Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
Resumo Definição da transformada de Laplace. Sinais e Sistemas Região de convergência. Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace. Sistemas caracterizados por equações diferenciais. Luís Caldas de Oliveira Estabilidade e causalidade. [email protected] Avaliação geométrica da CTFT a partir do mapa de pólos e zeros. Instituto Superior Técnico Diagramas de Bode. Sinais e Sistemas – p.1/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.2/57 Luís Caldas de Oliveira Resposta ao Sinal Exponencial Transformada de Laplace Vimos a resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo ao sinal exponencial complexo: A transformada de Laplace bi-lateral define-se como: Z +∞ x(t)e−st dt ∀s ∈ , X(s) = ∀t ∈ , x(t) = e jωt → y(t) = H( jω)e jωt −∞ Podemos generalizar para qualquer sinal exponencial: ou seja: x(t) − → X(s) ∀t ∈ , x(t) = e st → y(t) = H(s)e st L Em que H(s) se relaciona com a resposta impulsiva: Z +∞ h(t)e−st dt ∀s ∈ , H(s) = −∞ Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.3/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.4/57 Exemplo Transformada de Fourier A transformada de Fourier: ∀ω ∈ , X( jω) = Calcular a transformada de Laplace do sinal: Z +∞ ∀t ∈ , x(t) = e−at u(t) x(t)e− jωt dt −∞ em que a ∈ , a > 0 e u(t) é a função escalão unitário. É um caso particular da transformada de Fourier para s = jω: X(s)| s= jω = X( jω) Solução: ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −a}, X(s) = Sinais e Sistemas – p.5/57 Luís Caldas de Oliveira 1 s+a Sinais e Sistemas – p.6/57 Luís Caldas de Oliveira Exemplo Região de Convergência Calcular a transformada de Laplace do sinal: A região de convergência (ROC) da transformada de Laplace consiste nos valores de s = σ + jω para os quais o integral da definição converge. ∀t ∈ , x(t) = −e−at u(−t) em que a ∈ , a > 0 e u(t) é a função escalão unitário. Im Plano s Solução: ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) < −a}, X(s) = Luís Caldas de Oliveira 1 s+a −a Sinais e Sistemas – p.7/57 Luís Caldas de Oliveira Re Sinais e Sistemas – p.8/57 Exemplo Pólos e Zeros Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace é racional, ou seja é um quociente de polinómios em s ∈ : Calcular a transformada de Laplace do sinal: ∀t ∈ , x(t) = e−2t u(t) + e−t cos(3t)u(t) X(s) = Solução: N(s) D(s) Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do numerador. 2s2 + 5s + 12 ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −1}, X(s) = 2 (s + 2s + 10)(s + 2) Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do denominador. À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s, chama-se mapa de pólos e zeros de X(s). Sinais e Sistemas – p.9/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.10/57 Luís Caldas de Oliveira Transformada de Fourier Pólos e Zeros no Infinito Se a ordem do polinómio do denominador exceder a do numerador: Ordem(D(s)) = Ordem(N(s)) + k Se a região de convergência (ROC) da transformada de Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s) = 0 ou s = jω), a transformada de Fourier não converge. x(t) = e−t u(t) − → X(s) = a transformada X(s) tem k zeros no infinito. L Se a ordem do polinómio do numerador exceder a do denominador: x(t) tem transformada de Fourier x(t) = −e−t u(−t) − → X(s) = Ordem(N(s)) = Ordem(D(s)) + k L a transformada X(s) tem k pólos no infinito. Luís Caldas de Oliveira 1 , Re(s) > −1 s+1 1 , Re(s) < −1 s+1 x(t) não tem transformada de Fourier Sinais e Sistemas – p.11/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.12/57 Exemplo Propriedades da ROC Propriedade 1: a ROC é composta por faixas paralelas ao eixo imaginário. Calcular a transformada de Laplace do sinal: ( −at e , 0<t<T ∀t ∈ , x(t) = 0, caso contrário Propriedade 2: para transformadas de Laplace racionais, a ROC não contém pólos. Propriedade 3: se x(t) for de duração finita e absolutamente integrável, a ROC da sua transformada é todo o plano s. Solução: ∀s ∈ , X(s) = Sinais e Sistemas – p.13/57 Luís Caldas de Oliveira ( 1−e−(s+a)T s+a T, , s , −a s = −a Sinais e Sistemas – p.14/57 Luís Caldas de Oliveira Propriedades da ROC Propriedades da ROC Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e