Fisica do Estado Solido - OER@AVU

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African Virtual University
FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Aviso
Este documento é publicado sob as condições de uma Criação Conjunta
http://en.wikipedia.org/wiki/Crative_Commons
Atribuição
http:creativecommons.org/licenses/by/2.5/License (abbreviated “cc-by”,
Version2.5.
1
2
Índice
I. Física do Estado Sólido ...............................................................................8
II. Prerequisitos do curso ou conhecimento prévio.........................................8
III. Tempo .......................................................................................................8
IV. Materiais ...................................................................................................8
V. Racionalidade do Módulo ..........................................................................8
VI. Conteúdos .................................................................................................9
6.1 Introdução .............................................................................................9
6.2 Sumário ...............................................................................................10
6.3 Organização gráfica ............................................................................11
VII. Objectivos Gerais ..................................................................................12
VIII. Objectivos específicos de aprendizagem (Objectivos instrucionais) ...12
IX. Avaliação diagnóstica.............................................................................13
X. Actividade de Ensino e Aprendizagem....................................................18
Actividade 1: Introdução à Física do Estado Sólido ................................18
Lista dos Relevantes Links úteis ...............................................................21
Actividade 1.1 Estrutura atómica ............................................................24
Actividade 1.1.1 Constante de Avogadro e mole .....................................24
Actividade 1.1.2 ........................................................................................25
Actividade 1.1.3 Constante de Avogadro e mole .....................................25
Actividade 1.2 Ligações atómicas ...........................................................25
Actividade 1.3 Sólidos Cristalinos, Policristalinos e Amorfos................26
Actividade 1.3.1 Sólidos Cristalinos.........................................................26
Actividade 1.3.2 Cristal ...........................................................................26
Actividade 1.3.3 Célula unidade e célula primitiva..................................28
Actividade 1.3.4 Sistemas de Cristais; Redes tri-dimensionais................30
Actividade 1.3.6 Linhas de Simetria........................................................32
Actividade 1.3.7 Sistema de indíce para cristais planos (Indíces de miller)
...................................................................................................................33
1.3.8
Fracção de empacotamento (densidade) ....................................37
Actividade 1.3.10
Difracção e reflexão dos raios X ..........................38
Actividade 1.3.11
Camara de Pó dos raios X ....................................41
Actividade 1.3.12
Espaço da rede recíproco e Esfera de Ewald.........41
Auto-avaliação 1 .......................................................................................47
Actividade 2 Defeitos de Cristais e Propriedades Mecânicas...................48
Leitura 1: Estrura cristalina.......................................................................48
Leitura 2: Estrura à Escala Atómica dos Materiais...................................49
3
Lista dos Recursos MM Relevantes..........................................................49
Lista dos Relevantes Links úteis...............................................................50
Descrição detalhada da actividade ............................................................52
Actividade 2.1 Defeitos de Cristais ..........................................................52
Actividade 2.1.3
Deslocações ..................................................54
Actividade 2.1.5
Deformação plástica .............................................56
Actividade 2.2
Propriedades Mecânicas .......................................56
Actividade 2.2.1
Ratio de Poison.......................................................57
Actividade 2.2.2
Propriedade Elásticas ..............................................57
Auto Avaliação 2 ......................................................................................61
Actividade 3: Propriedades Térmicas e Eléctricas........................................62
Leitura 4: Capacidade de Calor.................................................................62
Leitura 5: Condutividade Eléctrica ...........................................................63
Lista dos Recursos Multimédia Relevantes ..............................................63
Lista dos Links Úteis e Relevantes ...........................................................64
Actividade 3.1 Capacidade de Calor.........................................................65
Actividade 3.1.1 Capacidade de calor a volume constante, CV, e
capacidade de calor à pressão constante, CP .............................................67
Actividade 3.1.2 Capacidade de calor específico ....................................67
Actividade 3.1.3 Modelo teórico de Capacidade de calor .......................69
Actividade 3.1.4 Fase sólida: Modelo de Debye e Modelo de Einstein ...72
Actividade 3.1.5 Condutividade Eléctrica ................................................74
Actividade 3.1.6 Condutividade Térmica .................................................75
Actividade 3.1.6 Teoria do electrão livre dos metais...............................77
Actividade 3.1.7 A lei de Wiedemann-Franz...........................................78
Actividade de aprendizagem 4......................................................................80
Título da actividade de aprendizagem: Teoria de Banda e Propriedades
Ópticas ......................................................................................................80
Leitura 4: Capacidade de calor .................................................................80
Lista dos Recursos Multimédia Relevantes ..............................................81
Lista dos Relevantes Links Úteis..............................................................81
Actividade 4.1 Estrutura da banda electrónica .........................................82
Actividade 4.2 Propriedades ópticas.........................................................86
Auto-avaliação 4 .......................................................................................90
XI. Glossário (Lista de todos os conceitos chaves) ......................................91
XII. Lista das Leituras Obrigatórias..............................................................94
Leitura 1: Estrutura cristalina....................................................................94
Leitura 2: Estrura cristalina.......................................................................95
4
Leitura 3: Estrutura dos materiais na escala atómica................................95
Leitura 4: Capacidade de Calor.................................................................96
XIII. Lista (Opcional) dos Recursos Multimédia .........................................96
Recurso # 1 ...............................................................................................96
Recurso # 2 ...............................................................................................97
XIV. Lista dos Relevantes Links Úteis.........................................................97
Link útil # 1...............................................................................................98
Link útil # 2...............................................................................................99
Link útil # 3.............................................................................................100
Link útil # 4.............................................................................................101
Link útil # 5.............................................................................................102
Link útil # 6.............................................................................................103
Link útil # 7.............................................................................................104
Link útil # 8.............................................................................................105
Link útil # 9.............................................................................................106
Link útil # 10...........................................................................................107
Soluções de Auto-avaliação 1.................................................................108
Soluções de Auto-avaliação 2.................................................................111
Soluções de Auto Avaliação 3 ................................................................112
Soluções para Auto-avaliação 4..............................................................115
XV. Síntese do Módulo...............................................................................117
XVI. Avaliação Final ..................................................................................118
XVII Referências ........................................................................................121
XVIII. Autor Principal do Módulo .............................................................122
XIX Estrutura do Módulo ...........................................................................122
5
Prefácio
Este módulo tem quarto secções principais.
A primeira é a secção da Introdução, que consiste em cinco partes:
Título – O título do módulo está claramente descrito.
Conhecimentos prévios – Nesta secção recebe a informação exacta sobre os
pré-requisitos em termos de conhecimentos e habilidades de que necessita para
iniciar o módulo. Preste atenção a estes requisitos, pois ajudá-lo ão a decidir se
precisa ou não de fazer uma revisão.
Tempo necessário – Dá-lhe o tempo total (em horas) de que precisa para
concluir o módulo. Todos os testes de auto-avaliação, actividades e avaliações
devem ser concluídos no tempo especificado.
Material necessário – Aqui encontrará a lista de material de que precisa para
concluir o módulo. Algum material é parte do pacote do curso que receberá em
CD ou vai aceder através da internet. O Material recomendado para fazer
experiências pode ser obtido na instituição em que está matriculado (que é
membro de AVU) ou poderá adquiri-lo por outros meios.
Racionalidade do módulo – Nesta secção obterá as respostas para perguntas
como “Porque devo estudar este módulo estando num curso de formação de
professores? Qual é a sua relevância na minha carreira?”
A segunda é a secção de Conteúdo, que consiste em três partes:
Resumo: O conteúdo do módulo é apresentado duma forma breve. Nesta
secção encontrará um ficheiro de vídeo (um filme de QuickTime) onde o autor
deste módulo é entrevistado acerca do mesmo. O parágrafo resumo do módulo
é seguido da listagem dos conteúdos, incluindo o tempo aproximado necessário
para completar cada secção. Estes três elementos vão ajudá-lo a figurar como o
conteúdo está organizado no módulo.
Objectivos Gerais – Objectivos claros, descritivos, são providenciados para
lhe dar a expectativa sobre que conhecimento, habilidade e atitudes adquirirá
depois de estudar o módulo.
Objectivos Específicos de Aprendizagem (Objectivos Instrucionais): – O
foco de cada actividade de aprendizagem está em cada um dos objectivos
6
específicos, dados nesta secção. As unidades, elementos e temas do módulo
estão destinados a alcançar objectivos específicos e toda a avaliação visa os
objectivos que se desejam alcançar. É recomendado a prestar a máxima
atenção aos objectivos específicos, pois eles são vitais na organização do seu
esforço no estudo deste módulo.
A terceira secção é a mais longa do módulo. É a secção onde vai despender
mais tempo e é referenciada como Actividades de Ensino e Aprendizagem.
A essência dos oito componentes está alistada abaixo:
Avaliação diagnóstica:Conjunto de questões, que vão avaliar
quantitativamente o seu nível de preparação para os objectivos específicos do
módulo, são apresentados nesta secção. As questões de avaliação diagnóstica
ajudam a identificar o que sabe e o que precisa de saber para que seja
aumentado o seu nível de preocupação e possa julgar a sua aprendizagem. A
chave das respostas é providenciada para o conjunto das questões e alguns
comentários pedagógicos são apresentados no fim.
Actividade de Ensino e Aprendizagem: Este é o fulcro do módulo. Precisa
de seguir o guia de aprendizagem nesta secção. São providenciados vários
tipos de actividades. Faça toda a actividade em sequência. Ocasionalmente
poderá não necessitar de seguir a ordem em que as actividades são
apresentadas. É muito importante notar que:

As avaliações formativas e sumativas são feitas sistematicamente.

Deve fazer todos os recursos e leituras obrigatórios.

Consultar tantos links úteis possíveis.

Deve estabelecer o feedback e comunicação com o autor.
Lista compilada de todos os conceitos chave (Glossário): Esta secção
contém definições curtas e concisas dos termos usados no módulo. Isto ajuda-o
com termos com os quais pode não estar familiarizado no módulo.
Lista compilada de leituras obrigatórias: Um mínimo de três materiais de
leitura é providenciado. É obrigatório ler os documentos.
Lista compilada de recursos multimédia (opcionais): É apresentada uma
lista completa de recursos multimédia referenciados e necessários para a
compleição das actividades de aprendizagem, livres de direitos de autor para a
utilização.
7
Lista compilada de links úteis: É apresentada uma lista de pelo menos 10
web sites que o ajudam a entender os tópicos. Cada link é acompanhado de
uma referência completa (Título do site, URL), ecrã capturado de cada link,
assim como 50 palavras para a descrição do link.
Síntese do Módulo: É providenciado um sumário do módulo.
Avaliação Sumativa: É apresentada uma avaliação no final do módulo.
Tenha prazer no seu trabalho com este módulo.
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I. Física do Estado Sólido
Por Sam Kinyera Obwoya Kyambogo, Universidade de Uganda
II. Pré-requisitos do curso ou conhecimentos prévios
O pré-requisito básico para este módulo é a física escolar que o estudante
aprendeu. Em particular, é essencial o conhecimento dos conteúos que a seguir
se enumeram para a compreensão e seguimento efectivo do módulo. Um dos
conteúdos é o de electricidade e magnetismo. O conceito da lei e da força de
Coulomb é essencial quando se aprende a estrutura atómica. Um conhecimento
profundo sobre calor e termodinâmica. Precisa de fazer revisão sobre
capacidade de calor ao volume constante e à pressão constante. Para além
disto, precisa de rever tópicos como: entropia, entalpia, e funções
termodinâmicas. Os cálculos em matemática são um requisito essencial para
este módulo.
III. Tempo
Este módulo pode ser estudado em 120h.
IV. Materiais
Os materiais necessários para o módulo incluem o acesso a um computador,
mas o mais importante é que é necessária uma conexão estável da internet. A
internet providenciará muitas das referências essenciais e recursos multimédia.
Estes multimédia são importantes pois em alguns casos servem como docentes
virtuais e fontes de equipamento a ser usado para fazer experiências virtuais.
Não obstante, alguns CDs serão disponibilizados para suplementar o uso da
internet. Outros materiais incluem leituras e recursos obrigatórios que podem
estar disponíveis na escola ou livraria mais próxima.
V. Racionalidade do Módulo
Este módulo tenciona providenciar os fundamentos básicos de física para os
estudantes. Isto vai habilitar os estudantes a apreender os conteúdos da matéria,
tendo em vista explicar as propriedades térmicas, eléctricas e ópticas dos
sólidos. O módulo está estruturado de tal sorte que o estudante deve fazer as
actividades tal como prescritas para o máximo rendimento. O módulo em geral
9
vai providenciar os estudantes com ideias básicas sobre o que os sólidos são
em termos de seu comportamento e por isso serão capazes de ensinar mais
efectivamente a física escolar.
Outras formas de defeitos
(a)
Nesta secção precisa de:
(i)
Ler acerca de defeitos planares e defeitos maiores.
http://en.wikipedia.org/wiki/crystallographic_defeitos#Point_defeitos
(ii)
Fazer notas
(iii)
Fazer a comparação com pontos de defeitos e deslocações
(b)
Usar as referências dadas e tomar notas sobre:
(i)
Resistência dos materiais.
(ii)
Discutir essa resistência em relação aos defeitos até agora identificados.
Actividade 2.2.2 Propriedades elásticas
Nesta actividade vai fazer experiências para verificar a lei de Hooke. E vai
usar o resultado dessa experiência para mostrar como o modelo de material de
Young é obtido.
(a) Tensão, deformação e pressão
Use os resultados da experiência e escreva pequenas notas sobre:
(i) como é que a lei de Hooke para pequenas deformações é estabelecida
(ii) como mostrar pequenas deformações, pressão,
(b) Tensão, deformação e pressão
VI. Conteúdos
6.1 Introdução
Este curso é direccionado para estudantes matriculados no curso de
Licenciatura em Ensino de Física. A Física do Estado Sólido forma a espinha
dorsal dos Físicos. Este módulo tem quatro unidades: Introdução à Física do
Estado Sólido; Defeitos de Cristal e Propriedades mecânicas; Propriedades
Térmicas e Propriedades Eléctricas; e teoria de Banda & propriedades Ópticas.
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Na primeira unidade ou actividade, isto é, introdução à física do estado sólido,
espera-se que o estudante explique a estrutura atómica, descreva as várias
ligações atómicas, tais como as ligações iónicas e ligações covalentes. A
aprendizagem exigirá também que o estudante distinga entre sólidos cristalinos
e amorfos; sólidos policristalinos e amorfos, e explique a produção e o uso da
difracção dos raios X. Na segunda unidade, isto é, defeitos de cristal e
propriedades mecânicas, a aprendizagem inclui a distinção entre os diferentes
tipos de defeitos de cristal: os pontos de defeitos (lacunas, intersticiais, e
substitucionais) e deslocações (rotacionais e das pontas). Aqui, os estudantes
aprendem que os pontos de defeitos estão bem localizados e são do tamanho
atómico, enquanto a deslocação é uma desordem que se estende para além do
volume de um ou dois átomos. Os efeitos dos defeitos nas propriedades
mecânicas, e eléctricas integram as aprendizagens que vão ocorrer. Na unidade
três os resultados de aprendizagem incluem a definição de capacidade de calor
e explicações da variação de capacidade de calor com a temperatura, com base
no modelo clássico, no modelo de Einstein e no modelo de Debye. Aos
estudantes vai exigir-se o uso da teoria do electrão livre para explicar as altas
condutividades térmicas e eléctricas dos metais. Também devem ser capazes
de derivar e aplicar a lei de Wiedermann-Frantz. Finalmente, na actividade
quatro, a esperada aprendizagem deve habilitar os estudantes a usar a teoria de
banda para explicar a diferença entre condutores, semicondutores e isoladores;
explicar a diferença entre semicondutores intrínsecos e extrínsecos em relação
ao papel de doping. No fim de tudo os estudantes usam os conceitos de
interacção de ondas electromagnéticas (luz) com materiais para explicar a
absorção óptica, reflexividade e transmissibilidade.
6.2 Sumário
Este curso consiste em quatro actividades: introdução à Física do Estado
Sólido; Defeitos dos cristais e propriedades mecânicas; Propriedades Térmicas
e Eléctricas; e Teoria de banda & propriedades ópticas. As componentes de
cada actividade estão alistados como segue:
Introdução à Física do Estado Sólido

Revisão da estrutura atómica cristalina

Sólidos policristalinos e Amorfos

Difracção dos raios X, lei de Bragg e aplicações
Defeitos dos Cristais e Propriedades Mecânicas
(40 horas)
(20 horas)
11

Lacunas, Intersticiais, Deslocações

Propriedades Mecânicas
Propriedades Térmicas e Eléctricas
(40 horas)

Capacidade de calor: modelo clássico

Modelo de Einstein e Modelo de Debye

Condutividade Eléctrica e condutividade térmica

A teoria do electrão livre
Teoria de Banda & Propriedades Ópticas
(20 horas)

Metais

Semicondutores (intrínsecos e extrínsecos)

Isoladores

Propriedades ópticas
6.3 Organização gráfica
C. Propriedades térmicas e
eléctricas
A. Introdução à Física do
Estado Sólido
Capacidade de calor: modelo
clássico, modelo de Einstein e
modelo de Debye
Condutividade
eléctrica
e
condutividade térmica
Teoria de electrão livre
Revisão da estrutura atómica
Sólidos cristalinos,
policristalinos e amorfos
Difracção dos raios X, lei de
Bragg e aplicações
Física
do
Estado Sólido
Teoria de Banda
Propriedades Ópticas
D.
&
Metais, Semicondutores (intrínsecos
e extrínsecos), Isoladores
Absorção,
Reflectividade
e
Transmissibilidade
B. Defeitos dos cristais e
propriedades mecânicas
Vacâncias, Intersticiais
Deslocações
Propriedades mecânicas
e
12
VII. Objectivos Gerais
Após completar este módulo será capaz de compreender, do ponto de vista
fundamental, o comportamento mecânico, térmico, eléctrico e óptico dos
sólidos.
VIII. Objectivos específicos de aprendizagem (Objectivos
instrucionais)
Conteúdos
1. Introdução à Física do Estado
Sólido (40 horas)

Revisão da estrutura atómica
cristalina

Sólidos policristalinos e
Amorfos

Difracção dos raios X, lei de
Bragg e aplicações
2. Defeitos dos Cristais e
(20 horas)

Lacunas, Intersticiais,
Deslocações

3. Propriedades Térmicas e
Eléctricas
(40 horas)

Capacidade de calor: modelo
clássico

Modelo de Einstein e Modelo
de Debye

Condutividade Eléctrica e
condutividade térmica

A teoria do electrão livre
4. Teoria de Banda & Propriedades
Ópticas
(20 horas)

Metais
Objectivos de aprendizagem: Após
a conclusão desta secção você será
capaz de:

Explicar a estrutura atómica;

Descrever os vários tipos de
ligações

Distinguir os sólidos
cristalinos, policristalinos e amorfos e
como é regulada e usada a difracção
dos raios X

Explicar o conceito de defeitos
de cristais.

Relacionar os defeitos dos
cristais a algumas propriedades
mecânicas observáveis e outras
propriedades.

Definir capacidade de calor e
explicar a variação da capacidade de
calor com a temperatura baseando-se
no modelo clássico, modelo de
Einstein e modelo de Debye.

Usar a teoria do electrão livre
para explicar a alta condutividade
eléctrica e térmica dos metais.

