Comparing different gain scheduling control strategies
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Comparing different gain scheduling control strategies
XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) Natal – RN, 25 a 28 de outubro de 2015 COMPARANDO DIFERENTES ESTRATÉGIAS DE CONTROLE PARA SISTEMAS NÃO LINEARES INCERTOS BASEADAS EM ESCALONAMENTO DE GANHOS Mateus Paresqui Berruezo∗, Leonardo A. B. Tôrres†, Reinaldo Martinez Palhares† ∗ Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627, 31270-901, Belo Horizonte, MG, Brasil † Departamento de Engenharia Eletrônica – Universidade Federal de Minas Gerais Emails: [email protected], [email protected], [email protected] Abstract— In this paper, two recent approaches for dealing with approximation and control of nonlinear systems with parametric uncertainties are presented and compared. These approaches are based on Linear Parameter Varying (LPV) and polytopic fuzzy Takagi-Sugeno (TS) models, respectively. Details and peculiarities of each approach are presented along the paper and a numerical example is presented to illustrate the performance of each one. Keywords— Takagi-Sugeno fuzzy models, LPV models, Uncertainty, Gain scheduled control. Resumo— Neste trabalho, são apresentadas e comparadas duas abordagens recentes para aproximação e controle de sistemas não lineares com presenças de incertezas paramétricas. Essas abordagens são baseadas, respectivamente, em modelos lineares por parâmetros variantes (LPV - do inglês Linear Parameter Varying) e fuzzy Takagi-Sugeno (TS) com descrições politópicas. Detalhes e particularidades de cada abordagem são apresentadas ao longo do texto e um exemplo numérico é utilizado para ilustrar a performance de cada uma. Palavras-chave— escalonado. 1 Modelos fuzzy Takagi-Sugeno, Modelos LPV, Incertezas paramétricas, Controle por ganho Na modelagem TS, em geral as variáveis premissas são variáveis de estado ou funções das mesmas. O compensador paralelo distribuı́do fuzzy neste caso pode ser especificado também como uma combinação convexa de controladores lineares locais ponderados de forma semelhante ao modelo fuzzy TS para o sistema não linear (Guerra. et al., 2015). Em Campos et al. discute-se conexões na obtenção de uma representação convexa para um modelo LPV dado via transformação produto tensorial (TP). O intuito neste último caso é que a transformação TP, em conjunto com outros procedimentos, leve a uma representação TS do modelo LPV. Por outro lado, o método do ganho escalonado para modelos LPV consiste em obter controladores cujos ganhos variam conforme as regiões de operação da planta. Vantagens deste tipo de controle incluem a estabilização e controle da planta em uma ampla faixa de operação (Rugh e Shamma, 2000). Claro que se pressupõe que o sistema não linear é representado como um modelo LPV. Nesta representação, o novo modelo e o controlador terão suas caracterı́sticas alteradas de acordo com a evolução das variáveis de escalonamento (Rugh e Shamma, 2000). Desvantagens neste último caso são a não trivialidade da transformação do sistema não linear em LPV e a falta de soluções em alguns casos (Bruzelius, 2004). Variáveis de escalonamento normalmente são escolhidas como grandezas que contribuem significativamente na alteração da dinâmica do sistema. Se estas