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Jorge Valadares José Maria Tavares GRANDEZAS E MEDIDAS Universidade Aberta 2002 Capa: Francisco Tellechea Copyright © UNIVERSIDADEABERTA-2002 Palácio Ceia· Rua da Escola Politécnica, 147 1269-00 1 Lisboa DL: 185386/02 ISBN: 972-674--379-6 Grandezas e Medidas 7 Introdução 1. Grandezas, Medições e Unidades J I Objectivos 13 Noção de Grandeza 17 Tipos de Grandezas e sua medição 17 A medição efectiva 21 Condições para que possa realizar-se uma medição efectiva 25 Grandezas vectoriais e grandezas escalares 31 Símbolos das grandezas 36 Unidades de medida 36 Unidades e símbolos de unidades 39 Recomendações respeitantes aos nomes e símbolos d e unidades 43 Respostas às questões de auto-avaliação 2. Sistemas de Unidades 49 Objectivos 51 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas. Equações de definição. Escolha de um sistema de unidades. 57 O s sistemas coerentes d e unidades 60 O S istema Internacional de Unidades como sistema absoluto e coerente 60 A adopção do Sistema Internacional de Unidades 61 As unidades de base do Sistema Internacional de Unidades 60 Outras Unidades SI 71 Respostas às questões de auto-avaliação 3. As Dimensões das Grandezas 77 Objectivos 79 Introdução 79 Dimensão de uma grandeza 5 79 Sistemas de grandezas 81 Classes d e sistemas d e unidades 84 Definição de dimensão de uma grandeza 89 A lgumas propriedades d a dimensão 94 Homogeneidade dimensional 96 Análise dimensional 1 03 Respostas às questões de auto-avaliação 4. Erros e Incertezas nas Medições 11 3 Objectivos 115 Introdução 11 8 Instrumentos de medição 1 22 Erros em medições 1 26 Análise estatística de erros aleatórios 129 Propagação de erros 1 32 Algarismos significativos 139 Respostas à s questões d e auto-avaliação Apêndice 147 Apêndice 1. Símbolos Recomendados pela ISO para as Principais Grandezas Físicas Apêndice 2. Histór ia das Unidades de Medida e dos Sistemas de Unidades 6 157 A medição do tempo 15 8 A medição do espaço 1 61 A medição de outras grandezas 1 63 A evolução histórica dos sistemas de unidades 171 A evolução das unidades no nosso país (breve síntese) 1 75 Bibliografia Fi· 411 INTRODUÇÃO Ao escrevermos este livro intitulado Grandezas e Medidas, procurámos em primeiro lugar que ele correspondesse ao conteúdo de uma disciplina, com o mesmo nome, do Departamento de Ciências Exactas e Tecnológicas da Universidade Aberta, e da qual somos os professores responsáveis. Acreditamos que o conteúdo do livro também poderá interessar a todas as pessoas que necessitem de colher informação sobre as grandezas e suas unidades, sobre as normas internacionais que a elas dizem respeito, sobre as medições das grandezas e os erros e incertezas a elas inerentes, sobre as dimensões das grandezas e a análise dimensional e, ainda, sobre os sistemas de unidades, com particular relevância para o Sistema Internacional de Unidades (SI), aprovado na 10.a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), em 1954 e cujo uso foi legalizado em Portugal através do decreto-lei N.o 427/83. Ao escrever este livro, consultámos, transcrevemos e respeitámos as normas emanadas da International Standard Organization (ISO) e que de algum modo estão relacionadas com o conteúdo do livro. Esta é a organização internacional com poderes na questão da simbologia e normalização de grandezas e unidades e Portugal é membro de pleno direito dela. Respeitámos também o Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM) estabelecido por um grupo de trabalho misto presidido pelo Director do Bureau Internacional de Pesos e Medidas. No que diz respeito à faceta metodológica, procurámos facilitar o mais possível a aprendizagem do aluno simplificando a linguagem quer no que se refere à construção das frases quer no que respeita à forma de desenvolvimento do conteúdo científico do discurso. Tivemos em conta algumas regras pedagógicas bastante consensuais sobre os manuais escritos para o ensino a distância. Assim, procurámos colocar ao longo do texto questões de auto-avaliação para que o estudante possa ir regulando a sua própria aprendizagem. Para tal, ele deverá primeiro tentar resolver as questões e só depois confrontar as suas tentativas com as nossas resoluções. Estas foram trabalhadas de modo a prever e a responder a bloqueios possíveis do aluno. Também formulámos objectivos bastante claros, no início de cada capítulo, para que cada aluno saiba «para onde deve caminhar», mas procurando tirar-lhe todo o carácter excessivamente comportamentalista e limitativo inerente às grandes listagens de objectivos de tarefas. Assim, os objectivos mais importantes, aqueles que os alunos mais deverão ter bem presentes, são os objectivos gerais que nós operacionalizamos através de amostras não exaustivas de tarefas que os balizam e ajudam a esclarecer. Estas tarefas serão algumas das que os alunos terão de realizar em situação de 7 F 7 te exame, mas não esgotam de modo algum todo o tipo de tarefas que poderão ser exigidas, pois, caso contrário, estaríamos a transformar uma disciplina universitária a nível de desenvolvimento de capacidades dos estudantes em transferir aprendizagens para situações com algo de novo (os autênticos problemas) numa disciplina sem qualquer interesse formativo e inadequada a um ensino universitário. Esperando que este livro seja útil a vários estudantes e leitores, colocamo-nos à disposição de receber todas as críticas construtivas que queiram endereçar-nos e que antecipadamente agradecemos. Os AUTORES 8 1. Grandezas, Medições e Unidades iii Objectivos Apreender significativamente e em profundidade o conceito de grandeza: Referir a condição de existência de uma grandeza. Distinguir as grandezas entre diversas variáveis. Apresentar exemplos de grandezas vectoriais e escalares. Fundamentar a separação entre grandezas vectoriais e escalares. Etc. Interiorizar noções importantes relacionadas com as medições e as unidades de medida: Indicar os significados de prinCIpIO de medição, método de medição e procedimento de medição. Distinguir os significados de medição e medida. Distinguir os termos que se referem a grandezas, medições, medidas, valores numéricos e unidades em frases em que ocorram simultaneamente. Indicar as condições necessárias para que uma grandeza possa ser medida efectivamente. Distinguir medições efectivas e escalares de grandezas. Explicar em que consiste uma medição efectiva directa. Explicar em que consiste uma medição efectiva indirecta. Etc. Conhecer as normas das organizações nacionais e internacionais que se dedicam à normalização e à metrologia, em particular as da International Standard Organization (ISO) Aplicar as recomendações respeitantes aos nomes e símbolos das grandezas. Utilizar as regras para os nomes e símbolos das unidades. 1 1 "Tenho dito muitas vezes: quando podemos med ir aquilo sobre que falamos e o podemos expri mir em números, então conhe cemos algo acerca do assunto. Quando, porém, não o podemos expri mir em números, o nosso conheci mento é pouco satisfatório e i nfrutífero. Pode ser tão somente um começo de conheci mento, mas dificilmente o nosso pensamento se pode considerar como tendo atingido o estágio científico, qualquer que seja o assunto". Lord KELVIN (William Thomson, físico britânico, 1824-1907) 1.1 Noção de grandeza Quando observamos um corpo ou um fenómeno há aspectos qualitativos e quantitativos que despertam a nossa atenção. Anotamos os tipos de materiais envolvidos, a sua cor e odor, mas também, por exemplo, as porções do espaço que ocupam esses materiais. Há um grande número de características dos corpos que, ao longo dos tempos, foi possível ir quantificando cada vez mais objectivamente. É o caso, por exemplo, da massa dos corpos, para cuja medição foi inventada a balança. A massa de um corpo começou por ser identificada com a noção vaga de quantidade de matéria (grandeza hoje já claramente diferenciada da massa), foi (e ainda o é, por muitas pessoas) confundida com outra grandeza chamada peso, mas hoje já adquiriu um significado bastante evoluído, altamente diferenciado e muito claro na Física Moderna. Outras variáveis, como a inteligência, a dor, e muitas mais do foro psicológico e moral, têm resistido a técnicas de medição tão objectivas e, como tal, o seu conhecimento é mais subjectivo, ainda que não menos importante. Neste Curso, iremos associar o termo grandeza àquelas características que, para além de poderem ser caracterizadas qualitativamente, são objectivamente mensuráveis. E, deste modo, iremos adoptar a definição de grandeza que consta do Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM), cuja versão portuguesa foi publicada já em 2.a edição pelo Instituto Português da Qualidade. 13 H:.S·I ID.S ·2 ckg.s·2 J=1D2 Q S m2 m3 � c: N =1D.kg .s -2 �=1D2 kg.s·3 lfiS·2 kg.s ·2 Essa definição é a seguinte: Grandeza (mensurável) é o "atributo de um fenómeno, corpo ou substân cia susceptível de ser caracterizado qualitativamente e determinado quanti tativamente" (IPQ, 1996, p. 14). o termo grandeza fica assim associado à ideia de variável mensurável e é aplicado ora com um Assim, significado geral ora com um significado particular. por exemplo, quando falamos no comprimento, na massa volúmica, na diferença de potencial, na temperatura, na concentração molar, na concentração de quantidade de matéria, estamos a referir-nos a grandezas em sentido geral. Pelo contrário, quando falamos no tempo de duração de um dado movi mento, na massa de um certo lingote de ferro, na concentração molecular 14 • ta de um determinado reagente, na concentração em massa de um outro reagente, etc., estamos a lidar com grandezas particulares. Os filósofos da ciência operacionalistas desvalorizam as grandezas em sentido geral e apenas dão importância às grandezas particulares, mas neste Curso ambas são consideradas importantes, por razões que se prendem com as noções relacionadas com os sistemas de grandezas, com as dimensões das grandezas, etc. AA 1. 1 São dadas as seguintes grandezas: pressão atmosférica; temperatura de uma criança; pH de uma água; intensidade da corrente; rapidez média. Quais delas têm u m significado geral e quais têm u m significado particular? O facto de uma grandeza, tal como a encaramos no sentido geral neste trabalho (o comprimento, por exemplo), ser por natureza mensurável, obriga a que, em condições bem determinadas, assuma singularidades igualmente bem determinadas, que são grandezas da mesma espécie, encaradas agora no sentido particular do termo (os comprimentos das mais diversas barras, por exemplo). A determinação destas grandezas de uma dada natureza (ou de uma dada espécie, como também se diz) é efectuada dentro dos limites da incerteza que advêm dos instrumentos e do procedimento adoptado nessa determinação. O facto de uma grandeza ser por natureza mensurável impõe, também, que possamos estabelecer a compaTação entre grandezas da mesma natureza, isto é, qUé possamos d i ze r qual é a grandeza maior (» ou menor «), estabelecendo assim uma relação de ordem. Em suma: A condição de existência de uma grandeza G (no sentido geral) é que seja possível estabelecer entre duas quaisquer grandezas, G1 e G2, da mesma natureza, uma relação de ordem, isto é, dizer significativamente que 15 Se assim não for, poderemos estar perante uma variável, mas não perante uma grandeza. Com efeito, tal como impõe a definição de grandeza que demos, é necessário que possamos estabelecer a comparação entre grandezas da mesma espécie através de uma relação de ordem. AA 1.2 A cor dos olhos é considerada uma variável em Estatística. Trata-se de uma grandeza? As vanaveis qualitativas que se consideram nos estudos estatísticos, assumem valores diferentes, mas não satisfazem esta 1.a condição. Consequentemente, não são mensuráveis, logo não são grandezas. Por exemplo: a variável género assume os «valores» m (masculino) e f (feminino), mas não tem sentido dizer, por exemplo, que m>f. AA 1.3 Considere as seguintes variáveis: peso; diferença de potencial eléctrico; personal idade, capacidade de um vaso; carácter; aceleração de um carro. 1 .3 . 1 Quais delas não são grandezas e porquê? 1.3.2 Quais são grandezas no sentido geral e quais são grandezas no sentido particular? 16 1.2 Tipos de grandezas e sua medição 1.2.1 A medição efectiva Por medição de uma grandeza associada a um dado fenómeno, corpo ou substância, entende-se o conjunto de operações que têm por objectivo determinar o valor dessa grandeza. (op. cit, p. 20). A ciência da medição chama-se Metrologia e repercute-se nos domínios das mais variadas ciências e da tecnologia. AA 1.4 São dadas as seguintes grandezas: densidade relativa; peso ; massa volúmica; resistência à penetração. l Quais delas dizem respeito a corpos e quais dizem respeito a substâncias? A toda a medição está sempre associado um princípio, um método e um procedimento. o prinâpio da mediç.!ir' '::.0. nsiste no fundamento científico da mesma. exemplo: se medimos a Por temperatura de um corpo recorrendo a um termopar I , o princípio consiste no efeito termoeléctrlco que fundamenta o funcionamento dos termopares. Se, porém, medirmos a temperatura do mesmo corpo usando um termómetro de gás a pressão constante, o princípio da medição já é a dilatometria dos gases a pressão constante, regulada por uma lei estabelecida pelo cientista francês Louis Gay-Lussac (1778-1850). As duas medições não conduzem exactamente ao mesmo valor, o que mostra a importância do princípio em que assenta a medição. 1 Tennopar é o nome dado a um conjunto de dois condu· tores de metais diferentes ligados entre si e :uja junção é aquecida para se produzir uma diferença de potencial entre as extremidades livres, que de· pende da temperatura. usar·se, entre outras Pode finali dades, para medir esta. o método de uma medição consiste na sequência lógica de operações que nela são utilizadas, descritas de um modo genérico (VIM, p. 20). Assim, por exemplo, quando se trata de efectuar uma medição relativa comparando duas grandezas com base num dado instrumento, podemos recorrer ao método de desvio, comparando os desvios que as duas 17 grandezas provocam na agulha desse instrumento. Porém, se não existir a garantia de uma proporcionalidade directa entre as referidas grandezas e os desvios da agulha, teremos de recorrer ao método do zero, no qual já não é necessário conhecer a lei dos desvios, pois a medição é feita de modo que o instrumento de medida seja sempre levado ao zero. o procedimento de medição é o conjunto de operações que dizem respeito a uma determinada medição, já não descritas de um modo genérico, mas sim de um modo suficientemente detalhado. Esta descrição consta muitas vezes de um documento ou parte de um documento e é pormenorizada ao ponto de permitir tornar inteligível essas operações a todos aqueles que terão que as executar ou analisar a sua execução. (idem) Vamos começar por analisar a grandeza comprimento. Suponhamos que queremos medir o comprimento desta página. Que fazemos? Usamos uma régua e, com ela, comparamos directamente o comprimento da página com o milímetro, a unidade menor das que constam da graduação da régua. No fundo estamos a comparar directamente uma grandeza (o comprimento da página) com outra grandeza da mesma natureza (outro comprimento, o milímetro) que foi convencionada como uma das várias unidades conhecidas de comprimento. Estamos a ver quantas vezes o comprimento designado por milímetro «cabe» dentro do comprimento desta página. Uma medição deste tipo é por nós designada como medição efectiva directa. Analisemos agora, por exemplo, a medição da grandeza área. Vamos supor que pretendemos medir a área desta página. Também poderíamos proceder de modo análogo. Poderíamos arranjar quadradinhos com 1 centímetro de lado, cuja área, a que chamamos centímetro quadrado, tomaríamos para unidade, justapor os �adradinhos ao lado uns dos outros, e ver quantos quadradinhos eram necessários para preencher toda a superfície da página. Estaríamos, uma vez mais, a praticar uma medição efectiva directa, pois estaríamos a comparar directamente a área da página com outra área que se considerou convencionalmente como unidade de área, o centímetro quadrado. Mas não é em geral por este processo que nós medimos a área da página. Tirando partido dos nossos conhecimentos matemáticos, sabemos que a página tem a forma de um rectângulo. Ora, também aprendemos na Matemática que a área, A, do rectângulo é directamente proporcional às medidas dos seus lados: A= kxaxb 18 [1.2] iiitrt em que a é a medida de um dos lados do rectângulo e b a medida do outro. Mediante a escolha de unidades convenientes, é possível fazer com que a constante de proporcionalidade seja 1, ou seja que se tenha simplesmente: A= axb [1.3] (voltaremos a este assunto com mais detalhe ao estudar a análise dimensional). o nosso procedimento consiste, pois, em efectuar duas medições efectivas directas dos lados, a e b, da página e utilizar a expressão anterior para obter a medida da área da página. Dizemos, neste caso, que efectuámos uma medição efectiva indirecta. Em resumo: A medição efectiva consiste em comparar, directa ou indirectamente, a grandeza a medir com outra da mesma natureza e cujo valor se escolheu para unidade. Na medição directa de uma grandeza G, a comparação é imediata: vê-se quantas vezes uma outra grandeza, u, que tomamos para unidade, cabe na grandeza G. Na medição indirecta, como é por exemplo a medição vulgar da área de uma chapa circular, do volume de uma esfera de uns rolamentos, da rapidez média com que um carro se deslocou entre duas localidades e de tantas outras grandezas, a comparação não é imediata: medem-se directamente outras grandezas relacionadas com a grandeza a medir através de uma expressão conhecida e, em seguida, recorre-se a esta expressão que relaciona a grandeza a medir indirectamente com as grandezas medidas directamente. Em qualquer dos casos, e tratando-se de uma medição efectiva, estabelece -se sempre uma relação do tipo, {G}= G u [IA] ou, o que é equivalente, G ={ G}u [1.5] que significa o seguinte: o valor (ou medida) da grandeza G é igual ao produto de um número, grandeza G é {G} {G}, pela unidade, u, ou, dito de outro modo, a vezes maior do que a unidade, u. O número {G} 19 designa-se por valor numérico da grandeza G no sistema de unidades a que pertence u. Uma observação muito importante é a seguinte: a grandeza G só fica convenientemente medida, se conhecermos o seu valor numérico e a unidade em que é expresso. Se dissermos que o comprimento de uma página é 20 cm, a medida da página está bem expressa. Se dissermos apenas que a medida da página é pois sabemos que ela é 20, esta afirmação não tem significado, 20 vezes superior a uma unidade, mas não sabemos qual é esta, pois tal informação não foi prestada. Em resumo: o valor (ou medida) de uma grandeza G é dada pelo produto de um valor numérico por uma unidade de medida: G ={ G}u [1.5] Concretizando para um volume, tem-se, por exemplo: v= onde o valor numérico é 30 dm3 30x1 dm3 = 30 e a unidade 1 dm3• Não devemos confundir os termos medição, ou acto de medir, e medida, ou resultado da medição. AA 1.5 o valor da área de uma determinada superfície é dada por A 1 .5. 1 = 2 50 c m Expri ma de modo explícito este valor na forma de um produto. 1 . 5 . 2 Exprima o mesmo valor na forma de um produto, mas em que é 2 usada a nova unidade mm . 1 .5.3 Estabeleça a relação que existe entre os diversos valores numéricos e as respecti vas unidades referentes ao mesmo valor. Que conclui? 20 1.2.2 Condições para que possa realizar-se uma medição efectiva Uma vez entendido em que consiste a medição efectiva, é altura de assumir a consciência que nem todas as medições que efectuamos são efectivas. A medição efectiva de uma grandeza G pressupõe três condições que têm de coexistir: A primeira condição para uma grandeza de uma dada natureza ser efectivamente mensurável é que seja possível comparar as diferenças de duas grandezas dessa mesma natureza, isto é, estabelecer relações do tipo Só deste modo poderemos atribuir significado físico a toda e qualquer variação da grandeza G. Esta condição é verificada, por exemplo, pelas variáveis que, em Estatística, são conhecidas por variáveis de intervalo. A temperatura medida pelos termómetros Celsius é uma variável de intervalo. Com efeito, tem sentido físico escrever-se que a variação da temperatura de 80,0 °C para 85,0 87,5 °C, isto é: °C é igual à variação da temperatura de 82,5 °C para 87,5 °C 82,5 °C = 85,0 °C - 80,0 °C - Esta variação corresponde praticamente ao mesmo fornecimento de energia e implica, se for um gás ideal monoatómico, como o hélio, por exemplo, a mesma variação da energia cinética média das suas moléculas monoatómicas. A medição da temperatura com um termómetro Celsius faz com que, de facto, a temperatura seja uma grandeza, mas esta medição Celsius não é uma medição efectiva. E não o é, porque não satisfaz às duas condições que se seguem. De facto, há uma segunda condição para que uma medição seja efectiva e que é a seguinte: o valor zero que é medido terá de ser um zero real, um zero que corresponde a um efectivo anulamento da grandeza, e não um zero meramente convencional. 21 * Ma Ora, na temperatura Celsius, o valor zero não corresponde a um autêntico anulamento da grandeza. Tanto assim é que há temperaturas inferiores a esse valor. E isto porque, para o valor () = O °C, as moléculas de um gás como o hélio ainda possuem agitação, ainda têm energia cinética molecular, cujo valor médio está relacionado com a temperatura que não é, portanto, nula. Só assume nesta escala de temperaturas o valor nulo porque se convencionou atribuir o valor O °C à temperatura do gelo fundente à pressão normal. Trata-se, pois, de uma mera convenção. Na escala de Farenheit, a temperatura do gelo fundente à pressão normal já não é zero: é 32 DF. Um outro exemplo idêntico ao da medição da temperatura Celsius é o da medição da energia potencial do sistema formado pela Terra e uma partícula à sua volta. Uma partícula é um corpo do qual podemos desprezar as suas dimensões e não ter em conta a sua estrutura interna, dadas as características do fenómeno em que está envolvido. A partícula está, pois, sujeita ao campo gravítico terrestre. Quando a partícula se encontra ao nível do mar, consideramos muitas vezes a energia potencial gravítica nula nessa situação. Porém, trata-se de um zero convencional. Há uma outra escala mais geral em que o zero da energia potencial se faz corresponder convencionalmente à situação em que a partícula está a uma distância infinita da Terra (Ep = O no infinito). Nesta escala, a energia potencial ao nível do mar já deixa de ser nula para passar a ser determinada pela expressão E P = -G mTm r [1.9] T onde G é a constante de gravitação universal, massa da partícula e T m a massa da Terra, a rT o raio da Terra. Substituindo valores obtém-se uma energia potencial que é negativa (e não nula) à superfície da Terra. 22 m w Uma escala À altura «infinita» À altura h i Nível do mar Outra escala o CmTmh rT (rT +h) O -C mTm rT +h _C mTm rT A medição da temperatura com a escala Celsius, ou a medição da energia potencial com qualquer das escalas (aquela em que o zero corresponde à partícula no infinito e aquela em que o zero corresponde à partícula à superfície da Terra) são exemplos do que designamos por medição escalar. AA 1.6 Verifique que a variação da energia potencial gravítica de um corpo quando este passa do n ível do mar para uma di stância «infinita» da Terra (na prática, para u ma distânci a muito grande da Terra) é igual nas duas escalas anteriormente definidas. Finalmente, há uma terceira condição para que uma grandeza de uma dada natureza seja medida efectivamente. É a seguinte: Que o quociente de duas grandezas dessa mesma natureza seja uma constante independente da unidade adoptada: 23 1l1iWJJi&&4444 [ l .1O] com k constante, sej a qual for a unidade da grandeza. As variá veis estatísticas do tipo ratio são bons exemplos de grandezas medidas efectivamente. É o caso da área de um distrito, por exemplo. Assim, se soubermos que a área do distr ito de Vila Real é 4305 km2 e a área do distrito de Braga é 2695 km2 , o quociente destas duas áreas será sempre igual a A Vila Real A Braga 4305 km 2 2695 km2 = 1,597 quer essas áreas estej am expressas em km2, em hectares ou em qualquer outra unidade. Em suma: Uma grandeza de uma dada natureza, para ser medida efectivamente, terá de obedecer a três condições: 1.a que sej a possível comparar as diferenças de duas grandezas dessa natureza, isto é, estabelecer relações do tipo 2.a que o valor zero da grandeza sej a um zero real, um zero que corresponde a um efectivo anulamento da grandeza, e não um zero meramente convenc ional. 3.a que o quociente de duas grandezas dessa natureza sej a uma constante independente da unidade adoptada: [1 .10] com k constante, sej a qual for a unidade da grandeza. 24 AA 1.7 A temperatura de um corpo também pode ser med ida em graus Réaumur. O c ientista francês René Réaumur dividiu em 80 DR o i ntervalo de temperaturas entre o ponto de congelação da água pura e o ponto de ebul ição desse mesmo l íquido, atribuindo o valor 80 DR a esta última. Esta medição é efectiva ou escalar? Apresente uma justificação. AA 1.8 A medição do volume de u m recipiente é u ma medição efectiva ou uma medição escalar? Fundamente a resposta. 1.2.3 Grandezas vectoriais e grandezas escalares Uma c lassificação das grandezas que é importante conhecermos é a que di sti ngue as grandezas escalares das grandezas vectoriai s , para já não falarmos na generalização destas, as grandezas tensoriais, muito impor tantes na F ísic a Moderna. As grandezas escalares são as que ficam completamente determinadas pelo valor numérico e a unidade em que esse valor está expresso. Exemplos: A grandeza comprimento é escalar, poi s se afirmarmos que a largura de um corredor é de 2,30 m todos ficamos completamente esclarecidos acerca do significado e do valor desta grandeza. Também é esc al ar a grandeza massa volúmica, porque ao afirmarmos que a massa volúmica do ferro é 7,8 g/cm3, ficamos a conhecer tudo acerc a desta grandeza específica do ferro. 25 p As grandezas vectOrlaLS, M4A pelo contrário, não ficam completamente determinadas com o conhecimento do resultado da sua medição. Trata-se de grandezas que têm inerente uma direcção e um sentido nessa direcção. Para que uma grandeza vectorial fique determinada, torna-se necessário conhecer, além do valor numérico e da unidade em que se exprime (medida da grandeza) , a direcção e o sentido nesta direcção. Ela é , portanto, definida pelos seguintes elementos: a direcção, o sentido e o resultado da sua medição (valor ou medida da grandeza). Uma grandeza vectorial representa-se por um vector. Não devemos confundir direcção e sentido. São conceitos distintos. A direcção de uma recta é a propriedade que ela tem de c omum com todas as rectas que lhe são paralelas. Quando olhamos, numa determinada direcção, um objecto longínquo, estamos ao mesmo tempo a olhar num determinado sentido. Se rodarmos exactamente de 180 0, estaremos a olhar na mesma direcção, mas em sentido oposto. A figura j unta mostra algumas grandezas vectoriais : uma força, uma velocidade e uma aceleração. Norte F a v Este A força tem direcção Oeste-Este e sentido para Este. A velocidade tem direcção Norte-Sul e sentido para Sul. A aceleração tem a direcção sudoeste- nordeste e o sentido para nordeste. 26 Como há grandezas que resultam de operações (somas, diferenças, produ tos e quocientes) de outras grandezas, vectoriais e/ou escalares, é importante que se tenha em conta as operações entre grandezas. A soma e diferença de duas grandezas vectoriais é uma outra grandeza vectorial: Assim, na figura anterior, a velocidade v é a soma das duas velocidades VI e V2 : [ 1 . 1 1] E, na mesma figura, a velocidade v2 é a diferença das duas velocidades v e VI: [ 1 . 1 2] U ma grandeza qualquer que sej a dada pelo produto de uma grandeza vectorial por outra escalar é sempre uma grandeza vectorial. Assim, por exemplo, a quantidade de movimento ou momento linear de um auto móvel na estrada é uma grandeza vectorial ( p ) por ser o produto da massa do automóvel, que é uma gr andeza escalar , pela sua velocidade, que é uma grandeza vectorial : - - p = mv [ 1 . 1 3] Já, no que se refere ao produto de duas grandezas vectoriais, o problema é mais complicado. Há dois produtos de grandezas vectoriais: U m deles é o produto interno ou produto escalar que tem como resultado uma grandeza escalar. o outro é o produto externo ou produto vectorial cUJo resultado é uma grandeza vectorial. 27 Produto interno (ou escalar) de dois vectores o produto interno (ou escalar) de dois vectores ã e b é o escalar lãl .lbl . cosB em que o argumento do coseno é o â ngulo entre os vectores ã e b . Representa-se este produto interno por: - - ã . b (ler" ã interno b ") Tem-se, então - - ã . b =lãl .lbl. cosB [ 1 . 1 4] o produto Ib I. cos e representa a componente do vector b sobre o eixo orientado segundo ã . Designa-se por componente interna de b sobre ã . Vemos, então, que se calcula u m produto interno de vectores multiplicando o módulo de um pela componente interna do outro sobre ele. F acilmente se mostra que: (i) A condição necessária e suficiente para que dois vectores não nulos sej am perpendiculares é que o seu produto interno seja nulo. (ii) O produto escalar de um vector por �; próprio, também chamado o quadrado de um vector, é igual ao quadrado do módulo desse vector. 28 Produto externo (ou vectorial) de dois vectores Define-se o produto externo (ou vectorial) de dois vectores b como um novo vector ãe v tal que: é perpendicular ao plano que contém os vectores ãe b ; tem o sentido dado pela regra do triedro directo (colocam-se os dedos polegar, indicador e médio da mão direita perpendiculares entre si; estando o polegar no sentido do pri meiro vector do produto e o indicador no sentido do segundo, o dedo médio aponta no sentido do produto externo); tem o módulo dado pelo produto dos módulos dos vectores ã e b e do seno do ângulo que os vectores formam; o produto externo de "ã externo de b ". ã e b exprime-se por ãx b e v ãxb lê-se Escreve-se então v = ãxb [ 1.15] Em módulo tem-se Ivl=lãl. lbl . sin e [ 1.16] j = 29 As grandezas vectoriais também se medem e também se exprimem nas suas unidades. Porém, o que se mede e se exprime nas u nidades é apenas o módulo da grandeza. Portanto a expressão 1 . 5 G ={G}u só é válida para o módulo da grandeza vectorial, que cada vez maIS é designado por magnitude da grandeza (ver secção 1 . 