Arte e Matemática na escola - Base Integradora da TV Escola

Transcrição

ARTE E MATEMÁTICA
ESCOLA
NA
EDITE RESENDE VIEIRA1
ELOÍSA SABÓIA RIBEIRO²
APRESENTAÇÃO
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“As Ciências começam a estabelecer novos diálogos com as artes, os mitos, as imagens, as espiritualidades e as formas de
conhecimento produzidos pela espécie humana, em espaços e
tempos também distantes uns dos outros; isto é, estão promovendo uma proliferação de pontos de vista sobre o conhecimento, indispensáveis para que o conhecimento possa evoluir.”
Mauro Cerutti
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A Série Arte e Matemática na escola, que será apresentada pela TV
ESCOLA, no Programa Salto para o Futuro, de 05 a 09 de agosto de 2002,
é constituída por cinco programas que pretendem oferecer um espaço de
reflexão, interação e discussão sobre as múltiplas relações matemáticas
existentes nas diversas linguagens artísticas – Artes Visuais, Literatura,
Música, Teatro e Dança –, assim como sobre as complexas relações artísticas
presentes na linguagem matemática. O Salto para o Futuro
pretende
propiciar um diálogo com a premiada série Arte e Matemática, uma realização
da TV Escola/MEC – TV Cultura (2000), composta de 13 programas que
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Licenciada e Bacharel em Matemática. Especialista em Informática Educativa, em Metodologia do Ensino Superior,
Mestranda em Educação e Professora do Colégio Pedro II -RJ. Consultora dessa série.
Pedagoga, Licenciada em Educação Artística. Especialista em Didática do Ensino Superior, em Educação Artística, em
Teoria da Arte e em Tecnologia da Imagem. Mestre em Educação. Professora da Universidade do Estado do Rio de
Janeiro e do Colégio Pedro II - RJ, Diretora do Espaço Cultural do Colégio Pedro II, Coordenadora e Professora da PósGraduação em Ensino da Arte das Faculdades Bennett. Consultora dessa série.
PROPOSTA PEDAGÓGICA
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
mostram as relações entre Matemática e Arte nos mais variados meios e
expressões.
Mas o que será que a Arte tem a ver com a Matemática?
E o que isto pode ter a ver com a Educação?
Estas são as questões centrais que norteiam a dinamização dos
programas, objetivando também discutir possibilidades de projetos e
atividades que abordem o ensino e a aprendizagem da Matemática e da
Arte, numa perspectiva fora dos padrões dos livros didáticos, isto é, a
possibilidade de encararmos tais conhecimentos de forma contextualizada
e significativa, presentes num cotidiano escolar esteticamente valorizado,
passível de interpretação, crítica e expressão pelo alunado.
Desde os Primeiros Tempos, temos registros de manifestações artísticas
e matemáticas no comportamento humano.
O pensamento matemático expressava-se, com certeza, até na escolha
da caverna, onde, intuitivamente, a proporcionalidade entre o espaço
disponível e o número de habitantes do grupo era levado em consideração.
Teria sido este o início da arquitetura?
O pensamento artístico dominava magicamente os desafios da natureza.
A arte era produzida pelo homem caçador, que desenhava bisões e mamutes,
registrando suas marcas nas paredes das cavernas, como forma de domínio,
poder e força.
Havia também a construção de armas, instrumentos e utensílios em
pedra, ossos e troncos, em que as relações entre as formas, suas dimensões,
volumes e usos são evidentes para nós. São precisões, igualdades e variações
que afloram ao nosso olhar, símbolos e padronagens que desafiam a harmonia
e o ritmo plástico.
Fica-nos a questão: Até onde Matemática? Até onde Arte? Faz
sentido tal separação?
Ao longo da história, acompanhando as transformações, o mito, a
ciência e a arte surgem como formas de organização dos diferentes saberes
e como modos de transformação da experiência humana.
Em decorrência de grandes marcos da história da humanidade, como
o apogeu das ciências, o processo de industrialização e, mais tarde, o
surgimento da tecnologia, o conhecimento fragmentou-se cada vez mais,
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
resultando numa intensa disciplinarização – com o surgimento de objetos
de estudo, métodos e conteúdos específicos – o que produz seus efeitos até
os nossos dias, em especial em nossa educação.
Entender o surgimento da Arte e da Matemática nos diferentes
contextos culturais da história da humanidade, como formas de o homem
pensar-se e expressar-se em seu tempo histórico, respondendo às questões
sociais, históricas, políticas e culturais que o mundo lhe impunha, configurase como o primeiro passo para sermos capazes de lançar um novo olhar à
contemporaneidade.
As múltiplas relações existentes entre os saberes de nosso tempo
sensibilizam-nos para a complexidade do conhecimento humano,
denunciando e fazendo-nos reconhecer o quanto são tênues as fronteiras
existentes entre as descobertas científicas, as invenções matemáticas e
tecnológicas e as produções das diferentes linguagens artísticas.
E foi partindo do princípio de que o conhecimento humano não é só
múltiplo como também complexo, reunindo fazeres e pensares de todos os
tipos – religiosos, artísticos, científicos, míticos e cotidianos – que nos
propusemos a nos aventurar pela história do homem e de suas produções,
buscando pistas, indícios e evidências do quanto a Arte e a Matemática
sempre caminharam e do quanto caminham juntas até os dias de hoje,
ajudando-nos a produzir novas respostas ao mundo imagético, globalizado
e cibernético em que vivemos.
Mas onde poderemos identificar as relações entre a Arte e a
Matemática?
Isto seria possível de acontecer na escola ?
À Escola, levamos o desafio de um ensino de Matemática provido de
significado para o aluno, de forma a desempenhar um papel formativo – por
desenvolver competências lógico-matemáticas, funcionais – por ajudar na
resolução de problemas do dia-a-dia, e instrumental – por fazer conexões
com outras áreas curriculares.
Em Arte, trazemos à discussão a necessidade de pesquisarmos sobre
as imagens, os sons, as palavras e os gestos, para aprender com eles, com
os mundos que eles representam e com a vida das pessoas que se
relacionaram e/ou que continuam a se relacionar com eles; é a importância
e o direito de aprender a interpretar a cultura de seu tempo/espaço, com a
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
amplitude de informações e conhecimentos sobre outros tempos/ espaços.
Nossos alunos em geral têm acesso a produções artísticas dos mais diferentes
tipos, através do computador, da TV, do rádio, do vídeo, dos games, do cinema,
dos out-doors das ruas, dos artesanato das feiras populares, dos jornais,
das revistas e de tantas outras fontes... Por que não nos apropriarmos
desta riqueza na escola?
Entendendo a arte enquanto linguagem, acreditando na aprendizagem
de sua leitura e de sua produção, enquanto pensamento, expressão e
comunicação, estaremos desenvolvendo eixos organizadores e estruturadores
de subjetividades e de aquisição de novos saberes. Mais que isto, estaremos
desenvolvendo uma política educacional capaz de reconhecer, valorizar e
respeitar diferenças e singularidades – aspecto fundamental para a sociedade
em que vivemos.
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“O que a arte na escola principalmente pretende é formar o conhecedor, fruidor, o decodificador da arte. Uma sociedade só é
artisticamente desenvolvida quando ao lado de uma produção
artística de alta qualidade há também uma alta capacidade de
entendimento pelo público.
Desenvolvimento cultural, que é a alta aspiração de uma sociedade, só existe com desenvolvimento artístico neste duplo sentido.”
Ana Mae Barbosa
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Aos professores, fica o convite para este caminhar conjunto,
repensando e trocando práticas educativas a cada passo, como forma de
sugerir às novas gerações caminhos em constantes mudanças: a vida.
E, neste sentido, por que não ARTE e MATEMÁTICA?
ou MATEMÁTICA e ARTE?
TEMAS
QUE SERÃO DEBATIDOS NOS PROGRAMAS:
PGM 1: UM
CALEIDOSCÓPIO DE POSSIBILIDADES
Neste programa, buscaremos trazer à discussão a complexidade do pensamento humano, na qual inteligência e sensibilidade atuam juntas na
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
tessitura de múltiplos saberes. Destacamos o encontro entre o matemático
e o artístico em inúmeras produções humanas até os nossos dias.
A utilização de números, proporções, simetria, ilusão de óptica, geometria
projetiva, perspectiva linear e razão áurea em expressões artísticas de diferentes linguagens são alguns exemplos que evidenciam o uso intuitivo ou
intencional de conceitos matemáticos por artesãos e artistas, na busca do
equilíbrio e da harmonia estética, ao produzirem suas obras.
A visita a um Espaço Cultural ou a um Museu de Arte pode revelar-se uma
ótima oportunidade para que crianças e jovens, de maneira lúdica, prazerosa
e crítica, tenham acesso a produções artísticas, identificando concretamente o uso destas relações.
PGM 2: ARTES
VISUAIS E MATEMÁTICA
Uma viagem pela história das imagens
Este programa tem como objetivo abordar as linguagens visuais (desenho,
pintura, gravura, escultura, colagem, fotografia, cinema, instalações e
infografias, dentre outras), em suas relações com a linguagem matemática,
pelo viés da estética.
Temos a intenção de apresentar determinadas produções representantes
de alguns movimentos artísticos, assim como algumas obras contemporâneas, que nos mostram a diversidade de suportes, de materiais, de linguagens e de técnicas, expressos no conceitual, na dinamicidade e no interativo
das imagens, como forma de exemplificar o uso conjunto da Arte e da Matemática, desdobrando-se esteticamente nas possibilidades do tempo, do espaço, do movimento, e do acaso, inaugurando trajetórias que se abrem do
ver ao sentir, do sentir ao abstrair.
Atividades escolares nas quais crianças possam brincar com os elementos básicos da perspectiva, explorando-a enquanto recurso para a produção de uma
ilusão de óptica, ou onde possam realizar múltiplas construções matemáticas e
artísticas com o tangran, desenvolvendo o pensamento divergente e a criatividade,
podem ser de grande produtividade para uma abordagem multidisciplinar.
PGM 3: LITERATURA
E
MATEMÁTICA
O prazeroso jogo de palavras que faz a leitura do mundo
Este programa busca apresentar algumas interfaces entre o conhecimento
literário e o matemático, analisando produções artísticas e experiências
pedagógicas que possam enriquecer o cotidiano escolar.
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
Segundo o Dicionário Aurélio, um dos significados dado à Literatura é que
ela é “o conjunto dos conhecimentos das obras ou dos autores literários”.