variáveis forem completamente externas ao sistema, ele é denominado LPV, caso algumas ou Introdução Há uma rica literatura propondo diferentes métodos para sı́ntese de controladores considerando diferentes classes de sistemas não lineares em diferentes aplicações. Um passo crucial para este tipo de metodologia diz respeito a se obter uma representação adequada para a classe de sistemas não lineares, e em alguns casos são necessárias aproximações apropriadas nos intervalos de análise antes de proceder a sı́ntese de controle. Pode-se citar como estratégias de aproximação: linearização local em torno de pontos de operação; representação por sistemas variantes no tempo e mais especificamente em subclasses na forma de sistemas com parâmetros variantes (LPV); modelos locais fuzzy Takagi-Sugeno (TS); aproximação polinomial multivariável; transformações fracionárias lineares, dentre outras. A ideia é que dada uma aproximação para a classe de sistemas não lineares, a sı́ntese de controle possa ser obtida considerando metodologias mais amigáveis e aplicáveis a estas diferentes aproximações. No entanto há agravantes neste tipo de abordagem quando, por exemplo, o modelo do sistema não linear a ser aproximado apresenta incertezas paramétricas – tornando a discussão mais desafiadora dependendo da aproximação. Na modelagem fuzzy TS, o sistema não linear pode ser transformado em uma combinação convexa de sistemas lineares locais, ponderados por regras fuzzy com antecedentes dados por variáveis de escalonamento (variáveis premissas) e regidas por funções de pertinência (Guerra. et al., 2015). 1047 XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) todas as variáveis de escalonamento sejam funções dos estados do sistema, ele é denominado quaseLPV (q-LPV). Em ambos os modelos TS e LPV usualmente tem sido propostas abordagens para o controle baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMI - do inglês Linear Matrix Inequalities) e condições de estabilidade construı́das a partir de funções de Lyapunov. Há diversos métodos na literatura no tocante a modelos LPV (sem descrição politópica para as incertezas) com técnicas de amostragem no espaço das variáveis de escalonamento (veja (Bruzelius, 2004), (Marcos e Balas, 2004) e referências internas). Já nos modelos TS, as LMIs são descritas por combinações dos modelos locais lineares (Tanaka e Wang, 2001), (Campos et al., 2013). A ideia principal neste artigo é lançar luz sobre possı́veis comparações e conexões no projeto de controle por ganho escalonado para modelos LPV e controle para modelos fuzzy TS no contexto de aproximações viáveis para classes de sistemas não lineares com a presença de incertezas paramétricas e cujos modelos aproximados possam carregar uma estrutura apropriada para a descrição de incerteza. 2 é também incerta, objetivando representar as incertezas paramétricas originalmente presentes no sistema não linear que se refletem nos parâmetros dos modelos lineares locais associados a diferentes regiões de operação. Trata-se de uma representação multimodelo do sistema, um politopo para a região de operação e outro para as incertezas. Essa representação multimodelo é ilustrada na Fig. 1. Figura 1: Representação multimodelo do sistema não linear. Modelagem LPV e TS para Sistemas Incertos 2.1 Este tipo de representação pode