Dr. João Batista Campos Silva, Prof. Adjunto Ilha Solteira, maio de

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unesp
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA
PARTE I: CONDUÇÃO E RADIAÇÃO
Dr. João Batista Campos Silva, Prof. Adjunto
Ilha Solteira, maio de 2010
_____________________________________________RESUMO
Este material foi escrito para servir de apoio aos alunos das disciplinas Transferência
de Calor e Massa I (TCMI) e II (TCMII), do Curso de Engenharia Mecânica da UNESP-Ilha
Solteira. O conteúdo de TCMI engloba os modos de transferência de calor por condução e
radiação térmicas. O conteúdo de TCMII corresponde ao transporte convectivo de calor e
massa. Neste material, são apresentados os conceitos fundamentais de condução de calor e
métodos de solução; convecção e maneiras de se determinar o coeficiente de transferência
convectiva de calor e massa e troca de calor por radiação entre corpos negros e cinzas. São
abordados casos de condução em regime permanente e transiente e também de convecção
externa em superfícies planas e rombudas, convecção em escoamentos internos, convecção
natural, convecção com mudança de fase; trocadores de calor e transferência de massa
incluindo também difusão.
SUMÁRIO
SUMÁRIO ....................................................................................................................... 3 Transferência de Calor e Massa .................................................................................... 7 1. Introdução ................................................................................................................... 7 1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa ................................. 7 1.2 Conceitos ................................................................................................................... 8 1.2.1 Sistema Físico ......................................................................................................... 8 1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico ................................................................................... 9 1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local ......................................................................... 9 1.2.4 Meio Contínuo ..................................................................................................... 10 1.3 Modos Principais de Transferência de Energia ................................................... 10 1.4 Objetivos e Convenções .......................................................................................... 12 1.4.1 Lei de Fourier da Condução ............................................................................... 13 1.4.2 Fluxo Conduto-Convectivo – Condução e Convecção Combinadas numa Parede
........................................................................................................................................ 13 1.4.3 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva .......................................... 14 1.4.4 Radiação - Transferência de calor entre superfícies negras ............................ 16 1.5 Medições de temperatura usando termopares: (Prática 1) ................................ 19 2.1.1 Balanço Unidimensional ..................................................................................... 29 2.1.2 Equação de Balanço Incluindo Transporte Molecular e Convectivo ............. 31 2.1.3 Equação de Balanço Tridimensional ................................................................. 31 2.2 Propriedades Térmicas da Matéria ...................................................................... 33 2.2.1 Condutividade Térmica ...................................................................................... 33 2.3 Equação de Difusão de Calor ................................................................................ 36 2.4 Condições inicial e de contorno ............................................................................. 38 2.5 Determinação da Condutividade Térmica de Sólidos: (Pratica 2) .................... 39 2.5.1 Aparato Experimental do Laboratório de Transferência de calor e Massa .. 40 3. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente ............................. 43 3.1 Paredes Planas ........................................................................................................ 43 3.1.1 Resistência Térmica............................................................................................. 44 3.1.2 Paredes Compostas .............................................................................................. 44 3.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor .................................................. 45 3.2 Cascas Cilíndricas .................................................................................................. 47 3.3 Cascas Esféricas ...................................................................................................... 50 3.4 Raio Crítico de Isolação ......................................................................................... 52 3.5 Geração Interna de Calor ...................................................................................... 54 3.5.1 Aquecimento Uniforme à Taxa q′′′ .................................................................... 54 3.5.1 Aquecimento Não Uniforme Dependente da Temperatura ............................. 56 3.6 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins) .................................................................. 58 3.6.1 Melhoria da Transferência de Calor ................................................................. 59 3.6.2 Aletas de Seção Transversal Constante ............................................................. 59 3.6.3 Aletas de Seção Transversal Variável................................................................ 66 3.7 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor 68 3.7.1 Equação Geral de Condução .............................................................................. 68 3.7.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação ..................................................................... 69 3.7.2 Cabos Elétricos .................................................................................................... 70 3.8 Determinação experimental do perfil de temperatura em aletas: (Prática 3) .. 71 3.8.1 Pino cilíndrico ...................................................................................................... 74 3.8.2 Pino cônico ........................................................................................................... 75 3.8.3 Aparato experimental para medida de temperaturas em superfícies estendidas
........................................................................................................................................ 76 4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente .......................... 79 4.1 Soluções Analíticas ................................................................................................. 82 4.2 Métodos aproximados ............................................................................................ 90 4.4.1 Método integral .................................................................................................... 90 4.4.2 Método de análise de escala ................................................................................ 91 4.4.3 Método gráfico ..................................................................................................... 92 4.3 Métodos numéricos ................................................................................................. 94 4.3.1 Volume finito ........................................................................................................ 94 4.3.2 Diferença finita .................................................................................................... 96 4.3.3 Elemento finito ..................................................................................................... 98 4.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas ............ 101 4.4.1 Método de Inversão de Matriz ......................................................................... 101 4.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel ............................................................... 101 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente .......................... 103 5.1 O modelo da capacitância concentrada .............................................................. 103 5.2 O modelo do sólido semi-infinito ......................................................................... 104 5.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno ....... 105 5.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno ..... 107 5.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido ..... 108 5.3 Condução unidimensional.................................................................................... 108 5.3.1 Placa de espessura constante ............................................................................ 108 5.3.2 Cilindro longo .................................................................................................... 111 5.3.3 Esfera .................................................................................................................. 112 5.4 Condução multidimensional ................................................................................ 113 5.5 Fontes e sumidouros concentrados ..................................................................... 117 5.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos .................................................................... 118 5.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos) ................................................. 119 5.5.3 Fontes de calor móveis ...................................................................................... 121 5.6 Solidificação e fusão ............................................................................................. 123 5.6.1 Solidificação e fusão unidimensional ............................................................... 123 5.6.2 Solidificação e fusão multidimensional ............................................................ 126 5.7 Métodos numéricos ............................................................................................... 128 5.7.1 Volume finito ...................................................................................................... 128 5.7.2 Diferença finita .................................................................................................. 131 5.7.3 Elemento finito ................................................................................................... 133 6. Radiação .................................................................................................................. 137 6.1 Radiação em corpo negro .................................................................................... 140 6.2 Transferência de calor entre superfícies negras ................................................ 144 6.2.1 O Fator de Forma Geométrico ......................................................................... 144 6.2.2 Relações entre fatores de forma ....................................................................... 147 6.2.3 Cavidade de duas superfícies ............................................................................ 148 6.3 Radiação em corpo cinza ..................................................................................... 149 6.3.1 Emissividade ...................................................................................................... 149 6.3.2 Absortividade e Refletividade .......................................................................... 151 6.3.3 Lei de Kirchhoff ................................................................................................. 152 6.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas ................................................. 153 Bibliografia .................................................................................................................. 158 7
Transferência de Calor e Massa
1. Introdução
Neste tópico apresenta-se uma breve descrição, importância e alguns exemplos de
aplicações de transferência de calor e massa, bem como das equações básicas que governam
estes processos.
1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa
A Civilização Moderna depende fortemente de como ela manuseia e usa sua energia,
energia esta suprida através de recursos naturais, nem sempre fáceis de serem explorados.
O uso de energia pode ser identificado como trabalho, potência e calor, mas na
realidade o trabalho e potência que são usados finalmente degeneram em calor. Calor é a troca
de energia entre objetos (sistemas) “quentes” e “frios” e a troca ocorre espontaneamente do
“quente” para o “frio”
(Transferência) de Calor é a ciência que explica e prediz quão rápida ocorre a troca de
energia como calor. É a ciência que integra as várias ferramentas analíticas e empíricas
provendo um fórum, um corpo de conhecimento, para projetistas, construtores, operadores,
gerentes e pesquisadores de forma mais acurada estudar calor como uma troca de energia.
A preocupação com energia, sua conservação ou economia pela sociedade requer
numa extensão importante a compreensão dos conceitos de transferência de calor e
transferência de massa.
Alguns casos de aplicação de transferência de calor:
-
isolamento (por fibra de vidro) de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas
condições climáticas;
-
quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter o
ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão;
-
projeto e operação de geradores de vapor (caldeiras) ou ebulidores requer a compreensão
da transferência de calor que ocorre da queima (combustão) de carvão, gás ou óleo para a
água nos tubos;
8
-
projeto e construção de um radiador (convector) para um motor de automóvel para mantêlo “frio” quando em operação envolve transferência de calor e massa;
-
dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica;
-
proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas;
-
manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros sistemas;
-
condicionamento de ar para conforto térmico;
-
processos sanitários, manuseio de lixo, esterilização;
-
manuseio e processamento de alimentos.
Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro
através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido a diferença de densidade. A
diferença de densidade provoca difusão (transporte microscópico) de massa (uma espécie
penetra em outra) ou convecção natural (transporte macroscópico) de massa. Os dispositivos
mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção forçada de
massa. Exemplos onde ocorre transferência de massa:
-
processos químicos;
-
poluição do ar;
-
combustão;
-
processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos,
gelo seco (CO2 líquido)
1.2 Conceitos
1.2.1 Sistema Físico
Um sistema físico pode ser considerado com sendo constituído de um sistema material
(subsistema 1) mais um campo de radiação (subsistema 2). O sistema material, geralmente,
considerado como meio contínuo, é composto a nível elementar de moléculas (incluindo íons
e átomos), de elétrons e de partículas fictícias tais como fônons (quanta de energia vibracional
num sólido), etc.
Um meio pode ser considerado como contínuo quando o menor elemento de volume
ainda contém de 1015 a 1020 moléculas. Sob determinadas condições físicas, tais elementos
podem ser caracterizados estatisticamente por propriedades físicas macroscópicas médias
sobre todas as moléculas que eles contêm (massa média, velocidade, pressão ou temperatura).
9
O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela
definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Δ de uma quantidade Iν′ , a
intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da
distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem
massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem
energia e = hν , onde h = 6 , 6256 x10−34 Js é a constante de Planck.
1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico
Em termodinâmica, o conceito de equilíbrio termodinâmico perfeito envolve equilíbrio
térmico (T uniforme), equilíbrio mecânico (P uniforme) e equilíbrio químico (potencial
químico μ uniforme) e é utilizado para equacionamento dos problemas. O equilíbrio térmico
significa que o sistema material é isotérmico a temperatura T; o campo de radiação tem uma
distribuição uniforme dependente apenas de T; o campo de radiação e sistema material estão
na mesma temperatura. Entretanto, para ocorrer transferência de calor, os sistemas devem
estar em não equilíbrio térmico.
1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local
O não equilíbrio térmico causa a transferência de calor devido colisões entre
moléculas ou entre moléculas e uma parede; interações moléculas/fótons (absorção, emissão
espontânea, emissão estimulada); interações entre fônons, entre fônons e elétrons, elétrons e
fótons, outras interações. Como as leis da termodinâmica são utilizadas para equacionar
problemas de transferência, tem-se que lançar mão do conceito de equilíbrio termodinâmico
local (LTE).
A hipótese de equilíbrio termodinâmico local permite definir variáveis físicas
T( r ,t ), P( r ,t ), μ ( r ,t ) , etc. em qualquer instante de tempo e para cada ponto r . Sob esta
hipótese, pode-se assumir que durante um intervalo dt e em um elemento de volume
arbitrariamente pequeno (mas macroscópico, contínuo) o sistema material está localmente
infinitamente próximo a um estado de equilíbrio, descrito por propriedades intensivas e
extensivas.
10
Em LTE adotado para estudo de problemas de transferência de calor o sistema físico é
o local dos seguintes processos macroscópicos irreversíveis com os quais um fluxo está
associado:
-
relativo a um elemento de matéria, o efeito cumulativo em escala macroscópica do
transporte de várias quantidades físicas (carga elétrica, no de moléculas de um dado tipo,
energia) por partículas (moléculas, elétrons, fônons, etc.) traduz para fluxos por difusão:
condução elétrica, difusão de uma espécie em outra, condução térmica;
-
simultaneamente associado com cada transferência macroscópica por um movimento
global de parte do sistema material estão associados fluxos macroscópicos de carga
elétrica, energia, etc. Estes são chamados fenômenos convectivos: convecção elétrica,
convecção térmica, etc.;
-
interações entre moléculas do sistema material e os fótons do campo de radiação, quando
eles não estão em equilíbrio térmico resulta num fluxo macroscópico de energia na forma
de radiação.
1.2.4 Meio Contínuo
Em teoria cinética dos gases o conceito de meio contínuo é apresentado através da
seguinte definição de temperatura:
3
Nk B T =
2
N
∑
s =1
mv s2
2
(1.1)
na qual N é o no de átomos idênticos de massa m cada em equilíbrio térmico num elemento de
volume dV ( N ≈ 1015 − 10 20 ) o meio é considerado contínuo; k B = 1,38054 x10 −23 J / K é a
constante de Boltzmann e v s é velocidade de um átomo em relação a dV.
1.3 Modos Principais de Transferência de Energia
Os modos principais de transferência de energia na forma de calor são condução,
convecção e radiação. A condução térmica ocorre através de um elemento material no qual
existe um gradiente de temperatura. Ela representa o efeito global do transporte de energia por
portadores elementares (moléculas, fônons: partícula fictícia que representa quanta de energia
vibracional de um sólido, elétrons, etc.).
Em fluidos os portadores elementares (moléculas, átomos, íons, etc.) são
caracterizados por energia de translação, possivelmente vibração e rotação, energia eletrônica.
11
Em sólidos os átomos são arranjados em uma estrutura cristalina mais ou menos
perfeita. Os vetores de energia são fônons (quanta de vibração da estrutura cristalina) e talvez
elétrons livres (condução elétrica e térmica).
Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um
campo de radiação pelos seguintes processos:
-
emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de
vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa
(de fótons);
-
absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.
Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meio:
-
meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas
transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;
-
meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente (Ii) que pode ser absorvida (Ia)
ou refletida (Ir). O meio opaco também pode emitir a radiação (Ie);
-
meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite
em distâncias finitas.
Figura 1.1 Radiação em meios transparente e opaco
Os modos de transferência de energia por condução e radiação são objeto de estudo
deste curso de TCMI. O modo de transferência de energia por convecção será objeto de
estudo do curso TCMII e será abordado ao longo daquela disciplina.
12
1.4 Objetivos e Convenções
O objetivo principal é determinar para qualquer sistema em LTE, a evolução do campo
de temperatura T (r , t ) e o fluxo de energia (para todas as formas de energia) que é necessário
para controlar um processo. Um processo será em regime transiente (RT) se as quantidades
físicas A (escalares, vetores, tensores) dependem do tempo, isto é,
∂A(r , t )
≠0
∂t
(1.2)
Para processos em regime permanente (RP), não há variação das grandezas físicas com o
tempo. Ou seja,
∂A(r , t )
=0
∂t
(1.3)
Define-se fluxo de energia como a potência dΦ (em Watts) atravessando um
elemento de superfície dS , cuja normal é n e cujo vetor densidade de fluxo é q [W/m2].
Numericamente,
dΦ = q • n dS
(1.4)
Define-se a densidade de fluxo [W/m2] como
q ′′ = q • n
(1.5)
ou
q ′′ =
dΦ
dS
Figura 1.2 Vetor densidade de fluxo através de um elemento dS com normal n .
(1.6)
13
1.4.1 Lei de Fourier da Condução
Nos processos de condução térmica, define-se o vetor densidade de fluxo condutivo,
pela Lei de Fourier, como
q cd = −k∇T
(1.7)
na qual k é denominada condutividade térmica do material que pode depender da temperatura
e da direção espacial (caso em que k é um tensor e q cd = − k • ∇T ). O sinal negativo na Lei
de Fourier é requerido pela 2a Lei da Termodinâmica. O fluxo condutivo pode, então, ser
calculado na forma
q ′′ = q cd • n = −k∇T • n = − k
∂T
∂n
(1.8)
para q ′′ no sentido da normal ao contorno.
Compare a Lei de Fourier com as lei de Ohm e lei de Fick de difusão. A Lei de Ohm
estabelece que o vetor densidade de corrente j é dado na forma:
j = σE = −σ∇Vel
(1.9)
na qual E é o campo elétrico, σ é a condutividade elétrica e Vel é o potencial elétrico. Já a
Lei de Fick de difusão de massa, estabelece que a taxa de difusão jα de uma espécie α numa
espécie β é definida pela equação
jα = − Dαβ ∇Cα
(1.10)
na qual Dαβ é a difusividade de α em β e Cα é a concentração molar definida por
Cα =
ρ nα
(1.11)
M n
onde ρ é a massa específica da mistura e M é o peso molecular da mistura.
1.4.2 Fluxo Conduto-Convectivo – Condução e Convecção Combinadas numa Parede
Considere um fluido a temperatura T f escoando paralelo a uma parede mantida a uma
temperatura Ts diferente da temperatura do fluido, Figura 1.3. Na interface do lado sólido o
fluxo por condução será
q scd = − k s
∂Ts
∂y
(1.12)
w
14
Figura 1.3 Escoamento sobre uma parede
O fluxo condutivo do lado do fluido pode ser definido como
q cdf = − k f
∂T f
(1.13)
∂y
w
de modo que se tem a igualdade dos fluxos, ou seja,
− ks
∂Ts
∂y
∂T f
= −kf
∂y
w
(1.14)
w
Para o fluxo condutivo do lado do fluido, o problema é determinar o gradiente de
temperatura na parede
∂T f
∂y
que depende da convecção. Este fluxo deveria chamar fluxo
conduto-convectivo q cc (mas é erroneamente chamado de fluxo convectivo).
1.4.3 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva
Considere o escoamento de um fluido com velocidade V (r ) e temperatura T (r ) num
canal de altura l , cuja parede inferior ( y = 0 ) está a T1 e a parede superior ( y = 1 ) está a T2 .
Suponha que a distribuição de temperatura em função de y seja como ilustrado na Figura 1.4
O fluxo conduto-convectivo na parede inferior pode ser definido como
q cc
y =0
= −kf
∂T f
∂y
= −k f
y =0
Tm − T1
ξ
= h(T1 − Tm )
(1.15)
na qual h = função( propriedades do fluido, natureza do escoamento) e é denominado de
coeficiente de transferência de calor por convecção. Generalizando pode-se calcular o fluxo
conduto-convectivo por
q cc = h Tw − Tc
(1.16)
15
na qual Tw é a temperatura na parede e Tc é uma temperatura característica do fluido. A
ordem de grandeza do coeficiente de transferência de calor é apresentada na Tabela 1.1.
Figura 1.4 Temperatura de um fluido num canal em função de y.
Tabela 1.1. Valores de h para determinados escoamentos
Tipo
Convecção natural
Convecção forçada
Mudança de fase
Fluido
h [Wm-2K-1]
gás
5-30
água
100-1000
gás
10-300
água
300-12000
óleo
50-1700
metal líquido
6000-110000
ebulição (água)
3000-60000
condensação (água)
5000-110000
16
O fluxo conduto-convectivo será denominado pela sigla convencional, q cc = q ′′ ou
simplesmente q (este último símbolo em T.C. é equivalente a Q ). Desta forma
h=
q ′′
, para Tw > T f
Tw − T f
h=
−k
Tw − T f
(1.17)
ou
⎛ ∂T ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ∂y ⎠ y =0
(1.18)
h é uma propriedade do escoamento; k é a condutividade térmica do fluido; Tw é a
temperatura em y = 0 que coincide com a interface entre o fluido e o outro meio (por
exemplo, um parede sólida); T f é uma temperatura característica da corrente de fluido longe
⎛ ∂T ⎞
da parede; ⎜⎜ ⎟⎟
é o gradiente de temperatura do lado do fluido na interface.
⎝ ∂y ⎠ y =0
1.4.4 Radiação - Transferência de calor entre superfícies negras
Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor
q1− 2 (W ) entre duas superfícies negras isotérmicas ( A1 , T1 ) e ( A2 , T2 ) mostradas na Figura 1.5.
Um corpo negro é aquele que emite uma intensidade de radiação de acordo com a lei
I b (T ) = n 2
2π 5 k 4 T 4
T4
2
n
=
σ
π
15c02 h3 π
(1.19)
na qual
σ=
2π 5 k 4
15c02 h3
(1.20)
é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é σ = 5, 67 x10−8 W/m 2 ⋅ K 4 ⋅ sr .
h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, c0 é a velocidade da luz
no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência de propagação da onda.
Esta análise pode ser feita nos seguintes passos:
1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área dA1 e interceptada (absorvida
totalmente) pelo elemento de área dA2 ;
17
3. A taxa de transferência líquida de dA1 para dA2 , isto é, a diferença entre as respostas
da parte 1. e 2. e finalmente,
4. A taxa de transferência líquida de A1 para A2 , que é entre as duas áreas finitas
isotérmicas.
Figura 1.5 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma
Se r é a distância entre os elementos de áreas dA1 e dA2 , então o ângulo sólido
através do qual dA2 é visto por um observador estacionado em dA1 é igual a dA2 cos φ2 / r 2 .
Note que dA2 cos φ2 é a dimensão de dA2 após ele ter sido projetado na direção da linha
dA1 − dA2 .
Viajando de dA1 na direção de dA2 (e para todo o resto do espaço) tem-se a
intensidade total de radiação de corpo negro I b ,1 = I b (T1 ) . O tamanho da área emitente que é
normal à direção r é a área “ dA1 projetada”, dA1 cos φ1 . Portanto, a resposta ao item 1. é:
qdA1 →dA2 = I b ,1dA1 cos φ1
dA2 cos φ2
r2
(1.21)
A seta usada no subscrito dA1 → dA2 é para lembrar que qdA1 →dA2 representa a
transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de dA1 (emissor) para
dA2 (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será:
18
dA1 cos φ1
r2
(1.22)
O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (1.22) da Eq. (1.21) para
calcular a transferência de calor líquida de dA1 para dA2 :
qdA1 − dA2 = qdA1 →dA2 − qdA2 →dA1 = ( I b ,1 − I b ,2 )
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
r2
(1.23)
Usando a equação (1.19) para as intensidades de radiação de corpo negro, com n = 1 , a Eq.
(1.23) pode ser reescrita como
(
qdA1 − dA2 = σ T14 − T24
) cos φπ rcos φ
1
2
2
dA1dA2
(1.24)
Para se calcular q1− 2 (W ) deve-se somar as contribuições de todos os elementos de
área de A1 e A2 , ou seja,
(
q1− 2 = σ T14 − T24
)∫ ∫
A1
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
A2
π r2
(1.25)
No lado esquerdo da Eq. (1.25) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência
q1− 2 (W ) deixa a superfície A1 e entra (cruza) a superfície A2 .
A unidade da integral dupla na Eq. (1.25) é metro quadrado ( m 2 ) . É conveniente
definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por A1 , denominado de
fator de forma geométrico baseado em A1 :
F12 =
1
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
∫
∫
A
A
π r2
A1 1 2
(1.26)
A equação (1.25) pode, então, ser reescrita como
q1− 2 = σ (T14 − T24 ) A1 F12
(1.27)
O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões,
orientações e posições relativas das duas superfícies.
Alternativamente poderia se definir
F21 =
1
A2
∫ ∫
A1
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
A2
π r2
(1.28)
de modo que q1− 2 (W ) fica na forma
(
)
q1− 2 = σ T14 − T24 A2 F21
(1.29)
19
Assim para se calcular q1− 2 (W ) deve-se calcular ou F12 ou F21 . Ao se integrar a Eq. (1.21)
obtém-se o resultado
q1→ 2 = I b ,1 ∫
A1
∫
A2
cos φ1 cos φ2
dA1dA2 = σ T14 A1 F12
2
r
(1.30)
Se Eb,1 representa o fluxo emissivo total ou poder emissivo total da superfície 1, este fluxo é
da forma
Eb ,1 = σ T14
(1.31)
Portanto, pode-se demonstrar que
σ T14 A1 = Eb ,1 A1
(1.32)
que é o número de watts de radiação de corpo negro emitida pela superfície A1 em todas as
direções que os pontos de A1 podem “olhar”. Apenas uma porção de Eb ,1 A1 é interceptada e
absorvida por A2 ( porque, em geral, A1 pode ser cercada por outras superfícies além de A2 );
aquela porção é q1→2 ou Eb ,1 A1 F12 . Em conclusão, o significado físico do fator de forma é:
F12 =
q1→2 radiaçao deixando A1 e sendo interceptada por A2
=
radiaçao deixando A1 em todas as direçoes
qb ,1 A1
(1.33)
A razão formulada na Eq. (1.33) sugere que o fator de forma está no intervalo entre 0 e
1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma
para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo.
1.5 Medições de temperatura usando termopares: (Prática 1)
Nesta parte do curso será realizado um experimento de medições de temperatura
através de termopares. O experimento consiste na confecção, aferição e fixação de
termopares, bem como o manuseio de milivoltímetros e registradores potenciómetricos.
Temperatura é um conceito intuitivo de quente e frio. Existem várias maneiras de
medir temperatura, por exemplo, baseando-se na variação de pressão, variação de volume,
resistência elétrica, coeficientes de expansão, etc., uma vez que todos estes efeitos são
relacionados com a temperatura através da estrutura molecular da matéria. Eles mudam com a
temperatura e estas mudanças podem ser usadas para medir temperatura. Os termômetros de
gás baseiam-se no efeito de variação da pressão para medir a temperatura através da equação
de estado de gases ideais. Medida de temperatura por efeito mecânico baseia-se na dilatação
20
de um material, como por exemplo, a dilatação de mercúrio em um tubo de vidro graduado. O
efeito bi metálico baseia-se na colagem de duas fitas de metais de diferentes coeficientes de
expansão que se deformam de forma diferente sob o efeito da temperatura. Efeito elétrico é
uma maneira conveniente de medir porque o sinal elétrico pode ser facilmente detectado,
amplificado, ou usado para propósitos de controle.
O método elétrico mais comum de se medir temperatura usa termopares. Quando dois
metais diferentes são unidos por uma de suas extremidades, Figura 1.6, aparece entre as
extremidades livres uma força eletromotriz (emf – electromotive force) que será função da
temperatura da junção. Este fenômeno é chamado efeito Seebeck. Se os dois materiais são
conectados a um circuito externo de tal maneira que origina uma corrente, a emf pode ser
alterada levemente devido ao fenômeno chamado efeito Peltier. Além do mais, se um
gradiente de temperatura existe ao longo de um ou ambos os materiais, a emf da junção sofre
uma alteração adicional chamada de efeito Thomsom. Existem, portanto, três emf’s presentes
no circuito: o efeito Seebeck causado pela junção de materiais não similares; o efeito Peltier
causado pelo efeito de escoamento de corrente elétrica no circuito; e o efeito Thomson, que
resulta de gradiente de temperatura nos materiais. A emf de Seebeck é a mais importante visto
que ela depende da temperatura da junção. Se a emf gerada da junção de dois materiais
diferentes é cuidadosamente medida como uma função da temperatura, então tal junção pode
ser utilizada para medida de temperatura.
Figura 1.6 Junção de dois metais não similares indicando efeito termoelétrico.
Duas regras estão disponíveis para análise de circuitos termoelétricos:
1) Se um terceiro metal é conectado no circuito como mostrado na Figura 1.7, a emf
líquida não é afetada se ambas as conexões estiverem na mesma temperatura. Isto
pode ser provado com ajuda da segunda lei da termodinâmica e é conhecido como lei
de metais intermediários.
2) Considere o arranjo da Figura 1.8. Os circuitos simples de termopares são construídos
dos mesmos materiais mas operam entre diferentes limites de temperaturas. O circuito
21
na Figura 1.8a desenvolve uma emf de valor E1 entre as temperaturas T1 e T2; o
circuito na Figura 1.8b desenvolve uma emf de valor E2 entre as temperaturas T2 e T3 .
A lei das temperaturas intermediárias estabelece que este mesmo circuito desenvolve
uma emf E3= E1 + E2 quando operando entre as temperaturas T1 e T3, como mostrado
na Figura 2.8c.
Figura 1.7 Influência de um terceiro metal no circuito termoelétrico; lei de metais
intermediários.
Figura 2.8 Circuitos ilustrando a lei de temperaturas intermediárias.
Os circuitos termopares devem envolver pelo menos duas junções. Se a temperatura de
uma junção é conhecida, então, a temperatura da outra junção pode ser facilmente calculada
usando as propriedades termoelétricas dos materiais. A temperatura conhecida é chamada de
temperatura de referência. Um arranjo comum para estabelecer a temperatura de referência é
banho de gelo como mostrado na Figura 1.9. Uma mistura de gelo e ar saturado de água
destilada à pressão atmosférica produz uma temperatura de 0 oC. Quando a mistura é mantida
numa garrafa térmica, ela pode ser mantida por longos períodos. Ambos os fios do termopar
podem ser mantidos à temperatura de referência como mostrado na Figura 1.9a ou apenas um
fio pode ser mantido na temperatura de referência como mostra a Figura 1.9b. O arranjo da
Figura 1.9a seria necessário se os conectores no medidor de voltagem estiverem à diferentes
temperaturas, enquanto a conexão na Figura 1.9b seria satisfatório se os conectores estiverem
na mesma temperatura. Para ser efetivo o sistema na Figura 1.9a deve ser de mesmo material.
22
Figura 1.9 Métodos convencionais para estabelecer temperatura de referência em circuito
termopar. Termopar ferro-constantan ilustrado.
É comum expressar a emf do efeito termoelétrico em termos do potencial gerado com
a junção de referência a 0 oC. Tabelas de termopares padrões têm sido elaboradas com base
nisso e um sumário das características de saída dos termopares mais comuns é apresentado na
Tabela 1.2, na qual também está indicado o tipo de termopar: T, E, J, K, S. Estes dados são
mostrados graficamente na Figura 1.10, juntamente com o comportamento de alguns dos mais
exóticos materiais.