Existe hoje em dia uma quantidade de obras que usando “as palavras como
arma” traduzem o pensamento matemático para a linguagem coloquial.
Estas obras ensinam os leitores a poderem conversar sobre os números e a
descobrirem a beleza de sua construção, desfazendo a velha idéia de que a
Matemática é só para os “superdotados”. Muitas delas, de modo saboroso e
muitas vezes pitoresco, contam a vida dos maiores matemáticos do mundo e
descrevem as suas obras. Elas proporcionam um entretenimento indispensável tanto para os que gostam de Matemática como para os que precisam
descobrir a sua beleza e a sua utilização na leitura do mundo.
A Ciência Matemática é uma obra do espírito humano e nenhuma outra
construção tem a unidade e a harmonia desta ciência; nenhuma a iguala
na solidez e no equilíbrio perfeito e na delicadeza dos detalhes – diz Amoroso Costa. Sendo ela uma obra construída pelo espírito humano, pode ser
compreendida através das palavras.
Descobrir, desde a infância, as relações existentes entre a Literatura e a
Matemática pode ser uma experiência inesquecível, capaz de possibilitar às
crianças não só a vivência da interdisciplinaridade, como também o domínio paulatino da estrutura destas duas linguagens, no que elas trazem de
melhor: a harmonia e o equilíbrio da Literatura, a beleza e a poética da
Matemática.
PGM 4: DANÇA,
TEATRO E MATEMÁTICA
O espaço que confere ao corpo as possibilidades do ser, do sentir e do
expressar-se
Este programa abordará a Dança e o Teatro, enquanto linguagens tradicionalmente reconhecidas por suas dimensões espaciais, temporais e cinéticas,
em algumas das muitas relações existentes com a linguagem matemática.
Enfatizando a dinamicidade e o cênico na história do movimento expressivo, buscaremos exemplificar, pelo uso dos elementos fundamentais destas
linguagens, o quanto existe de espacialidade, de harmonia de formas, de
simetria e de assimetria de movimentos, de utilização de proporções e de
muitos outros conceitos matemáticos em suas produções, sejam estas coreográficas ou dramáticas.
Em uma aula de dança ou de teatro, crianças e jovens podem, através de
jogos simbólicos, da vivência de diversos personagens ou do uso do corpo
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
como uma verdadeira orquestra de movimentos expressivos, que evolui em
sons, tempos, ritmos e marcações no espaço, vivenciar de forma fluida e
intensa, a presença da estética artística e matemática, capaz não só de
proporcionar-lhes a autodescoberta, mas também de conferir-lhes a beleza
da expressão e da comunicação pelos gestos, sons e movimentos.
PGM 5: MÚSICA
E MATEMÁTICA
A alquimia dos sons na magia do tempo
Este programa traz-nos a Música e a Matemática na história do homem,
apresentando-nos um panorama intercultural, em que tais relações se apresentam em diferentes espaços e tempos.
Na sua definição mais simples, Música é “ritmo e som”. Ou seja, é uma
combinação de sons executados em determinada cadência. A importância
da Matemática na Música se revela desde a concepção mais fundamental
do que é “som musical” e do que é “ritmo”.
Os sons com os quais podemos criar nossas músicas constituem o que chamamos de “escala musical”. Eles são definidos a partir de relações matemáticas muito precisas, e quando combinados de determinadas maneiras podem produzir resultados agradáveis aos nossos ouvidos. Essas relações matemáticas, junto com as características intrínsecas das vibrações sonoras,
são a base para a “harmonia” na superposição dos sons musicais.
Por outro lado, a maneira como encadeamos os sons em nossas músicas
também segue regras com fundamentos matemáticos.
Todos os tipos de “ritmos” que podemos conceber musicalmente obedecem
a algum tipo de divisão fracionária, cuja característica sempre está vinculada a um determinado gênero artístico ou a um tipo de cultura.
Conhecer essas influências matemáticas é, antes de tudo, conhecer a essência da própria Música.
Numa aula de Música, pode-se criar oportunidades para tais descobertas,
de forma lúdica e prazerosa, seja pela experimentação do som, pelo manuseio de instrumentos ou pelo uso da própria voz, em ritmos diversos.
REFERÊNCIAS
BIBLIOGRÁFICAS :
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NA ESCOLA
ALVES, Nilda; AZEVEDO, Joanir Gomes de & OLIVEIRA, Inês Barbosa de.
Pesquisar o cotidiano na lógica das redes cotidianas, ANPED,1998.
ALVES, Rubem. O retorno eterno. Campinas: Papirus, 1992.
BARBOSA, Ana Mae. A imagem no ensino da Arte. São Paulo: Perspectivas
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______________. A compreensão e o prazer da Arte – Além da tecnologia.
SESC- São Paulo, 1999.
BERGER, John. Modos de ver. Rio de Janeiro: Rocco, 1999.
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CANDAU, Vera Maria (Org). Magistério. Construção Cotidiana. Petrópolis:
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______________. A invenção do cotidiano – morar, cozinhar. Petrópolis: Vozes, 1996.
CERTEAU, Michel de. A cultura no plural. São Paulo: Papirus, 1986.
CERUTTI, Mauro. Reforma do pensamento e da política. Tema em debate:
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DURAND, Gilbert. O imaginário: ensaio acerca das ciências e da filosofia da
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FREIRE, Paulo. À sombra desta mangueira. São Paulo: Olho d’Água, 1995.
GOMBRICH, E. H. Arte e Ilusão – um estudo da psicologia da representação
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GULLAR, Ferreira. Argumentação contra a morte da arte. Rio de Janeiro:
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LÉVY, Pierre. O que é o virtual?. Tradução de Paulo Neves. São Paulo: Ed. 34
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MARTINS, Mirian Celeste et alii. Didática do Ensino de Arte. A língua do
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
MOREIRA, Antonio Flavio Barbosa. Currículo: Políticas e Práticas. São Paulo:
Papirus (Coleção Magistério: Formação e Trabalho Pedagógico), 1999.
MORIN, Edgar. Ciência com consciência. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil,
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______________. Amor, Poesia, Sabedoria. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil,
1999.
______________. Os Sete Saberes necessários à Educação do Futuro. São
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OSTROWER, Fayga. Universo da Arte. Rio de Janeiro: Campus, 1991.
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Rio de Janeiro: Ed. 34 (Coleção TRANS), 1999.
PILLAR, Analice Dutra (Org). A Educação do Olhar no Ensino das Artes. Porto
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SAMAIN, Etienne. Questões heurísticas em Torno do Uso das Imagens nas
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SANTOS, Boaventura de Souza. Pela mão de Alice – o social e o político na
pós-modernidade. São Paulo: Cortez, 1999.
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ARTE E MATEMÁTICA
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PGM 1: UM
CALEIDOSCÓPIO DE POSSIBILIDADES
Manoel de Barros, poeta do pantanal mato-grossense, referindo-se às relações existentes entre arte e vida, afirma-nos:
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“Tudo, creio, já foi pensado e dito por tantos e tontos, ou quase tudo.
Então, o que se pode fazer de melhor é
dizer de outra forma. É “des-ter” o assunto.
Se for para tirar gesto poético, vai bem
perverter a linguagem...
Temos que molecar o idioma para que ele
não morra de clichês. O nosso paladar
de ler anda com tédio.
É preciso propor novos enlaces para as
palavras.
Há que se encontrar a primeira vez numa
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EDITE RESENDE VIEIRA 1
ELOÍSA SABÓIA RIBEIRO²
frase para ser-se poeta nela.
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O poeta, como todo artista, é aquele
alguém capaz de descobrir nas pequenas coisas da vida cotidiana, nas “ordinariedades da vida”, como diria Manoel
de Barros, singularidades capazes de
transformá-las em objetos repletos de
significados, seja através das palavras,
dos gestos, do movimento, das cores e
das formas, dos sons ou de outros infinitos recursos.
Ao realizar tal proeza, o artista cria
um campo inesgotável de relações perceptivas, racionais, críticas, afetivas e
imaginárias, que se desdobra em múltiplas leituras e em novas visibilidades para seus leitores, conferindo ao
Licenciada e Bacharel em Matemática. Especialista em Informática Educativa, em Metodologia do Ensino Superior,
Mestranda em Educação e Professora do Colégio Pedro II -RJ. Consultora dessa série.
Pedagoga, Licenciada em Educação Artística, Especialista em Didática do Ensino Superior, em Educação Artística, em
Teoria da Arte e em Tecnologia da Imagem, Mestre em Educação. Professora da Universidade do Estado do Rio de
Janeiro e do Colégio Pedro II - RJ, Diretora do Espaço Cultural do Colégio Pedro II, Coordenadora e Professora da Pós–
Graduação em Ensino da Arte das Faculdades Bennett. Consultora dessa série.
BOLETIM
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ARTE E MATEMÁTICA
antes “ordinário” o status de “extraordinário”.
A obra de arte 3, independente da linguagem artística escolhida por seu autor, nunca se reduzirá a si mesma, enquanto produção, pois se torna capaz de
sintetizar referências históricas, marcas
culturais e questões político-sociais do
espaço e do tempo de sua criação; traz o
único e o universal engendrados de tal
maneira que, ao fechar-se o processo de
criação do artista, abre-se processo de
fruição 4 dos leitores, num renascer estético intemporal, que se estende à própria existência humana.
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“A verdade é que a arte não envelhece
porque o ser humano que a contempla é
sempre novo, ou terá um olhar outro e
estará realizando uma infinidade de leituras porque infinita é a capacidade do
homem de perceber, sentir, pensar, imaginar, emocionar-se e construir significações diante das formas artísticas.
Nesse sentido, a obra de arte, mesmo
tendo data e procedência, transcende
o tempo e transpõe fronteiras, por isso
é patrimônio cultural da Humanidade.
Pertence a quem dela fruir, seja um
operário egípcio dos tempos dos faraós,
seja o habitante de uma plataforma
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espacial do ano de 2075.” (Mirian Celeste et alli)
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Os processos estéticos continuarão
a atuar por meio daqueles que se relacionarão com a obra. Assim, o observável
terá sempre a marca do conhecimento e
da imaginação de quem observa. Chamamos esse processo de reflexão estética.