introduzir algum grau de conservadorismo, pois é possı́vel que sejam consideradas combinações de vértices que não seriam observadas na prática. Uma alternativa seria considerar condições relaxadas baseadas em funções de Lyapunov dependentes de parâmetros (Oliveira et al., 2009), mas isto está fora do escopo que se pretende neste trabalho. A ideia é estabelecer comparações sob um mesmo cenário no contexto de funções de Lyapunov quadráticas. Busca-se o projeto de uma lei de controle por realimentação linear de estados, com matriz de ganho que é escalonada valendo-se do conhecimento das variáveis de escalonamento ρ(t) ∈ Ω, dada por Modelo LPV Incerto Considere o sistema LPV incerto a tempo contı́nuo: ẋ(t) = Â(ρ(t))x(t) + B̂(ρ(t))u(t) (1) y(t) = Ĉ(ρ(t))x(t) + D̂(ρ(t))u(t), no qual x ∈ Rn é o vetor de estados, u ∈ Rm é o vetor de entradas de controle, y ∈ Rl é o vetor de saı́das mensuráveis e ρ(t) ∈ Ω ⊂ Rp é o vetor de variáveis de escalonamento (parâmetros) medidas on-line e sua dependência com o tempo será desconsiderada para simplificação da notação. Considere em (1) que as matrizes Â, B̂, Ĉ, D̂ incorporam incertezas paramétricas na forma politópica da forma: Φ̂(ρ) = X N Â(ρ) B̂(ρ) Â = αi (ρ) i Ĉ(ρ) D̂(ρ) Ĉi i=1 Φ̂i (ρ) = j=1 Aij βij Cij Bij = Dij M X βij Φij , (2) j=1 (3) PN em que K(ρ) = i=1 αi (ρ)Ki , para matrizes Ki a serem determinadas. B̂i , D̂i PN sendo que Φ̂(ρ) = com i=1 αi (ρ)Φ̂i (ρ), PN i=1 αi (ρ) = 1, αi (ρ) ≥ 0, ∀i = 1, . . . , N , ρ ∈ Ω; e M X u(t) = K(ρ)x(t), 2.2 Modelo TS Incerto Considere que a i-ésima regra de um modelo fuzzy TS incerto a tempo contı́nuo com r regras seja dado por: Se ρ1 (t) é M1i E . . . E ρp (t) é Mpi , Então: ẋ(t) = (Ai + ∆Ai )x(t) + (Bi + ∆Bi )u(t) y(t) = (Ci + ∆Ci )x(t) + (Di + ∆Di )u(t), PM com j=1 βij = 1, βij ≥ 0, ∀j = 1, . . . , M . Desta maneira cada matriz de um respectivo vértice i (4) sendo ρ1 (t), . . . ,ρp (t) as variáveis premissas (ou variáveis de escalonamento); Mki , k = 1, . . . ,p, são 1048 XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) conjuntos fuzzy; e as incertezas matriciais ∆Ai , ∆Bi , ∆Ci e ∆Di tem norma limitada. Considerando o compensador paralelo distribuı́do (PDC - do inglês Parallel Distributed Compensation) obtém-se a i-ésima regra do controlador: 2.4 Note que se pode decompor os blocos de incertezas em (4) da forma: Se ρ1 (t) é M1i E . . . E ρp (t) é Mpi , Então: Portanto o modelo pode ser reescrito em uma forma similar a (1) e (3): ẋ(t) = hi (ρ){Âi x(t) + B̂i u(t)}, y(t) = hi (ρ){Ĉi x(t) + D̂i u(t)}, i=1 u(t) = K(ρ)x(t) = r X hi (ρ)Ki i=1 ! x(t), (10) Tij − 2Q2 < 0, ∀i < j sujeito a hi ∩ hj 6= ∅, (11) sendo que Tij é descrito em (12) e (Ai + Bi Ki )T P + ∗ T P Dai T Sii = P Dbi Eai Ebi Ki ∗ −I 0 0 0 ∗ ∗ −I 0 0 ∗ ∗ ∗ 2 −γai I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ 2 −γbi I Λ = (Ai + Bi Kj )T P + (Aj + Bj Ki )T P + ∗, Controle LPV robusto Considerando a lei de controle por realimentação de estados (3), o modelo em malha fechada do sistema (1) com incertezas é dado por (desconsidere neste momento y(t)): h i ẋ(t) = Â(ρ) + B̂(ρ)K(ρ) x(t) = Âcl x(t). Q1 = diag(Q0 , 0, 0, 0, 0), Q2 = diag(Q0 , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). O termo s indica o número de regras simultâneas que são ativadas para todo tempo de análise t. Já a condição hi ∩ hj 6= ∅ impõe que a LMI só deve ser considerada para regras cujas funções de pertinência se sobrepõem. A demonstração do teorema se encontra em (Tanaka e Wang, 2001). Para se garantir estabilidade quadrática segundo Lyapunov, basta que exista P = P T > 0 que satisfaça: ÂTcl P + P Âcl < 0. (9b) Sii + (s − 1)Q1 < 0, s > 1, (6) Qp i , ωi (ρ) = sendo hi (ρ) = Prωi (ρ) k=1 µk (ρ), ω (ρ) i i=1 Pr i=1 hi (ρ) = 1 e hi (ρ) ≥ 0, ∀i = 1, . . . , r, em que µik é o grau de pertinência da variável de escalonamento ρ ∈ Ω ao conjunto Mki ; Âi = Ai + ∆Ai , B̂i = Bi + ∆Bi , Ĉi = Ci + ∆Ci , D̂i = Di + ∆Di . 2.3 (9a) ∆Bi = Dbi ∆bi (t)Ebi , Teorema 2 (Tanaka e Wang, 2001): O sistema fuzzy TS em (4) é estabilizável via controle PDC (2.2) se existirem matrizes P = P T > 0 e Q0 ≥ 0 tais que: (5) i=1 r X ∆Ai = Dai ∆ai (t)Eai , −1 tais que ∆ai (t) = ∆Tai (t), k∆ai (t)k ≤ γai e −1 T ∆bi (t) = ∆bi (t), k∆bi (t)k ≤ γbi . O resultado a seguir estabelece a condição de estabilizabilidade para este caso. u(t) = Ki x(t), r X Controle fuzzy robusto 3 (7) Estudo de caso As técnicas apresentadas anteriormente serão avaliadas considerando o pêndulo amortecido motorizado, ilustrado na Fig. 2. O problema de se encontrar uma matriz constante P , simétrica e definida-positiva, que satisfaça (7), ∀ρ ∈ Ω, é equivalente a se encontrar a mesma matriz P considerando apenas as matrizes Âi , B̂i e Ki associadas aos vértices de uma descrição politópica do problema. PN Neste contexto, considerando que K(ρ) = i=1 αi (ρ)Ki , pode-se estabelecer o resultado a seguir para o cômputo do ganho de controle utilizando as tradicionais mudanças de variáveis X = P −1 e Yi = Ki X aplicadas em (7). u l θ m Teorema 1 Se existir uma matriz X = X T > 0 e N matrizes Yi tais que, ∀i = 1, . . . , N , ∀j = 1, . . . , M : T XATij + YiT Bij + Aij X + Bij Yi < 0, Figura 2: Pêndulo amortecido motorizado. As equações do sistema são dadas por: (8) ẋ1 = x2 , g b 1 ẋ2 = − sin(x1 ) − x2 + u, 2 l ml ml2 então o sistema LPV, com incertezas da forma em (2), é estabilizável com Ki = Yi X −1 . 1049 (13) XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) Λ T Dai TP Dbi P T Daj P T Tij = Dbj P Eai Ebi Kj Eaj Ebj Ki ∗ −I 0 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ −I 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ −I 0 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ −I 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 −γai I 0 0 0 sendo que x1 = θ ∈ (−π,π) denota o ângulo da haste do pêndulo; x2 = θ̇ ∈ R é a velocidade angular da haste; b > 0 é o coeficiente de atrito viscoso; m é a massa do pêndulo; l é o comprimento da haste rı́gida de massa desprezı́vel; g = 9,8 m/s2 é a constante gravitacional; e u é o torque aplicado pelo motor na haste. O objetivo é manter o pêndulo em um determinado ângulo fixo ref 6= 0. Observa-se que a dinâmica do xeq 1 = θ erro pode ser escrita como: ė1 ė2 = = e2 , − gl sin(e1 + xeq 1 ) − mlb 2 e2 + ml1 2 u, = = ẋint = e2 , − gl sin(e1 + xeq 1 ) − mlb 2 e2 + ml1 2 u, e1 , ė1 ė2 ẋint (14) 0 A(e1 ) = − gl ρ1 (t) 1 com ρ1 (t) = 3.1.1 (15) que depende somente de e1 . Porém, note que as condições incluem θref = xeq 1 6= 0 e e1 ∈ (−π,π), o que gera: lim e1 →0+ ou e1 →0− (12) b ml2 x2 (16) 1 − mlb 2 0 0 0 0 , B = ml1 2 , (17) 0 0 sin(e1 ) 1 − cos(e1 ) cos(xeq sin(xeq 1 )− 1 ). e1 e1 O termo não linear é agora limitado para todo