do pH. A
ampicilina é então purificada por dissolução em di-cloreto de metileno contendo
trietilamina seguido de filtração e precipitação com ácido p-tolueno sulfónico.
Alternativamente, a ampicilina é separada do 6-APA por filtração de clorofórmio ou
cloreto de metileno contendo trietilamina e evaporação do solvente. As impurezas
antigénicas são removidas da solução por filtração de gel.
2.3.3 Síntese enzimática laboratorial
A procura de métodos enzimáticos, para a síntese de produtos de química fina e
farmacêuticos, como alternativa à síntese química, tem sido nos últimos anos bastante
estimulada (KASCHE, 1986). Os problemas colocados pela síntese química (uso de altas
58
temperaturas e pressões, problemas ambientais com solventes, reactores de grande
dimensão) incentivam o desenvolvimento de novos processos baseados na redução dos
custos de produção e de processamento, na minimização da utilização de solventes tóxicos
e respectiva reciclagem. A biotecnologia, especialmente a tecnologia enzimática, oferece
algumas opções interessantes para satisfazer estes requisitos.
A utilização de enzimas como catalisadores permite obter certos produtos sem o recurso
a altas temperaturas ou pressões. Os custos dos processos de separação e da purificação
podem ser reduzidos desde que se obtenham altos rendimentos de conversão. A utilização
de produtos naturais como matéria-prima permite a utilização de processos com boas taxas
de reciclagem.
A síntese enzimática de ampicilina tem como substratos o ácido 6-aminopenicilânico
(6-APA) e o éster metilfenilglicina (MFG). A metilfenilglicina constitui uma designação
alternativa do seguinte nome IUPAC d-(-)-α-aminofenil- acetato de metilo. Este processo
utiliza como catalisador a enzima penicilina acilase (E.C. 3.5.1.11) proveniente de
Escherichia coli, imobilizada em glutaraldeído. Esta enzima tem sido utilizada
industrialmente para a obtenção de 6-APA como produto da hidrólise da penicilina.
Neste processo, ocorrem simultaneamente três reacções (e respectivas reacções
reversíveis): a síntese propriamente dita, a hidrólise da ampicilina (Amp) e a hidrólise da
metilfenilglicina (que origina fenilglicina), conforme o seguinte esquema reaccional
(adaptado de KASCHE, 1986) apresentado na Figura 2.6.
Na reacção de síntese, a enzima age como uma transferase, transferindo o radical acilo
do substrato activado MFG para o substrato nucleófilo 6-APA, com formação de um
composto intermediário entre a enzima e o radical acilo (KONECNY, 1981; KASCHE et al.,
1984):
Síntese de ampicilina
MFG + 6-APA → Amp + MeOH
(2.5)
2.3 SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA
N H2
S
C H3
N
O
N H2
C H3
+
C
H
59
O
Transferase
+
C
H 2O
O
H
C
H
C
N
S
C H3
N
O C H3
(AM P)
COOH
(6-APA)
N H2
O
C H3
COOH
CH 3O H
+
+
H 2O
(M FG )
hidrolase
hidrolase
N H2
C
H
O
+ CH 3 O H + 6-APA
C
OH
(PG )
N H2
O
C
H
+
C
O
H+
-
Figura 2.6 Esquema reaccional da síntese de ampicilina
A enzima comporta-se como uma hidrólase nas outras duas reacções, catalisando a
hidrólise do 6-APA e da ampicilina:
Hidrólise de metilfenilglicina
MFG + H2O → PG + MeOH
(2.6)
Hidrólise da ampicilina
Amp + H2O → 6-APA + PG
(2.7)
KASCHE (1986) denomina este tipo de reacção como síntese cineticamente controlada,
por oposição à síntese controlada por equilíbrio. Nesta última situação a enzima acelera a
velocidade de reacção até ao estabelecimento do equilíbrio termodinâmico, não sendo
possível a obtenção de concentrações de não equilíbrio. As concentrações de equilíbrio não
são influenciadas pelas propriedades da enzima. Numa síntese cineticamente controlada
conseguem obter-se concentrações de não equilíbrio.
Em sistemas vivos a reacção de condensação ou a hidrólise dos substratos activados
representam uma perda desfavorável de energia química. Deste modo, as transferases
empregues para activação do substrato em síntese controlada cineticamente in vivo
evoluíram por supressão da sua capacidade catalítica de hidrolisar compostos.
Os factores principais que afectam o rendimento da reacção de síntese são: a
60
temperatura, o pH, força iónica (KASCHE e GALUNSKY, 1982) e a presença de solventes
orgânicos. A reacção de síntese é favorecida para valores de pH entre 6.0 e 6.5, enquanto
que a reacção de hidrólise é favorecida para pH entre 7.5 e 8.5. Esta dependência do pH
está relacionada com o facto de tanto a reacção de hidrólise de ampicilina como a hidrólise
da MFG serem acompanhadas pelo equilíbrio de dissociação da fenilglicina. KASCHE (1985)
refere o aumento do rendimento da síntese pela presença de etanol ou metanol, sendo mais
pronunciado no caso do etanol. Estes compostos reduzem o coeficiente de actividade da
água e actuam na estrutura do sítio activo da enzima.
2.4 Bibliografia
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FEUP 1995
3. Descrição Experimental Materiais e Métodos
Sumário
Neste capítulo é exposta a metodologia experimental para execução de experiências à escala laboratorial.
Faz-se a descrição dos métodos analíticos e da instrumentação utilizada para os três processos em estudo.
São apresentados os requisitos e realizações de um laboratório de teste de estratégias de monitorização e
controlo de processos de fermentação com aplicação à produção de fermento de padeiro.
3.1 PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO 3.2 FERMENTAÇÃO ETANÓLICA
3.3 SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA 3.4 BIBLIOGRAFIA
3. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL - MATERIAIS E MÉTODOS
64
3.1 Produção de fermento de padeiro
A instalação experimental para produção de fermento de padeiro, por nós projectada,
está em funcionamento no Centro de Engenharia Biológica da Universidade do Minho, em
Braga. A descrição sucinta que se segue é a nossa contribuição para os requisitos e
realizações de um laboratório de teste de estratégias de monitorização e controlo de
processos de fermentação. São lançadas as bases experimentais para validação das
metodologias teóricas desenvolvidas neste trabalho. Assim, e não se apresentando
resultados das várias corridas efectuadas até ao momento, julgou importante fazer-se uma
primeira descrição desta instalação. A apresentação completa será efectuada em OLIVEIRA
(1995) que tem contribuído, paralelamente, para a realização laboratorial.
3.1.1 Fermentação
3.1.1.1 Microrganismo
O microrganismo de trabalho foi a levedura Saccharomyces cerevisiae. As razões para a
escolha deste microrganismo foram apresentadas na Secção 1.1. A estirpe utilizada H1022
(ATCC 32167) tem sido alvo de vários estudos, salientando-se em especial os trabalhos da
equipa do Prof. ARMIN FIECHTER do ETH, Zurique, Suiça (RIEGER et al., 1983; SONNLEITNER e
KÄPELLI, 1986; FIECHTER e SEGHEZZI, 1992; MÜNCH et al., 1992ab; LOCHER et al., 1993).
A estirpe foi conservada em tubos inclinados de YM ágar (Difco Laboratories, EUA),
sendo sujeita a repicagens periódicas.
3.1.1.2 Meio de cultura
O meio de cultura semi-sintético utilizado para as fermentações está indicado na Tabela
3.1. O meio é preparado em recipiente apropriado, com água potável e o pH é ajustado a
4.0±0.1 com H3PO4. Este meio é esterilizado em autoclave durante 20 minutos à
temperatura de 121°C.
65
Tabela 3.1 Composição do meio de cultura para produção de fermento de padeiro
-1
Grau de pureza
Marca
20.0
puro
M.C.&S.
KH2PO4
5.0
puro
Budenheim
(NH4)2SO4
2.0
P.A.
Pronalab
MgSO4.7H2O
0.4
P.A.
Pronalab
Extracto de levedura
1.0
bioquímico
Merck
Composto
D-Glucose anidro
Concentração (g.L )
3.1.1.3 Fermentador
As fermentações descontínuas e semi-contínuas para produção de fermento de padeiro
são efectuadas num fermentador comercial (B. Braun, Alemanha), com capacidade
máxima de 5 litros, com camisa de controlo de temperatura, motor de agitação e
arejamento. Está, também, equipado com sondas para as chamadas variáveis ambientais ou
de cultura (SONNLEITNER et al., 1991): temperatura, pH, tensão de oxigénio, potencial de
oxidação-redução, nível, detecção de espuma. Estas variáveis são monitorizadas e
controladas localmente através de uma unidade de Medida e Controlo Digital directo
(DCU - Digital Control Unit). Cada variável tem associado o seu ciclo de controlo, com
parâmetros adequados, passíveis de serem alterados pelo operador ou por um computador
de supervisão. O processo de calibração dos eléctrodos é também da sua responsabilidade.
Tem também a seu cargo a actuação nos respectivos elementos finais de controlo,
nomeadamente nas bombas de adição de ácido e base para controlo de pH, no aquecimento
eléctrico da água da camisa de controlo da temperatura, na velocidade de agitação e caudal
de arejamento para controlo da oxigenação. A Tabela 3.2 apresenta as acções de controlo
programadas no DCU.
O sistema de fermentação incorpora ainda uma unidade responsável pelo fornecimento
de potência para agitação, para aquecimento da água, e para bombeamento de fluidos;
inclui ainda bombas para circulação/adição de fluidos (água da camisa de controlo da
temperatura, soluções ácida e alcalina para controlo do pH, agente anti-espuma, ar).
66
Tabela 3.2 Tipo de controlo das variáveis ambientais
Variável ambiental
Acção de controlo*
pH
PI
Tensão de Oxigénio
PI
Temperatura da cultura
PID
Temperatura da camisa
P
*
P - Proporcional; I - Integral; D - Derivativa
O fornecimento de ar (atmosférico) ao fermentador é efectuado com auxílio de uma
bomba de membrana instalada na unidade descrita no parágrafo anterior. Esta bomba tem
-1
uma capacidade máxima de fornecimento de 5 L.min de ar para uma pressão relativa de
0.4 bar. O sistema está também preparado para a utilização de ar comprimido. De forma a
obter ar limpo de partículas e estéril, este, antes de ser aspirado pela bomba, atravessa dois
filtros em série: uma pedra porosa (75 µm) e uma membrana. O caudal mássico de entrada
é medido e regulado através de um medidor/controlador de caudal mássico Hi-Tec F201CFB (Bronkhurst, Holanda) do tipo térmico (CASCETTA e VIGO, 1988).
À saída do fermentador, o gás atravessa um condensador e em seguida um refrigerador
de dupla serpentina do tipo Dimroth, para remoção de condensados. O gás é encaminhado
para um espectrómetro de massa através de uma linha constituída por tubagens em aço
inox com diâmetro externo igual a ¼” e comprimento aproximado de 4 metros.
A Figura 3.1 mostra esquematicamente a instalação experimental utilizada para a
fermentação semi-contínua de produção de fermento de padeiro. A Tabela 3.3 apresenta a
configuração dos principais equipamentos e respectiva descrição do princípio de
funcionamento.
I
O
RS485/422/232
RS232
Sinal em Volts
I NTEGRATED
WORKSTATION
BIOSTAT MD
DCU
balança
15.5
base
Ácido
antiespuma
água
pH, T, Rx, O2
Anti-espuma, nível
ar
M
rpm
p
filtro
bomba per.
azoto
água
25.5%
colector
automático
de amostras
medidor
de etanol
08.5
medidor
caudal
mássico
p
SEM
Faraday
Power ON
00145
h
Satellite
Espectrómetro
de
Massa
filament 1
filament 2
Comms. OK
Spectra
válvula
anti-retorno
gás de
calibração
67
Figura 3.1 Esquema da instalação experimental para a produção de fermento de padeiro
condensador
Macintosh IIx
68
Tabela 3.3 Instalação de fermentação para produção de fermento de padeiro
Componente (Modelo/Marca)
Descrição
Fermentador BIOSTAT MD5 (B. Braun,
Alemanha)
vaso de cultura em vidro de boro-silicato;
capacidade máxima 5 L
Agitação
veio de agitação com 3 impulsores de 6 lâminas
cada; motor com potência de 55 W
Sonda de pH (INGOLD, Suiça)
eléctrodo combinado de vidro; medição
electroquímica
Sonda de oxigénio dissolvido (INGOLD,
Suiça)
tipo polarográfico; mede a pressão parcial (tensão)
de oxigénio
Sonda de potencial de oxidação-redução
(INGOLD, Suiça)
eléctrodo de platina
Sonda de temperatura
Pt-100
Sonda de nível do líquido
medição de condutividade eléctrica
Sonda de detecção de espuma
medição de condutividade eléctrica
Sistema de arejamento
(alimentação de ar ambiente)
bomba de ar com membrana; filtro de 75 µm,
medidor/controlador de caudal de ar; rotâmetro;
filtro de membrana; anel difusor
Tratamento do gás de saída
condensador; refrigerador de dupla serpentina do
tipo Dimroth
Camisa de controlo da temperatura
bomba centrífuga para circulação de água; válvula
solenóide; resistência eléctrica 600W
Controlo anti-espuma
bomba peristáltica de velocidade constante;
recipiente com silicone; controlo “tudo-nada”
Controlo do pH
2 bombas peristálticas de velocidade constante;
recipiente com ácido fosfórico; recipiente com
amoníaco; controlador “tudo-nada”
Unidade de Medida e Controlo Digital DCU
(B. Braun)
Sistema de microprocessador de VMEbus 16 bit;
interface com o operador: consola com teclado e
monitor LCD.
Sistema de alimentação de substrato:
- Bomba 503U (Watson Marlow, RU)
- Balança PM4800 (Mettler, Suiça)
bomba peristáltica de velocidade variável;
balança com duas gamas:
0 - 1.00 Kg, precisão 0.01 g;
1 - 4.0 Kg, precisão 0.1 g
69
3.1.1.4 Condições experimentais
Os inóculos são preparados com o meio de cultura anteriormente descrito, com préinoculação da estirpe proveniente de tubos inclinados. São incubados num agitador orbital,
a 30 °C e 150 r.p.m. durante 16 horas. O inóculo é transferido para o fermentador com
auxílio de uma bomba peristáltica.
Os valores de referência para o controlo das variáveis ambientais estão indicados na
tabela seguinte.
Tabela 3.4 Referências para controlo das variáveis ambientais
Variável
Valor de referência
Temperatura
30 °C
pH
4.0
Velocidade de agitação
600 r.p.m.
Arejamento
3 L.min (PTN)
-1
3.1.2 Métodos de análise em linha
3.1.2.1 Análise de gases por espectrometria de massa
A aplicação de espectrometria de massa à análise de gases de fermentação tem vindo a
revelar-se uma técnica de grande utilidade na quantificação dos componentes duma
mistura gasosa (HEINZLE e REUSS, 1987). Esta técnica permite uma análise em linha rápida
(≈ 10 s) da composição da mistura gasosa.
O desenvolvimento da aplicação de espectrometria de massa à análise de gases de
fermentação tem sido tratado, recentemente, em algumas publicações de revisão (HEINZLE,
1987; HEINZLE e DUNN, 1991; HEINZLE, 1992).
Configuração do sistema
A medição das concentrações dos gases de saída do fermentador foi efectuada através
de um espectrómetro de massa BIOQUAD (Ledamass, Inglaterra) do tipo quadripolo, com
uma gama de massas de 200 Da (u.m.a.). O aparelho é constituído por um sistema de
vácuo, um analisador de gás quadripolo e uma entrada capilar com possibilidade de
aquecimento para evitar a condensação do gás. O vácuo é criado com auxílio de duas
bombas rotativas e uma bomba turbo-molecular. O analisador é constituído por emissor de
70
radiofrequência, fonte de alimentação, amplificador e unidade de controlo (Satellite).
O princípio de funcionamento de um sistema quadripolo é baseado na emissão de
electrões por um filamento aquecido. Estes vão colidir com as moléculas do gás na região
de ionização do analisador, com produção de fragmentos de iões. Através de campos
eléctricos criados por um eléctrodo, os iões são direccionados para o filtro de massas, que
rejeita a passagem de todos os iões com excepção daqueles que são proporcionais à razão
massa-carga. As massas dos iões filtrados são convertidas numa corrente eléctrica que é
proporcional à correspondente pressão parcial molecular na fonte. Isto é efectuado através
dum detector do tipo taça Faraday em que os iões são direccionados para um elemento em
forma de taça sendo medida a própria corrente iónica. O sistema está ainda equipado com
um segundo detector do tipo multiplicador de electrões. Este detector permite
amplificações muito rápidas mas apresenta a desvantagem de necessitar de um longo
período de forma a garantir estabilidade na sensibilidade do aparelho.
O aparelho é comandado por um programa informático a correr num computador PC486
compatível, em ambiente Microsoft Windows™ (versão 3.1). O computador comunica, em
série, com a unidade de controlo do espectrómetro (Satellite) através de uma ligação
assíncrona, via protocolo RS-232C. O programa RGA for Windows (versão 2.0) permite,
no essencial, a selecção da válvula de entrada da corrente gasosa, a configuração da leitura
(precisão, velocidade de varrimento), a aquisição do espectro e sua representação gráfica
(gráfico de barras, analógico, variação ao longo do tempo). As alturas dos picos do
espectro são apresentadas proporcionalmente ao valor respectivo da pressão parcial (em
torr).
Este programa permite a troca de dados com outro programa que esteja a ser executado
paralelamente no mesmo computador, através da implementação do protocolo DDE
(Dynamic Data Exchange) que constitui um padrão para troca de dados em ambiente
Windows.
Calibração
A calibração do aparelho é efectuada com auxílio de uma mistura de gases de
composição conhecida (Tabela 3.5). Essa mistura deverá ser composta pelos gases que se
pretendem analisar: oxigénio e dióxido de carbono, gases comuns em fermentações
aeróbias, e azoto que pode ser visto como gás inerte, mas cuja medição é necessária para
71
inferir o caudal de gás de saída do fermentador (ver eq. (4.27)).
Tabela 3.5 Composição da mistura de gases de calibração do espectrómetro de massa
Componente
Composição (% volúmica ou molar)
Azoto
70.04
Oxigénio
19.95
Dióxido de carbono
10.01
A mistura está contida numa garrafa pressurizada de aço (Union Carbide, Espanha),
equipada com um sistema manual de regulação da pressão de escoamento. A mistura é
encaminhada para o espectrómetro por um tubo em aço inox com diâmetro igual a ¼” e
comprimento aproximado igual a 1.5 m. O gás entra num dos 16 canais disponíveis no
espectrómetro.
De forma a garantir condições semelhantes para a fase de calibração e a fase de análise,
essencial para se obter uma resposta linear por parte do aparelho (DRINKWINE e LICHTMAN,
1973), os caudais e pressões da mistura de calibração e dos gases de fermentação foram
regulados manualmente de forma a minimizar as diferenças entre eles. Com essa
finalidade, introduziu-se uma válvula de agulha (Nupro, EUA) na linha que vai desde a
válvula de admissão no espectrómetro até à entrada capilar e um medidor de caudal
mássico Hi-Tec F-111C-HA (Bronkhurst, Holanda).
Análise
O gás de saída do fermentador, após desumidificação é introduzido no espectrómetro
por uma das 16 entradas existentes na parte traseira do aparelho. Cada entrada tem
associada uma válvula, cuja selecção é efectuada pelo programa informático descrito. Este
permite configurar o tempo de purga e o tempo de transição na escolha de uma nova
válvula de entrada de gás. Através da válvula de agulha anteriormente descrita ajusta-se o
caudal de gás à entrada do tubo capilar.
Análise Quantitativa
O espectrómetro de massa gera espectros de massa que são indicativos dos
componentes presentes na amostra e que permitem a sua quantificação. Cada componente,
quando puro, possui o seu próprio e único espectro de massas, que é constituído por vários
picos de massa, conforme o seu padrão de fragmentação resultante da passagem no
72
analisador.
A suposição básica normalmente efectuada na análise quantitativa dos espectros é a
seguinte: num espectro de massas de uma mistura de gases, cada pico é constituído por
contribuições de iões moleculares e/ou fragmentos iónicos; as contribuições são
adicionadas linearmente e a altura do pico é igual à soma das alturas dos picos individuais
que seriam produzidos se cada espécie estivesse sozinha no sistema. Esta suposição é
traduzida na seguinte equação:
Si = ∑ Sij
(3.1)
j
Si é a intensidade (ou altura) total do pico ou sinal; Sij é a contribuição do componente j
para a intensidade do pico da massa i.
Assim, torna necessário corrigir-se as interferências entre os diversos componentes
presentes numa mistura. Isso é efectuado através de um método referido como
desacoplamento ou desconvolução (BARTMAN, 1987; LEE, 1990). Os sinais desacoplados,
específicos para cada componente, são determinados como se segue:
-1
P=R S
(3.2)
em que P representa o vector dos sinais desacoplados, S é o vector dos sinais gerados
-1
pelo espectrómetro (=[Si]) e R
é a matriz de desconvolução, obtida por inversão da
chamada matriz de fragmentação, que se apresenta no seguimento.
Para fermentações aeróbias é suficiente a monitorização da composição da mistura
gasosa nos componentes oxigénio, dióxido de carbono e azoto. Na Figura 3.2 estão
representados os espectros de massas para cada um destes componentes quando analisados
isoladamente.
Os sinais gerados para as massas 28, 32 e 44 (intensidades relativas de 100%) são
usados para quantificar o azoto, oxigénio e dióxido de carbono, respectivamente. Estes
picos são denominados de picos-base. A matriz de fragmentação, R, tem a forma que se
segue, com as linhas a representar os picos-base (28, 32 e 44) e as colunas com as
fragmentações de cada componente nesses picos-base:
73
100
100
a) Oxigénio
b) Dióxido de Carbono
100
60
40
20
100
80
Intensidade relativa
80
11
60
40
20
7
0
9
8
0
0
10
20
30
Massa (u.m.a.)
40
0
10
20
30
Massa (u.m.a.)
40
50
100
c) Azoto
100
80
60
40
20
5
1
0
0
10
20
30
40
50
Massa (u.m.a)
Figura 3.2 Espectro de massas para os componentes puros
⎡ r28N2
⎢
R ≡ ⎢ r32N2
⎢ r44N2
⎣
r28O2
r32O2
O2
44
r
r28CO2 ⎤
8 ⎤
⎡100 0
1
⎥
⎢
⎥
r32CO2 ⎥ =
⎢ 0 100 0 ⎥
100
⎢⎣ 0
0 100 ⎥⎦
r44CO2 ⎥⎦
(3.3)
A matriz de desconvolução é, deste modo, igual a
⎡1 0 −0.08⎤
R = ⎢⎢0 1
0 ⎥⎥
⎢⎣0 0
1 ⎥⎦
−1
(3.4)
Neste caso, a presença de vários elementos nulos na matriz de desconvolução permite
determinar facilmente os sinais desacoplados, através das seguintes equações:
pN2 = s28 – 0.08s44
(3.5)
pO2 = s32
(3.6)
pCO2 = s44
(3.7)
74
As fracções molares de cada componente, yi são determinadas, finalmente, por divisão
de cada elemento do vector P pela soma dos elementos desse vector e multiplicação pelo
correspondente factor de calibração:
y=
C×P
3
∑p
i =1
(3.8)
i
em que C é a matriz (diagonal) de calibração, determinada através do espectro de
massas da mistura de gases de calibração (Tabela 3.1). Várias sessões de operação do
espectrómetro permitiram a obtenção dos seguintes valores médios para os factores de
calibração:
C = diag{0.957, 1.27, 0.895}
(3.9)
respectivamente 0.957 para o azoto, 1.27 para o oxigénio e 0.895 para o dióxido de
carbono.
3.1.2.2 Análise da concentração de etanol dissolvido
A monitorização de gases dissolvidos e componentes voláteis em processos de
fermentação é, normalmente, efectuada pelo princípio de diálise, através da utilização de
uma membrana permeável (LORENZ et al., 1987).
Para a análise da concentração de etanol dissolvido utilizou-se um aparelho MGS-5
(Bionova Instruments, Huddinge, Suécia) constituído no essencial por (MANDENIUS et al.,
1983; AXELSSON et al., 1988): compartimento de diluição, detector de gás, válvulas de
precisão, medidores de caudal e uma sonda colocada numa das portas do fermentador. A
sonda, autoclavável, contém uma membrana tubular hidrofóbica de silicone permeável ao
etanol volátil. Utiliza-se azoto como gás de arrasto (e de diluição) à pressão relativa de 5
bar e caudal de 20 mL.min-1, de forma a manter um gradiente de concentração em etanol
através da membrana. A mistura é conduzida através de um tubo de nylon até ao detector
de gás do tipo Taguchi (TGS 822, Figaro Eng. Inc., Japão) constituído por um cilindro
aquecido a 250 °C de um semicondutor poli-cristalino de óxido de estanho (SnO2). A
amostra antes de atingir o detector é termoestatizada. Na superfície do detector há doação
de electrões da molécula de etanol para a molécula do óxido de estanho, resultando num
aumento da condutividade eléctrica do semicondutor. O sinal eléctrico produzido é
75
proporcional à concentração de etanol no meio de fermentação.
O tempo de resposta do aparelho é cerca de 6 minutos (atraso de transporte: 2 minutos;
constante de tempo: 2 minutos). Apresenta uma gama de sensibilidade entre 50 e
-1
50000 mg.L de etanol e uma precisão igual a ± 3%.
Em cada sessão de fermentação efectuam-se calibrações, utilizando uma solução padrão
de etanol (Merck).
3.1.3 Análises em diferido
As amostras para análise em diferido são retiradas manualmente, em condições estéreis,
através de uma porta ad hoc do fermentador. Alternativamente, está disponível um colector
automático de amostras MX3 Biosampler (New Brunswick Scientific, Edison NJ, EUA)
que permite a recolha de 12 amostras a tempos programados, através de uma linha de
bombeamento contínuo do meio de cultura do fermentador, até à cabeça do colector onde
existe um sistema de válvulas que encaminha o meio para o frasco respectivo. Quando não
há amostragem, o meio é reciclado ao fermentador. Os frascos são refrigerados a -4 °C
pela passagem de um fluido criogénico (água com anticongelante) bombeado de uma
máquina de frio. A cabeça do colector, juntamente com os 12 frascos e tubagens, é
esterilizada em autoclave durante 20 minutos à temperatura de 121°C.
3.1.3.1 Determinação da concentração de glucose
A concentração de glucose é determinada por Cromatografia Líquida de Alta Resolução
(HPLC), usando um detector de índice de refracção. A amostra (20 µL) é injectada numa
coluna Polyspher CH CA (Merck, Darmstadt, Alemanha), aquecida a 85 °C através de um
forno e controlador de temperatura (Chrompack, Middelburg, Holanda) e eluída com água
ultra-pura filtrada e desgaseificada por ultra-sons. O caudal da fase móvel é de 0.5
mL/min, valor estabelecido através de uma bomba 880-PU (Jasco, Tóquio, Japão). O
-5
detector 830-RI (Jasco) é configurado para uma gama sensibilidade igual a 10 unidades
de índice de refracção. Determinaram-se previamente as curvas de calibração com
soluções padrão de glucose (Merck).
3.1.3.2 Determinação da concentração de biomassa
Uma medida equivalente da concentração de biomassa é determinada por leitura da
76
densidade óptica num espectrofotómetro modelo 7850 (Jasco) e respectiva correlação com
o peso seco. A leitura da densidade óptica é efectuada ao comprimento de onda de 620 nm
contra um branco de água. Poderá haver necessidade de a amostra ser diluída para adequar
a medição à gama linear de absorvância (0 a ≈1.0 unidades de absorvância).
A curva de calibração de densidade óptica versus peso seco é determinada por leitura da
densidade óptica de suspensões obtidas por diluição de uma suspensão de células de
concentração em peso seco conhecida e densidade óptica próxima de 1.0. A determinação
da concentração em peso seco da suspensão inicial é efectuada gravimetricamente do
seguinte modo: 50 mL da suspensão inicial são filtrados através de um filtro com tamanho
de poro de 0.45 µm; após secagem numa estufa a 105 °C durante 24 horas (peso constante)
é efectuada a pesagem do filtro em balança analítica; o peso seco da biomassa obtém-se
por diferença entre este valor e o peso inicial do filtro após submissão a idêntico
procedimento de secagem.
3.1.4 Sistema informático
O sistema de aquisição de dados para monitorização e controlo da produção de fermento
de padeiro (OLIVEIRA et al., 1994; OLIVEIRA, 1995) engloba as seguintes funções tipo:
aquisição de dados, interpretação de dados, controlo do processo.
Sob a designação de aquisição de dados consideram-se as funções de entrada de dados
em linha e em diferido, aplicação de filtros, análise dos dados e armazenamento dos
mesmos em ficheiro, monitorização da fermentação, em gráfico e/ou tabela, análise de
históricos, registo de alarmes de erro, entre outros.
Por interpretação de dados entende-se o conjunto de metodologias que, no essencial,
têm como objectivos a observação do estado e a estimação das cinéticas. Em paralelo,
permite-se a execução em tempo-real (e contínua validação) do simulador matemático
representativo do processo.
No terceiro nível de funções encontram-se os módulos de controlo, em que devem estar
incluídas as técnicas clássicas (PID), as estratégias avançadas de controlo baseadas em
modelos (estratégias de controlo adaptativo e preditivo). Outras funções, particularmente
controlo de supervisão, devem ser acomodadas através da comunicação do sistema
informático com outros meios computacionais.
77
O programa de monitorização e controlo apresentado corre num computador PC486
compatível; foi desenvolvido em ambiente Microsoft Windows, usando como linguagem de
programação o Microsoft Visual Basic 3.0 (versão profissional). É uma linguagem com
estrutura modular baseada em acontecimentos e caracterizada por objectos. Possui diversas
funções predefinidas que permitem elaborar, com um esforço moderado, programas de
fácil interacção com o operador.
Na Tabela 3.6 apresentam-se as interfaces instaladas no computador para aquisição e
comunicação de dados. A placa PCL744 contém oito portas de comunicação RS232,
seleccionadas por programa. A unidade de controlo do fermentador, DCU, espectrómetro
de massa, balança e colector automático de amostras comunicam com o computador via
portas série RS232. O medidor de caudal mássico e o medidor de etanol enviam um sinal
0-5 V, via conversores analógico-digital. O funcionamento e a velocidade da bomba
peristáltica são impostos, respectivamente, através de um sinal digital e de um sinal
analógico. A placa de rede Ethernet tem em vista a ligação futura a um computador central
de supervisão.
Tabela 3.6 Interfaces de aquisição e comunicação de dados
Placa
Marca
Modelo
8 portas série RS-232C
Advantech, Taiwan
PCL744
8 An_Inp, 2 An_Out, 16 DIO
Advantech, Taiwan
PCL718
2 portas série (COM1 e COM2)
------
------
Rede Ethernet
Hewlett-Packard, EUA
EtherTwist
A configuração do equipamento consiste, no essencial, na identificação completa dos
periféricos utilizados, caracterizando todos os canais de comunicação de cada interface
(e.g. parâmetros do protocolo série; resolução e gamas dos canais A/D e D/A). A
configuração das variáveis abrange um número diverso de parâmetros, dependendo do tipo
de variável (medidas, calculadas internamente ou de controlo). Refere-se, particularmente i. o nome; ii. o tipo; iii. a gama de trabalho; iv. níveis de alarmes; v. calibração
sinal/propriedade; vi. especificação de visualização por traçado gráfico; vii. tipo de fórmula
de cálculo nas variáveis internas.
Os procedimentos desenvolvidos para cada uma das tarefas que constituem a essência
da aplicação informática (observadores, algoritmos de controlo, simuladores) têm vindo a
ser incorporados de uma forma modular, e em articulação com os módulos utilitários
78
(visualização em tabela e/ou gráfica, armazenamento em disco, impressão, entre outros).
3.2 Fermentação etanólica
A instalação experimental de fermentação etanólica (RENARD, 1990) esteve em
funcionamento no Departamento de Engenharia Biológica (GEBI), da Université
Catholique de Louvain (UCL), em Louvain-la-Neuve, Bélgica.
A fermentação etanólica decorreu em ambiente anaeróbio e condições não estéreis,
utilizando-se um consórcio de leveduras (população dominante) e bactérias. O substrato
principal foi a glucose, usando-se o ácido cítrico como co-substrato e tendo em vista a
estabilização da fermentação nas condições não estéreis.
3.2.1 Fermentação
3.2.1.1 Inóculo
Diluem-se 10 mL de sumo de laranja concentrado (Jaffa, Israel) em 1 litro de água
destilada. O pH correspondente (3.3) é ajustado a 3.6 por adição de 1.5 mL de NaOH 1N.
Esta solução é fermentada num reactor anaeróbio em condições não estéreis, à temperatura
de 35 °C e com agitação (200 r.p.m.). Ao fim de 2 dias as células de levedura são retiradas
e introduzidas num segundo reactor anaeróbio de 3 L de volume útil. A segunda
fermentação decorre durante 1 dia, num meio de cultura idêntico ao da fermentação
etanólica (descrito em 3.2.1.2), em condições estéreis, em condições de temperatura e
agitação idênticas às do primeiro reactor.
3.2.1.2 Meio de cultura
O meio de cultura semi-sintético (RENARD, 1990) utilizado está indicado na Tabela 3.7.
O meio é preparado em recipiente apropriado, com água potável e o pH é ajustado a 3.6
com NaOH. Este meio é esterilizado em autoclave durante 20 minutos à temperatura de
121°C.
79
Tabela 3.7 Composição do meio de cultura para a fermentação etanólica
-1
Composto
Concentração (g.L )
D(+)-Glucose
9.0
Ácido cítrico
1.0
Ureia
0.30
Extracto de levedura
0.10
-1
Adiciona-se ainda 12.5 mL.L de uma solução mineral com a seguinte composição (em
-1
mg.L ): NaH2PO4.2H20, 846; KCl, 404; MgCl2, 64.5; Na2SO4, 385; CaCl2, 6; Na2MoO4,
1; oligo-elementos (HCl, ZnO, FeCl3.6H2O, MnCl2.4H2O, CuCl2.2H2O, H3BO3,
CoCl2.6H2O).
3.2.1.3 Reactor
A instalação experimental constava de um reactor cilíndrico de vidro (Corning, Stone,
Inglaterra), apresentando um volume útil de 60 litros, com temperatura controlada a 35 °C
através de uma cinta aquecida electricamente. O reactor é agitado através de um veio de
com dois impulsores de hélice dupla, accionado por um motor. O licor misto do fundo do
-1
reactor é recirculado para o topo do reactor (caudal igual a 10 L.h ) através de uma bomba
de membrana B04.017N (CfG Prominent, Heidelberg, Alemanha). Outros detalhes da
constituição do reactor poderão ser encontrados em RENARD (1990).
6
As experiências iniciavam-se com 35 litros de meio de cultura e um inóculo com 10
células/mL. A fermentação decorria em modo descontínuo, com excepção dos momentos
de adição de açúcar (8 litros de solução) após detecção do seu consumo total. A
concentração dessa solução era calculada para que o volume total de meio, após a adição
-1
atingisse uma concentração de 50 mmole.L . A solução contém também ureia de forma a
manter a razão azoto/carbono constante no início de cada período descontínuo. Pode
considerar-se que durante o período de amostragem coincidente com alimentação a
fermentação decorre em modo semi-contínuo.
Cada experiência de fermentação tinha uma duração entre 45 a 60 horas. As diferentes
medidas em linha eram registadas em intervalos de 5 minutos e as medições em diferido
resultavam de amostras recolhidas em cada 2 horas.
80
3.2.2 Métodos de análise em linha
3.2.2.1 Determinação da concentração de dióxido de carbono em fase gasosa
A medição da concentração de dióxido de carbono na fase gasosa é efectuada através de
um analisador de gás ULTRAMAT 1 (Siemens, Karlsruhe, Alemanha) por espectroscopia
de absorção de infravermelho. Esta técnica consiste na medição da diminuição da
intensidade de um raio electromagnético, devida à absorção da radiação pelas moléculas do
composto que se pretende analisar (PONS, 1992). A medição da diminuição permite a
determinação da concentração do gás na mistura gasosa, através da lei de LAMBERT-BEER:
I
log(I )=a L c
o
(3.10)
em que Io é a intensidade de referência, I a intensidade medida, L comprimento da
célula de medida, a coeficiente de absorção do componente e c é a concentração.
3.2.2.2 Determinação da “concentração” de biomassa
A “concentração” de biomassa é inferida em linha através de um turbidimetro RATIO
2000 (Hach, Loveland, EUA) que origina um sinal proporcional à matéria em suspensão. A
turbidez é a expressão de uma propriedade óptica que origina uma dispersão e absorção da
luz em vez da sua transmissão em linhas rectas através da amostra (CLESCERI et al., 1989).
A turbidimetria, que é uma variação do método nefelométrico, consiste na medição da
quantidade de luz dispersa a 90° pela incidência de um feixe luminoso nas partículas em
suspensão no líquido. A luz desviada é proporcional à concentração de partículas em
suspensão e é medida por um fotodetector electrónico.
O aparelho apresenta uma gama linear de 0 a 2000 NTU (Nephelometric Turbidity
-1
Unit). 1 NTU é igual à turbidez, medida por um nefelómetro, causada por 1 mg.L de
sílica em suspensão. O turbidimetro é calibrado com soluções preparadas a partir de um
padrão primário de formazina, que apresenta um valor de 4000 NTU.
3.2.2.3 Caudal volumétrico de gás
O caudal volumétrico de gás é medido com um contador volumétrico de gás (Contigea
Schlumberger, Dordrecht, Holanda) com totalizador mecânico. No eixo central da agulha
do contador instalou-se um codificador óptico (foto-diodo emissor) incremental que
81
permite o envio de um sinal eléctrico. A cada rotação da agulha obtém-se um impulso, que
é enviado ao computador e registado. Em RENARD (1990) encontra-se uma descrição
pormenorizada da constituição do codificador óptico. A resolução do aparelho é de 0.01 L.
3.2.3 Análises em diferido
3.2.3.1 Determinação da concentração de glucose
A concentração de glucose é determinada pelo método de doseamento de açúcares
solúveis com fenol que se baseia no seguinte princípio (DUBOIS et al., 1956): após a reacção
a quente com solução fenólica 80% (p/p) em ácido sulfúrico concentrado, a solução de
glucose apresenta uma coloração laranja intensa. A leitura da absorvância da solução a 485
nm num colorímetro Sequoia 330 (Turner) permite inferir a concentração de glucose
através de uma curva de calibração anteriormente determinada com soluções de diferentes
-1
concentrações obtidas de uma solução mãe de d-glucose mono-hidratada a 1 g.L .
3.2.3.2 Determinação da concentração de etanol
A concentração de etanol dissolvido é determinada por cromatografia gasosa. A amostra
(5µL) convenientemente preparada (RENARD, 1990) é injectada num cromatógrafo IGC 120
DFB (Intersmat Instruments, Chelles les Coudraux, França) equipado com detector de
ionização de chama e coluna em vidro (2m×3mm) com enchimento de Porapack Q (80-100
mesh). As integrações são efectuadas num integrador ICR-1 (Intersmat).
3.2.4 Sistema informático
O sistema de aquisição de dados e controlo por computador foi realizado pelo LADAS Laboratoire d’Automatique et Dynamique et Analyse des Systèmes da UCL. Foram
projectadas e construídas interfaces ad hoc para lidar com sinais analógicos e digitais. Uma
unidade de processamento em tempo real é responsável pelo tratamento local dos dados.
Esta unidade está ligada a um PC compatível para processamento da informação em tempo
diferido. As características das interfaces, dos vários sinais eléctricos, do processador em
tempo real e do PC estão referidas em pormenor em RENARD (1990).
82
3.3 Síntese enzimática de ampicilina
A instalação experimental para a síntese enzimática de ampicilina esteve em
funcionamento no Grupo de Biotecnologia do Departamento de Tecnologia e Indústria
Química (DTIQ) do Laboratório Nacional de Engenharia e Tecnologia Industrial (LNETI),
em Queluz de Baixo.
3.3.1 Reacção bioquímica
3.3.1.1 Enzima e reagentes principais
A enzima utilizada, Penicilina acilase (E.C. 3.5.1.11 de Escherichia coli) foi fornecida
pela CIPAN - Companhia Portuguesa de Antibióticos SA, Carregado, nas formas solúvel e
imobilizada em glutaraldeído. Esta companhia forneceu também ampicilina, ácido 6aminopenicilânico e d-fenilglicina. A metifenilglicina foi utilizada na forma MFG.HCl
(Wako Pure Chemical Industries, Japão).
3.3.1.2 Reactor
O sistema reaccional (Figura 3.3) decorreu num reactor “perfeitamente agitado” de 50
-1
mL de volume útil com a enzima Penicilina acilase dissolvida (actividade 19.4 UI.mL ), à
temperatura de 37 °C e pH igual a 6.5 corrigido com hidróxido de sódio 4 M. Os dois
substratos são dissolvidos em tampão fosfato 0.1 M (pH 6.5). As concentrações iniciais são
-1
40 mmole.L para o ácido 6-aminopenicilânico e 100 mM para MFG.HCl. Antes da adição
da enzima é retirada uma amostra.
4
5
1 - Reactor
(a) Ligação ao banho
2 - Placa de agitação magnética
3 - Banho Termostatizado
4 - Eléctrodo de pH
5 - Termopar
1
(a)
2
3
Figura 3.3 Sistema reaccional para a síntese enzimática de ampicilina
3.4 BIBLIOGRAFIA
83
A operação do reactor decorre pela adição contínua dos dois substratos, impondo-se um
novo caudal a cada 90 minutos de reacção. Adiciona-se também hidróxido de sódio para
manutenção do pH a 6.5.
3.3.2 Métodos de análise
Utilizou-se a técnica de Cromatografia Líquida de Alta Resolução (HPLC) para a
determinação das concentrações de fenilglicina, ácido 6-amino-penicilânico, ampicilina e
metilfenilglicina. Para quantificação da ampicilina recorreu-se auxiliarmente a uma técnica
espectrofotométrica.
3.3.2.1 Determinação das concentrações de metilfenilglicina, ácido 6-aminopenicilânico e fenilglicina
As amostras diluídas (1:4) em tampão fosfato foram injectadas num cromatógrafo LDC
(Milton Roy, Rochester NY, EUA) e analisadas usando uma coluna Lichrospher (Merck)
100 RP-8 (5 µm) eluída com uma mistura de uma solução de metanol a 5% (v/v) em
tampão fosfato 0.1 M (pH 6.5) e uma solução de metanol a 100%. A mistura é feita
gradualmente durante 5 minutos até 33% da solução de metanol. O caudal estabelecido é
-1
de 1.5 mL.min . A detecção é feita espectrofotometricamente a um comprimento de onda
de 254 nm. Previamente, determinaram-se as curvas de calibração com compostos padrão.
3.3.2.2 Determinação da concentração de ampicilina
A concentração de ampicilina foi determinada por dois métodos alternativos. Usou-se
preferencialmente a técnica de HPLC anteriormente descrita. Como alternativa empregouse um método espetrofotométrico. Este tem como princípio a formação de um composto
(ácido α-benzamidobenzilpenicilânico) resultante da sua degradação ácida (pH=5.2) com
cloreto de mercúrio, a 75 °C (SMITH et al., 1967). Utilizou-se um espectrofotómetro
Spectronic 601, para a medição da absorvância a um comprimento de onda de 320 nm.
3.4 Bibliografia
AXELSSON, J.P., MANDENIUS, C.F., HOLST, O., HAGANDER, P., MATTIASSON, B. Experience in using an
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3.4 BIBLIOGRAFIA
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Biotechnol., 19, 1-18, 1991.
FEUP 1995
4. Modelação Matemática Dinâmica de Processos
“What goes on in the modeller’s head is not purely
formalizable, either in abstract terms or in taxonomic views.
It has structure, it has technique that can be taught and
learned, but involves also a personal touch, not only in
trivialities but in deeper considerations of skill and
suitability.”
R. ARIS e M. PENN (1980)
Sumário
Neste capítulo são estabelecidos os modelos matemáticos de espaço de estados para os três processos em
estudo. Para o fermento de padeiro propõem-se um modelo global a três reacções e modelos parciais com
melhor adequação às vias metabólicas. Começa por se fazer uma breve introdução às diferentes classes de
modelos matemáticos. É apresentado o modelo geral para a dinâmica de reactores biológicos, cuja estrutura
matricial será usada ao longo da tese. Dá-se particular ênfase à modelação da fase gasosa e à dinâmica de
gases dissolvidos.
4.1 INTRODUÇÃO 4.2 CLASSES DE MODELOS MATEMÁTICOS 4.3 MODELO DINÂMICO DE REACTORES
BIOLÓGICOS 4.4 DINÂMICA DA FASE GASOSA 4.5 DINÂMICA DE GASES DISSOLVIDOS 4.6 MODELO MATEMÁTICO
PARA A PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO 4.7 MODELO MATEMÁTICO PARA A FERMENTAÇÃO ETANÓLICA
4.8 MODELO MATEMÁTICO PARA A SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA 4.9 SÍNTESE 4.10 BIBLIOGRAFIA
4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA - DINÂMICA DE PROCESSOS
88
4.1 Introdução
Os modelos matemáticos desempenham um papel importante na síntese e projecto de
sistemas de controlo. Podem ser usados para a simulação do processo, com ou sem sistema
de controlo. Podem servir para estudar e melhorar o desempenho de um processo. Os
modelos constituem uma ferramenta de enorme utilidade na selecção de estratégias de
controlo, especialmente na sintonização de controladores. O modelo de um processo tornase mesmo uma peça essencial no cálculo da lei de controlo de um controlador adaptativo
baseado em modelos.
4.2 Classes de modelos matemáticos
Existem vários tipos de abordagens à questão da modelação nas ciências naturais. ROELS
e KOSSEN (1978) apresentam uma perspectiva sobre os vários tipos de abordagens à
modelação dos processos microbianos em biotecnologia. Entre outras contribuições de
revisão devem incluir-se os artigos de FREDRICKSON e TSUCHIYA (1977), SHULER (1985),
BELLGARDT (1991).
Os vários tipos de modelos são normalmente distinguidos em termos de classes. A
classificação que se segue, sem pretender ser exaustiva, é efectuada com recurso à
exemplificação da modelação do crescimento microbiano.
Um modelo verbal faz uma descrição qualitativa do processo biológico e é
normalmente usado na comunicação entre cientistas da área da microbiologia e cientistas
de outras disciplinas.
Num modelo descritivo utiliza-se um ajuste numérico de dados experimentais para fins
interpolativos. Deve ser usado somente dentro da região onde o modelo foi testado
experimentalmente. Este tipo de modelo é muitas vezes referido como modelo caixa
negra. Um modelo preditivo (ou explanatório) tem como finalidade a extrapolação de
dados. Este tipo de modelo também é designado por modelo caixa cinzenta.
