Todas os desafios propostos tentam modelar a realidade. Os

Todas os desafios propostos tentam modelar a realidade. Os modelos usam simplificações e
aproximações que introduzem erros. Este documento é um guia para o professsor saber
qual o processo de resolução de cada actividade que este programa usa e quais os erros das
medições considerados.
Atividades
1. Os berlindes escondidos
Tema explorado: Conceito de tara numa medição.
Descrição: Uma caixa fechada com um número indeterminado de berlindes é dada
aos alunos. Os alunos têm de descobrir quantos berlindes tem a caixa.
Material adicional: Alguns berlindes e uma caixa vazia semelhante à primeira.
Dados
Massa da caixa que contem os berlindes sem os berlindes (m_cb): varia entre 30g e
200g determinado aleatoriamente.
Massa da caixa vazia (m_cv): m_cv = m_cb +/- 0.05%
Massa dos berlindes (m_b): varia entre 1.56g e 1.58g determinado aleatoriamente.
Dimensões das caixas e berlindes: estes dados são irrelevantes para o exercício. Os
berlindes têm um volume fixo de 1.25cm³ e a caixa um volume aleatório entre 90cm³ e
1650cm³.
Resolução
1 – Colocar a caixa vazia na balança e tarar a balança
2 – Colocar a caixa com os berlindes na balança e registar o massa total dos berlindes
(m_T)
3 – Medir a massa de um dos berlindes (ou dos três e fazer a média)
4 – Determinar o número de berlindes(N) N = m_T/m_b
Resultados aceites pelo programa
O programa não aceita um resultado que não seja um número inteiro, porque não
faz sentido. Apesar disso as ligeiras variações de massa das caixas e dos berlindes implicam
que nos cálculos não se obtem um número inteiro. Faz parte do objetivo do exercício
determinar a inadequação do valor fraccional que é obtido.
O programa aceita qualquer valor inteiro entre m_T/ 1.58 e m_T / 1.56
2. A caixa que flutua
Tema explorado: Densidade. Impulsão.
Descrição: Uma caixa e moedas são fornecidas aos alunos. Pede-se para determinar
quantas moedas é possível colocar dentro da caixa de forma a que a caixa se mantenha a
flutuar num líquido.
Dados
Massa da caixa(m_c): varia entre 50g e 170g determinado aleatoriamente.
Massa das moedas (m_m): varia entre 27.05g e 27.15g determinado aleatoriamente.
Densidade do líquido (d): 1.3 g/cm³
Volume da caixa (V): varia entre 90cm³ e 1650cm³ determinado aleatoriamente
Fundamentos teóricos
Um objeto flutua num líquido desde que a sua densidade seja inferior à densidade do
líquido. Se a densidade da caixa for menor do que a densidade do líquido ela flutua.
Para a caixa ter uma densidade igual à do líquido, teria que ter uma massa (m_L)
m_L = d x L
Para ter uma massa m_L tem de ter um número de moedas (N)
N =(m_L – m_c) / m_m
Como a densidade tem de ser inferior à densidade do líquido o arredondamento do
número de moedas tem de ser feito por defeito.
Resolução
1 – Medir as dimensões da caixa e calcular o seu volume
2 – Medir a massa da caixa
3 – Medir a massa das moedas
4 – Colocar a proveta na balança e tarar a balança
5 – Encher a proveta com 100 cm³ do líquido e medir a massa. Calcular a densidade
do líquido.
6 – Determinar a massa limite necessária para a caixa não flutuar (m_L)
m_L = d x V
7 – Determinar o número de moedas necessárias para atingir essa massa (N),
arredondando o resultado por defeito
N =(m_L – m_c) / m_m
Resultados aceites pelo programa
O programa não aceita um resultado que não seja um número inteiro, porque não
faz sentido. Apesar disso é improvável obter um número inteiro. Faz parte do objetivo do
exercício determinar a inadequação do valor fraccional que é obtido.
O programa admite erros nas medidas dos comprimentos de 0.05 cm, erro no valor
da massa das moedas, 0.05g e erro na medição do volume do líquido, 0.5ml. Esses erros são
propagados para o resultado final.
