Problemas de Electricidade e Magnetismo - FCT

Universidade do Algarve
Departamento de Fı́sica
Problemas
de Electricidade e Magnetismo
Orlando Camargo Rodrı́guez
Faro, 15 de Fevereiro de 2005
Capa:
Kubische ruimteverdeling
(Divisão cúbica do espaço)
por:
M.C. Escher
§1.
Carga eléctrica e Lei de Coulomb
Problema 1. A força electrostática entre dois iões iguais, separados por uma distância
de 5,0×10−10 m, é de 3,7×10−9 N. (a) Qual é a carga em cada ião? (b) Quantos electrões
faltam em cada ião?
Problema 2. Duas cargas fixas, de +1×10−6 C e +3×10−6 C, estão separadas por uma
distância d = 10 cm. (a) Onde é que se pode localizar uma terceira carga, de modo a que
a força resultante sobre ela seja nula? (b) O equilı́brio dessa terceira carga vai ser estável
ou instável?
Problema 3. A carga total de duas pequenas esferas carregadas positivamente é de
5×10−5 C. Como está a carga distribuida entre as duas esferas, sabendo-se que a força de
repulsão entre elas, quando estão separadas de 2 m, é igual a 1 N?
Problema 4. Qual deve ser a distância entre dois protões, para que a força eléctrica repulsiva que neles actua seja igual aos seus próprios pesos, na superfı́cie da Terra? (Procure
o valor da massa do protão na Tabela de Constantes Fı́sicas).
Problema 5. No modelo de Bohr o raio do átomo de hidrogénio é 5,29×10−11 m. Determine: (a) A intensidade da força eléctrica que actua no electrão devido ao protão e
compare esse valor com a intensidade da atracção gravı́tica entre as duas cargas. (b) A
aceleração centrı́peta e a velocidade orbital do electrão.
Problema 6. Duas esferas iguais, de massa m e carga q, estão penduradas por fios de
seda de comprimento l, como mostra a Figura No.1. Admita que o ângulo θ é tão pequeno
que permite fazer a substituição tan θ ≈ sin θ, sem se cometer um erro apreciável. Mostre
que, dentro desta aproximação, se tem que
x=
lq 2
2π0 mg
!1/3
,
onde x é a distância entre os centros das duas esferas. Se l = 120 cm, m = 10 g e x = 5
cm, qual é o valor de q?
Figura No.1
1
Problema 7. Duas esferas, de cargas idênticas, estão penduradas em fios inextensı́veis
de comprimento l = 50 cm e cuja massa é desprezável. Supondo que os fios fazem um
ângulo de 30◦ com a vertical e que a massa de cada uma das esferas vale 20 g, calcule o
valor da carga existente em cada esfera.
Problema 8. Duas partı́culas com cargas iguais e separadas por uma distância d =
3,2×10−3 m são largadas do repouso. A aceleração da primeira partı́cula é igual a 7
m/s2 e a da segunda 9 m/s2 . Se a massa da primeira partı́cula for igual a 6,3×10−7 kg,
determine: (a) A massa da segunda partı́cula. (b) A carga de cada partı́cula.
Problema 9. Duas cargas, q1 = +6µC e q2 = +4µC, assentes no eixo X, estão separadas
por uma distância d = 10 cm. Considere a carga q1 colocada na origem do eixo X. (a) Uma
terceira carga q3 = +2µC situa-se entre q1 e q2 , num ponto equidistante daquelas duas
cargas. Determine a força que é exercida na carga q3 . (b) Ao longo do eixo X pode
deslocar-se uma outra carga q = -2µC. Em que ponto(s) do eixo é que esta carga deixa
de ficar sujeita à acção de qualquer força eléctrica?
Problema 10. Três cargas estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero, tal
como indicado na Figura No.2(a). Qual é a direcção e o sentido da força que age sobre a
carga +q?
(a)
(b)
Figura No.2
Problema 11. Nos vértices de um quadrado de 40 cm de lado estão colocadas cargas
idênticas de +3µC. Determine a força que actua em cada uma das cargas.
§2.
Campo electrostático
Problema 12. Qual o módulo de uma carga eléctrica pontual, escolhida de modo a
produzir um campo de 2 N/C à distância de 50 cm?
Problema 13. Localize na Figura No.2(b) o ponto (ou os pontos) onde a intensidade
do campo eléctrico é nula. Considere a = 50 cm.
Problema 14. Três cargas idênticas q estão colocadas em três vértices de um quadrado
de lado l. Calcule o campo eléctrico no quarto vértice.
2
Problema 15. Um fio metálico, de comprimento l, está uniformemente carregado com
uma carga total q. Determine o campo eléctrico num ponto P situado ao longo do eixo
do fio, a uma distância a do seu extremo mais próximo.
Problema 16. Um bastão fino de vidro é encurvado de modo a formar um semicı́rculo
de raio R. Uma carga +Q está distribuida uniformemente ao longo da metade superior,
e uma carga -Q ao longo da metade inferior, como mostra a Figura No.3(a). Determine
o campo eléctrico E, no centro P do semicı́rculo.
(a)
(b)
Figura No.3
Problema 17. Determine o campo eléctrico, num ponto P , criado por um fio de comprimento infinito e densidade linear de carga λ, a uma distância r perpendicular ao fio.
Qual é a simetria do campo?
Problema 18. Determine o campo eléctrico E, num ponto P , localizado no eixo de um
anel uniformemente carregado, de raio R e carga total Q. O plano do anel é perpendicular
ao eixo X e o ponto P está a uma distância x do centro do anel.
Problema 19. Determine o campo eléctrico E, num ponto P , localizado no eixo de um
disco uniformemente carregado, de raio R e densidade superficial de carga σ. O plano do
disco é perpendicular ao eixo X e o ponto P está a uma distância x do centro do disco.
Determine igualmente o campo eléctrico quando R → ∞ (plano infinito).
Problema 20. Campo axial produzido por um dipolo eléctrico: Para um dipolo constituido por uma par de cargas q e −q, separadas por uma distância vertical 2a, considere
um ponto P colocado à distância r do centro do dipolo e situado no seu eixo (ver Figura
No.3(b)).
(a) Demonstre que para grandes valores de r a intensidade do campo eléctrico, em P ,
corresponde a
1 p
E=
,
4π0 r3
onde p representa o módulo do momento do dipolo (p = 2aqey ).
(b) Qual a direcção de E?
