Estudo da interação tripla Genótipos × Locais × Safras pelo

Estudo da interação tripla Genótipos × Locais × Safras pelo
modelo de Tucker
Guilherme Barbosa Abreu 1
Fernando Henrique Ribeiro Barrozo Toledo 2 3
Magno Antonio Patto Ramalho 4
Angela de Fátima Barbosa Abreu 5
Roland Vencovsky 2
1
Introdução
Para a recomendação de novas cultivares, é necessária a instalação de experimentos em
vários locais e em diferentes anos para comprovar a superioridade de determinada cultivar em
relação às outras. Apesar da presença da interação genótipos por ambientes dificultar a indentificação de cultivares, bem como o trabalho dos melhoristas, essas avaliações são essenciais e
indispensáveis para todos programas de melhoramento genético (VENCOVSKY; BARRIGA,
1992).
Geralmente para o estudo e a interpretação da interação genótipos × ambientes, duas classes de modelos são utilizadas, a saber: modelos lineares e modelos lineares – bilineares, que
incluem a apresentação dos dados em tabelas de duas entradas (matriz), sendo cada casela da
tabela contém a resposta média de cada genótipo em cada ambiente (ARAUJO et al., 2010).
Contudo, ao incluir um terceiro elemento, ou seja, as safras, o estudo da interação torna-se
mais complexo, pois, neste caso, os dados são organizados em arranjos de três entradas que se
referem a genótipos, locais e safras, em que não é possível aplicar a análise de componentes
principais clássica. Uma alternativa é a utilização da análise mulitway, proposta por Tucker em
1964 (ARAUJO et al., 2010).
A interação tripla, neste caso Genótipos × Locais × Safras (GLS) é útil quando o pesquisador deseja saber se existe uma estrutura comum subjacente dos locais em relação as safras e
o modo como os genótipos respondem através da estrutura formada por locais e safras. Alguns
genótipos podem responder diferentemente em alguns locais durante alguns anos, mas não em
1 EMBRAPA
Cocais. e-mail: [email protected]
de Genética – ESALQ/USP.
3 Agradecimento ao CNPq pelo apoio financeiro.
4 Depto de Biologia – UFLA.
5 EMBRAPA Arroz e Feijão.
2 Depto
1
outros locais durante a mesma ou em diferentes safras. Além disso, alguns locais podem estar
mais associados com os outros em algumas safras (VARELA et al., 2009).
Posto isso, o objetivo deste trabalho foi avaliar a estabilidade e adaptabilidade de genótipos
de feijoeiro em diferentes locais e safras, por meio do modelo de Tucker, e avaliar o uso do
gráfico joint plot.
2
Material e métodos
Os dados constam de experimentos de avaliação de 36 genótipos de feijão do programa de
melhoramento da Universidade Federal de Lavras, em três locais (Lavras, Lambari e Patos de
Minas) em seis safras consecutivas (nos anos de 2009 e 2010). Todos os experimentos foram
conduzidos em um delineamento aleatorizado em blocos, com três repetições cada. O caráter
utilizado foi a produtividade de grãos, em quilos por hectare (Kg · ha−1 ).
Verificou-se a existência da interação tripla na análise de variância conjunta entre genótipos,
locais e safras, e com os resíduos dessa análise construiu-se um arranjo de três entradas, com
ˆ i jk = ∑P1 ∑Q1 ∑R1 aip b jq ckr g pqr + ei jk em que em que (gls)
ˆ i jk é um elemento
elementos (gls)
p=1 q=1 r=1
do arranjo; P1 , Q1 e R1 representam o número de componentes principais retidas em cada
modo respectivamente; aip representa o valor da componente p do modo genótipos i (linhas);
b jq representa o valor da componente q do modo safra j (colunas); ckr representa o valor da
componente r do modo local k (cubo); g pqr é uma medida da relação entre o componente p do
modo genótipos, o componente q do modo anos e o componente r do modo local; ei jk representa
ˆ i jk .
o erro cometido na estimação do elemento (gls)
Esse é o modelo Tucker, que representado matricialmente constitui-se em: GLS = AG(C ⊗
Obtiveram-se portanto as estimativas das matrizes A, B, C e o arranjo G pelo algoritmo
proposto por Kroonenberg & Deleeuw (1980). Dada a magnitude do conjunto de dados, para
determinar a melhor solução do modelo, utilizou-se o método proposto por Timmerman & Kiers
(2000).
B)0 + E.
A partir das decomposições em três entradas obtidas, para a interpretação utilizou-se representações gráficas biplot condicional, ou seja, sobre o gráfico biplot de um dos modos
projetaram-se as estimativas das interações duplas dos dois outros modos. Tomando-se o modo
genótipos, por exemplo, obteve-se a matriz Dr = BGrC e as projeções das interações safras ×
locais (elementos de Gr ) foram projetadas sobre o gráfico biplot de A.
