Análise Multicritério - Lupércio F. Bessegato

Apoio à Decisão Multicritério
Lupércio F. Bessegato
PUC Minas – IEC
2007
Roteiro
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Introdução
Conceitos e Princípios Básicos
Soma Ponderada
Produto Ponderado
Soma Ponderada Modificada
Método Electre I
Conceitos e Princípios Básicos
1
Análise Multicritério
• Ferramenta de apoio à decisão com dois
componentes:
√ Construção do modelo
√ Gestão do processo
Modelo
Influencia
Modelo
Legitima
Processo
de
Decisão
Materializado por conjunto
algoritmos associados a objetivos.
de
Passos Para Construção
1. Definição de conjunto de alternativas para
avaliação
2. Definição de critérios de avaliação
dependentes de parâmetros (impactos,
etc.)
3. Ponderação e agregação dos critérios de
acordo a modelo matemático
2
Ferramenta Monobjetivo
Em geral são matematicamente bem
estruturadas, mas nem sempre representam
bem a realidade, pois a comparação de
alternativas possíveis raramente faz-se de
acordo a um só critério.
Ferramentas Multicritério
• Utilizadas em situações em que está
disponível mais de uma opção de sistema,
associados a uma mesma função de
desempenho
• Vantagens:
√ Melhora transparência do processo de decisão
√ Define
e
coloca
em
evidência
a
responsabilidade do decisor.
Conceitos (1)
• Ação:
Elementos
para
comparação
(política, programa, projeto, alternativa,
etc.)
• Critérios:
Representam as conseqüências das ações e
permitirão julgamento
• Avaliação:
Determinação da valia da ação, através de
comparação com padrão de referência.
3
Conceitos (2)
• Análise multicritério:
Busca explicitar critérios para interpretar
distintas conseqüências de ação
• Agregação:
Operação para obtenção de síntese através
de algoritmo
• Análise de sensibilidade:
Observação da variação do resultado final
através de variação de elemento do sistema.
(dados, limites, pesos, etc.)
Estudos de base
Proposição de ações
potenciais
Escolha das ações
potenciais
Proposição de
critérios
Escolha dos critérios
Proposição de método
de agregação
Fixação dos valores
dos parâmetros
Validação das
avaliações
Aceitação do método
de agregação
Proposição de análise
de sensibilidade
Escolha das análises
de sensibilidade
Aplicação do método
de agregação
Ponderação dos
critérios
Recomendação
Decisão
Decisor
Facilitador
Avaliação de ações
potenciais
Etapas do Processo de Decisão
• Formulação do Problema:
Sobre o que se quer decidir
• Determinação de conjunto de ações potenciais
• Elaboração de família coerente de critérios:
Para avaliação dos efeitos da ação (impacto)
• Determinação de pesos dos critérios
• Agregação de critérios
• Recomendação
4
Escala dos Critérios
• Ordinal:
Permite apenas a aplicação das relações >, <,
=.
• Cardinal:
Permite a aplicação
aritméticas básicas
das
4
operações
Família Coerente de Critérios
• Exaustividade:
Consideração de todos os pontos de vista
• Não redundância:
Considerar cada ponto de vista apenas uma vez
• Coerência:
A é preferida a B se suas avaliações são iguais
com exceção de pelo menos um critério em que
a avaliação de A é melhor que a de B.
Pesos dos Critérios
• Exprimem, de alguma maneira, a
importância relativa a cada critério;
• Ponderação de critérios pode ser realizada
por:
√ Hierarquização de critérios
√ Distribuição de pesos
√ Regressão múltipla
√ Etc.
5
Agregação de Critérios
Avaliação dos diferentes critérios para cada
ação, segundo um modelo matemático
definido.