Os modelos não estruturados constituem uma classe de modelos sem preocupação de
descrição da estrutura da população a modelar. No caso duma população microbiana, nada
4.2 CLASSES DE MODELOS MATEMÁTICOS
89
é dito acerca da composição ou qualidade da biomassa. O crescimento é expresso
unicamente como sendo o aumento de biomassa. As células são indestrinçáveis umas das
outras, sendo vistas como caixas negras no que se refere aos processos fisiológico e
metabólico. Este tipo de modelos é usado, normalmente, na descrição de fenómenos de
crescimento, em que num dado intervalo de tempo, todas as propriedades extensivas
aumentem do mesmo factor - crescimento balanceado. TAKAMATSU et al. (1981) apresentam
uma comparação de 23 modelos não estruturados para o crescimento microbiano.
Se o crescimento ocorre num ambiente não balanceado, caso da maioria das situações
extra laboratoriais, então o modelo a usar deve descrever a alteração na estrutura do
microrganismo em resposta a alterações nas condições ambientais - modelo estruturado.
Há uma preocupação, neste tipo de modelo, para considerar a composição/qualidade da
biomassa e os seus estados fisiológicos. É de referir o pioneirismo de FREDRICKSON (1976)
com uma das primeiras propostas de aplicação de modelos estruturados à modelação do
crescimento microbiano. HARDER e ROELS (1982) apresentam um artigo de revisão sobre a
aplicação de modelos estruturados em biotecnologia. O livro de ROELS (1983) constitui uma
referência importante sobre modelação estruturada e não estruturada para sistemas
microbianos e enzimáticos. Recentemente, NIELSEN e VILLADSEN (1992) fizeram um artigo de
revisão de cinética de crescimento microbiano.
Designa-se por modelo distribuído o modelo em que o termo biomassa é utilizado com
o sentido de quantidade média (distribuída) em todo o reactor biológico. A referência a um
modelo segregado considera a natureza celular da vida microbiana (RAMKRISHNA, 1994;
RANTA, 1983).
Um modelo determinístico tem um significado de ausência de incerteza, possibilitando
reconstituir o comportamento passado e prever o comportamento futuro duma propriedade,
conhecidos que sejam os parâmetros do modelo e o estado actual. Num modelo
estocástico considera-se a incerteza, atribuindo a um acontecimento uma dada
probabilidade de ocorrência. Um exemplo de aplicação desta abordagem à modelação do
crescimento microbiano pode ser encontrado no trabalho de TAN et al. (1994).
Um
fenómeno
que
decorra
continuamente
no
tempo
deverá
ser
tratado
matematicamente recorrendo a modelos contínuos. Esta abordagem é válida no caso do
4
crescimento microbiano se estiverem presentes muitos microrganismos (>10 ) crescendo
de um modo não sincronizado. Numa cultura síncrona e/ou no caso de um número pequeno
90
4
de microrganismos (<10 ), os fenómenos não acontecerão continuamente no tempo. Nestas
situações deverá usar-se um modelo discreto.
A modelação de um processo com gradientes espaciais de concentração (ISAACS et al.,
1987; DOCHAIN, 1994), ou outra propriedade, é efectuada com recurso aos chamados
modelos de parâmetros distribuídos (não deve ser confundido com modelo distribuído).
Na situação de inexistência de variações espaciais, fala-se de modelos de parâmetros
concentrados
Desenvolvimentos recentes na área de modelação de processos biotecnológicos
apontam caminhos em direcção à utilização de sistemas periciais. Os modelos baseados
em sistemas periciais incorporam equações matemáticas para as relações quantitativas e
relações qualitativas (regras) baseadas em conhecimento (MAVROVOUNIOTIS et al., 1989;
ZHANG et al., 1994).
É de salientar que um dado modelo pode pertencer a mais de uma classe. Assim, por
exemplo (YUAN e BELLGARDT, 1992), um modelo matemático pode ser não verbal, preditivo,
caixa cinzenta, estruturado, segregado, determinístico e contínuo no tempo. A Tabela 4.1
evidencia o contraste entre os pares de modelos matemáticos.
Tabela 4.1 Pares de grupos de modelos matemáticos
Determinístico
Estocástico
Não Estruturado
Estruturado
Distribuído
Segregado
Descritivo
Preditivo
Caixa Negra
Caixa Cinzenta
Contínuo no tempo
Discreto no tempo
Parâmetros concentrados
Parâmetros distribuídos
Como se verificou, podem considerar-se vários tipos de modelos para a representação
matemática de processos de fermentação. Os modelos de fermentação matematicamente
mais complexos são os que têm em conta o efeito do estado dos microrganismos. Nestes,
as variáveis do modelo são estruturadas de acordo com a idade, o volume, a massa, etc. O
processo biotecnológico ocorre dentro das células vivas que podem ser visualizadas como
micro-reactores bioquímicos segregados interagindo com o seu ambiente (KOSSEN, 1979).
Dada a sua complexidade, devida à natureza expansiva e reprodutora destes microreactores e à complexidade das reacções intracelulares, a sua utilização em controlo de
4.3 MODELO DINÂMICO DE REACTORES BIOLÓGICOS
91
processos é pouco prática. De maior utilidade são os modelos não estruturados em que se
supõe que a cultura consiste num único tipo de organismo de crescimento homogéneo.
Neste tipo de modelo as propriedades dos organismos são assumidas como sendo
representadas pela quantidade de biomassa presente no sistema.
4.3 Modelo dinâmico de reactores biológicos
Num reactor biológico a dinâmica da variação da quantidade ou concentração de cada
componente é explicada em termos de dois fenómenos:
• o fenómeno de transformação ou conversão (reacções químicas,
bioquímicas e biológicas) de alguns componentes noutros componentes;
• o fenómeno de transporte/transferência de massa (convecção, difusão) por
trocas de líquido e/ou de gás do reactor biológico com o ambiente exterior.
Qs
Fe
Fs
Qe
Figura 4.1 Reactor biológico perfeitamente agitado
O modelo dinâmico geral para reactores biológicos com agitação perfeita (Figura 4.1) e
mistura completa (a composição de um componente no meio líquido é assumida como
sendo homogénea) é obtido através de um balanço macroscópico aos componentes
envolvidos num dado esquema reaccional. O balanço macroscópico a um sistema
constituído por um reactor (químico ou biológico) é obtido pelo seguinte balanço genérico:
ACUMULAÇÃO = CONVERSÃO + (ENTRADA – SAÍDA)
(4.1)
A descrição dinâmica assenta num sistema de equações não lineares do espaço de
92
estados denominado Modelo Dinâmico Geral de Reactores Biológicos (BASTIN e DOCHAIN,
1990). Para um dado esquema reaccional, composto por m reacções e n componentes, o
modelo geral é constituído por um sistema de n equações diferenciais ordinárias escritas
para a concentração de cada componente - variável de estado. A dinâmica da concentração
de cada componente ξi é, então, escrita da seguinte forma:
dξ i
= ∑ ( ± )kijϕ j − Dξi + Fi − Qi
dt
j &i
i=1,…,n
j=1,…,m
(4.2)
em que
ξi
kij
ϕj
Fi
Qi
D
D≡
variável de estado (concentração do componente i);
coeficientes de rendimentos ou coeficientes estequiométricos do componente i na reacção j;
taxa cinética da reacção j (por exemplo: velocidade de crescimento do microrganismo);
caudal mássico de alimentação ao reactor na forma líquida (por unidade de volume de líquido no
reactor), para o componente i;
caudal mássico de saída do reactor na forma gasosa (por unidade de volume de líquido no reactor),
para o componente i.
-1
taxa de diluição (D é o tempo de residência) definida como a razão entre o caudal volumétrico de
alimentação (Fe) e o volume (V) de líquido no reactor:
Fe
V
(4.3)
A notação j&i significa que o somatório é efectuado nas reacções de índice j
envolvendo o componente de índice i.
Os coeficientes kij são valores estritamente positivos. O termo correspondente apresenta
o sinal “–” quando i é reagente e o sinal “+” quando i é produto da reacção. Estes
coeficientes são adimensionais (unidades de massa/unidades de massa) em consequência
de se exprimir a velocidade de uma reacção em relação à velocidade de um componente,
dito nominal (BASTIN e DOCHAIN, 1990) ou normalizador (CHEN, 1992). Nessa reacção o
coeficiente associado ao componente nominal é, obviamente, igual à unidade. Os
componentes não intervenientes numa dada reacção apresentam coeficientes, naturalmente,
nulos (zeros estruturais). A dimensão (n×m) da matriz K é tal que n é maior ou igual a m,
isto é, o número de componentes é igual ou superior ao número de reacções.
O modelo geral pode ser escrito usando a seguinte representação matricial
dξ
= Kϕ (ξ , t ) − Dξ + F − Q
dt
(4.4)
93
em que
ξ
K
ϕ
F
Q
T
vector de estado constituído pelas concentrações dos componentes ξ = [ξ1, ξ2, …, ξn];
matriz de coeficientes de rendimentos ou coeficientes estequiométricos K = [kij];
T
vector de taxas cinéticas das reacções ϕ = [ϕ1, ϕ2, …, ϕm];
vector de caudais mássicos de entradas líquidas no reactor (por unidade de volume de líquido no
T
reactor): F = [F1, F2, …, Fn];
vector de caudais mássicos de saídas gasosas do reactor (por unidade de volume de líquido no
T
reactor): Q = [Q1, Q2, …, Qn].
Nesta equação estão evidenciados os dois fenómenos físicos que ocorrem num reactor
biológico: o termo Kϕ descreve a cinética das reacções químicas, biológicas ou
bioquímicas, e os termos –Dξ + F – Q descrevem a dinâmica dos fenómenos de transporte
no reactor.
Na situação de diluição de um substrato i na corrente aquosa de alimentação do reactor,
o caudal de alimentação desse substrato (por unidade de volume de líquido no reactor) será
directamente proporcional à concentração de substrato Se,i no afluente:
Fi = DSe,i
(4.5)
Quando todos os substratos estão na forma líquida, pode definir-se o vector:
Se = ⎡⎣ Se,1 , Se ,2 ,K , Se,n ⎤⎦
T
(4.6)
onde, obviamente, Se,i = 0 quando ξi não for um substrato externo. Pode então escrever-se:
F = DSe
(4.7)
resultando a seguinte equação para o modelo dinâmico geral:
dξ
= K ϕ (ξ , t ) + D ( S e − ξ ) − Q
dt
(4.8)
Adicionalmente, poderá ser necessária (dependendo do modo de operação do reactor)
uma equação para a variação de volume líquido no reactor, traduzida da seguinte forma:
dV
= Fe − Fs
dt
(4.9)
em que Fs é o caudal volumétrico da corrente de saída do reactor.
O Modelo Dinâmico Geral de Reactores Biológicos é aplicável nas três situações
particulares de operação de um reactor biológico (ver Cap. 1): descontínuo, semi-contínuo
94
e contínuo. Da Tabela 4.2 pode inferir-se o efeito do modo de operação do reactor nos
caudais de alimentação e retirada de meio, no volume de meio e na taxa de diluição.
Tabela 4.2 Influência do modo de operação de reactores biológicos no modelo
dinâmico geral
Modo
Descontínuo
Semi-contínuo
Contínuo
Fe
0
Fe(t)
Fe(t) = Fs(t)
Fs
0
0
Fs(t) = Fe(t)
dV/dt
0
Fe(t)
0
V
Constante
V(t)
D
0
D(t) = Fe(t)/V(t)
a
Constante
b
Constante
a. O volume de meio crescerá ao longo do tempo, limitado naturalmente pela capacidade do
reactor.
b. A taxa de diluição, D, poderá ser crescente, decrescente ou constante, dependendo do perfil
de alimentação em substrato, isto é, da função Fe(t).
O modelo geral para reactores biológicos pode ser generalizado de forma a descrever
processos biotecnológicos mais complexos que ocorram em reactores multitanques (CHEN,
1992) ou em processos de parâmetros distribuídos (DOCHAIN, 1994).
4.3.1 Modelação das taxas de reacção
A notação ϕ(ξ,t), usada na equação (4.4), significa que as taxas de reacção do vector ϕ
são variáveis no tempo e são funções (não lineares) do estado ξ.
BASTIN e DOCHAIN (1990) baseados na lei de acção das massas (ver, por exemplo, WALAS,
1959) - uma reacção só se realiza na presença de todos os reagentes, isto é, se um reagente
se esgotar a taxa de reacção será nula - propuseram a seguinte equação para a modelação
minimalista das taxas de reacção:
⎛
⎞
⎝ k~ j
⎠
ϕ j ( ξ , t ) ≡ ρ j (ξ , t ) ⎜ ∏ ξ k ⎟
(4.10)
com
0 ≤ ρ j (ξ , t ) ≤ ρ max
(4.11)
A notação k~j significa que a multiplicação Π é efectuada para os componentes♦ de
♦
Os componentes com função autocatalítica, caso da biomassa, são considerados como reagentes.
95
índice k que são reagentes na reacção j.
A função ρj(ξ,t), denominado taxa específica de reacção, é um parâmetro desconhecido,
variável no tempo, mas com variação em geral mais lenta de que ϕ.
Definindo o vector ρ e a matriz H(ξ) como se segue:
ρ T = [ ρ1 ,K , ρ m ]
(4.12)
⎧
⎫
H (ξ ) = diag ⎨∏ ξ k ⎬
j =1,K, m k ~ j
⎩
⎭
(4.13)
A notação “diag” é utilizada para significar matriz diagonal:
⎡∏ ξ k
⎢ k ~1
⎢ 0
⎧
⎫ ⎢
diag ⎨∏ ξ k ⎬ = ⎢ 0
j =1,K, m k ~ j
⎩
⎭ ⎢
⎢ M
⎢
⎢ 0
⎣⎢
L
0
∏ξ
k
L
k ~2
0
M
0
L
O
L
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
M ⎥
⎥
ξk ⎥
∏
k ~m
⎦⎥
(4.14)
O modelo dinâmico geral (4.4) é, deste modo, reescrito na seguinte forma:
dξ
= KH (ξ , t ) ρ (ξ ) − Dξ + F − Q
dt
(4.15)
4.3.1.1 A taxa específica de crescimento
As cinéticas de crescimento dos microrganismos são normalmente traduzidas, em
termos do vector ϕ, pela seguinte definição:
ϕj(ξ) ≡ µj(ξ)X
(4.16)
em que
µj
X
taxas específica de crescimento na reacção j;
concentração dos microrganismos (biomassa).
A equação (4.16) traduz o facto de a cinética de crescimento ser directamente
proporcional à concentração da biomassa. A taxa específica de crescimento é entendida
como a variação da concentração de biomassa por unidade de tempo (taxa de crescimento)
96
e por unidade de concentração de biomassa (proveniente do crescimento em cultura
descontínua):
µ=
1 dX
X dt
(4.17)
A tradução matemática da dependência de µ com diversos factores (substrato, biomassa,
produto, oxigénio dissolvido, metabolitos inibitórios, pH, temperatura, intensidade da luz,
etc.) tem originado os mais diversos modelos cinéticos. BASTIN e DOCHAIN (1990) dedicam
um apêndice do seu livro a listar cerca de 50 modelos cinéticos que ilustram essas
dependências. BARFORD e HALL (1978) apresentam uma avaliação de diferentes tipos de
modelos de crescimento com especial ênfase crítica ao modelo de MONOD.
A proposta de MONOD (1942) para a modelação da taxa específica de crescimento é,
talvez, a mais conhecida e utilizada pela comunidade de científica das áreas de
biotecnologia e microbiologia. Não inclui o efeito das diferenças entre as células, nem as
alterações na composição celular. Não é adequada para a fase de latência nem para a fase
de morte celular. Trata-se de uma abordagem determinística, distribuída e não estruturada.
Representa, unicamente, a dependência de µ com a concentração de um substrato limitante
e tem a forma de uma equação hiperbólica de saturação semelhante a outras utilizadas em
cinética enzimática e em fenómenos de adsorção:
µ (t ) =
µ max S ( t )
km + S ( t )
(4.18)
em que
µmax
km
S
taxa específica máxima de crescimento;
parâmetro de afinidade dos microrganismos ao substrato;
concentração de substrato.
Uma alternativa à utilização de um modelo cinético consiste em supor µ(t)
desconhecido, e estimá-lo em linha através de técnicas baseadas em filtros adaptativos
(HOLMBERG e RANTA, 1982; STEPHANOPOULOS e SAN, 1984; DOCHAIN, 1986).
97
4.3.1.2 Modelação da formação de um produto de síntese - A taxa específica de
produção
O crescimento dos microrganismos é muitas vezes acompanhado pela formação de
produtos. Essa formação pode estar ou não associada ao crescimento (ver Cap. 1). Os
produtos podem ser solúveis na cultura ou podem emergir numa forma gasosa (caso do
biogás em digestão anaeróbia - ERICKSON e FUNG, 1988). O balanço de massa relativo ao
produto no reactor pode ser escrito na seguinte forma geral:
dP
= υ X − DP − QP
dt
(4.19)
em que
P
υ
QP
concentração na fase líquida para o produto de síntese;
taxa específica de produção;
caudal mássico gasoso de saída do produto P por unidade de volume de reactor.
O termo υX representa a taxa de formação do produto e traduz o facto da produção ser
“catalisada” pela biomassa.
Na situação de formação de um produto associada ao crescimento, assume-se que a taxa
específica de produção é directamente proporcional à taxa específica de crescimento:
υ ≡ kµ
(4.20)
em que k é um coeficiente de rendimento.
Para a situação de formação de um produto parcialmente dissociada do crescimento
(fermentação de ácido láctico), LUEDEKING e PIRET (1959) propuseram a conhecida
expressão:
υ = kµ+υP
(4.21)
em que υP é taxa específica de produção não associada ao crescimento.
O balanço de massa ao produto reduz-se à forma do modelo geral de reactores
biológicos de acordo com a seguinte correspondência:
98
Tabela 4.3 Correspondência do balanço à formação de um produto de síntese ao modelo geral de
reactores biológicos
Modelo Geral
ξ
Balanço ao produto
P
Kϕ
⎧
υX = ⎨
kµ X
⎩( k µ + υ P ) X
F
Q
0
QP
4.4 Dinâmica da fase gasosa
Considerando a ocorrência de mistura perfeita na fase gasosa de um reactor biológico,
isto é, sem variações espaciais de concentração, pode escrever-se o seguinte balanço
mássico para o componente i, em fase gasosa a PTV constantes.
VG
dξGs ,i
dt
= QeξGe,i − QsξGs ,i − K Li a (ξ Lsat,i − ξ L ,i ) V
(4.22)
em que
VG
ξGe,i
ξGs,i
ξL,i
sat
ξL,i
i
KLa
Qe
Qs
volume de fase gasosa (espaço fechado acima da fase líquida);
concentração mássica do componente i na corrente gasosa de entrada no reactor;
concentração mássica do componente i na corrente gasosa à saída do reactor;
concentração mássica do componente i no reactor (fase líquida);
concentração mássica de saturação do componente i no reactor (fase líquida);
coeficiente global de transferência para o componente i
caudal volumétrico de entrada de gás;
caudal volumétrico de saída de gás.
Através da Lei dos Gases Perfeitos podem derivar-se as seguintes relações para a
concentração (mássica) em fase gasosa em função de
• pressão parcial do componente i (Pi) e temperatura absoluta (T):
ξ G ,i =
PM
i
i
RT
(4.23)
• pressão total (P), fracção molar do componente i (yi) e temperatura absoluta:
ξ G ,i =
P
M i yi
RT
(4.24)
com Mi massa molar do componente i, R constante dos gases perfeitos.
O balanço mássico a um componente na fase gasosa pode ser reescrito na seguinte
4.5 DINÂMICA DE GASES DISSOLVIDOS
99
forma molar:
PVG dys ,i
= Ge ye,i − Gs ys ,i − K Li a ( CLsat,i − CL ,i ) V
RT dt
(4.25)
em que
Ge
Gs
sat
caudal molar de entrada de gás;
caudal molar de saída de gás;
CL,i
concentração molar de saturação na fase líquida para o componente i;
CL,i
ye,i
ys,i
concentração molar na fase líquida para o componente i.
fracção molar do componente i na corrente gasosa de entrada no reactor;
fracção molar do componente i na corrente gasosa à saída do reactor.
Os gases inertes, por definição, não são consumidos nem produzidos dentro do sistema
e, normalmente, tem uma solubilidade em água muito baixa (caso do azoto). A utilização
da eq. (4.25) permite estimar o caudal Gs, conhecendo-se Ge, e as composições à entrada e
à saída, para o inerte:
⎛y
⎞ PV ⎛ dy
⎞ 1
Gs = Ge ⎜⎜ e,inerte ⎟⎟ − G ⎜ s ,inerte ⎟
⎝ ys ,inerte ⎠ RT ⎝ dt ⎠ ys ,inerte
(4.26)
Normalmente o termo de acumulação é desprezável, o que significa que as correntes de
inerte à entrada e saída do reactor devem ser iguais, facilitando assim, o cálculo do caudal
de gás total à saída:
⎛y
⎞
Gs = Ge ⎜⎜ e,inerte ⎟⎟
⎝ ys ,inerte ⎠
(4.27)
4.5 Dinâmica de gases dissolvidos
4.5.1 Dinâmica do oxigénio dissolvido
As fermentações aeróbias são processos arejados pelo facto de os microrganismos
necessitarem de oxigénio de forma a desenvolverem-se apropriadamente. O oxigénio
molecular é usado pelos microrganismos aeróbios como um oxidante para as suas
necessidades energéticas. Este processo, denominado respiração, pode decorrer através de
diferentes vias metabólicas, dependendo do tipo de substrato e do tipo de microrganismo.
O oxigénio dissolvido no meio de cultura pode ser encarado como um substrato adicional.
100
A medição da concentração de oxigénio dissolvido em processos de fermentação é
normalmente efectuada através de eléctrodos electroquímicos cuja calibração decorre por
imersão de uma sonda no meio líquido supostamente em equilíbrio com uma fase gasosa
de concentração de oxigénio conhecida (ar por exemplo). Devido a este procedimento, usase muitas vezes a pressão parcial de oxigénio, pO2, como medida da concentração de
oxigénio dissolvido, assumindo-se que existe uma saturação do líquido para essa pressão
parcial. Devido a este facto, é usual encontrar a designação “tensão de oxigénio
dissolvido” para denominar a concentração de oxigénio dissolvido (ONKEN e LIEFKE, 1989).
No seguimento usar-se-á esta última designação para representar a composição de oxigénio
no meio líquido.
O balanço de massa ao oxigénio dissolvido num fermentador é traduzido pela seguinte
equação:
dO
= OTR − OUR − DO
dt
(4.28)
com
O
concentração de oxigénio dissolvido no reactor;
OTR taxa de transferência de oxigénio da fase gasosa para a fase líquida;
OUR taxa de consumo de oxigénio pelos microrganismos.
A taxa de consumo de oxigénio - OUR♦ depende, obviamente, da taxa de crescimento
dos microrganismos:
OUR = KOµX
(4.29)
em que KO é o vector dos coeficientes de rendimento para o oxigénio.
Na equação anterior é, por vezes, incluído um termo proporcional à concentração de
biomassa para traduzir a parte do oxigénio utilizada na respiração endógena.
A modelação da transferência da fase gasosa para a fase líquida permite escrever a
seguinte equação para a taxa de transferência de oxigénio:
O2
OTR = KL a(Osat – O)
♦
(4.30)
Optou-se pela manutenção da terminologia inglesa para as siglas OTR (Oxygen Transfer Rate) e OUR
(Oxygen Uptake Rate) dada a inexistência de siglas convencionais correspondentes na terminologia científica
portuguesa.
101
com
O2
KL a coeficiente global de transferência de oxigénio;
Osat concentração de saturação de oxigénio dissolvido;
HOLMBERG e RANTA (1982) substituem o coeficiente global de transferência de oxigénio
por uma função linear do caudal volumétrico de arejamento, como se segue:
sat
OTR = βQe(O – O)
(4.31)
em que β é uma constante de proporcionalidade.
O2
Uma vez que os parâmetros KL a e Osat são, na maior parte dos casos, desconhecidos, é
preferível a utilização da equação de balanço (4.22), em estado estacionário, ao oxigénio
na fase gasosa:
(Q
OTR =
e
O2
− QOs 2 )
V
(4.32)
com
e
QO2
s
QO2
caudal mássico de oxigénio gasoso à entrada do reactor;
caudal mássico de oxigénio gasoso à saída do reactor;
Os caudais mássicos de oxigénio à entrada e saída do reactor podem ser escritos em
função dos caudais molares totais de saída e entrada através das seguintes equações:
e
QO2 = ye,OGeMO2
s
QO2 = ys,OGsMO2
(4.33)
(4.34)
com
ye,O
ys,O
MO2
fracção molar (ou volúmica) do oxigénio na corrente gasosa de entrada;
fracção molar (ou volúmica) do oxigénio na corrente gasosa de saída;
massa molar do oxigénio molecular.
Utilizando estas relações e a equação de balanço a um componente inerte (4.27), obtémse a seguinte equação para o cálculo do OTR:
102
Taxa de Transferência de Oxigénio
OTR =
⎞
Ge M O2 ye,inerte ⎛ ye,O
y
− s ,O ⎟
⎜⎜
⎟
V
⎝ ye,inerte ys ,inerte ⎠
(4.35)
O cálculo da taxa de transferência de oxigénio necessita da medição da composição das
correntes gasosas à entrada e saída do reactor e também da medição do caudal molar total
de gás à entrada do reactor. Valores típicos de oxigénio e azoto no ar atmosférico são
20.98% e 78.04% respectivamente (ar seco).
O balanço de massa ao oxigénio reduz-se à forma do modelo geral de reactores
biológicos de acordo com a seguinte correspondência:
Tabela 4.4 Correspondência do balanço ao oxigénio ao modelo geral de
reactores biológicos
Modelo Geral
ξ
Kϕ
F
Q
Balanço ao oxigénio
O
-OUR
OTR
0
4.5.2 Dinâmica do dióxido de carbono dissolvido
O oxigénio tem sido considerado como a principal variável que controla o ambiente
gasoso de uma fermentação; há contudo situações evidentes de que o dióxido de carbono
desempenha um papel importante em várias fermentações, sejam aeróbias (JONES e
GREENFIELD, 1982) ou anaeróbias (ROZZI et al., 1985), devido ao seu papel no metabolismo
celular. O dióxido de carbono constitui um substrato bio-sintético nas reacções de
carboxilação ou um produto metabólico nas reacções de descarboxilação (HO et al., 1987).
O cálculo da concentração de dióxido de carbono dissolvido não é tão imediato como
no caso do oxigénio. O dióxido de carbono é bastante mais solúvel em água que o
oxigénio. A 30 °C as solubilidades expressas em litros de gás por litro de água são: 0.0261
e 0.665 para o oxigénio e dióxido de carbono respectivamente (HEINZLE e DUNN, 1991).
Adicionalmente, o dióxido de carbono reage com a água, formando hidrogenocarbonato e
carbonato, conforme se evidencia pelas seguintes reacções de associação e dissociação:
CO2(gas.)
CO2(aq.) + H2O
CO2(aq.)
H2CO3
(4.36)
(4.37)
H2CO3
HCO3
HCO3 + H+
103
(4.38)
2-
CO3 + H+
(4.39)
A velocidade da reacção de formação de ácido carbónico é bastante lenta quando
comparada com a da sua dissociação. Uma indicação da importância relativa de cada uma
das formas moleculares de dióxido de carbono na fase líquida de uma fermentação é dada
pelas seguintes relações de equilíbrio (JONES e GREENFIELD, 1982):
[ H 2CO3 ] = 10−3
⎡⎣CO 2 ( aq.) ⎤⎦
(4.40)
⎡⎣ HCO-3 ⎤⎦ 2.5 × 10−4
=
[ H 2CO3 ] ⎡⎣ H + ⎤⎦
(4.41)
⎡⎣CO 2-3 ⎤⎦ 6 × 10−11
=
⎡⎣ HCO-3 ⎤⎦
⎡⎣ H + ⎤⎦
(4.42)
Torna-se evidente, com estas relações, que a concentração do ião carbonato é sempre
desprezável para a gama de valores normalmente utilizada em processos de fermentação
(pH 4.0 - 7.0). Em fermentações de levedura (pH 4.0 - 5.5) o dióxido de carbono
dissolvido encontrar-se-á, maioritariamente, na forma CO2(aq). Para estas gamas de pH
podem ignorar-se as reacções de dióxido de carbono dissolvido com os iões hidroxilo,
assim como a sua complexação com grupos aminados de moléculas de proteínas (ROYCE e
THORNHILL, 1991).
O dióxido de carbono produzido no interior da célula pelo seu metabolismo, e uma vez
que a membrana celular é relativamente impermeável às espécies iónicas, passa para o
meio na forma de dióxido de carbono dissolvido.
A dinâmica da concentração de dióxido de carbono dissolvido durante uma fermentação
é descrita pela seguinte equação, resultante de um balanço material:
dC
= CER − DC − CTR
dt
em que
(4.43)
104
C
concentração de dióxido de carbono na fase líquida;
CER taxa de produção de dióxido de carbono devida ao crescimento dos microrganismos;
CTR taxa de transferência de dióxido de carbono da fase líquida para a fase gasosa.
Tal como no caso do oxigénio, a taxa de produção de dióxido de carbono - CER♦
dependerá, obviamente, da taxa de crescimento dos microrganismos:
CER = KCµX
(4.44)
em que KC é o vector dos coeficientes de rendimento para o dióxido de carbono.
A modelação da transferência da fase líquida para a fase gasosa permite escrever a
seguinte equação para a taxa de transferência de dióxido de carbono:
CO2
CTR = KL a(C – Csat)
(4.45)
com
CO2
KL a coeficiente global de transferência de dióxido de carbono;
Csat concentração de saturação de dióxido de carbono na fase líquida;
A concentração de saturação de dióxido de carbono dissolvido pode ser relacionada
com a pressão parcial externa de dióxido de carbono a partir da conhecida lei de HENRY:
pCO2 = CG,CO2RT = CsatHCO2
(4.46)
em que
pCO
pressão parcial de dióxido de carbono;
2
CG,CO concentração molar de dióxido de carbono na fase gasosa;
2
R
T
HCO
constante dos gases perfeitos;
temperatura absoluta do sistema;
constante de HENRY para o dióxido de carbono: 77.273 Pa m3Kg-1 a 30 °C (SCHUMPE et al., 1982).
2
ROYCE e THORNHILL (1991) sugerem uma relação entre os coeficientes de transferência de
massa para o dióxido de carbono e para o oxigénio:
K LCO2 a ⎛ DLCO2
=⎜
K LO2 a ⎜⎝ DLO2
♦
⎞
⎟⎟
⎠
23
⎛ 2.0 × 10 −9 m 2 ⋅ s −1 ⎞
⎟
= ⎜⎜
2
−9
−1 ⎟
⎝ 2.4 × 10 m ⋅ s ⎠
23
= 0.89
(4.47)
Optou-se pela manutenção da terminologia inglesa para as siglas CER (Carbon dioxide Evolution Rate)
e CTR (Carbon dioxide Transfer Rate) dada a inexistência de siglas convencionais correspondentes na
terminologia científica portuguesa.
O2
CO2
em que DL e DL
105
são as difusividades de fase líquida para o oxigénio e dióxido de
carbono respectivamente. Os valores de difusividade foram obtidos para a água a 25 °C
(INCROPERA e
WITT, 1990). Apesar de os valores de difusividade serem função da
DE
composição e temperatura do meio, a sua razão é constante (ROYCE e THORNHILL, 1991).
HEINZLE e DUNN (1991) sugerem, contudo, a possibilidade de se poder considerar os dois
coeficientes aproximadamente iguais.
CO2
Uma vez que os parâmetros KL a e Csat são, na maior parte dos casos, desconhecidos, é
preferível a utilização da equação de balanço (4.25), em estado estacionário, ao dióxido de
carbono na fase gasosa (adaptada em termos mássicos):
(Q
CTR =
s
CO2
e
− QCO
)
2
(4.48)
V
com
e
QCO2 caudal mássico de dióxido de carbono gasoso à entrada do reactor (por unidade de volume de
reactor);
s
QCO2 caudal mássico de dióxido de carbono gasoso à saída do reactor (por unidade de volume de
reactor);
De modo idêntico ao cálculo de OTR pela equação (4.35), a equação seguinte
assegurará o cálculo da taxa de transferência de dióxido de carbono, CTR:
Taxa de Transferência de Dióxido de carbono
CTR =
⎞
Ge M CO2 ye ,inerte ⎛ ys ,C
y
− e,C ⎟⎟
⎜⎜
V
⎝ ys ,inerte ye ,inerte ⎠
(4.49)
O valor típico de dióxido de carbono no ar atmosférico é 0.038 %.
O balanço de massa ao dióxido de carbono reduz-se à forma do modelo geral de
reactores biológicos conforme a seguinte correspondência:
106
Tabela 4.5 Correspondência do balanço ao dióxido de carbono ao modelo geral
de reactores biológicos
Modelo Geral
ξ
Kϕ
F
Q
Balanço ao dióxido de carbono
C
CER
0
CTR
4.5.3 O quociente respiratório
A combustão de substratos, através da utilização de oxigénio e libertação de dióxido de
carbono é a etapa crítica da respiração celular. A oxidação completa de um substrato
ocorre através de relação estequiométrica conhecida, produzindo e consumindo
quantidades
previsíveis
de
dióxido
de
carbono
e
oxigénio,
respectivamente.
Tradicionalmente o quociente respiratório tem sido usado, como uma técnica não invasiva,
na determinação da natureza da fonte de carbono que está a ser consumida num processo
de fermentação. Para uma utilização de um dado substrato, é pois, possível estimar o
respectivo quociente respiratório.
O quociente respiratório é definido como a razão molar entre a taxa de produção de
dióxido de carbono e a taxa de consumo de oxigénio:
⎛ CER
⎞
⎜
⎟
M
CO2 ⎠
⎝
RQ ≡
⎛ OUR
⎞
⎜
⎟
M
O2 ⎠
⎝
(4.50)
No cálculo de RQ faz-se normalmente a aproximação de considerar as equações
dinâmicas para o oxigénio e para o dióxido de carbono em estado quase estacionário para o
meio líquido (WANG e STEPHANOPOULOS, 1984). A razão prende-se com o facto de as
constantes de tempo dessas equações (que são da ordem do volume de meio dividido pelo
caudal volumétrico de gás) serem muito pequenas quando comparadas com as constantes
de tempo das equações dinâmicas das concentrações de biomassa e substrato (da ordem do
volume do meio dividido pelo caudal volumétrico de meio). Verifica-se também que o
termo DO << OTR e o termo DC << CTR. Deste modo pode considerar-se que a taxa de
transferência de oxigénio (OTR) é idêntica à taxa de consumo de oxigénio (OUR) e que a
taxa de transferência de dióxido de carbono é idêntica à taxa de produção de dióxido de
carbono (CER).
Estas simplificações, que transformam uma equação diferencial numa equação
4.6 MODELO MATEMÁTICO PARA A PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
107
algébrica, permitindo reduzir a ordem do modelo, são designadas em Teoria de Sistemas
por técnicas de perturbações singulares (KOKOTOVIC et al., 1986) ou por aproximações de
estado pseudo estacionário, designação preferida em Engenharia Química.
Com estas aproximações e usando as equações (4.35) e (4.49) o quociente respiratório é
calculado como se segue:
⎛ CTR
⎞ ⎛ ys ,C − ye ,C ⎞
⎜
⎟
⎜
M CO2 ⎟⎠ ⎜⎝ ys ,inerte ye,inerte ⎟⎠
⎝
RQ ≈
=
⎛ OTR
⎞ ⎛ ye ,O
y s ,O ⎞
−
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
M O2 ⎠ ⎜ y
⎝
⎝ e,inerte ys ,inerte ⎠
(4.51)
O conhecimento em linha do quociente respiratório necessita somente da análise da
composição do gás de saída e do ar de entrada, realizável por espectrometria de massa.
ROYCE (1992) e ROYCE e THORNHILL (1992) demonstraram que esta determinação é bastante
sensível ao valor de pH do meio de cultura principalmente para pH>6.5 (em que
concentração de dióxido de carbono dissolvido é uma a duas ordens de magnitude superior
à concentração de oxigénio dissolvido).
A taxa de utilização de oxigénio (OUR), a taxa de produção de dióxido de carbono
(CER) e o quociente respiratório são indicadores muito úteis da actividade respiratória
celular, especialmente na fermentação semi-contínua para a produção de fermento de
padeiro.
4.6 Modelo matemático para a produção de fermento de
padeiro
O crescimento do fermento de padeiro em glucose com produção/consumo de etanol
pode ser caracterizado por três vias metabólicas principais. No capítulo 2 foram
apresentadas as equações estequiométricas (eqs. (2.1) a (2.3)) relativas as estas vias
metabólicas. Essas equações, usadas durante muito tempo para descrever o metabolismo da
glucose pela Saccharomyces, foram postas em causa (COONEY et al., 1977; WANG et al.,
1977) a partir do momento em que as análises da fase gasosa (especialmente por
espectrometria de massa) permitiram o cálculo rigoroso de parâmetros relacionados com
estado metabólico das células. O quociente respiratório (RQ) constitui um desses
parâmetros, conforme se verifica na Tabela 4.6, para o metabolismo da glucose pela
108
Saccharomyces:
Tabela 4.6 Estado metabólico vs. quociente respiratório
RQ
Estado fisiológico
RQ > 1.1
produção de etanol
0.9 < RQ < 1.1
crescimento oxidativo
0.7 < RQ < 0.9
metabolismo endógeno
RQ < 0.6
utilização de etanol
A partir da estequiometria clássica para esta fermentação, o crescimento respiratório
conduziria a valor de RQ unitário (1 mole de dióxido de carbono por mole de oxigénio).
Contudo vários autores indicam valores experimentais de RQ próximos de 1.08.
Identicamente, para a respiração do etanol esperar-se-ia um valor de RQ igual a 0.67
(2 moles de dióxido de carbono para 3 moles de oxigénio), verificando-se na prática um
valor igual a 0.42.
É visível a partir dos dados desta tabela que quaisquer desvios do valor de RQ da
proximidade da unidade provocarão uma deterioração do rendimento de crescimento
celular da levedura (AIBA e FURUSE, 1990).
É, assim, preferível descrever as vias metabólicas através da seguinte formulação que
constitui o chamado esquema reaccional ou rede de reacções (BASTIN e DOCHAIN, 1990):
Crescimento respiratório em glucose (via oxidativa)
µo
s
k1S + k5O ⎯⎯⎯
→ X + k7 C
(4.52)
Crescimento fermentativo em glucose (via redutiva)
µr
k2 S ⎯⎯s⎯
→ X + k8C + k3 E
(4.53)
Crescimento respiratório em etanol (via oxidativa)
µo
e
k4 E + k6O ⎯⎯⎯
→ X + k9 C
(4.54)
em que S, O, X, C e E representam respectivamente glucose, oxigénio, biomassa, dióxido
o
r
o
de carbono e etanol; µs , µs e µe representam as taxas específicas de crescimento e os ki são
os coeficientes de rendimento, expressos em relação à produção de uma unidade de
levedura (o componente nominal) em cada reacção. Na sequela, S, …, E designarão
4.6 MODELO MATEMÁTICO PARA A PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
109
concentrações dos componentes anteriormente referidos.
As três equações anteriores constituem uma descrição qualitativa do esquema reaccional
do metabolismo da glucose. Esta formulação, comparativamente às equações estequiométricas apresentadas no capítulo 2, considera a formação de biomassa e inclui
coeficientes de rendimento (vistos como coeficientes estequiométricos) que tomarão em
linha de conta a síntese celular e de produtos secundários eventualmente não considerados
no esquema reaccional. De notar que neste esquema não surge a fonte de azoto,
particularmente importante para o balanço ao potencial de oxidação-redução (BARFORD e
HALL, 1979).
O modelo dinâmico associado a este esquema reaccional, obtido por balanços de massa
aos componentes, considerando o reactor perfeitamente agitado, é o seguinte:
dX
= − DX + ( µ so + µ rs + µ eo ) X
dt
(4.55)
dS
= − DS + DSe + ( − k1µ so − k2 µ sr ) X
dt
(4.56)
dE
= − DE + ( k3 µ sr − k4 µ eo ) X
dt
(4.57)
dO
= − DO + OTR + ( −k5 µ so − k6 µ eo ) X
dt
(4.58)
dC
= − DC − CTR + ( k7 µ so + k8 µ sr + k9 µ eo ) X
dt
(4.59)
Na equação de balanço à glucose utilizou-se a variável Se para designar a concentração
de açúcar na corrente de alimentação. Note-se que a mesma notação é usada para o vector
referido em (4.6).
Estas cinco equações diferenciais ordinárias e não lineares - modelo de espaços de
estados - podem ser representadas pela equação seguinte:
Modelo dinâmico para a produção de fermento de padeiro
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
⎢
⎥ ⎢ 1
d
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
1
− k2
k3
0
k8
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
o
0 ⎥ ⎡µs ⎤
⎢ ⎥ ⎢ e⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
−k4 ⎥ ⎢ µ sr ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥ − ⎢ 0 ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
− k6 ⎥ ⎢⎣ µ eo ⎥⎦
⎢ O ⎥ ⎢OTR ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦
k9 ⎥⎦
(4.60)
110
Esta estrutura matricial está subjacente ao modelo dinâmico geral de reactores
biológicos (4.4) com n = 5 variáveis de estado e m = 3 taxas de reacção. A correspondente
equivalência é feita como se segue:
⎡1 − k1
ξ = [X S E O C], K = ⎢⎢1 −k2
⎢⎣1 0
T
T
T
0
− k5
k3
0
− k4
− k6
k7 ⎤
k8 ⎥⎥
k9 ⎥⎦
T
(4.61)
F = [0 DSe 0 OTR 0], Q = [0 0 0 0 CTR]
(4.62)
ϕ T (ξ ) = ⎡⎣ µ so
(4.63)
µ sr
µ eo ⎤⎦ X
Utilizando a representação mencionada em § 4.3.1 (Modelação das taxas de reacção),
têm-se:
H(ξ) = diag(X) e ρT ( ξ ) = µso µsr µ oe
(4.64)
Conforme referido em § 2.1.3, verifica-se em fermentações semi-contínuas a ocorrência
de dois regimes metabólicos distintos: respiração e fermentação da glucose com produção
de etanol, referida como regime respiro-fermentativo (RF) e respiração conjunta de
glucose e etanol - regime respirativo (R). Isto significa que a levedura só pode crescer por
duas vias simultaneamente. Assim, o modelo dinâmico para a produção de fermento de
padeiro deve ser dividido em dois modelos parciais (POMERLEAU, 1990) como se segue:
Modelo parcial RF - estado Respiro-fermentativo do processo
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
1
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
e
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
−k2 ⎥ o
⎢ ⎥ ⎢ e⎥ ⎢
⎥
⎡µs ⎤
k3 ⎥ ⎢ r ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥ − ⎢ 0 ⎥
⎥ µ
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
0 ⎥⎣ s ⎦
⎢ O ⎥ ⎢OTR ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦
k8 ⎥⎦
(4.65)
4.7 MODELO MATEMÁTICO PARA A FERMENTAÇÃO ETANÓLICA
111
Modelo parcial R - estado Respiratório do processo
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
1
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
0 ⎥⎥ o
⎢ ⎥ ⎢ e⎥ ⎢
⎥
⎡µs ⎤
−k4 ⎥ ⎢ o ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥ − ⎢ 0 ⎥
⎥ µ
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
− k6 ⎥ ⎣ e ⎦
⎢ O ⎥ ⎢OTR ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦
k9 ⎥⎦
(4.66)
Note-se que através da divisão do modelo se reduziu a duas (m = 2) o número de
reacções.
A ordem deste modelo pode ser reduzida usando a aproximação introduzida em § 4.5.3
(técnica de perturbação singular), por transformação da equação diferencial relativa à
dinâmica do dióxido de carbono numa equação algébrica. Assim a taxa de transferência de
dióxido de carbono será igual à taxa de produção de dióxido de carbono, calculada,
conforme o regime metabólico, como se segue:
o
r
RF CTR = (k7µs + k8µs)X
o
(4.67)
o
R CTR = (k7µs + k9µe )X
(4.68).
4.7 Modelo matemático para a fermentação etanólica
A fermentação etanólica de um substrato constituído essencialmente por glucose pode
ser caracterizada pela via metabólica (crescimento fermentativo em glucose) apresentada
estequiometricamente na equação (2.4). Esta via metabólica pode ser formulada através do
seguinte esquema reaccional:
Fermentação etanólica
µ
k1S ⎯⎯→ X + k2 E + k3C
(4.69)
em que os símbolos mantêm o significado apresentado para a produção de fermento de
padeiro.
O modelo dinâmico associado a este esquema reaccional é descrito pelo seguinte
sistema de equações diferenciais:
112
dX
= µ X − DX
dt
(4.70)
dS
= − k1µ X + DSe − DS
dt
(4.71)
dE
= k2 µ X − DE
dt
(4.72)
dC
= k3 µ X − DP − CTRM
dt
(4.73)
Este sistema de equações diferenciais pode ser representado pela seguinte equação
matricial:
Modelo dinâmico para a fermentação etanólica
⎡X ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ S ⎥ ⎢ −k ⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
d ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥
⎥
=
µX − D⎢ ⎥+ ⎢ e⎥ −⎢
⎢E⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
dt ⎢ E ⎥ ⎢ k2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ C ⎦ ⎣⎢ k3 ⎦⎥
⎣ C ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣CTR ⎦
(4.74)
com n = 4 variáveis de estado e m = 1 taxas de reacção, em que:
T
T
ξ = [X S E C], K = [1 –k1 k2 k3]
T
T
(4.75)
F = [0 DSe 0 0], Q = [0 0 0 -CTR]
(4.76)
ϕ = µX, ρ = µ, H(ξ) = X
(4.77)
Conforme referido em § 3.2, as experiências decorriam a maior parte do tempo sem
alimentação de açúcar ou seja em modo descontínuo. Assim, no modelo anterior deve
considerar-se D = 0 e eliminar o vector de correntes de alimentação, obtendo-se o seguinte
modelo para a fermentação etanólica descontínua:
⎡X ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡ 0 ⎤
⎢ S ⎥ ⎢ −k ⎥
⎢ 0 ⎥
d ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥
⎥
=
µX −⎢
⎢ 0 ⎥
dt ⎢ E ⎥ ⎢ k2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣ C ⎦ ⎣⎢ k3 ⎦⎥
⎣CTR ⎦
(4.78)
De modo idêntico ao fermento de padeiro, a ordem deste modelo pode ser reduzida
usando a técnica de perturbação singular, por transformação da equação diferencial relativa
à dinâmica do dióxido de carbono numa equação algébrica. Assim a taxa de transferência
4.8 MODELO MATEMÁTICO PARA A SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA
113
de dióxido de carbono será igual à taxa de produção de dióxido de carbono:
CTR = k3µX
(4.79).
