INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Capítulo 6
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.1 Introdução
Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua
derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.
Definição 6.1. Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) no intervalo I se para todo
x ∈ I, tem-se:
F ′ (x) = f (x)
Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será
definida sobre um intervalo.
Definição 6.2. Seja F (x) uma primitiva da função f (x) no intervalo I. A expressão F (x) + c, c ∈ R
é chamada a integral indefinida da função f e é denotada por:
Z
f (x) dx = F (x) + c
Logo:
Z
f (x) dx = F (x) + c ⇐⇒ F ′ (x) = f (x)
em particular:
Z
f ′ (x) dx = f (x) + c.
Assim, a integral indefinida permite que encontremos uma família de primitivas de f (x).
A sintaxe para o cálculo da integral indefinida de uma função é:
>int(função,variável)+C;
ou de forma mais didática:
>Int(função,variável)=int(função,variável)+C;
171
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
172
Exemplo 6.1.
Z
1. Calcule
x2
dx
, a 6= 0.
+ a2
>f:=1/(xˆ2 +aˆ2):
>Int(f,x)=int(f,x)+C;
Z
x2
1
arctan(x)
dx =
+C
2
+a
a
Note que:
>diff(arctan(x)/a +C,x);
1
x2 + a2
2. Calcule
Z
√
sec2 ( x)
√
dx.
x
>f:=sec(sqrt(x))ˆ2/sqrt(x):
>Int(f,x)=int(f,x)+C;
Z
√
√
2 sin( x)
sec2 ( x)
√
√
dx =
+C
x
cos( x)
Figura 6.1: Gráficos de algumas primitivas de f , exemplo 2.
Note que:
>diff(2 sin(sqrt(x))/cos(sqrt(x)) +C,x);
6.1. INTRODUÇÃO
173
√
sec2 ( x)
√
x
3. Calcule
Z
x2
dx
.
+ 2x + 5
>f:=1/(xˆ2 +2*x+5):
>Int(f,x)=int(f,x)+C;
Z
x2
dx
1
1
1
= arctan x +
+C
+ 2x + 5
2
2
2
Note que:
>diff(arctan(x/2 +1/2)/2 +C,x);
x2
4. Calcule
Z
1
+ 2x + 5
eax sen(b x) dx; a, b 6= 0.
>f:=exp(a*x)*sin(b*x):
>Int(f,x)=int(f,x)+C;
Z
eax sen(bx) dx =
eax (−cos(b x) b + a sin(b x))
+C
a2 + b2
Note que:
>diff(exp(a*x)*(-cos(b*x)*b+a*sin(b*x))/(aˆ2 +bˆ2) +C,x);
eax sen(bx)
Muitas vezes o MAPLE não consegue calcular de forma eficiente uma integral. Por exemplo,
considere:
Z
x (x + 1)3000 dx
O Maple, antes de calcular a integral, desenvolve o binômio, o utiliza uma grande parte da
memória do computador. Convidamos ao leitor a digitar:
> int(x ∗ (x + 1)3000 , x);
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
174
Veja o último exemplo do próximo parágrafo.
Existem funções cujas primitivas não podem ser expressas em termos de funções elementares. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo 6.2.
Z
2
1. Calcule e−x dx.
>f:=exp(xˆ2):
>Int(f,x)=int(f,x)+C;
1√
π erf (x) + C,
2
onde erf (x) é a chamada função erro, que não é elementar, a qual será revista nos próximos
capítulos.
Z
2
e−x dx =
É interessante e importante entender os passos intermediários que o MAPLE realiza para
calcular as integrais indefinidas.
6.2 Método de Substituição
Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F ◦ g esteja
definida. Usando a regra da cadeia; temos:
′
F (g(x)) = F ′ (g(x)) · g′ (x) = f (g(x)) · g′ (x).
Logo, F (g(x)) é uma primitiva de f (g(x)) · g′ (x), então:
Z
f (g(x)) · g′ (x) dx = F (g(x)) + c;
fazendo u = g(x), tem-se du = g′ (x) dx; substituindo na expressão anterior:
Z
f (g(x)) · g′ (x) dx =
Z
f (u) du = F (u) + c
A sintaxe é:
>with(student):
>f:=função:
>a:=Int(f,variável);
>a1:=changevar(equação que define a mudança=u,a,u);
>a2:=value(a1);
>Int(f,x)=subs(u=equação que define a mudança,a1)+C;
6.2. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO
175
Exemplo 6.3.
Z
2x
dx.
