Untitled

U F JF
Reitor
Henrique Duque de Miranda Chaves Filho
Vice-Reitor
José Luiz Rezende Pereira
Diretoria do Instituto de Ciências Exatas
Rubens de Oliveira
Rosana Colombara
Chefia do Departamento de Matemática
Luis Fernando Crocco Afonso
Joana Darc Antonia Santos da Cruz
EN CON T RO
Comitê Científico
Carlos Alberto Raposo da Cunha (UFSJ)
Olímpio Hiroshi Miyiagaki (UFV)
Paulo César Carrião (UFMG)
Rodrigo Weber dos Santos (UFJF)
Comissão organizadora
Grigori Chapiro (UFJF)
Luiz Fernando de Oliveira Faria (UFJF)
Sandro Rodrigues Mazorche (UFJF)
JUIZ DE FORA
21/10/2010 - 23/10/2010
Sumário:
PROGRAMAÇÃO GERAL
RITZ PLAZA HOTEL - UTILIZADO PELOS CONGRESSISTAS
. . . .
3
3
INFORMAÇÕES IMPORTANTES
TÁXI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DROGARIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RESTAURANTES E AFINS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
5
APRESENTAÇÃO
6
RESUMOS DAS CONFERÊNCIAS
Soluções de energia finita para problemas singulares com perturbação envolvendo potenciais que mudam de sinal . . . . . . . . . . . . . . . .
Ronaldo Brasileiro Assunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bifurcações de Hopf em sistemas de controle não lineares . . . . . . . . . .
Luis Fernando Mello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antisymmetric solutions for the nonlinear Schrödinger equation . . . . . .
Olimpio Hiroshi Miyagaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análise não linear de um sistema quadrático obtido de uma equação diferencial de terceira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fabio Scalco Dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarks on existence of large solutions for p-Laplacian equations with
strongly nonlinear terms satisfying the Keller-Osserman condition . .
Jiazheng Zhou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilization in a wind model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Márcio José Horta Dantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dissipação Localizada versus Problema de Transmissão . . . . . . . . . . .
Carlos Alberto Raposo da Cunha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The representation of a Fleming-Viot process by an SPDE . . . . . . . . .
Telles Timóteo da Silva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportamento Assintótico para a Solução de um Sistema de Equações
Estocásticas de Reação-Difusão do tipo Não local . . . . . . . . . . .
Paulo Marcelo Dias de Magalhães . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Órbitas Homoclinicas para um sistema Hamiltoniano com potencial superquadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paulo Cesar Carrião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On p−Laplacian differential inclusions - global existence, compactness properties and asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jacson Simsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The second-order Sobolev inequality and manifolds of nonnegative Ricci
curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ezequiel Rodrigues Barbosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correção logarítmica no decaimento da solução da equação de difusão com
coeficiente dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jussara de Matos Moreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
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23
23
Estabilização para um modelo de misturas de sólidos . . . . . . . . . . . .
Margareth da Silva Alves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estimativa do erro na discretização de uma equação parabólica não linear
com retardo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maria do Carmo Pacheco de Toledo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A estrutura adaptativa de Grafo de Folhas Autônomas na resolução numérica
de equações diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denise Burgarelli Duczmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bifurcações de equilíbrios para um sistema de reação-difusão com acoplamento na fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rita de Cássia Dornelas Sodré Broche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Global rough solutions to the critical generalized KdV equation . . . . . .
Luiz Gustavo Farah Dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obtendo o primeiro par (λ, uλ ) do p−Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . .
Eder Marinho Martins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Existência de soluções positivas para o p-Laplaciano com dependência do
gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wenderson Marques Ferreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solução numérica de um sistema de EDPs não-lineares de tipo convecçãodifusão para modelagem de escoamento de fluidos em meios porosos .
Eduardo Cardoso de Abreu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A constante de Cheeger via funções de torção . . . . . . . . . . . . . . . .
Grey Ercole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Métodos sem malha na solução de problemas do eletromagnetismo . . . . .
Renato Cardoso Mesquita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PÔSTERS
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PROGRAMAÇÃO GERAL
RITZ PLAZA HOTEL
UTILIZADO PELOS CONGRESSISTAS
ENDEREÇO: AV BARÃO DO RIO BRANCO, 2000
BAIRRO CENTRO, JUIZ DE FORA, MG, CEP: 36035-000
FONE: 32 3249-7300 , FAX: 32 3215-1892
FONE RESERVA: 32 3249-7300, FAX RESERVA: 32 3215-1892
E-MAIL: [email protected]
SITE: HTTP://WWW.RITZPLAZAHOTEL.COM.BR
NO HOTEL: RESTAURANTE, ESTACIONAMENTO, PISCINA
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INFORMAÇÕES IMPORTANTES
TÁXI
AMARILDO A. CORREA
RUA DOUTOR CONSTANTINO PALETA, 50 / 902 - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36015-450
TEL.: (32)88342261
PONTO 2
R. BATISTA DE OLIVEIRA, S/N - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG
TEL.: (032)3215-1309
PONTO DE TÁXI MANOEL HONÓRIO
AV. GOVERNADOR BENEDITO VALADARES, S/NFR427 - MANOEL HONÓRIO - JUIZ DE FORA - MG
TEL.: (032)3215-6379
PONTO DE TÁXI N1 RUA MARECHAL DEODORO
R. MARECHAL DEODORO, S/N - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG
TEL.: (032)3215-2412
PONTO DE TÁXI PRAÇA DA ESTAÇÃO
PRAÇA DOUTOR JOÃO PENIDO, S/N - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36010-130
TEL.: (032)3215-0103
PONTO DE TÁXI SÃO MATEUS
R. MORAIS E CASTRO, S/N - SÃO MATEUS - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36025-160
TEL.: (032)3232-2026
PONTO DE TÁXI DA CATEDRAL
PRAÇA DOM JUSTINO, S/N - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36016-280
TEL.: (032)3215-2076
TACOXÍMETRO LTDA.
R. MARIANO PROCÓPIO, 138 - MARIANO PROCÓPIO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36035-780
TEL.: (032)3215-3048
DROGARIAS
DROGARIA 24 HORAS LTDA
AV. RIO BRANCO 3361 - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36021630
TEL.: (032)3215-5277
DR. 24 HORAS
DROGARIA CASARIM LTDA
AV. DOS ANDRADAS 103 - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36036600
TEL.: (032)3213-2832
DROGARIA J.R. LTDA
AV. RIO BRANCO 1968 - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36035000
TEL.: (032)3215-8483
DROGARIA PADRE CAFE LTDA
R. PADRE CAFE 260 - SAO MATEUS - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36016-450
TEL.: (032)3232-2799
DROGARIA RAMOS ARAUJO LTDA.
R. BATISTA DE OLIVEIRA 756 - CENTRO - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36013000
TEL.: (032)3215-0280
DROGAYUPPE LTDA
R. SAO MATEUS 27 - SAO MATEUS - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36025040
TEL.: (032)3211-9526
DROGA PASSOS LTDA
MORAIS E CASTRO, 115LJ10 - PASSOS - JUIZ DE FORA - MG - CEP: 36025-160
TEL.: (032)3215-5452
4
RESTAURANTES E AFINS
CHURRASCARIA CHIMARRON - JANTAR DO EVENTO
AV. BARÃO DO RIO BRANCO 700 - MANOEL HONÓRIO - (0XX32) 3217-3353
CHURRASCARIA CARRETÃO GAÚCHO
RODOVIA BR040 KM 783 - JÓQUEI CLUBE - (0XX32) 3222-5486
BERTTU’S RESTAURANTE
RUA SANTO ANTÔNIO 572 - CENTRO - (0XX32) 3215-5026
GRAMADO GRILL
RUA MORAIS E CASTRO 277 - ALTO DOS PASSOS - (0XX32) 3212-3700
BODEGA DO TROPEIRO
RUA DELFIM MOREIRA 244 - GRANBERY - (0XX32) 3216-2271
OSTERIA DA SILVANO
RUA DOM VIÇOSO 177 - ALTO DOS PASSOS - (0XX32) 3215-4239
ESPETO E CIA
RUA BARÃO AQUINO 223 - PASSOS - (0XX32) 3217-7411
FAZENDINHA RESTAURANTE E PIZZARIA
RUA PADRE TIAGO 22 - SÃO MATEUS - (0XX32) 3215-1518
BABBO GIABBA
RUA PADRE CAFÉ 384 - SÃO MATEUS - (0XX32) 3217-9020
BARDÔ RESTAURANTE
RUA MORAES E CASTRO 506 - ALTO DOS PASSOS - (0XX32) 3232-8688
BRASADOR STEAKHOUSE
RUA MACHADO SOBRINHO 146 - ALTO DOS PASSOS - (0XX32) 3213-6230
CHINA IN BOX
RUA MARECHAL FLORIANO PEIXOTO 607 - CENTRO - (0XX32) 3217-3438
BACCO BAR E RESTAURANTE
AV. INDEPENDÊNCIA 1850 - SÃO MATEUS - (0XX32) 3249-1860
PIZZA NOSTRA
RUA BATISTA DE OLIVEIRA 995 - CENTRO - (0XX32) 3215-9950
CANTINA E PIZZARIA GORDEIXOS
RUA SÃO MATEUS 38 - SÃO MATEUS - (0XX32) 3215-8182
HABIB’S
AV. BARÃO DO RIO BRANCO 3234 - CENTRO - (0XX32) 3218-6758
JAPINHA SUSHI BAR
RUA PADRE JOÃO EMÍLIO 36 - ALTO DOS PASSOS - (0XX32) 3212-2695
CANTINA DO AMIGÃO
RUA SANTA RITA 552 - CENTRO - (0XX32) 3215-2179
RESTAURANTE FAISÃO DOURADO
RUA HALFELD 316 - CENTRO - (0XX32) 3215-9058
RESTAURANTE TREM DA TERRA
AV. INDEPENDÊNCIA 885 - CENTRO - (0XX32) 3234-4270
MEZZA RESTAURANTE
RUA SANTA RITA 559 - CENTRO - (0XX32) 3215-2957
RESTAURANTE BRASÃO
AV. BARÃO DO RIO BRANCO 2262 - CENTRO - (0XX32) 3212-2720
BIFÃO E CIA.
AV. INDEPENDÊNCIA 2340 - SÃO MATEUS - (0XX32) 3232-1999
5
APRESENTAÇÃO
Em Outubro de 2006, ocorreu o I Workshop sobre Equações Diferenciais de São
João del-Rei, sediado na Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ), reunindo
pesquisadores mineiros da área de Equações Diferenciais. Em Outubro de 2007, o
II Encontro Mineiro de Equações Diferenciais, organizado na Universidade Federal
de Lavras (UFLA), deu seqüência ao evento de 2006. Em Outubro de 2009 o III
Encontro Mineiro de Equações Diferenciais (III EMED) foi sediado na Universidade
Federal de Itajubá (UNIFEI). Os três eventos anteriores contaram com o apoio financeiro da FAPEMIG. Em Outubro de 2010 será realizado o IV Encontro Mineiro
de Equações Diferenciais (IV EMED). Este evento será sediado na Universidade
Federal de Juiz de Fora.
Mais uma vez, o evento reunirá pesquisadores ativos de praticamente todas as Instituições Federais de Ensino Superior (IFES) sediadas em Minas Gerais - Universidade Federal de Lavras (UFLA), Universidade Federal de São João del Rei (UFSJ),
Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Universidade Federal de Juiz de Fora
(UFJF), Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Universidade Federal de
Viçosa (UFV), Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP), CEFET Varginha e
Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI) - com o propósito de formar e intensificar
um elo permanente e produtivo entre os pesquisadores envolvidos.
Encontros científicos desta natureza trarão um maior prestígio para o nosso Estado,
fazendo com que se divulgue ainda mais a pesquisa realizada na grande área de
Equações Diferenciais.
A UFJF, instituição sede do IV EMED, já tem estabelecida algumas linhas de
pesquisa em Equações Diferenciais que fazem parte das áreas de concentração do
Programa de Mestrado Acadêmico em Matemática sediado no Departamento de
Matemática e do Mestrado Interdisciplinar em Modelagem Computacional sediado no Instituto de Ciências Exatas desta instituição. Há muitos anos o curso
de Bacharelado em Matemática da UFJF vem formando alunos que continuam seus
estudos acadêmicos ingressando nos melhores programas de pós-graduação do pais.
A realização do IV EMED na UFJF certamente estimulará os alunos de graduação
e da pós-graduação a concentrar seus estudos na área de Equações Diferenciais.
6
RESUMOS DAS CONFERÊNCIAS
Soluções de energia finita para problemas singulares com
perturbação envolvendo potenciais que mudam de sinal
Ronaldo Brasileiro Assunção
M. J. Alvesa , R. B. Assunçãoa , P. C. Carriãoa e O. H. Miyagakib
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 - Bairro Pampulha,
CEP 30161-970 - Belo Horizonte - MG. [email protected], [email protected], [email protected]
b
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. P. H. Rolfs, s/n - Centro, CEP 36571-000 -
Viçosa - MG. [email protected]
Este trabalho trata do estudo de problemas singulares com perturbação dos tipos
−ε2 div(|x|−2a ∇u) + |x|−2(a+1−c) V (x)u = |x|−b2
e
− div(|x|−2a ∇u) + λ|x|−2(a+1−c) V (x)u = |x|−b2
∗ (a,b)
∗ (a,b)
g(x, u),
g(x, u).
Consideramos o caso em que x ∈ RN , ε > 0 é um parâmetro pequeno, λ > 0 é um
parâmetro grande, e procuramos soluções verificando a condição u(x) → 0 quando
|x| → +∞. Os outros parâmetros são tais que 0 6 a < (N − 2)/2, a < b 6
a + 1, c = 0, 2∗ (a, b) ≡ 2N/[N − 2(a + 1 − b)], e 2∗ = 2∗ (0, 0) ≡ 2N/(N − 2).
Estudamos os casos em que a não linearidade g(x, u) é superlinear e crítica e em que
o potencial V (x) muda de sinal. Inspirados por Ding e Szulkin em [1], estendemos
parcialmente alguns resultados de existência e de multiplicidade de soluções para o
caso de problemas elípticos quase lineares degenerados com singularidades e obtemos
soluções de energia finita (bound state solutions). Além disso, no caso em que a não
linearidade g(x, u) é uma função ímpar de u, obtemos uma infinidade de soluções
geometricamente distintas.
Referências
[1] Y. H. Ding, A. Szulkin, “Bound states for semilinear Schrödinger equations with sign-changing potential”, Calc.
Var. Partial Differential Equations, 29 (2007), no. 3, 397–419.
[2] M. J. Alves, R. B. Assunção, P. C. Carrião, O. H. Miyagaki, “Bound state solutions for singular perturbation
problems with sign-changing potentials”, Preprint.
7
Bifurcações de Hopf em sistemas de controle não lineares
Luis Fernando Mello
L. F. Melloa e D. C. Bragab
a
Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Itajubá, Av. BPS, 1303 - Bairro Pinheirinho, CEP: 37500-
903, Itajubá - MG. [email protected]
b
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia, Universidade Federal de Itajubá, Av. BPS, 1303 - Bairro Pinheirinho,
CEP: 37500-903, Itajubá - MG. [email protected]
Para um sistema de controle não linear, propomos uma família a quatro parâmetros
de estados de realimentação de modo que o sistema de controle em malha fechada
apresente bifurcações de Hopf controláveis de codimensões um e dois. Mais precisamente, a lei escalar proposta permite o controle da estabilidade dos pontos de
equilíbrio, a orientação e a estabilidade das órbitas periódicas.
Referências
[1] D.C. Braga, L.F. Mello, C. Rocsoreanu, and M. Sterpu, “Controllable Hopf Bifurcations of Codimension One
and Two in Nonlinear Control Systems", preprint.
8
Antisymmetric solutions for the nonlinear Schrödinger
equation
Olimpio Hiroshi Miyagaki
J. S. Carvalho,a L. A. Maiab e O. H. Miyagakic
a
Departamento de Matemática, Universidade de Brasilia, Campus Universitário - Asa Norte, CEP: 70910-900,
Brasília- DF. [email protected]
b
Departamento de Matemática, Universidade de Brasilia, Campus Universitário - Asa Norte, CEP: 70910-900,
Brasília- [email protected]
c
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Campus Universitário, CEP: 36570-000, Viçosa-
MG. [email protected]
In this article, we consider the nonlinear Schrödinger equation
−∆u + V (x)u = |u|p−1 u in RN
(1)
Here V is invariant under an orthogonal involution. The basic tool employed here
is the Concentration–Compactness Principle. A theorem on existence of a solution
which changes sign exactly once is given. More exactly, we are interested in the
existence of a special class of sign changing solutions. Here we are considering
limx→∞ V (x) = V∞ > 0 and V bounded from below. Namely, we study the existence
of a solution for the nonlinear elliptic problem