se a linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s) > σ0 também pertencem à ROC. Propriedade 7: se a transformada de Laplace for racional, então a sua ROC ou é limitada por pólos, ou se estende até ao infinito. Propriedade 8: se a transformada de Laplace for racional, então se x(t) for lateral direito a ROC será a região à direita do pólo mais à direita, se x(t) for lateral esquerdo a ROC será a região à esquerda do pólo mais à esquerda. Propriedade 5: se x(t) for um sinal lateral esquerdo e se a linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s) < σ0 também pertencem à ROC. Propriedade 6: se x(t) for um sinal bi-lateral e se a linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então a ROC consistirá numa faixa que inclui a linha Re(s) = σ0 . Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.15/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.16/57 Exemplo Transformada de Laplace Inversa No caso geral a inversão da transformada de Laplace exige o recurso a um integral de circulação. Determinar o número de sinais que podem ser associadas à transformada de Laplace: ∀s ∈ , X(s) = No entanto, se a transformada for uma função racional, pode ser expandida na forma: 1 (s + 1)(s + 2) Solução: Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral esquerdo e um lateral direito. X(s) = m X A1 s + ai i=1 Em função da região de convergência, o sinal x(t) será uma soma de exponenciais na forma Ai e−ai t u(t) ou −Ai e−ai t u(−t). Sinais e Sistemas – p.17/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.18/57 Luís Caldas de Oliveira Exemplo Solução Considere a equação de uma transformada de Laplace: x1 (t) = e−t u(t) − e−2t u(t) x2 (t) = −e−t u(−t) + e−2t u(−t) x3 (t) = −e−t u(−t) − e−2t u(t) 1 ∀s ∈ X(s) = (s + 1)(s + 2) Determine os sinais correspondentes à sua transformada inversa considerando as seguintes regiões de convergência: 1. Re(s) > −1 2. Re(s) < −2 3. −2 < Re(s) < −1 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.19/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.20/57 Linearidade Deslocamento Temporal ax1 (t) + bx2 (t) − → aX1 (s) + baX2 (s), ROC ⊃ R1 ∩ R2 x(t − t0 ) − → e−st0 X(s), ROC = R L L A transformada de Laplace é uma operação linear. Sinais e Sistemas – p.21/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.22/57 Luís Caldas de Oliveira Escalamento Temporal Deslocamento no Domínio S e s0 t x(t) − → X(s − s0 ), ROC = R + Re(s0 ) x(at) − → L L R 1 s X( ), ROC = |a| a a A ROC também é deslocada Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.23/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.24/57 Conjugado Convolução x(t)∗ − → X ∗ (s∗ ), ROC = R x1 (t) ∗ x2 (t) − → X1 (s)X2 (s), ROC ⊃ R1 ∩ R2 Os pólos e os zeros aparecem em posições conjugadas. A ROC pode ser maior se no produto houver cancelamento de pólos com zeros. L L Sinais e Sistemas – p.25/57 Luís Caldas de Oliveira Diferenciação no Tempo Diferenciação no Domínio S dx(t) − → sX(s), ROC ⊃ R dt L Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.26/57 Luís Caldas de Oliveira −tx(t) − → L Sinais e Sistemas – p.27/57 Luís Caldas de Oliveira dX(s) , ROC = R ds Sinais e Sistemas – p.28/57 Exemplo Exemplo Determinar a transformada de Laplace de: Determinar a transformada de Laplace inversa de: ∀t ∈ , x(t) = te−at u(t) ∀s ∈ ∧ Re(s) > −1, X(s) = Solução: Solução: 1 , ROC = Re(s) > −a X(s) = (s + a)2 ∀t ∈ , x(t) = [2te−t − e−t + 3e−2t ]u(t) Sinais e Sistemas – p.29/57 Luís Caldas de Oliveira t −∞ x(τ)dτ − → L Sinais e Sistemas – p.30/57 Luís Caldas de Oliveira Integração no Tempo Z 2s2 + 5s + 5 (s + 1)2 (s + 2) Valor Inicial e Final Se x(t) = 0 para t < 0 e se x(t) não tiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem: 1 X(s), ROC ⊃ R ∩ {Re(s) > 0} s teorema do valor inicial: x(0+ ) = lim sX(s) s→∞ teorema do valor final: lim x(t) = lim sX(s) t→∞ Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.31/57 Luís Caldas de Oliveira s→0 Sinais e Sistemas – p.32/57 Exemplo Função de Transferência As transformadas de Laplace da entrada e da saída de um sistema linear e invariante no tempo relacionam-se por: Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as seguintes funções constituem um par de Laplace: ∀s ∈ , Y(s) = H(s)X(s) ∀t ∈ , x(t) = e−2t u(t) + e−t cos(3t)u(t) A H(s) chama-se função de transferência e é a transformada de Laplace da resposta impulsiva do sistema. 