1. Calcule
x2 + 1
>with(student):
>f:=2*x/(xˆ2 +1):
>a:=Int(f,x);
2x
dx
+1
Z
a :=
x2
>a1:=changevar(xˆ2 +1 =u,a,u);
a1 :=
Z
1
du
u
integral imediata:
>a2:=value(a1);
a2 := ln(u)
>Int(f, x) = subs(u = xˆ2+1, a2)+C;
Z
2. Calcule
Z
2x
dx = ln(x2 + 1) + C
x2 + 1
√
sec2 ( x)
√
dx.
x
>with(student):
>f:=sec(sqrt(x))ˆ2 /sqrt(x)):
>a:=Int(f,x);
a :=
Z
√
sec2 ( x)
√
dx
x
>a1:=changevar(sqrt(x)=u,a,u);
a1 :=
Z
2 sec(u)2 du
integral imediata:
>a2:=value(a1);
a2 :=
2 sin(u)
cos(u)
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
176
>Int(f, x) = subs(u = sqrt(x), a2)+C;
Z
3. Calcule
Z
√
√
sec2 ( x)
2 sin( x)
√
√
dx =
+C
x
cos( x)
x cos(x2 ) sen(sen(x2 )) dx.
>with(student):
>f:=x*cos(xˆ2)*sin(sin(xˆ2)):
>a:=Int(f,x);
a :=
Z
x cos(x2 ) sen(sen(x2 )) dx
>a1:=changevar(sin(xˆ2 )=u,a,u);
a1 :=
Z
1
sin(u) du
2
integral imediata:
>a2:=value(a1);
1
a2 := − cos(u)
2
>Int(f, x) = subs(u =sin(xˆ 2), a2)+C;
Z
1
x cos(x2 ) sen(sen(x2 )) dx = − cos(sin(x2 )) + C
2
Z
4. Calcule x (x + 1)3000 dx
>with(student):
>f:=x*(x+1)ˆ3000:
>a:=Int(f,x);
a :=
Z
x (x + 1)3000 dx
a1 :=
Z
(−1 + u) u3000 du
>a1:=changevar(x+1=u,a,u);
>a2:=value(a1);
6.3. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
a2 := −
177
u3001 u3002
+
3001
3002
>Int(f, x) = subs(u =x+1, a2)+C;
Z
(x + 1)3001
(x + 1)3002
x (x + 1)3000 dx = −
+
+C
3001
3002
6.3 Método de Integração por Partes
Sejam f e g funções deriváveis no intervalo I. Derivando o produto f · g:
′
f (x) g(x) = f ′ (x) g(x) + f (x) g′ (x),
ou, equivalentemente, f (x) g′ (x) = (f (x) g(x))′ − f ′ (x) g(x). Integrando ambos os lados:
Z
Z
f (x) g′ (x) dx = f (x) g(x) − f ′ (x) g(x) dx;
fazendo: u = f (x) e dv = g′ (x) dx, temos: du = f ′ (x) dx e v = g(x). Logo:
Z
′
f (x) g (x) dx =
Z
u dv = u v −
Z
v du
Este método de integração nos permite transformar a integração de u dv na integração de v du.
É importante saber “escolher” a substituição u e dv na integral de partida. Devemos escolher
v ′ tal que permita determinar v. As expressões de u′ e v devem ser mais simples que as de u e
v ′ , respectivamente.
A sintaxe que utilizaremos é:
>with(student):
>f:=função:
>a:=Int(f,variável);
>a1:=intparts(a, função que foi chamada de u);
>a2:=value(a1);
>Int(f,x)=a2+C;
Exemplo 6.4.
Z
1. Calcule ln(x) dx.
>with(student):
>f:=ln(x):
>a:=Int(f,x);
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
178
a :=
Z
ln(x) dx
>a1:=intparts(a,ln(x));
a1 := x ln(x) −
Z
(1) dx
>a2:=value(a1);
a2 := x ln(x) − x
>Int(f,x)=a2+C;
Z
2. Calcule
Z
ln(x) dx = x ln(x) − x + C
x sen(x) dx.
>with(student):
>f:=x*sin(x):
>a:=Int(f,x);
a :=
Z
x sen(x) dx
>a1:=intparts(a,x);
a1 := −x cos(x) −
Z
(−cos(x)) dx
>a2:=value(a1);
a2 := −x cos(x) + sin(x)
>Int(f,x)=a2+C;
Z
3. Calcule
Z
x sen(x) dx = −x cos(x) + sin(x) + C
(x3 + 5) ln(x) dx.