in RN
 −∆u + V (x)u = |u|p−1 u
u(τ x) = −u(x)
(PV )

u(x) → 0 if |x| → ∞,
where N ≥ 3 and 1 < p < 2∗ − 1. Moreover, τ : RN → RN is a nontrivial orthogonal
involution that is a linear orthogonal transformation on RN such that τ 6= Id and
τ 2 = Id, here Id being the identity on RN . We set the basic assumptions on
V : RN → R,
(V1) V is continuous and there exist V0 > 0 such that V (x) ≥ V0 ;
(V2) lim|x|→∞ V (x) = V∞ ,
V (x) V∞ ;
(V3) V (τ x) = V (x).
Our main goal is to establish the existence of a τ -antisymmetric solution, that is, a
solution such that u(τ x) = −u(x). See [1]
Referências
[1] J. S. Carvalho, L. A. Maia, and O.H. Miyagaki, “Antisymmetric Solutions for the nonlinear Schrödinger equation", Differential and Integral Equations, to appear.
9
Análise não linear de um sistema quadrático obtido de uma
equação diferencial de terceira ordem
Fabio Scalco Dias
F. S. Diasa e L. F. Mellob
a
Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Itajubá, Avenida BPS 1303, Pinheirinho, CEP 37.500–903,
Itajubá, MG, Brazil. e–mail: [email protected]
b Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Itajubá, Avenida BPS 1303, Pinheirinho, CEP 37.500–903,
Itajubá, MG, Brazil. e–mail: [email protected]
Neste trabalho estudamos a estabilidade e bifurcações na dinâmica da seguinte
equação diferencial de terceira ordem
x000 + f (x) x00 + g(x)x0 + h(x) = 0,
(1)
onde f, g, h : R → R são dados por
f (x) = a1 x + a0 ,
g(x) = b1 x + b0 ,
h(x) = c2 x2 + c1 x + c0 ,
com a1 , a0 , b1 , b0 , c2 , c1 , c0 ∈ R, c2 6= 0.
Por uma mudança natural de variáveis, a equação diferencial (1) pode ser escrita
como o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares
 0
x = y,