Nota relativa à medida da densidade: o programa assume que, no cálculo da
densidade, o volume de líquido medido é 100mL. Se se usar um volume menor pode
introduzir-se um erro relativo maior do que o considerado.
3.
A volta ao mundo
Tema explorado: Rapidez média
Descrição: Os alunos observam o movimento de um avião e pede-se-lhes que
determinem quanto tempo demoraria o avião a completar uma volta em torno da Terra.
Dados
Distância percorrida pelo avião (d): 730m
Velocidade do avião (v): varia entre 500km/h e 1100 km/h, determinados
aleatoriamente
Valores a pesquisar
Raio da Terra (RT): 6371 km, este valor deverá ser pesquisado
Resolução
1 – Medir o tempo que o avião precisa para fazer o percurso (medir algumas vezes e
fazer uma média)
2 – Medir a distância d, para isso, clicar com a régua no avião depois de ter
completado o percurso e medir a distância de cauda a cauda. Multiplicar essa distância pelo
factor de escala (50m)
3- Calcular a velocidade do avião e converter para km/h
4 – Calcular o valor do perímetro da Terra (P)
P=2 π RT
5 – Calcular o tempo necessário para completar uma volta à Terra (t_F) (neste caso
despreza-se a altitude do avião)
t_F = P / v
Resultados aceites pelo programa
O erro relativo à circunferência terrestre é considerado 200km.
O erro relativo à determinação da velocidade é considerado ser exclusivamente
devido à medição do intervalo de tempo (considerado 0.1s), o erro da medição da distância
é desprezado.
4. Uma corrida
Tema explorado: Rapidez média. Velocidade do som.
Descrição: Os alunos observam o movimento de um carro e pede-se-lhes que
calculem a rapidez média do carro
Fundamentos teóricos
Neste desafio os dados necessários (intervalo de tempo e distância percorrida) não
estão imediatamente disponíveis. Não é possível medir a distância percorrida.
Usa-se o facto de a velocidade da luz e do som serem diferentes e medindo a
diferença entre o tempo de chegada da luz e do som ao observador para determinar a
distância percorrida pelo carro. O programa considera que a luz viaja instantaneamente
entre a fonte e o observador.
Dados
Distância percorrida pelo carro (d): Entre 400 m e 733 m
Velocidade do carro (v): Entre 120 km/h e 220 km/h
Valores a pesquisar
Velocidade do som: 343 m/s, valor a pesquisar
Velocidade da luz: considera-se que a luz viaja instantaneamente
Resolução
1 – Medir o tempo que o carro precisa para fazer o percurso (medir algumas vezes e
fazer uma média)
2 – Medir o tempo entre ver o clarão e ouvir o tiro (É extremamente necessário medir
algumas vezes)
3- Sabendo a velocidade do som no ar calcular a distância percorrida pelo som (que é
igual à do carro)
4 – Calcular a velocidade do carro
Resultados aceites pelo programa
O erro relativo à velocidade do som é 3m/s.
O erro relativo à determinação dos intervalos de tempo são considerados 0.1s.
Os erros propagam-se linearmente para o resultado final.
5. Previsões
Tema explorado: Velocidade. Decomposição do vetor velocidade em componentes
ortogonais. Uso de referenciais.
Nota: uma versão mais indicada para exploração em sala de aula deste desafio está
disponível aqui.
Descrição: Os alunos observam o movimento de objeto e assumindo uma
magnitude de velocidade constante pede-se-lhes que determinem a posição do corpo ao
fim de 20s
Fundamentos teóricos
Neste desafio é útil a decomposição do vetor velocidade nas suas componentes
ortogonais, porque o movimento do disco se realiza num plano. Depois de feita essa
decomposição é um exercício semelhante ao “A volta ao mundo”
Dados
Posição do disco: obtida clicando no disco
Intervalo de tempo: medido no cronómetro imbutido no desafio, para o erro ser
menor
Resolução
1 – Observar o movimento inicial (até o disco chocar com a parede, por simplicidade)
e registar o intervalo de tempo que o movimento dura.
Nota: por vezes se o movimento for muito curto até atingir uma parede, o erro
relativo das medições é demasiado grande para efetuar uma previsão precisa. Nesse caso é
melhor usar o movimento inicial total.