3
Problema 21. Experiência de Millikan: No aparelho da Figura No.4 (idealizado por
R.A. Millikan) uma pequena gota de óleo carregada, colocada num campo eléctrico uniforme E, pode ser equilibrada ajustando-se o valor de E de modo a que a força eléctrica
na gota tenha uma intensidade exactamente igual, e sentido oposto, ao seu peso. O raio
da gota é de 1,64×10−4 cm, e o valor de E, na situação de equilı́brio, de 1,92×105 N/C.
(a) Qual a carga da gota em termos da carga do electrão, e? (b) Porque é que Millikan
não tentou equilibrar electrões em vez de gotas de óleo? (A densidade do óleo é 0,851
g/cm3 ).
Figura No.4
§3.
Movimento de cargas num campo eléctrico uniforme
Problema 22. Existe um campo eléctrico uniforme no espaço entre duas placas paralelas de cargas opostas. Um electrão parte do repouso, na superfı́cie da placa carregada
negativamente, e incide sobre a superfı́cie da placa oposta, a 2 cm de distância, após
1,5×10−8 s. (a) Qual a velocidade desse electrão quando ele incide sobre a segunda placa?
(b) Qual é o módulo do campo eléctrico E?
Problema 23. Um electrão com uma velocidade inicial v0 = v0 ex , onde v0 = 8,6×105
m/s, entra numa região onde existe um campo eléctrico uniforme E = E0 ex , onde E0 =
4,1×103 N/C. Determine: (a) A aceleração do electrão. (b) O tempo que o electrão leva
a parar. (c) A distância que o electrão percorre até parar.
Problema 24. Protões são projectados com uma velocidade inicial v0 = 9, 55 × 103 m/s,
numa região onde existe um campo eléctrico uniforme E = -E0 ey (ver Figura No.5), onde
E0 = -720 N/C. Os protões devem atingir um alvo que se encontra a uma distância
horizontal l = 1,27 mm, do ponto de onde foram projectados. Determine: (a) Os ângulos
θ que resultam na colisão dos protões com o alvo. (b) O tempo total de vôo para cada
trajectória.
4
Y
E
v0
θ
X
l
Figura No.5
§4.
Potencial eléctrico
Problema 25. Uma carga pontual q1 = +2µC é colocada na origem do eixo X. Uma
segunda carga q2 = -3µC é colocada na posição x = 100 cm. Em que ponto(s) do eixo X
é que o potencial eléctrico se anula?
Problema 26. Duas cargas pontuais, q1 = +5nC e q2 = −3nC, estão separadas por uma
distância d = 35 cm. (a) Qual é a energia potencial do sistema constituı́do pelas duas
cargas? Qual é o significado do sinal algébrico dessa energia potencial? (b) Qual é o
potencial eléctrico no ponto que se situa na linha que une as cargas e que é equidistante
das duas?
Problema 27. Demonstre que o potencial no ponto P da Figura No.6 é nulo.
Figura No.6
Problema 28. Três cargas q estão colocadas em três vértices de um quadrado de lado l.
Determine o potencial eléctrico no quarto vértice.
Problema 29. Três cargas encontram-se nos vértices de um triângulo isósceles, como
indicado na Figura No.7 (a = 2 cm, b = 4 cm). Calcule o potencial eléctrico no ponto
médio da base. Considere que q = 7µC.
5
Figura No.7
Problema 30. Duas placas metálicas, iguais e paralelas, com uma densidade superficial
de carga +σ e -σ, estão separadas por uma distância de 50 cm e encontram-se ligadas
a uma bateria de 90 V. Supondo que a distância entre as placas é muito menor do que
as dimensões das mesmas, determine: (a) A intensidade do campo eléctrico E entre as
placas. (b) A densidade superficial de carga σ.
Problema 31. Qual a diferença de potencial, ∆ϕ, necessária para parar um electrão com
uma velocidade inicial de 4,2×105 m/s?
Problema 32. Considere dois pontos, P1 e P2 , num campo eléctrico. O potencial em P1
é ϕ1 = -30 V e o potencial em P2 é ϕ2 = +150 V. Determine o trabalho que uma força
externa deverá realizar para mover uma carga q = -4,7µC de P2 para P1 .
Problema 33. A intensidade do campo eléctrico entre duas placas paralelas carregadas,
separadas por 1,8 cm, é 2,4×104 N/C. Determine a diferença de potencial ∆ϕ entre as
placas. Calcule a energia cinética Ec , ganha por um protão que se move da placa positiva
para a placa negativa.
Problema 34. (a) Calcule a velocidade v de um protão que é acelerado, do repouso, por
uma diferença de potencial ∆ϕ = 120 V. (b) Calcule a velocidade v de um electrão que
é acelerado do repouso, pela mesma diferença de potencial.
Problema 35. Um ião, acelerado por uma diferença de potencial ∆ϕ = 115 V, sofre um
acréscimo de energia cinética ∆Ec = 7,37×10−7 J. Calcule a carga do ião.
Problema 36. Um electrão, movendo-se paralelamente ao eixo X, tem uma velocidade
inicial v0 = 3,7×106 m/s na origem. A sua velocidade é reduzida para v = 1,4×105 m/s
no ponto x = 2 cm. Calcule a diferença de potencial ∆ϕ entre a origem e este ponto.
Qual dos pontos está a um potencial mais elevado?
Problema 37. Calcule a energia potencial do átomo de hidrogénio, Ep , considerando que
o seu electrão se encontra a uma distância r em relação ao núcleo do átomo.
Problema 38. Considere um fio uniformemente carregado, de comprimento l e densidade
linear de carga λ. Determine o potencial ϕ, num ponto P a uma distância a do seu extremo
mais próximo.
6
Problema 39. Determine o potencial ϕ, num ponto P , criado por um fio de comprimento infinito e densidade linear de carga λ, a uma distância r perpendicular ao fio.
Determine também a diferença de potencial ∆ϕ às distâncias r e R (R > r), igualmente
perpendiculares ao fio. Calcule o campo electrostático em r a partir de ∆ϕ.
Problema 40. Determine o potencial ϕ, num ponto P localizado no eixo de um anel
uniformemente carregado, de raio R e carga total Q. O plano do anel é perpendicular ao
eixo X e o ponto P está a uma distância x do centro do anel.
Problema 41. Determine o potencial ϕ, num ponto P , localizado no eixo de um disco
uniformemente carregado de raio interior R0 , raio exterior R, e densidade superficial de
carga σ. O plano do disco é perpendicular ao eixo X e o ponto P está a uma distância x
do centro do disco. Determine igualmente o potencial do disco quando R0 = 0.
Problema 42. O eixo X é o eixo de simetria de um anel uniformemente carregado de
raio R e carga Q. Uma carga pontual Q, de massa M , situa-se no centro do anel. Quando
é deslocada ligeiramente, a carga pontual acelera ao longo do eixo X em direcção ao
infinito. Mostre que a velocidade da carga, no infinito, é:
s
v=
Q2
.