Derivar e aplicar a lei de
Wiedermann-Frantz

Descrever a teoria de banda

Explicar a diferença entre
semicondutores intrínsecos e
extrínsecos – o papel da dopagem, e
13

Semicondutores (intrínsecos e
extrínsecos)

Isoladores

Propriedades ópticas

Explicar, baseado na
interacção das ondas de
electromagnética (luz) com a matéria a
absorção, a reflectividade e
transmissibilidade.
IX. Avaliação Diagnóstica
Está preparado para fazer este módulo?
Título da Avaliação Diagnóstica: Física do Estado Sólido
Racional: A avaliação diagnóstica aqui apresentada foi desenhada de modo a
determinar o quanto os estudantes sabem acerca da física do estado sólido. A
avaliação diagnóstica ajuda a identificar claramente o que os estudantes sabem
e o que precisam de saber, por isso serve para motivar os estudantes para
estarem mais envolvidos e atentos à experiência de instrução e aprendizagem.
As questões apresentadas têm também como objectivo alertar os estudantes
acerca do que podem esperar alcançar, caso não consigam dar nenhuma
resposta à questão. Isto vai elevar adequadamente o nível de preocupação dos
estudantes por lhes indicar o que precisam de aprender.
Questões
Auto Avaliação
1.
Os lugares que são usualmente ocupados por um átomo mas que estão
desocupados são chamados:
(A) lacunas
(B) intersticiais
(C) Substitucionais
(D) deslocações
2.
Uma deslocação causada pela terminação de um plano de átomos no
meio do cristal é conhecida como:
(A) rotação
3.
(B) canto
(C) sanduíche
(D) inútil
Num espaço recíproco de lacuna, o vector a é dado por:
(A) a   2
bxc
ax(bxc)
(B) a   2
axc
ax(bxc)
(C) a   2
bxc
a.(bxc)
(D) a   2
bxc
b.(bxc)
14
4.
O diagrama acima representa a porção de lacuna 2D. Quais das representações
não representa uma célula primitiva.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
5.
Para a lacuna fcc com a base de um átomo, qual é o número de
coordenação?
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 12
6.
A projecção de raio X de comprimento de onda 0.25 nm incide num
cristal interplano de separação 0.30 nm. Calcule o ângulo da primeira visão da
primeira ordem de difracção.
(A) 24.6o
(B) 36.0o
(C) 56.4o
(D) 54.8o
7.
O parâmetro lacuna de uma lacuna cúbica é 2.4 nm. Encontre o
espaçamento de lacuna para o plano (122)
(A) 0.8
8.
(B) 0.48
(C) 7.2
(D) 1.25
Qual das frases que seguem é correcta?
(A) A ligação metálica tem a característica não – direccional.
(B) A ligação metálica consiste de um mar de electrões livres que circundam o
ião positivo.
(C) Uma das características que contribui para as propriedades do sólido
metálico é possuir superfícies finas.
15
(D) A ligação metálica consiste de um electrão partilhado, o que ocorre entre
dois ou mais átomos.
9.
Qual dos seguintes não é o efeito de deslocação?
(A) A presença de deslocamentos resulta em uma alteração de lacuna
(distorção).
(B) A direcção e magnitude de tal distorção são exprimidas em termos de
vector de sanduíche, b.
(C) Para qualquer tipo de canto, b é perpendicular à linha de deslocamento,
enquanto no caso do tipo circular é paralelo.
(D) Em materiais metálicos, b está alinhado com o fechado pacote de direcções
cristalográficos e a sua magnitude é equivalente ao espaçamento de dois
interátomicos.
10.
Uma força de 160N actua perpendicularmente a uma secção excitada
de 0,002m2. Calcule o módulo de Young do material, se a distorção produzida
for 0,004.
(A) 1.28 x 10-7
(B) 5,0 x 10-6
(C) 2.107
(D) 8.0 x 10
11.
Qual destes não está envolvido na difracção dos raios X através de um
cristal?
(A) Transição de um electrão
(B) Planos cristalográficos
(C) Interacção Nuclear
(D) Interferência construtiva
12.
Um cristal tem uma lacuna primitiva com espaçamento entre (100)
planos de 0.420 nm. Qual será o valor do ângulo de Bragg para a centésima
reflexão dos raios X de comprimento de onda 0,154 nm?
(A) 5.3o
13.
(B) 10.6o
(C) 21.2o
(D) 42.6o
Indique a frase Falsa nas que se seguem:
(A) O nível de Fermi é o topo da colecção dos níveis de energia do electrão à
temperatura de zero absoluto.
(B) Dado que os electrões são fermiões e, pelo princípio da exclusão de Paul,i
não podem existir em idênticos estados de energia, então a zero absoluto, eles
16
vão para os níveis mais baixos de estados de energia disponíveis e constituem
o “mar de Fermi” de estados de energia dos electrões.
(C) O nível de Fermi é a superfície desse mar ao zero absoluto onde electrões
têm energia suficiente para irem acima da superfície. Por isso o nível de Fermi
está localizado na banda de diferença.
(D) Num condutor, o nível de Fermi está dentro da banda de condução, de tal
sorte que a banda está meio cheia com electrões. Neste caso, somente uma
pequena porção de energia é necessária para os electrões se deslocarem a um
outro estado livre e, deste modo, a corrente flui.
14.
Em gases diatómicos a presença de graus internos de liberdade é
aparente, isto é, em adição aos três graus de liberdade transicionais, existem os
graus de liberdade rotacional e vibracional.
(i) Existem no total três graus de liberdade rotacional, correspondendo cada
um a um dos eixos do espaço tridimensional.
(ii) Apenas dois graus de liberdade rotacional para moléculas lineares são
considerados na prática, porque o momento de inércia em torno do eixo
internuclear é desprezível em relação aos outros momentos de inércia na
molécula.
(iii) O mecanicamente quantos, o intervalo entre sucessivas energias
rotacionais, eigenstate, é directamente proporcional ao momento de inércia em
torno desse eixo.
15.
Indique a frase Falsa nas que se seguem:
(A) A condutividade eléctrica é mais ou menos fortemente dependente da
temperatura.
(B) Nos metais a condutividade eléctrica diminui com o aumento da
temperatura.
(C) Em semicondutores, a condutividade eléctrica aumenta com o aumento da
temperatura.
(D) Em vasta escala de variação de temperatura, a condutividade eléctrica pode
aproximadamente ser considerada como sendo directamente proporcional à
temperatura.
16.
Qual das expressões que se seguem é correcta?
17
 S 
(A) CV  

 T V
 Q 
(B) CV  T 

 T V
 H 
(C) C P  

 T  P
 S 
(D) C P  

 T  P
Onde:
CV e CP são capacidades de calor ao volume constante e à pressão constante,
respectivamente.
Q - é a quantidade infinitesimal de calor adicionado.
T - é a subsequente variação da temperatura.
U - é a mudança na energia interna.
H - é a mudança na entalpia.
17.
Indique a afirmação falsa em relação às características dos materiais:
(A) Em sólidos cristalinos átomos interagem com a vizinhança, e os níveis de
energia de electrões em átomos isolados tornam-se bandas.
(B) Electrões num sólido preenchem a energia das bandas até um certo nível,
chamado energia de Fermi.
(C) Bandas que estão completamente cheios de electrões podem conduzir
electricidade porque não existe um estado vizinho de energia para o qual
podem saltar.
(D) Em alguns casos, contudo, a teoria de banda não funciona e materiais
previstos como condutores pela teoria de banda tornam-se em isoladores. Os
Isoladores Mott e isoladores de transferência de carga são as tais duas classes
de isoladores.
18.
Indique a afirmação Falsa
(A) A condutividade térmica do material depende da sua estrutura.
(B) A condutividade térmica do material depende da temperatura.
(C) As substâncias cristalinas puras exibem uma condutividade térmica
altamente variável ao longo dos diferentes eixos do cristal, devido à diferença
na combinação em fonões ao longo de uma dada dimensão do cristal.
18
(D) O ar e outros gases são geralmente bons isoladores, mesmo na presença de
convenção.
Chave das Respostas
1. A
2. B
3.C
4.D
5.D
6.A
7.A
10. C
11.C
12.B
13.C
14.D
15.D
16.C
8. B
17.C
9.D
18.D
Comentário Pedagógico para o estudante
Não desespere se o seu resultado não for bom na avaliação diagnóstica. O que
o resultado da avaliação diagnóstica lhe diz é que precisa de trabalhar e
concentra-se mais durante a aprendizagem do módulo. Como notou, muitas das
questões são de tópicos que normalmente não são leccionados na escola.
No início do módulo vai aprender acerca das estruturas atómicas com a
expectativa de obter fundamentos para o estudo deste módulo. Isto, em última
análise, levá-lo-á à aprendizagem de linhas de simetria, índices de Miller que
são usados para a identificação dos planos, lei de Bragg e finalmente a
construção da esfera de Edwald, o que ajuda na determinação de planos
responsáveis pela difracção dos raios X. Chama-se a atenção do estudante para
fazer cada secção da actividade na ordem cronológica. Onde um conhecimento
prévio é requerido, o estudante é aconselhado a rever os tais tópicos, como
electricidade e magnetismo, antes de avançar no módulo.
Inúmeras referências são inclusas nas actividades. O estudante precisa de ter
acesso a elas. Muitas delas estão on - line. Nos lugares onde o estudante não
tem acesso permanente à internet, é aconselhado a fazer os download das tais
referências e imprimi-los. Vários recursos multimédia estão também inclusos.
Estes são muito úteis pois podem actuar como docentes virtuais ou como fonte
de laboratório virtual. Recomenda-se o uso dos recursos multimédia todo o
tempo.
X. Actividade de Ensino e Aprendizagem
Actividade 1: Introdução à Física do Estado Sólido
Nesta actividade vai fazer experiências para verificar a lei de Hookes.
Precisará de 40 horas para realizar esta actividade. Assegure-se de que segue
sistematicamente as actividades programadas. Em alguns casos precisará de
rever certos conteúdos antes de fazer as actividades deste módulo.
Objectivos específicos de ensino e aprendizagem:

Explicar a estrutura atómica

Descrever as várias ligações atómicas
19

Distinguir entre sólidos cristalinos e amorfos; sólidos policristalinos e
amorfos e explicar a ocorrência e uso da difracção dos raios X
Resumo da actividade de aprendizagem
Os resultados de aprendizagem incluem saber que um átomo é o resultado da
combinação de três tipos de partículas: electrões, protões e neutrões, e que a
constante de Avogadro é a quantidade que contém 6,02.1023 partículas por
mole. A discussão e aprendizagem também incluem similaridades e diferenças
dos quatro tipos de ligação. Esta actividade também inclui a aprendizagem
sobre a estrutura dos cristais policristalinos e sólidos amorfos, para os quais a
maior parte é dedicada à identificação de planos usando os índices de Miller. O
progresso na aprendizagem inclui como a densidade de empacotamento é
calculada, como é derivada a lei de Bragg e o subsequente uso da construção
da esfera de Ewald para determinar planos responsáveis pela difracção dos
raios X.
Lista das leituras obrigatórias
Leitura 1: Estrutura cristalina
Referência completa
De: Wikipedia
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure
Consultado em 20 de Abril de 2007
Resumo: Este material de leitura descreve sumariamente a unidade célula,
classificação dos cristais pela simetria, propriedades físicas do cristal e links
para vários sites são providenciados dentro de wikipedia e outros sites.
Racional: Este material providencia uma discussão elaborada dos conteúdos
da primeira actividade do módulo.
De: Universidade de Exeter
URL: http://newton.ex.ac.uk/teaching/resources/rjh/phy2009/
20
Resumo: Neste artigo, a estrutura cristalina é descrita com diagramas bem
ilustrados. Os exercícios no artigo ajudam o leitor a consolidar os tópicos
aprendidos.
Racional: Este artigo dá uma outra forma de olhar para as estruturas de cristal.
Mais ainda, o teste de amostra e exercícios dados no fim providenciam boa
oportunidade para exercitar teorias e princípios de diferentes perspectivas.
Lista dos Relevantes Recursos Multimédia
Recurso # 1
Título: A estrutura cristalina respeitante a Cu-Zn
URL:
http://video.google.com/videoplay?docid=5897475989157955721&q=crystal+
structure&hl=en
Descrição: São providenciadas explicações e ilustrações adequadas.
Data de consulta: 20/05/2007
Recurso # 2
Título: As esferas do vidro
URL:
http://video.google.com/videoplay?docid=2134572208219565504&q=polycrys
taline+solid&hl=en
Descrição: Providencia um bom recurso de aprendizagem.
Recurso # 3
Título: Rede Bidimensional: Real e Recíproca
URL: http://solidstate.physics.sunysb.edu/teach/intlearn/lattice/lattice.html
Descrição: Este site providencia muito bom material de aprendizagem.
21
Recurso # 4
Título: Explorando material de engenharia
URL: http://www.engr.sjsu.edu/WofMatE/Structure.htm
Descrição: Este site providencia material de aprendizagem e animação sobre a
estrutura atómica BCC, FCC.
Lista dos Relevantes Links úteis
Link útil # 1
Título: Estrutura cristalina
Ecrã Capturado
22
Descrição: A estrutura cristalina do material é muitas vezes discutida em
termos da sua unidade célula. A unidade célula é um arranjo espacial dos
átomos, titulada no espaço tridimensional: espaço para descrever o cristal. A
unidade célula é dada pelos seus parâmetros de rede, o comprimento da célula
do canto e dos ângulos entre eles, enquanto a posição dos átomos dentro da
unidade célula é descrita por um conjunto de posições atómicas (x,y,z) medida
desde a ponta da rede. A página da wikipedia tem uma boa descrição disto,
como está ilustrado no ecrã capturado acima.
Link útil # 2
Título: Estrutura atómica
URL: http://web.jjay.cuny.edu/~acarpi/NSC/3~atom
Ecrã Capturado
23
Descrição: Este site é uma jornada sobre as preocupações da ciência natural.
Usa a animação e a interacção para dar ênfase à ciência; permite ao usuário
explorar conceitos na ciência básica incluindo o método científico; a natureza
da matéria; estrutura atómica; ligação química; DNA; astronomia; estrutura
celular e muito mais. O site foi organizado para NSC107: Uma introdução para
a Ciência na Sociedade no Colégio John Jay na cidade Universitária de Nova
York. Não obstante, as lições foram desenhadas para o uso geral e todos os
visitantes são bem-vindos. Use a barra de menu à esquerda para navegar
através dos conteúdos do curso. Por favor faça e-mail dos teus comentários e
sugestões para melhorar o site.
Racional: Este site providencia bom material de aprendizagem para o curso.
Descrição detalhada da actividade (Principais elementos teóricos)
Nesta secção é misturada a teoria com as instruções daquilo que o estudante
deve fazer enquanto aprende o módulo. Recomenda-se que complete cada
24
secção do módulo antes de avançar para a secção seguinte da actividade. Para
cada secção recomenda-se a consulta das referências recomendadas. Isto é
importante porque as instruções e actividades estão descritas sumariamente.
Actividade 1.1 Estrutura atómica
Nesta actividade vai explicar a estrutura atómica. Para fazer isto, vai precisar
do conhecimento de física escolar.
Na escola, aprendeu que os átomos são partículas de elementos ou substâncias
que não podem ser subdivididos. Mas, na examinação da estrutura atómica,
ressalta que temos de clarificar aquela afirmação. Um átomo não pode ser
subdividido sem que se altere a natureza química da substância. Por exemplo,
se tem 1 quilograma, 1 grama ou 1 átomo de nitrogénio, todas estas unidades
têm as mesmas propriedades. Podemos subdividir o átomo de nitrogénio em
partículas ainda pequenas; mas, quando fazemos isso, o átomo perde as suas
propriedades químicas. Aqui aprendemos que: cada átomo é o resultado da
combinação de três tipos de partículas: electrões, protões e neutrões.
(i) Use as referências incluindo os recursos multimédia e:

Prepare um pequeno ensaio que detalhe a diferença das propriedades
destes três elementos.

Descreva como a existência de moléculas/átomos pode ser demonstrada
pela experiência do movimento browniano. Use as referências providenciadas
para fazer isto.
Actividade 1.1.1 Constante de Avogadro e mole
Esta actividade é apresentada em duas partes, isto é, sob gases.
(a) Faça um pequeno ensaio sobre as massas atómicas e moleculares e
descreva como são medidas.
(b) Enfatize que, na escala do carbono, a massa atómica do carbono-12 é
tomada como 12, fazendo a do hidrogénio 1.008 e a do oxigénio 16.
Devia ser capaz de concluir que:

Em geral 1g de hidrogénio contém o mesmo número de átomos como
12g de carbono. Isto é, a massa atómica de qualquer elemento, expresso em
gramas, contém o mesmo número de átomos como 12 g de carbono. Este
número é por definição uma constante. É chamado constante de Avogadro e
seu valor é 6.02.1023
25

A quantidade que contém 6.02.1023 de partículas é chamada de mole.
Podemos ter um mole de átomos, um mole de moléculas, um mole de iões, um
mole de electrões – todos contêm 6.02.1023 partículas. Por isso a constante de
Avogadro NA = 6.02.1023 partículas por mole.
Actividade 1.1.2
Esta actividade é apresentada em duas partes, isto é, sob gases.
Vamos usar um átomo de oxigénio como exemplo para ilustrar algumas
propriedades. Um átomo de oxigénio tem 8 electrões, 8 protões e 8 neutrões.
Isto implica que, no total, um átomo de oxigénio tem 8 cargas negativas
transportadas por 8 electrões; 8 cargas positivas transportadas por 8 protões.
Os neutrões não transportam nenhuma carga eléctrica.
Actividade 1.1.3 Constante de Avogadro e mole
Repita o mesmo exercício com outros átomos até sentir-se suficientemente
confiante.
Actividade 1.2 Ligações atómicas
Use as referências providenciadas e quaisquer outros a que tenha acesso para
levar a cabo as seguintes actividades:
(i) Explique como os átomos são íntegros pelas forças de atracção.
(ii) Escreva breves ensaios incluindo algumas ilustrações dos diferentes tipos
de ligação: ligação iónica, ligação covalente, ligação metálica e ligação Van
der Waals. Uma ilustração de uma ligação covalente é dada como se segue:
Numa ligação covalente, a partilha de um electrão ocorre entre dois ou mais
átomos. Por exemplo, cada átomo de carbono (C), Fig. 1.1, tem quatro
electrões na última camada e, todos eles podem ser partilhados com outros
quatro átomos de carbono para fazer quatro ligações, consistindo cada na
junção de dois nuvens de electrões.
Figura 1.1 – Átomo de Carbono
com as suas quatro ligações
26
Note que as ligações covalentes são também fortes e muitos compostos têm
propriedades mecânicas similares às dos compostos iónicos. Mas
contrariamente há ligações iónicas que não conduzem electricidade quando se
fundem.
(iii) Mostre que a força electrostática entre duas cargas opostas pontuais é dada
pela equação 1.1
F
q2
(1.1) Sugestão: use a lei de Coulomb.
4 0 r 2
(iv) Mostre também que o trabalho feito quando os iões são separados pelo raio
r a partir do infinito é dado pela equação 1.2

W   Fdr 
r
q2
4 0 r
(1.2)
(v) Nas suas notas, compare os tipos de ligação.
Actividade 1.3 Sólidos Cristalinos, policristalinos e Amorfos
Actividade 1.3.1 Sólidos Cristalinos
(a) Use as referências e escreva as definições de sólido cristalino, policristalino
e amorfo.
(b) Faça a lista de exemplos de cada tipo como parte das suas notas.
Actividade 1.3.2 Cristal
Cenário
Na cristalografia a estrutura cristalina é o único arranjo de átomos em cristal.
A estrutura cristalina é composta pela unidade célula, um conjunto de átomos
arranjado de modo particular; repetido periodicamente em três dimensões
numa rede. O espaço entre células em várias direcções é chamado parâmetro
da rede. As propriedades de simetria do cristal estão incorporadas no seu grupo
de espaço. A estrutura do cristal e a simetria jogam um papel na determinação
de muitas das suas propriedades, tais como divisão, estrutura da banda
electrónica e propriedades ópticas.
(a) Para compreender alguns destes conceitos precisamos de saber o
significado de rede.
27
(b) A rede é uma simplificação geométrica dum cristal no qual os átomos são
retirados deixando apenas o esqueleto matemático de pontos onde cada ponto
representa qualquer coisa a partir de um até várias centenas de átomos
originais. Cada grupo destes átomos é chamado de base.
(c) Em duas dimensões, existem apenas cinco redes: quadrada, rectangular,
rectangular no centro, oblíqua e hexagonal. Estas são geralmente conhecidas
como as redes de Bravias.
(d) Considere o exemplo dado na Figura 1.2 de como a rede é construída a
partir da estrutura cristalina.
Uma rede
oblíqua
obtida da
estrutura
cristalina.
Cada
ponto da
rede
Uma estrutura cristalina consistindo de
átomos grandes e pequenos
representa um par de
átomos na estrutura
Figura 1.2 – Uma rede construída a partir de uma rede cristalina
Note que os pontos danificados da rede devem conformar:

Com um infinito padrão de pontos;