Tabela 1.2 - Emf térmica em milivolts absolutos para combinações de termopares comumente
usados (Junção de referência a 0oC)
Temperatura
o
F
o
C
Cobre
Cromel2
Ferro
Cromel
Platina
Constantan1
Constantan
Constantan
Alumel3
Platina-10%Ródio
(T)
(E)
(J)
(K)
(S)
-300
-184,4
-5,341
-8,404
-7,519
-5,632
-250
-156,7
-4,745
-7,438
-6,637
-5,005
-200
-128,9
-4,419
-6,471
-5,760
-4,381
-150
-101,1
-3,365
-5,223
-4,623
-3,538
-100
-73,3
-2,581
-3,976
-3,492
-2,699
1
Liga de 60% Cu – 40% Al
Liga de 90% Ni – 10% Al
3
Liga de 95% Ni-2%Mn-2%Al-1%Si
2
23
-50
-45,6
-1,626
-2,501
-2,186
-1,693
0
-17,8
-0,674
-1,026
-0,885
-0,692
-0,092
50
10
0,422
0,626
0,526
0,412
0,064
100
37,8
1,518
2,281
1,942
1,520
0,221
150
65,6
2,743
4,075
3,423
2,667
0,408
200
93,3
3,967
5,869
4,906
3,819
0,597
250
121,1
5,307
7,788
6,425
4,952
0,807
300
148,9
6,647
9,708
7,947
6,092
1,020
350
176,7
8,085
11,728
9,483
7,200
1,247
400
204,4
9,523
13,748
11,023
8,314
1,478
450
232,2
11,046
15,844
12,564
9,435
1,718
500
260,0
12,572
17,942
14,108
10,560
1,962
600
315,6
15,834
22,287
17,178
12,865
2,472
700
371,1
19,095
26,637
20,253
15,178
2,985
800
426,7
31,108
23,338
17,532
3,524
1000
537,8
40,056
29,515
22,251
4,609
1200
648,9
48,927
26,911
5,769
1500
815,6
62,240
33,913
7,514
1700
926,7
38,287
8,776
2000
1093,3
44,856
10,675
2500
1371,1
54,845
14,018
3000
1648,9
17,347
A voltagem de saída de um circuito termopar simples é usualmente escrita na forma
E = AT +
1
1
BT 2 + CT 3
2
3
(1.34)
na qual T é a temperatura em graus Celsius e E é baseada na temperatura de junção de 0 oC.
As constantes A, B e C são dependentes do material do termopar.
A sensibilidade ou coeficiente de Seebeck, ou potência termoelétrica, de um termopar
é definida por
S=
dE
= A + BT + CT 2
dT
(1.35)
24
A Tabela 1.3 contém valores do coeficiente de Seebeck (sensibilidade) de vários materiais
versus platina.
Figura 1.10 Relações emf temperatura para materiais termopares, eletrodo positivo listado
primeiro.
A Figura 1.11 ilustra um termopar com duas junções de referência para os dois
materiais. Neste circuito termopar pode-se demonstra que a relação entre a força eletromotriz
a temperatura é da forma da Eq. (1.36):
Ref .
S
Gage lead
Eout = ∫
=∫
Tip
=∫
Tip
Ref
Ref
(T )
Tip
Ref .
Gage
dT
dT
dT
dT
dx + ∫ S A (T )
dx + ∫
S B (T )
dx + ∫
S Lead (T )
dx
Ref
Tip
Ref
dx
dx
dx
dx
S A (T )dT + ∫
Ref .
Tip
S B (T )dT
⎡⎣ S A (T ) − S B (T ) ⎤⎦dT
(1.36)
25
Figura 1.11 – Circuito termopar
Tabela 1.3 – Sensibilidade de termo elementos feitos de materiais listados contra platina,
o
μ V o C −1 (Junção de referência mantida a 0 C)
Bismuto
-72
Prata
6,5
Constantan
-35
Cobre
6,5
Níquel
-15
Ouro
6,5
Patássio
-9
Tungstênio
7,5
Sódio
-2
Cádmio
7,5
Platina
0
Ferro
18,5
Mercúrio
0,6
Nicromo
25
Carbono
3
Antimônio
47
Alumínio
3,5
Germânio
300
Chumbo
4
Silício
440
Tântalo
4,5
Telúrio
500
Selênio
900
Ródio
6
Se os coeficientes de Seebeck forem aproximadamente constates com a temperatura, a
Eq.(1.36) pode ser integrada resultando
Eout = ( S A − S B ) (TTip − TRef
) ou T
Tip
= TRef +
Vout
S A − SB
(1.37)
Para cálculos computacionais, fórmulas polinomiais, por exemplo, de nona ordem
podem ser usadas na forma
26
T = a0 + a1 E + a2 E 2 +
+ a9 E 9 ou
( ( (
(1.38)
( (
) )
) ) )
T = a0 + E ⎛⎜ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ( a7 + ( a8 + a9 E ) E ) E E E E E E ⎞⎟
⎝
⎠
(1.39)
na qual T é a temperatura em oC; E é a voltagem do termopar em volts referente a junção a 0
o
C e a são os coeficientes do polinômio dados na Tabela 1.4 para várias combinações de
termopares.
Tabela 1.4 - Coeficientes de polinômios para Eq. (1.39) para várias combinações termopares
padrões.
Tipo E
Tipo J
Tipo K
Tipo R
Tipo S
Tipo T
Cromel(+)
Ferro(+)
Cromel(+)
Pt-13%-Rh(+)
Pt-10%-Rh(+)
Cobre(+)
Contantan(-)
Constantan(-)
Ni-5%(-)
Platina(-)
Platina(-)
Constantan(-)
(Al-Si)
o
o
o
o
o
100 C a 1000 C
0 C a 1000 C
0 C a 1370 oC
0oC a 1000 oC
0oC a 1750 oC
-160oC a 400 oC
± 0,5 oC
± 0,1 oC
± 0,7 oC
± 0,5 oC
± 1oC
± 0,5 oC
Nona ordem
Quinta ordem
Oitava ordem
Oitava ordem
Nona ordem
Sétima ordem
a0
0,104967248
-0,048868252
0,226584602
0,263632971
0,927763167
0,100860910
a1
17189,45282
19873,14503
24152,10900
179075,491
169526,5150
25727,94369
a2
-282639,0850
-218614,5353
67233,4248
-48840341,37
-31568363,94
-767345,8295
a3
12695339,5
11569199,78
2210340,682
1,90002E+10
8990730663
78025595,81
a4
-448703084,6
-264917531,4
-860963914,9
-4,82704E+12
-1,63565E+12
-9247486589
a5
1,10866E+10
2018441314
4,83506E+10
7,62091E+14
1,88027E+14
6,97666E+11
a6
-1,76807E+11
-1,18452E+12
-7,20026E+16
-1,37241E+1?
-2,66192E+13
a7
1,71842E+12
1,38690E+13
3,71496E+18
6,17501E+17
3,94078E+14
a8
-9,19278E+12
-6,33708E+13
-8,03104E+19
-1,56105E+19
a9
2,06132E+13
1,69535E+20
27
2. Introdução à Condução de Calor (Difusão de Calor)
Neste item serão apresentados os processos de difusão e convecção de grandezas
físicas. Apresenta-se uma dedução das equações gerais de balanço uni e tridimensional. As
equações são simplificadas para o caso particular de difusão pura com as condições de
contorno e iniciais, geralmente, encontradas em problemas de difusão de calor e massa.
2.1 Equações Gerais de Balanço
As equações gerais de balanço podem ser deduzidas de várias formas. Aqui será feita
uma dedução baseada no transporte das grandezas em nível molecular (difusão) e
macroscópico (movimento de fluido). Antes, será apresentada uma breve conceituação do
mecanismo de transporte molecular. Pode-se definir taxa como a razão de uma força motora
por uma resistência, ou seja, Taxa =
Força Motora
. Veja os casos mais clássicos de
Re sistência
transferência de calor, massa e quantidade de movimento. No caso de transferência de calor
unidimensional, tem-se que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura, pela
Lei de Fourier
(q / A)x
q=
= −k
∂T
∂x
(2.1)
∂x
− ∂T
. Neste caso a força motora é ∂T e a resistência é
e a taxa é q .
∂x
kA
kA
No caso de transferência de massa tem-se
( J A / A) x
= −D
∂C A
∂x
⎧T = cte
⎨
⎩ p = cte
(2.2)
na qual J A / A é o fluxo molar da espécie A, D é difusividade de massa e C A a concentração
molar. A transferência de momentum, também pode ser definida de forma análoga, conforme
ilustrado no esquema da Figura 2.1
(F / A) = τ yx
= −μ
∂U x
.
∂y
(2.3)
28
Figura 2.1. Ilustração da difusão de quantidade de movimento.
Observando as definições dos fluxos moleculares de calor, massa e momentum
pode-se definir formas análogas como
Ψx = −δ
∂φ
∂x
(2.4)
na qual Ψx é o fluxo na direção x; δ é uma constante de proporcionalidade (difusividade),
∂φ / ∂x
φ=
é
o
gradiente
da
concentração
da
unidade da propriedade ou grandeza física transferida
.
unidade de volume
propriedade
Têm-se,
nos
Ψ
e
casos
de
transferência de calor, massa e momentum, as seguintes grandezas na Eq. (2.4):
- Transferência de Calor
[
]
J
W
J
⎛q⎞
Ψx = ⎜ ⎟ em 2 ou 2 , φ = ρc p T , ρc p T = 3
m s
m
m
⎝ A⎠x
térmica, [α ] =
(q / A)x
m2
s
⎡ ∂ (ρc p T )⎤
= −α ⎢
⎥;
⎣ ∂x ⎦
- Transferência de Massa
kmol
⎛J ⎞
Ψx = ⎜ A ⎟ em 2 ,
m s
⎝ A ⎠x
φ = C A , [C A ] =
kmol
m3
m2
δ = D difusividade, [D ] =
s
δ =α =
k
difusividade
ρc p
29
- Transferência de Momentum
⎛ μ ⎞ ⎡ ∂ ( ρU x )⎤
⎡ ∂ ( ρU x ) ⎤
kg
⎛F⎞
Ψx = τ yx = ⎜ ⎟ = −⎜⎜ ⎟⎟ ⎢
= −ν ⎢
em 2 ,
⎥
⎥
m s
⎝ A⎠
⎝ ρ ⎠ ⎣ ∂y ⎦
⎣ ∂y ⎦
φ = ρU x , [ρU x ] =
kg m / s
m3
δ = ν viscosidade cinemática, [ν ] =
m2
s
Generalizando para o caso tridimensional, a Eq. 2.4 pode ser reescrita como
Ψ = −δ∇φ
(2.5)
Assim, nos três tipos de transporte considerado tem-se
- Transferência de Calor
q
= −k∇T
A
(2.6)
- Transferência de Massa
jA
= − D∇C A
A
{T , p ctes
(2.7)
- Transferência de Momentum (escoamento de fluido incompressível)
(
τ = − μ ∇U + ∇ T U
)
(2.8)
2.1.1 Balanço Unidimensional
Considere o volume de controle ilustrado na Figura 2.2. A equação geral de balanço
tem a forma:
entrada + geração = saida + acumulação
Figura 2.2. Balanço num escoamento unidimensional.
(2.9)
30
Em termos das grandezas definidas resulta
(Ψx A)1 + Geração = (Ψx A)2 + Acumulação
(2.10)
na qual a geração e acumulação podem ser definidas como
Geração = ΨGV = Ψ ′′′V
Acumulação =
∂φ
V
∂t
A equação de balanço pode então ser reescrita como
(Ψx A)1 + ΨGV = (Ψx A)2 + ∂φ V
∂t
(2.11)
A Eq. (2.11) pode ser rearranjada na seguinte forma
∂φ
− ΨG = −[(Ψx A)2 − (Ψx A)1 ]/ V
∂t
(2.12)
ou de maneira análoga
∂φ
− ΨG = −[(Ψx A)2 − (Ψx A)1 ] / ΔV
∂t
(2.13)
Figura 2.3 Elemento de volume para escoamento unidimensional
em que ΔV = ( Ax )2 − ( Ax )1 , Figura 2.3. No limite quando o elemento de volume tende a zero
tem-se
lim ⎡ (Ψx A)2 − (Ψx A)1 ⎤ Δ(Ψx A) ∂ (Ψx A)
⎥ = ΔV = ∂V
ΔV → 0 ⎢⎣
ΔV
⎦
que substituído na Eq. (2.13) resulta
∂ (Ψx A)
∂φ
− ΨG = −
∂t
∂V
(2.14)
31
Com dV = d ( Ax) e se A for constante, pode-se obter
∂Ψx
∂φ
− ΨG = −
∂t
∂x
(2.15)
2.1.2 Equação de Balanço Incluindo Transporte Molecular e Convectivo
O transporte de alguma grandeza pode ser por difusão e convecção, na forma
Ψx = Ψx ,m + Ψx ,c , onde os transportes molecular e convectivo são definidos respectivamente
por
Ψx ,m = −δ
∂φ
e Ψ x ,c = U xφ
∂x
(2.16)
que substituídos na Eq. (2.15) resulta na equação de balanço unidimensional na forma
∂φ
∂ ⎛
∂φ ⎞ ∂ (U xφ )
− ΨG = − ⎜ − δ
ou
⎟−
∂x
∂t
∂x ⎝
∂x ⎠
∂φ ∂ (U xφ ) ∂ ⎛ ∂φ ⎞
= ⎜δ
+
⎟ + ΨG
∂t
∂x
∂x ⎝ ∂x ⎠
(2.17)
Ex: Obter as equações de balanço para os casos de transferência de calor, massa e momentum.
2.1.3 Equação de Balanço Tridimensional
No caso tridimensional haverá fluxo nas três direções dos eixos de coordenadas,
Figura 2.4. Pode-se mostrar de maneira análoga que a equação equivalente à Eq. (2.15) é:
∂Ψ y ∂Ψz ⎞
⎛ ∂Ψ
∂φ
⎟⎟
− ΨG = −⎜⎜ x +
+
∂t
x
y
z
∂
∂
∂
⎝
⎠
(2.18)
∂φ
− ΨG = −∇ • Ψ
∂t
(2.19)
ou
na
qual
∇( ) = i
Ψ = i Ψx + j Ψ y + k Ψz
∂( )
∂( )
∂( )
.
+ j
+k
∂y
∂z
∂x
e
operador
del
ou
nabla
é
definido
como
32
Figura 2.4. Elemento de volume em escoamento tridimensional.
No caso tridimensional, o transporte molecular e convectivo são grandezas vetoriais e
são definidos como
Ψm = −δ∇φ e Ψc = Uφ
(2.20)
Com Ψ = Ψm + Ψc , a Eq. (1.52) fica na forma
( )
(
)
∂φ
+ ∇ • Uφ = ∇ • δ∇φ + ΨG
∂t
(2.21)
Ex: Obter as equações 3D de balanço de calor, massa e quantidade de movimento.
Usando as definições de grandezas anteriores, resulta o conjunto de equações:
∂ (ρc p T )
∂t
(
)
(
)
+ ∇ • Uρc p T = ∇ • α∇ρc p T + ΨG
∂ρ A
+ ∇ • Uρ A = ∇ • D∇ρ A + ΨG
∂t
(
( )
)
(
(
)
)
∂ ρU
+ ∇ • UρU = ∇ • τ + ΨG
∂t
(
τ = μ ∇U + ∇ T U
)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
33
As Equações (2.22)-(2.25) devem ainda estar sujeitas à restrição de conservação da
massa, que pode ser obtida fazendo, na equação (1.54), ΨG = 0 , φ = ρ e Ψ = − ρU ,
resultando
( )
∂ρ
+ ∇ • ρU = 0
∂t
(2.26)
No caso especial de escoamento,
ΨG = −∇p + ρg
(2.27)
Ex.: Obter as equações de balanço nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas.
2.2 Propriedades Térmicas da Matéria
Em problemas de transferência de calor determinadas propriedades da matéria são de
mais importância. Propriedades térmicas são, em geral, fortemente dependentes da
temperatura. Pela definição da taxa de difusão de calor (Lei de Fourier) pode-se ver que a
condutividade térmica k é uma das propriedades de grande influência nos problemas de
condução de calor. Outras propriedades de importância são a difusividade térmica,
α = k / ρ c , os calores específicos, c p e cv , a massa específica do material, ρ e viscosidade
cinemática do material ν .
2.2.1 Condutividade Térmica
Em princípio, a condutividade térmica pode ser determinada, usando a definição dada
pela Lei de Fourier, Eq. (2.1), usando um aparato de determinada área superficial em que se
possa medir a taxa de calor atravessando-a, medindo a variação da temperatura através da
parede de espessura conhecida. No caso mais geral, a condutividade térmica não dependerá
apenas do estado termodinâmico do material ( T ,P ), mas também da orientação da amostra
relativa à corrente q e do ponto dentro da amostra onde k é medido, caso de materiais
anisotrópicos heterogêneos. Outros casos mais simples são os de materiais isotrópicos
heterogêneos, quando a condutividade depende do ponto dentro da amostra, mas não depende
da orientação da amostra em relação à q . Tem-se também o caso de materiais anisotrópicos
homogêneos em que a condutividade só depende da orientação da amostra em relação à q e,
finalmente, tem-se o caso de materiais isotrópicos homogêneos em que a condutividade não
34
depende nem do ponto dentro do material nem da orientação da amostra em relação à q . A
Figura 2.5 ilustra os tipos de materiais mencionados.
A condutividade térmica também diferencia os materiais em bons condutores
(materiais de altas condutividades, como é o caso de cobre) e condutores pobres (isolantes
térmicos, como é o caso de teflon). No caso de gases monoatômicos é esperado que a
condutividade dependa apenas da temperatura. Uma proposta de variação de k com a
temperatura é da forma:
⎛T ⎞
k = k0 ⎜ ⎟
⎝ T0 ⎠
n
(2.28)
Na qual o subscrito 0 refere-se a um estado de referência e o valor teórico de n = 1 / 2 ,
podendo em alguns casos ser levemente maior, como no caso de hélio em que n
0,7 .
No mesmo caso de gases monoatômicos, a baixa pressão, a massa específica é
proporcional a p / T , enquanto c p é constante. Desta forma, a difusividade térmica pode ser
expressa como
k ⎛T ⎞
k
= 0 ⎜ ⎟
ρ c p ρ0 c p 0 ⎝ T0 ⎠
n +1
⎛ p⎞
⎜ ⎟
⎝ p0 ⎠
−1
(2.29)
Nos materiais sólidos a condutividade térmica depende dos elétrons livres e da
estrutura do material (arranjo atômico). Desta forma pode-se expressar a condutividade
térmica como a contribuição destes dois efeitos na forma:
k = k e + kl
(2.30)
na qual ke é inversamente proporcional à resistividade elétrica e, portanto será alta para
materiais metálicos bons condutores de corrente elétrica. kl depende da vibração da estrutura
(lattice vibration) e, portanto será em geral predominante em sólidos não metálicos.
Em geral, a condutividade térmica de líquidos, assim com a de gases é menor do que a
condutividade térmica de sólidos. Materiais de isolamento térmico podem ser obtidos
combinando-se materiais de condutividade térmica baixa como é o caso de fibras.
No caso de materiais anisotrópicos, a condutividade dependerá das direções e do ponto
dentro do material. Neste caso, pode-se representar o tensor condutividade térmica como
⎡ k11
k = ⎢⎢ k21
⎢⎣ k31
k12
k22
k32
k13 ⎤
k23 ⎥⎥
k33 ⎥⎦
(2.31)
35
Na Equação (2.31) pela relação de reciprocidade
kij = k ji
(2.32)
Além do mais, os coeficientes k11 , k22 e k33 , pela termodinâmica irreversível, são positivos,
isto é,
kii > 0
(2.33)
e a magnitude dos coeficientes kij é limitado pelo requerimento que
kii k jj − kij2 > 0 para i ≠ j
(2.34)
(a) Anisotrópico heterogêneo
(a) Isotrópico heterogêneo
(a) Anisotrópico homogêneo
(a) Isotrópico homogêneo
Figura 2.5 Classificação de meios termicamente condutores em termos de homogeneidade e
isotropia
Alguns valores típicos de condutividade térmica de materiais são listados a seguir:
Metais:
50 a 415 W/moC
Ligas:
12 a 120 W/moC
Líquidos não metálicos:
0,17 a 0,7 W/moC
Materiais isolantes:
0,03 a 0,17 W/moC
Gases à pressão atmosférica: 0,007 a 0,17 W/moC
36
2.3 Equação de Difusão de Calor
A equação da difusão de calor pode ser obtida a partir da Eq. (2.21),
∂φ
+ ∇ • U φ = ∇ • Ψ + Ψ G escrita em um sistema de coordenadas curvilíneas. Considerando
∂t
( )
que o material possa ser anisotrópico resulta então, após várias manipulações algébricas,
considerando ρ e c p constantes, U = 0 :
1 ⎡ ∂ ( h2 h3q1 ) ∂ ( h1h3 q2 ) ∂ ( h1h2 q3 ) ⎤
∂T
+
+
⎢
⎥ + q′′′ = ρ C p
∂x2
∂x3 ⎦
∂t
h1h2 h3 ⎣ ∂x1
(2.35)
A expressão para os fluxos de calor, para sistemas de coordenadas curvilíneas
ortogonais ( x1 , x2 , x3 ) , são
3
qi = −∑ kij
j =1
1 ∂T
; i = 1, 2,3
h j ∂x j
(2.36)
Nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas tem os dados na Tabela 2.1
Tabela 2.1 – Sistemas de coordenadas ortogonais e fatores de escalas
Coordenadas
x1
x2
x3
Cartesianas
x
y
z
Cilíndricas
r
Esféricas
r
θ
θ
φ
h1
h2
1
1
1
r
rsen (φ )
h3
1
1
r
No sistema de coordenadas cartesianas
z
( x, y , z ) ,
1
os fluxos de calor ficam, então
definidos como
− q1 = k11
∂T
∂T
∂T
+ k12
+ k13
∂x
∂y
∂z
(2.37a)
− q2 = k21
∂T
∂T
∂T
+ k22
+ k23
∂x
∂y
∂z
(2.37b)
− q3 = k31
∂T
∂T
∂T
+ k32
+ k33
∂x
∂y
∂z
(2.37c)
37
Para coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) resulta:
− qr = k11
∂T
∂T
∂T
+ k12
+ k13
∂r
r ∂θ
∂z
(2.38a)
− qθ = k21
∂T
∂T
∂T
+ k22
+ k23
∂r
r ∂θ
∂z
(2.38b)
− qz = k31
∂T
∂T
∂T
+ k32
+ k33
∂r
r ∂θ
∂z
(2.38c)
Para coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) resulta:
− qr = k11
∂T
∂T
∂T
+ k12
+ k13
∂r
rsen (φ ) ∂θ
r ∂φ
(2.39a)
− qθ = k21
∂T
∂T
∂T
+ k22
+ k23
∂r
rsen (φ ) ∂θ
r ∂φ
(2.39b)
− qφ = k31
∂T
∂T
∂T
+ k32
+ k33
∂r
rsen (φ ) ∂θ
r ∂φ
(2.39c)
Substituindo os fluxos de calor dos sistemas de coordenadas obtêm-se as equações
para os vários sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas com a seguir.
- Sistema de coordenadas retangulares:
⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
⎟ + ⎜ k33
⎟ + ⎜ k22
⎟+
∂y ⎠ ∂z ⎝
∂z ⎠
⎠ ∂y ⎝
⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤ ⎡ ∂ ⎛ ∂T
+ ⎢ ⎜ k12
⎟ + ⎜ k12
⎟⎥ +
⎜ k13
∂y ⎠ ∂y ⎝
∂x ⎠ ⎦ ⎢⎣ ∂x ⎝
∂z
⎣ ∂x ⎝
∂ ⎛ ∂T
⎜ k11
∂x ⎝ ∂x
⎡ ∂ ⎛ ∂T
+ ⎢ ⎜ k23
∂z
⎣ ∂y ⎝
⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤
⎟ + ⎜ k13
⎟ +
∂x ⎠ ⎥⎦
⎠ ∂z ⎝
(2.40)
∂T
⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤
⎟ ⎥ + q′′′( x, y, z , t ) = ρ C p
⎟ + ⎜ k23
∂y ⎠ ⎦
∂t
⎠ ∂z ⎝
- Sistema de coordenadas cilíndricas:
1 ∂ ⎛
∂T
⎜ k11r
r ∂r ⎝
∂r
⎞ 1 ∂
⎟+
⎠ r ∂θ
∂T
⎛
⎜ k22
r ∂θ
⎝
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂
+⎢
⎜ k12
⎟+
⎣ r ∂r ⎝ ∂θ ⎠ r ∂θ
⎡ ∂
+⎢
⎣ r ∂θ
⎛ ∂T
⎜ k23
∂z
⎝
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟ + ⎜ k33
∂z
⎠ ∂z ⎝
⎞
⎟+
⎠
∂T
⎛ ∂T ⎞ ⎤ ⎡ 1 ∂ ⎛
⎜ k12
⎟⎥ + ⎢
⎜ k13 r
∂r ⎠ ⎦ ⎣ r ∂r ⎝
∂z
⎝
⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤
⎟ + ⎜ k13
⎟ +
∂r ⎠ ⎦⎥
⎠ ∂z ⎝
∂T
∂T ⎞ ⎤
⎞ ∂ ⎛
⎟ + ⎜ k23
⎟ ⎥ + q′′′(r , θ , z , t ) = ρ C p
∂t
⎠ ∂z ⎝ r ∂θ ⎠ ⎦
(2.41)
38
- Sistema de coordenadas esféricas:
1 ∂ ⎛
1
1
∂ ⎛ ∂T ⎞
∂ ⎛
∂T ⎞
2 ∂T ⎞
⎜ k33 sen (φ )
⎟+
⎜ k11r
⎟+ 2 2
⎜ k22
⎟+ 2
2
r ∂r ⎝
∂r ⎠ r sen (φ ) ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r sen (φ ) ∂φ ⎝
∂φ ⎠
⎡
1
1
∂ ⎛
∂T ⎞
∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤
+⎢ 2
⎜ k12 r
⎟+
⎜ k12
⎟⎥ +
∂θ ⎠ rsen (φ ) ∂θ ⎝
∂r ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ r sen (φ ) ∂r ⎝
⎡1 ∂ ⎛
1
∂T ⎞
∂ ⎛
∂T ⎞ ⎤
+⎢ 2
⎜ k13 r
⎟+
⎜ k13 sen (φ )
⎟⎥ +
∂φ ⎠ rsen (φ ) ∂φ ⎝
∂r ⎠ ⎦⎥
⎣⎢ r ∂r ⎝
⎡
∂
1
+⎢ 2
⎢⎣ r sen (φ ) ∂θ
⎛ ∂T
⎜ k23
∂φ
⎝
⎞
∂ ⎛ ∂T
1
⎟+ 2
⎜ k23
⎠ r sen (φ ) ∂φ ⎝ ∂θ
(2.42)
∂T
⎞⎤
⎟ ⎥ + q′′′(r ,θ , φ , t ) = ρ C p
∂t
⎠ ⎥⎦
Ex: Obter as equações para o caso de materiais isotrópicos
2.4 Condições inicial e de contorno
As condições de contorno em problemas de condução num meio anisotrópico podem
ser escritas na seguinte forma genérica, para uma superfície Si normal a um eixo de
coordenadas xi
∓δ i kref
∂T
+ γ iT = f i sobre Si
∂n∗
(2.43)
na qual
3 k
∂T
ij 1 ∂T
=
∑
∗
∂n
j =1 k ref hi ∂x j
(2.44)
A condutividade de referência pode ser escolhida como k11 , k22 ou k33 . As combinações
δ i = 0, γ i = 1 ou δ i = 1, γ i = 0 recuperam as condições de contorno de primeiro ou de segundo
tipos respectivamente. O sinal mais ou menos depende se a normal a Si está apontando no
sentido positivo ou negativo da direção xi respectivamente.
A condição inicial pode ser representada por uma função na forma:
Ti = f ( x1 ,x2 ,x3 )
(2.45)
39
2.5 Determinação da Condutividade Térmica de Sólidos: (Pratica 2)
Nesta parte do curso será realizada a terceira experiência que consiste na medição de
condutividade térmica de sólidos usando um aparato experimental para esta finalidade. O
experimento para medir condutividade térmica baseia-se na Lei de Fourier. Considere a
amostra da Figura 2.6. A partir da Lei de Fourier pode-se obter a condutividade em função da
taxa de calor q ; da espessura da amostra Δx ; da área da face da amostra A e das
temperaturas em ambas as faces, T1 e T2 na forma:
k=
qΔx
A (T1 − T2 )
(2.46)
Figura 2.6 – Amostra para medida de condutividade térmica
O aparato experimental para medir condutividade térmica de sólidos é ilustrado na
Figura 2.7. No aparato em uma face da amostra uma taxa de calor é fornecida por um
aquecedor elétrico, enquanto na outra face calor é removido por um refrigerante. As
temperaturas nas faces da amostra podem ser medidas por termopares. O principal problema
deste aparato é que calor pode escapar pelas extremidades da amostra ou se as extremidades
forem isoladas, o problema se torna bidimensional. Este problema pode ser aliviado pela
instalação de aquecedores de proteção (guard heater) como ilustrado na Figura 2.7. Neste
arranjo conhecido como placa quente, o aquecedor é colocado no centro e uma placa da
amostra é colocada de cada lado do aquecedor. Os aquecedores de guarda circundam o
aquecedor e evita que calor escape pelas extremidades, mantendo o problema unidimensional.
A temperatura dos aquecedores de guarda deve ser a mesma do aquecedor principal. Um
refrigerante circula através do dispositivo para remover energia. Este aparato é bastante
40
utilizado para medir condutividade de materiais sólidos não metálicos, isto é, materiais de
baixa condutividade.
Para materiais de altas condutividades existem outros aparatos mais apropriados para
se evitar erros na medição. Para líquidos e gases outros aparatos específicos podem ser
construídos.
Figura 2.7 – Esquema de aparato para medida de condutividade térmica.
2.5.1 Aparato Experimental do Laboratório de Transferência de calor e Massa
O aparato experimental par medida de condutividade térmica no Lab. TCM está
ilustrado na Figura 2.8
Figura 2.8 – Aparato Experimental para medida de k no Lab. TCM, DEM, Unesp-Ilha
Solteira.
41
Na Eq. (2.46), a taxa de calor é obtida como o produto da tensão elétrica pela corrente
que circula pela resistência elétrica de aquecimento. No caso a área da resistência elétrica é de
196 por 196 mm. A espessura do material acrílico (um dos materiais usado) é de 10 mm. A
taxa de calor é calculada como
q = E⋅I
(2.47)
na qual U é tensão elétrica em volts e I é a corrente elétrica em amperes. Alguns valores
obtidos na experiência de medida da condutividade térmica do acrílico são mostrados na
Tabela 2.2
Tabela 2.2 – Leituras dos multímetros
Núcleo
Medida E[V] I[A]
Anel externo
E[V]
I[A]
1
13,2
0,29
8,8
0,55
2
15,0
0,33
10,9
0,69
3
15,5
0,34
10,7
0,67
4
22,5
0,56
17,5
1,10
5
22,7
0,50
15,4
0,97
6
23,8
0,52
16,7
1,04
7
26,5
0,58
17,6
1,10
Tensão no termopar [mV]
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
As curvas de calibração dos termopares são mostradas na Tabela 2.3. Observando a
Figura 2.8, pode-se concluir que as temperaturas dos pontos 1 e 2 deveriam ser iguais, assim
como as temperaturas dos pontos 3 e 4 também deveriam ser iguais. Longitudinalmente as
temperaturas dos pontos 3, 5 e 6, bem como as temperaturas dos pontos 4, 7 e 8 deveriam ser
todas de mesmo valor.
