r - Tolstenko

Aula-4
O potencial elétrico
Curso de Física Geral F-328
1o semestre, 2008
A energia potencial elétrica
Analogia gravitacional
f
Uf
Ui
W
 
mg. dl
mgh
i
onde U é a energia potencial associada ao campo
da força gravitacional .


No caso eletrostático, como F q0 E :

rf
  
U f Ui
W
qo E ( r ).dl

ri
No caso de forças conservativas (como o nosso) , o resultado desta
integral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontos
inicial e final.
A energia potencial elétrica
 
F (r )
ẑ

ri

dl
C

rf
Se a força é devida a uma
distribuição finita de cargas,

convém tomar | ri |
como a
configuração de referência tal que
Ui
ŷ
Q
Com isto podemos definir a função

energia potencial U (r ) :

U (r )
x̂
Ou seja,
0

r
 
q0 E.dl

U (r ) é o negativo do trabalho realizado pela força do campo
elétrico para trazer a partícula com carga q0 desde o infinito até r .
O potencial elétrico
É a energia potencial por unidade de carga:
U
U
V
V
q
q
Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da
distribuição de cargas.
Unidade: volt = joule/coulomb = J/C
Unidade de energia conveniente para cargas
elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J
Potencial em função
do
campo:

rf
Vf
Vi

ri
  
E ( r ) . dl
Se escolhermos o infinito como referência:
r
  

V (r )
E ( r ) . dl
O potencial elétrico
Superfícies equipotenciais
São superfícies em que todos os
pontos têm o mesmo potencial.
WI ,WII ,WIII e WIV
?

As linhas de E são perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Por quê?
O potencial elétrico
V de um campo uniforme

rf
  
V f Vi
E ( r ) . dl

ri
a)
V f Vi
Ed
b)
V f Vi
Ed
Vemos que o resultado não
depende do caminho da integração.
Portanto, para se calcular V, pode-se
sempre escolher o caminho mais
simples.
a)
b)
i
f
O potencial elétrico
O potencial de uma carga
puntiforme

rf  

E ( r ) dl
V f Vi

ri

E

rf
1 q
rˆ
2
4 0r

V (r )
Vf

ri
q
4
Vi
0
r

E (r )dr
r
1
4
0
q
dr
2
r
O potencial elétrico
O potencial de um sistema de cargas puntiformes
-
+
ẑ
 ri
-
4

r
-
qi
 
ri |
0 |r
+
+
+
x̂

Vi (r )
 
r ri
ŷ

V (r )

Vi (r )
i
i
(soma escalar!)
qi
 
4 0 | r ri |
O potencial elétrico
O potencial de um sistema de cargas puntiformes (exemplo)
d
1,3m
q1 12 nC
q2
q3
24 nC
31nC
q4 17 nC
VP
?
q 12 e

VC ?
EC
?
O potencial elétrico
O potencial de um dipolo elétrico

V (r )

Vi (r )
i
r(
)
r( ) r(
i
r(
)

V (r )
d cos
)
r2
p cos
4 0r 2
qi
 
4 0 | r ri |

V (r )
q
4
q
r
0 ( )
4
r
0 ( )
O potencial elétrico
O potencial de um dipolo elétrico
O dipolo elétrico pode ser permanente ou
induzido por um campo externo que separa
o centro de cargas positivas do das
negativas.
Distribuição contínua de cargas
ẑ

dq (r )
 
r r
P

r

r
 
dV (r , r )
ŷ
x̂

1 dq(r )

V (r )
 
4 0 |r r |
(V , S ou L )
Distribuição contínua de cargas


linear : dq( r )
dq (r )

dq (r )

dq (r )

sup erficial : dq( r )

volumétric a : dq( r )


( r ) dl ( r )


( r ) dA( r )


( r ) dV ( r )
Distribuição contínua de cargas
O potencial de uma linha finita de carga (dq

1 dq(r )

V (r )
 
4 0 |r r |
(V , S ou L )
L
V
0
V
4
1
4
ln
0
0
L
dx
x2 d 2
L2 d 2
d
dx )
Distribuição contínua de cargas
O potencial de um disco carregado
dq 2
R dR

1 dq(r )

V (r )
 
4 0 |r r |
(V , S ou L )
R
V ( z)
0
V ( z)
1 2
4
2
0
( z
0
2
R dR
2
2
z R
R
2
| z |)
O campo elétrico
Obtenção do campo a partir do potencial elétrico
dV
dV
ds
E cos ds

V
s
Es
V sˆ ,
que é a derivada direcional do campo
elétrico na direção do deslocamento

E

V
E cos
Dedução alternativa

rf
Vf
Vi
  
E ( r ) . dl
 
E.dl
dV

ri
Sejam, em coordenadas cartesianas:

E E xiˆ E y ˆj E z kˆ
V V ( x, y , z )
Então:
 
E.dl
dV
Por (1):
Ex
Ou seja:
E x dx E y dyE Ez dz
V
V
V
x
y
z
V
; Ey
x
V
; Ez
y

E

V
z
V
(1)
O campo elétrico
Campo de um disco uniformemente carregado

E

V
Vimos:
V ( z)
2
( z
R
2
| z |)
0
Neste caso, V
Ez
2
V (z ) somente. Então:
V
z
Ou, derivando:

E( z)
2
0
z
|z|
z
z
2
R
2
zˆ
A energia potencial elétrica de um sistema de
cargas
É o trabalho executado por um agente externo
para trazer todas as cargas do infinito até a
configuração desejada. Dada a energia potencial
elétrica entre cada par de cargas
qi q j
U ij
  , temos que:
4 0 | ri rj |
qi q j

1
1
U
qiV ( ri ,)
2 i j 4 0 rij 2 i
onde V ( ri ) é o potencial na posição da carga i.
A generalização para uma distribuição
contínua de cargas com densidade é:
1
U
r V r dv
2
q1
q2
q
4q
q3
2q
W
?
Potencial de um condutor carregado isolado
Condutor esférico
+
+
+

E
+

E

rf
Vf
+

ri
+
0
ou
+
+
+
+

E
+
Dentro: r < R
V (r )
Vi
Q
4
  
E (r ) dr
0
R

V
Fora: r > R
V (r )
Q
4
0
r
Potencial de um condutor carregado isolado
Exemplos
A superfície de um condutor
isolado, carregado ou não, é
uma equipotencial.