Com todos os pontos, tendo a mesma vizinhança na mesma orientação
(e) A diferença fundamental entre um simples cristal, sólido policristalino e
amorfo é o comprimento da escala sobre a qual os átomos estão relacionados
uns com outros pela simetria translacional (‘periodicidade’ ou ‘ordem no
comprimento’). Os cristais simples têm uma periodicidade infinita; os
policristais, uma periodicidade local, e os sólidos amorfos ( e líquidos) não têm
a periodicidade do comprimento.
Um cristal ideal simples tem uma estrutura atómica que se repete
periodicamente ao longo de todo o seu volume. Mesmo numa escala de
comprimento infinito, cada átomo está relacionado com outro átomo
equivalente na estrutura pela simetria translacional.
28
Um sólido policristalino ou policristal é composto por muitos grãos ou
cristais. Cada grão pode ser imaginado como um simples cristal dentro do qual
a estrutura atómica tem uma periodicidade de comprimento. Num sólido
cristalino isotrópico não há relacionamento entre os grãos vizinhos. Por isso,
num comprimento suficiente de escala, não há periodicidade ao longo do
policristalino.
Os materiais amorfos, tal como os vidros das janelas, têm uma ordem num
pequeno comprimento, por isso não têm uma simetria translacional.
Exemplo
Para identificar o número de átomos que em cada ponto podem ser construídos
a partir de uma dada estrutura cristal, na Fig. 1.3
Figura 1.3 Estrutura Cristalina
A rede desta estrutura cristalina é rectangular, com dois átomos por cada ponto
da rede.
Actividade 1.3.3 Célula unidade e célula primitiva
(a) (i) Use as referências (Steadman R, 1982, Cristalografia, Van Nostrand
Reinhold (UK) Co. Ltd, Norfolk), ou outros quaisquer e defina a célula
unidade e a célula primitiva. Assinale a diferença entre as duas.
(ii) A unidade célula é definida em termos de seis elementos ou
parâmetros: a, b, c, os comprimentos laterais da célula (tomados como eixos);
α, β, e γ, os ângulos entre as direcções axiais, como mostrado na Fig 1.4.
29
Figura 1.4: Os seis elementos da célula unidade.
(b) Os padrões dados na Fig 1.5 são exemplos de células unidades construídos
a partir de uma dada rede.
Figura 1.5: Exemplos de células unidades construídos a partir de uma dada
rede.
(c) Siga as construções abaixo e construa a célula de Wigner-Seitz, que é um
exemplo da célula primitiva. Veja Fig. 1.6
1. Trace linhas para conectar um dado ponto de uma rede como todos os
pontos vizinhos.
2. Trace novas linhas ou planos nos pontos médios e a normal a essas linhas. A
mínima porção do volume coberto deste modo é a célula primitiva de WignerSeitz.
30
Figura 1.6: Construção da célula primitiva de Wigner-Seitz
(d) Leia mais acerca disto a partir de http://newton.ex.ac.uk/teaching
/resources/rjh/phy2009/
Actividade 1.3.4 Sistemas de Cristais; Redes tridimensionais
(a) A rede tridimensional é caracterizada por reconhecer primeiro os sete
sistemas de eixos que dão sete células unidades chamadas sistemas de cristais.
Estes são os eixos dados acima sob a célula unidade. A magnitude dos vectores
a, b, e c são a, b, e c respectivamente. Estes são os parâmetros da célula
unidade.
(b) Use as referências (http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure) e
descreva os sete sistemas de cristais (redes): cúbica, tetragonal, orthorhombic
(rhombohedral), monoclínico, triclínico, trigonal e hexagonal em termos de
parâmetros da rede: a, b, c e α, β, e γ os ângulos entre as direcções axiais.
Actividade 1.3.5
Classificação dos cristais pela simetria
A propriedade característica do cristal é a sua inerente simetria, pela qual nos
indica que, sob certas operações, o cristal se mantém inalterado quando visto
sob uma dada direcção. Por exemplo, girando o cristal em 180 graus em torno
de um certo eixo, pode resultar numa configuração atómica idêntica à
configuração original. O cristal é considerado então como tendo uma dupla
simetria rotacional em torno do eixo. Em adição há simetrias rotacionais como
esta: um cristal pode ter simetrias na forma de espelhos planos e simetrias
translacionais, e também a chamada simetria composta, que é a combinação
das simetrias de translação e rotação/espelho.
A classificação completa do cristal é alcançada quando todas estas simetrias
inerentes do cristal estão identificadas.
31
(a) Leia acerca disto e resolva quantos problemas forem possíveis. Use as
referências providenciadas. Determine o número de simetrias rotacionais para
a rede rectangular, circular, equilateral e hexagonal.
(b) Quando a rede quadrada (mostrada na Fig. 1.7) é girada em torno do eixo
que passa pelo seu centro, vai aparecer exactamente como se tivesse sido
girado quatro vezes num ângulo de 360º. Por isso uma rede quadrada tem uma
simetria dupla - quadrada. Em cada dupla, a rede é girada 90º ou π/2.
Figura 1.7: Uma rede quadrada
(i) Note que as possíveis simetrias de rotação são: rotações duplas de eixo uma
vez, duas vezes, três vezes, quatro vezes, e seis vezes, que levam as redes às
suas correspondências para 2π/1, 2π/2, 2π/3, 2π/4, 2π/6. Relacione estes
valores com as redes dadas na actividade 1.3.5 (a) acima.
LEIA MAIS SOBRE ISTO!! (Blakemore J.S. 1974, Solid State Physics 2nd
ed., Cambridge University Press, Cambridge).
(c) Leia e faça notas acerca de redes Bravais (Introduction to solid state
physics by C Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th Ed., New York:
Wiley,
1976)
incluindo
os
websites;
http://pages.physics.cornell.edu/sss/bravais/bravais.html: (Simulação de redes
bravais)
Exemplos do sistema cúbico
Existem três redes no sistema cúbico: o cúbico simples (sc); o corpo - centrado
cúbico (bcc); o cúbico de face centrada (fcc) (siglas em inglês). Mostrados na
Fig. 1.8
32
Figura 1.8: As três redes no sistema cúbico
(ii) Procure outras referências para a comparação ( pode obter isto de qualquer
referência).
Actividade 1.3.6 Linhas de Simetria
A expressão geral para a rotação permitida numa rede periódica é obtida como
se segue.
Considere a rede de parâmetros de rede como mostrado na Fig. 1.9
Figura 1.9: Rotação permitida numa rede periódica
Ao longo da linha A os átomos 1 e m estão separados pela distância (m-1)a.
Deixe que a rotação α seja permitida nesta rede. A rotação em torno do átomo
2 movimenta 1 para a posição originalmente ocupada por alguns átomos 1’. De
modo similar, a rotação no sentido de relógio de m em torno de m-1 move m
para m’. Ambos 1’ e m’ estão agora na linha B. A separação X é o múltiplo de
a se α for a rotação permitida.
Seja X = pa p é desconhecido.
A diferença entre os dígitos m e p pode ser descrita em termos de α como
X = pa = (m-3)a + 2acosα  cos  
3 p m
(1.3)
2
33
As soluções mostram que as tentativas para encher qualquer área com
polígonos regulares de qualquer simetria rotacional conduzem ao agrupamento
ou perda de espaços.
Solução da equação 1.3
Tabela 1.1: Soluções para equação 1.3.
p-m
Cosα
Α
Ordem de
rotaçãoi
-1
1
0
1 vez – dupla
-2
½
Π/3
6 vez – dupla
-3
0
Π/2
4 vez – dupla
-4
-1/2
2Π/3
3 vez – dupla
-5
-1
Π
2 vez – dupla
(iii) Verifique se a informação na tabela é correcta.
Actividade 1.3.7 Sistema de índice para cristais planos (Índices de
miller)
Nesta actividade vai aprender como definir posições, direcções e planos em
cristais; a distância em que o conjunto de estruturas é formado e os dois tipos
distintos.
(a) Posições e direcções:
(i) A posição de qualquer rede é dada por r = ua + vb + wc, onde u, v, e w são
dígitos.
(ii) A posição de qualquer ponto é r = ua + vb + wc, mas neste caso u, v, e w
não precisam de ser dígitos.
(iii) As direcções são também definidas em termos de r a partir da origem. A
direcção é indicada como [uvw],
(b) Para ilustrar os dois conceitos: a posição do centro do bcc tem coordenadas
fraccionárias (1/2, ½, ½), enquanto a direcção deste ponto a partir da origem é
[1/2 ½ ½]
(c) Índices de Miller
34
Os índices de Miller são úteis para definir um conjunto de planos em cristais. É
muito útil especificar a orientação do plano pelos índices determinados pelas
seguintes regras:
(i) Encontre as intercessões nos eixos em termos de parâmetros da rede, a, b, e
c. No caso da rede cúbica, a = b = c. Deixe que essas intercessões sejam 3a,
2b, 3c, Fig 1.10
Figura 1.10: Plano usado para derivar os índices de Miller
(ii) Tome os recíprocos destes números.
(iii) Reduza os recíprocos para três dígitos com os mesmos ratios, em geral os
menores três dígitos h, k, l. Isto é feito multiplicando os recíprocos com os seus
LCM.
(iv) Feche os três dígitos em parênteses como (hkl). Não devem existir vírgulas
entre os índices. (hkl) é chamado o índice do plano ou índice de Miller para o
plano.
Ilustrações dos procedimentos acima
1. Os valores de intercessão nos eixos de x, y, e z são 3a, 2b e 3c
respectivamente.
1 1 1 1 1 1
, , = , , dado que a, b, e c
3a 2b 3c 3 2 3
são vectores unitários ao longo dos eixos respectivos.
2. Os recíprocos das intercessões são
35
3. Reduzindo os recíprocos i.é. multiplicando pelo LCM. Neste caso o LCM é
6. Os recíprocos reduzem-se para 2, 3, 2 respectivamente.
4. Os índices de Miller para o plano são por isso (232).
Se o plano se dividir em eixos no lado negativo da origem, o índex
correspondente é negativo e é indicado pelo sinal menos, escrito como
travessão, p.e. hkl o índice k é lido como ‘k barra’.
 
Note que no caso da rede cúbica todas as faces são idênticas. Por esta
matéria estes planos são equivalentes por simetria. Planos equivalentes por
simetria são denotados por parênteses curvos em torno dos índices.
LEIA MAIS SOBRE ISTO E TOME NOTAS(Steadman R, 1982,
Cristalografia, Van Nostrand Reinhold (UK) Co. Ltd, Norfolk).
Exemplo
 
Para uma rede cúbica, um plano com índices de Miller 123 é dado como se
segue:
Figura 1.11: Esboçando um plano numa rede cúbica
Note que a escolha da origem é muito importante no esboço do plano.
No exemplo da Fig. 1.11, a origem está no canto superior direito. Note também
o modo como os cantos são subdivididos de acordo com os índices
correspondentes antes do esboço do plano.
(d) Uma estrutura simples - fechada
Em qualquer plano fechado, um conjunto de esferas, cada esfera
(representando um átomo) tem de ter seis vizinhos em contacto para um sólido
36
monoatómico ser considerado incompreensível. Tais planos em simetria
hexagonal podem ser colocados juntos para fazer um sólido em dois modos
simples. Em ambos os arranjos, cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos –
6 no plano, e três no plano acima e três no plano abaixo. Veja a Figura 1.12
Sequência de empacotamento
Figura 1.12: Sequência de empacotamento em uma estrutura simples
fechada
As esferas são arranjadas numa linha da estrutura simples fechada. Um meio
de colocar cada esfera em contacto com os outros seis. Esta linha pode servir
quer como o plano base duma estrutura hcp quer do plano (111) para a
estrutura fcc. Uma segunda e idêntica linha de esferas pode ser colocada em
cima e paralelamente à primeira desenhada com centros acima dos pontos
marcados B. Existem duas possibilidades para a terceira linha. Pode ser
colocada sobre A ou sobre C. Se for colocada acima de A, a sequência é
ABABAB ... e a estrutura é empacotada - fechada hexagonal. Se a terceira
linha for colocada acima de C, a sequência é ABCABCABC ... e a estrutura é
face - centrada cúbica.

Para apreciar o que foi descrito acerca do empacotamento em
sequência, obtenha modelos esféricos e tente arranjá-los como descrito.
1.3.8
37
Fracção de empacotamento (densidade)
Nesta actividade vai ser capaz de calcular a fracção de empacotamento/
densidade dos diferentes cristais.
(a) Leia a teoria e o exemplo providenciado acerca da fracção do
empacotamento (densidade de empacotamento). Use outras referências para
suplementar o que abaixo está providenciado.
(b) A fracção de empacotamento é definida como a máxima proporção do
volume disponível que pode ser preenchido com esferas maciças.
(c) Escreva a expressão matemática para a afirmação em (b).
(d) Um exemplo de como calcular o empacotamento de fracção. Considere
uma rede cúbica simples (sc) mostrada na Fig 1.13.
Para determinar a fracção de empacotamento, encontre o primeiro número de
pontos de rede numa dada célula.
(i) O ponto de rede neste caso refere-se ao número completo de átomos que a
unidade célula contém.
(ii) Num sc os átomos estão em contacto uns com os outros apenas ao longo
dos cantos das células mostradas na Fig 1.13.
Figura 1.13: Uma rede cúbica simples mostrando relativas posições dos
átomos numa face.
(iii) Todos os átomos estão nos cantos da rede cúbica
38
(iv) Cada átomo no canto é partilhado por 8 células. Por isso cada átomo
1
contribui
da unidade célula. Dado que existem 8 átomos nos cantos; os
8
1
pontos de rede em sc são x8  1 .
8
Isto significa que a unidade célula num sistema sc tem um átomo para si
mesma. Por isso, o volume V ocupado pelo átomo é:
3
4
4 a
a
V  r 3     , r  (raio do átomo em termos dos parâmetros da rede)
3
3 2
2
 Fraccao
volume  ocupado  pelos  pontos  de  rede



de
Volume  ocupado  pela  celula  unidade
empa cot amento

 Fraccao
3


 
  4 / 3 (a / 2) 3    52%
de
a  6
empa cot amento 

Isto significa que 48% do volume dum sc é vazio, enquanto 52% está
preenchido de átomos.
Actividade 1.3.10
Difracção e reflexão dos raios X
(a) Nesta actividade olhamos para a distribuição elástica das ondas em
estruturas periódicas. Isto inclui a derivação simples das condições de Bragg.
Veja a referência para a animação da difracção cristalina.
http:www2.wwnorton.com/college/chemistry/gilbert/tutorials/ch10.html
(b) Quando um foco de raios X paralelos de comprimento de onda, λ, é
incidente nos planos de um cristal, como mostrado na Fig 1.14, a reflexão dos
raios X pelos planos num cristal tem lugar somente quando 2d(hkl)sinθ = nλ, n
= 1,2,3 .... (1.4)
A equação (1.4) é conhecida como lei de Bragg, d é o espaçamento entre
planos num cristal. Em geral as reflexões de Bragg podem somente ocorrer
para o comprimento λ ≤ 2d. Isto explica porque a luz visível não é usada. A luz
visível tem comprimentos de onda muito mais visíveis.
39
Figura1.14: Reflexão dos raios X pelos planos de um cristal
Um conjunto de linhas do cristal apenas se reflecte num certo ângulo e no
ângulo θ, isto é, o ângulo entre o foco e os planos aumenta à medida que os
espaçamentos diminuem. θ é o ângulo de visão.
(c) Em livros avançados pode ser mostrado que o plano de separação, d,
parâmetro da rede, a, e os índices de Miller (hkl) têm a relação dada pela
equação 1.4
d hkl 
a
h2  k 2  l 2
(1.4)
Se a célula unidade cúbica tem o parâmetro da rede a = 1.20 nm, então d221=
0,4nm, d224 = 0,2nm
(d) Mostre que os valores acima de d em 1.3.10 (c) são correctos.
Prova de lei de Bragg
Figura 1.15: raios – X reflectidos a partir dos planos do cristal
40
Na figura 1.15 a diferença geral do caminho é 2x, onde x = XY = YZ. Mas
x
sin    x  d sin  diferença de caminho é por isso = 2d(hkl)sinθ. A
d
interferência ocorre quando a diferença de caminho é um múltiplo integral de
λ. i.e. quando 2d(hkl)sinθ = nλ, n = 1,2,3 ....
Exemplo
Mostre que a separação interplanar, d, parâmetro da rede, a e índices de Miller
h, k, l é dado por
d
a
h2  k 2  l 2
Solução
Figura 1.16: plano usado para a derivação da expressão da separação
interplanar.
Usemos a Fig 1.16 para derivar a expressão da separação interplanar, d.
41
2
2
a a
Do triângulo OAB temos que g 2       (1)
h k 
2
2
a/k
e
a a
Também temos que sin  

 e 2 g 2    .  (2)
g
a/h
k  h
2
a
Do triângulo OCE    e 2  f 2 (3)
I
Também sin  
e
d
e2

 f2 2
f a/I
d .(a / I ) 2
A partir das equações (2), (3) e (4) pode ser mostrado que d 2 
Actividade 1.3.11
a2
h2  k 2  I 2
Câmara de Pó dos raios X
Nesta actividade vai ler e descobrir como a câmara de pó dos raios X é usada
no estudo da estrutura do cristal, em particular, para a identificação dos planos
num cristal e consequentemente providenciar um meio apropriado de
determinar o ângulo de visão. (Steadman, R, 1982 é particularmente muito
bom para o efeito)
(a) Use as referências providenciadas para anotar o uso da câmara de pó dos
raios X.
(b) Na sua tomada de notas considere os cristais cúbico simples (sc), cúbico
face - centrado (fcc) e cúbico corpo - centrado.
Actividade 1.3.12
Espaço da rede recíproco e Esfera de Ewald
Nesta actividade vamos determinar os planos num cristal, os quais são
responsáveis pela difracção dos raios X.
(a) Note que é difícil imaginar como o foco dos raios X entrando num cristal
pode comportar-se, com tantos planos colocados em todos os ângulos do foco e
todos com diferente d - spacing. Qual deles irá (se por ventura existir)
satisfazer a lei de Bragg e reflectir o foco? O uso da rede recíproca para
compreender a difracção foi demonstrado em 1913 por P.P. Ewald. Os pontos
da rede recíproca representam os planos da rede recta (i.e. real) que formam. A
rede recta determina (através de relações definidas) os vectores da rede
42
recíproca, os espaçamentos entre os pontos da rede e as direcções recíprocas
associadas.
Considere a rede recta bi - dimensional mostrada na Fig. 1.17. Está definida
pelos vectores reais a e b, e o ângulo γ. São os espaçamentos dos planos (100)
e (010) (i.e. d100 e d010). Uma rede recta tridimensional poderia introduzir o
vector da rede c perpendicular ao plano do diagrama.
Figura 1.17: Uma rede recta bidimensional
A rede recíproca vai ter vectores recíprocos a* e b*, separados pelos ângulos γ*.
a* será perpendicular ao plano (100) e igual em magnitude ao inverso de d100.
De modo similar, b* será perpendicular ao plano (010) e igual em magnitude
ao inverso de d010. Por isso ângulos γ e γ* vão somar 180º.