2M Rπ0
Problema 43. Uma esfera oca, não condutora, tem um raio exterior b e um raio interior
a. A carga total da esfera é Q e encontra-se uniformemente distribuida. Determine o
campo eléctrico E e o potencial ϕ a uma distância r do centro da esfera, se: (a) r < b.
(b) a < r < b. (c) r < a.
Problema 44. Considere duas esferas ocas, condutoras e concêntricas, uniformemente
carregadas. As esferas têm raios r1 e r2 e cargas Q1 e Q2 , respectivamente (r1 < r2 ).
Determine o campo eléctrico e o potencial para uma distância r em relação ao centro das
esferas, nos seguintes casos: (a) r < r1 . (b) r1 < r < r2 . (c) r < r2 .
§5.
Fluxo de um campo eléctrico e Lei de Gauss
Problema 45. Um cone com uma base de raio R e altura h encontra-se numa mesa
horizontal. Um campo eléctrico uniforme e horizontal, E, atravessa o cone. Determine o
fluxo eléctrico que entra no cone.
Problema 46. Um campo eléctrico de intensidade 3,5×103 N/C é aplicado ao longo do
eixo dos X. Calcule o fluxo eléctrico, através de um plano rectangular de área 0,35×0,70
m2 , se o plano: (a) For paralelo ao plano Y Z. (b) For paralelo ao plano XY . (c) Contiver
o eixo Y e a sua normal fizer um ângulo de 40◦ com o eixo dos X.
Problema 47. Um campo eléctrico uniforme E = aex + bey N/C intersecta uma superfı́cie de área A. Determine o fluxo através desta área, se a superfı́cie se encontrar no
plano: (a) Y Z. (b) XZ. (c) XY .
7
Problema 48. Determine, pela aplicação da Lei de Gauss, o campo eléctrico a uma
distância r de uma distribuição linear de carga uniforme e infinita, cuja carga por unidade
de comprimento é λ.
Problema 49. Determine o campo eléctrico devido a um plano Y Z infinito e não condutor, carregado uniformemente com uma carga por unidade de área σ.
Problema 50. Um cubo de lado l está colocado numa região do espaço onde existe um
campo eléctrico uniforme e perpendicular a duas das suas faces. Determine o fluxo do
campo através do cubo.
Problema 51. Um fio de comprimento infinito, carregado com uma densidade de carga
λ, encontra-se a uma distância d de um ponto O, como indicado na Figura No.8.
a) Determine o fluxo do campo eléctrico através de uma superfı́cie esférica centrada em
O quando R < d.
b) Mostre que o fluxo do campo √
eléctrico através de uma superfı́cie esférica centrada em
O, quando R > d, é dado por 2λ R2 − d2 /0 .
c) Se λ > 0 qual a orientação e sentido das linhas do campo eléctrico em torno do fio?
Figura No.8
§6.
Corrente eléctrica
Problema 52. De quantos electrões por segundo é constituı́da uma corrente de 0,7 A,
ao passar numa dada secção de um condutor?
Problema 53. Um fio de cobre de secção 3 mm2 transporta uma corrente de 5 A.
Sabendo que a massa molar do cobre é 63,5 g/mol e que a densidade do cobre é 8920
kg/m3 , determine a velocidade de deslocamento dos electrões no fio. Assuma que cada
átomo de cobre contribui com um electrão para a corrente.
Problema 54. Num dado condutor tem-se um fluxo de electrões de 0,6 mol em 45 minutos. Determine a carga total que atravessa o condutor e a intensidade da corrente.
8
Problema 55. Um fio condutor de secção recta circular, com um diâmetro não uniforme,
transporta uma corrente de 5 A (ver Figura No.9). O raio da secção recta A1 é 0,4 cm2 .
(a) Determine a densidade de corrente em A1 . (b) Se a densidade de corrente em A2 for
um quarto da densidade de corrente em A1 , qual é o raio do condutor em A2 ?
A1
A2
Figura No.9
Problema 56. Uma corrente eléctrica é dada por
I(t) = I0 sin (ωt) ,
onde I0 = 100 A e ω = 120π rad/s. Determine a carga total transportada pela corrente,
no intervalo de tempo entre ti = 0 s e tf = 1/240 s.
Problema 57. Suponha que a corrente através de um condutor decresce exponencialmente no tempo, segundo a lei
I(t) = I0 e−t/τ ,
onde I0 e τ são constantes. Considere um ponto de observação fixo dentro do condutor.
(a) Que quantidade de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = τ s? (b) Que
quantidade de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = 10τ s? (c) Que quantidade
de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = ∞ s?
§7.
Resistividade
Problema 58. Considere um fio de chumbo de raio 0,321 mm. (a) Calcule a resistência
por unidade de comprimento. (b) Determine a intensidade da corrente no fio, se uma
diferença de potencial de 10 V for mantida através do fio, agora de comprimento l = 1
m. (c) Determine a densidade de corrente e o campo eléctrico no fio, supondo que este
transporta uma corrente de 2 A.
Problema 59. Um fio de metal, de resistência R0 e comprimento l0 , é cortado em três
segmentos iguais. Os segmentos são unidos, de modo a formar um novo fio de comprimento
l = l0 /3. Determine a resistência R do novo fio em função de R0 .
Problema 60. Um fio condutor, de comprimento l0 e resistência R0 , é esticado a temperatura constante até atingir um comprimento l = 2l0 . Determine R, a resistência final
do fio, em função de R0 (considere que antes e depois do alongamento o fio mantem uma
forma cilı́ndrica).
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Problema 61. Dois fios, um de cobre e outro de alumı́nio, têm o mesmo comprimento
e a mesma resistência. Determine a razão dos seus raios através da razão entre as suas
resistividades.
Problema 62. Pretende-se fabricar um fio uniforme a partir de 1 g de cobre. Supondo
que se utiliza todo o cobre disponı́vel, e que o fio deve ter uma resistência de 0,5 Ω,
determine qual deverá ser o comprimento e o diâmetro do fio.
§8.
Força de Lorentz
Problema 63. Considere uma carga q animada de uma velocidade v numa região do
espaço onde existe um campo magnético B. Indique, para cada uma das situações
seguintes, a direcção e o sentido da força F, exercida
sobre a carga, devido ao campo
√
magnético:
(a) v = ey v e B = ex B; (b) v = − 2 (ex v + ey v) /2 e B = ex B; (c) v =
√
2 (ex v + ey v) /2 e B = −ez B. Desenhe no plano XY , para cada caso, os vectores v, B
e F.