• Agregação total:
Ações comparadas conjuntamente em
operação única
• Agregação parcial:
Comparação par a par das ações,
estabelecendo relações de superação entre elas
Métodos de Análise Multicritério
•
•
•
•
Soma ponderada
Produto ponderado
Soma ponderada modificada
Método Electre I
Notação
g: critério
a: ação
g(a): avaliação de uma ação
Preferências: Obedecem a uma ordem
g(a1) > g(a2) ou g(a1) < g(a2)
6
Definições
• Matriz de avaliações
(tabela de performances)
√ linhas correspondem às ações
√ colunas correspondem
avaliação
aos
critérios
de
Soma Ponderada
Objetivo
Atribuir peso para cada critério e calcular,
para cada ação, a soma do produto do peso
pelo critério de avaliação
7
Metodologia
• Matriz de avaliação
L
L
C1
p1
C2
p2
Cm
pm
a1
a2
E1,1
E2,1
E1,2 L E1, m
E2, 2 L E2, m
L
an
En,1
En, 2 L En, m
• Notação:
ai: i-ésima ação
Cj: j-ésimo critério
pj: peso do critério j
Eij: avaliação do critério j para a ação i
Soma Ponderada
m
• Soma ponderada da ação i:
Si =
∑E
j =1
m
ij
∑p
j =1
pj
j
m
• Se a soma dos pesos for 1:
Si = ∑ Eij p j
j =1
Critério de Decisão
• A melhor opção entre as ações será aquela
que apresentar o maior (ou menor) valor
• É necessário que as avaliações tenham o
mesmo sentido em todos os critérios
(quanto maior melhor ou quanto menor
melhor)
Para ajustar: multiplicar por -1
8
Exemplo #1
Escolha de equipamento para realizar
determinada atividade
• Critérios ambientais para escolha:
Consumo energia (kWh/ano) - 80%
Produção de resíduos (ton/ano) - 20%
• Critério de Escolha:
√ Consumir a menor quantidade de energia
√ Produzir a menor quantidade de resíduo
Solução
Energia
(kWh/ano)
Resíduos
(ton/ano)
Soma
Ponderada
80%
20%
Classificação
A
100.000
5.000
81.000
3
B
C
80.000
10.000
66.000
2
40.000
20.000
36.000
1
Limitação
• Sensibilidade à mudança de escala
• Compensação entre critérios
9
Sensibilidade à Escala
Energia
(kWh/ano)
Resíduos
(kg/ano)
Soma
Ponderada
Classificação
80%
20%
A
100.000
5.000.000
1.080.000
1
B
80.000
10.000.000
2.064.000
2
C
40.000
20.000.000
4.032.000
3
A mudança de escala influencia o resultado da soma ponderada
Problema da sensibilidade pode ser resolvido com Soma
Ponderada Modificada
Compensação entre Critérios
Ação com avaliação muito negativo sob um
critério, pode ser compensada por avaliação
mais positiva em outros critérios
Exemplo
Comparação entre alunos em 4 disciplinas
Matéria
Peso
1
2
3
4
4
3
3
1
Soma
Classificação
Ponderada
Aluno 1
7,5
7,5
7,5
6,0
7,4
1
Aluno 2
7,0
7,0
7,0
10,0
7,3
2
1
2
3
4
Peso
4
3
3
1
Aluno 1
8,0
8,0
7,0
4,0
7,4
1
Aluno 2
7,0
7,0
7,0
10,0
7,3
2
Matéria
Soma
Classificação
Ponderada
10
Compensação entre critérios
A distorção provocada pela compensação
entre critérios pode ser amenizada com o
Produto Ponderado
Soma Ponderada - Comentários
• Tem deficiências graves quando os critérios
são de caráter geral
• Instrumento cômodo quando se trata de
critérios diretamente associados a fenômeno
observável ou mensurável
Produto Ponderado
11
Notação
• Matriz de avaliação
L
L
C1
p1
C2
p2
Cm
pm
a1
a2
E1,1
E2,1
E1,2 L E1, m
E2, 2 L E2, m
L
an
En,1
En, 2 L En, m
• Notação:
ai: i-ésima ação
Cj: j-ésimo critério
pj: peso do critério j
Eij: avaliação do critério j para a ação i
Produto Ponderado
1
• Produto ponderado da ação i:
∑ pj
 m
p 
Pi =  ∏ (Eij ) j  j

 j =1
Pi = ∏ (Eij )
m
• Se a soma dos pesos for 1:
pj
j =1
Produto Ponderado – Comentários
• Utiliza-se o zero (cardinal ou ordinal) para
eliminar ação indesejada;
• Soma ponderada atenua o efeito de valores
extremos
• Produto ponderado reforça a influência de
valores extremos
12
Produto Ponderado – Exemplo
Critério
Soma
Produto
Ponderada Ponderado
1
2
3
20%
20%
60%
A
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
B
0,05
0,95
0,50
0,50
0,36
C
0,01
0,80
0,80
0,64
0,33
D
1,00
0,00
1,00
0,80
0,00
Soma Ponderada Modificada
Notação
• Matriz de avaliação
L
L
C1
p1
C2
p2
Cm
pm
a1
a2
E1,1
E2,1
E1,2 L E1, m
E2, 2 L E2, m
L
an
En,1
En, 2 L En, m
• Notação:
ai: i-ésima ação
Cj: j-ésimo critério
pj: peso do critério j
Eij: avaliação do critério j para a ação i
13
Metodologia
• Em cada critério, identificar a ação de
referência (Eref,j)
(Ex.: pior desempenho)
• Calcular o desvio relativo entre a avaliação
de cada ação e a avaliação de referência
desvio(ai , C j ) =
Eij
Eref , j
Metodologia (2)
• A avaliação global de cada ação dáse pela
soma ponderada dos desvios resultantes
para todos os critérios
m
∑ desvio(a , C ). p
j =1
i
j
j
• Maximiza-se (ou minimiza-se) esta soma.