Estude cuidadosamente abaixo como é feita a construção do espaço
recíproco a partir do espaço real.
Sejam a* , b* e c* e b* os vectores recíprocos da rede.
a* é perpendicular ao plano de (100)
b* é perpendicular ao plano de (010)
c* é perpendicular ao plano de (001)
O comprimento de a* é
1
d100
, b* é
1
d 010
e c* é
1
d 001
.
43
Figura 1.18: Construção do espaço recíproco a partir do espaço real
Note que os vectores a* e b* são desenhados perpendicularmente aos planos
(100) e (010) respectivamente.
Pontos importantes para anotar acerca da construção da esfera de Ewald
(i) Na construção da rede recíproca, começa-se por estabelecer a origem 000 e
depois os eixos. Esta origem é fixa e é central para a rede no seu todo e é o
ponto em relação ao qual os índices de todos os outros pontos estão
relacionados. A rede real, de outro lado, não têm uma tal origem fixa e todos
os seus pontos são idênticos.
(ii) A rede recíproca difere de modo fundamental da real rede pelo facto de ela
não ser repetitiva (retirando o facto de ter o mesmo espaçamento entre pontos).
A sua origem permanece e os pontos 001 e 002, por exemplo, têm as suas
identidades e não podem ser trocados como acontece na rede real. Estes pontos
representam planos, o que não acontece no caso do espaço real, onde os pontos
representam átomos.
44
A rede recíproca e a lei de Bragg
A rede recíproca dá um simples e elegante modo de representar a reflexão dos
raios X pelos planos do cristal. Isto é obtido pela construção da esfera de
Edwald.
Passos essenciais a seguir na construção da esfera de Ewald
Use os parâmetros da rede dada para determinar o comprimento dos vectores
1
1
1
no espaço recíproco i.e. O comprimento de a* é
, b* é
e c* é
.
d100
d 010
d 001
Seja a = 0.3nm; b = 0.5nm; λ = 0.25nm se n = 1 então
0.25
sin  
   14.5 o .
0.5
Figure1.19: Construção da esfera de Ewald
45
1. Construa o espaço recíproco a partir do espaço real como na Fig. 1.19.
2. Escolha um dos pontos na rede recíproca para 000.
3. Nomeie todos os outros pontos que neste caso representam planos.
4. Use a equação de Bragg e calcule o ângulo de visão usando as variáveis
providenciadas. Suponha que a instrução é que a reflexão ocorra a partir de
(010), a separação interplanar d é igual ao valor do parâmetro da rede b. Se a
reflexão é a partir do plano (100), então o valor de d é igual ao valor do
parâmetro da rede a.
5. Usando um dos eixos, meça o ângulo θ a partir dele. Desenhe uma linha
marcando este ângulo, de tal modo que esta linha passe pela origem 000. Esta
linha representa a direcção dos raios X.
6 . Calcule o recíproco de λ, o comprimento de onda dos raios X que estão a
ser usados na difracção. O recíproco de λ é igual ao raio r, da esfera de Ewald,
1
i.e. r 

7. Começando por 000, meça r ao longo da linha que marca o ângulo de visão.
O fim de r neste caso representa o centro da esfera de Ewald onde se assume
que o cristal está alocado. Chame a este ponto P.
8. Desenhe a esfera de raio r em torno de P. Esta esfera forma a esfera de
Ewald. Naturalmente que em duas dimensões é um círculo.
9. Na construção da esfera, identifique os pontos que estão na esfera. Os
pontos que estão na esfera, p.e. o ponto Q, representam os planos responsáveis
pela reflexão dos raio X, enquanto os pontos, p.e. S, que apenas tocam a esfera
somente reflectem parcialmente os raios X. Se n é um, então estes planos são
responsáveis pela primeira ordem de difracção.
Ordens superiores de difracções
Existem dois modos de fazer isto, o primeiro dos quais consiste em seguir os
procedimentos alistados acima, mas na determinação de θ usando a equação de
Bragg, n deve ser tomado como 2, para a segunda ordem de difracção, e
tomado como 3 para a terceira ordem de difracção, etc.
No segundo modo, os planos responsáveis para as difracções de ordem
superior são obtidos como se segue:
46
1. Use a esfera de Ewald para determinar planos responsáveis pela primeira
ordem de difracção.
2. Com a ajuda do tracing paper, trace o esquema da esfera no papel.
3. Fixe o esquema usando os alfinetes ou canetas em torno de 000.
4. Gire o esquema em torno de 000 no sentido horário, até que um novo
conjunto de pontos se encontre na esfera. Estes pontos vão corresponder aos
planos responsáveis para a segunda ordem de difracção.
5. Para a obtenção de planos responsáveis de 3ª, 4ª ordem, etc., continue a girar
o outline no sentido horário, enquanto localiza quaisquer outros novos planos
que vão estar na esfera.
Uma aproximação geral à Rede recíproca
Distribuição da Amplitude da Onda
Figure 1.20: Distribuição da Amplitude da Onda
O diagrama na Fig 1.20 mostra uma onda que se espalha a partir da origem O e
a partir do ponto r.
(a) Use algumas referências (http://en.wikipedia .org/wiki/Crystal_structure)
providenciadas e mostre que, a condição para todos os vectores R, a
interferência construtiva numa rede recíproca é k .R  G.R  2n (1.5)
k é o vector de onda dado por k = (2π)/λ.
47
R = ua + vb + wc é o vector de rede e u, v, e w são dígitos.
(b) Determine as propriedades da onda exp(iG.r) que satisfaçam a condição
G.R = 2nπ
(c) Condição de Laue para difracção
Um meio alternativo para afirmar a condição de que k .R  G.R  2n e que
R = ua + vb + wc é dizer que
G.a = 2πh.
G.b = 2πk.
G.c = 2πI.
h, k, e I são dígitos
Estas condições são satisfeitas se definirmos Ghkl = ha* + kb* + Ic* com
a*.a = 2π,
a*.b = 0.
a*.c = 0
b*.b = 2π,
b*.a = 0.
b*.c = 0
c*.c = 2π,
c*.b = 0.
c*.a = 0
As afirmações acima significam que a* é perpendicular ao vector primitivo b e
c = 0 da rede recta (real).
(e) Use as condições de Laue para difracções e mostre que:
(i) a *  2
bxc
a.(bxc)
(ii) b *  2
cxa
a.(bxc)
(iii) c *  2
axb
a.(bxc)
Auto-avaliação 1
1. Discuta as características dum composto iónico na temperatura da sala.
2. Identifique a rede dada na
Fig 1.21 e diga o número de
átomos por cada ponto da
rede.
Figura 1.21: Estrutura de Cristal
48
3. Determine o número de simetrias rotacionais para:
(i) uma rede rectangular
(ii) um cristal equilateral
4. Porque todos os processos de redes têm simetria translacional?
5. Explique porque as ordem de rotação correspondendo a 5 vezes – dupla ou 7
vezes – dupla não existem.
6. Cubra o plano (100), o plano (001) e um plano (111).
7. Mostre que a fracção de empacotamento num
(i) cúbico cristal corpo - centrado é 68%
(ii) cúbico cristal face - centrada é 74%
8. Explique como ocorre a difracção dos raios X.
Actividade 2 Defeitos de Cristais e Propriedades Mecânicas
Vai precisar de cerca de 20 horas para realizar esta actividade.
Resumo da actividade de aprendizagem
O resultado de aprendizagem requer que distinga os diversos tipos de defeitos
de cristal: os pontos de defeitos (lacunas, intersticiais, e substitucional) e
deslocações (rotação e canto). Vai aprender que os pontos de defeitos estão
muito localizados e são do tamanho atómico, enquanto a deslocação é uma
desordem que se estende para além do volume de um ou dois átomos. Na
actividade vai aprender acerca dos efeitos dos defeitos sobre as propriedades
mecânicas e eléctricas. Os objectivos chave desta actividade requerem do
estudante que:

Explique o conceito dos defeitos dos cristais.

Relacione os defeitos dos cristais com algumas propriedades mecânicas
observadas e outras propriedades.
Lista das Leituras Necessárias
49
aprendidos.
Racional: Este artigo dá um outro modo de olhar para as estruturas de cristal.
Mais ainda o teste de amostra e exercícios dados no fim providenciam boa
Leitura 2: Estrutura e Escala Atómica dos Materiais
De: DoITPoMS Pacotes de Ensinar e Aprender
URL:
Resumo: Vários tipos de cristais são descritos e exemplos trabalhados são
dados em tópicos de cristal e defeitos de cristal.
Racional: Este material é parte de DoITPoMS pacotes de ensinar e aprender.
Os pacotes são destinados a um uso interactivo no computador! Este extracto
impresso cordialmente é providenciado por conveniência, mas não mostra todo
o conteúdo do pacote de ensino e aprendizagem. Por exemplo, faltam todos os
vídeos clips e as respostas às questões. Se tem acesso à internet, visite o site e
resolva os exercícios. Esta leitura suplementa a segunda actividade do módulo.
Lista dos Recursos MM Relevantes
Recurso # 1
Título: Defeitos em cristais
URL: http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/def_en/index.html
Descrição: Providencia técnicas de experimentação para estudar os pontos de
defeitos, deslocações e outros defeitos.
Recurso # 2
50
Título: Estrutura do Cristal
URL: http://www.eserc.stonybrook.edu/Projectjava/Bragg/index.html
Descrição: Providencia animação sobre como as ondas revelam a estrutura
atómica dos cristais.
Link útil # 4
De Wikipedia, a enciclopédia livre
Títulos: Defeitos de Cristais
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/cristalographic_defeitos#Point_defeitos
Ecrã capturado
DescriçÃO: UMA BOA DESCRIÇÃO DE DEFEITOS ( PONTOS DE
DEFEITOS, LINHAS DE DEFEITOS, DEFEITOS DE PLANOS E
TAMANHO DE DEFEITOS SÃO EXPLICADOS NESTE SITE)
consultado no dia 24 de Abril de 2007
Link útil # 5
Títulos: Estruturas de Cristais
URL: http://phycomp.technion.ac.il/~sshaharr/
51
Ecrã capturado
DescriçÃO: ESTE WEBSITE
TEM UMA BOA COLECÇÃO DE LINKS PARA A
VISUALIZAÇÃO DE UMA ESTRUTURA TRIDIMENSIONAL
Consultado no dia 24 de Abril de 2007
Link útil # 6
De: Universidade de Virgínia, Departamento de Ciências de Material
Títulos: Estrutura e imperfeições nos sólidos
52
URL: http://people.virginia.edu/~lz2n/mse209/
Ecrã capturado
DescriçÃO: ESTE LINK CONDUZ PARA A UNIVERSIDADE DE VIRGÍNIA,
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS E ENGENHARIA DE MATERIAL. O CURSO
(INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS E ENGENHARIA DE MATERIAL), COM OS CAPÍTULOS
INDICADOS NO ECRAN CAPTURADO, CONTÉM DOCUMENTOS BEM ORGANIZADOS E
RELEVANTES PARA ESTA ACTIVIDADE.
RACIONAL: PROVIDENCIA BOM MATERIAL DE LEITURA
Descrição detalhada da actividade
Actividade 2.1 Defeitos de Cristais
Nesta actividade vai aprender e explicar os efeitos de defeitos nas propriedades
dos materiais. Vamos concentrar-nos em dois tipos de defeitos
designadamente: pontos de defeitos e deslocações, e fazer experiências.
53
Pontos de defeitos
Existem dois tipos principais de defeitos geométricos num cristal. Há aqueles
que estão bem localizados e são de dimensões atómicas. Estes são chamados
pontos de defeitos. Um exemplo destes pontos é um átomo impuro que pode
ser uma impuridade substitucional ou intersticial.
(a) Quando alguns átomos não estão exactamente nos seus devidos lugares,
diz-se que a rede contém imperfeições ou defeitos.
(b) Muitas propriedades dos sólidos, p.e. a resistência eléctrica e força
mecânica, são governadas pela presença de certo tipo de defeitos na rede.
2.1.1 Impuridade substitucional
Isto é quando a impuridade substitui um átomo num lugar na rede, p.e. A, e
intersticial, quando a impuridade está entre os átomos hospedeiros num lugar
fora dos ramais da rede, p.e. B. Em ambos os casos haverá distorções da rede
em torno da impuridade.
Figura 2.1: Exemplos dos pontos de defeitos
Uma terceira forma dos pontos de defeitos é quando falta um átomo no seu
lugar na rede, p.e. C. Este tipo forma o defeito mais simples. Este vazio na rede
é chamado lacuna ou defeito schottky, como se mostra na Fig 2.1 acima.
a) Use as referências providenciadas e explique os efeitos das impurezas, tais
como A ou B, nas propriedades físicas do cristal.
http://www.people.virginia.edu/~lz2n/mse209/Chapter4.pdf. 20/05/2007
http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/dislocations/raftseq2.php. 20/05/2007
2.2.2 Efeitos da presença de uma lacuna num lugar de um ião - positivo
54

A presença de uma lacuna num lugar de um ião - positivo pode ser
mostrada como na Fig 2.2

Estude o diagrama na Fig 2.2 e providencie respostas para as perguntas
colocadas abaixo.
Figura 2.2: Efeitos de lacuna num lugar de um ião - positivo
(i) O que acontece com a neutralidade eléctrica na vizinhança da lacuna?
(ii) O que acontece com a energia electrostática do cristal e qual será o seu
efeito?
(iii) Explique o efeito da lacuna para além da propriedade eléctrica.
Actividade 2.1.3
Deslocações
Diferentemente dos pontos de defeitos, aqueles são tipos de desordem que vão
para além do volume de um ou dois átomos. É uma linha de defeito que pode
estender-se ao longo do cristal ou formar uma corda fechada.
(a) Existem dois tipos básicos de deslocações: deslocação de canto e
deslocação de rotação ( deslocações “misturadas”, combinando os aspectos de
ambos os tipos são também comuns).
(i) Deslocações de canto
São causadas pela terminação dum plano de átomos no meio dum cristal. Em
tal caso, os planos adjacentes não são rectos, curvam-se em torno do canto da
terminação do plano para que a estrutura do plano esteja perfeitamente
ordenada do outro lado. Veja a Fig. 2.3. A analogia com o empilhamento de
papéis é adequada: se metade de uma folha é inserida numa pilha de papéis, o
defeito na pilha é apenas notável no canto da metade da folha. Veja a Fig 2.3
55
(ii) Deslocação de rotação
Esta é muito mais difícil de visualizar, mas basicamente inclui a estrutura na
qual um caminho helicoidal é traçado em torno do defeito linear ( linha de
deslocação) pelos planos atómicos na rede do cristal. Veja Fig 2.3.
Figura 2.3: Deslocação de canto
Deslocação de rotação
Note que, na deslocação de rotação, o plano de deslocação estende-se
parcialmente para dentro do cristal a partir da frente. Átomos localizados
naquele espaço são baixados por uma unidade de célula relacionada com os
átomos do outro lado.
Outras formas de defeitos
(a) Nesta secção precisa de:
(i) Ler acerca de defeitos planares e do tamanho de defeitos.
http://en.wikipedia.org/wiki/crystallographic_defeitos#Point_defeitos
(ii) Tome notas breves.
(iii) Como se comparam com os pontos de defeitos e deslocações?
(b) Use as referências e tome notas sobre:
(i) Resistência mecânica dos materiais. Discuta-a em relação aos defeitos já
identificados.
(ii) Fronteiras de grãos dentro do cristal ( deve discutir acerca de fronteiras
gémeas). Deve notar também que as fronteiras de grão num policristal podem
ser consideradas um defeito bidimensional numa perfeita rede de cristal.
Actividade 2.1.4
Crescimento do Cristal
Nesta actividade, os resumos abaixo dão-lhe os efeitos das deslocações nos
sólidos. Leia e tente relacionar cada um com uma situação da vida real. Vai
aprender que:
56
(i) A presença de deslocações resulta de distorção da rede.
(ii) A direcção e a magnitude dessa distorção são expressas em termos de
vector sanduíche b.
(iii) Para qualquer tipo de canto, b é perpendicular à linha de deslocação,
enquanto no tipo rotacional é paralelo.
(iv) Nos materiais metálicos, b é alinhado com a direcção de pacotes –fechados
de cristalografia e a sua magnitude é equivalente a um espaçamento
interatómico.
(v) As deslocações podem mover-se se os átomos que formam um dos planos
de vizinhança quebrarem as suas ligações e criarem novas ligações com o
canto terminal. É a presença de deslocações e a sua habilidade para se
moverem de imediato (e interagir) sob a pressão induzida pela carga externa
que conduz à característica da maleabilidade dos materiais metálicos.
Actividade 2.1.5
Deformação plástica
Nesta actividade são-lhe dados alguns dos planos ao longo dos quais a inclusão
do material ocorre.
(i) As investigações microscópicas mostram que, quando o metal é deformado
plasticamente, a deformação ocorre pela inclusão do plano do empacotamento
mais próximo ao longo da direcção da linha do mais próximo empacotamento
nesse plano.
(ii) Para os cubos cristais de face centrada, o movimento normalmente ocorre
ao longo de quatro equivalentes planos {111}.
 Identifique os planos ao longo dos quais o movimento ocorre no cristal de
corpo centrado. Esquematize o cristal de modo a mostrar os planos.
Actividade 2.2
Propriedades
Mecânicas
(a) Leia e tome notas sobre a resposta do material às forças aplicadas. Em
particular tome nota de dois importantes regimes do comportamento mecânico,
designadamente:
(i) Deformação (não-permanente) elástica que é governada por alargamento de
ligações atómicas.
57
(ii) Deformação (permanente) elástica que é governada por movimentos de
deslocações.
(b) A discussão deve incluir:
(i) definições de pressão (incluindo tensão e cortes). Considere também os
estados comuns de pressão (tensão simples, compressão simples, tensão
biaxial, pressão hidrostática e corte ou divisão pura).
(ii) Definições de deformações que devem incluir a tensão da deformação,
deformação lateral e a deformação de corte.
Actividade 2.2.1
Ratio de Poison
Tome breves notas sobre a definição de ratio de Poison e sua relação dada
pela equação (2.1) v 
x
(2.1)
z
 x - é a deformação devido à elongação e  z - é a deformação devido à
contracção perpendicular à extensão causada pela pressão de tensão.
Actividade 2.2.2
Propriedade Elásticas
Nesta actividade vai fazer experiências para verificar a lei de Hookes. Vai
também usar o resultado da experiência para mostrar como o módulo de
Young de material é obtido.
(a) Tensão, deformação e pressão:
Use os resultados da experiência e tome notas sobre:
(i) como é estabelecida a lei de Hookes para pequenas deformações;
(ii) como mostrar que, para pequenas deformações, a pressão, o módulo σ de
Young, E, e deformação ε têm a relação dada por:   E. σ
L  L0 L

, onde L0 é o comprimento
L0
L0
normal e L é o comprimento esticado.
(i)
O defeito de tensão  
(ii)
A pressão de tensão  
área da secção transversal.
F
, onde F é a magnitude da força e A é a
A
(iii)
o módulo de Young 
58
stress F / A F L
.


A L0
strain L / L0
As unidades de módulo de Young são as mesmas que de pressão, dado que a
deformação é um número puro. Por isso a unidade de módulo de Young é o
Pascal (Pa). 1pascal = 1Pa = 1Nm-2
(iv)
As suas notas devem incluir rascunhos de gráficos com legenda da
relação pressão – deformação.
Devem ser providenciadas explanações adequadas das diferentes partes do
gráfico.
(a) Compressiva pressão e deformação
Figura 2.4: Forças compressivas
Quando as forças F actuam no fim da barra, como ilustrado na Fig. 2.4, então a
barra está sob compressão.
(i) A deformação da compressão da barra é definida do mesmo modo como a
tensão de deformação, mas ∆l tem a direcção oposta.
(ii) A lei de Hooke é válida para compressão assim como para a tensão se a
força compressiva não for tão grande.
(iii) Para muitos materiais, o módulo de Young tem o mesmo valor para a
tensão e pressão compressiva; materiais compostos reais são uma excepção.
(c) Pressão de corte e deformação
Pressão de corte é definida como a força tangente à superfície do material
dividida pela área A sob a qual as forças actuam: veja a Fig 2.5
Pr essão  de  corte 
59
FP
A
Figura 2.5: Um corpo sob a pressão de corte. A é a área da superfície sob a
qual cada força FP actua.
(d) Deformação de corte
O diagrama do corpo deformado e dado na Fig. 2.6, onde abcd representa o
bloco de material não pressionado como um livro ou um muro. A área
a´b´c´d´mostra o mesmo bloco de material sob a pressão de corte.
60
Figura 2.6: Um corpo deformado sob a pressão de corte
x
 tan  . Mas em situação real, x é muito mais
h
pequeno que h. Isto significa que tan    (em radianos)
(i) A deformação de corte 
(ii) Se as forças são pequenas, como as obedecidas
deformação de corte poderia ser proporcional ao
correspondente módulo elástico é chamado módulo
F / A FP h FP / A
pressão  de  corte
S
 P

. 

deformação  de  corte
x/h
A x

pela lei de Hooke, a
corte da pressão. O
de corte, S. Por isso
(2.2)
Use o argumento acima para derivar a equação 2.2 e suas unidades.
(e) Pressão de aceitação pelo escorregamento simultâneo dos átomos.
Exemplo
Este exemplo dá uma ilustração do cálculo de pressão de aceitação. Precisa de
saber que tem de aplicar uma pressão de corte para mover um plano particular.
Na Fig. 2.7, as deformações de corte são medidas pelo ângulo de corte de
afastamento α, de tal modo que, se d é o espaço interplanar e x o afastamento
x
linear, então  
d
61
Figura 2.7: Um pequeno afastamento elástico
Para um pequeno afastamento elástico a pressão de corte τ é dada pela equação
Gx
2.3.   G 
(2.3) onde G é o módulo de corte (ou rigidez)
d
Para um afastamento maior, τ deve ser uma função que tem uma periodicidade
b do espaçamento inter-atómico dentro do escorregamento do plano. Isto é
 2x 
dado pela equação 2.4. Isto é,   cons tan te  x  sen
 (2.4)
 b 
A partir das Eq. (2.3) e (2.4) os deslocamentos x que temos são pequenos:
2x Gx
Gb
G
por isso cons tan te  x 
cons tan te  x 


b
b
2d 2
Dado que b é aproximadamente igual a d.  
G
 2x 
sin 
 (2.5). Por isso τ
2
 b 
G
e devia corresponder à pressão retirada do
2
material, mas na realidade não corresponde. As pressões retiradas de todo o
G
material são sempre muito mais pequenas que
por duas ou quatro ordens
2
de magnitude.
tem o valor máximo de
Auto-avaliação 2
1. (a) Faça uma distinção clara entre defeitos de pontos e deslocações, usando
exemplos relevantes.
(b) Explique os possíveis efeitos de planar defeitos.
2. (a) Defina rede.
62
(b) Descreva como a célula primitiva pode ser escolhida no procedimento
de Wigner-Seitz.
(c) Derive uma expressão para uma rotação permitida, α, numa lacuna
periódica e mostre como as possíveis soluções das equações são obtidas. A lei
de Hookes para pequenas deformações é estabelecida.
Actividade 3: Propriedades Térmicas e Eléctricas
Vai precisar de 40 horas para poder completar este módulo.
Título de Actividade de Aprendizagem: Propriedades Térmicas e Eléctricas
Resumo de Actividade de Aprendizagem
Esta actividade tem duas partes principais: propriedades térmicas e eléctricas
dos sólidos. Nas propriedades térmicas, os tópicos que se seguem formam
parte da actividade de aprendizagem: capacidade de calor, capacidade de calor
específico, modelo teórico de capacidade de calor e condutividade térmica.
Para as propriedades eléctricas, as actividades envolvem a aprendizagem
acerca de condutividade eléctrica, teoria do electrão livre dos metais e lei de
Wiedermann-Frantz.
Objectivos específicos
Os objectivos específicos requerem do estudante:

Definir a capacidade de calor e explicar as variações de capacidade de
calor com a temperatura, com base no modelo clássico e nos modelos de
Einstein e de Debye.

