adaptação de algoritmos para a inversão de dados de um impactor

ADAPTAÇÃO DE ALGORITMOS PARA A INVERSÃO DE DADOS DE UM
IMPACTOR EM CASCATA TIPO BERNER
J. RIJO e C. A. PIO
Universidade de Aveiro
Departamento de Ambiente e Ordenamento
RESUMO
As propriedades químicas e físicas, de transporte, e os efeitos na saúde do aerossol
atmosférico, são fortemente dependentes do tamanho das partículas. Assume assim
especial interesse o estudo da sua distribuição por tamanhos. Realizou-se então uma
série de medições do aerossol atmosférico, recorrendo a um impactor em cascata,
impactor de Berner, que colhe o aerossol de acordo com o diâmetro aerodinâmico
equivalente, em oito fracções separadas e descontínuas, tendo-se igualmente analisado o
pré-estágio. A determinação da distribuição contínua revela-se complicada do ponto de
vista matemático, pelo facto de os pratos do impactor não permitirem um tamanho de
corte abrupto, havendo uma gama de tamanhos para a qual a probabilidade de colheita
varia entre 0 e 100% em cada estágio. Desenvolveram-se assim metodologias de
inversão dos dados experimentais, baseadas em modelos previamente testados, com a
inovação de se recorrer a “software” de fácil utilização, tendo-se obtido resultados
satisfatórios.
PALAVRAS CHAVE : Aerossol, Berner, Kernel, Twomey, Log-Normal
1. INTRODUÇÃO
Um aerossol pode-se definir como um sistema de partículas, líquidas ou sólidas,
suspensas num meio gasoso. As partículas do aerossol atmosférico têm geralmente
diâmetros compreendidos entre 0.001 e 100 µm. Nesta gama permanecem tempo
suficiente na atmosfera para que possam ser medidas.
Desde a década de 50 que se têm verificado avanços na medição de aerossóis,
motivados por investigações relacionadas com os efeitos na saúde do aerossol
radioactivo e industrial em locais de trabalho e no ambiente em geral. Mais
recentemente, tem-se feito um esforço para compreender os efeitos dos aerossóis
naturais e antropogénicos no balanço térmico global, (Willeke e Baron, 1993). Sendo as
propriedades dos aerossóis fortemente condicionadas pelas partículas que o constituem,
torna-se imperioso o conhecimento da sua distribuição por tamanhos.
De entre as técnicas de medição de aerossóis que utilizam as propriedades dinâmicas
das partículas na atmosfera, os impactores inerciais em cascata são amplamente
utilizados. Nestes as partículas são colhidas separadamente em pratos colocados em
série. Embora se considere frequentemente a curva de eficiência de cada prato do
impactor como uma função em degrau do tamanho das partículas, na realidade os pratos
1
do impactor não permitem um diâmetro de corte abrupto, havendo uma gama de
tamanhos para a qual a probabilidade de colheita varia entre 0 e 100%, em cada estágio.
A curva de eficiência de cada prato tem usualmente a forma sigmoidal (figura 1),
podendo ser representadas por uma equação do tipo:
E(x) = [ 1 + (x50 / x)2s ]-1
(Eq. 1)
onde, x é o diâmetro aerodinâmico, x50 é o diâmetro para o qual a eficiência é 50% e s é
o declive.
Sup. 9
Sup . 8
Sup . 7
Sup. 6
Sup. 4
Sup . 3
Sup . 2
Sup. 1
Sup. 5
1,0
E fic iê ncia
0,8
0,5
0,3
0,0
0 ,0 1
0,1 0
1,00
10 ,0 0
10 0,00
Diâ met ro e quiva le nt e (µm )
Figura 1 – Curvas de eficiência para o impactor Berner (modelo Hauke 30/0.06/2),
construídas recorrendo aos dados da tabela I.