Problema 64. Um electrão é acelerado, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de 375 V, após o que entra numa região do espaço onde existe um campo magnético
de intensidade 4 mT, perpendicular à sua velocidade inicial. Calcule o raio da trajectória
circular do electrão, a sua velocidade angular e o perı́odo do movimento.
Problema 65. Um feixe de partı́culas de carga q, animadas de velocidade v = ex v
(v > 0), entra numa região do espaço onde existe um campo eléctrico uniforme E = −ey E,
de intensidade E = 80 kV/m. Perpendicular a E e no sentido negativo do eixo Z existe
um campo magnético uniforme e de intensidade 0,4 T. Se a velocidade das partı́culas for
convenientemente escolhida, elas não são deflectidas por aqueles campos cruzados. Qual
deverá ser a velocidade seleccionada para que tal aconteça?
Problema 66. Um electrão com uma velocidade de 5×106 m/s entra numa região do
espaço onde existe um campo magnético uniforme, de intensidade B = 0,5 T, e perpendicular à velocidade do electrão. Determine a força magnética, F, que actua sobre o electrão
e o raio R da circunferência descrita.
Problema 67. Um electrão que se desloca ao longo do eixo X com velocidade ex v (v > 0)
atravessa um campo magnético constante B ⊥ v e sofre uma deflecção no sentido negativo
do eixo Y . Determine o campo magnético B.
Problema 68. Um protão, movendo-se a uma velocidade de 4×106 m/s através de um
campo magnético de 1,7 T, experimenta uma força magnética de 8,2×10−13 N. Determine
o ângulo entre v e B.
Problema 69. Um ião monovalente executa cinco revoluções, em 1,5 ms, num campo
magnético uniforme de magnitude B = 5×10−2 T. Determine a massa aproximada m do
ião.
10
Problema 70. Um ião monovalente, de massa m, é acelerado do repouso por uma
diferença de potencial ∆ϕ. A sua trajectória é então deflectida por um campo magnético
uniforme (perpendicular à velocidade do ião) num semicı́rculo de raio R. Um outro ião,
bivalente, de massa m0 , é também acelerado a partir do repouso, pela mesma diferença de
potencial e a sua trajectória é deflectida pelo mesmo campo magnético, num semicı́rculo
de raio R0 = 2R. Determine a razão das massas dos dois iões.
§9.
Força magnética sobre uma corrente eléctrica
Problema 71. Determine a força exercida em cada segmento do fio condutor da Figura
No.10. Considere que B = 0,15 T, I = 5 A, lBC = 16 cm, θ= 35◦ .
C
B
θ
I
A
I
B
D
E
Figura No.10
Problema 72. Considere o sistema indicado na Figura No.11. A barra AC tem uma
massa de 50 g e pode deslizar livremente ao longo de dois fios metálicos paralelos que
estão afastados entre si de 40 cm e fazem um ângulo de 37◦ com o plano XZ. A corrente
I é constrangida a fluir através desses fios e da barra. Existe um campo magnético B =
0,2 T na direcção −Y . Determine o valor que a corrente, I, deve tomar para que a barra
permaneça imóvel (despreze uma pequena torção na barra).
Figura No.11
11
Problema 73. Um fio de comprimento L = 2,8 m transporta uma corrente de 5 A numa
região onde um campo magnético uniforme tem uma magnitude de 0,39 T. Calcule a
intensidade da força magnética F sobre o fio, se o ângulo entre o campo magnético e a
corrente for de: (a) 60◦ . (b) 90◦ . (c) 120◦ .
Problema 74. Um fio com uma massa por unidade de comprimento de 0,5 g/cm assenta
no plano XZ e transporta uma corrente de 2 A, no sentido positivo do eixo Z. Determine
a direcção e magnitude do campo magnético, B, mı́nimo necessário para levantar este fio
no sentido positivo do eixo Y .
Problema 75. Um circuito rectangular, com dimensões 10 cm × 20 cm, está suspenso
por um fio inextensı́vel e de massa desprezável, como indicado na Figura No.12. A secção
horizontal inferior do circuito está imersa num campo magnético uniforme B. Se uma
corrente de 3 A percorrer o circuito, no sentido indicado, determine o campo magnético
B necessário para produzir uma tensão de 4×10−2 N no fio.
I
I
B
Figura No.12
§10.
Força entre correntes; Lei de Bio-Savart
Problema 76. Calcule o campo magnético no ponto O, para o segmento condutor indicado na Figura No.13. O fio consiste em duas secções rectas e um arco circular de raio R
e de comprimento Rθ (com θ expresso em radianos).
Problema 77. Um fio condutor, percorrido por uma corrente I1 = 30 A, e um circuito
rectangular, percorrido por uma corrente I2 = 20 A, situam-se no mesmo plano, como
indicado na Figura No.14. Determine a força resultante, R, que actua sobre o circuito
devido à corrente I1 , sabendo que a = 1 cm, b = 8 cm e h = 30 cm.
Problema 78. Um condutor consiste num anel circular de raio R = 0,1 m e duas secções
rectas (ver Figura No.15). O condutor assenta no plano da folha de papel e transporta
uma corrente I = 7 A. Determine o campo magnético B, no centro do anel, resultante da
passagem de corrente.
12
I
O
θ
R
I
Figura No.13
I1
h
I2
PSfrag replacements
a
b
Figura No.14
Problema 79. Caracterize o campo magnético no ponto C, BC , produzido pelas duas
correntes da Figura No.16. Considere I1 = 5 A, I2 = 10 A, a = 8 cm, b = 20 cm e
c = 15 cm.
§11.
Lei de Ampère
Problema 80. No cabo coaxial representado na Figura No.17 um fio, de raio a, transporta uma corrente I1 , uniformemente distribuida por toda a sua secção recta, ao longo
do eixo de um tubo metálico, com raio interno b e raio externo c. O tubo metálico transporta uma corrente I1 , no sentido oposto à corrente transportada pelo fio, uniformemente
distribuida ao longo da sua secção recta. Determine a intensidade do campo magnético
para: (a) r < a. (b) a < r < b. (c) b < r < c. (d) r > c.
Problema 81. Um cilindro condutor, oco, de raio interno b e raio externo c, transporta
uma corrente I, uniformemente distribuida ao longo da sua secção recta. Determine a
intensidade do campo B magnético para: (a) b < r < c. (b) r < b.
1
Problema 82. Nióbio metálico torna-se supercondutor quando arrefecido abaixo de 9 K.