4.8 Modelo matemático para a síntese enzimática de
ampicilina
A síntese enzimática de ampicilina pode ser caracterizada por três reacções bioquímicas
principais. No capítulo 2 foram apresentadas as equações estequiométricas (eqs. (2.5) a
(2.7)) relativas as estas reacções, cujo esquema reaccional é o seguinte:
Síntese de ampicilina
ϕ
1
k1S1 + S 2 ⎯⎯→
k5 P2 + k6 P3
(4.80)
Hidrólise de metifenilglicina
ϕ
2
S 2 ⎯⎯⎯
→ k3 P1 + k7 P3
(4.81)
Hidrólise de ampicilina
ϕ
3
P2 ⎯⎯→
k4 P1 + k2 S1
(4.82)
em que S1, S2, P1, P2 e P3 representam, respectivamente, ácido 6-aminopenicilânico,
metifenilglicina, fenilglicina, ampicilina e metanol; ϕ1, ϕ2 e ϕ3 representam as taxas de
reacção e os ki são os coeficientes de rendimento, expressos em relação ao componente
nominal em cada reacção (metilfenilglicina para a 1ª e 2ª reacções, ampicilina para a 3ª
reacção). Na sequela, S1, …, P3 designarão concentrações dos componentes anteriormente
referidos. Neste esquema reaccional não é considerado o componente água, sem perda de
consistência, uma vez que o esquema se refere a uma descrição do processo meramente
qualitativa.
O modelo de estado para a operação de um reactor em modo semi-contínuo é descrito
pelo seguinte conjunto de equações diferenciais:
dS1
= −k1ϕ1 + k2ϕ3 − DS1 + F1
dt
(4.83)
dS2
= −ϕ1 − ϕ 2 − DS2 + F2
dt
(4.84)
114
dP1
= k3ϕ 2 + k4ϕ3 − DP1 + F3
dt
(4.85)
dP2
= k5ϕ1 − ϕ3 − DP2
dt
(4.86)
dP3
= k6ϕ1 + k7ϕ 2 − DP3
dt
(4.87)
em que Fi são caudais de alimentação de substratos por unidade de volume de reactor.
Este modelo pode ser reduzido à expressão matricial (4.4)
Modelo dinâmico para a síntese enzimática de ampicilina
⎡ S1 ⎤ ⎡ −k1
⎢ S ⎥ ⎢ −1
2⎥
⎢
⎢
d
⎢ P1 ⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ P2 ⎥ ⎢ k5
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ k6
0 k2 ⎤
⎡ S1 ⎤ ⎡ F1 ⎤
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1 0 ⎥ ⎡ϕ1 ⎤
⎢ S 2 ⎥ ⎢ F2 ⎥
k3 k4 ⎥ ⎢⎢ϕ 2 ⎥⎥ − D ⎢ P1 ⎥ + ⎢ F3 ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 −1⎥ ⎢⎣ϕ 3 ⎥⎦
⎢ P2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
k7 0 ⎥⎦
(4.88)
com n = 5 variáveis de estado e m = 3 taxas de reacção, em que:
T
T
ξ = [S1 S2 P1 P2 P3], ϕ = [ϕ1 ϕ2 ϕ3]
(4.89)
⎡ −k1
K = ⎢⎢ 0
⎣⎢ k2
(4.90)
T
−1
0
−1 k3
0 k4
k6 ⎤
T
0 k7 ⎥⎥ , F = [F1 F2 F3 0 0], Q = 0
−1 0 ⎦⎥
k5
A modelação minimalista das taxas de reacção (ver § 4.3.1) conduz à seguinte
representação:
⎡ϕ1 ⎤ ⎡ S1S 2
⎢ϕ ⎥ = ⎢ 0
⎢ 2⎥ ⎢
⎢⎣ϕ3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
S2
0
0 ⎤ ⎡ ρ1 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ ρ 2 ⎥⎥
P2 ⎥⎦ ⎢⎣ ρ3 ⎥⎦
(4.91)
em que ρ1, ρ2, ρ3 são taxas específicas de reacção para cada uma das três reacções do
esquema reaccional.
4.9 SÍNTESE
115
4.9 Síntese
Neste capítulo é apresentado o modelo geral para a dinâmica de reactores biológicos,
cuja estrutura matricial será usada ao longo da tese. Foi dada particular ênfase à modelação
da fase gasosa e à dinâmica de gases dissolvidos.
Foram estabelecidos os modelos matemáticos de espaço de estados para os três
processos em estudo. Para a produção de fermento de padeiro foram propostas duas
abordagens: um modelo global a três reacções; modelos parciais que têm em consideração
os dois regimes metabólicos.
Os modelos de estado, obtidos por balanços macroscópicos aos componentes
envolvidos no respectivo esquema reaccional, apresentam uma estrutura matricial em
comum, que no seguimento permitirá estabelecer algoritmos de identificação, estimação e
controlo. No próximo capítulo serão calculados os coeficientes de rendimento que
constituem a matriz K sem o conhecimento das leis cinéticas das reacções.
4.10 Bibliografia
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FEUP 1995
5. Modelação Matemática Identificação de Modelos
“…most experimenters think of experimental design as an
art owing much to intuition and very little to mathematics,
while mathematics view it as an essentiallly statistical
problem. While we do not question the obvious importance
of the experimenter’s intuition and prior knowledge, […]
mathematical treatment can also be helpful in designing an
appropriate experiment …”
E. WALTER e L. PRONZATO (1990)
Sumário
É objectivo deste capítulo o desenvolvimento de algoritmos para identificação de coeficientes de
rendimento em processos biotecnológicos. São apresentadas metodologias para a estimação de coeficientes
de rendimento através de medições completas do estado. São propostas estratégias de planificação
experimental que visam a optimização da riqueza informativa da experiência, quantificada por índices
relativos à matriz de informação de FISHER. O objectivo da planificação experimental foi endereçado em
termos da programação de trajectórias de entradas.
Na produção de fermento de padeiro procurou projectar-se experiências que conduzissem a um máximo
de informação através da programação do caudal de alimentação em glucose.
Os algoritmos de identificação dos coeficientes de rendimento tiveram aplicação real à fermentação
etanólica.
Para a síntese enzimática de ampicilina fizeram-se simples considerações estequiométricas para cálculo
dos coeficientes de rendimento.
5.1 INTRODUÇÃO À IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS 5.2 IDENTIFICAÇÃO DE COEFICIENTES DE RENDIMENTO
5.3 PLANIFICAÇÃO DE EXPERIÊNCIAS 5.4 IDENTIFICAÇÃO NA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
5.5 IDENTIFICAÇÃO NA FERMENTAÇÃO ETANÓLICA 5.6 IDENTIFICAÇÃO NA SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA
5.7 SÍNTESE 5.8 BIBLIOGRAFIA
5. MODELAÇÃO MATEMÁTICA - IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS
120
5.1 Introdução à identificação de sistemas
Um sistema é caracterizado pelas variáveis correspondentes a entradas, saídas e
perturbações a um dado processo (Figura 5.1).
perturbações
não
medidas
medidas
variáveis
manipuladas
d
u
w
Processo
θ
x
saídas
medidas
y
y
saídas não
medidas
z
Figura 5.1 Sistema com entradas, saídas e perturbações
Em Teoria de Sistemas estas variáveis são normalmente representadas pela seguinte
notação:
u
w
y
vector de entradas;
vector de perturbações não medidas;
vector de saídas medidas;
d
x
z
vector de perturbações medidas;
vector de variáveis de estado;
vector de saídas não medidas;
O correspondente modelo, usando esta notação, pode ser escrito genericamente, como
se segue:
x• = f(x,u,d,w,θ,t)
(5.1)
com as variáveis medidas dadas por
y = g(x,θ,t)
(5.2)
em que θ representa o vector de parâmetros do modelo.
O problema da identificação de sistemas surge da necessidade de um melhor
conhecimento acerca do processo com vista à sua modelação e controlo. A definição
clássica de identificação (segundo MUNACK, 1991) refere a determinação, com base nas
entradas e saídas (descrição externa), de um sistema dentro de uma classe especificada de
sistemas, ao qual o sistema em teste é equivalente (descrição interna: estrutura e
parâmetros do modelo).
Uma excelente revisão sobre a teoria de identificação de sistemas é efectuada por
5.2 IDENTIFICAÇÃO DE COEFICIENTES DE RENDIMENTO
121
ÅSTRÖM e EYKHOFF (1971) e aspectos práticos são abordados em ISERMANN (1980). O tema é
tratado com grande profundidade nas obras de LJUNG (1987) e SÖDERSTRÖM e STOICA (1989).
BECK e YOUNG (1989) apresentam uma introdução (ilustrada) sobre a questão de
identificação de sistemas em processos biotecnológicos. Alguns casos práticos de
identificação em linha a processos de fermentação podem ser encontrados em KOTOB et al.
(1987), KO et al. (1982), ANDERSEN (1990), SAN e STEPHANOPOULOS (1984), STEPHANOPOULOS e
SAN (1984), WU et al. (1987).
Algumas questões ligadas à temática da identificabilidade de sistemas (um modelo dizse identificável quando existe um conjunto único de valores para os parâmetros do modelo)
para o caso de processos biotecnológicos, são abordadas por NIHTILÄ e VIRKKUNEN (1977) e
por HOLMBERG (1982, 1983). Estes autores apresentam estudos de identificabilidade teórica
e análise de sensibilidade para estimação dos parâmetros cinéticos da equação de MONOD.
Esta equação é constantemente revisitada, sendo motivo dos mais variados estudos:
CHOUAKRI et al. (1994) estendem os estudos anteriores à situação de decaimento celular e à
manutenção endógena; VIALAS et al. (1986) e MUNACK (1989) propõem estratégias de
condução de experiências de forma a obter o máximo de informação na estimação desses
coeficientes.
A discriminação de modelos e identificação de coeficientes de rendimento em processos
de fermentação é extensamente apresentada em CHEN (1992).
5.2 Identificação de coeficientes de rendimento
No capítulo anterior foi introduzido o modelo dinâmico geral de reactores biológicos,
usando a seguinte notação matricial:
dξ
= Kϕ (ξ , t ) − Dξ + F − Q
dt
(4.4)=(5.3)
No tratamento que se segue, a equação anterior é alterada, introduzindo o vector U, de
“entradas” no sistema, que resulta da associação dos termos F – Q:
dξ
= Kϕ (ξ , t ) − Dξ + U
dt
(5.4)
O problema da identificação na modelação de processos biotecnológicos é,
122
normalmente, duplo:
1. estimação de coeficientes de rendimento da matriz K;
2. determinação de estruturas apropriadas para modelos das velocidades de
reacção ϕ(ξ) e a estimação dos coeficientes cinéticos referentes a ϕ(ξ).
Neste trabalho será somente tratada a primeira situação. A metodologia que se passa a
expor foi parcialmente proposta por CHEN (1992) que demonstrou a possibilidade de
estimação dos coeficientes de rendimento sem a modelação da cinética das reacções.
Definindo uma partição não singular da matriz K em duas partes Ka, Kb como se segue
⎡ Ka ⎤
⎢ K ⎥ = LK
⎣ b⎦
(5.5)
em que L é uma matriz n×n de permutação de linhas tal que Ka apresente característica
completa (“full rank”). Sendo p a característica da matriz K, tem-se Ka ∈Rpxm, Kb ∈R(np)xm
em que n é o número de variáveis de estado e m o número de reacções. As
correspondentes partições induzidas de ξ e U são escritas como se segue
⎡ξ a ⎤
⎢ξ ⎥ = Lξ
⎣ b⎦
⎡U ⎤
, ⎢ a ⎥ = LU
⎣U b ⎦
(5.6)
com ξa, Ua ∈Rp e ξb, Ub ∈R(n-p).
Introduzindo a seguinte transformação linear de estado:
Z ≡ Aξa+ξb
(5.7)
em que a matriz A de dimensão (n–p)×p constitui a solução da seguinte equação matricial
AKa+Kb = 0
(5.8)
isto é
+
A = –KbKa
(5.9)
+
com Ka a representar a inversa generalizada ou a pseudo-inversa da matriz Ka, virá então
que o modelo inicial (5.4) é reescrito na seguinte forma
dξ a
= K aϕ (ξ a , Z − Aξ a ) − Dξ a + U a
dt
(5.10)
5.2 IDENTIFICAÇÃO DE COEFICIENTES DE RENDIMENTO
123
dZ
= − DZ + AU a + U b
dt
(5.11)
Note-se nesta última equação a ausência explícita do termo relativo às velocidades das
reacções. É todavia visível na equação (5.11) a dependência da dinâmica de Z
relativamente à matriz A (logo dependente dos coeficientes de rendimento). Caso Ua seja
um vector de zeros a integração da equação (5.11) pode ser usada para o projecto do
regressor (ver exemplo para a fermentação etanólica). A alternativa será fazer surgir a
matriz A numa equação de saída conforme a seguinte decomposição do vector Z:
Z ≡ AZa + Zb
(5.12)
em que as variáveis Za ∈Rp e Zb ∈R(n-p) são governadas pelas seguintes dinâmicas:
Modelo auxiliar (CHEN, 1992)
dZ a
= − DZ a + U a
dt
(5.13)
dZ b
= − DZ b + U b
dt
(5.14)
ξb = Zb – A(ξa – Za)
(5.15)
Estas três equações podem ser usadas para a estimação dos coeficientes de rendimento
através da identificação da matriz A, independentemente do tipo de leis cinéticas que
possam descrever as velocidades das reacções. Neste modelo intervém somente a dinâmica
de transporte do sistema e pode ser considerado como um modelo linear, variante no
tempo, com estado Z, entradas Ua, Ub e ξa e saída ξb. Trata-se de um modelo não linear
relativamente aos coeficientes de rendimento, mas linear em relação aos elementos da
matriz A.
A equação para o vector ξb, que pode ser encarado como uma saída, é obtida por
substituição da equação (5.7) na equação (5.12).
Definindo o vector de saída y e o vector regressor φ do seguinte modo
y ≡ Zb – ξb
(5.16)
φ = ξa – Za
(5.17)
124
a equação (5.15) toma a forma de uma regressão linear:
y(t) = Aφ(t)
(5.18)
com t ∈[0, Tt] em que Tt é o tempo total da experiência.
A dinâmica do vector φ é obtida através das equações (5.10) e (5.13):
dφ
= K aϕ (ξ ) − Dφ
dt
(5.19)
Designando os componentes da matriz A por θi, a equação (5.18) toma a seguinte forma:
θ2
θ p ⎤ ⎡ φ1 ⎤
L
⎡ y1 ⎤ ⎡ θ1
⎢ y ⎥ ⎢θ
θ p + 2 L θ 2 p ⎥⎥ ⎢φ2 ⎥
⎢ 2 ⎥ = ⎢ p +1
⎢ ⎥
M
M
M ⎥⎢ M ⎥
⎢ M ⎥ ⎢ M
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎣⎢ yn − p ⎦⎥ ⎢⎣θ n − p +1 θ n − p + 2 L θ ( n − p )× p ⎥⎦ ⎣⎢φ p ⎦⎥
(5.20)
Para cada componente escalar yl (l=1,…,n–p) de y pode escrever-se
T
yl(t) = φ (t)θl
(5.21)
em que θl representa o vector constituído pelos elementos θi (i=1,…,p) da linha l da matriz
A. Esta equação de regressão constitui a base de cálculo para a estimação dos coeficientes
de rendimento.

Problemas ligados à identificabilidade dos coeficientes de rendimento foram
extensamente estudados por CHEN (1992). Esta autora estabelece que as propriedades de
identificabilidade dos coeficientes de rendimento, para um dado sistema caracterizado pela
matriz K, são independentes da escolha da partição e demonstra a condição necessária para
a identificação dos coeficientes de rendimento de uma dada reacção (elementos de uma
coluna de K) através da matriz A: os coeficientes de rendimento da reacção j são
identificáveis através de A somente se nj – 1 ≤ n – p, sendo nj o número de componentes
envolvidos na reacção j, p a característica da matriz K, n o número de componentes ou
variáveis de estado. Esta condição significa que pode identificar-se pelo menos (n – p)
coeficientes em cada reacção sem o conhecimento das taxas de reacção.
5.3 PLANIFICAÇÃO DE EXPERIÊNCIAS
125
5.3 Planificação de experiências
A planificação de experiências constitui a aplicação de metodologias para a selecção de
condições experimentais para que determinada experiência contenha o máximo de
informação sobre as propriedades de um sistema específico de uma dada aplicação. A
planificação de experiências para desenvolvimento ou optimização de processos, desde as
técnicas clássicas de planificação factorial (POLAKOVIC et al., 1993) até à moderna utilização
de redes neuronais artificiais (GLASSEY et al., 1994), tem sido alvo de muitos estudos, não
constituindo, no entanto, o objecto deste estudo. Neste trabalho pretende programar-se a
condução de experiências para identificação de parâmetros em sistemas não lineares.
A planificação de experiências para modelação do comportamento de sistemas em
estado estacionário tem sido extensamente aplicada. A utilização desta técnica em sistemas
dinâmicos tem sido mais limitada (SHIRT et al., 1994; ESPIE e MACCHIETTO, 1989). Em
sistemas dinâmicos as condições experimentais disponíveis para ajuste incluem: portas ou
locais de medição, tempos de amostragem, filtros de pré-amostragem e o sinal de entrada
(GOODWIN, 1987).
O projecto ou planificação de experiências deve ter em consideração vários factores
(GOODWIN, 1987), incluindo: i. o objectivo da experiência e a aplicação pretendida dos
resultados; ii. a classe de modelos a usar; iii. os métodos de identificação e o critério para o
melhor ajuste; iv. a extensão de um certo conhecimento a priori sobre o sistema; v. as
restrições na operação do sistema.
Num exercício de estimação de parâmetros torna-se, pois, necessária uma base de
comparação de diferentes condições experimentais. Uma medida da precisão dos
parâmetros obtidos num problema de identificação poderá dar indicações que permitam
essa comparação. A precisão dos parâmetros depende do grau de riqueza ou grau de
independência do regressor. Estes graus são medidos através de instrumentos teóricos
baseados na chamada matriz de funções de sensibilidade que se apresenta no seguimento.
5.3.1 A matriz de informação
Na sequela o vector θ designará, genericamente, os parâmetros θi a determinar em cada
equação de regressão, substituindo o vector θl representativo da linha l da matriz A.
Identicamente, o escalar y substituirá o escalar yl. A equação de regressão será então
reduzida à seguinte forma linear:
T
y( t ) = φ ( t ) θ
126
(5.22)
o
Considere-se uma pequena perturbação nos parâmetros θ na vizinhança de θ (valores
o
nominais de θ) escrita por δθ ≡ θ – θ e que origina uma perturbação ou desvio na
trajectória de y(t), com
o
δy(t) ≡ y(θ,t) – y(θ ,t) = (∂y/∂θ)δθ
(5.23)
em que (∂y/∂θ) é a matriz de funções de sensibilidade, representando a sensibilidade da
saída y(θ,t) (i=1,…,l) aos parâmetros θj (j=1,…,p):
⎛ ∂ y (t ) ⎞ ⎡ ∂ y
∂y⎤
L
⎥
⎜
⎟=⎢
∂θ p ⎥⎦
⎝ ∂θ ⎠ ⎣⎢ ∂θ1
(5.24)
As equações de medição para as observações ym(ti) são dadas por
ym(ti) = y(θ,ti) + e(ti)
(5.25)
com i=1,2,…,nT em que nT é o número de pontos experimentais deste t=0 (i=1) até t=Tt
(i=nT) e e(ti) é o ruído da observação. A matriz de informação de Fisher (FISHER, 1966),
representa uma medida da informação referente aos parâmetros desconhecidos (LJUNG,
1987) e é definida por
(
⎧ ⎡ ∂ log f Y θ
(m )
⎪
FI ≡ E ⎨ ⎢
∂θ
⎪ ⎢⎣
⎩
) ⎤⎥
(
⎡ ∂ log f (Ym θ )
⎢
∂θ
⎥ ⎢
⎦ ⎣
T
) ⎤⎥ ⎫⎪
⎬
⎥⎪
⎦⎭
(5.26)
em que E{…} representa o operador estatístico esperança (ou média); Ym é o vector das
observações ym(ti); ƒ(Ym|θ) é a função densidade de probabilidade condicional de Ym dado
θ. Como normalmente ƒ(Ym|θ) é uma função complicada de θ e difícil de determinar, optase pela seguinte simplificação, válida para experiências com ruído de média zero, variância
unitária, distribuição normal idêntica para cada ti e valores de ruído não correlacionados:
⎛ ∂ y ( ti ) ⎞ ⎛ ∂ y ( ti ) ⎞
FI = ∑ ⎜
⎟ ⎜
⎟
∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠
i =1 ⎝
nT
T
(5.27)
A matriz de informação de FISHER apresenta as seguintes propriedades (MEHRA, 1976): é
uma matriz real não singular, simétrica, semipositiva, de dimensão k×k; pertence a um
5.3 PLANIFICAÇÃO DE EXPERIÊNCIAS
127
conjunto de matrizes de informação convexo e fechado.
Uma medida da precisão da estimação é a matriz de co-variância dos parâmetros
(GOODWIN e PAYNE, 1973). A matriz de co-variância assimptótica de um estimador θ^ de θ
satisfaz a seguinte desigualdade, conhecida como limite inferior de CRAMÉR-RAO (CRAMÉR,
1946; RAO, 1965)
()
(
cov θˆ ≡ E ⎡ θˆ − θ
⎢⎣
)(θˆ − θ ) ⎤⎥⎦ ≥ F
T
−1
(5.28)
I
_
_
em que θ representa a média ou esperança de θ (θ = E{θ^ }). A igualdade é obtida para um
estimador eficiente (por exemplo, o estimador BLUE - Best Linear Unbiased Estimator).

Para a regressão de cálculo dos coeficientes de rendimento - eq. (5.21) - a matriz de
funções de sensibilidade é facilmente determinada por:
T
(∂y/∂θ) = φ (t)
(5.29)
A matriz de informação de FISHER é, deste modo, calculada como segue:
nT
FI = ∑ φ T ( ti ) φ ( ti )
(5.30)
i =1
A perturbação ou desvio na trajectória de y(t) devida a uma pequena perturbação nos
parâmetros θ, usando as equações (5.23) e (5.29) é calculada por:
T
δy(t) = φ (t)δθ
(5.31)
De um ponto de vista geométrico, a região de todos os desvios dos parâmetros δθ que
originam desvios δy pode ser representada por uma elipsóide que está centrada,
teoricamente, no valor verdadeiro de θ. Assim, para uma variação δy(t) medida em termos
de norma-2, tem-se:
δ y (t ) ≡
nT
∑ (δ y ( t ) )
i =1
i
2
= δ c (constante)
(5.32)
A correspondente elipsóide no espaço de parâmetros é obtida por elevação ao quadrado
de ambos os membros da equação anterior e aplicação das equações (5.30) e (5.31),
obtendo-se:
T
2
δθ FIδθ = δc
128
(5.33)
A sensibilidade dos valores estimados dos parâmetros relativamente aos desvios das
saídas pode ser verificada examinando a forma e o volume da elipsóide dos desvios.
Interessará aumentar o grau de riqueza da independência do regressor de forma a reduzir o
efeito dos ruídos na precisão da identificação dos parâmetros. Quando os ruídos das
medições são aditivos apresentando média nula, variância unitária e distribuição gaussiana
normal (ruídos brancos), as elipsóides dos desvios são proporcionais às regiões de
confiança assimptóticas (SÖDERSTRÖM e STOICA, 1989).
5.3.2 Critérios de optimalidade na medição da informação
Uma experiência diz-se informativa se todos os valores próprios da matriz de
informação de FISHER forem positivos (GOODWIN e PAYNE, 1977). Na procura de condições
experimentais, são normalmente considerados (WALTER e PRONZATO, 1990) os seguintes
critérios para exprimir o grau de riqueza ou grau de independência de um regressor:
• Optimalidade D: corresponde a maximizar o determinante da matriz de
informação de FISHER sendo equivalente a minimizar o volume das
elipsóides de desvios. Constitui uma medida dos erros absolutos dos valores
estimados dos parâmetros;
• Optimalidade E: corresponde a maximizar o valor próprio mínimo λmin da
matriz de informação de FISHER sendo equivalente a minimizar o diâmetro
máximo (dmax) das elipsóides de desvios;
• Número de condicionamento: corresponde a minimizar a razão entre os
valores próprios máximo e mínimo da matriz de informação de FISHER;
NC=λmax/λmin. Está relacionado com a definição de limites do erro relativo
do vector de parâmetros em norma-2 (SÖDERSTRÖM e STOICA, 1989) e é igual à
razão entre os diâmetros mínimo e máximo da elipsóide (dmin/dmax).
Os critérios expostos poderão ser usados como funções objectivo de um problema de
optimização relativamente às variáveis de projecto (entradas U(t), o tempo de amostragem
T e o número de amostras). Na prática, a complexidade da função destas variáveis na
matriz de informação, requer uma solução iterativa, como avaliações sucessivas destes
critérios de forma a encontrar a melhor escolha das variáveis de projecto.
Na procura das condições óptimas das funções das entradas torna necessário conhecerse a matriz de informação. No caso em estudo é exigido determinar as trajectórias dos
regressores φ(t, θ, ξ, U) que são função do vector de parâmetros a estimar para cálculo dos
5.4 IDENTIFICAÇÃO NA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
129
coeficientes de rendimento. Uma vez que os parâmetros θ são desconhecidos, devem
utilizar-se alguns parâmetros que são determinados por um conhecimento inicial.
Parâmetros na vizinhança de θ serão assim bem estimados, por aplicação das funções
calculadas para os sinais de entrada.
A vantagem desta abordagem resulta da possibilidade de testar várias escolhas ad hoc
das variáveis de projecto antes de conduzir uma experiência.
A aplicação da planificação óptima de experiências em processos biotecnológicos é
recente, salientando-se os trabalhos pioneiros de MUNACK e co-autores (MUNACK, 1989;
MUNACK e POSTEN, 1989; POSTEN e MUNACK, 1990) em culturas de suspensão de células
vegetais. A linha destes autores é seguida por BALTES et al. (1994) na aplicação à
fermentação da levedura Trichosporon cutaneum.
5.4 Identificação na produção de fermento de padeiro
Nesta parte pretende estudar-se a planificação de experiências para identificação dos
coeficientes de rendimento do modelo da produção de fermento de padeiro estabelecido em
§ 4.6. A condução de experiências será quantificada através das técnicas de medida de
informação anteriormente apresentadas.
Só muito recentemente surgiram os primeiros trabalhos de planificação de experiências
para identificação de parâmetros de modelos em fermento de padeiro. CHEN (1992) utiliza o
modelo global a três reacções para estimação dos coeficientes de rendimento. Propõe uma
planificação experimental com três fases: período descontínuo para identificação dos
rendimentos associados à respiração da glucose; um segundo período, com alimentação
semi-contínua e sem arejamento, em que ocorre a fermentação da glucose e uma terceira
fase, novamente em descontínuo, de forma a verificar-se a respiração do etanol. Utiliza o
número de condicionamento da matriz de FISHER para medição do teor informativo da
experiência. BALTES et al. (1993) propõem um projecto óptimo de uma experiência para
identificação de parâmetros cinéticos de um modelo metabólico estruturado. A experiência
consiste numa alimentação em pulsos, em que a quantidade de glucose e a frequência do
pulso foram calculadas por optimização do determinante da matriz de informação. EJIOFOR
et al. (1994ab) apresentam uma estratégia de operação do reactor em modo semi-contínuo
para identificação do rendimento global (YX/S) para o regime respiro-fermentativo e de
130
parâmetros cinéticos do modelo. A alimentação consiste num perfil exponencial durante 20
horas seguido de 4 horas de operação a caudal constante. O perfil exponencial é calculado
de forma a manter a taxa específica de crescimento (considerada como a soma dos
componentes de cada uma das três vias metabólicas) em três patamares diferentes. O teor
de informação é expresso em termos do menor dos valores próprios da matriz de FISHER.
Serão apresentadas de seguida duas abordagens para a determinação dos coeficientes de
rendimento, uma baseada no modelo global a três reacções, outra baseada na utilização dos
modelos parciais.
5.4.1 Projecto dos regressores para o modelo global a três reacções
Para o modelo global, que se apresenta de novo:
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
⎢
⎥ ⎢ 1
d
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
1
− k2
k3
0
k8
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
o
0 ⎥ ⎡µs ⎤
⎢
⎥ ⎢ e⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
−k4 ⎥ ⎢ µ sr ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥ − ⎢ 0 ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
− k6 ⎥ ⎣⎢ µ eo ⎦⎥
⎢ O ⎥ ⎢OTR ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦
k9 ⎥⎦
T
(4.60)=(5.34)
T
introduz-se a partição de estado ξa = [E O C] e ξb = [X S] com as correspondentes
partições induzidas de K, F e Q dadas por
T
T
T
T
Ua = (Fa – Qa) = [0 OTR -CTR], Ub = (Fb – Qb) = [0 DSe]
⎡ 0
K a = ⎢⎢ −k5
⎢⎣ k7
k3
0
k8
− k4 ⎤
⎡ 1
− k6 ⎥⎥ , K b = ⎢
⎣ − k1
k9 ⎥⎦
1
− k2
1⎤
0 ⎥⎦
(5.35)
(5.36)
Fazendo a transformação de estado (Z ≡ Aξa + ξb) introduzida pela equação (5.7), em
que a matriz A, calculada por (5.9), é dada por:
A=
1
k%a
⎡ k6 ( k7 − k8 ) + k5 ( k8 − k9 ) k4 ( k8 − k7 ) + k3 ( k9 − k7 ) k3 ( k6 − k5 ) − k4 k5 ⎤
⎢
⎥ (5.37)
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
−
+
−
−
−
(
)
(
)
2
5
9
6
7
1
6
8
4
2
7
1
8
1
3
9
2
4
5
1
3
6
⎣
⎦
~
com ka ≡ k3k5k9 – k3k6k7 + k4k5k8.
No seguimento considera-se, genericamente, a seguinte configuração para a matriz A:
⎡θ θ 2 θ 3 ⎤
A=⎢ 1
⎥
⎣θ 4 θ 5 θ 6 ⎦
131
(5.38)
Dado que a matriz K apresenta característica igual a 3 e de acordo com a condição
necessária estabelecida por CHEN (1992) é possível somente a identificação de dois
coeficientes de rendimento em cada uma das três reacções. Assim os 2×3 elementos da
matriz A possibilitarão a identificação de seis coeficientes de rendimento. Existindo três
coeficientes por reacção, há necessidade de introduzir relações algébricas entre dois
coeficientes em cada reacção. As relações utilizadas são baseadas em relações
estequiométricas conhecidas. Por exemplo, para o crescimento oxidativo em glucose, é
sabido que o consumo de 1 mole de oxigénio origina a produção de 1 mole de dióxido de
carbono (2.2) permitindo estabelecer a seguinte relação (em termos mássicos):
7
α5 = k7/k5 = 1.375
(5.39)
Para o crescimento fermentativo (2.1) há a produção de 1 mole de etanol por mole de
dióxido de carbono libertado:
8
α3 = k8/k3 = 0.96
(5.40)
Na respiração do etanol, são utilizadas 3 moles de oxigénio para a produção de 2 moles
de dióxido de carbono:
9
α6 = k9/k6 = 0.925
(5.41)
Fazendo a transformação de estado introduzida pela equação (5.7), obtém-se
Z1 = θ1E + θ2O + θ3C + X
(5.42)
Z2 = θ4E + θ5O + θ6C + S
(5.43)
com a correspondente dinâmica calculada conforme (5.11):
dZ1/dt = –DZ1 + θ2OTR – θ3CTR
(5.44)
dZ2/dt = –DZ2 + θ5OTR – θ6CTR + DSe
(5.45)
É visível nesta equação a dependência da dinâmica de Z relativamente à matriz A (logo
dependente dos coeficientes de rendimento). Esta equação não pode, neste caso, ser
utilizada directamente para o projecto do regressor. Deve usar-se o modelo auxiliar
introduzido pelas equações (5.13) a (5.15), obtendo-se:
132
⎡ Z a1 − E ⎤
⎡ X − Z b1 ⎤ ⎡θ1 θ 2 θ 3 ⎤ ⎢
⎥
⎢ S − Z ⎥ = ⎢θ θ θ ⎥ ⎢ Z a 2 − O ⎥
5
6⎦
b2 ⎦
⎣
⎣ 4
⎢⎣ Z a 3 − C ⎥⎦
(5.46)
com as seguintes dinâmicas para as variáveis auxiliares:
dZa1/dt = –DZa1
(5.47)
dZa2/dt = –DZa2 + OTR
(5.48)
dZa3/dt = –DZa3 – CTR
(5.49)
dZb1/dt = –DZb1
(5.50)
dZb2/dt = –DZb2 + DSe
(5.51)
cujas condições iniciais são: Za1(0) = E(0), Za2(0) = O(0), Za3(0) = C(0), Zb1(0) = X(0),
Zb2(0) = S(0). Estas inicializações são uma das soluções de igualar as duas definições de Z
(equações (5.7) e (5.12)).
A equação (5.46) permite escrever as seguintes equações de regressão:
y1(t) = θ1φ1(t) + θ2φ2(t) + θ3φ3(t)
(5.52)
y2(t) = θ4φ1(t) + θ5φ2(t) + θ6φ3(t)
(5.53)
com y1(t) = X(t) – Zb1(t), y2(t) = S(t) – Zb2(t) e os regressores dados por φ1(t) = Za1(t) – E(t),
φ2(t) = Za2(t) – O(t) e φ3(t) = Za3(t) – C(t).
Os parâmetros θi são determinados através do método dos mínimos quadrados. Seguemse as fórmulas de cálculo dos coeficientes de rendimento a partir dos θi estimados. Estas
expressões são deduzidas por resolução das relações da equação (5.8), usando a matriz A.
Respiração da glucose:
7
7
7
7
k1 = (α5θ6 – θ5)/(θ2 – α5θ3), k5 = 1/(θ2 – α5θ3), k7 = α5k5
(5.54)
Fermentação da glucose:
8
8
8
8
k2 = –(α3θ6 + θ4)/(θ1 + α3θ3), k3 = –1/(θ1 + α3θ3), k8 = α3k3
Respiração do etanol:
(5.55)
9
133
9
k4 = (θ5 – α6θ6)/[θ1θ5 – θ2θ4 + α6(θ3θ4 – θ1θ6)],
9
9
k6 = –θ4/[θ1θ5 – θ2θ4 + α6(θ3θ4 – θ1θ6)], k9 = α6k6
(5.56)
A validação da identificação é feita por comparação das estimativas de biomassa e
glucose, calculadas através da equação (5.46), com os valores experimentais destas
variáveis. Tem-se, assim as equações seguintes
^
^
^
^
X(t) = Zb1(t) + θ1φ1(t) + θ2φ2(t) + θ3φ3(t)
(5.57)
S(t) = Zb2(t) + θ4φ1(t) + θ5φ2(t) + θ6φ3(t)
(5.58)
A matriz de informação de FISHER, calculada através de (5.30), é escrita como se segue:
⎡ nT 2
⎢ ∑ φ1 ( ti )
⎢ i =1
⎢ nT
FI = ⎢ ∑ φ1 ( ti ) φ2 ( ti )
⎢ i =1
⎢ nT
⎢ ∑ φ1 ( ti ) φ3 ( ti )
⎣⎢ i =1
nT
∑ φ1 ( ti )φ2 ( ti )
i =1
nT
i =1
i
nT
∑φ (t )φ (t )
i =1
2
3
i
1
i
3
i
⎥
⎥
φ2 ( ti ) φ3 ( ti ) ⎥
∑
i =1
⎥
nT
⎥
φ32 ( ti ) ⎥
∑
i =1
⎦⎥
i =1
nT
∑φ (t )
2
2
⎤
∑φ (t )φ (t ) ⎥
nT
i
(5.59)
5.4.2 Projecto dos regressores para os modelos parciais a duas reacções
Os modelo parciais a usar e cuja apresentação se repete, são os seguintes
Modelo parcial RF (4.65)
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
1
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
Modelo parcial R (4.66)
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥
−k2 ⎥ o
e ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎡µs ⎤
k3 ⎥ ⎢ r ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥
⎥ µ
⎢ ⎥ ⎢
⎥
0 ⎥⎣ s ⎦
⎢ O ⎥ ⎢ OTR ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ −CTR ⎥⎦
k8 ⎥⎦
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
1
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
T
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥
0 ⎥ o
e ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎡µs ⎤
− k4 ⎥ ⎢ o ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥
⎥ µ
⎢ ⎥ ⎢
⎥
− k6 ⎥ ⎣ e ⎦
⎢ O ⎥ ⎢ OTR ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ −CTR ⎥⎦
k9 ⎥⎦
(5.60)
T
Introduz-se a partição de estado ξa = [S O] e ξb = [X C E] com as partições de F e Q
dadas por
T
T
T
T
Ua = (Fa – Qa) = [DSe OTR], Ub = (Fb – Qb) = [0 -CTR 0] para ambos os
modelos. As partições induzidas em K são apresentadas na Tabela 5.1.
134
Tabela 5.1 Partições induzidas de K e correspondente matriz A
Ka
Modelo parcial
RF
R
Kb
⎡ −k1
⎢ −k
⎣ 5
− k2 ⎤
0 ⎥⎦
⎡ −k1
⎢ −k
⎣ 5
0 ⎤
− k6 ⎥⎦
⎡1
⎢k
⎢ 7
⎢⎣ 0
⎡1
⎢k
⎢ 7
⎢⎣ 0
A
1⎤
k8 ⎥⎥
k3 ⎥⎦
1 ⎤
k9 ⎥⎥
− k4 ⎥⎦
⎡ k5
1 ⎢
k5 k8
k 2 k5 ⎢
⎢⎣ k5 k3
( k2 − k1 )
⎤
( k2 k7 − k1k8 ) ⎥⎥
⎥⎦
− k1k3
⎡ ( k 6 − k5 )
k1 ⎤
1 ⎢
( k6 k7 − k5 k9 ) k1k9 ⎥⎥
⎢
k1k6
⎢⎣
k 4 k5
− k1k4 ⎥⎦
Nesta tabela surgem também as expressões para a matriz A calculada pela equação
(5.9). Considere-se genericamente a seguinte configuração para esta matriz:
⎡θ θ 3 θ 5 ⎤
AT = ⎢ 1
⎥
⎣θ 2 θ 4 θ 6 ⎦
(5.61)
Fazendo a transformação de estado (Z ≡ Aξa + ξb), obtém-se
⎡ Z1 ⎤ ⎡θ1S + θ 2O + X ⎤
Z = ⎢⎢ Z 2 ⎥⎥ = ⎢⎢θ 3 S + θ 4O + C ⎥⎥
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦ ⎢⎣θ 5 S + θ 6O + E ⎥⎦
(5.62)
com a correspondente dinâmica:
⎡ Z1 ⎤
⎡ Z1 ⎤ ⎡ θ1 DSe + θ 2OTR ⎤
dZ d ⎢ ⎥
= ⎢ Z 2 ⎥ = − D ⎢⎢ Z 2 ⎥⎥ + ⎢⎢θ 3 DSe + θ 4OTR − CTR ⎥⎥
dt dt
⎣⎢ Z 3 ⎦⎥
⎣⎢ Z 3 ⎦⎥ ⎣⎢ θ 5 DSe + θ 6OTR ⎦⎥
(5.63)
De modo idêntico à situação desenvolvida para o modelo global, é visível nesta equação
a dependência da dinâmica de Z relativamente à matriz A. Deve então usar-se o modelo
auxiliar introduzido pelas equações (5.13) a (5.15), obtendo-se:
⎡ X − Z b1 ⎤ ⎡θ1 θ 2 ⎤
⎢ C − Z ⎥ = ⎢θ θ ⎥ ⎡ Z a1 − S ⎤
4⎥⎢
b2 ⎥
⎢
⎢ 3
Z a 2 − O ⎦⎥
⎣
⎣⎢ E − Z b 3 ⎦⎥ ⎣⎢θ 5 θ 6 ⎥⎦
(5.64)
com as seguintes dinâmicas para as variáveis auxiliares:
dZa1/dt = –DZa1 + DSe
(5.65)
135
dZa2/dt = –DZa2 + OTR
(5.66)
dZb1/dt = –DZb1
(5.67)
dZb2/dt = –DZb2 – CTR
(5.68)
dZb3/dt = –DZb3
(5.69)
cujas condições iniciais são: Za1(0) = S(0), Za2(0) = O(0), Zb1(0) = X(0), Zb2(0) = C(0),
Zb3(0) = E(0). Estas inicializações são uma das soluções de igualar as duas definições de Z
(equações (5.7) e (5.12)).
A equação (5.64) permite escrever as seguintes equações de regressão:
y1(t) = θ1φ1(t) + θ2φ2(t)
(5.70)
y2(t) = θ3φ1(t) + θ4φ2(t)
(5.71)
y3(t) = θ5φ1(t) + θ6φ2(t)
(5.72)
com y1(t) = X(t) – Zb1(t), y2(t) = C(t) – Zb2(t), y3(t) = E(t) – Zb3(t) e os regressores dados por
φ1(t) = Za1(t) – S(t), φ2(t) = Za2(t) – O(t).
Os parâmetros θi são determinados através do método dos mínimos quadrados. A
Tabela 5.2 apresenta as fórmulas de cálculo para recuperação dos valores dos coeficientes
de rendimento a partir dos θi estimados. Essas expressões são deduzidas por resolução das
relações da equação (5.8), usando, para cada regime metabólico, as matrizes A definidas na
Tabela 5.1.
Tabela 5.2 Expressões de cálculo dos coeficientes de rendimento
Regime Respiro-fermentativo e Regime respirativo
k1
k5
k7
θ6/(θ1θ6 – θ2θ5)
–θ5/(θ1θ6 – θ2θ5)
(θ3θ6 – θ4θ5)/(θ1θ6 – θ2θ5)
Regime Respiro-fermentativo
Regime respirativo
k2
k3
k8
k4
k6
k9
1/θ1
θ5/θ1
θ3/θ1
–θ6/θ2
1/θ2
θ4/θ2
Dado que a respiração da glucose ocorre em ambos os regimes metabólicos, os
coeficientes de rendimento associados à via oxidativa da glucose (k1, k5 e k7) terão
naturalmente a mesma expressão de cálculo.
136
A planificação de experiências deve ser tal que durante a experiência ocorram os dois
regimes metabólicos em dois períodos de duração semelhante, de forma a permitir o
cálculo dos regressores em função do tempo.
A validação da identificação é feita por comparação das estimativas de X, C e E
calculadas através da equação (5.64), com os valores experimentais destas variáveis. Temse assim as equações seguintes
^
^
^
^
^
^
X(t) = Zb1(t) + θ1φ1(t) + θ2φ2(t)
(5.73)
C(t) = Zb2(t) + θ3φ1(t) + θ4φ2(t)
(5.74)
E(t) = Zb3(t) + θ5φ1(t) + θ6φ2(t)
(5.75)
A matriz de informação de FISHER, calculada através de (5.30), é escrita como se segue:
⎡ nT 2
⎢ ∑ φ1 ( ti )
i =1
FI = ⎢ n
T
⎢
⎢ ∑ φ1 ( ti ) φ2 ( ti )
⎣ i =1
⎤
∑ φ ( t )φ ( t )⎥
nT
i =1
1
2
i
nT
∑φ (t )
i =1
2
2
i
i
⎥
⎥
⎥
⎦
(5.76)
5.4.3 Resultados
O modelo dinâmico do processo de produção de fermento de padeiro foi implementado
num simulador (ver Apêndice A) de forma a disponibilizar dados pseudo experimentais
(FEYO DE AZEVEDO et al., 1992). O simulador inclui uma rotina de integração para resolução
de equações diferenciais através do algoritmo de RUNGE-KUTTA de 4ª/5ª ordem.
A experiência de simulação foi executada com as seguintes condições iniciais:
Tabela 5.3 Valores iniciais para a simulação
X(0)
g.L
-1
0.1
S(0)
g.L
-1
0.30
E(0)
g.L
-1
0.0
O(0)
g.L
-1
0.002
C(0)
g.L
-1
0.010
V(0)
L
2.0
As diferentes experiências foram simuladas com as seguintes condições:
137
• controlo da concentração de oxigénio dissolvido para um valor de referência
-1
de 2 mg.L através da manipulação do arejamento (indirectamente através
da variação da taxa de transferência de oxigénio);
• a alimentação em substrato, para as fermentações semi-contínuas, está
limitada à adição de 3 litros (volume máximo do reactor: 5 litros)
-1
• a concentração em glucose na corrente de alimentação é igual a 15.0 g.L ;
• todas as experiências são alimentadas com igual quantidade de substrato.
Consequentemente, para a operação descontínua deverá considerar-se a
-1
-1
concentração inicial de substrato igual a 0.3g.L + 3L×15g.L /2L = 22.8
-1
g.L . Para a operação contínua, o caudal de alimentação é calculado como
sendo a razão entre 3 litros (adicionados em semi-contínuo) e o tempo de
operação a considerar para o estudo.
• o tempo de operação do reactor é o mesmo para todas as experiências;
De modo a estudar o grau de informação considerou-se um tempo de operação de 20
horas, tendo-se executadas as seguintes simulações:
Tabela 5.4 Condições de operação das diferentes experiências de simulação
Simulação
#
Caudal
F(t)
Taxa de diluição
-1
-1
[h ]
D(t)
[L.h ]
Operação do
reactor
1
0
0
Descontínua
2
0.15
0.15/(0.15t + 2)
Semi-contínua, F const.
3
0.09163exp(0.0458t)
0.0458
Semi-contínua, D const.
4
0.15exp(9.12×10 t)
0.15exp ( 9.12 × 10−3 t )
Semi-contínua, F expon.
5
igual à simulação 4
igual à simulação 4
Semi-contínua, F expon.
-1
com E(0)=0.5 g.L
6
0.10 + 0.005t
0.10 + 0.005t
2 + 0.10t + 0.0025t 2
Semi-contínua, F linear
7
0.15
0.075
Contínua
-3
2 + 16.45 ⎡⎣ exp ( 9.12 × 10−3 t ) − 1⎤⎦
A utilização da abordagem que utiliza modelos parciais implica a ocorrência dos dois
regimes metabólicos em dois períodos distintos, de forma a permitir o cálculo dos
regressores para cada um dos períodos. Estando assegurada a adição de quantidades iguais
de substrato não é, no entanto, possível configurar experiências com duração idêntica para
cada um desses períodos. Todas as simulações tinham um primeiro período em regime
respiro-fermentativo seguido de regime respirativo. Verificou-se que o início do segundo
período ocorreu em instantes diferentes. Estas considerações não se aplicam à situação de
utilização do modelo global.
138
Considera-se o cálculo do determinante da matriz de informação de FISHER para medição
da riqueza informativa em cada simulação. Pretende maximizar-se o valor do determinante
(optimalidade D).
A Figura 5.2 compara o teor informativo de cada experiência para as situações de
utilização do modelo global e utilização dos modelos parciais.
1.0E+05
1.0E-01
7 - contínuo
6 - F linear
4 - F exponencial
1.0E+00
3 - D constante
det(Fi)
1.0E+01
2 - F constante
1.0E+02
5 - Igual a 4 com E(0)=0.5
1.0E+03
Regime Respiro-fermentativo
Regime Respirativo
Modelo Global
1 - descontínuo
1.0E+04
1.0E-02
1.0E-03
1.0E-04
1.0E-05
Figura 5.2 Conteúdo informativo medido em termos de optimalidade D para várias experiências
A utilização do modelo global demonstra um desempenho pobre face à alternativa de
uso dos modelos parciais. Os coeficientes de rendimento calculados apresentam valores
substancialmente diferentes dos pseudo reais: na melhor situação (operação descontínua)
obtém-se um erro médio relativo de 50%. Os valores do determinante da matriz de
informação são muito inferiores aos valores obtidos com a abordagem que utiliza os
modelos parciais. No seguimento serão mostrados alguns resultados para esta última
abordagem.