2 – Medir o deslocamento (no caso de o disco não chocar com a parede) do disco no
movimento anterior, registando as duas componentes
3 - Calcular a distância percorrida pelo disco em cada direção.
4 – Calcular a posição final.
Resultados aceites pelo programa
O erro relativo à posição final do disco é igual ao raio do disco.
6. Envio de mensagens
Tema explorado: Velocidade. Decomposição do vetor velocidade em componentes
ortogonais. Uso de referenciais.
Descrição: Tem de escolher a velocidade de três corpos de forma a que passem por
uma determinada posição sequencialmente.
É de notar que este desafio tem um infinidade de soluções, o que não sendo habitual
em exercícios típicos pode levantar dificuldades extra.
Este desafio aplica os mesmos conceitos do desafio anterior, sendo que a diferença
principal a explorar é a possibilidade de múltiplas soluções.
Dados
Posição dos diversos corpos que pode ser obtida clicando neles
Resolução
1 – Medir o deslocamento necessário para cada corpo chegar ao destino
3 - Escolher o intervalo de tempo que cada mensagem demora a chegar ao destino.
Por exemplo 1s, 2s e 3s
4 – Calcular as velocidades
Resultados aceites pelo programa
O programa aceita qualquer resposta em que as mensagens cheguem ordenadas e
atinjam qualquer ponto do local de destino.
7. Colisão
Tema explorado: Velocidade. Equações do movimento.
Descrição: Dois carros deslocam-se em direção um do outro, sendo o objetivo
determinar o local da colisão. Este é um problema habitual variando pelo facto de a
velocidade de cada carro ter de ser determinada experimentalmente.
Fundamentos Teóricos
Tendo as equações do movimento de cada um dos carros
x= x 0+v t
Descobre-se em que instante os dois colidem
x 0A+v A t= x 0B+v B t
Basta para isso determinar experimentalmente as velocidades e saber as posições
iniciais
Dados
Velocidade do carro A: Entre 1m/s e 4 m/s
Velocidade do carro B:Entre 1m/s e 4 m/s, sempre com uma diferença superior a
0.5m/s para a velocidade do outro carro
Posição de cada carro: determina-se clicando sobre cada um dos carros
Resolução
1 – No ecrã 'Material', determinar a velocidade de cada carro. Medir a distância
percorrida e o tempo que demoram a percorrer essa distância.
2 – No ecrã Desafio, medir as posições iniciais de cada carro
3- Calcular a posição da colisão, através das equações do movimento
Resultados aceites pelo programa
É aceite um erro de 0.1m na posição da colisão.
8. Tiro ao alvo
Tema explorado: Projéteis.
Descrição: Pede-se aos alunos que atinjam um alvo com um projétil. A diferença
para um exercício habitual de projéteis está no facto de o desafio permitir alterar o valor da
velocidade e o ângulo do projétil, o que dá origem a uma infinidade de possíveis soluções.
Isto tem de ser explorado com os alunos.
É fácil atingir o alvo ocasionalmente com um método de tentativa e erro, o objetivo
aqui será atingir o alvo todas as vezes.
Fundamentos Teóricos e Resolução
O processo de resolução mais simples é escolher um ângulo que pareça adequado
(não há um ângulo que resolva todos os casos), tendo em conta a posição do alvo e depois
abordar o problema como se a única variável fosse a magnitude da velocidade.
É preciso notar que a posiçãos inicial do projétil é a boca do canhão que não é (0,0)
m. É necessário medir essa posição porque depende do ângulo escolhido (o canhão tem um
tamanho razoável em relação à trajetória).
Tendo as equações do movimento do projétil
x= x 0+v 0x t
1
y= y 0+v 0y t+ g t²
2
sendo que
v 0x=v cos θ
v 0y =v sin θ
Substitui-se os valores de x, y e g e θ e igualam-se os valores de t, para obter a
velocidade
O ecrã material tem o projétil que pode ser usado para medir o raio e a massa do
projétil, o que não tem qualquer utilidade neste exercício.
Dados
Posição do alvo: determina-se clicando no alvo
Posição inicial do projétil: determina-se clicando na boca do canhão depois de
escolher o ângulo
Dados a pesquisar
g = 9.8m/s²
Resultados aceites pelo programa
O programa considera que o alvo tem um raio de 1 m e todas as respostas em que o
projétil que passa pelo alvo são aceites.