Se a supercondutividade for destruı́da, quando o campo magnético superficial exceder 0,1
13
I
R
Figura No.15
I1
c
I2
PSfrag replacements
a
b
C
Figura No.16
T, determine a corrente máxima, Imax , que um fio de nióbio de 2 mm de diâmetro pode
transportar, permanecendo supercondutor.
Problema 83. Um conjunto de 100 fios condutores rectilı́neos e longos formam um cilindro de raio R = 0,5 cm. (a) Se cada fio transportar uma corrente de 2 A, caracterize a
força magnética por unidade de comprimento que actua num fio situado a 0,2 cm do eixo
do cilindro. (b) Um fio à superfı́cie do cilindro sofre uma força maior ou menor do que a
calculada na alı́nea (a)?
Problema 84. Considere dois fios condutores, paralelos entre si e ao eixo X. Os fios
estão separados por uma distância 2a e transportam uma corrente I no sentido negativo
do eixo X. (a) Desenhe as linhas do campo magnético no plano Y Z. (b) A que distância
d, ao longo do eixo Z, toma o campo magnético um valor máximo?
14
1
c
a
I1
I1
b
PSfrag replacements
Figura No.17
1
15
§A.I.
O sistema SI de unidades
Unidades básicas
Quantidade
Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura
Corrente eléctrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância
Unidade
metro
quilograma
segundo
kelvin
ampere
candela
mol
Sı́mbolo
m
kg
s
K
A
cd
mol
radiano
esteradiano
rad
sr
Unidades adicionais
Ângulo plano
Ângulo sólido
Unidades derivadas com nome próprio
Quantidade
Frequência
Força
Pressão
Energia
Potência
Carga
Potencial eléctrico
Capacidade eléctrica
Resistência
Conductância eléctrica
Fluxo magnético
Densidade do fluxo magnético
Inductância
Fluxo luminoso
Iluminância
Actividade
Dose absorbida
Dose equivalente
§A.II.
Unidade
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
sievert
Sı́mbolo
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
Derivação
s−1
kg×m×s−2
N×m−2
N×m
J×s−1
A×s
W×A−1
C×V−1
V×A−1
A×V−1
V×s
Wb×m−2
Wb×A−1
cd×sr
lm×m−2
s−1
J×kg−1
J×kg−1
Prefixos
yotta
zetta
exa
peta
tera
Y
Z
E
P
T
1024
1021
1018
1015
1012
giga
G
mega M
quilo k
hecto h
deca da
109
106
103
102
10
deci
centi
milli
micro
nano
16
d 10−1
c 10−2
m 10−3
µ 10−6
n 10−9
pico
p
femto f
ato
a
zepto z
yocto y
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
§A.III.
Constantes fı́sicas
Aceleração da gravidade
Const. gravı́tica
Velocidade da luz no vácuo
Carga elementar
Constante de Coulomb
Constante eléctrica
Constante magnética
(4πε0 )−1
Const. da estructura fina
Const. de Planck
Const. de Dirac
Magnetão de Bohr
Ráio de Bohr
Const. de Rydberg
Magnetão nuclear
Momento magn. do electrão
Momento magn. do protão
c.d.o de Compton
c.d.o de Compton
para o protão
c.d.o de Compton
para o neutrão
Const. de
Stefan-Boltzmann
Const. de Wien
Const. universal
dos gases
Const. de Avogadro
Const. de Boltzmann
Volume dum gás em
condições normais
Raio do electrão
Massa do electrão
Massa do protão
Massa do neutrão
Unid. elementar de massa
(ou unid. de massa
atómica, u.m.a.)
m/s2
m3 kg−1 s−2
m/s (def)
C
Nm2 /C2
F/m
α = e2 /2hcε0
h
h̄ = h/2π
µB = eh̄/2me
a0
Ry
µN
µe
µp
λCe = h/ (me c)
λCp = h/ (mp c)
9,80665
6, 67259 × 10−11
2, 99792458 × 108
1, 6021892 × 10−19
9 × 109
8, 85418782 × 10−12
4π × 10−7 =
= 12, 5663706144 × 10−7
8, 9876 × 109
≈ 1/137
6, 6260755 × 10−34
1, 0545727 × 10−34
9, 2741 × 10−24
0, 52918
13,595
5, 0508 × 10−27
9, 2847701 × 10−24
1, 41060761 × 10−26
2, 2463 × 10−12
1, 3214 × 10−15
λCn = h/ (mn c)
1, 3195909 × 10−15
m
σ
5, 67032 × 10−8
Wm2 K−4
kW
R
2, 8978 × 10−3
8,314472
mK
J/mol
NA
k = R/NA
Vm
6, 02214199 × 1023
1, 3806503 × 10−23
22, 41383 × 10−3
mol−1
J/K
m3 /mol
re
me
mp
mn
mu =
2, 817938 × 10−15
9, 109534 × 10−31
1, 6726485 × 10−27
1, 674954 × 10−27
1, 6605656 × 10−27
m
kg
kg
kg
kg
g
G, γ
c
e
K
ε0
µ0
µ0
1
m(126 C)
12
17
H/m
Nm2 C−2
Js
Js
Am2
Å
eV
J/T
A·m2
A·m2
m
m
Diâmetro do Sol
Massa do Sol
Perı́odo rot. do Sol
Raio da Terra
Massa da Terra
Perı́odo rot. da Terra
Perı́odo orb. da Terra
D
M
T
RT
MT
TT
Ano tropical
Unidade astronómica
Ano-luz
Parsec
Unidade Astronómica
Const. de Hubble
AU
ly
pc
AU
H
1392 × 106
1, 989 × 1030
25,38
6, 378 × 106
5, 976 × 1024
23,96
365,24219879
31556926
1, 4959787066 × 1011
9, 4605 × 1015
3, 0857 × 1016
149597870000
≈ (75 ± 25)
c.d.o = comprimento de onda
§A.IV.
Escalas de temperaturas
K =
◦
C =
◦
C =
◦
F =
◦
C + 273,15,
K - 273,15,
5/9(◦ F 32),
◦
9/5 C +
32.
18
m
kg
dias
m
kg
horas
dias
s
m
m
m
m
km×s−1 ×Mpc−1
§A.V.