A reflexão estética é o modo como
funciona o pensamento estético que, ao
contrário do que muitos pensam, não
apresenta apenas uma dimensão
cognitiva ou técnica. Ao contrário, o pensamento estético, por sua riqueza e complexidade, é capaz de ultrapassar a
cognição e a técnica, abrindo-se ao imaginário e a outros saberes da inteligência humana, relacionando-os aos saberes do corpo, da memória, da percepção,
dos desejos e dos afetos.
Mas afinal, o que é estética?
Existe alguma relação entre estética, arte e matemática?
Segundo Pareyson, a estética, enquanto disciplina, poderia ser definida
como o conjunto de conhecimentos
especulativos e reflexivos sobre a experiência artística, entendendo-se como
O conceito de obra de arte ao qual nos referimos inclui produções artísticas de diferentes linguagens e oriundas dos
mais diferentes tempos, espaços e culturas.
Fruição é aqui considerada como um processo dinâmico e individual, através do qual nos relacionamos com a obra de
arte, atualizando-a, segundo nossas formas de interpretação, nossas sensibilidades e nosso contexto socio-histórico e
cultural.
BOLETIM – PGM 1 - UM CALEIDOSCÓPIO DE POSSIBILIDADES
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ARTE E MATEMÁTICA
tal toda e qualquer experiência que tenha a ver com o belo e com a arte: a
experiência do artista, do leitor da obra,
do crítico, do historiador, do técnico da
arte e de todo aquele que desfrute do
belo, em qualquer área do conhecimento humano. A estética aborda, em suma,
a contemplação da beleza, quer seja esta
artística, natural ou intelectual.
Sabemos que a necessidade estética
não se configura como um privilégio da
contemporaneidade. Inúmeros exemplos
de produção e do comportamento humano comprovam o quanto, desde os primeiro tempos, ela se confunde com a
gênese do próprio homem.
O pensamento estético é, sem dúvida, uma das muitas maneiras que o homem encontrou não só para responder
às questões que o mundo lhe impunha,
mas também para responder a si mesmo, saciando-se no desejo do equilíbrio,
na busca da eqüidade e da simetria, na
necessidade de produzir algo aprazível
ao ver, ao tocar, ao sentir e ao pensar.
Por isso, a estética estende-se a todos os
conhecimentos humanos, configura-se
como uma fonte ancestral que atravessa
os conhecimentos artísticos, científicos
e religiosos, hoje desdobrados em disci5
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plinas, pelas inúmeras transformações
histórico-sociais e tecnológicas que ocorreram ao longo dos séculos.
E é justamente sob o viés da estética
que teremos a oportunidade de descortinar grandes encontros entre a arte e a
matemática, pois ambas fazem parte do
mesmo gesto com que o homem buscou
o mundo, o outro e a si próprio.
O cristal encontrado na natureza
apresenta delicada simetria 5 das faces.
A pirita ou sulfureto de ferro, geralmente denominado “ouro dos tolos”,
ocorre na natureza como cubos entrelaçados.
Algumas plantas e árvores crescem de
acordo com a seqüência de Fibonacci 6.
A seção de um favo de mel de abelhas consiste de hexágonos que favorecem a máxima armazenagem.
O Nautilus 7 constrói a sua casa e, à
medida que cresce, vai construindo um
novo compartimento. Cada compartimento é maior que o anterior, na proporção da seqüência de Fibonacci. No
espiral da concha do Nautilus observase uma propriedade bastante interessante: o animal cresce numa mesma proporção, a proporção áurea 8.
Correspondência em grandeza, forma e posição relativa de partes que estão em lados opostos de uma linha ou plano
médio, ou que ainda estão distribuídos em torno de um centro ou eixo; harmonia resultante de certas combinações e
proporções regulares.
A série de Fibonacci é produzida começando pelo número 1 e somando os dois números anteriores, encontra-se 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Molusco cefalópode que tem a concha dividida em muitos compartimentos.
É a mais agradável proporção entre dois segmentos ou duas medidas. Essa proporção é representada pelo número de
ouro (Phi) ??= 16180...
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ARTE E MATEMÁTICA
Na música, Pitágoras descobriu que
os intervalos musicais são determinados
por meio de relações entre números inteiros. O som, dividido de diversas maneiras, diferencia os padrões musicais
de diferentes culturas.
A presença da matemática torna-se
ainda mais flagrante nas relações entre
som/cadência/ritmo, na gramática das
escalas musicais e na maneira como os
sons encadeiam-se na música, o que nos
ajuda a identificar influências matemáticas e artísticas na essência do que podemos considerar como música.
A produção artística indígena, africana e de diversas outras culturas mostra claramente que mesmo as pessoas
que não possuem conhecimento matemático acadêmico podem ter um sentido inato das formas geométricas. Não
com a consciência geométrica da Grécia,
mas com uma visão intuitiva da Geometria em suas produções artesanais.
Na pintura, os artistas constataram
que a geometria era de vital importância
na obtenção da perspectiva ótica, que lhe
conferia o efeito tridimensional.
Pintores, escultores e arquitetos fizeram obras incríveis, usando a propor-
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ção áurea. Usavam-na não por acaso, mas
porque sabiam intuitivamente que os
objetos com esta proporção eram os mais
agradáveis esteticamente.
Pesquisadores e historiadores descobriram, também, que o retângulo de ouro 9, por ser a forma mais agradável à visão, já era utilizado pelos gregos em seus
projetos arquitetônicos, construções monumentais e obras de arte diversas.
A utilização de números, proporções,
simetria, ilusão de óptica, geometria
projetiva, perspectiva linear e razão áurea em expressões artísticas de diferentes linguagens das artes visuais – das
linguagens tradicionais como a pintura, a gravura, a escultura e a arquitetura às linguagens contemporâneas, digitais e de síntese, como as instalações,
as infografias 10, a holografia 11 ou os simuladores 12 – são alguns exemplos que
evidenciam o uso intuitivo ou intencional de conceitos matemáticos por artesãos e artistas na busca do equilíbrio e
da harmonia estética.
Em literatura, observamos na estrutura da própria linguagem interseções
entre a arte e a matemática, que se fazem presentes no uso da métrica ou no
Retângulo em que a razão entre o lado maior e o lado menor é igual ao número de ouro. É considerado a mais estética
das formas retangulares.
Técnica de produção de imagens, elaboradas a partir de programas digitais, combinando ou intervindo em desenhos,
fotos, gráficos, etc.
Holografia é um processo fotográfico para obtenção de imagens tridimensionais, mediante utilização de laser.
Aparelhos cibernéticos que reproduzem ou imitam aspectos de uma determinada situação de modo controlado, provocando sensações.
14
ARTE E MATEMÁTICA
uso do ritmo existente nos poemas, cujas
estrofes traduzem uma idéia de harmonia, beleza e sentimento. Esta procura
de harmonia é na verdade uma busca de
simetria que não é vista mas é sentida.
Novos encontros entre arte e matemática também podem ser observados na
criação de poemas concretos, que brincam com a ambigüidade plástica e significativa das palavras ou na montagem
de poemóbiles – figuras tridimensionais
que se encaixam e desencaixam, dando
origem a novos significados.
A dança e o teatro tradicionalmente
nos oferecem, na própria estrutura de
suas linguagens, um destaque às dimensões temporais, espaciais e cinéticas,
pertinentes aos conhecimentos artístico
e matemático.
O uso da espacialidade do palco, em
diferentes planos e marcações pelo ator
ou bailarino, a harmonia de formas que
exploram o espaço, o corpo que evolui
em voz, tempo e movimento, a simetria
e a assimetria, que dão dinamicidade à
coreografia ou à representação dramática, redimensionando a expressão corpórea, em sua relação com o público, são
alguns exemplos que marcam a presença das estética artística e matemática
nestas linguagens.
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NA ESCOLA
Ao termos a oportunidade de analisar as diferentes linguagens artísticas –
artes visuais, literatura, teatro, dança e
música – poderemos vislumbrar uma infinidade de encontros, proporcionados
por estas duas áreas do conhecimento.
Isto lembrou-nos sugestivamente a beleza e a multiplicidade do caleidoscópio 13, brinquedo capaz de reinventar
imagens a cada encontro de seus fragmentos, oferecendo-nos o novo em diferentes
modos de ver e em diferentes
possibilidades de pensar.
Seria provavelmente impossível esgotar todas as relações existentes entre a arte
e a matemática contudo, o que nos interessa, em especial, é a possibilidade de sermos capazes de lançar um novo olhar sobre o nosso tempo e sobre as nossas práticas, descobrindo e sendo capazes de proporcionar novos encontros entre a arte e a
matemática em nossas próprias vidas.
As múltiplas relações existentes entre os saberes de nosso tempo, sensibilizam-nos para a complexidade que o conhecimento humano nos denuncia hoje,
fazendo-nos reconhecer o quanto são
tênues as fronteiras existentes entre as
descobertas científicas, as invenções
matemáticas e tecnológicas e as produções artísticas de nosso tempo.
Caleidoscópio é um brinquedo montado a partir de um tubo espelhado em seu interior. Este tubo contém fragmentos de
vidros coloridos que, a cada movimento, se encontram, realizando combinações variadas numa sucessão rápida de
impressões
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ARTE E MATEMÁTICA
Arte & Matemática
Um encontro possível na escola?
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“A aprendizagem em Matemática está
ligada à compreensão do significado:
apreender significado de um objeto ou
acontecimento pressupõe vê-lo em
suas relações com outros objetos e
acontecimentos.” (Parâmetros Curriculares Nacionais, Matemática, MEC, p.19)
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Grandes mudanças começam a solicitar a reestruturação de todo o sistema
de aprendizagem, exigindo novas
performances não só do aluno, mas também do professor.
Segundo Candau:
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“Os professores são os principais agentes de inovação educacional. Sem eles,
nenhuma mudança persiste, nenhuma
transformação é possível.”
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O cotidiano escolar se coloca cada vez
mais comprometido com a formação de
um indivíduo em sintonia com seu tempo. Neste sentido, cabe à escola oferecer
oportunidades para que os alunos
vivenciem atividades contextualizadas e
significativas, objetivando o alcance das
múltiplas relações existentes entre a vida
dos alunos, em suas necessidades,
potencialidades, vivências e desejos e as
práticas educativas desenvolvidas na escola.
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NA ESCOLA
A educação ganha, aqui, responsabilidade fundamental, trazendo à tona a
complexidade do pensamento humano,
ao oferecer práticas interdisciplinares
que abordem diferentes linguagens e
áreas de conhecimento, de forma integrada, dinâmica e interativa.