intervalo e1 ∈ (−π,π), e pode ser aproximado por regras TS ou por técnicas LPV politópicas. Nos resultados apresentados a seguir adotou-se que o ângulo final a ser atingido pela haste é de xeq 1 = π/3 rad, o valor nominal da massa do pêndulo é 1 Kg, o comprimento da haste é 0,5 m e o coeficiente de atrito viscoso é 1 Kg m2 . Uma possı́vel representação quase-LPV para (15) é da forma: 0 1 0 0 eq A(e1 ) = − gl sin(e1e+x1 ) − mlb 2 0 , B = ml1 2 , 1 0 1 0 0 sin(e1 + e1 = e2 , = − gl sin(e1 + xeq 1 )− + ml1 2 v + ml1 2 ueq , = e1 , Modelagem quase-LPV do sistema xeq 1 ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 −γbj I eq com ueq = mgl sin(xeq 1 ), e v = u − u . Note que o sistema continua algebricamente inalterado. Após algumas manipulações em (16), obtém-se as novas matrizes: em que u = k1 e1 + k2 e2 + k3 xint + ueq . 3.1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 −γaj I 0 Obviamente esta aproximação não é válida e induzirá a erros grosseiros no modelo TS ou LPV. Uma possı́vel maneira de se contornar esse problema é reescrever (15) da forma: em que se considerou e1 = x1 − xeq 1 e e2 = x2 − ẋeq = x . 2 1 A entrada de equilı́brio para (14) é dada por ref eq ueq = mgl sin(xeq 6= 1 ) = mgl sin(θ ), tal que u ref 0, se θ 6= 0. Isto é, quando o pêndulo atinge um ângulo desejado que é não nulo, é necessário aplicar um torque fixo para que ele se mantenha parado. Garantir essa condição corresponde a modificar a ação de controle, adicionando ueq , i.e. u = k1 e1 +k2 e2 +ueq . Entretanto essa estratégia é pouco robusta, pois ueq depende dos parâmetros incertos do sistema. Uma alternativa é considerar a adição de uma ação integral, além da ação de controle ueq ≡ ueq nom calculada considerando os parâmetros nominais: ė1 ė2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 −γbi I 0 0 Modelo LPV politópico A partir de (17), e notando que e1 está definido em um intervalo conhecido, pode-se obter os limites para ρ1 em uma representação politópica. Isto é, ρ1 ∈ (ρ1 ,ρ1 ) = (−0.8696,0.5518), e o sistema LPV politópico é descrito por A(ρ1 ) = α1 (ρ1 )A1 + α2 (ρ1 )A2 e B(ρ1 ) = α1 (ρ1 )B1 + α2 (ρ1 )B2 , com: 0 1 0 g −b Ai = ρ1i l ml (18) 0 , i = 1,2, 2 1 0 0 0 Bi = ml1 2 , i = 1,2, 0 e ρ11 = ρ1 , ρ12 = ρ1 , α1 (ρ1 ) = = +∞ ou − ∞. α2 (ρ1 ) = 1050 ρ1 (t)−ρ1 ρ1 −ρ1 , ρ1 −ρ1 (t) ρ1 −ρ1 , satisfazendo α1 (ρ1 ), α2 (ρ1 ) ≥ 0 XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) 1 , 2 ∈ [−1,1], tem-se uma representação de variação em percentagem do valor de z1 e z2 . Decompondo individualmente cada matriz incerta Âi e B̂i , obtém-se para a primeira regra (considere que ξ = −0,5513 g, então: e α1 (ρ1 ) + α2 (ρ1 ) = 1. As incertezas são tratadas de maneira muito similar, porém requerem uma modificação em cada um dos vértices A1 , B1 , A2 e B2 . Para isso considere que os parâmetros incertos são limitados da forma: m ∈ [m,m] e l ∈ [l,l]. Portanto cada vértice do sistema LPV deve permitir as combinação das incertezas em m e l, i.e., 22 combinações gerando 4 vértices. Tomando como exemplo a matriz A1 : Â1 = A1 + ∆A1 = A1 + Da1 ∆a1 Ea1 0 1 0 0 0 = ξz1 z2 0 + ξz1 1 z2 2 × 1 0 0 0 0 δ1 (t) 0 1 0 0 , 0 δ2 (t) 0 1 0 A1 = (β11 A11 + β12 A12 + β13 A13 + β14 A14 ), de (18), as matrizes A11 , A12 , A13 e A14 são obtidas substituindo-se l e m em A1 pela combinação 2 a 2 de seus limites no intervalo variação. Note Pde 4 que β1j ∈ [0,1] ∀j = 1, . . . , 4 e j=1 β1j = 1. Esta mesma decomposição deve ser feita para as demais matrizes (i = 1, 2, 3 em (18)). Considerou-se variação de 10% na massa do pêndulo e no comprimento da haste. Do Teorema 1 obtém-se as seguintes matrizes de ganho para o controlador LPV politópico K(ρ1 ) = α1 (ρ1 )K1 + α2 (ρ1 )K2 : K1 = −41,2444 −4,0545 −15,2612 , K2 = −40,3348 −4,6224 −15,2612 . B̂1 = B1 + ∆B1 = B1 + Db1 ∆b1 Eb1 = 0 0 0 0 0 z2 + 0 z2 2 δ1 (t) . 