Foram testados quatro variedades de perfis de alimentação para a operação semicontínua. A alimentação com caudal exponencial apresenta um índice ligeiramente
superior às outras hipóteses testadas. A presença de etanol no início da experiência não
melhora a riqueza informativa. A operação contínua dá indicação de permitir obter
informação com uma “riqueza” ligeiramente superior à operação semi-contínua.
139
O facto dos valores do determinante para o regime respirativo serem sempre superiores
aos do regime respiro-fermentativo não significa que a identificação seja mais informativa
para este regime. A Tabela 5.5 apresenta, para o período respiro-fermentativo, os
coeficientes de rendimento calculados e o erro médio relativo. Verifica-se que, com
excepção da operação descontínua, o erro médio é baixo.
Tabela 5.5 Valores calculados de coeficientes de rendimento para o período respiro-fermentativo
Simulação
k1
k2
k3
k5
k7
k8
Erro médio
relativo (%)
1
2.20
15.1
7.12
1.01
1.27
7.17
17.5
2
2.04
19.9
9.58
0.835
1.23
9.28
0.25
3
2.04
19.9
9.59
0.834
1.23
9.29
0.17
4
2.04
19.9
9.58
0.835
1.23
9.29
0.23
5
2.04
19.9
9.58
0.835
1.23
9.28
0.24
6
2.04
20.0
9.59
0.835
1.23
9.29
0.17
7
2.04
20.0
9.59
0.834
1.23
9.28
0.16
“Real”
2.04
20.0
9.62
0.833
1.23
9.26
-
Não se consegue um comportamento semelhante para o período respirativo, conforme é
mostrado na Tabela 5.6. Os valores calculados apresentam diferenças significativas
relativamente ao esperado. O erro médio relativo é da ordem dos 17%.
Tabela 5.6 Valores calculados de coeficientes de rendimento para o período respirativo
Simulação
k1
k4
k5
k6
k7
k9
Erro médio
relativo (%)
1
2.42
1.39
1.24
1.55
1.81
0.903
19.2
2
2.17
1.23
0.973
1.22
1.43
0.590
17.7
3
2.13
1.20
0.934
1.16
1.37
0.533
17.9
4
2.17
1.24
0.976
1.23
1.43
0.602
17.4
5
2.18
1.25
0.984
1.26
1.44
0.627
16.9
6
2.14
1.21
0.942
1.18
1.39
0.549
17.8
7
2.14
1.21
0.938
1.18
1.34
0.548
17.6
“Real”
2.04
1.39
0.833
1.55
1.23
0.903
-
A interpretação geométrica dos erros associados à identificação para as várias
simulações é elaborada através do traçado das elipses de desvios dos parâmetros θi. A
Figura 5.3 apresenta as elipses para os dois problemas de regressão na abordagem de
140
modelos parciais. Na parte (a) da figura optou-se por não traçar a elipse correspondente à
operação descontínua, dado que essa elipse apresentaria um desvio muito grande (–5 a 5
para ordenadas e -0.4 a 0.4 para abcissas), reduzindo as outras elipses quase a um ponto.
Inversamente, a simulação 1 apresenta a menor elipse para a situação respirativa (por
limitação gráfica, surgem duas elipses com traço contínuo).
0.5
(a)
Simul. 2
Simul. 3
Simul. 4
Simul. 6
0
Simul. 7
-0.5
-0.08
0.2
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
(b)
Simul. 1
Simul. 2
Simul. 3
Simul. 4
Simul. 6
Simul. 7
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Figura 5.3 Elipses de desvios dos parâmetros θi para os períodos de funcionamento em regime
respiro-fermentativo (a) e em regime respirativo (b) para o problema de identificação através de
modelos parciais
Na Figura 5.4 mostra-se a experiência de simulação nº 4, com perfil exponencial de
alimentação. Os valores gerados pelo simulador foram corrompidos com ruído, de forma a
obter-se pseudo medições dessas variáveis. Exemplificando para o caso da biomassa, a
pseudo medida, Xm, é obtida como se segue:
Xm(t) ≡ X(t) + e(t) = X(t)[1 + w(t)]
(5.77)
em que e(t) representa o erro da medição calculado através de ruído branco não
correlacionado de média nula (E{w(t)} = 0). Considerou-se para todas as variáveis
141
“medidas” um desvio padrão de 10%.
100% X=4.356, E=1.926, C=0.08396 [g/L]
OTR, CTR [g/(l.h)]
X(t)
E(t)
O(t), S(t) [%]
80
60
40
20
0
0
5
10
Tempo [h]
80
40
0.4
OTR
0.2
5
10
Tempo [h]
15
O(t)
0
0
15
CTR
S(t)
60
(c)
0.6
(b)
20
C(t)
0.8
0
0
100% S=1.505, O=0.010, C=0.08396 [g/L]
100
5
10
Tempo [h]
15
(d)
F(t) [L/h], D(t) [1/h]
X(t), E(t), C(t) [%]
100 (a)
0.15
F(t)
0.1
0.05
0
0
D(t)
5
10
Tempo [h]
15
Figura 5.4 Experiência de identificação com perfil de alimentação exponencial (Simulação 4).
(a) perfis de biomassa, etanol e dióxido de carbono (traço - valores “reais”, pontos - validação);
(b) perfis de glucose e oxigénio; (c) taxas de transferência de oxigénio e de dióxido de carbono;
(d) perfil de alimentação: caudal e taxa de diluição
Para ilustrar a validação da identificação comparam-se os valores “reais” com os
valores estimados para a biomassa (5.73), o dióxido de carbono dissolvido (5.74) e para o
etanol (5.75). Enquanto que para a biomassa e o etanol a validação é excelente, tal não
acontece para o dióxido de carbono, especialmente durante a operação em regime
respirativo. O período de funcionamento em regime respirativo começa cerca da oitava
hora de operação, conforme é evidenciado na Figura 5.5. Nesta figura são apresentados os
perfis dos dois regressores e os perfis das taxas específicas de crescimento. A partir das 14
horas nota-se uma certa proporcionalidade entre os dois regressores o que poderá ser uma
causa para um condicionamento numérico deficiente da matriz de informação.
142
Taxas esp. cresc. [1/h]
0.3
(a)
0.2
0.1
0
0
2
4
6
Regressores [%]
100 (b)
8
RF
10
Tempo [h]
12
14
16
18
R
80
60
40
20
Za2-C (100%: 4.031 g/L)
Za1-S (100%: 9.095 g/L)
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Figura 5.5 Perfis de taxas específicas de crescimento (a) e perfis dos regressores (b)
De modo a analisar a influência da concentração de glucose na alimentação e do tempo
de operação da fermentação, fizeram-se várias simulações a diferentes concentrações de Se
e para vários tempos de operação. Estudaram-se as três modalidades de operação do
fermentador, tendo-se optado por usar uma alimentação exponencial para a situação semicontínua. A Figura 5.6 apresenta os resultados para o período respiro-fermentativo. Pode
concluir-se que a riqueza informativa aumenta com Se e que um maior tempo de operação
não implica necessariamente mais informação. Para a situação de 10 horas de operação
contínua verifica-se uma diminuição da riqueza informativa à medida que se aumenta a
concentração Se.
143
1E+02
1E+01
1E+00
det(Fi)
1E-01
10 h (F exponen.)
12 h (F exponen.)
15 h (F exponen.)
18 h (F exponen.)
Descontínuo
10 h (contínuo)
12 h (contínuo)
15 h (contínuo)
20 h (contínuo)
1E-02
1E-03
1E-04
1E-05
1E-06
5
10
15
20
25
Se [g/L]
Figura 5.6 Efeito da concentração de glucose na alimentação e do tempo de operação no grau de
riqueza informativo para o período respiro-fermentativo
A Figura 5.7 apresenta os resultados para o período respirativo. As omissões na figura
são explicadas pelo facto de não se ter verificado a ocorrência do período respirativo.
Verifica-se o aumento da riqueza informativa à medida que se aumenta Se e um maior
tempo de operação implica uma maior riqueza.
1.E+06
Descontínuo
12 h (F exponen.)
1.E+05
18 h (F exponen.)
15 h (Contínuo)
20 h (Contínuo)
det(Fi)
1.E+04
1.E+03
1.E+02
1.E+01
1.E+00
1.E-01
5
10
15
20
25
Se [g/L]
Figura 5.7 Efeito da concentração de glucose na alimentação e do tempo de operação no grau de
riqueza informativo para o período respirativo

144
O mérito desta técnica é a possibilidade de examinar várias escolhas ad hoc para o
projecto de trajectórias de entradas antes de se avançar para a realização de experiências.
Esta vantagem é particularmente importante para a optimização de experiências em
processos com tempos de operação da ordem de um mês (por exemplo, culturas de células
vegetais) ou mesmo vários meses (caso dos processos de digestão anaeróbia), podendo
poupar-se dinheiro e tempo.
Seria interessante implementar uma abordagem algorítmica para calcular as trajectórias
óptimas de entrada. POSTEN e MUNACK (1990) mostraram que o algoritmo conjugado do
gradiente permite resolver o problema de optimização a expensas de um intenso poder
computacional utilizando super-computadores.
5.5 Identificação na fermentação etanólica
5.5.1 Projecto do regressor
O problema que se coloca nesta parte é o da identificação dos coeficientes de
rendimento para o modelo da fermentação etanólica estabelecido em § 4.7 e que se
apresenta novamente:
⎡X ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ S ⎥ ⎢ −k ⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
d ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥
⎥
=
µX − D⎢ ⎥+ ⎢ e⎥ −⎢
⎢E⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
dt ⎢ E ⎥ ⎢ k2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ C ⎦ ⎢⎣ k3 ⎥⎦
⎣ C ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣CTR ⎦
(4.74)=(5.78)
Define-se uma partição do vector de estado em duas partes ξa, ξb como se segue ξa = X,
ξTb = [S E C]. Neste caso simples a matriz de permutação de linhas é dada pela matriz
identidade, isto é, L = I4. As partições induzidas em K, F e Q são as seguintes:
Ka = 1,
T
Kb = [–k1 k2 k3]
(Fa – Qa) = 0,
(Fb – Qb)T = [DSe 0 –CTR]
(5.79)
(5.80)
T
que a matriz A = [k1 –k2 –k3], obtém-se:
5.5 IDENTIFICAÇÃO NA FERMENTAÇÃO ETANÓLICA
⎡ Z1 ⎤ ⎡ S + k1 X ⎤
Z = ⎢⎢ Z 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ E − k2 X ⎥⎥
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦ ⎢⎣ C − k3 X ⎥⎦
145
(5.81)
⎡ Z1 ⎤
⎡ Z1 ⎤ ⎡ DSe ⎤
dZ d ⎢ ⎥
Z 2 = − D ⎢⎢ Z 2 ⎥⎥ + ⎢⎢ 0 ⎥⎥
=
dt dt ⎢ ⎥
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦ ⎢⎣ −CTR ⎥⎦
(5.82)
A dinâmica do vector Z é, neste caso, independente da matriz A, logo independente dos
coeficientes de rendimento. Tal acontece pelo facto de (Fa – Qa) ser nulo. Neste caso não
há necessidade de recurso ao modelo auxiliar.
Reescrevendo a equação (5.81) na seguinte forma
⎡ Z1 − S ⎤ ⎡ k1 ⎤
⎢ Z − E ⎥ = ⎢ −k ⎥ X
⎢ 2
⎥ ⎢ 2⎥
⎢⎣ Z 3 − C ⎥⎦ ⎢⎣ − k3 ⎥⎦
(5.83)
e considerando que as experiências decorreram principalmente em modo descontínuo com
as dinâmicas de Z1 e Z2 simplificadas pelas seguintes relações:
Z1(t) = Z1(0),
Z2(t) = Z2(0)
(5.84)
e com Z3 dado por:
Z 3 ( t ) = ∫ CTR ( t ) dt
t
(5.85)
0
Ignorando a dinâmica do dióxido de carbono dissolvido (utilização do modelo reduzido)
e usando as definições do vector Z (5.81) é possível escrever
Z1(0) = S(0) + k1X(0),
Z2(0) = E(0) – k2X(0)
(5.86)
transformando o problema de identificação dos coeficientes de rendimento k1 e k2 nas
seguintes equações de uma regressão linear:
[S(0) – S(t)] = k1[X(t) – X(0)]
(5.87)
[E(t) – E(0)] = k2[X(t) – X(0)]
(5.88)
146
Estas equações de regressão poderiam ter sido obtidos de um modo mais simples,
dispensando todo este formalismo. Usando a redução da ordem do modelo (aproximação
introduzida em § 4.5.3) traduzida pela equação algébrica (4.79) e partindo do modelo para
operação em descontínuo:
•
X = µX
(5.89)
•
S = –k1µX
(5.90)
•
E = k2µX
(5.91)
substituindo (5.89) nas restantes duas equações e integrando chegava-se de imediato às
equações da regressão.
O coeficiente k3 é obtido de modo semelhante, pois
•
CTR = k3µX = k3X
(5.92)
cuja integração conduz à seguinte fórmula de regressão:
∫ CTR ( t ) dt = k
t
o
3
⎡⎣ X ( t ) − X ( 0 ) ⎤⎦
(5.93)
5.5.2 Resultados
5.5.2.1 Identificação experimental
A experiência (cujo nome é EXP_08) foi conduzida em modo descontínuo com excepção
de dois momentos de adição de açúcar (8 litros de solução) após detecção do seu consumo
total. A concentração dessa solução era calculada para que o volume total de meio após a
-1
adição atingisse uma concentração de 50 mmole.L . Durante o período de amostragem (5
minutos) coincidente com a alimentação, a fermentação decorria em modo semi-contínuo.
A Figura 5.8 apresenta a taxa de diluição (a) e a variação do volume (b) ao longo do
tempo da experiência. As três zonas de fermentação descontínua, identificados pela
notação I, II e III, permitem dividir o problema de identificação em igual número de subproblemas.
Para o cálculo do regressores é necessário conhecer os valores de todas as variáveis de
147
estado nos mesmos instantes de tempo. Para as variáveis medidas em diferido (tempos de
amostragem de 2 a 2.5 horas) é feita interpolação linear entre cada par de valores de modo
a gerar dados nos tempos correspondentes às amostragens em linha (cada cinco minutos).
Na Figura 5.9 mostram-se os perfis de concentração para a glucose (a) e etanol (b)
reconstruídos a partir de dados em diferido. Na mesma figura apresenta-se a turbidez da
suspensão, usada como dado inferidor da concentração de biomassa (c).
D(t) [1/h]
2
(a)
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
55
V(t) [L]
50
35
40
III.
(b)
45
II.
40
I.
35
30
0
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
Figura 5.8 Taxa de diluição e volume de reactor
40
148
60
40
(a)
20
valores medidos
valores interpolados
Etanol [mmole/l]
0
0
200
Biomassa [NTU]
Glucose [mmole/l]
600
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
(b)
valores medidos
100
0
0
400
5
10
15
(c)
valores medidos em linha
200
0
0
5
10
15
Figura 5.9 Perfis de concentração de glucose, etanol e biomassa
A medição do caudal volumétrico de gás e a concentração de dióxido de carbono em
fase gasosa permitem calcular o caudal volumétrico de dióxido de carbono à saída do
reactor (Figura 5.10a). Note-se que estes dados em bruto apresentam muito ruído por terem
resultado do produto do caudal volumétrico pela composição em dióxido de carbono que é
uma medida com muito ruído. O caudal volumétrico é filtrado através de uma média móvel
de grau 9 (Figura 5.10b). A taxa de transferência molar de dióxido de carbono (CTR) a 35
°C é calculada a partir da equação (4.48) adaptada para usar caudal volumétrico:
⎛ L ⎞ 1 mmole 273.16 K
s
QCO
×
s
⎟
2 ⎜
39.57
QCO
h ⎠ 0.0224 L 308.16 K
⎝
2
=
CTR =
V ( L)
V
( mmole.L .h )
-1
−1
Os valores calculados de CTR são apresentados na Figura 5.10c.
(5.94)
QCO2 [l/h]
10
(a)
5
QCO2 [l/h]
0
0
10
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
(b)
5
0
0
CTR [mmole/l/h]
149
10
(c)
5
0
0
Figura 5.10 Caudal volumétrico de dióxido de carbono à saída do reactor: (a) dados em bruto, (b)
dados filtrados. Taxa de transferência de dióxido de carbono (c)
O integral da fórmula de regressão (5.93) é calculado pela seguinte aproximação:
⎡
⎤
∫ CTR ( t ) dt ≅ ⎢⎣∑ CTR ⎥⎦T
t
o
k
(5.95)
k
com T período ou tempo de amostragem (5/60 h) e k = 0, 1, 2,… índice que designa o
instante t = kT.
A representação gráfica dos ajustes lineares das três fórmulas de regressão para cálculo
de k1, k2 e k3 juntamente com os dados experimentais, conduz à figura seguinte:
Int(CTR(t)) [mmole/l]
E(t)-Eo [mmole/l]
So-S(t) [mmole/l]
60
150
I.
(a)
40
III.
II.
20
0
0
100
50
100
150
X(t)-Xo
200
[NTU]
300
II.
III.
0
0
350
I.
(b)
50
50
100
150
X(t)-Xo
200
[NTU]
100
250
300
I.
(c)
50
100
150
X(t)-Xo
200
[NTU]
350
II.
III.
50
0
0
250
250
300
350
Figura 5.11 Ajuste das equações de regressão de cálculo dos coeficientes de rendimento
Para cada equação de regressão são apresentadas as três zonas de operação descontínua
do reactor. Os declives das linhas foram obtidos com auxílio de “ferramentas” do
programa MATLAB (MATHWORKS, 1993) e encontram-se na tabela seguinte.
-1
-1
Tabela 5.7 Coeficientes de Rendimento (mmol.L .NTU )
Zona
k1
k2
k3
I
0.24
0.39
0.37
II
0.12
0.22
0.25
III
0.18
0.29
0.35
Média
0.18 ± 0.06
0.30 ± 0.08
0.32 ± 0.06
Verifica-se uma certa variação dos valores de coeficiente de rendimento o que está de
acordo com o relato de vários autores (por exemplo: ANDREWS, 1993 e HONG, 1989) que
referem a não constância dos rendimentos ao longo de uma fermentação.
5.5.2.2 Validação experimental
Pretendendo validar-se a identificação realizada, optou-se pela utilização do valor
151
médio entre os valores para cada uma das zonas e fez-se a sua aplicação a outra
experiência (EXP_06).
A Figura 5.12 apresenta a taxa de diluição (a) e a variação do volume (b) ao longo do
tempo da experiência.
D(t) [1/h]
2
(a)
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
Tempo [h]
40
50
IV
V(t) [L]
60 (b)
III
50
II
40
30
0
I
10
20
30
Tempo [h]
40
50
Figura 5.12 Taxa de diluição e volume de reactor
Utilizando o modelo reduzido proveniente de (5.78) com a substitução do termo µX por
CTR/k3 (resultante de (5.92)) pode estimar-se as concentrações de X, E e S como se segue
⎡ Xˆ ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡ Xˆ ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢
⎥
d ˆ
⎢ ⎥ CTR − D ⎢ Sˆ ⎥ + ⎢ DS ⎥
⎢ S ⎥ = ⎢ −k1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ e⎥
dt ⎢ ⎥
k3
⎢ ˆ⎥ ⎢ 0 ⎥
ˆ
⎢k ⎥
⎦
⎣⎢ E ⎦⎥ ⎣ 2 ⎦
⎣⎢ E ⎦⎥ ⎣
(5.96)
Para estimar as três concentrações basta apenas conhecer os valores iniciais das três
variáveis de estado e integrar o sistema conhecendo-se a evolução de CTR, D e DSe. As
equações diferenciais foram integradas usando a discretização de EULER:
^
^
^
Xk+1 = Xk + T(CTR/k3 – DkXk)
(5.97)
^
^
^
^
152
^
Sk+1 = Sk + T(–k1CTR/k3 + DkSe – DkSk)
(5.98)
^
Ek+1 = Ek + T(k2CTR/k3 – DkEk)
(5.99)
Os valores em bruto e filtrados do caudal volumétrico de dióxido de carbono e os
valores calculados de CTR são apresentados na figura seguinte.
QCO2 [l/h]
10
(a)
5
0
0
10
20
30
Tempo [h]
40
50
60
10
20
30
Tempo [h]
40
50
60
10
20
30
Tempo [h]
40
50
60
QCO2 [l/h]
10
(b)
5
CTR [mmole/l/h]
0
0
10
(c)
5
0
0
Figura 5.13 Caudal volumétrico de dióxido de carbono à saída do reactor: (a) dados em bruto,
(b) dados filtrados. Taxa de transferência de dióxido de carbono (c)
Os valores estimados de glucose, etanol e biomassa são apresentados na Figura 5.14. A
utilização de um valor médio de coeficiente de rendimento mostra-se adequada para as
dinâmicas de glucose e etanol. Para a estimação da “concentração” de biomassa, verificase uma degradação ao longo do tempo da convergência entre a estimativa e os valores
medidos em linha. O afastamento é particularmente notório na fase IV da experiência.
Durante esta fase verifica-se uma diminuição da turbidez da suspensão (equivalente à
diminuição da concentração de biomassa) que pode ser explicada pela ocorrência do
fenómeno da manutenção das células devido ao seu metabolismo endógeno que pode
conduzir ao decaimento ou morte celular. Como estes fenómenos não foram incluídos no
5.6 IDENTIFICAÇÃO NA SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA
153
modelo dinâmico, necessariamente que a estimação falha porque é baseada num modelo
E(t) [mmole/l]
S(t) [mmole/l]
inadequado para esta fase da fermentação.
(a)
60
40
20
0
0
200
10
20
30
Tempo [h]
40
50
60
40
50
60
40
50
60
(b)
valores medidos em diferido
valores estimados
100
0
0
600
X(t) [NTU]
valores estimados
400
10
(c)
20
30
Tempo [h]
valores estimados
200
0
0
10
20
30
Tempo [h]
Figura 5.14 Validação experimental da identificação dos coeficientes de rendimento
5.6 Identificação na síntese enzimática de ampicilina
Considerações estequiométricas sobre o mecanismo a três reacções para a síntese
enzimática de ampicilina permitem, neste caso, obter os valores dos respectivos
coeficientes de rendimento. A estequiometria da reacção de síntese (ver Figura 2.6) conduz
ao seguinte enunciado: 1 mole de 6-APA reage com 1 mole de MFG originando 1 mole de
ampicilina e 1 mole de metanol. Na hidrólise de 1 mole de MFG há a produção de 1 mole
de FG e 1 mole de metanol. A hidrólise da ampicilina origina 1 mole de 6-APA e 1 mole
de FG. Deste modo pode considerar-se que todos os coeficientes são unitários:
154
Tabela 5.8 Coeficientes de rendimento
k1
k2
k3
k4
k5
k6
k7
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Com estes valores de coeficientes de rendimento a matriz K não apresenta característica
completa dado que a sua característica vale 2 (e não 3). Tal significa que uma das reacções
é linearmente dependente das outras duas. Este facto pode verificar-se através do esquema
reaccional:
ϕ1: S1 + S2 → P2 + P3
(5.100)
ϕ2: S2 → P1 + P3
(5.101)
ϕ3: P2 → P1 + S1
(5.102)
em que é visível que se pode escrever ϕ3 = ϕ2 – ϕ1.
Com esta dependência o modelo estabelecido em § 4.8 é reescrito como se segue:
Modelo dinâmico para a síntese enzimática de ampicilina
⎡ S1 ⎤ ⎡( k2 − k1 )
⎢S ⎥ ⎢
2⎥
⎢ −1
⎢
d
⎢ P1 ⎥ = ⎢ k4
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ P2 ⎥ ⎢ ( k5 − 1)
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ k6
− k2
⎤
⎡ S1 ⎤ ⎡ F1 ⎤
⎥
⎢S ⎥ ⎢F ⎥
−1 ⎥
2⎥
⎢
⎢ 2⎥
⎡ϕ1 ⎤
( k3 − k4 )⎥ ⎢ϕ ⎥ − D ⎢ P1 ⎥ + ⎢ F3 ⎥
⎥⎣ 2⎦
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
1 ⎥
⎢ P2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
k7 ⎦
(5.103)
5.7 Síntese
Neste capítulo foram apresentados algoritmos para identificação de coeficientes de
rendimento em processos biotecnológicos através de medições completas do estado. Foram
propostas estratégias de planificação experimental que visam a optimização da riqueza
informativa da experiência, quantificada por índices relativos à matriz de informação de
FISHER. O objectivo da planificação experimental foi endereçado em termos da
programação de trajectórias de entradas.
Na produção de fermento de padeiro procurou projectar-se experiências que
conduzissem a um máximo de informação através da programação do caudal de
alimentação em glucose. Esta abordagem tem o mérito de permitir estudar várias escolhas
5.8 BIBLIOGRAFIA
155
de trajectórias de alimentação antes de serem realizadas experiências.
Os algoritmos de identificação dos coeficientes de rendimento tiveram aplicação real à
fermentação etanólica, com cálculo de rendimentos em diferentes zonas de funcionamento
em modo descontínuo. Considerou-se o valor médio que foi validado por estimação de
variáveis de estado numa experiência diferente.
No cálculo dos coeficientes de rendimento da síntese enzimática de ampicilina fizeramse simples considerações estequiométricas.
As matrizes de coeficientes de rendimento calculadas neste capítulo constituem uma
peça fundamental para a implementação de estratégias de monitorização avançada. O
próximo capítulo utilizará estas matrizes para cálculo dos sensores por programação.
5.8 Bibliografia
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FEUP 1995
6. Monitorização Avançada os Sensores por Programação
“We ought to regard the state of the universe as the effect
of its antecedent state and the cause of the state that is
to follow”
LAPLACE, SÉC. XVIII
Sumário
É objectivo deste capítulo o desenvolvimento de sensores por programação para estimação de estados e
de parâmetros (taxas de reacção) em processos biotecnológicos. São apresentados algoritmos para a
estimação de variáveis de estado não mensuráveis em linha, através de um observador assimptótico que
utiliza as variáveis medidas em linha. São desenvolvidos estimadores de taxas de reacção, especialmente das
taxas específicas de crescimento. É proposta uma alternativa de sintonização dos ganhos que conduz a uma
dinâmica de resposta de 2ª ordem. Os sensores por programação são validados por simulação e em
experiências reais para os processos em estudo.
Para o fermento de padeiro estimam-se as concentrações de etanol, biomassa e glucose com base em
medições de oxigénio e dióxido de carbono dissolvidos e em fase gasosa. São estimadas as três taxas
específicas de crescimento através de um estimador de dinâmica de resposta de 2ª ordem e com um
estimador baseado no observador.
No caso da fermentação etanólica é proposto um estimador da taxa específica de crescimento que não
necessita do conhecimento dos coeficientes de rendimento. As estimativas da taxa específica de crescimento
permitem estimar em linha as concentrações de biomassa e glucose. A estimação desta última permite
detectar os instantes do seu consumo total.
Para a síntese enzimática de ampicilina são estimadas as concentrações de ampicilina, metilfenilglicina e
metanol por via da medição das concentrações de fenilglicina e ácido 6-aminopenicilânico. São também
estimadas as taxas específicas de reacção e a partir destas calculam-se as velocidades de reacção.
6.1 INTRODUÇÃO 6.2 OBSERVADORES DE ESTADOS 6.3 ESTIMADORES DE CINÉTICA 6.4 ESTIMADORES E
OBSERVADORES PARA A PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO 6.5 ESTIMADORES E OBSERVADORES PARA A
FERMENTAÇÃO ETANÓLICA 6.6 ESTIMADORES E OBSERVADORES PARA A SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA
6 MONITORIZAÇÃO AVANÇADA - OS SENSORES POR PROGRAMAÇÃO
160
6.1 Introdução
A maior parte das estratégias de controlo nas indústrias fermentativas são baseadas na
utilização de informação obtida através de ensaios em diferido. Tal decorre da necessidade
de remoção de amostras do fermentador, da análise laboratorial e finalmente da acção do
operador (ou sistema de controlo) de modo a corrigir alguma condição indesejada no
processo. Uma alternativa avançada da monitorização de processos biotecnológicos
consiste na incorporação em linha de medições em modelos e em algoritmos de estimação,
que forneçam informação não directamente mensurável. A motivação para a aplicação de
técnicas de estimação surge com a inexistência, custo proibitivo ou inadequação de
sensores para a medição em linha das principais variáveis de estado (CARLEYSMITH, 1986;
SONNLEITNER, 1991). É objectivo deste capítulo o desenvolvimento de algoritmos para
estimação de estados e de parâmetros (taxas de reacção) em processos biotecnológicos.
Os algoritmos de estimação de estados baseados em modelos são normalmente
designados por observadores e os algoritmos de estimação de parâmetros, não tendo
nenhuma designação comummente aceite, poderão ser designados por estimadores. Estes
algoritmos são também denominados por filtros, em que a estimação pode ser vista como a
extracção de um sinal puro a partir de sinais com ruído.
A implementação informática destes dois tipos de algoritmos para a sua utilização em
linha tem sido genericamente designada em inglês por software sensors (em francês:
capteurs logiciels). Anteriormente, tomava a designação de gateway sensors (HUMPHREY,
1974). A nossa proposta em língua Portuguesa será sensores por programação.
Sensor por Programação
Processo
Sensor
Estimador
Estimativa
em linha
Figura 6.1 Sensores por programação
Na Teoria de Sistemas, os trabalhos clássicos de KALMAN (1960) e LUENBERGER (1964)
são normalmente apontados como referências importantes no desenvolvimento de
algoritmos de estimação. Os filtros de Kalman são projectados de modo a minimizar, no
6.1 INTRODUÇÃO
161
resultado calculado, os efeitos dos ruídos na medição e os erros do modelo (JAZWINSKI,
1970). O observador de LUENBERGER é projectado para que o erro de observação conduza a
um ponto de equilíbrio (ε = 0) de estabilidade assimptótica. O observador de LUENBERGER
(tal como o filtro de KALMAN) é normalmente derivado a partir do modelo linearizado em
torno de um ponto de equilíbrio. Deste modo as propriedades de convergência e de
estabilidade são aplicadas localmente em torno desse ponto. A Figura 6.2 representa
genericamente um diagrama de fluxo de um estimador do tipo observador de LUENBERGER.
variáveis
manipuladas
Processo
Variáveis
ariáveis de estado
Sensores
Variáveis
ariáveis
medidas
Retroacção
+
-
Modelo dos
sensores
Estimador
Modelo do
processo
Estimativas
Figura 6.2 Esquema geral de um estimador - observador
Uma das primeiras aplicações de observadores em Biotecnologia é devida a SVRCEK et
al. (1974) recorrendo a um filtro de KALMAN. Estes filtros, apresentando a desvantagem de
serem específicos para um dado processo, têm constituído a principal metodologia no
desenvolvimento de observadores de estado em processos de fermentação (TARBUCK et al.,
1986; MONTGOMERY e WILLIAMS, 1988; NÁHLIK e BURIANEC, 1988; DUBACH e MARKL, 1992;
HILALY et al., 1992; SARGANTANIS e KARIM, 1994).
Outros trabalhos pioneiros de aplicação de algoritmos de estimação em Biotecnologia
incluem WILLIAMSON (1977), ZABRISKIE e HUMPHREY (1978) e ABORHEY e WILLIAMSON (1978). A
partir da década de 80 assistiu-se a um grande aumento de publicações relativas à
estimação de estados, sendo a maior parte contribuições teóricas por simulação de
processos (HOLMBERG e RANTA, 1982; GALLEGOS e GALLEGOS, 1984; DOCHAIN e BASTIN, 1986;
162
ATROUNE et al., 1988; BASTIN, 1988; BULSARI e SAXÉN 1994). Só recentemente apareceram as
primeiras aplicações reais na indústria (DOCHAIN et al., 1989; SIMUTIS et al., 1992a; LANT et
al., 1993). As referências STEPHANOPOULOS e SAN (1984), BECK e YOUNG (1989) e CHATTAWAY
et al. (1993) constituem exemplos de artigos tutoriais sobre a estimação em biotecnologia.
Os poucos trabalhos de revisão sobre a literatura de estimação em biotecnologia são
devidos a LEIGH et al. (1988), VAN DER HEIJDEN et al. (1989), STEPHANOPOULOS e PARK (1991) e
MONTAGUE et al. (1992).
Começaram a surgir ultimamente novas abordagens ao problema da estimação de
estados: metodologias baseadas em conhecimento (AYNSLEY et al., 1993; DI MASSIMO et al.,
1993); redes neuronais e inteligência artificial (THIBAULT et al., 1990; LINKO e ZHU, 1991;
KARIM e RIVERA, 1992); lógica difusa (SIMUTIS et al., 1992b; SIMUTIS et al., 1993). Outras
propostas incluem técnicas de sistemas não lineares: a representação por diferenciação
externa (GOMES e MENAWAT, 1992); GAUTHIER et al. (1992) propõem um observador
estendido de LUENBERGER.
LIAO (1989) introduz uma técnica de estimação de estado baseada na decomposição de
valores singulares. HARDWICKE et al. (1991) propõem um método para estimação de estados
baseado na maximização do número de mudanças do sinal do erro entre as previsões do
modelo e os valores medidos. Este algoritmo foi testado em diferido em fermentações de
E. coli para estimar a concentração de oxigénio dissolvido. FLAUS et al. (1991) apresentam
um algoritmo baseado no método recursivo de erro de predição (LJUNG, 1987) que permite
a estimação simultânea de variáveis de estado e de parâmetros. São apresentados
resultados de validação em três processos biotecnológicos à escala piloto: produção de
enzimas em E. coli, processo de produção de lipases pela levedura Candida rugosa e
produção de lisina.
Os trabalhos de MCGREAVY e CASTRO (1981), DOCHAIN et al. (1991), LIMQUECO et al. (1991)
e THAM et al. (1991) constituem exemplos de aplicação de observadores em processos de
reacção química. SCHULER e SCHMIDT (1993) apresentam um longo artigo de revisão da
aplicação de técnicas de estimação em reactores químicos com uma ligeira abordagem aos
reactores biológicos.
6.2 OBSERVADORES DE ESTADOS
163
6.2 Observadores de estados
As principais variáveis de estado duma fermentação (concentrações de biomassa,
substrato e produto) não são normalmente medidas em linha (SCHÜGERL et al., 1986; LOCHER
et al., 1992ab; SONNLEITNER et al., 1992) impossibilitando o seu controlo por retroacção. A
reconstrução do estado por um observador possibilitará, deste modo, o controlo do
processo de fermentação.
O princípio dos observadores de estados consiste em utilizar medidas para corrigir as
estimativas de estados fornecidas por um modelo. DOCHAIN e BASTIN (1986) exploram a
estrutura não linear dos processos de fermentação para desenvolver observadores não
lineares. Para além dos variadíssimos trabalhos publicados por estes autores, existem
outros exemplos de aplicação destes observadores. Assim, CHAO et al. (1992) estimam as
concentrações de biomassa, substrato e lisina na produção de lisina; IGNATOVA et al. (1992)
estimam a biomassa e a taxa específica de crescimento para a síntese de ergocriptina;
2+
GRAINDORGE et al. (1994) estimam a biomassa, a concentração de Fe
e a taxa específica de
crescimento a partir da medição de potencial de oxidação-redução em culturas de
Thiobacillus ferrooxidans.

No presente trabalho são apresentados algoritmos de estimação de estados baseados no
denominado modelo dinâmico geral de reactores biológicos:
dξ
= Kϕ (ξ , t ) − Dξ + F − Q
dt
(4.4)=(6.1)
Supondo conhecidos os coeficientes de rendimento da matriz K, as taxas de reacção
ϕ(ξ), a taxa de diluição D, os vários caudais dos vectores F e Q e um subconjunto do
vector de estado ξ1, por medição em linha, é possível projectar um observador de estado
para reconstrução das variáveis de estado não medidas.
BASTIN e DOCHAIN (1990) propõem a seguinte equação genérica de um observador de
estado para sistemas não lineares do tipo descrito pela equação anterior:
dξˆ
= Kϕ ξˆ, t − Dξˆ + F − Q + Ω ξˆ ⎡⎣ξ1 − ξˆ1 ⎤⎦
dt
( )
^
^
()
(6.2)
^
em que ξ e ξ1 representam a estimativa em linha de ξ e ξ1 respectivamente, Ω(ξ) é uma
164
^
matriz de ganhos de dimensão n×q, função de ξ. Esta equação pode ser vista como sendo
uma cópia do modelo (4.4) acrescentada de um termo motriz do erro de observação na
parte medida do estado.
Uma abordagem particular desta generalização é apresentada na formalização que se
segue no projecto de um observador assimptótico.
Definindo uma partição do vector de estado em duas partes ξa, ξb como se segue
⎡ξ a ⎤
⎢ξ ⎥ = Lξ
⎣ b⎦
(6.3)
em que L é uma matriz n×n de permutação de linhas tal que as correspondentes partições
induzidas de K, F e Q são escritas da seguinte maneira
⎡ Ka ⎤
⎢ K ⎥ = LK ,
⎣ b⎦
⎡ Fa ⎤
⎢ F ⎥ = LF ,
⎣ b⎦
⎡Qa ⎤
⎢Q ⎥ = LQ
⎣ b⎦
(6.4)
de tal modo que sendo p a característica da matriz K, tem-se Ka ∈Rpxm, Kb ∈R(n-p)xm,
ξa, Fa, Qa ∈Rp e ξb, Fb, Qb ∈R(n-p).
O modelo dinâmico geral é reescrito como sendo
dξ a
= K aϕ (ξ a , ξb , t ) − Dξ a + Fa − Qa
dt
(6.5)
dξ b
= K bϕ (ξ a , ξb , t ) − Dξb + Fb − Qb
dt
(6.6)
Introduzindo a seguinte transformação de estado (corresponde a uma mudança linear de
coordenadas):
Z ≡ Aξa+ξb
(6.7)
em que a matriz A ∈R(n-p)xp constitui a solução da seguinte equação matricial
AKa+Kb = 0
(6.8)
isto é
+
A = –KbKa
(6.9)
6.2 OBSERVADORES DE ESTADOS
165
+
em que Ka representa a inversa generalizada ou a pseudo-inversa da matriz Ka, obtendo-se
então a seguinte forma para o modelo inicial:
dξ a
= K aϕ (ξ a , Z − Aξ a ) − Dξ a + U a
dt
(6.10)
dZ
= − DZ + A ( Fa − Qa ) + ( Fb − Qb )
dt
(6.11)
Note-se nesta última equação a ausência explícita do termo relativo às velocidades das
reacções. A dinâmica de Z será independente da matriz A na situação de (Fa – Qa) igual a
zero.
O problema de estimação de estados de reactores biológicos é formalizado no
seguimento. Consideram-se conhecidos (por imposição ou medição em linha) a taxa de
diluição D, os caudais de entrada F, os caudais gasosos de saída Q, e um subconjunto do
vector de variáveis de estado medidas em linha, designado por ξ1. Seja q o número de
variáveis de estado medidas em linha. O vector das variáveis de estado não medidas é
representado por ξ2. O problema da estimação de estados consistirá no projecto de um
algoritmo para reconstruir as variáveis de estado não medidas em linha a partir das
variáveis medidas:
Problema: Estimação em linha do vector ξ2 de (n – q) variáveis de estado, dados:
taxas de reacção ϕ(ξ) desconhecidas;
ξ1, D, F e Q medidos em linha;
coeficientes de rendimento conhecidos (matriz K);
o número q de variáveis de estado medidas igual ou maior do que a característica da matriz K.
Do mesmo modo que escrevemos o vector Z segundo a eq. (6.7), torna-se evidente a
possibilidade de escrever Z como a combinação linear dos vectores ξ1 e ξ2:
Z ≡ A1ξ1+ A2ξ2
(6.12)
em que as matrizes A1 e A2, de dimensões (n-p)×q e (n-p)×(n-q) respectivamente, são
+
definidas de modo apropriado. Para A2, com matriz inversa à esquerda A2 , pode derivar-se
o seguinte observador a partir das equações (6.11) e (6.12):
166
Observador assimptótico (BASTIN e DOCHAIN, 1990)
dZˆ
= − DZˆ + A ( Fa − Qa ) + ( Fb − Qb )
dt
^
(6.13)
+ ^
ξ2 = A2 (Z – A1ξ1)
^
(6.14)
^
em que Z e ξ2 representam estimativas em linha de Z e ξ2 respectivamente. Este estimador
de estado é completamente independente da cinética. O diagrama de fluxo para este
observador é apresentado na figura seguinte.
Processo (modelo)
U
.
ξ = -Dξ + Kϕ + U
ξ = ξ1+ξ2 = ξa+ξb
Ua
Ub
.
^
^
Z = -DZ + AUa + Ub
Sensores
ξ1
^
Z
^
+ ^
ξ2 = A2(Z - A1ξ1)
ξ^ 2
Figura 6.3 Observador assimptótico
Este observador é classificado de assimptótico pelo facto de a velocidade de
convergência ser determinada pelas condições experimentais (pela taxa de diluição). A
~
^
~
análise de erro (ξ2 = ξ2 – ξ2) deste observador conduz ao um ponto de equilíbrio (ξ2 = 0) de
estabilidade assimptótica. A convergência deste algoritmo foi demonstrada pelos autores.
Quando o número de variáveis medidas é igual ao número de reacções (q = m) e no caso
de se considerar uma escolha de partição de estado tal que ξ1 = ξa e ξ2 = ξb então as
matrizes A1 e A2 reduzem-se à seguinte forma:
-1
A1 = -K2K1
(6.15)
A2 = In-m
(6.16)
6.3 ESTIMADORES DE CINÉTICA
167
Na prática a reconstrução em linha do estado é efectuada pela integração da equação do
observador. A implementação numérica do observador é realizada por reescrita das
equações numa forma discretizada. Usando a aproximação de EULER de 1ª ordem, a
derivada é substituída por uma diferença finita:
dZˆ Zˆ k +1 − Zˆ k
≅
dt
T
(6.17)
em que T é o período de amostragem, “k” e “k+1” são índices de tempo.
Deste modo, a equação (6.13) é discretizada como se segue:
^
^
^
Zk+1 = Zk – T[DkZk + Fb,k – Qb,k + A(Fa,k – Qa,k)]
(6.18)
A estimação do estado na situação de desconhecimento da matriz dos coeficientes de
rendimento pode ser solucionada usando observadores adaptativos para sistemas não
lineares (DOCHAIN e BASTIN, 1984; DOCHAIN e BASTIN, 1986; BASTIN e GEVERS, 1988). As
condições experimentais de convergência destes algoritmos foram demonstradas (MAREELS
et al., 1987; BASTIN et al., 1988).
6.3 Estimadores de cinética
6.3.1 Introdução
O filtro estendido de KALMAN (FEK) constitui uma extensão dos filtros de KALMAN e
possibilita a estimação de parâmetros em simultâneo com a estimação de estados, através
do aumento do vector de estado que passa a incluir os parâmetros a estimar. Estes filtros,
assumindo aproximações estocásticas para os ruídos nas medições e no modelo,
apresentam a desvantagem de, mesmo para sistemas lineares, puderem divergir ou
conduzirem a estimativas tendenciosas para situações de ruído desconhecido (LJUNG, 1979).
A dificuldade (ou impossibilidade) de realização da análise de estabilidade do FEK
constitui outra crítica importante para este estimador. Por último, e não menos importante,
torna-se necessário o conhecimento dos parâmetros cinéticos do modelo.
JEFFERIS (1979) utiliza esta técnica juntamente com o método dos mínimos quadrados
recursivos para estimação das taxas de adição de nutrientes, com o propósito de execução
de balanços materiais. Outros autores utilizam esta técnica para estimação de cinéticas:
168
CAMINAL et al. (1987) utilizam o FEK para estimação de cinética de desactivação
enzimática de celulose; SHIMIZU et al. (1989) estimam a taxa específica de crescimento num
processo de produção de fermento de padeiro, recorrendo ao FEK.
A taxa específica de crescimento constitui um importante parâmetro duma fermentação.
É, na prática, um parâmetro de difícil medição. Pode ser estimado por medição indirecta da
taxa de crescimento ou através da medição da concentração celular. A taxa de crescimento
pode ser estimada por balanços macroscópicos estequiométricos aos principais elementos
químicos que compõem a biomassa (C, H, O, N) utilizando medições das taxas de
consumo de oxigénio, de produção de dióxido de carbono e de transferência do ião amónio
(COONEY et al., 1977; WANG et al., 1977; MOU e COONEY, 1983ab).
BASTIN e DOCHAIN (1986) apresentam um algoritmo da estimação da taxa específica de
crescimento que explora directamente a estrutura não linear do sistema, demonstrando a
estabilidade do estimador. Nesta abordagem a taxa específica de crescimento é considerada
um parâmetro variável no tempo, função de parâmetros desconhecidos que não são
modelados por nenhuma função analítica.
LJUBENOVA e IGNATOVA (1994) baseando-se na metodologia daqueles autores, propõem
um estimador da taxa específica de crescimento através da medição da taxa de consumo de
oxigénio (OUR), demonstrando a sua eficácia por simulação de uma fermentação aeróbia.

No presente trabalho são apresentados algoritmos de estimação dos parâmetros taxas de
reacção e taxas específicas de crescimento. De modo idêntico à estimação de estados, o
estimador é baseado no modelo dinâmico geral de reactores biológicos, usando a
transformação apresentada em § 4.3.1 (Modelação das taxas de reacção):
dξ
= KH (ξ , t ) ρ (ξ ) − Dξ + F − Q
dt
(4.15)=(6.19)
em que as taxas de reacção são definidas como
ϕ(ξ) ≡ H(ξ)ρ(ξ)
(6.20)
sendo H(ξ) uma matriz de dimensão m×r de funções de estado conhecidas e ρ(ξ) um vector
de r funções de estado desconhecidas.
O problema da estimação das taxas de reacção consistirá no projecto de um algoritmo
169
para cálculo de ρ(ξ,t):
Problema: Estimação em linha do vector ρ(ξ,t) dados:
vector de variáveis de estado ξ conhecido por medição em linha e estimação por observador;
D, F e Q medidos em linha;
coeficientes de rendimento conhecidos (matriz K);
matriz H(ξ) de funções conhecidas.
Para resolver este problema, é proposta uma classe de estimadores gerais, baseados no
modelo dinâmico geral através da observação do estado, de modo a fornecer informação
para actualização do estimador de ρ(ξ) e não para estimar o estado que é supostamente
conhecido (por medição ou através de um observador específico):
Estimador geral para a cinética
dξˆ
= KH (ξ ) ρˆ ( t ) − Dξ + F − Q − Ω1 ξ − ξˆ
dt
(
d ρˆ
= Ω 2 ξ − ξˆ
dt
(
)
)
(6.21)
(6.22)
em que ρ^ representa a estimativa em linha de ρ(ξ).