Promover situações em que os alunos possam, de maneira lúdica, prazerosa, crítica e criativa, ter acesso à arte,
sendo capazes de identificar o uso das
relações matemáticas em diferentes produções artísticas, pode constituir-se
como mais uma possibilidade de encontro aos novos paradigmas que se impõem
na contemporaneidade, congregando
forças para um ampliar de referências,
dentro e fora da escola, que venha a
ressignificar a vida, de forma coletiva e
dialógica.
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ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
PGM2 - ARTES VISUAIS E MATEMÁTICA
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LUZ1
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“A arte não reproduz o visível, mas torna visível. A essência da
arte gráfica conduz facilmente, e com toda razão para a abstração. (...) Os elementos formais da arte gráfica são: pontos, energias lineares, energias planas e energias espaciais”.
Paul Klee
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Tornar visível significa trazer uma
imagem concebida por um homem e inseri-la no universo de muitos homens.
O resultado do processo criativo é exatamente este. Consciente ou inconscientemente, emotiva ou racionalmente, o ser
humano produz arte. Neste procedimento, sua trajetória se desenvolveu da
mimese para a abstração, ou seja, primeiramente ele contemplou a natureza,
reproduziu-a e, depois, separou dela as
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suas formas, chegando à abstração.
Na Pré-História, os seres humanos
criavam partindo da reprodução de formas que eram vitais para a sobrevivência, como os bisões que eram pintados
no interior da caverna e as esculturas
representando Vênus, com um grande
ventre, esculpidas, preferencialmente,
em pedra. Formas que registram o apelo mágico destes artistas, desejosos de
materializar o objeto de suas necessida-
Professora de História da Arte e de História, Teoria e Crítica de Arte dos cursos de Graduação e Pós-Graduação da
Escola de Belas Artes; Diretora da Escola de Belas Artes da Universidade Federal do Rio de Janeiro; Mestrado em
Filosofia, na área de Estética/IFCS/UFRJ e Doutorado em História Social, na área de Cultura/IFCS/UFRJ; autora dos
livros Anna Letycia. São Paulo, Edusp, 1999; A Fabulação Trágica de Portinari na Fase dos Retirantes. Rio de Janeiro,
IFCS/UFRJ, 1985. Artigos em revistas especializadas e catálogos de exposições.
BOLETIM
18
ARTE E MATEMÁTICA
des. Mas é no Neolítico que os seres humanos conseguirão gravar, no osso ou
na pedra, os símbolos abstratos de suas
próprias indagações. Tais símbolos são
“apresentados” intuitivamente, ou matematicamente.
No início do século XX, este desejo
de abstração será consciente, como podemos perceber na afirmação de Kandinsky:
“Logo uma coisa se tornou clara para mim:
a representação dos objetos não precisava
ter lugar na minha pintura, e na verdade,
era-lhe prejudicial”.
Em 1951, Max Bill foi premiado na
1ª Bienal de São Paulo com uma obra
intitulada “Unidade Tripartida”, na qual
podemos observar seu racionalismo
formalista através da lógica matemática
com que ele estrutura o espaço, ao utilizar superfícies que se desenvolvem continuamente. No Brasil, o impacto da obra
de Max Bill alavancou o movimento
concretista. É evidente que, a esta época, já encontrávamos no Rio de Janeiro
artistas como Almir Mavignier e Ivan
Serpa, que estavam buscando este caminho. Nesta mesma Bienal, Serpa foi o pintor brasileiro que recebeu o prêmio de
“Jovem artistas”. A pintura que apresentou, intitulada “Formas”, compunha-se de
círculos que aparecem como figura e fundo, embasada na Teoria da Percepção.
O desejo de criar uma arte que não
mais representasse, mas que pudesse
tornar visível concretamente a linha de
raciocínio de um artista, sinaliza o abandono da figuração.
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NA ESCOLA
Do século XV ao final do século XIX,
o homem construiu um espaço, que hoje
conhecemos como “o espaço cúbico da
perspectiva renascentista”. A partir dos
movimentos pós-Cézanne, este espaço
começará a ser desconstruído.
No século XV, o rigor matemático da
cúpula de Brunelleschi, na catedral de
Florença, é a certeza de uma procura na
qual a regra é matemática: equilíbrio, ritmo, simetria. A sucessão de janelas marca, nas arquiteturas, o ritmo; a horizontalidade, que enquadra o edifício no campo visual do homem que passa, assegura a possibilidade de equilíbrio que se
completa na exigência da simetria.
Na pintura, a horizontalidade e a forma piramidal passam a nortear a composição do artista. A regra e a norma –
há uma lógica matemática que faz o artista procurar a “justa medida”. As figuras serão representadas dentro de um
espaço que se apresenta aos nossos olhos
como “visto” através de uma janela. Alguns artistas chegavam a montar pequenas esculturas, dentro de caixas e, por
um ou mais orifícios, abertos em algum
lugar da caixa, passavam a observar como
se comportavam aqueles elementos em
relação ao espaço, que relações estabeleciam entre si e com o espaço.
O ser humano chegava à construção
do espaço matemático nas artes. Até
aquele momento, ele havia reproduzido
a natureza usando a perspectiva aérea,
em que a cor mais forte e definida aparece em primeiro plano e as mais
BOLETIM – PGM 2 - ARTES VISUAIS E MATEMÁTICA
19
ARTE E MATEMÁTICA
tonalizadas vão preenchendo os planos
subseqüentes, com efeitos semelhantes
ao filtro atmosférico, que torna o horizonte azulado ou acinzentado. Um outro artifício para resolver o problema
perspectivo do quadro era o uso da observação, conforme se comprova na pintura de Giotto e Masaccio. Finalmente,
artistas como Piero della Francesca,
Paolo Ucello e Andréa Mantegna vão procurar a solução exata da representação
do espaço através das linhas de fuga, do
ponto principal e da linha do horizonte.
Isto se dará no século das grandes descobertas, quando o ser humano velejará
em direção à linha do horizonte que, no
entanto, permanecerá fixa, fazendo convergir para ela todas as demais linhas.
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“De todas as linguagens, a dos matemáticos é a mais exata, quer se trate de equações, figuras geométricas planas, ou sólidos. Na sua procura de regras fundamentais, baseadas em princípios primários e independentes da vida diária, o homem tentou exprimir o mundo em termos
matemáticos, olhando o Criador como o
perfeito matemático-filósofo.”
Bernard Myers
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O desejo de obter a forma pura sempre estimulou o artista a pesquisar, procurando soluções. O que seria o puro?
Onde encontrá-lo? A maior parte dos
artistas, em todos os tempos, buscou
suas respostas na matemática. Também
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NA ESCOLA
no campo filosófico, as reflexões que investigam a pureza estão na matemática.
Para Platão, as formas puras se encontravam nos cubos, cilindros, cones, esferas e outros sólidos regulares, geométricos, resistentes à adulteração do mundo sensível. Aristóteles defendia o círculo e a esfera como formas perfeitas e divinas e, também, os pitagóricos se rendiam à perfeição do círculo.
Na arte, muitos foram os que buscaram as soluções geométricas para equacionarem seus questionamentos e criarem. Mais uma vez eles reencontram a
simetria e retornam ao cânone, para, mais
uma vez, ainda, romperem com o modelo
em busca de uma arte que abandonasse
o ilusionismo da perspectiva e reafirmasse a bidimensionalidade do quadro.
A busca de uma arte que não apenas represente, oferecendo-nos a possibilidade de apenas um significado, que
é aquilo que vemos, dá lugar a uma arte
que permite abrir a possibilidade de significados, transformando-se em enigma
ou equação que precisa ser desenvolvida mentalmente. Muitas vezes ela se
apresenta com mais de uma incógnita e
a solução não está no mundo visível.
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“A modernidade é o transitório, o fugitivo, o contingente, a metade da arte, cuja
outra metade é o eterno e o imutável.”
Baudelaire
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O transitório e o fugitivo, o que passa
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ARTE E MATEMÁTICA
e o que se eterniza. O homem percebe a
dimensão temporal da arte. Cada vez mais
ele sente que precisa da idéia para ser
incomum e permanecer no eterno. Até o
final do século XIX, o artista sabia que
não poderia prescindir da técnica. Ele tinha que conhecer, profundamente, os
segredos da matéria e do suporte onde
pintava; porém, naquele momento ele
começa a se preocupar com os conceitos.
A questão do tempo e do espaço vai ser
discutida em outros moldes. O filósofo
Bergson (1859-1941) elabora as suas teorias. Para ele, o tempo é “duração”. Com
isto, ele introduz o psíquico e se afasta
do tempo “matemático”. Para o filósofo, a
duração é a própria realidade, é o que se
vive, intuitivamente, e não somente o que
se compreende através do intelecto.
Na arte, um dos exemplos mais expressivos da vontade de apreensão do
tempo acontece com os futuristas. Eles
exaltam o aeroplano, o carro rugidor, a
máquina que conduz o homem ao futuro. Eles defendem uma estética do dinamismo. Este tempo futurizado se opõe
ao passado, ilustrado pelos museus, que
são considerados pelos futuristas como
cemitérios, pois guardam “corpos” que
não se conhecem. Cada vez mais, o homem procura fazer uma arte que não
possa ser adquirida, colecionada, exibida fora de seu próprio acontecimento.
A concepção do espaço também será
abalada pelas novas experiências e pelas teorias no campo da física e da matemática.
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NA ESCOLA
Na experiência do vivido, o homem
começa a subir em balões, no final do
século XIX. Mais tarde voará nos “aeroplanos” que alimentaram o sonho futurista.
Ao se elevar, o homem corta a sua
relação espacial com a Terra e elimina a
linha do horizonte. Ele não se desloca
mais, sucessivamente, na direção do horizonte e nem apreende uma linha imutável em sua retina. A arte se torna atectônica, descola-se da Terra. O atectonismo representa uma nova concepção espacial. O homem se divorcia da linha do
horizonte e parte em direção ao espaço,
num novo vôo de núpcias. A desconstrução do espaço, que se mantinha desde o
século XV, seria inevitável. Contudo,
novas aproximações com a matemática
seriam experimentadas, pois ela vai também se reformular. A matemática moderna dialoga com a arte moderna e contemporânea.