0 δ2 (t) 1 0 0 0 Desta forma obtém-se as matrizes Da1 , Ea1 , Db1 , Eb1 utilizadas na sı́ntese do controlador fuzzy. Repetindo este procedimento sucessivamente obtém-se todas as matrizes necessárias para se lançar mão do Teorema 2. Considerando novamente 10% de variação na massa do pêndulo e no comprimento da haste, obtém-se os ganhos abaixo, considerando 5 regras, para o controlador PDC: K1 = −9,7600 −2,3467 −12,4346 , K2 = −6,2173 −1,9322 −10,4341 , K3 = −8,0236 −2,2376 −11,9451 , K4 = −12,3613 −1,9322 −10,4341 , K5 = −15,1683 −2,3467 −12,4346 . A simulação do pêndulo para o controle LPV, para diversos valores de massa de pêndulo e comprimento de haste, é ilustrada na Fig. 3. 3.1.2 Modelo Fuzzy Takagi-Sugeno O principal ponto da modelagem TS é obter as regras que descrevem o sistema (1) da forma (4). Para o caso especı́fico do sistema em (17) são descritas abaixo cinco regras triangulares escalonadas por e1 para aproximar o termo não linear, evidenciadas na Fig. 4, gerando: 0 1 0 Ai = ρi gl ml1 2 0 , ∀i = 1...5, 1 0 0 0 Bi = ml1 2 , ∀i = 1...5. 0 com coeficientes ρi dados na tabela 1. i ρi 1 -0,5513 2 -0,8667 3 -0,8100 4 0,3859 5 0,5513 Tabela 1: Valores de ρi para 5 regras. As simulações para valores distintos da massa do pêndulo e comprimento da haste estão ilustrados na Fig. 3. Comparando-se os resultados para ambas as abordagens, verifica-se um menor tempo de acomodação para o caso LPV, ao custo de uma maior amplitude da ação de controle em relação ao caso TS. Futuramente pretende-se aprimorar essa comparação, incorporando-se aos problemas de factibilidade nos Teoremas 1 e 2, limitantes superiores para o tempo de acomodação do sistema controlado em malha fechada. Ainda, observa-se que para a sı́ntese do controlador no caso LPV foi necessário considerar 9 LMIs, e no caso TS 11 LMIs. 4 Para representar as incertezas paramétricas, a ideia é re-escrevê-las da forma ˆl−1 = ẑ1 (t) e (m̂ˆl2 )−1 = ẑ2 (t), tal que ẑ1 = z1 (1 + 1 δ1 (t)) e ẑ2 = z2 (1 + 2 δ2 (t)), com δ1 (t) e δ2 (t) elementos de uma matriz diagonal ∆(t), respeitando os limites em norma, e z1 e z2 calculados de acordo com os valores nominais dos parâmetros incertos (Senthilkumar, 2010). Se as constantes Conclusões Este trabalho procurou apresentar um arcabouço matemático de como aproximar uma classe de sistemas não lineares com incertezas paramétricas. Abordou-se também a sı́ntese de controladores, considerando modelos LPV e fuzzy TS. Foram apresentadas semelhanças entre as duas técnicas, como a abordagem LMI utilizada na sı́ntese e o uso de variáveis de escalonamento/premissa para 1051 XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) ângulo desejado em menor tempo, mas com uma oscilação maior, fato explicado pelos ganhos elevados do controlador. Neste trabalho foram utilizadas condições de estabilidade quadrática, mas a discussão pode ser adaptada considerando resultados recentes para funções de Lyapunov dependentes de parâmetros, e outras relaxações na área de controle robusto. Ângulo, Velocidade Angular (Controlador LPV) 6 θ . θ̇ θ (rad), θ̇ (rad/s) 5 . 