9. O cofre que não flutua
Tema explorado: Impulsão, resultante das forças.
Descrição: Um cofre está no fundo do mar. Pede-se para determinar quantas bolas
de ping-pong seriam necessárias para encher o cofre de forma a ele flutuar.
Fundamentos Teóricos
A impulsão sofrida pelo cofre mais a impulsão das bolas de ping-pong teria de ser
superior ao peso cofre+bolas.
Para N bolas
P=(mcofre+ N mbola )g
I =(V cofre+ N V bola )ρ g
sendo ρ a densidade do oceano
logo,
(mcofre +N mbola )<(V cofre +N V bola )ρ
N>
(m cofre−V cofre ρ)
(V bola ρ−m bola )
Dados
Massa do cofre: Entre 7 e 12 kg
Densidade da água: Entre 1.2 e 1.35 g/cm³
Dados a pesquisar
Caraterísticas das bolas de ping-pong: 40 mm de diâmetro e 2.7g de massa
Densidade do ferro: 7.87 g/cm³
Resolução
1 – Medir a massa de uma amostra do oceano e determinar a densidade.
2 – Medir a massa do cofre e calcular o seu volume.
3- Calcular o volume da bola de ping-pong
4 -Resolver a inequação
N>
( mcofre −V cofre ρ)
e arrendondar o resultado por excesso.
(V bola ρ−mbola )
Resultados aceites pelo programa
O programa apenas aceita respostas com números inteiros. O programa admite erros
de 2mm no diâmetro e 0.1g na massa das bolas de ping-pong. Os restantes erros são
desprezáveis em relação ao erro no volume das bolas.
10.
Parar a tempo
Tema a explorar: Atrito. Equações do movimento.
Descrição: Um bloco em repouso inicia um movimento. Pede-se que se descubra
qual o valor da velocidade para o bloco parar o movimento numa zona determinada.
Fundamentos Teóricos e Resolução
Pode-se determinar a velocidade inicial do bloco com as equações do movimento
1
x= x 0+v 0 t+ a t²
2
v=v 0+a t
A aceleração que o bloco sofre deve-se ao atrito entre o bloco e a superfície. Para
resolver este problema é necessário determinar o coeficiente de atrito responsável por essa
aceleração. O coeficiente de atrito cinético pode ser determinado usando um plano
inclinado e a equação de movimento.
No caso do plano inclinado disponível do ecrã Material a equação reduz-se a
1
3=0.1+ a t²
2
porque o plano tem 3 m, a posição inicial é 0.1m e a velocidade inicial é nula.
Mede-se o tempo que demora o bloco a descer o plano e obtem-se a aceleração total
que o bloco sofre durante a descida.
Esta aceleração (a t ) é igual a
a t= g sin θ−g cos θμ
onde θ é o ângulo do plano inclinado e μ o coeficiente de atrito cinético.
Tendo o coeficiente de atrito cinético pode-se obter a aceleração que o bloco sofre no
problema inicial.
a=g μ
ficando as equações do movimento iniciais
1
x− x 0=v 0 t+ g μ t²
2
0=v 0+ g μ t
onde o valor x - x0 se obtem clicando sobre o bloco e a plataforma.
Resolve-se as equações em ordem à velocidade.
Dados
Coeficiente de atrito estático: Entre 0.1 e 0.35
Coeficiente de atrito cinético: Entre 60% e 95% do valor do coeficiente de atrito
estático
Posição inicial do bloco: Entre 0.2 e 0.9m, determina-se clicando sobre o bloco
Resultados aceites pelo programa
O programa permite que a posição final seja qualquer ponto da zona vermelha, entre
2.87m e 3.00 m. Além disso permite um erro na medição do intervalo de tempo de queda
do corpo pelo plano inclinado de 0.1s. Esse erro propaga-se para o resultado final.
11.
Subir ou descer
Tema explorado: Hidrostática. Pressão.
Descrição: Dois líquidos imiscíveis com densidades diferentes, são colocados num
sistema de vasos comunicantes. Pede-se para determinar a posição dos líquidos depois de
atingido o equilíbrio.