Esta classe de algoritmos é explicada do seguinte modo. A lei de actualização do
^
parâmetro ρ (6.22) é excitada pelo erro (ξ – ξ) que reflecte supostamente a diferença entre
ρ e a sua estimativa ρ^ . Esta lei de adaptação pode ser vista como uma variação ao método
do gradiente. Assegura-se, assim, que a correcção dos valores estimados se efectue em
direcção à maior inclinação do erro de estimação. A equação (6.21), sendo semelhante à
equação genérica do observador de estado anteriormente referida (6.2), apresenta, contudo,
três modificações importantes: i. a matriz Ω pode ser dependente de ξ, mas deve ser
estável para qualquer ξ(t); ii. o valor actual de ξ é utilizado no lado direito da equação
(termos H(ξ) e Dξ); iii. o valor desconhecido actual de ρ(ξ) é substituído pela sua
estimativa ρ^ , actualizada pela equação (6.22). A utilização do valor actual de ξ em vez do
^
valor estimado ξ constitui um caso particular do estimador apresentado em NARENDRA e
ANNASWAMY (1989).
O projecto do estimador fica completo com a escolha das matrizes de ganhos Ω1 e Ω2
que garantam as propriedades desejáveis de estabilidade e convergência do algoritmo.
170
6.3.2 Estimadores baseados em observadores
Uma solução para a escolha das matrizes de ganhos é dada por BASTIN e DOCHAIN (1990)
que propõem um estimador baseado num observador (EBO) constituído pelas seguintes
duas equações:
Estimador baseado num observador (BASTIN e DOCHAIN, 1990)
dξˆ
= KH (ξ ) ρˆ ( t ) − Dξ + F − Q − Ω (ξ ) ξ − ξˆ
dt
(
T
d ρˆ
= ⎡⎣ KH (ξ ) ⎤⎦ Γ (ξ ) ξ − ξˆ
dt
(
)
(6.23)
)
(6.24)
em que Ω1 e Ω2 são definidos do seguinte modo:
• Ω1 ≡ Ω. É uma matriz quadrada (n×n) que depende de ξ e deve ser estável.
T
• Ω2 ≡ [KH(ξ)] Γ. O ganho Γ da equação (6.24) deve ser escolhido tal que a
T
matriz Ω Γ + ΓΩ seja definida positivamente.
Normalmente, as matrizes Ω e Γ tomam a seguinte forma, que verifica a última
condição (DOCHAIN, 1986):
Ω ≡ diag{–ωi},
Γ ≡ diag{γj}
ωi, γj ∈R+
com i=1,…,n e j=1,…,r
(6.25)
A sintonização do estimador reduz-se à calibração, por tentativa e erro, dos escalares ωi
e γj.
Esta escolha particular é devida a razões de estabilidade do sistema de erros que
apresenta uma estrutura linear variante no tempo (LVT). Aqueles autores demonstram a
estabilidade do estimador, baseando-se na teoria da estabilidade para sistemas LVT e na
teoria da persistência da excitação (NARENDRA e ANNASWAMY, 1989; GOODWIN e SIN, 1984).

Uma alternativa ao esquema anterior de estimação das cinéticas será exposta de
seguida. Assume que é suficiente basear o estimador da cinética num subconjunto de r
equações do modelo completo de espaços de estados com a condição de incluir todos os r
parâmetros que necessitam ser estimados (este subconjunto é referenciado pelo índice s).
Nesta situação as matrizes de ganhos são quadradas com dimensão r.
Adopta-se uma reformulação do modelo dinâmico considerando a seguinte
transformação
171
-1
ψ ≡ Ks ξs
(6.26)
Esta transformação é introduzida para desacoplamento do modelo dinâmico geral (4.4)
relativamente às taxas de reacção (POMERLEAU e PERRIER, 1990). Assim, o modelo dinâmico
geral transforma-se na seguinte equação:
dψ
= H (ξ ) ρ (ξ ) − Dψ + K s−1 ( Fs − Qs )
dt
(6.27)
O estimador é reescrito da seguinte maneira:
Estimador baseado num observador (POMERLEAU e PERRIER, 1990)
dψˆ
= H ρˆ − Dψ + K s−1 ( Fs − Qs ) − Ω1 (ψ − ψˆ )
dt
(6.28)
d ρˆ
= Ω 2 (ψ − ψˆ )
dt
(6.29)
A escolha das matrizes dos ganhos poderá conduzir a diferentes abordagens ao
problema da sintonização do estimador. Para a estimação de taxas específicas de
crescimento, POMERLEAU e PERRIER (1990) propõem a seguinte configuração para as matrizes
dos ganhos:
• Ω1 ≡ diag{–ω1,iX}
• Ω2 ≡ diag{ω2,iX}
em que ω1,i, ω2,i ∈R+
com i=1,…,r.
Para a situação mais geral, pode propor-se a seguinte configuração:
• Ω1 ≡ diag{–ω1,ihi}
• Ω2 ≡ diag{ω2,ihi}
em que hi representa o elemento i da matriz diagonal H.
A estimação em linha do vector de parâmetros ρ é efectuada, na prática, pela integração
das equações do estimador. A implementação numérica é realizada, de modo idêntico ao
observador, através da reescrita das equações numa forma discretizada, usando a
aproximação de EULER de 1ª ordem:
-1
^
^
^
^
ψ
k+1 = ψk + T[Hkρk – Dkψk + Ks (Fs,k – Qs,k) + ω1,kH(ξk)(ψk – ψk)]
(6.30)
^
ρ^ k+1 = ρ^ k + Tω2,kH(ξk)(ψk – ψ
k)
172
(6.31)
Estes autores, baseando-se na dinâmica do sistema de erros de convergência destas
equações às diferenças, propõem uma sintonização dos ganhos por colocação de pólos (ver
Apêndice B):
-1
ω1,k = 2(1 – p)H (ξk)/T e
2
ω2,k = 0.25ω1,k
(6.32), (6.33)
em que p é vector com posições de pólos no plano Z (0 a 1).
6.3.3 Estimadores de dinâmica de segunda ordem
A dinâmica do erro de estimação para o estimador definido pelas equações (6.28) e
(6.29) é obtida no seguimento. Subtraindo a equação (6.27) pela equação (6.28), obtém-se
a seguinte equação:
d (ψ − ψˆ )
= H ( ρ − ρˆ ) + Ω1 (ψ −ψˆ )
dt
(6.34)
Caso Ω2 seja uma matriz constante, então diferenciando a equação (6.29) obtém-se:
d (ψ − ψˆ )
d 2 ρˆ
=
Ω
2
dt 2
dt
(6.35)
OLIVEIRA et al. (1994) propõem a seguinte configuração para as matrizes dos ganhos:
• Ω1 ≡ Ω ≡ diag{–ωi}
T
-1
• Ω2 ≡ H (ξ)Γ, com Γ ≡ H (ξ).diag{γi}
em que ωi, γi ∈R+
com i=1,…,r.
Se H(ξ) for uma matriz diagonal, então combinando (6.29) com esta escolha dos ganhos
obtém-se o seguinte resultado:
d 2 ρˆ i
d ρˆ i
τ
+
ζ
τ
+ ρˆ i = ρi
2
i
i
dt 2
dt
2
i
i=1,…,r
(6.36)
com
τi = (γihi)
-0.5
e
ζi = 0.5ωi(γihi)
-0.5
em que hi se refere aos elementos diagonais da matriz H(ξ).
(6.37), (6.38)
173
As três equações anteriores mostram que a estimativa de cada parâmetro segue uma
dinâmica de resposta de segunda ordem a alterações nos verdadeiros parâmetros, com um
período natural de oscilação τi e um coeficiente de amortecimento ζi que são funções do
estado do sistema, e portanto, variáveis no tempo.
O estimador de dinâmica de resposta de segunda ordem (EDSO) é então escrito como
Estimador de dinâmica de resposta de 2ª ordem (I)
dψˆ
= H ρˆ − Dψ + K s−1 ( Fs − Qs ) − Ω (ψ −ψˆ )
dt
(6.39)
d ρˆ
= H T (ξ ) Γ (ψ − ψˆ )
dt
(6.40)
A aplicação desta metodologia a problemas de estimação de taxas de reacção para as
situações de cinética completamente desconhecida e parcialmente desconhecida é
apresentada na tabela seguinte.
Tabela 6.1 Sintonização baseada em dinâmica de 2ª ordem para estimação de cinéticas de reacções
Taxas completamente
desconhecidas
Taxas parcialmente desconhecidas
taxas de reacção
taxa específica de crescimento
taxa específica de reacção
ρ (ξ ) =
ϕ (ξ )
µ(ξ)
α(ξ)
H(ξ) =
Ir
diag(X)
diag(hi)*
(γiX)
(γihi)
τi =
ζi =
γi-0.5
½ωiγi
-0.5
-0.5
½ωi(γiX)
-0.5
ωi =
2 ζ i/ τ i
2 ζ i/ τ I
γi =
τi
-2
1/(τi X)
2
-0.5
½ωi(γihi)
-0.5
2 ζ i/ τ i
2
1/(τi hi)
* hi produto das concentrações dos reagentes na reacção i.
Usando ainda como base o estimador descrito pelas equações (6.28) e (6.29), é possível
obter uma formulação diferente para o estimador de 2ª ordem, para que a sintonização das
matrizes dos ganhos conduza a uma dinâmica de convergência com τ constante e ζ (quase)
constante. Deste modo, introduzindo as seguintes definições para os ganhos:
174
• Ω1 ≡ Ω ≡ diag{–ωi}
-1
• Ω2 ≡ ΓH (ξ), com Γ ≡ diag{γi}
em que ωi, γi ∈R+ com i=1,…,r, calculados como
γi ≡
1
τ
e
2
i
ωi ( t ) ≡
2ζ i
τi
−
dhi (ξ )
hi (ξ ) dt
1
(6.41), (6.42)
A actualização dos ganhos ωi(t) requer a avaliação da derivada em ordem ao tempo
dhi (ξ )
o que implica o conhecimento dos verdadeiros valores de ρi(t). Contudo, na fase
dt
de implementação numérica, a derivada pode ser aproximada por:
dhi (ξ ) hi (ξ k ) − hi (ξ k −1 )
≅
dt
T
(6.43)
em que T se refere ao período de amostragem e “k”, “k-1” são instantes de amostragem
consecutivos. O ganho ωi(t) será aproximado por
ωi ,k ≅
2ζ i
τi
−
hi ,k − hi ,k −1
(6.44)
Thi ,k
O estimador é então escrito como se segue:
Estimador de dinâmica de resposta de 2ª ordem (II)
dψˆ
= H ρˆ − Dψ + K s−1 ( Fs − Qs ) − Ω (ψ −ψˆ )
dt
(6.45)
d ρˆ
= ΓH −1 (ξ )(ψ − ψˆ )
dt
(6.46)
As motivações para a escolha particular destes ganhos tornam-se evidentes através da
análise da estabilidade, da dinâmica de convergência e da sintonização deste estimador. No
Apêndice B demonstra-se que esta escolha conduz a um sistema de erros LVT globalmente
estável. Mostra-se ainda que a sintonização das matrizes dos ganhos conduz a uma
dinâmica de convergência de 2ª ordem com τ constante e ζ quase constante.
6.4 ESTIMADORES E OBSERVADORES PARA A PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
175
6.4 Estimadores e observadores para a produção de
fermento de padeiro
6.4.1 Introdução
O fermento de padeiro tem sido o veículo preferencial de teste e validação de
algoritmos de estimação. As tabelas seguintes, sem pretenderem ser exaustivas, apresentam
alguns exemplos de aplicação de estimadores.
Tabela 6.2 Exemplos de observadores na produção de fermento de padeiro
Referência
Variáveis
estimadas
Variáveis medidas
Método
BELLGARDT et al. (1986)
X, S, E
ys,o e ys,c
filtro de KALMAN
DEKKERS (1983)
X, S
ys,o e ys,c
filtro de KALMAN
FLAUS et al. (1989)
X, S, E
ys,o e ys,c
BASTIN e DOCHAIN
LEE (1990)
X, S
ys,o e ys,c
filtro de KALMAN
POMERLEAU (1990)
X
E, O, ys,o e ys,c
BASTIN e DOCHAIN
PONS e ENGASSER (1989)
X, S
CER, CTR, OUR,
OTR, rNH3
filtro de KALMAN
RAMSEIER et al. (1993)
X
ys,c e rNH3
adaptativo
SAN e STEPHANOPOULOS (1984a)
X, S, E
CER, OUR, rNH3
filtro de KALMAN
SAN e STEPHANOPOULOS (1984b)
E
pH, rNH3
filtro de KALMAN
Tabela 6.3 Exemplos de estimadores na produção de fermento de padeiro
Referência
Variáveis
estimadas
Variáveis
medidas
Método
DEKKERS (1983)
µ, rs
ys,o e ys,c
filtro de Kalman
HAGANDER (1990)
µ
E
Gradiente
BELLGARDT et al. (1986)
µ
ys,o e ys,c
filtro de Kalman
POMERLEAU e PERRIER (1990, 1992)
µs , µs e µe
E, O, ys,o e ys,c
BASTIN e DOCHAIN
SHIMIZU et al. (1989)
µ
ys,o e ys,c
filtro de Kalman
o
r
o
6.4.2 Projecto de observadores assimptóticos
Conforme foi referido em § 4.6 (Modelo matemático para a produção de fermento de
padeiro) há necessidade de distinção entre dois modelos de estado parciais, o modelo
respirativo e o modelo respiro-fermentativo. Assim os observadores propostos deverão
contemplar a alternância entre os dois regimes metabólicos da Saccharomyces cerevisiae.
176
O critério de transição de regime é o seguinte: de regime respiro-fermentativo para o
regime respirativo quando a taxa específica de crescimento da via fermentativa de glucose
r
se anula (µs ≤ 0); de regime respirativo para o regime respiro-fermentativo quando a taxa
o
específica de crescimento da via respiratória de etanol se anula (µe ≤ 0).
A construção do observador de estado é baseada nos modelos parciais desenvolvidos
em § 4.6 e que se apresenta novamente:
Modelo parcial RF (4.65)
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
1
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
Modelo parcial R (4.66)
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥
−k2 ⎥ o
e ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎡µs ⎤
k3 ⎥ ⎢ r ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥
⎥ µ
⎢ ⎥ ⎢
⎥
0 ⎥⎣ s ⎦
⎢ O ⎥ ⎢ OTR ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ −CTR ⎥⎦
k8 ⎥⎦
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
1
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥
0 ⎥ o
e ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎡µs ⎤
− k4 ⎥ ⎢ o ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥
⎥ µ
⎢ ⎥ ⎢
⎥
− k6 ⎥ ⎣ e ⎦
⎢ O ⎥ ⎢ OTR ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ −CTR ⎥⎦
k9 ⎥⎦
(6.47)
Introduzindo a partição de estado ξT1 = [O C] e ξT2 = [X S E] com as correspondentes
T
T
partições de F e Q dadas por (F1 – Q1) = [OTR -CTR], (F2 – Q2) = [0 DSe 0] para
ambos os modelos. As partições induzidas em K são apresentadas na Tabela 6.4.
Tabela 6.4 Partições induzidas de K e correspondente matriz A
K1
Modelo parcial
RF
R
K2
⎡ − k5
⎢k
⎣ 7
0⎤
k8 ⎥⎦
⎡ 1
⎢ −k
⎢ 1
⎢⎣ 0
1 ⎤
−k2 ⎥⎥
k3 ⎥⎦
⎡ − k5
⎢k
⎣ 7
− k6 ⎤
k9 ⎥⎦
⎡ 1
⎢ −k
⎢ 1
⎢⎣ 0
1 ⎤
0 ⎥⎥
−k4 ⎥⎦
A
− k5 ⎤
⎡ ( k8 − k7 )
1 ⎢
( k2 k7 − k1k8 ) k2 k5 ⎥⎥
⎢
k5 k8
⎢⎣ − k3 k7
− k3 k5 ⎥⎦
⎡ ( k9 − k 7 )
1
⎢
−k k
( k5 k9 − k6 k7 ) ⎢⎢ k 1k 9
⎣ 4 7
( k 6 − k5 ) ⎤
⎥
− k1k6 ⎥
k4 k5 ⎥⎦
A transformação de estado definida pela variável Z (6.12) cuja dinâmica, para cada
regime metabólico, é dada por
dZˆ RF
= − DZˆ RF + ARFU1 + U 2
dt
^
^
ξ2,RF = ZRF – ARFξ1
e
RF (6.48)
RF (6.49)
dZˆ R
= − DZˆ R + ARU1 + U 2
dt
^
177
R (6.50)
^
ξ2,R = ZR – ARξ1
R (6.51)
-1
-1
em que U1 = (F1 – Q1), U2 = (F2 – Q2), ARF = –K2,RFK1,RF e AR = –K2,RK1,R, com as matrizes
A apresentadas na Tabela 6.4.
A utilização em alternância dos dois conjuntos de algoritmos é feita através de um
mecanismo de detecção do modelo a usar baseado na estimação das taxas específicas de
r
o
crescimento. Os valores estimados de µs e µe constituirão o critério para determinar o
r
o
regime do processo: respiro-fermentativo se µs for positivo ou respirativo se µe for
positivo. A mudança de valor estimado da taxa específica de crescimento de positivo para
negativo indica uma transição de regime. Quando se detecta essa mudança, a variável
^
^
transformada (Z) e o estado estimado (ξ2), calculados pelo algoritmo do modelo parcial
^
anterior, são usados para fornecer um valor de Z para o novo modelo parcial, passando a
empregar-se o algoritmo correspondente, conforme se ilustra de seguida:
RF → R
^
^
ξ2,RF = ZRF – ARFξ1,RF
^
^
ZR = ξ2,RF + ARξ1,R
o
o
RF (6.52)
R (6.53)
r
com µs,R = µs,RF e µs,R = 0
R → RF
^
^
^
^
ξ2,R = ZR – ARξ1,R
ZRF = ξ2,R + ARFξ1,RF
o
o
R (6.54)
RF (6.55)
o
com µs,RF = µs,R e µe,RF = 0.
O observador assimptótico será constituído pelas seguintes equações em que os
178
diferenciais da dinâmica da variável Z foram aproximados por discretização de EULER:
Observador assimptótico para estimação de variáveis de estado não medidas (X, S e E)
Regime respiro-fermentativo
^
^
^
^
^
^
~
Z1RF,k+1 = Z1RF,k(1 – TDk) + T[(k8 – k7)OTRk + k5CTRk]/kRF
(6.56)
~
Z2RF,k+1 = Z2RF,k(1 – TDk) + T{[(k2k7 – k1k8)OTRk – k2k5CTRk]/kRF + DkSe}
~
Z3RF,k+1 = Z3RF,k(1 – TDk) + Tk3(–k7OTRk + k5CTRk)/kRF
^
^
^
^
^
^
(6.57)
(6.58)
~
Xk = Z1RF,k – [(k8 – k7)Ok – k5Ck]/kRF
(6.59)
~
Sk = Z2RF,k – [(k2k7 – k1k8)Ok + k2k5Ck]/kRF
(6.60)
~
Ek = Z3RF,k – (– k3k7Ok – k3k5Ck)/kRF
(6.61)
~
com kRF ≡ k5k8.
Observador assimptótico para estimação de variáveis de estado não medidas (X, S e E)
Regime respirativo
^
^
^
^
^
^
~
Z1R,k+1 = Z1R,k(1 – TDk) + T[(k9 – k7)OTRk – (k6 – k5)CTRk]/kR
~
Z2R,k+1 = Z2R,k(1 – TDk) + T{k1[–k9OTRk + k6CTRk]/kR + DkSe}
~
Z3R,k+1 = Z3R,k(1 – TDk) + Tk4(k7OTRk – k5CTRk]/kR
^
^
^
^
^
^
(6.62)
(6.63)
(6.64)
~
Xk = Z1R,k – [(k9 – k7)Ok + (k6 – k5)Ck]/kR
(6.65)
~
Sk = Z2R,k – (– k1k9Ok – k1k6Ck)/kR
(6.66)
~
Ek = Z3R,k – (k4k7Ok + k4k5Ck)/kR
(6.67)
~
com kR ≡ k5k9 – k6k7.
6.4.3 Projecto de estimadores de cinética
-1
T
T
Introduzindo a transformação ψ ≡ Ks ξs e fazendo ξs = ξ1 = [O C] obtém-se para cada
regime metabólico:
⎡ψ 1, RF ⎤
1
≡
ψ RF ≡ ⎢
⎥
%
⎣ψ 2, RF ⎦ k RF
⎡ − k8
⎢k
⎣ 7
0 ⎤ ⎡O ⎤
1 ⎡ −k8O ⎤
=
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
k5 ⎦ ⎣C ⎦ k%RF ⎣( k7O + k5C ) ⎦
RF (6.68)
⎡ψ 1, R ⎤ 1
ψR ≡ ⎢
⎥≡ %
⎣ψ 2, R ⎦ k R
⎡ − k9
⎢k
⎣ 7
− k 6 ⎤ ⎡ O ⎤ 1 ⎡ ( − k9 O − k 6 C ) ⎤
= ⎢
⎥
k5 ⎥⎦ ⎢⎣C ⎥⎦ k%R ⎣ ( k7 O + k5C ) ⎦
179
R (6.69)
Com estas transformações e usando as equações (6.28) e (6.29) é possível escrever as
seguintes equações de estimação para as diferentes cinéticas de crescimento:
Regime respiro-fermentativo
dψˆ1, RF
dt
dψˆ 2, RF
dt
d µˆ so, RF
dt
d µˆ sr, RF
dt
k
= µˆ so, RF Xˆ − Dψ 1, RF − 8 OTR + ω11 (ψ 1, RF − ψˆ1, RF )
k%RF
RF (6.70)
1
= µˆ sr, RF Xˆ − Dψ 2, RF +
( k7OTR − k5CTR ) + ω12 (ψ 2, RF −ψˆ 2, RF )
%
k RF
RF (6.71)
= ω 21 (ψ 1, RF − ψˆ1, RF )
RF (6.72)
= ω 22 (ψ 2, RF − ψˆ 2, RF )
RF (6.73)
Regime respirativo
dψˆ1, R
dt
dψˆ 2, R
dt
d µˆ so, R
dt
d µˆ eo, R
dt
1
= µˆ so, R Xˆ − Dψ 1, R + ( −k9OTR + k6CTR ) + ω11 (ψ 1, R − ψˆ1, R )
%
kR
R (6.74)
1
= µˆ eo, R Xˆ − Dψ 2, R + ( k7OTR − k5CTR ) + ω13 (ψ 2, R − ψˆ 2, R )
k%
R (6.75)
= ω 21 (ψ 1, R − ψˆ1, R )
R (6.76)
= ω 23 (ψ 2, R − ψˆ 2, R )
R (6.77)
R
A utilização em alternância dos dois esquemas de estimação é feita de acordo com a
explicação anteriormente dada para o problema de estimação de estado: os valores
r
o
estimados de µs e µe constituem o critério para determinar o regime do processo: respiror
o
fermentativo se µs for positivo ou respirativo se µe for positivo. A mudança de valor
estimado da taxa específica de crescimento de positivo para negativo indica uma transição
180
de regime.
Dado que as equações do estimador dependem da concentração de biomassa haverá
necessidade de estimar esse valor em linha. As estimativas são conseguidas através do
observador assimptótico anteriormente apresentado.
A sintonização dos ganhos das equações de estimação é efectuada de forma a conduzir a
uma dinâmica de resposta de 2ª ordem com coeficientes constantes (ou quase constantes).
Assim, tem-se:
ω11,k = 2ζ1/τ1 – (Xk – Xk-1)/(TXk)
(6.78)
ω12,k = 2ζ2/τ2 – (Xk – Xk-1)/(TXk)
(6.79)
ω13,k = 2ζ3/τ3 – (Xk – Xk-1)/(TXk)
(6.80)
2 -1
ω21,k = (Xkτ1)
(6.81)
2 -1
ω22,k = (Xkτ2)
(6.82)
2 -1
ω23,k = (Xkτ3)
(6.83)
Uma alternativa de sintonização será considerar ω1i,k constante e ω2i,k = Xkγi para i = 1,
2 e 3 (abordagem de BASTIN e DOCHAIN, 1990).

A validação das estimativas das taxas específicas de crescimento é realizada na prática
com auxílio da estimação da taxa de produção de dióxido de carbono (CER) e respectiva
comparação (de acordo com a aproximação sugerida em § 4.5.3) com o valor medido da
taxa de transferência (CTR) por análise da fase gasosa:
o
^
r
o
(CER) ≡ (k7µ^ s + k8µ^ s + k9µ^ e ) ≅ CTR
(6.84)
Alternativamente, pode usar-se o quociente respiratório como critério de validação da
estimação:
^
(RQ) ≡
( k µˆ + k µˆ + k µˆ ) M
( k µˆ + k µˆ ) M
7
o
s
8
5
o
s
r
s
9
6
o
e
o
e
O2
CO2
≅
CTR M O2
OTR M CO2
(6.85)
181
6.4.4 Resultados
A experiência de simulação foi executada com as seguintes condições iniciais:
X(0)
S(0)
E(0)
O(0)
C(0)
-1
-1
-1
-1
-1
g.L
0.1
g.L
0.02
g.L
0.15
g.L
0.0066
g.L
0.008
V(0)
Se(0)=Se(t)
L
g.L
3.5
10
-1
Fez variar-se o caudal volumétrico de alimentação de substrato em degraus de forma à
fermentação passar pelos vários regimes metabólicos. A Figura 6.4 mostra essa variação,
juntamente com o aumento do volume do reactor e a taxa de diluição calculada como a
razão entre o caudal e o volume de reactor.
F(t) [L/h]
0.4
(a)
0.2
0
0
V(t) [L]
6
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
(b)
5
4
0
0.1
D(t) [1/h]
2
(c)
0.05
0
0
Figura 6.4 Perfis de caudal de alimentação (a), volume do reactor (b) e taxa de diluição (c)
O simulador disponibiliza aos algoritmos de estimação somente as variáveis relevantes,
a saber: concentrações de oxigénio dissolvido e dióxido de carbono dissolvido, taxas de
transferência para esses componentes, o volume do reactor e o caudal de alimentação.
Estes dados são utilizados com um período de amostragem de 6 minutos.
182
6.4.4.1 Estimação de estado
Os resultados de estimação de estado são baseados na medição das concentrações de
oxigénio e dióxido de carbono dissolvidos. De notar que no caso de não ser possível a
medição directa da concentração de dióxido de carbono dissolvido, esta pode ser
indirectamente inferida por medição da composição da fase gasosa usando as equações
(4.45), (4.46) e (4.49).
Os valores gerados pelo simulador foram corrompidos com ruído, de forma a obter-se
pseudo medições dessas variáveis. Considerou-se para as duas medições um desvio padrão
de 10% e média nula.
A variação ao longo da fermentação das medições das concentrações de oxigénio (a) e
dióxido de carbono (b) dissolvido, está representada na Figura 6.5.
-3
x 10
Om(t) [g/L]
7
(a)
6
5
4
3
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
(b)
Cm(t) [g/L]
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
Figura 6.5 Perfis das pseudo medidas das concentrações de oxigénio dissolvido (a) e de dióxido de
carbono dissolvido (b)
A variação ao longo do tempo das pseudo medidas de taxa de transferência de oxigénio
(a) e da taxa de transferência de dióxido de carbono (b) é mostrada na Figura 6.6.
OTRm(t) [g/(L.h)]
183
0.4
(a)
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
CTRm(t) [g/(L.h)]
0.6
(b)
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Figura 6.6 Perfis de pseudo medidas de taxa de transferência de oxigénio (a) e taxa de transferência
de dióxido de carbono (b)
As equações da dinâmica do vector Z do observador anteriormente apresentado são
integradas com as seguintes condições iniciais:
-1
Tabela 6.6 Valores iniciais para as equações do observador (g.L )
^
^
^
^
^
^
Z1RF,0
Z2RF,0
Z3RF,0
Z1R,0
Z2R,0
Z3R,0
0.106
0.042
0.131
0.097
0.052
0.132
Estes valores são calculados a partir da equação matricial de definição de Z em que os
seus componentes (Z1, Z2 e Z3) são função respectivamente de X, S e E. Assim, conhecendo
os valores iniciais destas três variáveis de estado, normalmente obtidos por análises em
diferido, torna possível conseguir-se uma boa estimativa dos valores iniciais de Z.
As estimativas das concentrações de biomassa, glucose e etanol estão patentes na figura
seguinte, onde é evidente o bom comportamento do observador, especialmente para os
casos da biomassa e do etanol. Saliente-se que o traço contínuo em cada gráfico representa
o valor previsto pelo simulador mas não usado pelo observador.
X(t) [g/L]
2
R
RF
R
RF
R
RF
R
(a)
1
0
0
S(t) [g/L]
RF
184
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
(b)
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
E(t) [g/L]
0.3
(c)
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
Figura 6.7 Perfis das estimativas das concentrações de biomassa (a), glucose (b) etanol (c). (Traço valores pseudo reais, Pontos - valores estimados)
Os valores estimados para a concentração de glucose apresentam, contudo, um certo
desfasamento para os valores pseudo reais, especialmente na parte final da experiência.
Estimativas realizadas na ausência de ruído mostram a inexistência deste desfasamento.
6.4.4.2 Estimação da cinética
A mesma experiência de simulação anteriormente apresentada para estimação de
estados foi utilizada para estimação das taxas específicas de reacção mas sem adição de
ruído às variáveis pseudo medidas.
A sintonização dos ganhos das equações de estimação foi realizada por especificação da
constante de tempo (τ) e do coeficiente de amortecimento (ζ) que conduzem a uma
dinâmica de resposta de 2ª ordem. Nas três figuras que se seguem são apresentados os
resultados da estimação das taxas específicas de crescimento. Para cada figura são expostas
duas situações de estudo: a parte (a) refere-se ao efeito da variação do parâmetro ζ para τ
constante e igual a 0.15; a parte (b) refere-se ao efeito da variação do parâmetro τ para ζ
185
constante e igual a 1.0. As curvas são identificadas pelas designações A.1 a A.4 (ver
Tabela 6.7) ou B.1 a B.4 (ver Tabela 6.8) que correspondem a diferentes valores dos
ganhos. De salientar que os valores pseudo reais das taxas específicas de crescimento
surgem nas figuras (linhas a cheio) somente para comparação das estimativas, não sendo,
obviamente, utilizados pelo estimador.
O desempenho do estimador é traduzido em termos do critério integral do erro absoluto
pesado pelo tempo (ITAE):
ITAE = ∫ t ε ( t ) dt
tf
(6.86)
0
em que neste caso ε(t) = µ(t) – µ^ (t) com t a variar desde o instante zero até ao fim da
fermentação (instante final, tf).
0.4
(a)
Real
A.1
A.2
A.3
A.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.4
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
(b)
16
18
Real
B.1
B.2
B.3
B.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Figura 6.8 Taxa específica de crescimento para a respiração da glucose:
(a) efeito da variação de ζ para τ constante, (b) efeito da variação de τ para ζ constante
(traço contínuo: valores pseudo reais, pontos ou traço descontínuo: valores estimados)
0.06
186
Real
A.1
A.2
A.3
A.4
(a)
0.04
0.02
0
0
0.06
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Real
B.1
B.2
B.3
B.4
(b)
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Figura 6.9 Taxa específica de crescimento para a fermentação da glucose:
0.15
(a)
Real
A.1
A.2
0.1
A.3
A.4
0.05
0
0
0.15
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
(b)
16
18
Real
B.1
B.2
0.1
B.3
B.4
0.05
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Figura 6.10 Taxa específica de crescimento para a respiração do etanol:
187
A Tabela 6.7 apresenta valores do critério ITAE para os quatro casos de variação do
coeficiente de amortecimento ζ para período natural de oscilação τ constante.
Tabela 6.7 Efeito da variação de ζ para τ = 0.15 h
ζ1=ζ2=ζ3
ITAE
o
r
o
Caso
[–]
µs
µs
µe
A.1
0.25
2.9
0.10
0.73
A.2
0.50
2.3
0.095
0.78
A.3
1.0
3.2
0.11
1.2
A.4
1.25
3.9
0.12
1.4
Identicamente, a Tabela 6.8 apresenta valores do critério ITAE para os quatro casos de
variação do parâmetro τ para ζ constante.
Tabela 6.8 Efeito da variação de τ para ζ = 1.0
τ1=τ2=τ3
ITAE
o
r
o
Caso
[h]
µs
µs
µe
B.1
0.15
3.2
0.11
1.2
B.2
0.10
2.2
0.09
0.83
B.3
0.05
1.2
0.05
0.42
B.4
0.01
0.4
0.02
0.14
As três figuras anteriormente apresentadas permitem evidenciar uma dinâmica de
convergência dos valores estimados em concordância com a resposta típica de 2ª ordem.
Mostra-se que diminuindo τ se obtêm respostas mais rápidas, enquanto que diminuindo ζ
são produzidas respostas mais oscilatórias. Pode também concluir-se que ζ igual a 1
constitui a fronteira entre respostas oscilatórias e não oscilatórias.
Apesar de as estimativas das taxas específicas de crescimento terem sido comparadas
com valores pseudo reais, na prática a validação da estimação é feita por comparação dos
valores calculados do quociente respiratório usando as cinéticas estimadas (6.85) com os
valores calculados usando a análise da fase gasosa. A Figura 6.11 apresenta a comparação
entre o RQ estimado usando as estimativas das cinéticas (τ = 0.01 h e ζ = 1.0) e o RQ
pseudo real (obtido no simulador).
188
3
Real
Estimado
2.5
RQ(t)
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Figura 6.11 Validação da estimação através do quociente respiratório

Em alternativa ao estimador de dinâmica de resposta de 2ª ordem, testou-se um
estimador baseado num observador, constituído pelas mesmas equações do EDSO, mas com
ganhos ω1i,k constantes e ω2i,k = Xkγi (abordagem de BASTIN e DOCHAIN, 1990). A Tabela 6.9
apresenta três situações de sintonização para os ganhos e o respectivo valor para o critério
ITAE.
Tabela 6.9 Valores dos ganhos para o estimador baseado no observador
ω11=ω12=ω13
-1
γ21=γ22=γ23
2 -2 -2
ITAE
o
r
o
Caso
[h ]
[L g h ]
µs
µs
µe
I
10.0
1000.0
1.0
0.055
0.26
II
5.0
1000.0
1.3
0.051
0.27
III
3.5
300.0
1.9
0.11
0.63
Os valores estimados para as três cinéticas são mostrados na Figura 6.12.
6.5 OBSERVADORES E ESTIMADORES PARA A FERMENTAÇÃO ETANÓLICA
0.4
189
Real
I
II
III
(a)
0.2
0
0
0.06
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
(b)
0.02
0.15
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
(c)
16
18
Real
I
II
III
IV
0.1
0.05
0
0
18
Real
I
II
III
IV
0.04
0
0
16
2
4
6
8
10
Tempo [h]
12
14
16
18
Figura 6.12 Taxas específica de crescimento: (a) respiração da glucose, (b) fermentação da glucose,
(c) respiração do etanol (traço contínuo: valores pseudo reais, pontos ou traço descontínuo: valores
estimados)
A análise desta figura revela que a convergência é variável com o tempo, isto é, a
resposta torna-se mais rápida e também mais oscilatória à medida que se aproxima do fim
da experiência.
6.5 Observadores e estimadores para a fermentação
etanólica
6.5.1 Introdução
Não abundam na literatura exemplos de aplicação de algoritmos de estimação aplicados
à fermentação etanólica. DOCHAIN e PAUSS (1988) fazem a aplicação de um estimador para o
cálculo da taxa específica de crescimento numa fermentação etanólica através da medição
da concentração de etanol dissolvido. RENARD (1990) utiliza as metodologias desenvolvidas
por BASTIN e DOCHAIN (1990) para estimação da glucose e da taxa específica de crescimento
190
a partir da taxa de transferência de dióxido de carbono medida; ZHU et al. (1994) recorrem
a rede neuronais para estimação das concentrações de biomassa, glucose e etanol com base
em leituras em diferido anteriores dessas variáveis de estado.

Conforme referido em § 3.2.3.2 a concentração de etanol era determinada em diferido
por cromatografia gasosa. Decorriam à época preparativos para automatização da
amostragem e da análise, de forma a obter uma determinação em linha. Deste modo,
pretendeu estudar-se a possibilidade de utilização de valores medidos de etanol para
estimação das concentrações de glucose e de biomassa.
6.5.2 Projecto de observadores e estimadores
A construção do observador de estado é baseada no modelo da fermentação etanólica
estabelecido em § 4.7 e que se apresenta novamente:
⎡X ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
d ⎢ S ⎥ ⎢ −k1 ⎥
⎥
µX − D⎢ ⎥+ ⎢ e⎥ −⎢
=
⎢E⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
dt ⎢ E ⎥ ⎢ k2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ C ⎦ ⎢⎣ k3 ⎥⎦
⎣ C ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣CTR ⎦
(4.74)=(6.87)
Define-se uma partição do vector de estado em duas partes ξa, ξb como se segue
ξa = X,
T
ξb = [S E C]
(6.88)
Neste caso simples a matriz de permutação de linhas é dada pela matriz identidade, isto
é, L = I4. As partições induzidas em K, F e Q são as seguintes:
Ka = 1,
T
Kb = [–k1 k2 k3]
Fa – Qa = 0,
(Fb – Qb)T = [DSe 0 –CTR]
(6.89)
(6.90)
T
que a matriz A = [k1 –k2 –k3], obtém-se:
⎡ Z1 ⎤ ⎡ S + k1 X ⎤
Z ≡ ⎢⎢ Z 2 ⎥⎥ ≡ ⎢⎢ E − k2 X ⎥⎥
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦ ⎢⎣ C − k3 X ⎥⎦
(6.91)
191
⎡ Z1 ⎤
⎡ Z1 ⎤ ⎡ DSe ⎤
dZ d ⎢ ⎥
= ⎢ Z 2 ⎥ = − D ⎢⎢ Z 2 ⎥⎥ + ⎢⎢ 0 ⎥⎥
dt dt
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦ ⎢⎣ −CTR ⎥⎦
(6.92)
A dinâmica do vector Z é, neste caso, independente da matriz A, logo independente dos
coeficientes de rendimento. Tal acontece pelo facto de Fa – Qa ser nulo.
Para a situação em estudo, tinha-se acesso em linha à concentração de etanol dissolvido.
Considerando ξ1 como a variável medida em linha (etanol) e ξ2 o vector das variáveis não
medidas em linha (biomassa, glucose e dióxido de carbono), torna-se evidente a
possibilidade de reescrita do vector Z através da combinação linear desses dois vectores
conforme foi apresentado em (6.12), com as seguintes definições de A1 e A2:
T
A1 = [0 1 0]
⎡ k1
A = ⎢⎢ − k2
⎢⎣ −k3
T
2
1 0⎤
0 0 ⎥⎥
0 1 ⎥⎦
(6.93)
As equações anteriores poderiam servir de base à construção de um observador
assimptótico para o qual é necessário o conhecimento da matriz K. Pode efectuar-se,
contudo, uma abordagem diferente ao problema da estimação de estado na qual não seja
necessário o conhecimento dos coeficientes de rendimento.
Da equação de introdução do vector Z (6.91), pode escrever-se:
Z2 ≡ E – k2X
(6.94)
cuja dinâmica é dada por
.
Z2 = –DZ2
(6.95)
Introduzindo a seguinte definição
ψ ≡ k2 X
(6.96)
com a correspondente dinâmica
.
ψ = µX – DY
(6.97)
192
obtém-se
ψm = E – Z2
(6.98)
em que ψm representa uma “pseudo medida” de ψ.
Usando esta transformação na variável medida, é possível projectar um observador para
ψ, de equação:
dψˆ
ˆ m − Dψ m + ωψ m (ψ m −ψˆ )
= µψ
dt
(6.99)
Este observador é do tipo adaptativo e apresenta uma estrutura que se adequa à equação
genérica apresentada em (6.2). Note-se que na equação intervém o valor estimado da taxa
específica de crescimento, obtido através do seguinte estimador:
d µˆ
= λψ m (ψ m − ψˆ )
dt
(6.100)
em que ω e λ são parâmetros estritamente positivos à disposição do utilizador, isto é, ωψm
e λψm representam os ganhos que surgem em (6.2) e (6.29).
Finalmente, o estimador da taxa específica de crescimento será constituído pelas
seguintes equações resultantes das discretizações de EULER das equações (6.95), (6.98),
(6.99) e (6.100):
Estimador da taxa específica de crescimento para a fermentação etanólica
^
^
Z2,k+1 = Z2,k(1 – TDk)
(6.101)
^
ψm,k = Ek – Z2,k
^
^
^
^
(6.102)
^
^
ψk+1 = ψk + T[µkψm,k – Dkψm,k + ωψm,k(ψm,k – ψk)]
^
µk+1 = µk + Tλψm,k(ψm,k – ψk)]
(6.103)
(6.104)
Para a estimação das variáveis de estado não medidas em linha, podem escrever-se as
seguintes equações de observadores de convergência assimptótica:
(
)
dSˆ
= − µˆ Zˆ1 − Sˆ + DSe − DS
dt
(6.105)
193
dXˆ
= µˆ Xˆ − DXˆ
dt
(6.106)
A discretização das duas equações anteriores é efectuada pela aproximação de EULER de
1ª ordem:
^
^
^
^
^
^
^ ^
^
^
Sk+1 = Sk + T[–µk(Z1 – Sk) + DkSe – DkSk]
(6.107)
^
Xk+1 = Xk + T[µkXk – DkXk]
(6.108)
com a estimação de Z1 dada por:
^
^
Z1,k+1 = Z1,k(1 – TDk) + DkSe
(6.109)
^
^
Os valores iniciais para as variáveis desconhecidas Z1, Z2 e ψm foram estimados usando
as suas definições:
^
Z2,0 ≡ E0 – k2X0
(6.110)
^
Z1,0 ≡ S0 + k1X0
(6.111)
^
ψ0 ≡ k2X0
(6.112)
Para o cálculo destes valores utilizaram-se os valores de k1 e k2 obtidos em § 5.5.2. Os
valores iniciais encontram-se na Tabela 6.10.
Tabela 6.10 Valores iniciais para o estimador da taxa específica de crescimento
^
E0
^
^
ψ
0
µ^ 0
X0
S0
NTU
mmole.L
mmole.L
mmole.L
mmole.L
mmole.L
h
13
54.7
0.0
57.2
-3.9
3.9
0 a 0.2
-1
Z1,0
-1
Z2,0
-1
-1
-1
-1
6.5.3 Resultados
Utilizou-se a experiência EXP_08 para teste e validação dos algoritmos de observação e
estimação. Os dados experimentais foram obtidos com um tempo de amostragem de cinco
minutos (T = 5 min.). Na Figura 6.13 apresenta-se o perfil de concentração do etanol com
os pontos experimentais obtidos em diferido e os pontos “pseudo em linha” obtidos por
interpolação linear. Na curva é visível a existência de três zonas correspondentes a cada
194
um dos momentos de adição de açúcar. Em cada zona, o reactor pode ser visto como
funcionando em modo descontínuo. Os perfis de taxa de diluição e volume foram
apresentados no capítulo anterior.
200
180
160
Etanol [mmole/L]
140
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
Figura 6.13 Perfil de concentração de etanol
-3
-1
-1
Os parâmetros utilizados para os ganhos dos estimadores foram, ω = 1×10 L.mole .h
-6
2
-2
-2
e λ = 1×10 L .mmole .h . Estes parâmetros foram obtidos por tentativa e erro.
Na Figura 6.14 apresentam-se várias curvas de valores estimados de taxa específica de
crescimento com o tempo. Cada curva corresponde a diferentes valores iniciais de taxa
específica de crescimento (valor desconhecido). Verifica-se um bom comportamento do
estimador face aos parâmetros utilizados para os ganhos do estimador: a estimação é
estável e sem oscilações. Verifica-se também uma rápida convergência das estimativas
face a diferentes estimativas iniciais. Após 15 horas, praticamente todas as estimativas são
coincidentes.
195
Taxa Especfica de crescimento [1/h]
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
Figura 6.14 Valores estimados de taxa específica de crescimento
A Figura 6.15 evidencia o desempenho dos observadores, sendo de realçar o excelente
comportamento do estimador da concentração de açúcar em especial na determinação do
momento em que ocorre o consumo total de glucose. Note-se que os valores medidos não
foram utilizados pelo estimador. Relativamente à estimação do valor da biomassa verificase um ligeiro afastamento em relação ao valor medido por turbidimetria em especial nos
dois pontos de adição de glucose. É de referir, contudo, um erro sistemático existente após
a última adição de glucose: o cálculo do valor da biomassa (turbidez) por diluição no
instante da introdução dos 8 litros de alimentação é superior ao valor medido,
aproximando-se do valor estimado. O erro sistemático foi causado por uma perturbação
verificada na célula de medição do turbidimetro devida à produção crescente de gás.
A Figura 6.16 apresenta as estimativas da variável ψ verificando-se um comportamento
quase perfeito do estimador face aos valores da pseudo medida ψm.
Biomassa [NTU]
600
196
(a)
valores estimados
400
200
0
0
Glucose [mmole/l]
60
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
(b)
40
20
valores estimados
0
0
5
10
15
Figura 6.15 Perfis de concentração de biomassa (a) e de glucose (b)
200
180
valores estimados
160
Y [mmole/L]
140
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
Figura 6.16 Estimação da variável ψ e valores da pseudo medida ψm
45
6.6 OBSERVADORES E ESTIMADORES PARA A SÍNTESE ENZIMÁTICA DE AMPICILINA
197
Com os valores estimados de ψ é possível estimar o coeficiente de rendimento k2
^
através da razão ψ/X. A Figura 6.17 apresenta as estimativas de k2 ao longo do tempo em
que é visível uma variação dos valores entre 0.52 e 0.30 (média de 0.38 ± 0.04). Recordese que o valor constante, obtido por identificação no capítulo 5, foi 0.30 ± 0.04.
0.55
0.5
k2 [mmole/L/NTU]
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0
5
10
15
20
25
Tempo [h]
30
35
40
45
Figura 6.17 Estimavas em linha do coeficiente de rendimento k2
6.6 Observadores e estimadores para a síntese enzimática
de ampicilina
6.6.1 Introdução
Não existem na literatura exemplos de aplicação de técnicas de estimação aplicados à
síntese enzimática de ampicilina. A razão para a ausência de trabalhos na área de
monitorização avançada deve-se à praticamente inexistente produção industrial de
ampicilina por tecnologia enzimática.
Deste modo, procurou acompanhar-se a fase de desenvolvimento de uma alternativa
198
enzimática à síntese tradicional por via química, através da aplicação de metodologias de
estimação de estados e de cinéticas.
Decorriam à época preparativos para a automatização da amostragem e da análise, de
forma a obter-se medições em linha.