3 .1 ) . AA 1.9 São dadas as seguintes grandezas: Momento angular: produto do momento de inércia, grandeza escalar, pela veloc idade angular, vectorial . Momento de uma força em relação a u m ponto: produto externo de u m vector-posição por uma força. Momento de uma força em relação a u m eixo: produto i nterno do momento de u ma força em relação a u m ponto qualquer do eixo pelo vector unitário (vector de magnitude 1 ) do eixo. Intensidade de u ma corrente estac ionária num fio condutor: a grandeza que se obtém dividindo a carga eléctrica que atravessa uma secção recta qualquer do condutor pelo tempo de travessia. Quais são grandezas vectoriais e quai s são grandezas escalares? 30 1.2.4 Símbolos das grandezas Tal como afirmámos no prefácio deste l ivro, as designações e a simbo logia que de algum modo estão rel acionadas com as grandezas e as suas medições estão sujeitas a normas internacionais que procuramos respeitar. O carácter convencional que tem toda a área de conhecimento que diz respeito às grandezas e suas medições manifestar-se-á de modo eloquente nesta secção e nas seguintes. H á que distinguir, com toda a clarez a, os símbolos das grandezas das abreviaturas dos nomes das grandez as. As abreviaturas dos nomes das grandezas, como formas reduz idas de traduzir esses nomes, variam obviamente com a l íngua. Um exempl o : a grandeza força electromotriz tem a abreviatura f.e.m., mas a mesma grandeza, na l íngua i nglesa, designa-se por electromotive force, pelo que, nessa língua, é escrita abreviadamente por e.mJ . Porém, os símbolos das grandezas não são abreviaturas e, como tal , não variam com a l íngua. Não sendo abreviat uras das pal avras que traduzem as grandezas, os símbolos não podem ser acompanhados de qualquer ponto (excepto o ponto final , se o símbolo surgir no final de uma frase, sendo preferível nessa circunstância escrever-se o nome da grandeza por extenso). utra regra internacionalmente consagrada pela ISO é esta: quando i mpressos, os símbolos das grandezas deverão ser escritos sempre e m caracteres itál icos, que, como sabemos, são caracteres incl i nados. Uma Se as grandezas são vectoriais há duas alternat ivas: ou se i mprimem os seus símbolos em i tálico negro sem seta ou em itál ico normal com uma pequena seta por cima. A tabela 1.1, na página seguinte, mostra alguns exemplos. 31 Tabela 1.1 Grandeza Símbolo V Volume m Massa Comprimento de trajectória (length oipath) Força Velocidade  ngulo plano s F, v, F v e Muitas vezes, no mesmo texto, aparecem várias grandezas singulares da mesma natureza, por exemplo, três forças distintas aplicadas no mesmo corpo. S urge, então, a necessidade de distinguir essas grandezas e, para tal, recorre-se a índices. Porém, ao contrário dos símbolos das grandezas que devem ser i mpressos em caracteres i tálicos, os símbolos dos índices deverão ser escritos em caracteres redondos. Exceptua-se o caso em que os próprios índices também representam grandezas, pois então serão escritos também a itálico. Também é possível, para distinguir duas grandezas da mesma natureza, recorrer à letra maiúscula, sempre que não haja que se usar, no mesmo texto, esta letra para exprimir a grandeza para a qual ela é recomendada. A tabela 1.2 mostra alguns exemplos de símbolos de grandezas com índices. 32 eM H'f'"IFiFit5ft'6 Tabela 1.2 Grandeza Símbolo VA Volume da partícula A Massa da partícula B I11B Força 1 FI Força 2 F2 Capacidade térmica mássica a pressão constante cp Capacidade térmica mássica a vol ume constante Cv I Comprimento menor L Comprimento maior ( se não tiver que se usar para a indutância) As grandezas periódicas, que variam sinusoidal mente com o tempo, apresentam diversos tipos de valores que importa distinguir. Os símbolos recomendados para esses valores, exemplificando com a diferença de potencial , são os que constam da tabela seguinte : Tabela 1.3 DIFERENÇA DE POTENCIAL PERIÓDICA Valor instantâneo u Valor eficaz U U Valor máximo Valor médio (Umáx) - U ou <u> Assim, por exemplo, a variação sinusoidal com o tempo da grandeza corrente eléctrica (em corrente alternada) deverá ser traduzida do seguinte modo: 33 i = i cos (úJt Nesta expressão, i - q» = -fi! cos (úJt - q» [ 1. 1 7] traduz o valor instantâneo da corrente eléctrica (em corrente alternada), i o valor máximo dessa corrente eléctrica, eficaz , (1) a I o valor frequênci a angular ou pulsação da corrente, q> a diferença de fase, designando a diferença ((1)t - cp) a chamada fase da corrente. Ainda a propósito das grandezas periódicas, será conveniente distinguir os adject ivos alternada e pulsatória. Uma grandeza alternada é aquela em que o seu valor médio é nulo. Assim a grandeza corrente eléctrica, em corrente alternada, obedece à expressão 2 T=� A expressão traduz o integral que traduz o = O 2 [ 1 .18] modo como a intensidade depende do tempo, Si( t )dt To (um operador matemático) da função T i (I), calculado de O a T onde Ttraduz o período da corrente eléctrica. (período), e a dividir pelo valor do próprio período. Ao contrário, uma grandeza pulsatória é também uma grandeza periódica mas em que o seu valor médio não é nulo. Terminamos esta secção dedicada às grandezas, referindo, no quadro seguinte, a notação correcta que deve ser uti l izada para as operações com grandez as, com base em exemplos concretos: Tabela 1.4 Operação com grandezas Produto da velocidade massa pela magnitude Símbolo da Quociente da magnitude da força pela massa Produto escalar (ou interno) da força pelo deslocamento Produto vectorial (ou externo) do vector de posição pela força 34 mv , m· v F - m , , m.v , m Fim ou F·Ôr rX F v ou mxv Fm,l No Apêndice 1 i ndicam-se os símbolos recomendados pela ISO para as principai s grandezas físicas e respectivas unidades. AA 1.10 Diga quais dos símbolos das grandezas i ntensidade de corrente, massa, velocidade, volume e distância, que a segui r se escrevem, estão incorrectos e porquê? I, m, v, V, d AA 1.1 1 Verifique o s símbolos d e grandezas que s e seguem: Rapidez de A � vA Capacidade térmica mássica a pressão constante � Quantidade de movimento � cp p Peso � P Quais estão incorrectos e porquê? 35 1.3 Unidades de medida 1.3. 1 Unidades e símbolos de unidades A medição de uma grandeza conduz-nos a uma magnitude ou quantidade a que se chama o valor da grandeza (VIM, 1996 , p . 18). O valor de uma grandeza é, em geral (exceptuam-se as grandezas adimensionai s de que trataremos adi ante) constituído por um número (o valor numéri co) acompanhado de uma unidade. T ambém se designa algumas vezes por medida da grandeza, embora esta ú ltima designação tenda a cair em desuso por se confundir com medição (operação de medir). Como exemplos de valores de grandezas temos os segui ntes: • Volume de uma caixa: 0,729 m3 • Quantidade de matéri a num frasco de mercúrio: 0,01 28 moI ou 12,8 mmol • Temperatura de uma arca fri gorífica : -18 o C. Note-se que os valores das grandezas podem ser posi ti vos, negativos ou nulos e poderão ser expressos de várias formas. Os valores das grandezas adi mensionais (veremos à frente o signi ficado deste conceito) são números puros. Tal é o caso da densidade relativa, por exemplo. A densidade relativa de uma substância é definida pela raz ão entre a massa volúrnica (massa por unidade de volume) dessa substância e a massa volúmica de outra substância padrão: dsubstância Psubstância Ppadrão [1.19] A unidade de densidade relativa será, pois: kg. m-3 3 kg.m- --=- = 1 Assim, a densidade relativa de um determinado óleo será 0,8 36 x 1= 0,8. Ao referirmo-nos às grandezas vectoriais, como por exemplo a força, a palavra valor da grandeza deverá ser evitada, pois o valor é uma grandeza escalar algébrica, podendo ser negativa, enquanto que n ão há vectores negativos. A respeito das grandezas vectoriais, quando nos queremos referir à sua medida, a designação correcta (Norma ISO 3 1 -11 : 199 2 (E), p. 21) é magn itude da grandez a. No caso da velocidade, os ingleses têm um nome especial para a sua magnitude, speed, que poderemos traduz ir por rapidez ou celeridade. IFI, mas a referida norma I S O , na coluna de notas e exemplos, diz que I FI é também A magn i tude da força, por exemplo, designa-se por F ou usado. Os autores deste l ivro recomendam, porém, que no caso em que muitas grandezas vectoriais apareçam na mesma fórmula, se evite o uso das duas últimas notações, já que tornam as expressões matemáticas desneces sariamente mais «carregadas» e confusas para os alunos. No caso das grandez as que nós sujeitamos a uma medição efectiva (ver secções 1.2.1 e 1 . 2 . 2 ) , já vimos que a grandeza em si é igual a um produto de dois factores, o valor numérico e a unidade: Grandeza = valor numérico x unidade [ 1. 20] O valor numérico de uma grandeza medida efectivamente é, portanto, o quociente do valor da grandeza pela unidade utilizada na sua expressão (Idem, p. 19). Tem-se, como vimos [1.21 ] ou seja: G={G}u [1.22] Quer dizer: quando escrevemos l = 12 cm o valor numérico do comprimento é 12, a unidade é o cm, e a expressão anterior sign i fica que se trata de um comprimento efectivamente 12 vezes maior do que o centímetro. 37 A unidade (de medida) de uma grandeza é, ela própria, uma grandeza e desempenha, como vemos, um papel decisivo na medição. A sua definição, de acordo com o V IM (p. 1 5 ) é a seguinte: Grandeza particular, definida e adoptada por convenção, com a qual outras grandezas da mesma natureza são comparadas com vista a exprimir a sua magnitude relativamente a essa grandeza. Toda a unidade tem um nome e um símbolo próprios, cuj a escrita obedece a regras. Assim, por exemplo, a grandeza comprimento tem como unidades o metro, o milímetro ou o quilómetro, e a grandeza trabalho tem como unidades o joule e o erg, por exemplo. Cada grandeza tem a sua unidade em cada sistema, mas poderão surgir grandezas distintas com unidades do mesmo nome e símbolo. É o caso, por exemplo, das grandezas trabalho e energia que têm as mesmas unidades Uoule no Sistema Internacional, erg, electrão-volt, etc . ) . Ao estudarmos a dimensionalidade das grandezas veremos que isso só poderá suceder com grandezas da mesma dimensão. AA 1.12 No sistema de grandezas que está na base do S istema Internacional de Unidades (SI) : a i ntensidade ou magnitude da força constante que actua numa partícula é dada pel o produto da massa da partícula pela magnitude da sua aceleração; a magnitude da aceleração é igual ao quociente da magnitude da variação da veloc idade (exprime-se em metros por segundo) pel o intervalo em que esta ocorre (exprime-se em segundos). 1 . 1 2. 1 2 Mostre que a unidade de aceleração no SI é o m . s· . 1 . 1 2.2 Relacione a unidade de força, o newton, com o metro, o quilograma e o segundo, no SI. 38 f@ l .3.2 Recomendações respeitantes aos nomes e símbolos de unidades Os nomes das unidades devem escrever-se em caracteres redondos (são direitos) e com letras minúsculas, mesmo que derivem de nomes de c ientistas : Exemplos : quilograma, newton, pascal, watt, hertz. Quando derivam de nomes de c ientistas, as designações das unidades respeitam totalmente a grafia original, pelo que é totalmente incorrecto (ainda que frequente em certos círculos) usarem-se formas aportuguesadas como vátio, óhmio, etc. De acordo com as normas emanadas do B IPM (Bureau lnternational des Poids et Mesures), os nomes das unidades, a partir de dois (inclusivé), admitem plural como outras palavras. Exemplos: três metros, quatro quilogramas, 1 ,8 volt, 2,5 miliamperes, 6 X 10-2 segundo, etc . (Almeida, 1997, p . 44) . Os símbolos das unidades devem sempre ser escritos em caracteres redondos (são direitos) e sempre em letra minúscula, excepto quando derivam dos nomes de cientistas que se escrevem, então, em maiúsculas (se uma só letra) ou com a primeira letra em maiúsculas (se mais do que uma letra). Exemplos: s (segundo), g (grama), kg (quilograma), A (ampere), Pa (pascal), W (watt) . Quando temos várias unidades iguais, o símbolo da unidade mantém-se i nvariável, não passa ao plural, pelo que não leva nem a letra s nem qualquer ponto a seguir (excepto o ponto final da frase): Exemplos: 3 km, 8 ms (milisegundos, e não metros), 3 , 8 A. Ao referir unidades que resultam da combinação de outras duas ou mais, é incorrecto misturar nomes e símbolos: Exemplos: metro por segundo, m/s (é incorrecto escrever metro/s ou m/segundo ). Um erro frequente consiste no esquecimento de que as unidades, em si, são também grandezas e, como tal, terão de obedecer às regras 39 tMMM%PM'#&i'%9&i&*Mt MLd'iW+ # W#b ii matemáticas como quaisquer outras variáveis ou constantes. Assim, por exemplo, quando queremos traduzir o dobro de quatro metros, escrevemos 2 x 4 m. Mas se nos referimos ao produto de dois metros por quatro metros, então teremos de escrever 2 m x4 m. Vejamos um outro exemplo: ao exprimirmos que o valor de uma corrente está compreendido entre 2,0 mA e 3,0 mA, sendo o valor conven cionalmente verdadeiro 2,5 mA, deveremos escrever (2,5 ± 0,5) mA e não 2,5 ± 0,5 mA (são expressões matematicamente distintas). No quadro que se segue refere-se a notação correcta que deve ser utilizada para as operações com unidades, com base em exemplos concretos: Tabela 1 .5 Operação com unidades Símbolo N·m , Produto do newton pelo metro J - Quociente do joule pelo segundo S Quociente do metro por segundo pelo segundo N.m , ou N m (não Nm nem Nxm) I , J/s , J.s- , m/s 2 ou m.s- 2 I ou J S- I ( não JS- nem Jxs- I ) 2 2 ou m S- ( não m/s/s nem mxs- ) Tal como já se disse, no Apêndice 1 indicam-se os símbolos recomen dados pela ISO para as principais grandezas físicas e respectivas unidades. AA 1.13 São dadas a seguir as representações das unidades metro, quilograma, metro por segundo, watt por hora, pascal segundo: M ; I I Kg ; ms- ; w h- ; Pa s Indique quais estão erradas e porquê. 40 A terminar esta secção vamos expnmlr os valores, no Sistema Internacional de Unidades, de algumas quantidades que são constantes físicas fundamentais. O objectivo é não só exemplificar as regras referidas, mas também realçar uma regra mais, que diz respeito à escrita dos valores numéricos. Tabela 1.6 Quantidade Símbolo da grandeza Valor da grandeza 299 792 4 5 8 m S -I Velocidade da luz no vácuo c Constante eléctrica tO Constante de gravitação newto- C I 6,67 3 x 1 0 - 1 1 m 3 k g- Constante de P lanck h 6 ,626 068 76 x 1 0- 3 4 J s Carga elementar e 1 ,602 1 76 462 x 1 0- 1 9 C nlana Massa do electrão Razão entre as massas da partícula alfa e do electrão l1I e ma/m e 8 , 854 1 87 8 1 7 x 1 0- 1 2 F mS· I 2 9, 1 09 3 8 1 8 8 x 1 0-3 1 k g 7 294,299 508 Tal como vemos neste quadro, os algarismos dos valores numéricos são expressos em caracteres direitos, separados em grupos de três, a contar do sinal decimal, para a esquerda e para a direita. 41 RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DE AUTO-AVALIAÇÃO AA 1.1 Com significado geral : pressão atmosférica; intensidade da corrente; rapidez média. Com significado particular: temperatura de u ma criança; pH de uma água. AA 1.2 Não, porque não podemos afirmar que a cor verde é maior, menor ou igual a outra qualquer cor. AA 1.3 1 .3 . 1 Personalidade e carácter pois não podemos estabelecer para qualquer delas uma relação de ordem: maior, menor ou igual . 1 .3.2 Grandezas no sentido geral : peso; diferença de potencial eléctrico. Grandezas no sentido particular: capacidade de um vaso; aceleração de um carro. AA 1.4 Com respeito a corpos temos: peso. Com respeito a substâncias : densidade rel ativa; massa volúmica; resistência à penetração. AA 1.5 1 .5 . 1 A = 5 0 x 1 c m2 1 .5 .2 A = 50 x ( l O m mi = 50 1 .5 . 3 Como 50 x 1 cm 2 = 50 x x 10 2 10 2 X x I mm 2 ? I mm- temos 50 43 Como vemos neste exemplo, os valores numéricos estão entre si na razão inversa das respectivas unidades (se a unidade aumenta um celto número de vezes, o valor numérico diminui esse mesmo número de vezes e vice versa). AA 1.6 A variação da energi a potencial do nível do mar até à altura «infi nita» (ver figura da página 23) é: Numa das escalas Na outra escala O - (-G m T m ) rT = G mT m rT AA 1.7 É uma medição escalar pois o zero da escala acaba por resultar também de convenções adoptadas e não corresponde à ausência de temperatura. AA 1.8 É uma medição efectiva poi s satisfaz às três condições para que a medição sej a desse tipo: É possível comparar doi s volumes. Por exemplo : ' ' 2 0 cm - 1 5 c m = ' ' 4 0 cm - 35 cm o zero é real . o quociente de dois volumes não depende da unidade escolhida. Por exemplo: 36 cm 3 9 cm 3 44 36 x 1 0 -3 dm 3 9 x l O-3 dm 3 e AA 1.9 Momento angular - grandeza vectorial (pois é o produto de uma grandeza vectorial por uma escalar) . Momento de uma força em relação a um ponto - grandeza vectorial (pois é o produto externo de duas grandezas vectoriais). Momento de uma força em relação a um eixo- grandeza escalar (pois é o produto interno de duas grandezas vectoriais). Intensidade de uma corrente eléctrica - grandeza escalar (pois é o quociente de duas grandezas escalares) . AA 1. 10 I incorrecto, pois não está em itálico. v incorrecto, pois não está em i tál ico. V i ncorrecto, pois o volume não é uma grandeza vectorial . incorrecto, pois não está em itálico. d AA 1.11 VA incorrecto, pois o índice A não deve estar em itálico (dado que se refere a um corpo e não a uma grandeza) . Cp incorrecto, pois o índ ice p deve estar em i tálico (por ser u ma grandeza) . P incorrecto, pois o peso é um grandeza vectorial (é uma força), l ogo o símbolo devia ter u ma seta em cima ou estar em i tál ico negro. AA 1 . 12 1 . 1 2. 1 De acordo com a segunda informação prestada tem-se a = magnitude da variação de velocidade intervalo de tempo t.. v - _ t.. t 4S 2. Sistemas de Unidades Objectivos Util izar correctamente o Sistema Internacional de Unidades - S I como sistema absoluto, coerente e racionalizado de unidades: Exempl ificar diversos tipos de sistemas de unidades. Reconhecer o carácter arbitrário da adopção dos sistemas de unidades. Definir critérios subj acentes à construção de um sistema de unidades. Separar grandezas de base de grandezas derivadas, j ustificando a referida separação. Apresentar argumentos válidos que justifiquem a adopção universal de um sistema de unidades. Reconhecer as definições dos padrões próprios das unidades de base do Sistema Internacional . Apresentar as equações de definição de algumas unidades derivadas SI. Utilizar racionalmente as equações de definição conhecidas para definir as respecti vas unidades derivadas. Etc. Utilizar correctamente as normas das organizações nacionais e inter nacionais que se dedicam à normalização e à metrologia, em particular as da International Standard Organization (ISO). 49 "Ainda que o material publicado no mundo possa ser escrito em diferentes linguagens, o uso de um conjunto de unidades internacionalmente aceite e de símbolos internacionalmente reconhecidos para as grandezas físicas aumenta a capacidade de estas serem mais geralmente compreendidas ." E. Richard Cohen, i n Encyclopedia of Physics, Ed. de Rita G. Lerner e George L. Trigg, Second Edi tion, VCH Publ i shers, Inc., p. 1 21 7. 2.1 Grandezas e unidades de base e grandezas e unidades derivadas. Definição das unidades dos sistemas Para constituir um sistema de unidades começamos por reunir previamente grandezas e formar com elas um sistema de grandezas. Este é um conjunto de grandezas, no sentido geral, entre as quais há relações definidas (VIM, 1 996, p. 1 4). Dessas grandezas, umas são consideradas independentes entre si e designadas por grandezas de base e outras vão relacionar-se directa ou indirectamente com as grandezas de base e chamam-se grande zas derivadas. Uma vez constituído um sistema de grandezas teremos então de adoptar uma unidade para cada grandeza de base. Essas unidades das grandezas de base chamam-se unidades de base do sistema. As unidades das grandezas derivadas, uma para cada grandeza, chamam-se unidades derivadas. As expressões que relacionam as grandezas derivadas com outras grandezas e que estão na base da sua dependência das grandezas de base são características de cada sistema de grandezas. Estas relações vão depois servir de definição às unidades derivadas dos sistemas de unidades que têm subjacente esse sistema de grandezas. Designam-se por equações de definição das unidades derivadas. Assim, por definição, um sistema de unidades não é mais do que um conjunto de unidades de base, em conjunto com unidades derivadas, definidas de acordo com determinadas regras válidas para cada caso. (VIM, 1 996, p. 1 6). As unidades de base definem-se com base em protótipos (também chamados padrões). As unidades derivadas defi nem-se a partir das equações de definição. 51 Vamos concretizar o que acabámos de dizer. Por simplicidade vamos, por agora, cingir-nos ao domínio da Mecânica e vamos considerar como exemplo um sistema cuj as grandezas fundamentais são o comprimento, a força e o tempo. O sistema de grandezas não está definido pois falta estabelecer as relações de dependência das grandezas derivadas, relações como A r-, = V = P , v = !:li , etc. Num sistema de grandezas destes !:lt baseia-se o antigo sistema de unidades MKpS. Estas letras são as iniciais das unidades de base: metro, quilograma-peso e segundo. Temos, então, para o MKpS as seguintes unidades: Tabela 2.1 Grandeza de base Unidade de base compri mento metro tempo segundo força quil ograma-peso (ou quilograma-força) Para as u nidades de base acabadas de escolher arranj aram-se protótipos capazes de as materializar e perpetuar. Por exemplo, para o quilograma -peso, o protótipo que se considerou foi o peso do quilograma-padrão internacional (um corpo a que adiante nos referiremos e cuja massa é exactamente 1 kg). Portanto, o quilograma-peso é, por sua própria definição, o peso do quilograma-padrão (um corpo de massa 1 kg) . Se identificarmos, em primeira aproximação, o peso de um corpo com a força com que é atraído para a Terra, o quilograma-peso ou quilograma-força será a força com que o quilogrma-padrão é atraído para a Terra. As unidades derivadas são definidas com base nas equações de definição, como dissemos. Assim, no sistema MKpS a equação de definição da unidade de velocidade é a relação atrás referida v = !:li - !:lt 52 [2. 1 ] em que !11 representa o comprimento de uma porção rectilínea de trajectória percorrida em movimento uniforme I por um corpo qualquer no intervalo de tempo !1t (a letra grega !1 usa-se sistematicamente para representar um intervalo ou uma variação , isto é, !1x representa uma variação da variável x). Fazendo, então, !11 definição, = V 1 m e !1t 1m = - = 1s I = I Designa-se por movimento uni forme todo e qualquer movimento cuja rapidez (ou magnitude da velocidade) é constante. 1 s, obtém-se a partir da equação de m1s = I m.s· I [2.2] A unidade derivada de velocidade, no MKpS é o metro por segundo, cujo símbolo é o m1s o u, o que é matematicamente equivalente (dado que uma potência em denominador pode passar para numerador com o expoente simétrico), o m.s·l. E a definição desta unidade metro por segundo é simples: é a magnitude da veloc idade de um corpo que, em movimento uniforme e rectilíneo, vai percorrendo um metro em cada segundo. Observe-se que para definirmos a unidade de velocidade recorremos a um fenómeno onde a grandeza velocidade se mantém constante: o movimento rectilíneo e uniforme. 2 De2igna-se por movimento recti lín(!o O mesmo sucede com as unidades derivadas das outras grandezas. Assim para definirmos a unidade da grandeza aceleração, o metro por segundo quadrado, recorremos ao movimento rectilíneo uniformemente acelerado2, pois nele a aceleração permanece constante. acelerado uniformemente todo e qualquer movimento em linha recta e em que móvel mentos a vai velocidade do sofrendo au iguais em iguais intervalos de tempo de grandezas subjacente ao sistema MKpS recorre-se à seguinte expressão para definir a aceleração constante de uma partícula em movimento rectilíneo uniformemente acelerado: No sistema !1v a =- !1t [2.3] Pois é esta a equação de definição da unidade de aceleração no sistema 53 AA 2.1 Num movimento rectilíneo uniformemente acelerado, a aceleração permanece constante e a sua magnitude pode obter-se pela equação a= �v �t - [2.3] onde tlv é a variação da magnitude da velocidade no intervalo de tempo tlt. Sendo esta a equação de definição do metro por segundo quadrado, definir esta unidade de aceleração. É claro que a escolha das equações de definição das unidades derivadas de um sistema de unidades tem um carácter arbitrário. Esta arbitrariedade resulta do modo, também arbitrário, como são relacionadas as grandezas ao constituir-se o sistema de grandezas subj acente a esse sistema de unidades. Assim, por exemplo, no que respeita à grandeza velocidade, nada i mpedia ter-se adoptado a relação v= 0,0 1 � l M [2.4] entre as grandezas velocidade, comprimento e tempo do sistema de grandezas. Seria esta então a equação de definição da unidade de velocidade num sistema de unidades baseado nesse sistema de grandezas e a unidade de velocidade desse sistema de unidades já seria, não o metro por segundo, mas sim o centímetro por segundo, definido como a magnitude da velocidade de um corpo que percorre rectilineamente a distância de um centímetro em cada segundo (voltaremos a este assunto com mais detalhe no capítulo dedicado à análise dimensional das grandezas). 54 AA2.2 Mostrar que a equação de definição está em coerência com as unidades referidas: metro, segundo e centímetro por segundo. Estamos em condições de concluir que no processo de estabelecimento de um sistema de unidades há uma tripla arbitrariedade. Com efeito, é arbitrária a adopção das grandezas de base do sistema de grandezas que está subj acente a esse sistema de unidades. No exemplo anterior podíamos ter optado pela grandeza de base massa, em vez da força. Claro que isso implicaria uma escolha de uma unidade de base diferente, definida com base num padrão de massa (o quilograma padrão de que adiante falaremos) e não com base num padrão de força. É também arbitrária a escolha dos próprios padrões de definição das unidades de base. Assim, por exemplo, no M KpS definiu-se o quilograma -peso ou quilograma-força como o peso do quilograma-padrão (tem a massa convencional de 1 kg). A definição não contempla o local onde é medido esse peso do quilograma. Ora sabemos que este peso varia de lugar para lugar da Terra: diminui com a altitude pois aumenta a distância do quilograma-padrão ao centro de gravidade da Terra, e aumenta com a latitude pois, devido ao achatamento polar da Terra, quanto mais perto dos pólos terrestres estiver o quilograma-padrão, mais perto do centro de gravidade da Terra se situará. Ora, ao adoptar-se o sistema M KpS , podia perfeitamente ter-se optado (e com vantagem) por uma unidade de força invariável. Bastava, por exemplo, ter-se definido o quilograma-força do seguinte modo: peso do quilograma-padrão ao nível do mar e à latitude de 45 Esta unidade, aliás, chegou a ser definida pela 3 .a Conferência Geral de Pesos e Medidas, em 1 90 1 , em Paris. Foi estabelecido nesta Conferência que a aceleração da gravidade ao nível do mar e à latitude de 45 °, designada por aceleração da gravidade normal, tem o valor 0. go = 9,806 65 mls2 [2.5] 55 Esta constante é um valor médio que foi adoptado convencionalmente e poderia perfeitamente ter servido para definir um quilograma-força constante pela equação 1 kgf = 1 kg x go [2.6] (Está-se a utilizar a equação fundamental do movimento que traduz a 2.a lei de Newton, F = m. a). No texto histórico do Apêndice 2 pode ver-se que o padrão da unidade de comprimento conhecida por metro variou ao longo dos anos, ou sej a variou a definição de metro. O mesmo sucedeu ao segundo e a outras unidades. Finalmente, também j á se realçou que é em parte arbitrária a escolha das equações utilizadas para relacionar entre si as grandezas do sistema de grandezas subj acente, as quais vão servir de equações de definição das unidades derivadas a partir das unidades de base. A arbitrariedade acontece, em particular, no que respeita ao factor de proporcionalidade adoptado. Assim por exemplo, no caso da grandeza velocidade, poderíamos ter escolhido como equação de definiç ão da unidade desta grandeza a seguinte: v = 1 000 �l M AA2.3 Por coerência com as unidades de distância e tempo, o metro e o segundo respectivamente, a adoptar esta última equação de definição, a que unidade de velocidade corresponderia? Justifique. Em face do exposto conclui-se que é possível construir-se um número imenso de sistemas de unidades (Valadares, in Almeida, 1997). A adopção de um sistema de unidades, ainda que arbitrária, é grandemente limitada pelo facto de ter de satisfazer a determinados critérios. Estes são os seguintes: 56 Critério de simplicidade As unidades de base adoptadas devem ter padrões simples, de fácil reprodução e (ou) verificação, valores adequados (cómodos) e serem independentes entre si. As equações de definição das unidades derivadas devem ser tão simples quanto possível . - Critério de exactidão - A s unidades devem ser definidas d e modo bastante exacto. Os padrões das unidades de base deverão ser tanto quanto possível invariáveis. Critério de invariabilidade - As unidades de medida derivadas deverão ser expressas como um produto de potências das unidades de base, com factor de proporcionalidade de valor 1. Critério de coerência - AA2.4 Um sistema que possui as unidades m, kg, s, m s·', g cm S·2 é um s istema que obedece ao critério de coerência? 2.2 Os sistemas coerentes de unidades Ao longo da história da ciência e da técnica surgiram diversos sistemas de unidades. Cingindo-nos ao domínio da Mecânica, um dos sistemas de unidades muito util izado foi o sistema CGS, cuj a designação deriva das iniciais de centímetro, grama e segundo, as suas unidades de base para a Mecânica. Trata-se de um sistema de unidades absoluto ou sistema de unidades físico, pois as unidades de base são absolutas, no sentido de serem invariáveis de lugar para lugar. Em consequência, as unidades derivadas, que acabam por ser produtos de potências das unidades de base, também não variam de local para local. 