y 0 = z,




 0
z = − ((a1 x + a0 )z + (b1 x + b0 )y + c2 x2 + c1 x + c0 ) ,
onde (x, y, z) ∈ R3 são as variáveis de estado e (a0 , a1 , b0 , b1 , c0 , c1 , c2 ) ∈ R7 , c2 6= 0,
são parâmetros reais.
Mais precisamente, estudamos a estabilidade e as bifurcações que ocorrem em um
sistema quadrático no espaço tridimensional dependendo de parâmetros. Apresentamos um estudo analítico das bifurcações de Hopf de codimensões 1,2 e 3, bifurcação
de Bogdanov-Takens genérica e bifurcação Fold-Hopf.
Referências
[1] Dias. F.S. Mello L.F, “Nonlinear Analysis of a Quadratic System Obtained from a Scalar Third Order Differential Equation", submitted to the Electronic Journal of Differential Equations.
10
Remarks on existence of large solutions for p-Laplacian
equations with strongly nonlinear terms satisfying the
Keller-Osserman condition
Jiazheng Zhou
J. V. A. Goncalvesa e J. Zhoub
a
Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística 74001-9070 Goiania, GO, Brasil. [email protected]
b
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri Instituto de Ciências e Tecnologia 39100-000 Dia-
mantina, MG, Brasil. [email protected]
We deal with existence of large solutions of the equations
∆p u = a(x)f (u) + b(x)g(u) in RN .
It is show that if a, b, f, g are non-negative real valued functions with a, b ∈ C(RN ),
f, g ∈ C([0, ∞)) and f +g ≥ h where h is a continuous, non-negative, non-decreasing
funtion satisfying the Keller-Osserman condition then the equation above admits a
large solution if the equation
−∆p v = a(x) + b(x) in RN
has a positive upper solution decaying to zero at infinity. No monotonicity condition
is required from either f ou g. Our proof is based on the method of lower and uppersolutions. We extend recent results by A. V. Lair and A. Mohammed.
Referências
[1] Lair, A. V. & Mohammed, A., “Entire large solutions of semilinear elliptic equation of mixed type", Comm.
on Pure and Applied Analysis, Vol 8 no 5 (2009), 1607-1618.
11
Stabilization in a wind model
Márcio José Horta Dantas
M. J. H. Dantasa
a
Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, Av. João Naves de Ávila, 2100, CEP:38400-902,
Uberlândia, MG. e-mail: [email protected]
We investigate in this note a model of the interaction between cables and wind.
This is the case of long steel suspended cables used in electric transmission lines.
Of course this model is a continuous one, but using the Galerkin Method, see [1],
one gets a system of O.D.E. from which interesting information on the interaction
wind-cable can be obtained.
Assuming the cable moves only in a perpendicular plane to the wind direction and
discarding some higher order terms, this system is given by
½ 00
x + ω12 x = γ1 x0 + η1 y 0 − dy 2 ,
(1)
y 00 + ω22 y = γ2 x0 + η2 y 0 − exy.
³
´
2
The system (1) has three equilibrium points given by (0, 0, 0, 0), − ωe2 , 0, ± ω√1dωe2 , 0 .
We are interested in the case which the vertical displacement is different from zero.
An easy computation shows that the independent term of the characteristic
poly³
´
ω2 2
ω√1 ω2
nomial of the linearization of (1) at the equilibrium point P0 = − e , 0, d e , 0
is equal to −2 ω1 2 ω2 2 . Hence P0 is an unstable equilibrium. A basic problem in
Engineering is how to deal with these instabilities in order to skirt them.
In this note the equation (1) is modified by additing a big van der Pol dissipation
in the vertical displacement and the coefficients γ1 , η2 are discarded. Our aim is
to get a stabilization of this system, avoiding the instabilites obtained earlier. In
other words, in this setting, by using an adequate singular perturbation one gets a
stabilization of the system. Obviously this has importance in Engineering.
Our main tool is the use of Integral Manifolds, see [2], to deal with the singular
problems that come from this model.
References
[1] M. SC Abdel-Rohman, B.F. Spencer, "Control of Wind-Induced Nonlinear Oscillations in Suspended Cables",
Nonlinear Dynamics 37(2004), 341-355.
[2] Fathi Ghorbel, Mark W. Spong "Integral manifolds of singularly perturbed systems with application to rigidlink flexible-joint multibody systems",International Journal of Non-Linear Mechanics 35(2000) 133-155.
12
Dissipação Localizada versus Problema de Transmissão
Carlos Alberto Raposo da Cunha
C. A. Raposo, J. A. J. Avilaa e W. D. Bastosb
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de São João del-Rei, Praça Frei Orlando, 170, Campus
Universitário - Centro , CEP: 36307-352, São João del-Rei - MG. [email protected],
b
[email protected]
Departamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista, IBILCE, , Campus Universitário - Centro , CEP:
15054-300, São José do Rio Preto - MG. [email protected]
Abordaremos os conceitos de “Damping", “Damping"Interno, Estrutural e Fluido e
um relato da evolução nos últimos anos do Problema com “Damping"Localizado.
Mostraremos a sutil diferença entre Problemas com Dissipação Localizada e Problema de Transmissão. Apresentaremos o recente resultado sobre a Estabilidade de
Solução para o Problema de Transmissão de vigas com damping interno tipo KelvinVoigt. Usaremos Teoria de Semigrupos de Operadores Lineares para provar a existência e unicidade de solução e resultados gerais devido a L. Gearhart [5] e J. Pruss
[10] para obter o decaimento exponencial da solução do sistema. Um tratamento
numérico será apresentado.
Referências
[1] R. A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
[2] W. D. Bastos, C. A. Raposo. Transmission problem for waves with frictional damping. Electronic Journal of
Differential Equations, 2007 (2007), 1-10.
[3] M. M. Cavalcanti and H. P. Oquendo, Frictional versus viscoelastic damping in a semilinear wave equation.
SIAM J. Control Optim. 42 (2003), 1310-1324.
[4] R. Dautray, J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Sciences and Technology. Vol. 1,
Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 1990.
[5] L. Gearhart, Spectral Theory for the Contractions Semigroups on Hilbert Spaces. Trans. of the American
Mathematical Society . 236 (1978), 385-349.
[6] F. Huang, Characteristic Conditions for Exponential Stability of the Linear Dynamical Systems in Hilbert
Spaces. Annals of Differential Equations. 1 (1985), 43-56.
[7] K. Liu, Z. Liu, Exponential decay of the energy of the Euler-Bernoulli beam with locally distributed KelvinVoigt damping, SIAM J. Control Optim. 36(3) (1998), 1086-1098.
[8] K. Liu, B. Rao, Exponential stability for the wave equations with local Kelvin-Voight damping. Z. angew.
Math. Phys. 57 (2006), 419-432.
[9] Z. Liu, & S. Zheng; Semigroups Associated with Dissipative Systems, CRC Research Notes Mathematics,
Chapmam & Hall, 1999.
[10] J. Prüss, On the Spectrumm of C0 -semigroups. Trans. of the American Mathematical Society 284 (1984)
847-857.
[11] C. A. Raposo,W. D. Bastos, M. L. Santos. A Transmission Problem for Timoshenko System. Computational
and Applied Mathematics, 26 (2007), 215-234.
[12] C. A. Raposo, The transmission problem for Timoshenko system of memory type. International Journal of
Modern Mathematics. 3(3) (2008), 271-293.
13
[13] C. A. Raposo. General Decay of Solution for the Transmission Problem of Viscoelastic Waves with Memory.
Advances in Differential Equations and Control Processes, 3 (2009), 103-114.
[14] J. E. M. Rivera, H. P. Oquendo, The transmission problem of viscoelastic waves. Acta Applicandae Mathematicae. 62 (2000), 1-21.
[15] S. Zheng, Nonlinear parabolic Equation and Hyperbolic-Parabolic Coupled Systems, Pitman series Monographs
and Survey in Pure and Applied Mathematics, Longman, 1995.
14
The representation of a Fleming-Viot process by an SPDE
Telles Timóteo da Silva
T. T. Silvaa e M. D. Fragosob
a
Campus Alto Paraopeba, Universidade Federal de São João Del Rei, Rodovia MG 443, Km 7 - Fazenda do Cadete,
CEP: 36420-000 - Ouro Branco - MG. [email protected]
b
Coord. Sistemas e Controle, Laboratório Nacional de Computação Científica, Av. Getúlio Vargas, 333 - Bairro
Quitandinha, CEP: 25651-075 - Petrópolis - RJ. [email protected]
In population genetics, Fleming-Viot processes play a major role combining suitably, in a unique setting, the main evolutionary forces which change the allelic gene
frequencies in a population such as, mutation, natural selection and random genetic
drift (see, e.g., [3, 1, 2]). If S is the set of allelic genes for one locus of interest in a
population, then the Fleming-Viot process models the evolution of gene frequencies
in time, assuming values in the state space M1 (S), which is the space of probability
measures over S.
Along the same lines as in [4], we get a representation for this class of process
by deriving a stochastic partial differential equation (SPDE) for the density of the
random measure of the process. The main hindrance here is to deal with some
sample-path properties for the jump-type Fleming-Viot process, which is tantamount
to show that the state-space of the process, under some conditions, is contained
in the set of absolute continuous measures with respect to the Lebesgue measure.
Following Roelly-Coppoletta [5] and Konno & Shiga [4], we restrict our study to the
one-dimensional type space case.
The framework of an SPDE representing a measure-valued stochastic process may
be useful in giving some insights, mainly for applications, even if its formulation is
more restrictive than the formulation of a martingale problem, for instance. With
respect to population genetics, it is notorious how many data is being collected in
recent years, data that require theoretical models which could analyse them [6, 7],
and the most disseminate approach (in any applied area) is still by the means of
differential equations.
By the means of a random time change which causes a mass change on the process,
and of the establishment of the absolute continuity of the Fleming-Viot measure
with respect to the Lebesgue measure on the real line from which we are able to
write
Y (dx, t) = Y (x, t)dx,
we prove the next theorem
15
(1)
Theorem 1 There exists an S 0 (S)-valued standard Wiener process Wt defined on
an extension of the probability space (Ω, F, Ft , Pµ ) such that Pµ almost surely
Z
t
Yt (x) = Y0 (x) +
Z tr
∗
L Ys (x)I[s<τ ] ds +
0
Z tr
0
a
g(s)
0
MR (S)
−
Z tZ
+
Z
0
a p
Ys (x)Ẇs (x)I[s<τ ] ds
g(s)
p
Ys (x) Ys (y)Ẇs (y)dyI[s<τ ] ds
y∈S
·
¸
δη(x)
h1, ηi
e (ds, dη).
− Ys− (x) I[s<τ ] N
g(s− ) + h1, ηi
δx
(2)
for every t ≥ 0 and β ∈ D(L).
For the proof, mainly we show the existence of a Gaussian white noise measure
related to the continuous part of the martingale measure. We also give an application
to population genetics.
References
[1] D. A. Dawson, Measure-valued Markov processes, In “P. L. Hennequin, editor,
École d’Été de Probabilités de Saint-Flour XXI”, volume 1541 of Lecture Notes
in Math., pp 1–260, Springer-Verlag, Berlin, 1993.
[2] S. N. Ethier and T. G. Kurtz, “Fleming-Viot processes in population genetics”,
SIAM J. Control and Optimization, 31, p. 345–386, 1993.
[3] W. Fleming and M. Viot, “Some measure-valued Markov processes in population genetics theory”, Indiana Univ. Math. J., 28, p. 817–843, 1979.
[4] N. Konno and T. Shiga, “Stochastic partial differential equations for some
measure-valued diffusions”, Probab. Th. Rel. Fields, 79, p. 201–225, 1988.
[5] Sylvie Roelly-Coppoletta, “A criterion of convergence of measure-valued processes: application to measure branching processes”, Stochastics, 17, p. 43–65,
1986.
[6] John Wakeley, “Recent trends in population genetics: more data! more math!
simple models?”, Jornal of Heredity, 95, p. 397–405,2004.
[7] John Wakeley, “The limits of theoretical population genetics”, Genetics, 169, p.
1–7, 2005.
16
Comportamento Assintótico para a Solução de um Sistema
de Equações Estocásticas de Reação-Difusão do tipo Não
local
Paulo Marcelo Dias de Magalhães
E. A. Coayla-Terana 1 , P. M. D. Magalhãesb e J. Ferreirac
2
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal da Bahia, Av. Ademar de Barros, s/n, Instituto de Matemática,
CEP: 40170-110, Salvador - BA. [email protected]
b Departamento de Matemática-Universidade Federal de Ouro Preto, Morro do Cruzeiro, s/n, Ouro Preto - MG.CEP:
35400-000, [email protected]
c
UAG-Universidade Federal Rural de Pernambuco, Av. Bom Pastor, s/n, Boa Vista-Garanhuns- PE, CEP:55292-
901, [email protected]
Neste trabalho estudamos a existência e unicidade de solução forte no sentido estocástico para uma sistema de equações estocásticas de reação- difusão acopladas do
tipo não local com acoplagem envolvendo um ruído branco multiplicativo. Obteve-se
um resultado de decaimento exponencial para a solução. Os resultados foram obtidos através de uma adaptação do método de Faedo-Galerkin ao caso estocásticoe e