A informação fornecida por um impactor em cascata é frequentemente apresentada em
histogramas mostrando Ci/∆Ln(xi), onde Ci é a concentração medida no estágio i e
∆Ln(xi) é a diferença dos logaritmos dos diâmetros de corte superior e inferior desse
mesmo estágio. Uma vez que tal não permite utilizar toda a informação disponível,
dificultando a comparação de distribuições por tamanhos de amostragens realizadas com
diferentes impactores, é altamente desejável uma inversão dos resultados ( Winklmayr
et al., 1990). Assim, para se obter a distribuição por tamanhos f(x) do aerossol
atmosférico, associada à resposta Ci, temos que resolver a equação:
Ci = Ki(x) f(x) dx
2
(Eq.2)
Onde: f(x) é expressa em termos de dC/dLn(x) e Ki(x) são as funções de Kernel que
traduzem a resposta do impactor, isto é, contabilizam a probabilidade de uma partícula
de diâmetro x ficar retida no estágio i, sendo dadas por:
Kn(x) = En(x);
(Eq.3)
Ki(x) = Ei(x) [ 1 – Ei+1(x)] × ... [ 1 – En(x)] (i = n-1, n-2, ..., 1)
(Eq.4)
Em que: n = número de estágios, En é a função de eficiência do estágio maior e Ei a
função de eficiência do estágio i, dada pela eq. 1.
(Note-se que para o impactores em cascata o estágio 1 é o referente às partículas mais
pequenas, sendo o último pelo qual se faz passar o fluxo gasoso).
Tabela I – Principais características do impactor Berner LPI 30/0,06/2
d50
s
Estágio Diâmetro Diâmetro Diâmetro
(µm)
(b)
nº
de corte médio
dos
(µm)
(µm)
orifícios
(a)
(mm)
9
16
--15,9
16,5
3,0
8
8
11,3
5
8,2
3,5
7
4
5,7
2,7
4,35
5,0
6
2
2,8
1,2
2,15
6,5
5
1
1,4
0,7
1,04
5,0
4
0,5
0,71
0,6
0,52
3,5
3
0,25
0,35
0,42
0,27
3,2
2
0,125
0,18
0,3
0,14
3,0
1
0,0625
0,088
0,25
0,075
2,8
(a) – Referência: Hillamo e Kauppinen, citados em Winklmayr et al. (1990)
(b) – Referência: Winklmayr et al. (1990)
Os dados das primeiras três colunas constam do manual do impactor.
A determinação da função inversa f(x) a partir dos dados experimentais, Ci, é complexa,
não existindo do ponto de vista matemático uma solução única para o problema. Vários
modelos discriminativos foram testados no passado. O mais simples consiste em
considerar um diâmetro de corte em degrau; todas as partículas com diâmetro
aerodinâmico equivalente superior ao x50 de cada estágio, são capturadas nesse estágio.
3
Outros modelos têm em consideração as verdadeiras funções de Kernel do impactor na
determinação de f(x). Whitby (1978), concluiu que a distribuição por tamanhos do
aerossol atmosférico consiste em modos que podem ser descritos recorrendo à função
log-normal. Este princípio é utilizado por diversos autores em modelos visando a
inversão de dados de amostragem do aerossol atmosférico, sendo disso exemplo o
trabalho de Dzubay e Hasan (1990). Para evitar qualquer presunção formal da
distribuição, têm-se igualmente desenvolvido modelos mais generalistas, sendo o
algoritmo de Twomey o mais utilizado, adaptado por Markowski (1987), Wang e John
(1988) e Winklmayr et al. (1990). Os referidos modelos têm em comum o facto de, dada
a sua complexidade, exigirem normalmente “um grande” esforço computacional,
tornando-se por vezes difícil a sua aplicação.
Propomo-nos então a apresentar três modelos de inversão de dados de amostragem do
aerossol atmosférico com o impactor em cascata tipo Berner (30/0.06/2), cujas
principais características constam da tabela I, baseados em trabalhos previamente
desenvolvidos, mas com recurso a “software” de fácil utilização, evitando desta forma
grandes esforços computacionais.
2. MODELO LNDEGRAU
Dos modelos propostos, o mais simples, dada a simplicidade relativa dos pressupostos
em que assenta, é o modelo LNDEGRAU. Neste, considera-se à partida que a distribuição
por tamanhos do aerossol atmosférico pode ser descrita recorrendo à função log-normal,
usando a equação:
f(x) = A1 f1(x) + A2 f2(x) + A3 f3(x)
(Eq. 5)
sendo Ak os pesos relativos e fk(x) a função log-normal para os modos k = 1, 2 e 3, dada
por:
fk(x) = {exp – [( Ln(x) – Ln(mk))2 / [2(Ln(σk))2]]}/ [√(2π) x Ln(σk)]
(Eq.6)
onde: mk são as médias geométricas das distribuições e σk os desvios padrão
geométricos.