57 Um outro sistema muito utilizado e a que já nos referimos foi o sistema M KpS, nome derivado das suas unidades de base da Mecânica: o metro, o quilograma-peso e o segundo. Trata-se de um sistema de unidades gravitacional ou sistema de unidades técnico, em virtude de uma das unidades de base, o quilograma-peso (e todas as outras dela derivadas) variarem de lugar para lugar. Com efeito, o quilograma-peso foi definido como o peso do quilograma-padrão, pelo que varia de local para local, de acordo com a lei da atracção universal de Newton. o critério de invariabilidade atrás referido levou à rejeição dos sistemas de unidades gravitacionais e à preferência pelos sistemas de unidades absolutos, em que as unidades são invariáveis. Para além da condição de serem absolutos, exige-se hoje que os sistemas sejam coerentes. Mas o que é afinal um sistema de unidades coerente? Um sistema de unidades coerente é um sistema de unidades que obedece ao critério de coerência atrás referido: as unidades derivadas deverão ser expressas como um produto de potências das unidades de base, com factor de proporcionalidade de valor 1 . Um outro sistema coerente que veio substituir com vantagem o sistema MKpS é o sistema MKS . A tabela seguinte indica-nos as suas unidades de base para a área da Mecânica: Tabela 2.2 Grandeza Unidades de base do MKS Nome Símbolo metro m massa quil ograma kg tempo segundo s comprimento Conforme veremos ao estudar o Sistema Internacional de Unidades (SI), este conjunto de unidades de base do MKS, referentes à área da Mecânica, é idêntico ao conjunto de unidades de base do SI, referentes à mesma área. O Sistema MKS da Mecânica pode, de facto, considerar-se um subsistema do Sistema Internacional de Unidades, já que, no que respeita à Mecânica, as suas unidades são perfeitamente equivalentes. 58 Vamos agora ver algumas unidades mecânicas derivadas deste sistema absoluto MKS. Tabela 2.3 Grandeza Algumas unidades derivadas do MKS Nome Símbolo metro quadrado m2 metro cúbico m3 velocidade metro por segundo m.s·t aceleração metro por segundo quadrado 2 m.s· frequência hertz Hz quil ograma por metro cúbico kg.m·3 área volume massa volúmica N força newton pressão pascal Pa trabalho j oule J potência watt W = m·t.kg.s·2 = = m.kg.s·2 m2.kg.s· 2 = m2.kg.s·3 Observe-se que a unidade da grandeza força é o newton, cuj a equação de definição é, simplesmente, F= m.a [2.7] e que essa unidade é dada pelo produto de potências 1N = 1 m.kg.s·2 J F [2.8] onde não aparece qualquer coeficiente numérico diferente de 1 3 . Com efeito, a unidade de força, de acordo com a sua equação de definição é o produto da unidade de massa, o kg, pela unidade de aceleração, m.s·2. Tem-se, então: 1 N = 1 kg x 1 m.s·2 = 1 kg.m.s·2 Não a [2.9 ] devemos equação = confundir de definição ma com a lei física da Mecânica clássica, tradu zida pela mesma expressão. pois esta tem determinados pressupostos subjacentes que lhe conferem um estatuto epistemológico diferente. A di ferença entre a equação de definição e a lei não cabe, porém, no âmbito deste curso. e a ordem dos factores do produto é arbitrária! 59 A propósito, é importante notar que as grandezas e as unidades são entidades físicas, porque dizem respeito a coisas do mundo físico em que vivemos, nem sempre concretas e tangíveis. Porém, elas comportam-se como entidades matemáticas para efeito de cálculo, obedecendo rigoro samente às operações matemáticas conhecidas (soma, produto, quociente, etc). AA2.5 A equação de definição da grandeza pressão é p = F S - onde F é a força que actua uniformemente e perpendicularmente na superfície de área S. Fundamente a unidade de pressão da tabela anterior e defina-a. 2.3 O Sistema Internacional de Unidades como sistema absoluto e coerente 2.3.1 A adopção do Sistema Internacional de Unidades Durante muito tempo multiplicaram-se as unidades de medida, diferindo de país para país e até mesmo dentro do mesmo país. Com o incremento das relações comerciais e o desenvolvimento da indústria a situação tornou-se a determinada altura insustentável, sentindo-se a necessidade premente de uma uniformização. O impulso decisivo no sentido desta foi dado pela Revolução Francesa. De facto, o decreto da Convenção de 1 de Agosto de 1 793 estipulou a criação de um Sistema de Pesos e Medidas baseado na medição do meridiano terrestre e na divisão decimal. Isto teve como consequência que o metro, uma das unidades de base do sistema métrico, tivesse sido estabelecido logo dois anos depois, em 1795. Esta primeira definição do metro, como décima milionésima parte do quarto do meridiano terrestre, começou já no século passado a ser considerada pouco exacta (os meridianos não são exactamente iguais), uma das razões pelas quais em 1 875 foi assinada a chamada Convenção Internacional do Metro, que materializou o metro-padrão numa barra de 60 platina iridiada. Como a essa Convenção aderiram desde logo diversos países, internacionalizou-se a seguinte definição de metro: distância, a O °C e à pressão normal, entre dois traços marcados perto das extremidades de uma barra de platina iridiada que está guardada em Sevres, perto de Paris. De então para cá a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) passou a realizar-se, tendo a de 1 889 sancionado a definição anterior. Em 1948 realizou-se a 9.a CGPM a qual, tendo por base um pedido da União Internacional de Física Pura e Aplicada (IUPAP), resolveu propor ao Comité Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) a realização de um inquérito oficial para reunir "as opiniões dos meios científicos, técnicos e pedagógicos de todos os países, para que fosse estabelecido um sistema prático de unidades de medida susceptível de ser adoptado por todos os países signatários da Convenção do Metro" (Almeida, 1997, p. 1 9) . A IUPAP, no referido pedido, recomendava como base de trabalho o sistema absoluto M KS cujas unidades fundamentais são, como vimos atrás, o metro, o quilograma (unidade de massa) e o segundo. A adopção deste novo «sistema prático de unidades» acabou por resultar de uma resolução da 1 O.a CGPM, que teve lugar em 1954. Este sistema passou a designar-se por S istema Internacional de Unidades, com a abre viatura SI (sem pontos!), em consequência da resolução 12 da l 1.a CGPM, que decorreu em 1960. A adopção do SI viria a ser confirmada por uma outra resolução da 14.a CGPM, que se realizou em 1 97 1 . Em Portugal, bem como em todos os outros países que aderiram à chamada Convenção do metro, o S I tem actualmente um estatuto de lei. De facto, o Decreto-Lei n.o 427/83 de 7 de Dezembro determinou a adopção, no nosso país, desse sistema de unidades. 2.3.2 As unidades de base do Sistema Internacional de Unidades As unidades de base adoptadas para o S istema Internacional de Unidades (SI) e respectivas grandezas são as seguintes: 61 Tabela 2.4 Grandeza - Unidades de base SI Nome Símbolo metro m massa quil ograma kg tempo segundo s i ntensidade da corrente eléctrica ampere A temperatura termodinâmica kelvin K i ntensidade l umi nosa candeia cd quantidade de matéri a mole moi compri mento De acordo com a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), que é a autoridade máxima no que respeita aos nomes, símbolos e definições de unidades, as definições actuais das unidades (de medida) de base do SI são as seguintes, figurando entre parêntesis as resoluções que as determinaram: • O metro é o comprimento do trajecto percorrido no vazio pela luz durante um intervalo de tempo de 1 /299 792 458 do segundo ( 17 CGPM - 1 983 - Resolução 1 ) 3 • O quilograma é a unidade de massa e é igual à massa do protótipo internacional do quilograma (3 CGPM - 1 90 1 - p. 70 das Actas). 3 o protótipo internacional do quilograma é materializado por um corpo cilíndrico de platina iridiada (90 % de platina e 1 0 % de irídio), de diâmetro e altura i guais a 39 mm e que está arquivado em Sevres (França) ao cuidado do Bureau Internacional des Pois et Mesures (BIPM), que funciona sob a dependência da CGPM. Foi entregue uma cópia deste protótipo internacional a cada um dos países signatários da Convenção do Metro, tendo cabido a Portugal a cópia n° 1 0 (depositada na Repartição de Pesos e Medidas) . 62 Fotografia do protótipo i nternacional do quilograma • O segundo é a duração de 9 1 92 63 1 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 1 3 3 ( 1 3 .a CGPM 1 967 Resolução 1 ) . - • - O ampere é a intensidade de uma corrente constante que, mantida em dois condutores paralelos, rectilíneos, de comprimento infinito, de secção circular desprezável e colocados à distância de 1 m um do outro, no vazio, produziria entre estes condutores uma força igual a 2 x 1 0-7 N por metro de comprimento (9.a CGPM 1 948 Resolução 7). - - • O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fracção 1 /273, 1 6 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água (l3a CGPM 1 967 Resolução 4). - • - A candeia é a intensidade luminosa, numa direcção dada, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540 x 1 012 Hz e cuj a intensidade energética nessa direcção é 1 /683 W.S(14 (l6.a CGPM 1 979 Resolução 3). - - 4 o W.S(I é o símbolo da unidade watt diano (ver p. • A mole é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos os átomos que existem em 0,0 1 2 kg de carbono 1 2; quando se utiliza a mole, as entidades elementares devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, iões, por 66). esterra 63 electrões, outras partículas ou agrupamentos especificados de tais partículas ( 1 4 a CGPM 1971 Resolução 3). - - AA2.6 o metro, como uma das unidades de base do antigo s istema métrico, em que época foi estabelecido? A. B. Meados do século 17. F inais do século 18. C. F inais do século 19. D. Meados do século 20. 2.3.3 Outras unidades SI Para além das unidades (de medida) de base do SI que atrás referimos, existem também todas as unidades (de medida) derivadas, as quais dizem respeito às mais variadas grandezas derivadas. A tabela seguinte mostra alguns exemplos: Tabela 2.5 Grandeza Nome Símbolo metro quadrado m- aceleração metro por segundo quadrado m.s massa volúmica quilograma por metro cúbico kg.m-3 volume mássico metro c úbico por quilograma m3 .kg-1 j oule por kelvin mole J.K1 .morl ampere por metro quadrado A .m-2 metro cúbico por mole m3.morl área capacidade térmica molar densidade de corrente eléc trica volume mol ar 64 Unidades SI derivada ? ·2 Há diversas unidades derivadas que possuem nomes e símbolos especiais. Vej amos alguns exemplos: Tabela 2.6 Grandeza Unidades SI derivadas Nome Símbolo hertz Hz força newton N pressão pascal Pa energi a joule J potênci a watt W coulomb C diferença de potenc ial ou tensão volt V capac idade eléctrica farad F resi stência eléctri c a ohm Q siemens S weber W densidade de fluxo magnético tesla T i ndutânc i a henry H grau Celsi us °C lúmen 1m lux Ix becquerel Bq gray Gy frequênc i a carga eléctrica condutância fluxo magnético temperatura Celsius fluxo luminoso i luminação l umi nosa actividade (de uma fonte radi oactiva) dose de radiação absorvida Em 1 980, o Comité Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) decidiu interpretar como unidades derivadas sem dimensões, as anteriormente chamadas unidades suplementares. Estas unidades e as respectivas grandezas são as seguintes: 65 Tabela 2.7 Grandeza Unidades SI derivadas sem dimensões Nome Símbolo ângulo plano radi ano rad ângulo sólido esterradi ano sr As definições destas duas unidades, estabelecidas pela Resolução 1 2 da ll.a CGPM, de 1 960, são as seguintes: o radiano é o ângulo plano compreendido entre dois ralOS que, na circunferência de um círculo, intersectam um arco de comprimento igual ao raio desse círculo: B=i r [2. 1 0] é o ângulo sólido que, tendo o vértice no centro de uma esfera, intersecta na superfície desta uma área igual à de um quadrado tendo por lado o raio da esfera : o esterradiano (a) o ângulo (plano) ao centro é de 1 radiano porque o arco circ ular AB que l imita tem um comprimento igual ao raio da circunferência; (b) o ângulo (sólido) ao centro é de I esterradiano porque a superfíci e S circ ular que limita tem por área o quadrado do raio da c ircunferê ncia. 66 Em coerência com a interpretação do CIPM, de 1 980, anteriormente referida, a unidade coerente quer para o ângulo plano quer para o ângulo sólido é 1 . No entanto, é considerado conveniente o uso dos nomes especiais radiano e esterradiano e respectivos símbolos, em muitos casos práticos (Norma ISO 3 1 -0; 1 992(E), p. 5). Assim, por exemplo, podemos considerar, em alternativa, as seguintes unidades: Tabela 2.8 Grandeza Símbolo da unidade velocidade angular radls ou s·' aceleração angular 2 2 rad/s ou S· i ntensidade energética W.sr"' luminânc i a energétic a 2 W.sr"'.m· Há também um terceiro tipo de unidades de medida designadas por unidades fora do sistema por não pertencerem ao SI (nem a qualquer outro sistema de unidades). S ão exemplos o electrão-volt ( 1 ,602 1 8 x 1 0 · 9 J), que é uma unidade de energia ainda muito utilizada e as conhecidas unidades de tempo, o dia (d), a hora (h) e o minuto (min). ' Fazemos notar que, ao contrário do que se vê frequentemente, mesmo em trabalhos científicos, o símbolo do minuto é min e não m (símbolo do metro) . É incorrecto, pois, escrever 3 h e 4 m, pois não há intervalos de tempo de 3 horas e 4 metros! As unidades SI admitem múltiplos e submúltiplos decimais, de modo a evitar-se o uso de representações de números com muitos zeros. Para escrever esses múltiplos e submúltiplos das unidades S I, existem os chamados prefixos S I que constam das tabelas seguintes: 67 Tabela 2.9 Factores Prefixos de múltiplos Nome Símbolo yotta Y zetta Z exa E 5 101 peta P 2 101 tera T 109 glga G 10 6 mega M 10 3 quilo k 2 10 hecto h 10 deca da 102 4 21 10 101 8 AA2.7 A quantos terametros é igual um exametro? 68 Tabela 2.10 Factores Prefixos de submúltiplos Nome Símbolo 1 deci d 2 10- centi c 10-3 mili m 1 0-6 mIcro f-l 10-9 nano TI 2 10-1 pico P 15 10- fento f ato a 21 1 0- zepto z 24 10- yocto y 10- 1 0-1 8 AA2.8 Um centisegundo quantos nanosegundos são? Quer o nome quer o símbolo de um múltiplo ou submúltiplo de uma unidade SI já não diz respeito a uma unidade SI (que é única) . Esse múltiplo ou submúltiplo forma-se juntando (sem qualquer intervalo) o prefixo ao nome ou ao número. Vej amos alguns exemplos: quilowatt - kW nanosegundo - ns picofarad - pF gigawatt GW - 69 No caso da unidade SI de massa, o quilograma, como já de si tem um prefixo, o quilo, os seus múltiplos e submúltiplos são construídos com base no grama, já que em caso algum são admitidos dois prefixos seguidos: gigagrama - Gg (e não Mkg) micrograma - Ilg (e não nkg) A escolha do múltiplo ou submúltiplo de uma unidade SI é ditada por razões de comodidade. Em geral escolhe-se de modo que o valor numérico da grandeza fique situado entre 0, 1 e 1 000. Assim, por exemplo, a temperatura de 4500 K poderá ser escrita na forma 4,5 kK. AA2.9 Reduza a metros quadrados as seguintes áreas: 70 RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DE AUTO-AVALIAÇÃO AA2.1 De acordo com o enunciado tem-se a= tlv - tl! Se fizermos �v = I m -I S e �t = 1 s vem a= 1 m s-I -- Is _o =lm s Metro por segundo quadrado é a magnitude da aceleração de uma partícula com movimento rectilíneo uniformemente acelerado cuja velocidade aumenta de J m S -I em cada segundo. AA2.2 Consideremos, então, a relação [2.4]: v = O , 01 �l /}.t Fazendo �l= I m = 100 cm e �t = I s vem 1 00cm 1 cm I v=O,OI --- = -- =Jcms' =Icrn/s 1s 1s AA2.3 Ao quilómetro por segundo. Com efeito, consideremos a relação dada /}.! v=1 000/}.t 71 Fazendo f'1l= 1 m e f'1t = 1 s vem v = 1 000 1m = 1000 m 1s Is = 1 km 1s = I km S· I = I kmJs AA 2.4 ·2 Não porque a unidade g cm S é exp'essa em função das u nidades de base, metro (m), quilograma (kg) e segundo (s) do seguinte modo: lcm 10� m I ocr cm s'- = I gx -- = 10-'> k ocrx -Is2 Is2 ? . 10-) kg m s'2 = Há uma relação de uma unidade derivada com as unidades fundamentais que usa um factor de proporcionalidade diferente da unidade ( 1 0.5). AA 2.5 De acordo com o enunciado tem-se F p=S Se fizermos 2 F = 1 N e S= 1 m vem ·2 1 N = 1 m kg S 1 ·1 m k gs 1 1 m2 m- -p= . 2 ? Pascal é a pressão exercida pela força de newton quando actua perpendicularmente e uniformemente numa superfície de área 1 metro quadrado. AA 2.6 Opção B. (ver secção 2.3.1). 72 AA 2.7 I Em= 1 018 m 1 Tm = 1 012 m 1 Em lTm = 18 10 m 1012m = 106 1 Em= 106Tm É igual a 106 (um milhão) de terametros. AA 2.8 I cs = 1 0-2 I cs = S 1 07 ns É igual a 107 (dez milhões) de nanosegundos. AA 2.9 73 3. As Dimensões das Grandezas Objectivos Compreender significativamente o conceito de dimensão de uma grandeza: Indicar como se constrói um sistema de grandezas. Definir classe de sistemas de unidades. Relacionar as mudanças de unidades das grandezas derivadas com as mudanças de unidades das grandezas de base. Explicar em que consiste a invariância das leis físicas no contexto das mudanças de sistemas de unidades. - Etc. Caracterizar algumas das propriedades da dimensão das grandezas: Relacionar a dimensão de uma grandeza derivada com as dimensões das grandezas de base. Indicar o que são os expoentes dimensionais. Distinguir dois tipos de grandezas adimensionais. Identificar grandezas dimensionalmente dependentes e independentes. Exemplificar grandezas de natureza diferente com as mesmas dimensões. - Etc. Aplicar, a casos concretos, o princípio de homogeneidade di mension al: Mostrar que relações de grandezas dadas são necessariamente incorrectas. Reconhecer as potencialidades e limitações na verificação da correcção de relações entre grandezas. Compreender algumas noções básicas relacionadas com a análise dimensional: Enunciar o teorema n. Indicai os contextos de aplicabilidade do teorema n. Utilizar, em casos simples, o teorema n, para eliminar e/ou simplificar relações genéricas entre grandezas. 77 3.1 Introdução No início deste manual foi introduzida a noção de grandeza. Esta noção é fundamental, uma vez que a Ciência se tem construído, em grande parte, através do estabelecimento de relações entre grandezas. Estas relações apresentam estatutos epistemológicos distintos: podem ser leis, definições de grandezas a partir de outras e mesmo relações empíricas válidas apenas num determinado contexto. Embora haja alguma discussão sobre o estatuto epistemológico das relações existentes, ela está ausente na ciência do "dia a dia" e no seu ensino. Ao longo deste capítulo, por uma questão de economia de linguagem e porque nada do que iremos explicar é dependente desse estatuto, designaremos todas essas relações como leis físicas porque são válidas para as chamadas ciências físicas e outras com estas relacionadas. Tal como vimos nos capítulos anteriores, todas as grandezas se exprimem quantitativamente através de valores numéricos dependentes de um sistema de unidades pré-definido e convencional. Será então que as leis físicas, sendo relações entre grandezas, também são afectadas pelas escolhas dos sistemas de unidades pat1iculares em que se exprimem as grandezas nela envolvidas? A resposta mais imediata (e correcta) à questão anterior é não. De facto, é de esperar que as leis físicas apresentem um carácter universal e que sejam independentes das escolhas dos sistemas de unidades. O conceito de energia, por exemplo, e a sua relação com outras grandezas não pode depender da escolha do centímetro ou do metro para medir os comprimentos. Diz-se, assim, que as leis físicas são invariantes relativamente a mudanças de unidades. É esta invariância e as suas consequências que iremos estudar ao longo deste capítulo. O ponto central de todo este capítulo é a noção de dimensão de uma grandeza. A dimensão de uma grandeza surge naturalmente depois de se definir os conceitos de sistema de grandezas e de classes de sistemas de unidades. 3.2 Dimensão de uma grandeza 3.2.1 Sistemas de grandezas Um sistema de grandezas é definido como um conjunto de grandezas, no sentido geral, entre as quais existem relações definidas (VIM, 1 996). Num sistema de grandezas estão definidos dois tipos de grandezas (VIM, 1 996): grandezas de base: aquelas que são consideradas, por convenção, como funcionalmente independente�; 79 - grandezas derivadas: aquelas que são função das grandezas de base desse sistema. As relações entre grandezas de um sistema de grandezas são obtidas de leis físicas, resultando assim da generalização de relações entre grandezas particulares. Por exemplo, em detenninados sistemas de grandezas a área é definida como o quadrado do comprimento, o que corresponde a generalizar a relação entre o comprimento do lado e a área de um quadrado. A fim de ilustrar a noção de sistema de grandezas vamos construir um sistema de grandezas simples. Para tal, vamos escolher as grandezas complimento (l), tempo (t), velocidade (v), aceleração (a), massa (m), força (F), etc. e adoptar como grandezas de base, por exemplo, o comprimento (l), a massa (m) e o tempo (t), as quais, para os fenómenos físicos com que lidamos no dia a dia, podem considerar-se funcionalmente independentes. Vamos, de seguida, escolher as relações que nos permitem definir as grandezas derivadas. Estas relações, que correspondem a generalizações de leis físicas existentes entre grandezas particulares, podem ser, por exemplo: v = IIt; a vlt ; F = ma; etc. Reescrevendo as relações escolhidas de modo a obter as grandezas derivadas v, a F, etc., em função das grandezas de base I, t e m,obtém-se: v = lIt; a = lIt2; F mllr2; etc. = = A construção de um sistema de grandezas consta assim de três passos: (i) escolha das grandezas do sistema; (ii) escolha das grandezas de base, e (iii) escolha das relações entre grandezas que permitem definir as grandezas derivadas e exprimi -las em função das grandezas de base. Cada um destes passos é independente e escolhas diferentes em cada um deles vão originar diferentes sistemas de grandezas. Esta possibilidade pode ser colocada em evidência retomando o exemplo simples dado anteriormente. passo (i) poderia ser diferente se tivessemos escolhido um outro grupo de grandezas para formar o sistema. o o passo (ii) também poderia ser diferente: poderíamos escolher como grandezas de base, por exemplo, o comprimento (I), a força (F) e o tempo (t). Finalmente, as relações entre as grandezas escolhidas poderiam também ser diferentes. Para vermos que assim é, utilizamos o exemplo da relação entre a força e as outras grandezas, recorrendo a duas leis físicas distintas resultantes dos trabalhos de Isaac Newton: 1 ) A intensidade da força (F) que actua num corpo é proporcional ao produto da massa do corpo (m) pel a aceleração do corpo (a): (3. 1) 80 2) A força gravítica (F ) com que dois corpos se atraem é proporcional ao produto das suas massas (m e M) dividido pelo quadrado da distância (d) a que se encontram: G D -k 2 rG mM (3.2) -d2 No sistema de grandezas anteriormente construído, a relação entre força, massa e aceleração foi obtida a partir de (3.1) (fazendo kl 1 ). Seria possível construir um outro sistema de grandezas escolhendo uma relação entre a força e as restantes grandezas a partir de (3.2): por exemplo, F = m2/F (i.e. fazendo � = 1 em (3.2)). = A.A.3.1 Construa 3 sistemas de grandezas d iferentes para o comprimento, a massa, o tempo, a velocidade, a aceleração e a força, utilizando escolhas diferentes para as grandezas de base. Escreva, para cada um dos sistemas, a relação entre cada uma das grandezas derivadas e as grandezas de base. 3.2.2 Classes de sistemas de unidades A construção de sistemas de grandezas é realizada com a finalidade de definir sistemas de unidades. Um sistema de unidades é definido através de dois passos: (i) escolha de um determinado sistema de grandezas; (ü) escolha das unidades das grandezas de base desse sistema de grandezas, a que chamamos unidades de base ou fundamentais. Estes dois passos são, novamente, independentes: é possível escolher unidades de base diferentes escolhendo um mesmo sistema de grandezas; e é também possível ter sistemas de grandezas diferentes e, no entanto, as mesmas unidades de base (desde que, é claro, os sistemas de grandezas tenham as mesmas grandezas de base). 81 Já as unidades das grandezas derivadas, designadas simplesmente por unidades derivadas, não são escolhidas, mas i mediatamente determinadas pelas duas escolhas anteriores, uma vez que num sistema de grandezas as relações entre as grandezas derivadas e as de base já estão definidas. A possibilidade de construir diferentes sistemas de unidades associados ao mesmo sistema de grandezas, vai permitir i ntroduzir a noção de classe de sistemas de unidades, que será fundamental para introduzir a definição de dimensão de forma precIsa: Uma classe de sistemas de unidades é o conj unto de todos os sistemas de unidades definidos a partir do mesmo sistema de grandezas. Uma consequência imediata desta definição é que a diferença entre dois sistemas de unidades da mesma classe reside apenas na magnitude das unidades de base (escolhida no passo ii). Por seu lado, dois sistemas de unidades não pertencerão à mesma classe se tiverem sido construídos a partir de sistemas de grandezas diferentes. Vej amos alguns exemplos elucidativos, sobre a pertença ou não de diferentes sistemas de unidades à mesma classe. Comecemos por um exemplo simples de dois sistemas de unidades que não pertencem à mesma classe, a parte da mecânica do SI (MKS) e o sistema MKp S. Estes sistemas de unidades são construídos a partir de sistemas de grandezas que diferem na escolha das grandezas de base: o MKS é construído a partir de um sistema em que as grandezas de base são o comprimento, a massa e o tempo; por sua vez, o M KpS é construído a partir de um sistema de grandezas em que as grandezas de base são o comprimento, a força e o tempo. Assim, estes dois sistemas de unidades pertencem a diferentes classes porque os sistemas de grandezas a que estão associados apresentam grandezas de base diferentes. Como vimos na secção anterior, é possível sistemas de grandezas diferirem não nas grandezas de base, mas nas relações entre as grandezas derivadas e as de base. Como exemplo, tomemos dois sistemas de grandezas em que a relaç ão entre a força e as grandezas de base comprimento, massa e tempo (as mesmas para os dois sistemas) é definida a partir de (3. 1 ) num caso (sistema de grandezas 1 ) e a partir de (3.2) no outro (sistema de grandezas 2). Suponhamos agora que se pretende construir dois sistemas de unidades, um com base no sistema de grandezas 1 e outro com base no sistema de grandezas 2. Como os dois sistemas têm as mesmas grandezas de base, é possível escolher as mesmas unidades de base para ambos os sistemas de unidades. No entanto, estes sistemas de unidades não pertencem à mesma classe uma vez que foram definidos a partir de sistemas de grandezas diferentes. A diferença essencial entre os dois sistemas de unidades 82 está na definição de força unitária. Num caso (sistema de grandezas 1 ) a força unitária será a força que actuando num objecto de massa unitária lhe provoca uma aceleração unitária; no outro (sistema de grandezas 2) será a força de atracção gravítica entre dois corpos de massa unitária que se encontram a uma distância unitária. Este exemplo serve para clarificar um ponto importante: o facto de dois sistemas de unidades corresponderem a sistemas com as as mesmas grandezas de base não implica que pertençam à mesma classe de sistemas de unidades. É decisivo o modo como as unidades derivadas se relacionam com as unidades fundamentais. Por outras palavras: são fundamentais as equações de definição das unidades derivadas. Finalmente, como exemplo de sistemas de unidades pertencentes à mesma classe, podem referir-se os sistemas CGS e MKS . Na verdade, estes sistemas são construídos a partir do mesmo sistema de grandezas e só diferem na escolha das unidades de base: metro, quilograma e segundo no MKS, e centímetro, grama e segundo no CGS . As unidades derivadas são definidas com base nas mesmas equações de definição. AA 3.2 Considere um s istema de grandezas em que a velocidade, v, e o tempo, t, são grandezas de base, e em que a grandeza derivada comprimento, l, se relaciona com as grandezas de base através de l = v t. a) Suponha que, a partir deste sistema de grandezas, se define um s istema de unidades em que a unidade da velocidade é a velocidade da luz no vazio e a u nidade de tempo é o ano. A que corresponde um comprimento de valor numérico X neste sistema? b) Construa um sistema de unidades da mesma c lasse do que o definido em a). 