do emprego da fórmula de Itô.
1
Partially supported by CNPq/Brazil, Grant 302433/2007-4
Partially supported by CNPq/Brazil, Grant 503367/2009-5 and FACEPE-PE-APQ-12301.01/08.
2
17
Órbitas Homoclinicas para um sistema Hamiltoniano com
potencial superquadrático
Paulo Cesar Carrião
C. O. Alvesa , P. C. Carriãob e O. H. Miyagaki.c
a
Unidade acadêmica de Matemática e estatistica, Universidade Federal de Campina Grande, CEP 58109-970-
Campina Grande - PB. [email protected]
b
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, CEP 31270-010- Belo Horizonte - MG.
[email protected]
c
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, CEP 36571-000- Viçosa - MG. [email protected]
Mostraremos a existência de órbitas homoclinicas do tipo "multi-bump"para um
sistema Hamiltoniano de segunda ordem com potencial superquadrático.
q̈ − L(t)q + Wq (q) = 0, t ∈ R,
(HS)
2
onde q = (q1 , . . . , qN ) ∈ RN , W ∈ C 1 (RN , R) e L(t) ∈ C(R, RN ) é uma matriz
simétrica para todo t.
Referências
[1] C.O. Alves, Existence of multi-bump solutions for a class of quasilinear problems, Adv. Nonlinear Studies v.6
, 491-509, 2006.
[2] C.O. Alves, P.C. Carrião and O.H. Miyagaki Multi-bump homoclinic orbits for a class of Hamiltonian systems
with superquadratic potential, aceito em Houston Journal of Math. 2010.
[3] Y.H. Ding and K. Tanaka Multiplicity of positive solutions of a nonlinear Schrödinger equations, Manuscript
Math v.112 , 109-135, 2003.
18
On p−Laplacian differential inclusions - global existence,
compactness properties and asymptotic behavior
Jacson Simsen
J. Simsena
a
DMC-ICE, Universidade Federal de Itajubá, Campus Prof. José Rodrigues Seabra - Av. BPS n. 1303 - Bairro
Pinheirinho, Caixa Postal: 50 - CEP: 37500-903, Itajubá - MG. [email protected]
• The author was supported by CAPES-Brazil and this was a joint work with prof. Dra. Cláudia B. Gentile UFSCar.
In this work we consider coupled systems of p-laplacian differential inclusions. We
obtain the global existence of solutions and good compactness properties in such
way that the set of all possible solutions compose a generalized semiflow which has
a global attractor for each pair of positive diffusion coefficients. We also prove that
the attractors are upper semicontinuous on positive finite diffusion parameters.
Referências
[1] Arino, O., Gauthier, S., Penot J. P., A Fixed Point Theorem for Sequentially Continuous Mapping with
Applications to Ordinary Differential Equations, Funkcialaj Ekvacioj, 27 (1984), 273–279.
[2] Ball, J. M., Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. 7 (1997), no. 5, 475–502.
[3] Brèzis, H., Operateurs Maximaux Monotones et Semi-groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert,
North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1973.
[4] Carvalho, A. N., Cholewa, J. W., Dlotko, T.: Global attractors for problems with monotone operators, Bolletino
U.M.I. 8 (1999), no. 2-B, 693–706.
[5] Carvalho, A.N., Gentile, C., Asymptotic behaviour of non-linear parabolic equations with monotone principal
part, J. Math. Anal. Appl. 280 (2003), no. 2, 252–272.
[6] Carvalho, A. N., Langa, J. A.; Robinson, J. C.; Suárez, A., Characterization of non-autonomous attractors
of a perturbed infinite-dimensional gradient system. J. Differential Equations 236 (2007), no. 2, 570–603.
[7] Díaz, J. I., Vrabie, I. I., Existence for Reaction Diffusion Systems. A Compactness Method Approach, Journal
of Mathematical Analysis and Applications, 188 (1994), 521–540.
[8] Díaz, J. I.; Hernández, J.; Tello, L. On the multiplicity of equilibrium solutions to a nonlinear diffusion equation
on a manifold arising in climatology. J. Math. Anal. Appl. 216 (1997), no. 2, 593–613.
[9] Gentile, C. B., Primo, M. R. T., Parameter Dependent Quasi-linear Parabolic Equations, Nonlinear Anal. 59
(2004), no. 5, 801–812.
[10] Kapustyan, A. V., Valero, J., Attractors of multivalued semiflows generated by differential inclusions and their
approximations, Abstr. Appl. Anal. 5 (2000), no. 1, 33–46.
[11] Kapustyan, A.V., Melnik V.S., Valero, J., Yasinsky V.V., Global attractors of multi-valued evolution equations
without uniqueness, Naukova Dumka, Kiev, 2008.
[12] Melnik, V.S.; Valero, J., On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions. Set-Valued Anal.
6 (1998), no. 1, 83–111.
[13] Simsen,J., Gentile, C., On attractors for multivalued semigroups defined by generalized semiflows. Set-Valued
Anal. 16 (2008), no. 1, 105–124.
19
[14] Takeuchi,S., Yamada, Y., Asymptotic properties of a reaction-diffusion equation with degenerate p-Laplacian.
Nonlinear Anal. 42 (2000), no. 1, Ser. A: Theory Methods, 41–61.
[15] Temam R., Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York,
1988.
[16] Vrabie, I. I., Compactness Methods for Nonlinear Evolutions, Second Edition, Pitman Monographs and Surveys
in Pure and Applied Mathematics, New York, 1995.
20
The second-order Sobolev inequality and manifolds of
nonnegative Ricci curvature
Ezequiel Rodrigues Barbosa
E. R. Barbosa
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 - Caixa Postal 702
CEP 30161-970 - Belo Horizonte, MG. [email protected]
Much research has been conducted on the validity of Sobolev type inequalities on
complete non-compact Riemannian manifolds because the validity of these inequalities imply important geometric consequences. However, some topological obstructions arose to the validity of such inequalities. In this work we prove that a necessary condition for the validity of a second-order Sobolev inequality in complete
non-compact Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature is that it is
isometric to the Euclidean space. Let me be more precise. Let (M, g) be an ndimensional complete non-compact Riemannian manifold with n ≥ 5. Denote by
2n
∆g the Laplace-Beltrami operator on M . Let 2] = n−4
be the critical Sobolev exponent of order two and let K0 be the sharp constant in the Euclidean second-order
Sobolev inequality
µZ
2]
¶ 2]
|u| dx
2
Z
(∆ξ u)2 dx ,
≤ K0
Rn
(1)
Rn
where u is smooth with compact support in Rn and ξ is the standard Euclidean
metric. As it was shown by Edmunds-Fortunato-Janelli [3], Lieb [4] and Lions [5],
µ
K0−1
2
= π n(n − 2)(n + 2)(n − 4)
Γ( n2 )
Γ(n)
¶ n4
,
(2)
R +∞
where Γ(x) = 0 tx−1 e−t dt, x > 0, is the Euler function. For a Riemannian
manifold (M, g), we let dvg be the Riemannian volume element on M , C0∞ (M ) be
the space of smooth functions on M with compact support, B(x, r) be the geodesic
ball with center x ∈ M and radius r and vol[B(x, r)] be the volume of B(x, r).
Assume (M, g) is an n-dimensional complete non-compact Riemannian manifold
with nonnegative Ricci curvature. Let C > 0 be a constant such that K0 ≤ C ≤
4
n n (n + 2)(n − 4)K0 . Also assume that for any u ∈ C0∞ (M ), we have
µZ
2]
|u| dvg
¶ 2]
2
Z
(∆g u)2 dvg .
≤C
M
M
Then for any x ∈ M , we obtain
n
vol[B(x, r)] ≥ (C −1 K0 ) 4 V0 (r),
21
∀r > 0 ,
(3)
where V0 (r) is the volume of an r-ball in Rn . The Bishop-Gromov’s comparison
theorem ([1]) implies that if M is an n-dimensional complete Riemannian manifold
with nonnegative Ricci curvature, then for any x ∈ M ,
vol[B(x, r)] ≤ V0 (r)
with equality holding if and only if B(x, r) is isometric to an r-ball in Rn . Thus, for
any u ∈ C0∞ (M ), we have
µZ
¶ 2]
2]
|u| dvg
2
Z
(∆g u)2 dvg
≤ K0
M
M
n
if and only if M is isometric to R .
For more details about this work, see [2].
Referências
[1] R.L. Bishop, R.J. Crittenden - Geometry of Manifolds, Academic Press, New York, 1964.
[2] E. R. Barbosa - The second-order Sobolev inequality and manifolds of nonnegative Ricci curvature, Preprint
(2010).
[3] D. E. Edmunds, F. Fortunato, E. Janelli - Critical exponents, critical dimensions, and the biharmonic operator,
Arch. Rational Mech. Anal. 112 (1990) 269-289.
[4] E. H. Lieb - Sharp constants in the Hardy-Littlewood and related inequalities, Ann. of Math. 118 (1983) 349-374.
[5] P. L. Lions - The concentration-compactness principle in the calculus of variations, the limit case, parts 1 and
2, Rev. Mat. Iberoamericana 1 and 2, 1985, 145-201 and 45-121.
22
Correção logarítmica no decaimento da solução da equação
de difusão com coeficiente dependente do tempo
Jussara de Matos Moreira
J. Moreiraa e G. Bragaa
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627- Bairro Pam-
pulha, CEP 31270-901 - Belo Horizonte - MG. [email protected], [email protected]
Neste trabalho utilizaremos o Método do Grupo de Renormalização para a obtenção
da correção logaritmica no decaimento da solução de uma equação de difusão com
coeficiente dependente do tempo e possíveis generalizações.
Referências
[1] J. Bricmont, A. Kupiainen, and G. Lin, “Renormalization group and asymptotics of solutions of nonlinear
parabolic equations", Communications in Pure and Applied Mathematics, v. 47, p. 893-922, 1994.
[2] G. Braga, F. Furtado, J. Moreira, and L. Rolla, “Renormalization group analysis of nonlinear diffusion equations
with time dependent coefficients: Analytical results", Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B,
v.7, p. 699-715, 2007.
[3] G. Braga, F. Furtado, J. Moreira, and L. Rolla, “Renormalization group analysis of nonlinear diffusion equations
with time dependent coefficients: numerical results and the critical case", Paper in preparation.
23
Estabilização para um modelo de misturas de sólidos
Margareth da Silva Alves
M. S. Alvesa
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Campus Universitário, CEP: 36570-000, Viçosa MG. [email protected]
Neste trabalho, investigamos o comportamento assintótico das soluções do sistema
ρ1 utt − a11 ∆u − a12 ∆w − b11 ∆ut − b12 ∆wt
+ α (u − w) + α1 (ut − wt ) − k1 ∆θ − β1 θ = 0 in Ω × (0, ∞),
ρ2 wtt − a12 ∆u − a22 ∆w − b12 ∆ut − b22 ∆wt
(1)
− α (u − w) − α1 (ut − wt ) − k2 ∆θ − β2 θ = 0 in Ω × (0, ∞),
c θt − κ ∆θ + k1 ∆ut + k2 ∆wt + β1 ut + β2 wt = 0 in
in Ω × (0, ∞),
em que Ω ⊂ R3 é um domínio limitado com fronteira regular ∂Ω, com as seguintes
condições iniciais
u(x, 0) = u0 , ut (x, 0) = u1 , w(x, 0) = w0 , wt (x, 0) = w1 , θ(x, 0) = θ0 in Ω
(2)
e as condições de fronteira
u(x, t) = u(x, t) = w(x, t) = w(x, t) = θ(x, t) = θ(x, t) = 0 on ∂Ω.
(3)
Assumimos que ρ1 , ρ2 , c, κ e α são constantes positivas, α1 ≥ 0 e (β12 + β22 ) (k12 + k22 ) 6=
0. As matrizes A = [aij ] e B = [bij ] 6= 0 são simétricas e satisfazem a
a11 > 0,
a11 a22 − a212 > 0, b11 ≥ 0,
b11 b22 − b212 ≥ 0.
Nosso objetivo é estabelecer condições sobre as constantes que assegurem a analiticidade e estabilidade exponencial do semigrupo associado a (1) - (3). O modelo
considerado é um caso especial de uma teoria linear para misturas de dois materiais
porosos viscoelásticos apresentada em Iesan e Quintanilla [4].
Referências
[1] Alves, M. S., Muñoz Rivera, J. E., Quintanilla, R., 2009. Exponential decay in a thermoelastic mixture of
solids. Int. J. Solids Struct. 46, 1659 - 1666.
[2] Alves, M. S., Muñoz Rivera, J. E., Sepúlveda, M. and Villagrán, O. V, 2009. Exponential stability in thermoviscoelastic mixtures of solids. Int. J. Solids Struct. 46, 4151 - 4162.
[3] Alves, M. S., Muñoz Rivera, J. E., Sepúlveda, M. and Villagrán, O. V, 2009. Analyticity of semigroups
associated with thermoviscoelastic mixtures of solids. Journal of Thermal Stresses 32, 986 - 1004.
[4] Ieşan, D., Quintanilla, R., 2007. A theory of porous thermoviscoelastic mixtures. J. Thermal Stresses 30,
693-714.
[5] Ieşan, D., Nappa, L., 2008. On the theory of viscoelastic mixtures and stability. Mathematics and Mechanics
of Solids 13, 55-80.
24
[6] Liu, Z., Zheng, S., 1999. Semigroups associated with dissipative systems. CRC Research Notes in Mathematics
398. Chapman & Hall.
[7] Prüss, J., 1984. On the spectrum of C0 -semigroups. Trans. of Am. Math. Soc. 284(2), 847-857.
[8] Quintanilla, R., 2005. Exponential decay in mixtures with localized dissipative term. Appl. Math. Lett. 18,
1381-1388.
[9] Quintanilla, R., 2005. Existence and exponential decay in the linear theory of viscoelastic mixtures. European
Journal Mechanics A/Solids 24, 311-324.
25
Estimativa do erro na discretização de uma equação
parabólica não linear com retardo finito
Maria do Carmo Pacheco de Toledo
M. C. P. Toledoa e S. M. Olivab
a
Departamento de Ciências Exatas, Universidade Federal de Lavras, C.P. 3037, Campus Universitário, CEP: 37200-
000, Lavras - MG. [email protected]
b
Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, Rua do Matão, 1010, Cidade Universitária,
CEP: 05508-090, São Paulo - SP. [email protected]
O objetivo desse trabalho é estudar o erro na discretização da equação de reação e
difusão com retardo finito