Soma Ponderada Modificada –
Comentários
• Facilita a agregação e interpretação ao
associar os diferentes critérios com
avaliações entre 0 e 1;
• Os aspectos de compensação de critérios
permanecem, como no caso da soma
ponderada clássica
14
Método Electre I
Motivação
• Baseia-se em relações de superação entre
ações
• Processo de análise de superação parcial,
comparando as ações par a par
• Como vantagem, não postula a existência de
ótimo absoluto.
Indiferença, Preferência e
Incomparabilidade
Indiferença
15 g
incapacidade de distinguir
16 g
Preferência
Incomparabilidade
dilema
15
Relação de Superação
• ai é indiferente a ak:
Há razões claras que justifiquem uma
equivalência entre as ações
• ai é preferível a ak:
Há razões claras que justifiquem uma
preferência significativa em favor de uma das
ações
• ai é incomparável a ak:
Inexistência de razões claras que justifiquem
uma das duas situações anteriores
Superação
• ai é supera ak:
ai é pelo menos tão boa quanto ak segundo a
maior parte dos critérios e não existem
critérios segundo os quais ai é muito pior
que ak.
Estudo de Caso
Objetivo:
Definição de local para implantação de
aterro sanitário
Ações potenciais:
7 áreas possíveis, considerados 5 critérios
para a tomada de decisão.
Critério de Escolha:
Maximização: bom desempenho corresponde
a valor elevado.
16
Critérios Ambientais para Escolha
Escala
Peso
Preço do terreno ($R/m2)
Critério
Valores negativos
25%
Custo do transporte até a área
($R x ton/ano)
Valores negativos
45%
Qualitativa
(0 a 10)
10 = área ideal
10%
Residentes atingidos pelo impacto
(direção dos ventos, distância e topografia
(barulho), ângulo de visão, etc.)
Qualitativa
(0 a 10)
12%
Possibilidade de outros usos para a área
(esporte, turismo, proteção ao patrimônio,
etc.)
Qualitativo
(maior o interesse
menor a avaliação)
8%
Aptidão da área para suportar poluição
(permeabilidade do solo, profundidade
lençol freático, etc.)