83 3.2.3 Definição de dimensão de uma grandeza física Um dos problemas mais abordados no estudo de sistemas de unidades é a habitualmente chamada "mudança de unidades". Vamos agora deter-nos na formalização das mudanças de unidades, pois será ela, juntamente com a definição já dada de classe de sistemas de unidades, que nos permitirá definir dimensão de uma grandeza física. Mudança de unidades para as grandezas de base Comecemos com um exemplo simples. Quanto vale, no sistema CGS, um compri mento de valor 1 0 m? A resposta é óbvia e é obtida a partir da relação conhecida entre as unidades de comprimento do SI e do CGS : como 1 m 1 00 cm, então 1 0 m 1 000 cm. Este exemplo pode ser generalizado e descrito com a linguagem mais elaborada introduzida neste livro. Suponhamos que um comprimento tem valor numérico { X) } no SI. Qual será o valor numérico { X2 } desse comprimento no sistema CGS? Utilizando o facto de a unidade de comprimento do S I ser 1 00 vezes maior do que a unidade de comprimento do CGS, obtém-se { X2 } 1 00 { X) } ) . = = I Rever a questão 1 .5.3. = É possível assi m generalizar estes exemplos para quaisquer dois sistemas de unidades em que uma das unidades de base seja de comprimento. Considerem se dois sistemas de unidades, 1 e 2, nestas condições. As unidades de comprimento dos sistemas 1 e 2 são, respectivamente, u ) e u 2 e relacionam-se por u ) L u 2, sendo L um número real. Então, se um determinado comprimento tiver valor numérico { X ) } no sistema de unidades 1 , o seu valor numérico no sistema de unidades 2 será { X2 } L { X ) } . Estabelece-se assim uma lei de transformação dos valores numéricos dos comprimentos entre sistemas de unidades. = = o que acabou de ser explicado sobre o comprimento em sistemas de unidades que têm como unidade de base uma unidade de comprimento, pode ser aplicado a qualquer outra grandeza de base: a massa, o tempo, etc. AA 3.3 Qual é o valor numérico no SI de um comprimento cujo valor numérico no CGS é l O? Identifique o factor numérico L que permite realizar a transformação de qualquer comprimento do CGS para o SI. 84 AA 3.4 C o mo calcularia os valores n u méricos de massas no CGS , se soubesse os seus valores no SI? Mudanças de unidades para as grandezas derivadas Os exemplos e definições anteriores foram restritos às transformações dos valores numéricos de grandezas de base entre diferentes sistemas de unidades. Vamos agora formalizar a mudança de unidades para grandezas derivadas, tentando relacioná-la com as mudanças de unidades para as grandezas de base. Para isso, voltemos a considerar os sistemas SI e CGS e o exemplo simples das áreas. Se uma área tiver valor { A I } no SI, qual será o seu valor {A 2 } no CGS? Mais uma vez, a solução do problema encontra-se na relação entre as unidades de área do SI e do CGS: 1 m 2 = 1 0000 cm2 e consequentemente {AJ 1 0000 {A I } ' É possível, no entanto, resolver este problema de maneira equivalente colocando em evidência a sua relação com a transformação dos valores numéricos do comprimento entre estes dois sistemas. De facto, a única diferença relevante entre o SI e o CGS é a escolha de unidades diferentes para as mesmas grandezas de base. No caso do comprimento essas unidades relacionam-se por 1 m = 1 00 cm. Como os dois sistemas de unidades foram definidos a partir do mesmo sistema de grandezas (os sistemas pertencem à mesma classe), a unidade de áre a de fi ne s e de igu al modo a partir da unidade de comprimento e então os valores das áreas que estamos a considerar relacionam-se por {A2 } = 1 002 { A I } ' = - Este exemplo pode ser generalizado. Considerem-se dois sistemas de unidades pertencentes à mesma classe, 1 e 2, associados a um sistema de grandezas em que o comprimento é uma grandeza de base e a área uma grandeza derivada. As unidades de comprimento dos sistemas 1 e 2 são, respectivamente, U I e u 2 e relacionam-se por U I = L u2 ' sendo L um número real. Então, se uma determinada área tiver valor numérico {A I } no sistema de unidades 1 , o seu valor numérico no sistema de unidades 2 será {A 2 } = U { A I } ' Para as outras grandezas derivadas poderiam construir-se exemplos idênticos. É sempre possível relacionar o valor numérico de qualquer grandeza derivada num si stema de unidades com l or numérico dessa grandeza num outro sistema O va 85 de unidades da mesma classe, utilizando apenas uma função dos factores numél1cos que relacionam as unidades de base dos dois sistemas. Nos exemplos dados sobre o comprimento e a área o único destes factores utilizado é L (o factor que permite relacionar as unidades do comprimento dos dois sistemas): no caso do comprimento essa função é L e no caso da área essa função é U. o que é a dimensão de uma grandeza? Podemos agora passar a definir o conceito de dimensão de uma grandeza, o essencial de todo este capítulo. Dimensão de uma grandeza (ou função dimensão de uma grandeza) é a função que determina o factor pelo qual o valor numérico dessa grandeza num sistema de unidades tem de ser multiplicado para se obter o valor numérico dessa mesma grandeza num outro sistema de unidades da mesma classe, a partir da relação entre as unidades de base. Existem duas notações habituais para representar a dimensão de uma grandeza. Assim, a dimensão de uma grandeza G é denotada por dim G ou por [G] A definição de dimensão apresenta várias consequências que iremos estudando ao longo deste capítulo. Neste momento convém destacar que a dimensão de uma grandeza depende do sistema de grandezas associado à classe de sistemas de unidades considerada. Uma consequência imediata é a de que uma mesma grandeza pode apresentar dimensões diferentes em diferentes classes de sistema de unidades. A função dimensão de uma grandeza tem de ser expressa a partir dos factores que relacionam as unidades de base de quaisquer dois sistemas de unidades da mesma classe. Na classe de sistemas de unidades do SI as unidades de base são as de comprimento, massa, tempo, corrente eléctrica, temperatura termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade luminosa. Convencionou-se designar os factores pelos quais se transformam as unidades de base dos sistemas de unidades pertencentes a esta classe através de determinadas letras maiúsculas escritas em caracteres direitos: 86 Grandeza de base Factor de transformação comprimento L massa M tempo T corrente eléctrica I temperatura termodinâmica 8 quantidade de matéria N intensidade l uminosa J Da definição de dimensão resulta imediatamente que cada um destes factores de transformação é a dimensão da respectiva grandeza de base. No exemplo que j á foi dado de dois sistemas e m que as unidades de comprimento se relacionavam por u 1 = L u2 , vimos que os valores numéricos de comprimento se relacionavam por { X2 } = L {X1 } . Logo, a dimensão da grandeza de base comprimento será L. Como o símbolo habitualmente usado para representar a grandeza comprimento é !, a tradução simbólica desta frase resulta em, [l] = L ou dim l = L . Da mesma forma se poderia proceder para todas as restantes grandezas de base. É em função das dimensões das grandezas de base (ou factores de transformação das grandezas de base) que se representam as dimensões (ou factores de transformação) das grandezas derivadas. Os valores numéricos de uma área, em classes de sistemas de unidades construídos a partir de sistemas de grandezas em que o comprimento é uma grandeza de base, relacionam-se, como já vimos, através de um factor U. Por isso se diz que a dimensão da g randeza área (A) é U. Simbolicamente, tem-se: dim A = U ou [A] = U Vamos dar mais um exemplo de como se calcula a função dimensão para grandezas derivadas 2 , usando o caso da velocidade. A unidade desta grandeza derivada é definida a partir das unidades do comprimento e do tempo: é o valor constante da velocidade com que um corpo percorre uma unidade de comprimento durante uma unidade de tempo. Esta escolha é determinada pelo sistema de grandezas , De agora em diante, sem pre que não for dito o con trário, consi derar-se-ão sis temas d a mesma classe d o SI. 87 escolhido em que a velocidade se relaciona com as grandezas de base comprimento (I) e tempo (t) através da expressão v=lIt. (3.3) Um raciocínio semelhante ao efectuado anteriormente para a área, envolvendo relações genéricas entre as unidades de comprimento e tempo de dois sistemas de unidades da mesma classe associados a um sistema de grandezas em que o comprimento e o tempo são grandezas de base, permitiria deduzir qual a dimensão da velocidade . No entanto, a função dimensão apresenta propriedades que permitem realizar este "cálculo" de uma forma muito mais expedita. Suponhamos que, na classe de sistemas de unid" des considerada, existe uma relação entre uma grandeza G e n grandezas G I , G2, , Gn, do tipo, •. (3 .4) A dimensão da grandeza G relaciona-se com as d!mensões das grandezas G I , G2 . . . ,G n da seguinte forma, (3.5) Ou seja: a função dimensão da grandeza G respeita formalmente a expressão que relaciona essa grandeza com as outras grandezas de que depende. Para calcular a dimensão da velocidade basta combinar a expressão (3.3) com a propriedade da dimensão expressa por (3.5). Essa dimensão será pois, [v] = [L] [t] " 1 U ma vez que l é um comprimento e t é um tempo, teremos então [v] = L T I (3.6) Vemos assim que, apesar da definição de dimensão necessitar da consideração de factores de transformação entre as unidades de base (o que a torna um pouco abstracta), a determinação da dimensão de uma dada grandeza numa classe de sistemas de unidades é simples desde que sej a conhecida uma relação como ( 3 . 3 ) entre essa grandeza e as grandezas de base. 88 AA3.5 A pressão (P) é uma grandeza que se defi n e , na classe de s i stemas de un idades a que pertencem o CGS e o S I , como uma força por unidade de área (a equação de defi n ição da pressão é p = FIA ) . Como se relacionam as un idades de pressão do SI (Pa - pascal) e do CGS (bária)? 3.2.4 A lgumas propriedades da dimensão A expressão (3.5) revela a primeira propriedade da função dimensão que é conveniente reter: a dimensão de qualquer grandeza física numa dada classe de sistema de unidades é um monórnio de potências das grandezas de base. No sistema internacional isto quer dizer que a dimensão de qualquer grandeza G é representada como, (3.7) As letras gregas a, �, y . . . são os chamados expoentes dimensionais da grandeza G. Para uma grandeza G, numa determinada classe de sistemas de unidades, os expoentes dimensionais tomarão valores constantes (números reais - negativos, positivos ou nulos) que definirão completamente a dimensão dessa grandeza. A igualdade (3.7) é demonstrável. grandezas, apelidadas de adimensionais (sem dimensões), que se representam apenas por valores numéricos sem qualquer unidade associada. Essas grandezas podem ser definidas de duas formas: pela razão entre duas grandezas da mesma natureza e, consequentemente, com a mesma dimensão; ou pela combinação d e v ári as grandezas de natureza e dimensões distintas, mas, como adiante veremos, dimensionalmente dependentes. Existem certas o ângulo é uma dessas grandezas: ao afirmar-se que um ângulo mede a radianos (a rad) quer-se dizer que a razão entre os comprimentos do arco e do raio de circunferência correspondentes a esse ângulo tem valor numérico a (ver figura 3. 1 ). Mesmo que o ângulo sej a medido em graus continua a ser uma grandeza adimensional definida a partir de uma razão entre dois comprimentos: um ângulo de 1 .0 é o correspondente, em radianos, à razão entre o comprimento de um arco de circunferência 360 vezes inferior ao perímetro desta e o comprimento do raio da circunferência. 89 r - raIO Figura 3 . 1 - Representação esquemática de um arco de comprimento s p ertencente a uma circunferência com raio de comprimento r, a fim de colocar em evidência o carácter adimensional do ângulo a. Em radianos, o valor do ângulo a é dado por s/r. Um outro exemplo de grandeza adimensional é o da densidade relativa. A densidade relativa do material de que é feito um objecto que ocupa um volume V, é definida como a razão entre a massa desse objecto e a massa de uma porção de uma substância padrão que ocupa o mesmo volume Ve se encontra em determinadas condições de pressão e temperatura. A densidade relati va de um sólido ou de um líquido é, em geral, definida a partir da razão entre a massa de uma porção desse sólido, ou líquido, e a massa do mesmo volume de água à temperatura de 4 °C e à pressão atmosférica normal. Verificamos assim que o valor numérico de qualquer grandeza adimensional que seja definida pela razão entre duas grandezas da mesma natureza é dependente não da escolha do sistema de unidades mas sim de um "padrão" de comparação. Portanto, uma vez definida, sem ambiguidades, a própria grandeza adimensional, o valor numérico desta vai ser independente do sistema de unidades. Sendo este tipo de grandezas adimensionais definidas através de uma razão entre grandezas da mesma natureza (e portanto da mesma dimensão) é fácil mostrar (utilizando 3.5) que estas grandezas adimensionais têm dimensão 1 . Além disso, podemos também afirmar que para uma grandeza adimensional todos os expoentes dimensionais são nulos. É possível ainda construir grandezas adimensionais a partir da combinação de potências de várias (mais de duas) grandezas com diferentes naturezas e dimensões. Estas grandezas adimensionais têm também dimensão 1 , todos os seus expoentes dimensionais são nulos e o seu valor numérico permanece inalterado em mudanças de unidades dentro da mesma classe de sistemas de unidades. Considere-se, como exemplo, as seguintes grandezas: a velocidade, v, a pressão, p, e a massa volúrnica p (a massa volúrnica de um corpo é, por definição, a razão entre a sua massa, m, e o seu volume, V: p m / V). Será possível construir uma grandeza adimensional a partir de um produto destas três grandezas se existirem (pelo menos) três números reais x, y e z que tomem verdadeira a seguinte igualdade: = 90 Esta igualdade pode ser reescrita utilizando as dimensões das grandezas envolvidas, e verifica-se se for possível resolver o seguinte sistema de equações: { x+ Z = O - 3x + y - z = 0 - y - 2z = O Demonstra-se facilmente que este sistema é possível desde que x = -z e y = -2z . O fac t o de o s i s t e m a de Assim, pode-se definir uma3 grandeza adimensional a partir da pressão, da j densidade e da veloc idade , e estas grandezas dizem-se dimensionalmente equações ter i n f i n i tas solu dependentes. ções quer apenas d i zer que as p o t ê n c i a s d a g r a n d e z a adimensional serâo também As grandezas G 1 , G2, . . , G" são dimensionalmente dependentes quando é possível adimens i o n a i s . a partir de um produto de potências de todas estas grandezas (todas de expoente não nulo) construir uma grandeza adimensional. Reciprocamente, as grandezas G 1 , G2, · · ,G" dizem-se dimensionalmente independentes quando é impossível a partir de um produto de potências (de expoente não nulo) dessas grandezas definir qualquer grandeza adimensional. A combinação da definição de grandeza adimensional com a propriedade das dimensões expressa através de (3.7) permite afirmar que celto tipo de relações entre grandezas são impossíveis em qualquer sistema de grandezas. Por exemplo, não é possível que uma grandeza G1 se relac ione com uma grandeza não adimensional G2 através de G 1 = log ( G2) , G 1 = exp (G), etc . De modo mais geral, só é possível haver relações do tipo G 1 = f (G2) em que f ( G) não é u ma potênci a de G2, se tanto G1 como G2 forem adimensionais. A. A3.6 Determine os expoentes d i mensionais das seguintes grandezas: área, volume, velocidade, força e pressão. 91 A. A3.7 Uti l ize a defi n ição de ângulo, ilustrada na figura 3. J , para mostrar que esta grandeza é ad i mensional . A. A3.8 Mostre que não é possível obter uma grandeza adi mensi onal a partir do produto de potências das g randezas força, massa volúmica e veloc idade ( i .e. estas grandezas são d i mensional mente i ndependentes) . A. A3.9 Mostre que a part i r de um produto de potênc i as das grandezas energia ( v e r 3 . 8 ) , fo rça e c o mp ri me n t o é p o s sível defi n i r u m a g randeza adi mensional ( i .e. estas g randezas são dimensional mente dependentes) . , Neste contexto, definimos d u as grandezas fís i c a s da mesma natureza como d u as grandezas que, embora dis ti ntas, são comparáveis ( p o d e estabelecer-se e n t re elas uma relação de ordem) . Convém também referir que a dimensão de uma grandeza não a define completamente e nem sequer define a natureza física dessa grandeza4• Existem grandezas (para além do exemplo óbvio das grandezas adimensionais) que têm a mesma dimensão mas naturezas distintas. Para clarificar este ponto vamos considerar três grandezas (energia cinética, trabalho de uma força e momento de uma força) e as suas dimensões na classe de sistemas de unidades a que pertence o SI. A energia cinética é uma grandeza que representa a energia possuída por um objecto pelo facto de se movimentar. A energia cinética E de um objecto de massa m, animado com uma velocidade v, é dada por (3.8) o trabalho de uma força é a grandeza que representa a energia adquirida por um objecto por acção de uma forç a que sobre ele actua. O trabalho W de uma força 92 c onstante de intensidade F que actua n u m obj ecto provocando-l he u m deslocamento d e um comprimento d no sentido da força é dado por, W= Fd (3.9) o momento d e uma força é uma grandeza definida para traduzir a sua capacidade de provocar movimentos de rotação num corpo. Permite explicar porque é que, para obter o mesmo tipo de movimento de rotação de uma porta (mesma velocidade e aceleração), teremos de utilizar uma força de intensidade cada vez maior se a aplicarmos num ponto cada vez mais próximo do seu eixo de rotação. A intensidade M do momento de uma força de intensidade F que é aplicada a um objecto num ponto que se encontra a uma distânci a R do eixo de rotação éS, M=FR (3 . 1 0) , R e s t r i ng i mo-nos ao c a s o em que o vector posição do ponto d e aplicação relativa m e n te ao eixo de rotação é perpendic u l ar Deixa-se ao leitor a demonstração de que e stas três grandezas têm a mesma à força. dimensão. AA.3.10 M ostre que a s três grandezas defi nidas p o r (3.8), (3.9) e (3. 10) têm a mesma d i mensão. Este exemplo serve para ilustrar as seguintes propriedades gerais das dimensões de grandezas : (i) duas grandezas com a mesma natureza têm necessariamente a mesma dimensão (trabalho e energia c inética, no exemplo anterior) ; (ii) duas grandezas com a mesma dimensão não têm necessariamente a mesma natureza (trabalho - ou energ i a - e momento de uma forç a, no exemplo anterior). Esta segunda propriedade não nos deve surpreender se tivermos em conta a definição que introduzimos para a dimensão de uma grandeza. A dimensão é apenas a forma geral de um factor numérico que permite a mudança de unidades entre s istemas de u n idades da mesma classe. Assim, o facto de duas grandezas apresentarem a mesma dimensão dentro de uma classe de sistemas de unidades apenas nos diz que o número pelo qual devemos multiplicar os valores numéricos dessas grandezas num determinado sistema de unidades para obtermos os seus valores numéricos num outro sistema de unidades da mesma classe é o mesmo. A dimensão de uma grandeza exprime apenas a invariância da lei físi c a para mudanças de sistemas de unidades da mesma classe. Finalmente, convé m relembrar uma consequência i mediata da definição de dimensão atrás referida: a dimensao de uma grandeza depende, em geral, do 93 sistema d e grandezas escolhido para definir a classe d e sistemas d e unidades. E m particular, s e considerarmos dois sistemas d e unidades definidos a partir d e dois sistemas de grandezas que têm grandezas de base diferentes, pelo menos algumas grandezas apresentarão diferentes dimensões. Podemos tomar como exemplo, o caso da forç a. No SI a sua dimensão é [F]= MK p S, a sua dimensão é [F] = F. É M L T 2 . No sistema de unidades c l aro que as leis físicas não podem ser diferentes em d i ferentes sistemas de grandezas, mas esta invariância j á não é expressa pela função dimensão. 3.3 Homogeneidade dimensional A definição de dimensão de uma grandeza permite a construção de um poderoso instrumento de análise de relações entre grandezas. Na verdade, as relações entre grandezas num determinado sistema de grandezas não se esgotam naquelas que são utilizadas para definir as unidades derivadas. Existem muitas outras "fórmulas" (como muitas vezes se chamam) que tanto podem ter um carácter muito geral como aplicar-se apenas a algumas situações particulares. Suponhamos então que G e uma série de outras G} , G2 . . . ,Gn , e que essa relação se pode representar, num determinado existe uma relação entre uma determinada grandeza grandezas sistema de grandezas, através de uma função F de n variáveis, (3. 1 1 ) Uma consequência imediata da definição de dimensão sobre a igualdade (3. 1 1) é a de que a dimensão de cada um dos membros nela envolvidos tem de ser igual, (3. 1 2) A invariância das leis físicas relativamente a mudanças de unidades dentro de uma mesma classe de sistemas de unidades exige que qualquer lei física obedeça ao princípio de homogeneneidade dimensional definido por (3. 1 2) . Dito de u m modo mais simples, n a expressão de qualquer l e i física os dois termos d a igualdade têm de ter a mesma dimensão. Qualquer relação entre grandezas só é, portanto, correcta se verificar o princípio de homogeneidade dimensional. No entanto, o princípio da homogeneidade dimensional é apenas uma condição necessária, mas não suficiente: uma relação entre grandezas pode respeitar o princípio da homogeneidade dimensional e não ser "verdadeira". A aplicação do princípio de homogeneidade dimensional pode ser i lustrada através de exemplos simples. Suponhamos que alguém. que j á aprendeu geometria há 94 muito tempo, se recorda de várias fórmulas relacionadas com circunferências e R, as expressões relevantes no cálculo de perímetros, áreas e volumes são rrR2, 2rrR, 4/3rrR3 e 4rrR2, mas, devido à passagem do tempo, já não se recorda das esferas. Assim, essa pessoa sabe que em c ircunferências e esferas de raio correspondências correctas. O princípio de homogeneidade dimensional aj uda a restabelecer essa correspondência por eliminação de hipóteses. Assim, a expressão que representa o perímetro da circunferência de raio R terá de ter dimensão L, e só pode ser portanto 2rrR. Por outro lado, a expressão correspondente ao volume de uma esfera terá de apresentar dimensão U: das possibilidades dadas, a única que pode ser correcta é 4/3rrR3. O princípio de homogeneidade dimensional não vai, no entanto, permitir determinar qual das duas restantes expressões vai corresponder à área do c írculo c ontido na c ircunferênci a de raio corresponderá à área da superfíc ie que l imita a esfera de raio R. R e qual Estas duas grandezas são ambas áreas e têm dimensão U e qualquer das expressões ainda disponíveis, 4rrR2 e rrR2 , tem também dimensão de área. Ou sej a: tanto a escolha rrR2 e área da superfíc ie esférica = 4rrR2", como a da circunferência = 4rrR2 e área da superfície e s férica rrR2" "área da c ircunferênc i a escolha "área = = obedecem ao princípio de homogeneidade dimensional. No entanto, apenas uma delas corresponde ao resultado correcto da geometria. Este exemplo ilustra que o princípio de homogeneidade dimensional serve apenas para testar se uma dada relação entre grandezas físicas pode estar correcta numa classe de s istemas de unidades. Isto acontece porque, como j á vimos, em muitas leis físicas aparecem constantes que são adimensionais. Estas constantes, qualquer que sej a o seu valor, têm sempre dimensão igual a 1 . Consequentemente a sua contribuição na análise das dimensões de relações entre grandezas é sempre a mesma, independentemente do valor numérico concreto que tomam. Existem, no entanto, algumas leis físicas que, em determinados si stemas de grandezas, envolvem constantes com dimensões. Todas as constantes universais, algumas das quais são apresentadas na tabela leis físicas. 1 .6 (p. 4 1), surgem em determinadas A aplicação do princípio de homogeneidade dimensional permite determinar a sua dimensão num qualquer sistema de grandezas. Vamos considerar, por exemplo, a lei de gravitação universal, expressa na c l asse de s istemas de unidades do S I . Essa lei (ver equação (3.2)) relac iona a força gravítica FG que actua num obj ecto devido à presença de outro com as suas massas (m e M) e a distância R entre eles, (3. 1 3) Nesta expressão G representa a constante de gravitação universal. Sendo uma lei física, a relação anterior tem de obedecer ao princípio de homogeneidade dimensional. A seguinte igualdade tem, por isso, de ser verificada: 95 [ ] [F ] = [G]X mM G R2 (3. 1 4) Considerando a classe de sistemas de unidades do SI podemos desenvolver esta expressão. A dimensão da força é j á conhecida e a da razão entre o produto de duas massas e o quadrado de uma distância é facilmente calculável, pelo que se obtém a partir de (3. 1 4), (3. 1 5) Fica assim determinada a dimensão da constante de gravitação uni versal na classe de s istemas de unidades do S I . A.A.3.11 Num movimento rectilíneo d e u m objecto e m que a aceleração é constante (movimento rectilíneo e u n i formemente acelerado) é possível calcular o espaço percorrido, aceleração, a, lei: s, ao fi m de u m tempo t u t i lizando os valores da e da veloc idade i n ic ial do objecto, vo ' através da seguinte I s = v o t + - at 2 2 Verifique a homogeneidade d i mensional desta expressão na classe de s istemas de u n idades do SI. 3 .4 Análise dimensional Vimos assim como a noção de dimensão, através do princípio de homogeneidade dimensional, permite verificar se uma função com n grandezas F que relaciona uma grandeza G GI , . . . ,Gn (ver equação 3. 1 1) é ou não aceitável. Vamos agora supor que, por alguma razão (por experiência, por intuição, etc) se sabia que uma determinada grandeza G se relacionava (em geral, ou no contexto de uma experiência concreta) com outras grandezas G I , . . . Gn , mas que a forma dessa relação (dada pela função F) era desconhecida. Será que a noção de dimensão de uma grandeza permite descobrir qual é essa função? A resposta a esta questão 96 é, curiosamente, sim e não. A noção de dimensão não vai permitir determinar completamente a função F, mas apenas (o que como veremos, já não é pouco) limitar as possibilidades de escolha dessa função. À fOlma de estudar problemas de Física (e de Engenharia) em que se tira partido da dimensionalidade de grandezas a relacionar para determinar as restrições à função que as relaciona chama-se análise dimensional. A análise dimensional é particulalmente impoltante em celtos ramos da Engenharia, nomeadamente na construção de modelos em estudos aerodinâmicos e hidrodinâmicos. Neste livro vamos apenas enunciar o teorema fundamental da análise dimensional e dar alguns exemplos simples da sua aplicação. Aos leitores interessados num estudo mais aprofundado deste tema indica-se a referência Barenblatt, 1 996. o teorema fundamental da análise dimensional é o teorema TI que aqui enunciare mos de uma forma tão simples quanto possível e sem o demonstrar. Consideremos então a grandeza G e as grandezas G I , . . . ,G e suponhamos que a dimensão de n G é um produto de potências das dimensões de apenas k (k menor ou igual do que n) dessas grandezas (todas não adimensionais). Designemos essas grandezas por a i ' . . . a k e teremos, (3. 1 6) Suponhamos ainda que a partir das grandezas G I , . . . ,Gn era possível construir m grandezas adimensionais TIl ' . . . TIm (i.e. que existiam m grupos de grandezas dimensionalmente dependentes entre as n grandezas GI , . . . ,GJ Então, o teorema TI afirma que a grandeza G será dada por G - ai - PI · · · ak p, "'(TI I ' · · · ' TI III ) '±' (3. 1 7) Assim, o problema de determinar uma função F de n variáveis é simplificado utilizando o teorema TI: passa a ser necessário determinar uma função <l> de m variáveis, em que m é menor ou igual a n. A importância deste teorema pode ser posta em evidência através dos exemplos que a seguir daremos. Consideremos, em primeiro lugar, o exemplo trivial da área de um círculo. U m círculo é, como sabemos da geometria, completamente caracterizado pelo seu raio. A sua área, A, será, consequentemente, apenas função do comprimento do seu raio, R. O problema de determinar a área de um círculo a partir do comprimento do seu raio é assim o problema de determinar a função F que relaciona A com R, A = F (R) (3. 1 8) 97 A aplicação do teorema II a este caso concreto começa por relacionar a dimensão de A com a dimensão de R (ver equação 3 . 1 6) : [A] [R] 2 . O segundo passo consiste em verificar se é possível construir uma grandeza adimensional através de um produto de potências das grandezas das quais A depende. Neste caso, A depende apenas de uma grandeza, R, mas ainda assim é possível construir uma grandeza adimensional, usando a potência J?O. Esta grandeza adimensional tem sempre o mesmo valor (Ro=l) qualquer que sej a R. A aplicação do teorema II a (3. 1 8) resulta assim em, = (3. 1 9) A simplificação introduzida pelo teorema II na passagem de (3. 1 8) para (3. 1 9) pode ser melhor entendida supondo que a fórmula da área de um círculo era desconhecida e que se tinha de determinar por um método experimental. A função F(R) teria de ser descoberta através da medição das áreas de vários círculos com diferentes raios. A introdução da análise dimensional no problema de determinar a função 3 . 1 8 permite descobrir esta função através de uma medida apenas. Medindo a área de um c írculo de raio conhecido determina-se a constante <D( l ) e, consequentemente, torna-se possível calcular as áreas de todos os círculos a partir do conhecimento do seu raio, sem necessidade de as medir directamente. É claro que este exemplo é meramente académico, uma vez que a relação entre a área de um círculo e o seu raio é conhecida há muitas centenas de anos, mas serve para ilustrar como a análise dimensional pode simplificar a abordagem a certos fenómenos mais sofisticados em que as relações entre as grandezas envolvidas são desconhecidas. com a vertical esfera (massa m) Figura. 98 3.2 - Representação esquemática do pênd ulo gravítico. Consideremos agora um exemplo um pouco mais complexo, o do período de um pêndulo gravítico (ver figura 3 .2). Um pêndulo gravítico é um objecto formado por uma partícula6 (em geral uma pequena esfera densa) de massa m, presa na ponta de um fio de comprimento I. Este fio encontra-se preso "ao tecto" e considera-se que a sua massa é desprezáveF. Todo o sistema se encontra sob a acção da gravidade. Sabe-se que em certas condições (quando os atritos são desprezáveis) o pêndulo, uma vez largado de um detenninado ângulo e relativamente à vertical, vai executar um movimento periódico, caracterizado pelo tempo que demora uma oscilação, T ( chamado período). Poder-se-ia, assim, avançar com a hipótese de que esta grandeza, T, se relaciona com as restantes grandezas referidas que caracterizam um pêndulo, por 6 Uma partícula é a designa ção d a d a para u m c o r p o qualquer cujas dimensões po dem ser des prezadas no es tudo do seu movimento. Não tem de ser um corpo peque no. 7 Esta hipótese i n t roduz-se apenas para s i m p l i fi c a r o que vai ser dito a seguir. A i n da que ela n ã o se veri ficas se. seria na mesma possível aplicar a análise dimensional T = F(l, m, e) (3 .20) A aplicação do teorema rI a este caso mostra, no entanto, que a igualdade anterior é falsa, qualquer que sej a a função F. Na verdade, não é possível obter uma grandeza com dimensão T através de potências das dimensões das grandezas I, m e e. Isto quer dizer que em (3 .20) falta pelo menos uma grandeza da qual o período do pêndulo tem de depender. O erro de (3 .20) toma-se óbvio se pensarmos que o pêndulo só se vai movimentar se estiver sob a acção da gravidade, i.e., se o corpo tiver pes08. A incorrecção verificada em (3 .20) pode assim ser corrigida através da introdução de mais uma grandeza de que T depende, a intensidade do peso, P: T= F(l, m, P, e) (3.2 1 ) As dimensões de I, m, P e e são conhecidas e é fácil ver que é possível combiná -las de modo a obter uma grandeza com a dimensão de T, ao movimento d o pênd u l o . 