∂u
∂ 2u


(x,
t)
=
a
(x, t) + f (u(x, t), u(x, t − r)), 0 < x < 1, t > 0,

 ∂t
∂x2
∂u
∂u
(0, t) =
(1, t) = 0, t ≥ 0,



∂x
 ∂x
u(x, t) = ϕ(x, t) > 0, 0 < x < 1, t ∈ [−r, 0],
sendo a e r constantes positivas. A condição u(x, t) = ϕ(x, t), se 0 < x < 1 e
t ∈ [−r, 0], é a condição inicial para o problema e a fim de ser um problema plausível
do ponto de vista biológico iremos considerá-la positiva.
Nós usamos o operador diferença central para aproximar o Laplaciano e o método
de Euler regressivo para avançar a solução no tempo e obtivemos uma estimativa
para o erro de truncamento.
Referências
[1] L. M. Abia, J. C. López-Marcos and J. Martínez, “On the blow-up time convergence of semidiscretization of
reaction-diffusion equations", Applied Numererical Mathematics, v.26, p. 399-414, 1998.
[2] N. Cònsul and S. M. Oliva, “Synchronization in herbivorous population models with diffusion and delays",
Fields Institute Communications, v.31, p.75-95, 2002.
[3] Jim Douglas Jr., “On the numerical integration of quasi-linear parabolic differential equations", Pacific Journal
of Mathematics, v.6, p.35-42, 1956.
[4] Jim Douglas Jr., “The application of stability analysis in the numerical solution of quasi-linear parabolic
differential equations", Transactions of the American Mathematical Society, v.89, p. 484-518, 1958.
[5] D. J. Higham and T. Sardar, “Existence and stability of fixed points for a discretised nonlinear reaction-diffusion
equation with delay", Applied Numererical Mathematics, v.18, p.155-173, 1995.
[6] G. H. Hutchinson, “Circular causal systems in ecology", Annals of the New York Academy of Sciences, v.50
p.221-246, 1948.
[7] S. Luckhaus, “Global boundedness for a delay differential equation", Transactions of the American Mathematical Society, v.294, p. 767-774, 1986.
[8] S. M. Oliva, “Reaction-diffusion equations with nonlinear boundary delay", Journal of Dynamics and Differential Equations, v.11, p.279-296, 1999.
[9] L. A. F. Oliveira, “Instability of homogeneous periodic solutions of parabolic-delay equations", Journal of
differential Equations, v.109, p.42-76, 1994.
26
[10] M. R. Osborne, “A note on the numerical solution of a periodic parabolic problem", Numerische Mathematik,
v.7, p.155-158, 1965.
[11] E. Reyes, F. Rodríguez and J. A. Martín, “Analytic-numerical solutions of diffusion mathematical models with
delays", Computers and Mathematics with Applications, v.56, p.743-753, 2008.
[12] T. K. Sardar and D. J. Higham, “Dynamics of constant and variable stepsize methods for a nonlinear population
model with delay", Applied Numererical Mathematics, v.24, p.425-438, 1997.
[13] M. C. P. Toledo and S. M. Oliva, “A discretization scheme for an one-dimensional reaction-diffusion equation
with delay and its dynamics", Discrete and Continuous Dynamical Systems, v.23, p.1041-1060, 2009.
[14] J. Wu, “Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations", Springer-Verlag, New York,
1996.
[15] B. Zubik-Kowal, “Stability in the numerical solution of linear parabolic equtions with a delay term", Bit, v.41,
p.191-206, 2001.
27
A estrutura adaptativa de Grafo de Folhas Autônomas na
resolução numérica de equações diferenciais parciais
Denise Burgarelli Duczmal
D. B. Duczmala
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627, Caixa Postal
702, CEP 30161-970, Belo Horizonte, Minas Gerais - [email protected]
O Grafo de Folhas Autônomas (ALG) [1] [2] é uma estrutura de dados baseada
em grafos que foi introduzida com o objetivo de lidar com a comunicação entre
células de um domínio discretizado para resolver numericamente equações diferenciais parciais evolucionárias (EDPs). Esta nova estrutura adaptativa foi comparada
favoravelmente com estruturas de dados baseadas em árvores comumente usadas
(quad-trees). O tempo de processamento gasto na comunicação entre células vizinhas é independente do número de células presentes na discretização (i.e., O(1)
para cada célula). Além de EDPs, a estrutura ALG pode ser utilizada em qualquer
outro problema onde um domínio geométrico é discretizado, em qualquer número
de dimensões.
In [1] [2] , the Autonomous Leaves Graph (ALG), an efficient graph-based data
structure was introduced in order to handle the communication of cells in discrete
domains to numerically solve evolutionary partial differential equations (PDEs).
This new adaptive data structure was favorably compared to common tree-based
data structures (quad-trees). The corresponding processing time spent in the communication between neighbor cells is independent of the number of cells present in
the domain (i.e., O(1) for each cell). Apart from PDEs, ALG may be employed in
any other type of problem where a discrete geometrical domain with any number
of dimensions. The ALG adaptive structure presents a new, simple, yet powerful
strategy within the group of methods that deal with the refinement at fixed grids,
providing local mesh refinement at low computational cost. The usual tree-based
implementation based on quad-trees is replaced by a one-level-at-a-time approach,
which yields a graph-like implementation. The children nodes (i.e., leaves) become
autonomous as their parent node is deleted. A graph is formed connecting nearestneighboring children cells through direct links. Moreover, neighboring cells which
were generated from different parent nodes can be linked directly, if they have the
same level of refinement, or indirectly through a transition node, in case they have
(arbitrarily) different refinement levels. This scheme is highly efficient for time
evolving problems where adaptive local refinement and de-refinement is necessary.
Referências
[1] D. Burgarelli, “Modelagem computacional e simulação numérica adaptativa de equações diferenciais evolutivas
aplicadas a um problema termoacústico"’, tese de doutorado, PUC-Rio, 1998.
[2] D. Burgarelli, M. Kischinhevsky, M. and R. J. Biezuner, “A new adaptive mesh refinement strategy for numerically solving evolutionary PDE’s", Journal of Computational and Applied Mathematics v. 196, p. 115-131,
2006.
28
Bifurcações de equilíbrios para um sistema de reação-difusão
com acoplamento na fronteira
Rita de Cássia Dornelas Sodré Broche
R. C. D. S. Brochea
a
Departamento de Ciências Exatas, Universidade Federal de Lavras, Campus Universitário, Caixa Postal 3037,
CEP 37200-000, Lavras - MG. [email protected]
Considere o sistema de reação-difusão