Malevicht, cujas teorias da arte começam a ser conhecidas a partir de 1914,
liberta as suas formas de todas as dependências da lei da gravidade. Ele solta suas formas geométricas e as deixa
“navegar” num espaço cósmico. “Minha
nova pintura não pertence à Terra exclusivamente”, afirmaria Malevicht, ao
defender que, em sua consciência, ele
sentia a tensão do homem em direção
ao espaço, uma espécie de atração por
se descolar da Terra. Assim, o branco de
suas telas exprime o espaço cósmico,
onde as formas geométricas “brincam”
21
ARTE E MATEMÁTICA
como elementos flutuantes. Para ele, o
quadrado é a criança real, a forma suprema, símbolo da revolução da sensação pura.
Além disso, o homem percebe que a
ampliação do espaço não está fora dele,
mas dentro, em suas estruturas mais
interiores.
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“A descoberta fundamental, a que determina a verdadeira ruptura, chegou no momento em que, como no Quatrocento, os
artistas descobriram que a ampliação do
universo não podia continuar a ser procurada na renovação do cenário pitoresco,
mas pelo contrário, em um aprofundamento
de suas estruturas íntimas.”
Pierre Francastel
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A ampliação do universo se dá, na
medida em que, por um lado, o homem
descobre o espaço e destrói, paulatinamente, o espaço plástico do renascimento e, por outro, ele percebe que o incomensurável, o infinito, está dentro dele.
O abstracionismo testifica o confronto do
artista com uma outra realidade. Apenas a tela, ou o muro, enfim, o suporte
pode apreender o real, ou seja, o pensamento do artista. Por meio de seus raciocínios ou de suas emoções, ele os registra com cores no espaço plano. O homem rompe com o ilusionismo, desfaz a
janela e percebe, como afirmaria Francastel, que o mais misterioso está perto
dele e não pode haver espaço mais ex-
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NA ESCOLA
tenso que o espírito humano e suas relações corpo e espírito. O tempo, na verdade, sou eu. Eu passo, mas digo que o
tempo passa. É a duração bergsoniana
que vai imprimindo novas relações.
No campo da Física, a teoria da Relatividade, de Einstein, vai nos confrontar com um novo conhecimento. O homem pode estabelecer a relação em cadeia que ocorre depois que o primeiro
átomo se desintegra, mas não pode antecipar qual deles será o primeiro.
Einstein se indaga: “Deus não joga dados!”, mas o enigma do acaso desafia sua
compreensão. Contudo, as questões
pesquisadas por físicos e matemáticos
estarão, também, na discussão de artistas como Piet Mondrian, por exemplo.
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“A plástica precisa do universal é inconcebível sem a plástica do puro equilíbrio,
e o equilíbrio é inconcebível sem a
dualidade. É a dualidade que expressa
a relação. Se apenas se representa o
‘uno’, de qualquer maneira que se faça,
ele aparecerá individualmente. A plástica precisa do universal não é a representação de um ou de outro: é a representação da relação equilibrada de um e de
outro, por sua vez.”
Piet Mondrian
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Em Piet Mondrian, o “preciso” é perseguido com uma preocupação asséptica.
Em sua plástica do puro equilíbrio ele toma
uma árvore na natureza e, através de uma
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ARTE E MATEMÁTICA
equação, em que as relações sensíveis entre o que ele vê e o que pensa vão sendo
estabelecidas até se resolverem numa tela
plana, em que retas se encontram em ângulo reto. Aparecem em suas pinturas, no
máximo, as três cores básicas: vermelho,
azul e amarelo, além de, no máximo, três
“não cores”: preto, cinza e branco. É o primado do equilíbrio obtido na dualidade,
vertical e horizontal. Neste caso, “a criança real” é o ângulo reto.
Por outro lado, se o enigma do acaso
desafia físicos e matemáticos, impedindoos de reconhecer, a priori, o átomo que
iniciará o processo de desintegração, na
arte, também vamos encontrar os que procuram o acaso, como detonador de seus
movimentos em cadeia mais interiorizados, conforme se observa nos dadaístas,
cujo desejo plástico resultava na excitação do riso, na curiosidade e na cólera,
conforme ensinava Tristan Tzara. Aliás, é
dele a receita para se fazer um poema
dada. Tzara recomenda que se recorte de
um jornal um artigo qualquer (do tamanho que você quiser dar ao poema), a seguir, se recortem as palavras e que sejam
colocadas num saco. Após serem agitadas,
suavemente, o poeta deverá retirá-las, uma
após outra, escrevendo-as na seqüência
em que saírem, para comporem um poema dada, embora incompreendido do público. O acaso como detonador de um processo criador; de uma reação em cadeia,
que poderá levar ao riso ou a cólera o leitor e fruidor da obra.
Finalmente, no campo da física, a
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NA ESCOLA
teoria do caos vem neutralizar o discurso das verdades absolutas, procurando
explicar a realidade dentro de uma dimensão espaço-temporal limitada. Na
arte, pintores, como Pollock, procuram
a dimensão espaço-temporal da tela, estendida no chão, onde o pintor a invade,
deixando a tinta escorrer em drippings
imprevisíveis. Tintas automotivas, colheres e bastões nos lugares dos pincéis e
um novo tempo, que se estende apenas
durante a ação do artista. O resultado
se eterniza no plano da tela, quando a
mesma procura um outro espaço, o da
contemplação do espectador. Assim, arte
& matemática se aproximam, não só em
propostas, raciocínios e lógicas; não apenas no rompimento das cadeias, na procura e investigação de conceitos, na busca da interioridade em que o fim e o princípio se encontram, mas, sobretudo,
numa comum estrutura estética.
Referências bibliográficas
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National de Documentation Pédagogique, 1979.
DE FUSCO, Renato. História da Arte Contemporânea. Lisboa: Editorial Presença, 1988.
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Janeiro: Elo Editora e Distribuidora
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São Paulo: Martins Fontes, 1990.
23
ARTE E MATEMÁTICA
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Editor, 2001.
MONDRIAN, Piet. Realidad natural y
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NA ESCOLA
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MORA, José Ferrater. Dicionario de Filosofia. Madrid: Alianza Editorial, S.A.,
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REEVES, Hubert. Malicorne. Reflexiones de
un observador de la naturaleza. Barcelona: Emecé Editores, S.A., 1992.
SHENBERG, Mario. Pensando a arte. São
Paulo: Nova Stella, 1988.
24
ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
PGM 3: LITERATURA
E MATEMÁTICA
O PRAZEROSO JOGO DE PALAVRAS QUE FAZ A LEITURA DO MUNDO
ESTELA KAUFMAN FAINGUELERNT*
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"Muitos e muitos poetas, na Antigüidade, exaltaram o número.
Pois o número é de essência divina." ( M. A. Aubry, 1952)
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A Matemática, como ciência em constante evolução, pode ser encarada como
um corpo de conhecimento constituído
por teorias bem determinadas, ou como
um conjunto de processos característicos que devem ser desenvolvidos. O que
está em foco não é como a Matemática
deveria ser, mas sim como ela deve ser
na prática diária dos aprendizes que serão, ou não serão, matemáticos.
Segundo o Aurélio, um dos significados dado à Literatura é que ela é "conjunto dos conhecimentos das obras ou
dos autores literários", contos, romances, poesia, entre outras.
Existe hoje em dia uma quantidade
de obras que descrevem uma aventura li-
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terária relatando a procura de solução de
alguns mistérios matemáticos, usando "as
palavras como arma", traduzindo o pensamento matemático para a linguagem
coloquial. Estas obras ensinam aos leitores como se pode conversar sobre os números e descobrir a beleza de sua construção, destruindo a velha idéia de que a
Matemática só é para os superdotados.
Muitas delas, de modo saboroso e muitas
vezes pitoresco, contam a vida dos maiores matemáticos do mundo e descrevem
as suas obras. Elas proporcionam um entretenimento indispensável tanto para os
que gostam de Matemática como para os
que precisam descobrir a sua beleza e a
sua utilização na leitura do mundo.
* Diretora da SBEM-RJ, Sociedade Brasileira de Educação Matemática e professora do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estácio de Sá.
BOLETIM
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ARTE E MATEMÁTICA
Já Fenelon, o grande pedagogo francês do século XVIII, dizia:
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"Felizes aqueles que se divertem com
problemas que educam a alma e elevam
o espírito."
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A Ciência Matemática é uma obra
do espírito humano, e nenhuma outra
construção tem a unidade e a harmonia
desta ciência; nenhuma a iguala na solidez e no equilíbrio perfeito e na delicadeza dos detalhes, diz Amoroso Costa.
Sendo ela uma obra construída pelo espírito humano, ela pode ser compreendida através das palavras.
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"A palavra é uma espécie de ponte lançada entre mim e os outros. Se ela se
apóia sobre mim numa extremidade, na
outra apóia-se sobre o meu interlocutor.
A palavra é o relatório comum do locutor
e do interlocutor."
( Bakhtin, 1986, p. 195)
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Parafraseando Bakhtin, a palavra é
a ponte entre o aprendiz e a Matemática.
Em uma extremidade ela se apóia no conhecimento do aprendiz, e na outra se
apóia sobre o que ele precisa aprender
de Matemática. Ao se introduzir um conceito matemático, podemos iniciar contando uma história, propondo enigmas
para despertar a curiosidade, dando a
possibilidade ao aprendiz de ler, compre-
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NA ESCOLA
ender, interpretar, desenvolver o seu raciocínio e fazer descobertas.
Existe hoje em dia uma grande variedade de livros cujos temas envolvem curiosidades matemáticas de maior ou menor
profundidade, de fácil leitura, podendo
servir de subsídios para desmistificar o
medo que a maioria das pessoas tem de
Matemática e, por esta razão, apresentam
dificuldade no seu aprendizado.
Por que não usar a Literatura para
ensinar Matemática?
Hans Magnus Enzensberger (1997)
estudou literatura, línguas e filosofia, e
escreveu o livro, cujo título é muito significativo: O diabo dos números - Um livro de cabeceira para todos aqueles que
têm medo de Matemática.
BOLETIM – PGM 3 - LITERATURA E MATEMÁTICA
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"Matemática? Aquela montanha de números sem sentido? Aqueles cálculos que
não servem para calcular nada? Não, nem
pensar. Robert, o menino de pijama azul,
fazia parte dessa maioria que acha os
números não só monstruosos, mas também absurdos e inúteis. Um dia, entretanto, ele começa a sonhar com um certo
Teplotaxl, um diabo que pinta e borda com
a Matemática. No total são doze sonhos e
cada sonho o tal Teplotaxl faz malabarismos tão interessantes que os números
simplesmente deixam de ser malditos.