6.6.2 Projecto de observadores assimptóticos
O projecto do observador de estado é baseado no modelo estabelecido em § 4.8 e que se
apresenta novamente:
⎡ S1 ⎤ ⎡ −k1
⎢ S ⎥ ⎢ −1
2⎥
⎢
⎢
d
⎢ P1 ⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ P2 ⎥ ⎢ k5
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ k6
0 k2 ⎤
⎡ S1 ⎤ ⎡ F1 ⎤
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1 0 ⎥ ⎡ϕ1 ⎤
⎢ S 2 ⎥ ⎢ F2 ⎥
k3 k4 ⎥ ⎢⎢ϕ 2 ⎥⎥ − D ⎢ P1 ⎥ + ⎢ F3 ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 −1⎥ ⎢⎣ϕ 3 ⎥⎦
⎢ P2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
k7 0 ⎥⎦
(4.88)=(6.113)
Os valores de coeficientes de rendimento foram estimados por considerações
estequiométricas. No capítulo anterior considerou-se o valor unitário para todos os
coeficientes. O facto de a matriz K de coeficientes de rendimento não ser uma matriz
completa (a sua característica é igual a dois) possibilita a estimação de três variáveis de
estado pela medição em linha das restantes duas variáveis de estado (q = 2).
Define-se uma partição do vector de estado [ξa ξb] como se segue
T
T
ξa = [S1 P1],
ξb = [S2 P2 P3]
(6.114)
As correspondentes partições induzidas para K, F e Q são as seguintes:
⎡ −k
Ka = ⎢ 1
⎣ 0
0
k3
⎡ −1 −1 0 ⎤
k2 ⎤
, K b = ⎢⎢ k5 0 −1⎥⎥
⎥
k4 ⎦
⎢⎣ k6 k7 0 ⎥⎦
T
(Fa – Qa) = [F1 F3],
T
(Fb – Qb) = [F2 0 0]
(6.115)
(6.116)
A matriz A, calculada pela equação (6.9), é dada por:
⎡ 1
⎢− k
T
A =⎢ 1
⎢ 1
⎢ k
⎣ 3
k5
k1
0
k6 ⎤
k1 ⎥
⎥
k7 ⎥
− ⎥
k3 ⎦
(6.117)
199
Fazendo a transformação de estado (Z ≡ Aξa + ξb) obtém-se,
Z1 = (–1/k1)S1 + (1/k3)P1 + S2
(6.118)
Z2 = (k5/k1)S1 + P2
(6.119)
Z3 = (k6/k1)S1 + (–k7/k3)P1 + P3
(6.120)
T
em que Z = [Z1 Z2 Z3], com a correspondente dinâmica:
⎡ 1
⎢−
k
⎡ Z1 ⎤
⎡ Z1 ⎤ ⎢ 1
⎢ k
dZ d ⎢ ⎥
= ⎢ Z 2 ⎥ = − D ⎢⎢ Z 2 ⎥⎥ + ⎢ 5
dt dt
k
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦ ⎢ 1
⎢ k6
⎢
⎢⎣ k1
1 ⎤
⎥
k3 ⎥
⎡F ⎤
⎥ ⎡ F1 ⎤ ⎢ 2 ⎥
0 ⎥⎢ ⎥+⎢ 0 ⎥
⎥ ⎣ F3 ⎦ ⎢ 0 ⎥
⎣ ⎦
k ⎥
− 7⎥
k3 ⎥⎦
(6.121)
Seja ξ1 o vector de variáveis de estado medidas em linha. Para a situação em estudo
tinha-se acesso às concentrações de fenilglicina (P1) e 6-APA (S1) por HPLC (constituem
os dois primeiros picos do cromatograma). Deste modo faz-se coincidir o vector ξa com o
vector ξ1. Pretendem estimar-se as concentrações de MFG, ampicilina e metanol, que
constituem os elementos do vector ξ1 (ou ξb).
O estimador assimptótico é escrito usando as equações (6.13) e (6.14) como se segue:
⎡ 1
⎢−
ˆ
ˆ
⎡ Z1 ⎤
⎡ Z1 ⎤ ⎢ k1
ˆ
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢ k
dZ d ˆ
= ⎢ Z 2 ⎥ = − D ⎢ Zˆ 2 ⎥ + ⎢ 5
dt dt ⎢ ⎥
⎢ ˆ ⎥ ⎢ k1
ˆ
Z
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣ Z 3 ⎥⎦ ⎢ k
6
⎢
⎢⎣ k1
⎡ 1
⎢−
⎡ Sˆ2 ⎤ ⎡ Zˆ1 ⎤ ⎢ k1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ k5
⎢ Pˆ2 ⎥ = ⎢ Zˆ 2 ⎥ − ⎢
⎢ ˆ ⎥ ⎢ ˆ ⎥ ⎢ k1
⎣⎢ P3 ⎦⎥ ⎣⎢ Z 3 ⎦⎥ ⎢ k6
⎢
⎢⎣ k1
1 ⎤
⎥
k3 ⎥
⎥ ⎡S ⎤
0 ⎥ ⎢ 1⎥
⎥ ⎣ P1 ⎦
k ⎥
− 7⎥
k3 ⎥⎦
1 ⎤
⎥
k3 ⎥
⎡F ⎤
⎥ ⎡ F1 ⎤ ⎢ 2 ⎥
0 ⎥⎢ ⎥+⎢ 0 ⎥
⎥ ⎣ F3 ⎦ ⎢ 0 ⎥
⎣ ⎦
k7 ⎥
− ⎥
k3 ⎥⎦
(6.122)
(6.123)
A versão implementada deste observador é constituída pelas seguintes equações obtidas
200
por discretização de EULER das duas equações anteriores:
Observador assimptótico para a síntese enzimática de ampicilina
^
^
^
^
^
^
Z1,k+1 = Z1,k(1 – TDk) + T[(–1/k1)F1,k + (1/k3)F3,k + F2,k]
(6.124)
Z2,k+1 = Z2,k(1 – TDk) + T[(k5/k1)F1,k]
(6.125)
Z3,k+1 = Z3,k(1 – TDk) + T[(k6/k1)F1,k + (–k7/k3)F3,k]
^
^
^
^
^
^
(6.126)
S2,k = Z1,k + (1/k1)S1,k – (1/k3)P1,k
(6.127)
P2,k = Z2,k – (k5/k1)S1,k
(6.128)
P3,k = Z3,k – (k6/k1)S1,k + (k7/k1)P1,k
(6.129)
6.6.3 Projecto de estimadores de cinética
O projecto do observador de estado é baseado no modelo estabelecido em § 5.6:
⎡ S1 ⎤ ⎡( k2 − k1 )
⎢S ⎥ ⎢
−1
2
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢ P1 ⎥ = ⎢ k4
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ P2 ⎥ ⎢ ( k5 − 1)
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ k6
− k2
⎤
⎡ S1 ⎤ ⎡ F1 ⎤
⎥
⎢S ⎥ ⎢F ⎥
−1 ⎥
⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥
⎡ϕ1 ⎤
( k3 − k4 )⎥ ⎢ϕ ⎥ − D ⎢ P1 ⎥ + ⎢ F3 ⎥
⎥⎣ 2⎦
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
1 ⎥
⎢ P2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
k7 ⎥⎦
(5.103)=(6.130)
T
Definindo o subvector ξs formado pelas variáveis de estado 6-APA e MFG:
T
ξs = [S1 S2]
(6.131)
com as correspondentes matrizes Ks, Fs e Qs:
⎡( k − k ) − k 2 ⎤
Ks = ⎢ 2 1
⎥,
−1 ⎦
⎣ −1
T
(Fs – Qs) = [F1 F2]
(6.132)
-1
Fazendo a transformação ψ ≡ Ks ξs, obtém-se:
⎡ψ ⎤ 1
ψ ≡ ⎢ 1⎥ = %
⎣ψ 2 ⎦ k s
⎡ −1
⎢1
⎣
k2 ⎤ ⎡ S1 ⎤ 1 ⎡ k2 S2 − S1 ⎤
=
( k2 − k1 )⎥⎦ ⎢⎣ S2 ⎥⎦ k%s ⎢⎣ S1 + ( k2 − k1 ) S2 ⎥⎦
(6.133)
~
em que ks ≡ k1 – 2k2.
A modelação das taxas de reacção ϕ (= H(ξ)ρ(ξ)) é efectuada através das taxas
T
específicas de reacção ρ = [ρ1 ρ2] com H(ξ) = diag(S1S2, S2). A escolha da partição ξs é,
201
pois justificada pelo facto de os componentes S1 e S2 constituírem os elementos da matriz
H(ξ). No caso de não se medir o componente S2 deve usar-se o estimador descrito pelas
equações (6.127) e (6.124).
O estimador para as duas taxas específicas de reacção é como se segue:
⎡ψ ⎤ 1 ⎡−1
d ⎡ψˆ1 ⎤ ⎡S1S2 0 ⎤ ⎡ ρˆ1 ⎤
=⎢
− D⎢ 1 ⎥ + ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
dt ⎣ψˆ2 ⎦ ⎣ 0 S2 ⎦ ⎣ ρˆ2 ⎦
⎣ψ 2 ⎦ k%s ⎣ 1
+k2 ⎤ ⎡ F1 ⎤
⎡ψ −ψˆ ⎤
−Ω1 ⎢ 1 1 ⎥
⎥
⎢
⎥
( k2 − k1 )⎦ ⎣F2 ⎦ ⎣ψ2 −ψˆ2 ⎦
⎡ψ1 −ψˆ1 ⎤
d ⎡ ρˆ1 ⎤
=
Ω
2⎢
⎥
dt ⎢⎣ ρˆ2 ⎥⎦
⎣ψ2 −ψˆ2 ⎦
(6.134)
(6.135)
A versão discretizada deste estimador conduz às seguintes equações:
Estimador das taxas específica de reacção para a síntese enzimática de ampicilina
~
^
^
^
ψ1,k+1 = ψ
1,k + T[S1S2ρ1,k – Dkψ1,k + (–F1 + k2F2)/ks – Ω11,k(ψ1,k – ψ1,k)]
^
~
(6.136)
^
^
^
^
ψ
2,k+1 = ψ2,k + T[S2ρ2,k – Dkψ2,k + (F1 + (k2 – k1)F2)/ks – Ω12,k(ψ2,k – ψ2,k)]
(6.137)
^
ρ^ 1,k+1 = ρ^ 1,k + TΩ21,k(ψ1,k – ψ
1,k)
(6.138)
^
ρ^ 2,k+1 = ρ^ 2,k + TΩ22,k(ψ2,k – ψ
2,k)
(6.139)
Os ganhos (Ω11, Ω12) são elementos da matriz diagonal Ω1 e os ganhos (Ω21, Ω22) são,
por sua vez, elementos da matriz diagonal Ω2. A sintonização das matrizes de ganhos foi
realizada de forma a conduzir a uma dinâmica de resposta de 2ª ordem e, alternativamente,
por colocação de pólos.
Para o estimador de dinâmica de 2ª ordem, tem-se:
–Ω11,k = 2ζ1/τ1 – (S1,kS2,k – S1,k-1S2,k-1)/(TS1,kS2,k)
(6.140)
–Ω12,k = 2ζ2/τ2 – (S2,k – S2,k-1)/(TS2,k)
(6.141)
2 -1
Ω21,k = (S1,kS2,kτ1)
2 -1
Ω22,k = (S2,kτ2)
(6.142)
(6.143)
No caso de se usar colocação de pólos os ganhos são dados por:
–Ω11,k = ω11,kS1,kS2,k = 2(1 – p1)/T
(6.144)
–Ω12,k = ω12,kS2,k = 2(1 – p2)/T
(6.145)
2
2
2
Ω21,k = 0.25ω11,kS1,kS2,k = (1 – p1) /(T S1,kS2,k)
2
202
2
(6.146)
2
Ω22,k = 0.25ω12,kS2,k = (1 – p2) /(T S2,k)
(6.147)
O mesmo ganho Ω2i,k pode ser utilizado em ambas os casos de sintonização bastando
fazer pi = 1 – T/τi.
A validação das estimativas das taxas específicas de reacção é efectuada por estimação
das concentrações dos componentes ampicilina e fenilglicina cujas medições não foram
utilizadas pelo estimador das cinéticas. As equações de estado para cada um destes
componentes permitem escrever as equações de estimação, fazendo uso das estimativas das
taxas específicas de reacção e cuja implementação discreta se segue:
^
^
^
^
^
^
^
P1,k+1 = P1,k + T[k4S1,kS2,kρ1,k + (k3 – k4)S2,kρ2,k – DkP1,k + F3,k]
^
^
^
P2,k+1 = P2,k + T[(k4 – k5)S1,kS2,kρ1,k + S2,kρ2,k – DkP2,k]
(6.148)
(6.149)
6.6.4 Resultados
6.6.4.1 Apresentação da experiência
Utilizou-se a experiência EXP_E para teste e validação dos algoritmos de estimação de
estados e estimação da cinética. A Figura 6.18 apresenta os perfis de taxa de diluição e
caudais de alimentação de reagentes em que é visível a existência de três zonas de caudal
de alimentação diferente durante a operação contínua do reactor.
O caudal molar referente à fenilglicina (F3) é considerado como entrada, uma vez que se
verifica a ocorrência de hidrólise da MFG na solução de alimentação deste reagente.
As concentrações de fenilglicina (P1), ácido 6-aminopenicilânico (S1), ampicilina (P2) e
metilfenilglicina (S2) foram determinadas por cromatografia líquida (HPLC). O respectivo
cromatograma era obtido em quinze minutos, surgindo os 4 picos pela ordem indicada.
203
0.02
D(t) [1/min]
(a)
0.015
0.01
0.005
F1, F2, F3 [mmole/L/min]
0
0
1.5
50
100
150
200
Tempo [min]
250
300
350
150
200
Tempo [min]
250
300
350
(b)
1
F2 (6-APA)
0.5
F1 (MFG)
F3 (FG)
0
0
50
100
Figura 6.18 Perfis de taxa de diluição (a) e caudais de alimentação dos reagentes (b)
6.6.4.2 Estimação de estado
Os picos correspondentes aos componentes FG e 6-APA eram obtidos passados quatro
minutos da injecção da amostra. Para efeito de validação do observador considerou que se
dispunha destas duas concentrações em cada cinco minutos (T = 5 min.), obtendo-se os
valores “pseudo medidos em linha” por interpolação linear das análises normais obtidas
cada 15-20 minutos. Deste modo, pretendeu estudar-se a possibilidade de encurtar o tempo
de análise dos quatro componentes, por medição de dois deles (os dois primeiros picos) e
estimação dos restantes. O período de amostragem de cinco minutos só será possível após
a automatização das etapas de amostragem, preparação da amostra e injecção (ver por
exemplo MESCHKE et al., 1988, TURNER et al., 1994). Na Figura 6.19 apresenta-se o perfil de
concentrações de 6-APA e FG com os pontos experimentais obtidos em diferido e os
pontos “pseudo em linha” obtidos por interpolação linear.
204
6-APA [mmole/L]
44
valores medidos
42
40
38
36
(a)
34
0
50
100
150
200
Tempo [min]
250
300
350
150
200
Tempo [min]
250
300
350
60
FG [mmole/L]
(b)
50
valores medidos
40
30
20
0
50
100
Figura 6.19 Variáveis de estado pseudo medidas em linha: (a) 6-APA, (b) FG
Excepcionalmente, durante a estimação de estado considerar-se-á k1 e k2 (coeficientes
relativos ao 6-APA) iguais a 0.7. A diferença entre considerar este valor ou o valor unitário
será ilustrado no seguimento.
As
concentrações
de
metilfenilglicina,
ampicilina
e
metanol,
designadas
respectivamente por S2, P2 e P3, estimadas através do observador assimptótico
anteriormente apresentado são mostradas na Figura 6.20, observando-se uma boa validação
do estimador por comparação com dados em diferido (não usados pelo observador). Para a
situação da estimação do metanol não foi possível validar o estimador uma vez que não se
dispunha de análises para este componente.
Na Figura 6.21 estão representadas as estimativas para a situação em que todos os
coeficientes de rendimento são unitários. A estimação da concentração de MFG aproximase bastante do valor estimado anteriormente. Para a ampicilina constata-se que a estimação
da sua concentração se afasta do valor medido.
MeOH [mmole/L]
(a)
80
205
valores medidos
valores estimados
60
40
0
Amp [mmole/L]
MFG [mmole/L]
8
6
50
100
150
200
Tempo [min]
250
300
350
(b)
4
valores medidos
valores estimados
2
0
0
50
50
100
150
200
Tempo [min]
250
300
350
50
100
150
200
Tempo [min]
250
300
350
(c)
40
30
20
0
Figura 6.20 Variáveis de estado estimadas em linha: (a) MFG, (b) Ampicilina, (c) Metanol
Amp [mmole/L]
8
6
(a)
4
valores medidos
2
valores estimados (k1=k2=0.7)
0
0
50
100
150
200
Tempo [min]
250
300
350
90
MFG [mmole/L]
(b)
80
valores medidos
70
60
50
40
0
50
100
150
200
Tempo [min]
250
300
350
Figura 6.21 Comparação entre as estimativas para k1 = k2 =0.7 e k1 = k2 =1.0
206
Do ponto de vista de operação do processo, a redução de 15 min. (tempo para obter os 4
picos de FG, 6-APA, AMP e MFG respectivamente, por HPLC) para 5 min. no tempo
morto de controlo é crucial para aplicação de técnicas de controlo digital em que
normalmente se exige um tempo de amostragem no mínimo 10 vezes inferior à constante
de tempo característico do processo (neste caso, τ = 90 min.).
6.6.4.3 Estimação de cinética
Os resultados que se apresentam de seguida foram obtidos através de duas metodologias
de sintonização: dinâmica de resposta de 2ª ordem e por colocação de pólos. Os valores
dos parâmetros de sintonização são os seguintes:
Tabela 6.11 Parâmetros de sintonização dos estimadores
Colocação de pólos
Dinâmica de 2ª ordem
p
τ [min]
ζ
ψ1
0.75
20
0.75
ψ2
0.75
20
0.75
Os valores iniciais utilizados para o cálculo recursivo das equações do estimador são
mostrados na tabela seguinte:
Tabela 6.12 Valores iniciais para o estimador de cinéticas
^
ψ
1,0
^
ψ
2,0
-1
ρ^ 1,0
-1
ρ^ 2,0
-1
mmole.L
mmole.L
L.mmole min
-25.3
-60.8
1×10
-4
-1
h
-1
1×10
-4
Na Figura 6.22 apresentam-se os perfis das variáveis ψ1 e ψ2. São comparados os
valores pseudo medidos calculados pela equação (6.133) com os valores estimados pelas
equações (6.136) e (6.137) para os dois métodos de sintonização. É visível a boa
coincidência entre os valores estimados e os valores pseudo medidos.
Na Figura 6.23 apresentam-se as estimativas das taxas específicas de reacção. Os dois
métodos de sintonização demonstram uma certa similitude entre os resultados obtidos.
20
207
(a)
10
0
-10
valores pseudo medidos
-20
valores estimados (EDSO)
valores estimados (c. polos)
-30
0
-45
50
100
150
200
250
Tempo [min]
300
350
400
(b)
-50
-55
valores pseudo medidos
-60
-65
0
50
100
150
200
250
Tempo [min]
300
350
400
Figura 6.22 Perfis das variável ψ1 (a) e ψ2 (b)
-4
2.5
x 10
(a)
2
1.5
1
0
50
100
150
200
250
Tempo [min]
300
350
400
-3
2
x 10
(b)
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
Tempo [min]
300
350
400
Figura 6.23 Perfis de estimativas das taxas específicas de reacção (a) ρ1, (b) ρ2
208
Os valores das estimativas das taxas específicas de reacção permitem calcular as taxas
de reacção. Desse modo, tem-se:
^ =ρ
^ S S
^
^
^
^
^
ϕ
1,k
1,k 1,k 2,k ϕ2,k = ρ2,kS2,k e ϕ3,k = ϕ1,k – ϕ2,k
(6.150)
Estes valores são apresentados na figura seguinte:
0.4
(a)
0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Tempo [min]
(b)
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Tempo [min]
0.4
(c)
0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Tempo [min]
Figura 6.24 Perfis de estimativas das taxas de reacção (a) ϕ1, (b) ϕ2, (c) ϕ3
A validação da estimação das cinéticas é efectuada através do cálculo das concentrações
de fenilglicina e ampicilina conforme equações (6.148) e 6.149) empregando os valores
estimados das taxas específicas de reacção. A Figura 6.25 expõe esta validação onde se
confirma o bom desempenho de ambos os estimadores. No caso da ampicilina há uma
diferença acentuada entre a estimativa e o valor obtido por medição em HPLC para os dois
primeiros pontos após o tempo zero. Nota-se também que as estimativas de ampicilina que
usam as taxas de reacção estimadas pelo EDSO apresentam uma menor diferença para os
valores medidos experimentalmente.
A Figura 6.26 ilustra a variação dos ganhos utilizados em cada estimador.
FG [mmole/L]
60
209
(a)
50
40
valores medidos
30
20
0
50
100
150
200
250
Tempo [min]
300
350
400
8
Amp [mmole/L]
(b)
6
4
valores medidos
2
0
0
50
100
150
200
250
Tempo [min]
300
350
400
Figura 6.25 Validação da estimação das cinéticas: comparação entre valores medidos e valores
estimados para (a) concentração de fenilglicina, (b) ampicilina
-2
10
-5
10
(a)
(b)
-6
10
-3
10
-7
10
-8
10
-4
10
-9
10
-5
10
-10
0
100
200
300
400
10
0
100
Tempo [min]
200
300
400
300
400
Tempo [min]
(c)
-4
10
(d)
0.1
-5
10
0.09
-6
10
0.08
0.07
0
-7
100
200
Tempo [min]
300
400
10
0
100
200
Tempo [min]
Figura 6.26 Perfis dos ganhos dos estimadores: (a) ω1 (b) ω2 (c) Ω1 (d) Ω2 (a, b, c, d - colocação de
pólos; c, d - dinâmica de 2ª ordem)
210
De modo a testar o efeito do coeficiente de amortecimento ζ na estimação das taxas
específicas de reacção fez variar-se este coeficiente de 0.5 a 1 (usou-se o mesmo valor para
a estimação de ρ1 e ρ2) para um valor constante de τ igual a 20 minutos. Os resultados
estão expressos na Figura 6.27. As estimações não parece variarem significativamente com
essa progressão de ζ, registando-se contudo uma estimação anormal com valores negativos
de ρ2 para valores de ζ próximos de 0.5.
-4
x 10
2.5
2
1.5
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
100
200
300
400
Tempo [min]
-3
x 10
2
1
0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
100
200
300
400
Tempo [min]
Figura 6.27 Efeito do coeficiente de amortecimento ζ na estimação de ρ1 (a) e ρ2 (b)
Para testar o efeito da constante de tempo τ na estimação das taxas específicas de
reacção fez variar-se este parâmetro de 15 a 45 minutos (usou-se o mesmo valor para a
estimação de ρ1 e ρ2) para um valor constante de ζ igual a 0.75. Os resultados são expostos
na Figura 6.28. Nota-se, para valores crescentes da constante de tempo, que as estimações
apresentam uma certa perda de sensibilidade para responder às alterações na dinâmica do
processo. Regista-se também uma estimação anormal com valores negativos de ρ2 para
valores de τ próximos de 15 minutos.
211
-4
x 10
2.5
2
1.5
1
40
30
20
0
100
200
300
400
Tempo [min]
-3
x 10
2
1
0
40
30
20
0
100
200
300
400
Tempo [min]
Figura 6.28 Efeito da constante de tempo τ na estimação de ρ1 (a) e ρ2 (b)
Identicamente, testou-se o efeito da posição do pólo na estimação das taxas específicas
de reacção pelo método de colocação de pólos. Fez variar-se este parâmetro de 0.4 a 0.95
(usou-se o mesmo valor para a estimação de ρ1 e ρ2). Os resultados são expostos na Figura
6.29. Nota-se, para valores crescentes da posição do pólo, que as estimações apresentam
também uma certa perda de sensibilidade para responder às alterações na dinâmica do
processo. Registe-se ainda uma estimação anormal com valores negativos de ρ2 para
valores de p próximos de 0.4.
212
-4
x 10
2.5
2
1.5
1
1
0.8
0.6
0.4
0
100
200
300
400
Tempo [min]
-3
x 10
2
1
0
1
0.8
0.6
0.4
0
100
200
300
400
Tempo [min]
Figura 6.29 Efeito da posição do pólo na estimação de ρ1 (a) e ρ2 (b)
6.7 Síntese
Neste capítulo foram apresentados sensores por programação para estimação de estados
e de parâmetros (cinéticas de reacção) em processos biotecnológicos. Estes algoritmos são
baseados na estrutura do modelo geral de reactores biológicos. A estimação de variáveis de
estado foi realizada através do observador assimptótico de BASTIN e DOCHAIN (1990). Foram
apresentados diferentes estimadores de cinética tendo sido proposta uma alternativa de
sintonização dos ganhos que conduz a uma dinâmica de resposta de 2ª ordem.
Os sensores por programação foram validados por simulação e em experiências reais
para os processos em estudo.
Para o fermento de padeiro estimam-se as concentrações de etanol, biomassa e glucose
com base em medições de oxigénio e dióxido de carbono dissolvidos e em fase gasosa. Os
resultados obtidos por simulação mostram um bom comportamento do observador,
6.8 BIBLIOGRAFIA
213
notando-se apenas uma certa sensibilidade a ruídos na estimativa da glucose. As
estimativas das três taxas específicas de crescimento demonstram uma prestação muito boa
dos estimadores, obtendo-se resultados mais estáveis e com um menor índice de erro para a
utilização do estimador de dinâmica de resposta de 2ª ordem, comparativamente ao
estimador baseado no observador.
No caso da fermentação etanólica foi proposto um estimador da taxa específica de
crescimento que não necessita do conhecimento dos coeficientes de rendimento. As
estimativas da taxa específica de crescimento permitiram estimar em linha as
concentrações de biomassa e glucose. A estimação desta última permite detectar os
instantes do seu consumo total. A comparação daqueles valores com medições em diferido
indicia um bom desempenho do estimador.
Para a síntese enzimática de ampicilina foram estimadas as concentrações de
ampicilina, metilfenilglicina e metanol por via da medição das concentrações de
fenilglicina e ácido 6-aminopenicilânico. A comparação das estimativas com valores
disponíveis permite concluir sobre a boa prestação do observador. Foram também
estimadas as taxas específicas de reacção e a partir destas calculou-se as velocidades de
reacção. A validação destas estimativas, efectuada com a estimação da ampicilina e da
fenilglicina, demonstra um bom comportamento do estimador.
As estimativas das variáveis de estado e das taxas cinéticas podem constituir uma peça
fundamental para a implementação de estratégias de controlo. O próximo capítulo poderia
utilizar estas estimativas para cálculo directo da lei de controlo. Será, no entanto, utilizada
uma abordagem baseada em leis de adaptação de parâmetros.
6.8 Bibliografia
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7. Controlo Adaptativo
“It is an error to imagine that evolution signifies a constant
tendency to increase perfection. That process undoubtedly
involves a constant remodelling of the organism in
adaptation to new conditions; but it depends on the nature
of those conditions whether the direction of the
modifications effected shall be upward or downward”
T.H. HUXLEY
(citado em ANDERSON et al., 1986)
Sumário
É objectivo deste capítulo o desenvolvimento de algoritmos para controlo de processos biotecnológicos.
São propostas leis de controlo adaptativo para a regulação monovariável e também para o caso multivariável.
A síntese das leis de controlo não linear é feita recorrendo a técnicas de geometria diferencial com
linearização do sistema por retroacção de estado. A adaptação é feita com base na estimação de parâmetros
variáveis no tempo. É proposto um novo algoritmo de adaptação com dinâmica de convergência de segunda
ordem.
Os controladores desenvolvidos para a produção de fermento de padeiro são obtidos por redução de
ordem do modelo de estado e são verificados por simulação. O objectivo do controlo monovariável é regular
a concentração de etanol. Na situação de controlo multivariável, pretendem regular-se as concentrações de
etanol e de oxigénio dissolvido.
O controlo multivariável da produção de fermento de padeiro permite a obtenção de valores de
produtividade e de rendimento superiores aos obtidos por regulação monovariável.
7.1 INTRODUÇÃO GERAL AO CONTROLO 7.2 INTRODUÇÃO AO CONTROLO ADAPTATIVO 7.3 CONTROLO
ADAPTATIVO LINEARIZANTE 7.4 LEIS DE ADAPTAÇÃO 7.5 CONTROLO DA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
7. CONTROLO ADAPTATIVO
220
7.1 Introdução geral ao controlo
A etapa de controlo pode ser vista como uma aplicação da informação recolhida e
tratada na etapa de monitorização. Em Teoria de Sistemas a designação Controlo de
Processos está intimamente relacionada com os seguintes requisitos (STEPHANOPOULOS,
1984): segurança do processo, especificações de produção, regulamentos ambientais,
restrições operacionais e aspectos económicos. O controlo é normalmente utilizado para
satisfazer uma ou várias das seguintes perspectivas: eliminar influências de perturbações
externas, estabilizar o processo e optimizar o desempenho do processo.
A configuração convencional de controlo por retroacção (ou realimentação) consiste na
utilização de medidas das variáveis a controlar para manipulação de entradas (variáveis
manipuladas). O ajuste das variáveis manipuladas é efectuado de acordo com a lei de
controlo implementada no controlador. Resumidamente, o objectivo do controlo será
manter algumas variáveis de estado do processo (ou uma função dessas variáveis)
próximas de valores de referência preestabelecidos, face a perturbações e/ou variações nas
cinéticas (transporte e reacção) do processo. No caso especial de se pretender que o valor
de referência (também designado por ponto estabelecido) seja constante, o problema de
controlo é designado por regulação. Quando é desejável que a resposta siga uma dada
tendência para a referência falar-se-á, nesse caso, de um problema de servo-controlo.
Num problema de controlo, o controlador pode incorporar informação adquirida em
tempo real pelos sensores ou proveniente de observadores de estado e estimadores de
parâmetros.
A Figura 7.1 ilustra a configuração típica de controlo por retroacção. Comparando com
a Figura 5.1 nota-se que existe agora um ciclo de informação: a saída tratada do
controlador, resultante da comparação com a referência, é realimentada à entrada do
sistema.
7.1 INTRODUÇÃO GERAL AO CONTROLO
221
perturbações
variáveis
manipuladas
u
d
Processo
z
saídas
controladas
y
saídas não
medidas
Controlador
y*
referência
Figura 7.1 Estrutura da configuração de controlo por retroacção
Não é propósito deste capítulo fazer uma introdução detalhada à temática de controlo de
processos. Os livros de texto de STEPHANOPOULOS (1984) e SEBORG et al. (1989) constituindo
duas obras de introdução ao controlo de processos químicos, são duas importantes fontes
de referência, de carácter pedagógico reconhecido. Sem preocupação de rever o
desenvolvimento científico na área de teoria de controlo serão, contudo, apresentadas de
seguida algumas referências a textos de revisão surgidos nos últimos dez anos.
KOKOTOVIC (1985), num artigo de revisão sobre controlo por retroacção, apresenta uma
perspectiva sobre a síntese de controladores salientando os aspectos multivariáveis e o
projecto não linear. São discutidas quatro abordagens ao problema de projecto em controlo
por retroacção: retroacção linear multivariável, controlo adaptativo para retroacção não
linear, controlo não linear composto (técnicas assimptóticas ou geométricas) e retroacção
não linear através de linearização externa.
O Comité Técnico de Teoria de Controlo da IFAC publica um relatório (LJUNG, 1988)
sobre o desenvolvimento na investigação de aspectos teóricos de controlo durante o
período 1984-1986, em que é coberto somente 1% dos cerca de 23000 (vinte e três mil!)
artigos em Teoria e Controlo de Sistemas. O relatório apresenta os seguintes tópicos
principais: sistemas lineares, controlo robusto e projecto de controladores, controlo
adaptativo, sistemas de parâmetros distribuídos, identificação de sistemas, controlo não
linear, aspectos computacionais, filtros não lineares e controlo estocástico.
FISCHER (1991) faz uma retrospectiva sobre os diferentes conceitos em controlo de
processos. Começando pelas técnicas convencionais de controlo (retroacção, antecipação,
222
cascata), revê as abordagens baseadas em modelos (controlo de modelo interno, controlo
preditivo multivariável, controlo de modelo preditivo), o controlo adaptativo e sistemas
periciais. Apresenta ainda aspectos relacionados com a implementação computacional de
algoritmos de controlo (computadores, programas e comunicações). BEQUETTE (1991) revê,
num extenso artigo, o desenvolvimento em sistemas de controlo não linear em processos
químicos. O autor cita vários exemplos de aplicação de técnicas não lineares ao controlo
de reactores biológicos.
MORARI (1994) apresenta um artigo de revisão da investigação actual em controlo de
processos, centralizado nos problemas de identificação para controlo, no controlo de
sistemas não lineares através de técnicas geométricas e no controlo preditivo. Aborda
ainda a área de monitorização, diagnóstico e controlo de qualidade.
7.2 Introdução ao controlo adaptativo
7.2.1 Aspectos gerais
A Figura 7.2 mostra a estrutura genérica de um sistema de controlo adaptativo. Este é
formado por dois ciclos de retroacção, sendo um deles um ciclo de retroacção do tipo dos
existentes nos sistemas realimentados de parâmetros constantes e o outro uma retroacção
não linear que permite adaptar os ganhos do controlador de acordo com uma regra de
aprendizagem. Uma panorâmica geral do controlo adaptativo pode ser encontrada nos
seguintes livros: ÅSTRÖM e WITTENMARK (1984 e 1989), GOODWIN e SIN (1984), SASTRY e
BODSON (1989) e NARENDRA e ANNASWAMY (1989). Os seguintes artigos de revisão deverão
complementar o conhecimento do tema: ASHER et al. (1976), ÅSTRÖM (1983), BÉLANGER
(1982), ISERMANN (1982), SEBORG et al. (1986), LANDAU (1993), NAJIM e M'SAAD (1991),
WITTENMARK (1975).
7.2.2 Controlo auto-sintonizável
Uma das classes mais importantes do controlo adaptativo é o controlo auto-sintonizável
(ÅSTRÖM e WITTENMARK, 1973; CLARKE e GAWTHROP, 1975; WELLSTEAD e ZARROP, 1991). Usa
uma lei de adaptação para estimação dos parâmetros do modelo, utilizados em linha para
cálculo dos ganhos do controlador de acordo com uma dada regra do projecto. Um
exemplo de aplicação a processos biotecnológicos pode ser encontrado em VERBRUGGEN et
7.2 INTRODUÇÃO AO CONTROLO ADAPTATIVO
223
al. (1986).
Figura 7.2 Controlo adaptativo
7.2.3 Modelo de referência
Uma outra família é o controlo adaptativo com modelo de referência (LANDAU, 1982 e
1987; KREISSELMEIER e NARENDRA, 1982). O sistema em ciclo fechado é levado a comportar-se
com uma dinâmica fixada num modelo de referência dado. Classicamente utilizado para
sistemas lineares, são possíveis extensões a sistemas não lineares. Existem ainda poucos
exemplos de aplicação deste tipo de controlo adaptativo em tecnologia de fermentação
(ZENG et al., 1993; TAKAMATSU et al., 1985).
7.2.4 Controlo adaptativo não linear
A exploração do conhecimento da estrutura não linear dos processos permite uma
melhoria do rendimento dos controladores adaptativos (BASTIN, 1991; BASTIN e DOCHAIN,
1988). Este facto é explorado em muitos algoritmos de controlo adaptativo de
fermentadores (MONTAGUE et al., 1986; MONTGOMERY et al., 1986; LEE et al., 1991, DOCHAIN,
1991). Uma outra possibilidade consiste na linearização global utilizando técnicas de
realimentação e a aplicação de controladores adaptativos para sistemas lineares (SASTRY e
ISIDORI, 1989; KANELLAKOPOULOS et al., 1991). Os exemplos de aplicação desta técnica em
processos biotecnológicos são ainda bastante recentes (HOO e KANTOR, 1986).
7.2.5 Controlo preditivo de horizonte recidivo
Os controladores auto-sintonizáveis clássicos são baseados na optimização de um
funcional de custo em tempo discreto de um único passo. Nos controladores adaptativos de
horizonte alargado, o número de passos do funcional é aumentado, sendo o comportamento
224
do processo ao longo deste horizonte deslizante no tempo descrito por um conjunto de
modelos preditivos (PETERKA, 1984; CLARKE et al., 1987). O controlo preditivo apresenta
uma extensa literatura (ver por exemplo, MARTIN-SÁNCHEZ et al., 1984; MOSCA et al., 1989;
BITMEAD et al., 1990) existindo já estudos de aplicação a fermentadores (VIGIÉ et al., 1990).
7.2.6 Controlo robusto adaptativo
No controlo robusto tem-se em consideração não apenas o modelo nominal em que é
baseado o projecto, mas também uma envolvente de erro que lhe está associada. Existem
várias técnicas para o projecto de controladores robustos, tal como o Q-design em que o
projecto do controlador é reduzido a um problema de optimização convexa no espaço de
todos os controladores estabilizantes que satisfazem as especificações, a síntese linear
quadrática com recuperação do ganho do ciclo e técnicas baseadas na minimização da
norma H∞ (MORARI e ZAFIRIOU, 1989).
O controlo robusto adaptativo (BHAT et al., 1991) integra o controlo robusto e o controlo
adaptativo. É estimado não apenas um modelo nominal, mas uma incerteza associada ao
seu conhecimento, sendo os ganhos do controlador calculados em linha, tendo em conta
esta incerteza.
7.2.7 Estimação e controlo inferencial
Dadas as dificuldades referidas para a instrumentação dos processos de fermentação, a
estimação dos estados e o controlo inferencial têm uma grande importância (BASTIN, 1989;
BASTIN e GEVERS, 1988; DOCHAIN e BASTIN, 1984 e 1985; POMERLEAU e PERRIER, 1992;
POMERLEAU e VIEL, 1992). No controlo inferencial, a medida directa de uma variável que se
pretende controlar, mas que não está acessível por motivos tecnológicos, é substituída por
uma sua estimativa. Esta é obtida a partir de um modelo do processo e de variáveis
auxiliares (Figura 7.3).
7.2.8 Perturbações singulares
A separação de escalas de tempo pode ser utilizada para o desenvolvimento de
controladores adaptativos baseados em técnicas de perturbações singulares (KOKOTOVIC et
al., 1986; VAN BREUSEGEM e BASTIN, 1991 e 1992).
7.3 CONTROLO ADAPTATIVO LINEARIZANTE
225
Figura 7.3 Controlo inferencial
7.2.9 Controlo óptimo
O controlo de processos biotecnológicos pode ser considerado de um ponto de vista do
Controlo Óptimo (ATHANS e FALB, 1966) em que as entradas do processo são determinadas
de modo a optimizar uma funcional de custo definida ao longo de um horizonte
correspondente ao tempo de operação do reactor. As ferramentas básicas são o Princípio de
PONTRYAGIN e a Programação Dinâmica (MACKI e STRAUSS, 1982). Neste caso, uma separação
das escalas de tempo permite a separação entre os problemas de optimização (em que são
determinados os perfis de evolução do estado que optimizam o custo) e o problema de
regulação (isto é, de como excitar os sistema de modo a seguir o perfil óptimo). As
referências AGRAWAL et al. (1989), MODAK et al. (1986 e 1989) e KURTANJEK (1991) ilustram
estes dois problemas. A abordagem adaptativa ao controlo óptimo tem merecido
recentemente alguma atenção. Os trabalhos de CHANG e LIM (1990), HARMON et al. (1987),
SEMONES e LIM (1989), SHI et al. (1989) e VAN IMPE (1993) ilustram essa abordagem.
7.3 Controlo adaptativo linearizante
Surgiram recentemente técnicas avançadas de geometria diferencial (BORNARD et al.,
1988, HENSON e SEBORG, 1990, KRAVARIS e KANTOR, 1990ab) para resolver problemas de
controlo não linear aplicado a sistemas não lineares. Basicamente, a ideia será encontrar
transformações não lineares nas variáveis de estado e/ou nas variáveis manipuladas de
modo a que quando aplicada a um dado sistema não linear se obtenha um comportamento
dinâmico linear para o ciclo fechado de controlo.
226
A metodologia para a síntese da lei de controlo não linear segue o trabalho de BASTIN e
DOCHAIN (1990) que utilizam o controlo linearizante monovariável por retroacção de estado
(ISIDORI, 1989) para o controlo de reactores biológicos. Este método de linearização (ISIDORI
e RUBERTI, 1984) permite desenvolver uma lei de controlo de retroacção que origina lato
sensu a linearidade do sistema em ciclo fechado relativamente a entrada e saída. A
extensão ao problema do controlo de sistemas biotecnológicos com várias entradas e várias
saídas foi formulado por DOCHAIN (1991).
A Figura 7.4 pretende comparar o controlo linearizante com o controlo convencional
(BASTIN e DOCHAIN, 1990).
Figura 7.4 Controlo convencional vs. Controlo linearizante
No presente trabalho são apresentadas leis de controlo mono- e multivariável baseadas
no modelo dinâmico geral de reactores biológicos:
dξ
= Kϕ (ξ , t ) − Dξ + F − Q
dt
com ξ ∈Rn (n componentes de estado) e ϕ ∈Rm (m reacções).
(4.4)=(7.1)
227
7.3.1 Controlo monovariável
Num problema de controlo monovariável o objectivo será controlar uma variável de
saída escalar que poderá ser uma combinação linear de variáveis de estado:
n
y = ∑ Liξi = LT ξ
(7.2)
i =1
T
em que L = [L1, L2, ..., Ln] é um vector de constantes conhecidas.
A entrada de controlo (representada por “u”) deverá ser uma taxa de alimentação de um
substrato exterior introduzido no processo, sendo o vector F decomposto como
F = bu + f
(7.3)
Com estas definições o modelo é reescrito como se segue:
dξ
= Kϕ (ξ ) − Dξ + bu + f − Q
dt
(7.4)
Pressupõe-se que f e Q são medidos em linha e que ξ é conhecido por medição ou
através de um observador.
O objectivo do controlo com retroacção de estado é seguir um dado sinal de saída de
referência representado por y*(t). O princípio do controlo linearizante é encontrar um lei de
controlo u(ξ, Q, f, y*) que seja uma função não linear multivariável de ξ, Q, f e y* tal que o
erro de convergência do controlador
~y = (y* – y)
(7.5)
seja governado por uma equação diferencial linear estável pré especificada chamada
modelo de referência.
O projecto do controlo linearizante é um procedimento em três etapas (BASTIN e DOCHAIN,
1990) que se apresenta de seguida:
Etapa 1 : Derivar um modelo de entrada/saída por sucessivas diferenciações do
modelo dinâmico geral para que a variável manipulada apareça no resultado, tal que o
modelo de entrada/saída seja linear relativamente a u(t):
228
dδ y
= f 0 ( t ) + u ( t ) f1 ( t )
dt δ
(7.6)
em que δ é a ordem da equação diferencial chamada grau relativo (ISIDORI, 1989).
Etapa 2 : Seleccionar um modelo de referência linear estável para o erro de
convergência, como se segue:
δ
∑ λδ − j
j =0
dj *
⎡ y ( t ) − y ( t ) ⎤⎦ = 0
dt j ⎣
λo=1
(7.7)
Os coeficientes λδ-j são escolhidos tal que a equação diferencial seja estável.
Este modelo de referência representa o modo como se pretende que o erro de
convergência diminua (Figura 7.5).
Figura 7.5 Erro de convergência
Etapa 3 : Projecto da lei de controlo
Calcular a acção de controlo u(t) de forma a que o modelo de entrada/saída (7.6)
coincida exactamente com o modelo de referência (7.7). Isto é conseguido por eliminação
de dδy/dtδ em ambas as equações:
u (t ) =
δ −1
1 ⎡
dj
dδ y ∗⎤
−
+
λ
⎡
∗
−
⎤
+
f
t
y
t
y
t
(
)
(
)
(
)
∑
⎢ o
δ−j
⎦ dt δ ⎥
f1 ( t ) ⎣
dt j ⎣
j =0
⎦
(7.8)

Normalmente o problema de controlo em reactores biológicos, com operação semi-
229
contínua ou contínua, é colocado em termos da regulação de variáveis de estado através da
manipulação do caudal de alimentação (indirectamente via taxa de diluição). A formulação
anterior será ilustrada de seguida com a utilização da taxa de diluição (D) como acção de
controlo.
Assume-se que:
• os coeficientes de rendimento são desconhecidos;
• as taxas de reacção ϕ são desconhecidas;
• os vectores F e Q e a taxa de diluição D são conhecidos seja por medição ou
imposição do operador;
• as taxas de alimentação na forma líquida são escritas como: F = DSe, em
que Se é o vector das concentrações de substrato na alimentação.
Tendo em consideração a estrutura do modelo dinâmico geral (7.1) facilmente se obtém
o modelo de entrada/saída, de grau relativo igual à unidade (δ=1) e escrito como:
dy
= − LT Q + LT Kϕ + D ( LT Se − y )
dt
(7.9)
Como se trata de uma equação de 1ª ordem, o objectivo de controlo consistirá na
imposição de um ciclo fechado de dinâmica linear estável de 1ª ordem:
d ∗
y − y ) + λ1 ( y ∗ − y ) = 0
(
dt
λ1>0
(7.10)
-1
Note-se que (λ1) pode ser visto como a constante de tempo do sistema de erro de
controlo.
Combinando o modelo de entrada/saída com o modelo de referência a lei de controlo
linearizante é facilmente obtida:
D=
dy ∗
− LT Kϕ + LT Q
dt
LT Se − y
λ1 ( y ∗ − y ) +
(7.11)
Dado que os coeficientes de rendimento e as taxas de reacção intervêm na lei de
controlo e são assumidos como desconhecidos, haverá necessidade de os estimar em linha,
por exemplo através dos algoritmos desenvolvidos na Capítulo 6. Este procedimento
conduzirá a versões adaptativas do controlador linearizante (FERREIRA et al., 1993).
Uma alternativa à estimação destas variáveis será reduzir a ordem do modelo
230
desprezando certas dinâmicas consideradas em estado pseudo estacionário (usando a
técnica de perturbação singular) de modo a substituir os termos não medidos por variáveis
medidas. Este procedimento será exemplificado para a produção de fermento de padeiro.
7.3.2 Controlo multivariável
No caso multivariável o objectivo do controlo será controlar duas ou mais variáveis de
saída y (vector e não o escalar do caso monovariável) que podem resultar de combinações
lineares de variáveis de estado, conforme (7.2) mas em que L será neste caso uma matriz.
A reformulação das equações do modelo dinâmico, após uma redução de ordem do
modelo, conduz à seguinte equação (DOCHAIN, 1991) para a situação mais geral de controlo
multivariável:
dy
= Φ ( ξ ) + θ T φ (ξ ) + Ψ ( ξ ) u
dt
(7.12)
em que Φ e Ψ são matrizes conhecidas função do estado de dimensão (m×1) e (m×m)
respectivamente, em que m é o número de entradas de controlo. θ é a matriz de parâmetros
desconhecidos e φ o correspondente vector regressor associado a θ. Esta equação pode
também descrever a estrutura da equação (7.9) com a seguinte correspondência:
T
T
T
T
u = D, Φ(ξ) = –L Q, Ψ(ξ) = L Se – y e θ φ(ξ) = L Kϕ.