Fundamentos Teóricos
Depois de abrir a válvula e atingido o equilíbrio os líquidos adotaram uma
configuração semelhante a
Para haver equilíbrio os pontos na linha azul dos dois lados do recipiente têm de
estar submetidos à mesma pressão, logo a pressão que o líquido amarelo da figura exerce
será igual à pressão que o líquido vermelho acima da linha azul exerce.
A pressão de uma coluna de altura h de um líquido com densidade
através de
P=ρ h g
logo para as pressões serem iguais
ρ1 h 1 g =ρ2 h 2 g
ρ calcula-se
ρ2
e h1 = ρ h2
1
calcula-se a altura total do líquido 1, sabendo a altura inicial dos dois líquidos,
hi ,
por geometria
hT =
(hi +h 1)
2
Nota: o volume de líquido no tubo é desprezável e é ignorado nestes cálculos. Apesar
de a área da base não ser utilizada nestes cálculos é necessário ver que essa área é
suficientemente grande para o volume do tubo ser desprezado.
Dados
Altura inicial dos líquidos no recipiente (h): 4.9cm
Densidade do líquido A ( ρA ): varia entre 0.5 g/cm³ e 2 g/cm³, determinado
aleatoriamente
Densidade do líquido B ( ρB ): varia entre 0.5g/cm³ e 2 g/cm³, sendo que é sempre
diferente do líquido A pelo menos 0.2g/cm³
Ârea da base dos líquidos: irrelevante para o exercício. Valor fixo.
Resolução (para o caso em que ρB
< ρA )
1 – Determinar a densidade dos dois líquidos através das amostras dos dois líquidos.
2 – Determinar a altura de líquido A ( h A ) necessária para equilibrar todo o líquido
B.
h
h A =ρ B ρ
A
3 – Determinar a altura final ( h f ) de líquido A
h f=
( h+h A)
2
Resolução (para o caso em que ρB
> ρA )
1 – Determinar a densidade dos dois líquidos através das amostras dos dois líquidos.
2 – Determinar a altura de líquido B ( h B ) necessária para equilibrar todo o líquido
A.
h
h B =ρ A ρ
B
3 – Determinar a altura final ( h f ) de líquido A
h
3
h f = h− B
2
2
Resultados aceites pelo programa
O programa admite um erro de 0.5cm na medição das alturas dos líquidos e 0.5ml na
medição dos volumes das amostras, quando se determina a sua densidade. Esses erros
propagam-se para o resultado final.
12.
Equilibrar um tabuleiro
Tema explorado: Centro de massa
Descrição: Colocam-se quatro corpos sobre um tabuleiro apoiado num eixo central.
Pede-se para determinar a posição de um deles de forma a que o conjunto esteja em
equilíbrio.
Fundamentos Teóricos e Resolução
O sistema estará em equilíbrio se a soma dos momento da força de cada um dos
corpos for igual a zero. Isto é equivalente ao centro de massa dos 4 corpos estar localizado
no centro do tabuleiro, ponto (0,0).
Ou seja, como o centro de massa dos quatro corpos calcula-se por
c.m.=
( x1, y 1 ) m1+( x 2, y 2 ) m2+(x 3, y 3)m3+( x 4, y 4 ) m4
m1+m2+m3 +m4
para estar localizado no ponto (0,0), ( x 4, y 4 ) tem de ser igual a
(x 4, y 4 )=
c.m.(m1+m 2+m3+m4 )−(( x 1, y 1)m1+(x 2, y 2 ) m2+( x 3, y 3) m3)
m4
( x 4, y 4 )=
−(( x 1, y1 ) m1+( x 2, y 2) m2+(x 3, y 3 )m3 )
m4
Dados
Massa dos corpos: Entre 50g e 120g
Posição dos corpos: Obtem-se clicando sobre os corpos
Resolução
1 - Medir a massa de cada um dos corpos
2 – Medir a posição de cada um dos corpos
3 – Calcular a posição do corpo 4 com (x 4, y 4 )=
−(( x 1, y1 )m 1+( x 2, y 2)m 2+(x 3, y 3 ) m3 )
m4
Resultados aceites pelo programa
O programa aceita respostas num raio de 30 unidades da posição
(x 4, y 4 )
13.