Usar a teoria do electrão livre para explicar a alta condutividade
térmica e eléctrica dos metais.
Lista das Leituras Obrigatórias
Leitura 4: Capacidade de Calor
De: Wikipedia, a enciclopédia livre
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_Capacity
63
Resumo: A Capacidade de calor é definida e quantitativamente descrita para
corpos compressíveis. A capacidade de calor específico é definida e modelos
teóricos são descritos. É descrita a capacidade de calor a várias temperaturas.
Racional: Este material é um suplemento para a secção das propriedades
térmicas da terceira actividade deste módulo. Links são providenciados para
mais leituras.
Leitura 5: Condutividade Eléctrica
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_Conductivity
Resumo: Classificação dos materiais pela condutividade; discussão de
algumas condutividades típicas e dependência da condutividade pela
temperatura.
eléctricas da terceira actividade deste módulo. São providenciados links para
mais leituras.
Lista dos Recursos Multimédia Relevantes
Recurso # 1
Título: Equilíbrio Termodinâmico
URL: http://www.hazelwood.k12.mo.us/~grichert/sciweb/applets.html
Descrição: Providencia experiências virtuais adequadas para os estudantes.
Em adição possui uma simulação do processo de difusão quando são
misturados gases a diferentes temperaturas.
Recurso # 2
Título: Estrutura e Ligações
URL:
http://learningzone.coruseducation.com/schoolscience/KS5specialiststeelssteel
ch lpg2.html
64
Descrição: Este site dá uma animação mostrando electrões que se movem
aleatoriamente e movimentos de electrões através de um fio. Contém também
uma simulação mostrando electrões deslocados para a condutividade térmica e
eléctrica.
Recurso # 3
Título: Mecanismo de transferência de calor
URL: http://www.engr.colostate.edu/~allan/heat_trans/page4f.html.
Descrição: Este site discute os três mecanismos de transferência de calor:
Condução, convecção e radiação. Providencia também exercícios que podem
ser feitos on-line.
Lista dos Links Úteis e Relevantes
Link útil # 4: Wikipedia
Título: Capacidade de calor
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_capacity
Ilustração do ecrã:
Descrição: Este site providencia material básico de leitura sobre a capacidade
de calor incluindo modelos teóricos (fase de gás, gás monoatómico, gás
diatómico) e fase do sólido.
65
Data de consulta: 16/11/2007.
Link útil # 5
Título: Condutividade eléctrica
Ilustração do ecrã:
Descrição detalhada da actividade
Actividade 3.1 Capacidade de Calor
Nesta actividade vai:
1) definir e aprender acerca de capacidade de calor e capacidade de calor
específico;
2) derivar e aplicar relevantes equações em problemas numéricos;
3) usar as referências providenciadas para mais informações relevantes à
medida que toma notas e faz avaliações/questões;
(a) os pontos chaves de aprendizagem acerca da capacidade de calor são que a
capacidade de calor é:
66
(i) usualmente simbolizada por C maiúsculo, muitas vezes com índices;
(ii) uma quantidade física mensurável que caracteriza a habilidade de o corpo
armazenar calor à medida que a sua temperatura varia;
(iii) definida como o ratio de mudança de temperatura à medida que o calor é
adicionado ao corpo em dadas condições e estado do corpo;
(iv) expressa em unidades de Joules por Kelvin no Sistema Internacional de
Unidades.
(v) uma “quantidade extensiva”
(vi) capacidade de calor específico quando dividida pela massa do corpo que o
contém.
(b) Definição
Capacidade de calor é matematicamente definida como o ratio de pequena
quantidade de calor Q adicionado ao corpo, ao correspondente aumento da
sua temperatura dT :
 dS 
 Q 
C 
 T


 dT  cond
 dT  cond
(3.1)
Onde S é a entropia e o índice define a condição sob a qual a capacidade de
calor está a ser definida.
Coisas importantes a aprender a partir da equação (3.1)
(i) Para um sistema termodinâmico com mais de uma dimensão física, a
equação acima não dá uma única e simples quantidade, a não ser que um
caminho infinitesimal através da fase de um sistema tenha sido definido (isto
significa que é necessário saber sempre onde estão todas as partes do sistema,
qual é a massa de cada parte, e com que velocidade se move).
(ii) Para todos os sistemas reais, o caminho pelo qual estas mudanças ocorrem
deve ser definido explicitamente, dado que o valor de capacidade de calor
depende do caminho tomado de uma temperatura para a outra.
67
Actividade 3.1.1 Capacidade de calor ao volume constante, CV, e
capacidade de calor à pressão constante, CP
Nesta actividade vai:
(a) distinguir a capacidade de calor ao volume constante, CV, e capacidade de
calor à pressão constante, CP;
(b) escrever a primeira lei de termodinâmica e usá-la com as definições de CV e
CP para mostrar que
 Q 
 S 
 U 
CV  
 
 (3.2)
  T
 T V
 T V  T V
 H 
 Q 
 S 
CP  
  T
 
 P (3.3)
 T  P
 T  P  T 
Onde
Q - é a quantidade infinitesimal do calor adicionado;
T - é o subsequente aumento em temperatura;
U - é a mudança na energia interna;
H - é a mudança na entalpia.
Lembre-se de que:
(i) O aumento da energia interna é o calor adicionado e o trabalho feito:
dU = TdS – PdV
(3.4)
(ii) A entalpia é definida por H = U + PV. Por isso o incremento da entalpia é
dado por dH = dU + (PdV + VdP).
(3.5)

Muitos livros sobre calor e termodinâmica tratam este tópico muito
bem, por isso devem ser referenciados.
Actividade 3.1.2 Capacidade de calor especifico
(a) Nesta actividade, definimos a capacidade de calor específico na forma
matemática. Por isso, capacidade de calor específico, c, do material é
68
C
(3.6) que, na ausência de transição de fase, é equivalente a
m
C
C
c 
(3.7)
m V
c
Onde,
C é a capacidade de calor do corpo (J.Ko-1)
m é a massa do corpo (kg)
V é o volume do corpo (m3)
ρ = mV-1 é a densidade do material (kgm-3)
(b) Para gases, e também para outros materiais sob altas pressões, existe a
necessidade de distinguir entre as condições limites dos processos em
consideração (dado que os valores diferem significativamente entre várias
condições). Os processos típicos para os quais a capacidade de calor pode ser
definida incluem os processos isobárico (pressão constante, dP = 0) e isocórico
(volume constante, dV = 0) e uma escrita convencional para os gases é:
 C 
cP  

 m  P
(3.8)
 C 
cV  

 m V
(3.9)
(c) A falta da dimensão da capacidade de calor
A falta da dimensão de capacidade de calor C de material é dada por
C
C
C

, onde
nR Nk
C é capacidade calorífica do corpo (JK-1),
n é o número de moles no corpo (mol),
R é a constante universal dos gases (JK-1mol-1),
nR = Nk é a quantidade da matéria no corpo (JK-1),
N é o número de moléculas no corpo (não tem dimensões),
KB é a constante de Boltzmann’s (JK-1molecula-1).
Usando a informação providenciada acima, mostre que C não tem dimensões.
(d) lei de Dulong-Petit
69
(i) Para a matéria na fase de sólido cristalino, a lei de Dulong-Petit
afirma que a capacidade de calor é igual a 3. De facto, para os elementos
químicos de um sólido metálico à temperatura da sala, as capacidades
caloríficas variam desde 2.8 até 3.4 (a excepção notável é de beryllium com
2.0)
(ii) A ‘limitação’ Dulong-Petit resulta do teorema de equipartição, por
isso é somente válida no limite clássico do contínuo micro estado, que é o
limite máximo da temperatura.
Note também que:
(iii) A capacidade máxima teórica para muitos e muitos multi-átomicos
gases a altas temperaturas aproxima-se ao limite 3R de Dulong-Petit, desde
que seja calculada por moles de átomos e não de moléculas. A razão é que
gases com muitas moléculas, teoricamente, têm praticamente a mesma
capacidade térmica para alta temperatura, faltando apenas a (pequena)
contribuição de capacidade de calor que deriva da energia potencial, a qual não
pode ser armazenada entre as moléculas separadas de um gás.
(iv) Para a luz e elementos não-metálicos, assim como muitas das
moléculas comuns baseados em composto de carbono nas condicionais
normais de temperatura, o efeito quântico pode também desempenhar um papel
importante, como acontece nos gases multiatómicos. Estes efeitos, em geral,
combinam para dar capacidades caloríficas menores que 3R por mole dos
átomos no sólido, não obstante as capacidades caloríficas terem sido calculadas
por mole de moléculas. Em moléculas de sólidos, pode ser mais de 3R. Por
exemplo, a capacidade de calor de gelo no ponto de fusão é de cerca de 4.6R
por mole de moléculas, mas só 1.5R por mole de átomos. O baixo número
resulta do “congelamento” de possíveis modos de vibração para átomos leves
às adequadas baixas temperaturas, como em muitos gases. Estes efeitos são
vistos em sólidos mais quentes que nos líquidos: por exemplo, a capacidade de
calor de água líquida é outra vez próxima do teórico #R por mole de átomos do
máximo teórico de Dulong-Petit.
Actividade 3.1.3 Modelo teórico de Capacidade de calor
Esta actividade é apresentada em duas partes, isto é, sob gases e sólidos como
será em breve discutido.
Antes de continuar, leia e faça breves notas sobre a teoria cinética dos
gases.
70
Gases:
1. Monoatómico
De acordo com o teorema de equipartição da estatística de mecânica clássica,
para um sistema feito de independentes e quadráticos degraus de liberdade, a
contribuição em energia dentro de um sistema fechado composto por N
moléculas é eventualmente dividida entre os graus de liberdade disponíveis em
cada molécula. No limite clássico da mecânica estatística para cada
independente e quadrático grau de liberdade,
Ei 
k BT
2
(3.11)
Onde Ei é a energia média (medida em joules) associada com o grau de
liberdade i,
T é a temperatura (medida em kelvins),
KB é a constante de Boltzmann (1.3807.10-23JK-1).

Em geral, o número de graus de liberdade, f, em uma molécula com na
átomos é 3na: f = 3na

Use as referências e derive a equação (3.11)
Exemplo 1
O exemplo que se segue pretende ilustrar como a capacidade de calor para os
gases pode ser calculada. Consideremos um gás monoatómico.
1) No caso do gás monoatómico como hélio com volume constante,
assumindo-se que não ocorre nenhuma excitação quântica electrónica ou
nuclear, cada átomo do gás tem somente 3 graus de liberdade, todos do tipo
transaccional.
2) Nenhuma dependência de energia está associada com os graus de liberdade
que definem a posição dos átomos. Os graus de liberdade correspondendo ao
momento dos átomos são quadráticos e, por isso, contribuem para a capacidade
de calor.
3) Para N átomos, cada um dos quais tem 3 componentes de momentum,
teremos 3N graus de liberdade no total. Por isso:
3
3
 U 
CV  
  Nk B  nR (3.13)
2
 T V 2
CV ,m 
71
CV 3
3
 R  R (3.14)
n
2
2
Onde,
CV – é a capacidade de calor a volume constante do gás,
CV,m – é a capacidade de calor molar a volume constante do gás,
N – é o número total de átomos presentes no recipiente,
n – é o número de moles no corpo,
R – é a constante do gás ideal, (8.3145JK-1mol-1). R é igual ao produto da
constante de Boltzmann, kB pelo número de Avogadro.
Em geral, as capacidades de calor experimentais dos gases nobres
monoatómicos concordam em larga medida com a aplicação mecânica simples
estatística.
2. Gases Diatómicos
(a) Leia acerca dos gases diatómicos e confirme que:
(i) Num gás diatómico é clara a presença de graus internos de liberdade, isto é,
em adição aos três graus de liberdade translacional, existem os graus de
liberdade rotacional e vibracional.
(ii) Existe um total de três graus de liberdade rotacional, correspondendo cada
um à rotação em cada um dos eixos do espaço tridimensional.
(iii) Na prática somente dois graus de liberdade rotacional são considerados
porque o momento de inércia em torno do eixo internuclear é menor e
desprezível em relação a outros momentos da inércia da molécula. (Porquê?)
(Isto é devido ao raio do núcleo atómico extremamente menor comparado com
a distância entre eles numa molécula).
(iv) Mecanicamente quântico, o intervalo entre sucessivas energias rotacionais,
estados de energia, é inversamente proporcional ao momento de inércia em
torno desse eixo. O número dos graus de liberdade vibracional é: fvib = f – ftrans
– frot = 6 – 3 – 2 = 1
Isto é porque existem três graus de liberdade translacional e dois graus de
liberdade rotacional.
(b) O previsível calor específico molar ao volume constante dos gases
diatómicos.
72
(i) Cada grau de liberdade rotacional e translacional é previsto contribuir com
R/2 na capacidade total de calor molar do gás.
(ii) Cada modo vibracional contribui R para a capacidade de calor total molar
porque, para o modo vibracional, existe a componente potencial e cinética de
energia para a capacidade de calor molar do gás, que é R/2.
(iii) Por isso, a capacidade de calor molar ao volume constante das moléculas
3R
7R
diatómicas previstas é: CV ,m 
RR 
 3.5R (3.15)
2
2
Exercício 1
a) Verifique se o valor de CV,m é correcto.
b) Procure alguns valores de capacidade de calor de volume - molar de vários
gases diatómicos e anote-os numa tabela.
c) Os valores que vai anotar mostrarão que o gás diatómico mais leve tem a
capacidade de calor menor que os previstos pela Teorema de Equipartição, o
que não acontece nas moléculas pesadas.
d) Explique porque isso é assim.
(3) Antes de passar para a actividade 3.1.4, precisa de:
Ler e tomar pequenas notas acerca das limitações da teoria específica clássica
para baixas temperaturas.
Actividade 3.1.4 Fase sólida: Modelo de Debye e Modelo de Einstein
(a) Nesta actividade, vai aprender resumidamente que:
(i) O modelo de Debye é um método desenvolvido para estimar a contribuição
dos fonões para o calor específico (capacidade de calor) num sólido.
(ii) Trata das vibrações das lacunas dos átomos (calor) como os fonões numa
caixa, em contraste com o modelo de Einstein, que trata o sólido como vários
indivíduos sem interacção quântica dos osciladores harmónicos.
(iii) O modelo de Debye prediz correctamente a dependência da capacidade de
calor a baixa temperatura que é proporcional a T3.
(iv) Enquanto o modelo de Einstein dos sólidos prediz acuradamente que a
capacidade de calor a altas temperaturas é notavelmente desviada dos valores
experimentais a baixas temperaturas.
73
(v) Assim como o modelo de Einstein, também se recorda a lei de Dulond-Petit
a altas temperaturas que, devido à simplificação que assume, a sua exactidão
sofre a temperaturas intermediárias.
(b) A variação da falta de dimensões de capacidade de calor (equação 3.9) com
a temperatura é mostrada na Figura 3.1, conforme o previsto pelo modelo de
Debye e o de Einstein. Sólido de Einstein é um modelo de sólido baseado em
dois axiomas:
(i) Cada átomo numa lacuna é um 3D oscilador harmónico quântico.
(ii) Os átomos não interagem um com outro.
Figura 3.1: Variação da falta de dimensão de capacidade de calor.
(c) Características do gráfico:
(i) A falta de dimensões de capacidade de calor é nula, a zero grau absoluto, e
aumenta para o valor de três à medida que a temperatura se torna maior que a
temperatura de Debye. Por isso, um dos pontos fortes do modelo de Debye é
predizer uma anulação da capacidade de calor quando nos aproximamos à
74
temperatura de zero, e dá também uma forma matemática apropriada para esta
aproximação.
(ii) Para o sólido de Einstein, o valor de 3Nk é recuperado a altas temperaturas.
(iii) A linha horizontal corresponde ao limite clássico da lei de Dulong-Petit.
Leia mais acerca disto e faça notas compreensíveis acerca dos modelos de
Debye e Einstein.
Actividade 3.1.5 Condutividade Eléctrica
Nesta actividade, vamos fazer um certo número de definições e derivações de
equações. Paralelamente, serão colocadas questões que o ajudarão a
compreender melhor o tópico à medida que estuda. À medida que progride,
deverá tomar notas em todo o estágio da sua actividade de aprendizagem.
(a) Condutividade eléctrica
(i) A condutividade eléctrica é a medida da habilidade do material de conduzir
corrente eléctrica. Quando uma ddp é aplicada nos extremos do condutor, as
suas cargas livres movem-se dando lugar a uma corrente eléctrica. A
condutividade σ é definida como o ratio da densidade de corrente (corrente por
área), J, pela intensidade do campo eléctrico E, i.é J   E 
E

(3.16)
(ii) Condutividade é o recíproco da resistividade eléctrica, ρ.
(iii) Os materiais podem ser classificados de acordo com a sua condutividade.
Um condutor de metal tem uma alta condutividade; um isolador ou um vácuo
tem baixa condutividade; enquanto a de um semicondutor é geralmente
intermediária, apesar de variar largamente em diferentes condições, tais como
a exposição do material a campos eléctricos específicos, frequências de luz, e,
mais importante, a temperatura.
(b) Características dos materiais
(i) Em sólidos cristalinos, átomos interagem com a vizinhança e o nível de
energia de electrões isolados torna-se em bandas.
(ii) A condução ou não do material é determinada pela sua estrutura de banda.
(iii) Os electrões num sólido preenchem a energia das bandas até um certo
nível, chamado energia de Fermi.
75
(iv) As bandas que estão completamente cheias de electrões não podem
conduzir electricidade porque não existe nenhum estado próximo de energia
para os quais os electrões podem saltar.
(v) Os materiais cujas bandas estão cheias (i.e. a energia de Fermi está entre
duas bandas ) são isoladores.
(vi) Em alguns casos, contudo, a teoria de banda falha e os materiais previstos
como condutores pela teoria de bandas tornam-se isoladores. Muitos isoladores
de transferência de carga são de duas classes.
(i) Faça uma curta explanação da razão de os metais serem bons condutores.
(ii) Use o modelo de Drude e mostre que, sendo a condutividade, σ, tempo de
relaxação, τ, n, a densidade de electrões de condução, e é a carga do electrão, e
ne 2
m a massa, o σ é dado pela expressão:  
(3.17)
m

Mostre que as dimensões na equação (3.17) são consistentes.
(iii) Com o propósito de comparação, escreva notas breves acerca da condução
eléctrica em semicondutores, gases e plasma e vácuo.
Actividade 3.1.6 Condutividade Térmica
Nesta actividade, serão feitas várias definições e derivações de equações.
Paralelamente a isto tudo, questões que o ajudarão a entender melhor o tópico
serão colocadas à medida que continua a aprender. À medida que progride,
deve tomar suas notas em todo o estágio da sua actividade de aprendizagem.
(a) Condutividade térmica, k, é a propriedade intensiva do material que indica
a sua habilidade de conduzir calor.
(i) Está definida como quantidade de calor, Q, transmitida durante o tempo t
através da espessura L, em direcção normal à superfície da área A, devido à
diferença de temperatura ΔT, sob estabelecidas condições de estado e quando a
transferência de calor é dependente somente no gradiente de temperatura.
(ii)
Condutividade  termica 
transferencia  de  calor  x  dis tan cia
area  x  diferenca  de  temperatura
(3.18)

Derive as dimensões e unidades da condutividade térmica a partir da
equação (3.18)
76
Note que
(1) Conceptualmente, a condutividade térmica pode ser pensada como um
recipiente para as propriedades dependentes que relacionam o ratio do calor
perdido por unidade de área para o ratio de mudança de temperatura i.é.
Q
T
 k
Energia por unidade de área (3.19)
AT
x
(2) Para um gás ideal o ratio de transferência de calor é proporcional à
velocidade média molecular, ao caminho livre médio, e a capacidade molar de
n c CV
calor do gás. k 
(3.20) onde
3N A
k é a condutividade térmica
c é a rapidez média da partícula
n são partículas por unidade de volume
λ é o caminho médio livre
CV é a capacidade de calor molar
NA é o número de Avogadro

Verifique a consistência das dimensões da equação (3.19).
(b) Propriedades térmicas dos materiais
k
n  CV
3N A
Escreva pequenas notas sobre as similaridades e diferenças entre a
condutividade térmica e eléctrica.
(i) A condutividade térmica depende de muitas propriedades do material,
notavelmente na sua estrutura e temperatura.
(ii) Por exemplo, substâncias puras cristalinas exibem uma condutividade
térmica altamente variável ao longo de diferentes eixos, devido a diferenças
em fonões que se emparelham ao longo de uma dada dimensão do cristal. (Leia
mais sobre o assunto.)
(iii) O ar e outros gases são em geral bons isoladores na ausência de
convenção.
77
(c) Medição
Escreva breves notas precisas acerca da medição de
(i) bons condutores de calor pelo método de Searle
(ii) maus condutores de calor pelo método de Lees
Actividade 3.1.6 Teoria do electrão livre dos metais
(a) Informação de Base
(i) Isto foi primeiro proposto por Drude e Lorentz nos primeiros anos do
século 20.
(ii) Considera que alguns electrões actuam como se fossem capazes de se
moverem livremente no sólido e que os electrões livres estão em equilíbrio
térmico com os seus átomos.
(iii) Os electrões são mantidos no sólido pela parede potencial da caixa, mas
não são afectados pelo potencial local associado com os átomos individuais.
(iv) Contudo, metais de transição têm estado electrónico d parcialmente
preenchido e não são incluídos pelo modelo de electrão – livre.