Adicionalmente, considera-se que todas as partículas com diâmetro superior ao x50 de
cada estágio, ficam efectivamente retidas nesse mesmo estágio, ou seja, a eficiência de
colheita em cada estágio é de 100% para partículas maiores que o x50, sendo nula para
partículas com diâmetro inferior a esse valor. Hewett e McCawley (1991), propuseram a
utilização de uma folha de cálculo para a aplicação deste tipo de modelo aos dados de
um impactor Moudi.
4
Neste modelo, desenvolvido no programa SIGMAPLOT (SPSS inc.) os dados
experimentais são primeiro apresentados na forma de histograma como Ci/∆Ln(xi).
Seguidamente faz-se um “fitting” (tipicamente a 100 pontos igualmente espaçados) da
função f(x) ao histograma ( f(x) como definida pela eq. 5). O programa fornece a função
e os parâmetros a ela associados (Ak, mk e σk).
3. MODELO LNREAL
O modelo LNREAL foi inspirado no trabalho de Dzubay e Hasan (1990) e nele, além de
se pressupor a distribuição log-normal multimodal, já são consideradas as verdadeiras
funções de eficiência de cada estágio. Procurou-se explorar as capacidades do programa
SCIENTIST (MicroMath Research) na integração de equações diferenciais e
determinação de parâmetros de modelos por “fitting” de equações a dados
experimentais.
Assim, lembrando que o problema de inversão da distribuição por tamanhos das
partículas do aerossol atmosférico é traduzido pela equação 2, podemos escrever para
cada estágio a equação diferencial:
dCi/dx = Ct × f(x) × Ki(x)
(Eq. 7)
onde: Ci é a concentração no estágio i, Ct é a concentração total, f(x) é a função
distribuição tal como definida na eq. 5, e Ki(x) a função de Kernel do estágio i tal como
definida na eq. 4.
O programa resolve o sistema de equações diferenciais determinando por tentativas
(fitting) os coeficientes do modelo que resultam em valores finais de Ci mais próximos
dos valores experimentais. Para um bom desempenho do modelo a integração terá que
ser efectuada entre um valor mínimo e máximo de x, valores de xmin=0.01 e xmax=100
foram utilizados. Para x = 0.01 considera-se, por aproximação, que nenhuma massa foi
colhida (Ci = 0) enquanto para x = 100 considera-se a concentração medida em cada
estágio (Ci = Ci). O valor de x inicial na integração deve ser pelo menos 10 vezes menor
que o x mínimo (utilizámos x0 = 0.00001).
Na lista de parâmetros do modelo devem constar estimativas iniciais (nós utilizámos as
saídas do modelo LNDEGRAU para este efeito) e limites para os parâmetros da função lognormal (Ak, mk e σk). Após realizar a integração o “software” fornece novos valores
para estes parâmetros, possibilitando a obtenção de um novo “fitting”, o qual traduzirá o
modelo LNREAL.
5
4. ADAPTAÇÃO DO ALGORITMO DE TWOMEY
A adaptação feita ao algoritmo de Twomey foi baseada nos pressupostos descritos por
Winklmayr et al.(1990), apresentando a inovação de ser feita recorrendo a uma folha de
cálculo desenvolvida em EXCEL (Microsoft ®, 1997).
A folha de cálculo proposta tem inicialmente 29 (1+1+(n×3)) colunas que serão a base
do processo de inversão (com n = 9 para o impactor Berner). Nessas colunas teremos: x
– nº de pontos onde se avalia a função, tipicamente 100 e igualmente espaçados
(teremos portanto 100 linhas); f00(x) – estimativa inicial da distribuição obtida a partir
das concentrações medidas experimentalmente (Eq. 8); Ei(x) – funções de eficiência tal
como definidas pela eq. 1(i=1...n); Ki(x) – funções de “Kernel” tal como definida pela
eq. 4; ai(x) – funções de ponderação, cuja introdução visa atenuar a influência da
estrutura das funções de “Kernel” na estrutura da função distribuição (Eq. 9).
f00(x) = Ci / ∆Ln(xi)
(Eq. 8)
ai = { Ki(x) / max [ Ki(x) ]}r
(Eq.9)
com r entre 0.3-0.7 (utilizámos r = 0.5), (Winklmayr et al. 1990).
Antes de se iniciar o processo iterativo, propriamente dito, introduziram-se cinco
colunas onde se melhora a estimativa inicial (f00) através das eq. 10 e 11. Este artifício
visa “amaciar” estruturalmente a função distribuição f(x).
f0k(x) = 0.25 f0k-1(x-1) + 0.5 f0k-1(x) + 0.25 f0k-1(x+1) (k=1...5)
f0k(x) = 0.75 f0k-1(x1) + 0.25 f0k-1(x2)
(Eq. 10)
(Eq. 11)
A eq. 11 foi utilizada para os extremos da distribuição.
