Lista B (Limites e Continuidade)

Cálculo Infinitesimal I - V01.2016- Marco Cabral
Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ
Monitor: Lucas Porto de Almeida
Lista B - Limites e Continuidade
”Perhaps the only difference between me and other people
was that I’ve always demanded more from the sunset;
more spectacular colors when the sun hit the horizon.
That’s perhaps my only sin.”
- Joe, Nymphomaniac: Vol. I (2013)
1.
Definição 1. Seja f : X → R uma função real. Seja a ∈ X. Diremos que o número real L é o limite
de f (x) quando x tende para a, e escreveremos
lim f (x) = L
x→a
quando ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ então |f (x) − L| < .
Leia e releia a Definição 1.
(a) Prove que o limite da soma de duas funções é igual a soma dos limites.
(b) Mostre que o limite, quando existe, é único.
Dica: Suponha por contradição que não é único, isto é, existem L1 e L2 diferentes que satisfazem
2|
. Uma figura ajuda.
a condição e então tome = |L1 −L
2
2. Apresentamos no inı́cio da lista uma das 15 definições de limite possı́veis. De fato, fixado c ∈ R,
lim f (x) = B tem sentido com A ∈ {c, c+ , c− , ∞, −∞} e B ∈ {c, ∞, −∞}. A proposta aqui é adaptar
x→A
para cada caso. Vamos pedir somente dois, mas pense nos outros casos . . .
(a) Defina lim+ f (x) = ∞ (utilizando δ e N ).
x→c
(b) Defina lim f (x) = c (utilizando e N ).
x→∞
(c) Prove pela definição que lim
x→∞
3. Sejam os polinômios p(x) =
n
P
k=0
1
= 0.
x
m
P
ak xk e q(x) =
bk xk , onde m, n ∈ N, ai ∈ R para i = 1, ..., n, bi ∈ R
k=0
para i = 1, ..., m e an , bm 6= 0. Calcule (em função de m, n, an , bm ) os limites abaixo:
p(x)
x→∞ q(x)
(a) lim
(b)
lim p(x)
x→−∞ q(x)
(c) lim
x→0+
p(x)
q(x)
4.
Definição 2. Seja f : X ∈ R uma função real. Seja a ∈ X. Diremos que f é contı́nua em a se
lim f (x) = f (a)
x→a
ou utilizando definição de limites, se para todo > 0, existe δ > 0 (que depende de e de a) tal que
para todo ∈ X que satisfaça |x − a| < δ, temos que |f (x) − f (a)| < .
(a) Prove que se f, g : X → R são contı́nuas no ponto a ∈ X então
i. f + g é contı́nua em a.
ii. existe δ > 0 tal que f é limitada (ver definição nesta lista) numa vizinhança δ de a.
iii. f · g é contı́nua em a.
5.
1
Definição 3 (Teorema do Valor Intermediário). Seja f : [a, b] → R contı́nua. Se f (a) < d < f (b),
então existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.
(a) Procure uma boa definição do que é uma função ser contı́nua em um intervalo aberto. Procure
também para um intervalo fechado. Atenção na diferença.
(b) Suponha que f é contı́nua em [a, b] e que f (x) ∈ Q para todo x ∈ [a, b]. Mostre que f é constante.
6. Leia essa passagem do romance “A Culpa é das Estrelas” de John Green.
“Não posso falar da nossa história de amor, então vou falar de matemática. Não sou formada em
matemática, mas sei de uma coisa: existe uma quantidade infinita de números entre 0 e 1. Tem o 0,1
e o 0,12 e o 0,112 e uma infinidade de outros. Obviamente, existe um conjunto ainda maior entre o
0 e o 2, ou entre o 0 e o 1 milhão. Alguns infinitos são maiores que outros.”
Você acha que as afirmações deste trecho são verdadeiras? Será que existem mais números reais no
intervalo (0, 2) do que no intervalo (0, 1)? Será que existem infinitos maiores que outros? Começamos
com definições.
Definição 4. Uma função f : A → B é chamada injetiva quando, dados x, y quaisquer em A, se
f (x) = f (y), então x = y. Uma função f : A → B é chamada sobrejetiva quando para todo y ∈ B
existe pelo menos um x ∈ A tal que f (x) = y. Quando f : A → B é injetiva e sobrejetiva, chamamos
f de bijetiva.
A medida de quantidade de elementos de um conjunto é dita cardinalidade do conjunto. Por
exemplo, o conjunto {3, 5, 8} tem cardinalidade 3.
Definição 5. Dizemos que um conjunto A tem a mesma cardinalidade um conjunto B se existe uma
bijeção entre A e B.
Exercı́cio 6 (a) Prove que f : R → R definida por f (x) = 5x − 2 é bijetiva. Prove que a função
determinante, definida no conjunto das matrizes 2 × 2 é sobrejetiva. Prove que g :
N × N → N definida por g(a, b) = 2a 3b é injetiva mas não é sobrejetiva.
Exercı́cio 6 (b) Prove que N e Z tem a mesma cardinalidade. Sim, existem tantos naturais quanto
inteiros.
Exercı́cio 6 (c) Prove que existe uma bijeção entre N e Q. É isso mesmo, N, Z e Q tem o mesmo
número de elementos.
Exercı́cio 6 (d) Agora, demonstre que não existe bijeção entre N e R e conclua que existem sim infinitos
maiores que outros. Procure sobre o argumento diagonal de Cantor.
7. Um conjunto X é chamado denso em R quando todo intervalo aberto (a, b) ⊂ R possui algum ponto
de X. Ou seja, ∀a, b ∈ R com a < b, ∃x ∈ X tal que a < x < b. Intuitivamente isso significa dizer que
o conjunto X está bem ’espalhado’ por toda a reta.
Exercı́cio 7 (a) Mostre que o conjunto Q dos números racionais é denso em R. Dica: se comprimento
do intervalo (a, b) é maior que 1/N , N ∈ N, então andando em passos de tamanho
1/N vou cair no intervalo (a, b).
Exercı́cio 7 (b) Mostre que o conjunto R − Q dos números irracionais também é denso em R. Dica:
ande com passos irracionais.
É interessante perceber que, um conjunto pode ser denso em outro mesmo tendo cardinalidade diferente, como no caso dos racionais. Você verá que, cedo, estes dois resultado serão muito úteis para
você.
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