Ficam claros e diabolicamente divertidos."
(Enzensberger, 1997)
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O herói deste livro é um menino de
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ARTE E MATEMÁTICA
onze anos chamado Robert, que vive assombrado por pesadelos que muito o atormentam. Um dia, os pesadelos se modificam, tornando-se uma seqüência de sonhos nos quais Robert convive com um
certo Teplotaxl, um demônio que anda
sempre de bengala, usando-a para fazer
todo tipo de bruxaria com os números.
No primeiro sonho, ele aparece como um
senhor muito velho e baixinho, do tamanho de um gafanhoto, sentado em uma
folha,
balançando-se e observando o
menino com olhos brilhantes, estabelecendo com ele o seguinte diálogo:
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– Quem é você? – perguntou Robert.
O homenzinho
respondeu: Sou o dia-
bo dos números!
Robert retrucou:
- Em primeiro lugar, não existe nenhum
diabo dos números.
- Ah, é ? E por que você está falando comigo, se eu não existo?
Robert continuou:
- Em segundo lugar, odeio tudo o que tenha a ver com a Matemática.
O diabo dos números não se intimidou com
esta afirmação de Robert e perguntou:
- Por que você odeia tanto a Matemática?
Robert respondeu enunciando o tipo de
problema que o seu jovem professor Bockel
na escola sempre mandava resolver:
"Se 2 padeiros fazem 444 rosquinhas
em 6 horas, de quanto tempo precisarão
5 padeiros para fazer 88 rosquinhas?"
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NA ESCOLA
- Coisa mais idiota - resmungou Robert é um jeito estúpido de matar o tempo! Este problema não despertava o interesse da turma.
Robert relata que, outras vezes, o professor mandava os alunos fazerem um
grande número de contas totalmente fora
de um contexto ou de uma situação interessante.
O diabo então comentou que isto não tem
nada a ver com a Matemática. O que é
diabólico nos números é que eles são
simples. Para começar, você só precisa
do 1 com o 1 para poder fazer quase
todos os números, vejamos:
1
1+1
1+1+1
1+1+1+1
1+1+1+1+1
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E assim por diante: toda vez que somarmos 1 ao número anterior, obteremos o seu sucessor. A partir desse ponto, conversando com o Robert sobre os
números, de sonho em sonho, o diabo
dos números consegue mostrar a beleza
das construções numéricas, muitas vezes partindo das formas geométricas,
relacionando as diferentes vertentes da
Matemática e conseguindo vencer a resistência de Robert e desmistificar o seu
pavor da Matemática.
Podemos perceber que o diabo dos
números não é o vilão da historia, mas
27
ARTE E MATEMÁTICA
sim o medo que a Matemática provoca
nas pessoas assim que elas entram pela
primeira vez na escola.
É interessante observar que este livro
foi escrito por um grande poeta alemão
que combate esse medo da Matemática,
usando as letras como arma, isto é, traduzindo e relacionando o pensamento matemático para "linguagem de gente".
Julio Cesar de Mello e Souza, engenheiro, professor de Matemática, usando o pseudônimo de Malba Tahan, escreveu O Homem que Calculava. Em um
dos seus contos neste livro, narra uma
singular aventura da divisão de uma herança recebida por três irmãos, que
deveria ser repartida segundo um determinado critério.
Beremiz, personagem central deste
conto, percebendo a discussão entre os
três irmãos, procurou informar-se do
que se tratava.
- Somos três irmãos - esclareceu o
mais velho - e recebemos como herança,
esses 35 camelos. Segundo a vontade
expressa do meu pai, devo receber a
metade, o meu irmão Hamed Namir uma
terça parte e ao Harim, o mais moço,
deve tocar apenas a nona parte. Não
sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta por um dos irmãos segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de
35 é 17 e meio. Como fazer a partilha
se a terça parte e a nona parte de 35
também não são exatas?
- É muito simples - respondeu Bere-
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miz. Posso fazer com justiça essa divisão
se permitirem que junte aos 35 camelos da herança este belo animal que,
em boa hora, aqui nos trouxe...
Beremiz, dirigindo-se aos três
ir-
mãos disse: - Vamos fazer a divisão justa e exata dos camelos, que são agora
36, como vocês podem ver. E dirigindose ao irmão mais velho, falou: - A você,
de acordo com a vontade de seu pai, caberia a metade de 35, isto é, 17 e meio.
Vai receber a metade de 36, que é 18.
Não pode reclamar, pois percebe que saiu
lucrando com esta divisão.
Dirigindo-se ao segundo herdeiro,
continuou: - Você deveria receber a terça parte de 35, que dá 11 e um pouco.
Vai receber a terça parte de 36, que é
12; também não tem reclamação a fazer, pois sai lucrando com esta divisão.
Disse, por fim ao mais moço: - Segundo a vontade de seu pai, a você caberia uma nona parte de 35, que seria
três e tanto. Vai receber um nono de 36,
que é 4. Você também lucrou com esta
divisão e, portanto, vocês três só têm a
agradecer
Concluiu, assim, com a maior segurança e serenidade, a partilha na qual
todos os três irmãos saíram lucrando.
Couberam 18 camelos ao herdeiro mais
velho, 12 ao do meio e 4 ao mais jovem,
o que dá um resultado: 18 + 12 + 4 = 34
camelos.
Dos 36 sobram dois camelos, um do
amigo Beremiz e outro lhe coube por
direito, por ter resolvido, a contento de
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ARTE E MATEMÁTICA
todos,
este complicado problema da
herança...
Nesta história, estão implícitos os
conceitos de divisão, de divisor de um
número, de fração. Comentando o conto
e fazendo algumas observações de contexto matemático, tudo resultou do seguinte: a metade de um todo mais a
terça parte de um todo mais um nono
de um todo não dá um inteiro, isto é,
não é igual ao todo.
1 1 1 9 + 6 + 2 17
+ + =
=
2 3 9
18
18
Podemos observar que para completar o todo falta 1/18 deste todo ou seja
2/36 do todo.
Beremiz, sabendo que 2; 3 e 9 eram
divisores de 36, e 36 é o dobro de 18,
usou o artifício que possibilitou as divisões exatas.
Podemos observar nestas duas histórias como a palavra foi a mediadora para,
no primeiro, desmistificar o medo de
aprender Matemática e, no segundo, um
enigma para introduzir o conceito de
divisor de um número, a partir de uma
situação do cotidiano, e que pode ocorrer
muitas vezes no dia-a-dia das pessoas.
Para concluirmos a nossa reflexão,
só faz sentido alguém freqüentar a escola e aprender Matemática, se nessa escola se adquirem os meios para agir sobre o mundo e no mundo.
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"A Matemática constitui um patrimônio cultural da humanidade e um modo de pen-
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sar. A sua apropriação é um direito de
todos. Nesse sentido, seria impensável que
não se proporcionasse a todos a oportunidade de aprender matemática de um
modo realmente significativo, do mesmo
modo seria inconcebível eliminar da escola básica a educação literária, científica,
ou artística. Isso implica que todas as crianças e jovens devam ter a possibilidade
de contatar, a um nível apropriado, as idéias e os métodos fundamentais da matemática e de aprender o seu valor e a sua
natureza." (Abrantes, 1999, p 17)
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Referências
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ARTE E MATEMÁTICA
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NA ESCOLA
dois volumes. 2ª edição. São Paulo,
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PERRENOUD, P. A Prática Reflexiva no Ofício de Professor: Profissionalização e
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30
ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
PGM 4: DANÇA, TEATRO E MATEMÁTICA
AS ARTES DO CORPO E A CIÊNCIA: UMA NOVA ALIANÇA
Perturbou-me, certa vez, o nome de
uma companhia de dança contemporânea: Ur=Hor (lê-se ‘U’ de ‘r’ é igual à ‘H’
‘zero’ de ‘r’). Até então, os nomes de companhias de teatro ou dança que conhecia soavam com naturalidade, investidos
de significados que casavam com o que
se espera de um nome para dar identidade a um grupo que trabalha no campo artístico.
Entretanto, não é supérfluo levar a
sério o nome que recebe um projeto de
trabalho. Ao decodificar Ur=Hor, descubro que é uma fórmula matemática que
significa a constante expansão das galáxias no universo. Uma surpresa, não é?
Qual seria a razão para usar essa fórmula para nomear um projeto de dança? O que a dança teria em relação com
fórmulas de matemática, ou vice-versa?
A companhia de dança Ur=Hor foi
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GISA PICOSQUE*
fundada em 1997 e estabelecida em Belo
Horizonte. Sua fundadora é a mineira
Adriana Banana, bailarina, coreógrafa e
compositora das trilhas sonoras de diversos espetáculos. Não à toa, o nome
da companhia traduz as preocupações
de Adriana, que vem pesquisando nos
estudos científicos a explicação para a
supremacia do corpo em relação ao intelecto. Ou seja, a ciência está mostrando que a inteligência não está limitada
ao cérebro, mas depende do corpo todo.
A pesquisa de dança desenvolvida
pela Ur=Hor exemplifica as bases em que
se apóia a produção contemporânea das
formas artísticas que chamamos de teatro, dança e performance ou, sintetizando, as artes do corpo.
Como as palavras mantêm uma
sintonia com aquilo que elas designam,
não à toa, nomear de Artes do Corpo o
* Professora de Teatro. Atua em Projetos de Ação Educativa em Instituições Culturais e Consultoria no ensino de arte,
especialmente, na formação de educadores em instituições culturais e educacionais.
BOLETIM
31
ARTE E MATEMÁTICA
teatro, a dança e a performance faz uma
proximidade entre as três linguagens e
coloca o Corpo como centro gerador dessas linguagens. Nesse sentido, no contemporâneo, a pesquisa estética dessas
artes focaliza-se no corpo, abrindo uma
perspectiva para compreender e operar
com o corpo que pensa através de suas
ações.
Mas, o corpo pensa? Não é a mente
que pensa? É muito comum, ouvir, por
exemplo, que para dançar não precisa
pensar. Na cultura escolar, pensar está
diretamente ligado à mente e ligadas à
mente estão aquelas disciplinas que,
numa visão clássica, usam o raciocínio
lógico, como a Matemática.
O que está por trás dessa concepção
é a crença na dualidade mente e corpo,
razão e sentimento, presente na tradição do pensamento ocidental e que encorajou um desprezo pelo corpo.