Relações úteis
Unidades angulares
57,29577951308232◦ =
1 rad
1◦
=
0,01745329251 rad
10
= 2,90888208666×10−4 rad
100
= 4,8481368111×10−6 rad
1 gradiano
=
0,01570796326795 rad
(ângulo recto/100)
Unidades de comprimento
1 amstrong
=
1×10−10 m
1 polegada
=
0,0254 m
1 pé
=
0,3048 m
1 pé (USA)
=
1200/3937 m
1 jarda
=
0,9144 m
1 jarda (USA)
=
3600/3937 m
1 milha naútica
=
1852 m
1 milha terrestre
=
1609,344 m
1 milha terrestre
=
6336000/3937 m
(USA)
Unidades de área
1 acre
=
4046,8564224 m2
1 are
=
1×102 m2
1 hectare
=
1×104 m2
Unidades de volume
1 litro
=
1×10−3 m3
1 barril de petróleo =
0,15898729492 m3
1 galão (USA)
=
3,785411784×10−3 m3
1 galão (UK)
= 4,54609929488×10−3 m3
19
Unidades de massa
1 libra
=
0,45359237 kg
1 onça
= 0,02834952312 kg
1 slug
= 14,5939029372 kg
Unidades de velocidade
1 nó
=
1852/3600 m/s
1 milha por hora
=
0,44704 m/s
Unidades de pressão
1 atm
=
101325 Pa
1 atmosfera técnica
=
98066,5 Pa
1 metro de água
=
9806,65 Pa
1 milimetro de mercúrio
=
101325/760 Pa
1 torr
=
101325/760 Pa
1 pé de água
=
2989,06692 Pa
1 polegada de água
=
249,08891 Pa
1 polegada de mercúrio
= 3386,38815789 Pa
1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa
Unidades de força
1 dine
=
1×10−5 N
1 quilograma-força
=
9,80665 N
1 libra-força
= 4,44822161526 N
Unidades de potência
1 cavalo-força métrico
=
735,49875 W
1 BTU por hora
= 0,29307107017 W
Unidades de energia
1 cal
=
4,186 J
1 eV
=
1,602×10−19 J
1 pé libra-força
=
1,35581794833 J
1 cavalo-força
=
745,699871582 J
1 BTU
=
1055,05585262 J
(British thermal unit)
20
§A.VI.
§A.VI.1
Propriedades fı́sicas de algumas substâncias
Densidade
3
Substância
Água∗
Água de mar∗
Gelo
Alumı́nio
Ar
Betão
Bronze
Cobre
Duralumı́nio
Glicerina∗
Granito
Eter∗
Ferro
Invar
Irı́dio
Latão
Mercúrio∗
Óleo
Ouro
Petróleo
Prata
Volfrâmio
Zinco
kg/m
1 ×103
1,02×103
9,2 ×102
2,71×103
1,29
2,2 ×103
8,8 ×103
8,92×103
2,79×103
1,26×103
2,8 ×103
7,1×102
7,8×103
8,7×103
2,24×104
8,4×103
1,36×104
9,2 ×102
1,93×104
8,5 ×102
1,05×104
1,91×104
7,14×103
∗
ρ
kg/dm3 ou g/cm3
1
1,02
0,92
2,71
1,29×10−3
2,2
8,8
8,92
2,79
1,26
2,8
0,71
7,8
8,7
22,4
8,4
13,6
0,92
19,3
0,85
10,5
19,1
7,14
A 20◦ C/293 K.
21
§A.VI.2
Calor especı́fico
c
◦
Substância
J/(kg· C) cal/(g·◦ C)
Água
4186
1
Gelo
2090
0,5
Vapor de água
2010
0,4802
Alumı́nio
880
0,210
Ar
1000
0,24
Árgon
314
0,075
Chumbo
129
0,031
Cobre
385
0,091
Estanho
250
0,06
Ferro
461
0,11
Mercúrio
125
0,03
Vidro
840
0,2
§A.VI.3
Calor latente
Calor latente de fusão λf :
λf
Substância
J/kg
cal/g
3
Água
333×10
80
Calor latente de evaporação λe :
λe
Substância
J/kg
cal/g
3
Água
2260×10
539
22
§A.VI.4
Condutividade térmica
Substância
Água
Gelo
Neve seca
Alumı́nio
Ár a temperatura ambiente
Ár a 0◦ C
Asbesto
Chumbo
Cobre
Concreto
Cortiça
Ferro
Fibra de vidro
Hélio a 0◦ C
Hidrogénio a 0◦ C
Lã
Lexan
Madeira (Carvalho)
Prata
Vidro
23
W/(m·K)
0,596
0,017
0,11
209,0
0,03
0,024
0,17
35,0
400,0
8,4
0,046
68,0
0,063
0,13
0,17
0,042
0,19-0,22
0,17
423
0,84
k
cal/(s·cm·◦ C)
0,1424
0,004
0,026
50,0
0,0072
0,0057
0,04
8,3
95,56
2,0
0,011
16,3
0,015
0,03
0,04
0,01
0,0454-0,0525
0,04
101,0
0,25
§A.VI.5
Constantes de van der Waals
Gás
He
Ne
Ar
Kr
Xe
H2
N2
O2
Cl2
H2 O
CH4
CO2
CCl4
§A.VI.6
a (l2 atm/mol2 ) b (l/mol)
0,0341
0,02370
0,211
0,0171
1,34
0,0322
2,32
0,0398
4,19
0,0510
0,244
0,0266
1,39
0,0391
1,36
0,0318
6,49
0,0562
5,46
0,0305
2,25
0,0428
3,59
0,0427
20,4
0,1383
Resistividade a 20◦ C
Metal
Resistividade (Ω·m)
Alumı́nio
2,826×10−8
Borracha sólida
1-100×1013
Chumbo
2,2×10−7
Cobre
1,724×10−8
Constantan
49×10−8
Cromonı́quel
100×10−8
Ferro
9,71×10−8
Germânio
1-500×10−3
Grafite
3-60×10−5
Manganina
48,2×10−8
Mercúrio
98×10−8
Platina
10,6×10−8
Prata
1,59×10−8
Quartzo fundido
7,5×1017
Silı́cio
0,1-60
Tungsténio
5,6×10−8
Vidro
1-10000×109
24
25
(227)
88
Ra
226,03
Fr
(223)
**Actinı́deos
*Lantanı́deos
Ac**
137,34
87
73
91
Pa
231,04
90
Th
232,04
Metais
140,91
140,11
61
(263)
Sg
106
183,85
W
74
95,94
Mo
42
52,00
Cr
62
(262)
Bh
107
186,21
Re
75
(98)
Tc
43
54,94
Mn
238,03
U
92
144,24
Metalóides
237,05
Np
93
(145)
95
151,96
Eu
63
(265)
Hs
108
190,2
Os
76
101,07
Ru
44
55,85
Fe
96
157,25
Gd
64
(266)
Mt
109
192,22
Ir
77
102,91
Rh
45
58,93
Co
(244)
(243)
(247)
Bk
97
158,92
Tb
65
(269)
Uun
110
195,09
Pt
78
106,4
Pd
46