Por assumir que o caminho livre médio dos electrões era limitado
pelas colisões, esta teoria foi feita mais quantitativa por H.A. Lorentz.
Deste modo, ele foi capaz de derivar a lei de Ohm para a condutividade
eléctrica e obter o ratio térmico da condutividade eléctrica em excelente
concordância com a experiência.
(b) As lacunas da teoria
(i) Primeiro, foi predita uma componente larga do calor específico do metal,
que não existe nos isoladores, que nunca foi observada.
(ii) Segundo, comparações da teoria com experiência indicam que o caminho
médio livre de electrões se torna extremamente largo a baixas temperaturas e o
modelo não oferece nenhuma justificação.
Não obstante, estas lacunas foram ultrapassadas pelo uso de mecânica
estatística, que removeu a dificuldade de calor específico, sem perder a bem
sucedida descrição de transporte de propriedades. A teoria resultante mantémse como base para perceber muitos transportes de propriedades dos metais e
semicondutores. Quase que na mesma altura, W. V. Houston e F. Bloch
resolveram a equação da onda mecânica - quântica para electrões numa
78
estrutura periódica regular, verificando que eles podiam realmente percorrer
um caminho médio tão grande quanto quisessem se não houvesse defeitos na
periodicidade, colocando deste modo a teoria do electrão livre numa base
firme.
Actividade 3.1.7 A lei de Wiedermann-Frantz
(a) Nesta actividade é discutida a relação entre condutividades térmicas e
eléctricas. Um número de informações é-lhe providenciado para entender
como a relação é mantida. É observado que:
(i) O ratio da condutividade térmica pela condutividade eléctrica do metal é
proporcional à temperatura.
(ii) Qualitativamente, esta relação é baseada no facto de que o calor e o
transporte eléctrico envolvem ambos o electrão livre no metal.
(iii) A condutividade térmica aumenta com a velocidade média das partículas,
dado que isso aumenta o transporte da energia adiante.
(iv) Contudo, a condutividade eléctrica diminui com o aumento da velocidade
de partícula por causa das colisões que derivam dos electrões que transmitem a
carga adiante.
(v) Isto significa que o ratio da condutividade térmica pela condutividade
eléctrica depende da raiz da velocidade média, a qual é proporcional à
temperatura cinética. A capacidade de calor molar de um gás clássico
3
3
monoatómico é dada por CV  R  N A k (3.21)
2
2
(b) Derivação da lei de Wiedermann-Frantz
(i) A lei de Wiedermann-Frantz é derivada tratando os electrões como um gás
clássico e comparando a resultante condutividade térmica com a condutividade
eléctrica. As expressões das condutividades térmicas e eléctricas tornam-se:
Condutividades
k
n c k
2
Térmica
;
k
ne 2 
mc
Eléctrica
(3.22)
79
(ii) Como a rapidez média da partícula a partir da teoria cinética é dada pela
8kT
equação (3.23) - c 
(3.23)
m
(iii) Por isso, o ratio da condutividade eléctrica térmica dá a lei de
k 4k 2T

 LT (3.24) L é o número de Lorentz
Wiedermann-Frantz como

e 2

Veja C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th Ed., New
York: Wiley, 1976, p. 178.
Auto-avaliação 3
1. (i) Porque é que a capacidade de calor é referida como uma quantidade
extensiva?
(ii) Porque a capacidade do calor específico é referida como uma
quantidade extensiva?
2. Criticamente compare os modelos de Debye e Einstein.
3. Derive a unidade da condutividade a partir da equação (3.16).
4. Compare condutividade dos diferentes materiais (condutores, e
semicondutores) sob variação da temperatura. Descreva como podem eles ser
comparados.
5. Explique:
(i) a noção de calor transferida pela condução;
(ii) razões para uma larga variação na condutividade térmica.
6. Use a equação 3.23 e determine:
(i) o valor do número de Lorentz, L;
(ii) a unidade de L.
80
Actividade de aprendizagem 4
Título da actividade de aprendizagem: Teoria de Banda e
Propriedades Ópticas
Precisará de 20h para realizar esta actividade.
Sumário de actividade de aprendizagem
Este modelo consiste de duas partes: Teoria de Banda e Propriedades ópticas.
As componentes básicas da actividade incluem a aprendizagem sobre:
Estrutura da banda electrónica na qual se incluem os condutores isoladores e
semicondutores. A aprendizagem avançada está em dopar; o nível de Fermi e
a Energia de Bandas dos Sólidos.
Os objectivos da aprendizagem do módulo requerem que o estudante seja
capaz de:
(i) Descrever a teoria de banda,
(ii) Explicar as diferenças entre condutores, semicondutores e isoladores,
(iii) Explicar as diferenças entre semicondutores intrínsecos e extrínsecos – o
papel de ‘doping’.
Os objectivos da aprendizagem das propriedades ópticas destinam-se a
habilitar o estudante a:
(i) Explicar com base nas interacções das ondas electromagnéticas (luz) e
materiais: - Absorção, Reflectividade e Transmissibilidade
Lista das leituras Requeridas
Leitura 4: Capacidade de calor
Referência completa:
De Wikipedia, a enciclopédia livre
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_capacity
Consultado no dia 20 de Abril de 2007
81
Resumo: Capacidade de calor é definida e quantitativamente descrita para
corpos compreensíveis. Capacidade de calor específico é definida e modelos
teóricos são descritos. A capacidade de calor é descrita a várias temperaturas.
Racional: Este material é um suplemento à secção de propriedades térmicas da
terceira actividade no módulo. Links são providenciados para posterior leitura.
temperatura.
eléctricas da terceira actividade deste módulo. Links são providenciados para
mais leituras.
Lista dos Recursos Multimédia Relevantes
Recurso # 1
Título: Nível de Fermi e concentração de condução.
URL:
http://jas.eng.buffalo.edu/education/semicon/fermi/bandAndLevel/intro.html
Descrição: Providencia boas anotações introdutórias e simulação do nível de
Fermi e concentração de condução.
consultado: 19/11/2007
Título: Energia de Bandas
URL: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Ecrã capturado
82
Descrição: Providencia material de leitura adequada sobre a teoria dos sólidos:
Comentários sobre energia de bandas; energia de bandas de semicondutores;
energia de banda de condutores, energia de banda de silicones …
Actividade 4.1 Estrutura da banda electrónica
Nesta actividade vai fazer experiências para verificar a lei de Hookes.
Nesta actividade vamos definir, descrever e discutir alguns termos básicos, em
relação aos metais; semicondutores e isoladores. À medida que progride no seu
estudo será requerido que providencie respostas a algumas questões que lhe
são colocadas durante a actividade.
(1) A actividade é introduzida dando em primeiro lugar definições de alguns
termos chave, tais como estrutura de banda.
(i) Na física do estado sólido, a estrutura de banda electrónica (ou
simplesmente estrutura de banda) de um sólido descreve várias energias a
que um electrão é ‘proibido’ ou ‘permitido’ ter.
(ii) A estrutura de banda determina as propriedades electrónicas do material, as
propriedades ópticas, e a variedade de outras propriedades.
(2) Factos básicos acerca da formação de bandas.
A partir da sua leitura vai notar que:
(i) Os electrões de um único átomo livre ocupam as órbitas atómicas, que
formam um conjunto discreto dos níveis de energia.

(Na frase acima, o que se deve entender por: órbita atómica e
conjunto discreto de níveis de energia?)
(ii) Numa molécula, onde temos muitos átomos, as suas órbitas atómicas
dividem-se devido ao princípio de exclusão de Pauli.

83
(Explique o que é o princípio de exclusão de Pauli.)
(iii) Em concordância, um número de órbitas moleculares proporcional ao
número de átomos é produzido.
(iv) Nos sólidos, o número de órbitas é excessivamente vasto.

(Porque é que é assim?)
(v) Por isso a diferença em energia entre eles torna-se muito pequena. Contudo
precisa de notar que alguns intervalos de energia não contêm órbitas, não
importando quantos átomos estão agregados.
(3) Consideremos agora os três tipos de materiais separadamente.
(a) Metais
(i) Os metais contêm bandas que estão parcialmente vazias e parcialmente
preenchidas, não importando a temperatura em que se encontram. Por isso eles
têm uma alta condutividade.
(ii) Por causa de um número extremamente elevado de átomos que interagem
num material sólido, os níveis de energia estão tão próximos que formam
bandas, por isto, os electrões num metal estão organizados em energia de
bandas.
(iii) O nível mais alto de banda de energia preenchido é chamado de banda de
valência e o nível mais alto de banda que segue é a banda de condução.
(iv) Regiões de energia para os quais parece não existirem órbitas de electrões
podem separar aquelas duas bandas. Estas energias proibidas são chamadas de
energia de diferença ou bandas de diferenças.
(v) Se o número de electrões é impar, então existe um electrão sem par em
cada unidade de célula, e por isso a banda de valência não está completamente
ocupada, tornando por isso o material condutor.
(b) Semicondutor
(i) Um semicondutor é um sólido cuja condutividade eléctrica pode ser
largamente controlada quer permanentemente ou duma forma dinâmica.

Leia e tome notas sobre o uso e aplicações de semicondutores.
(ii) A energia térmica é um dos principais mecanismos para excitar electrões
para a banda de condução. Por causa disto, a condutividade dos
semicondutores é fortemente dependente da temperatura do material.
84
(EXPLIQUE PORQUE É QUE É ASSIM.)
(iii) Semicondutores podem ser elementos como a silicone e germânio ou
compostos como gallium e indium phophide, ou alloys (uma substância
composta de dois ou mais metais -algumas vezes de um metal e um não-metal)
intimamente misturados pela fusão ou um outro processo
como o
silicongermanium ou aluminium gallium arsenide.
(iv) Semicondutores e isoladores têm a banda de valência que está
praticamente cheia nas condições normais.
(v) O modo mais fácil como os electrões podem ser excitados a partir da banda
de valência para a banda de condução depende da banda de separação entre as
bandas.
(vi) Os electrões devem mover-se entre os estados para poderem conduzir a
corrente eléctrica. Devido ao princípio de exclusão de Pauli, as bandas cheias
não contribuem para a condutividade eléctrica. Mas, à medida que a
temperatura do semicondutor se eleva acima do zero absoluto, os estados dos
electrões tornam-se grandemente aleatórios e alguns podem ser encontrados na
banda de condução.
(vii) Nos semicondutores, o movimento da carga eléctrica é facilitado tanto por
electrões como por lacunas. (Leia acerca de Lacunas e faça notas
breves.)

Escreva notas curtas
semicondutores extrínsecos.

sobre
semicondutores
intrínsecos
e
Compare os dois tipos de semicondutores.
(c) Isolador
(i) Isoladores contêm bandas, as quais estão completamente preenchidas. Por
isso eles têm baixa condutividade.
(ii) Isoladores têm uma larga diferença proibida entre as energias da valência
dos electrões e a energia na qual os electrões se podem mover livremente
através do material ( a banda de condução). É o tamanho da energia desta
banda de proibição que é usado como uma linha divisória arbitrária entre
semicondutores e isoladores.

** Leia mais sobre os isoladores e faça notas.
(4) Doping
85
(i) O processo de adicionar impurezas controladas na lacuna de cristal de um
semicondutor, tendo em vista modificar a sua condutividade, é conhecido
como doping. A quantidade de impureza, ou dopante, adicionada a um
semicondutor intrínseco (puro) modifica o seu nível de condutividade.
Semicondutores dopados são muitas vezes referidos como extrínsecos.

Escreva uma nota curta sobre como o dopante influencia a
condutividade de um semicondutor.
(5) O nível de Fermi
(i) O nível de Fermi é o topo da colecção dos níveis de energia de electrão à
temperatura zero absoluto.
(ii) Dado que os electrões são fermiões , pelo principio de exclusão de Paul,i
não podem sair num estado de energia idêntico. Então a zero absoluto eles vão
para o estado mais baixo de energia disponível e constroem o “mar de Fermi”
de estados de energia dos electrões.
(iii) O nível de Fermi é a superfície desse mar a zero absoluto onde nenhum
electrão terá energia suficiente para ir acima da superfície. Por isso, o nível de
Fermi está localizado na banda da diferença.
(iv) A posição do nível de Fermi com relação à banda de condução é um factor
crucial na determinação das propriedades eléctricas.
(v) Num condutor, o nível de Fermi está dentro da banda de condução, de tal
modo que a banda está somente preenchida até metade com os electrões. Neste
caso, apenas uma pequena quantidade de energia é requerida para os electrões
encontrarem e moverem-se a um outro estado desocupado e, desse modo,
ocorrer a corrente.
(vi) Para semicondutores intrínsecos como silicone e germânio, o nível de
Fermi é essencialmente metade do caminho entre a valência e a banda de
condução. Apesar de que nenhuma condução ocorre a 0ok, a altas
temperaturas, um número finito de electrões pode atingir a banda de condução
e providenciar alguma corrente. Nos semicondutores dopados são adicionados
níveis extras de energia.

Para
a
simulação
de
alguns
destes
conceitos,
veja
htt://www.collage.soe.ucsc.edu/JavaFiles/ElectronDopedSimulation.html.
12/11/2007.
(6) Energia de Banda nos Sólidos
86
A Fig. 4.1 representa o diagrama de esquemas de bandas de energia num sólido
isolador, semicondutor e condutor. Estude os três diagramas cuidadosamente e
anote as posições relativas de banda de condução, banda de valência e energia
de diferença.
Energia de electrões
Isolador
Semicondutor
Condutor
Figura 4.1: Diagrama esquemático das bandas de energias
Actividade 4.2 Propriedades ópticas
Nesta secção vamos considerar propriedades ópticas dos materiais. As mais
importantes propriedades ópticas dos materiais são a sua transmissibilidade
interna e externa, superfície reflectora, e índices de refracção. A discussão que
se segue inclui: absorção, reflectividade, e transmissibilidade.
Consideremos um por um.
(1) Absorção. Nesta secção vamos explicar como os fotões são absorvidos
pelos materiais.
(i) Deve saber que os fotões são ondas electromagnéticas com particular
frequência e que moléculas são sistemas com separação de carga (campo
eléctrico negativo e núcleo positivo).
(ii) As propriedades ópticas do sólido são governadas pela interacção entre o
sólido e o campo eléctrico da onda electromagnética.
O conceito importante que tem de aprender aqui é que:
87
(i) O estado de carga de separação da molécula pode alterar-se de modo
quantizado por “absorver” a energia do fotão.
(ii) Para o que está em (i) acontecer: a frequência do fotão deve ser equivalente
à “frequência” associada com a energia de transição da molécula para que a
transferência de energia ocorra. Esta energia é dada pela equação (4.1) como:
hc
E  hv 
(4.1).

Onde E é a energia; h é a constante de Planck; v é a frequência, c é a
velocidade da luz no vácuo e λ é o comprimento de onda.
a) Também precisa de saber que a absorção do fotão ocorre como um evento
quântico, em todos ou nenhum fenómeno. (TENTE
PERCEBER O
SIGNIFICADO DESTA AFIRMAÇÃO.)
b) Na óptica biomédica, absorção de fotões é o evento mais importante, isto é:
(i) A absorção é o evento primário que permite ao laser ou outra fonte de luz
causar potencialmente o efeito terapêutico (ou dano) no tecido. Sem absorção,
não há transferência de energia para o tecido e o tecido não seria afectado pela
luz.
(ii) A absorção da luz providencia um papel diagnóstico tal como o de
espectroscopia de um tecido. A absorção pode providenciar um indicativo
sobre a composição química de um tecido, e serve como um mecanismo de
contraste óptico durante a obtenção de imagens. A absorção é usada para
espectroscopia e aplicações de imagens.
(c) Definição e unidades do coeficiente de absorção
O coeficiente de absorção a é um parâmetro usado para descrever a
efectividade da absorção. Se um raio de luz atinge uma esfera, como é
mostrado na Fig. 4.2:
88
Figura 4.2: Um raio de luz atingindo a área A da secção transversal.
Se o tamanho da zona escura de absorção for a cm2 e o tamanho geométrico
da esfera A cm2, então a eficiência de absorção Qa [sem dimensões] é dada
pela equação 4.2:
a = Qa A
(4.2)
Se ρa for a densidade de volume, então o coeficiente de absorção a é dado
pela equação 4.3:
a = ρaa
(4.3)
A unidade de coeficiente de absorção é cm-1 e do da densidade de volume é
cm-3.
Se L (cm) for o comprimento da viagem do fotão através do meio, então a
probabilidade de sobrevivência (transmissão T) do fotão é dada pela equação
(4.4):
T = exp (-aL)
(4.4)
A expressão na equação (4.4) é verdadeira para qualquer caminho percorrido
pelo fotão.
(d) Absorção e Coeficiente de Extinção
Nesta secção, derivamos expressões para absorção e coeficientes de extinção.
(i) A velocidade da propagação de uma onda electromagnética através de um
sólido é dada pelo índice de frequência – dependência complexo de refracção.
89
N  n  ik onde a parte real n está relacionada com a velocidade, e k, o
coeficiente de extinção está relacionado com o decaimento, ou diminuição da
amplitude de oscilação do campo eléctrico incidente.
(ii) Se a onda plana de frequência  f  se propaga através de um sólido com a
velocidade , na direcção – x, então o campo eléctrico, E, é dado pela equação

 x 
(4.6): E  E 0 exp2fi t    (4.6) onde, (E0) é o vector campo eléctrico
 v 


 x 
incidente, e 2fi t    é o deslocamento no tempo t depois da perturbação,
 v 

x, ao longo da linha de propagação.
Dado que a velocidade de propagação através de um sólido de um índice
complexo de refracção N  n  ik está relacionada com a velocidade da luz no
1  n   ik 
c
vácuo, c, pela relação v 
(4.7), temos que       (4.8). Se a
N
v c  c 
equação (4.8) for substituída na equação (4.6) obtemos que
  2fkx 
  2xni 
E  E 0 exp(2fti ) exp
 exp
 (4.9)
 c 
 c 
O termo (-2 fkx / c) é a medida de factor de queda do coeficiente de extinção
k. Mas o poder (P) ou intensidade de uma onda incidente através do sólido é
dado por P = E2
(4.10) onde  é a condutividade do sólido e E é o
vector campo eléctrico.
Usando o termo do factor de queda, a fracção da energia incidente que se
propaga a partir da posição (o) para a distância (x) através do material com a
P x  E 2  x 
  4fkx 

 exp
condutividade () é dada por:
 (4.11)
2
P0 E 0
 c 
Por isso o coeficiente de absorção é dado por  
4fk
c
(e) Reflexividade
A maior parte desta secção vai fazê-la sozinho. Não obstante, algumas
definições são aqui providenciadas.
90
(ii) Em óptica, reflexividade é a reflectância, isto é, o ratio da energia
reflectida pela energia incidente.
(iii) Reflexividade é geralmente expressa em decibéis.
Complete esta secção e faça suas notas. Inclua alguns exemplos.
(f) Transmissibilidade
Alguma informação aqui providenciada é para o ajudar a fazer notas
compreensivas sobre a transmissibilidade.
(i) Dois conceitos muito importantes a que nos referimos são a transmissão
externa e transmissão interna.