Hoje, porém, o corpo é visto como o
lugar em que são desencadeados os processos cognitivos. Sabemos que o cérebro pensa porque o corpo lhe jorra conteúdos essenciais, alianças cognitivas
com o que nos envolve no meio circundante. Pela mediação do corpo, as emoções participam da racionalidade. Cérebro e corpo se imbricam, não havendo
controle de um sobre o outro, como afirma o teórico António Damásio.
É nas recentes teorias das ciências
cognitivas que se encontram os fundamentos que podem ampliar a compreensão dos processos que determinam
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NA ESCOLA
como o homem conhece e representa o
mundo à sua volta, bem como o papel
do corpo e da mente nestes processos.
Para as artes do corpo, essas teorias
interessam para melhor iluminar novos
entendimentos dos processos de como o
ator, o bailarino, ou melhor dizendo, o
performer, conhece e representa.
Hoje, dança e teatro convergem num
mesmo ponto – a performance –, em que
o ator ou bailarino não “emprestam o corpo a um personagem”, mas estão implicados na questão que o personagem traz.
“Performance no sentido de transformar
o corpo num manifesto existencial”,
como observa Christine Greiner, coordenadora do curso de Comunicação e Artes do Corpo da PUC/SP. Para Greiner,
“ao investigar seus processos, o artista
contemporâneo se conduz como um pesquisador que trata o corpo como um laboratório. E nesse corpo-laboratório, o
modelo não vem antes. O que vem antes
é a questão”.
Desse modo, sob o impulso de encontrar respostas estéticas “a questão”,
é o corpo-laboratório do ator/bailarino,
que vai falar no processo através de uma
atitude de experienciar, colocar-se em
ação por meio de uma vivência instantânea e direta do corpo em “si mesmo”, a
cada experiência. É em ação que o ator/
bailarino abre seu repertório de movimentação, tenta novos percursos para o
corpo, amplia seus limites e busca execução precisa e inventiva.
O contrário se dá quando o processo
BOLETIM – PGM 4- DANÇA, TEATRO E MATEMÁTICA
32
ARTE E MATEMÁTICA
é através de um modelo, o que significa
dizer que os movimentos são antes imaginados mentalmente, para depois serem acionados, “fisicalizados” no espaço/tempo da ação.
Assim, pensar-em-ação – ou pensarem-movimento – significa buscar um
modo de pensamento mais perto possível de uma organicidade proveniente do
corpo em ação. Nesse sentido, o conceito de pensamento se amplia enquanto
ação experienciada, e não somente como
um processo que requisita a mente e a
razão.
As artes do corpo são dominantemente cinéticas, por isso mesmo, é a
ação que condiciona a sua existência.
Porque ocorrem num corpo vivo que porta
aptidão para produzir formas, o teatro/
dança só existem quando e, apenas
quando, estão sendo feitos.
Nesse processo tão complexo de fazer artístico, o corpo pensa em fusão com
a espacialidade, a temporalidade, a sensibilidade e a emoção. O corpo, produto
e produtor da ação, confere vida e doa a
forma para aqueles que vêem o ator/bailarino em estado de criação.
Mas, voltemos à fórmula matemática Ur=Hor, que deu origem a uma companhia de dança. Talvez, o seu significado – a constante expansão das galáxias
no universo –, possa simbolizar que questões como aquelas que envolvem movimento, espaço e tempo, colocadas pelas
modernas idéias científicas da complexidade, vêm sendo investigadas e elabo-
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NA ESCOLA
radas de um modo sofisticado nos processos de criação gerados e processados
nas artes do corpo.
Seja dentro do ambiente da dança,
tornando uma questão para a criação, a
investigação do corpo no campo gravitacional, os vetores de força que atuam
no sentido de manter o corpo no chão,
no plano baixo; ou, no sentido de manter o corpo suspenso no ar, na horizontalidade. Seja no ambiente teatral, no
treinamento corporal do ator, provocando um estado de entropia (conceito chave da nova física) através de exercícios
de desequilíbrio físico/emocional que
colocam o corpo experimentando situações de instabilidade para buscar romper com os condicionamentos pessoais
e os do próprio ofício teatral, abrindo possibilidades ou probabilidades de o ator
alçar maiores vôos criativos.
Esse novo caminho, focalizando o
corpo no processo de criação, aponta a
constante expansão das artes do corpo
no sentido de busca de mapeamento de
pensamentos do corpo, geradores de
equações corporais. Mostra-se, assim,
que estão o teatro e dança num eterno
movimento contínuo, numa trama de
construções e novas desconstruções, um
continuum sem fim, processando conhecimento com o corpo.
Levando-se isso em conta e se a arte
é o lugar privilegiado de reinvenção e de
injeção de vida na vida, qual seria o saber e a reflexão que as imagens poéticas-corporais manifestadas no teatro e
33
ARTE E MATEMÁTICA
na dança poderiam provocar nos jovens
sobre o corpo, o seu próprio corpo, o corpo do outro e sobre o corpo como inscrição cultural?
Num trabalho de leitura de espetáculos de teatro/dança, focalizando o
olhar sobre o corpo, a probabilidade de
capturar e reevocar o corpo sob formas
inaugurais pode trazer aos jovens configurações de imagens corporais inusitadas, formando gestalts novas para o seu
olhar sobre o corpo contemporâneo.
Se hoje, arte e ciência formam uma
nova aliança na produção contemporânea
das artes do corpo, nutrir e impulsionar
os jovens à leitura e análise dessa produção é inseri-los numa nova fase de alfabetização. Uma alfabetização que inclua e
trabalhe no seu processo de fazer e apreciar elementos como a aleatoriedade, o
abstracionismo, o corpo em movimento
ou que são movimento ou o corpo estático, em novos centros de gravidade, outros
pontos de equilíbrio, em contaminação
entendida como livre fluxo de informação
entre arte e ciência no fazer artístico.
Isso seria particularmente subversivo e importante para desmontar a definição escolar clássica do corpo – cabeça,
tronco e membros – e a dualidade entre
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NA ESCOLA
corpo e mente, sentimento e razão. Desmanchando, assim, a idéia do Penso, logo
existo, recriando-a – existo e sinto, logo
penso. Nesse novo paradigma, o modo
de pensar o mundo é o modo de realizálo na carne.
Bibliografia
DAMÁSIO, António. O mistério da consciência: do corpo e das emoções ao conhecimento de si. São Paulo: Companhia das Letras, 2000.
____________. O erro de Descartes: emoção, razão e o cérebro humano. São
Paulo: Companhia das Letras, 1996.
DAWKINS, Richard. O gene egoísta. Belo
Horizonte: Ed. Itatiaia, 2001.
KATZ, Helena. Dança como evolução. In: De
sons e signos: música, mídia e
contemporaneidade. São Paulo: EDUC,
1998.
MATURANA, R. Humberto. Emoções e linguagem na educação e na política.
Belo Horizonte, UFMG, 1998.
PRIGOGINE, Ilya. A nova aliança: metamorfose da ciência. Brasília: Editora
Universidade de Brasília, 1997.
SERRES. Michel. Os cinco sentidos. Rio de
Janeiro: Bertrand Brasil, 2001.
34
ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
PGM 5: MÚSICA E MATEMÁTICA
A RELAÇÃO HARMONIOSA ENTRE SONS E NÚMEROS
Na sua definição mais simples, Música é “ritmo e som”. Ou seja, é uma combinação de sons executados em determinada cadência. A importância da Matemática na Música está presente desde
a concepção mais fundamental do que é
“som musical” e do que é “ritmo”.
Os sons com os quais podemos criar
nossas músicas constituem o que chamamos de “escala musical”. Eles são definidos a partir de relações matemáticas
muito precisas e, quando combinados de
determinadas maneiras, podem produzir resultados agradáveis aos nossos ouvidos. Essas relações matemáticas, junto com as características intrínsecas das
vibrações sonoras, são a base para a “harmonia” na superposição dos sons musicais.
Por outro lado, a maneira como en-
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
POR
MIGUEL RATTON*
cadeamos os sons em nossas músicas
também segue regras com fundamentos
matemáticos. Todos os tipos de “ritmos”
que podemos conceber musicalmente
obedecem a algum tipo de divisão
fracionária, cuja característica sempre
está vinculada a um determinado gênero artístico ou a um tipo de cultura.
Conhecer essas influências matemáticas é, antes de tudo, conhecer a essência da própria Música.
A percepção do som
As oscilações produzidas pela vibração de um corpo (ex.: corda de violão)
propagam-se pelo ar, sob a forma de ondas, e atingem nosso ouvido. O ouvido
humano só pode perceber como “sons”
as ondas que tenham de 20 oscilações
por segundo até 20.000 oscilações por
* Engenheiro eletrônico formado pela UFRJ. Estudou piano e teoria musical na Escola Villa-Lobos (RJ). Especializou-se em
tecnologia musical e, desde 1985, atua profissionalmente como consultor, tendo lecionado cursos na UNI-Rio e em
outras escolas de música. É autor de vários livros e publicações especializadas, e colabora regularmente com artigos
para a revista Música & Tecnologia.
BOLETIM
35
ARTE E MATEMÁTICA
segundo. As oscilações abaixo dessa faixa são chamadas de “sub-sônicas”, enquanto que as acima da faixa são chamadas de “ultra-som”. Por outro lado,
dentro da faixa dos sons audíveis, aqueles que têm oscilações mais baixas (de
20 a 200 oscilações por segundo) são
chamados de “graves”, enquanto que os
que têm oscilações mais altas (de 5.000
a 20.000) são chamados de “agudos”; os
sons na faixa intermediária são chamados de “médios”.
Para poder detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bastante complexo, que envolve ossículos, cavidades
e milhares de nervos. O elemento principal na detecção das oscilações dos sons
é a “cóclea”, uma pequena estrutura em
espiral que atua seletivamente. Ao longo dela, existem milhares de fibras nervosas que agem como sensores, e transferem ao cérebro a percepção das oscilações e intensidade dos sons. Assim, um
som com determinada oscilação excita
sempre apenas uma determinada região
de fibras nervosas da cóclea.
É essa característica exata da percepção do som pelo ouvido que faz com
que a Música seja uma arte mais baseada em condições fisiológicas do que em
psicológicas, isto é, a percepção musical
é mais uma questão de sensação (orgânica) do que de razão (ação intelectual).