O controlo linearizante, com modelo de referência de 1ª ordem
d ∗
y − y ) + Λ ( y∗ − y ) = 0
(
dt
(7.13)
aplicado à equação (7.12) conduz à seguinte acção de controlo:
⎫
dy*
−1 ⎧
− Φ (ξ ) − θ T φ (ξ ) ⎬
u (t ) = Ψ (ξ ) ⎨Λ ( y* − y ) +
dt
⎩
⎭
(7.14)
em que Λ ≡ diag{λi} com i = 1,…,m e y* é o vector de referências.
A redução da ordem do modelo, desprezando certas dinâmicas consideradas em estado
pseudo estacionário (ou usando a técnica de perturbação singular), constitui uma das
principais abordagens para o cálculo da lei de controlo anterior, pois permite englobar os
parâmetros não medidos (cinéticas de crescimento ou de reacção) no vector θ a ser
7.4 LEIS DE ADAPTAÇÃO
231
estimado em linha. Esta estimação conduzirá a versões adaptativas do controlador
linearizante, em que os valores desconhecidos de θ são substituídos pelas suas estimativas:
⎫
dy*
−1 ⎧
− Φ (ξ ) − θˆT φ (ξ ) ⎬
u (t ) = Ψ (ξ ) ⎨Λ ( y* − y ) +
dt
⎩
⎭
(7.15)
A dinâmica do erro de controlo ~y = (y* – y), para a situação de estimação de θ, é
calculada por substituição da equação (7.15) na equação (7.12), obtendo-se:
dy% dy* dy
≡
−
= −Λy% − θ%T φ
dt
dt dt
~
(7.16)
~
^
em que θ representa o erro de estimação do parâmetro θ, definido por θ ≡ θ – θ.
7.4 Leis de adaptação
São normalmente referenciadas duas abordagens diferentes para os algoritmos de
estimação dos parâmetros, uma baseada no erro do controlador (y* – y), a outra no erro de
estimação através de um estimador do tipo observador (y – y^). Ambas as abordagens
utilizam uma lei de adaptação do tipo método do gradiente semelhante à lei de estimação
das cinéticas. BASTIN e DOCHAIN (1990) propõem duas técnicas de estimação: o método de
mínimos quadrados recursivos e uma segunda baseada na teoria de estabilidade de
LYAPONOV. O método de mínimos quadrados recursivos é aplicado à lei de adaptação
baseada no erro de observação
dθˆ
= Γφ ( F , Q )( y − yˆ )
dt
(7.17)
em que φ(F,Q) é o regressor, função de F e Q, Γ é a matriz de ganhos do estimador
(definida positivamente).
A implementação discretizada desta lei, incluindo o factor de esquecimento γ, é escrita
como se segue:
^
^
T
θk+1 = θk + Γkφkεk+1T
(7.18)
^T
εk+1 = yk+1 – yk – {Φ(ξk) + θk φk + Ψ(ξk)uk}T
(7.19)
Γ k +1 =
Γk
(γ + T φ
2
T
k
Γ k φk )
232
0<γ≤1
Γ(o)>0
(7.20)
A técnica ou projecto de LYAPONOV conduz à seguinte lei de adaptação:
dθˆ
= −Γφ ( F , Q ) ( y * − y )
dt
(7.21)
~
O cálculo da dinâmica do sistema de erros formado pelo erro de controlo ~y e pelo erro θ,
usando as equações (7.16) e (7.21), conduz a
d ⎡ y% ⎤ ⎡ −Λ −φ ⎤ ⎡ y% ⎤ ⎡ 0⎤ dθ
=
+
dt ⎢⎣θ% ⎥⎦ ⎢⎣ Γφ 0 ⎥⎦ ⎢⎣θ% ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ dt
(7.22)
cuja equação característica apresenta as raízes - 0.5Λ ± 0.25Λ 2 − Γφ 2 .
PERRIER
e DOCHAIN (1993) propõem fixar a dinâmica de ciclo fechado através da escolha
de um pólo duplo real (equivale a tornar o discriminante nulo), obtendo-se a seguinte
relação entre os parâmetros do controlador e do estimador:
2 -2
Γ = 0.25Λ φ
(7.23)
Os ganhos do estimador são, deste modo, automaticamente fixados através da
sintonização dos parâmetros do controlador.
Substituindo a equação anterior na equação de adaptação (7.21), obtém-se:
dθˆ
= −0.25Λ 2φ −1 ( y* − y ) = −γφ −1 ( y* − y )
dt
(7.24)
2
com γ ≡ 0.25Λ .
Nota-se nesta equação uma semelhança com a equação de adaptação das taxas
específicas (6.46) usada no estimador de dinâmica de resposta de 2ª ordem. De modo
idêntico à estimação de ρ (ver Apêndice B), é possível deduzir uma alternativa diferente de
sintonização. Diferenciando a equação de adaptação de θi (para γ constante), tem-se:
γ j dy% j γ j dφi
d 2θî
y% j
=
−
+
dt 2
φi dt φi2 dt
(7.25)
em que j se refere à variável de controlo yj.
Combinando esta equação com (7.22) obtém-se a seguinte equação de 2ª ordem:
7.4 LEIS DE ADAPTAÇÃO
1 d 2θî 1
+
γ j dt 2 γ j
233
⎛
1 dφi ⎞ dθî ˆ
+ θi = θi
⎜ λj +
⎟
φi dt ⎠ dt
⎝
(7.26)
Definindo
γj ≡
1
τ
e
2
j
λj ≡
2ζ j
τj
−
1 dφi
φi dt
(7.27), (7.28)
A equação (7.26) transforma-se em
τ 2j
d 2θî
dθî ˆ
2
+
ζ
τ
+ θi = θi
j j
dt 2
dt
(7.29)
^
o que significa que cada θi converge para o seu verdadeiro valor θi com uma dinâmica de
resposta de segunda ordem com um período natural de oscilação τj e um coeficiente de
2
amortecimento ζj. No caso de se considerar γj ≡ 0.25λj (resultante da escolha de um pólo
duplo) os parâmetros ζj e τj não serão independentes, estando relacionados como se segue:
ζ j = 1+
τ j dφi
2φi dt
(7.30)
com τj constante e ζj variável. Os ganhos do controlador são inversamente proporcionais
aos correspondentes períodos naturais de oscilação, como se segue:
λj = 2/τj
(7.31)
Finalmente, a lei de adaptação é escrita em função de τj
dθî
= −τ −j 2φi−1 ( y*j − y j )
dt
(7.32)
A formulação baseada na dinâmica de convergência de 2ª ordem apresenta como
vantagens a ligação da sintonização do controlador à sintonização do estimador através de
dois parâmetros (ou somente um parâmetro no caso de se fixar um pólo duplo) com algum
significado físico. No caso de se sintonizar os dois parâmetros característicos da dinâmica
de 2ª ordem, o ganho do controlador será função do regressor φ(t), sendo portanto variável
no tempo.
Recentemente, CHEN et al. (1995) propuseram um controlador para regulação do etanol
na produção de fermento de padeiro sendo o parâmetro θ estimado pela técnica de
LYAPONOV
em que o regressor é a concentração de biomassa. Esta, não sendo medida, é
234
^
estimada através de um observador. O ganho do controlador (λ1 + λ2X) é composto por
termo um constante e um termo variável proporcional ao regressor do estimador de θ. Essa
formulação apresenta a desvantagem de necessitar da sintonização de três parâmetros
λ1, λ2 e o ganho γ do estimador de θ, para além do conhecimento dos coeficientes de
rendimento que intervém no observador da biomassa.
7.5 Controlo da produção de fermento de padeiro
7.5.1 Introdução
A estabilidade do armazenamento e a actividade levedante do fermento de padeiro são
dois critérios importantes da qualidade da levedura para panificação. Constituem, no
entanto, duas variáveis de difícil monitorização ao longo duma fermentação, não sendo por
isso utilizados como variáveis de controlo. Recentemente YUAN e BELLGARDT (1994)
propuseram uma estratégia de alimentação calculada em função da fracção de células
geminadas, parâmetro correlacionado com estes dois critérios de qualidade.
CHEN
(1992) justifica a utilização de estratégias de regulação na produção semi-contínua
de fermento de padeiro com base no compromisso entre o rendimento e a produtividade.
Um fluxo elevado de glucose conduz a grande produtividade de levedura mas com baixo
rendimento devido à produção adicional de etanol que utiliza uma parte da glucose e pode
mesmo inibir a respiração da glucose (ver § 2.1.3). Por outro lado, para pequenos fluxos de
glucose verifica-se uma diminuição da produtividade mas com um melhor rendimento.
Alguns estudos laboratoriais têm demonstrado que a produção semi-contínua de
fermento de padeiro é melhorada através do cálculo em linha dos perfis de alimentação de
açúcar, dentro de um ciclo de retroacção com recurso à análise da fase gasosa e/ou
medições de etanol (ver Tabela 7.1). É de salientar que a produção industrial decorre
normalmente em ciclo aberto, com perfis pré calculados de alimentação de açúcar.
Estudos de simulação (POMERLEAU, 1990) mostram que a regulação da concentração de
etanol, usando o caudal de alimentação de glucose como acção de controlo, corresponde a
um bom compromisso entre o rendimento e a produtividade. DAIRAKU et al. (1981)
demonstram que o controlo do etanol permite atingir uma taxa de crescimento óptima sob a
restrição de máximo rendimento. AXELSSON (1989) demonstra que através da regulação da
7.5 CONTROLO DA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
235
concentração de etanol se obtém um crescimento exponencial mantendo um rendimento
elevado. Uma indicação da importância do controlo do teor de etanol é dada pelo trabalho
de PONS et al. (1986) onde se revela que o etanol afecta a produção de ácido acético que é
uma substância inibitória.
O controlo do quociente respiratório (RQ) é por vezes usado como variável de controlo.
É normalmente estabelecido um valor de referência próximo da unidade (ver Tabela 4.6)
permanecendo o metabolismo em regime oxidativo, de forma a minimizar o efeito de
CRABTREE.
De notar que esta estratégia não evita a acumulação de etanol, impossibilitando
manter a concentração deste num valor constante. CHEN (1992) demonstra que um valor
constante de RQ corresponde uma infinidade de possibilidades para as concentrações de
das diferentes variáveis de estado.
Existem indicações de que as estratégias de alimentação com diferentes taxas de
crescimento durante as várias fases de cultura podem ser importantes para a obtenção de
boa qualidade da levedura (DAIRAKU et al., 1982; SHIOYA et al., 1986)
Outros objectivos incluem manter a concentração de açúcar num nível mínimo (se o
interesse for produzir etanol), manter uma dada tensão de oxigénio dissolvido, regular a
taxa específica de crescimento para um valor constante ou “obrigar” a biomassa a seguir
um dado perfil.
236
Tabela 7.1 Exemplos de controlo da produção semi-contínua de fermento de padeiro
Referência
Método
Variáveis
manipuladas
Regulação da concentração de ETANOL dissolvido
ALBRECHT et al. (1989)
PD adaptativo (E variável)
F eS e
AXELSSON (1988, 1989)
PID adaptativo
Fe
CHEN et al. (1991) e (1995)
adaptativo (BASTIN e DOCHAIN)
D
HAGANDER et al. (1990)
PID adaptativo + FEK
Fe
POMERLEAU e PERRIER (1992)
Fe
POMERLEAU e VIEL (1992)
Fe
YAMANÈ et al. (1981)
PD
Fe
Regulação da concentração de OXIGÉNIO dissolvido
JONES et al. (1994)
PID
D
WILLIAMS et al. (1986)
adaptativo baseado em modelo
ARMAX
Agitação
Regulação do QUOCIENTE RESPIRATÓRIO (RQ)
AIBA et al. (1976)
Estado estacionário
Fe
DEKKERS e VOETTER (1986)
adaptativo auto-sintonizável
baseado em modelo ARMAX
F eS e
PERINGER e BLACHERE (1979)
Controlo óptimo
Fe
VERBRUGGEN et al. (1986)
adaptativo
D
Regulação/Servo-controlo da TAXA ESPECÍFICA DE CRESCIMENTO (µ) ou
optimização da trajectória da concentração de BIOMASSA
DAIRAKU et al. (1981)
PID
F eS e
DAIRAKU et al. (1982)
controlo óptimo
F eS e
DANTIGNY e LAKRORI (1992)
L/A
Fe
MISKIEWICZ e MISZCZAK (1985)
adaptativo
F eS e
KEULERS (1993)
PI
F eS e
SIIMES et al. (1995)
lógica difusa
Fe
TAKAMATSU et al. (1985)
adaptativo com modelo de
referência
Fe
WU et al. (1985, 1987)
controlo óptimo
Fe
ZHANG et al. (1994)
lógica difusa
Fe
Regulação da concentração do ião AMÓNIO
KOLE et al. (1985)
antecipação
FNH4+
237
Os estudos de controlo multivariável são ainda bastante escassos. Na Tabela 7.2 estão
listados os poucos exemplos que se podem encontrar na literatura.
Tabela 7.2 Exemplos de controlo multivariável na produção semi-contínua de fermento de padeiro
Referência
Método
Variáveis
controladas
Variáveis
manipuladas
DOCHAIN (1991)
do autor
OeE
D e OTR
PARK et al (1993)
lógica difusa
SeE
Fe
RAMSEIER et al. (1992)
adaptativo
XeE
F eS e
WILLIAMS et al. (1984),
WILLIAMS e MONTGOMERY (1986)
adaptativo baseado em
modelo ARMAX
O e RQ
FeSe e agitação
WILLIAMS et al. (1986)
adaptativo baseado em
modelo ARMAX
OeE
FeSe e agitação
WOEHRER et al. (1981)
ID
E e RQ
F eS e
A produção contínua de fermento de padeiro, não sendo objecto deste estudo, tem
merecido contudo, a atenção de alguns projectos de investigação na área do controlo.
Trabalhos recentes evidenciam a aplicação de metodologias de controlo linear (ANDERSEN,
1990) e não linear (RAMSEIER, 1991; ROUX, 1992).
7.5.2 Controlo adaptativo monovariável
Na produção de fermento de padeiro o objectivo pode ser endereçado em termos de
prevenção da acumulação de etanol no reactor semi-contínuo. Essa acumulação pode
constituir uma fonte para a diminuição do rendimento e afectar a produtividade. É contudo,
desejável uma ligeira produção de etanol de forma a induzir o sistema enzimático da via
catabólica fermentativa e evitar assim um longo período de adaptação aquando da
utilização do fermento (POMERLEAU, 1990).
O problema que se coloca em termos de controlo será o da regulação da concentração
de etanol. A taxa de alimentação de glucose é escolhida como a acção de controlo. Da
adequação da equação (7.4) ao modelo apresentado em (4.60), tem-se
T
T
y = E = L ξ com L = [0 0 1 0 0]
T
T
(7.33)
T
u = DSo, b = [0 1 0 0 0], f = [0 0 0 OTR 0] e Q = [0 0 0 0 CTR]
(7.34)
O problema de controlo é resolvido pela técnica de perturbação singular (TAYLOR et al.,
1989), permitindo desprezar cinéticas e dinâmicas mais rápidas do que as limitantes.
238
A dedução do controlador vai ser apresentada de seguida usando duas abordagens, uma
recorrendo ao modelo global do processo com três taxas de crescimento e a segunda
utilizando modelos parciais com duas taxas cada, tendo em atenção os dois regimes
metabólicos.
7.5.2.1 Modelo global a 3 reacções
O modelo de estado para a produção de fermento de padeiro (4.60) é reescrito usando a
o
r
o
notação ϕ1, ϕ2, ϕ3 para designar as taxas de crescimento µs X, µsX e µe X, respectivamente:
•
X = -DX + ϕ1 + ϕ2 + ϕ3
(7.35)
•
S = -DS – k1ϕ1 – k2ϕ2 + DSe
(7.36)
•
E = -DE + k3ϕ2 – k4ϕ3
(7.37)
•
O = -DO – k5ϕ1 – k6ϕ3 + OTR
(7.38)
•
C = -DC + k7ϕ1 + k8ϕ2 + k9ϕ3 – CTR
(7.39)
A aplicação da técnica de perturbação singular permite seleccionar o seguinte conjunto
de variáveis de estado que apresentam uma dinâmica mais rápida:
ξTr = [S O C]
(7.40)
Para variáveis de estado de dinâmica lenta é possível definir:
ξTs = [X E]
(7.41)
T
com ξ = [ξTr ξTs]
Note-se que a variável de estado a ser regulada (E) não está incluída em ξr:
E = LTsξs com LTs = [0 1].
O modelo dinâmico geral é então reduzido a um conjunto de 3 equações algébricas e 2
equações diferenciais ordinárias como se segue:
dξ s
= K sϕ − Dξ s + bs u + f s − Qs
dt
(7.42)
Krϕ + bru + fr – Qr = 0
(7.43)
⎡1 1
com K s = ⎢
⎣ 0 k3
1 ⎤
, bTs = [0 0], fTs = [0 0], QTs = [0 0]
⎥
−k4 ⎦
⎡ −k1
K r = ⎢⎢ −k5
⎢⎣ k7
0 ⎤
−k6 ⎥⎥ , bTr = [1 0 0], fTr = [0 OTR 0], QTr = [0 0 CTR]
k9 ⎥⎦
− k2
0
k8
239
Sendo Kr uma matriz de característica completa, o vector ϕ(ξ) de taxas de crescimento
pode ser escrito como:
-1
-1
ϕ(ξ) = Kr (Qr – Fr) = Kr (Qr – bru – fr)
(7.44)
ou seja
⎡ϕ1 ⎤
⎡ − DSe ⎤
⎢ϕ ⎥ = K −1 ⎢ −OTR ⎥
r ⎢
⎢ 2⎥
⎥
⎢⎣ϕ3 ⎥⎦
⎢⎣ CTR ⎥⎦
(7.45)
com a inversa de Kr calculada como:
K
−1
r
k6 k8
⎡
1⎢
= ⎢( k5 k9 − k6 k7 )
k%
⎢⎣ −k5 k8
k 2 k9
−k1k9
( k1k8 − k2 k7 )
k 2 k6 ⎤
⎥
− k1k6 ⎥
− k2 k5 ⎥⎦
(7.46)
~
em que k ≡ k2k6k7 – k1k6k8 – k2k5k9.
Substituindo (7.44) em (7.42) obtém-se
dξ s
= − Dξ s + ⎡⎣ I n − m
dt
− K s K r−1 ⎤⎦ ( F − Q )
(7.47)
A dinâmica de E é reescrita como
dE
= − DE + LTs ⎡⎣ I n − m
dt
− K s K r−1 ⎤⎦ ( F − Q )
(7.48)
dE
= − DE + LTs ⎡⎣ I n − m
dt
− K s K r−1 ⎤⎦ bu + LTs ⎡⎣ I n − m − K s K r−1 ⎤⎦ ( f − Q )
(7.49)
ou
240
originando o seguinte modelo reduzido de entrada/saída:
dE
= − DE − θ1CTR − θ 2OTR + θ 3 DSe
dt
(7.50)
com
~
θ1 ≡ (k1k3k6 – k2k4k5)/k
(7.51)
~
θ2 ≡ (k2k4k7 – k1k3k9 – k1k4k8)/k
(7.52)
~
θ3 ≡ (k3k6k7 – k3k5k9 – k4k5k8)/k
(7.53)
Note-se que o modelo de saída anterior é independente das cinéticas de crescimento da
levedura.
Seleccionando um modelo de referência de 1ª ordem para o erro de convergência:
d
E ∗ − E ) + λ1 ( E ∗ − E ) = 0
(
dt
(7.54)
a lei de controlo linearizante é prontamente obtida por substituição de (7.50) em (7.54)
obtendo-se
D=
λ1 ( E ∗ − E ) + θ1CTR + θ 2OTR
θ 3 Se − E
(7.55)
Nesta lei de controlo deve notar-se o seguinte
• não é necessária a medição em linha das variáveis de estado com excepção
daquela que se pretende regular (E);
• não é necessário conhecer a cinética de crescimento dos microrganismos;
• utiliza medidas de taxas de transferência gasosas que são acessíveis em
linha;
• há uma compensação de antecipação relativamente à concentração da
alimentação Se.
*
• o termo λ1(E – E)/(θ3Se – E) pode ser visto como uma acção proporcional
de ganho variável função do etanol (se E << θ3Se o ganho será constante); o
termo (θ1CTR + θ2OTR)/(θ3Se – E) representa uma medida da actividade das
leveduras presumindo-se proporcional à concentração de biomassa e
fornecendo o perfil de alimentação exponencial necessário para manter o
etanol constante (POMERLEAU, 1990).
No caso de os coeficientes de rendimento presentes em θ1, θ2, θ3 serem mal conhecidos
241
ou variáveis no tempo deve implementar-se uma versão adaptativa do controlador. A lei de
regulação adaptativa é obtida usando a equação anterior juntamente com a estimação em
linha dos parâmetros θ1, θ2 e θ3.
7.5.2.2 Modelo parcial
Na Tabela 7.3 encontram-se listadas as equações de estado para os modelos parciais
correspondentes às equações matriciais (4.65) e (4.66) para os regimes respirofermentativo e respirativo, respectivamente.
Tabela 7.3 Equações de estado para os modelos parciais
Regime Respiro-fermentativo RF
Regime Respirativo R
•
X = –DX + ϕ1 + ϕ2
•
X = –DX + ϕ1 + ϕ3
•
S = –DS – k1ϕ1 – k2ϕ2 + DSe
•
S = –DS – k1ϕ1 + DSe
•
E = –DE + k3ϕ2
•
E = –DE – k4ϕ3
•
O = –DO – k5ϕ1 + OTR
•
O = –DO – k5ϕ1 – k6ϕ3 + OTR
•
C = –DC + k7ϕ1 + k8ϕ2 – CTR
•
C = –DC + k7ϕ1 + k9ϕ3 – CTR
Em cada um dos modelos parciais existem duas taxas de crescimento em vez das três
taxas do modelo global. Assim, bastará utilizar duas equações de estado para se efectuar a
redução de ordem do modelo. Uma das equações a usar será a correspondente à dinâmica
do substrato (pelo facto de incluir o termo DSe). A segunda deverá ser escolhida entre as
equações correspondentes ao oxigénio e ao dióxido de carbono.
Considerando estado pseudo estacionário para o par glucose e dióxido de carbono
(equações (4.67) e (4.68)), têm-se:
DSe = k1ϕ1 + k2ϕ2
RF (7.56)
CTR = k7ϕ1 + k8ϕ2
RF (7.57)
ou
DSe = k1ϕ1
R (7.58)
242
CTR = k7ϕ1 + k9ϕ3
R (7.59).
Neste momento torna possível explicitar-se as taxas de crescimento (ϕ1 e ϕ2 para o
regime RF; ϕ1 e ϕ3 para o regime R) em função da taxa de adição de açúcar e da taxa de
transferência de dióxido de carbono:
⎡ϕ1 ⎤
1 ⎡ − k8
⎢ϕ ⎥ = % ⎢ k
⎣ 2 ⎦ k RF ⎣ 7
⎡ϕ1 ⎤ 1 ⎡ k9
⎢ϕ ⎥ = % ⎢ − k
⎣ 3 ⎦ kR ⎣ 7
k2 ⎤ ⎡ DSe ⎤
− k1 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦
0 ⎤ ⎡ DSe ⎤
k1 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦
~
RF (7.60)
R (7.61)
~
em que kRF ≡ k2k7 – k1k8 e kR ≡ k1k9.
As equações de saída correspondentes são escritas como se segue:
dE k3 k7
kk
=
DSe − 1 3 CTR − DE
dt
k%RF
k%RF
RF (7.62)
dE k4 k7
kk
=
DSe − 1 4 CTR − DE
dt
k%R
k%R
R (7.63)
A segunda alternativa considera estado pseudo estacionário para o par glucose e
oxigénio, obtendo-se, no caso do oxigénio, as seguintes equações para a taxa de
transferência de oxigénio:
OTR = k5ϕ1
RF (7.64)
ou
OTR = k5ϕ1 + k6ϕ3
R (7.65).
As equações para DSe serão as anteriormente obtidas para a escolha do par glucosedióxido de carbono.
A explicitação das taxas de crescimento em função da taxa de adição de açúcar e da
taxa de transferência de oxigénio é escrita como se segue:
⎡ϕ1 ⎤
1 ⎡0
⎢ϕ ⎥ = % ⎢ k
⎣ 2 ⎦ k RF ⎣ 5
k2 ⎤ ⎡ DSe ⎤
− k1 ⎥⎦ ⎢⎣OTR ⎥⎦
RF (7.66)
⎡ϕ1 ⎤ 1 ⎡ k6
⎢ϕ ⎥ = % ⎢ − k
⎣ 3 ⎦ kR ⎣ 5
~
243
0 ⎤ ⎡ DSe ⎤
k1 ⎥⎦ ⎢⎣OTR ⎥⎦
R (7.67)
~
em que kRF ≡ k2k5 e kR ≡ k1k6.
As equações de saída correspondentes são escritas como se segue:
dE k3 k5
kk
=
DSe − 1 3 OTR − DE
%
dt
k RF
k%RF
RF (7.68)
dE k4 k5
kk
=
DSe − 1 4 OTR − DE
dt
k%R
k%R
R (7.69)
As equações de saída para as duas escolhas de redução de modelo e para cada um dos
regimes metabólicos, podem ser escritas genericamente na seguinte forma:
•
E = –DE – θ1CTR – θ2OTR + θ3DSe
(7.50)=(7.70)
com a seguinte correspondência de variáveis:
Tabela 7.4 Quadro resumo do modelo de entrada/saída
Par
escolhid
o
Regime
θ1
θ2
θ3
SeC
RF
~
k1k3/k RF
0
~
k3k7/k RF
k2k7 - k1k8
R
~
k1k4/k R
0
~
k4k7/k R
k1k9
RF
0
~
k1k3/k RF
~
k3k5/k RF
k2k5
R
0
~
k1k4/k R
~
k4k5/k R
k1k6
SeO
~
~
kR ou kRF
Esta equação do modelo de entrada/saída é idêntica à obtida para a situação de
utilização do modelo a três reacções (7.50). Ipso facto a lei de controlo, para um modelo de
referência de 1ª ordem, será dada pela equação (7.55).
No caso de utilização de modelos parciais ainda mais se justifica a utilização de uma
versão adaptativa da lei de controlo de modo a lidar com incertezas no modelo devido à
simplificação feita de se desprezarem certas dinâmicas na redução de ordem do modelo. A
lei adaptativa será baseada na estimação em linha dos parâmetros desconhecidos de
equação genérica
D=
244
λ1 ( E ∗ − E ) + θˆ1CTR + θˆ2OTR
(7.71)
θˆ3 Se − E
Os parâmetros a estimar serão θ1 e θ3 no caso de se usar um redução do modelo baseada
na glucose e dióxido de carbono, ou θ2 e θ3 para o par glucose e oxigénio.
7.5.2.3 Resultados
As condições iniciais para as experiências de controlo por simulação estão expostas na
Tabela 7.5. A simulação da fermentação é interrompida quando se atinge o volume
máximo do fermentador (5 L) ou para um total de 25 horas de fermentação. A presença de
etanol no tempo zero é explicada pelo facto de normalmente uma fermentação semicontínua ser precedida da operação descontínua com a concomitante produção de etanol.
X(0)
g.L
-1
0.30
S(0)
g.L
-1
0.020
E(0)
g.L
-1
0.50
O(0)
g.L
-1
0.0027
C(0)
g.L
-1
0.017
V(0)
Se(0)=Se(t)
L
g.L
2.0
20
-1
O simulador disponibiliza ao controlador somente as variáveis relevantes, a saber:
concentração de etanol, taxa de transferência de oxigénio e concentração de glucose na
alimentação. Estes dados são utilizados a cada 6 minutos (0.1 h) de período de
amostragem.
O problema em estudo será controlar (regular) a concentração de etanol para um valor
*
-1
de referência, E = 0.5 g.L , ou seja, pretende-se que o controlador entre em acção no
início da etapa semi-contínua e que seja capaz de conduzir a experiência em ciclo fechado
por manipulação do caudal volumétrico de alimentação, calculado por multiplicação da
taxa de diluição pelo volume (crescente) do meio de fermentação.
Os resultados de regulação da concentração de etanol são baseados na utilização do
modelo parcial com redução de ordem do modelo por simplificação das dinâmicas de
glucose e oxigénio. A versão adaptativa da lei de controlo necessita neste caso da
estimação em linha dos parâmetros θ2 e θ3 usando como regressores –OTR e DSe,
respectivamente. POMERLEAU (1990) apresenta um estudo semelhante mas estimando
somente o parâmetro θ2, considerando conhecido e constante o valor de θ3.
245
A adaptação dos parâmetros θ2 e θ3 é feita por três métodos alternativos: mínimos
quadrados recursivos (MQR), estimador de dinâmica de 2ª ordem (EDSO) e técnica de
LYAPONOV. Para o método MQR em versão discretizada, tem-se:
^
^
Γ 2, k +1 =
(γ
θ2,k+1 = θ2,k – TΓ2,kOTRkεk+1
^
(7.72)
Γ 2, k
0<γ2≤1
+ T OTRk2 Γ 2,k )
2
2
Γ2(o)>0
^
θ3,k+1 = θ3,k + TΓ3,kDkSeεk+1
Γ3,k +1 =
(γ
Γ3,k
2 2 2
3 + T Dk S e Γ 3, k )
(7.73)
(7.74)
0<γ3≤1
Γ3(o)>0
(7.75)
em que
^
^
εk+1 = Ek+1 – Ek – T{–θ2,kOTRk + (θ3,kSe – Ek)Dk}
(7.76)
Para o EDSO:
^
^
*
^
^
*
θ2,k+1 = θ2,k + T(E – Ek)/(OTRkτ2)
θ3,k+1 = θ3,k – T(E – Ek)/(DkSeτ2)
(7.77)
(7.78)
sendo o ganho do controlador calculado por:
λ1 = 2ζ/τ – (OTRk – OTRk-1)/(TOTRk)
(7.79)
Para o EDSO com colocação de pólos, o ganho do controlador é constante conforme
equação (7.31). Esta situação é equivalente à técnica de LYAPONOV.
Para comparação com as estimativas, são apresentados na Tabela 7.6 os valores para θ1,
θ2 e θ3, calculados pelas expressões da Tabela 7.4, usando os coeficientes de rendimento
do modelo de simulação (Apêndice A). Não significa contudo, que as estimativas devam
ser concordantes com estes valores, pois a estimação é realizada com o propósito de
adequar o modelo reduzido ao modelo real.
246
Tabela 7.6 Valores dos parâmetros θi
Regime
θ1
θ2
θ3
RF
0
1.18
0.48
R
0
0.89
0.36
Os valores de θi correspondentes ao regime respiro-fermentativo constituirão as
estimativas iniciais das leis de adaptação. O efeito da utilização de valores diferentes
destes será contudo, analisado.
A sintonização das leis de controlo e adaptação é realizada por tentativa e erro, tendo
como critérios de avaliação de desempenho, o índice ITAE (equação (6.86)) e a média do
*
erro de controlo (E – E). A Tabela 7.7 apresenta os valores destes critérios para os três
casos de sintonização: EDSO, MQR e EDSO com pólo duplo (LYAPONOV). Os três critérios
apresentam valores muito semelhantes, salientando-se contudo um desempenho
ligeiramente melhor para a solução baseada num EDSO.
Tabela 7.7 Comparação das leis de adaptação através dos critérios ITAE e erro médio
Lei de adaptação
EDSO
Parâmetros
ITAE
Erro médio (%)
τ = 0.10 h
0.021
0.017
0.041
0.038
0.037
0.028
ζ = 2.0
MQR
Γ2(o) = Γ3(o) =100
γ2 = γ3 = 0.95
λ = 10.0 h
EDSO com pólo duplo
(LYAPONOV)
-1
τ = 0.13 h
-1
(λ = 15.0 h )
A Figura 7.6 mostra o perfil da concentração de etanol onde é visível a boa prestação do
controlador para a sintonização com um EDSO. A pequeníssima oscilação inicial é devida à
rápida alternância entre os regimes respiro-fermentativo e respirativo no período
correspondente à fase inicial de convergência de 2ª ordem para a adaptação dos θi. É
também mostrado o perfil da acção de controlo (b), com duas fases distintas, durante as
primeiras oito horas em que há a alternância entre os regimes metabólicos e uma segunda
fase com um perfil tipicamente exponencial, correspondente à manutenção em regime
respiro-fermentativo.
247
E(t) [g/L]
0.501 (a)
0.5005
0.5
0.4995
0.499
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
25
15
20
25
D(t) [1/h]
0.05 (b)
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
Tempo [h]
*
Figura 7.6 Controlo do etanol para E = 0.5 (a) e a correspondente acção de controlo (b)
A Figura 7.7 apresenta as estimativas dos parâmetros θ2 (a) e θ3 (b). A comparação
efectuada com os valores verdadeiros não significa que a estimativa seja concordante com
esses valores, uma vez que a adaptação dos parâmetros é realizada precisamente para
contemplar as dinâmicas desprezadas durante a redução de ordem do modelo e outras
incertezas de modelação.
Para analisar a robustez do controlador estudou-se o seu comportamento, face às
seguintes situações:
• alteração da referência em ± 10%;
• alteração da carga concentração da alimentação (Se) em ± 50%;
• corrupção das medições de etanol e taxa de transferência de oxigénio
(regressor) com ruído branco não correlacionado de média nula e desvio
padrão de 10%.
• mau condicionamento dos valores iniciais de θ2 e θ3
Usou-se uma sintonização baseada num estimador EDSO com pólo duplo.
2.5
248
(a)
Teta2
2
1.5
1
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
25
15
20
25
(b)
Teta3
0.5
0.4
0.3
0.2
0
Tempo [h]
Figura 7.7 Comparação das estimativas (traço) dos parâmetros θ2 (a) e θ3 (b) com os valores
verdadeiros (linha contínua)
E(t) [g/L]
0.55
(a)
E*=0.55
0.5
E*=0.45
0.45
0.4
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
15
20
0.05 (b)
D(t) [1/h]
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
Tempo [h]
Figura 7.8 Alteração de ±10% no valor de referência
249
A Figura 7.8 expõe a situação de alteração, à 4ª hora de fermentação, do valor de
-1
referência de 0.5 para 0.45 e 0.55 g.L . É visível um ligeiro desvio final (2.3% e 1.3%
respectivamente) no erro de controlo.
A Figura 7.9 pretende mostrar o efeito da antecipação da carga (Se surge na lei de
controlo), por alteração, à 4ª hora, da concentração de alimentação (carga) para 20 ± 10
-1
g.L . Para cada uma destas duas concentrações é analisada a resposta do controlador face
ao conhecimento dessa variação, isto é, a consideração da lei de controlo pela nova
concentração. O controlador mostra-se bastante robusto face às duas situações,
especialmente no caso de contemplar a antecipação. Nota-se no momento da alteração da
carga uma ligeira oscilação para o caso de ausência de antecipação.
A Tabela 7.8 apresenta os critérios ITAE e erro médio do controlador. A consideração da
antecipação mostra critérios melhorados relativamente à situação de não consideração.
Tabela 7.8 Comparação do presença ou ausência da antecipação
Carga, Se
ITAE
Erro médio
-1
(%)
[g.L ]
com
30
0.048
0.033
antecipação
10
0.011
0.027
sem
30
0.053
0.045
antecipação
10
0.068
0.130
A rejeição do efeito da carga é devida à adaptação dos parâmetros θi à nova situação. A
Figura 7.10 mostra o modo como a lei de adaptação consegue resolver essa questão.
Para estudar o efeito de medições com ruídos nos valores usados pelas leis de controlo e
de adaptação considerou-se a corrupção dos valores de etanol e taxa de transferência de
oxigénio (regressor) através da adição algébrica de ruído branco não correlacionado de
média nula e desvio padrão de 10%. A Figura 7.11 mostra os resultados desta experiência,
onde é visível o bom desempenho do controlador que apresenta como média do erro o
valor de 1.6%. Os valores estimados dos parâmetros θi surgem na Figura 7.12, notando-se
um alisamento das estimativas face a medições com ruídos.
250
E(t) [g/L]
0.502 (a)
0.5
Se=30 g/L (com antecip.)
0.498
Se=10 g/L (com antecip.)
Se=30 g/L (sem antecip.)
Se=10 g/L (sem antecip.)
0.496
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
15
20
(b)
D(t) [1/h]
0.06
0.04
0.02
0
0
Tempo [h]
Figura 7.9 Efeito da antecipação para alterações de ±50% na carga Se
3 (a)
Teta2
2.5
Se=30
Se=10
Se=30
Se=10
g/L
g/L
g/L
g/L
(com
(com
(sem
(sem
antecip.)
antecip.)
antecip.)
antecip.)
2
1.5
1
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
15
20
0.7
(b)
Teta3
0.6
0.5
0.4
0.3
0
Tempo [h]
Figura 7.10 Estimativas dos parâmetros θ2 e θ3 (traços) para alteração na carga
E(t) [g/L]
0.54
(a)
0.52
0.5
0.48
0.46
0
5
10
0
0
5
10
0.11 (c)
0.1
0.09
0.08
0.07
0
5
10
Tempo [h]
251
15
20
25
15
20
25
15
20
25
OTR(t) [g/(L.h)]
D(t) [1/h]
0.06 (b)
0.04
0.02
Tempo [h]
Tempo [h]
Figura 7.11 Efeito do ruído na medição do etanol e taxa de transferência de oxigénio
2.5
(a)
Teta2
2
1.5
1
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
25
15
20
25
0.6
(b)
Teta3
0.5
0.4
0.3
0
Tempo [h]
Figura 7.12 Estimativas dos parâmetros θ2 e θ3 (traços) para medições com ruído
252
De modo a analisar o mau condicionamento dos valores iniciais de θi considerou-se a
utilização dos valores θ2 = 2.0 e θ3 = 1.0. As duas figuras seguintes ilustram o bom
desempenho do controlador e da lei de adaptação. A média do erro de controlo é
significativamente pequena (0.063%).
Estudou-se, finalmente, a situação de arranque de uma fermentação em semi-contínuo,
sem presença inicial de etanol no fermentador. O controlador funcionará, portanto, desde o
início da operação. Esta situação está representada na Figura 7.15 onde é evidente alguma
dificuldade para aproximar o etanol do valor de referência.
Introduzem-se de seguida dois conceitos importantes para a comparação macroeconómica entre estratégias de condução de processos de fermentação.
Para operação semi-contínua de fermentadores, define-se produtividade média como o
número de células produzidas por unidade de tempo e por unidade de volume adicionado:
P=
X f V f − X 0V0
(V
f
(7.80)
− V0 ) t f
em que o índice f se refere às condições finais da fermentação.
Outro conceito importante é o rendimento global♦ relativamente ao substrato, calculado
como:
R=
X f V f − X 0V0
∫
tf
o
(7.81)
FSe dt +S0V0 − S f V f
A regulação adaptativa da concentração de etanol usando o estimador EDSO apresenta
-1
-1
-1
uma produtividade média de 0.34 g. L .h e um rendimento global igual a 0.425 g.g .
♦
O rendimento global é também referenciado pela designação Yx/s ou tão somente Y.
E(t) [g/L]
0.504
253
(a)
0.502
0.5
0.498
0.496
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
25
15
20
25
0.05 (b)
D(t) [1/h]
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
Tempo [h]
Figura 7.13 Efeito da utilização de diferentes valores iniciais de θ2 e θ3
5
(a)
Teta2
4
3
2
1
0
5
10
5
10
Tempo [h]
15
20
25
15
20
25
Teta3
1 (b)
0.8
0.6
0.4
0
Tempo [h]
Figura 7.14 Estimativas de θ2 e θ3 para valores iniciais diferentes
254
0.6
E(t) [g/L]
(a)
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
Tempo [h]
14
16
18
20
2
4
6
8
10
12
Tempo [h]
14
16
18
20
(b)
D(t) [1/h]
0.1
0.05
0
0
Figura 7.15 Arranque da fermentação com regulação do etanol
7.5.3 Controlo adaptativo multivariável
WILLIAMS et al.
(1986) referem que o controlo monovariável é insuficiente para
maximizar simultaneamente a produtividade e o rendimento. Estes autores propõem um
controlador adaptativo linear baseado numa estrutura ARMAX para o controlo da tensão de
oxigénio e do quociente respiratório.
A extensão do projecto de um controlador linearizante à situação multivariável de várias
entradas e várias saídas é proposta por DOCHAIN (1991). As variáveis de controlo
consideradas foram a concentração de oxigénio dissolvido e a concentração de etanol. A
taxa de transferência de oxigénio (OTR) e a taxa de diluição foram escolhidas como
variáveis manipuladas. O autor utiliza um modelo semi-empírico para as três cinéticas de
crescimento da levedura e o modelo de estado usado em simulação não considera a
ocorrência de dois regimes metabólicos.
O problema de controlo multivariável que se apresenta de seguida tem também como
variáveis de controlo a concentração de oxigénio dissolvido e a concentração de etanol:
T
T
y = [E O]= L ξ com
⎡0 0 1 0 0⎤
LT = ⎢
⎥
⎣0 0 0 1 0⎦
255
(7.82)
A taxa de transferência de oxigénio (OTR) e a taxa de diluição foram escolhidas como
variáveis de entrada.
Problema: Controlo de E e O, dados:
D e OTR manipuláveis em linha;
taxas de reacção ϕ(ξ) desconhecidas;
CTR medido em linha;
coeficientes de rendimento desconhecidos;
As leis de controlo para a regulação múltipla das concentrações de etanol e oxigénio
dissolvido são obtidas a partir das equações de estado para estes dois componentes,
apresentadas no seguimento para os dois regimes metabólicos.
Regime Respiro-fermentativo RF :
•
O = –DO – k5ϕ1 + OTR
(7.83)
•
E = –DE – k3ϕ2
(7.84)
Regime Respirativo R :
•
O = –DO – k5ϕ1 – k6ϕ3 + OTR
(7.85)
•
E = –DE – k4ϕ3
(7.86)
De modo idêntico à abordagem para o controlo monovariável a redução da ordem do
modelo desprezando as dinâmicas do substrato e do dióxido de carbono permite explicitar
as taxas de crescimento (ϕ1 e ϕ2 para o regime RF; ϕ1 e ϕ3 para o regime R) em função da
taxa de adição de açúcar de da taxa de transferência de dióxido de carbono.
Substituindo as expressões para as taxas de crescimento nas equações de estado do
etanol e do oxigénio, obtêm-se:
⎡O ⎤ ⎡ − k
d ⎡O ⎤
= −D ⎢ ⎥ + ⎢ 5
⎢
⎥
dt ⎣ E ⎦
⎣E⎦ ⎣ 0
0 ⎤ 1 ⎡ − k8
k3 ⎥⎦ k%RF ⎢⎣ k7
k2 ⎤ ⎡ DSe ⎤ ⎡OTR ⎤
+
−k1 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
RF (7.87)
256
⎡O ⎤ ⎡ − k
d ⎡O ⎤
= −D ⎢ ⎥ + ⎢ 5
⎢
⎥
dt ⎣ E ⎦
⎣E⎦ ⎣ 0
~
− k 6 ⎤ 1 ⎡ k9
− k4 ⎦⎥ k%R ⎢⎣ − k7
0 ⎤ ⎡ DSe ⎤ ⎡OTR ⎤
+
k1 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
R (7.88)
~
em que kRF ≡ k2k7 – k1k8 e kR ≡ k1k9
Refira-se que o grau relativo destes modelos parciais é igual à unidade, uma vez que as
entradas (D e OTR) aparecem nas equações de saída. O grau unitário significa que é
necessário derivar as saídas uma vez para que as entradas apareçam.
Após algumas manipulações algébricas conseguem obter-se as seguintes equações:
⎡
⎢1
d ⎡O ⎤
CTR ⎡ k2 k5 ⎤ ⎢
=−
⎢
⎥+
dt ⎢⎣ E ⎥⎦
k%RF ⎣ k1k3 ⎦ ⎢
⎢0
⎣
k5 k8
⎤
Se − O ⎥
k%RF
OTR ⎤
⎥ ⎡⎢
⎥ D ⎥⎦
k3 k 7
Se − E ⎥ ⎣
k%RF
⎦
⎡
⎢1
d ⎡O ⎤
CTR ⎡ k1k6 ⎤ ⎢
=−
⎢
⎥+
dt ⎢⎣ E ⎥⎦
k%R ⎣ k1k4 ⎦ ⎢
⎢0
⎢⎣
( k 6 k 7 − k5 k9 ) S
k%R
RF (7.89)
⎤
− O⎥
⎥ ⎡OTR ⎤
⎥ ⎢⎣ D ⎥⎦
k 4 k7
Se − E ⎥
k%R
⎥⎦
e
R (7.90)
Estas duas equações podem reduzir-se à equação genérica:
⎡θ ⎤
⎡θ S − O ⎤
⎡1 ⎤
d ⎡O ⎤
= − ⎢ 1 ⎥ CTR + ⎢ ⎥ OTR + ⎢ 2 e
⎥D
⎢
⎥
dt ⎣ E ⎦
⎣0 ⎦
⎣θ 3 ⎦
⎣θ 4 Se − E ⎦
(7.91)
com a seguinte correspondência de variáveis:
Tabela 7.9 Quadro resumo do modelo de entrada/saída para o controlo multivariável
Regime
θ1
θ2
θ3
θ4
RF
~
k2k5/k RF
~
k5k8/k RF
~
k1k3/k RF
~
k3k7/k RF
k2k7 – k1k8
R
~
k1k6/k R
~
(k6k7 – k5k9)/k R
~
k1k4/k R
~
k4k7/k R
k1k9
~
~
kR ou kRF
Selecciona-se um modelo de referência de 1ª ordem para o erro de convergência:
*
⎡( O* − O ) ⎤
d ⎡⎢( O − O ) ⎤⎥
⎥=0
+ [ λ1 λ2 ] ⎢
dt ⎢ ( E * − E ) ⎥
⎢( E * − E ) ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
(7.92)
A lei de controlo linearizante é prontamente obtida por substituição de (7.91) em (7.92),
257
obtendo-se
⎡( O* − O ) ⎤
⎡1 θ 2 Se − O ⎤ ⎡OTR ⎤
d ⎡O* ⎤ ⎡θ1 ⎤
⎢
⎥=0
CTR − ⎢
⎢ ⎥+
⎥ ⎢ D ⎥ + [ λ1 λ2 ]
*
0
θ
−
S
E
dt ⎣ E * ⎦ ⎢⎣θ 3 ⎥⎦
⎢
⎥
⎦
4 e
⎣
⎦⎣
⎣( E − E ) ⎦
(7.93)
As variáveis manipuladas são calculadas por resolução da equação anterior em ordem a
OTR e D:
⎡OTR ⎤ ⎡1 θ 2 Se − O ⎤
⎢ D ⎥ = ⎢0 θ S − E ⎥
⎣
⎦ ⎣
4 e
⎦
−1
⎧
⎫
⎡( O* − O ) ⎤ d ⎡O* ⎤ ⎡θ ⎤
⎪
⎪
1
⎢
⎥
+
+
λ
λ
CTR
⎨[ 1
⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2]
⎢( E * − E ) ⎥ dt ⎣ E * ⎦ ⎣θ 3 ⎦
⎪⎩
⎪
⎣
⎦
⎭
(7.94)
Como se trata de um problema de regulação, desprezam-se as derivadas dos valores de
referência O* e E*, obtendo-se
*
⎧
⎫
⎡OTR ⎤
⎡θ 4 Se − E O − θ 2 Se ⎤ ⎪ ⎡ λ1 ( O − O ) ⎤ ⎡θ1 ⎤
1
⎪
⎢
⎥
CTR
=
+
⎨
⎬
⎢
⎥
⎢ D ⎥ θ S −E ⎢ 0
⎥
1 ⎦ ⎪ ⎢ λ2 ( E * − E ) ⎥ ⎣θ 3 ⎦
)⎣
⎣
⎦ ( 4 e
⎣
⎦
⎩
⎭⎪
(7.95)
Substituindo os parâmetros θ1 e θ3 pelas correspondentes estimativas em linha, a versão
adaptativa da lei de controlo anterior é escrita como se segue:
⎡
(θ 2 Se − O ) ⎤
*
⎢1 −
⎫
(θ 4 Se − E ) ⎥⎥ ⎧⎪ ⎡⎢ λ1 ( O − O ) ⎤⎥ ⎡θˆ1 ⎤
⎡OTR ⎤ ⎢
⎪
+ ⎢ ⎥ CTR ⎬
⎨
⎢ D ⎥=⎢
*
⎥ ⎢λ ( E − E ) ⎥ ⎢θˆ ⎥
1
⎣
⎦ 0
⎪⎭
⎦ ⎣ 3⎦
⎢
⎥ ⎪⎩ ⎣ 2
(θ 4 Se − E ) ⎥⎦
⎢⎣
(7.96)
O cálculo da matriz de BRISTOL de ganhos relativos (RAY, 1981; STEPHANOPOULOS, 1984)
conduz, neste caso, à matriz identidade correspondente a dois ciclos fechados sem
interacção, com D ligado ao etanol e OTR ligado ao oxigénio.