8 Con vém recordar que o peso de um corpo é uma for ça e q u e não deve ser con fundido com a sua massa. A massa de um corpo é i n va r i a n t e , não m u d a se o corpo mudar de posição. Já o p e s o d e pe n d e da a c ç ã o gravít i c a d a Terra ( o u da L u a , ou d e qualquer outro ob jecto d e grande massa que estej a "próximo" do corpo) e vai portanto variar com o (3.22) " I o c a l " em q u e se e n c o n tra. Verifica-se por outro lado que, a partir dessas grandezas, é possível construir apenas duas grandezas adimensionais: a constante Uá referida no exemplo anterior) e a própria grandeza e que, sendo um ângulo, também é adimensional. O teorema rI transforma, assim, (3.2 1 ), em T � C; t l/J( l , B) (3 .23) Esta expressão pode ainda ser mais simplificada se tivermos em conta a relação entre o peso e a massa de um corpo, P = m g, onde g é a aceleração da gravidade do local onde o pêndulo se encontra. A introdução desta relação em (3.23) resulta em 99 (3.24) Verifica-se assim que a análise dimensional do problema do pêndulo gravítico permitiu, em primeiro lugar, eliminar a hipótese traduzida por (3.20), conduzindo a uma nova reflexão sobre o problema e à introdução da grandeza peso na dependência do período. Este exemplo revela uma outra faceta da análise dimensional: a sua capacidade de rejeitar, em determinadas circunstâncias, certas relações entre grandezas propostas como possíveis. Em segundo lugar, a passagem de (3.2 1 ) para (3.23) (ou (3.24)) representa a substituição da determinação de uma função de 4 variáveis pela determinação de uma função de apenas uma variável. A. A.3.12 Um pêndul o de comprimento 1 ,0 m, colocado à superfíci e da Terra 2° com a vertical, u m apresenta, quando l argado de um ângulo e período T = 2,0 s . = S abendo que a aceleração d a gravidade n a Lua é 6 vezes i n ferior à aceleração da gravidade na Terra determine: a) o período deste pêndul o quando posto a osc i lar n a Lua, nas mesmas condições ; b) o comprimento de u m pêndulo que, na Lua, quando largado de u m ângulo d e 2°, apresenta u m período igual a 2,0 s . Terminamos este capítulo com mais um exemplo de aplicação da análise dimensional: vamos demonstrar o teorema de Pitágoras utilizando o teorema D. Consideremos o triângulo rectângulo ABC representado na figura 3.3. Suponha mos que o ângulo associado ao vértice C é o ângulo recto e que o ângulo associado ao vértice B é 8. O comprimento da hipotenusa é c, e os comprimentos dos catetos adjacente e oposto ao vértice B são, respectivamente, a e b. O teorema de Pitágoras traduz-se, assim, através da seguinte igualdade: (3.25) 1 00 A b c B a Figura 3.3 - Triângulo rectângulo utilizado para demonstrar o teorema de Pitágoras. A, B e C representam os vértices do triângulo e a, b e c os comprimentos dos seus c lados. O triângulo fica completamente definido pelos valores de e de e (o ângulo correspondente ao vértice B). A demonstração deste teorema inicia-se através da aplicação do teorema rr ao cálculo da área do triângulo. Uma vez que o ângulo e e o comprimento da hipotenusa c definem completamente o triângulo rectângulo, a sua área, A , será uma função destas duas grandezas, A = F(c,8) (3 .26) A área tem dimensão U, c tem dimensão L e o ângulo 8 é uma grandeza adimensional. Resulta assim, do teorema rr, que (3 .26) se pode simplificar e escrever da seguinte forma: A = c2 <1>( 1 ,8) (3 .27) A demonstração prossegue através da divisão do triângulo inicialmente considerado (figura 3.3) em dois triângulos semelhantes (figura 3 .4): esta divisão é efectuada pela linha perpendicular à hipotenusa do triângulo principal que passa no vértice C (linha tracejada na figura 3 .4). Obtêm-se desta divisão dois novos triângulos 1 tem hipotenusa de comprimento a e o ângulo associado ao vértice B é 8. O triângulo 2 tem hipotenusa de comprimento b e o ângulo associado ao vértice C é 89. Os triângulos 1 e 2 ficam pois definidos através do rectângulos. O triângulo comprimento das respectivas hipotenusas e do ângulo associado a um dos seus vértices. As respectivas áreas, A I e A z' serão, consequentemente: A I Az = F(b, 8). = F(a, 8) e Estas expressões simplificam-se se lhes aplicarmos o teorema rr (de fOlma totalmente semelhante ao efectuado para o triângulo principal), • Para verificar que este ân gulo é efectivamente Az = a 2<1>(1, B) = b 2 <1> ( l B) bas (i) a soma deste ângulo do triân gulo 2 com o ângulo a asso I tem de ser C do triân 90°; (ii) o triângulo I é, 90° - e. ciado ao vértice gulo ângulo a no de facto, a = AI e, ta ter em conta que: (3.28) , 101 A área do triângulo principal é igual à soma das áreas dos triângulos 1 e 2 (A =AJ +A ) e, consequentemente, utilizando (3 .27) e (3.28), vem: 2 A eliminação do f actor comum a todos os membros desta igualdade, <P( 1 ,8), resulta na obtenção da equação (3 .25) . Fica assim demonstrado o teorema de Pitágoras através da utilização do teorema TI. A b C / / / / / / / c:) / B Figura 3.4 - b C C a B Representação esquemática da divisão do triângulo da figura 3.3 em dois triângulos (1 e 2). Os triângulos 1 e 2 ficam completamente definidos pelos comprimentos das respectivas hipotenusas, a e b, e pelo ângulo e. A.A.3.13 Quando um objecto de massa m é largado de uma determinada altura próxima da superfície da Terra, ele vai percorrer uma distância, d, em um tempo, t. Supondo que a única força que actua no objecto durante a sua queda é o peso, P , todas as grandezas enunciadas se relacionam por d = F(m, P, t) Utilize o teorema TI para simplificar a função F. 102 RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DEAUTO-AVALIAÇÃO A.A.3. 1 Para as 6 grandezas indicadas podemos efectuar uma série de escolhas para as grandezas de base e para as derivadas. Nos exemplos que damos a seguir escolhemos sempre 3 grandezas de base e utilizamos algumas das relações já apresentadas no texto principal para determinar as grandezas derivadas em função das grandezas de base. 1 . Grandezas de base: massa (m), velocidade (v) e tempo (r) As grandezas derivadas são assim o comprimento (l), a aceleração (a) e a força (F). Para determinar relações destas grandezas derivadas com as de base utilizamos as equações v = lIt , a = vir e F = ma. A primeira destas equações permite determinar imediatamente o comprimento em função do tempo e da vel ocidade: i = vt. A segunda origina a relação entre a aceleração e as grandezas de base, a = vlt. Finalmente, a combinação da segunda e terceira equações, conduz à relação entre a força e as grandezas de base, F = mvlr. 2. Grandezas de base: comprimento (l), força (F) e tempo (t) As grandezas derivadas são assim a velocidade (v), a aceleração (a) e a massa (m). Para determinar relações destas grandezas derivadas com as de base utilizamos novamente as equações v = lIt ,a = vir e F= ma. A primeira destas equações permite determinar imediatamente a velocidade em função do tempo e do comprimento: v = i/t. A primeira e a segunda combinadas originam a rela ção entre a aceleração e as grandezas de base, a = I/t2. Finalmente, a combinação da segunda e terceira equações, conduz à relação entre a massa e as grandezas de base, m = F t21 i. 3. Grandezas de base: F, m e t. As grandezas derivadas são v, a e i. Para determinar relações destas grandezas derivadas com as de base utilizamos novamente as equações v = ilt , a = vlt e F = ma. Esta última equação permite a obtenção imediata de a = Fim. A combinação das segunda e terceira equações conduz à obtenção de v em função das grandezas de base, v = t Fim. E, finalmente, desta equação e de v = lIt obtém-se i = t 2 Fim. A.A3.2 a) A unidade de comprimento neste sistema é definida a partir da relação i = vt. Ou seja, neste sistema de unidades, a unidade de comprimento corresponde ao comprimento percorrido pela luz no vazio durante um ano. Um comprimento de 103 valor numérico X neste sistema pode ser assim interpretado como o corres pondente à distância percorrida pela luz durante X anos. Note que esta unidade de comprimento é muitas vezes utilizada para indicar distâncias a estrelas. Por exemplo, a estrela mais próxima da Terra, Alfa Centauro, encontra-se a uma distância de aproximadamente 4,3 anos-luz, o que quer dizer que ela corresponde à distância percorrida pela luz em 4,3 anos. b) Um sistema de unidades da mesma classe do que o definido na alínea a), pode ser construído escolhendo, pelo menos, uma unidade diferente para as mesmas grandezas de base. Assim, se em vez de o ano escolhermos, por exemplo, o segundo, construíremos um sistema de unidades da mesma classe. A unidade para a velocidade mantém-se, mas a unidade de tempo tem uma magnitude diferente. Neste novo sistema de unidades, a unidade de comprimento é o segundo-luz, uma vez que é téimbém definida a partir da relação l = vt e corresponde à distância percorrida pela luz em I s. AA 3.3 o comprimento cujo valor numérico no CGS é 1 0 é um comprimento de 1 0 cm. Logo, o seu valor numérico no S I é 0, 1 . A unidade de comprimento do CGS (UI) é o centímetro e a unidade de comprimento do SI é o metro (u) . Estas duas unidades 0,0 1 u . Assim, o factor numéri:�o que permite realizar a relacionam-se por UI 2 transformação de qualquer comprimento do CGS para o SI é L = 0,0 I . = AA 3.4 A unidade de massa do CGS é o grama (g) e a unidade de massa do SI é o quilograma (kg) . Estas unidades relacionam-se por I kg = 1 000 g. Assim, conhecendo o valor numérico de uma massa no S I, {mi}, é possível calcular o seu valor numérico no CGS {m2}' utilizando {m2}= 1 000 {mi}' AA3.5 A relação entre as unidades de pressão do S I e do CGS pode ser obtida a partir do cálculo da dimensão desta grandeza nesta classe de sistemas de unidades. Na verdade, a dimensão de uma grandeza é por definição o factor pelo qual se tem de multplicar o valor numérico dessa grandeza num determinado sistema de unidades para obter o seu valor numérico noutro sistema de unidades da mesma classe. Portanto, a questão colocada pode ser respondida transformando, por exemplo, o valor de 1 Pa (pressão unitária no S I) no correspondente valor em bárias (CGS ) . Calculemos então a dimensão d a pressão d e modo a , posteriormente, podermos calcular o factor que converte Pa em bárias. Utilizando a definição de pressão dada no enunciado, temos que 104 [PJ = [F] [Ali A dimensão da área é já conhecida, [A] = L2. A dimensão da força pode ser calculada a partir de ( 3 . 1 ) (com k =l ) que é a equação de definição da força para estes l sistemas de unidades: [F]= [m] [a] = M [a] em que a é a aceleração e m a massa. , A dimensão da aceleração é obtida tendo em conta que a sua definição nesta classe de sistemas de unidades é a = vlt (ver seccção 3 . 2 . 1 ) . Assim, a sua dimensão será [a] = [V]Tl = L T2. Consequentemente, a dimensão da pressão é o cálcul o do factor que converte Pa em bárias é efectuado a partir desta expressão e do conhecimento dos valores numéricos de L, M e T quando se passa do SI para o CGS. Estes factores são M = 1 000 (porque I kg = 1 000 g), L = 1 00 (porque 1 m = 1 00 cm) e T = I (porque em ambos os sistemas a unidade de tempo é o segundo) . O factor de transformação que procuramos é 1 000/ 1 00 = 1 0 e conse quentemente 1 Pa = 1 0 bárias. A.A3.6 Área: já vimos que a dimensão da área é U. Assim, os expoentes dimensionais da área serão a = 2 e todos os restantes nulos. Volume: o volume é definido, nos sistemas de grandezas mais usuais, através de V = P, em que l é o comprimento. Consequentemente, a dimensão de V será, [V] = [lF= U Os expoentes dimensionais do volume são todos nu los excepto a que é igual a 3. Velocidade: como se explica no texto principal, a dimensão da velocidade é [v] = LTI. Consequentemente, os expoentes dimensionais da velocidade são 1, Y -1, sendo os restantes nulos. ex = = Força: a dimensão da força (ver A . A 3 . 5 ) é MLT2. Os expoentes dimensionais são, portanto, a = I, � = 1 , Y = -2 e os restantes nulos. Pressão: a dimensão da pressão é (ver A.A 3.5) sionais são, portanto, a ML·IT2. Os expoentes dimen = -I, � = 1 , Y = -2 e os restantes nulos. A.A3.7 Na figura 3 . 1 , o ângu lo, a, é definido como a razão entre o comprimento do arco, s, e o comprimento do raio, r. Assim, sendo a = sir teremos também [a] = [s] / [r] 105 Como, [5] = [r] = L, então [ex] = I . Tendo dimensão 1, o ângulo é uma grandeza adimensional . A.A3.8 A grandeza adimensional com a forma mencionada só existiria se existissem três números reais x, y e Z (todos diferentes de zero) que permitissem obter, [F]'[p]Y[v]'= I (I) As dimensões de F e de v já são conhecidas. A dimensão da massa volúmica é facilmente calculada a partir da sua definição: sendo p = m/ V , em que m é a massa e V o volume, tem-se [pJ = M L·3 . Consequentemente a igualdade ( I ) transforma-se em o que dá origem ao sistema de equações, + {X Y x - = O {y 3 y + Z = O <==> - 2x - z = O = - x 4x + Z = 0<==> - 2x - z = O ··· { 2x = O <==> {Y = O z = O x = O Este sistema de equações tem, pois, como única solução x = Y = z = O. Consequen temente, não é possível obter uma grandeza adimensional a partir de um produto de potências da força, massa volúmica e velocidade. A.A3.9 Para mostrar que se pode definir desta forma uma grandeza adimensional basta calcular três números reais, x, y e z, todos diferentes de zero, que permitam obter, [E]'[F]Y[l]' = I Nesta expressão E é a energia, F a força e lo comprimento. Utilizando as dimensões destas grandezas, obtém-se Daqui resulta o sistema de equações, 106 mmtt X+y= O { 2x +y+Z = O � -2x-2y = O tiNI {- y--x Z = -X Este sistema tem pois diversas soluções em que x, y e z são diferentes de zero: para definir a grandeza adimensional basta escolher o valor para uma das variáveis e obter as outras através das relações y = -x e z = -x. Em particular, se escolhermos x = 1 , então y = z = - 1 , e a grandeza E FI [-I é uma grandeza adimensional. A.A3.1O A dimensão da energia cinética, E, é, [E] = [Yí m v2]= [1/2] [m] [vJ2 A dimensão da constante Y2 é 1 , a dimensão de m é M e a dimensão da velocidade, já anteriormente calculada, é LTI. Portanto, [E] = M U T2 A dimensão do trabalho, W, é, [W] = [F d] = [F] [d] Utilizando as dimensões da força e do comprimento, obtém-se, [W] = M U T2 Finalmente, a dimensão do momento de uma força, M, é [M] = [F][R] = MUT2 A.A3.11 A lei física dada no enunciado será dimensionalmente homogénea se todos os termos da igualdade tiverem a mesma dimensão, i . e. se se verificar, 107 Sendo s um comprimento temos [s] = L. Para o produto de uma velocidade por um tempo,vot, obtemos para a dimensão [vot] = [vo]T = L TI T = L. Finalmente para o termo Y2 o t2, temos que [ 1 /2 o t2 ] = [o] T2 = L T2 T2 = L. Todos os termos têm igual dimensão e por isso a expressão é dimensionalmente homogénea. A.A3. 1 2 A expressão que é necessário utilizar para resolver este problema é a equação ( 3 . 24) do texto principal, que relaciona o período t de um pêndulo gravítico com o seu comprimento, I, a aceleração da gravidade do local onde o pêndulo se encontra, g, e o ângulo do qual o pêndulo é largado, 8. Ao longo de todo este problema, o valor deste ângulo é constante, 8 = 2°, pelo que também a função <I> será constante. A fim de simplificar = <I> (I , ( ) ( para 8 = 2°) . A ex pressão 2 2 ( 3 . 24) tomará ao longo deste problema a forma particular, a notação chamaremos k a esta constante, k (I) No caso do pêndulo do enunciado, se considerarmos TT o seu período, lT o seu comprimento e gT a aceleração da gravidade terrestre, a expressão geral ( I ) fica, (2) Nesta ex.pressão, apenas conhecemos os valores de IT e T ' IT = 1,0m e TT = 2,0s. T a) Consideremos o período do pêndulo do enunciado quando colocado a oscilar na Lua, tL ' e a aceleração da gravidade na Lua, gL' A relação (I) fica neste caso, Utilizando o facto de a aceleração da gravidade na Lua ser 6 vezes inferior à aceleração da gravidade na Terra, gL em 108 = gT /6, esta expressão transforma-se Substituindo nesta expressão a equação (2) obtém-se, Assim, o período do pêndulo na Lua será TL =j6 TT = 4,9 s. b) Considerando o comprimento deste novo pêndulo como 'L e uma vez que o seu período é igual a tT, a equação ( 1 ) fica neste caso, A manipulação desta expressão de modo a obter o comprimento em função das restantes variáveis e a utilização do facto de gL = gT /6, resulta em, A partir da equação (2) pode-se concluir que e, consequentemente, 'L= '/6 = 0, 1 7 m. A.A3.13 Para simplificar a função F utilizando o teorema fI é necessário encontrar, em primeiro lugar, a combinação de potências das grandezas m, P e t cuja dimensão é a mesma de d. Este passo realiza-se encontrando a solução para o sistema de equações que resulta de [d] = [mY [ PP [tF Utilizando a dimensão já conhecida destas grandezas esta expressão é equivalente a' L = M< (MLT')'" T' 109 donde resulta o sistema de equações {X + Y =O y=l {X � -2y + z=O =-1 y=l z=2 o segundo passo da simplificação de F consiste em verificar se é possível com estas grandezas construir grandezas adimensionais, ou seja, resolver o sistema resultante de [m]" [P]V [t]"'= l que é A única solução deste sistema é Li = V = W = O e, consequentemente, a única gran deza adimensional que é possível construir com estas grandezas é uma constante (a que chamaremos k). Logo, a aplicação do teorema n ao caso descrito no enunciado permite concluir que, ficando assim simplificada a função F. 110 4. Erros e Incertezas nas Medições Objectivos Compreender algumas noções básicas relacionadas com as medições: Explicar a impossibilidade de obter um valor verdadeiro para a medida de uma grandeza. Indicar os significados do valor convencionalmente verdadeiro e da incerteza. - Explicar a estrutura conceptual de uma medição. Indicar o objectivo de uma medição. Etc. Saber descrever apropriadamente o funcionamento de um instrumento de medição: Identificar sinais de entrada e saída. Mostrar a importância do processo de calibração. Distinguir curva de calibração e característica de um instrumento de medição. Distinguir algumas propriedades de funcionamento do aparelho de medição, tais como intervalo de funcionamento, sensibilidade, dispersão e incerteza. Etc. Caracterizar os diferentes tipos de erro associados a uma medição: Identificar as fontes de elTO numa medição. Distinguir elTOS sistemáticos e erros aleatórios. Identificar elTOS de leitura. Indicar a vantagem da utilização do elTO relativo. - Etc. Compreender a necessidade de efectuar uma análise estatística dos erros aleatórios: - Estimar uma medida a partir do valor médio e do desvio padrão de um número elevado de medidas. 113 Definir grau de confiança e intervalo de confiança. Estimar uma medida quando o número de medições afectadas por erros aleatórios não é elevado. Compreender aprofundadamente a relação entre os erros nas medições indirectas e os erros nas medições directas: Calcular erros de medições indirectas a partir de erros de medições directas em casos simples. Indicar a forma geral de estimar erros de medições indirectas em qualquer caso. Exprimir resultados de medições directas e indirectas através da correcta manipulação dos algarismos significativos. 114 4.1 Introdução Uma grandeza é, por definição, mensurável e, consequentemente, quando consi derada como um atributo particular de um corpo ou de um fenómeno, tem de ser expressa por um valor numérico resultante da comparação com uma outra grandeza da mesma natureza que se toma para unidade. A grandeza a medir é designada por mensuranda e este processo de comparação chama-se medição. Ao longo do presente capítulo iremos analisar com algum detalhe as principais características deste processo. As medições fazem parte do dia a dia humano: desde o bilhete de identidade (que refere a altura do seu titular) até às compras que efectuamos envolvendo quilo gramas, litros, metros, etc. ou às contas da electricidade e do telefone que pagamos, estamos rooeados de valores numéricos resultantes de medições. Um conhecimento mínimo sobre a estrutura e as principais propriedades das medições é, pois, benéfico para todos. Os processos de medição podem ser muito simples ou muito complicados. A medição de um comprimento com uma régua é um exemplo de um processo de medição simples: envolve um instrumento e uma pessoa apenas. Certas medições efectuadas em grandes laboratórios de Física são exemplos de processos de medição muito complicados: envolvem centenas de aparelhos, centenas de pessoas e investimentos de milhões de euros. No entanto, todas as medições, independen temente do seu grau de complexidade, apresentam a mesma estrutura: existe uma grandeza a medir que "envia" um "sinal" para um instrumento de medição que, por sua vez, traduz esse sinal para o observador fornecendo-lhe um valor para essa grandeza. Aparentemente, o objectivo de qualquer medição parece ser sempre o mesmo: a determinação do verdadeiro valor da grandeza a medir. O que veremos ao longo deste capítulo é que a cadeia de processos que origina a obtenção do valor da grandeza vai impedir o conhecimento do seu verdadeiro valor: será apenas possível determinar u m intervalo de valores possíveis para a grandeza medida. Este facto pode ser ilustrado, através de um exemplo simples. Suponhamos que uma pessoa pretende medir a área de uma divisão da sua casa e que só dispõe para o fazer de uma régua de 50 cm. Mede os lados da divisão utilizando várias vezes a régua, e obtém um valor XI para a área. Uns tempos depois repete a medição, mas usando uma fita métrica metálica e comprida, de tal maneira que só necessita de utilizar este instrumento uma vez para cada lado da divisão. O valor X obtido para esta segunda medição é diferente de XI' Intrigada, a pessoa resolve 2 repetir a medição e fá-lo num dia de calor: para seu espanto obtém um novo valor, X · Para tentar resolver o problema, convida um amigo para repetir a 3 medição. Este traz uma outra fita métrica, mas obtém um valor X4 para a área. Repete a medição com a fita métrica do dono da casa e, espantado, obtém um valor X,. E assim sucessivamente, com outras réguas. outros amigos e outras 11 5 medições: por vezes os valores obtidos são iguais, mas em geral, são diferentes. É fácil compreender que era pouco provável que estas medições resultassem no mesmo valor: foram todas efectuadas em condições diferentes (diferentes instrumentos, diferentes condições ambientais, diferentes observadores) e, sendo assim, o processo de medição sofreu di versas influências. É claro que seria possível ir tentando aperfeiçoar o processo de medição, escolhendo "réguas" mais precisas e estáveis, ou aparelhos mais sofisticados cujo resultado da medição não dependesse tanto do observador. Ainda assim, continuaria a ser impossível determinar exactamente o verdadeiro valor da área, reduzindo-se apenas o intervalo de valores possíveis para esta grandeza. Chegamos assim ao primeiro resultado importante relativo à medição de grandezas: é impossível determinar através de um processo de medição o verdadeiro valor de uma grandeza. O resultado de uma medição é traduzido por um valor convencionalmente verdadeiro para a grandeza e por uma i ncerteza associada, proveniente de influências várias sobre o próprio processo de medição. Estes dois valores definem o intervalo de valores possíveis para a mensuranda. Assim, a medida de qualquer mensuranda é sempre uma expressão do tipo MEDIDA = [VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADEIRO ±INCERTEZA] [Unidade] (4. 1 ) A figura 4. 1 pretende representar de uma forma esquemática u m qualquer processo de medição. Num fenómeno físico está envolvida uma grandeza que se pretende medir (mensuranda). Para tal utiliza-se um instrumento de medição que recebe um sinal desse fenómeno e envia um outro sinal ao observador contendo o valor convencionalmente verdadeiro da mensuranda. Todo os passos deste processo são afectados pelas chamadas "grandezas de influência", que não são só factores ambientais, "externos", mas incluem também factores intrínsecos ao aparelho de medição e, por vezes, ao próprio observador. O observador deve realizar uma avali ação dos erros originados por estas influências e determinar a incerteza associada à medida. o objectivo de uma medição tem, assim, de ser reequacionado. Não é a obtenção de um valor verdadeiro para a mensuranda que está em causa, mas sim a de um intervalo de valores possíveis. A "arte" de medir reside, pois, na utilização de processos de medição em que a incerteza associada sej a "razoável", i .e., em que sej a obtido um intervalo de valores satisfatórios para a grandeza que se pretende medir. A realização de medições com significado pressupõe a capacidade de associar uma incerteza ao valor obtido na medição. Esta capacidade provém do conhecimento correcto do instrumento de medição, dos factores externos que possam influenciar o fenómeno observado, da qualidade do instrumento usado e da prática do observador, bem como do reconhecimento das limitações envolvidas. A avaliação de todos estes factores resulta na determinação de vários erros que afectam a medição efectuada; e, destes erros, é possível, finalmente, estimar 1 16 Incerteza Grandezas de influência Fenómeno Físico (grandeza mensuranda) \. .... Entrada no 1M Instrumento de Medição ( 1 M) Saída no 1M Observador Valor convencionalmente verdadeiro da mensuranda Figura. 4.1 - Esquema geral e conceptual de um processo de medição e do seu resultado (adaptado de A n tun e s S.D, , 1994). uma incelteza para a medida. Ao longo deste capítulo iremos identificar várias fontes possíveis de erro, os vários tipos de erro presentes e a forma como, a partir destes, se pode calcular a incerteza. Convém, para fechar esta introdução, referir que uma medida pode ser "correcta" sem que necessariamente tenha associada a menor incerteza possível. Voltemos ao exemplo da área da divisão de uma casa para explicar este ponto, supondo que os valores obtidos XI' ... Xs' rondavam todos os 20 m2• Como, usualmente, as áreas de divisões de habitações se exprimem em metros quadrados, seria inútil, embora possível, utilizar aparelhos de medição mais sofisticados do que os referidos que diminuíssem a incerteza do valor medido, permitindo, por exemplo, conhecer a área em cm2. Embora esta medida hipotética tivesse unia menor i ncerteza, só seria mais correcta se se pretendesse conhecer com este detalhe (cm2) o valor da área da divisão (o que não costuma suceder). Assim, o mais importante ao realizar uma medição é obter uma estimativa correcta da incerteza associada, para, posteriormente, poder melhorar o processo de medição, caso essa incerteza não sej a satisfatória. Tanto para estimar a incerteza de uma determinada medida como para escolher uma outra medição que conduza a uma menor incerteza, é necessário conhecer a origem dos erros de medição e as suas principais características. 1 17 4.2 Instrumentos de medição Um instrumento de medição é um sistema que recebe um sinal de entrada originado pela grandeza a medir (mensuranda) e emite para o observador um sinal de saída, chamado sinal de medição. Este sinal de medição tanto pode corresponder a uma grandeza da mesma natureza da mensuranda como a uma grandeza de natureza diferente. No caso, por exemplo, da medição de um comprimento com uma régua, o sinal de medição é o comprimento sobre a régua que corresponde ao compri mento que se pretende medir. A situação é diferente, por exemplo, no caso do velocímetro de um carro, o instrumento de medição que formece uma estimativa da rapidez instantânea de uma viatura. A grandeza mensuranda é uma rapidez mas o sinal de medição é o ângulo de que se desloca o ponteiro do velocímetro. Na maior parte dos instrumentos de medição, as variáveis de entrada e saída têm naturezas diferentes. A.A.4.1 Identifique as variáveis de entrada (mensuranda) e de saída (sinal de saída) dos seguintes instrumentos de medição: termómetro de mercúrio e biberão de bébé. Em qualquer dos casos, o instrumento de medição realiza uma correspondência bijecti va (ou de "um para um") entre o valor da mensuranda e o valor de um sinal de medição (a este valor chama-se valor transformado de uma mensuranda) . A realização desta correspondência só é possível porque o i nstrumento, antes de ser utilizado para medir valores desconhecidos de grandezas, foi calibrado. A calibração é a operação que, tomando como sinais de entrada valores conhecidos da grandeza mensuranda (padrões de medida), regista os valores dos sinais de saída correspondentes. Estas medições são efectuadas para várias grandezas padrão, ficando assim feita uma correspondência entre vários valores da mensu randa X e vários valores transformados Y. A calibração termina com o estabele cimento de uma interpolação entre estes pontos de modo a construir a curva de calibração, uma função que a cada valor X da mensuranda faz corresponder um valor Y do sinal de medição (ver figura 4.2a) . Voltando aos exemplos j á dados, a cal ibração d e uma régua corresponderia à sua própria construção: marcação de uma escala de comprimentos (mm, por exemplo) sobre um objecto l inear. A marcação desta escala só poderia ser efectuada uti 1 izando comprimentos já con hecidos comprimentos padrão. No caso , 118 do velocímetro a calibração consistiria em fazer a viatura deslocar-se com uma rapidez conhecida (padrão) e verificar qual o deslocamento angular do ponteiro correspondente a essa rapidez. Realizando esta operação para vários valores conhecidos da rapidez obtém-se uma correspondência entre valores do deslocamento angular do ponteiro e da rapidez que conduz ao desenho que todos conhecemos deste instrumento. A qualidade de um instrumento de medição depende criticamente da sua correcta calibração. A utilização de instrumentos incorrectamente calibrados conduz à realização de medições afectadas por erros sistemáticos a que nos referiremos posteriormente. Estes erros são dificilmente detectáveis, uma vez que, em geral, os utilizadores de instrumentos de medição não têm fácil acesso aos padrões que permitem corrigir a calibração. A calibração correcta torna-se particularmente importante no caso em que os instrumentos de medição são utilizados em actividades económicas ou comerciais. Na verdade, a calibração incorrecta de um instrumento pode ser prej udicial ou para o vendedor ou para o consumidor e introduzir "injustiças" nas transacções comerciais. É por isso que em quase todos os países existe uma instituição do Estado que procede à fiscalização (nalguns casos periódica) da calibração destes instrumentos. Em Portugal, essa instituição é, actualmente, o Instituto Português da Qualidade (IPQ). O leitor pode verificar a realização desta actividade em múltiplos locais comuns: por exemplo, em cada posto de abastecimento de gasolina encontra-se um selo do IPQ que refere a data da última fiscalização e a data em que se deve efectuar a seguinte. A calibração de um instrumento resulta na obtenção da curva de calibração, ou sej a no estabelecimento de uma relação entre um contínuo de valores da mensuranda, X, e um contínuo de valores do sinal de mediação, Y, para esse instrumento (ver esquema da figura 4.2, a)). y a) y b) x x Figura 4.2 - a) Curva de calibração de um instrumento de medição; os pontos represen tam os resultados da medição de vários valores padrão de X. b) Característica de um instrumento de medição. No entanto, esta função corresponde apenas a uma relação entre valores mais prováveis de X e Y: ao valor mais provável de cada padrão faz-se corresponder o valor mais provável do sinal de medição. Na verdade, numa calibração, várias 1 19 medições de cada um dos valores padrão de uma grandeza originam, em geral, diferentes valores para as respostas Y, uma vez que o aparelho de medição sofre sempre a acção de grandezas de influência. Por outro lado, os valores padrão utilizados estão também afectados de inceltezas, i.e., estão definidos por intervalos de valores. Finalmente, numa calibração utilizam-se apenas alguns valores padrão (alguns valores pré-definidos de X): a resposta do instrumento de medição para valores intermédios de X é estimada através de uma interpolação (as linhas que unem os pontos na figura 4.2,b). Todos estes factores fazem com que da calibração de um instrumento de medição resulte não uma função Y = F(X) (figura 4.2,a) mas uma área como a representada na figura 4.2,b , chamada característica do instrumento. A característica está definida em torno da c urva de calibração e exprime o facto de um valor do sinal de medição corresponder a um intervalo de valores da mensuranda e, recÍprocamente, o facto de um valor da mensuranda corresponder a um intervalo de valores do sinal de medição. A característica de um instrumento de medição permite definir, entre outras, as seguintes propriedades: • Intervalo de funcionamento • Sensibilidade • Incerteza • Dispersão Na figura 4.3 representam-se estas propriedades juntamente com o esquema da característica de um aparelho de medição (figura 4.2,b). Sensibilidade Y = dispersão incerteza incerteza < Xo x Intervalo de funcionamento Figura. 