42
Tabela 2.3 – Curvas de calibração e desvio padrão dos oito termopares
Termopar
Curva de Calibração
1
T1
( C ) = 3,1686 + 22,59014E ( mV )
0,42091
2
T2
( C ) = 3,02924 + 22,50935E ( mV )
0,42827
3
T3
( C ) = 3,05924 + 22,50935E ( mV )
0,42827
4
T4
( C ) = 3,13259 + 22,53033E ( mV )
0,45968
5
T5
( C ) = 2, 43493 + 23,00705E ( mV )
0,32261
6
T6
( C ) = 2,49037 + 22,99343E ( mV )
0,24155
7
T7
( C ) = 2, 29134 + 23,0951E ( mV )
0,23372
8
T8
( C ) = 2, 22723 + 23,06893E ( mV )
0,24623
o
o
o
o
o
o
o
o
Desvio Padrão
43
3. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente
A equação da condução de calor nos casos mais genéricos foi deduzida no capítulo 2. No caso
unidimensional em regime permanente, há fluxo de calor predominante em uma dada direção,
independente do tempo.
3.1 Paredes Planas
Considere o caso de uma parede plana de espessura L ao longo do eixo x, e infinita em
y e z, com temperaturas especificadas, T0 em x = 0 e TL em x = L, Figura 3.1. Suponha que o
material da parede seja isotrópico e homogêneo e que não há geração interna de energia na
parede. Com as hipóteses consideradas, este problema é governado pelo conjunto de
equações:
d 2T
=0
dx 2
(3.1)
T = T0 em x = 0
(3.2)
T = TL em x = L
(3.3)
Figura 3.1 Condução através de uma parede plana. Resistência térmica.
A solução da Eq. (3.1) é obtida integrando-se duas vezes a Eq. (3.1), obtendo-se o
resultado: T = c1 x + c2 . As constantes de integração podem ser obtidas usando as Eqs. (2.2) e
(2.3), cujo resultado final é uma variação linear da temperatura com x na forma:
T = T0 + (TL − T0 )
x
L
(3.4)
44
A partir da Eq. (3.4) obtém-se que o gradiente de temperatura ao longo da parede é
independente de x , devido à variação linear da temperatura, dT / dx = (TL − T0 ) / L , e,
portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser calculado como
dT k
= (T0 − TL )
dx L
q′′ = − k
(3.5)
A taxa de calor atravessando a fronteira é obtida multiplicando o fluxo de calor pela
área da superfície A , assim,
q = q′′A =
kA
(To − TL )
L
(3.6)
3.1.1 Resistência Térmica
O inverso de kA / L é denominado de resistência térmica da camada e, portanto,
define-se:
Rt =
L
kA
(3.7)
Combinado as Eqs. (3.7) e (3.6) resulta
q=
To − TL
Rt
(3.8)
Observe que a taxa de calor como calculada pela Eq. (3.8) é completamente análoga à
corrente elétrica que atravessa um circuito com uma única resistência em que há uma
diferença de potencial elétrico. A resistência térmica é ilustrada na Figura 3.1
3.1.2 Paredes Compostas
Se a parede for constituída de várias camadas de espessura Li e condutividade térmica
ki , a resistência térmica de cada camada será
Rt ,i =
Li
ki A
(3.9)
A resistência térmica total será a associação em série das resistências individuais, ou seja,
Rt = ∑
i
Li
ki A
(3.10)
45
Como exemplo, considere o caso de uma parede composta de três camadas de
materiais isotrópicos homogêneos, como ilustrado na Figura 3.2. Neste caso, a taxa de calor
pode ser calculada como
q=
To − TL
L1 / k1 A + L2 / k2 A + L3 / k3 A
(3.11)
Figura 3.2 Parede composta e sua resistência térmica.
3.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor
No caso de trocadores de calor, por exemplo, geralmente, a parede separa dois campos
de escoamento, com um fluido “quente” em uma das faces da parede e outro fluido “frio” na
outra face; Figura 3.3. A transferência de calor do fluido quente para a parede e da parede
para o fluido frio pode ser estimada através do coeficiente de transferência convectiva
definido no capítulo 1. Suponha que do lado do fluido quente a temperatura seja Th com um
coeficiente hh caracterizando a troca de calor do fluido para a parede, e do lado frio a
temperatura seja Tc com um coeficiente hc caracterizando a troca de calor da parede para o
fluido. Neste caso, têm-se as seguintes equações:
Th − T0 =
q′′
hh
(3.12)
T0 − TL =
L
q′′
k
(3.13)
TL − Tc =
q′′
hc
(3.14)
46
Figura 3.3 parede banhada por fluidos em suas faces. Coeficiente global de troca de calor.
Somando as Eqs. (3.12) – (3.14) obtém-se
⎛1 L 1
Th − Tc = ⎜ + +
⎝ hh k hc
⎞
⎟ q′′
⎠
(3.15)
Numa forma mais compacta a Eq. (3.15) pode ser reescrita como
Th − Tc =
q′′
U
(3.16a)
Ou na forma
q′′ = U (Th − Tc )
(3.16b)
Na qual o coeficiente global de transferência de calor é definido por
1 1 L 1
= + +
U hh k hc
(3.17)
Exercício 3.1: A parede de um incubador de ovos é composta por uma camada de fibra de
vidro de 8 cm entre duas camadas de fórmica de 1 cm cada uma. Do lado de fora a
temperatura é Tc = 10o C e o coeficiente de troca de calor do lado externo do incubador é
hc = 5W / m 2 K . Do lado interno, a temperatura é Th = 40o C e devido um ventilador forçar o
ar internamente sobre os ovos, o coeficiente de troca convectiva é hh = 20 W / m 2 K . Calcule o
fluxo de calor através da parede do incubador.
47
3.2 Cascas Cilíndricas
Muitos trocadores de calor são constituídos por cascas cilíndricas, como no caso do
trocador de calor conhecido como casco-tubo. Nestes casos, o fluxo de calor não se conserva
como ocorre na parede plana, visto que o gradiente de temperatura depende da posição radial.
Entretanto, a taxa de calor que atravessa a casca deve se conservar pela primeira lei da
termodinâmica. Considere uma casca cilíndrica de comprimento l ; de raio interno ri e cuja
superfície interna esteja a Ti . O raio externo é ro e a temperatura da superfície externa é To . O
fluxo de calor do lado interno é qi′′ e do lado externo será qo′′ ; Figura 3.4.
Figura 3.4 Condução radial numa casca cilíndrica.
A taxa de calor pode ser calculada se for determinado o fluxo de calor do lado interno,
por exemplo. Esta taxa pode ser estimada como
q = ( 2π rli ) qi′′
(3.18)
O fluxo de calor na direção radial pode ser obtido na forma:
⎛ dT ⎞
qi′′ = −k ⎜
⎟
⎝ dr ⎠ r = ri
(3.19)
48
O que obriga a determinação do campo de temperatura através da casca. A equação
governante para este problema em regime permanente, sem geração interna na parede e
simetria da temperatura é
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞
⎟=0
⎠
(3.20)
sujeita às condições de contorno
T = Ti em r = ri
(3.21)
T = To em r = ro
(3.22)
e
A seqüência de solução é obtida integrando duas vezes a eq. (3.20):
d ⎛ dT
⎜r
dr ⎝ dr
r
⎞
⎟=0
⎠
(3.23)
dT
= C1
dr
(3.24)
dT C1
=
dr
r
(3.25)
T = C1 ln ( r ) + C2
(3.26)
A Eq. (3.26) deve satisfazer as duas condições de contorno (3.21) e (3.22), o que leva
aos resultados:
Ti = C1 ln ( ri ) + C2
(3.27)
To = C1 ln ( ro ) + C2
(3.28)
Após a eliminação de C2 das Eqs. (3.27) e (3.28) obtém-se
C1 =
Ti − To
ln ( ri / ro )
(3.29)
Finalmente, subtraindo (3.27) de (3.26) resulta
⎛r⎞
T − Ti = C1 ln ⎜ ⎟
⎝ ri ⎠
(3.30)
e pelo uso de (3.29) obtém-se
T = Ti − (Ti − To )
ln ( r / ri )
ln ( ro / ri )
(3.31)
49
O gradiente de temperatura pode ser obtido como
dT 1 Ti − To
. Combinando as
=
dr r ln ( ri / ro )
equações (3.18) e (3.19) obtém-se a taxa de calor na forma
q=
2π kl
(Ti − T0 )
ln ( ro / ri )
(3.32)
Pode-se concluir que a resistência térmica da casca cilíndrica é
Rt =
ln ( ro / ri )
(3.33)
2π kl
Pela conservação da taxa de calor pode-se mostrar que
q = ( 2π rli ) qi′′ = ( 2π rl ) q′′
(3.34)
E, portanto, o fluxo de calor em qualquer raio será
q′′ =
ri
qi′′
r
(3.35)
No caso de uma casca composta, por exemplo, de três camadas; Figura 3.5, cujos raios
das interfaces sejam r1 e r2 respectivamente com r0 > r2 > r1 > ri , e as temperaturas do fluido
interno seja Th com hi e do lado seja Tc com ho ; a taxa de calor pode ser calculada como
q = U i Ai (Th − Tc ) = U o Ao (Th − Tc ) =
Th − Tc
Rt
(3.36)
Na qual a resistência térmica pode ser calculada como
Rt =
ln ( r1 / ri ) ln ( r2 / r1 ) ln ( ro / r2 )
1
1
+
+
+
+
2π k1l
2π k2l
2π k3l
hi Ai
ho Ao
(3.37a)
Figura 3.5 Casca cilíndrica composta com transferência convectiva em ambos os lados.
50
Pela combinação das Eqs. (3.36) e (3.37) pode-se demonstrar que
1
1 r ln ( r1 / ri ) ri ln ( r2 / r1 ) ri ln ( ro / r2 ) 1 ri
= + i
+
+
+
U i hi
k1
k2
k3
ho ro
(3.37b)
1
1 ro ro ln ( r1 / ri ) ro ln ( r2 / r1 ) ro ln ( ro / r2 ) 1
=
+
+
+
+
U o hi ri
k1
k2
k3
ho
(3.37c)
As áreas das superfícies interna e externa da casca são definidas por
Ai = 2π rli ; Ao = 2π rol
(3.38)
3.3 Cascas Esféricas
A geometria esférica, Figura 3.6, pode ser analisada de maneira similar, por notar que
quando a temperatura das superfícies interna e externa são isotérmicas (Ti ,To ) , a temperatura
dentro da casca pode variar apenas radialmente. Neste caso a equação que rege o problema,
com todas as hipóteses simplificadoras consideradas, como no caso do cilindro, fica na forma:
1 d ⎛ 2 dT
⎜r
r 2 dr ⎝ dr
⎞
⎟=0
⎠
(3.39)
T = Ti em r = ri
(3.40)
T = To em r = ro
(3.41)
e
Figura 3.6 Condução radial através de uma casca esférica.
51
Multiplicando a Eq. (3.39) por r 2 dr e integrando uma vez resulta
r2
dT
dT C1
= C1 ou
=
dr
dr r 2
(3.42)
Agora, multiplicando a Eq. (3.42) por dr e integrando mais uma vez obtém-se
T =−
C1
+ C2
r
(3.43)
A restrição das condições de contorno levam ao sistema
Ti = −
C1
+ C2
ri
(3.44)
To = −
C1
+ C2
ro
(3.45)
A eliminação de C2 das Eqs. (3.44) de (3.45) leva ao valor de C1 na forma
C1 =
ri ro (Ti − To )
(3.46)
ri − ro
Subtraindo a eq. (3.44)de (3.43) e pelo uso de (3.46) obtém-se
T − Ti = (Ti − To )
ro ⎛ r − ri ⎞
⎜
⎟
r ⎝ ri − ro ⎠
(3.47)
da qual se se obtém o gradiente de temperatura e o fluxo de calor qi′′ definidos
respectivamente por
dT ri ro (Ti − To )
= 2
dr
r ri − ro
(3.48)
ro Ti − To
⎛ dT ⎞
qi′′ = −k ⎜
⎟ =k
ri ro − ri
⎝ dr ⎠ r = ri
(3.49)
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando o fluxo pela área de troca, no caso de
uma esfera, Ai = 4π ri 2 , resultando
q = 4π kro ri
Ti − To
ro − ri
(3.50)
Pela observação da Eq. (3.50) pode-se concluir que a resistência térmica da casca esférica é
Rt =
1 ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
4π k ⎝ ri ro ⎠
(3.51)
No caso de uma casca esférica composta de duas camadas, por exemplo, com
convecção interna e externa, a resistência térmica total será
52
Rt =
1
1 ⎛1 1⎞
1 ⎛1 1⎞
1
+
⎜ − ⎟+
⎜ − ⎟+
hi Ai 4π k1 ⎝ ri r1 ⎠ 4π k2 ⎝ r1 ro ⎠ ho Ao
(3.52)
3.4 Raio Crítico de Isolação
Uma aplicação do conceito de resistência térmica é determinação de espessura anular
que deve ser aplicada sobre a superfície externa de uma parede cilíndrica de temperatura
conhecida Ti . A função da camada isolante colocada entre o raio ri e ro é reduzir a taxa total
de transferência de calor entre o corpo interno e o fluido ambiente a T∞ e coeficiente h de
troca convectiva. A Figura 3.7, no alto à direita, ilustra a camada de isolante térmico.
A taxa total de transferência de calor varia inversamente com a resistência térmica,
porque q = (Ti − T∞ ) / Rt . A resistência térmica neste caso pode ser calculada como
Rt =
ln ( ro / ri )
2π kl
+
1
h ( 2π rol )
(3.53)
Para h e k constantes, Rt será uma função do raio externo ro . E quando a resistência térmica
alcançar um mínimo a taxa de calor atingirá um máximo. Derivando Rt da Eq. (3.53) em
relação a ro resulta ∂Rt / ∂ro = 1 / 2π klro − 1 / 2π lhro2 . Para se obter o ponto de mínimo ou
máximo faz-se ∂Rt / ∂ro = 0 o que leva ao resultado do raio crítico de isolamento
ro,c =
k
h
(3.54)
A resistência mínima será, portanto,
Rt ,min =
ln ( k / hri ) + 1
2π kl
(3.55)
Algumas conclusões que se pode tirar do conceito de raio critico de isolação é que,
quando, o cilindro for espesso, de tal forma que
ri > ro,c ou
k
< 1;
hri
(3.56)
a adição de uma camada de material isolante sempre se traduz em aumento de Rt e, portanto
redução de q como desejado. No caso oposto, quando,
ri < ro,c ou
k
> 1;
hri
(3.57)
53
o enrolamento de uma primeira camada isolante reduzirá a resistência térmica. O efeito inicial
será um aumento da transferência de calor. Apenas quando material suficiente tenha sido
adicionado de modo que ro exceda ro ,c , a espessura de isolamento aumentará o valor de Rt e
redução de q .
No caso de isolação de um objeto esférico de raio ri , o raio critico de isolação será
estimado pela relação:
ro,c = 2
k
h
(3.58)
Figura 3.7 Efeito do raio externo sobre a resistência térmica global de uma camada cilíndrica
isolante.
Exercício 3.2: Um fio isolado suspenso no ar gera aquecimento pelo efeito Joule à taxa de
q′ = 1W / m . O fio cilíndrico de raio ri = 0,5 mm está 30 oC acima da temperatura ambiente. É
proposto encapar fio com plástico de isolamento elétrico, cujo raio externo será ro = 1 mm . A
condutividade térmica do material plástico k = 0,35W / mK . O plástico isolante aumentará o
contato térmico entre fio e ambiente, ou promoverá efeito de isolamento térmico? Para
verificar a resposta calcule a diferença de temperatura entre o fio e ambiente quando o fio
estiver encapado pelo plástico.
54
3.5 Geração Interna de Calor
Há casos que ocorre geração interna de energia dentro do objeto, como por exemplo,
por efeito Joule em fio condutores de eletricidade, ou por efeito de aquecimento devido ao
campo de radiação. Estes casos, Figura 3.8, serão considerados neste item.
3.5.1 Aquecimento Uniforme à Taxa q′′′
A incógnita aqui não a taxa total de transferência de calor, pois ela pode ser
determinada multiplicando a taxa de geração pelo volume do corpo. Note que em regime
permanente todo o calor gerado dentro da parede deve ser removido para o reservatório
fluido. A questão é quão aquecido deve se tornar o interior para transferir esta taxa de calor
para os lados. Desde que a incógnita é o campo de temperatura T ( x ) , ela pode ser obtida da
equação:
d 2T q′′′
+
=0
dx 2
k
(3.59)
As condições de contorno, para a parede imersa num reservatório fluido à temperatura T∞ e
coeficiente h , serão do tipo
− q′′ = h (T − T∞ ) em x = − L / 2
(3.60)
q′′ = h (T − T∞ ) em x = L / 2
(3.61)
O sinal negativo é necessário no lado esquerdo da Eq. (3.60) por que (a) q′′ é considerado
positivo quando apontando na direção do eixo x , e (b) na definição de h q′′ é assumido
positivo quando apontando para dentro do fluido. Usando a Lei de Fourier para os fluxos de
calor em ambas as Eqs. (3.60) e (3.61), as condições de contorno de tornam
k
dT
= h (T − T∞ ) em x = − L / 2
dx
(3.62)
dT
= h (T − T∞ ) em x = L / 2
dx
(3.63)
−k
A solução da Eq. (3.59) tem a forma geral T = ( q′′′ / k ) ( x 2 / 2 ) + Ci x + C2 . Diferente do
caso sem geração que leva a uma variação linear da temperatura, neste caso o perfil resultante
é parabólico. As constantes de integração podem ser determinadas pelas condições de
contorno (3.62) e (3.63). O resultado da distribuição de temperatura é da forma:
55
2
q′′′L2 ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ q′′′L
T ( x ) = T∞ +
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥+
8k ⎣⎢ ⎝ L / 2 ⎠ ⎦⎥ 2h
(3.64)
A temperatura máxima ocorrerá no centro da parede, ou seja, em x = 0 , e será da
forma
Tmax
q′′′L2
= T∞ +
8k
4⎤
⎡
⎢1 + Bi ⎥
⎣
⎦
(3.65)
na qual a quantidade adimensional Bi é denominada de número de Biot e é definida como
Bi =
hL
k
(3.66)
As temperaturas das faces da parede serão calculadas por
T ( ± L / 2 ) = T∞ +
q′′′L
q′′′L2 / k
= T∞ +
2h
2 Bi
Pode se ver que quando Bi
(3.67)
1 , a temperatura das faces se aproxima da temperatura do
fluido, neste caso, diz que o contato térmico entre a parede sólida e o fluido é bom. No caso
em que Bi
1 , o contato entre parede e fluido é pobre e a temperatura das faces se aproxima
da temperatura do plano médio, ou seja, o perfil de temperatura na parede se torna achatado.
Figura 3.8 Distribuição de temperatura em regime permanente devido à geração interna
uniforme em uma placa (a) em um cilindro ou esfera (b).
56
No caso de um corpo cilíndrico sólido; lado direito da Figura 3.8, a distribuição de
temperatura pode ser obtida da equação:
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞ q′′′
=0
⎟+
⎠ k
(3.68)
sujeita às seguintes condições de contorno
dT
= 0 em r = 0
dr
−k
dT
= h (T − T∞ ) em r = ro
dr
(3.69)
(3.70)
A solução de (3.68) com as restrições (3.69) e (3.70) é do tipo (demonstre)
2
q′′′ro2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ q′′′ro
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ +
T ( r ) = T∞ +
4k ⎢ ⎝ ro ⎠ ⎥ 2h
⎣
⎦
(3.71)
No caso de um corpo esférico sólido, a distribuição de temperatura pode ser obtida da
equação:
1 d ⎛ 2 dT
⎜r
r 2 dr ⎝ dr
⎞ q′′′
=0
⎟+
⎠ k
(3.72)
dT
= 0 em r = 0
dr
−k
dT
= h (T − T∞ ) em r = ro
dr
(3.73)
(3.74)
A solução de (3.72) com as restrições (3.73) e (3.74) é do tipo (demonstre)
2
q′′′ro2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ q′′′ro
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ +
T ( r ) = T∞ +
6k ⎢ ⎝ ro ⎠ ⎥ 3h
⎣
⎦
(3.75)
3.5.1 Aquecimento Não Uniforme Dependente da Temperatura
Suponha o caso em que o aquecimento ou taxa de geração não seja uniforme e
dependa da temperatura local. No caso de um condutor elétrico a taxa de geração pode ser
expressa como
q′′′ = ρe J 2
(3.76)
na qual J é densidade de corrente elétrica em (amperes/m2) e ρe é a resistividade do material
que pode ser expressa em função da temperatura na forma
57
ρe ≅ ρe,o ⎡⎣1 + α (T − To ) ⎤⎦
(3.77)
Em (3.77) ρe,o é a resistividade na temperatura To e α =
1 ⎛ d ρe ⎞
é o coeficiente de
ρe,o ⎜⎝ dT ⎟⎠T =To
temperatura da resistividade.
Considere o caso de um condutor cilíndrico com condutividade térmica constante e
perfeito contato com o ambiente a temperatura To de modo que a temperatura da superfície
seja a própria temperatura ambiente. Neste caso tem-se as equações:
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞ q′′′
=0
⎟+
⎠ k
(3.78)
dT
= 0 em r = 0
dr
(3.79)
T = To em r = ro
(3.80)
Em vista das equações (3.76) e (3.77) a Eq. (3.78) pode ser reescrita como
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞
⎟ + C1 + C2T = 0
⎠
(3.81)
na qual C1 e C2 são duas constantes empíricas do condutor
C1 =
J2
k
⎡
J 2 ⎛ d ρe ⎞
⎛ d ρe ⎞ ⎤
T
C
ρ
=
−
⎢ e,o o ⎜
⎜
⎟
⎟ ⎥ 2
k ⎝ dT ⎠T =To
⎝ dT ⎠T =To ⎥⎦
⎢⎣
(3.82)
O interesse neste tipo de problema é determinar a temperatura máxima de tal forma
que o condutor não se torne instável termicamente. Desta forma, uma solução aproximada da
Eq. (3.81) pode ser suficiente para determinação da temperatura máxima. Um perfil de
temperatura da forma
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
T = To + (Tmax − To ) ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ro ⎠ ⎥⎦
(3.83)
Satisfaz as duas condições de contorno (3.79) e (3.80).
Aplicando o operador
∫0 ∫0 ( ) rdr à Eq. (3.81) resulta
2π
ro
2
ro
ro
⎛ dT ⎞
⎜r
⎟ + C1 + C2 ∫0 Trdr = 0
2
⎝ dr ⎠ r = r0
(3.84)
O primeiro termo da equação (3.84) por (3.83) será ( rdT / dr )r = r − 2 (Tmax − To ) . A integral
o
pode ser também avaliada substituindo (3.83) no terceiro termo de (3.84) e o resultado será
58
ro
∫0
Trdr = ro2 / 2 ⎡⎣To + (Tmax − To ) / 2 ⎤⎦ . Substituindo estes resultados em (3.84) e resolvendo
para Tmax − To , obtém-se
Tmax − To =
2 ( C1 + C2To )
(8 / r ) − C
2
o
(3.85)
2
Analisando o denominador de (3.85), pode-se ver que Tmax permanecerá finita apenas
se C2 < 8 / ro2 . Esta desigualdade deve ser satisfeita se uma distribuição de temperatura em
regime permanente deve existir. Assim uma condição de instabilidade térmica será evitada se
1/ 2
23 / 2 ⎛ k ⎞
J<
⎜ ⎟
ro ⎝ ρe′ ⎠
(3.86)
Se for obtida uma solução exata da Eq. (3.81) a solução será em termos de funções de
Bessel. Neste caso, o fator 23 / 2 será substituído por 2,405, valor cerca de 15% menor.
3.6 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins)
No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a
eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de
conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de
tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas
que são superfícies estendidas a partir de uma área base. As aletas tem as mais variadas
formas e serão analisadas neste item. Aletas retangulares são ilustradas na Figura 3.9.
Figura 3.9 Aumento da troca de calor na área coberta por aletas.
59
3.6.1 Melhoria da Transferência de Calor
A proposta de melhoria ou aumento de transferência de calor entre uma superfície
sólida e o fluido que a banha é comum em proposições de projetos de térmicos. Para entender
como uma aleta funciona, considera-se, inicialmente, uma superfície plana d(sem aletas) de
área A0 banhada por um fluido com coeficiente de troca h. A temperatura da superfície é Tb e
temperatura do fluido é T∞ . Assim a taxa de calor através da superfície pode ser calculada por
q0 = hA0 (Tb − T∞ )
(3.87)
O fluxo de calor na superfície sem aletas (unfinned – u) suposto uniforme em toda
área é definido como q0 / A0 . A taxa de calor na superfície aletada (finned) é definida por q .
O objetivo é ter uma superfície aletada de forma que q > q0 . Isto poder alcançado com aletas
que tenham boa condutividade térmica, de tal forma que a temperatura da superfície da aleta
seja comparável à temperatura da base Tb . Uma maneira de medir a melhoria da troca de
calor é através da definição de efetividade global da área projetada da aleta como
ε0 =
q
q
=
q0 hA0 (Tb − T∞ )
(3.88)
No caso da superfície aletada a área A0 será a soma das áreas sem aletas mais a
projeção das áreas da aletas na base. Designando a área sem aletas por A0,u e a área projetada
da aleta por A0 , f ; então, tem-se
A0 = A0 , f + A0 ,u
(3.89)
A taxa de calor para a superfície aletada será estimada como
q = qb′′A0 , f + hA0 ,u (Tb − T∞ )
(3.90)
na qual qb′′ é o fluxo de calor médio através da base de um aleta e será o foco de cálculo.
3.6.2 Aletas de Seção Transversal Constante
O caso mais simples de aletas é de aletas de seção transversal constante; Figura 3.10.
Num modelo de condução longitudinal o fluxo de calor na base da aleta pode ser calculado
como
⎛ dT ⎞
qb′′ = −k ⎜
⎟
⎝ dx ⎠ x =0
(3.91)
60
Portanto, o cálculo do fluxo de calor requer a determinação da distribuição de temperatura
T ( x ) na aleta. Considere um elemento de volume de aleta de área superficial pΔx . Um
balanço de energia neste volume leva a equação
q′′x Ac − q′′x +Δx Ac − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
(3.92)
Figura 3.10 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal constante.
O fluxo de calor em x + Δx pode ser expresso como q′′x +Δx = q′′x +
dq′′x
Δx +
dx
que
substituído em (3.92) leva à equação
−
dq′′x
ΔxAc − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
dx
(3.93)
Usando a Lei de Fourier para expressar q′′x em função da temperatura resulta
kAc
d 2T
− hp (T − T∞ ) = 0
dx 2
(3.94)
A Eq. (3.94) expressa o balanço entre o calor que é conduzido e chega à posição x e o que sai
por convecção através da superfície da aleta. A Eq. (3.94) é uma EDO de segunda ordem e
requer portanto duas condições de contorno para sua solução.
61
Aletas Longas. Considere, primeiro, o caso de aleta longa de forma que na sua ponta tem –se
a seguinte condição de contorno:
T → T∞ quando x → ∞
(3.95)
A outra condição de contorno é obtida da hipótese de que sua raiz está na mesma temperatura
da parede base, ou seja,
T = Tb em x = 0
(3.96)
Definido o excesso de temperatura como
θ ( x ) = T ( x ) − T∞
(3.97)
a Eq. (3.94) pode ser reescrita como
d 2θ
− m 2θ = 0
dx 2
(3.98)
θ = θb em x = 0 ( θb = Tb − T∞ )
θ → 0 quando x → ∞
(3.99)
(3.100)
m é um parâmetro crucial do arranjo aleta-fluido, definido como
1/ 2
⎛ hp ⎞
m=⎜
⎟
⎝ kAc ⎠
(3.101)
A solução Eq. (3.98) é do tipo
θ ( x ) = c1 exp ( − mx ) + c2 exp ( mx )
(3.102)
O uso das condições de contorno leva aos valores das constantes c1 e c2 :
c2 = 0 c1 = θb
(3.103)
A distribuição de temperatura ao longo da aleta será, portanto, expressa como
θ ( x ) = θb exp ( −mx )
(3.104)
A temperatura decai exponencialmente da base para a ponta. Da mesma forma o fluxo
convectivo h (T − T∞ ) = hθ decai exponencialmente. Uma aleta é considera longa quando a
seguinte restrição é satisfeita
mL
(3.105)
1
A taxa de calor na base da aleta pode ser calculada como
qb = qb′′Ac = θb ( kAc hp )
1/ 2
que mostra como os parâmetros físicos afetam a troca de calor.
(3.106)
62
Aleta de Comprimento Finito com a Ponta Isolada. Muitos projetos não satisfazem o
critério de aleta longa; portanto, a aleta deve ser considerada de comprimento finito. Neste
caso, como a temperatura da ponta da aleta é diferente da temperatura ambiente, a taxa de
calor na ponta da aleta será
qtip = hAc ⎡⎣T ( L ) − T∞ ⎤⎦
(3.107)
Um passo intermediário antes deste caso mais geral é considerar a aleta com a ponta
isolada, caso em que se tem
dT
dθ
= 0 ou
= 0 em x = L
dx
dx
(3.108)
Este caso limite é uma boa aproximação para o caso
qb > qtip
(3.109)
A solução geral para este caso tem a forma:
θ ( x ) = c1* senh ( mx ) + c*2 cosh ( mx )
(3.110)
As condições de contorno (3.99) e (3.108) levam aos valores das constantes
c*2 = θb e c1* = −θ b tanh ( mL )
(3.111)
Este caso é ilustrado na Figura 3.11. A forma final da solução, após algumas
manipulações, é:
θ = θb
cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
(3.112)
cosh ( mL )
Figura 3.11 Aleta com a ponta isolada (lado esquerdo) versus aleta com transferência de calor
na ponta ((lado direito)
63
A temperatura na ponta das aleta será
θ ( L) =
θb
(3.113)
cosh ( mL )
A taxa de calor através da base da aleta será
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ −k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
= θb ( kAc hp )
1/ 2
(3.114)
tanh ( mL )
Pode-se demonstrar que o caso de aleta com a ponta isolada é satisfeito quando
1/ 2
⎛ hAc ⎞
1
=
⎜
⎟
qb senh ( mL ) ⎝ kp ⎠
qtip
<< 1
(3.115)
Efeito de Transferência de Calor na Ponta. Neste caso, ilustrado, do lado direito da Figura
3.11, a condição de contorno é da forma
− kAc
dθ
= hAcθ em x = L
dx
(3.116)
A solução da Eq. (3.98) com as condições de contorno (3.99) e (3.116) é da forma
θ = θb
cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / mk ) s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
(3.117)
cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL )
A taxa de calor na base, neste caso, pode ser estimada da mesma forma que aleta da
ponta isolada, porém, corrigindo o comprimento, de tal forma que
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ −k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
= θb ( kAc hp )
1/ 2
(3.118)
tanh ( mLc )
na qual, o comprimento corrigido, Figura 3.12, é expresso como
Lc = L +
Ac
p
Por exemplo, para uma aleta plana de espessura t
(3.119)
e largura W ,
Ac = tW
e
p = 2 (W + t ) ≅ 2W . Neste caso, pode-se mostrar que
Lc = L +
t
(aleta plana)
2
(3.119)
Para uma aleta de seção cilíndrica de diâmetro D constante tem-se
Lc = L +
D
(pino ou aleta cilíndrica)
4
(3.119)
64
Figura 3.12 Conceito de comprimento corrigido.