A partir deste ponto inicia-se o processo de inversão, isto é, a integração da eq. 2. Esta
pode ser substituída pela soma (eq. 12), com a qual se modifica sequencialmente a
primeira aproximação (f05=f0), multiplicando-a por uma expressão que contabiliza a
razão entre a concentração calculada pelo modelo (Cij) e a medida experimentalmente
em cada estágio (Ci).
fj+1(x) = fj (x) × [ 1 + (Ci/Cij-1) ai(x) ]
6
(Eq.12)
onde
Cij = å Ki(x)× fj(x)× δ Ln(x)
(Eq.13)
sendo: 0<j<n-1, 1<i<n, ai(x) as funções de ponderação e δ Ln(x) a amplitude dos
intervalos entre os pontos em que se avalia a distribuição, constante para todos os x.
Assim, teremos conjuntos de nove colunas (f1...f9) que podem ser entendidos como uma
iteração, devendo parar-se o processo quando a melhoria do parâmetro SIGMA (eq. 14)
for inferior a 5%, ou para um máximo de 100 iterações caso o critério anterior não seja
atingido.
SIGMA2 = (1/n) å [ (Ci – Cij) / (δCi) ]2
(Eq. 14)
Com : δCi – Incerteza absoluta das medições experimentais
5. RESULTADOS E CONCLUSÕES
A avaliação dos modelos foi feita pela aplicação dos mesmos aos dados de diversas
amostragens de ar ambiente realizadas no decurso do corrente ano, nas instalações da
Universidade de Aveiro. Apresentam-se alguns exemplos que permitem visualizar a
distribuição em termos de concentração total, bem como um em que se mostra a
aplicação do algoritmo de Twomey às distribuições de alguns componentes do aerossol
atmosférico (figura 8 ). A determinação destes componentes foi feita recorrendo a
técnica cromatográfica, após tratamento adequado das superfícies de impacção.
12-2-99 a 16-2-99
13-1-99 a 17-1-99
30
50
40
LNREAL
( µg / m 3 )
Twomey
20
15
dC/dLn(x)
( µg / m 3 )
25
dC/dLn(x)
Impactor Berner
LNDEGRAU
Impactor Berner
LNDEGRAU
10
Twomey
30
20
10
5
0
0.01
LNREAL
0.1
1
10
0
0.01
100
Diâmetro equivalente (µm)
0.1
1
Diâmetro equivalente (µm)
7
10
100
Figura 2 - Aplicação dos modelos
Distribuição bimodal
Figura 3 - Aplicação dos modelos
Distribuição bimodal
Pese embora o facto de não podermos concluir em absoluto quanto à verdadeira função
distribuição, tal só seria possível gerando e, desta forma conhecendo à priori o aerossol
a amostrar, os exemplos apresentados sugerem boas aproximações, havendo, no entanto,
alguns aspectos a considerar.
19-2-99 a 23-2-99
Só 8 estágios
14
35
Impactor Berner
LNDEGRAU
12
( µg / m 3 )
8
dC/dLn(x)
3
( µg / m )
dC/dLn(x)
LNREAL
Twomey
10
Impactor Berner
LNDEGRAU
30
LNREAL
6
4
2
Twomey
25
20
15
10
5
0
0.01
0.1
1
10
0
0.01
100
0.1
Diâmetro equivalente (µm)
1
10
100
Diâmetro equivalente (µm)
Figura 4 - Aplicação dos modelos
Distribuição bimodal
Figura 5 - Aplicação dos modelos
Distribuição bimodal (8 estágios)
Assim, o modelo LNDEGRAU mostrou-se bastante versátil, adaptando-se facilmente aos
vários tipos de distribuição, desde que as estimativas iniciais dos parâmetros da
distribuição log-normal se mostrassem aceitáveis.
3-8-99 a 4-8-99
28-6-99 a 2-7-99
18
10
Impactor Berner
LNDEGRAU
16
LNREAL
14
Twomey
dC/dLn(x) ( µg / m 3 )
dC/dLn(x) ( µg / m 3 )
8
6
4
Impactor Berner
LNDEGRAU
LNREAL
Twomey
12
10
8
6
4
2
2
0
0.01
0.1
1
10
0
0.01
100
Diâmetro equivalente (µm)
0.1
1
Diâmetro equivalente (µm)
8
10
100
Figura 6 - Aplicação dos modelos
Distribuição trimodal
Figura 7 - Aplicação dos modelos
Distribuição trimodal
Por seu turno, o modelo LNREAL, apresentou algumas dificuldades no ajuste aos dados
em distribuições trimodais, havendo tendência para se reduzir um dos modos.
