Estimação Bayesiana para a distribuição Exponencial

Estimação Bayesiana para a distribuição ExponencialLogarítimica
Lívia Matos Garcia1
Fernando Antonio Moala2
1 Introdução
A distribuição exponencial-logarítmica é uma distribuição para os tempos de falha
com taxa de falha decrescente introduzida por Tahmasbi e Rezaei (2008).
Essa distribuição pode ser usada para estudar os comprimentos de organismos,
dispositivos, materiais, entre outros, em ciências biológicas e engenharia.
A distribuição exponencial-logarítmica pode ser uma boa alternativa para ser usada
como modelo de tempos de falha devido à forma simples das suas funções de sobrevivência e
risco, entre algumas distribuições com taxa de falha decrescente, como a distribuição Gama.
Tahmasbi e Rezaei (2008) também lembram que os riscos iniciais e a longo prazo para
esta distribuição são ambos finitos em contraste com aqueles da distribuição Weibull.
Representemos o tempo de falha de um componente eletrônico com uma distribuição
Exponencial–Logarítimica, denotada por EL(p, β) cuja densidade é dada por:
e dependente dos parâmetros p  (0,1) e   0 .
Observe que se p → 1, a
parâmetro
. A
se reduz à distribuição exponencial com
, função densidade de probabilidade, é apresentada na Figura 1
para os valores dos parâmetros selecionados.
Várias outras propriedades, tais como tempo de falha médio, geradora de momentos,
moda, média e variância, para a distribuição
são apresentados em Tahmasbi e
Rezaei (2008).
Neste trabalho serão estimados os parâmetros da distribuição
vista
1
2
bayesiano,
utilizando-se
os
pares
FCT-Unesp, e-mail: [email protected]
FCT-Unesp, e-mail: [email protected]
1
de
prioris
do ponto de
não-informativas
Beta(0.5,0.5)/Gamma(0.01,0.01) e Uniforme(0,1)/Gamma(0.01,0.01), supondo-se para elas
independência entre os parâmetros, e utilizando-se também a priori de Jeffreys.
Figura 1: Função densidade de probabilidade da distribuição EL para
e
.
2 Material e métodos
É necessário apelar para procedimentos numéricos a fim de se obter características
das distribuições marginais a posteriori. Pode-se então utilizar o algoritmo MCMC para se
obter uma amostra de valores de
e
a partir da posteriori conjunta.
Portanto, análise Bayesiana será desenvolvida para a distribuição ExponencialLogarítmica através do método MCMC (Markov Chain Monte Carlo) no software R. Como já
dito anteriormente, para essa análise serão utilizadas prioris não-informativas e a priori de
Jeffreys e serão investigadas suas execuções para os dois parâmetros da distribuição
.
Também serão realizadas neste trabalho ilustrações numéricas para comparar o
desempenho das distribuições a priori, com dados simulados da distribuição
Para gerar a distribuição
.
, será utilizado um método muito simples baseado
na amostragem da transformação inversa. Dada uma amostra da variável U tirada da
distribuição uniforme no intervalo (0,1), então a variável
2
tem uma distribuição
com parâmetros p e .
3 Resultados e discussões
Foram analisadas três amostras da distribuição Exponencial-Logarítima de tamanho
, 50 e 100 com parâmetros
= 0.5 e
= 2.
As
foram
os
prioris
utilizadas
pares
de
prioris
não-informativas
Beta(0.5,0.5)/Gamma(0.01,0.01) e Uniforme(0,1)/Gamma(0.01,0.01), supondo independência
entre os parâmetros, e a priori de Jeffreys.
Na Tabela 1 foram comparadas as médias das posterioris, separadas de acordo com as
diferentes prioris utilizadas, com o estimador de máxima verossimilhança (EMV).
TABELA 1. Estimativas (médias) e desvio padrão para e utilizando os dados simulados considerandose = 0.5 e = 2.
= 0.2917 (0.3538)
EMV
BETA/GAMMA
= 0.5310 (0.3249)
UNIFORME/GAMMA
= 0.4696 (0.2573)
= 2.0012 (0.8556)
= 2.1882 (0.7477)
= 0.1925 (0.1523)
= 0.3336 (0.2414)
= 0.3515 (0.2162)
= 0.2287 (0.1733)
= 1.7922 (0.5108)
= 1.9702 (0.5178)
= 2. 0202 (0.4930)
= 1.7602 (0.4659)
= 0.3197 (0.1928)
= 0.4631 (0.2524)
= 0.4464 (0.2178)
= 0.3723 (0.2016)
= 1.9155 (0.3880)
= 2.0423 (0.4041)
= 2. 0269 (0.3620)
= 1.9335 (0.3690)
(0.6823)
JEFFREYS
= 0.2953 (0.2587)
= 1.7918 (0.7367)
As distribuições marginais a posteriori resultantes podem ser observadas nas Figuras
2, 3 e 4.
Nota-se que as posteriores para os parâmetros
são bastante semelhantes,
enquanto isso não acontece para . Esse comportamento para ambos os parâmetros se torna
mais evidente quando o tamanho da amostra é pequeno, ou seja,
Figura 2. No entanto, quando
torna-se grande (
, como mostrado na
) as distribuições a priori
propostas anteriormente tendem a coincidir para os dois parâmetros e, portanto, a escolha
das prioris torna-se irrelevante como se pode ver na Figura 4.
3
FIGURA 2. Densidades marginais a posteriori dos parâmetros
e
para
e
= (0.5, 2).
FIGURA 3. Densidades marginais a posteriori dos parâmetros
e
para
e
= (0.5, 2).
4
FIGURA 4. Densidades marginais a posteriori dos parâmetros
e
para
e
= (0.5, 2).
4 Conclusões
Observou-se
que
os estimadores bayesianos são
melhores
do
que o
EMV,
independentemente das prioris utilizadas, e que o par de prioris Beta (0.5,0.5) e Gamma
(0.01,0.01) deram as melhores estimativas para os parâmetros.
As distribuições marginais posterioris mostraram que as distribuições a priori
propostas anteriormente são semelhantes para ambos os parâmetros quando n torna-se maior
e, portanto, a escolha das prioris é irrelevante.
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Referências
[1] CHIB, S. ; GREENBERG, E. (1995). Understanding The Metropolis-Hasting Algorithm. The
American Statistician, Vol. 49, No 4.
[2] GELFAND, A. E.; SMITH, F. M. (1990). Sampling-based approaches to calculating marginal
densities. Journal of the American Statistical Association, n. 85, p. 398-409.
[3] JEFFREYS, Sir Harold (1967). Theory of probability. 3rd rev. ed., London: Oxford U. Press.
[4] M BOX, G.E.P., and Tiao, G.C. (1973). Bayesian inference in statistical analysis. Addison
Weiley
[5] TAHMASBI, Rasool; REZAI, Sadegh, (2008). A two-parameter lifetime distribution with
decreasing failure rate. Computational Statistics and Data Analysis 52.
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