Lista 2 - Derivadas - Jean Eduardo Sebold

Lista 2 - Derivadas
Prof. Dr. Jean Eduardo Sebold
Licenciatura em Quı́mica - Cálculo Diferencial e Integral I
IFC - Araquari, Santa Catarina
(A) Calcule a derivada das funções abaixo pela definição do limite do quociente:
√
1
3
6. f (x) = x
12. f (x) = ln(x)
1. f (x) = x −
2
5
7. f (x) = x4
13. f (x) = cos(3x)
2
2. f (x) = x − 1
√
8. f (x) = 4 − x + 3
14. f (x) = x2/3
3. f (x) = 5x2 − 3x + 7
√
x−1
9. f (x) = x3 − x
15. f (x) = 2
3
x − 3x
4. f (x) =
10. f (x) = sin(x)
x
x+1
16. f (x) =
5. f (x) = x3 − 3x
11. f (x) = cos(x)
2−x
(B) Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia, derivada do quociente, derivada do produto, etc:
1. f (x) = 5sin(x2 + 1)
2. f (x) = ln(3x2 + 9x + 4)
2
3. f (x) = 3ex −4
3
2x + 4
4. f (x) =
3x − 1
p
5. f (x) = tg(3x)
√
6. f (x) = tg( x)
√
7. f (x) = 9x2 + 4
8. f (x) = sec(9x2 )
9. f (x) = sin(cos(4x))
10. f (x) = 2cos(x)
17. f (x) = x2 − 1
18. f (x) = 5x2 − 3x + 7
11. f (x) = ln(x)
19. f (x) =
12. f (x) = cos(3x)
13. f (x) = x2/3
14. f (x) =
x−1
x2 − 3x
x+1
15. f (x) =
2−x
1
3
16. f (x) = x −
2
5
3
x
20. f (x) = x3 − 3x
√
21. f (x) = x
22. f (x) = x4
√
23. f (x) = 4 − x − 3
√
24. f (x) = x3 − x
(C) Calcule a derivada implı́cita das expressões abaixo:
1. x2 − 5xy + 3y 2 = 7
5.
2x + 3y
=9
x2 + y 2
8. ytg(x + y) = 4
2. sin(x/y) = 1/2
3. cos(x+y)+sin(x+y) = 1/3
4. xex
2 +y 2
=5
6. x3 + y 3 = 8
7. 4x2 − 9y 2 = 17
(D) Calcule os limites utilizando a regra de L’Hospital:
1
9.
x2 − y 2
1
=
x2 + y 2
2
10. ecos(x) + esin(x) = 1/4
sin(5x)
x→0
3x
4. lim
5. lim
5x
2. lim
x→0
e
sin(x) − tg(x)
x→0
x3
ln(x)
x→1 x2 − x
1. lim
−1
3x
x→1
8. lim
sin(πx)
x−1
tg −1 (5x)
x→0 tg −1 (7x)
9. lim
x3 + x2 − 5x − 3
x→1 x3 − 7x2 + 11x − 5
6. lim
cos3 (x/2)
x→π sin(x)
ln(x − 12)
x→13
x − 13
4x − sin(4x)
x→0
x3
3. lim
10. lim
7. lim
(E) Leia atentamente as informações abaixo
• Nos ı́tens 1-4, verifique se as condições para o uso do Teorema de Rolle são satisfeitas nos intervalos
indicados. Caso o ı́tem calculado satisfaça as hipóteses, encontre um c no intervalo que conclui o
Teorema de Rolle.
• Nos itens 5-8, verifique se as condições para o uso do Teorema do Valor Médio de Lagrange são
satisfeitas nos intervalos indicados. Caso o ı́tem calculado satisfaça as hipóteses, encontre um c no
intervalo que conclui o Teorema do Valor Médio de Lagrange.
• No item 9, aplique a fórmula de Cauchy para as funções dadas no segmento indicado e ache c que
satisfaz o Teorema de Cauchy.
1. f (x) = x2 − 4x + 3;
[1, 3]
2. f (x) = x3 − 2x2 − x + 2;
[1, 2]
2
4. f (x) = 3cos (x);
1 3
π, π
2 2
[0, 1]
6. f (x) = x3 + x2 − x;
[−2, 1]
7. f (x) = x2/3 ;
1
0, π
2
3. f (x) = sin(2x);
5. f (x) = x2 + 2x + 1;
[0, 1]
p
8. f (x) = 1 + cos(x);
9. f (x) = x2 e φ(x) = x3 ;
1 1
− π, π
2 2
[1, 2]
(F) Para cada uma das funções abaixo encontre o máximo e o mı́nimo absoluto no intervalo dado usando
o teste da derivada da primeira.
1. f (x) = x2 − 5x + 7;
[−1, 3]
2. f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 2;
3. f (x) = sin(2x) + cos(x);
4
2
4. f (x) = x − 16x + 2;
5. f (x) = x2 ex ;
6. f (x) = xsin(2x);
[0, 4]
[0, 5]
7. f (x) = ln(x2 + 2x + 4);
[−4, 3]
[0, π]
8. f (x) =
[−1, 3]
p
3
(x + 1)2 ;
√
9. f (x) = xcos( x);
[−5, 1]
[−3, 4]
[0, 50]
(G) Para cada uma das funções da questão anterior encontre o máximo e o mı́nimo absoluto no intervalo dado usando quando possı́vel o teste da derivada da segunda.
(H) Determine os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo. Determine os
pontos de inflexão.
1. f (x) = x2 − 8x + 4
4. f (x) = x2 ex
2. f (x) = 2x3 − 9x2 − 108x + 2
5. f (x) = 4e−x
3. f (x) = x4 − x3 + 1
6. f (x) = |x2 − 9|
2
2
√
4x − x2
9. f (x) =
8. f (x) = ln(x2 + 1)
10. f (x) =
7. f (x) =
3
√
x2 + 4x + 4
x2
1
+1