Antiderivadas
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Antiderivadas
MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas 23 de setembro de 2015 MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Operações como adição e subtração, definidas no conjunto dos números reais, são operações reversı́veis, ou seja, possuem inversa. Neste tópico, vamos desenvolver a operação inversa da diferenciação. Uma função f é dita ser diferenciável em um ponto x0 de seu domı́nio se existe a derivada f 0 (x0 ). O processo para encontrar a derivada de uma função f , é chamado diferenciação. Este processo f 7−→ f 0 é uma operação no conjunto das funções. O processo reverso é chamado antidiferenciação e será apresentado abaixo. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Antiderivada Definição Uma função F , será chamada antiderivada de uma função f num intervalo I ⊂ R, se F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I . MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Exemplo Exemplo (1) A função F (x) = sen(x) é a antiderivada da função f (x) = cos(x), pois F 0 (x) = cos(x) = f (x) para todo x ∈ R. Note que se G (x) = sen(x) + 1, então G 0 (x) = cos(x) = f (x), ou seja, G é também uma antiderivada de f . Mais geralmente, G (x) = sen(x) + c também é uma antiderivada de f para toda constante c. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV O próximo resultado, que segue logo abaixo, mostra que, o que ocorreu no exemplo (1) não é exceção. Teorema (1) Sejam f e g funções reais definidas em um intervalo I tais que, f 0 (x) = g 0 (x) para todo x ∈ I , então f (x) = g (x) + k para alguma constante k. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Demonstração: Defina a função h da seguinte forma h(x) = f (x) − g (x) Como f e g são deriváveis segue que h também é. Derivando h, obtemos h0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x) Por hipótese, f 0 (x) = g 0 (x), daı́ h0 (x) = 0 para todo x ∈ I . Mas isto implica que a função h é constante em I , ou seja, h = k, de onde obtemos que f (x) = g (x) + k. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Teorema (2) Se F for uma antiderivada de f em I , então toda antiderivada de f em I será dada por F (x) + c (1) onde c é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f em I , poderão ser obtidas de (1) variando o valor de c. Demonstração: Suponha que G seja uma antiderivada de f em I , então temos F 0 (x) = G 0 (x) para todo x ∈ I Pelo teorema (1) existe c tal que G (x) = F (x) + c para todo x ∈ I MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Notação Como foi dito acima, dado uma função f diferenciável em um intervalo I , antidiferenciação é o processo de encontrar a antiderivada de f , mais precisamente, de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de f . Z Usaremos o sı́mbolo para denotar a operação de antidiferenciação de uma dada função. Escrevemos Z f (x)dx = F (x) + c onde F 0 (x) = f (x) e d(F (x)) = f (x)dx. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Observação O Z sı́mbolo d(F (x)) denota a diferencial da função F . Note que d(F (x)) = F (x) + c, isto é, quando antidiferenciamos a diferencial de uma função, obtemos a própria função mais uma constante arbitrária. Como a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação, podemos obter vários resultados sobre antidiferenciação de resultados já conhecidos de diferenciação. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Teorema (3) Z dx = x + c 0 Demonstração: Note que (x + c) = 1 e Z Z 1dx = dx. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Teorema (4) Z Z af (x)dx = a f (x)dx onde a é uma constante qualquer. Demonstração: Basta notar que (af (x))0 = af 0 (x). MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Teorema (5) Se f1 e f2 estão definidas num intervalo I , então Z Z Z [f1 (x) + f2 (x)]dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx Demonstração: Usamos o fato que (F1 (x) + F2 (x))0 = F10 (x) + F20 (x). MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Teorema (6) Se f1 , f2 , . . . , fn estão definidas num intervalo I , então Z [c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)]dx = Z c1 Z f1 (x)dx + c2 Z f2 (x)dx + . . . + cn fn (x)dx Demonstração: Basta usar os teorema 4 e 5. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Teorema (7) Se n for um número racional, n 6= −1, então Z x n+1 +c x n dx = n+1 Demonstração: Observe que ( x n+1 0 (n + 1)x n ) = = xn n+1 n+1 MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Exemplos Exemplo (2) Calcule Z √ x 3 xdx √ 4 Solução: Note que x 3 x = x 3 , daı́ Z √ x 3 xdx = Z 4 4 x 3 dx = 7 = MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas x3 7 3 x 3 +1 +c 4 3 +1 7 +c = 3x 3 +c 7 UFV Exemplo (3) Calcule Z (2x 4 − 7x 2 + 3x − 1)dx Solução: Z Z Z Z Z (2x 4 − 7x 2 + 3x − 1)dx = 2 x 4 dx − 7 x 2 dx + 3 xdx − dx =2 = MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas x3 x2 x5 −7 +3 −x +c 5 3 2 2x 5 7x 3 3x 2 − + −x +c 5 3 2 UFV Exemplo (4) Calcule Z x2 + 1 dx x Solução: Z x2 + 1 dx = x Z = pois, (ln(x))0 = MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas 1 (x + )dx = x Z Z xdx + 1 dx x x2 + ln(x) + c 2 1 . x UFV Teorema (8) Z sen(x)dx = −cos(x) + c cos(x)dx = sen(x) + c sec 2 (x)dx = tg (x) + c Z Z Z cosec 2 (x)dx = −cotg (x) + c Z sec(x)tg (x)dx = sec(x) + c Z cosec(x)cotg 9x)dx = −cosec(x) + c Demonstração: Imediato. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Exemplo (5) Calcule Z sen(x) + sec(x)cosec(x) dx tg (x) Solução: Z Z Z sen(x) sec(x)cosec(x) sen(x) + sec(x)cosec(x) dx = dx + dx tg (x) tg (x) tg (x) Z Z Z Z 1 = cos(x)dx + dx = cos(x)dx + cosec 2 (x)dx sen2 (x) = sen(x) − cotg 2 (x) + c MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Exemplo (6) Calcule Z Solução: Z 3tg (t) − 4cos 2 (t) dt cos(t) Z Z 3tg (t) cos 2 (t) 3tg (t) − 4cos 2 (t) dt = dt − 4 dt = cos(t) cos(t) cos(t) Z Z = 3 sec(t)tg (t)dt − 4 cos(t)dt = = 3sec(t) − 4sen(t) + c MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV Exemplo (7) Suponha que y = f (x) defina uma função real, no intervalo I, tal que dy exista a derivada de f em I e que = −x 2 + 3. Se f (2) = 3, dx determine a função f . Solução: Note que dy = −x 2 + 3 dx assim, Z −x 3 f (x) = (−x 2 + 3)dx = + 3x + c 3 Como, f (2) = 3, temos f (2) = 3 = −33 + 3.3 + c ⇒ c = 3 + 9 − 9 = 3 3 Portanto, f (x) = MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas −x 3 + 3x + 3 3 UFV Exemplo (8) Seja C uma curva no plano. Suponha que em cada ponto (x, y ) de C exista reta tangente, cuja inclinação é dada por 2x − 3. Encontre a equação da curva C, sabendo que esta contém o ponto P = (1, 2). Solução: A inclinação da reta tangente à curva C no ponto P é o valor da derivada nesse ponto. Temos Z dy = 2x − 3 ⇒ y = (2x − 3)dx = x 2 − 3x + c dx Para cada valor de c temos uma determinada curva. Queremos encontrar a curva que contenha o ponto P = (1, 2), assim, substituindo x = 1 e y = 2, obtemos 2 = 12 − 3.1 + c ⇒ c = 4 Portanto, a equação é y = x 2 − 3x + 4. MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas UFV
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O mesmo para f (4) , de onde f (5) (x) = 240 Finalmente, f (5) também é derivável, logo f (6) (x) = 0 Como f (6) = 0, segue que f (7) = f (8) = . . . f (n) = 0, para todo n > 7.
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