Contornou-se o problema apertando os limites de variação dos parâmetros da função
log-normal, procurando não condicionar excessivamente a distribuição.
A adaptação do algoritmo de Twomey revelou-se mais versátil, respondendo sem
problemas ao surgimento de um terceiro modo. Por outro lado, verificaram-se algumas
oscilações da função distribuição, já descritas por outros autores - Winklmayr et. al.
(1990) introduziram as funções de Kernel dos estágios fictícios 0 e 10 para atenuar este
8-2-99 a 12-2-99
14-5-99 a 18-5-99
2
10
5
dC/dLn(x) ( µg / m 3 )
15
( MSA ng S / m 3 )
20
1
0
0.01
1
10
LNREAL
Twomey
20
15
10
5
0
0.01
0
0.1
Impactor Berner
LNDEGRAU
25
dC/dLn(x)
dC/dLn(x) ( µg / m 3 )
30
25
Cloreto ( µg cl / m 3 )
3
Nitrato ( µg N / m )
3
Sulfato ( µg S / m )
3
MSA ( ng S / m )
100
0.1
1
10
100
Diâmetro equivalente (µm)
Diâmetro equivalente (µm)
Figura 8 - Aplicação dos modelos
Distribuição de componentes do
aerossol atmosférico
Figura 9 - Aplicação dos modelos
Distribuição bimodal
problema - bem como uma tendência significativa para o aumento da concentração
máxima da distribuição com esteitamento do respectivo modo. Outro motivo de
oscilações na função distribuição por nós verificado (ver distribuição de MSA na figura
8), igualmente descrito na literatura, é a existência de estágios com concentração nula.
No trabalho acima citado sugere-se um incremento de 10% do valor da concentração
mais alta dos estágios adjacentes no estágio de concentração nula.
Confrotando as funções de distribuição propostas pelos vários modelos testados,
podemos aceitar a função log-normal como uma boa aproximação para a função
distribuição por tamanhos do aerossol atmosférico. Com a introdução das eficiências
efectivas do impactor, constata-se o aumento generalizado do valor de concentração
máximo, com consequente estreitamento (diminuição de σ) nos modos da distribuição,
sendo mais evidente para o algoritmo de Twomey.
9
Quanto à distribuição propriamente dita, esta pode-se dizer bimodal no Inverno,
apresentando um modo com diâmetro médio geométrico (m1) entre 0.1 e 1 µm (modo
de acumulação), partículas formadas predominantemente por conversão gás-partícula; e
outro com m2 entre 1 e 10 µm (~ 5 µm), partículas grosseiras predominantemente
formadas por processos mecânicos.
No Verão temos um terceiro modo, de partículas grosseiras, não se podendo no entanto
concluir sobre ele pois o limite superior de diâmetro de corte do estágio maior foi
imposto empiricamente, não havendo garantias de se estar a medir somente partículas da
gama 16-50 µm
REFERÊNCIAS:
DZUBAY, T.G. e HASAN, H. 1990. Fitting multimodal lognormal size distributions to
cascade impactor data. Aerosol Science and Technology 13, 144-150
HEWETT, P. e McCAWWLEY, M. 1991. A microcomputer spreadsheet technique for
analyzing multimodal particle size distributions, Appl. Occup. Environ. Hyg. 6, 865-873
MARKOWSKI, G.R. 1987. Improving Twomey’s algorithn for inversion of aerosol
measurement data. Aerosol Science and Technology 7, 127-141
WANG, H.C. e JOHN,W. 1988. Characteristics of the Berner impactor for sampling
inorganic ions. Aerosol Science and Technology 8, 157-172
WHITBY, K. T. 1978. The physical characteristics of sulfer aerosols. Atmosferic
Environment, 12, 135-159.
WILLEKE, K. e BARON, P.A. 1993. Aerosol measurement – Principles Techniques
and Applications. Ed. K. Willeke e P.A. Baron, Van Nostrand Reinhold, New York,
capítulos 3 e 5.
WINKLMAYR, W.;WANG, H.C.; JOHN,W. 1990. Adaptation of the Twomey
algorithm to the inversion of cascade impactor data. Aerosol Science and Technology
13, 322-331.
10