Gás contido
Tema explorado: Pressão
Descrição: Uma bolha de ar forma-se no fundo do oceano. Pede-se parra
determinar qual o raio da bolha imediatamente antes de atingir a superfície.
Fundamentos Teóricos e Resolução
A pressão exercida na bolha de ar depende da profundidade a que se encontra,
devido à variação da coluna de água que está sobre ela.
A pressão P, que a bolha sofre, a uma profundidade h, é
P=P Atm +ρh g
onde
P Atm é o valor da pressão atmosférica e ρ a densidade da água.
Como para uma temperatura constante
P V =constante
P i V i=P f V f
substituindo pela pressão no fundo do oceano e à superfície a equação fica
(P Atm +ρ g h)V i= P Atm V
e
Vf=
P Atm +ρ g h
Vi
P Atm
Dados
Densidade da água: Entre 1.1 e 1.35 g/cm³
Posição da bolha: Entre 8 m e 15 m
Raio da bolha: Entre 0.7 cm e 2.2 cm
f
Dados a pesquisar
Pressão atmosférica: 101325 Pa
g: 9.8 m/s²
Resolução
1 - Medir o raio da bolha e calcular o seu volume inicial, Vi
2 – Medir a posição inicial da bolha, h
3 – Medir a massa de uma amostra de água e calcular a sua densidade
ρ
4 – Calcular o volume final através de
Vf=
P Atm +ρ g h
Vi
P Atm
5 – Determinar o raio final
Resultados aceites pelo programa
O programa aceita erros na medição do raio da bolha de 0.1 cm, medição do volume
da amostra de água de 0.5 ml e variações do valor da pressão atmosférica de 2000 Pa. Estes
erros propagam-se para o resultado final.
14.
Um tiro ao alvo diferente
Tema explorado: Projéteis. Resolução numérica de equações.
Descrição: Pede-se aos alunos que atinjam um alvo com um projétil. A diferença
para o exercício 8 é o facto de este desafio usar um modelo que a resistência do ar
afeta o movimento. Este desafio está fora do âmbito do ensino secundário.
Fundamentos Teóricos e Resolução
A resistência do ar provoca uma força com sentido contrário à velocidade e
que, no caso de número de Reynolds elevado, é proporcional à velocidade ao
quadrado.
Ou seja a força total exercida no projétil é
⃗ =m ⃗g −k v ⃗v
F
Não é possível resolver a equação analiticamente, então resolve-se usando
métodos numéricos.
Antes de iniciar a modelação é necessário medir a massa do projétil, a posição
inicial do projétil e a posição do alvo.
Calcular o valor de k
1 - Na área de testes, escolher um valor de ângulo e velocidades e verificar o
alcance do projétil.
2 – Resolver numericamente a equação
⃗ =m ⃗g −k v ⃗v com as condições
F
iniciais medidas e vários valores de k até a trajétoria do projétil coincidir com a verificada na
área de testes.
Determinar o ângulo e a velocidade do projétil para atingir o alvo
1 – Escolher um ângulo que pareça razoável e resolver numericamente a equação
⃗ =m ⃗g −k v ⃗v para as condições iniciais medidas, incluindo o valor de k, e para vários
F
valores de velocidade até encontrar uma trajetória que passe pelo alvo.
Nota: pode-se também, por exemplo, selecionar o valor máximo de velocidade e
variar o valor do ângulo, ou até mesmo variar os dois.
Dados
Posição do alvo: determina-se clicando no alvo
Posição inicial do projétil: determina-se clicando na boca do canhão
depois de escolher o ângulo
k: este programa modela o valor de k de acordo com a equação
k=
π ρC d A
2
onde Cd é o coeficiente de arrastamento do projétil,
considerada 1.29g/cm³ e A a secção de uma esfera
ρ a densidade do ar
π r²
Dados a pesquisar
g = 9.8m/s²
Coeficiente de arrastamento (Cd) para uma esfera: 0.47 (Não é necessário
pesquisar este valor para resolver o problema mas é uma das formas possíveis)
Resultados aceites pelo programa
O programa considera que o alvo tem um raio de 1 m e todas as respostas em
que o projétil que passa pelo alvo são aceites.