Curvas de Lissajous - Pavilhão do Conhecimento

ACTIVIDADE:
“Curvas de Lissajous”
Actividade desenvolvida pela Escola Secundária Padre Alberto Neto.
ENQUADRAMENTO CURRICULAR: Alunos do Secundário
Conteúdo Específico: Funções Trigonométricas
DESCRIÇÃO:
As actividades foram realizadas a pares e depois de ter sido dado o conteúdo
das funções trigonométricas.
Foram ocupadas duas aulas de 90 minutos.
MATERIAIS:
Calculadora Gráfica;
Módulo F8 da exposição “Matemática
Conhecimento – Ciência Viva;
Ficha de Trabalho.
Viva”
no
Pavilhão
do
SUGESTÕES:
A sequência de actividades visou preparar os alunos para uma melhor
compreensão da actividade desenvolvida com o módulo F8. No
entanto, creio que é possível juntar as actividades 3 e 4 usando o
módulo F8 e a calculadora. Esta opção implica maior tempo de
utilização do módulo;
Creio que também se poderá iniciar a abordagem pela utilização do
módulo F8 e posteriormente orientar os alunos numa pesquisa que vise a
compreensão de Lissajous. Esta estratégia implicará, pelo menos, mais
uma visita no final do estudo;
Será enriquecedor das aprendizagens a colaboração com a disciplina
de Física e Química A ou B.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 1
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“Introdução às curvas paramétricas”
1.1. Curvas Paramétricas definidas através de funções polinomiais de t
Imagina que uma partícula P se move ao longo
P
y
de uma recta, tal como ilustra a figura, e que essa
recta tem de equação y=x, ou seja, os seus
x
pontos têm abcissa e ordenada iguais.
Supõe que tanto x como y eram definidos por uma função de t (chamado
parâmetro), ou seja, x=f(t) ^ y=g(t). Neste caso podias escrever x=t ∧ y=t
com t∈IR (equações paramétricas desta recta) tendo cada ponto P da
recta coordenadas (x,y)=(t,t) para um dado valor real de t.
g(b)
y
Geralmente, considera-se uma curva fechada, ou seja,
a ≤ t ≤ b tendo a curva um ponto inicial A
P
A
(f(a),g(a)) e um ponto final B (f(b),g(b)).
Por exemplo, sendo x=2t ∧ y=t com 1≤
≤ t ≤ 3.
t
x=2t
y=t
(x,y)
y
1
2
1
(2,1)
3
2
4
2
(4,2)
1
3
6
3
(6,3)
2
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
6 x
B
x f(b)
Para representar esta curva paramétrica na calculadora gráfica,
selecciona MODE PAR e define as funções em Y=. Para visualizar o gráfico
define a janela adequada onde registas os limites de variação para t, x e y
(Neste exemplo, usa para t, 1≤ t ≤ 3, para x, por exemplo [0,7] e para y,
[0,4]).
1ªActividade
Voltando à recta y=x, é possível defini-la parametricamente de outras
formas como, por exemplo, x=t3 ∧ y=t3 ou x=5t ∧ y=5t ou x=t5 ∧ y=t5. Mas,
será possível defini-la por x=t2 ∧ y=t2? Porquê? Que característica devem ter
as
funções
de
t
para
que
as
possamos
utilizar
para
definir
parametricamente a recta y=x?
2ªActividade
Considera as rectas r: y=2x,
s: y=-3x
e
p: y=2x-1.
Indica equações
paramétricas para estas rectas.
3ªActividade
Considera as equações paramétricas x=t2 ∧ y=t com -3 ≤ t ≤ 3.
y
1. Sem recorreres à calculadora, tenta
3
prever a curva que representam e
1
justifica.
2
2. A curva representa uma função? Porquê?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
8
x
4ªActividade
Observa
os
segmentos
de
recta
representados
e
define-os
parametricamente.
y
y
3
3
1
1
6 x
2
2
6 x
1.2. Curvas paramétricas definidas através de funções trigonométricas de t
Em cada uma das seguintes actividades, esboça a curva definida
parametricamente, sem recorreres à calculadora gráfica. Une os pontos
por ordem crescente dos valores de t.
1ªActividade
x=cos(t) ∧ y=sen(t ) com 0 ≤ t ≤ 2π
t
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
4π/3
3π/2
x
y
y
1
x
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
2π
2ªActividade
x=sen(t) ∧ y=sen(2t ) com 0 ≤ t ≤ 2π
t
0
π/6
π/4
π/3
π/2 2π/3 3π/4
π
5π/4 4π/3 3π/2 7π/4
x
y
y
1
x
3ªActividade
x=sen(t) ∧ y=sen(t+π/3 ) com 0 ≤ t ≤ 2π
t
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
x
y
y
1
x
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
5π/3
2π
2π
FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 2
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“Introdução às curvas paramétricas”
Introdução às Curvas de Lissajous
1ª Actividade – Curvas paramétricas em que o argumento difere de um
‘ângulo de fase’.
Preenche a tabela seguinte e diz como caracterizas as curvas de
equação x=sin(t) ^ y=sin(t+ π /c) com 0 ≤ t ≤ 2π.
Identifica duas situações em que obtenhas uma circunferência.
Justifica porque é que a curva obtida é uma circunferência.
(Calculadora Gráfica: Com t∈[0,2π], passo de t igual a π/24, x∈[0,2π] e y∈[-2,2])
para obter as curvas paramétricas definidas a seguir e preenche as tabelas.)