Matriz de Avaliação
PreçoTerreno
($R/m2)
Transporte
Estado
($R.km/ano) Ambiental
Residentes
Atingidos
Possibilidade
outros Usos
25%
45%
10%
12%
8%
a1
-120
-284
5
3,5
18
a2
-150
-269
2
4,5
24
a3
-100
-413
4
5,5
17
a4
-60
-596
6
8,0
20
a5
-30
-1.321
8
7,5
16
a6
-80
-734
5
4,0
21
a7
-45
-982
7
8,5
13
Passos da Metodologia
•
•
•
•
•
•
•
Estabelecer matriz de avaliação:
Transformar os valores cardinais em
ordinais
Estabelecer a matriz de avaliação
transformada
Definir condições de concordância
Definir as condições de discordância
Estabelecer relação de superação
Localização do núcleo
17
Transformação da Escala
Escala
Tranformada
• Para evitar influência da unidade adotada
A=
ymax − ymin
xmax − xmin
20
Y=AX+B
B = y − Ax
Preço do Terreno
-20
150
30
Transformação Escala – Comentários
• Amplitude:
comprimento
da
escala
transformada, seu valor médio deve ser
zero, o limite superior seja positivo e o
inferior, negativo
• Recomenda-se relação entre a amplitude e
os pesos atribuídos a cada critério, evitandose amplitudes fracionárias
Correção Escala
Preço
Terreno
2
($R/m )
25%
Custo do
Transporte
($Rxkm/ano)
45%
Estado
Ambiental
(Qualitativo)
10%
Residentes
Atingidos
(Qualitativo)
12%
Possibilidades
de Uso
(Qualitativo)
8%
Amplitude
Máximo
Mínimo
40
20
-20
60
30
-30
20
10
-10
30
15
-15
10
5
-5
A
B
0,33
30,00
0,06
45,34
3,33
-16,67
6,00
-36,00
0,91
-16,82
Critério
Peso
18
Matriz de Avaliação
PreçoTerreno
($R/m2)
Transporte
Estado
($R.km/ano) Ambiental
Residentes
Atingidos
Possibilidade
outros Usos
25%
45%
10%
12%
8%
a1
-10
29
0
-15
0
a2
-20
30
-10
-9
5
a3
-3
22
-3
-3
-1
a4
10
11
3
12
1
a5
20
-30
10
9
-2
a6
3
3
0
-12
2
a7
15
-11
7
15
-5
Condições de Concordância
• gj(ai): avaliação do critério j da ação ai
• pj: peso do critério j
• J+(ai, ak) = gj(ai) > gj(ak)
conjunto de critérios para os quais ai é preferida à ak
• J=(ai, ak) = gj(ai) = gj(ak)
conjunto de critérios para os quais ai é preferida à ak
• J-(ai, ak) = gj(ai) < gj(ak)
conjunto de critérios para os quais ai é preferida à ak
Condições de Concordância (2)
P + ( ai , a k ) = ∑ p j
J+
soma dos pesos dos critérios do conjunto
J+(ai, ak)
P = ( ai , a k ) = ∑ p j
J=
soma dos pesos dos critérios do conjunto
J=(ai, ak)
P − ( ai , a k ) = ∑ p j
J−
soma dos pesos dos critérios do conjunto
J-(ai, ak)
19
Índice de Concordância
Cik =
P + (ai , ak ) + P = (ai , ak )
P
P = P+(ai, ak) + P=(ai, ak) + P-(ai, ak)
Conjunto de concordância:
J = J+(ai, ak) U J=(ai, ak)
Exemplo
J+(a1, a6)= {2}
=> P+(a1, a6)= 45%
J=(a1, a6)= {3}
=> P=(a1, a6)= 10%
J-(a1, a6)= {1, 4, 5}
=> P-(a1, a6)= 25+12+8
= 45%
Conjunto de concordância: {2, 3}
C16 =
45 + 10
= 0,55
100
Teste de Concordância
A partir de qual valor dos índices Cik a
concordância com a hipótese de superação
parece suficientemente forte para admitir esta
hipótese como verdadeira?
20
Teste de Concordância (2)
• Limite de concordância (c):
Mínimo de concordância necessário para que a
proposição “ai supera ak” não seja rejeitada
• Teste de concordância: Cik = c
• Valores de c podem ser fixados entre 0,5 e 1.
valores abaixo de 0,5 não tem sentido
Matriz de Concordância
Ação
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a1
-
0,35
0,63
0,45
0,53
0,55
0,53
a2
0,65
-
0,53
0,53
0,53
0,65
0,53
a3
0,37
0,47
-
0,45
0,53
0,57
0,53
a4
0,55
0,47
0,55
-
0,65
0,92
0,53
a5
0,47
0,47
0,47
0,35
-
0,47
0,43
a6
0,45
0,35
0,43
0,08
0,53
-
0,53
a7
0,47
0,47
0,47
0,47
0,57
0,47
-
Limite de concordância: c = 0,65
a2 supera a1
a2 supera a6
a4 supera a5
a4 supera a6
Condições de Discordância
• Procuram-se os conjuntos de discordância
J-(ai, ak) para cada par de ações (ai, ak).