7.5.3.1 Resultados
As condições iniciais para as experiências de controlo multivariável por simulação são
idênticas às do controlo do etanol anteriormente expostas na Tabela 7.5. Os dados
relevantes para o controlador são: concentrações de etanol e oxigénio dissolvido, taxa de
transferência de dióxido de carbono e concentração de glucose na alimentação. Estes dados
são utilizados a cada 6 minutos (0.1 h) de período de amostragem.
O problema em estudo será controlar (regular) a concentração de etanol para um valor
258
*
-1
de referência, E = 0.5 g.L
e simultaneamente manter constante a concentração de
*
-1
oxigénio dissolvido a O = 2 mg.L ou seja, pretende-se que o controlador multivariável
entre em acção após a regulação monovariável do etanol. O controlador deverá conduzir a
experiência em ciclo fechado por manipulação do caudal volumétrico de alimentação e do
caudal de arejamento. Os perfis de variáveis manipuladas serão expostos em termos de
taxa de diluição e taxa de transferência de oxigénio. Esta última possibilita o cálculo do
arejamento através da relação linear entre o coeficiente global de transferência de oxigénio
e o caudal volumétrico de arejamento, conforme equação (4.31).
A versão adaptativa da lei de controlo requer a estimação em linha dos parâmetros θ1 e
θ3 usando como regressor a taxa de transferência de dióxido de carbono (mais
precisamente o valor –CTR). Os parâmetros θ2 e θ4 são considerados constantes e
conhecidos sendo apresentados na Tabela 7.10 juntamente com os valores verdadeiros de
θ1 e θ3. Estes valores foram calculados pelas expressões da Tabela 7.9, usando os
coeficientes de rendimento do modelo de simulação (Apêndice A).
Tabela 7.10 Valores dos parâmetros θi
Regime
θ1
θ2
θ3
θ4
RF
2.89
1.34
3.41
2.06
R
1.72
0.63
0.93
1.84
A adaptação dos parâmetros θ1 e θ3 é feita por dois métodos alternativos: mínimos
quadrados recursivos (MQR), estimador de dinâmica de 2ª ordem (EDSO). Para o método
MQR em versão discretizada, tem-se:
^
^
θ1,k+1 = θ1,k – Γ1,kCTRkε1,k+1T
Γ1,k +1 =
(γ
^
^
Γ3,k +1 =
(γ
Γ1,k
1
+ T 2CTRk2 Γ1,k )
(7.97)
0<γ1≤1
Γ1(o)>0
θ3,k+1 = θ3,k – Γ3,kCTRkε2,k+1T
em que
Γ3,k
+ T CTRk2 Γ3,k )
2
3
(7.98)
(7.99)
0<γ3≤1
Γ3(o)>0
(7.100)
259
^
ε1,k+1 = Ok+1 – Ok – T{–θ1,kCTRk + OTRk (θ2,kSe – Ok)Dk}
(7.101)
^
ε2,k+1 = Ek+1 – Ek – T{–θ3,kCTRk + (θ4,kSe – Ek)Dk}
(7.102)
Para o EDSO:
^
^
*
^
^
*
2
θ1,k+1 = θ1,k + T(O – Ok)/(CTRkτ1)
(7.103)
2
θ3,k+1 = θ3,k + T(E – Ek)/(CTRkτ2)
(7.104)
sendo os ganhos do controlador calculados por:
λ1 = 2ζ1/τ1 – (CTRk – CTRk-1)/(CTRkT)
(7.105)
λ2 = 2ζ2/τ2 – (CTRk – CTRk-1)/(CTRkT)
(7.106)
Os valores de θi correspondentes ao regime respiro-fermentativo constituirão as
estimativas iniciais das leis de adaptação. O efeito da utilização de valores diferentes
destes será contudo, analisado.
A sintonização das leis de controlo e adaptação é realizada por tentativa e erro, tendo
como critérios de avaliação de desempenho, o índice ITAE (equação (6.86)) e a média dos
*
*
erros de controlo (E – E) e (O – O). A Tabela 7.11 apresenta os valores destes critérios
para os dois casos de sintonização. Saliente-se o superior desempenho da solução baseada
num EDSO.
Tabela 7.11 Comparação das leis de adaptação através dos critérios ITAE e erro médio
Lei de adaptação
EDSO
MQR
Parâmetros
ITAE (O e E)
Erro médio
(%)
τ1 = τ2 = 0.10 h
0.0012
2.90
ζ1 = ζ2 = 2.0
0.0018
0.0175
Γ1(o) = Γ3(o) =100
0.034
16.5
γ1 = γ3 = 0.95
0.076
0.13
λ = 60.0 h
-1
A Figura 7.16 mostra os perfis de concentração de etanol (a) e oxigénio dissolvido (b)
onde é visível a boa prestação do controlador (sintonização com um EDSO). A pequena
oscilação inicial é devida à rápida alternância entre os regimes respiro-fermentativo e
respirativo. São também mostrados os perfis das acções de controlo, em termos de taxa de
diluição e OTR (c, d). O aspecto exponencial dos perfis está de acordo com a manutenção
260
do metabolismo em regime respiro-fermentativo com a concomitante produção de etanol e
consumo de oxigénio que são compensados através do efeito de diluição e do incremento
do arejamento.
-3
x 10
(a)
(b)
2.2
O(t) [g/L]
E(t) [g/L]
0.5005
0.5
1.8
0.4995
0
5
10
Tempo [h]
15
0
1.5
(c)
OTR(t) [g/(L.h)]
D(t) [1/h]
0.15
0.1
0.05
0
0
2
5
10
Tempo [h]
15
5
10
Tempo [h]
15
5
10
Tempo [h]
15
(d)
1
0.5
0
0
Figura 7.16 Controlo do etanol (a) e do oxigénio dissolvido (b) com as correspondentes acções de
controlo (c, d) - lei de adaptação EDSO
A Figura 7.17 apresenta as estimativas dos parâmetros θ1 (c) e θ3 (d). O traço contínuo
mostra o valor supostamente verdadeiro do parâmetro θi, sendo visível através da
constância desse valor, a manutenção do metabolismo em regime respiro-fermentativo.
A Figura 7.18 mostra os perfis de concentração de etanol (a) e oxigénio dissolvido (b)
para o caso de utilização da lei de adaptação via mínimos quadrados recursivos. O
controlador apresenta uma resposta com muitas oscilações devido à alternância frequente
entre os dois regimes metabólicos, conforme se pode verificar na Figura 7.19 (c e d),
mostrando-se incapaz de manter o processo em regime respiro-fermentativo.
(b)
(a)
1.15
1.5
RQ(t)
CTR(t) [g/(L.h)]
2
1
1.1
1.05
0.5
0
0
5
10
Tempo [h]
15
0
(c)
3.46
2.92
Teta3
2.91
Teta1
261
2.9
2.89
5
10
Tempo [h]
15
5
10
Tempo [h]
15
(d)
3.44
3.42
2.88
3.4
2.87
0
5
10
Tempo [h]
15
0
Figura 7.17 Estimativas (traço) dos parâmetros θ1 (c) e θ3 (d) através da lei de adaptação EDSO
versus valores verdadeiros (linha contínua); perfil do regressor (a) e do quociente respiratório (b)
-3
x 10
3.5 (b)
(a)
3
O(t) [g/L]
E(t) [g/L]
0.505
0.5
2.5
2
1.5
0.495
1
0
10
Tempo [h]
15
(c)
5
10
Tempo [h]
15
5
10
Tempo [h]
15
(d)
0.1
0.05
0
0
0
OTR(t) [g/(L.h)]
D(t) [1/h]
0.15
5
5
10
Tempo [h]
15
1
0.5
0
0
Figura 7.18 Controlo do etanol (a) e do oxigénio dissolvido (b) e correspondentes acções de
controlo (c e d) para a lei de adaptação MQR
1.4 (b)
(a)
1.5
1.2
RQ(t)
CTR(t) [g/(L.h)]
2
262
1
0.5
0.8
0
0
2.8
5
10
Tempo [h]
15
0
5
10
Tempo [h]
15
5
10
Tempo [h]
15
3.5 (d)
(c)
3
2.6
2.4
Teta3
Teta1
1
2.2
2
2.5
2
1.8
1.6
0
5
10
Tempo [h]
15
1.5
0
Figura 7.19 Estimativas dos parâmetros θ1 (c) e θ3 (d) através da lei de adaptação MQR;
perfil do regressor (a) e do quociente respiratório (b)
Os resultados que se seguem foram obtidos usando como lei de adaptação o estimador
de dinâmica de 2ª ordem.
Para estudar o efeito de medições com ruídos para os valores usados pelas leis de
controlo e de adaptação considerou-se a corrupção dos valores de etanol, oxigénio
dissolvido e taxa de transferência de dióxido de carbono (regressor) através da adição
algébrica de ruído branco não correlacionado com desvio padrão igual a 2%. A Figura 7.20
mostra os resultados desta experiência, onde é visível um desempenho razoável do
controlador que apresenta como médias do erro os valores 0.30% para o etanol e 15% para
o oxigénio. Os valores estimados dos parâmetros θi surgem na Figura 7.21, notando-se um
alisamento das estimativas face a medições com ruídos.
263
-3
x 10
0.52 (a)
(b)
5
O(t) [g/L]
E(t) [g/L]
0.51
0.5
3
2
0.49
1
0.48
0
5
Tempo [h]
10
0
1.5
OTR(t) [g/(L.h)]
(c)
0.15
D(t) [1/h]
4
0.1
0.05
0
0
5
Tempo [h]
10
5
Tempo [h]
10
(d)
1
0.5
0
0
10
5
Tempo [h]
Figura 7.20 Controlo do etanol (a) e do oxigénio dissolvido (b) e correspondentes acções de
controlo (c e d) para medições com ruído branco
(b)
(a)
1.2
1.5
RQ(t)
CTR(t) [g/(L.h)]
2
1
0.5
1.15
1.1
1.05
0
0
5
10
Tempo [h]
15
0
(c)
5
10
Tempo [h]
15
5
10
Tempo [h]
15
(d)
2.92
Teta3
Teta1
3.45
2.9
2.88
3.4
2.86
0
5
10
Tempo [h]
15
3.35
0
Figura 7.21 Estimativas dos parâmetros θ1 (c) e θ3 (d) para medições com ruído branco;
264
De forma a analisar o mau condicionamento dos valores iniciais de θi considerou-se a
utilização dos valores θ1 = θ3 = 4.0. As duas figuras seguintes ilustram o bom desempenho
do controlador e da lei de adaptação. As médias dos erros de controlo são 0.054% e 11.0%
para etanol e oxigénio respectivamente.

A regulação adaptativa das concentrações de etanol e de oxigénio dissolvido (usando o
-1
-1
estimador EDSO) apresenta uma produtividade média de 0.54 g.L .h e um rendimento
-1
global igual a 0.46 g.g valores substancialmente superiores aos obtidos com a regulação
-1
-1
monovariável da concentração de etanol (0.34 g.L .h
-1
e 0.425 g.g ).
-3
x 10
(a)
(b)
5
O(t) [g/L]
E(t) [g/L]
0.505
0.5
4
3
2
0.495
0
5
Tempo [h]
1
0
10
1.5
(c)
OTR(t) [g/(L.h)]
D(t) [1/h]
0.15
0.1
0.05
0
0
5
Tempo [h]
10
5
Tempo [h]
10
5
Tempo [h]
10
(d)
1
0.5
0
0
Figura 7.22 Efeito da utilização de diferentes valores iniciais de θ1 e θ3
7.6 SÍNTESE
265
1.2
1.5
RQ(t)
CTR(t) [g/(L.h)]
1.3 (b)
(a)
2
1
1.1
1
0.5
0
0
5
Tempo [h]
0.9
0
10
4 (c)
5
Tempo [h]
10
5
Tempo [h]
10
4 (d)
3.5
Teta3
Teta1
3.8
3.6
3.4
3
0
5
Tempo [h]
10
0
Figura 7.23 Estimativas de θ1 (c) e θ3 (d) para valores iniciais diferentes;
7.6 Síntese
Foram apresentados algoritmos para controlo de processos biotecnológicos.
Propuseram-se leis de controlo adaptativo para a regulação monovariável e regulação
multivariável. A síntese das leis de controlo não linear é realizada por técnicas de
geometria diferencial com linearização do sistema por retroacção de estado. A adaptação é
feita com base na estimação de parâmetros variáveis no tempo. Foi proposto um novo
algoritmo de adaptação com dinâmica de convergência de segunda ordem.
Os controladores desenvolvidos, obtidos por redução de ordem do modelo de estado,
foram verificados por simulação para a produção de fermento de padeiro. O objectivo do
controlo monovariável foi endereçado em termos da regulação da concentração de etanol.
Na situação de controlo multivariável, pretendeu regular-se as concentrações de etanol e de
oxigénio dissolvido. Os resultados obtidos indicam um bom desempenho para as leis de
266
controlo usando diferentes esquemas de adaptação. O estimador de dinâmica de 2ª ordem
mostrou, no entanto, os melhores valores para os critérios ITAE e erro médio. A análise da
robustez das leis de controlo e de adaptação demonstrou uma boa adequação do modelo
reduzido para a síntese de controlo adaptativo baseado em modelo. O controlo
multivariável permitiu a obtenção de maiores valores de produtividade e de rendimento.
7.7 Bibliografia
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7.7 BIBLIOGRAFIA
267
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FEUP 1995
8. Conclusões e Recomendações
“A fantástica capacidade de persuasão da análise
matemática rigorosa, com a sua atmosfera de precisão e
elegância, não nos deve cegar para os defeitos das premissas
subjacentes a todo o processo”
T.C. CHAMBERLAIN
(sobre o cálculo da idade da Terra por Lord Kelvin no séc. XIX)
As abordagens matemáticas introduzidas neste trabalho foram baseadas na utilização de
modelos determinísticos para os processos em estudo. A utilização sistemática de uma
estrutura global para reactores biológicos possibilita a generalização dos algoritmos
propostos a outros processos. A teoria de estimação apresentada é independente dos
processos em estudo. Um aspecto importante e comum aos algoritmos desenvolvidos é o
facto de nunca se postular um modelo cinético para as taxas de crescimento (ou de
reacção). Estas são consideradas parâmetros desconhecidos e variáveis no tempo.
Os objectivos principais desta tese, de desenvolvimento de algoritmos para melhorar a
monitorização em tempo real e para controlo adaptativo de processos biotecnológicos,
foram atingidos com sucesso. Os sensores por programação apresentados permitem tornear
a falta ou custo proibitivo de sensores para a medição em linha de certas variáveis. A
estimação em linha de variáveis de estado não medidas e de taxas de crescimento (ou de
reacção) permitem afirmar que a introdução de soluções avançadas na monitorização
contribui para um melhor conhecimento do processo. Particularmente, nos processos
fermentativos, a estimação da concentração de biomassa possibilita a determinação do
estado do processo e da actividade metabólica dos microrganismos.
A introdução de sistemas de controlo por retroacção na produção semi-contínua de
fermento de padeiro conduz a ganhos de produtividade e à obtenção de rendimentos
superiores relativamente ao funcionamento tradicional de alimentação do fermentador em
ciclo aberto.
8. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
274
A procura heurística de perfis de alimentação para a identificação de coeficientes de
rendimento do modelo de fermento de padeiro é ajudada pela quantificação da riqueza
informativa, recorrendo-se para isso a um conjunto de coeficientes de rendimento
normalmente obtidos à priori. Este conhecimento prévio dos coeficientes de rendimento
possibilita a simulação do modelo, face a várias trajectórias de alimentação.
O algoritmo de estimação de parâmetros para estimação de cinéticas e de parâmetros
das leis de controlo é baseado na conhecida estrutura canónica dos sistemas de 2ª ordem. A
sua sintonização apresenta a vantagem de se fornecerem somente dois parâmetros com
significado físico: o período natural de oscilação e o coeficiente de amortecimento. Uma
vantagem acrescida provem de, na síntese de controlo adaptativo, se fixarem as dinâmicas
do controlador e do estimador por sintonização única daqueles parâmetros.
A estimação de estado na produção de fermento de padeiro é dependente da estimação
das cinéticas, pelo facto de necessitar conhecer-se o regime metabólico das células.
As tarefas de identificação dos coeficientes de rendimento, estimação de estados e
controlo adaptativo são realizadas sem o conhecimento das cinéticas das reacções.
O problema de identificação dos coeficientes de rendimento é resolvido por introdução
de uma transformação no modelo, que possibilita uma formulação na forma de regressão
linear.
A síntese das leis de controlo não linear assenta numa metodologia geral que explora a
estrutura não linear do modelo do processo. A retroacção de estado possibilita a
linearização do sistema em ciclo fechado. A lei de controlo é obtida através da redução de
ordem do modelo, realizada por considerações de estado quase estacionário para algumas
variáveis. A abordagem adaptativa é introduzida para compensar os erros de estrutura da
lei de controlo e também as incertezas nos valores dos parâmetros. A adaptação dos
parâmetros é feita por recurso a estimadores.
As leis de controlo são verificadas por simulação, permitindo deste modo explorar-se as
qualidades e defeitos dessas leis. A análise das leis de controlo (e as leis de adaptação) face
a alteração na referência, alteração na carga, medições com ruídos e mau condicionamento
dos valores iniciais dos parâmetros, demonstra um desempenho robusto.
A regulação em simultâneo da concentração de etanol e oxigénio conduz a ganhos de
produtividade e de rendimento comparativamente à regulação monovariável de etanol.
275
As principais contribuições desta tese podem ser resumidas nos seguintes pontos:
• utilização de modelos parciais do processo de fermento de padeiro para
planear experiências de identificação de coeficientes de rendimento com
base no conteúdo informativo;
• proposta de lei de regulação multivariável para a produção de fermento de
padeiro;
• leis de adaptação, para estimação de parâmetros em estimadores e
controladores, com dinâmica de resposta de 2ª ordem;
• possibilidade de encurtar tempos de análise no processo de síntese
enzimática de ampicilina através de estimação de estados por observadores
assimptóticos;
• estimação de cinéticas na síntese enzimática de ampicilina, na fermentação
etanólica e na fermentação de fermento de padeiro.
• descrição pormenorizada da dinâmica da fase gasosa e de gases dissolvidos;
utilização de medições da fase gasosa para cálculo de parâmetros (taxas) de
transferência de massa;
As seguintes sugestões de trabalho futuro, perspectivadas principalmente para a
produção de fermento de padeiro, deverão complementar a investigação iniciada nesta
tese:
• verificação experimental das abordagens matemáticas desenvolvidas para a
produção de fermento de padeiro;
• utilização de substratos industriais na produção de fermento de padeiro;
deve ser investigada a transposição de resultados no caso de utilização de
melaços, cuja composição das matérias-primas é mal definida e apresentam
um grande grau de variabilidade, dado que existe ainda um conhecimento
insuficiente relativamente à utilização de modelos obtidos com experiências
efectuadas com substratos puros;
• procura óptima de trajectórias de entradas (caudal de alimentação,
arejamento) para identificação de coeficientes de rendimento. O problema
de optimização não linear pode ser resolvido pelo método conjugado do
gradiente a expensas de um grande poder computacional (recorre-se
normalmente a super-computadores). O advento de meios de computação
paralela poderá constituir uma alternativa viável para o exigente cálculo de
optimização;
• formulação de estratégias de controlo óptimo (possivelmente adaptativo)
para a maximização de funcionais, como por exemplo a produtividade;
• utilização de outras medições: utilização de espectrómetro de massa
equipado com uma sonda para análise de voláteis poderá permitir uma
melhor compreensão das vias metabólicas através da análise de compostos
como piruvato, acetato, acetaldeído e glicerol; utilização do potencial de
oxidação-redução poderá constituir uma indicação da disponibilidade de
oxigénio nas células.
• aplicação a outros processos biotecnológicos e a sistemas de multi-reactores
e reactores de parâmetros distribuídos (reactores multifásicos, por exemplo);
• a transferência de tecnologia deve ser endereçada: é desejável a
implementação dos algoritmos desenvolvidos em sistemas de supervisão
industrial;
276
277
Apêndices
279
APÊNDICE A: Modelo de simulação da
produção de fermento de padeiro
O modelo dinâmico para o crescimento de fermento de padeiro num fermentador semicontínuo é obtido por balanços de massa aos componentes, considerando que o reactor é
perfeitamente agitado, os coeficientes de rendimento são constantes e que a dinâmica da
fase gasosa pode ser desprezável.
1. Modelo cinético
É utilizado o modelo cinético proposto por SONNLEITNER e KÄPPELI (1986) baseado no
princípio da capacidade respiratória limitada (“bottleneck”). O crescimento do fermento de
padeiro em glucose com produção e/ou consumo de etanol pode ser caracterizado por três
vias metabólicas principais:
• Crescimento respiratório em glucose (via oxidativa)
µo
s
S + O ⎯⎯⎯
→X +C
(A.107)
• Crescimento fermentativo em glucose (via redutiva)
µr
s
S ⎯⎯⎯
→X +C + E
(A.108)
• Crescimento respiratório em etanol (via oxidativa)
µo
e
E + O ⎯⎯⎯
→ X +C
(A.109)
em que S, O, X, C e E representam respectivamente glucose, oxigénio, biomassa, dióxido
o
r
o
de carbono e etanol; µs , µs e µe representam as taxas específicas de crescimento e os ki são
os coeficientes de rendimento, expressos em relação à produção de uma unidade de
levedura em cada reacção. No seguimento, S, …, E designarão concentrações dos
APÊNDICE A: MODELO DE SIMULAÇÃO DA PRODUÇÃO DE FERMENTO DE PADEIRO
280
componentes anteriormente referidos.
As vias metabólicas do crescimento oxidativo em glucose e etanol são governadas pela
capacidade respiratória das células - estado respirativo. Se a glucose estiver presente em
pequenas concentrações e houver suficiente oxigénio disponível no meio, ocorrerá somente
o metabolismo oxidativo, sendo a glucose o substrato preferencial em vez do etanol. Por
outro lado, se o fluxo de glucose exceder a capacidade respiratória máxima, uma parte
desse fluxo será catabolizado oxidativamente e o restante seguirá um catabolismo
fermentativo, produzindo etanol. Neste caso não haverá lugar a crescimento oxidativo em
etanol. Esta situação corresponde ao estado respiro-fermentativo também designado por
oxido-redutivo.
As equações cinéticas para o crescimento de fermento de padeiro são postuladas como
se segue (SONNLEITNER e KÄPPELI, 1986).
A taxa específica (total) de consumo de glucose pode ser descrita pelo modelo cinético
de MONOD:
qs = qsmax
S
( S + Ks )
max
em que qs
(A.110)
é o valor máximo para taxa específica de consumo de glucose e Ks é um
parâmetro de saturação.
A taxa específica de consumo respirativo (oxidativo) de glucose depende da
disponibilidade de oxigénio dissolvido e pode ser definida como
⎛ YO ⎞
qsresp = ⎜ 2 ⎟ qOs 2
⎝ Yo ⎠
(A.111)
sendo YO2 o coeficiente de rendimento biomassa/oxigénio, Yo o coeficiente de rendimento
biomassa/glucose para a via oxidativa e
req
max
req
⎪⎧ qO2 ⇐ qO2 ≥ qO2
qOs 2 = ⎨ max
max
req
⎪⎩qO2 ⇐ qO2 < qO2
req
(A.112)
em que qO2 é a taxa específica de utilização de oxigénio necessário para a oxidação do
açúcar consumido, calculada como se segue:
⎛Y
qOreq2 = ⎜ o
⎜ YO
⎝ 2
⎞
⎟⎟ qs
⎠
281
(A.113)
max
onde qO2 representa a taxa específica máxima de utilização de oxigénio, seguindo também
uma cinética de Monod:
O
(O + Kc )
qOmax
= qcmax
2
max
qc
(A.114)
o valor máximo para a taxa específica de utilização de oxigénio, Kc é um parâmetro de
saturação.
Dado que a taxa de consumo de glucose qs segue duas vias metabólicas (oxidativa e
fermentativa), o fluxo fermentativo (redutivo) de glucose pode ser calculado como sendo a
diferença entre o fluxo total de glucose e o consumo oxidativo de glucose:
red
resp
qs = qs – qs
(A.115)
A utilização do etanol é influenciada pela prioridade no consumo de glucose, que, por
sua vez, funciona como inibidor. A taxa específica de utilização de etanol pode ser descrita
como se segue:
qe1 ≡ qemax
Ki
E
( E + Ke ) ( S + Ki )
max
em que qe
(A.116)
é o valor máximo para a taxa específica de utilização de etanol, Ki é um
parâmetro de inibição, Ke é um parâmetro de saturação. Esta equação é utilizada somente
se estiver disponível capacidade respiratória das células para utilização de etanol,
calculada por:
qe2 ≡
YO2e
Ye
(q
max
O2
− qOreq2 )
(A.117)
em que YO2e é o coeficiente de rendimento biomassa/oxigénio e Ye é o coeficiente de
1
rendimento biomassa/etanol para a via oxidativa do etanol. Consequentemente qe deve ser
2
menor ou igual a qe , ou seja a taxa específica de utilização de etanol é considerada como o
valor mínimo entre estas duas taxas:
1
2
qe = min(qe , qe )
282
(A.118)
A taxa específica total de crescimento, µt, é constituída pela soma das três taxas de
crescimento para as três vias correspondentes:
o
r
o
µ = µs + µs + µe
(A.119)
em que as taxas específicas podem ser relacionadas com os correspondentes fluxos de
substratos e com os coeficientes de rendimento como se segue:
resp
µ = Yoqs
red
+ Yrqs + Yeqe
(A.120)
A Figura A.1 ilustra o cálculo das taxas específicas de crescimento para as três vias
metabólicas. Os valores dos parâmetros cinéticos usados nas simulações estão presentes na
Tabela A.1.
Tabela A.1 Parâmetros cinéticos
Parâmetro
Valor
max
3.50 g glucose/(g biomassa.h)
max
0.256 g oxigénio/(g biomassa.h)
max
0.236 g etanol/(g biomassa.h)
qs
qc
qe
-1
Ke
0.10 g.L
Ki
0.10 g.L
Ks
0.20 g.L
Kc
0.0001 g.L
-1
-1
-1
S
Glucose
qs
qs
q max
s
(Ks + S)
qs
+-
qs
qs
S
µo
qs
[R]
q
Yo
YO2
q sresp
qs
q Omax
2
qcmax
(KC + O)
Oxigénio
O
q sred
Yo
capacidade respiratória
q omax
µr [RF]
Yr
q Oreq2 , q Omax
2
q Oreq2
O
µr
Yo 2
qs
µο [R]
Yo
red
q sresp
req
O2
283
[R]: qOmax >= q Oreq
2
2
q Oreq2
q Oreq2 = q Omax
2
q Omax
2
[RF]: qOmax < q Oreq
2
2
q Omax
2
µo
µo [RF]
YO2
q Oreq2
q Omax
2
+ -
q eth
O2
q 2E
YO 2 e
Ye
S
E
Etanol
q max
E
E
ki
(E + k )(S + k )
E
qe
Eta
no
l
q eth
O2
i
qE
qE
2
qE
1
ose
Gluc
min(q 1E , q 2E )
µe
Ye
µe [R]
qE
Figura A.1 Esquema de cálculo das taxas específicas de crescimento na produção de
fermento de padeiro
2. Modelo dinâmico do fermentador
Os balanços de massa são escritos para os diferentes componentes em termos de
concentração como se segue
dX
= ( µ so + µ sr + µ eo ) X − DX
dt
(A.121)
dS ⎛ µso µsr ⎞
= ⎜−
− ⎟ X − DS + DSe
dt ⎝ Yo Yr ⎠
(A.122)
dE ⎛ µ sr µ eo ⎞
=⎜
−
⎟ X − DE
dt ⎝ Yre Ye ⎠
(A.123)
dO ⎛ µ so µ eo ⎞
= ⎜−
−
⎟ X − DO + OTR
dt ⎜⎝ YO2 YO2e ⎟⎠
(A.124)
dC ⎛ µ so µ sr µ eo ⎞
=⎜
+
+
⎟ X − DC + CTR
dt ⎜⎝ Ygo Ygr Yge ⎟⎠
284
(A.125)
e a equação adicional
dV
dt = F = DV
(A.126)
Nas equações anteriores, D é a taxa de diluição, Yi são coeficientes de rendimento
biomassa/substrato, Se é a concentração de glucose na alimentação, CTR é a taxa de
transferência de dióxido de carbono e OTR é a taxa de transferência de oxigénio. Estas
taxas são calculadas durante a simulação como se segue
O2
OTR = KL a(Osat – O)
(A.127)
CO2
CTR = KL a(C – Csat)
(A.128)
com
O2
-1
KL a coeficiente global de transferência de oxigénio: 100 h ;
Osat
-1
concentração de saturação de oxigénio dissolvido: 7.0 mg.L ;
CO2
-1
KL a coeficiente global de transferência de dióxido de carbono: 90 h ;
Csat
-1
concentração de saturação de dióxido de carbono dissolvido: 5.3 mg.L ;
O conjunto de equações apresentadas tem uma estrutura comum que permite a sua
representação pelo modelo geral proposto por BASTIN e DOCHAIN (1990):
dξ
= Kϕ (ξ ) − Dξ + F − Q(ξ )
dt
(A.129)
que neste caso toma a seguinte forma matricial:
⎡X ⎤ ⎡ 1
⎢ S ⎥ ⎢ −k
1
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢E⎥ = ⎢ 0
dt ⎢ ⎥ ⎢
⎢ O ⎥ ⎢ − k5
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ k7
1
− k2
k3
0
k8
1 ⎤
⎡X ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
o
⎢ S ⎥ ⎢ DS ⎥ ⎢ 0 ⎥
0 ⎥ ⎡µs ⎤
⎢ ⎥ ⎢ e⎥ ⎢
⎥
⎢ r⎥
−k4 ⎥ ⎢ µ s ⎥ X − D ⎢ E ⎥ + ⎢ 0 ⎥ − ⎢ 0 ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
− k6 ⎥ ⎢⎣ µ eo ⎥⎦
⎢ O ⎥ ⎢OTR ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣CTR ⎥⎦
k9 ⎥⎦
(A.130)
Os valores dos coeficientes de rendimento usados neste trabalho surgem na Tabela A.2.
285
Tabela A.2 Valores de coeficientes de rendimento
Coeficiente
(Coeficiente)
-1
Valor
Yo
k1
0.49 g biomassa/g glucose
Yr
k2
0.05 g biomassa/g glucose
Yre
k3
0.10 g biomassa/g etanol
Ye
k4
0.72 g biomassa/g etanol
YO2
k5
1.20 g biomassa/g oxigénio
YO2e
k6
0.64 g biomassa/g oxigénio
Ygo
k7
0.81 g biomassa/g CO2
Ygr
k8
Yge
k9
3. Bibliografia
287
APÊNDICE B: Análise de estabilidade,
sintonização e convergência de
estimadores
Nesta secção serão apresentadas as condições que garantem a estabilidade e a dinâmica
de convergência do estimador baseado no observador (EBO) e do estimador de dinâmica
de segunda ordem (EDSO) relativamente à sintonização das matrizes dos ganhos.
1. Estabilidade e sintonização do estimador EBO
O sistema de erros contínuo do EBO pode ser obtido definindo o erro de observação
ξ% = ξ − ξ$ e o erro de convergência ρ% = ρ − ρ$ e subtraindo a equação do modelo dinâmico
geral de reactores biológicos
dξ
= KH (ξ , t ) ρ (ξ ) − Dξ + F − Q
dt
(B.1)
à equação do observador
dξˆ
= KH (ξ ) ρˆ ( t ) − Dξ + F − Q − Ω (ξ ) ξ − ξˆ
dt
(
)
(B.2)
originando:
dE
= AE + B
dt
(B.3)
com
E = ⎡⎣ξ%
ρ% ⎤⎦
T
⎡
Ω
KH (ξ ) ⎤
⎥
A=⎢
T
0 ⎥⎦
⎢⎣ − ⎡⎣ KH (ξ ) ⎤⎦ Γ
⎡
B = ⎢0
⎣
dρ ⎤
dt ⎥⎦
T
APÊNDICE B: ANÁLISE DE ESTABILIDADE, SINTONIZAÇÃO E CONVERGÊNCIA DE ESTIMADORES
288
em que B é considerado um vector de perturbação externa.
Este modelo de erro pode ser considerado um sistema linear variável no tempo (LVT)
perturbado (NARENDRA e ANNASWAMY, 1989) devido à presença de variáveis de estado na
matriz A.
Um resultado padrão para esta espécie de sistema diz que a estabilidade global é
garantida se o vector B for limitado e se o sistema não forçado for exponencialmente
estável (NARENDRA e ANNASWAMY, 1989).
A análise de Entrada Limitada Estado Limitado (ELEL) do modelo dinâmico (B.1) nas
condições:
C1. A taxa de diluição apresenta um limite inferior: 0 < Dmin ≤ D( t ) ∀t
C2. As taxas ou caudais de alimentação são limitadas: 0 < Fi ( t ) ≤ F ( t ) ∀i∀t
C3. Cada reacção envolve pelo menos um reagente que não é catalisador nem
autocatalisador,
conduz a que as variáveis de estado ξ são positivas e limitadas para todo o t (BASTIN e
DOCHAIN, 1990).
Se adicionalmente
C4. ρ(ξ) é uma função diferenciável em ξ, então estão assegurados os limites
do vector B de perturbação.
Se, por outro lado:
C5. Ω é uma matriz constante n×n com todos os seus valores próprios tendo
estritamente partes reais;
T
C6. Γ é uma matriz constante n×n tal que a matriz ΩΓ ΓΩ é definida
negativamente.
C7. KH(ξ) é uma matriz persistentemente excitante.
Então o sistema de erros não forçado é exponencialmente estável.
Pode concluir-se que o sistema de erros é globalmente estável.
As condições C5 e C6 introduzem algumas restrições para a sintonização das matrizes
de ganho Ω e Γ quadradas n×n. BASTIN e DOCHAIN (1990) sugerem a escolha:
Ω = diag{–ωi} Γ = diag{γi}
i=1,…,n
(B.4)
em que ωi e γi são 2×n constantes reais estritamente positivas.
Com estas escolhas as condições C4 e C5 são automaticamente verificadas e o
289
procedimento de sintonização reduz-se à calibração por tentativa e erro de 2×n escalares
constantes.
2. Estabilidade e sintonização do estimador EDSO (II)
Uma vez que H(ξ) é uma matriz diagonal, a equação
dψ
= H (ξ ) ρ (ξ ) − Dψ + K s−1 ( Fs − Qs )
dt
(B.5)
pode ser desacoplada em m equações como se segue:
dψ i
= hi ρi − Dψ i + ⎡⎣ K s−1 ( Fs − Qs ) ⎤⎦
i
dt
(i=1,…,m)
(B.6)
Dado que Ω e Γ para o EDSO são matrizes diagonais m×m cada uma das duas equações
do EDSO pode ser desacoplada em m equações originando:
dψˆ i
= hi ρˆ i − Dψ i + ⎡⎣ K s−1 ( Fs − Qs ) ⎤⎦ + ωi ( t )(ψ i − ψˆ i )
i
dt
(B.7)
d ρˆ i γ i
= (ψ i −ψˆ i )
dt
hi
(B.8)
com i=1,…,m, sendo ωi(t) e γi os elementos diagonais de Ω e Γ respectivamente.
O sistema de erros das equações (B.6) e (B.8) é definido pelo erro de observação
ψ% i = ψ i −ψˆ i e pelo erro de convergência ρ% i = ρi − ρˆ i . O sistema de erros é um sistema
perturbado LVT e é obtido por subtracção da equação (B.7) à equação (B.6) e por
reformulação da equação (B.8), originando
d ⎡ψ% i ⎤ ⎡ −ωi
=
dt ⎣⎢ ρ% i ⎦⎥ ⎣⎢ −γ i hi−1
em que
⎡ 0 ⎤
hi ⎤ ⎡ψ% i ⎤ ⎢
+ dρ ⎥
0 ⎦⎥ ⎣⎢ ρ% i ⎦⎥ ⎢ i ⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
(B.9)
d ρi
é considerado um perturbação externa persistente.
dt
Constitui um resultado padrão da teoria da estabilidade de sistemas Entrada Limitada
Saída Limitada (ELSL) que um sistema LVT perturbado por uma perturbação externa é
290
globalmente estável se o sistema não perturbado for exponencialmente estável (ou estável
uniforme e assimptoticamente no caso de sistemas lineares) e o vector de perturbação for
limitado (NARENDRA e ANNASWAMY, 1989).
As condições C1 a C4 asseguram os limites de
d ρi
(BASTIN e DOCHAIN, 1990).
dt
As condições para que o sistema de erros não perturbado seja uniforme e
assimptoticamente estável são as seguintes:
C8. As funções de estado hi(ξ) são limitadas: 0 < hmin ≤ hi(ξ) ≤ hmax ∀t≥to;
C9. hi(ξ) é uma função diferenciável de ξ o que significa que
dhi (ξ )
é limitado;
dt
C10.Os ganhos γi são constantes reais estritamente positivos;
C11.Os ganhos ωi(t) variáveis no tempo devem obedecer à condição
ωi (t ) ≥ −
dhi (ξ )
∀t≥to.
hi (ξ ) dt
1
Diferenciando a equação de estimação de ρi
dρˆ i γ i
= (ψ i − ψˆ i )
dt
hi
(B.10)
obtém-se
d 2 ρˆ i γ i dψ% i
1 dh
=
− γ i 2 i ψ% i
2
dt
hi dt
hi dt
(B.11)
Combinando a equação anterior com a equação (B.9) e a escolha de ω sugerida por
BASTIN e DOCHAIN (1990) conclui-se que
1 d 2 ρˆ i α i ( t ) d ρˆ i
+
+ ρˆ i = ρi
γ i dt 2
γ i dt
i=1,…,m
(B.12)
com αi(t) dado por:
α i ( t ) = ωi ( t ) +
dhi (ξ )
hi (ξ ) dt
1
definindo γi e ωi(t) por:
(B.13)
γi ≡
1
(B.14)
τ i2
ωi ( t ) ≡
291
2ζ i
τi
−
dhi (ξ )
hi (ξ ) dt
1
(B.15)
a equação (B.12) transforma-se:
τ i2
d 2 ρˆ i
d ρˆ i
+ 2ζ iτ i
+ ρˆ i = ρi
2
dt
dt
(B.16)
o que significa que cada ρˆ i ( t ) converge para o seu verdadeiro valor ρi(t) com uma
dinâmica de resposta de segunda ordem, com um período de oscilação natural τi constante
e com um coeficiente de amortecimento ζi constante. Note-se que as definições (B.14) e
(B.15) obedecem às condições C10 e C11.
A actualização dos ganhos ωi(t) (B.15) requer a avaliação da derivada em ordem ao
tempo
dhi (ξ )
. Uma vez que este termo é dado por:
dt
dhi (ξ )
dξ
= ⎡⎣∇hi (ξ ) ⎤⎦
= ⎡∇hi (ξ ) ⎤⎦ ⎡⎣ KH (ξ ) ρ ( t ) − Dξ + F − Q ⎤⎦
dt
dt ⎣
(B.17)
sendo [∇hi(ξ)] o gradiente de hi(ξ) em relação às variáveis de estado ξ
∂ hi (ξ ) ⎤
⎡ ∂ h (ξ )
L
⎡⎣∇hi (ξ ) ⎤⎦ ≡ ⎢ i
⎥
∂ξ N ⎦
⎣ ∂ξ1
(B.18)
a sua correcta avaliação implicaria o conhecimento dos verdadeiros valores de ρi (t ) .
Deste modo o melhor que se pode esperar é obter uma boa aproximação de
dhi (ξ )
. Um
dt
método possível é a discretização da derivada em ordem ao tempo:
dhi (ξ ) hi (ξt +1 ) − hi (ξt )
≅
dt
T
(B.19)
em que T se refere ao período de amostragem, “t+1” e “t” a instantes de amostragem
consecutivos. Assim a avaliação em linha de
dhi (ξ )
será corrompida pelo erro εi(t):
dt
εi (t ) =
dhi (ξ ) hi (ξt +1 ) − hi (ξt )
−
dt
T
292
(B.20)
Definindo ωi(t) por
ωi ( t ) ≡
2 (ζ i ) d
τi
−
1
hi (ξ )
hi (ξt +1 ) − hi (ξt )
T
(B.21)
em que (ζi)d se refere ao coeficiente de amortecimento desejável, resulta um coeficiente
ζi(t) variável no tempo, estando relacionado com o valor desejado (ζi)d e o erro εi(t) como
se segue:
ζ i ( t ) = (ζ i ) d −
τ iε i ( t )
2hi (ξ )
(B.22)
Note-se que definindo ωi(t) através da equação (B.21), de forma a obedecer à condição
C11, deve garantir-se que o erro de aproximação εi(t) tem um limite inferior:
εi (t ) <
2 (ζ i ) d
τi
hi (ξ )
(B.23)
Saliente-se também que a partir das equações (B.22) e (B.23), a condição definida em
(B.23) é equivalente a afirmar que ζi(t) deve ser positivo para todo o t.
3. Algumas considerações sobre a implementação numérica
A implementação numérica dos algoritmos EDSO requer uma formulação em tempo
discreto. A mudança das equações contínuas no tempo para versões discretas no tempo
origina questões específicas de estabilidade em que o período de amostragem T
desempenha um importante papel. Uma das aproximações mais populares para esta
mudança é a discretização de EULER. Neste trabalho são utilizados dois métodos: i. uma
discretização avançada de EULER e ii. utilização de uma rotina de integração robusta de
passo variável.
Para o estimador EDSO a discretização avançada de EULER com ω(t) e γ dados pelas
equações (B.14) e (B.15) origina:
ˆ k +1 = ψ
ˆ k + Th k ρˆ k − TDk ψ k + TU k + Tωk (ψ k − ψ
ˆ k)
ψ
293
(B.24)
T
(ψ k −ψˆ k )
τ 2 hk
(B.25)
hk +1 − hk
Thk
(B.26)
ρˆ k +1 = ρˆ k +
com
ωk =
2ζ
τ
−
O sistema discreto de erros é escrito como se segue
~ = (1 − Tω )ψ
~ + Th ~
ψ
k +1
k
k
k ρk
ρ% k +1 = −
(B.27)
T
ψ% k + ρ% k + ( ρ k +1 − ρ k )
τ 2 hk
(B.28)
o qual é equivalente a
Ek+1 = AkEk + Bk
(B.29)
com
⎡ψ% k ⎤
Ek = ⎢ hk ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ρ% k ⎥⎦
⎡ 2ζ
⎢1 − τ T
Ak = ⎢
⎢ −T
⎣⎢ τ 2
⎤
T⎥
⎥
1⎥
⎦⎥
0
⎡
⎤
Bk = ⎢
⎥
⎣ ρ k +1 − ρ k ⎦
O sistema discreto de erros dado por (B.29) é linear invariável no tempo (LIT). O
sistema não forçado é exponencialmente estável (e consequentemente o erro da saída de
(B.29) é limitado) se os valores próprios de A se mantiverem dentro do círculo unitário.
Os valores próprios da matriz A e os correspondentes tempos de amostragem são
apresentados na tabela que se segue:
294
Tabela B.1 Valores próprios do sistema discreto de erros do estimador EDSO e correspondentes
tempos de amostragem
ζ<1
ζ=1
)
1−
T
ζ − i 1−ζ )
τ(
1−
T
ζ +i
τ(
λ1
1−
T
λ2
1−
T
1− ζ 2
2
0 < T < 2ζτ
T
ζ>1
τ
τ
0<T<τ
ζ+
τ(
ζ 2 −1
(ζ −
ζ 2 −1
1−
T
1−
T
τ
0<T <
)
)
τ
ζ + ζ 2 −1
Verifica-se que a gama possível para o passo de integração T é limitada e condicionada
pela escolha de τ e ζ.

A versão discretizada do estimador da taxa específica de crescimento proposto por
POMERLEAU e PERRIER (1990):
-1
^
^
^
^
ψ
k+1 = ψk + T[Hkρk – Dkψk + Ks (Fs,k – Qs,k) + ω1,k(ψk – ψk)Xk]
(B.30)
^
µ^ k+1 = µ^ k + Tω2,k(ψk – ψ
k)Xk
(B.31)
apresenta um sistema discreto de erros também equivalente à equação (B.29) com
⎡ψ% ⎤
Ek = ⎢ k ⎥
⎣ µ% k ⎦
⎡1 − T ω1 X k
Ak = ⎢
⎣ −ω 2TX k
TX k ⎤
1 ⎥⎦
0
⎡
⎤
Bk = ⎢
⎥
⎣ µ k +1 − µ k ⎦
Os valores próprios da matriz A são dados por:
λ1,2 = 1 − ω1
TX TX
±
ω12 − 4ω 2
2
2
(B.32)
POMERLEAU e PERRIER (1990) sugeriram fixar um pólo duplo (λ1 = λ2, para discriminante
nulo) permitindo deste modo relacionar ω2 com ω1:
ω1,k =
ω2
2 (1 − p )
e ω 2,k = 1, k
TX k
4
(B.33)
em que p é a posição do pólo no plano Z.
Da equação anterior pode verificar-se que os ganhos são variáveis no tempo devido à
295
dependência da concentração de biomassa.
4. Bibliografia
1989.
POMERLEAU, Y., PERRIER, M. Estimation of Multiple Specific Growth Rates in Bioprocesses. AIChE J., 36,
2, 207-215, 1990.