>with(student):
>f:=(xˆ3 +5)*ln(x):
>a:=Int(f,x);
a :=
Z
(x3 + 5) ln(x) dx
6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
179
>a1:=intparts(a,ln(x));
1 4
a1 := ln(x)
x + 5x −
4
>a2:=value(a1);
a2 := ln(x)
>Int(f,x)=a2+C;
Z
6.4
Z 1 x4 + 5 x
4
dx
x
1 4
1 4
x + 5x −
x − 5x
4
16
(x3 + 5) ln(x) dx = ln(x)
1 4
1 4
x + 5x −
x − 5x + C
4
16
Método para Integração de Funções Racionais
Um polinômio P (x) não constante de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um
produto de fatores lineares e/ou quadráticos, sendo que os fatores quadráticos são irredutíveis
sobre os reais. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de P (x).
P (x) = (a1 x2 + b1 x + c1 )s1 (a2 x2 + b2 x + c2 )s2 ......(al x2 + bl x + cl )sl (x − d1 )r1 . . . (x − dn )rn ,
onde ri , sj ∈ N, i = 1 . . . n e j = 1 . . . l tais que não todos os ri e sj sejam nulos.
Exemplo 6.5.
[1] P (x) = x2 − 3 x + 2 = (x − 2) (x − 1).
[2] P (x) = x3 + 4 x2 + 5 x + 2 = (x + 1)2 (x + 2).
[3] P (x) = x3 − x2 + x − 1 = (x2 + 1) (x − 1).
[4] P (x) = x8 + x7 − 9 x6 + 3 x5 − 33 x4 + 3 x3 − 35 x2 + x − 12 = (x2 + 1)5 (x − 3) (x + 4).
[5] P (x) = x4 + x3 + 2 x2 + x + 1 = (x2 + 1) (x2 + x + 1).
Seja uma função racional:
P (x)
.
Q(x)
A decomposição de uma função racional em frações mais simples, depende da fatoração do
polinômio Q(x). Se numa função racional o grau de P (x) é maior ou igual ao grau de Q(x),
então podemos dividir os polinômios. De fato, se grau(P (x)) ≥ grau(Q(x)) então
P (x) = Q(x) A(x) + R(x),
onde grau(R(x)) < grau(Q(x)); então,
que:
P (x)
R(x)
= A(x) +
. Logo, basta estudar o caso em
Q(x)
Q(x)
grau(P (x)) < grau(Q(x)),
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
180
pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.
Essencialmente temos os seguintes casos:
Caso 1: Q(x) se decompõe em fatores lineares distintos.
Caso 2: Q(x) se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.
Caso 3: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que os
fatores quadráticos não se repetem.
Caso 4: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que
alguns dos fatores quadráticos se repetem.
A sintaxe utilizada para decompor uma função racional em frações mais simples é:
>with(student):
>f:=função racional:
>a:=Int(f, x);
>b:=convert(integrand(a), parfrac, x);
>a1:=Int(b, x);
>Int(f,x)=value(a1)+C;
Exemplo 6.6.
Z 3
x + 3x − 1
1. Calcule
dx.
x4 − 4 x2
>with(student):
>f:=(xˆ3+3*x-1)/(xˆ4 -4*xˆ2):
>a:=Int(f,x);
a :=
>b:=convert(integrand(a), parfrac, x);
b :=
>a1:=Int(b,x);
a1 :=
>Int(f,x)=value(a1)+C;
Z
x3 + 3 x − 1
dx
x4 − 4 x2
1
3
13
15
+
−
+
16 (x + 2) 4 x2 4 x 16 (x − 2)
Z 1
13
3
15
+
+
−
16 (x + 2) 4 x2 4 x 16 (x − 2)
dx
6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
Z
2. Calcule
Z
13
1
3
15
x3 + 3 x − 1
dx =
ln(x − 2) −
− ln(x) +
ln(x + 2) + C
4
2
x − 4x
16
4x 4
16
3 x2 + 4 x + 2
dx.
x3 + 2 x2 + x
>f:=(3*xˆ2+4*x+2)/(xˆ3+2*xˆ2+x):
>a:=Int(f,x);
a :=
Z
3 x2 + 4 x + 2
dx
x3 + 2 x2 + x
>b:=convert(integrand(a), parfrac, x);
b :=
1
1
2
−
+
2
x (x + 1)
x+1
>a1:=Int(b,x);
a1 :=
>Int(f,x)=value(a1)+C;
Z
3. Calcule
Z
Z 2
1
1
−
+
2
x (x + 1)
x+1
dx
1
3 x2 + 4 x + 2
dx = 2 ln(x) +
+ ln(x + 1) + C
x3 + 2 x2 + x
x+1
3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7
dx.