Transmissão externa é uma passagem - simples de irradiação de um
elemento óptico, enquanto a transmissão interna é a passagem - simples da
irradiação transmitida na ausência de quaisquer perdas de qualquer
superfície de reflexão (i.é. transmistância de material).
(ii) Transmissibilidade externa é de extrema importância na selecção de
instrumentos ópticos, como um sistema de lentes para a formação de uma
imagem, porque a transmissibilidade externa ignora múltiplas reflexões entre
as superfícies de lentes.
Se Te for a desejada transmissibilidade externa de irradiação; Ti a
correspondente transmissibilidade interna; ti A passagem – simples da
transmissibilidade da primeira superfície, e t2 a passagem – simples da
transmissibilidade da segunda superfície, o Te  t1t 2Ti  t1t 2 e  tc (4.13) μ é o
coeficiente de absorção do material da lente, e tc é a grossura do centro da
lente.

Use as referências providenciadas e dê conta de como a equação
4.13 é derivada. Se ambas as superfícies das lentes não estão cobertas,
2
 n 1
então t1t 2  1  2 y  y 2 (4.14) onde y  
 é a superfície, recebendo a
 n  1
irradiação que incide normalmente como dado pela fórmula de Fresnel.
Ambos os índices de refracção, n e μ são funções do comprimento de onda.
** Para mais informação leia mais sobre este tópico.
Auto-avaliação 4
1. Escreva brevess notas sobre:
91
a) banda de valência
b) banda de condução
c) diferença de banda proibida
d) Esquematize um diagrama mostrando estas bandas num metal.
2. (i) Use o diagrama na Fig. 4.1 para comparar os três materiais.
(ii) Explique como a condução tem lugar num semicondutor quando um
electrão é excitado a partir da banda de valência para a banda de condução.
(iii) Diferencie semicondutores intrínsecos dos extrínsecos.
(iv) O que significa uma impuridade num semicondutor tecnológico?
XI. Glossário (Lista de todos os conceitos chave)
Movimento não harmónico: É o movimento de um corpo sujeito a uma força
restauradora que não é directamente proporcional ao deslocamento a partir de
um ponto fixo na linha do movimento.
Aquecimento: É um processo de aquecer uma substância a uma temperatura
especifica abaixo do ponto de fusão, mantendo essa temperatura por algum
tempo, e depois baixando-a lentamente. Uma cristalização lenta tem lugar, por
isso, num estado sólido sob condições controladas de temperatura.
Aquecimento em geral suaviza metais e estabiliza artigos de vidro por permitir
que as “pressões” produzidas durante a fabricação desapareçam.
Órbita atómica: É uma função de onda permitida para um electrão passar de
um átomo para outro, obtida pelas soluções de equações de onda de
SchOdinger.
Bandas: Em sólidos cristalinos, os átomos interagem com os seus vizinhos e
os níveis de energias dos átomos isolados tornam-se em bandas.
Coordenação da rede: É uma rede de cristal na qual a identidade das
moléculas se torna ambígua por cada ião comportar a mesma relação com os
iões vizinhos, em todas as direcções.
Estrutura do cristal: Ambas as especificações da estrutura geométrica para a
qual o cristal pode ser referido e o agrupamento de átomos ou a distribuição da
densidade-electrão relativa dessa estrutura.
Graus de liberdade: O número dos graus de liberdade de um sistema
mecânico é igual ao número de variáveis independentes necessárias para
92
descrever a sua configuração; p.e. um sistema consistindo de duas partículas
conectadas por uma barra rígida tem 5 graus de liberdade, dado que 5
coordenadas ( 3 de centro de massa ou de qualquer partícula e mais 2 ângulos)
são necessárias para especificar o seu estado. O número mais pequeno de
coordenadas necessário para especificar o estado do sistema é chamado de suas
coordenadas generalizadas e, dado que estas especificam o estado do sistema
completo, também especificam o estado de qualquer partícula individual do
sistema. As coordenadas generalizadas podem ser escolhidas de mais do que
um modo. Os números de graus de liberdade dependem somente das
possibilidades de movimento das várias partes do sistema e não dos actuais
movimentos. Para um gás monoatómico o número é 3. Para um gás diatómico
com moléculas rígidas é 6, formados por 3 graus de liberdade para o centro de
gravidade: move-se no espaço, 2 graus de liberdade da linha, juntando os dois
átomos para poder mudar de direcção no espaço, e 1 para rotação em torno
deste eixo.
Doping: É a adição de impuridades (dopantes) a um semicondutor para
alcançar a desejada condutividade – n ou condutividade – p.
Energia de equipartição: O princípio de equipartição de energia é baseado na
mecânica estatística clássica e enunciada por Boltzmann. Afirma que a energia
média das moléculas do gás está igualmente dividida entre os vários graus de
1
liberdade das moléculas. A energia média de cada grau de liberdade é kT ,
2
onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura termodinâmica.
Condutividade Intrínseca: É a condutividade de um semicondutor que está
associada ao próprio semicondutor e não tem a contribuição de impuridades.
Numa dada temperatura um número de portadores de carga e igual número de
lacunas são termicamente gerados e é isto que dá lugar à condutividade
intrínseca.
Rede: Uma rede é a geometria simplificada de um cristal, na qual os átomos
foram removidos deixando apenas o esqueleto dos pontos matemáticos onde
cada ponto substitui alguma coisa desde uma até várias centenas dos átomos
originais. Cada grupo destes átomos é chamado de base.
Capacidade de calor molar: É a capacidade de calor da unidade de
quantidade de uma substância dum elemento, composto ou material. É medida
em Joules, por Kelvin por moles.
O mole : A quantidade que contém 6.02.1023 de partículas é o mole.
93
Princípio de exclusão de Pauli: É o princípio de que em nenhum sistema é
possível dois fermiões idênticos estarem no mesmo estado quântico, isto é,
terem o mesmo conjunto de números quânticos. O princípio foi primeiramente
proposto em 1925 na forma de que não podem estar mais de dois electrões
num átomo no mesmo conjunto de números quânticos. Esta hipótese explicou
muitas características da estrutura do átomo e do quadro periódico. Com a
introdução do quarto número quântico, foi visto que somente um electrão
poderia estar num dado estado. Um electrão num átomo é caracterizado por
quatro números quânticos: n, l, m e s (onde n, l, m e s são: número quântico
principal, número quântico spin, número quântico azimute e magnético spin,
respectivamente. Uma orbital atómica particular que tem valores fixos de n, l e
m pode por isso conter o máximo de dois electrões, dado que o número
quântico spin s pode ser +1/2 ou -1/2. Dois electrões com spins opostos numa
órbita atómica são ditos spin-parelhados.
Fotões: Um fotão é uma radiação electromagnética quântica. Tem uma energia
h onde h é a constante de Planck e  a frequência de radiação. Para alguns
propósitos, fotões podem ser considerados como partículas elementares
viajando à velocidade da luz (c) e tendo o momento h / c . Fotões podem
causar excitação de átomos e moléculas e as mais energéticas podem causar
ionização.
Fonões: Num sólido os átomos não vibram independentemente, mas as
oscilações são transmitidas através da substância como ondas acústicas de uma
frequência extremamente alta, f , (tipicamente da ordem de 1012 Hz). A
energia transmitida pelas ondas quantizadas, i.e; o quantum, é chamada um
fonão e tem o valor hf , onde h é a constante de planck. Para muitos
propósitos, os fonões podem ser tratados como se fossem moléculas de um gás
movendo-se dentro dos espaços ocupados pelo sólido, o caminho médio livre,
sendo limitado por vários processos de distribuição.
Deformação plástica: Investigações microscópicas mostram que, quando um
metal é deformado plasticamente, a deformação ocorre pelo escorregamento de
um plano do empacotamento mais próximo.
Elasticidade: A lei de Hooke é válida para compressão assim como para a
tensão se a força compressiva não for tão grande e, para muitos materiais, o
módulo de Young tem o mesmo valor para ambas as forças de tensão e
compressão, com excepção de materiais compostos como os reais.
94
Isoladores: As bandas que estão totalmente cheias de electrões não podem
conduzir electricidade, porque não há nenhum estado próximo de energia para
o qual os electrões podem saltar. Os materiais nos quais todas as bandas estão
cheias são chamados de isoladores.
Metais: Os metais são bons condutores porque eles têm espaços não
preenchidos na banda de valência e na banda de energia.
Condutividade térmica: Conceptualmente pode ser pensado como um
recipiente para o meio de propriedades dependentes que relacionam o ratio da
perca de calor por unidade de área ao ratio da mudança de temperatura.
Calor transferido pela condução: Envolve a transferência de energia dentro
do material sem nenhum movimento do material como um todo. O ratio da
transferência de calor depende do gradiente de temperatura e da condutividade
térmica do material.
Na Física do estado sólido, a estrutura de banda electrónica (ou
simplesmente estrutura de banda): de um sólido descreve uma variedade de
energia a que um electrão é “proibido” ou “permitido” ter. A estrutura de
banda determina as propriedades do material electrónico, as propriedades
ópticas e a variedade de outras propriedades.
Em óptica, reflexividade: é a reflectância (o ratio do poder reflectido em
relação ao poder incidente, geralmente expresso em decibéis ou percentagem)
na superfície do material de tal modo espesso que a reflectância não muda com
o aumento de espessura.
Ponto de Desistência: Um ponto no gráfico de pressão x deformação do
material, no qual a deformação se torna dependente do tempo e do material.
XII. Lista das Leituras Obrigatórias
De: Wikipedia
95
Resumo: Este material de leitura descreve sumariamente a unidade célula,
classificação dos cristais pela simetria, propriedades físicas do cristal e links
para vários sites são providenciados dentro de wikipedia e outros sites.
Racional: Este material providencia uma discussão elaborada dos conteúdos
da primeira actividade do módulo.
aprendidos.
Racional: Este artigo dá uma outra forma de olhar para as estruturas de cristal.
Mais ainda, o teste de amostra e exercícios dados no fim providenciam boa
Leitura 3: Estrutura dos materiais na escala atómica
De: DoITPoMS Pacotes de Ensinar e Aprender
URL:
Resumo: Vários tipos de cristal são descritos e exemplos trabalhados são
dados em tópicos de cristal e defeitos de cristal.
Racional: Este material é parte de pacotes de ensinar e aprender de
DoITPoMS. Os pacotes são destinados a um uso interactivo no computador!
Este extracto impresso cordialmente é providenciado por conveniência, mas
não mostra todo o conteúdo do pacote de ensino e aprendizagem. Por exemplo,
faltam todos os vídeos clips e as respostas às questões. Se tem acesso à internet
visite o site e interaja com os exercícios. Esta leitura suplementa a segunda
actividade do módulo.
96
Leitura 4: Capacidade de Calor
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_Capacity
Resumo: A Capacidade de calor é definida e quantitativamente descrita para
corpos compressíveis. A capacidade de calor específico é definida e modelos
teóricos são descritos. É descrita a capacidade de calor a várias temperaturas.
térmicas da terceira actividade deste módulo. Links são providenciados para
mais leituras.
temperatura.
eléctricas da terceira actividade deste módulo. Links são providenciados para
mais leituras.
XIII. Lista (Opcional) dos Recursos Multimédia
Recurso # 1
Título: Electrões em uma simulação de semicondutores extrínsecos
URL:
http://www.collage.soe.ucsc.edu/javaFiles/ElectronDopedSimulation.html
Descrição: O Applet mostra o movimento de electrões num semicondutor
extrínseco; o campo eléctrico dos numerosos electrões e um mecanismo para
atrair e largar impurezas intersticiais.
97
Racional: Ajuda a visualizar a condução num semicondutor extrínseco.
Recurso # 2
Título: lei de Bragg
URL: http://www.eserc.stonybrook.edu/Project.Java/Bragg/
Descrição: O Applet mostra dois raios incidentes em dois níveis atómicos do
cristal, por exemplo, átomos, iões e moléculas, separados pela distância d. Os
níveis assemelham-se a linhas, porque são projectados em duas dimensões e a
sua visão é paralela à dos níveis. O applet começa com os raios distribuídos
em fases e interferindo construtivamente. A lei de Bragg está satisfeita e a
difracção ocorre. O metro mostra a equivalência perfeita das duas fases de
ambos. A pequena luz no metro fica verde quando a equação de Bragg é
satisfeita.
O metro pode ser observado enquanto as três variáveis na lei de Bragg são
modificadas na tecla rolante e se escrevem os valores nas caixas. As variáveis
d e q podem ser modificados puxando as setas providenciadas no nível de
cristal e na distribuição de projecção, respectivamente.
Racional: Ajuda a visualizar a condução em semicondutores extrínsecos.
XIV. Lista dos Relevantes Links úteis
Pelo menos 10 web sites. Estes links úteis devem ajudar os estudantes a
entender os tópicos cobertos no módulo. Para cada link uma referência
completa (Título do site, URL), assim como 50 palavras para a descrição do
link escritos de tal sorte que motivam o estudante a ler o texto, devem ser
providenciados. O racional do link providenciado deve também ser explicado
(extensão máxima: 50 palavras). Um ecrã capturado de cada link útil é
necessário.
98
Link útil # 1
Título: Sólidos Amorfos
URL: http://www.britannica.com/eb/article-9110300/amorphous-solid
Ecrã Capturado
Descrição: A Enciclopédia Britânica online é um dos recursos online
excelentes para ter uma discussão introdutória praticamente em todos os
tópicos que nos interessam. Embora o site não seja gratuíto, há períodos de
acesso limitado.
Racional: Está disponível uma explicação detalhada de sólidos.
Data de consulta: 29 de Abril de 2007
99
Link útil # 2
Título: Difracção dos raios X
URL: http://galileo.physics.edu/classes/252
http://mhsweb.ci.manchester.ct.us/Library/webquests/atomicmodels.htm
Ecrã Capturado
Descrição: Este site tem links para a descrição completa da difracção e
métodos de raios X
Data de consulta – Abril 2007
100
Link útil # 3
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 MIT open courseware
URL: http://mhsweb.ci.manchester.ct.us/Library/webquests/atomicmodels.htm
Ecrã Capturado
Descrição: O MIT Open Courseware é uma das colecções famosas mundiais
com o material do curso acessível em todo o Mundo. È rico em demonstrações
de vídeo e exercícios. Esta colecção tem replicações de sites em Universidades
Africanas, tais como Universidade de Addis Abeba http://ocwmit.aau.edu.et/ e
Universidade de Nairobi
Racional: Muto relevante para o módulo em geral.
Data de consulta: Abril de 2007
101
Link útil # 4
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 Defeitos nos cristais
URL:
http://www.ndted.org/EducationResourcesCommunityCollege/Materials/Structure/crystal_def
eitos.htm
Ecrã Capturado
Descrição: Esta página da web é parte de NDT Centro de Recursos. Este site
foi desenhado para ser uma fonte compreensível de informação e material para
NDT e NDE educação técnica. O site foi criado por profissionais e educadores
de todo o mundo de NDT.
Racional: Um número elevado de links é providenciado e discutida a ciência
básica de defeitos de cristais.
Data de consulta: Maio de 2007
102
Link útil # 5
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 Teoria do Electrão Livre
URL:
http://teknik.uu.se/ftf/education/ftf1/forelasningar/overview/Freelectronmodel.
pdf
Ecrã Capturado
Descrição: Este link providencia documentos em pdf sobre a teoria do electrão
livre.
Racional: Relevante para a terceira actividade deste módulo
Data de consulta: 19 de Maio de 2007
103
Link útil # 6
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 Propriedades ópticas dos sólidos
URL:
http://web.missouri.edu/~speckan/witchstuff/Research/chapter4/node2.html re/crystal_defeitos.html
Ecrã Capturado
Descrição: Uma descrição detalhada das propriedades ópticas está disponível
neste site.
Racional: Tratamentos avançados dos conteúdos para leitores curiosos.
Data de consulta – 20 de Maio de 2007
104
Link útil # 7
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 Modelo de Einstein dos cristais
URL:
http://www.plmsc.psu.edu/~www/matsc597c1997/systems/Lecture4/node3.html
Ecrã Capturado
Descrição: O modelo de Einstein é descrito. Links são disponíveis para o
modelo de Debye, assim como para o estado sólido e oscilador harmónico.
Racional: É tópico suplementar na actividade três deste módulo.
Data de consulta: 20 de Maio de 2007
105
Link útil # 8
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 Propriedades Eléctricas dos
Sólidos
URL: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/elpro.html#c1
Ecrã Capturado
Descrição: Esta é parte de uma larga colecção de artigos sobre a física do
estado
sólido.
Se
acessar
http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/solcon.html obterá dados sobre como o conteúdo está
estruturado neste site e também como é usado noutros tópicos.
Racional: Muito relevante para o curso .
Data de consulta – Abril de 2007
106
Link útil # 9
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 Teoria de Banda dos Sólidos
URL: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/elpro.html#c6
Ecrã Capturado
Descrição: Uma boa colecção de teorias e applets de Java está disponível
neste link.
Racional: Complementa a actividade 4.
Data de consulta: Abril de 2007
107
Link útil # 10
Título: http://galileo.physics.edu/classes/252 Estrutura da Banda Electrónica
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure
Ecrã Capturado
Descrição: É providenciada uma explicação clara de Bandas de Energia em
Isoladores; Bandas de Energia de Semicondutores; Bandas de Energia de
Condutores; Semicondutores e Dopantes.
Racional: Este site providencia uma leitura simples sobre a teoria de banda.
Isto é muito importante para cada um desenvolver fundamentos firmes sobre o
tópico. Os importantes tópicos incluem: porque é que a banda ocorre, conceitos
básicos, estrutura de banda de cristais, entre outros.
Data de consulta – 20 de Maio de 2007
108
Soluções de Auto-avaliação 1
1. Os compostos iónicos são usualmente sólidos à temperatura da sala, e têm os
pontos de fusão muito altos. Eles são bons isoladores eléctricos no estado
sólido, dado que os electrões estão praticamente todos ligados firmemente a
iões particulares e poucos estão disponíveis para a condução. No estado de
fusão, algumas ligações iónicas são quebradas e a condução torna-se possível.
2. A rede formada é a quadrada. Cada ponto representa três átomos.
3. (i) Uma rede rectangular tem uma simetria 2 – dupla.
(ii) Um cristal equilateral tem uma simetria 2 – tripla.
4. Todas as redes possuem a propriedade de simetria translacional: porque a
rede se transforma- em si mesma (i.e. permanece a mesma) quando movida
através de números íntegros de vectores de rede.
5. Não podemos encontrar a rede que entra em si mesma sob a rotação como
2/5 ou 2/7. Isto porque a rede que experimente tal rotação poderia
ultrapassar-se. Um eixo 2 – cinco para a simetria não pode existir numa rede
porque não é possível preencher todo o espaço com todas as conexões
possíveis do pentágono.
7. Fracção de empacotamento em bcc
109
Cálculo de raio do átomo no diagrama de Sketch mostrando as relativas
posições dos átomos num BCC.
Para um bcc, os átomos tocam a diagonal como mostrado na Fig. 1.21. Se o
raio de átomo for r, então R2 = 2a2 + a2 =3a2 mas R = 4r e por isto 16r2 = 3a2
a
3a 2
Ou r 
r
3
16
4
2
A seguir, vamos determinar o número de pontos na rede num bcc.
Cada átomo no canto é partilhado por 8 células, tal e qual como no caso de um
sc, por isso o número de pontos de rede, devido aos átomos do canto, é um.
Em adição a isto, existe um átomo dentro da célula. Isto significa que num bcc
existem dois pontos de rede. Por isso, o volume ocupado pelos pontos da rede
Fraccao  de
volume  ocupado  pelos  pontos  de  rede
é:

armazenamento volume  ocupado  por  uma  unidade  de  celula
4 3
r
Fraccao  de
3

 68%
armazenamento
a3
Isto significa que somente 32% espaço num bcc está vazio, enquanto68% está
preenchido de átomos.
(ii) Determine a fracção de empacotamento num fcc.
Fracção de empacotamento num cristal
110
No fcc os átomos tocam-se na superfície ao longo da diagonal como mostrado
na Fig. 1.22. No parâmetro da rede é a e o raio de cada átomo é r. Então
4r 2  2a 2  r 2  a
2
8
Determinando o número de pontos de rede.
Isto é devido ao átomo na superfície e os que estão nos cantos.
Os átomos nas superfícies são partilhados por duas células, enquanto os dos
cantos são partilhados por 8 células.
Por isso o número dos pontos de rede é =
1
1
x6  x8  4
2
8
3
4  a 

 x4
3 2 2
Por isso a fracção de empacotamento =
 74%
a3
8. Quando os raios X atingem um átomo, fazem a nuvem electrónica mover-se
tal como faz qualquer onda electromagnética. O movimento destas cargas reirradia ondas com a mesma frequência (parcialmente indistinto devido à
variedade de efeitos); este fenómeno é conhecido como a distribuição de
Rayleigh (ou distribuição elástica). Estas ondas reemitidas interferem umas
com as outras quer construtivamente quer destrutivamente, produzindo uma
padrão de difracção num detector ou num filme. A onda resultante do padrão
de interferência é a base da análise da difracção. O comprimento de onda dos
raios X é comparável com as distâncias interatómicas 150pm e por isso são
excelentes investigadores neste comprimento de escala.
A interferência é construtiva quando a fase se desloca proporcionalmente a 2;
esta condição pode ser expressa pela lei de Bragg: n = 2dsen
Onde
n é um íntegro
 é o comprimento de onda dos raios X
D é o espaçamento entre os planos na rede atómica, e
 é o ângulo entre o raio incidente e o plano de espalhamento.
111
Solução para Q1
Impuridades de substituição causam alguma distorção em torno do ponto onde
se encontram. Mais ainda, a presença de defeitos aumenta a desordem do
cristal, i. é. ele aumenta a sua entropia. Existe por isso a tendência para
maiores defeitos estarem presentes em altas temperaturas.

