Lista de exercícios 03
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Lista de exercícios 03
CÁLCULO 2 :: LISTA DE EXERCÍCIOS 03 PROF. TIAGO MACEDO Exercı́cio 1. Neste exercı́cio vamos mostrar que uma determinada função é diferenciável. (a) (b) (c) (d) (?) Escreva uma função f : R2 → R não constante e diferenciável no ponto (0, 0). Escreva a definição de diferenciabilidade. Calcule ∂f (0, 0) e ∂f (0, 0). ∂x ∂y Mostre que f é diferenciável no ponto (0, 0), calculando o limite f (a + h, b + k) − f (a, b) − (uh + vk) √ , h2 +k2 →0 h2 + k 2 ∂f (0, 0), (0, 0) . com (a, b) = (0, 0) e (u, v) = ∂f ∂x ∂y √ lim Conclusão: Pelo cálculo do item (d) e pela definição do item (b), a função f é diferenciável em (0, 0). Exercı́cio 2. Considere a função G : R2 → R, G(x, y) = |y|. Vamos mostrar que G não é diferenciável no ponto (0, 0). (a) Esboce o gráfico de G. (b) Esboce o gráfico da função g : R → R, g(y) = |y|. (0, 0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto (0, 0), (c) Usando que ∂G ∂y ∂G explique que ∂y (0, 0) não existe. Conclusão: Se G fosse diferenciável no ponto (0, 0), então tanto ∂G (0, 0) quanto ∂G (0, 0) ∂x ∂y ∂G deveriam existir. Pelo item (c), ∂y (0, 0) não existe, portanto G não pode ser diferenciável em (0, 0). Exercı́cio 3. Usando a definição, calcule as derivadas parciais das seguintes funções (a) F : R2 → R, F (x, y) = c para todo (x, y) ∈ R2 , onde c ∈ R é fixa. (b) F : R2 → R, F (x, y) = f (x, y)+g(x, y), onde f, g : R2 → R são funções diferenciáveis. (c) F : R2 → R, F (x, y) = f (x)y para todo (x, y) ∈ R2 , onde f : R → R é uma função diferenciável. (Neste item, basta calcular a derivada parcial em relação a y.) Exercı́cio 4. Decida se as seguintes funções são diferenciáveis ou não no pontos (a, b). (a) (b) (c) (d) (e) (f) h : R2 h : R2 h : R2 h : R2 h : R2 h : R2 → R, h(x, y) = 5x4 y 2 + xy 3 + 4 e (a, b) = (1, 2). 3 +y 2 → R, h(x, y) = xx2 +y 2 e (a, b) = (0, 0). → R, h(x, y) = x cos(y) e (a, b) = (1, π/2). → R, h(x, y) = ey cos(πx) e (a, b) = (0, 1). √ → R, h(x, y) = x ln(y) e (a, b) = (4, 2). p → R, h(x, y) = x2 + y 2 e (a, b) = (1, 1). Data: 8 de abril de 2014. 1 2 (g) (h) (i) (j) PROF. TIAGO MACEDO h : R2 h : R2 h : R2 h : R2 2 2 −y e (a, b) = (3, 4). → R, h(x, y) = xx−y → R, h(x, y) = y sin(1/x) e (a, b) = (0, 0). → R, h(x, y) = 1/y e (a, b) = (0, 0). → R, h(x, y) = 1/xy e (a, b) = (0, 0). Sugestão: Calcule as derivadas parciais ∂h (a, b) e ∂h (a, b) nos pontos (a, b) indicados e ∂x ∂y substitua no limite análogo a (?). Justifique suas contas, explicitando o método usado (por exemplo, regra da soma, da diferença, do produto, da cadeia, etc.).
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