2s2 + 5s + 12 ∀s ∈ ∧ Re(s) > −1, X(s) = 2 (s + 2s + 10)(s + 2) Solução: x(0+ ) = 2 lim s s→∞ 2s2 + 5s + 12 =2 (s2 + 2s + 10)(s + 2) Sinais e Sistemas – p.33/57 Luís Caldas de Oliveira Pares de Transformadas de Laplace Pares de Transformadas de Laplace 1 , Re(s) > −a s+a 1 , Re(s) < −a −e−at u(−t) − → L s+a 1 te−at u(t) − → , Re(s) > −a L (s + a)2 1 , Re(s) < −a −te−at u(−t) − → L (s + a)2 δ(t) − → 1, ∀s ∈ e−at u(t) − → L L δ(t − t0 ) − → e st0 , ∀s ∈ L 1 , L s 1 , −u(−t) − → L s 1 tu(t) − → 2, L s 1 −tu(−t) − → 2, L s u(t) − → Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.34/57 Luís Caldas de Oliveira Re(s) > 0 Re(s) < 0 Re(s) > 0 Re(s) < 0 Sinais e Sistemas – p.35/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.36/57 Pares de Transformadas de Laplace cos(ω0 t)u(t) − → L sin(ω0 t)u(t) − → L e −at cos(ω0 t)u(t) − → L e−at sin(ω0 t)u(t) − → L Causalidade A reposta impulsiva de um SLIT causal é um sinal lateral direito s , Re(s) > 0 2 s + ω20 ω0 , Re(s) > 0 2 s + ω20 s+a , Re(s) > −a (s + a)2 + ω20 ω0 , Re(s) > −a (s + a)2 + ω20 Se a função de transferência é racional admite a factorização em fracções simples. A transformada inversa das fracções simples envolve a função u(t). Num SLIT com função de transferência racional, a causalidade do sistema é equivalente à sua ROC ser o meio-plano à direita do pólo mais à direita. Sinais e Sistemas – p.37/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.38/57 Luís Caldas de Oliveira Exemplo Exemplo Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: ∀t ∈ , h(t) = e−t u(t) ∀t ∈ , h(t) = e−|t| Solução: Solução: H(s) = 1 , ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −1} s+1 H(s) = −2 , ∀s ∈ {s ∈ | − 1 < Re(s) < 1} −1 s2 A função de transferência é racional e a ROC é a região à A função de transferência é racional e a ROC não é a região direita do pólo mais à direita: o sistema é causal. à direita do pólo mais à direita: o sistema não é causal. Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.39/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.40/57 Exemplo Estabilidade Considere um sistema linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável. es , ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −1} s+1 Determine a resposta ao impulso do sistema e verifique se é causal. Solução: Nesse caso sua a transformada de Fourier converge. H(s) = ∀t ∈ , h(t) = e −(t+1) u(t + 1) Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da transformada de Laplace tem de incluir o eixo imaginário (s = jω). Um SLIT é estável se e só se a ROC da função de transferência H(s) incluir o eixo imaginário. O sistema não é causal apesar da ROC ser a região à direita do pólo mais à direita: a função de transferência não é racional. Sinais e Sistemas – p.41/57 Luís Caldas de Oliveira Exemplo Causalidade e Estabilidade Considere um sistema estável linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: H(s) = Sinais e Sistemas – p.42/57 Luís Caldas de Oliveira s−1 (s + 1)(s − 2) Um sistema causal com função de transferência H(s) racional é estável se e só se todos os pólos de H(s) estiverem no semi-plano esquerdo (todos os pólos têm parte real negativa). Determine a resposta ao impulso do sistema. Solução: Apesar de não ser dada a região de convergência, é dito que o sistema é estável, pelo esta inclui o eixo imaginário: {s ∈ | − 1 < Re(s) < 2} 2 1 ∀t ∈ , h(t) = e−t u(t) − e2t u(−t) 3 3 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.43/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.44/57 Exemplo Equações Diferenciais Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equação diferencial de coeficientes constantes: N X ∀t ∈ , h(t) = e2t u(t) k=0 Comente a causalidade e estabilidade do sistema. Solução: H(s) = M dk y(t) X dk x(t) bk = ak dtk dtk k=0 Aplicando a propriedade da diferenciação: 1 , ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > 2} s−2 H(s) = O sistema é causal mas é instável porque tem um pólo no PM bk sk Y(s) = Pk=0 N k X(s) k=0 ak s semi-plano direito. Sinais e Sistemas – p.45/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.46/57 Luís Caldas de Oliveira Exemplo Exemplo Considere um sistema linear e invariante no tempo em que a entrada x(t) e a saída y(t) se relacionam pela equação diferencial: ∀t ∈ , dy(t) + 3y(t) = x(t) dt Solução: 1 s+3 Sem mais informação não conseguimos determinar a região de convergência. Se o sistema for causal: H(s) = Verifique que a equação diferencial não especifica por comH(s) = pleto o sistema. 