4.3 - Representação de algumas das propriedades de um instrumento de medição subrt: u t:SyUt:lll<l Ú<l SU<l L:<lr<lClt:rÍsLiL:<l (<lÚ<lpWÚU úe Antunes, S.D., 120 1994). o intervalo de funcionamento de um instrumento de medição é o conjunto de valores da mensuranda que o instrumento é capaz de medir. Num termómetro de mercúrio, por exemplo, graduado entre os 3 5 oe e os 42 oe , o intervalo de funcionamento é o conj unto de temperaturas superiores a 3 5 oe e inferiores a 42 o e . A dispersão associada a um instrumento de medição representa o intervalo de valores do sinal de medida, Y, obtido nas medições de uma mensuranda de valor X o (ver figura 4 . 3 ) . A dispersão de um instrumento de medição só pode ser deterITÚnada no processo de calibração uma vez que só aí se efectuam medidas de mensurandas cujos valores são conhecidos (valores padrão). Na verdade, como já foi dito, diferentes medições de um dado valor padrão da mensuranda, X o' utilizando o mesmo instrumento de medição, resultarão na obtenção de vários valores para o sinal de medição Y. Se estas medições forem repetidas várias vezes obter-se-á uma distribuição dos valores de Y resultante das medições de X o 1 • A incerteza associada a u m instrumento de medição é o intervalo de valores da mensuranda compatível com um determinado valor do sinal de saída Yo obtido numa medição (ver figura 4.3). Na utilização con·ente dos instrumentos de meclição, o valor da incerteza deve ser estimado pelo observador, de diversas formas, como adiante estudaremos. I Para um n ú mero s u fi c i e n · temente elevado d e medidas. esta dist ribuição assemelhar· se·á a uma distri buição nor mal de valor médio (e mais provável) 43). Yo (v e r figura A sensibilidade de um instrumento de medição é definida como o quociente entre a variação da resposta do instrumento de medição e a variação correspondente da mensuranda (na figura 4 .2,a) corresponderia à derivada de Y::::: F(X) ) . Na prática, pode ser estimada a partir da razão entre a dispersão (�Y) e a incerteza (� : �Y/M. A sensibilidade exprime a capacidade que o aparelho de medição tem em dar respostas diferentes quando o valor da variável de entrada se modifica. Assim, um aparelho de sensibilidade elevada apresentará sinais de saída de valores muito diferentes mesmo se os sinais de entrada tiverem valores muito próximos. A.A.4.2 Considere um termómetro de mercúrio capaz de medir temperaturas entre os 3 5°C e os 42°C. A escala assinalada neste termómetro está dividida em décimas de grau e o seu comprimento total é de 7 cm. Identifique o intervalo de funcionamento deste aparelho e faça uma estimativa da incerteza, da dispersão e da sensibilidade. 1 21 4.3 Erros em medições A determinação da incerteza é uma parte fundamental do processo de medição. A incerteza é estimada pelo observador a partir do conhecimento dos erros efectuados numa medição. Nesta secção classificaremos os diversos tipos de erro que podem surgir em qualquer medição. Estes erros são muitas vezes designados por erros experimentais, uma vez que um dos âmbitos mais imp0l1antes em que surgem é o das experiências científicas. Os erros experimentais podem dividir-se em dois grandes grupos: elTOS sistemá ticos e erros acidentais, aleatórios ou estatísticos. Os erros sistemáticos têm origem em influências ou perturbações que afectam de forma igual todas as medições de uma mesma grandeza. A presença deste tipo de erro implica que o valor da mensuranda obtido através de uma medição é sempre ou menor ou maior do que o seu verdadeiro valor . Os erros sistemáticos podem estar ligados ao observador, aos instrumentos de medição e aos factores ambientais que influenciam esta. Um exemplo de erro sistemático devido ao observador é o que ocorre na leitura de certos aparelhos onde um ponteiro se movimenta sobre uma escala fixa (como o já referido velocímetro de um automóvel) ou, recíprocamente, em que uma escala se movimenta em relação a um "ponteiro" fixo (como, por exemplo, em algumas balanças). Neste tipo de instrumentos o resultado da leitura depende da posição em que o observador se encontra quando interpreta o sinal de saída do instrumento de medição: se o observador mantiver uma dada posição em que não olha para a escala perpendicularmente a esta, obterá, sistematicamente, um desvio relativamente ao valor correcto (sempre maior ou menor dependendo da posição em que se encontre). A este erro costuma chamar-se erro de paralaxe. Ele é facilmente evitável através de um correcto posicionamento do observador e tende a desaparecer com a existência de um cada vez maior número de instrumentos de , Basta recordar q u e t a n t o medição munidos de escalas digitais2• o s velocí m e t r o s c o m o as b a l anças r e fe r i d a s como exemplo tendem a s e r subs t ituídas por aparelhos d i g i tais, i.e., q u e fornecem o valor medido sob a forma de algarismos. Os erros sistemáticos com origem nos instrumentos de medição estão associados a uma calibração incon-ecta do instrumento ou a valores internos desse instrumento que podem afectar a medição. Como exemplo de erro sistemático devido a uma calibração incorrecta conside remos o caso de um termómetro de mercúrio que se pretende que funcione entre os 20 °C e os 45 oe. O termómetro foi calibrado fazendo corresponder a certas temperaturas padrão os comprimentos de uma coluna de mercúrio: marcou-se no termómetro o ponto correspondente a 20 °C e o ponto correspondente a 45 °C e dividiu-se o segmento de recta que une esses dois pontos em, por exemplo, 250 divisões iguais. Suponhamos que, por engano de calibração, a última divisão não corresponde, de facto, à temperatura de 45 oe 122 mas à de 40 oe. Assin"l, quando o termómetro nos indica 45°C, o valor da mensuranda será de 40 oe. Este desvio para valores maiores do que os correctos obter-se-á para todas as medições efectuadas com este termómetro (embora o valor absoluto deste desvio diminua para menores temperaturas). Os erros devidos a calibrações incorrectas não são fáceis de detectar pelo utilizador comum dos instrumentos de medição, uma vez que, em geral, o utilizador não dispõe dos padrões necessários para proceder à sua correcção. Os erros sistemáticos provocados por uma característica interna do instrumento de medição apelidam-se por vezes de erros instrumentais. Um exemplo de erro instrumental é o que ocorre nos voltímetros, os instrumentos utilizados para medir diferenças de potencial eléctrico. O facto de o voltímetro possuir necessariamente uma resistência interna vai provocar o aparecimento de um erro sistemático que só será desprezável se essa resistência interna for muito maior do que a resistência da parte do circuito em que se mede a diferença de potencial. Os erros acidentais, estatísticos ou aleatórios são os que se manifestam na obtenção de valores diferentes na medição de uma mesma mensuranda (dispersão), quando esta é medida várias vezes nas mesmas condições. No fundo, traduzem a existência de grandezas de influência que não são controladas pelo observador (seja por ignorância ou por incapacidade). Tal como os erros sistemáticos, podem ter origem nos instrumentos de medição, nos observadores e em factores ambientais. Considere-se o pêndulo gravítico (ver capítulo 3) e uma experiência em que se procura determinar o período do seu movimento oscilatório utilizando um cronómetro manual. Para isso, larga-se o pêndulo de uma posição, iniciando-se a contagem do tempo e, depois de ele efectuar, por exemplo, duas oscilações completas, pára-se o cronómetro. Repete-se várias vezes esta experiência, registando o tempo medido, e tendo o cuidado de largar sempre o pêndulo da mesma posição inicial. Verificar-se-á que os valores obtidos para o período em cada medição serão , em geral, diferentes, o que se deve a diversos factores: o accionamento (de início e paragem) do cronómetro pelo observador que não é "exacto", a existência de movimentos de ar que afectam o movimento do pêndulo, etc. No entanto, nenhum destes factores provocará um desvio sistemático do valor obtido relativamente ao valor verdadeiro. Pelo contrário, numas medições o valor obtido será superior e noutras inferior (porque, por exemplo, o observador parou o cronóm�tro ligeiramente depois ou ligeiramente antes da passagem do pêndulo pela posição final). Esta característica dos erros aleatórios permitirá, como adiante veremos, efectuar o tratamento estatístico de um grande número de medições efectuadas e obter assim o valor convencionalmente verdadeiro para a mensuranda e a incerteza que está associada a este valor convencionalmente verdadeiro resultante dos erros aleatórios, a que chamaremos erros estatísticos. 1 23 A.A.4.3 No exemplo anterionnente referido da experiência do pêndulo identifique erros acidentais com origem no observador e em factores ambientais . Só faz sentido falar de erros aleatórios quando o número d e medições efectuadas para uma determinada grandeza, nas mesmas condições, é elevado (em geral 1 0) . Quando o número de medições é pequeno e, nomeadamente, quando é igual a 1 , um dos erros que se considera-se que este número deve ser superior a deve considerar é o chamado erro de leitura, que é o cometido ao ler a escala de um instrumento de medição. Este erro é determinado pelo facto de a escala de um instrumento de medição ter urna divisão mínima resultante da sua divisão, a chamada menor divisão da escala. Numa régua, por exemplo, graduada em mm, essa menor divisão é o mm e nos cronómetros digitais ela é, em geral, o centésimo de segundo. O erro de leitura vale metade da menor divisão da escala em instrumentos de medição em que a escala é contínua (como a régua, por exemplo) e é igual à 3 Deve-se, no entanto, refe rir que quando os cronóme tros d i g i t a i s são accionados menor divisão da escala em instrumentos em que a escala é discreta (como nos referidos cronómetros digitais3, por exemplo). Em muitos casos é possível, através da repetição de medições, obter erros estatísticos inferiores ao erro de leitura. manualmente tem de se con siderar u m o u t ro erro asso ciado: o que res ulta do cha mado tempo de reacção do observador. Este erro desa parece nos c r o n ó m e t ro s " automáticos" como os u t i l i zados e m certas c o m pe t i ções desportivas ( a t l e t i s mo. Fórm u l a I, etc . ) , restando só o erro d e leitura. A.A.4.4 Imagine que mede um comprimento de 2,5 cm efectuando uma só leitura numa régua graduada em milímetros. Represente o resultado desta medição na seguinte fonna, Medida = ( Valor convencionalmente verdadeiro ± erro) unidade. A determinação dos erros associados a uma medição é feita com vista a efectuar uma estimativa da incerteza de que é afectado o valor convencionalmente verdadeiro da mensuranda, Em termos dos erros, o resultado de uma medição deve ser expresso da seguinte forma, 124 [ MEDIDAI = [VALOR FORNECIDO PELO 1 M ' + ERRO DE LEITURA] [unidade] (ou -) ERRO S ISTEMÁTICO A comparação desta expressão com a expressão (4. 1 ) ± ERRO ESTATÍSTICO (4.2) ou J I n slrumenlo de med ição. da introdução leva imediatamente à identificação do valor convencionalmente verdadeiro como sendo o valor fornecido pelo instrumento de medição corrigido pela adição ou subtracção (consoante o caso) do eno sistemático e à identificação da incerteza com o eno estatístico ou eno de leitura. Tanto na expressão (4. 1 ) como na expressão (4.2) a incerteza e os enos estão expres sos de forma absoluta, i.e, como grandezas com as mesmas unidades da grandeza mensuranda. No entanto, é por vezes mais conveniente considerar os enos e a incerteza relativos, i.e., as razões entre os seus valores absolutos e o valor conven cionalmente verdadeiro (expressa depois em percentagem). Esta representação dos enos tem a vantagem de pennitir ter a noção da sua impOltância. Por exemplo, uma incerteza absoluta de 0,5 cm na medição de dois comprimentos cujos valores convencionalmente verdadeiros são 2 cm e 50 cm tem significados completamente distintos, que são mais facilmente expressos através do cálculo da incerteza reIativa. Esta vale 25% para o comprimento de 2 cm e 1 % para o comprimento de 50 cm. Assim, a incerteza na detenninação do comprimento menor parece mais importante uma vez que conesponde a 1;4 do valor convencionalmente verdadeiro. A.A.4.5 Determine as incertezas relativas associadas aos valores convencio nalmente verdadeiros 1 ,0 cm, 5 , 6 cm e 20,2 cm, obtidos através da medição (com uma só leitura) de três comprimentos com uma régua cuja menor divisão da escala é o mm. A.A. 4.6 Considere o termómetro incorrectamente calibrado que foi apresentado como exemplo na página 1 22 desta secção. Suponha que foram efectua das três medições de temperatura com esse instrumento, e que os valores lidos foram: 25°C, 30°C e 40°C. Determine o erro sistemático (absoluto e relativo) associado a cada uma destas medidas. 125 =;:::r 4.4 Análise estatística de erros aleatórios Referimos na secção anterior que certas medições se efectuam sob a acção de grandezas de influência não controláveis pelo observador e que originam o aparecimento de erros aleatórios, também chamados estatísticos ou acidentais. Estes erros manifestam-se no facto de os valores obtidos para a mensuranda serem umas vezes maiores e outras vezes menores do que o verdadeiro valor da mensuranda. Nesta secção vamos ver como é que é possível, a partir de um conjunto de medições efectuadas nas mesmas condições e afectadas por erros aleatórios, determinar o valor convencionalmente verdadeiro da mensuranda e a incerteza que afecta este valor. Suponhamos então que foram efectuadas N medições de uma mensuranda (N) 1 O) tendo-se obtido um conjunto de N valores: X I ' X2, • • • XN . Diz-se assim que estamos na presença de uma disttibuição da variável X. A qualquer disttibuição de uma variável podem ser associadas outras grandezas que a caracterizam. Estas grandezas podem ser estimadas utilizando os valores conhecidos dessa disttibuição. É possível, por exemplo, calcular o valor médio da disttibuição de X, representado por X . O valor médio é obtido, como se sabe, somando todos os valores Xi e dividindo o resultado da soma por N: r X = XI + X2 + ·· · + XN (4.3) N É também possível determinar uma medida da dispersão dos valores Xi em torno da média da distribuição X . Esta medida da dispersão é traduzida por uma grandeza chamada desvio padrão, designada pelo símbolo 5, e calculada da seguinte forma: s 126 = l (x l - x y + (X 2 - xy + " V N-l ( ,+ XN - xy _ (4.4) ;=1 N-l A.A.4.7 Considere duas experiências diferentes em que se mediram o seguinte conjunto de valores para um determinado intervalo de tempo (por exemplo, o período de oscilação de um dado pêndulo) : Experiência 1 : 2, I O s; 2, 1 5 s; 2, 1 3 s; 2, 1 5 s; 2, 1 4 s; 2, 1 2 s; 2, 1 6 s; 2, 1 4 s; 2, 1 1 s; 2, 1 4 s; 2, 1 2 s; Experiência 2: 2,2 1 s; 2, 1 2 s; 2, 1 5 s; 2, 1 0 s; 2, l l s; 2, 1 5 s; 2, 1 8 s; 2, 1 3 s; 2, 1 7 s ; 2, 1 4 s; 2 , l O s. Determine o valor médio e o desvio padrão das distribuições da variável intervalo de tempo associadas a cada uma destas experiências. A determinação do desvio padrão é importante porque esta quantidade indica se os valores Xi se centram mais ou se dispersam mais em torno da média X. De facto, um mesmo valor médio pode ser obtido tanto com valores Xi muito afastados da média como com valores Xi muito próximos dela, desde que (como se espera que aconteça em experiências com erros aleatórios) haj a um número sensivel mente igual de valores acima e abaixo do valor médio para desvios semelhantes. É o desvio padrão a quantidade que indica se os valores Xi estão, em média, muito próximos (pouca dispersão) ou muito afastados (dispersão elevada) do valor X . Uma vez calculados o valor médio X e o desvio padrão s associados aos valores medidos (X) para a mensuranda, é possível realizar uma estimativa razoável do valor convencionalmente verdadeiro desta e da incerteza que lhe está associada. Na ausência de erros sistemáticos, o valor convencionalmente verdadeiro da mensuranda X será igual a X e a incerteza associada será igual ao desvio padrão s dividido pela raiz quadrada do número de medidas, __ . Assim, a medida de JN uma mensuranda X resultante de um conjunto de N medições afectadas por erros aleatórios (todas realizadas nas mesmas condições) é dada por, Medida = [X ± S _ _ -lN ] [unidade] (4.5) 1 27 A.A.4.8 Considere o s resultados das duas experiências referidas em A . A A . 7 e calcule a medida do tempo resultante de cada uma delas. A compreensão mais completa da análise estatística de um conjunto de medições afectadas por erros aleatórios que conduziu a (4.5) exige que se explique ainda um outro conceito, o de intervalo de confiança. Na verdade, um resultado como (4.5) não define completamente o intervalo de valores possíveis para a mensuranda, mas apenas um intervalo de valores onde existe uma determinada probabilidade (chamada grau de confiança) de se encontrar o verdadeiro valor da mensuranda. Um intervalo de confiança é, assim, um conjunto de valores para a mensuranda que contém, com uma determinada probabilidade (grau de confiança), o seu verdadeiro valor. , As afirmações q u e se se guem são apenas válidas para d i s t ri b u i ç õ e s n o r m a i s d o s resultados das medições. D a d o o carácter e l e me n t a r deste m a n u a l não j u s t i fica remos estas afirmações nem demonstraremos as relações entre o grau de confiança e o grau de confiança associado a um determinado intervalo de confiança pode ser determinado a partir do desvio padrãos . Por exemplo, a expressão (4. 5 ) corresponde a um grau d e confiança d e 68 , 3 % ; o u sej a o verdadeiro valor d a grandeza X tem uma probabilidade d e 6 8 , 3 % d e pertencer ao intervalo (de con fiança) representado por essa expressão. É claro que aumentar o grau de confiança implica alargar o intervalo de confiança, i.e., aumentar o número de valores nele contidos. Pode-se mostrar que se considerarmos um intervalo de confiança, o desvio padrão de que fare mos u s o . D i re m o s s im p les mente que nos casos e m que é efectuado um n ú mero ele X ± 2 5 _ _ .JN , então o grau de confiança será de 95 ,45% ; e que se expandirmos vado de medições da mesma m e n s u randa, a m a i o r i a das distribuições dos valores ob o intervalo de confiança para X t i d os tende para u ma d i stri b u ição normal. ± 3 5 _ _ .JN , o grau de confiança aumentará para 99,7 % . Quando o número d e medições d e uma mesma grandeza, efectuadas de forma semelhante, e afectadas por erros aleatórios, não é muito elevado (N< 1 0), então têm de se utilizar outros métodos para estimar a incerteza. Nestes casos, costuma se utilizar também a média dos valores medidos c omo estimativa do valor convencionalmente verdadeiro. No que respeita à incerteza, podem-se escolher duas estimativas: (i) o maior dos módulos dos desvios dos valores X1 relativamente à média X , isto é o valor máximo de entre todos os números IXI - X I 1 28 (ii) a média dos módulos dos desvios em relação à média X , ou sej a o valor de: inc ertez a = 1 N I I x xl N - _ i i=1 - Estes valores só devem, no entanto, ser utilizados se forem maiores do que o erro de leitura. No caso de serem menores, deve-se tomar como valor para a incerteza o erro de leitura. É claro que quando existe só uma medição, a incerteza só pode ser igual ao erro de leitura. 4.5 Propagação de erros As medidas de grandezas obtidas através de medições directas são muitas vezes utilizadas no cálculo das medidas de outras grandezas que com elas estão relac ionadas (medição indirecta) . O verdadeiro valor das grandezas medidas é desconhecido: dispõe-se apenas de valores convencionalmente verdadeiros e de incertezas, ou sej a, de um intervalo de valores possíveis para c ada uma dessas grandezas. A utilização de valores medidos de grandezas no cálculo do valor de outra grandeza resultará necessatiamente na obtenção não de um verdadeiro valor para esta última mas de um intervalo de valores possíveis para ela. A esta propriedade costuma-se chamar propagação de erros. Nesta secção explicaremos como se efectua a estimativa do verdadeiro valor de uma grandeza e da sua incerteza, quando essa grandeza está relacionada com outras grandezas cuj os valores convencionalmente verdadeiros e as incertezas são conhecidos. Principiemos com o exemplo da área de um rectângulo. S uponhamos que se pretende saber a área de uma folha de papel rectangular. Utilizámos uma régua graduada para medir os comprimentos dos seus lados e obtiveram-se os seguintes resultados: Medida do l ado 1 = [XI ± �X ) [cm] Medida do lado 2 = [X2 ± M2] [cm] A área de um rectângulo é c alculada, como se sabe, através do produto dos comprimentos dos seus lados. No entanto, o verdadeiro valor destes comprimentos é desconhecido. Procede-se então multiplicando as medidas obtidas ou sej a, O desenvolvimento desta expressão resulta em, 1 29 o termo M2 M I da expressão anterior é muito menor do que X2MI +X I M2 (só assim as medidas dos comprimentos têm significado) e, portanto, pode-se ignorar. A expressão para a área do rectângulo simplifica-se e tem a seguinte forma fmal: Fica assim determinado o intervalo de valores possíveis para a área do rectângulo. O valor convencionalmente verdadeiro para a área é X I X2, ou seja, o produto dos valores convencionalmente verdadeiros dos comprimentos dos seus lados. A incerteza é, por seu turno, não só uma função das incertezas associadas às medidas dos lados, mas também dos valores convencionalmente verdadeiros dos seus comprimentos : X2MI +X I Mr A.A .4.9 o raio de uma circunferênci a mede ( 5 ,20 ± 0,05) cm. Calcule o perímetro da c ircunferência e a área do círculo que é por ela l imitado. Formulemos, agora, o problema de uma forma geral. Suponhamos que uma Y se relaciona com uma série de grandezas A J " .A N através de uma função F conhecida, Y = F(A I , A N) . Consideremos ainda que foram medidos grandeza • • • • •, valores de A , . . . A , e que dessas medições resultaram intervalos de valores I N possíveis para essas grandezas, Pretendemos saber qual é O valor da grandeza Y, relacionada com as grandezas Ai por meio da função F: qual é o seu valor covencionalmente verdadeiro e qual é a incerteza associada. De uma maneira um pouco mais formal pretendemos transformar a expressão tipo Y = Y = F(A lo ± M IO' . . . . A N O ± M No)' numa expressão do Yo ± �Yo' O formalismo matemático que permite realizar esta passagem, embora relativamente simples, excede um pouco o âmbito deste manual. Assim, a resolução completa deste problema encontra-se destacada do texto principal na caixa 4. 1 . Aqui convém apenas realçar que o cálculo do valor conven-cionalmente verdadeiro para a grandeza dependente, Yo' é feito pela introdução dos valores convencionalmente verdadeiros das grandezas medidas na função que relaciona 1 30 estas grandezas: Yo = F(A 1 0 ' . . .A NO )' Já o c álculo da incerteza é um pouco mais complexo e vai depender das diferentes derivadas parciais da função F (ver caixa 4. 1 ) . Note-se que, nalguns casos (como o dado no primeiro exemplo para a área de um rectângulo), a estimativa da incerteza pode ser efectuada de forma equivalente sem recorrer a essas noções mais sofisticadas. . CAIXA 4. 1 Estimativa do erro em medições indirectas Considere-se o problema enunciado no texto principal, o de como transformar uma expressão do tipo Y = F(A I O ± M Io' . .., A NO ± M NO ) numa expressão do tipo Este problema resolve-se efectuando uma expansão em série de Taylor da função ± M IO ' . . . , A N O ± M N O) em torno do ponto (A J O' ..., A NO ) e supondo, seguidamente, que todos os valores Mi O são pequenos. Esta expansão em série de Taylor resulta em, F (A I O A consideração de que os valores de MiO são pequenos permite desprezar os termos da série de Taylor não representados explicitamente nesta expressão (apenas i mplicitamente através do símbolo . . . ). Além disso, o sinal ± pode ser colocado em evidência desde que as derivadas parciais de F, pelos seus módulos. Obtém-se, assim, aF aAI- , sej am substituídas Esta igualdade permite identificar imediatamente o valor convencionalmente verdadeiro de Y, 13 1 e a incerteza associada a Y, 4.6 Algarismos significativos A representação dos valores de grandezas resultantes de medições directas ou indirectas é feita através de dois números reais, o valor convencionalmente verda deiro e a incerteza. A incerteza detennina o intervalo de valores possíveis para a grandeza em torno do valor convencionalmente verdadeiro. A existência deste intervalo de valores possíveis para a grandeza vai i mpor uma forma cOlTecta, significativa, de escrever o valor convencionalmente verdadeiro dessa grandeza. Suponhamos que se realizavam várias medições de um comprimento nas mesmas condições, estimando-se o valor convencionalmente verdadeiro através da média (por exemplo, 3 1 ,3 1 47923 m) e o valor da incerteza através do desvio padrão (por exemplo, 0,02378456 m). A representação COlTecta do resultado desta medida não é (3 1 ,3 1 47923 ± 0,02378456) m. Na verdade, o que é correcto é anedondar a incerteza para um valor com um número "razoável" de algarismos e proceder a um anedondamento coerente do valor da medida. Neste caso dever -se-ia arredondar a incerteza para 0,02 m e considerar o valor da medida como 3 1 ,3 1 m. Em geral, a incerteza e o valor medido devem ter o mesmo número de casas decimais e não tem significado representar a incerteza com mais do que um algarismo não nulo, por razões que passamos a explicar. Suponhamos que, pretendendo aumentar o grau de confiança do resultado da medição, conside rávamos o valor da medida compreendido entre 3 1 ,29 1 m e 3 1 ,339 m. Vemos imediatamente que os 2 primeiros algarismos, 3 e 1 , fazem parte do verdadeiro valor da medida e que o terceiro algarismo por arredondamento será sempre 3 ; isto é , ao considerarmos o valor 3 1 ,3 m o s algarismos são exactos. O algarismo seguinte da medida, o dos centímetros, já é duvidoso pois 3 1 ,29 1 m anedonda-se para 3 1 ,29 m e 3 1 ,339 m para 3 1 ,34 m. Já se trata, portanto, de um algarismo aproximado. O algarismo seguinte, o dos milímetros, perde todo e qualquer significado quando é celto que o algarismo anterior, o dos centímetros, já é duvidoso. Os algarismos significativos são, apenas, os 4 primeiros : 3 , 1 , 3 e 1 . 1 32 A incerteza de 2 centímetros (0,02 m) faz com que o algarismo dos centímetros sej a um algarismo aproximado. A medida deve ser expressa na forma, (3 1 ,3 1 ± 0,02) m, se recorrennos aos algarismos significativos, ou na forma 3 1 ,3 m se utilizarmos apenas os algarismos exactos. Par·a formalizarmos e generalizarmos o conceito de algar"ismo significativo vamos apresentar três definições: Algarismo exacto de uma medida é todo aquele que corresponde a um erro inferior a uma unidade da sua ordem decimal. Algarismos aproximados de uma medida são todos os que não são exactos. Algarismos significativos de uma med ida são todos os algarismos exactos mais o primeiro (o de maior ordem decimal) aproximado. Um exemplo simples ajuda a compreender estas definições. Numa medição de um comprimento com uma régua vulgar, cuja menor divisão é o milímetro, após várias leituras, obteve-se para a medida (4 1 ,7 ± 0,2) mm. Os algarismos exactos são o 4 e o 1 e o algarismo aproximado é o 7. Em qualquer das leituras, o algarismo das décimas de milímetro foi sempre lido por estimati va e a incerteza final mostra que não podemos fazer corresponder ao algarismo 7 (o das décimas de milímetro) um eITO inferior a I décima de milímetro (a incerteza é 0,2 mm). Logo, o algarismo 7 já é um algarismo aproximado, sendo o último dos algarismos significativos. Se em vez da régua em milímetros usássemos um palmer (instrumento que permite ler comprimentos da ordem de grandeza das centésimas de milímetro) e, após várias leitura obtivessemos para o mesmo comprimento a medida (4 1 ,70 ± 0,03) mm, já teríamos três algarismos exactos (4, 1 e 7) e quatro algarismos significativos (4, 1 , 7 e O). A representação de uma medida apenas com algarismos exactos é uma manifestação do conhecimento da incerteza associada aos valores obtidos para a grandeza. Este ponto é de tal fOlma importante e utilizado que, em muitos casos, a escrita da incerteza é omitida uma vez que, a partir do número de algarismos exactos com que é escrito o valor convencionalmente verdadeiro de uma grandeza, é possível estimá-la. Já a escrita da medida com algarismos significativos obriga a que seja apresentada a incerteza, pois não temos conhecimento exacto do último algarismo da medida. Por exemplo, dizer que o valor numérico de um comprimento é 4,5 m corresponde, sem necessidade de referir explicitamente a incerteza, a dizer que esse comprimento está contido no intervalo ]4,4; 4,6[ (m). 1 33 A.A.4.1 0 A massa de um corpo foi medida e obteve-se o valor 2,00 kg. A massa de um outro corpo foi medida com outro instrumento de medição tendo -se obtido o valor 2,0 kg. Os corpos têm a mesma massa? Comente. o número de algarismos significativos do valor numérico de uma grandeza "conta -se" da seguinte forma: da esquerda para a direita; começa-se no primeiro algarismo não nulo e termina-se no primeiro algarismo que é afectado pela incerteza; cada um destes algarismos do valor numérico é um algarismo significativo; se o primeiro algarismo da contagem anterior for igual ou superior a 5 faz-se-Ihe corresponder dois algarismos significativos. A aplicação deste algoritmo à contagem dos algarismos significativos dos valores numéricos 4 1 ,7 mm e 4 1 ,70 mm correspondentes ao exemplo já dado, é imediata: 4 1 ,7 tem três algarismos significativos (começa-se no 4 e termina-se no 7, que é o primeiro algarismo afectado pela incerteza superior a uma undiade da sua ordem decimal); 4 1 ,70 tem 4 algarismos significativos (começa-se no 4 e termina-se no O, que é o primeiro algarismo afectado pela incerteza superior a uma unidade da sua ordem decimal). , A.A.4. 