A partir da Eq. (3.117) pode-se obter a derivada da temperatura na forma
m s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / k ) cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
dθ
= −θb
dx
cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL )
(3.120)
A taxa de calor calculada pela expressão exata do gradiente em x = 0 seria da forma
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ − k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
1 / 2 senh ( mL ) + ( h / mk ) cosh ( mL )
= θb ( kAc hp )
cosh ( mL ) + ( h / mk ) sen h ( mL )
(3.121)
Eficiência da aleta versus efetividade da aleta. O parâmetro adimensional que descreve
quão bem são as funções da aleta como uma extensão da superfície da base é a eficiência da
aleta η ( 0 < η < 1) :
η=
qb
taxa real de transferencia de calor
=
maxima taxa de transferencia de calor hpLcθb
(3.122)
quando toda aleta esta na temperatura
da base
Usando a Eq. (3.118) obtém-se a eficiência da aleta na forma
η=
tanh ( mLc )
mLc
Algumas vezes se usa como abscissa, no lugar de mLc , o parâmetro:
(3.123)
65
1/ 2
⎛ 2h ⎞
Lc ⎜ ⎟
⎝ kt ⎠
(3.124)
Alternativamente, se usa a efetividade da aleta como uma medida de sua performance.
A efetividade ε f é definida como
εf =
q
taxa total de transferencia de calor
= b
taxa de transferencia de calor que deveria hAcθb
ocorrer atraves da area da base
na ausencia da aleta
(3.125)
Figura 3.13 Eficiência de aletas bidimensionais com perfis retangular, triangular e parabólico.
Se for para a aleta desempenhar sua função de aumento de transferência de calor
apropriadamente, então, ε f deve ser maior do que 1. Uma boa aleta tem, portanto, efetividade
maior do sua eficiência. A relação entre elas será
ε f pLc area total de contato com o fluido
=
=
Ac
area da seçao transversal
η
(3.126)
66
A efetividade da aleta é também maior do que a efetividade global baseada na área superficial
projetada. A relação entre ε 0 e ε f é obtida pela combinação de (3.88), (3.90) e (3.125):
ε0 = ε f
A0 , f
A0
+
A0 ,u
A0
(3.127)
3.6.3 Aletas de Seção Transversal Variável
No caso da aleta plana de seção transversal constante, ela é denominada de aleta
retangular, pois olhando lateralmente vê-se um retângulo. Há casos em que a seção transversal
da aleta diminui da base para sua ponta;Figura 3.14. O balanço de energia neste caso leva à
equação:
qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
(3.128)
Após simplificações resultará
−
dqx
− hp (T − T∞ ) = 0
dx
(3.129)
Pelo uso da Lei de Fourier, qx = − kAc ( x ) dT / dx chega-se a
d ⎛
dT ⎞
⎜ kAc
⎟ − hp (T − T∞ ) = 0
dx ⎝
dx ⎠
(3.130)
Figura 3.14 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal variável.
67
Para dadas variações de Ac ( x ) e p ( x ) , o objetivo é determinar a taxa de transferência
de calor que passa através da base da aleta:
dT ⎞
⎛
qb = − ⎜ kAc ( x )
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
(3.131)
O resultado final também pode ser quantificado em função eficiência da aleta na forma:
η=
qb
hAexp (Tb − T∞ )
(3.132)
na qual Aexp é área exposta da superfície da aleta, isto é, a área banhada pelo fluido. No caso
de aletas triangulares e parabólicas, apenas a área da seção transversal varia, mas não o
perímetro. No caso de uma aleta na foram de disco, Figura 3.15, ambos Ac e p variam.
Figura 3.15 Eficiência de uma aleta anelar de espessura constante.
68
3.7 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor
3.7.1 Equação Geral de Condução
O modelo de condução unidimensional da aleta clássica também encontra aplicação no
caso de corpos longos. Considere o caso de um corpo cilíndrico de seção variável que tenha
movimento relativo na direção x com velocidade U e está exposto a convecção num
reservatório fluido; Figura 3.16. Suponha que exista geração interna no corpo. O balanço de
energia neste caso leva à equação:
qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) + mix − mix +Δx + q′′′Ac Δx = 0
(3.133)
na qual ix é a entalpia especifica do sólido na posição x . Tratando o sólido como
incompressível, tem-se
dix = cdT +
1
ρ
(3.134)
dP
Para pressão constante, dix = cdT e, portanto,
m ( ix − ix +Δx ) = − m
dix
dT
Δx = − mc
Δx
dx
dx
Está implícita nesta derivação que a vazão mássica é conservada de uma seção
transversal para outra:
m = ρ AcU
(3.135)
Figura 3.16 Conservação da energia num corpo longo com movimento sólido e geração
interna
69
A equação final de balanço de energia fica na forma:
d ⎛
dT ⎞
dT
+ q′′′Ac = 0
⎜ kAc
⎟ − hp (T − T∞ ) − ρ cAcU
dx ⎝
dx ⎠
dx
(3.136)
3.7.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação
Nestes processos de fabricação, após passar pelas matrizes, os corpos se comportam
como superfícies estendidas em movimento relativo, Figura 3.17. Nestes processos pode-se
desprezar a geração interna, e supondo Ac e U constantes, resulta para o excesso de
temperatura, a equação:
d 2θ U dθ
−
− m 2θ = 0
2
dx
α dx
(3.137)
As condições de contorno para este caso são:
θ = θb em x = 0
(3.138)
θ → 0 quando x → ∞
(3.139)
Figura 3.17 Distribuição de temperatura ao longo de uma fibra plástica em processo de
extrusão;.
A solução para este problema é imediata e da forma:
⎛ x⎞
⎝
⎠
θ ( x ) = θb exp ⎜ − ⎟
l
(3.140)
70
na qual l é um comprimento característico em que a temperatura do sólido se aproxima da
temperatura do fluido circundante:
⎧⎪ ⎡⎛ U ⎞ 2
⎤ U ⎫⎪
2
l = ⎨ ⎢⎜
m
+
−
⎥
⎬
⎟
⎥⎦ 2α ⎪⎭
⎪⎩ ⎢⎣⎝ 2α ⎠
−1
(3.141)
Dois casos limites são de interesse. No limite de altas velocidades, U / 2α >> m , o
comprimento de resfriamento é proporcional à velocidade da fibra plástica:
U≅
⎛ U
⎞
>> 1⎟
⎜
⎝ 2α m
⎠
U
α m2
(3.142)
No caso oposto, U / 2α << m , o comprimento de resfriamento aproxima-se de uma constante:
l≅
1
m
⎛ U
⎞
<< 1⎟
⎜
⎝ 2α m
⎠
(3.143)
Neste último caso, a fibra se comportas como uma aleta longa de seção constante.
3.7.2 Cabos Elétricos
Nestes casos pode desprezar efeitos variação de entalpia e considerar o efeito Joule
como geração interna, que é amortecido via condução no suporte, Figura 3.18. A equação a
ser resolvida neste caso é da forma:
d 2θ
q′′′
− m 2θ +
=0
2
dx
k
(3.144)
sujeita às restrições:
θ = θb em x = 0
(3.145)
θ → valor finito quando x → ∞
(3.146)
A solução para este problema é da forma
θ ( x ) = θb exp ( −mx ) +
q′′′
⎡1 − exp ( − mx ) ⎤⎦
m2 k ⎣
(3.147)
A interação por condução longitudinal com o suporte x = 0 é sempre sentida no comprimento
de fator de escala 1 / m . Além deste comprimento, a temperatura do cabo se torna
(
)
independente de x , isto é, θ ≅ q′′′ / m 2 k . Isto mostra que a seção do cabo se torna cada vez
mais quente quando q′′′ cresce. Se o suporte será aquecido ou resfriado pelo cabo depende de
como significativo é o efeito de q′′′ . Pelo cálculo da taxa de transferência de calor através da
71
raiz do cabo (saindo do suporte) pode-se mostrar que o suporte será aquecido pelo cabo
( qb < 0 ) se
q′′′Ac
>1
hpθb
(3.148)
Quando o valor do grupo grandeza da Eq. (3.148) for unitário, o cabo inteiro estará
isotérmico.
Figura 3.18 Distribuição de temperatura num cabo elétrico com aquecimento volumétrico.
3.8 Determinação experimental do perfil de temperatura em aletas: (Prática 3)
Nesta parte do curso será realizada a segunda prática de laboratório, que trata da
determinação de perfis de temperaturas em aletas (pinos) cilíndricas e cônicas, utilizando
medidores de temperatura do tipo termopares confeccionados na Prática 1. A equação
genérica da distribuição de temperatura em uma aleta pode ser escrita na forma:
dT ( x ) ⎤ h ( x ) dS ( x )
d ⎡
⎡T ( x ) − T∞ ⎤⎦ = 0 ; xb ≤ x ≤ xt
⎢ A( x)
⎥−
dx ⎣
dx ⎦
k
dx ⎣
na qual T ( x ) =
(3.149)
1
∫ T ( x ) dA ; A ( x ) é a área da seção transversal da aleta; dS ( x ) é um
A ( x ) A( x )
elemento de área superficial da aleta. Definindo as variáveis adimensionais seguintes:
X=
T ( x ) − T∞
A( x)
h ( x ) dS ( x ) *
x
; λ = λ l0
; θ ( x) =
; K(X ) =
; W (X ) =
p0 h dx
A0
l0
Tb − T∞
(3.150)
72
com
A0 = uma área de referência,
h = coeficiente médio de transferência de calor convectiva,
l0 = comprimento de referência,
λ2 =
hp0
kA0
p0 = perímetro de referência;
E sabendo que dS ( x ) / dx = p( x ) , obtém-se
dθ ( X ) ⎤ * 2
d ⎡
⎢K ( X )
⎥ − λ W ( X )θ ( X ) = 0
dX ⎣
dX ⎦
(3.151)
As condições de contorno consideradas são:
θ ( X ) = 1 em X = X b
dθ ( X )
dX
= 0 em X = X t
(3.152a)
(3.152b)
Existem várias técnicas para se obter a solução das Eqs. (3.151)-(3.152). Por exemplo,
uma técnica de solução analítica conhecida como Técnica de Transformada Integral pode ser
usada para solução. Se for admitida uma razão de áreas na forma:
K (X ) =
A( x)
A0
= X 1− 2 m
e
W ( X ) = c 2 n 2 X 2c −2 K ( X )
resultará a equação genérica
d 2θ ( X ) 1 − 2m dθ ( X )
+
− λ *2 n 2 c 2 X 2 c − 2θ ( X ) = 0
2
dX
X
dX
(3.153)
A Eq. (3.153) é um caso especial da equação conhecida como equação generalizada de
Bessel. No caso de pinos, ilustrado na Figura 3.19, a área da seção transversal e o perímetro
serão:
73
A ( x ) = π ⎡⎣ r ( x ) ⎤⎦ ; A0 = π rb2
(3.154a)
p ( x ) = 2π r ( x ) ;
(3.154b)
2
p0 = 2π rb
Figura 3.19 Pino de seção arbitrária.
Neste caso definindo o raio adimensional e tomando l0 = b resultara
R( X ) =
r ( x)
rb
, X=
x
b
(3.155a)
Consequentemente, para origem na ponta do pino (spine)
X t = 0, X b = 1
(3.155b)
e
1/ 2
⎛ 2h ⎞
λ =⎜ ⎟
⎝ krb ⎠
*
(3.156a)
b
K ( X ) = ⎡⎣ R ( X ) ⎤⎦ , W ( X ) = R ( X )
2
(3.156b, c)
A taxa de calor na base do pino será
qb = kπ rb2
Tb − T∞ dθ (1)
b
dX
(3.157a)
E a máxima taxa de calor ocorreria se toda a superfície da aleta estivesse na temperatura da
base
74
qmax = 2π rbb ∫0 R ( X ) h (Tb − T∞ ) dX
1
(3.157b)
A eficiência da aleta pode ser estimada como
η=
dθ (1)
qb
1
=
1
qmax λ*2 ∫ R ( x ) dX dX
0
(3.158)
3.8.1 Pino cilíndrico
No caso do pino cilíndrico, Figura 3.20, a seção transversal será constante e, portanto,
pode-se mostrar que
r ( x ) = rb ou R ( X ) = 1 ,
(3.159a, b)
K ( X ) = 1, W ( X ) = 1
(3.159c, d)
Figura 3.20 Aleta ou barra ou pino cilíndrico.
Em tal caso a Eq. (3.151) ficará idêntica à equação da aleta retangular de seção constante, cuja
solução com as condições de contorno (3.152) já foi obtida e é da forma
θ (X ) =
(
cosh λ* X
( )
cosh λ
*
A eficiência da aleta será
)
(3.160)
75
η=
( )
tanh λ*
(3.161)
λ*
com
1/ 2
⎛ 2h ⎞
λ =⎜ ⎟
⎝ krb ⎠
*
(3.156a)
b
3.8.2 Pino cônico
No caso do “espinho” (spine) cônico, Figura 3.21, o raio da seção transversal será da
forma
r ( x ) = rb
r ( x)
x
ou R ( X ) =
=X
b
rb
(3.162a)
Consequentemente,
K(X ) = X2,
W (X ) = X
(3.162b, c)
Figura 3.21 Pino (spine) cônico
A Eq. (3.151) em tal caso ficará na forma
d 2θ ( X )
dX 2
+
2 dθ ( X ) λ *2
−
θ (X ) = 0
X dX
X
(3.163)
76
que quando comparada com a Eq. (3.153) podemos concluir que
1
1
m
m = − , c = , n = 2,
= −1
2
2
c
(3.164)
Em tal caso a solução da equação de Bessel (3.163) será da forma:
(
*
1 I1 2λ X
θ (X ) =
X I1 2λ*
(
)
)
(3.165)
Na qual I1 é a função de Bessel modificada de primeiro tipo e ordem 1.
No caso quando X = 0 , ponta do pino, aparece uma indeterminação do tipo
0
. Pela
0
regra de L´Hôpital pode mostrar então que
(
) ( )
( )
X ) + I ( 2λ X ) ⎤
⎦
dI1 2λ* X / d X
1
lim
θ = I 2λ*
X →0
d X /d X
1
(
=
λ
)
(
I ( 2λ )
*
*
1
⎡ I 0 2λ *
⎣
(3.166a)
*
2
Na qual I 0 e I 2 são funções de Bessel modificadas de primeiro tipo de ordem 0 e 2
respectivamente. I 0 ( 0 ) = 1 e I 2 ( 0 ) = 0 . Portanto,
θ ( 0) =
λ*
I1 ( 2λ* )
(3.166b)
A eficiência do pino cônico pode ser calculada na forma
( )
( )
*
2 I 2 2λ
η= *
λ I1 2λ*
(3.167)
3.8.3 Aparato experimental para medida de temperaturas em superfícies estendidas
O aparato experimental no laboratório de Transferência de Calor é constituído por
quatro barras de secção circular, três de alumínio de comprimentos e diâmetros diferentes e
uma de aço inox, além de um pino cônico de alumínio. Estes dados são mostrados na Tabela
3.1. Os pontos de leitura de temperaturas são indicados na Tabela 3.2.
77
Tabela 3.1 - Características das aletas do Lab. TCM, DEM, UNESP – Ilha Solteira.
Barra
Material
Dimensões
Condutividade
Térmica
k[W/mk]
L [mm]
D[in]
1
Alumínio
500
5/8
237
2
Alumínio
1000
5/8
237
3
Alumínio
1000
1
237
4
Aço Inox
1000
1
15,1
Tabela 3.2 – Posições ao longo da barra em que as temperaturas são medidas
Barra
Distância [mm]
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
1
0
35
85
135
210
385
489
-
-
-
2
0
35
85
135
210
410
545
695
845
989
3
0
35
85
135
210
410
545
695
845
989
4
0
35
85
135
210
410
545
695
845
989
Para se calcular a transferência de calor por convecção da barra par o ar ambiente
pode-se se usar correlações para estimativa de h. No caso de convecção natural, pode-se usar
a correlação de Churchill & Chu (1975), que é da forma:
⎧
⎫
hD ⎪
0,387 Ra1D/ 6
⎪
= ⎨0 , 6 +
⎬
/
8
27
k
⎡1 + ( 0 ,559 / Pr )9 / 16 ⎤
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
2
(3.168)
78
na qual o número de Rayleigh é definido como RaD =
gβ
αν
(Ts − T∞ ) D3 ; com as propriedades
do ar: Pr, k, α, β, ν avaliadas na temperatura de filme T f = (Ts + T∞ ) / 2 . A taxa de calor por
convecção pode ser estimada como
q = ∫0 h( x ) (T ( x ) − T∞ ) π Ddx
L
(3.169)
Para facilitar os cálculos pode-se organizar os dados, para cada posição x, como na
Tabela 3.3 a seguir.
Tabela 3.3 – Organização dos dados para cálculo de h
Barra
Posição - x
Tf(x)
1
2
3
4
k
ν
α
β
Pr
gβ/αν
RaD
h ( x)
q
79
4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente
A equação da condução de calor, que é o processo de transferência de energia que
ocorre na fronteira de um sistema em repouso devido a um gradiente de temperatura, tem sido
deduzida em muitos livros. Essa equação genérica é da forma:
−∇iq (r , t ) + q′′′(r , t ) = ρ C p
∂T (r , t )
∂t
(4.1)
na qual o primeiro termo do membro do lado esquerdo da equação representa a taxa de calor
entrando através da superfície do sistema, o segundo termo representa a taxa de geração por
unidade de volume e o termo do lado direito da equação representa a taxa de armazenamento
de energia dentro do sistema.
No caso de meios ou materiais em que a condutividade térmica independe da direção
(meios isotrópicos), o vetor fluxo de calor pode ser definido na seguinte forma (Lei de
Fourier):
q = − k ∇T
(4.2)
em que k é a condutividade térmica que pode ser uma função da temperatura, k = k (T ) .
A expressão para os componentes do fluxo de calor, em sistemas de coordenadas
curvilíneas ortogonais ( x1 , x2 , x3 ) , é da forma
qi = − k
1 ∂T
; i = 1, 2,3
hi ∂xi
(4.3)
na qual hi são fatores de escalas que aparecem em transformações de coordenadas de um
sistemas
de
coordenadas
para
outro,
em
que
se
conheçam
as
relações,
xi = xi ( u1 , u2 , u3 ) ; i = 1, 2,3 com ( u1 , u2 , u3 ) sendo a tripla de coordenadas no novo sistema.
Os fatores de escalas são definidos na forma
⎛ ∂x ⎞
h = ∑⎜ j ⎟
j =1 ⎝ ∂ui ⎠
2
i
3
2
(4.4)
Nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas têm-se os dados na
Tabela 4.1
80
Tabela 4.1 – Sistemas de coordenadas ortogonais e fatores de escalas
Coordenadas
u1
u2
u3
Cartesianas
x
y
z
Cilíndricas
r
Esféricas
r
θ
x1
x2
x3
x
y
z
r.cos( θ )
r.sen( θ )
z
θ
φ
r.cos( θ )sen( φ )
r.sen( θ )sen( φ )
r.cos( φ )
h1
h2
1
1
1
r
r ⋅ sen (φ )
h3
1
1
r
No sistema de coordenadas cartesianas
z
( x, y , z ) ,
1
os fluxos de calor ficam, então,
definidos como
q1 = − k
∂T
∂x
(4.5a)
q2 = − k
∂T
∂y
(4.5b)
q3 = − k
∂T
∂z
(4.5c)
Para coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) resulta:
qr = − k
∂T
∂r
(4.6a)
qθ = −k
∂T
r ∂θ
(4.6b)
qz = − k
∂T
∂z
(4.6c)
Para coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) resulta:
qr = − k
∂T
∂r
(4.7a)
qθ = −k
∂T
rsen (φ ) ∂θ
(4.7b)
qφ = −k
∂T
r ∂φ
(4.7c)
81
A partir das Equações (4.1) e (4.3) pode-se obter
1 ⎡ ∂ ( h2 h3q1 ) ∂ ( h1h3 q2 ) ∂ ( h1h2 q3 ) ⎤
∂T
num domínio Ω, t > 0 (4.8)
+
+
⎢
⎥ + q′′′ = ρ C p
h1h2 h3 ⎣ ∂x1
∂x2
∂x3 ⎦
∂t
Substituindo os fluxos de calor dos sistemas de coordenadas (equações (4.5) a (4.7))
obtêm-se as equações para os sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas
como a seguir.
- Sistema de coordenadas retangulares:
∂ ⎛ ∂T
⎜k
∂x ⎝ ∂x
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟+ ⎜k
⎠ ∂y ⎝ ∂y
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟+ ⎜k
⎠ ∂z ⎝ ∂z
∂T
⎞
⎟ + q′′′( x, y, z, t ) = ρ C p
∂t
⎠
(4.9)
- Sistema de coordenadas cilíndricas:
1 ∂ ⎛ ∂T
⎜ kr
r ∂r ⎝ ∂r
⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T
⎟+ 2
⎜k
⎠ r ∂θ ⎝ ∂θ
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟+ ⎜k
⎠ ∂z ⎝ ∂z
∂T
⎞ ′′′
⎟ + q (r ,θ , z, t ) = ρ C p
∂t
⎠
(4.10)
- Sistema de coordenadas esféricas:
1 ∂ ⎛ 2 ∂T
⎜ kr
r 2 ∂r ⎝
∂r
1
∂
⎞
⎟+ 2 2
⎠ r sen (φ ) ∂θ
∂T
+ q′′′(r , θ , φ , t ) = ρ C p
∂t
⎛ ∂T
⎜k
⎝ ∂θ
1
∂ ⎛
∂T
⎞
⎟+ 2
⎜ ksen (φ )
∂φ
⎠ r sen (φ ) ∂φ ⎝
⎞
⎟+
⎠
(4.11)
As condições de contorno em problemas de condução podem ser escritas na seguinte
forma genérica, para uma superfície Si normal a um eixo de coordenadas xi
∓ ki
∂T
∂nì
+ γ iT = fi sobre Si , t > 0
(4.12)
Si
Assume-se que o domínio Ω tem um número de superfícies contínuas Si , i = 1, 2,… , s em
número, tal que cada superfície Si coincide com a superfície do sistema de coordenadas
ortogonal escolhido. As combinações ki = 0, γ i = 1 ou δ i = 1, γ i = 0 recuperam as condições
de contorno de primeiro ou de segundo tipos respectivamente. O sinal mais ou menos depende
se a normal a Si está apontando no sentido positivo ou negativo da direção xi
respectivamente.
82
A condição inicial geralmente é da forma:
T ( r , t ) = F ( r ) para t = 0 no domínio Ω
(4.13)
Os métodos de solução da equação de condução podem ser analíticos exatos, métodos
analíticos aproximados ou métodos numéricos dependendo da complexidade do problema a
ser analisado. Os métodos analíticos englobam os métodos de Separação de Variáveis,
Técnica de Transformada Integral, Técnica de Transformada de Laplace, por exemplo. Os
métodos analíticos aproximados incluem o Método Integral, Método de Rayleigh-Ritz,
Método de Galerkin, entre outros. Os métodos numéricos clássicos são: Método de Diferença
Finita, Método de Volume Finito e Método de Elemento Finito. Um método numérico
também usado é o método de Monte-Carlo. Alguns destes métodos serão descritos a seguir.
4.1 Soluções Analíticas
O método analítico clássico em problemas de condução de calor homogêneos é o
método de separação de variáveis. O procedimento de separação de variáveis pode ser
aplicado também ao caso dos problemas em regime permanente sem geração de calor quando
apenas uma das condições de contorno seja não homogênea. Se várias condições de contorno
são não homogêneas é possível separar o problema original em um conjunto de problemas em
que cada um dos subproblemas tenha apenas uma condição de contorno não homogênea.
Considere, por exemplo, o problema de condução multidimensional homogêneo em regime
permanente com condição de contorno não homogênea definido a seguir:
∇ 2T ( r ) = 0 num domínio Ω
(4.14a)
∂T
+ hT
= fi sobre Si
i
∂nì
(4.14b)
ki
O problema definido por (4.14) pode ser separado em um conjunto de problemas mais
simples de forma que apenas uma condição de contorno permaneça não homogênea. Cada
subproblema será governado pelas seguintes equações
∇ 2T j ( r ) = 0 num domínio Ω
ki
∂T j
∂nì
+ hT
i j = δ ij f i sobre Si
(4.15a)
(4.15b)
83
nas quais
i = 1, 2,… , s
j = 1, 2,… , s
⎧1 se i = j
⎩0 se i ≠ j
δ ij = ⎨
A solução para a distribuição de temperatura será a superposição das soluções dos problemas
mais simples na forma
s
T ( r ) = ∑ Tj ( r )
(4.16)
j =1
Considere
o
seguinte
caso
de
condução
num
paralelepípedo
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c com as condições de contorno definidas a seguir
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+
+
= 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
T = T0 em x = 0 ; T = T∞ em x = a
(4.17a)
(4.17b, c)
−k
∂T
∂T
= q1′′ em y = 0 ; k
+ h1T = h1T∞ em y = b
∂y
∂y
(4.17d, e)
−k
∂T
∂T
= q2′′ em z = 0 ; k
+ h2T = h2T∞ em z = c
∂z
∂z
(4.17f, g)
Como todas as condições de contorno são não homogêneas, inicialmente, faz a
seguinte mudança de variável θ = T − T∞ , que homogeneíza três condições de contorno
resultando
∂ 2θ ∂ 2θ ∂ 2θ
+
+
= 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
θ = θ 0 em x = 0 ; θ = 0 em x = a
(4.18a)
(4.18b, c)
−k
∂θ
∂θ h1
+ θ = 0 em y = b
= q1′′ em y = 0 ;
∂y k
∂y
(4.18d, e)
−k
∂θ
∂θ h2
+ θ = 0 em z = c
= q2′′ em z = 0 ;
∂z k
∂z
(4.18f, g)
Agora propõe-se a separação do problema (4.18) em três problemas mais simples,
cada um deles com apenas uma condição de contorno não homogênea, pela seguinte
superposição:
θ ( x, y, z ) = θ1 ( x, y, z ) + θ 2 ( x, y, z ) + θ3 ( x, y, z )
(4.19)
84
Pode-se obter os seguintes três problemas:
Problema 1
∂ 2θ1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1
+
+
= 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(4.20a)
θ1 = θ 0 em x = 0 ; θ1 = 0 em x = a
(4.20b, c)
∂θ1
∂θ h
= 0 em y = 0 ; 1 + 1 θ1 = 0 em y = b
∂y
∂y k
(4.20d, e)
∂θ1
∂θ h
= 0 em z = 0 ; 1 + 2 θ1 = 0 em z = c
∂z
∂z k
(4.20f, g)
Problema 2
∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2
+ 2 + 2 = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2
∂y
∂z
θ 2 = 0 em x = 0 ; θ 2 = 0 em x = a
−k
∂θ 2
∂θ 2 h1
+ θ 2 = 0 em y = b
= q1′′ em y = 0 ;
∂y k
∂y
∂θ 2
∂θ 2 h2
= 0 em z = 0 ;
+ θ 2 = 0 em z = c
∂z
∂z
k
(4.21a)
(4.21b, c)
(4.21d, e)
(4.21f, g)
Problema 3
∂ 2θ 3 ∂ 2θ 3 ∂ 2θ3
+
+ 2 = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2
∂z
(4.22a)
θ3 = 0 em x = 0 ; θ3 = 0 em x = a
(4.22b, c)
∂θ3
∂θ3 h1
= 0 em y = 0 ;
+ θ3 = 0 em y = b
∂y
∂y k
(4.22d, e)
−k
∂θ3
∂θ3 h2
+ θ3 = 0 em z = c
= q2′′ em z = 0 ;
∂z
k
∂z
(4.22f, g)
A solução de cada um dos três problemas por separação de variáveis fica na forma
θ ( x, y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
(4.23)
que substituída em qualquer das três equações (4.20a) ou (4.21a) ou (4.22a) resulta após
algumas manipulações
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z
+
+
=0
X dx 2 Y dy 2 Z dz 2
(4.24)
85
Para o problema 1 propões-se a seguinte separação:
1 d2X
1 d 2Y
1 d 2Z
2
2
2
2
=
β
=
γ
+
η
,
=
−
γ
e
= −η 2
2
2
2
X dx
Z dz
Y dy
(4.25)
As equações separadas se tornam, então,
d2X
− β2X = 0
2
dx
(4.26a)
X = 0 em x = a
(4.26b)
d 2Y
+ γ 2Y = 0
dy 2
(4.27a)
dY
= 0 em y = 0
dy
(4.27b)
dY
+ H1Y = 0 em y = b
dy
(4.27c)
d 2Z
+η 2Z = 0
2
dz
(4.28a)
dZ
= 0 em z = 0
dz
(4.28b)
dZ
+ H 2 Z = 0 em z = c
dz
(4.28c)
Para o problema 2 propõe-se a seguinte separação:
1 d 2Y
1 d2X
1 d 2Z
2
2
2
2
= +γ = β + η e
= −β ,
= −η 2
2
2
2
Y dy
X dx
Z dz
(4.29)
d2X
+ β2X = 0
2
dx
(4.30a)
X = 0 em x = 0
(4.30b)
X = 0 em x = a
(4.30c)
d 2Y
− γ 2Y = 0
2
dy
(4.31a)
dY
+ H1Y = 0 em y = b
dy
(4.31b)
d 2Z
+η 2Z = 0
2
dz
(4.32a)
dZ
= 0 em z = 0
dz
(4.32b)
86
dZ
+ H 2 Z = 0 em z = c
dz
(4.32c)
Para o problema 3 propõe-se a seguinte separação:
1 d 2Y
1 d2X
1 d 2Z
2
2
=
−
γ
=
−
β
,
e
=η2 = β 2 +γ 2
2
2
2
Y dy
X dx
Z dz
(4.33)
d2X
+ β2X = 0
2
dx
(4.34a)
X = 0 em x = 0
(4.34b)
X = 0 em x = a
(4.34c)
d 2Y
+ γ 2Y = 0
dy 2
(4.35a)
dY
= 0 em y = 0
dy
(4.35b)
dY
+ H1Y = 0 em y = b
dy
(4.35c)
d 2Z
−η 2 Z = 0
2
dz
(4.36a)
dZ
+ H 2 Z = 0 em z = c
dz
(4.36b)
O Problema 1 requer a solução das equações (4.26), (4.27) e (4.28). A solução das
equações (4.27) e (4.28) correspondem ao caso 4 da Tabela 4.2, portanto, são da forma
Y ( γ n , y ) = cos ( γ n y ) ; γ ntg ( γ nb ) = H1
(4.37a)
Z (η p , z ) = cos (η p z ) ; η p tg (η p c ) = H 2
(4.37b)
Para completar a solução do Problema 1, falta resolver a equação (4.26). A solução da
Equação (4.26a) que satisfaz a condição (4.26b) é do tipo
X ( β m , x ) = senh ⎡⎣ β m ( a − x ) ⎤⎦
(4.37c)
em que
β m2 = β np2 = γ n2 + η p2
(4.38)
Desta forma a solução do Problema 1 fica na forma
∞
∞
θ1 ( x, y, z ) = ∑∑ cnp senh ⎡⎣ β np ( a − x ) ⎤⎦ cos ( γ n y ) cos (η p z )
n =1 p =1
(4.39)
87
Aplicando a condição de contorno em x = 0 resulta
∞
∞
θ 0 = ∑∑ cnp senh ( β np a ) cos ( γ n y ) cos (η p z )
(4.40)
n =1 p =1
Tabela 4.2 – Solução, Norma e Autovalores da Equação
d2X
+ β 2 X = 0 em 0 < x < L para
dx 2
as condições de contorno mostradas na Tabela.