x4 − 4 x3 + 5 x2 − 4 x + 4
>f:=(3*xˆ3-12*xˆ2 +13*x-7)/(xˆ4 -4*xˆ3+5*xˆ2 -4*x+4):
>a:=Int(f,x);
3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7
dx
x4 − 4 x3 + 5 x2 − 4 ∗ x + 4
>b:=convert(integrand(a), parfrac, x);
a :=
Z
b :=
>a1:=Int(b,x);
a1 :=
2x − 1
1
1
−
+
x2 + 1
(x − 2)2
x−2
Z 1
1
2x − 1
−
+
2
2
x +1
(x − 2)
x−2
dx
>Int(f,x)=value(a1)+C;
Z
1
3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7
dx = ln(x2 + 1) − arctan(x) +
+ ln(x − 2) + C
4
3
2
x − 4x + 5x − 4 ∗ x + 4
x−2
181
182
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.5 Exercícios
1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Z
Z
x
1
√
dx
(a)
dx
(n)
5
x(ln(x))2
x2 − 1
Z
Z
3x
x3
(b)
dx
√
(o)
dx
4
x2 + 1
1
+
x
Z
Z
√
3
x + 5 dx
(c)
(p)
x2 ex dx
Z
Z
dy
arcsen(y)
√
(d)
p
(q)
dy
b − ay
2 1 − y2
Z
Z
ex
(e)
y(b − ay 2 ) dy
(r)
dx
e2x + 16
Z
Z
4x2
sen(θ)
√
(f)
dx
(s)
dθ
3
(5 − cos(θ))3
x +8
Z
Z
x+3
6x
dx
(t)
dx
(g)
2
2
2
(x + 6x)2
(5 − 3x )
Z
Z
dx
dy
(u)
(h)
3
x ln(x)
(b + ay)
Z
Z arcsen(x)
p
e
(i)
x3 a + bx4 dx
√
(v)
dx
1 − x2
Z
Z
ln(x) + 2
sen(ln(x))
dx
(j)
dx
(w)
x
x
Z
√
Z
cos( x + 1)
(k)
sen(2x) cos2 (2x) dx
√
(x)
dx
1
+
x
Z
Z
x
x
x5
(l)
tg( ) sec2 ( ) dx
√
(y)
dx
3
2
2
x6 + 4
Z
Z
cos(ax)dx
p
(m)
(z)
3x cos(3x ) dx
b + sen(ax)
2. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
Z
Z
√
x dx
dx
√
√
(d)
, use x = 2 sec(t)
, use x = sen(t)
(a)
2
x x −2
1 − x2
Z
Z
√
dx
dx
√
,
use
z
=
1
+
x
(e)
(b)
, use x = −ln(t)
1+ x
ex + 1
Z
√
dx
Z
√
q
(f)
, use z = 1 + 3 x
x dx
1
√
(c)
, use t = x + 1
1 + x3
x+1
3. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
6.5. EXERCÍCIOS
183
(a)
Z
3 cos(x) dx
(j)
Z
(b)
Z
x arctg(x) dx
(k)
Z
x sec2 (x) dx
(l)
Z
ln3 (x) dx
(m)
Z
sen2 (x)
dx
cos4 (x)
(n)
Z
tg5 (x)sec3 (x) dx
(o)
Z
cos4 (x)
dx
sen6 (x)
(p)
Z
sen4 (ax) dx
(q)
Z
sen3 (y) cos4 (y) dy
(r)
Z
sen4 (x)
dx
cos6 (x)
Z
x
1
ex
(c)
dx
x3
Z
x3
√
dx
(d)
1 − x2
Z
(e)
x cosec2 (x) dx
Z
(f)
x sec(x) tg(x) dx
Z
(g)
x3 sen(5 x) dx
Z
(h)
x4 cos(2x) dx
Z
(i)
x4 e−x dx
x arcsen(x)
√
dx
1 − x2
4. Calcule as seguintes integrais:
Z √
16 − x2
(a)
dx
x2
Z
dx
√
(b)
3
x x2 − 9
Z
dx
(c)
3
(4x − x2 ) 2
Z p