As análises foram realizadas por meio do programa R, com a biblioteca “PTAk” (R Development Core Team, 2011; LEIBOVICI; SABATIER, 1998).
2
3
Resultados e discussões
Como já era esperado, os efeitos da interação tripla (GLS) foram significativos (SQG×L×S =
449.992.694, com 350 graus de liberdade, sendo SQresı́duo = 1087.163.034, com 1290 graus de
liberdade). A grande vantagem do uso desse modelo de três entradas para o estudo da interação
é que se pode obter resultados mais precisos e reais no estudo das interações, quando comparado
com modelos que utilizam duas entradas (ARAUJO et al., 2010).
A melhor solução encontrada para os dados utilizados neste trabalho foi (6, 5, 2), ou seja,
são usadas seis componentes para genótipos, cinco para safras e duas para locais que explicam 85,54% da soma de quadrados da interação tripla. O primeiro componente de cada modo
explicou, respectivamente para os Genótipos, Safras e Locais, 21, 21 e 37% da variabilidade
total.
PCA2 − 3%
l3
l1
l2
PCA1 − 37%
Figura 1: Dispersão joint biplot das interações Genótipos × Safras sobre Locais. Dados de
produtividade de grãos de feijoeiro.
Como pode ser observado na figura 1, as interações de genótipos × safras sobre locais estão
todas próximas da origem, portanto não é possível identificar nenhum que interaja com locais,
seja essa interação negativa ou positiva. O mesmo ocorre quando foram estudados genótipos ×
locais sobre safras (figura 2).
Já na figura 3 é apresentada a interação safras × locais sobre genótipos. Esse gráfico apresenta informações importantes para os melhoristas, sendo possível identificar genótipos com
melhor estabilidade. Como os genótipos estão próximos da origem pode-se concluir que eles
são estáveis e as interações safras × locais são as que mais contribuíram para a interação tripla,
pois a maioria está distante da origem. Segundo Ramalho, Santos & Zimmermann (1993) uma
cultivar boa é aquela que apresenta alta produtividade, portanto, sendo estáveis, pode-se selecionar os genótipos pela média dos ambientes que nesses experimentos foram os genótipos 8, 15,
10, 5 e 7 (dados não mostrados).
3
PCA2 − 19%
s4
s6
s1
s3
s2
s5
PCA1 − 21%
PCA2 − 19%
Figura 2: Dispersão joint biplot das interações Genótipos × Locais sobre Safras. Dados de
produtividade de grãos de feijoeiro.
t 19
t 20 t 26
t 21
t 15 t 2
t9
t 29
t 27
33
t 5 t 36
t 13 t 31
t t35
t6
t 12
t 32
t 34
t 30
t 23
t4
t3
t 28
t 14t 16
t 17
t 10
t 22
t 24
8
t 25
t 18
t7
t1
t 11
PCA1 − 21%
Figura 3: Dispersão joint biplot das interações Safra × Locais sobre Genótipos. Dados de
produtividade de grãos de feijoeiro.
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Conclusões
O modelo de Tucker foi eficaz para estudar adaptabilidade e estabilidade, os gráficos joint
plot facilitam a interpretação da interação tripla e trazem informações adicionais sobre elas. A
interação dupla de Safras × Locais é a que mais contribuiu para a interação tripla Genótipos
× Locais × Safras. Todos os genótipos mostraram-se estáveis por estarem próximos à origem,
podendo ser selecionados a partir da média dos ambientes (locais e safras).
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Referências
ARAUJO, L. B. et al. Gráficos biplot e joint plot para o estudo da interação tripla. Ciência
Rural, Santa Maria, v. 40, n. 4, 2010.
KROONENBERG, P. M.; DELEEUW, J. Principal component analysis of three-mode data by
means of alternating least squares algorithms. Psychometrika, v. 45, p. 69–97, 1980.
LEIBOVICI, D.; SABATIER, R. A singular value decomposition of k-way array for a principal
component analysis of multiway data, pta-k. Linear Algebra and its Applications, v. 269,
1998.
R Development Core Team. R: A Language and environment for statistical computing.
Vienna, Austria, 2011.
RAMALHO, M. A. P.; SANTOS, J. B. dos; ZIMMERMANN, M. J. de O. Genética
quantitativa aplicada ao melhoramento de plantas autógamas: aplicação ao
melhoramento de feijoeiro. 1. ed. Goiania: UFG, 1993. 271 p.
TIMMERMAN, M. E.; KIERS, H. A. L. Three-mode principal components analysis: choosing
the numbers of components and sensitivity to local optima. British Journal of Mathematical
and Statistical Psychology, London, v. 53, n. 1, p. 1–16, 2000.
VARELA, M. et al. Generalizing the sides regression model to three-way interaction including
multi-attributes. Crop Science, Madson, v. 49, 2009.
VENCOVSKY, R.; BARRIGA, P. Estatística biométrica no fitomelhoramento. 1. ed.
Ribeirão Preto: SBG, 1992. 496 p.
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