ut = auxx + f (u), x ∈ (0, 1), t > 0




 vt = bvxx + g(v), x ∈ (0, 1), t > 0
u(0, t) = v(0, t)


aux (0, t) + bvx (0, t) = 0



u(1, t) = v(1, t) = 0.
(1)
sendo a e b constantes positivas. Este sistema modela problemas de distribuição
de temperatura para a junção de duas barras homogêneas, de mesmo comprimento,
com coeficientes de difusão distintos. Se reescalarmos a variável t fazendo t → at, o
problema (1) equivale ao problema

ut = uxx + λf (u), x ∈ (0, 1), t > 0




 vt = αvxx + λg(v), x ∈ (0, 1), t > 0
u(0, t) = v(0, t)
(2)


u
(0,
t)
+
αv
(0,
t)
=
0

x
x


u(1, t) = v(1, t) = 0,
sendo α = b/a ≥ 1 e λ = 1/a > 0. O objetivo desse trabalho é considerar (2) como
um problema de bifurcação sendo λ > 0 o parâmetro de bifurcação e α ≥ 1 uma
constante fixada. Mais precisamente, se f (0) = g(0) = 0, (ϕ0 , ψ0 ) = (0, 0) é um
ponto de equilíbrio para qualquer valor de λ > 0 e então estudamos os equilíbrios
não triviais que bifurcam da curva de equilíbrios (λ, (0, 0)).
Referências
[1] R. C. D. S. Broche and L. A. F. Oliveira;“Reaction-diffusion systems coupled at the boundary and the MorseSmale property", Journal of Differential Equations v.245 , p. 1386-1411, 2008.
[2] M.G. Crandall and P.H. Rabinowitz, “Bifurcation from Simple Eigenvalues", J. Functional Analysis v.8,
p.321-340, 1971.
[3] M.G. Crandall and P.H. Rabinowitz,“ Bifurcation, Pertubation of Simple Eigenvalues and Linearized
Stability", Arch. Rat. Mech. Anal., v.52, p. 161-181, 1973.
[4] P.H. Rabinowitz,“ Some Global Results for Nonlinear Eigenvalue Problems", J. Funct. Anal., v.7, p. 487-513,
1971.
[5] J.K. Hale and C. Rocha, “Bifurcations in a Parabolic Equation with Variable Diffusion", Nonlinear Analysis,
v. 9 no.5, p. 479-494, 1985.
29
Global rough solutions to the critical generalized KdV
equation
Luiz Gustavo Farah Dias
bf L. G. Faraha3
a
Department of Mathematics - ICEx-UFMG, CEP 31270-901, BeloHorizonte, MG, BRAZIL, [email protected]
Mathematical subject classification: 35Q53.
We prove that the initial value problem (IVP) for the critical generalized KdV equation ut + uxxx + (u5 )x = 0 on the real line is globally well-posed in H s (R) in s > 3/5
with the appropriate smallness assumption on the initial data.
Acknowledgment:
This research was carried out when the author was visiting the Department of Mathematics of the University of California, Santa Barbara, whose hospitality is gratefully
acknowledge.
3
The author was supported by CNPq-Brazil.
30
Obtendo o primeiro par (λ, uλ ) do p−Laplaciano
Eder Marinho Martins
E. M. Martinsa , G. Ercoleb e R. J. Biezunerc
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais de Fora, Campus Universitário Morro do
Cruzeiro, s/n - Bairro Bauxita, CEP: 35400-900, Ouro Preto - MG. [email protected]
b
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 - Bairro Pampulha,
CEP 31270-901 - Belo Horizonte - MG. [email protected]
c
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 - Bairro Pampulha,
CEP 31270-901 - Belo Horizonte - MG. [email protected]
Sejam Ω um domínio limitado de RN , N ≥ 2, λp (Ω) o primeiro autovalor e uλp (Ω) a
primeira autofunção do operador p-Laplaciano
¡
¢
−∆p u := div |∇u|p−2 |∇u|
em que p > 1, com condições de fronteira de Dirichlet. Certas propriedades de
λp (Ω) são bastante conhecidas: existência, positividade, simplicidade e a seguinte
caracterização variacional:
R
|∇v|p dx
Ω
R
,
λp = infv∈W 1,p (Ω)\{0}
0
|v|p dx
Ω
Se p = 2, caso em que −∆p se reduz ao Laplaciano −∆, o valor de λp (Ω) é bem
conhecido para domínios de geometria simples. Entretanto, se p 6= 2 e N ≥ 2 o
valor de λp (Ω) não é conhecido mesmo para domínios simples como uma bola ou
um quadrado.
No caso especial em que p > 1 e N = 1 o valor de λp (Ω) é também conhecido, se
µ
¶p−1
R 1 ds
√
πp
Ω = (a, b) então λp (Ω) =
em que πp := 2 p p − 1 0 √
.
p
1−sp
b−a
Na falta do valor exato para λp (Ω) cotas inferiores para esse autovalor possuem
importante papel para sua localização, sendo, portanto, de especial interesse na
literatura (cotas superiores são facilmente encotradas a partir da caracterização
variacional de λp (Ω).
Uma cota inferior bastante conhecida para λp (Ω) é a seguinte
λp (Ω∗ ) ≤ λp (Ω)
em que Ω∗ é a bola centrada na origem e de mesmo volume que Ω.
Nesse poster apresentamos um método que desenvolvemos em [1] para obtenção do
par (λp (Ω), uλp (Ω) ) e provamos que esse método funciona para o caso em que Ω = B
em que B é uma bola de RN e para domínios suaves no caso p = 2.
Esse resultado é, portanto, relevante e, certamente contribuirá para as linhas de
pesqusa voltadas para problemas em que a geometria esférica é importante.
31
Entretanto, os principais resultados que sustentam o método são válidos para domínios
mais gerais e apontam para a conjectura que o próprio método funciona para alguma
classe importante de domínios.
Principais Resultados:
1,p
Seja
(Ω) ∩ C 1,α (Ω) a sequência definida por φ0 ≡ 1
½ (φn ) ⊂ W0 p−1
−∆p φn = φn−1
x ∈ Ω,
φn = 0
x ∈ ∂Ω.
A partir dessa
sequências
numéricas:
°
µ sequência
µ as seguintes
µ
¶p−1
¶p−1 definimos
¶p−1 °
° φn °p−1
kφn kLp
φn
φn
°
°
γn := infΩ
e νn =
, Γn := sup
=°
φn+1
φn+1
φn+1 °L∞
kφn+1 kLp
Ω
Teorema 1 As sequências numéricas definidas acima satisfazem (veja [1]):
1. γn ≤ νn ≤ Γn ;
2. γ0 ≤ γ1 ≤ · · · ≤ γn ≤ λp ≤ Γn ≤ · · · ≤ Γ0
O principal resultado que apresentamos (veja [1]) é o seguinte:
Teorema 2 Se Ω é uma bola N dimensional, N ≥ 2, ou se p = 2, então lim γn =
n→∞
λp = lim Γn e consequentemente lim νn = λp . Além disso, se u a primeira auton→∞
n→∞
função do p-Laplaciano com kukL∞ = 1 então
φn
kφn kL∞
→ u uniformemente.
Como uma aplicação, computamos uma autofunção especial, relativa ao caso unidimensional, a função sinp . Esta função, que foi definida em [5], generaliza a função
seno e tem papel relevante no estudo de problemas
envolvendo o
¡ Nde−1Sturm-Liouvile
¢
1−N
0 p−2 0 0
p-laplaciano radialmente simétrico Lp u := x
x
|u | u , a partir de uma
transformação do tipo Prüfer (veja [3]).
Referências
[1] R. J. BIEZUNER, G. ERCOLE and E. M. MARTINS, Computing the first eigenvalue of the p-Laplacian via
the inverse power method, Journal of Functional Analysis, 257 (2009), 243–270.
[2] R. J. BIEZUNER, G. ERCOLE and E. M. MARTINS, Computing the sinp function via the inverse power
method , submitted.
[3] B. M. BROWN and W. REICHEL, Sturm–Liouville type problems for the p-Laplacian under asymptotic nonresonance conditions, J. Differential Equations 156 (1999), 50–7.
[4] M. ÔTANI, A remark on certain nonlinear elliptic equations, Proceedings of the Faculty of Science, Tokay
University, 19 (1984), 23–28.
[5] P. LINDQVIST, Some remarkable sine and cosine functions, Ricerche di Matematica, 2 (1995), 269–290.
32
Existência de soluções positivas para o p-Laplaciano com
dependência do gradiente
Wenderson Marques Ferreira
H. Buenoa , G. Ercolea , W. M. Ferreirab e A. Zumpanoa
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 - Pampulha, CEP
30161-970 - Belo Horizonte - MG. [email protected], [email protected]
b
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Ouro Preto, Campus Morro do Cruzeiro, sn - Bauxita,
CEP 35400-000 - Ouro Preto - MG. [email protected], [email protected]
O principal objetivo desse trabalho é o estudo da existência de soluções positivas
para problemas de Dirichlet envolvendo o operador p-Laplaciano nos quais a não
linearidade envolvida depende do gradiente da solução. Consideraremos o problema
−∆p u = ω(x)f (u, |∇u|) em domínios suaves e limitados de RN , sendo ω uma função
peso e f (u, |∇u|) uma não linearidade satisfazendo condições de limitação local. A
existência de soluções positivas para o caso particular de problemas radiais será
obtida aplicando-se o Teorema do Ponto Fixo de Schauder. No caso geral, a existência de soluções será garantida através do método de sub e supersolução. Uma
subsolução será obtida a partir de uma solução radial obtida em um subdomínio
Bρ ⊂ Ω e uma supersolução será obtida como um múltiplo da solução de um problema linear em um domínio Ω2 ⊃ Ω. Exemplos de aplicações dos resultados serão
apresentados e nosso principal teorema será utilizado para garantirmos a existência
de soluções positivas para o problema de Dirichlet −∆p u = λu(x)q−1 (1 + |∇u(x)|p )
em domínios suaves e limitados de RN .
Referências
[1] A. Anane, Etude des valeurs propres et de la résonnance pour l’opérateur p-Laplacien, Th. Doc., Université