No.
1
2
3
Condições
Condições
Autofunções.
Inverso da norma
Autovalores
de Contorno
de Contorno
X ( βm , x )
1/ N ( β m )
são as raízes
x=0
x=L
−
−
−
dX
+ H1 X = 0
dx
dX
+ H2 X = 0
dx
dX
+ H1 X = 0
dx
dX
=0
dx
dX
+ H1 X = 0
dx
X =0
positivas de
β m cos β m x +
+ H1senβ m x
2
⎛
H β 2 + H12
⎜L β2 + H2 + 2 m
m
1
⎜
β m2 + H 22
⎝
(
(
)
cos β m ( L − x )
(
(
2 β m2 + H12
)
)
)
tg β m L =
⎞
⎟+H
1
⎟
⎠
β m ( H1 + H 2 )
β m2 − H1H 2
β mtg β m L = H1
L β m2 + H12 + H1
senβ m ( L − x )
(
(
2 β m2 + H12
)
)
β m ctg β m L = − H1
L β m2 + H12 + H1
(
)
dX
=0
dx
dX
+ H2 X = 0
dx
cos β m x
5
dX
=0
dx
dX
=0
dx
* cos β m x
2
para β m ≠ 0
L
1
para β m = 0
L
senβ m L = 0
6
dX
=0
dx
X =0
cos β m x
2
L
cos β m L = 0
7
X =0
dX
+ H2 X = 0
dx
senβ m x
2 β m2 + H 22
4
(
2 β m2 + H 22
)
β mtg β m L = H 2
L β m2 + H 22 + H 2
(
(
)
)
β m ctg β m L = − H 2
L β m2 + H 22 + H 2
8
X =0
dX
=0
dx
senβ m x
2
L
cos β m L = 0
9
X =0
X =0
senβ m x
2
L
senβ m L = 0
Operando ambos os lados da equação (4.40) por
∫
b
0
cos ( γ i y ) dy e
a condição de ortogonalidade das autofunções resulta
∫
c
0
cos (η q z ) dz e utilizando
88
θ0
sen ( γ nb ) sen (η p c )
γn
ηp
= cnp senh ( β np a ) N n N p
(4.41)
da qual se obtém
cnp = θ 0
sen ( γ nb ) sen (η p c )
γn
ηp
1
senh ( β np a ) N n N p
(4.42)
que substituída em (4.59) leva a forma da solução para o Problema 1 na forma
∞
sen ( γ nb ) sen (η p c ) senh ⎡⎣ β np ( a − x ) ⎤⎦
cos ( γ n y ) cos (η p z )
γn
ηp
N n N p senh ( β np a )
p =1
∞
θ1 ( x, y, z ) = θ 0 ∑∑
n =1
(4.43)
As normas na equação (4.43) correspondem ao caso 4 da Tabela 4.2 e, portanto, são
2 ( γ n2 + H12 )
2 (η p2 + H 22 )
1
1
;
=
=
N n b ( γ n2 + H12 ) + H12 N p c (η p2 + H 22 ) + H 2
(4.44)
O Problema 2 requer a solução das equações 4.30 a 4.34. A solução do problema
(4.30) corresponde ao caso 9 da Tabela 4.2 é da forma
X ( β m , x ) = sen ( β m x ) ; sen ( β m a ) = 0
(4.45)
A solução da equação (4.31a) que satisfaz (4.31b) pode ser encontrada e é do tipo
Y ( γ n , y ) = γ n cosh ⎡⎣γ n ( b − y ) ⎤⎦ + H1senh ⎡⎣γ n ( b − y ) ⎤⎦
(4.46)
2
γ n2 = γ mp
= β m2 + η p2
(4.47)
na qual
A solução da equação (4.32a) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2 e já foi mostrada na
Equação (4.37b).
A solução do Problema 2 fica na forma genérica
⎧γ mp cosh ⎡γ mp ( b − y ) ⎤ + ⎫
∞ ∞
⎪
⎣
⎦ ⎪
θ 2 ( x, y, z ) = ∑∑ cmp sen ( β m x ) ⎨
⎬ cos (η p z )
⎡
⎤
m =1 p =1
H
senh
b
y
γ
−
(
)
⎣ mp
⎦ ⎭⎪
⎩⎪ 1
(4.48)
da qual se obtém
−k
∂θ 2 ( x, y, z )
∂y
⎧ 2
⎫
⎪γ mp sen h ⎣⎡γ mp ( b − y ) ⎦⎤ + ⎪
= k ∑∑ cmp sen ( β m x ) ⎨
⎬ cos (η p z )
m =1 p =1
⎪⎩+γ mp H1 cos h ⎡⎣γ mp ( b − y ) ⎤⎦ ⎪⎭
∞
∞
(4.49)
89
Aplicando a condição de contorno (4.21d) resulta
∞
∞
{
}
2
q1′′ = k ∑∑ cmp sen ( β m x ) γ mp
sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b ) cos (η p z )
m =1 p =1
Operando ambos os lados da equação (4.50) por
∫
a
0
sen ( β m x ) dx e
∫
c
0
(4.50)
cos (ηq z ) dz e utilizando
a condição de ortogonalidade das autofunções resulta para a constante
cmp =
1
q1′′ ⎡⎣1 − cos ( β m a ) ⎤⎦ sen (η p c )
2
k
βm Nm
η p N p γ mp sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b )
(4.51)
que substituída em (4.48) leva a forma final da solução do Problema 2
⎧
⎫
⎪γ mp cosh ⎣⎡γ mp ( b − y ) ⎦⎤ + ⎪
sen ( β m x ) ⎨
⎬ cos (η p z )
⎡
⎤
q′′ ∞ ∞ ⎡1 − cos ( β m a ) ⎦⎤ sen (η p c )
⎩⎪+ H1senh ⎣γ mp ( b − y ) ⎦ ⎭⎪
θ 2 ( x, y, z ) = 1 ∑∑ ⎣
2
k m =1 p =1
βm Nm
ηpNp
sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b )
γ mp
(4.52)
A norma N m corresponde ao caso 9 da Tabela 4.2. A norma N p corresponde ao caso
4 da Tabela 4.2. Assim tem-se
(
)
2 η p2 + H 22
1
2
1
= ;
=
N m a N p c η p2 + H 22 + H 2
(
)
(4.53)
O Problema 3 é similar ao Problema 2, exceto a direção da condição de contorno não
homogênea. Analogamente, então, tem-se a solução de (4.36a) e (4.36b) na forma
Z (η p , z ) = η p cosh ⎡⎣η p ( c − z ) ⎤⎦ + H 2 sen h ⎡⎣η p ( c − z ) ⎤⎦
(4.54)
2
η p2 = η mn
= β m2 + γ n2
(4.55)
na qual
A solução para θ3 , então, será da forma
⎧⎪ηmn cosh ⎡⎣η mn ( c − z ) ⎤⎦ + ⎪⎫
sen ( β m x ) cos ( γ n y ) ⎨
⎬
∞ ∞ ⎡1 − cos ( β a ) ⎤ sen γ b
⎡
⎤
H
senh
η
c
z
+
−
(
)
⎪
′′
(
)
mn
1
q
m
⎣
⎦ ⎭⎪
n
⎦
⎩
θ3 ( x, y, z ) = 2 ∑∑ ⎣
2
k m =1 n =1
βm Nm
γ n Nn
η mn sen h (ηmn c ) + η mn H1 cos h (η mn c )
(4.56)
90
4.2 Métodos aproximados
Os métodos aproximados servem para estimativas de soluções quando alguma
complicação dificulta uma solução analítica. Hoje, com o grande desenvolvimento de
métodos numéricos e disponibilidade de computadores, talvez, os métodos aproximados
sejam menos utilizados. Entre os vários métodos aproximados tem-se o método integral,
método de análise de escala e métodos gráficos.
4.4.1 Método integral
Considere o problema de encontrar a máxima temperatura na seção transversal de um
condutor elétrico de dimensões L por H, cujo contorno esteja à temperatura T∞ , e com geração
interna q′′′ . Este problema é governado pela seguinte equação, supondo condutividade
térmica constante,
q′′′
∂ 2T ∂ 2T
+ 2 =−
2
k
∂x
∂y
(4.57)
com as condições de contorno
T = T∞ em x = ± L / 2
(4.58a, b)
T = T∞ em y = ± H / 2
(4.58c, d)
A temperatura máxima para este problema ocorre na posição ( x = 0, y = 0 ) que é o
ponto mais distante de todos os contornos. A chave do método integral é a escolha de um
perfil de temperatura que satisfaça as condições de contorno e que quando substituído na
equação integrada permita estimativa de parâmetros de interesse no problema. Definindo o
excesso de temperatura como θ = T − T∞ . Um perfil razoável para T ( x, y ) pode ser da forma
⎡ ⎛ x ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤
T ( x, y ) = T∞ + θ max ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ L / 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ H / 2 ⎠ ⎥⎦
(4.59)
que satisfaz as condições de contorno e no qual θ max é a incógnita. Integrando a equação
(4.57) tem-se
⎛ ∂ 2T ∂ 2T
∫− L / 2 ∫− H / 2 ⎜⎝ ∂x 2 + ∂y 2
L/2
H /2
⎞
q′′′
⎟dxdy = − HL
k
⎠
(4.60)
91
Derivando a equação (4.59) em relação a x e y duas vezes obtém-se
2
8θ max ⎡
∂ 2T
⎛ y⎞ ⎤
= − 2 ⎢1 − 4 ⎜ ⎟ ⎥
L ⎣⎢
∂x 2
⎝ H ⎠ ⎦⎥
8θ
∂ 2T
= − max
2
∂y
H2
2
⎡
⎛x⎞ ⎤
⎢1 − 4 ⎜ ⎟ ⎥
⎝ L ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
(4.61a)
(4.61b)
Substituindo (4.61a, b) em (4.60) e integrando o lado esquerdo resulta
−
⎛ H 2 + L2 ⎞
16
q′′′
θ max ⎜
⎟ = − HL
3
k
⎝ HL ⎠
(4.62)
da qual se obtém a temperatura máxima como
θ max =
3 q′′′ L2 H 2
16 k H 2 + L2
(4.63)
A máxima diferença de temperatura aumenta proporcionalmente com a razão q′′′ / k e com o
quadrado do menor dos dois lados. A fórmula (4.63) aproxima-se da solução exata quando a
seção transversal é plana ( H >> L ou H << L ) . Ela é menos precisa no caso de uma seção
quadrada, quando ela superestima a máxima diferença de temperatura em cerca de 27 %.
4.4.2 Método de análise de escala
O primeiro termo na equação (4.57) representa a curvatura da distribuição de
temperatura na direção x. A curvatura representa a mudança na inclinação ∂T / ∂x , a ordem
de grandeza derivada segunda pode ser avaliada como
⎛ ∂T ⎞
⎛ ∂T ⎞
−⎜
⎜
⎟
⎟
∂ T ⎝ ∂x ⎠ x = L / 2 ⎝ ∂x ⎠ x =0
∼
∂x 2
L/2−0
2
O símbolo ∼ significa da mesma ordem de grandeza. Por simetria,
(4.64)
( ∂T / ∂x ) x =0 = 0 .
O
gradiente de temperatura deve ser proporcional à diferença máxima de temperatura; desta
forma,
θ
⎛ ∂T ⎞
∼ − max
⎜
⎟
L/2
⎝ ∂x ⎠ x = L / 2
e conseqüentemente,
(4.65)
92
θ
∂ 2T
∼ − max 2
2
∂x
( L / 2)
(4.66)
Por um argumento semelhante pode-se concluir que
θ
∂ 2T
∼ − max 2
2
∂y
( H / 2)
(4.67)
Substituindo (4.66) e (4.67) em (4.57) resultará
θ max
( L / 2)
2
+
θ max
( H / 2)
2
∼
q′′′
k
(4.68)
da qual se obtém a diferença máxima de temperatura como
θ max
q′′′ L2 H 2
∼
4k L2 + H 2
(4.69)
A análise de escala levou a um resultado que é cerca de 33 % maior do que o resultado
da análise integral (Eq. (4.63)). A análise de escala produz um resultado compacto e barato
que concorda com a solução exata dentro de um fator de grandeza de ordem 1 com a solução
exata do problema.
4.4.3 Método gráfico
O método gráfico é ilustrado na Figura 4.1. Suponha o caso de uma região retangular
com as faces esquerda e direita isoladas termicamente. Suponha que o topo esteja numa
temperatura mais alta do que o fundo. As linhas horizontais serão linhas isotérmicas, normais
a estas linhas têm-se as linhas de fluxo, que serão as linhas verticais. A taxa total de calor que
entra na parede superior é suposta ser composta de n mini-correntes de igual dimensão, cada
obtida como
qi =
q
n
( i = 1, 2,… , n )
(4.70)
Cada mini-corrente escoa através de um tubo de calor, isto é, o espaço entre duas linhas de
fluxo adjacentes.
93
Figura 4.1 – Malhas de isotermas e linhas de fluxos: (a) malha quadrada; (b) malha curva
O desenho das linhas de fluxo e das isotermas formam uma malha ou grade. Suponha
que a dimensão de cada malha seja Δx × Δy . Se a dimensão vertical for dividida em m malhas,
pode-se estimar a variação de temperatura em um malha como
ΔT j =
Th − Tc
m
( j = 1, 2,… , m )
(4.71)
De acordo com a lei de Fourier, a mini-corrente que passa através do quadrado ( i, j ) é
qi = k ΔxW
ΔT j
Δy
= kW ΔT j
(4.72)
na qual W é a dimensão normal ao plano da folha. Pela combinação das equações (4.70)(4.72) pode-se obter a taxa total de transferência de calor
q=
n
Wk (Th − Tc )
m
(4.73)
Na equação (4.73), define-se o que se chama de fator de forma como
S=
n
W
m
(4.74)
94
Este procedimento que resultou na Eq. (4.73) se aplica mesmo no caso das linhas
isotermas e de fluxo serem curvas. Existem nos livros de transferência de calor fatores de
forma para várias configurações.
4.3 Métodos numéricos
Atualmente, com o desenvolvimento e maior disponibilização de computadores, os
métodos mais comumente usados para se resolver a equação de condução multidimensional
são métodos numéricos, em que um meio continuo é substituído por subdomínios que formam
uma malha ou conjunto de pontos. Os pontos são nós (nódulos) na intersecção das linhas da
malha ou grade. Em condução de calor, o método numérico mais comumente usado é o
método de diferença finita. Com o uso de métodos numéricos, muitas das simplificações para
se obter soluções analíticas não necessitam serem feitas.
4.3.1 Volume finito
Considere um volume de controle de dimensões
( Δx ) × ( Δy ) × W ,
Figura 4.2, um
balanço de energia leva ao
qw + qe + qs + qn + q′′′ΔxΔyW = 0
(4.75)
na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é
identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W ; e a face leste
voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N .
As taxas de calor são definidas como
qn ≅ knW Δx
qw ≅ k wW Δy
TW − TP
(δ x ) w
TN − TP
(δ y ) n
ΔxΔyWq′′′
qs ≅ k sW Δx
qe ≅ keW Δy
TE − TP
( δ x )e
(4.76)
TS − TP
(δ y ) s
No centro da eq. (4.76) está indicada a taxa de geração de calor dentro do volume de controle.
95
Figura 4.2 – Volume de controle em torno de um ponto P.
Substituindo (4.76) em (4.75) obtém-se
⎡ k Δx
k Δx
k Δy ke Δy ⎤
−⎢ s
+ n
+ w
+
⎥ TP +
⎢⎣ (δ y ) s (δ y )n (δ x )w (δ x )e ⎥⎦
k Δy
k Δy
k Δx
k Δx
+ w TW + e TE + s
TS + n
T + q′′′ΔxΔy = 0
(δ x ) w
(δ x )e
(δ y ) s
(δ y )n N
(4.77)
se for considerado que a geração seja uma função da temperatura: q′′′ = S pTp + SC , a equação
(4.77) fica na forma
a pTP = aW TW + aETE + aS TS + aN TN + b
(4.78)
na qual
aE =
ke Δy
( δ x )e
(4.79a)
aW =
k w Δy
(δ x ) w
(4.79b)
aN =
kn Δx
(δ y )n
(4.79c)
aS =
k s Δx
(δ y ) s
(4.79d)
a p = aE + aW + aN + aS − S P ΔxΔy
(4.79e)
b = SC ΔxΔy
(4.79f)
96
A equação (4.78) se escrita numa forma matricial sugere um arranjo pentadiagonal,
que pode ser resolvida por técnicas numéricas bem conhecidas.
No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e
existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (4.78) e os coeficientes ficam na forma
a pTP = aW TW + aETE + aS TS + aN TN + aT TT + aBTB + b
(4.80)
na qual
aE =
ke ΔyΔz
( δ x )e
(4.81a)
aW =
k w ΔyΔz
(δ x ) w
(4.81b)
aN =
kn ΔxΔz
(δ y )n
(4.81c)
aS =
k s ΔxΔz
(δ y ) s
(4.81d)
aT =
kt ΔxΔy
( δ z )t
(4.81e)
aB =
kb ΔxΔy
( δ z )b
(4.81f)
a p = aE + aW + aN + aS + aT + aB − S P ΔxΔyΔz
(4.81g)
b = SC ΔxΔyΔz
(4.81h)
No caso de problemas tridimensionais, a equação (4.80) sugere um arranjo
heptadiagonal.
4.3.2 Diferença finita
No caso em que se usa o método clássico de diferenças finitas pode-se ter as três
seguintes aproximações para o gradiente de temperatura num ponto i, j , Figura 4.3,
∂T ΔT T ( i + 1, j ) − T ( i − 1, j )
≈
=
2 Δx
∂x Δx
(4.82a)
∂T ΔT T ( i, j ) − T ( i − 1, j )
≈
=
∂x Δx
Δx
(4.82b)
97
∂T ΔT T ( i + 1, j ) − T ( i, j )
≈
=
∂x Δx
Δx
(4.82c)
Figura 4.3 – Nomenclatura para discretização por diferença finita.
As equações (4.82a), (4.82b) e (4.82c) são conhecidos como diferenças centrais,
diferenças para trás e diferenças para frente respectivamente. Derivadas segundas podem ser
aproximadas como
∂ ⎛ ∂T
⎜k
∂x ⎝ ∂x
⎞ k ⎡⎣T ( i + 1, j ) − T ( i, j ) − T ( i, j ) + T ( i − 1, j ) ⎤⎦
=
⎟≈
2
⎠
( Δx )
k ⎡T ( i + 1, j ) − 2T ( i, j ) + T ( i − 1, j ) ⎤⎦
= ⎣
2
( Δx )
(4.83)
Analogamente, tem-se
∂ ⎛ ∂T
⎜k
∂y ⎝ ∂y
⎞ k ⎡⎣T ( i, j + 1) − T ( i, j ) − T ( i, j ) + T ( i, j − 1) ⎤⎦
=
⎟≈
2
⎠
( Δy )
=
k ⎡⎣T ( i, j + 1) − 2T ( i, j ) + T ( i, j − 1) ⎤⎦
( Δy )
(4.84)
2
Desta forma a equação de condução em regime permanente discretizada em diferenças
finitas fica na forma
T ( i, j − 1) T ( i − 1, j ) 2T ( i, j ) 2T ( i, j ) T ( i + 1, j ) T ( i, j + 1) q′′′
+
−
−
+
+
+
=0
2
2
2
2
2
2
k
( Δy )
( Δx )
( Δx )
( Δy )
( Δx )
( Δy )
(4.85)
que numa forma mais compacta fica como
aTi , j −1 + bTi −1, j + cTi , j + bTi +1, j + aTi , j +1 = di , j
na qual
(4.86)
98
a=−
b=−
c=
1
(4.87a)
2
(4.87b)
1
( Δx )
2
( Δx )
di , j =
2
( Δy )
2
+
2
( Δy )
(4.87c)
2
q′′′
k
(4.87d)
4.3.3 Elemento finito
O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 4.4, também tem sido usado para
se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretizção de domínios
complexos
(
)
∇i k ∇T + q′′′ = 0
(4.88)
Multiplicando a equação (4.88) por uma função de ponderação W e integrando no domínio de
um elemento, após uma integração por partes obtém-se
∫
Ωe
W ∇ik ∇Td Ω + ∫ Wq′′′d Ω = 0
Ωe
− ∫ ∇W ik ∇Td Ω + ∫ Wk ∇T ind Γ + ∫ Wq′′′d Ω = 0
Ωe
∫
Ωe
Γe
Ωe
∇W ik ∇Td Ω = ∫ Wk
Γe
(4.89)
∂T
d Γ + ∫ Wq′′′d Ω
Ωe
∂n
Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:
{ }
T = N Te
(4.90)
na qual
T
⎧ N1 ⎫
⎪N ⎪
⎪
⎪
N =⎨ 2 ⎬ ;
⎪
⎪
⎪⎩ N Ne ⎪⎭
{T }
e
⎧T1 ⎫
⎪T ⎪
⎪ ⎪
=⎨ 2 ⎬
⎪ ⎪
⎪⎩TNe ⎪⎭
(4.91a, b)
em que N i e Ti são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e
os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método
de Galerkin, em que
99
W = N
(4.92)
e substituindo (4.90) e (4.92) em (4.89) resultará
∫
Ωe
{ }
∇ { N }ik ∇ N d Ω T e = ∫
Γe
{N } k
∂T
d Γ + ∫ { N } q′′′d Ω
Ωe
∂n
(4.93)
Figura 4.4 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos
quadrilaterais.
A equação (4.93) pode ser escrita numa forma matricial como
{ } { }
⎡⎣ K e ⎤⎦ T e = Q e
(4.94)
No caso de um problema bidimensional os elementos da matriz ⎡⎣ K e ⎤⎦ e do vetor fonte são
definidos por
⎛ ∂N ∂N j ∂N i ∂N j ⎞
K ije = ∫ k ⎜ i
+
⎟dxdy
Ωe
∂y ∂y ⎠
⎝ ∂x ∂x
Qie = ∫ N i k
Γe
∂T
d Γ + ∫ N i q′′′dxdy
Ωe
∂n
(4.95)
(4.96)
100
O primeiro termo do lado direito da Eq. (4.96) será avaliado somente nos elementos
que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor
especificado. Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando
a contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial,
[ K ]{T } = {Q}
(4.97)
na qual, agora, a matriz [ K ] e o vetor {Q} conterão a contribuição de todos os elementos:
[ K ] = ∑ ⎡⎣ K e ⎤⎦ ; {Q} = ∑ {Qe }
Nelem
Nelem
e =1
e =1
(4.98)
O vetor {T } conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio.
A solução da equação (4.97) é feita após introdução dos valores conhecidos de
temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas
para solução de sistemas lineares esparsos.
No caso de condução num meio anisotrópico, a equação de condução ficaria na forma:
∂
∂xi
⎛ ∂T ⎞
⎜⎜ kij
⎟⎟ + q′′′ = 0
x
∂
j
⎝
⎠
(4.99)
Em tal caso, a matriz ⎡⎣ K e ⎤⎦ será definida na forma para um problema tridimensional:
K αβe
⎡ ∂Nα ∂N β
⎛ ∂N ∂N β ∂Nα ∂N β ⎞
∂Nα
+ k12 ⎜ α
+
⎢ k11
⎟ + k22
∂x ∂x
∂y ∂x ⎠
∂y
⎝ ∂x ∂y
⎢
⎢
⎛ ∂N ∂N β ∂Nα ∂N β ⎞
⎛ ∂Nα ∂N β ∂Nα
= ∫ ⎢ + k13 ⎜ α
+
+
⎟ + k23 ⎜
Ωe
∂z ∂x ⎠
∂z
⎢
⎝ ∂x ∂z
⎝ ∂y ∂z
⎢
⎢ + k ∂Nα ∂N β
⎢ 33 ∂z ∂z
⎣
⎤
+ ⎥
∂y
⎥
∂N β ⎞ ⎥
⎟ + ⎥dxdydz (4.100)
∂y ⎠ ⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
∂N β
O vetor do termo fonte ficará na forma
⎡⎛ ∂T
⎤
∂T
∂T ⎞
+ k12
+ k13
⎢⎜ k11
⎟ n1 + ⎥
∂y
∂z ⎠
⎢⎝ ∂x
⎥
⎢ ⎛ ∂T
⎥
∂T
∂T ⎞
⎥
Qαe = ∫ Nα ⎢ + ⎜ k21
n
+ k22
+ k23
+
⎟ 2 d Γ + ∫Ωe Nα q′′′dxdydz
Γe
∂x
∂y
∂z ⎠
⎢ ⎝
⎥
⎢
⎥
⎢ + ⎛ k ∂T + k ∂T + k ∂T ⎞ n ⎥
32
33
⎟ 3 ⎥
⎢⎣ ⎜⎝ 31 ∂x
∂y
∂z ⎠
⎦
(4.101)
Portanto, pode-se ver a vantagem de usar o método de elementos finitos neste
problema mais complexo.
101
4.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas
Qualquer que seja o método numérico empregado para solução de uma equação
diferencial parcial, o resultado final é a obtenção de um sistema algébrico de equações que
pode ser escrito na seguinte forma genérica:
AT = B
(4.102)
na qual A é a matriz de coeficientes que depende da geometria, das propriedades do material,
etc. T é o vetor de incógnitas das temperaturas em pontos do domínio que depende do
método de discretização. B é o vetor de termos fontes, etc.
Existem vários métodos de solução: diretos e iterativos que podem ser encontrados na
literatura.
4.4.1 Método de Inversão de Matriz
Trata-se de um método direto, mas nem sempre pode ser aplicado, por exemplo,
quando a matriz A depende de T , o que torna o problema não linear. Em essência o método
consiste em multiplicar pela esquerda a Eq. (4.102) pela inversa de A , ou seja, por A−1
A−1 AT = A−1 B ⇔ IT = A−1 B ⇔ T = A−1 B
(4.103)
A solução para T pode também ser escrita na forma:
T =C
(4.104)
C = A−1 B
(4.105)
em que
4.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel
i −1
Dado To fazer Ti( k ) = Ti( k −1 ) + ( bi − ∑ aijT j( k ) −
j =1
n
∑ aijT j( k −1 ) ) / aii , k = 1, 2, 3,.... (4.106).
j =i +1
Nesta equação o termo
i −1
n
j =1
j =i +1
∑ aijT j( k ) + ∑ aijT j( k −1 )
(4.107).
pode ser simplesmente implementado como
n
∑ aijTˆ j( k ) , onde Tˆ (k) = ( T1( k ) ,T2( k ) Ti(−1k ) ,Ti( k −1 ) Tn(−k1−1 ) ,Tn( k −1 ) )T
j =1
(4.108)
102
Portanto, basta manter o vetor T atualizado e utilizar esta informação assim que se torne
disponível. Abaixo apresenta-se o algoritmo baseado na equação (4.106)
Algoritmo - Método iterativo de Gauss-Seidel
Escolha um vetor inicial T(0), aproximante de T
Defina o número máximo de iterações, iMax
for k = 1:iMax
T(k-1) = T(k)
for i = 1:n
Calcule o resíduo: r(k)(i) = b(i) – A(i,:)T(k)(:)
T(k)(i) = T(k-1)(i) + r(i)/A(i,i)
end for
Calcule ||r(k)||
Calcule ||T(k) – T(k-1)||
Teste o critério de convergência, continue se necessário
end for
103
5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente
A condução transiente ocorre principalmente quando um sólido experimenta uma mudança repentina
em seu ambiente térmico, por exemplo, nos processos de tratamento térmico. Os métodos usados para se resolver
tais problemas englobam o modelo de capacitância concentrada ou o modelo de sólido semi-infinito,
transformada de Laplace, transformada integral, métodos numéricos (diferença finita, elemento finito, etc.) e
métodos aproximados. Alguns destes métodos serão vistos na seqüência.
5.1 O modelo da capacitância concentrada
A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura do sólido é
espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou seja, despreza-se o gradiente de
temperatura no interior do corpo. Sob determinadas condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser
aplicado. Normalmente, um processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do
sólido, mas dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A Figura 5.1 ilustra o
processo.
Figura 5.1 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido.
Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser alteradas por convecção,
radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração interna de energia. Assume-se que no instante t = 0 a
temperatura do sólido seja Ti diferente da temperatura do fluido T∞ e da temperatura da vizinha Tviz . Em parte
da superfície é imposto um fluxo q′′ e a geração interna é qg . Desprezando gradientes de temperatura no
interior do sólido, um balanço de energia fornece
q′′As ,h + qg − qc′′As ,c − qr′′As ,r = ρVc
dT
dt
(5.1)
Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (5.1) resulta a equação
(
)
q′′As ,h + qg − h (T − T∞ ) As ,c − εσ T 4 − Tviz4 As ,r = ρVc
dT
dt
A equação (5.2) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser rearranjada na forma
(5.2)
104
(
)
⎡
⎤
T 4 − Tviz4
dT
q′′As ,h + qg − ⎢ hAs ,c + εσ
As ,r ⎥ (T − T∞ ) = ρVc
dt
(T − T∞ )
⎢⎣
⎥⎦
ou definindo o excesso de temperatura,
(5.3)
θ = T − T∞ , resulta após algumas manipulações
⎛ q′′As ,h + qg
dθ he (θ ) As ,c
+
θ −⎜
dt
ρVc
⎝ ρVc
⎞
⎟=0
⎠
(5.4)
na qual
⎡
T 4 − Tviz4 ) As ,r ⎤
(
⎥
he (θ ) = ⎢ h + εσ
(T − T∞ ) As ,c ⎥⎦
⎢⎣
(5.5)
Definindo
a=
he As ,c
ρVc
q′′As ,h + qg
; b=
(5.6)
ρVc
a equação (5.4) pode ser reescrita como
dθ ( t )
dt
+ a ( t )θ ( t ) − b ( t ) = 0
(5.7)
com a condição inicial
θ ( 0 ) = θi
(5.8)
A solução da Eq. (5.7) com condição inicial (5.8) é da forma
(
)
(
θ ( t ) = θi exp − ∫ a ( t ′ ) dt ′ + exp − ∫ a ( t ′ ) dt ′
t
0
t
0
) ∫ b (t′) exp ( −∫ a (t′′) dt′′) dt′
t
t′
0
0
(5.9)
No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma geração interna
a=
hAs
, b=0
ρVc
(5.10)
Em tal caso, resulta a solução
⎛
hAs ⎞
t⎟
⎝ ρVc ⎠
θ ( t ) = θi exp ⎜ −
(5.11)
Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando o número de Biot que é
razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for
Bi =
hLc
< 0,1
k
(5.12)
5.2 O modelo do sólido semi-infinito
O modelo de capacitância concentrada se aplica quando a temperatura através do sólido tem
praticamente o mesmo valor, num período que é denominado regime posterior, quando
105
t >>
r02
α
T ≅ T (t )
(5.13)
na qual r0 é uma dimensão característica do corpo. No regime inicial, quando,
t <<
r02
α
T ≅ T ( r ,t )
(5.14)
o modelo de capacitância concentrada não é mais válido. Neste caso o modelo de sólido semi-infinito é mais
apropriado, Figura 5.5. Três casos são de interesse: temperatura constante no contorno, fluxo de calor constante
no contorno ou superfície em contato com um fluido.
Figura 5.2 – Modelo de sólido semi-infinito
5.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno
Considere o seguinte caso,
∂ 2T 1 ∂T
=
∂x 2 α ∂t
(5.15)
com as condições inicial e de contorno definidas com a seguir,
Condição inicial:
T = Ti em t = 0
(5.16)
Condições de contorno:
T = T∞ em x = 0
(5.17)
T → Ti em x → ∞
(5.18)
A solução das equações (5.15) por ser pelo uso de variável de similaridade, desta forma, define-se
η=
x
αt
(5.19)
106
Os termos da Eq. (5.15) podem ser transformados como
∂T dT ∂η dT 1
=
=
∂x dη ∂x dη α t
(5.20)
∂ 2T
d ⎛ ∂T ⎞ ∂η d 2T 1
=
=
⎜
⎟
∂x 2 dη ⎝ ∂x ⎠ ∂x dη 2 α t
(5.21)
∂T dT ∂η dT ⎛
x
⎞
=
=
−
⎜
3/ 2 ⎟
∂t dη ∂t dη ⎝ 2 α ⋅ t ⎠
(5.22)
Que substituídos em (5.15) leva à equação:
d 2T η dT
+
=0
dη 2 2 dη
(5.23)
Com as condições de contorno, agora, representadas por
T = T∞ em η = 0
(5.24)
T → Ti em η → ∞
(5.25)
A Eq. (5.23) pode ser rearranjada como
d (T ′ ) η
dT
= dη , T ′ =
T′
dη
2
(5.26)
Integrando duas vezes em η , a equação (5.26) leva ao seguinte resultado:
lnT ′ = −
η2
4
+ ln C1
⎛ η2 ⎞
dT
= C1 exp ⎜ − ⎟
dη
⎝ 4 ⎠
T = C1 ∫
η
0
na qual
β
⎡ ⎛ β ⎞2 ⎤
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ d β + C2
⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
(5.27)
(5.28)
(5.29)
é uma variável muda e de acordo com a equação (5.24), C2 = T∞ :
T − T∞ = C1 ∫
η
0
⎡ ⎛ β ⎞2 ⎤
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ d β
⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
(5.30)
O membro direito da Eq. (5.30) lembra a função erro, definida como
erf ( x ) =
2
π
1/ 2
∫
x
0
exp ( − m2 ) dm
(5.30)
Com as seguintes propriedades
erf ( 0 ) = 0 erf ( ∞ ) = 1
d
2
⎡⎣ erf ( x ) ⎤⎦ x =0 = 1 / 2 = 1,1284
dx
π
O lado direito da equação (5.30) pode ser reformulado como
(5.31a, b)
(5.32)
107
T − T∞ = 2C1 ∫
⎡ ⎛ β ⎞2 ⎤ ⎛ β ⎞
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ d ⎜ ⎟
⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎠
η
0
= 2C1 ∫
η/2
0
= 2C1
π
(
)
exp − m 2 dm
1/ 2
2
2 π
= C3erf (η / 2 )
1/ 2
∫
η/2
0
(
(5.33)
)
exp − m2 dm
Pela condição de contorno (5.25), C3 é determinada como, C3 = Ti − T∞ . A solução para T ( x,t )
fica na forma
T ( x,t ) − T∞
Ti − T∞
⎡
⎤
x
= erf ⎢
⎥
1/ 2
⎢⎣ 2 (α t ) ⎥⎦
(5.34)
A partir da equação (5.34) pode-se calcular o fluxo de calor por
Ti − T∞
⎛ ∂T ⎞
q′′ ( t ) = −k ⎜
⎟ = −k
1/ 2
⎝ ∂x ⎠ x =0
(πα t )
(5.35)
5.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno
Considere, agora, o caso em que a condição de contorno em x = 0 , seja fluxo e calor constante
especificado, ou seja, em lugar de (5.17) tem-se
−k
∂T
= q0′′ em x = 0
∂x
(5.36)
Definindo uma nova variável como
φ = −k
∂T
∂x
(5.37)
e introduzindo-a na eq. (5.15) resulta
∂ 2φ 1 ∂φ
=
∂x 2 α ∂t
(5.38)
As condições inicial e de contorno ficam na forma para a variável
φ =0
φ
em t = 0
(5.39)
φ = q0′′
em x = 0
(5.40a)
φ →0
em x → ∞
(5.40b)
De acordo com o item 5.5.1, a solução de (5.38) é da forma
⎛
⎞
⎟ + C2
⎝ 2 αt ⎠
φ = C1erf ⎜
x
Usando as condições de contorno (5.40a, b) obtém-se C1 = − q0′′ e C2 = q0′′ , e, portanto,
(5.41)
108
⎡
⎞⎤
⎛ x ⎞
⎟ ⎥ = q0′′erfc ⎜
⎟
⎝ 2 α t ⎠⎦
⎝ 2 αt ⎠
⎛
φ = q0′′ ⎢1 − erf ⎜
⎣
x
(5.42)
Substituindo (5.42) em (5.37) resulta
q′′
∂T
⎛ x ⎞
= − 0 erfc ⎜
⎟
k
∂x
⎝ 2 αt ⎠
(5.43)
que integrada leva ao resultado
T =−
q0′′ ∞
⎛ x
erfc ⎜
∫
k x
⎝ 2 αt
⎞
⎟dx + C
⎠
(5.44)
Após integração por partes da integral na eq, (5.44) obtém-se e determinado a constante C obtém-se a solução
para T ( x,t ) na forma
⎛ x 2 ⎞ q0′′x
2q0′′ ⎛ α t ⎞
⎛ x ⎞
T ( x,t ) − Ti =
erfc ⎜
⎜⎜
⎟⎟ exp ⎜ −
⎟−
⎟
k ⎝ π ⎠
⎝ 2 αt ⎠
⎝ 4α t ⎠ k
(5.45)
A partir de (5.45) pode-se obter a temperatura na face x = 0 como
T0 = Ti +
2q0′′ ⎛ α t ⎞
⎜
⎟
k ⎜⎝ π ⎟⎠
(5.46)
5.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido
Neste caso a condição de contorno em x = 0 é imposta na forma
−k
∂T
= h (T∞ − T ) em x = 0
∂x
(5.47)
Por procedimentos similares aos dos casos anteriores chega-se á solução na forma:
T ( x,t ) − T∞
Ti − T∞
⎛ x
= e rf ⎜
⎝ 2 αt
⎛ x
⎛ hx h 2α t ⎞
h αt ⎞
⎞
+
+
exp
⎟
⎜ + 2 ⎟ erfc ⎜⎜
⎟
k ⎠
k ⎠⎟
⎠
⎝ k
⎝ 2 αt
(5.48)
5.3 Condução unidimensional
O interesse em soluções unidimensionais transientes é que elas serão usadas, posteriormente, nas
soluções multidimensionais.
5.3.1 Placa de espessura constante
109
Considere o caso de uma placa de espessura 2 L e temperatura inicial Ti , cujos lados são
repentinamente expostos a um meio convectivo de temperatura T∞ e coeficiente h . Definindo o excesso de
temperatura
θ ( x,t ) = T ( x,t ) − T∞ , resulta o conjunto de equações para solução do problema:
- equação de condução
∂ 2θ 1 ∂θ
=
∂x 2 α ∂t
(5.49)
- condição inicial
θ = θi
em t = 0
(5.50)
- condições de contorno
∂θ
= 0 em x = 0
∂x
−k
(5.51)
∂θ
= hθ em x = L
∂x
Pelo procedimento de separação de variáveis, adotando
(5.52)
θ ( x,t ) = X ( x )τ ( t ) , obtém-se
d2X
+ λ2x = 0
dx 2
(5.53)
dX
= 0 em x = 0
dx
(5.54)
dX h
+ X = 0 em x = L
dx k
(5.55)
dτ
τ
= −αλ 2 dt
(5.56)
A solução de (5.53) a (5.55) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2, sendo da forma:
x⎞
⎛
X = cos ⎜ λm L ⎟
L⎠
⎝
(5.57)
A solução de (5.56) é do tipo:
τ = C exp ( −αλ 2t )
Portanto, a solução de
θ
(5.58)
será da forma:
∞
θ ( x,t ) = ∑ Cm cos ( λm x ) exp ( −αλm2 t )
(5.59)
m =1
Aplicando a condição inicial obtém-se
∞
θi = ∑ Cm cos ( λm x )
m =1
(5.60)
110
∫
Operando ambos os da eq. (5.60) por
L
0
cos ( λn x ) dx e usando a condição de ortogonalidade das autofunções
θi ∫ cos ( λm x ) dx = Cm ∫ cos 2 ( λm x ) dx
L
L
0
(5.61)
0
Após efetuar as integrações em (5.61) chega à expressão da constante:
Cm =
2θi sen ( λm L )
(5.62)
λm L + sen ( λm L ) cos ( λm L )
A substituição de (5.62) em (5.59) leva à solução para a temperatura na forma:
θ ( x,t ) T ( x,t ) − T∞
=
θi
Ti − T∞
sen ( am )
αt ⎞
⎛ x⎞
⎛
= 2∑
cos ⎜ am ⎟ exp ⎜ − am2 2 ⎟
L ⎠
⎝ L⎠
⎝
m =1 am + sen ( am ) cos ( am )
∞
(5.63)
na qual
amtg ( am ) =
hL
, am = λm L
k
Na forma adimensional
(5.64)
T − T∞
, a temperatura depende de três grupos adimensionais:
Ti − T∞
x
αt
hL
, Fo = 2 , Bi =
L
L
k
(5.65)
na qual Fo e Bi são os números de Fourier e de Biot respectivamente.
A temperatura no plano médio da placa pode ser calculada fazendo x = 0 na eq. (5.63), resultando
∞
sen ( am )
Tc − T∞
exp − am2 Fo
= 2∑
Ti − T∞
a
sen
a
cos
a
+
( m) ( m)
m =1 m
(
)
(5.66)
A temperatura em qualquer outro plano da placa pode ser calculada na forma:
T ( x,t ) − T∞
Ti − T∞
⎡ T ( x,t ) − T∞ ⎤ ⎡ Tc ( t ) − T∞ ⎤
=⎢
⎥×⎢
⎥
⎣⎢ Tc ( t ) − T∞ ⎦⎥ ⎣ Ti − T∞ ⎦
(5.67)
É comum graficar os termos entre colchetes na eq. (5.67) em função do número de Fourier tendo o número de
Biot como um parâmetro para facilitar estimativas rápidas da temperatura.
A taxa total de transferência de calor é de interesse. Considerando apenas metade da placa, a máxima
taxa de transferência de calor num intervalo 0 − t é calculada por
Qi = ρWHLc (Ti − T∞ )
(5.68)
na qual W e H são a largura e altura da placa respectivamente frontal á transferência de calor.
A taxa de calor real num intervalo 0 − t é sempre menor do que o máximo e pode ser calculada como
Q ( t ) = WH ∫ q′′dt
t
0
na qual
(5.69)
111
⎛ ∂T ⎞
q′′ = − k ⎜
⎟
⎝ ∂x ⎠ x = L
(5.70)
Normalmente se gráfica Q ( t ) / Qi em função de
Bi 2 Fo .
5.3.2 Cilindro longo
No caso de um cilindro longo, as equações governantes ficam na forma:
∂ 2θ 1 ∂θ 1 ∂θ
+
=
∂r 2 r ∂r α ∂t
(5.71)
θ = θi
em t = 0
(5.72)
∂θ
= 0 em r = 0
∂r
−k
(5.73)
∂θ
= hθ em r = ro
∂r
(5.74)
A separação de variáveis agora é proposta como
θ ( r,t ) = R ( r )τ ( t ) , que resulta em
d 2 R 1 dR
+
+ λ2R = 0
dr 2 r dr
(5.75)
dR
= 0 em r = 0
dr
(5.76)
dR h
+ R = 0 em r = ro (raio externo)
dr k
(5.77)
A equação na variável tempo é idêntica à do caso do item 5.3.1. A solução geral da eq. (5.75) é do tipo:
R = C1 J 0 ( λ r ) + C2Y0 ( λ r )
(5.78)
na qual J 0 e Y0 são funções de Bessel de ordem zero do primeiro e segundo tipos respectivamente.
O valor finito da temperatura no centro do cilindro requer que C2 = 0 . A solução final para a
temperatura será da forma:
T ( r,t ) − T∞
Ti − T∞
∞
=∑
n =1
(
⎛ r⎞
2 Bi
J 0 ⎜ bn ⎟ exp −bn2 Fo
2
b + Bi J 0 ( bn ) ⎝ ro ⎠
2
n
)
(
)
(5.79)
Na qual os números de Fourier e Biot são definidos como
Fo =
αt
2
o
r
, Bi =
hro
k
(5.80)
112
e os autovalores bn = λn ro sã as raízes da equação transcendental:
bn J1 ( bn ) − BiJ 0 ( bn ) = 0
(5.81)
5.3.3 Esfera
No caso de uma esfera, as equações governantes ficam na forma:
∂ 2θ 2 ∂θ 1 ∂θ
+
=
∂r 2 r ∂r α ∂t
(5.82)
θ = θi
em t = 0
(5.83)
∂θ
= 0 em r = 0
∂r
−k
(5.84)
∂θ
= hθ em r = ro
∂r
Definindo uma nova variável
(5.85)
φ = rθ
obtém-se um novo conjunto de equações na forma:
∂ 2φ 1 ∂φ
=
∂r 2 α ∂t
(5.86)
φ = rθi
em t = 0
(5.87)
φ =0
em r = 0
(5.88)
∂φ ⎛ h 1 ⎞
+ ⎜ − ⎟ φ = 0 em r = ro
∂r ⎝ k ro ⎠
(5.89)
As equações (5.86), (5.88) e (5.89), após separação de variáveis, correspondem ao caso 7 da Tabela 4.2
e, portanto, a solução é do tipo:
∞
φ = ∑ Cm sen ( λm r ) exp ( −αλm2 t )
(5.90)
m =1
na qual
⎛ hro ⎞
− 1⎟
⎝ k
⎠
λm r0 ctg ( λm ro ) = − ⎜
Aplicando a condição inicial obtém-se
(5.91)
113
∞
rθi = ∑ Cm sen ( λm r )
(5.92)
m =1
Operando ambos os da eq. (5.92) por
∫
r0
0
cos ( λn r ) dr e usando a condição de ortogonalidade das autofunções
θ i ∫ r s en ( λm r ) dr = Cm ∫ s en 2 ( λm r ) dr
r0
r0
0
0
(5.93)
Após efetuar as integrações em (5.89) chega à expressão da constante:
Cm =
2θi ⎡⎣ sen ( λm r0 ) − λm r0 cos ( λm r0 ) ⎤⎦
λm ⎡⎣λm r0 − sen ( λm r0 ) cos ( λm r0 )⎤⎦
(5.94)
A substituição de (5.94) em (5.90) leva à solução para a temperatura na forma:
∞
s en ( sm r / r0 )
m =1
sm r / r0
θ = 2θi ∑ K m
exp ( − sm2 Fo )
(5.95)
na qual
2 ⎡ sen ( sm ) − sm cos ( sm ) ⎤⎦
Km = ⎣
sm − sen ( sm ) cos ( sm )
(5.96)
sm ctg ( sm ) = 1 − Bi, sm = λm r0
(5.97)
Fo =
αt
2
o
r
, Bi =
hro
k
(5.98)
Tanto no caso do cilindro quanto da esfera são apresentados resultados similares ao caso da placa de
espessura finita.
5.4 Condução multidimensional
Os resultados do item 5.3 podem ser usados para se determinar o campo de temperatura em condução
multidimensional como será ilustrado a seguir. Considere o caso em que se deseja determinar a distribuição de
temperatura numa barra retangular 2 L × 2 H .
Como ilustrado na Figura 5.3, a distribuição de temperatura numa barra imersa num fluido pode ser
determinada como o produto da solução da placa vertical pela solução da placa horizontal. A equação original é
da forma
∂ 2θ ∂ 2θ 1 ∂θ
+
=
∂x 2 ∂y 2 α ∂t
(5.99)
Supondo uma solução na forma
θ ( x,t, y ) = θ L ( x,t ) × θ H ( y,t )
(5.100)
Derivando (5.100) duas vezes em relação a x e y, uma vez em relação ao tempo e substituindo em (5.99), podese verificar que ela é automaticamente satisfeita
114
⎛ ∂ 2θ L 1 ∂θ L
⎜ 2 −
α ∂t
⎝ ∂x
⎞
⎛ ∂ 2θ H 1 ∂θ H
θ
+
−
⎟ H ⎜
2
α ∂t
⎠
⎝ ∂y
⎞
⎟θ L = 0
⎠
(5.101)
Ambos os termos entre parênteses são nulos o que mostra que a solução produto satisfaz a equação original.
A solução (5.100) é respeitada apenas se a temperatura inicial também satisfaça
θi = θi ,L × θi ,H
(5.102)
Dividindo (5.100) por (5.102) membro a membro, pode-se verificar que a temperatura adimensional da barra
também é o produto das temperaturas adimensionais das placas, ou seja,
⎡ θ ( x, y,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
⎡ θ ( y,t ) ⎤
=⎢
×⎢
⎢
⎥
⎥
⎥
θi ⎦ placa ,
θ i ⎦ placa ,
,
⎣ θi
⎦ barra
⎣
⎣
2 L× 2 H
L = metade da espessura
H = metade da espessura
(5.103)
Bejan (1993) mostra que a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como
Q (t )
Qi
⎛Q⎞ ⎛Q⎞
⎛Q⎞ ⎛Q⎞
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H ⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H
(5.103)
115
Figura 5.3 Produto de soluções unidimensionais
Outras soluções para outras geometrias podem ser obtidas da mesma maneira. Considere o caso de um
cilindro curto de comprimento 2 L e raio externo ro , como ilustrado na Figura 5.4.
116
Figura 5.4 – Determinação da temperatura dependente do tempo num cilindro curto.
A solução para este caso fica na forma
⎡ θ ( r,x,t ) ⎤
⎡ θ ( r,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
=⎢
×⎢
⎢
⎥ cilindro curto ,
⎥
⎥
θi ⎦ placa ,
longo , ⎣
⎣ θi
⎦ L = metade do comprimento ⎣ θi ⎦ cilindro
r = raio
ro = raio
(5.104)
o
Os casos da placa semi-infinita e de um cilindro semi-infinito podem ser obtidos como ilustrado na
Figura 5.5.
Figura 5.5 – Determinação da temperatura dependente do tempo numa placa e num cilindro semi-infinitos.
A solução da placa semi-infinita é o produto da solução da placa de espessura finita pela solução do
sólido semi-infinito (item 5.5.3) e fica na forma
117
⎡ θ ( x, y,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
⎡ θ ( y,t ) ⎤
=⎢
×⎢
⎢
⎥
⎥
⎥
θ i ⎦ placa infinita ,
θ i ⎦ meio semi-infinito ,
semi −inf inita ,
⎣ θi
⎦ Lplaca
⎣
⎣
y = normal a superficie
= metadade espessura
(5.105)
No caso do cilindro semi-infinito, a solução é da forma
⎡ θ ( r,x,t ) ⎤
⎡ θ ( r,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
=⎢
×⎢
⎢
⎥
⎥
⎥
θ i ⎦ cilindro infinito , ⎣ θi ⎦ meio semi-infinito ,
semi − infinito ,
⎣ θi
⎦ cilindro
⎣
r = raio
r = raio
x = normal a superficie
o
(5.106)
o
O calculo da taxa total de transferência de calor é feito nos casos das equações (5.104) a (5.106) por
uma equação similar à eq. (5.103)
Finalmente, no caso de um paralelepípedo, como ilustrado na Figura 5.6, a solução tridimensional pode
ser obtida como
⎡ θ ( x, y,z,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
=⎢
⎢
⎥
⎥
θi
θi ⎦ placa ,
,
⎣
⎦ barra
⎣
2 L× 2 H
⎡ θ ( y,t ) ⎤
×⎢
⎥
,
⎣ θi ⎦ Hplaca
= metade da espessura
(5.107)
⎡ θ ( z,t ) ⎤
×⎢
⎥
,
⎣ θi ⎦Wplaca
= metade da espessura
5.6 - Determinação da temperatura dependente do tempo num paralelepípedo imerso num fluido.
A taxa total de transferência de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993) é calculada como
Q (t )
Qi
⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ L ⎦⎥ ⎝ Qi ⎠W ⎣⎢ ⎝ Qi ⎠ L ⎦⎥ ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ H ⎦⎥
(5.108)
5.5 Fontes e sumidouros concentrados
Neste item consideram-se casos de condução dependente do tempo em que o aspecto principal é a
geração (ou absorção) de calor em uma região muito pequena – uma região concentrada- do meio condutor.
Quando calor é liberado no meio a partir desta pequena região, o processo será de condução transiente na
118
vizinhança de uma fonte de calor. Exemplos incluem fissuras cheias de vapor geotérmico, explosões
subterrâneas, containeres de lixo nuclear ou químico, cabos elétricos enterrados no subsolo.
Quando a pequena região recebe calor do meio infinito, a região funciona como um sumidouro
concentrado de calor. Um exemplo é o caso de um duto enterrado de um trocador de calor através do qual uma
bomba de calor recebe calor do meio ambiente (solo) a fim de aumentá-lo e depositá-lo num edifício.
5.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos
Considere, primeiramente, a direção x através de um meio infinito com propriedades constantes
( k ,α , ρ ,c ) ,
Figura 5.7. A equação de condução na direção x , para o excesso de temperatura
θ ( x,t ) = T ( x,t ) − T∞
é:
∂ 2θ 1 ∂θ
=
∂x 2 α ∂t
(5.109)
Uma solução que satisfaz (5.109) pode ser do tipo:
θ ( x,t ) =
⎛ x2 ⎞
exp ⎜ −
⎟
αt
⎝ 4α t ⎠
K
(5.110)
na qual K é uma constante.
Integrando a eq. (5.110) resulta
∫
∞
−∞
θ ( x,t ) dx = ∫
∞
−∞
⎛ x2 ⎞
exp ⎜ −
⎟ dx
αt
⎝ 4α t ⎠
K
(5.111)
Após um rearranjo a eq. (5.111) pode ser escrita como
⎧⎪ 2 −∞
⎡ ⎛ η ⎞2 ⎤ ⎛ dη ⎞
2
∫−∞ θ ( x,t ) dx = Kπ ⎨− π 1/ 2 ∫0 exp ⎢⎢− ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥⎥ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ + π 1/ 2
⎪⎩
⎣
⎦
1/ 2
=K π ⎡⎣ −erf ( −∞ ) + erf ( ∞ ) ⎤⎦
∞
1/ 2
∫
=K π 1 / 2 ⎡⎣ − ⎡⎣ −erf ( ∞ ) ⎤⎦ + erf ( ∞ ) ⎤⎦
=K π 1 / 2 2erf ( ∞ )
∞
0
⎡ ⎛ η ⎞ 2 ⎤ ⎛ dη ⎞ ⎫⎪
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎜
⎟⎬
⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎪⎭
(5.112)
=2π 1 / 2 K
A integral do lado esquerdo da eq. (5.112) é proporcional ao inventário de energia interna do de meio inteiro:
∫
∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
ρ ( u − u∞ ) Adx = ∫ ρ c (T − T∞ ) Adx = ρ cA∫ θ dx
(5.113)
na qual A é a grande área do plano normal à direção x . Mas
∫
∞
−∞
ρ ( u − u∞ ) Adx = Q
(5.114)
é depósito de calor no plano x = 0 no instante de tempo t = 0 . Combinando as equações (5.112) a (5.114)
obrem-se
119
K=
na qual
Q′′
(5.115)
2π 1 / 2 ρ c
Q′′ = Q / A é o “poder” da fonte plana instantânea. Assim, o excesso de temperatura na vizinhança do
plano x = 0 em que Q′′ é liberado no instante t = 0 é
⎛ x2 ⎞
Q′′
exp ⎜ −
⎟
2 ρ c πα t
⎝ 4α t ⎠
θ ( x,t ) =
(fonte plana instantânea)
(5.116)
Figura 5.7 – Distribuição de temperatura na vizinhança de uma fonte de calor instantânea.
Fórmulas similares podem ser obtidas para fontes no formato de linha ou fontes pontuais. Em tais casos
tem-se
θ ( r,t ) =
θ ( r,t ) =
⎛ r2 ⎞
Q′
exp ⎜ −
⎟
4 ρ cπα t
⎝ 4α t ⎠
Q
8ρ c (πα t )
3/ 2
(fonte linha instantânea)
⎛ r2 ⎞
exp ⎜ −
⎟
⎝ 4α t ⎠
(fonte ponto instantânea)
(5.117)
(5.118)
5.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos)
A distribuição de temperatura dependente do tempo e o processo de condução que são induzidos por
fontes que persistem no tempo podem ser determinados analiticamente pela superposição de efeitos de um
grande número de fontes instantâneas.
Assuma o caso, novamente, o caso da fonte plana, eq. (5.116), só que no instante t = 0 e no plano
x = 0 , a magnitude da fonte seja Q0′′ . Então, pela eq. (5.116) tem-se a distribuição de temperatura
θ 0 ( x,t ) =
⎛ x2 ⎞
Q0′′
exp ⎜ −
⎟
2 ρ c πα t
⎝ 4α t ⎠
(5.119)
120
Assuma também que no instante t = t1 , o plano x = 0 recebe uma nova fonte, Q1′′ . Se esta nova fonte
ocorrer só, ou seja, sem a presença de Q0′′ , então a variação de temperatura provocada por Q1′′ poderia ser
escrito na forma
⎡
⎤
x2
exp ⎢ −
⎥
2 ρ c πα ( t − t1 )
⎢⎣ 4α ( t − t1 ) ⎥⎦
Q1′′
θ1 ( x,t ) =
(5.120)
na qual, agora, t − t1 conta o tempo decorrido após a liberação de Q1′′ .
Se Q1′′ ocorrer na presença da temperatura criada por Q0′′ no instante t = 0 , então, a distribuição de
temperatura após t = t1 é simplesmente a soma de
θ 0 ( x, t ) e θ1 ( x, t ) . Ou seja, para t > 0
pode-se escrever
⎧⎪θ 0 ( x, t )
0 < t < t1
θ ( x, t ) = ⎨
t1 < t
⎪⎩θ 0 ( x, t ) + θ1 ( x, t )
Pode ser mostrado que
θ = θ 0 + θ1
(5.121)
satisfaz a eq. (5.109).
Outras entradas podem ser adicionadas à eq. (5.121) se fontes adicionais de dimensão Qi′′ forem
depositadas em tempos ti na fonte plana x = 0 . Por exemplo, após o tempo t = tn (isto é, após n + 1
depósitos), a distribuição de temperatura é dada por
θ ( x, t ) = θ 0 + θ1 + θ 2 +
+ θn
(5.122)
Uma fonte contínua no plano x = 0 em o mesmo efeito que uma seqüência de um grande número de
pequenas fontes planas instantâneas de igual tamanho:
ΔQ′′ = q′′Δt
(
na qual q′′ W / m
2
)
(5.123)
é o depósito de calor por unidade de área e tempo, e Δt é a curta duração de cada
depósito (tiro). Quando Δt se torna infinitesimalmente pequeno, a soma na eq. (5.122) é substituída por uma
integral
θ ( x, t ) = ∫ θi dτ
t
0
⎡
⎤
x2
exp ⎢ −
=∫
⎥ dτ
0
2 ρ c πα ( t − τ )
⎣⎢ 4α ( t − τ ) ⎦⎥
t
q′′
No integrando, a variável muda
τ
(5.124)
marca o tempo quando cada adicional fonte q′′dτ entra em ação.
Quando a integral (5.124) é avaliada o resultado é a distribuição de temperatura próxima ao plano x = 0 em que
fontes contínuas q′′ são ligadas no tempo t = 0 :
⎛ x ⎞
⎛ x 2 ⎞ q′′ x
q′′ ⎛ t ⎞
erfc ⎜
θ ( x,t ) =
⎜⎜
⎟⎟ exp ⎜ −
⎟ (fonte plana contínua)
⎟−
ρ c ⎝ πα ⎠
⎝ 4α t ⎠ 2k
⎝ 2 αt ⎠
No plano x = 0 tem-se
(5.125)
121
θ ( 0,t ) =
1/ 2
q′′ ⎛ t ⎞
ρ c ⎜⎝ πα ⎟⎠
(5.126)
o que mostra que mesmo que a fonte plana persista em nível constante q′′ , a temperatura na fonte plana e no
meio aumenta quando o tempo t cresce.