Ou seja, mesmo que quiséssemos recriar a concepção de sons musicais, isso
seria impossível, por causa da forma fisiológica como percebemos os sons.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NA ESCOLA
BOLETIM – PGM 5 - MÚSICA E MATEMÁTICA
Escalas Musicais e Harmônicos
Os sons utilizados para produção de
música (excetuando-se os sons de alguns
instrumentos de percussão) possuem
determinadas características físicas, no
que se refere às suas oscilações. Todos
conhecem as sete notas musicais “naturais”, que são Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e
Si. A determinação dessas notas tem
uma história muito longa, e uma enorme influência da Matemática.
Uma corda esticada, como num violão, pode vibrar livremente com determinado valor de oscilações por segundo.
Se a nota musical que a corda produz ao
vibrar livremente for um Dó, quando reduzimos seu comprimento à metade
(mantendo sobre ela a mesma tensão),
ela passará a vibrar com o dobro das oscilações, o que corresponderá à nota Dó
seguinte (em termos musicais: esta nota
estará uma “oitava” acima da original).
Se reduzirmos o comprimento para 2/3
do original, teremos então a nota Sol. E
se reduzirmos o comprimento para 3/4
do original, teremos a nota Fá. Como
podemos perceber, usando determinadas frações do tamanho original de uma
corda, podemos obter as notas naturais
da escala musical.
A razão para que determinadas frações (1/2, 2/3, 3/4, 4/5, etc.) do tamanho original da corda soem melhor do
que outras tem a ver com outra característica importante das oscilações, que é
a presença de “harmônicos”.
Quando uma corda ou outro corpo
36
ARTE E MATEMÁTICA
Assim, uma corda ao vibrar oscila n
ciclos por segundo em seu modo fundamental, mas também oscila 2n ciclos por
segundo no modo de segundo harmônico, 3n ciclos por segundo no modo de
terceiro harmônico, e assim por diante.
Dependendo do corpo vibrante (corda de
violão, palheta de sax, etc.), e também
de como ele é posto a vibrar, esses modos harmônicos podem ser mais influentes ou não no som resultante.
Se observarmos bem, veremos que
as oscilações dos modos harmônicos (2x,
3x, 4x, etc.) do comprimento original da
corda têm pontos coincidentes com as
oscilações dos modos fundamentais daqueles comprimentos fracionários (1/2,
2/3, 3/4, etc.). Por causa dessas coincidências, os sons que mantêm entre si
determinadas relações de frações (2/1,
3/2, 4/3, etc.) produzem sensações mais
fortes no ouvido (pois excitam as mesmas regiões nervosas da cóclea), e por
isso soam melhor juntos do que sons que
○
○
○
○
além de vibrar na oscilação “fundamen-
○
sui vários “modos” de vibração, isto é,
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
vibra repetidamente, na verdade ele pos-
○
NA ESCOLA
tal”, ele também vibra com oscilações
múltiplas inteiras da fundamental: 2x,
3x, 4x, etc. (veja figura).
tenham relações matemáticas, digamos,
menos “perfeitas”. Essa é a base de toda
a escala musical ocidental.
O sábio grego Pitágoras (séc. VI a.C.)
foi quem primeiro estabeleceu uma escala de sons adequados ao uso musical,
formando uma série a partir da fração
de 2/3 (que corresponde ao intervalo
musical chamado de “quinta”). Usando
uma sucessão de “quintas”, que não cabe
aqui entrar em detalhes, ele conseguiu
definir doze notas musicais, sendo sete
“naturais” (Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si) e
mais cinco “acidentes”: Dó#, Ré#, Fá#,
Sol#, e Lá# (o símbolo # é chamado de
“sustenido”).
A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada durante séculos, até pouco depois da
Idade Média, quando a Música ainda era
restrita a regras rígidas de composição e
execução. Com o Renascimento, uma série de novas idéias surgiram nas Artes
em geral, e na Música em particular, e os
37
ARTE E MATEMÁTICA
compositores começaram a tentar ultrapassar os limites musicais impostos até
aquela época. Foi quando surgiu, então,
a necessidade de se transpor as melodias para outras tonalidades. Com a escala
musical em vigor isso era impraticável,
pois os intervalos “perfeitos” só podiam
ser usados numa única tonalidade. Em
outras palavras, uma melodia feita para
a tonalidade de Dó não podia ser executada na tonalidade de Fá, por exemplo,
pois os intervalos entre as notas passariam a soar desafinados.
Dentre as várias soluções apresentadas, a que vingou e é usada até os dias
de hoje, foi a “escala de temperamento
igual”, de Andreas Werkmeister, proposta
em 1691. Essa escala, hoje em dia chamada apenas de “escala temperada”, possui também doze notas (sete “naturais”
e cinco “acidentes”), mas em vez de preservar os intervalos “perfeitos” (frações
de 2/3, 3/4, etc.), as notas foram levemente ajustadas, pois Werkmeister tomou o comprimento inteiro e dividiu-o
exponencialmente em doze partes, baseado na raiz duodécima de 2. Isso fez
com que a relação entre qualquer nota e
sua vizinha anterior fosse sempre igual
à raiz duodécima de 2 (aproximadamente 1,0594), o que permitiu, então, a execução de qualquer música em qualquer
tonalidade, uma vez que as relações entre intervalos iguais são sempre as mesmas, não importa qual a referência (tonalidade) que se use.
Apesar de a escala temperada não
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NA ESCOLA
possuir mais os intervalos acusticamente perfeitos de 3/2, 4/3, etc., os novos
intervalos correspondentes têm erros
muito pequenos, praticamente imperceptíveis para o ouvido.
A nova escala temperada contou com
o apoio do famoso compositor Johann
Sebastian Bach (séc. XVIII), que escreveu O Cravo Bem-Temperado, uma obra
contendo 24 prelúdios e fugas, que cobrem as 24 tonalidades maiores e menores, e provando que a proposta de
Werkmeister não só era viável como não
comprometia de forma alguma a qualidade e a beleza da Música.
Portanto, toda a música ocidental que
ouvimos atualmente utiliza uma escala de
doze notas, criadas a partir de intervalos
(frações) acusticamente perfeitos, mas posteriormente ajustadas matematicamente,
de tal forma que permitiu ampliar o alcance da Música a horizontes que antes
eram verdadeiramente impossíveis.
Ritmo
Conforme observou Mário de Andrade, o homem possui o ritmo por si
mesmo, pois a pulsação do coração, o ato
de respirar e os passos já são elementos
rítmicos (a maioria das crianças, por
exemplo, já têm percepção instintiva da
periodicidade de ritmo). Isso certamente
influenciou o encadeamento das notas
musicais em cadências de tempo, da mesma forma que as sílabas numa poesia.
Sendo a contagem do tempo por si
só uma concepção essencialmente ma-
38
ARTE E MATEMÁTICA
o ritmo está intimamente associado à
Matemática.
Na Música, entretanto, o ritmo não
se limita apenas à contagem de tempo,
ou a uma batida constante de pulsos de
igual intensidade. Na verdade, os ritmos
musicais possuem batidas com intensidades diferentes (acentuações), que se
repetem dentro de algum padrão, e é isso
que permite classificar as diversas variedades de ritmos existentes na música.
Os exemplos abaixo mostram alguns dos
tipos de “medidas” de marcação do tem-
po de uma música (os tempos “fortes”
estão em negrito), que são chamados de
“compassos”:
compasso binário: 1 2 1 2 1 2 1 2
compasso ternário: 1 2 3 1 2 3 1 2 3
compasso quaternário: 1 2 3 4 1 2 3
4 1 2 3 4
No que se refere ao ritmo, a Música
é organizada em “pedaços” contendo o
mesmo número de tempos do compasso
de referência. Por exemplo, numa música que utilize compasso quaternário, os
pedaços (que também são chamados de
“compassos”) contêm sempre 4 tempos.
tempo”, que mantêm relações fracioná-
○
das, foram então definidas as “figuras de
rias entre si. São elas:
○
○
dia de uma música dentro dessas medi-
○
○
Para que se possa escrever a melo-
○
temática, não é difícil imaginar o quanto
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NA ESCOLA
39
ARTE E MATEMÁTICA
Com essas figuras, podemos então
posicionar e dar a duração que quisermos para as notas musicais dentro dos
tempos do ritmo. E é exatamente como
as notas são posicionadas dentro da música que podemos criar gêneros musicais com características distintas de ritmos.
Bibliografia:
Andrade, Mário de. Pequena História da
Música. Livraria Martins Editora,
1953.
Backus, John. The Acoustical Foundations
Of Music. W.W. Norton & Co., 1968.
Cunha, Cássio. Independência Polirrítmica
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NA ESCOLA
Coordenada. Lumiar, 1999.
Helmholtz, Hermann. On The Sensations
of Tone. Dover Publications, 1954.
Jeans, J. H. Science And Music. 1937.
Kipnis, Igor. Bach’s Well-Tempered Clavier.
Keyboard Magazine, March 1985.
Matras, Jean-Jacques. O Som. Livraria
Martins Fontes, 1991.
Olson, Harry. Music,Physics & Engineering.
Dover Publications, 1964.
Scholz, Carter. The MIDI Tuning Standard.
Keyboard Magazine, August 1992.
Wilkinson, Scott. Tuning In - Microtonality
in Electronic Music. Hal Leonard Books,
1989.
40
ARTE E MATEMÁTICA
NA ESCOLA
Presidente da República
Fernando Henrique Cardoso
Ministro da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário de Educação a Distância
Pedro Paulo Poppovic
MEC
Secretaria de Educação a Distância
Programa TV Escola – Salto para o Futuro
Diretora do Departamento de
Política de Educação a Distância
Carmen Moreira de Castro Neves
Coordenadora-Geral de Material
Didático-Pedagógico
Vera Maria Arantes
Coordenadora-Geral de
Planejamento e
Desenvolvimento de Educação a
Distância
Tânia Maria Magalhães Castro
Supervisora Pedagógica
Rosa Helena Mendonça
Diretor de Produção e
Divulgação
de Programas Educativos
Antonio Augusto Silva
Coordenadoras de Utilização e
Avaliação
Mônica Mufarrej e Leila Atta
Abrahão
Copidesque e Revisão
Magda Frediani Martins
Programadora Visual
Norma Massa
Consultoria Pedagógica
Edite Resende Vieira
Eloísa Sabóia Ribeiro
e.mail: [email protected]
Agosto de 2002
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BOLETIM
41

Arte e Matemática na escola - Base Integradora da TV Escola

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