1 , ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −3} s+3 a resposta ao impulso será: ∀t ∈ , h(t) = e−3t u(t) Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.47/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.48/57 Exemplo Representação da Amplitude da TF Considere que se conhecem os seguintes factos acerca de um SLIT: A propriedade da transformada de Fourier da convolução aplicada a um sistema linear e invariante no tempo: 1. o sistema é causal; Y( jω) = H( jω)X( jω) 2. a função de transferência é racional e tem dois pólos em s = −2 e s = 4; 3. se x(t) = 1 então y(t) = 0; 4. a resposta impulsiva em t = 0+ vale 4. 20 log10 (|Y( jω)|) = 20 log10 (|H( jω)|) + 20 log10 (|X( jω)|) Determine a sua função de transferência. Esta escala de amplitudes refere-se à medida décibel (dB). Solução: H(s) = 4s , Re(s) > 4 (s + 2)(s − 4) Sinais e Sistemas – p.49/57 Luís Caldas de Oliveira Como é muitas vezes mais simples fazer somas em vez de multiplicações, a amplitude da transformada de Fourier representa-se muitas vezes na forma logarítmica: Sinais e Sistemas – p.50/57 Luís Caldas de Oliveira Décibel (dB) Escala de Frequências Logarítmica |H( jω)|dB = 20 log10 (|H( jω)|) A representação da escala de frequências numa escala logarítmica na forma log10 (ω) ou log10 ( f ) é comum em sistema contínuos. 0 dB correspondem à resposta em frequência com amplitude 1. Esta representação permite uma visualização mais compacta de uma gama de frequências do que a representação linear. +20 dB corresponde a um ganho de 10 vezes. −20 dB corresponde a uma atenuação de 0,1. A escala logarítmica de frequências permite uma aproximação assimptótica de sistemas contínuos, lineares e invariantes definidos por uma equação diferencial. −6 dB corresponde a uma atenuação aproximada 0,5. +6 dB corresponde a um ganho aproximada de 2. Aos gráficos de |H( jω)|dB e ∠H( jω) numa escala de frequências logarítmica dá-se o nome de diagramas de Bode. Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.51/57 Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.52/57 Avaliação vectorial Determinação Geométrica da CTFT As transformada de Laplace racionais podem ser representadas na forma: | jω − βi | é o módulo do vector desde o zero βi ao ponto s = jω; | jω − αi | é o módulo do vector desde o pólo αi ao ponto s = jω; ΠR (s − βi ) X(s) = M Pi=1 Πi=1 (s − αi ) ∠( jω − βi ) é ângulo que o vector desde o zero βi ao ponto s = jω faz com o eixo real; Fazendo s = jω: ∠( jω − αi ) é o ângulo que o vector desde o pólo αi ao ponto s = jω faz com o eixo real. ΠR | jω − βi | |X( jω)| = |M| Pi=1 Πi=1 | jω − αi | ∠X( jω) = R X ∠( jω − βi ) − P X ∠( jω − αi ) i=1 i=1 Sinais e Sistemas – p.53/57 Luís Caldas de Oliveira Sistema de 1a Ordem Exemplo Esboçar a transformada de Fourier correspondente ao sinal com transformafa de Laplace: X(s) = Sinais e Sistemas – p.54/57 Luís Caldas de Oliveira 1 , Re(s) > −1 s+1 1 h(t) = e−t/τ u(t) τ A transformada de Laplace: H(s) = |X( jω)|2 = 1 ω2 +(1)2 Pólo: ∠X( jω) = − tan−1 (ω) Luís Caldas de Oliveira 1 1 , Re(s) > − sτ + 1 τ s=− Sinais e Sistemas – p.55/57 Luís Caldas de Oliveira 1 τ Sinais e Sistemas – p.56/57 Conclusões A transformada de Laplace pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier. Os sistemas e os sinais com transformada de Laplace racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de pólos e zeros. A localização dos pólos e da região de convergência permitem determinar características como a causalidade e a estabilidade. A partir do mapa de pólos e zeros permite obter geometricamente a transformada de Fourier à parte um factor de escala. Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.57/57