58,71
Ni
Metais de transição
(247)
Pu Am Cm
94
150,36
Nd Pm Sm
60
59
Pr
58
(262)
(261)
Db
105
104
Rf
180,95
178,49
Ta
72
Hf
92,91
Nb
41
50,94
V
91,22
Zr
40
47,90
Ti
Ce
89
138,91
La*
57
88,91
132,91
87,62
85,47
Y
56
Sr
Rb
39
44,96
Ba
38
37
55
40,08
39,10
Sc
Cs
20
Ca
19
24,31
K
22,99
29
(251)
Cf
98
162,50
Dy
66
(272)
Uuu
111
196,97
Au
79
107,87
Ag
47
63,55
Cu
30
31
Si
(257)
N
70
208,96
Bi
83
121,75
Sb
51
74,92
As
33
30,97
P
15
14,01
101
168,93
(258)
(259)
No
102
173,04
Tm Yb
69
207,2
Pb
82
118,69
Sn
50
72,59
Ge
32
28,09
Fm Md
100
167,26
Er
68
(282)
Uut
113
204,37
Tl
81
114,82
In
49
69,72
Ga
Não-metais
(252)
Es
99
164,93
Ho
67
(277)
Uub
112
200,59
Hg
80
112,40
Cd
48
65,38
Zn
26,98
Al
14
13
C
12,01
10,81
B
F
(210)
At
85
126,90
I
53
79,90
Br
35
35,45
Cl
17
19,00
Gases nobres
(260)
Lr
103
174,97
Lu
71
(209)
Po
84
127,60
Te
52
78,96
Se
34
32,06
S
16
16,00
O
(222)
Rn
86
131,30
Xe
54
83,80
Kr
36
39,95
Ar
18
20,18
Ne
Mg
28
18
VIIIA
Na
9
17
VIIA
12
8
16
VIA
11
7
15
VA
9,01
6
14
IVA
Be
5
13
IIIA
6,94
27
12
IIB
Li
26
11
IB
10
25
10
4,00
24
8
4
23
7
VIIB
3
22
6
VIB
1,01
21
5
VB
He
4
IVB
H
3
IIIB
2
2
IIA
1
1
IA
Grupo
9
VIIIB
§A.VII.
Tabela periódica dos elementos
§B.VIII.
§B.VIII.1
Noções relevantes de Matemática
Alfabeto grego
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
§B.VIII.2
α
β
γ
δ
, ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ
λ
µ
alfa
beta
gama
delta
epsilon
zeta
eta
teta
iota
kapa
lambda
miu
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
ν
ξ
o
π, $
ρ, %
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ, ϕ
ω
niu
csi
omicron
pi
ró
sigma
tau
upsilon
fi
qui
psi
omega
Constantes matemáticas
Nome
Constante de Arquimedes
Constante de Napier
Constante de Euler
Constante de Catalan
Sı́mbolo
π
e
γ = lim
G=
n→∞
∞
X
Valor
3,14159265358979323846...
2,718281828459...
!
n
X
k=1
1/k − ln(n) = 0,5772156649...
(−1)n
2 = 0,915965594...
n=0 (2n + 1)
26
§B.VIII.3
Figuras no plano
Figura
Perı́metro
Área
a+b+c
b × h/2
4a
a2
2a + 2b
a×b
2πr
πr2
Triângulo
c
a
h
b
Quadrado
a
a
Rectângulo
a
b
Cı́rculo
r
27
Perı́metro dum polı́gono regular de n lados
inscrito no cı́rculo
Triângulo
(n = 3)
Quadrado
(n = 4)
r
r
2π/3
π/2
P3 = 6r sin (π/3)
P4 = 8r sin (π/4)
Polı́gono de n lados:
Pn = 2nr sin (π/n)
28
(1)
§B.VIII.4
Sólidos no espaço
Sólido
Área
Volume
6a2
a3
2πr × h + 2πr2
h × πr2
πr × g onde
g = h/ cos α e
tan α = r/h
h × πr2 /3
4πr2
(4/3) πr3
Cubo de lado a
a
a
a
Cilindro de altura h
e raio da base r
r
r
h
r
r
Cone de altura h
e raio da base r
h
r
r
Esfera de raio r
r
r
r
29
§B.VIII.5
Trigonometria
h
a
α
b
Para o triângulo rectângulo da figura ter-se-ia que
§B.VIII.5.1
sin α = a/h ,
(2)
cos α = b/h ,
(3)
tan α = a/b .
(4)
Relações fundamentais
sin (−α) = − sin α , cos (−α) = cos α , sin2 α + cos2 α = 1 ,
(5)
sin (π − α) = sin α , cos π − α = − cos α ,
(6)
sin (π/2 − α) = cos α , cos (π/2 − α) = sin α ,
(7)
sin α
, tan (−α) = − tan α ,
cos α
cos α
1
1
cot α =
, sec α =
, csc α =
,
sin α
cos α
sin α
tan2 α = sec2 α − 1 , cot2 α = csc2 α − 1 ,
tan α =
sin x = sin α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = (π − α) ± 2kπ, k ∈ N ,
cos x = cos α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = −α ± 2kπ ,
π
tan x = tan α ⇒ x = α ± kπ e x 6= ± kπ .
2
§B.VIII.5.2
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Relações entre senos
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α ,
(14)
sin (α − β) = sin α cos β − sin β cos α ,
(15)
sin (2α) = 2 sin α cos α ,
(16)
!
sin α − sin β = 2 sin
sin2 α =
α−β
α+β
cos
2
2
1 − cos (2α)
,
2
,
(17)
(18)
s
α
1 − cos α
sin
=±
,
2
2
!
30
(19)
!
!
α−β
α+β
cos
,
sin α + sin β = 2 sin
2
2
!
!
α−β
α+β
sin α − sin β = 2 cos
sin
.
2
2
(20)
(21)
(22)
§B.VIII.5.3
Relações entre co-senos
cos (α + β) = cos α cos β − sin β sin α ,
(23)
cos (α − β) = cos α cos β + sin β sin α ,
(24)
cos (2α) = cos2 α − sin2 α ,
!
(25)
α+β
α−β
cos
2
2
cos α + cos β = 2 cos
!
!
α+β
α−β
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
cos2 α =
,
(26)
!
,
(27)
1 + cos (2α)
,
2
(28)
s
α
1 + cos α
cos
=±
.
2
2
§B.VIII.5.4
(29)
Relações entre tangentes
tan (α + β) =
tan α + tan β
,
1 − tan α tan β
(30)
tan α − tan β
,
1 + tan α tan β
2 tan α
,
tan (2α) =
1 − tan2 α
tan (α − β) =
(31)
(32)
s
α
1 − cos α
tan
=±
.