x2 + 2 dx
(d)
Z
dx
√
(e)
2
(1 + x ) 1 − x2
Z
dx
√
(f)
2
(1 − x ) 1 + x2
Z
dx
√
(g)
2
x x2 − 4
Z
7x3
(h)
3 dx
(4x2 + 9) 2
Z p
(i)
( 1 + x2 + 2x) dx
Z
ex
√ x
(j)
dx
e +1
x+1
√
dx
x2 − 1
Z
dx
√
(l)
2
x x2 + 4
R
sen(x)
(m)
3 dx
(25−cos2 (x)) 2
R
dx
(n)
3
(k)
Z
(o)
R
x((ln(x))2 −4) 2
(p)
Z
(q)
Z
(r)
Z
(s)
Z
(t)
Z
(u)
Z
√
cos(x)
4+sen2 (x)
dx
dx
√
−3 + 8x − 4x2
x
√
dx
1 − x + 3x2
2x
dx
2
(x + 3x + 4)2
dx
√
2
x + 3x + 5
dx
√
x2 − x − 1
5x + 3
√
dx
4 x2 + 3 x + 1
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
184
Z
dx
√
(v)
4 x − x2 − 3
Z
1 − 2x
√
(w)
dx
2 x − x2 + 3
Z
x
dx
− 3x + 4
Z
x+2
√
(y)
dx
x2 + 6 x + 34
(x)
√
x2
5. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
Z
Z
dx
dx
(a)
(l)
3
x +8
(x + 1)(x2 + x + 1)2
Z
Z
4dx
dx
(b)
(m)
4
x −1
x8 + x6
Z 5
Z
x + 4x3
3x + 1
dx
(c)
(n)
dx
2
(x2 + 2)3
x −x+1
Z
Z
dx
x3 + 3x
(o)
dx
(d)
4
3
x − 3x + 3x2 − x
(x2 + 1)2
Z
Z
x
dx
(p)
dx
(e)
4
4
2
x
−1
x +x
Z
Z 3
5x3 − 3x2 + 2x − 1
x +x−1
dx
dx
(q)
(f)
2
2
(x + 1)
x4 + 9x2
Z 4
Z 5
x + 8x3 − x2 + 2x + 1
x + 4x3 + 3x2 − x + 2
dx
dx
(g)
(r)
(x2 + x)(x3 + 1)
x5 + 4x3 + 4x
Z
Z
2x + 2
dx
(s)
dx
(h)
x(x2 + 2x + 2)2
x3 (x2 + 1)
Z
Z
x+1
dx
dx
(i)
(t)
2
2
3
2
(x + 4x + 5)
x + 3x + 7x + 5
Z 3
Z
x +x+1
x2 − 3 x + 2
(j)
dx
(u)
dx
x(1 + x2 )
x3 + 6 x2 + 5 x
Z
Z
x3 + 1
3 x3 + x2 + x − 1
dx
(k)
dx
(v)
(x2 − 4x + 5)2
x4 − 1
6. Calcule as seguintes integrais:
Z
(a)
cos(x) ln(sen(x)) dx
Z
(b)
x 5x dx
Z
(c)
x5 cos(x3 ) dx
Z
(d)
tg(x) sec3 (x) dx
Z
(e)
cos(3 x) cos(4 x) dx
(f)
Z
x
dx
(x2 + 4)5
Z
dx
√
(g)
x2 + 4 x + 8
Z
p
(h)
et 9 − e2t dt
Z
x2 + 2 x
dx
(i)
3
x + 3 x2 + 4
Z
x−3
dx
(j)
2
(x + 2 x + 4)2
p
6.5. EXERCÍCIOS
(k)
Z
x4 + 1
dx
x (x2 + 1)
(l)
Z
sen(x) cos2 (x)
dx
5 + cos2 (x)
x2
dx
(x + 1)3
Z
dx
(n)
2
4 x + 12 x − 7
Z
2x + 3
(o)
dx
x3 + 3 x
Z
3 x2 − 4 x + 5
dx
(p)
(x − 1) (x2 + 1)
Z
x3
√
dx
(q)
3
x2 + 1
(m)
Z
185
Z
√
x
dx
x+1
Z
dx
√
(s)
(x2 + 9) x2 + 4
Z
dx
√
(t)
(x − 1) x2 + 2 x − 2
Z
dx
(u)
1 + 2 sen(x) cos(x) + sen2 (x)
Z
2 cos2 ( x2 )
(v)
dx
x + sen(x)
Z
1 − tg2 (x)
dx
(w)
sec2 (x) + tg(x)
Z
dx
√
dx
(x)
(x + 3) x − 1
(r)
186
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA