5 - Departamento de Computação e Matemática

Transcrição

Processamento e Recuperação
de Imagens Médicas
Tomografia
Retro-projeção e transformada de Radon
Prof. Luiz Otavio Murta Jr.
Informática Biomédica
Depto. de Física e Matemática (FFCLRP/USP)
Processamento de Imagens Médicas
1
Tomografia
Tomografia é feita em 2 passos:
1o passo = aquisição de dados (armazena projeções)
O resultado é um conjunto de projeções angulares.
O conjunto de projeções de uma única fatia é chamada de sinograma.
2o passo = reconstrução de imagens a partir das
projeções
Existem 2 grupos de métodos reconstrução :
analíticos (e.g. FBP = retro-projeção filtrada) e
iterativos (e.g. ART = técnicas reconstrução algébrica).
2
Tomografia
vista anterior
vista lateral
3
Tomografia
1o passo em tomografia = armazenando projeções
4
Tomografia
Groch MW, Erwin WD. J Nucl Med Technol 2000;28:233-244.
5
Sinograma = coleção de projeções de uma única fatia
6
2o passo em tomografia = reconstrução a
partir das projeções
Métodos de reconstrução analítica (e.g. algoritmo de
retroprojeção filtrada) são eficientes (rápidos) e elegantes,
mas eles são incapazes de lidar com fatores complicados
como espalhamento. Retroprojeção filtrada tem sido usada
para reconstrução em CT de raios-x e a maioria das
reconstruções SPECT e PET até recentemente.
Algoritmos de reconstrução iterativa, por outro lado, são
mais versátil mas menos eficiente. Eficientes (ou seja rápidos) algoritmos iterativos estão atualmente em
desenvolvimento e implementação. Com a rápida evolução
dos computadores em velocidade e memória, algoritmos de
reconstrução iterativa serão mais e mais usados em
aplicações SPECT e PET possibilitando mais
reconstruções quantitativas.
7
Armazenando projeções de um corte
8
Retro-projeção (“Back projection” BP)
9
Retro-projeção filtrada (FBP)
10
1
2
3
4
11
12
1
2
3
4
13
1
2
3
4
14
Tomografia
Dualidade de transformações
cortes ↔ projeções
Retro-projeção ↔ transform. de Radon
• Transformada de Radon
 Obtenção das projeções a partir do objeto (cortes)
 Utilizado em imagens em geral para detecção de linhas
• Algorítmo de retro-projeção
 Obtenção dos cortes (objeto) a partir das projeções
 Utilizado na reconstrução de imagens tomográfidas
15
Transformada de Radon
1
5
4
1
2
3
3
4
7
4
6
3
5
2
16
Transformada de Radon
1
5
4
0
0
3
0
0
7
4
6
3
5
2
17
Retro-projeção
1
5
4
3
3
3
7
7
7
4
6
3
5
2
18
Retro-projeção
5
3
10 12
7
8
1
5
4
4
6
3
5
2
19
Retro-projeção
1
5
4
12 11
3
14 18
7
4
6
3
5
2
20
- 10 (subtraia a soma total de cada pixel)
1
5
4
13 16
3
19 22
7
4
6
3
5
2
21
/ 3 (divida cada pixel por 3)
1
5
4
3
6
4
9
12
7
4
6
3
5
2
22
Retro-projeção
1
5
4
1
2
4
3
4
7
4
6
3
5
2
23
24
retro projeção (back projection - BP) = soma de projeções
25
retro-projeção filtrada (FBP)
26
Seqüência de projeções originais e filtradas
retro-projeção
retro-projeção filtrada
27
Reconstrução de uma fatia a partir das projeções
exemplo = perfusão miocárdica, ventrículo esquerdo, eixo
longo
y
Count rate
y
z
x-position
x
z
28
Reconstrução de uma fatia a partir das projeções
exemplo = perfusão miocárdica, ventrículo esquerdo, eixo longo
29
Métodos de reconstrução iterativa
métodos algébricos iterativos convencionais
técnica de reconstrução algébrica (ART)
técnica de reconstrução iterativa simultânea (SIRT)
técnica iterativa de mínimos quadrados (ILST)
métodos de reconstrução estatística iterativa
(usando ou não informação a priori)
algoritmos gradiente e gradiente conjugado (CG)
máxima probabilidade de maximização de expectativa (MLEM)
maximização de expectativa dos subconjuntos ordenados (OSEM)