2
1 + cos α
§B.VIII.5.5
(33)
Relações entre funções inversas
α
arctan α = arcsin √ 2
α +1
!
sin (arccos α) =
31
= arccos √
√
1 − α2 .
1
α2 + 1
!
,
(34)
(35)
32
§B.VIII.6
Números complexos
i=
q
n
√
−1 ,
(36)
ρcisθ = ρ cos θ + iρ sin θ ,
(37)
(ρ1 cisθ1 ) . (ρ2 cisθ2 ) = ρ1 ρ2 cis (θ1 + θ2 ) ,
(38)
ρ1 cisθ1
ρ1
= cis (θ1 − θ2 ) ,
ρ2 cisθ2
ρ2
(39)
(ρcisθ)n = ρn cis (nθ) ,
(40)
ρcisθ =
√
n
ρcis
θ + 2kπ
n
!
33
, k ∈ {0, . . . , n − 1} .
(41)
§B.VIII.7
Logaritmos
• ln x corresponde ao logaritmo de x em base e.
• log x corresponde ao logaritmo de x em base 10.
• loga x corresponde ao logaritmo de x em base a (a > 1).
§B.VIII.8
Propriedades
ln (x1 x2 ) = ln x1 + ln x2 ;
(42)
ln (xn ) = n ln x;
√ ln n x = ln x/n;
(43)
(44)
ln (x1 /x2 ) = ln x1 − ln x2 ;
(45)
ln (1) = 0 ;
(46)
ln (e) = 1 ;
(47)
loga (1) = 0 ;
(48)
loga (a) = 1 ;
(49)
loga (x) = logb (x) / logb (a) ;
(50)
loga (ax ) = x ;
(51)
aloga (x) = x .
(52)
34
§B.VIII.9
Limites Notáveis:
sin x
=1,
x→0 x
tan x
lim
=1,
x→0
x
ex − 1
lim
=1,
x→0
x
ax − 1
lim
= ln a ,
x→0
x
lim
lim (x + 1)1/x = e ,
x→0
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
ln (x + 1)
=1,
(58)
x→0
x
(x + 1)m − 1
=m,
(59)
lim
x→0
x
ex
lim p = ∞ (p ∈ IR) ,
(60)
x→∞ x
xp
= ∞ (p > 0 e a > 1) .
lim
x→∞ log x
a
(61)
lim
35
§B.VIII.10
Propriedades das derivadas
(C)0
=
0
0
0
(f ± g) = f ± g 0
!0
f
f 0g − g0f
=
g
g2
§B.VIII.11
(Cf )0
(f g)0
=
Cf 0
= f 0g + g0f
(f (g))0 =
fg g 0
Tabela de derivadas
x0
(ex )0
= 1
= ex
(ln x)0
=
(sin x)0
= cos x
(tan x)0
=
(xm )0
(ax )0
= mxm−1
= ax ln a
(cos x)0
= − sin x
(cot x)0
=
1
x
1
cos2 x
(arcsin x)0 = √
1
1 − x2
−1
sin2 x
(arccos x)0 = √
36
−1
1 − x2
§B.VIII.12
Propriedades dos integrais indefinidos
0
Z
f (x)dx
Z
Z
dP (f )
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
= f (x)
d
Z
= P (f ) + C
(f ± g)dx
§B.VIII.13
Z
Z
=
f dx ±
Z
gdx
Z
f (x)dx
= f (x)dx
Z
Cf (x)dx
= C
f (x)dx
f dg
= fg −
Z
gdf
Tabela de integrais indefinidos
dx
dx
x
sin xdx
dx
sin2 x
dx
√
1 − x2
dx
√
x2 + λ
xdx
3/2
(x2 + λ)
= x
+C
= ln |x|
+C
= − cos x
= tan x
+C
+C
= arcsin x
+C
√
= ln x + x2 + λ +C
= −√
1
+λ
x2
+C
37
Z
xm dx
Z
ex dx
xm+1
m+1
= ex
=
Z
cos xdx
dx
2
Z cos x
dx
1 + x2
Z
dx
Z
3/2
(x2 + λ)
+C
+C
= sin x
+C
= − cot x
+C
= arctan x
+C
=
x
+C
λ x2 + λ
√
§B.VIII.14
Mudanças de Sistemas de Coordenadas
1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z):
r=
q
x2 + y 2 , tan φ = y/x .
2. De coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ , y = r sin φ .
3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (φ, θ, r):
q
tan φ = y/x , tan θ = z/ x2 + y 2 , r =
q
x2 + y 2 + z 2 .
4. De coordenadas esféricas (φ, θ, r) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ sin θ , y = r sin φ sin θ , z = r cos θ .
38
§B.IX.
Sistemas de coordenadas
Z
(x,y,z)
°
Y
z
x
y
X
Coordenadas cartesianas
(x, y, z)
Z
Z
θ
(r,φ,z)
°
(φ,θ,r)
°
r
Y
z
r
φ
φ
X
X
Coordenadas cilı́ndricas
(r, φ, z)
Coordenadas esféricas
(φ, θ, r)
39
Y
§B.X.
O operador nabla
1. Em coordenadas cartesianas:
∂
∂
∂
+ ey
+ ez
.
∂x
∂y
∂z
(62)
∂
1 ∂
∂
+ eφ
+ ez
.
∂r
r ∂φ
∂z
(63)
1 ∂
1 ∂
∂
+ eθ
+ eφ
.
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(64)
∇ = ex
2. Em coordenadas cilı́ndricas:
∇ = er
3. Em coordenadas esféricas:
∇ = er
4. Relações entre o operador nabla e alguns operadores diferenciais do Cálculo Vectorial:
∂U
∂U
∂U
gradU = ∇U = ex
+ ey
+ ez
.
(65)
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
.
∂x
∂y
∂z
divA = ∇ · A =
rotA = ∇ × A = §B.XI.
ex
ey
∂
∂x
∂
∂y
Ax
Ay
(66)
ez ∂ .
∂z Az (67)
O operador de Laplace (Laplaciano)
∆ = div grad = ∇ · ∇ = ∇2 .
(68)
1. Em coordenadas cartesianas:
∂2
∂2
∂2
∆=
+
+
.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(69)
2. Em coordenadas cilı́ndricas:
1 ∂
∂
∆=
r
r ∂r
∂r
!
+
1 ∂2
∂2
+
.
r2 ∂φ2 ∂z 2
(70)
3. Em coordenadas esféricas:
1 ∂
∂
∆= 2
r2
r ∂r
∂r
!
1
∂
∂
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
40
!
+
1
∂2
.
r2 sin2 θ ∂φ2
(71)