As distribuições de temperatura também podem ser obtidas de forma similar para fontes linhas e
pontuais contínuas. No caso de fontes linhas, pela eq. (5.117) pode obter
θ ( r,t ) =
q′
4π k
e−u
∫r 2 / 4α t u du
∞
(fonte linha contínua)
(5.127)
Em um tempo suficientemente longo e/ou para distâncias radiais pequenas, onde o grupo r / 4α t é menor do
2
que 1, a distribuição de temperatura se aproxima por
θ ( r, t ) ≅
q′
4π k
⎡ ⎛ 4α t ⎞
⎤
⎢ ln ⎜ r 2 ⎟ − 0,5772 ⎥
⎠
⎣ ⎝
⎦
⎛ r2 ⎞
⎜
⎟ << 1
⎝ 4α t ⎠
(5.128)
O efeito de uma fonte pontual contínua pode ser determinado pela superposição de um grande número
de fontes pontuais instantâneas de igual tamanho:
⎛
q
r2 ⎞
e rfc ⎜ −
θ ( r,t ) =
⎟
4π kr
⎝ 2 αt ⎠
(fonte pontual contínua)
(5.129)
Lembrando que erfc ( 0 ) = 1 , pode-se concluir que na medida em que o tempo cresce e o argumento
1/ 2
r / ⎡ 2 (α t ) ⎤ se torna consideravelmente menor do que 1, a distribuição de temperatura se estabiliza no nível
⎣
⎦
θ ( r,∞ ) =
q
4π kr
(5.130)
As mesmas fórmulas e equações se aplicam para o caso de sumidouros instantâneos e contínuos, pela
simples troca dos sinais de ( Q′′, Q′, Q, q′′, q′, q ) nas respectivas equações.
5.5.3 Fontes de calor móveis
Uma característica das fontes e sumidouros móveis é a simetria das isotermas em torno do local da
fonte. Agora, considera o caso de fontes que se movem em relação ao meio condutivo com velocidade constante,
como ilustrado na Figura 5.8, a qual pode representar um processo de soldagem de duas chapas. Após um longo
período de tempo, pode-se escrever as equações governantes para essa fonte linha como
∂T
∂ 2T
=α 2
U
∂x
∂y
(5.131)
T = T∞ em y = ±∞
(5.132)
∞
q′ = ∫ ρ cU (T − T∞ ) dy
−∞
(5.133)
122
Figura 5.8 – Fonte móvel
A solução do problema (5.131) a (5.133) pode ser obtida definindo as variáveis
T ( x, y ) − T∞ =
q′ / ρ c
(U α x )
1/ 2
θ (η )
(5.134)
1/ 2
⎛U ⎞
η = y⎜ ⎟
⎝αx ⎠
(5.135)
as quais substituídas em (5.131) a (5.133) resulta
d 2θ η dθ 1
+
+ θ =0
dη 2 2 dη 2
θ =0
∫
∞
−∞
em η = ±∞
θ dη = 1
(5.136)
(5.137)
(5.138)
A solução de (5.136) que satisfaz (1.236) e (5.137) deve ser do tipo
θ = Ce−η
2
/4
(5.139)
a qual substituída em (5.138) leva ao resultado para a constante C
∞
C ∫ e −η / 4 dη = 1
2
−∞
⎡ ∞ −⎛⎜ η ⎞⎟ ⎛ η ⎞ ⎤
2C ⎢ ∫ e ⎝ 2 ⎠ d ⎜ ⎟ ⎥ = 1
⎢ −∞
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
2
2
⎡ 0 −⎛⎜ η ⎞⎟ ⎛ η ⎞ ∞ −⎛⎜ η ⎞⎟ ⎛ η ⎞ ⎤
2⎠
2⎠
⎝
⎝
d⎜ ⎟+∫ e
d ⎜ ⎟⎥ = 1
2C ⎢ ∫ e
2⎠ 0
⎢ −∞
⎝
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
2
2
⎛η ⎞
⎛η ⎞
π 1/ 2 ⎡ 2 −∞ −⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎛ η ⎞ 2 ∞ −⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎛ η ⎞ ⎤
⎢−
2C
e
d ⎜ ⎟ + 1/ 2 ∫ e
d ⎜ ⎟⎥ = 1
0
2 ⎢ π 1/ 2 ∫0
2⎠ π
⎝
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
Cπ 1/ 2 ⎡⎣ −erf ( −∞ ) + erf ( ∞ ) ⎤⎦ = 1
2
Cπ 1/ 2 2erf ( ∞ ) = 1
C = 1/ π 1/ 2 2
A solução para
θ
será, portanto, da forma
(5.140)
123
2
e −η / 4
θ = 1/ 2
2π
(5.141)
que substituída em (5.134) juntamente com (5.135) leva ao resultado para a distribuição de temperatura:
T ( x, y ) − T∞ =
q′ / ρ c
( 4π U α x )
1/ 2
⎛ Uy 2 ⎞
exp ⎜ −
⎟
⎝ 4α x ⎠
(5.142)
No caso de uma fonte pontual contínua, de forma similar pode-se obter a distribuição de temperatura
como
⎛ Ur 2 ⎞
q / ρc
T ( x, r ) − T∞ =
exp ⎜ −
⎟
4πα x
⎝ 4α x ⎠
(5.143)
5.6 Solidificação e fusão
Os problemas de transferência de calor com mudança de fase envolvem um movimento de fronteira cuja
posição deve ser determinada como parte da solução. Os casos considerados aqui são de fusão e solidificação.
5.6.1 Solidificação e fusão unidimensional
A Figura 5.9 ilustra os casos de fusão e solidificação unidimensional de um material.
Figura 5.9 – Processos de fusão e solidificação
A Figura 5.10 ilustra o movimento da fronteira e balanço de energia na mudança de fase. Considerando
um volume de controle em torno da fronteira móvel tem-se pela primeira lei da termodinâmica
dδ
⎛
⎜ρA
dt
⎝
⎞
⎟ hl
⎠
dδ
⎛
−⎜ρA
dt
⎝
⎞
⎛ ∂T ⎞
em x = δ ( t )
⎟ hs = − kl A ⎜
⎟
⎠
⎝ ∂x ⎠ x =δ ,lado liquido
(5.144)
124
na qual A , hl hs são a entalpia são a área frontal do volume de controle, a entalpia específica do líquido e a
entalpia específica do sólido respectivamente. O termo do lado direito de (5.144) representa a transferência de
calor que chega de cima, isto é, do lado líquido da frente de fusão. Não foi considerado nenhum termo de
transferência de calor do lado do sólido da frente de fusão, pois o sólido foi considerado isotérmico. O
coeficiente kl é, portanto, a condutividade térmica do líquido.
Figura 5.10 – Fusão de um sólido semi-infinito
O cálculo da frente de fusão requer a determinação dos campos de temperatura. Uma solução simples é
baseada na observação de que bem no início do processo, quando a camada de fusão é bem fina, a distribuição
de temperatura é linear:
T ( x,t ) − Tm
T0 − Tm
≅ 1−
x
δ (t )
(5.145)
da qual se obtém
∂T ( x,t )
∂x
≅−
T0 − Tm
δ (t )
(5.146)
Substituindo (5.146) em (5.144) resulta uma equação para determinar
δ
δ
:
dδ
k
≅ l (T0 − Tm )
dt ρ hsl
(5.147)
cuja solução é
1/ 2
⎡ kt
⎤
δ ( t ) ≅ ⎢ 2 l (T0 − Tm ) ⎥
⎣ ρ hsl
⎦
(5.148)
em que hsl = hl − hs é o calor latente de fusão do material.
De acordo com Bejan (1993) uma solução exata foi obtida por Stefan e é da forma:
π 1 / 2 λ exp ( λ 2 ) erf ( λ ) =
c (T0 − Tm )
na qual c é o calor específico do líquido e
hsl
λ
é um número adimensional definido como
(5.149)
125
λ=
δ
1/ 2
2 (α t )
(5.150)
O grupo aparecendo do lado direito da eq. (5.149) é denominado por número de Stefan:
Ste =
c (T0 − Tm )
(5.151)
hsl
No caso em que há troca de calor tanto no líquido quanto no sólido como ilustrado nos processos de
solidificação e fusão da Figura 5.11, a equação na interface fica na forma
ks
dδ ( t )
∂Ts
∂T
− kl l = ρ hsl
em x = δ ( t )
∂x
∂x
dt
(5.152)
Se do lado líquido predominar um processo de troca convectiva com coeficiente de troca de calor convectivo h ,
a equação na interface fica na forma
ks
dδ ( t )
∂Ts
− h (T∞ − Tm ) = ρ hsl
em x = δ ( t )
∂x
dt
(5.153)
Figura 5.11 Processo de mudança de fase: (a) solidificação; (b) fusão
Se as densidades do líquido e do sólido forem diferentes, com
ρ s > ρl
e considerando movimento do
líquido pelos efeitos volumétricos, a equação na interface fica como
ks
∂Ts
∂T
− kl l = ( ρl hl − ρ s hs ) Vx − ρl hV
l l em x = δ ( t )
∂x
∂x
(5.154)
na qual Vl é a velocidade do líquido pelos efeitos volumétricos e a velocidade da fronteira é
Vx =
dδ ( t )
dt
(5.155)
Um balanço de massa na fronteira leva ao resultado
( ρl − ρ s )Vx = ρlVl
da qual se obtém
(5.156)
126
Vl =
( ρl − ρ s )Vx
(5.157)
ρl
Substituindo (5.157) em (5.154) obtém-se na interface
ks
∂Ts
∂T
− kl l = ρ s ( hl − hs ) Vx = ρ s hslVx em x = δ ( t )
∂x
∂x
(5.158)
que é idêntica à eq. (5.152), exceto com a massa específica do sólido no lugar da massa específica constante.
5.6.2 Solidificação e fusão multidimensional
No caso de um processo de fusão ou solidificação tridimensional, a frente de mudança de fase será uma
superfície no espaço como ilustrado Figura 5.12 dada pela função F ( x, y,z,t ) = 0 .
Figura 5.12 – Solidificação em três dimensões.
Para um movimento da fronteira na direção da normal n , o balanço de energia na fronteira leva à
equação
ks
∂Ts
∂T
− kl l = ρ ( hl − hs )Vn em F ( x, y,z,t ) = 0
∂n
∂n
(5.159)
Uma forma explícita de escrever a função que representa a superfície de mudança de fase é:
F ( x, y , z , t ) ≡ z − s ( x, y , t ) = 0
(5.160)
O vetor normal à superfície pode ser calculado como
n=
A superfície
∇F
(5.161)
∇F
F está na temperatura de mudança de fase e, portanto, ela é uma superfície isotérmica;
conseqüentemente, ∇T é normal a esta superfície, daí,
n=
∇F
∇F
=
∇Ti
∇Ti
, i = s ou l
A partir de (5.162) pode-se obter que
(5.162)
127
∂Ti
∇T i∇F
= ∇Ti in = i
, i = s ou l
∂n
∇F
Vn = V in =
(5.163)
V i∇F
(5.164)
∇F
A derivada total de (5.160) é:
∂F
∂F
∂F
∂F
dt +
dx +
dy +
dz = 0
∂t
∂x
∂y
∂z
(5.165)
da qual se obtém
∂F dx ∂F dy ∂F dz
∂F
+
+
=−
∂x dt ∂y dt ∂z dt
∂t
∂F
V i∇F = −
∂t
Vn = V in =
(5.166)
−∂F / ∂t
(5.167)
∇F
Também se pode demonstrar que
∂F
∂s
=− ,
∂x
∂x
∂F
∂s
=− ,
∂y
∂y
∂F
= 1,
∂z
∂F
∂s
=−
∂t
∂t
(5.168)
2
2
∂Ti ⎡ ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ⎤
∇Ti i∇F =
⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
∂z ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥
⎣
⎦
(5.169)
2
2
∂Ti ∂Ti ⎡ ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ⎤
=
⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ / ∇F
∂n ∂z ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥
⎣
⎦
(5.170)
Substituindo (5.167) e (5.170) em (5.159) resulta para o caso tridimensional a equação na interface:
⎡ ⎛ ∂s ⎞2 ⎛ ∂s ⎞ 2 ⎤ ⎛ ∂T
∂T ⎞
∂s
em z = s ( x, y,t )
⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ k s s − kl l ⎟ = ρ hsl
∂z ⎠
∂t
⎢⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂z
(5.171)
Os casos bidimensionais e unidimensionais podem ser obtidos a partir de (5.171) como
⎡ ⎛ ∂s ⎞ 2 ⎤ ⎛ ∂Ts
∂T ⎞
∂s
em z = s ( x,t ) (2D)
− kl l ⎟ = ρ hsl
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ k s
∂z ⎠
∂t
⎣⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎦⎥ ⎝ ∂z
(5.172)
∂T ⎞
ds
⎛ ∂Ts
em z = s ( t ) (1D)
− kl l ⎟ = ρ hsl
⎜ ks
dt
∂z ⎠
⎝ ∂z
(5.173)
A eq. (5.173) é idêntica à eq. (5.152), bastando trocar z por x .
128
5.7 Métodos numéricos
Os métodos numéricos utilizados para o caso de condução em regime permanente,
também se aplicam aos casos de condução transiente bastando incluir o termo transiente na
equação.
5.7.1 Volume finito
Considere um volume de controle de dimensões ( Δx ) × ( Δy ) × W , Figura 5.13, um
balanço de energia leva ao
∂E
= qw + qe + qs + qn + qg
∂t
(5.174)
na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é
identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W ; e a face leste
voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N .
As taxas de calor que entram no volume de controle, a variação de energia dentro do volume
de controle e a geração calor são definidas como
qn ≅ knW Δx
qw ≅ k wW Δy
TW − TP
(δ x ) w
TN − TP
(δ y )n
∂E
∂T
, qg = ΔxΔyWq′′′
= ρΔxΔyWc
∂t
∂t
qs ≅ k sW Δx
TS − TP
(δ y ) s
qe ≅ keW Δy
TE − TP
( δ x )e
(5.175)
129
Figura 5.13 – Volume de controle em torno de um ponto P.
A eq. (5.174) pode ser reescrita como
ρ cΔV
∂T
= qw + qe + qs + qn + q′′′ΔV
∂t
(5.176)
A discretização do termo transiente em (5.176) pode ser feita na forma
ρc
ΔV m +1
m +1
TP − TPm = f ( qw + qe + qs + qn ) +
Δt
(
)
+ (1 − f )( qw + qe + qs + qn ) +
m
+f ( q′′′ )
m +1
(5.177)
ΔV + (1 − f )( q′′′ ) ΔV
m
na qual 0 ≤ f ≤ 1 é um parâmetro para indicar se o esquema de discretização no tempo é
explícito, f = 0 , semi-implícito, 0 < f < 1 ou totalmente implícito, f = 1 . m indica o passo
de tempo e Δt = t m +1 − t m . O caso f = 0 ,5 é conhecido como esquema de Crank-Nicolson.
Substituindo as definições das taxas da eq. (5.175) e q′′′ = S pTp + SC em (5.177)
obtém-se
⎡ ΔxΔy
⎤ m +1
⎢ ρ c Δt + f ( aS + aN + aW + aE − S p ΔxΔy ) ⎥ TP =
⎣
⎦
= f ⎡⎣ aW TWm +1 + aETEm +1 + aS TSm +1 + aN TNm +1 ⎤⎦ + b
(5.178)
130
⎡ ΔxΔy
⎤
b = ⎢ρc
− (1 − f ) ( aS + aN + aW + aE − S p ΔxΔy ) ⎥ TPm +
Δt
⎣
⎦
m
m
m
m
+ (1 − f ) ⎡⎣ aW TW + aETE + aS TS + aN TN ⎤⎦ +
(5.179)
+ (1 − f ) S P ΔxΔyTPm + Sc ΔxΔy
Numa forma compacta a eq. (5.178) pode ser reescrita como
a pTP = f ( aW TW + aETE + aS TS + aN TN ) + b
(5.180)
na qual o superscrito m + 1 foi desconsiderado e os coeficientes são:
aE =
ke Δy
( δ x )e
(5.181a)
aW =
k w Δy
(δ x ) w
(5.181b)
aN =
kn Δx
(δ y )n
(5.181c)
aS =
k s Δx
(δ y ) s
(5.181d)
ap = ρc
ΔxΔy
+ f ( aE + aW + aN + aS − S P ΔxΔy )
Δt
(5.181e)
No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e
existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (5.180) e os coeficientes ficam na
forma
a pTP = f ( aW TW + aETE + aS TS + aN TN + aT TT + aBTB ) + b
(5.182)
na qual
aE =
ke ΔyΔz
( δ x )e
(5.183a)
aW =
k w ΔyΔz
(δ x ) w
(5.183b)
aN =
kn ΔxΔz
(δ y )n
(5.183c)
aS =
k s ΔxΔz
(δ y ) s
(5.183d)
131
aT =
kt ΔxΔy
( δ z )t
(5.183e)
aB =
kb ΔxΔy
( δ z )b
(5.183f)
ap = ρc
ΔxΔyΔz
+ f ( aE + aW + aN + aS + aT + aB − S P ΔxΔyΔz )
Δt
⎡ ΔxΔyΔz
⎤
b = ⎢ρc
− (1 − f ) ( aS + aN + aW + aE + aB + aT − S p ΔxΔyΔz ) ⎥ TPm +
Δt
⎣
⎦
m
m
m
m
m
m
+ (1 − f ) ⎡⎣ aW TW + aETE + aS TS + aN TN + aBTB + aT TT ⎤⎦ +
(5.183g)
(5.183h)
+ (1 − f ) S P ΔxΔyΔzTPm + Sc ΔxΔyΔz
5.7.2 Diferença finita
Será considerado o seguinte caso
ρc
∂T ∂ ⎛ ∂T
= ⎜k
∂t ∂x ⎝ ∂x
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟+ ⎜k
⎠ ∂y ⎝ ∂y
⎞
⎟ + q′′′
⎠
(5.184)
O lado direito da eq. (5.184) já foi discretizado na eq. (1.85) e, portanto, (5.184) pode ser
reescrita, usando a notação da Figura 5.14, como
1 ∂T T ( i, j − 1) T ( i − 1, j ) 2T ( i, j ) 2T ( i, j ) T ( i + 1, j ) T ( i, j + 1) q′′′
=
+
−
−
+
+
+
2
2
2
2
2
2
α ∂t
k
( Δy )
( Δx )
( Δx )
( Δy )
( Δx )
( Δy )
Figura 5.14 – Nomenclatura para discretização por diferença finita.
Ou usando a eq. (1.86) pode-se reescrever (5.185) como
(5.185)
132
1 ∂T
= aTi , j −1 + bTi −1, j + cTi , j + bTi +1, j + aTi , j +1 + di , j
α ∂t
(5.186)
na qual, agora
a=
b=
1
2
(5.187a)
2
(5.187b)
( Δy )
1
( Δx )
c=−
di , j =
2
( Δx )
2
−
2
( Δy )
(5.187c)
2
q′′′
k
(5.187d)
A discretização do termo transiente na eq. (5.186) pode ser feita de várias formas, pelo
uso do parâmetro f como na equação (5.177). Desta forma após discretizar o termo
transiente em (5.186) tem-se
m +1
m
m +1
1 Ti , j − Ti , j
= f ( aTi , j −1 + bTi −1, j + cTi , j + bTi +1, j + aTi , j +1 + di , j ) +
Δt
α
+ (1 − f ) ( aTi , j −1 + bTi −1, j + cTi , j + bTi +1, j + aTi , j +1 + d i , j )
(5.188)
m
Os casos clássicos são: método explícito, f = 0 , que é condicionalmente estável; método
implícito, f = 1 , incondicionalmente estável e o caso f = 0,5 , esquema Crank-Nicolson que
é uma discretização de segunda ordem no tempo.
Considere o caso em que Δx = Δy e f = 0 . A eq. (5.188) pode ser reescrita como
(
Ti ,mj +1 = Fo Ti , j −1 + Ti −1, j + Ti +1, j + Ti , j +1 + d i , j ( Δx )
)
2 m
+ (1 − 4 Fo ) Ti ,mj
(5.189)
Na qual foi definido o número de Fourier com base no tamanho da malha
Fo =
αΔt
( Δx )
2
(5.190)
Para que o método explícito seja estável, a seguinte condição dever ser satisfeita:
(1 − 4 Fo ) ≥ 0 , que leva a
Fo ≤
1
4
(5.191)
O que restringe o passo de tempo em valores
( Δx )
Δt ≤
4α
2
(5.192)
133
O caso f = 1 leva à seguinte equação para o método implícito:
(1 + 4 Fo ) Ti ,mj+1 − Fo (Ti , j −1 + Ti −1, j + Ti , j + Ti +1, j + Ti , j +1 + di , j ( Δx )
)
2 m +1
= Ti ,mj
(5.193)
5.7.3 Elemento finito
O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 5.15, também tem sido usado para
se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretização de domínios
complexos. A equação de condução transiente é:
ρc
(
)
∂T
− ∇i k i∇T = q′′′
∂t
(5.194)
Multiplicando a equação (5.194) por uma função de ponderação W e integrando no domínio
de um elemento, após uma integração por partes obtém-se
∂T
d Ω − ∫ W ∇ik i∇Td Ω = ∫ Wq′′′d Ω
Ωe
Ωe
∂t
∂T
∫Ωe W ρ c ∂t d Ω + ∫Ωe ∇W ik i∇Td Ω − ∫Γe Wk i∇T ind Γ =∫Ωe Wq′′′d Ω
∂T
∂W
∂T
∂T
∫Ωe W ρ c ∂t d Ω + ∫Ωe ∂xi kij ∂x j d Ω = ∫Γe Wkij ∂x j ni d Γ + ∫Ωe Wq′′′d Ω
∫
Ωe
W ρc
(5.195)
134
Figura 5.15 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos
quadrilaterais.
Nas equações onde aparecem os índices i e j está implícita a regra de soma de
Einstein. Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:
{
}
T = N ( r ) T e (t )
(5.196)
na qual
T
⎧ N1 ⎫
⎪N ⎪
⎪
⎪
N =⎨ 2 ⎬ ;
⎪
⎪
⎪⎩ N Ne ⎪⎭
{T }
e
⎧T1 ⎫
⎪T ⎪
⎪ ⎪
=⎨ 2 ⎬
⎪ ⎪
⎪⎩TNe ⎪⎭
(5.197a, b)
em que N i e Ti são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e
os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método
de Galerkin, em que
W = N
e substituindo (5.196) e (5.198) em (5.195) resultará
(5.198)
135
⎧ ∂N ⎫ ∂N
⎧ dT e ⎫
e
∫Ωe ρ c { N } N d Ω ⎨⎩ dt ⎬⎭ + ∫Ωe kij ⎨⎩ ∂xi ⎬⎭ ∂x j d Ω T =
∂T
ni d Γ + ∫ { N } q′′′d Ω
= ∫ { N } kij
Γe
Ωe
∂x j
{ }
(5.199)
A equação (5.199) pode ser escrita numa forma matricial como
⎧ dT e ⎫
e
e
e
⎡⎣ M e ⎤⎦ ⎨
⎬ + ⎡⎣ K ⎤⎦ T = Q
⎩ dt ⎭
{ } { }
(5.200)
Na qual os elementos das matrizes de massa ⎡⎣ M e ⎤⎦ , de rigidez ⎡⎣ K e ⎤⎦ e do vetor carga
{Q } são definidos como
e
M αβe = ∫ ρ cNα N β d Ω
(5.201)
Ωe
∂Nα ∂N β
dΩ
∂xi ∂x j
K αβe = ∫ kij
Ωe
Qαe = ∫ Nα kij
Γe
(5.202)
∂T
ni d Γ + ∫ Nα q′′′d Ω
Ωe
∂x j
(5.203)
O primeiro termo do lado direito da Eq. (5.203) será avaliado somente nos elementos
que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor
especificado.
A discretização do termo transiente na eq. (5.200) pode ser feita como nos casos de
diferenças finitas, resultando a equação discretizada na forma
⎧T e ⎫
⎡⎣ M ⎤⎦ ⎨ ⎬
⎩ Δt ⎭
m +1
e
{ }
= f Qe
m
⎧T e ⎫
− ⎡⎣ M ⎤⎦ ⎨ ⎬ + f ⎡⎣ K e ⎤⎦ T e
⎩ Δt ⎭
{ }
m +1
{ }
e
+ (1 − f ) Q e
m +1
{ }
+ (1 − f ) ⎡⎣ K e ⎤⎦ T e
m
=
(5.204)
m
ou
⎧T e ⎫
⎡⎣ M ⎤⎦ ⎨ ⎬
⎩ Δt ⎭
m +1
e
{ }
+ f Qe
m +1
{ }
+ f ⎡⎣ K ⎤⎦ T
e
{ }
+ (1 − f ) Q e
e
m +1
m
⎧T e ⎫
⎡
⎤
= ⎣ M ⎦ ⎨ ⎬ − (1 − f ) ⎡⎣ K e ⎤⎦ T e
⎩ Δt ⎭
e
{ }
m
+
(5.205)
m
Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando a
contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial,
[G ]{T } = {Q}
(5.206)
136
na qual, agora, a matriz [G ] e o vetor {Q} conterão a contribuição de todos os elementos:
[G ] =
Nelem
⎡1
∑ ⎢⎣ Δt ⎡⎣ M
e =1
e
⎤
⎤⎦ + f ⎡⎣ K e ⎤⎦ ⎥
⎦
(5.207)
{Q} = ∑ ⎡⎢ ⎡⎣ M e ⎤⎦ − (1 − f ) ⎡⎣ K e ⎤⎦ ⎤⎥ {T e }
Δt
1
Nelem
e =1
⎣
⎦
m
+
∑ {Q }
Nelem
e
(5.208)
e =1
O vetor {T } conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio.
A solução da equação (5.206) é feita após introdução dos valores conhecidos de
temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas
para solução de sistemas lineares esparsos.
137
6. Radiação
Radiação diferentemente da condução e convecção é o mecanismo de troca de energia
entre sistemas à distância, sem fazer contato direto. Uma transferência líquida de calor por
radiação pode ocorrer mesmo que o espaço entre duas superfícies esteja evacuado.
O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela
definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Ω de uma quantidade Iν , a
intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da
distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem
massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem
energia e = hν , onde h = 6, 625 x10−34 Js é a constante de Planck.
Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um
campo de radiação pelos seguintes processos:
-
emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de
vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa
(de fótons);
-
absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.
Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meios:
-
meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas
transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;
-
meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente ( I i ) que pode ser absorvida
( I a ) ou refletida ( I r ). O meio opaco também pode emitir a radiação ( I e );
-
meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite
em distâncias finitas.
138
Figura 6.1 Radiação em meios transparente e opaco
A análise de transferência radiativa é complicada pelo fato que a propagação de
radiação em qualquer ponto em um meio não pode ser representada por um único vetor como
no caso da condução de calor. Para especificar a radiação incidente em um dado ponto, é
necessário conhecer a radiação de todas as direções porque os feixes de radiação de todas as
direções são independentes uns dos outros. Portanto a quantidade fundamental
freqüentemente usada em estudos de transferência radiativa para descrever a quantidade de
energia de radiação transmitida pelo raio em qualquer dada direção por unidade de tempo é a
intensidade de radiação monocromática (ou espectral). Para definir esta quantidade considere
um elemento de superfície dA , sobre um espaço de coordenadas r , caracterizada por uma
direção cuja normal é o vetor n como ilustrado na Figura 6.2. Seja dEν a quantidade de
energia radiativa no intervalo de freqüência entre ν e ν + dν , confinada em um elemento de
ângulo sólido dΩ ao redor da direção de propagação Ω escoando através do elemento de
superfície dA (i.e., transmitida através ou emitida pela e/ou refletida da superfície) durante o
intervalo de tempo entre t e t + dt . Seja θ o ângulo polar entre a direção normal n e a
(
)
direção de propagação Ω . A intensidade de radiação monocromática Iν r , Ω, t é definida
como
(
)
Iν r , Ω, t =
dEν
dA cos θ d Ωdν dt
(6.1)
139
Figura 6.2 – Símbolos para definição de intensidade
Na equação (6.1) dA cos θ
é a projeção da superfície dA sobre um plano
perpendicular à direção dΩ ; daí a intensidade é definida com base na área projetada. De
acordo com a Eq. (6.1) a intensidade monocromática é a quantidade de energia radiativa (em
unidades apropriadas de energia) escoando através da unidade de área perpendicular à direção
de propagação Ω , por unidade de ângulo sólido em torno da direção Ω , por unidade de
freqüência sobre a freqüência ν , e por unidade de tempo sobre o tempo t .
Se a intensidade de radiação para ou de um elemento de superfície é considerada na
faixa de freqüência entre ν 1 e ν 2 e através do ângulo sólido entre Ω1 e Ω 2 , então a
quantidade por metro quadrado
ν 2 φ2 θ 2
Eν
=
Iν ( r , θ , φ , t ) cos θ senθ dθ dφ dν
m 2 ∫ν1 ∫φ1 ∫θ1
(6.2)
é o total de energia radiativa para ou da superfície por unidade de área e por unidade de tempo
na faixa de freqüência entre ν 1 e ν 2 e através do ângulo sólido entre Ω1 e Ω 2 . Um elemento
de ângulo sólido em coordenadas esféricas é representado por
d Ω = senθ dθ dφ
(6.3)
na qual θ é o ângulo polar entre a direção normal n à superfície e a direção da intensidade e
φ é o ângulo lateral como mostrado na Figura 6.3
140
Figura 6.3 Cálculo do ângulo sólido
6.1 Radiação em corpo negro
A superfície de um sistema que participa em uma troca de calor por radiação pode ser
classificada de acordo com sua habilidade de absorver a radiação que nela incide. O termo
corpo negro é usado para denotar um corpo que possui a propriedade de permitir que toda a
radiação incidente entre no meio sem reflexão pela superfície e sem permitir que ele deixe o
meio novamente. Portanto um corpo negro deve possuir uma superfície que permite que a
radiação incidente entre sem reflexão. Durante a propagação de radiação em um meio cada
raio sofre certo enfraquecimento por causa da absorção; portanto um corpo negro deve ter
espessura suficiente, dependendo do seu poder absorsivo, para assegurar que os raios não
deixarão o meio. Um feixe viajando em um meio é desviado de seu caminho original e
espalhado em todas as direções por causa da presença de pequenas impurezas e não
homogeneidades. Embora no processo de espalhamento de radiação térmica a energia não seja
nem criada nem destruída, um corpo negro não deve ter nenhuma ou ser desprezível suas
propriedades de espalhamento para assegurar que a radiação entrando no meio não será
espalhada para fora. Estas propriedades referem-se aos feixes de radiação vindos de todas as
direções e para todos os comprimentos de onda. Daí um corpo negro absorve toda radiação
incidente de todas as direções e em todas as freqüências, sem refletir, transmitir e espalhar os
raios incidentes.