1 1 Determine o número de algarismos significativos dos seguintes valores de comprimentos: 1 ,2 1 0 m; 1 2 1 ,0 cm; 56,78 m; 1 00,4 m; 7 54,2 m. 134 Convém referir que quer o número de algarismos significativos quer o número de alga rismos exactos são, em muitos casos, mais facilmente colocados em evidência se for utilizada a chamada notação científica, que procma representar os valores numéricos das grandezas em potências de 10. Consideremos por exemplo o valor da massa da Terra. Este valor é, em kg, 5 980 000 000 000 000 000 000 000. Esta representação não é a mais adequada pois não permite saber se os 22 zeros correspondem de facto a um valor medido (i.e. se a massa da Terra é conhecida com 26 algarismos significativos) ou se, simplesmente, corTespondem à incerteza dessa medida a partir dos 1 021 - 1 022 kg. A massa da Terra deve pois ser escrita de uma maneira muito mais clara utilizando a notação científica, 5,98 x 1 024 kg. Nesta representação fica mais claro que existe uma incerteza de aproximadamente 0,0 1 x l 024 kg na medida desta grandeza. o número de algarismos significativos de uma medida está de acordo com a ordem de grandeza da incerteza relativa que a afecta. Por incerteza relativa entende se o quociente da incerteza absoluta pelo valor convencionalmente aceite. Vamos supor que medimos a massa de um corpo com duas balanças de sensibilidades diferentes e que, depois de várias 1eitmas, se obtiveram os seguintes valores, (25 , 24 ± 0,02) mg (25,247 ± 0,004) mg A incerteza relativa da primeira medida foi 2/2524 e a sua ordem de grandeza é 1 0.3. A incerteza relativa da segunda medida foi 4/25247 sendo a sua ordem de grandeza 1 0-4, ou sej a dez vezes menor. Há um acordo com o facto de a segunda medida ter mais um algarismo significativo que a primeira. A.A.4.12 Determine a incerteza relativa associada às seguintes medidas de dois comprimentos, ( 20,4 ± 0,2) mm ( 8 1 ,2 ± 0,3) mm Verifique que existe um acordo entre a ordem de grandeza das incertezas relativas e o número de algarismos significativos. 135 A utilização de valores medidos directamente de outras grandezas (medição indirecta) envolve, como j á vimos, uma incerteza nas medidas indirectas devido à propagação dos erros. A estimativa desta incerteza "propagada" é realizada, de forma rigorosa, através do método enunciado na secção anterior. No entanto, é possível, através da correcta manipulação dos algarismos exactos e significativos dos valores das grandezas medidas directamente, obter estimativas das incertezas das medidas indirectas, i.e., representar estas com o número correcto de algarismos significativos. Esta estimativa é realizada aplicando uma série de regras. Enumeraremos algumas delas depois de as ilustrarmos com exemplos. O princípio geral que rege a elaboração destas regras é o de que não é possível obter um valor medido indirectamente (portanto resultante de cálculos) com uma incerteza relativa de ordem de grandeza menor do que a de qualquer dos valores obtidos em medições directas (utilizados nesse cálculo). Comecemos por considerar o caso em que se pretende determinar a área de um rec tângulo, conhecendo as medidas dos seus l ados. Suponhamos que, por exemplo, essas medidas eram 1 2,4 cm (3 algarismos s ignificativos) e 5 ,7 1 cm (4 algarismos significativos). O produto destes dois números é 70,804. No entanto, 70,804 cml não é um valor aceitável para a áre ..1 do rectângulo, uma vez que representmia o conhecimento de uma área em milésimas de cm2 a partir de medidas conhecidas até às décimas ou centésimas de cm. A contagem de algarismos significativos permite tornear este problema se considtrarmos que o resultado [mal tem de ter o mesmo número de algarismos significativos do que o comprimento que os tem em menor número. O número mais próximo de 70,804 com 3 algarismos significativos é 7 1 . Por isso, um valor correcto para a área do rectângulo é 7 1 cml. Este exemplo resulta da regra de determinação dos algarismos significativos de valores de grandezas que são obtidas por produtos (ou quocientes) de medidas: o número de algarismos significativos dos valores calculados é igual ao número de algarismos significativos do factor do cálculo que os tenha em menor número. A.A.4.13 Determine a rapidez média de um corpo que percorre 5 1 ,0 cm em 3 , 1 s. Nas operações em que o valor de uma grandeza é obtido exclusivamente a partir do valor de outra, o número de algarismos significativos do resultado dever ser i gual ao número de algarismos sign i ficativos do valor uti l i zado no seu cálcu l o . [ 36 Exemplos de operações deste tipo são, entre outras, as potências, o logaritmo e a exponencial6. Assim, por exemplo, se soubermos a área de um quadrado com um determinado número de algarismos significativos conheceremos o comprimento do seu lado com esse mesmo número de algarismos significativos. 6 Recorde do capítulo 3 que certas operações só se p o · d e m rea l i zar sobre gra n d e · z a s a d i mensionais. A.A.4.14 Calcule, recorrendo à máquina d e calcular e respeitando a s regras dos algarismos s ignificativos, os seguintes valores numéricos: M ; exp ( - 1 ,5 ) ; log (25,3) Às duas regras j á enunciadas vamos acrescentar uma outra respeitante à utilização de constantes na medição indirecta de grandezas. De facto, muitas das constantes utilizadas na determinação, por meio de cálculos, de valores de grandezas são números irracionais (como rr) ou, tendo sido medidas experimentalmente, são conhecidas com alguma incerteza (como a constante de gravitação universal) . Estas constantes devem ser utilizadas nos cálculos de tal forma que possuam pelo menos mais um algarismo significativo do que o valor medido directamente que apresente o maior número de algarismos significativos. Se, por exemplo, o raio de um CÚ'culo for de 5 1 ,2 m (4 algarismos significativos) e pretendermos determinar o seu perímetro basta utilizar 3 , 1 4 1 6 como aproximação para rr. Nestas condições, ao produto de uma constante por um valor numérico aplica-se a regra dos algarismos significativos de um produto. Se não for possível conhecer a constante envolvida nos cálculos com uma incerteza inferior aos outros valores que nele intervêm, então devem-se aplicar também à constante as outras regras (nomeadamente a do produto). Em muitos casos, a determinação dos valores de umas grandezas a partir dos valores medidos directamente tem de ser efectuado através de uma sucessão de cálculos. Neste caso, utiliza-se ainda uma outra regra que é a seguinte: nos cálculos intermédios utilizam-se valores com mais um algarismo significativo do que o número de algarismos significativos do resultado final . Consideremos, por exemplo, a determinação do volume de um cilindro de altura 2 1 ,20 cm e cujo raio da base é 3 ,74 cm. O volume do cilindro pode ser calculado através do produto da sua altura pelo quadrado do raio da base e por rr, daqui resultando o valor 93 1 ,5988 . Para que o resultado venha expresso com os algarismos significativos que devem ser considerados, vamos começar por ver que, neste caso, o resultado final só pode ter 3 algarismos significativos, uma vez que um dos factores tem 3 algarismos significativos e o outro 4. A constante rr deverá ser usada com 4 algarismos significativos: 3, 1 42 . O quadrado de raio da base é 13 , 9 8 7 6 . Caso fosse o valor . . . 1 37 final, aproveitaríamos 3 algarismos significativos ( 1 4,0), mas como é um valor intermédio aproveitam-se 4 algarismos significativos ( 13 ,99). Multiplicando pela altura (2 1 ,20) obtemos 296,588. Como ainda se trata de um valor intermédio aproveitam-se 4 algarismos significativos (296,6). Finalmente, o produto por n (3 1 ,42) dá 93 1 ,9 1 . . . Sendo o valor final só pode ter 3 algarismos significativos. Consequentemente, o valor numérico do volume do cilindro é 9,3 X 1 02 cm'. Foi necessário usar a notação científica para que ficasse mais claro o número de algarismos significativos deste resultado. No caso de serem usadas calculadoras (em que os valores numéricos são representados com um número de algarismos significativos superior ao do resultado final) é possível obter o valor final da grandeza medida indirectamente a partir da representação, com o número de algarismos significativos correcto, do último valor fornecido pela máquina sem quaisquer arredondamentos intermédios. . A .A.4.15 C o nsidere uma grandeza vectorial designada p o r magnitude da quantidade de movimento e cuja magn itude é o produto da massa pela velocidade. S abendo que o corpo referido em A . A A . 1 3 tem massa 3 , 1 5 kg determine a quantidade de movimento média desse corpo no percurso referido em A.AA. 1 3 . No cálculo de valores de grandezas a partir da soma e subtracção dos valores de outras grandezas, o número de algarismos significativos do resultado é o que se obtém do arredondamento desse resultado para a última unidade decimal correspondente à parcela que tiver menos algarismos decimais. Assim, por exemplo, suponhamos que temos de determinar o perímetro de u m rectângulo do qual conhecemos os seguintes valores para as medidas dos lados, 8 1 ,24 cm e 20,2 cm. Somando os comprimentos de todos os lados obtém-se 202,88 cm. No entanto, o valor do perímetro não pode ser conhecido até às décimas de nUlímetro uma vez que um dos lados só é conhecido até ao nUlímetro. Logo, o valor do perímetro do rectângulo tem de ser obtido pelo arredondamento de 202,88; ou sej a, é 202,9 cm. Ainda que as regras dos algarismos significativos constituam um modo fácil de apreciação da ordem de grandeza dos erros relativos e uma base simples de iniciação ao cálculo aproximado, elas só pernUtem uma estimativa grosseira dos erros e não indicam a acumulação das inceltezas absolutas. 1 38 RESPOSTAS ÀS QUES TÕES DE AUT O-AVALIAÇÃO A.A 4.1 Num termómetro de mercúrio medimos a temperatura através de um comprimento (o da coluna de mercúrio) . Assim, a mensuranda é uma temperatura e o sinal de saída é um comprimento. eom um biberão é possível medir o volume do líquido que lá se coloca através da altura que este ocupa no biberão . A mensuranda é, neste caso, um volume e o sinal de medição um comprimento. A.A 4.2 o intervalo de funcionamente deste termómetro é o conjunto de temperaturas maiores do que 3 5 oe e menores do que 42 oe . No termómetro descrito, uma variação de 1 oe corresponde à variação de 1 cm no comprimento da coluna de mercúrio. Para efectuar uma estimativa da incerteza vamos imaginar que efectuamos uma medida. Em geral, a extremidade da coluna de mercúrio estabilizará entre 2 pontos da escala separados por 0, 1 oe (por exemplo, entre 37,5 oe e 37,6 0c) e para medida escol hemos aquele valor de que ela nos parecer mais próximo. É claro que o valor da temperatura não será exactamente 3 7,5°e sendo necessário associar- lhe uma incerteza. Uma das estimativas possíveis para a i ncerteza na temperatura é efectuada considerando que o intervalo de valores possíveis para esta grandeza é o conjunto de todos os seus valores que correspondem a valores da escala que estão mais próximos da divisão 37,5 oe . Ou seja, esta medida seria ( 3 7 ,50 ± 0,05 ) oe , o que corresponde a uma incerteza de 0,05 oe . Uma estimativa da dispersão pode ser efectuada se considerarmos que a escala do termómetro está dividida em mm e que uma determinada medida de temperatura (37,5 oe, por exemplo) será obtida sempre que a coluna de mercúrio tiver um comprimento maior do que 2,45 cm e menor do que 2,55 cm. Ou sej a, podemos estimar a dispersão como 0,05 cm. A sensibilidade pode ser estimada através da razão entre a dispersão e a incerteza e será, consequentemente, 0,05cm/0,05 oe = l cml oe. A.A 4.3 Na experiência do pêndulo podemos dar como exemplo de erro acidental com origem no observador o atraso ou adiantamento que existe no accionamento do cronómetro. Um factor ambiental que pode provocar erros aleatórios é o desloca mento de ar que pode afeclar o movi mento do pênd u l o . 1 39 A.A 4.4 o erro efectuado é um erro de leitura que corresponderá a metade da menor divisão da escala da régua. Assim, o resultado desta medição é (2,50 ± 0,05) cm. A.A 4.5 A incerteza absoluta pode ser estimada como sendo o erro de leitura que no caso desta régua é 0,05 cm. Assim, as incertezas relativas serão, para a medida de 1 ,0 cm: 0,05/ 1 ,0 = 0,05 para a medida de 5 , 6 cm: 0,05/5 ,6 = 0,0089 para a medida de 20,2 cm: 0,05120,2 = � 5%. � 0,0025 0,89 % . � 0,25 % . A.A 4.6 A resolução deste exercício é mais clara se recorrermos ao auxílio de um gráfico representando a curva de calibração descrita no texto principal. Nas abcissas representa-se o valor da mensuranda (X) e nas ordenadas o valor lido no termómetro ( Y). A correspondência entre o valor lido no termómetro ( y oC ) e o valor da mensuranda (X °C) é feita através da curva de calibração. A curva de calibração descrita no texto principal está representada por uma linha grossa e a curva de calibração que seria a correcta através de uma linha tracejada. Como exemplo de representação sobre o gráfico do erro sistemático, escolhemos a medida de 40 oe . A curva de calibração do termómetro descrito no texto principal e representada na figura tem como equação Y = 5/4 X - (1) 5 E s t a é a equação d a rec t a que p assa pelos pontos ( Xo' Yo) (X1 , Y1 ) = = ( 20,20) e (40,45 ) , a partir dos quais foi efectuada a calibração. Ao valor lido de 40 °C ( Y = 40 °C) no termómetro, corresponderá, por isso, o valor de 36 °C da mensuranda (X = 36 °C) . Assim, ao ler um valor de 40 °c no termómetro é necessário considerar um erro sistemático de -4 oe . Em geral , à leitura de Y °c corresponderá um erro sistemático de LlX °c, calculado a partir da diferença entre o valor de X correspondente a Y (equação ( 1 )) e Y: LlX 140 = 4/5 Y + 4 - Y � LlX = 4- YI5 y f'C 45 40 �------��- , 20 , , , , , , , , ,- , , , ,- ,- , , , 20 Assim, a uma leitura de 30 oe ( Y , , , - , Curva de c a l i bração LlX , = erro sistemático asso ciado a uma lei t u ra de 40 °C. 36 = , , ' 40 45 X f'C 30 Oe) corresponderá um erro sistemáti co de -2 oe (M = -2 °C) e a uma leitura de 25 oe ( Y = 25 °C) um erro sistemático de - 1 oe (M= - 1 ) . A.A 4.7 o valor médio das distribuições obtidas nestas experiências calcula-se através da expressão (4.3) do texto principal . Na experiência 1 obtém-se 2, 1 32727 . . . e na experiência 2 o resultado é 2, 1 4 1 8 1 8 . . . o desvio padrão é calculado uti l izando a expressão (4.4) do texto principal . Na experiência I ele é 0,01 8488 . . . e na experiência 2 é 0,034876 . . . Note que existem muitas máquinas de calcular e programas de computador que apresentam a capacidade de efectuar estes dois cálculos de forma automática a partir da simples i ntrodução da l i sta de valores medidos (máquinas ou programas com funções associadas à estatística). A forma de real izar estes cálculos automaticamente encontra-se, em geral , descrita nos respectivos manuais. A.A 4.8 No exercício A.A.4.7 real izámos apenas cálculos matemáticos. Somente neste problema vamos, a partir destes cálculos, estimar valores para o valor conven cional mente verdadeiro resultante das experiências descritas e para a incerteza 141 associada. Este passo é efectuado aplicando a expressão (4.5) aos resultados obtidos em AA.4 . 7 e efectuando arredondamentos que tomem os resultados significativos (ver secção 4.6). A incerteza associada às experiências é obtida através da divisão do desvio padrão obtido em AA4.7 pela raiz quadrada do número de medições (l I em ambos os casos) . Desta divisão resulta, para a experiência I, o valor numérico 0,00557434 . . . e para a experiência 2, o valor numérico 0,0 1 05 1 5 5 . . . A incerteza é obtida a partir do arredondamento destes valores de forma a apresentarem apenas um algarismo não nulo. Assim, na experiência 1 a incerteza será 0,006 s e na experiência 2 será 0,01 s. Os valores convencionalmente verdadeiros são obtidos dos valores médios das distribuições através do arredondamento destes últimos de forma a que tenham o mesmo número de casas decimais da incerteza respectiva. Assim, o valor convencional mente verdadeiro será 2, 1 33 s na experiência 1 e 2, 1 4 s na experiência 2 . A s medidas dos tempos podem, pois, ser expressas dos seguintes modos : (2, 1 3 3 ± 0, 006) s; (2, 1 4 ± 0,0 I) s. Estas medidas mostram que os resultados da experiência 1 são menos dispersos do que os resultados da experiência 2. A.A 4.9 O perímetro, P, de uma circunferência é calculado a partir do comprimento R do seu raio através de P = 2 rrR. No caso presente, o valor de R foi medido e apresenta uma incerteza associada M. Portanto, o perímetro terá também uma incerteza associada, /1P que pode ser calculada por: P ± /1P = 2 n (R ± /1 R) <==> P ± /1P = 2 n R±2 n /1 R Utilizando os valores dados no enunciado, arredondando a incerteza para apenas um algarismo não nulo e arredondando P para um valor com o mesmo número de casas decimais da incerteza, obtém-se: P ± /1P = (32,7 ± 0,3) cm A área do círculo, A, pode ser calculada a partir do comprimento do seu raio utilizando A = n R2. No caso presente, dada a i ncerteza associada à medição de R, teremos para a área : A ± M = n (R ± /1 R) 2 Desenvolvendo esta expressão e desprezando o termo proporcional a (/1 R)2 obtém-se: A±M = n R2 ± 2 n R /1 R Utilizando os valores fornecidos no enunciado e procedendo aos arredondamentos devidos, o resultado final é: A ±� 1 42 = (85 ± 2) cm2 A.A 4. 1 0 Apesar de matematicamente os números 2,00 e 2,0 serem iguais, n o contexto das medidas (neste caso, as massas de dois corpos), eles correspondem a valores diferentes. A medida 2,00 kg corresponde a um valor para a massa contido no intervalo ] 1 ,99;2,0 I [ (kg) . Por seu turno, a medida 2,0 kg corresponde a um valor para a massa contido no intervalo ] 1 ,9 ;2, I [ (kg) . Não é possível pois afirmar que os corpos têm a mesma massa. Apenas se pode concluir destas medidas que as massas destes dois corpos diferem, no máximo, de O, I I kg (diferença entre o limite superior de um dos intervalos e o limite inferior do outro intervalo) . A.A 4 . 11 Aplicando as regras enunciadas no texto principal obtém-se: 1 ,2 1 0 m - 4 algarismos significativos (o I , o 2 e o I exactos e o O, aproximado) . 1 2 1 ,0 cm - 4 algarismos significativos (o I , o 2 e o I são exactos e o O é aproximado) 56,78 m - 5 algarismos significativos (o 5 corresponde a 2 algarismos exactos, o 6 e o 7 são algarismos exactos e o 8 é um algarismo aproximado). Com aplicação semelhante das regras dos algarismos significativos, obtém-se p ara os restantes valores: 1 00,4 m - 4 algarismos significativos. 754,2 m - 5 algarismos significativos. A.A 4.12 Para a medida (20,4 ± 0,2) mm a incerteza relativa é 0,2/20,4 que é da ordem de 1 0.2 e para a medida (8 1 ,2 ± 0,3) mm a incerteza relativa é 0, 3/8 1 ,2 que é da ordem de 1 0.3• Assim, a primeira medida, que tem 3 algarismos significativos, apresenta uma incerteza relativa da ordem de 1 0.2, enquanto que a segunda, tendo mais um algarismo sign ificativo (4) apresenta uma incerteza relativa que é uma ordem de grandeza inferior ( l 0·3 ) . 143 A.A 4. 1 3 A rapidez média é obtida a partir da razão entre o espaço percorrido (tu) e o tempo v = demorado a percorrer esse espaço (Llt) : LlsILlt. No presente caso tem-se Lls = 5 1 ,0 cm (4 algarismos significativos) e Llt= 3 , 1 s (2 algarismos significativos) . O cálculo de v efectua-se dividindo Lls por Llt e arredondando o valor desta razão para um número que possua 2 algarismos significativos (o correspondente à medida envolvida neste cálculo que tem menor número de algarismos significativos, o intervalo de tempo. ) Assim, 5 I ,0/3, I = 1 6,45 1 6 1 . . . ; arredondando este valor para um número com 2 algarismos significativos obtém-se v = 1 6 cm/s A.A 4. 1 4 Com o auxílio de uma máquina de calcular obtém-se .)1 ,25 = 1 , 1 1 803 . . . . Como só podemos ter 3 algarismos significativos (o mesmo número de 1 ,25), o resu ltado é .F,25 = 1 , 1 2. Da mesma forma exp (- 1 , 5 ) = 0,223 1 30 . . , o que com dois algarismos significativos . se transforma em exp ( 1 , 5 ) = 0,22. Finalmente, log (25,3) - 3 algarismos significativos fica log (25,3) = = 3 ,23080 . , o que com . . 3,23. A.A 4. 1 5 A quantidade de movimento, p , é p = m v Utilizando os valores dados em A.A 4 . I 3 e nesta questão obtemos neste cálculo o valor numérico 5 1 ,82258 . . Para descobrir quais os algarismos significativos do . resultado final é necessário ter em conta que ,0.s tem m tem 3 algarismos significativos, 3 algarismos sig n i fi c ativos e ,0.1 tem 2 algarismos significativos. final só poderá ter 2 algarismos significativos. O valor de v O resultado obtido em A.A 4. 1 3 , porque é um valor intermédio no cálculo, deve entrar com 3 algarismos significativos: 1 6,4 cm/s. Multiplicando pela massa (3, I 5 kg) obtemos 5 1 ,66 kg cm/s. O resultado, porque só pode ter 2 algarismos significativos é 5 x 1 0 kg x cm/s. Note que teria obtido o mesmo resultado se considerasse o valor fornecido pela «máquina» (5 I ,8225 8 ) com 2 algarismos significativos. 1 44 APÊNDICE Apêndice 1 - Símbolos Recomendados pela ISO para as Principais Grandezas Físicas 1 Esta e as outras tabelas que se s e g u e m b a s e i a m - s e n a s ISO 1 992, a Normas I n ternac i o n a i s 31, Espaço e tempo' 3.' a e d ição de última que foi publ icada até ao m o m e n t o . Grandeza ângulo (plano) Símbolo a, fJ, y, 8, rp ângulo sólido Q comprimento l, L Grandeza Símbolo curvatura X A, área (5) volume V largura b tempo, intervalo de tempo t altura h velocidade angular úJ aceleração angular a espessura d, s velocidade v, c, u , v, w d, r aceleração a aceleração da gravidade g comprimento de trajectória distância coordenadas cartesianas S x, y, z -- p raio de curvatura Fenómenos periódicos Grandeza Símbolo T período, tempo periódico freq uência v f, Grandeza vel ocidade de fase velocidade de grupo Símbolo c, v,c ljl ,vljl Cg ,vg frequência rotacional n coefic. de amortecimento S freq uência angular, p ulsação úJ decrescimento logarítmico A comprimento de onda A. coeficiente de atenuação a número de onda cr coeficiente de fase j3 número de onda angular k coeficiente de propagação r 1 49 Mecânica Grandeza Símbolo Símbolo massa m pressão p massa volúmica, densidade p tensão normal (J densidade relativa d tensão de corte (de cisalha- volume mássico v densidade linear PI densidade superficial PA ' Ps I, J momento de inércia r mento) deformação linear E, e r deformação de c i salhamento módulo de elasticidade E c ompressibilidade X momento p factor de atrito estático força F factor de atrito dinâmico fl, (j) viscosidade 77 (fl) y, (J peso 1 50 Grandeza Fg , (P), (W) f.1" (Is) impulso 1 tensão superficial momento angular L energia E momento da força M trabalho W momento de um binário M potência P torque M eficiência 77 impulso angular H taxa de fluxo de massa qm Calor Grandeza te mperatura ter modinâ mica t empe a r tu a r Ce lsiu s T t, e c oefc i iente de di ata l çã o inear l c oeficient e de di ata l çãocúbica av, a capaci dade tér mica C ca paci da deté rmica má ssica c ca paci da de té rmica Oí Símbolo Grandeza Símbolo má ssica a pre ssã oc on stante . cp ent ropia S c oeficiente e r ativ l o de pre ssão lXp entr opia má ssica s c oeficiente de pressão fJ ene rgta E XT ene rgia ter modinâ mica U Xs enta l pia H c ompre ssibi il da de i soté rmica c ompre ssibi il da de i sent ró- pica ca lor,quanti da de de ca l or Q ener gia il vre de He l mholtz A ta xa de f u l xo de ca lor cp ene rgia ilv re de Gibb s G c on dutivi da de té rmica A (x) coef. de tran sfe êr ncia de ca lor K (k) c oe . f de i sola ment oté rmic o M re si stência té rmica R c on dutância té rmica C di u f sivi da de té rmica a e ene rgia má ssica ene rgia t ermodinâ mica má sslca h enta lpia má ssica ener gia ilv re de He l mholtz má ssica ener gia ivre l de Gibb s má ssic a fun ção de Planck u f a, g y 15\ Electricidade e magnetismo Grandeza c orre nte eléct irca ca g ra e éct l irca, qua nt . dc e ect l irci da de pe rmeabil ida de J.1. Q pe rmeab i il da de e r at l va i J.1.r p, (TJ) de nsida de su pe rfic ai l de carga <J mome nt o mag nétic o E mag netiza ção do ca mpo e éc l - t irc o pote nc ai le él ct irc o di e f er nça de pote nc ai l,te nsão f orça e el ctr omot riz Símbolo I de nsi da de v olú mica de ca g ra i nte nsida de V, rp U, (V) su sceptibi il da de mag nética pola riza ção mag nét ca i l rode nsi d. de e nergia e ect mag nética vect or de Poy nti ng E X,Xm m M,Hi J, Bi w S flu xoe éct l ric o Ij/ e r sistê ncia R de nsida de de flu xoe él ct ric o D c ondutâ ncia G P C potê ncia pe rmit v i ida de é e r sistivi da de p pe rmitivi da de e r lat va i Er c ondut vi i da de y,<J ca paci da de su sce pt b i i l i da de e éct l irca pola irza çãoe éct l rica mome nt o dipola re éct l ric o inte nsi da de do ca mpo ma - g nét ci o f orça mag net omot riz e r utâ l nc ai R, R m P pe rmeâ nc ai A, (P) P, (Pe) i mpe dâ ncia Z H reactâ ncia X F, Fm a dmitâ ncia y x,Xe fu l xo mag nétic o de nsi da de de fu l xo mag né- t ci o,i ndu ção mag nét ci a i ndutâ nc ai ( pró pria) i ndutâ nc ai mútua c oefic ei nte de ac opla me nt o 152 Grandeza Símbolo M, ljJ su sce ptâ nc ai B B potê ncia act va i ( ou eficaz) P L potê ncia a pa e r nte S, (Ps) potê ncia e r activa Q, (PQ) a f ct or de potê nc ai À. Lmn K Luz Grandeza energia radiante densidade de energia radiante potência radiante Símbolo Q, W, (Qe) Grandeza eficácia luminosa eficácia luminosa espectral W P, (jJ, ((jJe) eficiência luminosa Símbolo K K(Â) V intensidade radiante I (le) eficiência luminosa espectral V(Â) radiância L (Le) factor de absorção espectral a(Â) irradiância E (Ee) factor de reflexão espectral p(Â) factor de transmissão espectral r(Â) factor de radiância espectral P( Â) densidade óptica D(Â) emissi vidade emissi vidade espectral fluxo fotónico lO E(Â) (jJ p' (jJ intensidade fotónica Ip, I coeficiente de atenuação linear luminância fotónica Lp, L coeficiente de absorção linear a irradiância fotónica Ep, E índice de refracção n intensidade luminosa I, (lv) distância objecto p fluxo luminoso (jJ , ($v) distância imagem ' p quantidade de luz Q, (Qv) distância focal f luminância L, (Lv) vergência, potência da lente iluminância E, (Ev) 11 II!, 153 Som Grandeza pressão estática Ps pressão do som P, (Pa) velocidade do som velocidade de grupo densidade de energia sonora potência sonora c, CCa) eC g) w, (w,,) P, Pa Grandeza nível de potência sonora constante de tempo r coeficiente de atenuação a coeficiente de propagação y factor de dissipação factor de reflexão impedância acústica Za factor de transmissão impedância mecânica Zm factor de absorção impedânc. característica de Zc tempo de reverberação Lp Lw 6 I, J nível de pressão sonora Símbolo coeficiente de amortecimento intensidade sonora um meio 154 Símbolo LJ,1fI R, (p) r a, eaa) T Apêndice 2 - História das Unidades de Medida e dos Sistemas de Unidades 1. A medição do tempo A necessidade de medir quantidades está ligada à história dos povos. A medição do tempo surgiu naturalmente com o facto de o ser humano se dar conta de que havia fenómenos periódicos no céu. No antigo Egipto, os sacerdotes serviram-se de conhecimentos rudimentares de astronomia para acordarem na medição do tempo em anos, cada um com 365 dias. O ano egípcio compreendia 12 meses de 30 dias e mais 5 dias "complementares". o dia foi fixado em 24 horas, a hora em 60 minutos e o minuto em 60 segundos (o uso deste valor 60 é uma herança dos babilónios, que adoptavam um sistema de numeração de base 60). Mas à medida que aumentou o progresso da ciência este conceito de ano foi-se construindo e reestruturando, diferenciando e enriquecendo. Assim, e para referirmos apenas alguns passos históricos notáveis, diremos que em 47 a. C. Júlio César (c. 101-44) promulgou a refolma do calendário organizado pelo astrónomo alexandrino Sosígenes. O ano juliano iniciava-se no dia 1 de Janeiro e possuía 12 meses. Os meses ímpares tinham 3 1dias e os pares 30 dias, excepto Fevereiro que possuia 29 dias. De 4 em 4 anos havia um ano bissexto em que Fevereiro acrescentava mais um dia. Com isto julgava-se tomar o ano coerente com o período da Terra em volta do Sol, estipulado em 365 dias e 6 horas. O ano juliano tinha pois este valor. O imperadorAugusto deu o seu nome aAgosto e acrescentou-lhe 1 dia retirando o a Fevereiro, pelo que não alterou em nada o valor do ano. Posteriolmente, a partir do século X II I, iniciaram-se estudos astronómicos de maior precisão, que vieram a detectar uma diferença, por excesso, do ano juliano em relação ao período da Terra em volta do Sol de 11 minutos e 9 segundos. A data do equinócio da Primavera foi alterada de 25 de Março para 21 do mesmo mês, à data do Concílio de Niceia e, posteriormente, em 1583, para 11 de Março. Consciente do facto de todos os estudos apontarem no sentido de o calendário juliano apresentar erros considerados grosseiros para a sua época, o papa Leão X, no séc. XV I, pediu a colaboração das universidades e dos astrónomos para a correcção do calendário juliano. Finalmente o papa Gregório Xli aprovou, em 4 de Fevereiro de 1582, um novo calendário a que para sempre ficou ligado o seu nome: o calendário gregoriano. O equinócio da Primavera foi fixado em 2 1 de Março. O ano tem exactamente 365 dias, mais 5 horas, 49 minutos e 12 segundos. Actualmente, em ciência, e, em particular, na Astronomia, o ano assumiu designações diferentes, consoante a base em que assenta a sua definição: ano sideral, ano trópico, ano anornalístico, etc. Os seus valores não são iguais. 157 A unidade fundamental (hoje diz-se unidade de base) de tempo é o segundo. A primeira definição de segundo que foi muito aceite a nível internacional foi a seguinte: segundo é a fracção 1/86 400 do dia solar médio. O dia solar médio é o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas do Sol pelo meridiano do mesmo lugar. Porém, dada a irregularidade do movimento de rotação da Terra e o facto de o dia terrestre aumentar 1/ 16 s por século, passou então a adoptar-se o movimento de treanslação da Terra e não o seu movimento de rotação. Considerou-se então o ano trópico, ou seja o tempo decorrido entre duas passagens consecutivas, pelo mesmo equinócio, da Terra, ao longo da sua órbita em torno do Sol. Rigorosamente o ano trópico correspondeu, em 1900, a 365,242 198 78 dias solares médios e tem vindo a sofrer um decréscimo de 0,000 006 14 dias solares médios por século. Assim, na 10. a CGPM foi aprovada uma definição de segundo em que esta unidade era equivalente a uma fracção do ano trópico, relativo ao ano de 1900. Esta definição astronómica de segundo,devido entre outros factores à enorme desvantagem resultante da variação do ano tró pico, acabou por ser substituída. A actual definição de segundo viria a ser estabelecida na 13.a CGPM, realizada em Paris em Outubro de 1967. 