Libre de Bruxelles, 1987.
[2] C. Azizieh and P. Clément, A priori estimates and continuation methods for positive solutions of p-Laplace
equations, J. Diff. Eqs. 179 (2002), 213-245.
[3] L. Boccardo, F. Murat and J. -L. Puel, Résultats d’existence pour certains problèmes elliptiques quasilinéaires.
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 11 (1984), n2, 213-235.
[4] H. Bueno, G. Ercole, W. Ferreira and A. Zumpano, Existence and multiplicity of positive solutions for the
p-Laplacian with nonlocal coefficient, J. Math. Anal. Appl. 343 (2008), 151-158.
[5] H. Bueno, G. Ercole, A. Zumpano, Existence of positive solution for a quasilinear problem depending on the
gradient, submetido.
[6] H. Bueno, G. Ercole and A. Zumpano, Positive solutions for the p-Laplacian and bounds for its first eigenvalue,
Advanced Nonlinear Studies 9 (2009), no 2, 313-338.
[7] L. Damascelli, Comparison theorems for some quasilinear degenerate elliptic operators and applications to
symmetry and monotonicity results, Ann. Inst. Henri Poincaré. 15, no 4 (1998), 493-516.
[8] D. de Figueiredo, M. Girardi and M. Matzeu, Semilinear elliptic equations with dependence on the gradient via
mountain-pass techniques, Differential and Integral Equations 17 (2004), 119-126.
33
[9] D. de Figueiredo, J. Sánchez, P. Ubilla, Quasilinear equations with dependence on the gradient, Nonlinear
Analysis 71 (2009), no 10, 4862-4868.
[10] G. Ercole and A. Zumpano, Existence of positive radial solutions for the n-dimensional p-Laplacian, Nonlinear
Analysis 44 (2001), 355-360.
[11] G. Ghergu and V. Rădulescu, Ground state solutions for the singular Lane-Emden-Fowler equation with
sublinear convection term, J. Math. Anal. Appl. 333 (2007), 265-273.
[12] J. V. Gonçalves and F. K. Silva, Existence and nonexistence of ground state solutions for elliptic equations
with a convection term, Nonlinear Analysis 72 (2010), 904-915.
[13] N. Grenon, Existence and comparison results for quasilinear elliptic equations with critical growth in the
gradient. J. Diff. Eqs. 171 (2001), no 1, 1-23.
[14] Y. X. Huang, A note on the asymptotic behavior of positive solutions for some elliptic equation, Nonliner
Analysis 29 (1997), no 3, 533-537.
[15] L. Iturriaga and S. Lorca, Existence and multiplicity results for degenerate elliptic equations with dependence
on the gradient, Boundary Value Problems 2007, Art. ID 47218, 12 pp.
[16] L. Iturriaga, S. Lorca and J. Sánchez, Existence and multiplicity results for the p-Laplacian with a p-gradient
term, NoDEA Nonlinear Diff. Equations Appl. 15 (2008), no 6, 729-743.
[17] B. Kawohl, On a family of torsional creep problems, J. Reine Angew. Math., 410 (1990), 1-22.
[18] M. C. Leon, Existence results for quasilinear problems via ordered sub and supersolutions, Annales de la Faculté
des Sciences de Toulouse 6, no 4 (1997), 591-608.
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[20] H. Lou, On singular sets of local solutions to p-Laplace equations, Chinese Annals of Mathematics, Series B,
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[21] M. Montenegro and M. Montenegro, Existence and nonexistence of solutions for quasilinear elliptic equations,
J. Math. Anal. Appl. 245 (2000), 303-316.
[22] L. E. Payne and G. A. Philippin, Some maximum principles for nonlinear elliptic equations in divergence form
with applications to capilarity surfaces and to surfaces of constant mean curvature, Nonlinear Analysis 3, no 2,
(1979), 193-211.
[23] D. Ruiz, A priori estimates and existence of positive solutions for strongly nonlinear problems, J. Diff. Equations 199 (2004), 96-114.
[24] S. Sakaguchi, Concavity properties of solutions to some degenerated quasilinear elliptic Dirichlet problems,
Annali della Scuola Normale Superiori di Pisa (IV) 14, no 3 (1987), 403-421.
[25] P. Tolksdorf, Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations, J. Diff. Eqs. 51 (1984),
126-150.
[26] J. L. Vázquez, A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations, Appl. Math. Optim. 12
(1984), 191-202.
34
Solução numérica de um sistema de EDPs não-lineares de
tipo convecção-difusão para modelagem de escoamento de
fluidos em meios porosos
Eduardo Cardoso de Abreu
E. Abreua
a
Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Estrada Dona Castorina, 110 - Bairro Jardim Botânico, CEP: 22.460320, Rio de Janeiro - RJ. [email protected]
Neste trabalho considera-se uma modelagem matemática e simulação numérica de
um sistema acoplado de equações diferenciais parciais não-lineares, de tipo convecçãodifusão, exibindo coeficientes descontínuos e com rápida variação, que modela o escoamento imiscível de três fases fluidas em meios porosos heterogêneos. Este modelo
pode ser aplicado em problemas de transporte de contaminantes no subsolo e em processos de recuperação de hidrocaerbonetos em reservatórios petrolíferos. Um novo
método numérico com passo de tempo fracionário, baseado em uma técnica de decomposição de operadores [1], foi introduzido para a sua solução numérica. A técnica
de decomposição de operadores empregada permite o uso de passos de tempo distintos para os três subproblemas definidos pelo procedimento de decomposição [1, 2]:
convecção (hiperbólico), difusão (parabólico) e pressão-velocidade (elíptico). Um
subsistema hiperbólico de leis de conservação que modela o transporte convectivo
das fases fluidas é aproximado por um esquema central de diferenças finitas explícito,
conservativo, não oscilatório e de segunda ordem. Este esquema é combinado com
elementos finitos mistos, localmente conservativos, para a aproximação numérica dos
sistemas de equações parabólico e elíptico associados aos problemas de transporte
difusivo e de pressão-velocidade, respectivamente. O operador temporal associado
ao sistema parabólico é resolvido fazendo-se uso de uma estratégia implícita de
solução (Backward Euler). O modelo matemático para escoamento trifásico considerado neste trabalho leva em conta as forças de capilaridade e expressões gerais
para as funções de permeabilidade relativa, campos variáveis de porosidade e de
permeabilidade e os efeitos da gravidade. A escolha de expressões gerais para as
funções de permeabilidade relativa pode levar à perda de hiperbolicidade estrita e,
desta maneira, à existência de uma região elíptica ou de pontos umbílicos [4] para
o sistema não linear de leis de conservação hiperbólicas que descreve o transporte
convectivo das fases fluidas. Como uma conseqüência, a perda de hiperbolicidade
pode levar à existência de choques não clássicos (também chamados de choques transicionais ou choques subcompressivos) nas soluções de escoamentos trifásicos [4, 3].
O novo procedimento numérico esta sendo utilizado para investigar a estabilidade
de choques não clássicos, com respeito ao fenômeno de fingering viscoso, em problemas de escoamentos trifásicos com duas dimensões espaciais em meios heterogêneos,
estendendo deste modo resultados disponíveis na literatura para problemas de escoamentos trifásicos unidimensionais [5, 2].
35
Referências
[1] E. Abreu, J. Douglas, Jr., F. Furtado and F. Pereira, “Operator Splitting for Three-phase Flow in Heterogeneous
Porous Media”, Communications in Computational Physics, v. 6, p. 72-84, 2008.
[2] E. Abreu, J. Douglas, Jr., F. Furtado, D. Marchesin and F. Pereira, “Three-phase immiscible displacement in
heterogeneous petroleum reservoirs”, Mathematics and computers in simulation, v. 73(1-4), 2-20, 2006.
[3] A. Azevedo, D. Marchesin, B. J. Plohr and K. Zumbrun, “Capillary instability in models for three-phase flow”,
Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, v. 53, p. 713-746, 2002.
[4] E. Isaacson, D. Marchesin and B. Plohr, “Transitional waves for conservation laws”, SIAM J. Math. Anal., v.
21, p. 837-866, 1990.
[5] D. Marchesin and B. Plohr, “Wave structure in wag recovery”, Society of Petroleum Engineering Journal 71314,
v. 6(2), p. 209-219, 2001.
36
A constante de Cheeger via funções de torção
Grey Ercole
G. Ercolea e H. Buenob
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 - Bairro Pampulha,
CEP 31270-901 - Belo Horizonte - MG. [email protected]. Suporte: CNPq e Fapemig.
b
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 - Bairro Pampulha,
CEP 31270-901 - Belo Horizonte - MG. [email protected]. Suporte: CNPq.
Considere o problema de Cheeger
h(Ω) = minE⊂Ω |∂E| / |E|