141
Da discussão anterior, conclui-se que um corpo negro é um perfeito absorvedor de
radiação de todas as direções em todas as freqüências. Considere agora um corpo negro dentro
de uma cavidade isotérmica cujas paredes absorvem e emitem radiação, e assuma que após
um período de tempo o corpo negro e a cavidade alcancem o equilíbrio térmico e atinjam
alguma temperatura uniforme. Enquanto em equilíbrio térmico um corpo emite tanta energia
quanto absorve, e para um corpo negro a emissão de radiação deve ser máxima visto que ele
absorve a máxima radiação possível de todas as direções e em todas as freqüências. Portanto a
radiação emitida em qualquer dada temperatura T é um máximo para um corpo negro.
Por considerar um corpo negro em equilíbrio térmico dentro de uma cavidade cujas
paredes emitem e absorvem apenas em um intervalo de freqüência dν em torno de ν , e por
um argumento similar, pode ser concluído que a radiação emitida por um corpo negro em uma
dada temperatura T e freqüência ν é um máximo. Além do mais a radiação emitida por um
corpo negro é isotrópica.
A intensidade de radiação espectral ou monocromática emitida por um corpo negro em
uma dada temperatura T no vácuo foi determinada por Planck e é dada por
Iν b ,vac (T ) =
2hv 3
c02 ⎡⎣exp ( hν / kT ) − 1⎤⎦
(6.4)
na qual h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, c0 é a
velocidade da luz no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência.
Em muitas aplicações de engenharia se usa mais o comprimento de onda do que a
freqüência para caracterizar a intensidade monocromática. Para se escrever a Equação (6.4)
em função do comprimento de onda considera-se que a radiação emitida no intervalo dν em
torno de ν deveria ser igual àquela no comprimento de onda d λ0 em torno de λ0 , isto é,
Iν dν = − I λ0 d λ0
(6.5)
Desde que o comprimento de onda depende do meio em que a radiação está viajando, usa-se o
subscrito 0 para denotar que o meio é um vácuo. A freqüência, entretanto, não depende do
tipo de meio. A freqüência e comprimento de onda estão relacionados por
ν=
c0
(6.6a)
λ0
Por diferenciação de (6.4) resulta
dν = −
c0
λ
2
0
d λ0 e d λ0 = −
c0
ν2
dν
(6.6b)
142
Pela utilização de (6.7) em (6.5) pode-se escrever
I λ0b ,vac (T ) = − Iν b ,vac (T )
dν
v2
= Iν b ,vac (T )
d λ0
c0
(6.7a)
De (6.4) e (6.7a) obtém-se a intensidade de radiação de Planck em função do comprimento de
onda:
I λ0b ,vac (T ) =
2hc02
λ05 ⎡⎣exp ( hc0 / λ0 kT ) − 1⎤⎦
(6.7b)
que representa a intensidade de radiação emitida por um corpo negro em um vácuo puro. Ou
seja, ela representa a energia radiativa por unidade de área projetada, por unidade de tempo,
por unidade de ângulo sólido, por unidade de comprimento de onda sobre λ0 . Por exemplo,
em watts (joule por segundo), por metro quadrado, por esterorradiano, por mícron tem-se
W / m 2 ⋅ sr ⋅ μ m .
Quando energia radiante é emitida por um corpo negro em um meio que não seja
vácuo, a Eq. (6.4) deverá ser substituída por
Iν b (T ) =
2hv 3
c 2 ⎡⎣exp ( hν / kT ) − 1⎤⎦
(6.8a)
na qual c é a velocidade de propagação de radiação no meio em questão. Para um meio
dielétrico (meio com condutividade específica nula, ou perfeitamente não condutor elétrico),
c = c0 / n , a Eq. (6.8) fica na forma:
2hv 3n 2
Iν b (T ) = 2
= n 2 Iν b ,vac (T )
c0 ⎡⎣exp ( hν / kT ) − 1⎤⎦
(6.8b)
na qual n é o índice de refração do meio. Com ν = c0 / nλ e por um procedimento similar ao
de obtenção da eq. (6.7b) pode-se mostrar que em função do comprimento de onda num meio
que não seja vácuo, tem-se
I λb (T ) =
2hc02
n 2 λ 5 ⎡⎣exp ( hc0 / nλ kT ) − 1⎤⎦
(6.9)
na qual λ é o comprimento de onda no meio em questão.
A intensidade de radiação emitida por um corpo negro sobre todas as freqüências (ou
comprimentos de onda) é chamada de intensidade total de radiação do corpo negro e é obtida
pela integração da intensidade monocromática de radiação do corpo negro sobre o espectro
inteiro de energia:
143
I b (T ) = ∫
∞
v =0
Iν b (T ) dν
(6.10a)
Pela substituição de (6.8b) em (6.10a) obtém-se
I b (T ) =
2h ∞ v 3 n 2
dν
c02 ∫ν =0 e hν / kT − 1
(6.10b)
e se o índice refrativo n é assumido ser independente da freqüência, a Eq. (6.10b) pode ser
rearranjada como
2hn 2 ⎛ kT ⎞
I b (T ) = 2 ⎜
⎟
c0 ⎝ h ⎠
4
∞
∫ν
=0
( vh / kT )
e
hν / kT
3
⎛ν h ⎞
d⎜
⎟
− 1 ⎝ kT ⎠
(6.10c)
ou
I b (T ) =
2k 4 2 4
nT
c02 h3
(
)
x3
2k 4 2 4 π 4
=
dx
∫ν =0 e x − 1 c02 h3 n T 15
∞
(
)
(6.10c)
A Eq. (6.10c) pode ser rearranjada como
2π 5 k 4 T 4
T4
2
n
σ
=
π
15c02 h3 π
I b (T ) = n 2
(6.10d)
na qual
σ=
2π 5 k 4
15c02 h3
(6.10e)
é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é σ = 5, 67 x10−8 W/m 2 ⋅ K 4 ⋅ sr .
Em muitas aplicações de engenharia uma quantidade física de interesse é o fluxo
emissivo monocromático (ou espectral) ou poder emissivo do corpo negro Eλb (T ) definido
como
Eλb (T ) = ∫
2π
π /2
φ =0
=∫
2π
φ =0
∫θ
=0
1
∫μ
=0
I λb (T )senθ cos θ dθ dφ
I λb (T )μ d μ dφ
(6.11a)
= π I λb (T )
Substituindo a Eq. (6.9) em (6.11) resulta
Eλb (T ) =
c1
n λ ⎡⎣exp ( c2 / nλT ) − 1⎤⎦
2
5
(6.11b)
na qual foram definidos
c1 = 2π hc02 e c2 =
hc0
k
(6.11c)
144
O fluxo emissivo monocromático Eλb (T ) representa a quantidade de energia radiativa
emitida por um corpo negro na temperatura T por unidade de área, por unidade de tempo, por
unidade de comprimento de onda em todas as direções do espaço hemisférico. Em unidades
SI, W / m 2 ⋅ μ m .
A integração de Eλb (T ) sobre todos os comprimentos de onda de λ = 0 até infinito
leva ao fluxo emissivo total ou poder emissivo total do corpo negro Eb (T ) :
Eb (T ) = ∫
∞
λ =0
Eλb (T )d λ = π ∫
∞
I
λ =0 λb
(T )d λ = π Ib (T ) = n 2σ T 4
(6.12)
O local de máximo do fluxo emissivo monocromático é determinado analiticamente
pela regra de deslocamento de Wien, que é dada como
( λT ) q
λb ,max
= c3
(6.13)
Em unidades SI, a terceira constante é: c3 = 2,8978 × 10−3 m ⋅ K .
6.2 Transferência de calor entre superfícies negras
6.2.1 O Fator de Forma Geométrico
Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor
q1− 2 (W ) entre duas superfícies negras isotérmicas ( A1 , T1 ) e ( A2 , T2 ) mostradas na Figura 6.4.
Esta análise pode ser feita nos seguintes passos:
7. A taxa de transferência líquida de dA1 para dA2 , isto é, a diferença entre as respostas
da parte 1. e 2. e finalmente,
8. A taxa de transferência líquida de A1 para A2 , que é entre as duas áreas finitas
isotérmicas.
145
Figura 6.4 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma
Se r é a distância entre os elementos de áreas dA1 e dA2 , então o ângulo sólido
através do qual dA2 é visto por um observador estacionado em dA1 é igual a dA2 cos φ2 / r 2 .
Note que dA2 cos φ2 é a dimensão de dA2 após ele ter sido projetado na direção da linha
dA1 − dA2 .
Viajando de dA1 na direção de dA2 (e para todo o resto do espaço) tem-se a
intensidade total de radiação de corpo negro I b ,1 = I b (T1 ) . O tamanho da área emitente que é
normal à direção r é a área “ dA1 projetada”, dA1 cos φ1 . Portanto, a resposta ao item 1. é:
dA2 cos φ2
r2
(6.14)
A seta usada no subscrito dA1 → dA2 é para lembrar que qdA1 →dA2 representa a
transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de dA1 (emissor) para
dA2 (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será:
qdA2 →dA1 = I b ,2 dA2 cos φ2
dA1 cos φ1
r2
(6.15)
O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (6.15) da Eq. (6.14) para
calcular a transferência de calor líquida de dA1 para dA2 :
146
qdA1 − dA2 = qdA1 →dA2 − qdA2 →dA1 = ( I b ,1 − I b ,2 )
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
r2
(6.16)
Usando a equação 1(0.10d) para as intensidades de radiação de corpo negro, com n = 1 , a Eq.
(6.16) pode ser reescrita como
(
qdA1 − dA2 = σ T14 − T24
) cos φπ rcos φ
1
2
2
(6.17)
dA1dA2
Para se calcular q1− 2 (W ) deve-se somar as contribuições de todos os elementos de
área de A1 e A2 , ou seja,
(
q1− 2 = σ T14 − T24
)∫ ∫
A1
A2
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
π r2
(6.18)
No lado esquerdo da Eq. (6.18) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência
q1− 2 (W ) deixa a superfície A1 e entra (cruza) a superfície A2 .
( )
A unidade da integral dupla na Eq. (6.18) é metro quadrado m 2 . É conveniente
definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por A1 , denominado de
fator de forma geométrico baseado em A1 :
F12 =
1
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
∫
∫
π r2
A1 A1 A2
(6.19)
A equação (6.18) pode, então, ser reescrita como
(
)
q1− 2 = σ T14 − T24 A1 F12
(6.20)
O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões,
orientações e posições relativas das duas superfícies.
Alternativamente poderia se definir
F21 =
1
A2
∫ ∫
A1
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
A2
π r2
(6.21)
de modo que q1− 2 (W ) fica na forma
(
)
q1− 2 = σ T14 − T24 A2 F21
(6.22)
Assim para se calcular q1− 2 (W ) deve-se calcular ou F12 ou F21 . Ao se integrar a Eq. (6.14)
obtém-se o resultado
q1→2 = I b ,1 ∫
A1
∫
cos φ1 cos φ2
dA1dA2 = σ T14 A1 F12
2
A2
r
(6.23)
147
Pela equação (6.12) σ T14 A1 = Eb ,1 A1 que é o número de watts de radiação de corpo negro
emitida pela superfície A1 em todas as direções que os pontos de A1 podem “olhar”. Apenas
uma porção de Eb ,1 A1 é interceptada e absorvida por A2 (porque, em geral, A1 pode ser
cercada por outras superfícies além de A2 ); aquela porção é q1→2 ou Eb ,1 A1 F12 . Em conclusão,
o significado físico do fator de forma é:
F12 =
q1→2 radiaçao deixando A1 e sendo interceptada por A2
=
radiaçao deixando A1 em todas as direçoes
qb ,1 A1
(6.24)
A razão formulada na Eq. (6.24) sugere que o fator de forma está no intervalo entre 0 e
1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma
para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo.
6.2.2 Relações entre fatores de forma
Várias relações permitem estimativas de fatores de forma para diversas configurações.
Estas relações são de reciprocidade, aditividade e invólucro (enclosure). A relação de
reciprocidade pode ser obtida comparando as equações (6.20) e (6.22) sendo da forma:
A1 F12 = A2 F21 (Reciprocidade)
(6.25)
No caso em que a área A2 é composta de n pedaços (mosaico), A2 = A21 + A22 +
+ A2n , o
fator de forma pode ser calculado somando-se os fatores de forma individuais, na forma:
n
F12 = ∑ F12i
(Aditividade)
(6.26)
i =1
em que F12i é o fator de forma de A1 para cada pedaço da área A2 .
Em geral nem toda radiação emitida por A1 é interceptada por A2 , porque outras áreas
podem circundar A1 . Sejam as áreas
( A2 , A3 ,… , An )
que juntamente com A1 formam um
invólucro (enclosure), Figura 6.5. A conservação de energia dentro da cavidade requer que
Eb ,1 A1 = Eb ,1 A1 F11 + Eb ,1 A1 F12 +
+ Eb ,1 A1 F1n
(6.27a)
ou após dividir por Eb ,1 A1 resulta
1 = F11 + F12 +
+ F1n
(6.27b)
A Eq. (6.27b) pode ser generalizada como
n
1 = ∑ Fij
j =1
( i = 1, 2,… , n )
(Invólucro)
(6.28)
148
Figura 6.5 – Invólucro formado por n superfícies
6.2.3 Cavidade de duas superfícies
Os casos clássicos de cavidades de duas superfícies são: duas placas paralelas, um
cilindro interno a outro e uma esfera encapsulada por outra, como mostra a Figura 6.6. Nestes
casos, a transferência líquida de calor é dada pela Eq. (6.20) sendo da forma:
q1− 2 = ( Eb ,1 − Eb ,2 ) A1 F12
(6.29)
na qual Eb ,1 = Eb (T1 ) = σ T14 e Eb ,2 = Eb (T2 ) = σ T24 . O produto A1 F12 desempenha o papel de
condutância térmica e seu inverso é a resistência térmica de radiação, ou seja,
Rr =
1
1
=
A1 F12 A2 F21
(6.30)
Figura 6.6 – Exemplos de cavidades de apenas duas superfícies e correspondente diagrama de
resistência térmica.
149
6.3 Radiação em corpo cinza
A maioria das superfícies não se comporta como corpos negros, e para analisar a
transferência calor por radiação para superfícies reais é necessário considerar o que acontece
com a irradiação, ou radiação térmica, incidente sobre a superfície. A irradiação incidente I i
ou é absorvida dentro da superfície como I a , ou refletida como I r , ou transmitida como I t .
Dessa forma, pode-se escrever
Ii = I a + I r + It
(6.31)
ou na forma de frações
I a I r It
+ + =1
Ii Ii Ii
(6.32)
Estas frações são definidas como
Ia
=α
Ii
(Absortividade)
(6.33a)
Ir
= ρ (Refletividade)
Ii
(6.33b)
It
=τ
Ii
(6.33c)
(Transmissividade)
e a equação (6.32) pode ser reescrita como
α + ρ +τ = 1
(6.34)
Corpos opacos não transmitem radiação, dessa forma
α + ρ =1
(6.35)
Corpos negros não refletem nem transmitem radiação, daí
α =1
(6.36)
6.3.1 Emissividade
A intensidade de radiação emitida por uma superfície real de temperatura T é apenas
uma fração da intensidade de um corpo negro. A intensidade de radiação monocromática de
um corpo negro foi designada como I b ,λ ( λ , T ) . Já para uma superfície real esta intensidade
será denominada I λ ( λ , T , φ , θ ) , pois, depende também da direção (φ , θ ) em que um dado raio
150
aponta. A razão entre I λ ( λ , T , φ , θ ) e I b ,λ ( λ , T ) é chamada emissividade monocromática
direcional:
ε λ′ ( λ , T , φ ,θ ) =
I λ ( λ , T , φ ,θ )
I b ,λ ( λ , T )
≤1
(6.37)
O fluxo emissivo monocromático de uma superfície real ou poder emissivo
monocromático da superfície se define como
Eλ ( λ , T ) = ∫
2π
π /2
∫θ
φ =0
=0
I λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ
(6.38)
De maneira análoga, pode-se definir a emissividade monocromática hemisférica para uma
superfície real como
ελ (λ,T ) =
Eλ ( λ , T )
Eb ,λ ( λ , T )
≤1
(6.39)
O fluxo emissivo da superfície é obtido da integração em todos os comprimentos de
onda do fluxo emissivo monocromático, ou seja,
E (T ) = ∫
∞
λ =0
Eλ ( λ , T )d λ = ∫
∞
ε ( λ , T ) Eb ,λ ( λ , T )d λ
λ =0 λ
(6.40)
Correspondente a este fluxo emissivo se define a emissividade total hemisférica na forma
ε (T ) =
E (T )
Eb (T )
≤1
(6.41)
Usando as equações (6.12) e (6.40) se obtém
ε (T ) =
1
σT 4
∞
∫λ
=0
Eλ ( λ , T )d λ =
1
σT 4
∞
∫λ
=0
ε λ ( λ , T ) Eb ,λ ( λ , T )d λ
(6.42)
Uma superfície cinza ou corpo cinza de temperatura T é a superfície cuja emissividade
monocromática hemisférica é independente do comprimento de onda (i.e. uma constante se T
é fixada), ou seja,
ε λ ( λ , T ) ≅ ε λ (T ) ou ε λ ≠ funçao ( λ )
(6.43)
Além do mais, pode-se mostrar a partir de (6.42) e (6.43) que a emissividade total hemisférica
de um corpo cinza é igual à sua emissividade monocromática hemisférica
ε (T ) = ε λ (T )
(6.44)
Um corpo cinza é um meio opaco emissor difuso (emite uniformemente em todas as
direções). Ele também é assumido como absorvedor e refletor difuso. O modelo de corpo
cinza aproxima bem o comportamento de muitas superfícies em transferência de calor na
engenharia, por exemplo, cobre, óxido de alumínio, tintas e papel. Superfícies metálicas
151
limpas e bem polidas são caracterizadas por baixos valores de ε . Superfícies não metálicas,
por outro lado, têm altas emissividades: de fato, algumas destas satisfazem bem o modelo de
corpo negro ε = 1 (fuligem, vidro liso, gelo). Superfícies metálicas que se tornam cobertas
por óxidos e outras impurezas também adquirem consideravelmente altos valores de
emissividade.
6.3.2 Absortividade e Refletividade
Da mesma maneira que foram definidas as emissividades pode-se definir as
absortividades. Seja I λ ( λ , T , φ ,θ ) a intensidade de radiação que atinge um elemento de uma
superfície real vindo da direção (φ , θ ) . A quantidade relativa que é absorvida na superfície,
I a ,λ ( λ , T , φ ,θ ) , é indicada pela absortividade monocromática direcional α λ′ :
α λ′ ( λ , T , φ ,θ ) =
I a ,λ ( λ , T , φ , θ )
I λ ( λ , T , φ ,θ )
(6.45)
A absortividade monocromática hemisférica é definida como
αλ ( λ, T ) =
Ga ,λ ( λ , T )
Gλ ( λ , T )
(6.46)
na qual o denominador Gλ ( λ , T ) ( W / m 2 ⋅ m ) é a irradiação monocromática, ou o número de
watts que atinge a unidade de área de todas as direções por comprimento de onda e é definido
como
Gλ ( λ , T ) = ∫
2π
φ =0
π /2
∫θ
=0
I λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ
(6.47)
O numerador da equação (6.46) é a fração da irradiação que é absorvida pela superfície
definido como
Ga ,λ ( λ , T ) = ∫
2π
φ =0
π /2
∫θ
=0
I a ,λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ
(6.48)
Finalmente se define a absortividade total hemisférica como
α (T ) =
Ga (T )
G (T )
(6.49)
na qual a irradiação total G (T ) é obtida pela integração
∞
G (T ) = ∫ Gλ ( λ , T ) d λ
0
(6.50)
152
O total absorvido é calculado como
∞
∞
0
0
Ga (T ) = ∫ Ga ,λ ( λ , T ) d λ = ∫ α λ ( λ , T ) Gλ ( λ , T ) d λ
(6.51)
Substituindo (6.51) em (6.49) obtém-se a expressão para a absortividade total hemisférica
α (T ) =
∞
1
α λ ( λ , T ) Gλ ( λ , T ) d λ
∫
G (T ) 0
(6.52)
A diferença entre a irradiação total G (T ) e a absorvida total Ga (T ) é a porção
refletida (caso de superfície opaca, ρ = 1 − α ; τ = 0 ) Gr (T ) . Dessa forma
Gr = G − Ga = (1 − α ) G = ρ G
(6.53)
em que ρ é a refletividade da superfície.
6.3.3 Lei de Kirchhoff
A lei de Kirchhoff estabelece que a absortividade monocromática direcional de uma
superfície não negra é sempre igual à sua emissividade monocromática direcional quando a
superfície está em equilíbrio térmico com a radiação que incide sobre ela, ou seja,
α λ′ ( λ , TA , φ , θ ) = ε λ′ ( λ , TA , φ ,θ ) (Lei de Kirchhoff)
(6.54)
A Lei de Kirchhoff pode ser usada para estimar a absortividade de um corpo cinza?
Para responder a esta questão, considere que para um absorvedor difuso
α λ ( λ , T ) = α λ′ ( λ , T )
(6.55)
Da mesma forma, para um emissor difuso
ε λ ( λ , T ) = ε λ′ ( λ , T )
(6.56)
Em conclusão, para uma superfície que é tanto um absorvedor difuso quanto emissor
difuso, a Lei de Kirchhoff estabelece que
αλ (λ,T ) = ε λ (λ,T )
(6.57)
Para uma superfície cinza, a emissividade ε λ independe do comprimento de onda, ou seja,
ε λ = ε (T ) . Portanto, pode-se se concluir que a absortividade também independe do
comprimento de onda. Então (6.57) fica na forma
α λ (T ) = ε (T )
Substituindo (6.58) em (6.52) pode-se demonstrar que para uma superfície cinza
(6.58)
153
α ( T ) = ε (T )
(6.59)
Portanto, pode-se estimar a absortividade total hemisférica de uma superfície cinza a
partir de tabelas de emissividade total, desde que a superfície tenha a mesma temperatura da
radiação que incide sobre ela.
6.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas
Considere agora o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor
entre duas superfícies cinza que formam uma cavidade, Figura 6.7. As áreas
temperaturas
(T1 , T2 )
e as emissividades totais hemisféricas
( ε1 , ε 2 )
( A1 , A2 ) ,
as
são especificadas.
Assuma que a menor das duas superfícies A1 é não côncava, de modo que F11 = 0 .
Figura 6.7 Cavidade definida por duas superfícies cinzas e resistência térmica de A1 para A2
Seja G1 a irradiação total que chega num elemento de área dA1 . Na direção oposta está
a porção refletida ρ1G1 mais o fluxo de calor emitido por dA1 em si, ε1 Eb ,1 . O fluxo de calor
unidirecional que parte de dA1 representa o que se chama radiosidade da superfície
(
)
denominada J1 W / m 2 :
J1 = ρ1G1 + ε1 Eb ,1
(6.60)
(
)
A diferença entre o fluxo de calor que deixa dA1 , J1 W / m 2 e o fluxo que chega G1 , é o
fluxo líquido que deixa dA1 ,
q1′′ = J1 − G1
(6.61)
154
Eliminando G1 entre (6.60) e (6.61) e lembrando que para uma superfície cinza,
ρ1 = 1 − α1 = 1 − ε1 , obtém-se
q1′′ = J1 −
J1 − ε1 Eb ,1
ρ1
=
ε1
( Eb,1 − J1 )
1 − ε1
(6.62)
A taxa líquida que deixa a superfície A1 é simplesmente q1 = q1′′A1 , então,
q1 =
( Eb,1 − J1 )
ε1 A1
Eb ,1 − J1 ) =
(
1 − ε1
Ri
(6.63)
Em que o denominador é uma resistência interna que impede a passagem de q1 através de A1 .
A corrente líquida de calor que sai de A1 deve ser provida por um agente externo (um
aquecedor); esta corrente é bombeada através da superfície de A1 , isto é, de suas costas para a
face que está na cavidade. A resistência interna tem a forma genérica
Ri =
1− ε
εA
(6.64)
A corrente total de calor J1 A1 tem todos os aspectos de Eb ,1 A1 já discutido
anteriormente. Assim pode se calcular a corrente unidirecional J1 A1 como
q1→2 = J1 A1 F12 = J1 A2 F21
(6.65)
De maneira análoga pode se calcular a corrente unidirecional J 2 A2 obtendo-se
q2→1 = J 2 A2 F21 = J 2 A1 F12
(6.66)
A corrente líquida de na direção A1 → A2 é, portanto,
q1− 2 = q1→2 − q2→1 = A1 F12 ( J1 − J 2 )
(6.67)
Observando o circuito elétrico na Figura 6.7 pode-se verificar que a taxa líquida de calor pode
ser calculada como se fosse um corpo negro na forma:
q1− 2 =
σ (T14 − T24 )
1 − ε1
1
1− ε2
+
+
ε1 A1 A1 F12 ε 2 A2
(6.68)
Pela conservação de energia através de A1 pode-se demonstrar que
q1 = q1− 2 = − q2
(6.69)
na qual q1 é calculado pela Eq. (6.63) e q2 e definido como
q2 =
ε 2 A2
( Eb,2 − J 2 )
1− ε2
(6.70)
155
Três casos de configurações importantes de cavidades de duas superfícies foram
mostrados na Figura 6.6. Naqueles casos os fluxos líquidos podem ser avaliados como
1) Duas placas paralelas ( A1 = A2 = A )
q1− 2 =
σ A (T14 − T24 )
1
ε1
+
1
ε2
(6.71)
−1
2) Espaço anelar entre dois cilindros infinitos ou entre duas esferas (não necessariamente
concêntricos(as))
q1− 2 =
σ A1 (T14 − T24 )
(6.72)
⎞
A ⎛1
+ 1 ⎜ − 1⎟
ε1 A2 ⎝ ε 2 ⎠
1
No caso em que uma superfície extremamente grande ( A2 ) circunda uma superfície
convexa ( A1 , F11 = 0 ) tem-se
(
q1− 2 = σ A1ε1 T14 − T24
)
(6.73)
O caso de invólucros de mais de duas superfícies também pode ser analisado de forma
similar ao caso de invólucro de duas superfícies. Considere o caso de um invólucro de n
superfícies cinza, Figura 6.8. Em geral um observador sobre A1 pode ver as radiosidades de
todas as n partes do invólucro. Por exemplo, a corrente de irradiação que emana da j-ésima
superfície Aj e atinge A1 é J j Aj Fj1 . Segue que a corrente de irradiação que impinge sobre A1
é
A1G1 = J1 A1 F11 + J 2 A2 F21 +
=
n
∑J
j =1
=
j
A j F j1
j
A1 F1 j
+ J n An Fn1
(6.74)
n
∑J
j =1
Figura 6.8 – Invólucro formado por n superfícies cinzas, e resistência associada com Ai
156
Do ponto de vista de A1 , a transferência de calor é ainda o cálculo da taxa de
transferência líquida de calor q1 que deve ser suprida nas costas (atrás) de A1 . Esta corrente
de calor pode ser avaliada usando a eq. (6.63) desde que a radiosidade J1 seja conhecida. O
problema se reduz, então, ao cálculo de J1 . Substituindo a eq. (6.60) na eq. (6.74) obtém-se
n
J1 = (1 − α1 ) ∑ J j F1 j + ε1σ T14
(6.75)
j =1
A eq. (1075) estabelece que a radiosidade da superfície A1 depende das propriedades
de A1
(α1 , ε1 , T1 ) ,
das radiosidades de todas as superfícies que formam o invólucro
( J ; j = 1, 2,… , n ) e dos respectivos fatores de forma através dos quais estas superfícies são
j
visíveis de A1 . Um sistema de
n
equações para as
n
radiosidades pode ser obtido por
escrever para cada superfície i que participa no invólucro:
n
J i = (1 − α i ) ∑ J j Fij + ε iσ Ti 4
( i = 1, 2,… , n )
(6.76)
j =1
Se a geometria e propriedades de todas as superfícies são especificadas, então o
sistema (6.76) fornece os valores das
n
radiosidades. Uma equação para a taxa líquida de
calor de cada superfície pode ser escrita como
ε i Ai
(σ Ti 4 − J i )
1− εi
qi =
( i = 1, 2,… , n )
(6.77)
A seguinte restrição deve ser satisfeita,
n
∑q
i =1
i
=0
(6.78)
Alternativamente, a taxa de calor de cada superfície definida como qi = Ai J i − Ai Gi
pode ser calculada como
n
qi = Ai J i − ∑ J j Ai Fij
(6.79a)
j =1
n
ou lembrando que
∑F
j =1
ij
= 1 , tem-se
n
n
j =1
j =1
qi = Ai J i ∑ Fij − ∑ J j Ai Fij
(6.79b)
ou após um rearranjo de (6.79b) resulta
qi = ∑ Ai Fij ( J i − J j )
n
j =1
(6.79c)
157
Os fatores de forma de um invólucro de n superfícies formam uma matriz n × n num
total de n 2 fatores de forma. Nem todos deste número podem ser especificados
(
)
independentemente. Existirão n 2 − n / 2 relações de reciprocidade, porque existirão n fatores
(
)
na diagonal e n 2 − n / 2 fatores em cada lado da diagonal. Adicionalmente, n relações de
n
invólucro ( ∑ Fij = 1 ) podem ser escritas. Em conclusão, o número de fatores de forma
j =1
independentes é:
n2 −
n
1 2
n − n − n = ( n − 1)
2
2
(
)
(6.80)
Existem em livros textos tabelas e gráficos de arranjos de várias configurações de
fatores de forma.
158
Bibliografia
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INCROPERA, F.P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Editora: LTC,
ISBN 8521613784, 5ª edição, 698 p., 2003.
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ISMAIL, K.A.R., Fenômenos de Transferência - Experiências de Laboratório, Ed. Campos,
1982.
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DOEBLIN, E.O., Measurement Systems, Applications and Design, Tokio, McGraw-Hill,
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OBERT, E.F., GYOROG, A.D., Laboratório de Engenharia Mecânica - Projetos e
Equipamentos, UFSC, Departamento de Engenharia Mecânica, 1976.

Dr. João Batista Campos Silva, Prof. Adjunto Ilha Solteira, maio de

Transcrição

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