4 3 2 1 0 −1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tempo (s) 3 3.5 4 O presente trabalho foi realizado com o apoio financeiro da CAPES - Brasil. Ângulo, Velocidade Angular (Controlador PDC) TS) 2.5 θ . θ̇ 2 θ (rad), θ̇ (rad/s) Agradecimentos Referências 1.5 . 1 Bruzelius, F. (2004). Linear parameter-varying systems and approach to gain scheduling, PhD thesis, Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden. 0.5 0 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tempo (s) 3 3.5 4 Campos, V. C. S., Souza, F. O., Tôrres, L. A. B. e Palhares, R. M. (2013). New stability conditions based on piecewise fuzzy Lyapunov functions and tensor product transformations, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 21: 748–760. Figura 3: (a): Simulação com o controlador LPV (b): Simulação com o controlador PDC Funções de pertinência das regras TS 1 Campos, V. C. S., Tôrres, L. A. B. e Palhares, R. M. (2015). Revisiting the TP model transformation: Interpolation and rule reduction, Asian Journal of Control 17(2): 392–401. 0.9 0.8 Pertinência 0.7 Regra 1 Regra 2 Regra 3 Regra 4 Regra 5 0.6 0.5 0.4 Guerra., T. M., Sala, A. e Tanaka, R. K. (2015). Fuzzy control turns 50: 10 years later, Fuzzy Sets and Systems . http://dx.doi.org/10.1016/j.fss.2015.05.005. 0.3 0.2 0.1 0 −4 −3 −2 −1 0 1 Erro de posição (rad) 2 3 Marcos, A. e Balas, G. (2004). Development of linear-parameter-varying models for aircraft, Journal of Guidance, Control, and Dynamics 27(2): 218–228. 4 Figura 4: Funções de pertinência da aproximação TS para o pêndulo Oliveira, R. C. L. G., Oliveira, M. C. e Peres, P. L. D. (2009). Special time-varying Lyapunov function for robust stability analysis of linear parameter varying systems with bounded parameter variation, IET Control Theory & Applications 3: 1448–1461. alterar os ganhos do controlador de acordo com a região de operação. Em suma, as duas abordagens utilizam técnicas lineares, porém de maneiras distintas. As diferenças também são claras, e encontram-se principalmente na estrutura do modelo aproximado e do controlador, evidenciadas nas Seções 2.1 e 2.2. Considerando o exemplo apresentado, ambas as técnicas apresentam bom desempenho, sendo que a aproximação LPV pode ser considerada mais simples. Nota-se ainda que a sı́ntese de controle fuzzy TS requer um número maior de LMIs ao contrário do que acontece no controle LPV, porém isso não é regra e, no caso LPV, o número de LMIs tende a crescer exponencialmente em função dos parâmetros de escalonamento e das incertezas. Em relação ao desempenho, a resposta com o controlador LPV atingiu o Rugh, W. J. e Shamma, J. S. (2000). Research on gain scheduling, Automatica 36(10): 1401– 1425. Senthilkumar, D. (2010). Design of robust fuzzy controllers for uncertain nonlinear systems, PhD thesis, Indian Institute of Technology Guwahati, Assam, India. Tanaka, K. e Wang, H. O. (2001). Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequalities approach, John Wiley & Sons, New York, United States of America. 1052
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