em que: Ω é um domínio suave e limitado de RN , N > 1, os quocientes |∂E|/|E|
são avaliados entre todos os subdomínios E de Ω e as quantidades |∂E| e |E| denotam, respectivamente, o perímetro de ∂E e o volume of E. O valor mínimo h (Ω) é
conhecido como a Constante de Cheeger de Ω e um correspondente minimizador E
é conhecido como Conjunto e Cheeger de Ω.
¡ ¢
Agora, para cada p > 1, seja φp ∈ C 1,α Ω a p-função de torção de Ω, isto é, a
solução do Problema de Torção
½
−∆p φp = 1 em Ω
φp = 0 sobre ∂Ω,
em que ∆p u := div(|∇u|p−2 ∇u) é o operador p-Laplaciano.
São provadas as seguintes caracterizações para a constante de Cheeger:
lim (kφp kL∞ (Ω) )1−p = h (Ω) = lim+ (kφp kL1 (Ω) )1−p ,
p→1+
p→1
enfatizando a conexão entre os dois problemas acima descritos.
Além disso, a seguinte estimativa é deduzida:
lim kφp kL1 (Ω) ≥ CN lim+ kφp kL∞ (Ω)
p→1+
p→1
em que CN é uma constante positiva explícita que depende somente de N e de h(Ω).
Uma autofunção u ∈ BV (Ω) ∩ L∞ (Ω) do problema de Dirichlet para 1-Laplaciano
é obtida como limite forte em L1 (Ω), quando p → 1+ , de uma subsequência da
família {φp / kφp kL1 (Ω) }p>1 . Como consequência, quase todos os conjuntos de nível
Et = {x ∈ Ω : u(x) > t} de u são conjuntos de Cheeger e a estimativa acima se
traduz na relação
37
|B1 | h(B1 )N ≤ |E0 | h(Ω)N ,
em que B1 é a bola unitária em RN .
Para Ω convexo uma prova mais simples das caracterizações de h(Ω) é apresentada
e utiliza a simetrização de Schwarz e uma propriedade de concavidade das p-funções
de torção. Nesse caso, todos os conjuntos de nível são iguais (pois o conjunto de
Cheeger é único) e u = |E0 |−1 χE0 , em que χE0 é a função característica de E0 .
Referências
[1] H. Bueno e G. Ercole, "Solutions of the Cheeger problem via torsion functions", submitted.
[2] G. Buttazzo, G. Carlier e M. Comte, "On the selection of maximal Cheeger sets"’, Differential and Integral
Equations, 20, p. 991-1004, 2007.
[3] G. Carlier e M. Comte, "On a weighted total variation minimization problem,"Journal of Functional Analysis,
250, p. 214-226, 2007.
[4] D. Grieser, "The first eigenvalue of the Laplacian, isoperimetric constants and the Max FlowMin Cut Theorem",
Arch. Math. v. 87, p. 75–85, 2006.
[5] P. Hild, I.R. Ionescu, T. Lachand-Robert e I.Rosca, "The blocking of an inhomogeneous Bingham fluid. Applications to landslides", Math. Modelling and Num. Anal. v. 36, p. 1013–1026, 2002.
[6] I.R. Ionescu e T. Lachand-Robert, "Generalized Cheeger sets related to landslides", Calc. Var., v. 23, p.
227–249, 2005.
[7] B. Kawohl e T. Lachand-Robert, "Characterization of Cheeger sets for convex subsets of the plane", Pacific
J. Math. 225, no. 1, p. 103–118, 2006.
[8] B. Kawohl e V. Fridman, "Isoperimetric estimates for the first eigenvalue of the p-Laplace operator and the
Cheeger constant", Comm. Math. Univ. Carol., 44, p. 659-667, 2003.
[9] J.B. Keller, "Plate failure under pressure", SIAM Review, v. 22, p. 227–228, 1980.
[10] O. Ladyzhenskaya e N. Ural’tseva, Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Academic Press, New YorkLondon, 1968.
[11] S. Sakaguchi, "Concavity properties of solutions to some degenerated quasilinear elliptic Dirichlet problems",
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., v. 14 no. 4, p. 403-421, 1987.
38
Métodos sem malha na solução de problemas do
eletromagnetismo
Renato Cardoso Mesquita
R. C. Mesquitaa
a
Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos 6627, CEP
31270-901, Belo Horizonte, Minas Gerais - [email protected].
O método de elementos finitos é um método numérico utilizado na solução de problemas regidos por equações diferenciais parciais. Porém, a geometria de problemas
eletromagnéticos é geralmente muito complexa e há muitos casos onde os geradores
de malhas de elementos finitos não conseguem gerar malhas adequadas, especialmente em problemas tridimensionais. Por este motivo, alternativas ao método que
não necessitam de uma malha começaram a ser desenvolvidas a partir de meados da
década de 90 [1]. Estes métodos são conhecidos como métodos sem malha e tiveram
um grande desenvolvimento na última década.
O objetivo desta apresentação é apresentar:
1. as bases matemáticas dos métodos sem malhas;
2. alguns dos principais resultados que obtivemos utilizando estes métodos no Eletromagnetismo [2 − 8];
3. algumas das questões matemáticas que ainda não conseguimos responder.
Referências
[1] Liu, G. R. Meshfree Methods. Moving Beyond the Finite Element Method, CRC Press, 2nd ed., 2009.
[2] Viana, S. A.; Mesquita, R. C. Moving least square reproducing kernel method for electromagnetic field computation, IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 35, n. 3, p. 1372-1375, 1999.
[3] Parreira, G. F.; Fonseca, A. R.; Lisboa, A. C.; Silva, E. J. da; Mesquita, R. C. Efficient Algorithms and Data
Structures for Element-free Galerkin Method, IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 42, n. 4, p.
659-662, 2006.
[4] Guimarães, F. G.; Saldanha, R. R.; Mesquita, R. C.; Lowther, D. A.; Ramirez, J. A. A Meshless Method for
Electromagnetic Field Computation Based on the Multiquadric Technique, IEEE Transactions on Magnetics,
v. 43, p. 1281-1284, 2007.
[5] Pimenta, L. C. A.; Mendes, M. L.; Mesquita, R. C.; Pereira, G. A. S., Fluids in Electrostatic Fields: An
Analogy for Multi-Robot Control, IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, 2007.
[6] Fonseca, A. R.; Viana, S. A.; Silva, E. J.; Mesquita, R. C. Imposing boundary conditions in the Meshless local
Petrov Galerkin method, IET Science Measurement & Technology, v. 2, 2008.
[7] Coppoli, E. H. R.; Mesquita, R. C.; Silva, R. S. Periodic Boundary Conditions in Element Free Galerkin
Method. COMPEL. The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic
Engineering, vol. 28, p. 922-934, 2009
[8] Fonseca, A. R.; Mendes, M. L.; Mesquita, R. C.; Silva, E. J. da . Mesh Free Parallel Programming for
Electromagnetic Problems, Journal of Microwaves, Optoelectronics and Electromagnetic Applications, vol. 8,
p. 101S-113S, 2009.
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PÔSTERS
Análise de bifurcação num modelo para dinâmica do varicela-zoster
Ailton Luiz Vieira
Geometria da Cross-Cap
Alexander Fernandes da Fonseca
Implementação de um modelo local do sistema imunológico humano
Alexandre Bittencourt Pigozzo
Equações Elíptica Semilineares com dependência do gradiente via Passo
da Montanha
André Desiderio Maldonado
A dinâmica do HIV do ponto de vista matemático
Anna Paula Machado de Oliveira
Desenvolvimento de modelo eletromecânico para miócitos humanos utilizando EDOs
Bernardo Lino de Oliveira
Desenvolvimento de aplicações para um modelo de reservatório
Carolina Ribeiro Xavier
Modelagem matemática do crescimento de tumores avasculares infiltrativos
Daiana Aparecida Rodrigues
Simulação Numérica da Condução do Calor numa Placa Plana pelo Método
de Elementos Finitos Galerkin
Flávia Cristina Duarte Pôssas
Comparação de diferentes implementações do método Kurganov-Tadmor
e esquema Upwind para solução de escoamento bifásico em meios porosos
Gustavo Miranda Teixeira
Aplicação dos modelos clássicos para dinâmica populacional
Graziane Sales Teodoro
Estudo de ciclos limites nas equações de Liénard
Juliana Guimarães Cançado
Resolução de um problema elíptico usando a Aplicação Fibração
Julio Cesar de Paula
Campos quadraticos no plano: O Teorema de Bautin
Larissa Carvalho Vilas Boas
Soluções positivas para uma classe de sistemas elípticos com potenciais
singulares
Narciso da Hora Lisboa
Análise, em escalas múltiplas, da equação de difusão generalizada com
potências fracionárias do Laplaciano
Natália Moreira Eleuterio Alves
Objetivo: Estudaremos a estabilidade e as bifurcações de Hopf em um
sistema de equações diferenciais do tipo VAN DER POL
Nivaldo Gonçalves de Faria
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Campos quadráticos planares possuindo uma conexão heteroclínica de
selas
Rafael Faria Caldeira
Existência de soluções radiais para uma classe de problemas envolvendo
o Biharmônico
Reginaldo Demarque da Rocha
Métodos numéricos na resolução de EDO’s
Samuel Oliveira de Almeida
Equações de diferenças
Tamara Aparecida Nogueira dos Anjos
Transporte de massa na interface entre meios com características distintas
Victor Wegner Maus
Duas abordagens do método do Grupo de Renormalização
Viviane Maciel de Almeida
41