Em torno da vacatura, por exemplo, existe a tendência para um
agrupamento atómico que reajusta ligeiramente causando a distorção da rede
cristalina ... A presença das vacaturas providencia um meio para os átomos se
difundirem largamente de uma forma fácil, dum ponto para outro, dado que um
átomo pode mover-se para uma lacuna deixando por isso o seu próprio lugar
vago, sem produzir muita erupção no cristal existente, i.é. muita pouca energia
é requerida. Isto implica que a difusão pode ser pensada como a migração de
lacunas em direcção oposta.

Compostos podem também ser formados entre diferentes tipos de
pontos de defeitos. Por exemplo, se a lacuna encontra uma impuridade, os dois
podem unir-se se a impuridade for muito larga para a rede. Intersticiais podem
formar ‘intersticiais de disjunção’ ou estruturas ‘dumbbell’ onde efectivamente
dois átomos partilham um lugar atómico resultando que nenhum átomo ocupa
efectivamente aquele lugar.
Solução da secção 2.1.2
A presença da lacuna num ião - positivo deteriora a neutralidade eléctrica da
região e por isso a lacuna tem carga negativa efectiva associada a ela como
efectivamente ilustrado pela superfície ligada com a lacuna no diagrama.
(i) Isto aumenta a energia electrostática do cristal, por isso, tendo em vista
manter a neutralidade eléctrica, existe a tendência para a produção de lacunas
de iões - positivos e negativos.
(ii) A presença de lacunas também salienta a ordinária difusão num cristal
iónico, mas na presença de um campo eléctrico aplicado, a difusão
incrementada devido às lacunas vai também assistir à condução eléctrica.
Solução da secção 2.1.5 (c)
Num cristal bcc o escorregamento ocorre ao longo dos seis equivalentes
[ 110críticos da região.
Solução de Q1(b) Defeitos planares
112
Os possíveis efeitos de defeitos planares são:
Os nós de fronteira ocorrem em mudança abrupta da direcção da cristalografia
da rede. Isto ocorre comummente onde dois cristais começam a crescer
separadamente e depois se encontram.
Nos limites ante fase ocorrem alloys ordenados: neste caso, a direcção
cristalografia permanece a mesma, cada lado de limite tem uma fase oposta:
Por exemplo se o ordenamento for usualmente ABABABAB, o limite ante fase
toma a forma ABABBABA.
Muitas falhas ocorrem num número de estruturas de cristais, mas o exemplo
comum é nas estruturas de pacotes fechados. A estrutura cúbica de face
centrada (fcc) difere da estrutura hexagonal de pacote fechada apenas na
ordem de empacotamento: ambas as estruturas têm planos atómicos fechados
com seis dobro simetria??? – os átomos formam triângulos equiláteros.
Quando sobrepomos uma destas linhas no topo de outra, as primeiras duas
linhas para hcp e fcc são idênticas e recebem a etiqueta AB. Quando a terceira
linha é colocada de tal modo que os seus átomos estejam directamente em cima
dos da primeira linha, o empacotamento será ABA – esta a estrutura hcp, e ela
continua ABABABAB. Contudo, existe uma outra colocação para a terceira
linha de tal modo que os seus átomos não estejam em cima da primeira linha .
Em vez disso, a quarta linha é colocada de tal sorte que os seus átomos estejam
directamente em cima dos da primeira linha. Isto produz o empacotamento
ABCABCABC, e é de facto um arranjo cúbico dos átomos. Uma falha de
empacotamento é a interrupção de uma ou duas linhas na sequência do
empacotamento, por exemplo já foi encontrada uma sequência numa estrutura
fcc.
Solução para Q1
(i) Capacidade de calor é uma quantidade extensiva porque é sensível ao
tamanho do objecto (por exemplo, um recipiente de banho com água tem uma
capacidade maior que um copo de água), dividindo a capacidade de calor pela
massa do corpo.
(ii) Capacidade de calor específico é uma quantidade intensiva, porque já não é
dependente da quantidade de material, mas mais dependente do tipo de
material, assim como das condições físicas de aquecimento.
Solução do exercício 1(c) em 3.1.3
113
- Uma das razões para este fenómeno é a quantização vibracional e, em menor
extensão, os estados rotacionais.
- Quando é assumido que as moléculas permanecem nas suas energias, mais
baixa a quantização vibracional devido ao largo espaçamento dos níveis de
energia. A prevista capacidade de calor ao volume constante molar para uma
3R
molécula diatómica torna-se CV,m =
 R  2.5R
2
- Isto é aproximação que praticamente coincide com as capacidades de calor
das moléculas mais leves.
- Se a aproximação do oscilador quântico harmónico (Leia acerca disto) é
feita, emerge que os níveis da energia quântica vibracional de espaçamento são
inversamente proporcionais à raiz quadrada da massa reduzida (Leia acerca
disto) dos átomos, compondo a molécula diatómica. Por isso, no caso das
moléculas diatómicas mais pesadas, os níveis da energia quântica vibracional
de espaçamento tornam-se mais finos, o que permite mais excitações para o
nível vibracional mais alto para uma temperatura fixa.
Solução para Q2
Ambos os modelos de Einstein e de Debye providenciam a forma funcional
para a capacidade de calor. Eles são modelos e, todo o modelo possui uma
escala.
A
escala
do
modelo
de
Einstein
é
dado
por:
2
e  / kT
  
.
CV  3 Nk  
2
 kT  e  / kT  1


A escala de Einstein é  / k . E a escala de modelo de Debye é TD na
temperatura de Debye.

 TD .
k
Isto significa que desenhar as duas escalas no mesmo eixo de coordenadas é
apropriado. Eles são dois modelos da mesma coisa, mas com diferentes
As escalas de Debye e de Einstein não são iguais, isto é o mesmo que:
escalas. Se a temperatura de Eistein for definida como TE def

k
, é possível
que TE # TD, e para relacionar os dois seja necessário procurar a relação
TE
.
TD
114
O sólido de Einstein é composto de frequência – simples, ε = hw = hv. Esta
frequência poderia estar relacionada com a velocidade do som, apesar de não
haver som no sólido de Einstein. Poder-se-ia imaginar a propagação do som
como a sequência de átomos colidindo um com o outro. Se isto for assim, a
frequência de oscilação deve corresponder ao mínimo de comprimento de onda
c
c 3 N cs 3 N
sustentável para a rede atómica, λmin. v  s  s

, L é a

2L
2 V
dimensão do cubo.
o que torna a temperatura de Einstein igual à
TE 

k

hv hc s

k
2k
3
T

N
e, por isso, o ratio é E 
TD
6
V
Agora, ambos os modelos podem ser representados no mesmo gráfico.
Solução para Q4
(i) A condutividade eléctrica é mais ou menos fortemente dependente da
temperatura.
(ii) Nos metais, a condutividade eléctrica diminui com o aumento de
temperatura, enquanto nos semicondutores, a condutividade eléctrica aumenta
com o aumento de temperatura.
(iii) Acima duma limitada variação de temperatura, a condutividade eléctrica
pode ser aproximada como sendo directamente proporcional à temperatura.
(iv) Para poder comparar as medições da condutividade eléctrica em diferentes
temperaturas, é necessário padronizar a uma temperatura comum. Esta
dependência é muitas vezes expressa pela inclinação do gráfico da
condutividade x temperatura e pode ser usada:  T ' 
T
1   (T  T ' )
 T - é a condutividade eléctrica a uma temperatura comum T’
'
 T - é a condutividade eléctrica a uma temperatura medida T
 - é a temperatura da compensação da inclinação do material
T - é a temperatura medida
T’ é a temperatura comum
onde
115
Solução da secção 3.1.5 (c) (i)
(ii) Os metais são bons condutores porque têm um espaço não preenchido na
banda de energia de valência. Na ausência do campo eléctrico, existem
electrões que se deslocam em todas as direcções e com muitas diferentes
velocidades, até à velocidade de Fermi (a velocidade de electrões na energia do
Fermi).
(iii) Quando um campo eléctrico é aplicado, um pequeno desequilíbrio
desenvolve-se e os electrões móveis escoam-se.
(iv) Electrões nesta banda podem ser acelerados pelo campo porque na banda
há muitos estados na vizinhança não preenchidos.
Solução para Q5
(i) A transferência de calor por condução envolve a transferência de energia
dentro do material, sem o movimento do material como um todo. O ratio da
transferência de calor depende da temperatura gradiente e da condutividade
térmica do material.
(ii) Os gases transferem calor pela colisão directa entre as moléculas, e por
isso, a condutividade térmica deles é baixa, comparada com a de muitos
sólidos, dado que eles são um meio diluído. Os sólidos não metálicos
transferem calor pelas vibrações da rede. Os metais são muito melhores
condutores do que os não-metais, porque os mesmos electrões móveis que
participam na condução eléctrica também tomam parte na transferência de
calor.
(iii) Para sólidos não - metálicos, a transferência de calor é vista como sendo
feita através das vibrações da rede, com átomos vibrando mais energeticamente
num lado de um sólido e transferem essa energia para os átomos vizinhos
vibrando menos. Isto pode ser fortalecido por um movimento cooperativo na
forma de propagação de ondas de rede, as quais no limite quântico são
quantizadas como fonões. Praticamente existe tanta variabilidade para sólidos
não-metálicos que nós normalmente só caracterizamos a substância com a
condutividade térmica medida quando fazemos cálculos ordinários.
Soluções para Auto-avaliação 4
Solução para Q1
(a) A banda de valência
116
Esta é a banda feita de órbitas moleculares ocupadas e é baixa em energia que
a banda de condução. Está geralmente totalmente preenchida em
semicondutores. Quando aquecida, os electrões desta banda saltam
atravessando a banda da diferença para dentro da banda de condução, tornando
o material condutor.
(b) A banda de condução
É a banda que aceita os electrões que vêm da banda de valência. Nos
isoladores os electrões na banda de valência são separados por uma larga
diferença da banda de condução. Nos condutores, como metais, a banda de
valência sobrepõe-se à banda de condução, tornando por isso o electrão de
valência livre. Nos semicondutores existe uma tão pequena diferença entre as
bandas de valência e de condução que as excitações térmicas e outras podem
fechar as diferenças.
Solução para Q2
(i)

O mais importante para a condução é a existência ou não de electrões
na banda de condução.

Nos isoladores os electrões na banda de valência estão separados por
uma larga diferença da banda de condução.

Em condutores como metais a banda de valência sobrepõe-se à banda
de condução.

Em semicondutores existe uma diferença suficiente entre as bandas de
valência e de condução que pode ser fechada com excitações térmicas ou
outras. Com uma tal pequena diferença, a presença de uma pequena
percentagem de material dopante pode aumentar drasticamente a
condutividade.
(ii)

Quando os electrões são excitados para a banda de condução, deixam
atrás lacunas de electrões ou estados desocupados da banda de valência.

Ambas as bandas de condução de electrões e banda de valência de
lacunas contribuem para a condutividade eléctrica.

As próprias lacunas não se movem, mas os electrões vizinhos podem
mover-se para preencher a lacuna, deixando uma lacuna no lugar onde
117
partiram e, deste modo, parece que a lacuna se moveu e as lacunas comportamse como se fossem partículas carregadas positivamente.
(iii) Um semicondutor cujas propriedades eléctricas dependem da presença de
certas impurezas é referido como um semicondutor extrínseco; enquanto um
semicondutor intrínseco é um puro semicondutor que não contém nenhuns
átomos impuros.
(iv) Na tecnologia de semicondutores, um material como boron, fósforo, ou
arsénio adicionado em pequenas quantidades a um cristal para produzir um
excesso de electrões (doador de impureza) ou lacunas (aceitador de impurezas)
é referido como uma impureza.
XV. Síntese do Módulo
Na primeira actividade aprendemos muitas coisas. Isto incluiu a aprendizagem
acerca das propriedades dos sólidos cristalinos e amorfos e como eles podem
ser diferenciados um do outro. A identificação das lacunas foi feita e podemos
3 p m
derivar a equação cos  
que nos possibilitou calcular a possível
2
rotação permitida. Na actividade aprendemos como os índices de Miller são
calculados, e como planos diferentes podem ser esquematizados. Quando
avançámos na aprendizagem, aprendemos como calcular a densidade de
empacotamento para sc, bcc and fcc. Aprendeu acerca da difracção dos raios
X. Isto incluiu aprender como a derivação da lei de Bragg é feita e aplicada a
inúmeros problemas. O conceito da difracção dos raios X também incluiu o
tratamento envolvendo o espaço da ligação recíproca onde a esfera de Ewald
foi construída, tendo em vista determinar os planos responsáveis pela difracção
dos raios X.
Na segunda actividade os defeitos cristais e propriedades mecânicas
constituíram a maior parte da actividade. Você deve ser capaz agora de
diferenciar os diferentes tipos de defeitos de cristal e como eles afectam as
propriedades térmicas, físicas e eléctricas dos sólidos.
As definições básicas aprendidas são que os pontos defeitos estão bem
localizados e são do tamanho dos átomos, enquanto a deslocação é uma
desordem, a qual se estende para além do volume de um ou dois átomos. Os
efeitos destes defeitos nas propriedades mecânicas e eléctricas foram
discutidos e apreendidos. A actividade da aprendizagem permitiu-lhe derivar e
aplicar as expressões de módulo de Young. Isto também incluiu expressões
118
para o módulo de deformação e pressão de desistência pelo escorregamento
simultâneo dos átomos.
Basicamente na actividade três, foi capaz de derivar expressões para a
capacidade de calor ao volume e pressão constantes. Ligando a isto,
explicações da variação de capacidade calorífica com a temperatura baseada
nos modelos clássicos de Einsten e Debye foram feitas.
Além disso, o uso da teoria de electrão livre para explicar a alta condutividade
térmica e eléctrica dos metais e derivação e aplicação da lei de WiedermannFrantz foram tópicos aprendidos.
Isto é, aprendeu que a lei de
n v k
Wiedermann-Frantz é derivada. Tratando k 
2
os electrões como o gás clássico, e é
capaz de comparar a condutividade Condutividade
térmica resultante da condutividade Térmica
eléctrica.

ne 2 
mv
Condutividade
Eléctrica
Finalmente, na actividade quatro, aprendeu acerca da teoria da banda e isto
habilitou-o a explicar as diferenças entre condutores, semicondutores e
isoladores. O conceito também o habilitou a explicar, em relação à dopagem,
as diferenças entre os semicondutores intrínsecos e extrínsecos. No fim de
tudo, usou os conceitos de interacção de ondas electromagnética (luz) e
matérias para explicar a absorção de óptica, reflexividade e transmissibilidade.
XVI. Avaliação Final
1) Responda às questões que se seguem com base na figura abaixo.
a)
Defina ligação.
b)
Descreva como a célula primitiva pode ser escolhida pelo procedimento
de Wigner-Seitz.
c)
Identifique a ligação abaixo dada e diga o número de átomos por cada
ponto de ligação.
119
d)
Derive uma expressão para uma rotação permitida,  , numa lacuna
periódica e mostre como as possíveis soluções são obtidas.
2)
a)
Defina e dê ilustração de um número de coordenação.
b)
Determine se as direcções abaixo são coplanares:
       __ 
11 0, 1 21, 211
c)
Derive uma expressão da a fracção de empacotamento para uma
ligação bcc. Explique o significado da expressão.
d)
Derive uma expressão para a lei de Bragg e enuncie as requeridas
condições.
3)
Uma cadeia linear de massas M e m está interconectada com a
vizinhança das massas por molas com uma força constante α. As frequências
 dos modos de vibração deste sistema são dados pela expressão
1/ 2 
 
4 2 2  
M  m  M 2  m 2  2mM cos qA
onde
A
é
o

 Mm

comprimento de unidade de repetição, e q é a magnitude do vector onda.


a)
Reduza a expressão acima
interconectada por molas iguais.


para uma cadeia de partículas
b)
Esquematize as relações de dispersão de ambos os sistemas para a
mesma escala. Derive as expressões para os pontos chave e discuta as
similaridades e diferenças entre os dois diagramas.
120
c)
Dê os sketches das densidades dos modos de ambos os sistemas.
4)
Suponha que um cristal tem N normal sites e Ni sites intersticiais.
a)
Mostre que o número de modos de arranjar Ni átomos nos sites
intersticiais e N – Nf átomos nos sites normais é dado por
N!
N!
.
W 
N f N  N f ! N f N i  N f !
b)
Se Ef for a energia requerida para mover um átomo de um lugar
normal para um lugar intersticial, mostre que a energia livre é mínima quando
N  N f ( N i  N f ) E f
e
N 2f f
c)
Mostre que o número de defeitos de Frenkel, Nf é dado por
1 / 2  E / 2
N f   NN i  .e f se Nf for muito menor que N e Ni.
5)
a)
Explique em relação aos sólidos o significado de: banda de valência,
banda de condução e nível de Fermi.
b)
Derive uma expressão para a energia εn de uma partícula livre numa
caixa cúbica de volume V, em termos do número quântico n, da massa m da
partícula e outras constantes usuais; por isso, mostre que a energia
h2
correspondendo ao momento Pi é dado por  j  n 2j
onde L é o
8mL2
comprimento da aresta do cubo.
6)
a)
Explique o significado
orientacional e iónica.
do
seguinte:
polarização
electrónica,
b)
Descreva como os pontos defeitos podem ser formados e explique os
seus efeitos nas propriedades.
G
quando
2
causa o movimento de um plano particular. G é o módulo de corte (ou
rigidez).Mostre que o número de defeitos de Frenkel, Nf é dado por
1 / 2  E / 2
N f   NN i  .e f se Nf for muito menor que N e Ni.
c)
Mostre que a pressão de corte τ tem o valo máximo de
121
XVII Referências
Steadman R, 1982, Crystallography, Van Nostrand Reinhold (UK)
Co. Ltd, Norfolk.
Blakemore J.S.
1974, Solid State Physics 2nd ed., Cambridge
University Press, Cambridge.
C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th Ed., New
York:Wiley, 1976.
Sears F.W & Salinger Gerhard L, (1975), Thermodynamics, Kinetic
Theory and Statistical Thermodynamics, 3rd ed., Addison-Wesley
Publishing Company, Reading.
H.P Myers, (1997), Introductory Solid State Physics, CRC Pr I Llc
Laszlo Mihaly & Michael C. Martin, (1996), Solid State Physics:
Problems and Solutions (Paperback), John Wiley
Wilson J.
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122
John R. Hook & Henry Edgar Hall. Solid State Physics (The Manchester
Physics Series); John Wiley and Sons Ltd; 2Rev Ed edition (31 Jan 1995
XVIII. Autor Principal do Módulo
Dr. Obwoya Kinyera Sam é um docente sénior no Departamento de Física na
Universidade Kyambogo, em Uganda. Actualmente desempenha as funções de
Director de Ensino aberto à distância e e-learning na Universidade Kyambogo.
É formador de professores desde 1984. Entre 1978 e 1984 foi chefe do
Departamento de Física na Antiga Escola Secundária de Kampala, em Uganda.
Seu e-mail é [email protected].
XIX Estrutura do Módulo
O módulo é dado num ficheiro formatado: Física do Estado Sólido.doc
As leituras obrigatórias são dadas no formatado em pdf: Leituras obrigatórias.
Pdf

Fisica do Estado Solido - OER@AVU

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