2. A medição do espaço Um outro tipo muito antigo de medição diz respeito ao espaço. As medidas antigas eram geralmente baseadas no corpo humano. Um exemplo conhecido de uma unidade de comprimento muita antiga é o cúbito egípcio. Surgiu por volta de 3000 a. C. e foi definida com base no com primento de um antebraço desde o cotovelo até às pontas dos dedos estendidos de uma mão aberta. A figura seguinte mostra uma parte de uma barra que corresponde a um cúbito egípcio de 600 a. C. 158 Esta unidade perdurou durante milhares de anos. Por volta de 2500 a. C. ela foi padronizada na forma de uma barra de mármore preto, com 52,4 cm de comprimento e este padrão ficou conhecido como o cúbito real. Ele estava dividido em 28 dígitos (aproximadamente com a espessura de um dedo cada). Em Inglaterra, as unidades de medida só foram padronizadas no século X I I I, ainda que muitos padrões tenham surgido. Tratava-se de padrões primitivos, dís pares, de carácter bastante regional. As unidades de comprimento utilizadas em Inglatena eram, por exemplo: a jarda distância entre o nariz do rei Henrique I e a extremidade do polegar da sua mão; o seu valor é 92 cm. o pé com primento do pé do referido rei; o seu valor é 30,48 cm .. a polegada - largura do polegar do rei; o seu valor é 2,54 cm. Outros povos usavam outras unidades diferentes: o passo, o côvado (66 cm), a vara ( 1,1 m),o tiro de pedra, etc. O im pulso decisivo no sentido da uniformização das unidades foi dado pela Revolução Francesa. O decreto da Convenção de 1 de Agosto de 1793 estabeleceu o novo Sistema de Pesos de Medidas baseado na medição do meridiano da Tena e na divisão decimal. Em 1795, a Comissão encarregada pelo governo francês de criar o Sistema Métrico estabeleceu a designação da unidade fundamental (hoje diz-se unidade de base) de com primento deste sistema, o metro, baseando-se numa palavra grega que significa medida. O Sistema Métrico acabou por ser oficialmente estabelecido em 1799, com a declaração ex pressa de "ser para todos os povos, e para todo o sem pre". A unidade de comprimento, o metro, foi então defrnida como a décima milionésima parte do quarto do meridiano tenestre. Portanto, trata-se de uma fracção da distância de um pólo tenestre ao E quador. Como era uma tarefa demasiado com plicada medir directamente todo um meridiano, foi medida por Delambre e Méchain uma parte compreendida entre duas cidades, Dunquerque e Barcelona, e feita a extrapolação para todo o meridiano. O padrão de metro resultante desta medição foi materializado numa régua feita àbase de platina que foi arquivada em 22 de Junho de 1799. Este padrão era pouco preciso por duas razões: em primeiro lugar os arcos de meridiano não são iguais em virtude da forma da Terra não ser, senão aproximadamente, esférica; por outro lado, não era fácil medir comprimentos num meridiano. Além disso, como o metro era a distância entre as extremidades 159 da régua, estas estavam sujeitas a desgaste e não havia garantia de invaria bilidade. Não admira pois que, em 1875, tenha sido mudado o padrão do metro. Foi em 20 de Maio desse ano que foi assinada a chamada Convenção do Metro pelos representantes de 17 países e se criou o Comité Internacional de Pesos e Medidas, órgão internacional que acabou por propor uma nova definição de metro baseado num novo padrão. Assim, a 1.a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), realizada em Paris em 1889, sancionou a seguinte definição de metro: Metro é a distância, a O °C e à pressão nOlmal, entre dois traços marcados perto das extremidades de uma barra de platina iridiada que está arquivada no Pavilhão de Breteuil, em Sevres, perto de Paris. A liga usada para construir o metro-padrão (90 % de platina e 10 % de irídio) bem como a respectiva secção em X foram pensadas para conferir rigidez e inalterabilidade ao mesmo. A cada país que aderiu à Convenção do Metro foi distribuída uma cópia do metro-padrão a fim de servir de protótipo para verificação das medidas de comprimento no respectivo país. A Portugal coube receber a cópia n.O 10. Em 1927, na 7.a CGPM, a definição de metro, ainda que baseada no mesmo padrão (o Protótipo Internacional do Metro de 1889) foi muito mais pormeno rizada para responder às necessidades de rigor metrológico daquela época. Na definição ia-se ao ponto de referir o modo como o protótipo devia ser apoiado (em dois cilindros, de que era dada a distância). Este padrão do metro viria a perdurar até 1960. Neste ano, devido à necessidade cada vez mais imperiosa de grande exactidão metrológica para dar resposta à necessidade de rigor nas experiências científicas, um outro padrão de metro completamente diferente surgiu. Em Outubro deste ano realizou-se a 11.a Conferência Geral de Pesos e Medidas onde, por acordo unânime dos delegados dos 32 países representados, a definição de metro passou a ser esta: O metro é um comprimento igual aI 650 763,73 vezes o comprimento de onda, no vazio, da radiação laranja do gás crípton 86. Este padrão de metro, o chamado padrão óptico do metro, foi, como sabemos, substituído pelo padrão actual, baseado na velocidade da luz no vácuo, através da Resolução 1 da 160 17.a CGPM, ocorrida em 1983. 3. A medição de outras grandezas Vimos que durante muito tempo proliferaram as mais variadas ui n dades da mesma grandeza o que dificultava o funcionamento dos circuitos de comercialização. No que respeita à grandeza massa, usaram-se, por exemplo, o arrátel (459 g), a libra inglesa (4533,592 g), a arroba (aproximadamente 15 kg), etc. Actualmente, a unidade fundamental é o quilograma, cuja defInição, como sabemos, é a massa do protótipo internacional de massa arquivado em Sévres e que é constituído por um cilindro de platina iridiada com 39 mm de altura e 39 mm de diâmetro. A sua definição foi estabelecida na 3. a CGPM, em 1901 (página 70 das actas). Mas a adopção do quilograma como fazendo parte do Sistema Métrico já tinha ocorrido em 1799. Com efeito, ao mesmo tempo que o protótipo do metro era materializado numa régua à base de platina, o protótipo do quilograma era materializado num cilindro também à base de platina. A massa desse cilindro era suposto traduzir com exactidão a massa de 1 dm3 de água destilada à temperatura de 4 oe . 1.a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), realizada em Paris em 1889, manteve a validade do mesmo padrão de massa. A No entanto, em 1901, já as medições de massa eram efectuadas com uma exactidão tal que foi possível verificar que a massa do quilograma-padrão era diferente da 4 oe . Com efeito, verificou-se que a massa 4 °C é 0,999 972 kg, isto é, difere do quilograma massa de 1 dm3 de água destilada a de 1 dm3 de água destilada a cerca de 3 cg. Assim sendo, o quilograma deixou de ser definido como a massa de 1 dm3 de água. o padrão de quilograma é o único que ainda está ligado a um objecto material. Espera-se que ele venha a ser defrnido a partir de uma constante física importante _ a constante de Avogadro (Almeida, 1997, p. 76). Mas isso só virá a suceder quando esta puder ser medida com maior exactidão do que é hoje (incerteza relativa inferior a 10-8). A medição da temperatura remonta ao início do século XVII quando aos termoscópios antigos começaram a ser associadas medições quantitativas. Muitos são os cientistas dessa época que se aponta terem construído termómetros. Van Helmont construiu indiscutivelmente um (Schurmann, p. 503) já com determinados pontos fixos, pelo que alguns autores consideram-no o inventor do termómetro. Porém, a escolha do ponto do vapor (temperatura do vapor de água em ebulição) e do ponto do gelo (temperatura do gelo em fusão) não são de van Helmont, só surgindo já na segunda metade do século XVII, quando existia a Academia dei Cimento, que se supõe estar ligada a essa escolha. 16 1 Foi já em 1703 que Amontons construiu o primeiro termómetro de ar em que se corrigia o erro causado pela pressão atmosférica. As três primeiras e famosas escalas termométricas surgiram pouco tempo depois: a primeira foi a de Fahrenheit, em 17 14, a segunda a de Réaumur, em 1730, e a terceira a de Celsius, em 1742. Todos fabricaram termómetros de grande precisão para a época, os dois primeiros com álcool e o último com mercúrio. Um avanço importante surgiu com o estabelecimento da escala absoluta de temperaturas, que como sabemos começa num zero «real», não admitindo temperaturas negativas, e nada tem a ver com as propriedades deste ou daquele corpo. Foi estabelecida por Kelvin em 1851. Outros processos de medir a temperatura também tiveram a sua história (pirómetros, termómetros de resistência, termopares, etc). Quadro de escalas termométricasl 'ln Almeida, 1997, p. 220. Escala de--7 Uni dade (sí mbo o) l Te mpe ratur a deá gu a e mebu il ção Te mpe ratur a de fu- s ão do gelo Nú me ro de pontos Kelvin Fahrenheit Rankine Réaumur gr au Celsius ke v l n i gr au F ah renhe ti gr au R ank n ie gr au Ré au mur (0C) (K) O ( F) OR) 100°C 373, 15K QOC 273,15 K . ( (0 r) 2 12°F 671,67°R 800 r 32°F 491,67°R O°r divisões d a escal a ent re dois Celsius os ante- 100 100 180 180 80 -273,15°C OK -459,67°F OOR -218,52°r r ores i Zero abso uto l Actualmente, com o Sistema Internacional em vigor, apenas são aceites as unidades °C e K. Estas duas unidades traduzem exactamente a mesma variação da temperatura, isto é, as unidades de intervalo ou diferença de temperatura são idênticas, Por isso, o gr;m Celsius é aceite como uma unidade igual ao kelvin usada para traduzir as temperaturas medidas na escala Celsius, muito adoptada na prática, 162 Sabemos já que o kelvin acabaria por ser definido a partir de uma fracção da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água, tendo essa definição sido sancionada pela l3.a CGPM, em 1967. No domínio do electromagnetismo, o estudo quantitativo sistemático iniciou-se no século XIX. Ohm foi um dos primeiros a adoptar medidas exactas nos estudos de Electromagnetismo. Lenz, Jacobi, Weber,Siemens, Kohlrausch, entre outros, distinguiram-se no campo das medidas eléctricas. A electrólise também prestou o seu contributo já que permitiu padronizar o coulomb do seguinte modo: carga eléctrica capaz de depositar, por electrólise, 1,1 1800 mg de prata a partir de uma solução de nitrato de prata. Entretanto esta unidade, designada por coulomb internacional, acabou por ser substituída pelo chamado coulomb absoluto, ou só coulomb, ligeiramente superior ao anterior, definido a partir da unidade de base am pere, definido a partir da acção de correntes. Estas definições foram sancionadas pela 9.a CGPM, em 1948. No domínio da luz, sabemos que a unidade de base do Sistema Internacional é a unidade de intensidade luminosa e designa-se por candeIa. Ela já era adoptada em sistemas de unidades anteriores e veio substituir uma unidade prática chamada vela internacional. Esta era definida com base num grupo de lâmpadas eléctricas cujos protótipos foram guardados em Washington, Paris e Londres. Foi em 1940 que a Comissão Internacional de iluminação definiu a candeIa (anterior mente denominada vela nova) e a 9.a CGPM, realizada em 1948,decidiu adoptá-la. No domínio da Acústica, o primeiro passo para quantificar a chamada sensação sonora foi realizado por Weber e Fechner, e desse esforço resultou a lei que tem os seus nomes. Na sequência desses estudos viria a resultar a escala de níveis de intensidade sonora, e as conhecidas unidades em que este se exprime, o bel e o decibel. 4. A evolução histórica dos sistemas de unidades 4.1 Os sistemas do domínio da Mecânica No domínio da Mecânica diversos sistemas se impuseram ao longo dos tempos. o mais antigo foi, como já sabemos, o sistema métrico, surgido em França. Deste sistema derivaram alguns outros que fizeram história. Um destes sistemas foi o CGS. Estas letras são as iniciais de centímetro, grama e segundo, as unidades de base adoptadas. 163 Outro sistema muito usado foi o MKS. As unidades de base neste sistema são o metro, o quilograma (unidade de massa) e o segundo. Um outro sistema igualmente derivado do sistema métrico foi o sistema francês MTS (metro, tonelada, segundo) Estes três sistemas, para além de coerentes, são ditos absolutos, pois as suas unidades de base não dependem do local, não são influenciados pela gravidade local. Aos sistemas absolutos opõem-se os sistemas gravitatórios que não são inde pendentes do local. Um sistema gravitatório que surgiu na mecânica derivado do sistema métrico foi o MK S, cujas unidades de base são o metro, o quilograma-peso ou quilograma p -força (unidade de força) e o segundo. O quilograma-peso é o peso local do quilograma (unidade métrica de massa). Na Inglaterra e nos Estados Unidos, bem como em muitos países politicamente a eles ligados, vingou um outro sistema, o Sistema Imperial Britânico (Sffi). A unidade de comprimento neste sistema é a yard Garda). Equivale a 0,9 1 4 398 4 m. Trata-se de um padrão que foi aprovado por uma lei do Parlamento Britânico de 1 878. Note-se que nos Estados Unidos, a jarda é definida em relação ao metro (3600/3937 do metro), pelo que o seu valor é ligeiramente diferente: 0,914 40 1 8 m. A unidade de massa do SIB é a pound (libra). Também foi adoptada como padrão pela referida lei do Parlamento Britânico e equivale a 0,453 592 338 kg. Nos EU, a libra é definida relativamente ao quilograma por decreto de 1 893, pelo que o seu valor é ligeiramente diferente: O, 453 592 427 7 kg. Do SIB surgiram dois sistemas que vamos referir em seguida. Um deles é um sistema absoluto: o FPS. As suas unidades de base são a de comprimento, o root (pé, que vale 1 /3 da jarda), a de massa, a pound (libra) e a de tempo, o second (segundo). Um outro é um sistema gravitacional que difere do anterior por ter uma unidade de força em vez da unidade de massa. Essa unidade é a libra-peso e define-se precisamente como o peso de um corpo de massa I libra. Para estes sistemas derivados do SIB, a unidade de temperatura é o grau Fahrenheit (OF). As relações ente as medidas inglesas de comprimento são as seguintes (respeitando a designação de origem): 1 164 mile = 8 furlongs 1 furlong = 10 chains 1 chain = 22 yard s 1 yard = 3 feet 1 foot = 12 inche s Para a massa temos (igualmente re speitando a designação de origem): 1 stone = 1 pound 14 pound s = 16 ounce s 1 ounce = 437,5 grains Quanto às conversões para as unidade s decimai s, é bom ter pre sente que, quer em Inglaterra quer nos E UA: 1 yard = 1 pound 0,9 14 4 m = 0, 453 592 37 kg 1 gallon (líquido) = 3,785 4 11 784 litros 4.2 Os sistemas de unidades electrostático e electromagnético No domínio do Electromagnetismo há necessidade de definir uma quarta unidade fundamental. Neste domínio impera a teoria de Maxwell, da qual resultou uma admirável síntese entre a Óptica,a Electricidade e o Magnetismo. Essa síntese traduz-se, entre outras formas, na relação muito simples que se segue: Nesta relação a repre senta a velocidade da luz no vácuo, c a con stante electro magnética fundamental que entra nas leis fundamentais do Electromagneti smo, Eo a permitividade eléctrica do vácuo e 110 a permeabilidade magnética do vácuo. Um dos sistemas que, por simplicidade das fórmulas básicas do Electromagnetismo (de Coulomb, de Biot e Savart, etc.) foi muito usado em trabalhos teóricos foi o Sistema de Gauss. Convencionou- se considerar, ne ste sistema 165 Neste sistema a constante electromagnética c tomou-se equivalente à velocidade daluz: a =c = 2,997 92 x 1010 crn/s (valor experimental) Em todos os outros sistemas de unidades convencionou-se fazer a constante electromagnética 1 c = pelo que a relação entre as constantes fundamentais anteriormente a presentada se converteu em ou em se passarmos a adoptar a letra c para velocidade da luz no vácuo, como se faz habitualmente. Do sistema CGS derivaram então dois sistemas de unidades diferentes, o Sistema Electrostático CGS e o Sistema Electromagnético CGS, ambos respeitando esta relação. Assim, no Sistema Electrostático CGS, convencionou-se atribuir à permiti vidade eléctrica do vazio o valor E = o 1 pelo que a permeabilidade magnética do vácuo vem igual a 11 o = 1 -2 c = (2,997 92 x 1010)-2 unidades CGS Pelo contrário, no Sistema Electromagnético CGS, convencionou-se atribuir à permeabilidade magnética do vácuo o valor 11 0 = 1 pelo que a permitividade eléctrica do vácuo vem igual a E = o 166 � c = (2,997 92 x 1010).2 unidades CGS 4.3 As unidades internacionais e o sistema prático de unidades Algumas das unidades dos sistemas electrostático CGS e electromagnético CGS utilizada s na prática têm valore s inconveniente s (ou demasiado grandes ou demasiado pequenos). A ssim, por exemplo: a unidade electro stática CG S de inten sidade de corrente tem o valor 1 n A , Isto ' , e, 3 _ 1 - X 10-9 A- , 3 a unidade electromagnética CG S de r e si stência tem o valor 1 nQ = 10-9 Q; a unidade electrostática CG S de resi stência tem o valor 9 x 1011 Q; - etc. Comparação dos valores de algumas unidades electrostáticas e electromagnéticas Valor em unidades SI Grandeza da unidade da unidade electrostática electromagnética 1 109 carga eléctrica -- intensidade do campo eléctrico 3 capacidade resistência intensidade da corrente diferença de potencial Valor em unidades SI 3x 104 10-6 1 10" 109 1011 10-9 x --- 9X 9 x 1 --- 3 X 1 09 3 10 x 102 10 10-8 167 E ste facto teve como con sequência a adopção de um sistema prático cuja s unidades,definidas arbitrariamente, corre spondiam a padrõe s realizáveis na prática. Tais unidade s chamam- se unidades internacionais (não confundir com unidades do Sistema Internacional). E ste sistema era ba seado em dua s unidade s adoptada s na Conferência Inter nacional de Chicago, a saber: o ampere internacional que é a inten sidade da corrente con stante que deposita por segundo 1,11800 m g de parta na electrólise de uma solução de nitrato de prata. O ohm internacional que é a re si stência a O °C de uma coluna de mercúrio de 196,300 cm de comprimento e cuja ma ssa é de 14,452 1 g. A partir de 1920 os fí sicos verificaram que as medida s de intensidade da corrente eléctrica ba seadas no seu efeito magnético eram mais exactas do que as medidas efectuadas com base no efeito electrolítico. Por outro lado, conseguia-se tal exacti dão na medição de resistência s que a s incerteza s de medida eram inferiore s às diferenças existentes nos padrõe s de resistências existentes nos vários laboratórios e specializados. Foi devido a e stes factos e não só que o sistema prático foi abandonado a partir de 1948 por decisão da 9.a CGPM. 4.4 O sistema MKSA ou sistema Giorgi Entretanto um outro sistema muito importante que surgiu e e stá na base do apareci mento do Sistema Internacional de Unidades é o sistema MKS A ou sistema Giorgi. No s finai s do século passado, mai s propriamente em 1891 e 1892, Heavi side tinha feito notar o facto de surgir o factor 4n em fórmula s práticas onde não tinha qualquer sentido aparecer, por não dizerem respeito a situaçõe s onde há qualquer simetria e sférica, por exemplo, na fórmula da capacidade de um conden sador plano. Pelo contrário, esse factor não surgia em fórmula s onde se verificava simetria e sférica como é, por exemplo, o potencial de um condutor e sférico. Em 1901, o Prof Heaviside e screvia o seguinte: Aquele que estuda pela primeira vez estas fórmulas deve julgar que 4n é um factor que tem as suas raízes dissimuladas na natureza íntima dos fenó menos electromagnéticos; de tal modo que se um dia não houvesse círculos, nem cilindros nem esferas, defmir-se-ia n medindo a capacidade de um conden sador plano. Se não queremos aceitar esta estranha conclusão é preciso 2 Cito de Pires de C3rv�lho. sld, p. 61. 168 reconhecer que a definição de algumas das unidades fundamentais foi viciada por uma irracionalidade, introduzindo um 4n onde não devia entrar.2 Este problema surgia porque nas fórmulas fundamentais do Electromagnetismo, caso da fórmula de Coulomb e da fórmula de Biot e Savart, por exemplo, não aparecia o factor 4n: Derivando a fórmula da capacidade do condensador plano,obtinha-se Co � 4ne onde S é a área das placas e e a distância entre as placas. Foi então que se decidiu introduzir o factor 4n nas fórmulas fundamentais do Electromagnetismo (complicando-as, mas sem qualquer importância,pois elas são muito menos utilizadas na prática): F = _1_ Q, .2Q2 e dB 4nco r = �o i· dl· sine 4n r 2 Deste modo a fórmula do condensador plano, por exemplo, já passou a ser dada por Co � mais simples e de acordo com o facto de não corresponder a uma e situação de simetria esférica. , Quer dizer: complicam-se as fÓlmulas empíricas básicas introduzindo nelas um factor 4n mas simplificam-se as equações fundamentais do Electromagnetismo, as equações de Maxwell bem como as fórmulas mais utilizadas na prática. É nisto que consiste a chamada racionalização. Os sistemas de unidades que definem estas com base em expressões sujeitas a esta racionalização são chamados sistemas racionalizados. É o caso do SI. É também o caso do sistema MK S A ou sistema Giorgi que é um sistema racionalizado cujas unidades de base da mecânica são o metro, o quilograma e o segundo. Além disso, foi nesse sistema fixado convencionalmente como constante a permeabilidade magnética do vazio: J.1 = o 4n x lQ-7H1m (H é a unidade henry) Então, pela relação E O em que a letra . 11o . c2 c = 1 representa a velocidade da luz no vácuo, vem para valor da permitividade eléctrica Eo = 1 9x 109 Fim ( F é a unidade farad) 169 Giovani Giorgi propôs inicialmente que a 4.a unidade que pemútia estender este sistema ao Electromagnetismo fosse o ohm,mas a 4.a unidade fundamental viria a ser o ampere, que se define facilmente a partir da acção entre corrente s e do valor de f.1o. Note-se que o sistema Giorgi é uma parte do Sistema Internacional de Unidades. 4.5 A adopção do Sistema Internacional de Unidades A adopção de um sistema de unidade s único a nível de todo o planeta é do máximo interesse para toda s as actividades humana s. Todo s, os cientistas,o s engenheiros,o s e studantes,o s mais variado s técnicos,o s jornalista s,etc.,benefi ciarão do facto de não terem de u sar tabelas de conversão de unidade s. Não admira pOItanto que haja um movimento imparável para a adopção de um Sistema único e esse sistema é o S I. Em 1948, a 9.a CGPM acedeu a um pedido da União Internacional de Fí sica Pura e Aplicada (IUPAP) e propôs ao Comité Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) que realizasse um inquérito oficial de stinado a recolher a s opiniões dos meio s científicos, técnico s e pedagógico s de todo s o s países para que fosse e stabelecido um sistema prático de unidades de medida, susceptível de ser adoptado por todo s o s países signatário s da Convenção do Metro (Almeida, 1997, p. 19). Como base de trabalho para a con stituição de ste sistema prático,a I UPAP tinha propo sto o sistema MK S associado a uma unidade eléctrica. A 1 o.a CGPM,reunida em 1954, decidiu adoptar como unidades de base deste novo sistema a s unidades das seguintes grandezas: comprimento,massa,tempo, inten sidade da corrente eléctrica,temperatura termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade lumino sa (Resolução 6 da 10.a CGPM). Finalmente a ll.a CGPM, atravé s da sua Re solução 1, decidiu adoptar a de signação de Si stema Internacional de Unidades com a abreviatura S I,para e ste novo sistema de unidade s. Além disso,e stabeleceu uma série de recomen daçõe s deci sivas para efeito de normalização. A partir daí,as reuniões seguintes da CGPM têm vindo a aperfeiçoar o SI,definindo mais rigorosamente as suas unidades de base e adoptando novas definições,novos símbolos e nome s e speciais para algumas unidades. A utilização do S I é recomendada pelas mais importante s organizações que se dedicam à normalização como é o ca so da I SO (lnternational Standard Organization) e por sociedade s científicas e académica s e organizaçõe s que 170 superintendem a estas como são os caso s da Royal Society, da AAPT (American Association of Physics Teachers), a I UPAP, etc. Ne ste momento o S I está adoptado legalmente em quase todo o mundo. 5. A evolução das unidades no nosso país (breve síntese) Em Portugal, tal como em todo s o s outros paíse s, a evolução da s unidades processou- se do cao s à ordem ... No tempo da fundação da nacionalidade, exi stiam a s unidade s daquela época, uma das quai s era o arrátel, uma medida de origem árabe, tal como o alqueire, o almude e muitas outras. Mas nessa mesma época existiam também unidades com origem romana, devido à presença de sse povo na penín sula ibérica. Entre elas temo s o cúbito e o módio. A s carta s de foral são o s primeiros documentos hi stóricos portugueses onde são referido s pesos e medidas. C art a de fo r al de L si bo a: per g ami nho e xiste nteno Museu daC idade de Lisbo a. 17 1 No reinado de D. Afonso IV, que decorreu entre 1325 e 1357, era tal a con fusão de unidades de medida que algumas populações se queixaram nas cortes de Lisboa de 1352. o seu suce ssor, D. Pedro l, o Justiceiro, fez a primeira tentativa de uniformização de todos o s «pe sos e medida s do Reino» nas Cortes de Elva s (1361) ... mas sem grande s re sultados (Silva e Valadare s, 1975, p. 222). No século XV, D. Afon so V tentou pôr algum cobro nos abusos que ocorriam um pouco por todo o lado (veja-se, por exemplo, o parágrafo 3°, Tit. 5.°, do Liv l das Ordenações). O seu suce ssor no trono, D. João I I, tentou que fo sse adoptado em Portugal o marco de Colónia, um padrão de ma ssa (na altura dizia-se de pe so) muito divulgado na Europa, dada a cre scente internacionalização das trocas comerciais. O mais que ele con seguiu foi reduzir a dois o número de padrões de medida: um para o Norte e Algarve, outro para a E stremadura e Alentejo. Com as Ordenaçõe s Manuelina s de 1499, houve uma reforma em que se e stabeleceram com êxito algun s padrõe s novos de peso s com valores bem definidos. o marco do tempo de D. Manuel, seus múltiplos e submúltiplos Valor em marcos Unidade marc o 1 Múltiplos arráte l 2 arr ob a 50 qui ntal 200 Submúltiplos onça oit av o esc rópu lo g rão Um quintal manuelino correspondia a 58,754 kg. 172 1/8 1/64 1/192 1/4608 No reinado de D Sebastião,mais propriamente em 1575, verificou-se uma impor tante refOlma nas unidades de capacidade. Por ordem do Rei,os padrões destas unidades só podiam ser fabricados em Lisboa e daí é que eram enviados para todo o reino. Mas nem assim foi possível evitar desobediências e fraudes. Daí até ao século passado pouco se progrediu no «combate» aos sistemas de unidades dispersos. Data de 18 12, no reinado de D. Maria I, a nomeação de uma Comissão de Forais, que incluía membros da Academia Real das Ciências, encarregue de estabelecer um plano para a igualdade de pesos e medidas. Em 18 18,já no tempo de D. João V I, foram adoptados os seguintes padrões: De comprimento - a mão travessa (de valor igual a 1 dm),a vara ( lO mãos travessas), a milha (100 varas). De volume - a canada ( l litro),o alqueire (10 canadas) , a fanga (10 alqueires),o tonel ( 10 fangas) De massa ( na altura dizia-se peso) - a libra (aproximadamente 1 kg),a arroba (lO libras), o quintal ( 100 libras) e a tonelada ( 1000 libras). Para a construção dos padrões mandou-se vir protótipos de França. U mp ad rãode alqueire d o e t mp ode D. J oão VI e xiste nte n o Museu de Me trol ogi ad o Institu to Portu guê sd a Qu alid ade (IPQ). 173 --------------------_ , ................ Um passo altamente significativo é dado em 13 de Dezembro de 1852. Com efeito, é neste dia que é publicado um decreto que torna obrigatória a adopção do Sistema Métrico decimal. Nesse decreto é fixado um prazo de dez anos para a adopção plena desse Sistema de Unidades. Esta adopção do Sistema Métrico tinha oconido em França em 179 1, onde se tornou definitiva em 1837. Entretanto, em 1820, tinha-se estendido à Holanda, Bélgica e Luxemburgo e algum tempo depois à Espanha. o nosso país foi um dos que participou nos trabalhos e na assinatura da Convenção do Metro, em 1875, participou também na La Conferência Geral de Pesos e Medidas, em 1889, onde foram aprovados os padrões do metro e do quilograma. Em 1890 recebeu as cópias número 10 destes protótipos. Foi já na segunda década do século X X, mais propriamente em 19 de Abril de 1911, que foram estabelecidos legalmente os padrões das unidades de comprimento e massa como sendo as cópias n.o 10 dos protótipos aprovados na 1.a CGPM, em 1889. De então para cá temos sempre permanecido «na primeira linha» já que participámos da grande maioria das CGPM que foram ocorrendo e pertencemos aos países que aderiram à ISO (International Standard Organization). Com o Decreto-lei n. o 427/83 legalizámos em Portugal o uso do Sistema Internacional de Unidades, aprovado pela 10.a CGPM de 1954. A obrigatoriedade do uso deste Sistema passou a ser geral, sem excepção de qualquer actividade, admitindo-se apenas algumas excepções que terão de ser devidamente fundamentadas e autorizadas por decreto governamental. 174 Bibliografia A Dict ionary of Measures, Units and Convers ions. http://www.e x . ac .uk/cimtldictunitldictuni t . htm A B REU, M . e . , M ATIAS, L., e PERALTA, L. F. 1 994 Física Experimental: uma in trodução. L i sboa: Edi torial Presença. ALMEIDA, Gu i l herme de 1 997 Sistema Internacional de Unidades, 2. a ed. , L i sboa: P látano Edi ções Téc n icas. Anglo-saxon weights & measures http://members .aol .comlJackProotlmetlspvolas.html ANTUNES, S. D. 1 994 Metrologia. Qua lidade . L i sboa: Edição do Insti tuto Português da Qualidade. B A RENB LATT, G. I . 1 996 Scaling, self-similarity, and intermediate assymptotics. 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Fran c i sco Franc o . TAYLOR, 1 982 J. An lntroduction t o Errar Analysis - The Study of Uncertainties in Physical Measurements. M i l l Val ley. U n i versi t y S cience B ooks. V.I . M . : Vocabu l ário Internac i onal de Metrologia 1 996 178 2 : edição, L i sboa: Instituto Português da Qual i dade. Composto e paginado na UNIVERSIDADE ABERTA Impre s so e acabado na António Coelho Dias S. A. I ." edição - I . " impressão - 1000 exemplares L isboa, Agosto de 2002
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