• Calcula-se a diferença entre a avaliação da ação
ak (g(ak)) e a avaliação da ação ai (g(ai)) para
cada critério discordante
21
Índice de Discordância (Dik)

0
, se J − ( ai , ak ) = ∅

Dik =  max{g j (ak ) − g j ( ai )
, j ∈ J − ( ai , ak )
*

δj

• dj*: amplitude da escala do critério de máxima
discordância
• O índice oferece a medida da oposição
manifestada pelo(s) critério(s) discordante(s) à
aceitação da hipótese de superação
Teste de Discordância
Até que ponto a oposição dos critérios
discordantes é tolerável com relação à
hipótese de superação?
Teste de Discordância (2)
• Limite de discordância (d):
Máximo de discordância tolerado para que a
proposição “ai supera ak” não seja rejeitada
• Teste de concordância: Dik = d
• Valores de c podem ser fixados entre 0 e 0,5.
valores acima de 0,5 perdem o significado
22
Exemplo
J-(a1,
a2)= {2, 4, 5}
g2(a2) – g2(a1) = (30) – (29) = 1
g4(a2) – g4(a1) = (-9) – (-15) = 6
g5(a2) – g5(a1) = (5) – (0) = 5
Max{gj(a2) – gj(a2)} = 6
d*= d4 = 30
Índice de discordância:
D12 =
6
= 0,20
30
Ação
Matriz de Discordância
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a1
0,25
0,12
0,30
0,99
0,43
0,66
a2
0,20
0,14
0,31
1,00
0,44
0,68
a3
0,40
0,42
0,17
0,86
0,31
0,54
a4
0,90
0,75
0,50
0,69
0,80
0,37
a5
0,75
1,00
0,58
0,25
0,70
0,13
a6
0,33
0,58
0,17
0,09
0,56
0,24
a7
1,00
0,88
0,46
0,13
0,32
0,90
-
Relação de Superação
Uma ação ai supera a ação ak se os critérios
para os quais ai é ao menos tão boa quanto
ak são suficientemente importantes e se as
considerações dos critérios restantes não
oferecem uma oposição muito vigorosa a
esta proposição
Ou seja: Cik = c e Dik = d
23
Relação de Superação
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a1
0,65
0,37
0,55
0,47
0,45
0,47
a2
0,35
0,47
0,47
0,47
0,35
0,47
0,5
a3
0,63
0,53
0,55
0,47
0,43
0,47
Limite de discordância:
a4
0,45
0,53
0,45
0,35
0,08
0,47
a5
0,53
0,53
0,53
0,65
0,53
0,57
a6
0,55
0,65
0,57
0,92
0,47
0,47
a7
0,53
0,53
0,53
0,53
0,43
0,53
-
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Ação
Ação
Limite de concordância:
a1
0,25
0,12
0,30
0,99
0,43
0,66
0,35
a2
0,20
0,14
0,31
1,00
0,44
0,68
a3
0,40
0,42
0,17
0,86
0,31
0,54
a4
0,90
0,75
0,50
0,69
0,80
0,37
a5
0,75
1,00
0,58
0,25
0,70
0,13
a6
0,33
0,58
0,17
0,09
0,56
0,24
a7
1,00
0,88
0,46
0,13
0,32
0,90
-
Relação de Superação (2)
Ação
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a1
-
0
0
0
0
1
0
a2
1
-
0
0
0
0
0
a3
0
0
-
0
0
1
0
a4
1
0
1
-
1
1
1
a5
0
0
0
0
-
0
0
a6
0
0
0
0
0
-
0
a7
0
0
0
0
1
0
-
a1Sa6;
a2Sa1;
a3Sa6
a4Sa1, a4Sa3, a4Sa5, a4Sa6, a4Sa7
a7Sa5
Gráfico de Superação
a7
a1Sa6;
a2Sa1;
a3Sa6
a4Sa1,
a4Sa3,
a4Sa5,
a4Sa6,
a4Sa7,
a7Sa5
a1
a6
a2
a5
a3
a4
24
Núcleo
• Para condições de concordância pouco
exigentes (c=0,50) as melhores soluções do
problema são as ações a2 e a4
• Para desempatar, são necessários estudos
mais detalhados para elas
Referências
Bibliografia Recomendada
• Maystre et Bollinger (Lausanne)
Aide à la négociation multicritère
• Maystre, Pictet et Simos (Lausanne)
Méthodes multicritères ELECTRE
25