algoritmos de máximo a posteriori (MAP)
30
O principio dos algoritmos iterativos é achar uma solução (que
é – reconstruir uma imagem de uma fatia a partir de projeções)
por estimativas sucessivas. As projeções correspondentes a
estimativa corrente são comparadas com as projeções
medidas. O resultado desta comparação é usado para
modificar a estimativa corrente, portanto criando uma nova
estimativa.
Os algoritmos diferem no modo que as projeções medidas e
estimadas são comparadas, e o tipo de correção aplicada a
estimativa corrente. O processo é iniciado criando
arbitrariamente uma primeira estimativa – por exemplo, uma
imagem uniforme (todos os pixels igual a zero, um, ou um
valor médio...). Correções são feitas ou como adição de
diferenças ou multiplicação de quocientes entre projeções
medidas e estimadas.
31
algoritmo (receita)
(1) faça a primeira estimativa arbitraria da fatia (imagem homogênea),
(2) Projete a fatia estimada nas projeções análogas aquelas medidas
pela câmera (importante: neste passo, correções físicas podem ser
introduzidas – para atenuação, espalhamento, e resolução do
colimador dependente da profundidade),
(3) compare as projeções estimadas com as medidas (subtraia ou
divida as projeções correspondentes para obter os fatores de corrsções
– na forma de diferenças ou quocientes),
(4) pare ou continue: se os fatores de correções estão próximos de zero
(ou um, se quociente), se eles não mudam em iterações subseqüentes,
ou se o número máximo de iterações é alcançado, então pare; senão
(5) aplique correções nas estimativas (adicione as diferenças aos pixels
individuais ou multiplique os valores de pixels pelos quociente de
correção) – então faça uma nova estimativa da fatia,
(6) vá para o passo (2).
32
projeções
medidas
primeiro
estima-se
suas
projeções
fatores de
correção
(diferenças
entre
projeções)
projeções
medidas
primeiro
estima-se
suas
projeções
fatores de
correção
(quocientes
entre
projeções)
33
primeira
iteração
segunda
iteração
(correções
aditivas)
(correções
aditivas)
primeira
iteração
segunda
iteração
(correções
multiplicat.)
(correções
multiplicat.)
34
1
2
3
2.5 2.5
5
3
4
7
2.5 2.5
5
4
6
5
5
c11 = (3 - 5)/2 + (4 - 5)/2 = -2/2 - 1/2
c11 = -1 - 0.5 = -1.5
35
1
2
3
2.5 2.5
5
3
4
7
2.5 2.5
5
4
6
5
5
c11 = (3 - 5)/2 + (4 - 5)/2 = -2/2 - 1/2
c11 = -1 - 0.5 = -1.5
36
1
2
3
1 2.5
5
3
4
7
2.5 2.5
5
4
6
5
5
c12 = (3 - 5)/2 + (6 - 5)/2 = -2/2 + 1/2
c12 = -1 + 0.5 = -0.5
37
1
2
3
3
4
7
4
6
1
2
2.5 2.5
5
5
5
5
c13 = (7 - 5)/2 + (4 - 5)/2 = 2/2 - 1/2
c13 = 1 - 0.5 = 0.5
38
1
2
3
1
3
4
7
3 2.5
4
6
5
2
5
5
5
c14 = (7 - 5)/2 + (6 - 5)/2 = 2/2 + 1/2
c14 = 1 + 0.5 = 1.5
39
1
2
3
1
2
5
3
4
7
3
4
5
4
6
5
5
40
reconstrução iterativa - correção
multiplicativa
41
Reconstrução iterativa - diferenças entre iterações
individuais
42
Reconstrução Iterativa – correções multiplicativas
43
Retro-projeção filtrada
• muito rápida
• inversão direta da formula
de projeção
• correções para
espalhamento, atenuação
não-uniforme e outros
fatores físicos são dificil
• necessita muita filtragem –
compromisso entre
borramento e ruído
• imageamento quantitativo
difícil
44
Reconstrução iterativa
• amplificação de ruídos
• forma discreta dos dados
incluída no modelo
• tempo de calculo longo
• é fácil modelar e lidar com
ruídos de projeção,
especialmente quando as
contagens são baixas
• é fácil modelar a física de
imageamento tal como
geometria, atenuação não
uniforme, espalhamento, etc.
• imageamento quantitativo
possível
45

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