Equações paramétricas
C1
Esboço da Curva
Observações
x= sin(t) ∧ y= sin(t)
C2
x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/12)
C3
x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/4)
C4
x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/3)
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Equações paramétricas
C5
x=sin(t) ∧ y= sin(t+π/2)
C6
x=sin(t) ∧ y= sin(t+3π/4)
C7
x=sin(t) ∧ y= sin(t+π)
Esboço da Curva
Observações
2ªActividade – Curvas paramétricas definidas por funções trigonométricas
com períodos diferentes. (Calculadora Gráfica)
Observações (por ex,
Equações paramétricas
Esboço da Curva
razão entre o período
e a frequência)
C1
x= sin(t) ∧ y= sin(2t)
C2
x=sin(t) ∧ y= sin(3t)
C3
x=sin(t) ∧ y= sin(4t)
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Observações (por ex,
Equações paramétricas
Esboço da Curva
razão entre o período
e a frequência)
C4
x= sin(t) ∧ y= sin(1,5t)
C5
x=sin(2t) ∧ y= sin(t)
C6
x=sin(2t) ∧ y= sin(3t)
Como caracterizas as curvas de equação x=sin(t) ∧ y= sin(nt) com 0≤t
≤2π?
(Sugestão: Identifica, por exemplo, a diferença entre curvas obtidas
para n par e n ímpar.)
Que relação existe, para cada curva, entre o período e a frequência
das funções x(t) e y(t)?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 3
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“Introdução às curvas paramétricas”
As Curvas de Lissajous e a Música
CURVAS DE LISSAJOUS
Curvas de Lissajous são curvas paramétricas definidas por x=a sin(nt+c) ∧ y=b sin(t).
São assim denominadas pois foram descobertas em 1857 por Jules Antoine Lissajous,
físico francês. As curvas de Lissajous foram usadas durante muito tempo para
determinar a frequência dos sons de sinais de rádio.
O som é resultado de uma vibração. O sinal sonoro é uma onda longitudinal. Cada
onda sonora tem uma frequência que corresponde ao número de vibrações por
segundo. A frequência de um sinal pode ser medida, através de um osciloscópio,
aplicando cada sinal em cada uma das entradas X e Y e por dois processos:
- A partir do período do sinal usando a fórmula F(Hertz)=1/T(seg).
- A partir da comparação entre uma frequência de valor conhecido e a que
desejamos conhecer.
1ªActividade
Na figura seguinte tens curvas de Lissajous em que os sinais estão desfasados
respectivamente: π/2, 5π/6 e π. Define-as parametricamente.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
2ªactividade
Observa na tabela seguinte a frequência correspondente a cada uma das várias
notas musicais: dó, dó# , ré, ré# , mi, fá, fá# , sol, sol# , lá, lá# , si e si# .
NOTAS MUSICAIS - FREQUÊNCIAS
1. Tendo em conta a tabela seguinte, compara as frequências de várias notas e
tenta identificar qual a curva de Lissajous que obterias num osciloscópio. (Usa a
calculadora gráfica para confirmar.) Regista na segunda tabela.
Nota
dó
Freq.
130,81
Desig
F1
Razão
dó#
138,59
ré
146,83
F2
F3
F2/F1
ré#
155,56
F4
F8/F1
mi
164,81
F5
fá
174,61
F6
F13/F1
fá#
185,00
F7
sol
sol#
196,00
207,65
F8
F9
F14/F2
lá
220,00
F10
F20/F1
lá#
si
dó
223,08
246,94
261,63
F12
F13
F11
F25/F1
entre
frequências
Curva
De
Lissajous
2. Imagina duas funções trigonométricas f e g tais que a frequência da primeira é r
vezes superior à da segunda. Que relação existe entre os períodos respectivos?
3. Supondo que g(x)= sen(x), indica uma expressão analítica que pode ter a função
f?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
FICHA DE TRABALHO – ACTIVIDADE 4
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“Introdução às curvas paramétricas”
Utilização do módulo F8
1. CURVAS DE LISSAJOUS
1.1. Utiliza as curvas de Lissajous para comparar a frequência de duas notas
consecutivas da escala dodecafónica. O que concluis?
1.2. Identifica duas notas tais que uma tenha o dobro da frequência da
outra.
Qual a respectiva curva de Lissajous?
E se uma tiver metade da frequência da outra, qual a relação com a
curva anterior?
1.3. Compara a frequência da nota dó com a nota dó de duas oitavas
acima. Qual a razão entre as frequências? Qual a curva de Lissajous
que obtiveste?
1.4. Se comparares a nota dó com a nota sol de uma oitava acima obténs
uma curva que te permite comparar as frequências. Qual a razão
entre as frequências?
2. ÂNGULO DE FASE
No 1º écran, em baixo, podes alterar o ângulo de fase utilizando o rato do
computador. Quando o fazes variar entre 0 e 90ºque curvas obténs?
E entre -90ºe 0º? Porquê?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
3. MODELO
Selecciona uma nota e observa o gráfico correspondente. A sua
configuração sugere para modelo da situação uma função do tipo y = A
sen [B (t − C)] em que y representa a intensidade do som em função do
tempo t.
3.1. Faz um esboço do gráfico.
3.2. O que significa o parâmetro B? Determina o seu valor.
3.3. A amplitude de uma onda sonora, representada no modelo acima
pelo parâmetro A, aumenta com a intensidade do som. Determina o valor
de A.
3.4. Qual o efeito de C no gráfico? Determina um valor para este
parâmetro.
3.5. Escreve a expressão do modelo que define a nota escolhida.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA