+Y - CDTN

Conseqüências de Confinamento de Neutrinos na
Formação de Proto-Estrelas de Neutrons Híbridas
Suely Epsztein Grynberg
Conseqüências de Confinamento de Neutrinos na
Formação de Proto-Estrelas de Neutrons Híbridas
Suely Epsztein Grynberg
Consequências do Confinamento de Neutrinos na Formação de ProtoEstrelas de Neutrons Híbridas
Suely Epsztein Grynberg
Orientadora: Maria Carolina Nemes
Co-Orientador: Hilário Antônio Rodrigues Gonçalves
Tese apresentada à U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E M I N A S G E R A I S , como
requisito parcial para obtenção do grau de D O U T O R E M FÍSICA.
Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Curso de Pós-Graduação de Física
A
presente
tese,
intitulada
"CONSEQUÊNCIAS
DO
C O N F I N A M E N T O D E N E U T R I N O S N A FORMAÇÃO DE PROTO-ESTRELAS D E
N E U T R O N S HÍBRIDAS" de autoria de SUELY EPSZTEIN GRYNBERG submetida à
Comissão Examinadora, abaixo-assinada, foi aprovada para obtenção do grau de D O U T O R EM
CIÊNCIAS em 10 de novembro de 2000.
Belo Horizonte, 10 de novembro de 2000.
Prof'. Maria Carolina Nemes
Presidente da Comissão
Departamento de Física/UFMG
Prof. Antônio Sérgio Teixeira Pires
Departamento de Física/UFMG
c
L-U
Prof. Paulo Roberto Silva
Departamento Física/UFMG
Frm. Antônio Delfino
/instituto de Física/UFF
Prof. Chung Kai Cheong
Instituto de Física/UERJ
|
U
Agradecimentos
À Carolina, por mais u m a vez ter confiado e m m i m e por ter u m a grande capacidade
de compreender u m trabalho muito antes dele existir, m e conduzindo com precisão.
A o Hilário pela sua preciosa co-orientação. Sem ela teria sido impossível.
A o Sérgio Duarte por ter sempre m e atendido tão bem e me ajudado tanto.
A o C B P F por ter me recebido inúmeras vezes e ao CNPq pelo suporte financeiro.
A o meu chefe, Ivan Aronne e a todos os meus colegas da C T - 4 , pela paciência e total
apoio.
A o C D T N por ter m e encorajado a continuar.
A o Departamento de Física por n u n c a ter deixado de ser a minha casa.
A o Centro de Física Teórica de Coimbra, onde tudo começou.
À minha família e aos meus amigos por terem compreendido a importância deste
trabalho para m i m .
E ao meu pai, que tanta falta ainda m e faz e que sempre teve o sonho de ter uma filha
"doutora".
Eu agradeço ainda, a todas as pessoas que, de u m a forma ou de outra, contribuíram
para que eu finalmente conseguisse chegar até aqui, ou cujas simples existências tenham me
feito mais feliz.
Indice analítico
AGRADECIMENTOS
RESUMO
ABSTRACT
l
2
INTRODUÇÃO
3
CAPÍTULO I
A EVOLUÇÃO ESTELAR
_6
6
l.l
INTRODUÇÃO
6
l .2
O DIAGRAMA H R
8
1.2.1
1.2.2
1.2.3
A Pré Sequência Principal
A Sequência Principal
A Pós-Sequência Principal
8
9
12
1.3
O LIMITE DE CHANDRASEKHAR
12
1.4
As A N Ã S BRANCAS
14
1.5
As GIGANTES VERMELHAS
15
l .6
NUCLEOSSÍNTESE DOS ELEMENTOS PESADOS
17
1.7
A IMPLOSÃO
18
1.8
O CONFINAMENTO DE NEUTRINOS
20
1.9
A EXPLOSÃO
22
1.10
As SUPERNOVAS E AS ESTRELAS DE NEUTRONS
23
CAPÍTULO 2
26
A HADRODINÂMICA Q U Â N T I C A
2.1
INTRODUÇÃO
2.2
O MODELO Q H D - l
26
26
26
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
O MODELO Q H D - I I
O acoplamento p - N
A Lagrangiana Q H D - I I
As Equações de Estado
CAPÍTULO 3
35
35
35
38
40
DESCRIÇÃO LAGRANGIANA D O B O U N C E H I D R O D I N Á M I C O
40
3.1
INTRODUÇÃO
40
3.2
O FORMALISMO
41
3.3
CÁLCULO D A ENERGIA CINÉTICA
42
3.4
A ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL E A ENERGIA INTERNA.
48
3.5
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
49
3.6
EQUAÇÕES DE ESTADO
54
3.7
A CONDIÇÃO INICIAL
55
3.8
ACIONAMENTO DO COLAPSO GRAVITACIONAL
56
CAPÍTULO 4
58
TRANSIÇÃO D E F A S E DA M A T É R I A E S T E L A R H A D R Ô N I C A PARA P L A S M A D E Q U A R K S E G L Ú O N S 5 8
5
8
4.1
INTRODUÇÃO
4.2
TRANSIÇÃO DE FASE DE PRIMEIRA ORDEM COM M A I S DE DUAS CARGAS CONSERVADAS
58
4.3
FASE DE HÁDRONS
66
4.4
FASE DE QUARKS
7
3
FASE MISTA
7
5
4.5
CAPÍTULO 5
_8Q
RESULTADOS E CONCLUSÕES
80
5.1
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
80
5.2
CONCLUSÕES
87
5.3
PERSPECTIVAS
87
APÊNDICE A
89
O EQUILÍBRIO H I D R O S T Á T I C O
89
APÊNDICE B
.
21
O LIMITE D E CHANDRASEKHAR
91
APÊNDICE C
25
O M O D E L O D E S A C O L A DO M . I . T .
95
Introdução
O Modelo de Sacola
95
95
APÊNDICE D
97
NOTAÇÕES E CONVENÇÕES
97
REFERÊNCIAS
22
Introdução
Acredita-se que as estrelas de nêutrons sejam produto de explosões de supernovas.
Baade e Zwicky especularam que, q u a n d o uma estrela massiva colapsa, após a ejeção da
envoltória, deve haver a formação de u m a estrela de nêutrons remanescente. [1]
A possibilidade da existência de matéria de quarks no centro de estrelas de
foi sugerida em 1969 por Ivanenko e kurdgelaidze [2]. Isso incentivou a procura
equação de estado que descrevesse a matéria densa e que fosse compatível com
nuclear até então conhecida. Essa e q u a ç ã o de estado deveria prever a transição
hádrons-quarks quando a matéria estelar atingisse densidades compatíveis.
nêutrons
de u m a
a física
de fase
Algumas perguntas pertinentes se referem à investigação das consequências de u m a
equação de estado na própria supernova: haveria a possibilidade de ocorrer u m a transição de
fase nesse cenário? após a explosão, o caroço remanescente não seria a proto-estrela de
nêutrons? e c o m o seria o perfil de densidade da matéria e a própria matéria dentro desta
estrela?
Para a física nuclear em particular, o estudo da explosão e das estrelas de nêutrons tem
sido u m guia muito útil para se prever as propriedades da matéria nuclear submetida à
condições extremas de densidade e temperatura, permitindo aprimorar o nosso conhecimento
sobre as forças nucleares e a interação hadrônica. Para a astrofísica em geral, o estudo das
supernovas se justifica por estarem associadas, como se presume, à formação de estrelas de
nêutrons e buracos negros, além de propiciarem a verificação da teoria da evolução estelar
padrão.
Para descrever as propriedades da matéria estelar desde o colapso até o bounce*
necessita-se de u m a equação de estado q u e seja adequada à u m a faixa muito larga de
densidades, desde aproximadamente IO g / c m até = ( 2 - 5 ) p o n d e p = 2 , 8 x 1 0 g / c m é a
8
3
1 4
0
3
0
densidade de saturação da matéria nuclear. Para este propósito, três equações de estado
obtidas para diferentes regimes de densidade serão ligadas em nosso trabalho.
Existe porém, u m a diferença fundamental entre a física que gera a proto-estrela logo
após a explosão da supernova e aquela q u e governa a estrela de nêutrons em equilíbrio: o
confinamento de neutrinos. E m b o r a p o s s a m o s considerar a mesma equação de estado para
ambas no que se refere à interação forte, existe pelo menos um lépton - o neutrino, que terá
um papel muito importante na explosão, pois ele endurece a equação de estado, dificultando
que densidades suficientemente altas sejam atingidas durante este processo. M a s , os neutrinos
acabam escapando da estrela e estarão completamente ausentes da estrela de nêutrons.
Durante o colapso de u m a estrela massiva u m a quantidade enorme de neutrinos é
produzida pelo processo de captura eletrônica. Esses neutrinos têm energias na faixa de 20 a
30 M e V e ficam confinados q u a n d o a densidade de matéria estelar atinge valores em torno de
1
1
3
10 g/cm obrigando a fração leptônica da estrela a permanecer constante [3,4].
Prakash et al. incluíram o efeito d o confinamento dos neutrinos em cálculos estáticos
de proto-estrelas frias concluindo que a transição de fase hádrons-quarks deveria ocorrer [5].
*Nos instantes finais do colapso, o caroço da estrela inverte repentinamente o sentido do movimento (bounce).
mesmo tempo em que as camadas externas próximas ao caroço, em movimento praticamente de queda livre,
colidem violentamente com ele, sendo então refletidas.
3
ao
Embora o processo da explosão da supernova envolva vários aspectos da física em
geral, como a física de partículas, a hidrodinâmica, fenômenos não-lineares, e t c , partimos
neste trabalho do pressuposto de que existem propriedades globais c o m o o raio e a massa da
estrela remanescente e a energia da onda de choque que provoca a explosão, que devem
independer de detalhes muito específicos e que, portanto, podem ser obtidas dentro do
contexto de um m o d e l o esquemático que contenha o mínimo necessário desta física tão
complexa.
Para supernovas do tipo II*, acredita-se que um bounce hidrodinámico deve ocorrer
depois da fase de colapso q u a n d o o m e i o estelar sofre uma transição súbita do regime
subnuclear para o regime hadrônico e m alguns milisegundos [6,7]. Neste m o m e n t o uma onda
de choque deve ser gerada. A ruptura ou não do manto estelar depende fortemente da equação
de estado utilizada, u m a vez que é esta última que rege o conteúdo energético da frente de
onda[8].
Os primeiros estudos do m e c a n i s m o de explosão súbita [9,10] começaram com u m
conjunto de simulações por van Riper [11] em 1979, seguidos de cálculos do mesmo autor
usando hidrodinâmica relativística geral [12].
E m b o r a o m e c a n i s m o de explosão súbita seja aparentemente ideal para explicar a
explosão de supernovas tipo II, ele parece não funcionar eficientemente, c o m o se mostrou em
vários cálculos numéricos [13]. A principal razão para esta falha é que a onda de choque
formada pelo bounce do caroço interno t e m dois sumidouros de energia: a maior parte da
energia é gasta na disruptura dos núcleos presentes na matéria em queda livre. Além disto, os
neutrinos produzidos neste processo deixam a matéria comprimida e causam também perda de
energia, decrescendo a pressão atrás da o n d a de choque [4,14].
Existe ainda o c h a m a d o mecanismo
retardado
[15,16] caracterizado pelo
ressurgimento da intensidade da onda de choque via neutrinos. Os cálculos são complexos e
ainda inconclusivos [17,18].
M e s m o com as inúmeras simplificações sugeridas na literatura e introduzidas em
vários trabalhos, os cálculos atuais requerem técnicas numéricas sofisticadas e um enorme
tempo de computação.
Neste trabalho u s a m o s u m modelo [19] no qual a dinâmica é formulada em termos de
um princípio variacional. Os ingredientes (que consideramos essenciais) contidos no modelo,
são variáveis coletivas, tais c o m o os raios de um número pequeno de camadas (no caso, duas)
e suas respectivas massas. Estas variáveis dinâmicas devem obedecer a um princípio
variacional onde o potencial a ser estudado contém dois termos, a parte gravitacional e a
energia interna, onde se encontra toda a informação sobre a equação de estado. As massas
dentro de cada c a m a d a são consideradas como coordenadas generalizadas na Lagrangiana
efetiva. Consequentemente a transferência de massas é permitida na evolução dinâmica e o
cálculo nos fornece valores finais para as massas (e raios) das camadas.
A grande vantagem deste tratamento é a possibilidade de se considerar a onda de
choque c o m o um fenômeno bastante natural. Estas duas camadas permitem simular
esquematicamente o bounce hidrodinámico e nos resultados ganhamos u m a imagem física
simples do processo de transferência de m a s s a e energia.
Supernovas do tipo II são em geral, resultado final da evolução de estrelas massivas, com
8M. < M ^ 6OM que evoluem para um evento Final de explosão.
0
4
Nesse trabalho, construiremos a transição de fase considerando, na fase hadrônica.
todo o octeto bariônico e o quarteto Á , e na fase de plasma os quarks u, d e s. Durante a
transição da fase de hádrons para a fase de plasma de quarks, as duas fases coexistem no
mesmo fundo de léptons (elétrons e m ú o n s e seus respectivos neutrinos). Para a descrição da
fase hadrônica, utilizaremos u m a teoria relativística de c a m p o médio, que descreve de forma
efetiva a interação entre os campos bariônicos e os campos mesônicos escalar, vetorial e
isovetorial. Consideraremos também u m a interação efetiva [20] na fase de quarks
desconfinados. Consideraremos a conservação da carga bariônica, da carga elétrica e da
fração leptônica, esta última devido ao confinamento dos neutrinos. U m dos aspectos mais
interessantes de u m sistema que possui mais de uma carga conservada, é que quando ele sofre
uma transição de fase de I ordem ele apresenta uma fase mista onde as duas fases coexistem,
mas, diferentemente do caso de u m sistema que possui apenas u m a componente, a pressão
não permanece constante e o processo passa a ser não trivial [21]. Os potenciais químicos são
usados para expressar as condições de equilíbrio para um sistema de várias componentes que
carregam partes das cargas globais conservadas. Q u a n d o transformações entre espécies são
possíveis, estes vínculos j u n t a m e n t e com os critérios de Gibbs definem relações entre os
potenciais químicos.
a
Mostramos que, de acordo com o modelo usado, a transição de fase não é atingida no
processo dinâmico da formação de u m a proto-estrela através da explosão da supernova
quando o confinamento de neutrinos é levado em conta. D e acordo com os nossos cálculos
[22], não teremos u m remanescente híbrido após a evolução temporal do processo colapsoexplosão. Entretanto, após o resfriamento do caroço formado, quando os neutrinos tiverem
abandonado o sistema, a equação de estado ficará correspondentemente amolecida e assim,
existe a possibilidade de que este caroço se torne u m a estrela de nêutrons híbrida.
Este trabalho é dividido e m 5 capítulos:
N o capítulo 1 tratamos da evolução estelar desde o nascimento até a explosão de u m a
estrela e a consequente formação de estrelas de nêutrons, considerando as reações de
transformação de matéria.
N o capítulo 2 discutimos as lagrangianas efetivas para a descrição da fase hadrônica
na aproximação de c a m p o médio.
N o capítulo 3 discutimos o fenômeno do bounce
supernova.
como m e c a n i s m o de explosão da
N o capítulo 4 estudamos a transição de fase hádrons-quarks.
E finalmente, o capítulo 5 contém os nossos resultados e conclusões.
Capítulo I
A Evolução Estelar
On the twenty-second day of the seventh moon of the first year of the
period Chih-ho, Yang Wei-tê said: "Prostrating myself, I have observed the
appearance of a guest star in the constellation Tien Kuan; on the star there
was a slightly iridescent yellow color. Respectfully, according to the
dispositions for Emperors, I have prognosticated,
and the result said: The
guest-star does not infringe upon Aldebaran; this shows that a Plentiful One is
Lord, and that the country has a Great Worthy. I request that this
prognostication
be given to the Bureau of Historiography
to be preserved".
- Sung Hui Yao
Relato de Y a n g wei-tê sobre observações de u m a supernova no verão de 1054. Hoje a
reconhecemos c o m o a nebulosa de Caranguejo.
1.1
Introdução
As estrelas passam por certos estágios evolutivos ao longo de sua existência. Elas
m u d a m as suas propriedades fundamentais, como luminosidade e raio, muito lentamente, de
m o d o que em um determinado m o m e n t o elas podem ser consideradas c o m o em equilíbrio. A
medida que a estrela evolui, a sua composição química muda. As reações termonucleares
responsáveis pela luminosidade da estrela irão fazer c o m que a quantidade de hidrogênio que
ela possui diminua irreversivelmente. A l é m disso, a sua composição química deixa de ser
homogênea. A porcentagem de hidrogênio no centro da estrela cai enquanto continua
praticamente inalterada na sua envoltória. Devido a essas mudanças, a estrela irá
gradualmente m u d a r a sua posição no diagrama HR, (de Hertzsprung-Russell) [1]. Neste
diagrama, cada estrela de u m dado aglomerado é representada por u m ponto, cuja ordenada
está relacionada c o m a luminosidade e a abcissa c o m a temperatura ou o índice de cor da
estrela, c o m o mostra a Figura 1.1.
A luminosidade de u m a estrela é d a d a pela expressão:
2
L = 47tR oT ,
ef
onde
5
2
a = 5.6705\x\0~
4
erg / cm k s
Boltzmann. A luminosidade do sol é 3.827 x I O
principal do diagrama HR.
33
é
a
constante
de
Stefan-
erg/s e ele se encontra na sequência
As estrelas passam a maior parte d o seu t e m p o de vida na Sequência Principal do
diagrama H R . Após este período, elas se deslocam para a região das gigantes vermelhas ou
6
das anãs brancas, dependendo da sua massa. Se u m a gigante vermelha for suficientemente
massiva, ela pode explodir violentamente c o m o supernova.
Figura 1.1- Evolução de uma estrela no diagrama
H.R.
A Evolução estelar é controlada pela batalha entre Gravidade e Pressão. A medida que
desequilíbrios são alcançados, a estrela é levada a achar u m a nova fonte de energia. Cada fase
nova da evolução estelar está consequentemente marcada por um m e c a n i s m o diferente de
geração de energia.
A energia nuclear é a principal fonte de energia emitida pelas estrelas durante sua vida
ativa. N o seu interior as condições termodinâmicas são propícias para provocar reações
termonucleares entre os elementos químicos que as c o m p õ e m .
Todas as estrelas obtêm energia através da fusão termonuclear de elementos leves e m
elementos pesados. Temperaturas altas são necessárias para que possam ocorrer colisões em
altas velocidades entre as partículas de forma que a repulsão eletrostática mútua entre prótons
em cada núcleo atômico fundido seja superada. A temperatura mínima para a fusão de
Hidrogênio é de 5 milhões de graus Kelvin. Elementos com mais prótons nos núcleos
requerem temperaturas mais altas. Por e x e m p l o , fundir carbono requer u m a temperatura de
cerca de 1 bilhão de graus Kelvin. Apesar dessas temperaturas serem inacreditavelmente altas,
em física nuclear elas são insignificantes. A s energias nucleares são da ordem de muitos M e V
e u m a temperatura de I O K, representa m e n o s de 1 M e V de energia, o que faz com que se
possa considerar as estrelas c o m o sistemas e m temperatura zero.
10
N o interior das estrelas os núcleos de hidrogênio se fundem para formar o hélio.
Entretanto, a nucleossíntese de elementos mais pesados pode ocorrer dependendo de
parâmetros c o m o a massa da estrela. E m estrelas suficientemente massivas a queima do hélio
é seguida da q u e i m a do carbono, produzindo oxigênio e outros elementos até chegar ao ferro.
O ferro é o núcleo c o m maior energia de ligação por partícula. Para que se possa sintetizar
elementos mais pesados a partir do ferro, é necessário u m suprimento de energia.. Quando u m
caroço de ferro se estabelece na estrela, o destino dela é inevitável. Depois que o suprimento
de energia nuclear se esgota, ocorre o colapso gravitacional.
O destino final das estrelas, depois de consumir todo o seu combustível nuclear,
depende de duas coisas: primeiro, se a estrela faz parte de u m sistema binário ou múltiplo, e
7
segundo, de sua massa inicial. Se a estrela faz parte de um sistema binário ou múltiplo, e 6 0 %
das estrelas fazem, sua evolução depende tanto da m a s s a quanto da separação entre as
estrelas, que determinará em que ponto da evolução do sistema as estrelas interagirão.
Se a estrela não fizer parte de u m sistema binário ou múltiplo, sua evolução dependerá
somente de sua m a s s a inicial. Se ela iniciar sua vida com massa m e n o r do que 0,8 M , onde
e
M é a massa do Sol, igual a 1.99 x l O
e
3 0
kg , a idade do universo será insuficiente para esta
estrela evoluir além da sequência principal. Quanto menos massivas, mais lenta é a evolução
de uma estrela.
Se a estrela iniciar c o m massa entre 0.8 e 10 M , após consumir o hidrogênio no
centro a estrela passará pela fase de gigante e depois de supergigante, ejetará u m a nebulosa
planetária, e terminará sua vida c o m o u m a anã branca, com massa da ordem de 0,6 M , e raio
de cerca de 10000 k m . Para se ter u m a idéia, o raio do sol é 6 . 9 6 x \0 km.
0
e
5
Se a estrela iniciar sua vida com m a s s a entre 10 e 25 M , após a fase de supergigante
ela ejetará a maior parte de sua m a s s a e m u m a explosão de supernova, e terminará sua vida
como u m a estrela de neutrons, com u m a temperatura superficial acima de 1 milhão de graus
K, massa de cerca de 1,4 M , e raio de cerca de 20 km. Se esta estrela possuir campo
magnético forte, ela emitirá luz direcionada em u m cone em volta dos pólos magnéticos,
como u m farol, e será u m pulsar. A densidade da estrela determina o período de pulsação:
estrelas mais densas pulsam mais depressa que as de m e n o r densidade. O pulsar no centro da
nebulosa de Caranguejo gira 30 vezes por segundo.
e
s
Se a estrela iniciar sua vida c o m m a s s a entre 25 e 100 M , após a fase de supernova
restará u m buraco negro, c o m m a s s a da o r d e m de 6 M , e raio do horizonte menor que 1 k m .
O raio do horizonte, ou raio de Schwarzschild. é a distância ao buraco negro dentro da qual
nem a luz escapa: R h = 2 G M / c . Para algumas estrelas massivas, os modelos de deflagração
da explosão de supernova p r e v ê e m dispersão total da matéria.
s
s
2
SC
Se a estrela iniciar sua vida com m a s s a acima de 100 M , c o m o a estrela da Pistola,
descoberta em 1997 c o m o Telescópio Espacial Hubble, ela ejetará a maior parte de sua massa
ainda na sequência principal, por pressão de radiação, e depois evoluirá c o m o u m a estrela de
até 100 M .
e
e
Os elementos químicos gerados por reações nucleares no interior das estrelas e
ejetados nas explosões de supernovas produzem a evolução química do Universo.
1.2 O Diagrama HR
1.2.1 A Pré Sequência Principal
Acredita-se que u m a estrela se forme devido a instabilidades gravitacionais na
distribuição de matéria de u m gás interestelar, que faz com que o sistema condense
lentamente até formar u m a proto-estrela. U m a proto-estrela é composta basicamente de
hidrogênio e u m a pequena parcela de nuclídeos mais pesados, c o m o o hélio, o carbono e o
nitrogênio.
8
3
Inicialmente, a proto-estrela tem densidade de 1 partícula/cm , temperatura de 10 K e
raio de I O cm aproximadamente. A contração prossegue até que a temperatura atinja
aproximadamente IO K, necessária para a ionização do hidrogênio.
20
6
Durante a Pré-Sequência Principal a única fonte de energia da estrela é a gravitação.
Aproximadamente a metade desta energia é convertida em calor, fazendo com que a
temperatura da estrela aumente. A energia restante deve ser dissipada em forma de radiação
emitida para fora do sistema e energia para manter as correntes de convecção que se
estabelecem no interior da m a s s a gasosa e m contração. À medida que a densidade aumenta
esses movimentos vão se restringindo às camadas mais externas até que u m núcleo denso e
quente seja formado.
Quando as reações termonucleares começam, a estrela para de se contrair e fica em
equilíbrio por u m período de t e m p o razoavelmente prolongado.
Esse equilíbrio hidrostático é resultante de duas forças iguais e contrárias: a força
gravitacional e a pressão exercida pelo gás. A condição de equilíbrio hidrostático é expressa
pela equação abaixo, demonstrada no Apêndice A.
dP
GM{r)p
=
2
dr
U
r
'
O lado esquerdo da equação representa a pressão agindo e m u m volume unitário e o
lado direito, a força de atração gravitacional do volume pela m a s s a M(r) contida em u m a
esfera de raio r. Encontrar configurações de densidade e pressão que satisfaçam o equilíbrio
hidrostático é um dos objetivos principais e m teorias de estrelas.
U m a estrela p e r m a n e c e no estágio de Pré-Sequência Principal durante um período de
tempo relativamente curto.
1.2.2 A Sequência Principal
Ao entrar na Sequência Principal, a densidade média da estrela é aproximadamente
igual a l g / c m e a temperatura central da ordem de IO K, quando então se iniciam as reações
termonucleares. N u m a primeira etapa essas reações irão transformar o hidrogênio em hélio,
dando u m a nova fonte de energia para a estrela, a energia nuclear.
3
6
A Sequência Principal é caracterizada pela fusão do caroço de Hidrogênio. Todas as
estrelas da Sequência Principal obtêm energia dessa maneira. C o m o o Hidrogênio é o
elemento mais simples, ele funde na temperatura mais baixa possível. D e v i d o aos fatos da
taxa de fusão ser função da temperatura e da pequena seção de choque da interação fraca, a
fase de queima do hidrogênio é a mais longa. Todas as fases subsequentes da evolução estelar
são marcadas por temperaturas mais altas no caroço e tempos mais curtos [2].
U m a estrela n a Sequência Principal tem u m a estrutura simples. Ela apresenta um
caroço de hidrogênio ionizado. A pressão e forças gravitacionais são iguais, a estrela é estável
e seu caroço está suficientemente quente para fundir hidrogênio em hélio. Assim o caroço da
estrela na Sequência Principal se tornará puro hélio e isso marcará u m a nova fase evolutiva
para a estrela.
Existem alguns m e c a n i s m o s para a queima do hidrogênio e a consequente obtenção do
hélio:
9
As cadeias P P
A fusão do hidrogênio se torna possível graças às chamadas cadeias pp, ou ciclo do
hidrogênio. A primeira delas, a cadeia pp I. é composta pelas reações:
+
p + p -> d + e +v
(1.2a)
e
3
d + p-> He
3
3
+y
(1.2b)
4
He+ He^ He
+ 2p
(1.2c)
4
A medida que a quantidade de H e e a temperatura do meio vão aumentando, outra
cadeia, a pp II entra em operação:
+
p + p ^ d + e +v
(1.3a)
e
3
d + p^ He
3
4
+y
7
He+ He^ Be
1
+y
1
Be + e~-^ Li
1
(1.3b)
(1.3c)
+v
(1.3d)
e
4
Li + p-*2 He
(1.3e)
Outra cadeia, a pp III, p o d e ocorrer dependendo da densidade do m e i o e da seção de
choque do B e , que além de poder capturar elétrons, como na reação 1.3d, pode também
capturar prótons:
7
+
p + p—$d
+ e +v
(1.4a)
+y
(1.4b)
e
3
d + p^ He
'He+^e^^e
7
+y
8
Be + p-* B
&
Be-*
+y
(1.4d)
+
B^*Be
8
(1.4c)
+ e +v
(1.4e)
e
a
2 He
(1.4f)
Observe que o resultado final das três cadeias é sempre
4
4p^ He
10
e a energia média liberada é da ordem de 26.7 M e V .
O ciclo
CNO
Existe u m outro conjunto de reações, capaz de processar a q u e i m a do hidrogênio:
Trata-se do ciclo CNO, ou ciclo do carbono, dominante e m temperaturas mais altas, proposto
independentemente em 1938 por Von Weizsaker [3], e em 1939 por H. Bethe [4]. O ciclo
CNO é constituído pelas reações:
4
l2
3 He^ C
+y
n
(1.5a)
3
C + p -V A/ + y
13
u
(1.5b)
+
7V-> C + e +v
(1.5c)
e
1 3
,4
C + p-^ N
l4
N
15
+p ^
]
5
l5
+y
(1.5d)
0 +y
(1.5e)
+
6>-> N + e +v
(1.5f)
e
i5
i2
4
N + p^ C+ He
(1.5g)
Embora c o m menor probabilidade, o ciclo pode se estender através das reações:
i5
N + p-*
i6
0
]
11
1
l 6
0 + 7
(1.6a)
+y
(1.6b)
]1
+ p^ F
F^
i
l
+
O +e +v
(1.6c)
l4
(1.6d)
e
4
0 + p^ N+ He
Fazendo c o m que a quantidade de nitrogênio aumente consideravelmente no meio.
A temperatura e a abundância de elementos químicos no centro da estrela são os
fatores que determinarão qual ciclo será dominante na fusão do hidrogênio, as cadeias pp ou
o ciclo CNO.
Q u a n d o todo o hidrogênio do caroço da estrela tiver sido consumido, o sistema assume
a seguinte estrutura: U m núcleo denso composto basicamente de H e e u m a c a m a d a externa
rica em hidrogênio. Não existindo condições termodinâmicas que possibilitem a fusão do
hélio, as reações nucleares p o d e m passar a ocorrer nas camadas externas, queimando o
hidrogênio ali presente. C o m o consequente aumento da temperatura, estas camadas se
4
11
expandem, e a estrela move-se para a região das gigantes vermelhas no diagrama HR. O que
acontecerá depois irá depender fortemente da massa com que a estrela sai da Sequência
Principal.
1.2.3 A Pós-Sequência Principal
U m a estrela na fase de Pós-Sequência Principal tem duas regiões quimicamente
distintas: u m caroço de hélio cercado por u m envoltório de hidrogênio. C o m o o hélio tem dois
prótons em seu núcleo, a sua fusão requer u m a temperatura mais alta para superar a barreira
eletrostática entre eles. Inicialmente, o caroço da estrela não está suficientemente quente para
que a fusão do hélio possa ocorrer. Sem u m a fonte de energia, o caroço não pode resistir ao
colapso gravitacional e c o m e ç a a desmoronar. A medida que ele colapsa, a sua temperatura
aumenta. Este calor é transferido à u m a fina camada de Hidrogênio ao redor do caroço que ao
ter a sua temperatura aumentada provoca a fusão do Hidrogênio. C o m o o caroço continua a
colapsar a temperatura na c a m a d a onde o Hidrogênio está se fundindo continua a aumentar e
assim, a luminosidade e a pressão a u m e n t a m . A estrela inteira está fora do equilíbrio. O
colapso do caroço acontece porque a gravidade excede a pressão. O colapso também é
ajudado pela pressão que a c a m a d a de Hidrogênio exerce, e com sua temperatura sempre
crescente (devido à transferência de calor d o caroço colapsante) faz pressão suficiente para as
camadas mais externas da estrela que se expandem. A o se expandirem elas esfriam. Assim, a
evolução de estrela na fase de Pós-Sequência Principal é definida por dois atributos externos
que são manifestações de m u d a n ç a s internas:
Expansão e resfriamento do envoltório. A estrela fica mais vermelha;
O aumento da luminosidade da estrela devido ao aumento da temperatura da camada
de hidrogênio.
Este desequilíbrio continuará até q u e a estrela ache novamente u m a fonte de geração
de energia para o caroço.
C o m o vimos, nos primeiros estágios da evolução de uma estrela a geração de energia
em seu centro é obtida através da transformação de hidrogênio em hélio. Para estrelas com
massas de cerca de 10 vezes a do Sol isto continua por aproximadamente dez milhões de anos.
Depois deste t e m p o , todo o hidrogênio n o centro da estrela é exaurido e ele continua a
queimar apenas e m u m a c a m a d a ao redor do caroço de hélio. O caroço contrai sob ação da
gravidade até sua temperatura ser alta o bastante para a queima do hélio obtendo carbono e
oxigênio. A fase da q u e i m a do hélio t a m b é m dura aproximadamente u m milhão de anos até
ser exaurido no centro da estrela, e c o m o o hidrogênio, continua a ser queimado n u m a camada
ao redor do caroço de carbono e oxigênio, q u e por sua vez contrai até ficar quente o bastante
para a conversão de carbono e m neônio, sódio e magnésio. Isto dura aproximadamente 10 mil
anos. Este padrão é repetido e o neônio é convertido em oxigênio e magnésio (em
aproximadamente 12 anos), oxigênio se transforma em silício e enxofre (aproximadamente 4
anos) e finalmente silício e m ferro, em aproximadamente 7 dias.
1.3 O Limite de Chandrasekhar
A massa é o parâmetro crítico que permite que se possa estabelecer tanto a sequência
evolutiva quanto o ponto final da vida ativa de u m a estrela. Sabe-se que existem limites
inferiores de massa para que cada etapa da queima de u m dado elemento químico ocorra. Tais
12
limites são necessários para que o material contido no centro da estrela atinja a temperatura
necessária para a ignição do combustível nuclear. Assim, cálculos recentes indicam que as
massas mínimas necessárias para a q u e i m a do hidrogênio, do hélio, do carbono e do neônio
são iguais a 0.08, 0.25, 1.06 e 1.37 M respectivamente [5].
e
As estrelas mais massivas são classificadas c o m o estrelas da População I. São estrelas
jovens porque, c o m o q u e i m a m o combustível nuclear mais rapidamente, u m a vez que a
pressão interna e a temperatura são maiores numa estrela maior, ficam na Sequência Principal
durante u m período de tempo m e n o r que as estrelas da População II, pouco massivas e velhas
pois apresentam processos evolutivos mais lentos. C o m o o tempo necessário para a queima do
combustível nuclear é diretamente proporcional à razão M/L, onde M é a massa e L é a
luminosidade da estrela, v e m o s que as estrelas da População I são mais luminosas do que as
da População II, c o m o mostra a Tabela 1.1.
Tabela 1.1 Temperatura Central T , densidade central p e escala de tempo para várias
fases evolutivas de duas estrelas, uma de 25 M© e outra de 1 M© . Adaptado da ref.[3]
c
Fase
T (25)
c
(keV)
Tc
(D
c
Pc
(25)
Pc
(D
Tempo(25)
T e m p o (1)
(anos)
(keV)
(g/cm )
(g/cm )
(anos)
2 x IO
6
5 x 10
5
3
3
Queima do H
5
2.5
5
100
Queima do H e
20
10
700
4 x IO
Queima do C
80
—
2 x IO
3
—
60
—
Queima do N e
150
—
4 x 10
b
—
1
—
Queima do O
200
—
1 x 10'
—
0.5
—
Queima do Si
350
—
3 x 10'
—
0.01
—
Colapso
600
—
3 x 10
y
—
1 xl0"
4
10
lu
IO
b
8
—
Existem dois aspectos importantes na evolução estelar que estão fortemente
relacionados c o m a massa da estrela: o tempo gasto nos ciclos de reações nucleares e o
aparecimento de matéria degenerada no núcleo. Justamente por serem pouco massivas, as
estrelas da população II tendem a atingir u m estado degenerado mais rapidamente do que as
estrelas mais massivas. Isto se deve ao fato de que estrelas menos massivas conseguem atingir
densidades relativamente maiores, tendendo a desenvolver logo u m caroço denso e
degenerado. Para elas, a degenerescência é um fator determinante ao longo de quase toda a
sua vida evolutiva, e pode ocorrer no início da Sequência Principal.
2 / 3
4 / ?
A pressão gravitacional em cada p o n t o no interior da estrela é proporcional a M p
se os elétrons estiverem no regime ultra-relativístico de energia - p » IO g / c m . Se o gás de
elétrons for não relativístico, a pressão hidrostática será sempre suficiente para contrabalançar
a pressão exercida pela força gravitacional, permitindo assim u m a configuração de equilíbrio,
qualquer que seja o valor da massa da estrela.
Entretanto, se o gás de elétrons for
extremamente relativístico, passa a existir u m limite superior de massa para que a pressão
hidrostática consiga evitar a contração gravitacional do sistema. Este limite foi estabelecido
por Chandrasekhar [6]. Ele mostrou que existe um limite para a pressão que a repulsão mútua
6
13
3
limites são necessários para que o material contido no centro da estrela atinja a temperatura
necessária para a ignição do combustível nuclear. Assim, cálculos recentes indicam que as
massas mínimas necessárias para a q u e i m a do hidrogênio, do hélio, do carbono e do neônio
são iguais a 0.08, 0.25, 1.06 e 1.37 M respectivamente [5].
e
As estrelas mais massivas são classificadas c o m o estrelas da População I. São estrelas
jovens porque, c o m o q u e i m a m o combustível nuclear mais rapidamente, u m a vez que a
pressão interna e a temperatura são maiores numa estrela maior, ficam na Sequência Principal
durante u m período de tempo m e n o r que as estrelas da População II, pouco massivas e velhas
pois apresentam processos evolutivos mais lentos. C o m o o tempo necessário para a queima do
combustível nuclear é diretamente proporcional à razão M/L, onde M é a massa e L é a
luminosidade da estrela, v e m o s que as estrelas da População I são mais luminosas do que as
da População II, c o m o mostra a Tabela 1.1.
Tabela 1.1 Temperatura Central T , densidade central p e escala de tempo para várias
fases evolutivas de duas estrelas, uma de 25 M© e outra de 1 M© . Adaptado da ref.[3]
c
Fase
T (25)
c
(keV)
Tc
(D
c
Pc
(25)
Pc
(D
Tempo(25)
T e m p o (1)
(anos)
(keV)
(g/cm )
(g/cm )
(anos)
2 x IO
6
5 x IO
3
3
3
Queima do H
5
2.5
5
100
Queima do H e
20
10
700
4 x IO
Queima do C
80
—
2 x IO
3
—
60
—
Queima do N e
150
—
4 x 10
b
—
1
—
Queima do O
200
—
1 x 10'
—
0.5
—
Queima do Si
350
—
3 x 10'
—
0.01
—
Colapso
600
—
3 x 10
y
—
1 xl0"
4
10
lu
IO
b
8
—
Existem dois aspectos importantes na evolução estelar que estão fortemente
relacionados c o m a massa da estrela: o tempo gasto nos ciclos de reações nucleares e o
aparecimento de matéria degenerada no núcleo. Justamente por serem pouco massivas, as
estrelas da população II tendem a atingir u m estado degenerado mais rapidamente do que as
estrelas mais massivas. Isto se deve ao fato de que estrelas menos massivas conseguem atingir
densidades relativamente maiores, tendendo a desenvolver logo u m caroço denso e
degenerado. Para elas, a degenerescência é um fator determinante ao longo de quase toda a
sua vida evolutiva, e pode ocorrer no início da Sequência Principal.
2 / 3
4 / ?
A pressão gravitacional em cada p o n t o no interior da estrela é proporcional a M p
se os elétrons estiverem no regime ultra-relativístico de energia - p » IO g / c m . Se o gás de
elétrons for não relativístico, a pressão hidrostática será sempre suficiente para contrabalançar
a pressão exercida pela força gravitacional, permitindo assim u m a configuração de equilíbrio,
qualquer que seja o valor da massa da estrela.
Entretanto, se o gás de elétrons for
extremamente relativístico, passa a existir u m limite superior de massa para que a pressão
hidrostática consiga evitar a contração gravitacional do sistema. Este limite foi estabelecido
por Chandrasekhar [6]. Ele mostrou que existe um limite para a pressão que a repulsão mútua
6
13
3
entre os elétrons p o d e suportar. A m e d i d a que a estrela contrai, a energia gravitacional
aumenta, mas a energia dos elétrons t a m b é m , aumentando a sua pressão. O equilíbrio é
possível apenas se a massa for m e n o r que u m valor crítico. Se a massa for maior que esse
valor, a estrela colapsa.
O valor desse limite depende do n ú m e r o relativo dos elétrons e dos nucleons. Quanto
maior a proporção dos elétrons, maior a pressão eletrônica, e maior é a massa limite. A
dependência do limite de Chandrasekhar com a composição química da estrela está
inteiramente embutida no peso molecular médio por elétron, fl . Assim, para uma estrela
composta de núcleos relativamente leves, para os quais fi ~ 2 , temos que
e
e
M
C A
«1.46M.
(1.7)
5 6
Para um caroço totalmente sintetizado a F e , c o m o se presume existir nos instantes
que precedem o colapso gravitacional de u m a gigante vermelha, M
Ch
~ 1.24 M .
0
As estrelas mais massivas têm u m destino catastrófico. Quando o combustível nuclear
se exaure, a força gravitacional torna-se grande demais para ser mantida pela pressão de
degenerescência dos elétrons e a estrela colapsa até que em densidades muito maiores os
elétrons e os prótons se combinam para formar nêutrons que se degeneram. Se a pressão de
degenerescência dos nêutrons for suficiente para parar o colapso, dá-se então a formação de
u m a estrela de nêutrons.
1.4 As Anãs Brancas
Se ao sair da Sequência Principal, a massa da estrela for menor que o limite de
Chandrasekhar, a estrela continua a colapsar, até que a matéria fica tão compacta que se
transforma em matéria degenerada, ou seja. com todos os níveis energéticos ocupados, o que
resulta em u m a pressão que incorpora u m efeito quântico. N ã o há u m a relação de dependência
com a temperatura, c o m o ocorre com a pressão normal de u m gás. As primeiras partículas a
serem afetadas são os elétrons que, ao se degenerarem passam a exercer u m a pressão maior de
dentro para fora, resistindo a qualquer acréscimo de pressão. Quando o núcleo estelar atinge
um estado no qual ele é mantido pela pressão dos elétrons degenerados, a estrela torna-se u m a
anã branca. Ela é branca por ser inicialmente muito quente, em razão da enorme compressão.
A sua densidade central é de aproximadamente IO g / c m e raio de 5000 km. E m b o r a
chamadas anãs brancas, essas estrelas na verdade cobrem u m intervalo de temperatura e cores
que abrange desde as mais quentes, azuis ou brancas e com temperatura superficial de até
170000 K, até as mais frias, vermelhas, c o m temperaturas superficiais de apenas 3500 K.
6
3
N ã o existindo condições termodinâmicas que permitam que a fusão do hélio,
abundante no caroço, entre em operação, gradualmente a estrela esfria e desaparece de vista
em alguns bilhões de anos, tornando-se u m objeto denso, frio e sem qualquer atividade, u m a
anã negra. O t e m p o que u m a estrela gasta nesse estágio depende fortemente da sua
composição química e da sua temperatura central ao sair da Sequência Principal. Para u m a
configuração típica esse período p o d e durar 1 0 anos.
9
14
1.5 As Gigantes Vermelhas
Se ao sair da Sequência Principal, a massa da estrela for maior que o limite de
Chandrasekhar, a pressão do gás de elétrons não será suficiente para impedir a contração
gravitacional do caroço. A temperatura chega então a IO K e a densidade a 10 g/cm".
Viabiliza-se então a fusão termonuclear d o hélio no caroço, enquanto o hidrogênio continua a
ser queimado na envoltória da estrela.
8
A fusão do hélio ocorre através da c h a m a d a reação 3-oc, que em notação compacta se
escreve
4
i2
3 He<^ C
+y
(1.8.1)
cuja energia média liberada é aproximadamente igual a 7,65 M e V . Esta reação ocorre em dois
estágios, a saber: primeiramente duas partículas alfa combinam-se durante u m intervalo de
tempo muito curto ( = 10~ s) para formarem o núcleo do isótopo B e , que é muito instável,
16
4
8
4
He+ He^Be
(1.8.2)
M a s que, devido às condições existentes no meio, pode interagir c o m u m a partícula
alfa,
8
4
2
12
fle+ r7e<-V C*-> C + 7
(1.8.3)
Após ter sido produzida u m a quantidade suficiente de carbono, o hélio poderá ser
consumido através de outra reação, dada por:
n
4
6
C+ He^ 0
+y
(1.8.4)
com a qual c o m e ç a a ser sintetizado o oxigênio.
Terminado o ciclo da queima d o hélio no núcleo da estrela, composto agora
basicamente de carbono e oxigênio, ocorre u m a nova contração das camadas centrais
enquanto o envoltório se expande. C o m a queda da temperatura, cessa t a m b é m a queima do
hidrogênio nas camadas mais externas. Naturalmente, o próximo ciclo será a queima do
carbono e do oxigênio disponível no caroço da estrela, caso a massa do caroço seja maior que
o correspondente limite de Chandrasekhar. A fusão do carbono se realiza através de uma das
seguintes reações:
n
n
C+ C
24
-> Mg+y
(13,93 M e V )
(1.8.5a)
+p
(2,24 M e V )
(1.8.5b)
-> /Ve + a
(4,61 M e V )
(1.8.5c)
+n
(-2,60 M e V )
(1.8.5d)
+ 2a
(-0,11 M e V )
(1.8.5e)
2
^ 'Na
20
23
-> Mg
6
W0
15
Quanto ao oxigênio, ele pode ser queimado através das reações:
16
l6
0+ 0
32
-> S
+y
(16,54 M e V )
(1.8.6a)
3]
+p
(7,67 M e V )
(1.8.6b)
-^ 5 + «
(1,46 M e V )
(1.8.6c)
(9,60 M e V )
(1.8.6d)
(-0,39 M e V )
(1.8.6e)
-* P
3 1
2 8
-> S/ + a
24
-* Mg+2a
28
onde o S i aparece c o m o o principal núcleo sintetizado. Por sua vez, este núcleo pode
participar da seguinte reação fotonuclear:
2s
y+ Si
24
-> Mg
+a
(-10 M e V )
(1.8.7)
A partir da q u e i m a d o silício, irão se processar outras reações termonucleares cujo
resultado final será a síntese de núcleos cada vez mais pesados, até que sejam sintetizados os
elementos químicos pertencentes ao c h a m a d o grupo do ferro. C o m o se sabe, dos elementos
conhecidos da tabela periódica, o F e é o elemento que possui a m á x i m a energia de ligação
por nucleón, sendo por isso, o elemento mais estável. Qualquer processo de fusão que inclua o
" F e é endotérmico. Deste p o n t o e m diante, encerram-se os ciclos de reações termonucleares
no interior da estrela.
5 6
6
A o final deste estágio de evolução, a estrela está com uma estrutura de camadas, mais
comumente c h a m a d a de estrutura de cebola onde há u m caroço extremamente quente e denso,
iodo sintetizado a F e , envolvido por outras camadas m e n o s densas e compostas por núcleos
mais leves onde, provavelmente, p r o s s e g u e m as reações nucleares. N a Fig.1.2, representamos
ilustrativamente a configuração final da estrela.
5 6
Figura 1.2- Estrutura de camadas, ou de cebola, de uma estrela no estágio de pré supemova.
um caroço denso de ferro com massa em torno de 1,24 Aí
e
16
O centro da estrela
apresenta
1.6 Nucleossíntese dos Elementos Pesados
A nucleossíntese dos elementos químicos até o grupo do ferro tem a sua origem
determinada pelas reações termonucleares presentes no interior estelar. C o n t u d o , a fusão do
ferro é inviável por causa da grande barreira coulombiana a ser vencida, o que exigiria
temperaturas superiores a 5 x l 0 K para a matéria estelar. Entretanto, nessa temperatura, a
íotodesintegração dos núcleos é mais provável do que a fusão. C o m o explicar então a
abundância de elementos mais pesados d o que o ferro? A idéia mais aceita é a de que esses
núcleos seriam formados através de três processos básicos: a captura lenta de nêutrons processo s, a captura rápida de nêutrons - processo r e a captura de prótons - processo p.
9
A baixas temperaturas, os núcleos podem capturar nêutrons durante dois estágios de
evolução: na fase de gigante vermelha, através do processo s e durante a explosão de
supernova, através do processo r.
O processo s: Núcleos pesados p o d e m capturar nêutrons livres de baixas energias,
produzidos pelo grupo de reações (1.8.5) e (1.8.6). através da reação
(Z,À)+n
-» (Z,A +
\)+y
(1.9)
favorecida pelo fato de não envolver n e n h u m a barreira coulombiana a ser vencida. Se o
núcleo (Z, A + l ) resultante for estável contra o decaimento (3 (n —> p + e~ + v ) , ele poderá
e
eventualmente capturar mais nêutrons, se tornando um isótopo cada vez mais rico em
nêutrons. Se ele não for estável, haverá u m a competição entre o decaimento [3 e a captura de
nêutrons. N o entanto, para que ocorra o processo s, é necessário que a taxa de captura de
nêutrons seja muito menor que a do decaimento p\
22
26
O processo r : Se no m e i o houver u m fluxo intenso de nêutrons, entre I O e I O
nêutrons/cm .s, a captura de nêutrons p o d e ser mais rápida que o decaimento p\ Nesse
contexto, o núcleo segue capturando nêutrons, um de cada vez, até que a energia de separação
de u m neutron (S„) se torne tão baixa que ele não pode mais capturá-los. O núcleo, rico em
nêutrons, sofre sucessivos decaimentos p\ tornando-se assim mais rico e m prótons. Quando
valores muito grandes de A forem atingidos, o processo r passará a competir c o m o processo
de fissão dos núcleos formados. Para que a formação de núcleos pesados através do processo
r ocorra é necessário, além da presença de um fluxo intenso de nêutrons, que a temperatura
seja suficientemente baixa de m o d o que os núcleos formados não sejam desintegrados. Este
processo ocorre durante a explosão de supernova. A onda de choque gerada durante a
explosão, ao atravessar as c a m a d a s m a i s externas e frias da estrela, libera uma grande
quantidade de nêutrons que p o d e m ser capturados pelos núcleos.
2
O processo
através da reação
(Z,À)+p->{Z
p: A síntese dos núcleos ricos em prótons ocorre mediante o processo p ,
+ \,A + l)+Y
(1.10)
A baixa abundância relativa desses núcleos refletiria a baixa presença de prótons na
matéria estelar, causada pela captura eletrônica.
17
1.7 A Implosão
Q u a n d o a fonte de energia nuclear é interrompida, o caroço da estrela se contrai,
usando a energia gravitacional disponível. Com a contração, toda a estrutura evolui
rapidamente para u m a configuração altamente instável, desencadeando reações ultra-rápidas.
C o m a temperatura da ordem de IO K e densidade aproximada de IO g/cm , o sistema
caminha rapidamente para o colapso gravitacional. É o c o m e ç o do fim para a estrela. Esta é a
configuração de pré supernova. A partir de então, passam a ocorrer processos fortemente
endotérmicos, c o m o a fotodissociação do F e e a captura eletrônica, levando a uma brusca
redução da pressão e da energia térmica d o gás de elétrons. C o m o consequência, o equilíbrio
hidrostático é rompido e as regiões centrais da estrela que c o m p õ e m o caroço de ferro, entram
em colapso gravitacional, ou seja, implodem.
9
9
3
5 6
Q u a n d o a escala de tempo da contração do sistema é da m e s m a ordem de grandeza d o
tempo de queda livre, ou t e m p o dinâmico (qualquer desequilíbrio da condição de equilíbrio
hidrostático causa deslocamentos grandes e rápidos) dizemos que o sistema está em colapso
gravitacional. Portanto, u m a falta de equilíbrio leva a mudanças significativas no raio da
estrela.
A escala de tempo de queda livre p a r a um caroço esférico de massa M e raio R é dada
por
Para u m caroço típico de supernova c o m M = 1 . 5 M e R = 1 0 cm, encontramos t \ = 50 ms.
S
q
Durante o colapso gravitacional, a matéria estelar toma-se cada vez mais densa.
Elétrons e prótons se combinam e formam nêutrons degenerados. A matéria estelar toma-se
então rica em nêutrons. As camadas centrais implodem em frações de segundo com
velocidades características de queda livre do sistema. Nestas condições catastróficas, a
equação de estado que descreve o sistema passa a depender essencialmente da densidade.
Espera-se que o caroço da estrela ao ser comprimido, tenha a sua temperatura
aumentada, e que consequentemente, a pressão t a m b é m aumente e pare o colapso. M a s na
verdade, o aquecimento do caroço causa u m efeito contrário. A pressão é determinada por
dois fatores: o número de partículas no sistema (independente do tamanho) e a sua energia
média. N o caroço da estrela, tanto os núcleos como os elétrons contribuem para a pressão,
mas a contribuição eletrônica é maior. Q u a n d o o caroço é aquecido, u m a pequena parte dos
núcleos de ferro é quebrada em núcleos menores, aumentando o número de partículas
nucleares e consequentemente a u m e n t a n d o a componente nuclear da pressão. Entretanto, a
quebra dos núcleos absorve energia fornecida por fótons cuja energia média é de 200 keV.
Dado que existe u m a distribuição de fótons, são os fótons mais energéticos da cauda dessa
distribuição que c o m e ç a m , de fato, a dissociar o ferro ( y + Fe —> 1 3 a + 4 n ) . Isto ocasiona
uma pequena despressurização que comprime o material um pouco mais. C o m isso, a
densidade do m e i o e consequentemente a energia de Fermi dos elétrons aumenta. A energia
cinética desses elétrons chega a 0.6 M e V q u e permite o desencadear da captura eletrônica por
núcleos do caroço. Devido a isto, o t e r m o dominante de pressão fica enfraquecido e a
contração se acelera. Neste ponto estamos com u m a densidade de 10 g/cm . A contração se
acelera e muitos neutrinos escapam. C o m o consequência desses fatos, o caroço neutroniza-se:
os núcleos ficam ricos em nêutrons a tal ponto que os mesmos se soltam e proliferam no
5 6
8
18
3
meio. Chega um ponto em que são os nêutrons livres, ao invés dos elétrons que seguram a
estrutura da estrela, o que está descrito pela equação de estado B B P [7]. A partir deste ponto,
a densidade de I O ' g / c m é atingida, os neutrinos ficam confinados e o colapso é invertido. A
perda na pressão eletrônica é mais importante que o ganho na pressão nuclear, e o colapso
acelera [8].
1
3
Pode parecer que a implosão de u m a estrela seja u m processo caótico. N a verdade ele
é bastante ordenado. U m a estrela colapsante evolui para u m estado de m e n o r entropia. Afinal,
ela está implodindo e não explodindo. N u m a estrela de hidrogênio, cada nucleón tem o seu
próprio m o v i m e n t o , enquanto que, n u m caroço de ferro grupos de 56 nucleons estão unidos e
têm que se m o v i m e n t a r j u n t o s . A baixa entropia do caroço é mantida durante o colapso. As
reações nucleares continuamente m u d a m as espécies de núcleos presentes, mas estas reações
são tão rápidas, que o equilíbrio é m a n t i d o . O colapso ocorre em alguns milisegundos
enquanto as reações nucleares ocorrem n u m intervalo de tempo da ordem de IO" a I O
segundos, de m o d o que qualquer saída do equilíbrio é imediatamente corrigida.
15
2 3
O primeiro estágio no colapso da s u p e m o v a termina quando a densidade do caroço
chega a 4 x 1 0 " g / c m . Esse valor marca u m a m u d a n ç a crucial nas propriedades físicas da
matéria. Ela se torna opaca aos neutrinos. Vale lembrar que os neutrinos são partículas que
não interagem c o m outras, mas até eles são confinados neste caroço tão denso. Esta situação
não é permanente. Depois do neutrino ser espalhado, absorvido e reemitido muitas vezes, ele
acaba escapando, m a s este processo dura mais do que os outros estágios do colapso, e durante
o confinamento dos neutrinos, n e n h u m a energia escapa do caroço.
3
O processo de captura eletrônica reduz não apenas a pressão eletrônica, mas também a
razão elétrons/nucleons. C o m o vimos, esta quantidade faz parte do cálculo da massa limite de
Chandrasekhar. N u m caroço típico de pré-supernova, essa razão fica entre 0.42 e 0.46.
Quando os neutrinos são confinados, ela cai para 0.39 o que lava a u m a massa de
Chandrasekhar de 0.88 M , valor b e m m e n o r do que o valor original.
e
Neste ponto, o papel da massa de Chandrasekhar na análise de supernovas muda. Ela
significava a maior massa que a pressão eletrônica poderia suportar e se tornou a maior massa
que pode colapsar de u m a maneira h o m ó l o g a , ou seja, e m conjunto, preservando a sua forma
original. O trabalho de Chandrasekhar mostrou que a pressão dos elétrons não impede que o
caroço de u m a estrela grande colapse. A única esperança de parar o colapso seria a pressão
dos nucleons, que no estágio de pré-supernova, é u m a fração desprezível da pressão
eletrônica.
A situação não m u d a até que a densidade na parte central do caroço atinja valores em
t o m o de 2 . 7 x l 0 g / c m e temperatura e m tomo de 1 0 K. N a verdade, os nucleons no
caroço se u n e m para formar u m único núcleo gigante. C o m o a matéria nuclear é praticamente
incompressível, assim que a parte central d o caroço atinge tais densidades, ele passa a resistir
ao colapso. Essa resistência é a primeira fonte de u m a onda de choque que transforma o
colapso gravitacional em u m a explosão espetacular.
1 4
3
1 0
A questão básica é: u m a supernova começa c o m o um colapso. E m algum ponto o
movimento para dentro da matéria estelar é parado e invertido. Ou seja, u m a implosão se
transforma em u m a explosão.
19
1.8 O Confinamento de Neutrinos
Neutrinos são produzidos em todas as fases evolutivas das estrelas. Entretanto eles
podem escapar livremente delas sem sofrer interação devido às baixas seções de choque
! IO" c m ) . O livre c a m i n h o m é d i o para neutrinos de 1 M e V de energia é maior do que o raio
de u m a estrela, m e s m o u m a gigante vermelha.
44
2
Entretanto, em 1966, Colgate e W h i t e [9] levantaram a hipótese de que, nos instantes
finais do colapso gravitacional de u m a estrela massiva, as suas camadas externas ao caroço
central pudessem ficar opacas aos neutrinos devido à formação, nestas c a m a d a s , de núcleos
com número de massa elevado. Os autores supunham que os neutrinos produzidos pela
captura eletrônica pudessem escapar livremente do caroço estelar porque as taxas das reações
V +n —> p + e~ e v +e~
e
e
- » V + e~
F
deveriam diminuir progressivamente c o m o aumento da densidade devido ao princípio de
exclusão de Pauli. N o entanto, a densidade das camadas externas ao caroço é baixa, e lá, estas
reações são possíveis. Portanto, devido a maior opacidade das c a m a d a s externas aos
neutrinos, ocorreria u m a transferência de energia tanto pelas reações de espalhamento como
pela absorção de neutrinos por núcleos. Tal energia transferida seria transportada para as
camadas externas em forma de calor, levando o caroço a esfriar e a envoltória a se aquecer.
C o m o aumento da temperatura, a pressão do gás aumentaria e este gradiente de pressão,
gerando u m a onda de choque, poderia ocasionar uma explosão.
O trabalho de Colgate e W h i t e tem grande importância porque foi a primeira tentativa
de simulação de um colapso gravitacional e de uma explosão de supernova e m computadores
eletrônicos. Este trabalho trouxe u m grande impulso à pesquisa em física de supernovas e
muitos cálculos baseados e m transporte de energia e m o m e n t o por neutrinos foram
desenvolvidos, até que, em 1974, F r e e d m a n [10] propôs a existência de correntes neutras em
interações fracas, mediadas pelo bóson Z°, o que foi confirmado experimentalmente. C o m
isso, os rumos da pesquisa e m supernovas mudaram drasticamente, principalmente pelo fato
de que tais processos contribuem para a opacidade da matéria estelar a neutrinos.
E m 1975, Sato [11] e e m 1976, M a z u r e k [12] mostraram que a matéria estelar toma-se
fortemente opaca aos neutrinos durante a captura eletrônica, e que o processo de
neutronização (elétrons livres relativísticos são capturados por prótons nos núcleos e são
transmudados em nêutrons n u m a reação inversa ao decaimento ¡3), fica fortemente inibido
tanto pelo mar degenerado de neutrinos confinados, quanto pela captura de neutrinos por
núcleos. Epstein e Pethick [13] determinaram o valor crítico de densidade para o
confinamento de neutrinos, considerando os espalhamentos neutrino-próton, neutrino-nêutron
e neutrino-núcleo. C o m p a r a r a m o t e m p o gasto por um neutrino para escapar por difusão do
caroço com o tempo característico de q u e d a livre, e mostraram que o confinamento dos
neutrinos no interior da estrela ocorre p a r a densidades da ordem de 1 0 - 1 0 g/cm , se
forem considerados neutrinos com energias maiores que 10 M e V .
11
12
3
Reações de corrente neutra, c o m o :
V + p ->v + p e v
e
c
e
+n - > v
e
+n
apresentam taxas de reação similares às reações induzidas por correntes com carga.
Entretanto, u m a diferença fundamental é q u e , no meio estelar, as taxas de reação com corrente
20
neutra crescem com a densidade, pelo fato de não existirem elétrons nos estados finais. Além
disso, as seções de choque para os processos de espalhamento coerente de neutrinos por
núcleos são bem maiores d o que as seções de choque típicas, pois são proporcionais à A ' ,
onde A é o número de massa dos núcleos. Consequentemente, para núcleos c o m número de
massa elevado, presentes nas regiões centrais da estrela nos instantes finais do colapso, o
espalhamento coerente neutrino - núcleo d e v e ser a principal fonte de opacidade a neutrinos,
o que pode levá-los a ficar confinados no caroço da estrela.
Para ilustrar o que foi escrito acima, consideraremos o espalhamento coerente de
neutrinos por núcleos de F e . A seção de choque para o espalhamento neutrino-núcleo [14] é
dada por
5 6
'
16
*
E..
2
A,
(1.13)
2
\
m„c
1
onde a seção de choque elementar a
é
0
-4
f
<7
h
0
^
, onde GF é a constante de Fermi.
(1-14)
2
K
mc
e
2
V e m o s da equação acima que a seção de choque fica igual a A vezes a seção de
choque elementar entre o neutrino e u m nucleón individual. Esse fator de elevação da seção
de choque, combinado c o m as elevadas densidades alcançadas durante o colapso
gravitacional, leva a u m livre c a m i n h o m é d i o para os neutrinos incrivelmente menor do que
os estimados para as demais reações.
5
Adotando-se o valor G
F
próton, obtém-se c
44
0
2
— \0~ m~
2
= Í.61xl0~ cm .
para a constante de Fermi, onde m é a massa do
p
P o r exemplo, para neutrinos c o m energia igual a 20
M e V e A = 5 6 , obtemos u m a seção de c h o q u e total da ordem de 10"
38
2
cm .
V a m o s estimar então, o valor do livre caminho médio dos neutrinos para u m caroço de
F e com densidade de massa igual a I O s/cm" e raio de 1000 km. O n ú m e r o de núcleos de
F e por unidade de volume (n¿v) é, então, da ordem de 1 0 cm" e o livre caminho médio,
A = \ln o,
igual a l k m . O n ú m e r o de colisões sofridas por cada neutrino (N) é dado por
5 6
11
5 6
33
3
n
onde D é a distância efetiva percorrida pelos neutrinos. Por outro lado, o tempo
necessário para que os neutrinos e s c a p e m do caroço é t = XN/c.
Fazendo D = 1000 km,
obtemos í = 3 . 0 s . N o t e m que este valor é muito maior do que a escala de tempo
característica do colapso gravitacional, q u e é da ordem de 0.1 s, mostrando que durante o
colapso gravitacional os neutrinos ficam efetivamente confinados no caroço, para densidades
maiores que I O g/cm .
11
3
U m a consequência teórica imediata que o confinamento de neutrinos acarreta, é a
impossibilidade de se explicar a explosão de supemova com base no m e c a n i s m o de transporte
de m o m e n t o ou energia por neutrinos, c o m o tentaram Colgate e W h i t e , j á que os neutrinos
ficam presos no interior do caroço durante o colapso gravitacional da estrela.
21
1.9 A Explosão
Dentre os m e c a n i s m o s q u e p o d e m provocar u m a explosão de supernova, o bounce
hidrodinámico, proposto e m 1960 por Colgate e Johnson [15], e m 1975 por Bruenn [16] e e m
1979 por Bethe et.al [17], será por n ó s considerado. N o s instantes finais d o colapso, o caroço
da estrela inverte repentinamente o sentido d o movimento (bounce), ao m e s m o tempo em que
as camadas externas próximas ao caroço, e m movimento praticamente de queda livre, colidem
violentamente c o m ele, sendo então refletidas. A onda de choque gerada durante o choque
pode, eventualmente, ejetar as c a m a d a s externas inicialmente em colapso, juntamente com o
restante da estrutura d a estrela. Se a dinâmica do colapso respeitar a simetria esférica, a
aceleração por unidade de m a s s a será dada por:
^.1^.9^ £h.
+
p dr
r
( U 5 )
c
onde F representa o fluxo d e energia d o s neutrinos, k a opacidade d o m e i o aos neutrinos e c
v
a velocidade da luz. N a ausência de transporte de neutrinos, ela torna-se:
.,_
1 dP
Gm
p dr
r
2
O sinal da aceleração e m cada p o n t o do fluido depende da competição entre o termo
dado pelo gradiente de pressão hidrostática e o termo dado pela força gravitacional. Ocorrerá
um bounce se o primeiro t e r m o for m a i o r que o segundo, o q u e poderá levar o caroço a
oscilar. Portanto, dependendo d o c o m p o r t a m e n t o da equação de estado, o gradiente de pressão
pode se tomar muito maior q u e o termo gravitacional, de m o d o que o p r ó x i m o bounce possa
gerar u m a forte o n d a de c h o q u e . N o s instantes finais d o colapso, o índice adiabático muda
subitamente de u m valor m e n o r q u e 4/3 p a r a um valor maior que 5/3 (Apêndice B). Com isso,
a equação de estado se t o m a mais m o l e , propiciando o bounce. E m outras palavras, o
gradiente de pressão aumenta consideravelmente.
Detalhando mais, o caroço colapsa d e maneira uniforme, e o q u e provoca isso é o fato
da velocidade de queda livre da matéria ser proporcional à distância ao centro. Por outro lado,
a densidade é inversamente proporcional à distância ao centro, e c o m o consequência, o
m e s m o acontece c o m a velocidade d o s o m . O raio para o qual a velocidade d o som é igual à
velocidade de queda livre d a matéria é chamado de ponto sônico, e m a r c a a fronteira d o
caroço homólogo. U m a perturbação dentro do caroço n ã o causa n e n h u m a reação além desse
ponto. N o ponto sônico, ondas de s o m movem-se radialmente para fora e m relação ao
referencial da matéria e m queda, que se move radialmente para dentro c o m a m e s m a
velocidade, de m o d o que as ondas ficam paradas em relação ao centro da estrela.
Quando o centro d o caroço alcança a densidade nuclear, ele para de se contrair
subitamente. Isto cria ondas sonoras que se propagam através do caroço. Essas ondas são
atenuadas a medida que elas se p r o p a g a m para fora do caroço homólogo devido à diminuição
da velocidade do s o m e t a m b é m porque elas se m o v e m contra u m a m a s s a que está colapsando
muito rapidamente. N o ponto sônico elas param completamente. M a s outras ondas de choque
são geradas, e por u m a fração d e milisegundos essas ondas se encontram n o ponto sônico,
aumentando a pressão lá. Esse impacto n a pressão atenua a massa q u e cai através do ponto
sônico criando u m a descontinuidade n a velocidade. Essa mudança descontínua da velocidade
constitui u m a onda de choque.
22
N a superfície do caroço duro o colapso para subitamente, mas não instantaneamente.
A compressibilidade da matéria nuclear é baixa, mas não é nula, e o colapso continua até
além do ponto de equilíbrio, c o m p r i m i n d o o caroço central até u m a densidade mais alta do
que a densidade nuclear. A esfera de matéria nuclear faz um bounce c o m o u m a bola de
borracha quando comprimida. O bounce causa mais ondas de choque, que se associam
àquelas no ponto sônico.
U m a onda de choque é diferente de uma onda sonora. U m a onda sonora não causa
mudança permanente no m e i o . A p a s s a g e m de u m a onda de choque causa mudanças na
densidade, pressão e entropia. U m a o n d a de som se m o v e com a velocidade do som. U m a
onda de choque se move mais rápido, c o m uma velocidade determinada pela sua energia.
Logo, u m a vez que a descontinuidade da pressão no ponto sônico se transforma numa onda de
choque, ela não fica mais presa no lugar pela massa que cai. A onda se propaga para fora
através das camadas mais externas da estrela, e. de acordo com simulações computacionais,
com velocidades entre 30 mil e 50 mil k m / s . Ela alcança a superfície do caroço de ferro em
uma fração de segundo, e então, continuamente através das sucessivas c a m a d a s da estrela.
Após alguns dias ela chega á superfície externa da estrela e sai n u m a violenta explosão. Além
de u m determinado raio, c h a m a d o de p o n t o de bifurcação, todo o material da estrela é ejetado,
e o que sobra dentro desse raio pode condensar em u m a estrela de nêutrons.
1.10 As Supernovas e as Estrelas de Nêutrons
Já foram registrados e m nossa galáxia seis eventos de explosão de supernovas, sendo
que a explosão mais célebre foi a que resultou na Nebulosa de Caranguejo, na Constelação de
Touro, observada pelos chineses e m 1054. e em cujo centro está o pulsar de Caranguejo.
H á várias classes de supernovas, sendo as mais importantes as do tipo I (SNI) e as do
tipo II (SNII). As supernovas do tipo I são o resultado da transferência de massa em u m
sistema binário formado por u m a anã branca e uma estrela gigante em evolução. Supernovas
do tipo II são em geral, estrelas v o l u m o s a s que chegam ao fim da vida de forma espetacular.
Fundamentalmente, o que distingue u m a classe da outra são a curva de luz, o intervalo de
massa para a estrela progenitora e o m e c a n i s m o de explosão.
U m a SNI gasta aproximadamente 5 0 dias para atingir seu brilho m á x i m o , tendo c o m o
principal característica a regularidade d a sua curva de luz e a ausência de linhas de
hidrogênio. Existem evidências observacionais de que as S N F s estejam associadas a estrelas
binárias [18]. O par de estrelas perde m o m e n t o angular até que elas se t o m a m tão próximas
que a matéria da estrela companheira é transferida para u m disco ao redor da anã branca que
consequentemente, tem a sua m a s s a aumentada até o limite de Chandrasekhar. A anã branca
consiste basicamente de carbono e oxigênio. Neste processo, carbono (ou possivelmente
hélio) é usado c o m o estopim sob condições altamente degeneradas e u m a parte substancial da
estrela é queimada até o equilíbrio nuclear. Podemos acrescentar ainda que não há registro de
nenhuma estrela de nêutrons q u e seja remanescente da explosão de u m a S N I [19]. Presume-se
também que as S N F s tenham c o m o progenitoras estrelas velhas, isto é, estrelas da População
n, e pouco massivas, cujo intervalo de m a s s a é 4 M < M < 8 M .
e
e
As S N I F s apresentam curvas de luz irregulares, linhas fortes de hidrogênio e são, pelo
que se acredita, resultado final da e v o l u ç ã o de estrelas da População I, mais massivas, com
8 M < M < 6 0 M . Elas existem apenas nos braços de galáxias espirais. A p ó s passarem por
vários ciclos de nucleossíntese, tais estrelas entram e m colapso gravitacional e explodem
violentamente, deixando c o m o resultado u m caroço denso e rico e m nêutrons que pode,
e
o
23
dependendo do valor da sua massa, atingir uma configuração dinamicamente estável: uma
estrela de nêutrons.
Para melhor explicar c o m o u m a supernova do tipo II evolui, é melhor começarmos
pelo m o m e n t o em que ocorre a fusão do silício para formar o ferro no centro da estrela. Nesse
ponto, a estrela j á passou pelos estágios de queima do hidrogênio, hélio, neônio, carbono e
oxigênio e j á tem a estrutura tipo " c e b o l a " descrita anteriormente. A estrela gasta vários
milhões de anos para chegar a este estágio de evolução O que vem a seguir ocorre muito mais
rapidamente.
Quando as fusões finais c o m e ç a m , um caroço de ferro e alguns outros elementos
começa a se formar n o centro da estrela, c o m um envoltório de silício. A fusão continua na
interface entre o caroço e o envoltório adicionando m a s s a ao caroço. Entretanto, no caroço
não há mais produção de energia através de reações nucleares. O caroço se torna uma esfera
:nerte sob grande pressão. Ele pode resistir à contração apenas com a pressão dos elétrons,
que está sujeita ao limite de Chandrasekhar, que para u m caroço de ferro é algo entre 1.2 e 1.5
massas solares. T o d o o processo descrito acima, ou seja, desde a fusão do silício até o caroço
alcançar o limite de Chandrasekhar ocorre e m apenas u m dia. E o caroço que foi feito em um
dia colapsa em alguns milisegundos.
A morte de u m a estrela grande é um evento único. A estrela evolui calmamente
durante milhões de anos, passando por vários estágios de desenvolvimento, mas quando o seu
combustível acaba, ela colapsa devido ao seu próprio peso em m e n o s de u m segundo. O
produto disso é u m a supernova, u m a explosão poderosa, que pode brilhar mais do que u m a
galáxia inteira c o m bilhões de estrelas. A explosão de u m a supernova é um dos eventos mais
violentos que ocorrem naturalmente no universo. A o longo de poucos meses ela emite a
mesma quantidade de luz que o Sol emite em um bilhão de anos. A energia liberada pelo
colapso expele a maior parte da massa da estrela, espalhando os elementos químicos formados
durante a sua evolução pelo espaço interestelar. Massas da ordem de várias massas solares são
ejetadas com velocidades de mais de 10000 km/s. Q u a n d o a explosão acaba, o que sobra no
centro é u m a estrela de nêutrons ou, em alguns casos, um buraco negro.
O conceito de estrelas de nêutrons data de 1930, e foi primeiramente discutido no
contexto da relatividade geral por Oppenheimer [20] em 1939, porém elas não foram
observadas até 1968 quando Gold [21] sugeriu que os pulsares seriam estrelas de nêutrons
fortemente magnetizadas, que giravam rapidamente. A primeira observação de um pulsar foi
feita em 1967 por Hewish et al. [22]. A regularidade da emissão do pulsar é devida a um feixe
de radiação da estrela que varre o céu durante cada período de rotação. O pulsar de
Caranguejo, por exemplo, emite nas faixas de rádio, ótica e de raios-x, a intervalos regulares
de aproximadamente 30 pulsos por segundo.
As estrelas de nêutrons são estrelas degeneradas com massa de aproximadamente u m a
massa solar, raio de aproximadamente 10 k m e densidades centrais da ordem de 1 0 g / c m ,
mas a sua temperatura é baixa, da ordem de IO K, o que é muito menos que u m MeV. A
energia de u m nucleón é 50 a 100 vezes maior do que K T . A densidade n o centro de u m a
estrela de nêutrons p o d e chegar a assumir valores maiores do que a densidade de saturação da
matéria nuclear ( p = 2.4 x I O
g / c m ou 0.15 nucleons/fm ) e, por isso mesmo,
contrariamente ao que ocorre no caso das anãs brancas, o limite superior de massa de u m a
estrela de nêutrons não está ainda b e m estabelecido, u m a vez que a equação de estado da
matéria estelar quente, no regime supranuclear de densidade não é bem conhecida. Portanto,
para que u m a teoria de s u p e m o v a s do T i p o II tenha sucesso, o primeiro requisito é que ela
14
8
14
3
3
0
24
3
tenha u m a boa equação de estado tanto p a r a densidades abaixo c o m o para densidades acima
da densidade nuclear.
O primeiro cálculo feito neste sentido foi realizado em 1939 por Oppenheimer e
Volkoff [20]. Eles usaram a equação de estado de u m gás ideal de neutrons livres e u m a
equação de equilíbrio hidrostático com correções relativísticas e encontraram o valor limite
de 3/4 M para a m a s s a de u m a estrela de neutrons.
0
Mais recentemente Glendenning [23] através de u m a equação de estado da Q H D
obteve o limite de M ~ 1.81 M para u m a estrela de neutrons rica em hyperons, com raio de
aproximadamente 11.3 km e densidade central de 2.4 x 1 0 g / c m .
0
15
3
U m m o d e l o simplificado [24] que usa o modelo de sacola apenas para neutrons não
interagentes permite obter u m limite de M = 1.80 M . , raio da ordem de 10 k m e densidade
central de 2.0 x 1 0 g / c m , para u m a estrela de neutrons.
s
15
3
Nesse trabalho, consideraremos u m modelo esquemático semi-analítico, que veremos
em detalhe no Capítulo 3, para o cálculo dinâmico do colapso e da explosão de supernovas,
que dará origem a formação e c o m p o s i ç ã o de proto-estrelas de neutrons. A transição de fase
de matéria hadrônica para matéria de quarks será vista n u m cenário onde ocorre o
confinamento de neutrinos e onde as interações entre os hádrons e entre os quarks são
consideradas. Este modelo, além de simples, fornece u m a descrição quantitativa precisa de
todos os aspectos globais do processo, tais como a massa ejetada, a energia da onda de
choque, a m a s s a e o raio do caroço remanescente. Apresentaremos também, u m a evolução
temporal do sistema durante o processo de colapso e explosão.
25
Capítulo 2
A Hadrodinâmica Quântica
2.1 Introdução
E m 1974 Walecka [1] propôs u m a teoria quântica relativística de muitos corpos, a
Hadrodinâmica Quântica, Q H D (do inglês Quantum Hadro-Dynamics), c o m o objetivo de
descrever autoconsistentemente a interação entre hádrons através da troca de mésons
massivos não interagentes entre si.
Essa teoria alcançou grande sucesso devido ao fato dela descrever de forma bastante
simples a energia de ligação da matéria nuclear como u m efeito relativístico que "desliga" a
atração produzindo u m m í n i m o para a energia de ligação na energia e densidade corretas e m
contrapartida com modelos não relativísticos que precisavam de cálculos elaborados para dar
conta desses números. N o entanto, a compressibilidade da matéria nuclear obtida a partir
dessa teoria é muito alta se c o m p a r a d a c o m a compressibilidade extraída de dados do " m o d o
de respiração" - ressonância m o n o p o l a r nuclear, muito importante para os estudos da
evolução estelar. Portanto, modificações capazes de produzir uma descrição mais adequada da
compressibilidade foram propostas. D e n t r e estas sugestões destaca-se a de Zimanyi e
Moszkowsky [2] que modifica a interação entre o méson e s c a l a r a e os b á r i o n s ^ F e introduz a
interação entre o méson e s c a l a r e e o vetorial isovetorial co. Este será o m o d e l o usado em
nosso trabalho, mas antes, por questão de simplicidade, faremos u m a breve apresentação do
modelo de Walecka. C o m o é usual, consideraremos daqui por diante h = c = \.
2.2 O Modelo QHD-I
cr(x )
M
Considera-se u m sistema de nucleons interagindo entre si através do c a m p o escalar
e do c a m p o vetorial ú) (x^).
O c a m p o escalar descreve a parte atrativa da interação
v
entre os nucleons, dominante em densidades intermediárias em comparação a p , a densidade
0
da matéria nuclear saturada, enquanto o campo vetorial descreve a parte repulsiva da
interação, dominante em densidades elevadas.
Os graus de liberdade fundamentais em Q H D são os campos bariônicos e os campos
mesônicos. Assim, a interação entre os nucleons é descrita pelo acoplamento do c a m p o
bariônico *F com os campos mesônicos <7 eco. sendo mensurada pelos termos g^y^co^
e
g^H'O
, onde g
v
e g são as constantes de acoplamento vetorial e escalar, respectivamente.
s
Nesta descrição, T . f f e o
são operadores.
Nesse modelo, a lagrangiana é d a d a por [3]
26
(2.1)
onde m ,m
B
e m , representam as massas d o s nucleons, do méson vetorial e do méson escalar
v
e 7 denota as matrizes de Dirac:
M
7° =
1
0
0
-1
0
.k
- o
0
\
\
(2.2)
1 é a matriz identidade 2 x 2 e
fo
fj
1
=
1]
0
2
, o- =
1
V
fo
- n
J
°J
í
1
são as matrizes de Pauli. O tensor antissimétrico co
° 1
(2.3)
é definido por
(2.4)
O primeiro termo da Eq. (2.1) é a lagrangiana de Dirac para férmions livres acrescida
da energia de interação c o m os m é s o n s coto.
O segundo é a lagrangiana para bósons
escalares livres e o terceiro e o quarto termos correspondem à lagrangiana de um campo
vetorial massivo.
Partindo-se das equações de Euler-Lagrange
dL,
dx'
com q = o,co
t
dL,
= 0
(2.5)
d^q^dx")
, pode-se obter as seguintes equações de movimento para os campos:
(2.6)
(2.7)
(2.8)
onde em (2.7), o tensor
(2.9)
é a corrente bariônica, sendo
27
vj/ = vj/ yo
0
c o n
j g
U
a c
i
0
¿ Dirac associado ao operador *F .
e
(2.10)
D a equação (2.8) obtemos a seguinte equação para *F :
(2.11)
v\y»(id +g CO^+(m -g cj)]=0
u
v
B
s
Multiplicando-se (2.8) à esquerda p o r 4* e (2.11) à direita por 4* e, a seguir somando>. obtemos a equação
(2.12)
que traduz a lei da conservação da corrente bariônica. Consequentemente, sendo m
^ 0,
segue-se de (2.7) que 3 f t / = 0.
M
E m termos da densidade lagrangiana. o tensor energia-momento é usualmente definido
oor
di/
MV
dg,
(2.13)
v
d(d /dx^)dx
qi
Substituindo-se (2.1) e (2.8) na equação anterior, obtemos:
(2.14)
Para u m fluido uniforme, o valor m é d i o do tensor T
ÍT^ )
v
= {e +
é dado por [4]
(2.15)
P)u u -Pg^
n
v
onde £ é a densidade de energia do fluido. P a pressão e
= ( l , u ) o quadri-vetor velocidade
associado ao m o v i m e n t o do fluido. Portanto, para um fluido uniforme em repouso, as relações
abaixo são verdadeiras:
£ = (^00).
(2.16)
P = \(T )
(2.17)
U
Assim, dada a lagrangiana de u m sistema, podemos obter a equação de estado
determinando
o valor médio
de
. N o presente
28
caso, isto equivale
a
conhecer
primeiramente, as expressões para os c a m p o s
co^,eo
que satisfaçam às equações de
movimento (2.6; 2.7; 2.8).
As equações de m o v i m e n t o formam um sistema de equações diferenciais acopladas e
não lineares para os campos T j ú J ^ e a , cujas soluções exatas são de difícil obtenção. U m a
solução aproximada, e em muitos casos bastante satisfatória, consiste em fazer u m a
aproximação de C a m p o M é d i o , em que se substitui os campos mesônicos nas equações de
movimento por seus valores médios relativos ao estado fundamental do sistema:
<7->(c7) cr
0
s
0
Para u m sistema uniforme, os c a m p o s C 7 e (ú°
são independentes de x^,
e as
respectivas equações de m o v i m e n t o admitem, nesse caso, as soluções:
< 7 ° = - ^ p
(2.18)
t
CO° =^p
m
0
(2.19a)
B
v
0 ? = % ^ ) ,
/ = 1,2,3.
(2.19b)
0
O termo de fonte para o c a m p o c r médio, presente na equação (2.6), é a densidade
escalar p , definida por
s
p
= (V
s
(2.20)
Para o c a m p o a>° as fontes são a densidade bariônica volumétrica
P ^ W .
p
B
(2-21)
o
e os respectivos valores das componentes espaciais da corrente bariônica.
As soluções apresentadas para os campos mesônicos envolvem m é s o n s massivos. Por
outro lado, as fontes para os c a m p o s condensados dependem apenas do c a m p o bariônico *F .
D a Eq.(2.21), vemos que NB, o n ú m e r o total de bárions do sistema, é urna constante de
movimento e é dado por:
3
N =¡ J° d x
B
v
B
=¡ ^ d
3
x
(2.22)
29
Substituindo c e (ù n a Eq. (2.8), obtemos a equação de m o v i m e n t o para *F
b^-íXl-^^O,
(2.23)
onde a equação
m =m -g„CJ
B
B
(2.24)
0
define a massa efetiva dos nucléons, cuja solução discutiremos mais adiante.
Consideremos, em primeiro lugar, a solução de onda plana para a equação de Dirac
2.23), dada por:
(2.25)
i(kx eWl)
W(x,t)=u{k,X)e onde u(k,X)
é o espinor de Dirac, k o m o m e n t o e X define o estado de spin. Substituindo-se a
solução acima e m (2.23), obtemos a seguinte equação de autovalores:
(a.k + ¡3 m* )u(k,X)
B
=
(2.26)
E*u(k,X)
onde
j 3 = y ° , a=py
E*
(y = (ru
n,
73)),
=e(k)-g co° ,
a
k,
0
=*,-*.<
e o operador a .k + fí m* é o hamiltoniano da partícula.
Observe que, sob a ação do c a m p o médio o~ , os bárions respondem c o m a redução da
0
sua massa efetiva, c o m o v e m o s na Eq. (2.24) e que, por outro lado, o c a m p o vetorial afeta a
relação de dispersão da solução de onda plana, redefinindo o zero de energia e o momento k
da partícula.
A Equação (2.26) p o d e ser escrita d a seguinte forma:
m
B
- E
-ok
•m
o\k
—E
B
0
V J
onde
= u,
\
1
)
cujas soluções fornecem os autovalores de energia
30
(2.27)
onde
£
(2.28)
=±(k"+m -J
g
A solução positiva está associada aos bárions e a negativa aos anti-bárions. Para a
solução positiva (uu = 1 ) , temos
(
í(M)=
' E
Xx
a k
+m
B
2E'
E
+m
(2.29)
* X '/
3
onde ^ é o espinor de Pauli, que na base d o s autoestados do operador o~ , é dado por
A
Xx =
A solução para o c a m p o bariônico é então:
v
F,
(
+ )
A
k x
u
í d
+ £
(x,r)= ()t,A)e' -' » » *
M
) r
,kx lE
=u(k,X)e - +'
(2.30)
Analogamente, a solução da equação de Dirac para os anti-bárions é
ikx iM E )t
(x,t) = v(k,À,)e - - '
com
lkM
=
v{k,À)e~
(2.31)
X-x =
O segundo passo consiste na quantização das soluções acima, escrevendo-as como
operadores de c a m p o , o que pode ser feito definindo-se operadores de criação e aniquilação
de bárions e anti-bárions, cujas regras de anticomutação são:
(2.32a)
(2.32b)
Nesta base de operadores, o procedimento usual de quantização fornece a seguinte
expressão para o operador c a m p o [3]
t)=-hUx
k«(*.¿ >
,
k
, k
x
£
™ +4uM>- - -' -' ]
onde V é o volume do sistema.
31
(2.33)
Num
sistema esférico,
o valor
médio da parte espacial
do c a m p o
vetorial
é
identicamente nulo, isto é, (co¡) = 0 . T e m - s e então apenas a componente temporal co e as
0
0
soluções são obtidas fazendo-se a substituição do vetor k¡ pelo seu módulo k¡. Consideraremos
o nosso sistema com simetria esférica.
E m termos dos campos médios c
M
£f
0
e O) , a lagrangiana (2.1) se escreve agora como
0
= v[iy^-g y°CO -m\]v~m)al
v
+± m > ¡
0
(2.34)
Usando a equação de m o v i m e n t o p a r a *F (2.23), obtemos
K\CM
= ^ Y ^ - ( ^ i D l - ^ G
2
0
\
l
t
v
(2.35)
Escrevendo-se separadamente as componentes diagonais do tensor energia-momento,
leremos:
(rri
\
VOO)ACM
»T«t
1
l
=y
- ^ - - ^
2
m
2
1
1 •>
v ^ 0 + - ^ s ^ õ ^
D e acordo com as equações (2.16) e (2.17), encontramos as seguintes expressões para
a densidade de energia e pressão:
e =
(- la.V + p m
B
P = V
+ g co
v
( - i a . V ) ¥ + ^ml
0
> F - \ ml co¡ + \ ™) ol
(2.36)
CO]
(2.37)
ol
onde nas passagens foi usada a equação de Dirac juntamente com as propriedades das
matrizes de Dirac descritas no apêndice D .
T o m e m o s o limite T = 0. Devido ao Princípio de Exclusão de Pauli, todos os férmions
do sistema, ou seja, os nucleons, d e v e m preencher os níveis de energia abaixo do nível de
Fermi. Podemos, então, definir o estado fundamental do sistema como:
\
E F
a
0
) =tl l\ )a
(2-38)
onde k é o m o m e n t o de Fermi dos nucleons e o ket |o) é o estado de vácuo dos operadores de
F
aniquilação a e b , tal que
32
fl|0) = fc|0) = 0
Usando-se a Eq. (2.33), verifica-se que:
(2.39)
onde 7 = X
(25,. + l ) é a degenerescência de spin, sendo 5, o spin de cada espécie. Então
7 = 2 para matéria de neutrons e y = 4 para matéria nuclear.
Assim, os valores esperados para a densidade de energia e para a pressão no estado
fundamental, definido pela equação (2.38), são:
1 '
--m CO
l
£ = gop
u
0
B
u
1
D
2
0
1
+-m o
l
x
1
2
2
7
2
1 7
2
í , 1 /i
2
+-^\k-{k
2K '
0
r
(2.40)
4
(2.41)
-dit
í ^ + ^ f
2
3 2^
B
^
Y ' 2 ii
) dk
*2
+m
Eliminando-se £ü e < r n a s duas equações anteriores, através das equações (2.18-19),
0
0
encontramos
£ = -^j
,
m
R
2
2m
2C,
B
onde C = g m /m
B
e C, =
u
2
2
(k + m )'
ir
1 7
3 27T
2
*\
(
2
]k
B
2
a
u
2
- m ) +
B
C2
a
2
pl + ^r{rn
dk
(2.42)
, 4
(2.43)
l"
2
(fc +
m
/ J
g m lm .
s
B
s
As duas equações acima especificam univocamente a equação de estado da matéria
nuclear a temperatura zero, prevista por esse modelo. Elas fornecem a pressão e a densidade
de energia em função de u m único parâmetro: a densidade bariônica p .
B
A massa efetiva m" pode ser obtida substituindo-se (2.18) em (2.24):
B
m
=m
B
B
g; 7
m 2K
2
(2.44)
li 2
JO
2
J O
Resolvendo-se a integral, temos:
C
(
ym
m =m B
E
,
B
m„ 47T
fc £*
F
-mâ
2
(2.45)
ln
"2
33
C
onde E
= [k~ + m
F
F
}
B
.
As constantes
de acoplamento
ge
g
s
são ajustadas
u
usando-se
as
seguintes
propriedades [3] da matéria nuclear simétrica saturada: a energia de ligação por nucleón e o
momento de Fermi, cujos valores experimentais são
E —N
m
B
N.
B
= -15,75 MeV
h
k° = l,42fm"'
(2.46a)
F
a partir dos quais obtemos
C
2
= 2 6 7 , 1 e Cl = 1 9 5 , 9
(2.46b)
Observe que o m o d e l o depende d a razão entre as constantes de acoplamento e as
massas dos respectivos mésons. Sendo assim, não existe u m a escala que fixe a massa dos
mésons para a matéria nuclear.
A massa efetiva tn
B
é u m a função decrescente do campo escalar. Para a densidade
nuclear ordinária, a razão tn l
B
m
B
é da ordem de 0,6. Isto ocorre devido ao alto valor de
gO,
que determina o c o m p o r t a m e n t o d a massa efetiva. Para a densidade de saturação,
goé
da ordem de 4 0 0 M e V . E m b o r a o c a m p o repulsivo não afete o valor da massa efetiva,
s
s
0
0
ele contribui para a energia de ligação por bárion (E/N ),
aproximadamente 3 3 0 M e V .
a esta m e s m a densidade, com
B
Dessa
forma,
a
baixa
energia
de
ligação
nuclear
(~16MeV)
observada
experimentalmente, pode ser entendida pela competição entre o c a m p o escalar atrativo e o
campo vetorial repulsivo.
Existem dois parâmetros relevantes para a discussão
incompressibilidade da matéria nuclear saturada, definida por
presente,
K(p )=9pl
que
são
a
(2.47)
0
ap
2
P=Po
e a energia de assimetria [5,6]
2
a e
\2n-m-
6(^
p
+
w
; J
/
(2.48)
2
2
p,=0
onde p e g s ã o grandezas associadas ao méson p . O coeficiente a aparece
3
p
A
na expressão
para a fórmula semi-empírica de massa.
O valor previsto por este m o d e l o para a incompressibilidade da matéria nuclear
saturada é de 540 M e V , valor m u i t o maior do que o obtido experimentalmente,
34
210 ± 3 0 M e V , enquanto que o modelo prevê para a
4
o valor de 22,1 M e V contra o valor
empírico de 33,2 M e V .
2.3 O Modelo QHD-II
U m a extensão natural da Q H D - I seria incorporar, além dos mésons o e co, o méson p .
2.3.1 O acoplamento p - N
E m sua forma mais simplificada, a densidade lagrangiana que descreve a interação
entre o méson p e os nucleons é dada por [5]:
1
pN
(2.49)
•m.
N
Onde x é o operador de isospin e
Pnv =dnPv
-dvPp-8 (PV*PV)
p
O méson p é u m vetor isovetor (isospin 1), que pode ser representado por um tripleto
de quadrivetores correspondentes aos seus três estados de carga
Pl
p\\
Pl
Pl
Pl
Pl
Pl
p¡]
ÍP,°
p,
Pl
x
Consideremos a seguinte transformação global sobre o objeto T.
p:
M
-iT.8
Tê
[T.p,U[T.pJ=e' T.p^e-
Tal transformação deixa X N invariante, e a corrente conservada associada a esta
invariância é dada, neste caso, pela corrente isovetorial
p
v
T»=^ rrV +P xp »
N
N
v
Frisemos, finalmente, que o resultado obtido para a lagrangiana parcial £ n é uma
consequência direta de sua invariância frente as transformações globais do grupo SU(2).
p
2.3.2 A Lagrangiana QHD-II
D e acordó c o m o que foi visto a lagrangiana [3] para o sistema c o m p o s t o de nucleons
acoplados aos campos mesónicos a, coe p é dada por:
35
£u= £]+ £pN+
(2.50)
£°i
onde
£
P
^ - -
8
p
^
N
r r . p ^
N
,
ßV
e Xi é a lagrangiana QHD-I, definida na E q . 2 . 1 . As correspondentes equações de movimento
são:
i
0
M ß - g ^ ^ - - g
P
(2.51)
t - P í
(2.52)
(2.53)
1
TT7
(2.54)
Afortunadamente, a aproximação
simplificação destas equações.
de campo médio conduz a u m a
significativa
A invariância de translação e de rotação implica que os valores médios das
componentes espaciais dos campos m e s ô n i c o s sejam todos nulos, isto é,
i=
0
Wo=<P.}o= .
1.2,3,
e que os termos derivativos mesônicos t a m b é m sejam nulos. Por outro lado, no espaço de
isospin temos que:
r \EF)
=
i
(N -N )\EF)
l>
n
onde Np é o número total de protons do sistema e N„ o número total de neutrons. Escolhendos
e
T
( i)o
=
(
T
2 > o
= 0 , tem-se:
P.°) = ( p ° ) „ = 0
n
2
Sendo assim, quando a aproximação de c a m p o médio é aplicada ao c a m p o p , sobrevive
M
somente a componente temporal ( p ° ) = P03 > associada ao méson p neutro.
3
0
36
Tendo e m vista as simplificações mencionadas acima, a lagrangiana QHD-II se reduz
à expressão:
pACM _ vi/ ' V
T
-^8 iy°Po3
-8J°G>
P
-{m
0
B
-g O ) 4 \
s
Q
(2.55)
m
+
~\ tâ
m
œ
+
\ l l
m
^ ;Po3
a partir da qual obtemos as seguintes equações de movimento:
« V
- | s p * 3 r ° P o 3 -8J°O)
-g a ) ^ = 0
-(m
0
B
s
0
(2.57)
^ 0 =^TP.V
m,
«o
P03
(2.56)
(2.58)
=-TPB
m~
g
T—r P3
2m„
P
=
(2.59)
onde as fontes dos campos mesônicos são dadas por:
p.Hn n
p H
¥
) = ) ) + )
^ ) = ( (
¥
(2.60)
(2.61)
x ) ) + ( ^ x )
(2.62)
D e acordo c o m a equação acima, vemos que o méson p traz informação sobre a
assimetria de carga n o sistema e que a fonte p , pode ser escrita na forma
P
3
=P„-Pn
E m particular, para
p
p
=p
(matéria nuclear simétrica), recupera-se os resultados
n
obtidos na seção 2 . 1 .
A solução da equação de Dirac é semelhante à que foi obtida n a primeira seção.
Entretanto, a relação de dispersão é d a d a agora pelas seguintes expressões:
2
m
e± = g „ » o + ^ S p P o 3 ± ( k + l
2
!
)
1
2
para prótons
37
(2.64)
e
2
p
±(k
m
+m
B
)
(2.65)
para neutrons.
2.3.3 As Equações de Estado
Vejamos agora c o m o fica a e q u a ç ã o de estado prevista pelo modelo Q H D - H Para o
valor médio do tensor energia-momento, temos a seguinte expressão:
(T ) =
(
\
1
1
2
1
1
2
2
1
~>
2
+ (v ÍY d H' )
2
P
< v
P
lt
v
+ ('¥ ÍY d V ,
p
lt
lt
v
l
(2.66)
D e acordo com o que vimos na seção 2 . 1 . a equação de estado para a matéria nuclear
fria é dada, então, por:
2
2
2
C
tn
C
lm
2C,
om
R
L
(2.67)
2
)(k
2 12
3
2
+m ) d k
2 U2
+ )(^
B
3
+m ) d k
B
et
2mí
2C
8m
B
(2.68)
f
2
k
•
2
&y[l(k m' )
+
"o
B
k
\k'
onde kp e kn são os m o m e n t o s de Fermi dos protons e neutrons,
C =g m /m e
p
p
B
p
Por ultimo, a Eq. 2.24 fornece a seguinte equação de movimento para a massa efetiva:
m
B
m
a
=B
-gs o
C
2
m.
2
m
3
(2K)
r
B
^ — ^ v
o \k~ +m
B
¿y,
T
d
J
k
+
f
™
i i ~ . —
o\k - +m
,
j3,
B
B
(2.69)
J
N o total, o m o d e l o possui cinco parâmetros, sendo dois deles parâmetros externos p
B
e p , e mais as constantes de acoplamento g , g , fixadas pelas m e s m a s propriedades da
3
s
38
v
matéria nuclear simétrica mencionadas no final da seção 2.1 e g , obtido mediante o ajuste do
valor empírico de a*.
p
39
Capítulo 3
Descrição Lagrangiana do Bounce Hidrodinámico
3.1 Introdução
Dentre os mecanismos capazes de causar u m a explosão de supernova, o bounce é o
mais simples deles, pois não depende explicitamente de processos microscópicos específicos,
mas apenas das propriedades globais da matéria estelar durante o colapso.
C o m o vimos na seção 1.9, o bounce é um movimento súbito de expansão do caroço da
estrela. E m frações de segundo, a matéria estelar transita do regime subnuclear ao regime
supranuclear, passando pelo regime hadrônico de densidade, e a equação de estado torna-se
mais dura devido ao crescimento das forças repulsivas de curto alcance, causando u m a
inversão no colapso gravitacional (ver A p ê n d i c e B).
Assim, a equação de estado da matéria estelar no regime hadrônico é decisiva e é ela
quem determina a possibilidade ou não d e uma explosão. O rompimento ou não do manto
estelar depende da quantidade de energia d a onda de choque gerada. É por isso que o estudo
das propriedades da matéria nuclear densa é tão importante para a astrofísica nuclear.
As equações de estado da matéria estelar hadrônica e supranuclear serão estudadas no
próximo capítulo. Neste capítulo, apresentaremos u m formalismo [ 1 ] que descreve, de forma
simples, os aspectos globais que caracterizam a dinâmica do colapso gravitacional e a
explosão de supernova, e verificaremos q u e o bounce é um mecanismo eficiente de explosão,
mas antes vamos descrever rapidamente o tratamento que é usualmente empregado em
cálculos hidrodinámicos de supernovas.
Esse tratamento divide o caroço d a pré-supernova em muitas c a m a d a s descritas por
suas massas, raios, densidades, temperaturas, e sobre tal sistema são aplicadas as equações da
hidrodinâmica. As equações de m o v i m e n t o resultantes são aproximadas por u m conjunto
equivalente de equações, as equações de diferenças finitas [2], em que as variáveis locais são
discretizadas, possibilitando a integração numérica do sistema original de equações. N o
entanto, para se obter soluções estáveis dessas equações de movimento, faz-se necessária a
implementação de um código n u m é r i c o que contenha um número elevado de malhas,
chegando às centenas ou aos milhares. P a r a contornar o problema inevitável do aparecimento
de descontinuidades excessivamente grandes nas variáveis e a conseqüente divergência da
solução numérica, utiliza-se u m recurso puramente matemático, a pseudoviscosidade
de
VonNeumann-Richtmyer [3]. A pseudoviscosidade tem as mesmas dimensões de pressão e
entra nas equações de m o v i m e n t o c o m o u m termo dissipativo artificial. Ela é definida de
forma a assumir valores desprezíveis nas regiões homogêneas do fluido e valores grandes nas
regiões onde há u m a tendência a se formar uma descontinuidade numérica, ou seja, nas
camadas altamente comprimidas. O resultado obtido é u m a suavização da frente de onda de
40
choque, cuja espessura pode conter várias camadas. Esse formalismo apresenta a desvantagem
de requerer tratamento numérico para u m grande número de variáveis.
E m 1992, Rodrigues, Duarte, K o d a m a e Ávila [4], propuseram u m modelo semianalítico efetivo para descrever a dinâmica d o colapso gravitacional adiabático e o mecanismo
de bounce. O caroço da pré-supernova é dividido em camadas homogêneas, c o m massas fixas
especificadas por seus raios e densidades médias. Para descrever a dinâmica d o sistema, u m a
Lagrangiana efetiva é construída t o m a n d o - s e como coordenadas generalizadas os raios das
camadas. A partir daí as equações de m o v i m e n t o são obtidas analiticamente e integradas
numericamente.
Existe u m a diferença entre esta abordagem e a anterior. As equações da hidrodinâmica
são equações diferenciais parciais que d e v e m ser aproximadas por u m conjunto de equações
de diferenças finitas, o que possibilita u m a solução numérica das equações de movimento. Tal
aproximação é tanto melhor quanto m a i o r for o número de camadas. Por outro lado, na
descrição lagrangiana efetiva, as equações de movimento são integradas numericamente sem
a necessidade de introduzir-se aproximações prévias, sendo possível, a princípio, fazer
cálculos para u m número arbitrário de c a m a d a s , como duas, sem c o m p r o m e t e r a precisão ou a
estabilidade da solução numérica, o que n ã o ocorre no formalismo hidrodinámico usual, onde
existe a forte restrição de que o n ú m e r o de camadas deve ser grande. Entretanto, as duas
abordagens são equivalentes, pois se aplicando o limite hidrodinámico nas equações de
movimento obtidas através da lagrangiana, ou seja, fazendo-se o número de camadas tender
ao infinito e a massa de cada c a m a d a tender a zero, recuperam-se as equações da
hidrodinâmica.
Imaginaremos a explosão de u m a supernova c o m o um processo no qual em frações de
segundo, o caroço inicial da pré supernova separa-se em dois subsistemas: u m caroço denso
remanescente - u m a estrela de nêutrons - e uma camada externa violentamente ejetada. A
maneira mais simples de descrever o processo consiste no d e s m e m b r a m e n t o do caroço da présupernova desde o início do colapso, e m duas camadas homogêneas descritas por seus raios,
massas, densidades médias, pressões e densidades de energia interna. C o m o graus de
liberdade do sistema, serão considerados os raios e as massas das duas c a m a d a s , que servirão
de coordenadas generalizadas.
3.2 O Formalismo
Divide-se o caroço esférico da pré supernova em duas camadas concêntricas: u m a
camada interna dada por u m a esfera de raio R¡ e massa m¡ e u m a c a m a d a externa limitada
interiormente pela superfície esférica de raio R¡ e exteriormente pela superfície de raio R2 e
massa m como mostra a figura 3.1
2
41
Figura 3.1 Caroço dividido em duas camadas
concêntricas
O sistema está submetido ao vínculo
m +m =m
l
= constante
2
(3.1)
O n d e m é a massa total do caroço. N o caso de duas camadas, esse vínculo reduz o
número de graus de liberdade para apenas três: Ri,
R emi.
2
Considerando as duas camadas homogêneas, temos para as densidades de massa:
3m,
4nR?
_
P
l
~
(3.2)
3(m-m,)
_
=
4K{RI-R1)
3m
2
(
4K(R{-RI)
3
'
3
)
Desprezando-se perdas de energia durante o colapso gravitacional, escrevemos a
Lagrangiana do sistema c o m o :
L = L(R ,R ,m ,R ,R ,m )=K-W-£
L
2
I
]
2
(3.4)
L
onde K é a energia cinética do sistema, W a energia potencial gravitacional e £ a energia
interna.
3.3 Cálculo da Energia Cinética
Para o cálculo da energia cinética do sistema, precisamos determinar o campo de
velocidade do fluido compressível. U s a r e m o s a equação da continuidade, que devido a
simetria esférica do nosso p r o b l e m a é escrita como:
42
1 d
dp
(3.5)
onde ú é a velocidade. C o m o a densidade depende implicitamente do tempo,
dp _dm
dt
dp
dR dp
dt dm
dt dR
(3.6)
logo
dp,
(3.7)
= m
' dm,
dt
' 3/?,
com
(3.8)
3
3m,
4;r R
3p,
9m,
(3.9)
An R?
Então,
3p, _
3m,
9i?,m,
3
4tz;/?,
ar
(3.10)
4KR*
que substituído e m 3.5 leva à:
2
dr
(r pA(r))
3m,
9R m
l
=
v
47T
]
4
fl,
(3.11)
4;r R¡
Integrando e m r, temos:
3i?,m,
4
4^/?, p,
m.
4nRfp
r +t
a
a = constante
(3.12)
r
Pi
Levando e m 3.12 a expressão p a r a a densidade da camada 1, e, sabendo que, ao
aplicarmos os limites de integração (desde zero até R i ) , encontramos zero para o valor da
constante a, temos então:
0,(r) =
(3.13)
3m,
43
Essa equação é linear e m r, ou seja, ela define um caroço h o m ó l o g o . Repetimos o
m e s m o cálculo para a 2 camada, e e n c o n t r a m o s :
a
_
PI
3p
r+2
(3.14)
b = constante
rp
2
O fluxo de massa através da superfície de separação esférica S\, definida pelo raio R i ,
é ditado igualmente pela lei da conservação da massa, que na forma integral se escreve:
rò, = - f
onde
(3.15)
p u (R )dS
2
5, = 4tt i?,
2
e
2
1
l
u (R )
2
= 'â (R )-R ,
1
2
í
é a velocidade da c a m a d a
x
2 em
relação
à
descontinuidade r = R[. C o m essa equação determinamos b:
(3.16)
m,
p
-P:
An R;
2
3p
R ,
+
(3.17)
-R,
Rfp
2
2
donde
(3.18)
An
3
Substituindo em (3.14) e sabendo que m
= -m
2
P
0 (r) =
" 2
2
ii>
^ 2
D
2
t> Í
A
i?, 1 R} R,
—
+-
2
3
p3
}
7? - i ? ,
3
+ -
(3.19)
3/H,
a partir das Eqs. (3.2 e 3.13), verifica-se que:
m.
'
(3.20)
2
47rf?, p,
e d a Eq. (3.19),
0 (*,)=*,2
m.
(3.21)
AnR;p
2
(3.22)
$ (R )=R
2
2
2
Nas equações (3.20) e (3.21) percebe-se que a presença de u m fluxo de massa através
da superfície S\
provoca u m a descontinuidade no c a m p o de velocidade e m r = /?,. E essa
44
descontinuidade no c a m p o de velocidade associada à descontinuidade na pressão e na
densidade das camadas que caracteriza a formação de u m a onda de choque.
N a interface R\,
=
(3.23)
) - 0 ( / ? , )=
2
(P2
Pl
AkR;
V e m o s então que a descontinuidade no c a m p o de velocidade se anula apenas se
p = p o u se m, = 0 . M a s se Aí? for muito grande ( m , » 0 e p , > p ) , u m a onda de
choque é formada. Existe t a m b é m u m a descontinuidade na pressão que é uma função
monotonicamente crescente da densidade.
x
2
2
Eliminando-se m, nas E q s . 3.20 e 3 . 2 1 , obtemos a lei da conservação da massa através
da descontinuidade, dada por p,w, = p u .
2
2
que corresponde à condição de Hugoniot-Rankine
para a lei de conservação do fluxo de m a s s a através da superfície Si e onde wi e u são as
2
velocidades relativas [9].
P o d e m o s agora determinar a energia cinética do sistema.
C o m o K = K\ + Kl, p o d e m o s calcular as contribuições das duas camadas para a
energia cinética do caroço. Sabendo que
2
onde dV = An r dr, calcularemos em primeiro lugar tf,
• 2
2/?,m,
2
tf
+-
37?, m,
R?
m,
A
(3.24)
9m,
o que leva à seguinte expressão para a energia cinética da primeira camada:
K
}
= — m R;--R,m R +
10
5
]
]
— ^ - ^
30
m.
]
(3.25)
Para o cálculo de Ú teremos u m pouco mais de trabalho, pois temos u m polinómio
bastante extenso que deverá ser elevado ao quadrado. Por razões lógicas, não colocaremos
todo o cálculo aqui, mas caso o leitor queira reproduzi-los basta seguir alguns passos:
2
Sabendo que
*2 =
R
2
3
R
•RÏR/
R¡ - R*
2
R J_
r-• 2
m.
+ •3m,
R:
3
\
/• — -
P o d e m o s escrever o polinómio da seguinte forma:
45
(3.26)
3 2
RR
R
2
R¡R r
3
RRr
2
x
3
R¡-R
D
2
3
r (R¡
m.r
Rft
-R )r (R¡
2
R¡~R¡
Ó
2
2
+ •3m
3
-R )^
2
m,Rl
RR
2
2
3m r ^
2
r
2
Elevando ao quadrado, obtemos u m polinómio constituído d e 28 termos. Coloca-se e m
2
evidência r ,— e
r
r
. Como
2
K ^p l$ (r)dV
2
2
2
= 2np
2
2
Jú (r)r dr
2
2
R
\
integra-se tudo e m r de Ri a R2. Obtém-se assim u m a expressão para K 2 .
2
2
Cha
C
h a m a n d o R 2 / R 1 d e X , e agrupando os termos e m R ,R ,m
e os termos cruzados,
2
chega-se a:
5
K
2
2
(* -l)
2
p Rlk,
=2TI
3
(x -i)
7
W^
4
3
+ 2K
2
4
x (x -i)
2
pRR
(X -1)
(X-l)
(X-l)
45m,
2
2
J
3
(x -\J
3
2
x (x -1)
9m
2
2
X (X -L)
2
2
2
X {X -\)
2
X {X -\)
2X(X-L)
m,/?,
3
-2(z -l)
X (x -l)
3
r
x
3
X (x -l)
5
7
3
15m (X -l)
2
:
?
3m (x -l)
2
Como
x
5
3
- 1 = {x - i ) ( x
x - i =(x-iXx
x
2
4
+x
3
2
+ x + i)
+x
2
2
^{x -!)
5
2X (x -l)
R*m R
+ x + 1)
- i = (x - í X x + 1)
e lembrando que d a Eq. (3.3)
46
(X -!)
(x -l)
2
(X -l)
2
2
2
2
3m lx M)
3
lSm^X -!)
+ 2n p
2X(X-\)
1
s
2
^ F ^ T )
x
(X>-\J
+ 27Tp
2(X-l)
3
9mí
2
i
x(x -i)
2
X (X-l)
T
-1)
5
|
2X {X'-\)
3
2
3
(x - 1 ) x (x
2
2
2
3
(x -i)
(x -lj
5
p Rlrh
2np R R R
3
x (x -i)
5
3
+ 2K
2
2
5{X -Ij
+
2
(* -l)
2
2
2X (X-l)
3
3m,
2
3m (x -l)
2
3
2
4
2X (X-l)
+
3
3m (x - l )
2
3
(x -l)
2
2X (X-l)'
3m,
2
X (x -l)
3m (X - l )
2
3m,
=>
p2 = 4nR (x -\)
3
3m
n
2np =
2
2
-i)(x + X +l)
2R;(X
3
x
finalmente chega-se à seguinte expressão para o termo referente à segunda camada para a
energia cinética d o caroço:
3(5X'
K-,
—
2
}
+6X +3X +l}n
;
—
\o(x
+ x + \J
3
2
3X (x
2
+3X +6X +5}n
;
—
\o(x
+ x+\J
2
3
+
+6X
30m (x
2
3
+6X
2
5(x +X+l)
2
\}n
2
3X (X-lXx
m,/í,
2
^1^2
+X+l)
2
. •
i
• •
2
3
\o(x
+3X+i)r
2
{X-l^X
2
9X (x +3X+
2
mf +-
+X+l)
2
2
RI
2
+ 3X + IJR; .
2
{X-\f(5X
-
2
H
R,
2
+3X+1^,
- -
. •
—
2
io(x + x + i )
mR
i
2
2
A energia cinética total é então:
3
2
(5X
K
+6X
+3X +\)m
+ m,
10
Ä
!
3
+
2
3
2
30
m (x
2
+ 3X + l)
2
2
+3X
+\}n
3
111,
2
io(x +x+i)
2
3X (X-l)(x
2
(X-l)(5X +6X +3X+l)
2
9X (x
Ir:
+X+l)
2
3
-,
~ ^ 2
«
io(x + x + i j "
2
2
2
-,
(x +x+\J
(X-l) (5X +6X
+-
3
3X (x +3X +6X+5)n,
2
+ 1
2
2
+3X+lk
io(x + x + i)
2
5(x +X+\f
^1^2
2
(3.27)
Todo o cálculo da energia cinética das duas camadas pode ser resumido em sua forma
quadrática:
K = K +K
X
2
=Í(V|M|V)
(3.28)
onde
47
0 ^
V) =
\
m,
1
/
M é u m a matriz simétrica definida por
M
M = M
1 2
2 1
M
32
cujos elementos de matriz são:
3
2
(5X
+ 6X
+ 3 Z + l)
m , -t-m
2
(x + x+\f
3
M
2 2
=
3
2
3X (x +3X +6X+5)
2
5(x +X+l)
2
3
2
m (x
2
+
J_ ( X - l ) ( 5 X + 6 X + 3 X + l )
M,
15
2
2
M
3
=M
1 2
9X ÍX
2
J_
m
+3X+l)
2 1
2
io(x +x+\)
3
M
= M
1 3
2
{X-jfcx
+6X
+3X + 1)
3 1
+ 1 R,
2
(x x^if
+
2
M
2 3
=M
2
3 X (X-\JX
3 2
10
+3X+l)
R,
2
(x + x + \f
3.4 A Energia Potencial Gravitacional e a Energia Interna.
A energia potencial gravitacional é composta de três termos:
A autoenergia gravitacional da camada 1 dada por
(3.29)
48
onde G é a constante de gravitação universal,
A autoenergia gravitacional da carnada 2:
R
W =-¡
(Gm (r)
2
(3.30)
•dm
n
2
E a energia de interação entre as duas camadas:
R
W
=-
tM
'
i
dm (r)
G m ^
2
(3.31)
O resultado final é:
3G_
W
mf
=-
+f(x)m¡+-g{x)m m
i
2
(3.32)
5 R,
onde
3
2
1 2Z +4X +6X+3
f(x)=
2
2
r(*)=
(x +X+l)
X-+X
+1
2
R,
Só falta agora conhecermos a energia interna do sistema. Ela pode ser determinada a
partir da densidade de energia interna por unidade de volume,
e =
m,£,
me
2
2
(3.33)
ou ainda, através de u m a equação de estado que nos forneça o seu valor c o m o função da
densidade bariônica, o que será abordado n o próximo capítulo.
3.5 Equações de Movimento
Da Lagrangiana L = K-W-£
podemos deduzir as equações de Euler-Lagrange
correspondentes às equações de m o v i m e n t o para as três coordenadas generalizadas usadas
para descrever a evolução dinâmica do sistema.
dL_
dt
dL_
(3.34)
= 0
dq*
49
onde
4K = . f t , , i ? , m , e C¡K = R ,R ,rii .
2
d_
dt
]
dK
d
dqK
dqK
2
T e m o s então:
]
(3.35)
{W+£)
Os termos de força oriundos da energia cinética, presentes na equação acima, são
dados por:
d_
dt
= — x(k\M\Y)
1
1
dt
dq*
,
'
k=
(3.36)
1,2,3
onde M é a matriz definida na seção anterior e
1
í!
l«>-
0
.|2>-
í°l
1
0
•|3>-
1
0
dK
^
)
\
1
1
= — Ft
d<7*
2
sendo
í/íy.
dqk
i j =1,2,3.
Os termos correspondentes à força gravitacional e à força hidrostática serão analisados
posteriormente.
Precisamos das derivadas temporais e espaciais de cada elemento da matriz M . As
derivadas espaciais são:
...
9
M =--m X
n
2
v
5X +8X + 2
—
-
2
2
5
(3.37a)
2
(x +x+\)
3
9
, , X* +4X
-4X-\
M,, = — mX
5
(x +X+l)
(3.37b)
2
2
2
9 „,
X
5
(x +X+l)
4
+3X +1
2
33
(3.37c)
R,
1
50
.
9
2
, 2 X
V
+ 8 X + 5
(3.37d)
M,, = - m , A "
—
"
5 ( x + X + l)
2
5
4
3
2
9
X +3X +llX +8X -6X-2
M„ =— X
;
2(x +X+l)
5
„
R,
v
2
3
5
m
4
„
X
2
(3.37e)
?
3
2
5X +4X +3 X - 8 X - 4
-
(3.37f)
R:
2
2
(x +X+l)
2
e as derivadas temporais são:
M
=— MR
R
u
M
U
2
I3
n
M
=— MR
R
2 3
2
+—
R,
2
22
23
(3.38b)
M| m,
x
R,
1
=— M R
/?,
22
(3.38a)
m.
1
MR
R
M
]
X
2
= —M R
1 3
1
+ — — m — M,
MR
n
1
. •
= — M\ R
R,
1 2
M
X
2
I3
13
22
]
1
MR
2
Mm
(3.38d)
]
(3.38e)
]
22
R
x
m-,
]
+ — (w
2
(3.38c)
(M -XM )R
2 3
- XM
2 3
)R
R,
2 \
R1
í
M =^M\ R +M2M -XM\ )R^
33
3
2
33
R
X
—
3
a,
m
2
As equações de m o v i m e n t o para R,,R
+MR
+M m
MR
+M R
2
+M m
M k\
+M R
2
+M m
U
n
l2
x
22
X3
onde Q ,Q
X
13
tQ
2
3
cinética, B ,B
X
2
2
i3
= g , +B
]
33
(3.38f)
]
=Q +B +H
i
]
m,
+H
i
23
m, j
e m, p o d e m ser escritas c o m o
2
M R\
15
2
=Q
3
+B,
(3.39)
2
+H
}
representam as forças generalizadas das velocidades, derivadas da energia
eB
3
formam o conjunto das forças gravitacionais e H ,H
X
hidrostáticas. Estas forças são dadas por:
51
2
e H a s forças
3
dK _ 1
^ XM Á
ß.='
2
- i (2A/
n
U
]
-m - M,
1
-M R R
- —
m
2
12
+ XM
L
m,i?,+
2
2 2
M
)/? + i- ( 2 M „ - X M
+M
1 2
2 ?
-M
1 3
3 3
-XM
)m,
2 3
2
mR
]
2
(3.40)
_ 1
02
dR
2
+ 2 X M ) ? - -M\ R\
2
+ ^M m,
X
1 2
2
2
33
x
+ XM R R
22
1(m„
R
X
+ ^M -M +M
m
2
i2
y
2?i
+ XM
u
L
m,/?, + — M
m
23
2 2
m R
l
2
1
2
(3.41)
3K
ß
= -
2m,
— m - M,
5
^ 2 3 + ^ "
\R
3m,
• (m -xm )
13
1
— ^ 2 2
2 m
I3
1
1
2
^33
i?
2
A
m:
-TT
15
2
mf ,
(3.42)
R
L
M
(2M
33
1 2
+M
+M,'
2 3
3
- XM^Jm,/?, -
-XM
2 3
\R,R
2
—M ,7«,A
3
R,
L e m b r a n d o que
^/ x
v
•/W
3
2
12X +4X +6X+3
=7—
ü
2
(x +X+l)
2
/ V
*(X)=
e
2
V
7
X+l
X
2
+
X +l
e definindo
2
2
2(x +x+i;
(x +x+i)
52
2X+\
e
(X):
2
( x + x + i)
2
X+2
g {x)=X*
2
"
2 V
°
"'
2
"
(x +x+i)
2
o conjunto de forças gravitacionais é então, formado pelas expressões:
B,
=-
B =-
dW _
3 G
d/?, ~
5 R
dW
3
2
2
[m +f {X)m ]+^ (x)m
x
.,m
g]
2
G
2
f {x)m +-g {x)m
2
dR
2
5 X
7
dW
3 G
3m,
5 7?,
(3.43)
2
2
2
R
z
(3.44)
1
2(m,-/(X>n ) -g(xXm -An )
2
l
+
2
(3.45)
Precisamos ainda determinar as forças hidrostáticas. Para a primeira equação de
movimento, temos:
de av.
d£
dR,
ae av,
•+-
av, a/?,
(3.46)
av a/?,
2
3£
Como
= - P , onde P é a pressão, temos então
ff, = 4 ; r ( P - / > ) / ? ,
]
2
(3.47)
2
e através de cálculos semelhantes,
H
(3.48)
=4TCP R;
2
2
Para o cálculo de HT, será mais conveniente escrevermos a expressão para a energia
interna na forma
£ = m, e, ( p , ) + m e
2
onde, aqui, e , ( p , ) e e
então que
2
2
(p )
( p ) denotam a energia interna específica de cada camada. Temos
2
a6, 3v,
3£
=e, +m, - — - - — - ~ e
3v, dm.
dm
(3.49)
2
2
+m •
3 e , 3v,
2
3v, dm.
(3.50)
=É1 + -
onde V, e V s ã o os volumes específicos das camadas.
2
53
Então, em termos da densidade volumétrica de energia, p o d e m o s escrever:
H =3
de
e +p
dm,
PI
2
£,+p,
2
(3.51)
Logo,
H
=h
3
,
2
onde hi e h denotam as entalpias específicas das camadas 1 e 2.
2
As equações de m o v i m e n t o (Eqs. 3.39) formam um sistema de equações diferenciais
acopladas e não lineares que p o d e m ser representadas simbolicamente pela equação:
Ma = F
(3.52)
com
m,
B,
F = Ql
(03
B
H,
2
#2
Bs
ff,
D a Equação 3.52, o b t e m o s as acelerações através da equação matricial:
a = M ~' F, onde M
é a matriz inversa de M ,
que nos permite integrar numericamente as equações de movimento. U s a m o s para isso, o
método de integração numérica de Runge-Kutta-Fehlberg [5]
3.6 Equações de Estado
Para integrarmos as equações de movimento obtidas na seção anterior, de modo a
obtermos a descrição da evolução dinâmica do colapso gravitacional, precisamos especificar a
equação de estado da matéria estelar c o m o função da densidades de massa, sendo que, nas
duas primeiras, devemos entrar c o m a pressão de cada camada enquanto que, na terceira, além
da pressão, precisamos entrar t a m b é m c o m a densidade de energia interna das camadas.
Para se descrever as propriedades da matéria estelar desde o colapso até o bounce
do
caroço, precisamos de u m a equação de estado que cubra u m intervalo grande de densidade
8
1
(= IO g l cm
14
1
a I O g I cm ).
Para isso, três equações de estado obtidas para
diferentes
regimes de densidade foram "costuradas". Para densidades até a fase de gotejamento de
3
nêutrons, p ~ 4 . 3 x 1 0 " g / c m , consideramos que a matéria fria estelar é composta por u m a
54
rede de núcleos e u m gás de elétrons relativísticos. Neste regime, a equação de estado BPS Baym, Pethick e Sutherland [6] é usada. N o próximo regime, o subnuclear com nêutrons
gotejados, duas equações foram usadas, a equação B B P - Baym, Bethe e Pethick [7] se não
considerarmos os neutrinos confinados e a G B - Gudmundsson e Buchler [8] se
considerarmos os neutrinos confinados. P a r a o regime hadrônico com densidades de saturação
nuclear ou mais, v a m o s usar a equação de estado proposta no capítulo 4, obtida a partir da
Q H D , quando então, construiremos a transição de fase da matéria hadrônica para o plasma de
quarks e glúons que se imagina existir no interior das estrelas de nêutrons.
Fazendo a evolução dinâmica p a r a as mesmas configurações, mas usando as duas
equações de estado, u m a sem neutrinos confinados e outra com neutrinos confinados nos
permitirá estudar de que forma o confinamento de neutrinos pode afetar a dinâmica do
colapso gravitacional, a energia da onda de choque emergente durante o bounce.
3.7 A Condição Inicial
Para o cálculo da evolução dinâmica do colapso gravitacional, determinada pela
equação M a = F , precisamos determinar a condição inicial do sistema, ou seja, definir os
valores das coordenadas generalizadas R , R e m , , e das velocidades generalizadas
]
2
R,, R e m, no instante t = 0.
2
5 6
Suporemos que ambas as c a m a d a s são compostas por núcleos de F e , distribuídos
numa rede cristalina e imersos n u m gás de elétrons degenerados. Estas condições são
suficientes para que o caroço seja altamente instável a contrações gravitacionais, pois o índice
adiabático é de aproximadamente 4/3 (Apêndice E).
N o equilíbrio estático, a energia cinética é nula (R = R = rá, = o). Portanto a energia
Í
2
total do sistema descrito acima é dada por:
H=W+£
A energia interna £ é obtida através da relação termodinâmica
,
d(e/n )
B
ón
B
que, integrada, dá a expressão
£
l
n
B
=
I —d\x\n
ln«
fi()
B
+£/n
,
B
B
nos fornecendo a energia por bárion em função da densidade bariônica (número de bárions
por unidade de volume). A integral é resolvida numericamente, sendo n
2 8
Bo
u m a densidade fixa
3
de referência igual a 0 . 6 2 9 5 x I O c m " . A constante de integração £/n
Bo
valor da energia por bárion e m n
B
=n
B
corresponde ao
para um gás de elétrons excluindo-se a energia de
repouso destes últimos.
55
Fixando-se o valor de m, a m a s s a total do sistema, podemos determinar os raios
iniciais e a partição de massa entre as duas camadas minimizando-se a energia total do caroço
em relação a R\, R e nt\, isto é, resolvendo-se simultaneamente as equações:
2
ÖR, = 0
dR,
™-SR =0
BR,
2
2
dH
dm.
ôm, = 0
N a prática, a energia foi m i n i m i z a d a por métodos numéricos. A m a s s a total m para o
caroço foi fixada e valores para os raios e massas das camadas foram arbitrados de m o d o a
serem compatíveis com os de u m a anã branca. U m a sub-rotina apropriada foi usada para
determinar as coordenadas R\, R e m\ d o mínimo absoluto da superfície gerada por H,
conseguindo-se assim a configuração de equilíbrio.
2
Para a construção da configuração inicial, foi usada u m a equação de estado de u m gás
de elétrons degenerados c o m fração elétron-próton constante e igual à do F e (~ 0.46) sem
incluir a energia de repouso dos elétrons. Tal equação de estado é dada por [1]:
5 6
25
3
P = 1.42180 x 1 0 0 ( j c ) e r g / c m , o n d e P é a pressão dos elétrons e
E
E
<p{x)--
- 1 (l
— X
2
2
x )
+
1 / 2
+
ln[v
+
2
87Ü
(l
+
1/2
x ) ]l,
PF
sendo
x ——— o parâmetro relatividade, c o m p
m c
partícula e c a velocidade da luz.
F
sendo o momento de Fermi, m ' a massa da
Foi usada t a m b é m a correção da rede que deve ser somada à energia do gás de elétrons
dada pela equação [ 1 ],
Z
2
n
2
e n
2
n
10
Esta equação de estado com correção de rede é ligeiramente diferente da equação de
estado B P S .
3.8 Acionamento do Colapso Gravitacional
D a d a a condição inicial do problema, o segundo passo é acionar o colapso
gravitacional, que é feito ao se "ligar" a equação de estado BPS à configuração de equilíbrio.
Tal m u d a n ç a n a equação de estado é suficiente para, fixando-se as massas e densidades das
56
duas camadas, se obter u m a redução tanto da densidade de energia interna quanto da fração
leptônica das camadas, causando u m a despressurização do gás. C o m o o sistema é instável
( r - 4 / 3 ) , o equilíbrio hidrostático é r o m p i d o em favor da força gravitacional.
A integração numérica das e q u a ç õ e s de movimento permite a c o m p a n h a r a evolução
dinâmica do sistema desde o início do colapso até alguns centésimos de segundos após o
bounce e a reflexão da segunda camada.
Acionada a implosão do caroço pelo mecanismo de captura eletrônica, a evolução
temporal subsequente do sistema será governada pelas equações de m o v i m e n t o obtidas
através da representação lagrangiana efetiva e com as quais p o d e m o s obter a cada passo da
integração numérica os valores de R\, R e m\t de suas respectivas velocidades e acelerações
em cada instante t.
2
Separa-se todo o processo da d i n â m i c a em duas fases: a fase de colapso gravitacional,
que é um processo adiabático, isentrópico e, no nosso caso, isotérmico (aproximação T = 0), e
a fase pós-bounce, na qual p r e d o m i n a m certos processos dissipativos c o m o a dissociação de
núcleos que ocorre durante a p r o p a g a ç ã o da onda de choque gerada no bounce. Estes
processos dissipativos p o d e m reduzir a intensidade da onda de choque a ponto dela não
conseguir provocar u m a explosão. Portanto, a aproximação de temperatura zero adotada neste
trabalho para a fase pós-bounce não é razoável. Contudo isto não afeta e m nada a validade do
formalismo proposto aqui.
57
Capítulo 4
Transição de Fase da Matéria Estelar Hadrônica para
Plasma de Quarks e Glúons
4.1 Introdução
Nesse trabalho, construiremos a transição de fase considerando, na fase hadrônica,
todo o octeto bariônico e o quarteto A , e na fase de plasma os quarks u, d e s. Durante a
transição da fase de hádrons para a fase de plasma de quarks, as duas fases coexistem no
m e s m o background
de léptons (elétrons e múons e seus respectivos neutrinos). Para a
descrição da fase hadrônica, utilizaremos uma teoria relativística de c a m p o médio, que
descreve de forma efetiva a interação entre os campos bariônicos e os c a m p o s mesônicos
escalar, vetorial e isovetorial. Consideraremos também u m a interação efetiva [1] na fase de
quarks desconfinados. Para se obter de forma correta a equação de estado para as duas fases
puras e também para a fase de transição, são necessários três vínculos entre todas as variáveis
do sistema: a conservação da carga bariônica total, da carga elétrica e da fração leptônica (este
último devido ao confinamento dos neutrinos). No regime de coexistência entre as duas fases,
além dos vínculos mencionados, d e v e m o s impor também as condições de Gibbs para as
pressões e os potenciais químicos das duas fases.
4.2 Transição de Fase de Primeira Ordem com Mais de Duas
Cargas Conservadas
U m dos aspectos mais interessantes de um sistema que possui apenas u m a componente
é que quando ele sofre u m a transição de fase de I ordem* ele apresenta u m a fase mista onde
as duas fases coexistem sob pressão constante. Mas, se o sistema apresenta mais de uma carga
conservada, a pressão não p e r m a n e c e constante na fase mista, o que é a m p l a m e n t e discutido
por Norman K. Glendenning, no artigo "First-order phase transition with more than one
conserved charge: Consequences
for neutron stars" [2]. As cargas conservadas podem ser
compartilhadas pelas duas fases em equilíbrio em concentrações diferentes daquelas originais.
Consequentemente, a densidade de energia não é u m a função linear da proporção, como é
para u m a substância simples, mas varia com a proporção. Logo, a pressão interna não
permanece constante enquanto o corpo passa de u m a fase pura para outra. É claro que para
cada proporção, a pressão é a m e s m a para cada fase em equilíbrio. Todas as outras
propriedades na fase mista são funções n ã o lineares da proporção.
a
a
A
Transição de fase de I ordem é aquela em que A p ^ Oe transição de fase de 2 ordem é aquela em que
Ap = 0 , onde p é a densidade de energia.
58
Os critérios de Gibbs para o equilíbrio entre duas fases de um sistema que sofre u m a
transição de I ordem e que possui apenas u m a carga conservada, c o m o por exemplo, o
número de moléculas são:
a
Equilíbrio químico: p, - \L -
\i
2
Equilibrio térmico: 7, = T = T
(4.1)
2
Equilíbrio mecânico:
p, = p ({0,}, p, T)
= p {{<¡> }¡i,T) = p
2
2
Os índices 1 e 2 indicam as duas fases; p e a pressão; T a temperatura; p o potencial
químico e {0,}
denota a variável interna que caracteriza uma solução para as equações
dinâmicas do sistema, excluindo o potencial químico na fase i a urna temperatura T. Se
existirem m variáveis internas,
m
{0}=0'...,0 ,
(4.2)
elas satisfazem as equações dinâmicas:
% {{(¡) } , p , 7 / ) = 0 ,
j = l,...m.
(4.3)
O sistema sofre u m a transição de fase de I
solução pi para as Eqs.(4.1) c o m
a
ordem, se e somente se existir urna
{(¡> }- A densidade da carga cujo potencial químico é
2
u é diferente nas duas fases, u m a vez que a função
p({0},p)
é u m a função diferente de
p
pois as variáveis internas {(/)} são diferentes nas duas fases. C h a m a m o s estas densidades
constantes de p, e
p:
2
p =p({^/i,r),
p =p({0 },p,r)
2
2
(4.4)
Isto é verdadeiro para outras funções de p. c o m o a densidade de energia. As únicas
propriedades que são necessariamente c o m u n s às duas fases em equilíbrio são aquelas
indicadas pelos critérios de Gibbs, e elas são constantes para todas as densidades do intervalo
p, < p < p . A fase mista é u m a mistura das duas fases que ocupam diferentes volumes no
espaço. D e v i d o ao fato das densidades das cargas conservadas serem diferentes e fixas nas
duas fases e m equilíbrio (Eq. 4.4), as fases contribuem para a densidade m é d i a na proporção
das próprias fases, ou seja:
2
p = (l-C)p,+Cp ,
2
0<Í<1
(4.5)
Esta é a diferença essencial entre a transição de fase em sistemas simples e complexos.
N o sistema c o m p l e x o as forças internas t ê m liberdade de alcançar as densidades de carga
mais energeticamente favoráveis e m cada fase nas devidas proporções consistentes com as
leis de conservação. Para o sistema simples, a densidade de cada fase em equilíbrio continua
fixa para todas as proporções e são determinadas pelas E q s . (4.4), u m a vez que os critérios de
Gibbs sejam satisfeitos.
59
Já que a pressão não depende da proporção de cada fase em um sistema simples, as
fases serão separadas por qualquer c a m p o externo, c o m o por exemplo a gravidade, que
distingue as diferentes densidades.
Ilustrando a transição de fase da matéria composta por nêutrons para a composta por
quarks que ocorre e m estrelas compactas c o m o se ocorresse em um sistema simples, a Fig.4.1
mostra c o m o essa transição é tratada ao negligenciar-se o equilíbrio (3 , ou seja, considerandose uma estrela composta puramente de nêutrons. Os bárions presentes na estrela são os
nêutrons e os quarks u, d, s não têm m a s s a o que faz c o m que ambas as fases tenham carga
neutra e que haja apenas u m potencial químico: aquele para o número bariônico. Essas
considerações transformam o sistema c o m p l e x o em simples. A pressão e o potencial químico
de equilíbrio entre as fases é dado pela interseção entre as duas curvas sólidas:
10y
0.001
I
4
M
I
I II
5
I
.
,
I
I .
I I
6
p
n
!
!
7
I
M
II
8
I
I I
9
(1/fm)
a
Figura 4.1 - Pressão em função do potencial químico para uma transição de I ordem (linhas sólidas). O ponto de
intercessão é o ponto de equilíbrio entre as fases. A linha pontilhada é esquemática e a tracejada representa o caso em que
se considera que os puros nêutrons do caroço são convertidos em quarks u e d, e nenhum em s. Fonte: [2].
A linha pontilhada mostra esquematicamente o m o d o c o m o a pressão evoluiria c o m o
função do potencial químico se ocorresse u m a transição de fase de I ordem em um corpo
para o qual existisse u m a teoria completa para as variáveis internas que o descrevem. Nesse
exemplo, usou-se modelos diferentes para cada fase. A Fig.4.2 mostra a constância da pressão
e do potencial químico e a dependência linear da densidade de energia com a densidade na
fase mista. A pressão constante da fase mista na presença de um c a m p o gravitacional tem
como conseqüência a separação das duas fases pela gravidade, e cada u m a fica com uma fase
pura. A fase mista e m u m a densidade não pode sustentar a fase mista em outra densidade u m a
vez que a pressão exercida por cada u m a é a m e s m a para u m a substância simples em
equilíbrio entre as suas duas fases. As equações de estrutura estelar garantem que a pressão é
u m a função contínua do raio de Schwarzschild e decresce monotonicamente a partir do centro
da estrela; logo, os dois pontos extremos d a fase mista onde as pressões são iguais estão no
m e s m o ponto radial n a estrela. Consequentemente, para u m a substância simples, não existem
estrelas estáveis c o m densidades centrais dentro dos limites das densidades da fase mista, e
para as estrelas c o m densidades centrais acima daquele limite, a distribuição de matéria c o m o
função da coordenada radial sofre u m a descontinuidade, caindo de p para p , no raio onde a
pressão iguala àquela do equilíbrio de fases. Estes aspectos estão ilustrados nas Fig. 4 . 3 e 4.4
a
2
60
pelas linhas tracejadas. As linhas sólidas correspondem à estrelas em equilíbrio que sofrem
uma transição de fase de I ordem c o m conservação do n ú m e r o bariônico e da carga elétrica.
a
Toda a discussão acima foi baseada na desconsideração do equilíbrio ¡3 na fase
hadrônica. Assumindo-se que os quarks u, d, s têm massas iguais, a fase de quarks fica
trivialmente em equilíbrio e c o m carga neutra.
Y
/
/
/
/
j
4
t Ífn-T !
1
í
/
/
p (fm-*!
/
o
04
o'.2
ce
o'e
1
3
(fm' ;
p
Figura 4.2 Pressão, densidade de energia e potencial químico quando só existe uma única carga conservada. A região
em P e /x é a fase mista. Fonte: [2].
Diana
1.5Instável
/
\
* — n - q
/
/ /
0.5
il*
¡1
II
14.5
lOQio
Figura 4.3 A linha pontilhada interrompida
idealizado). Na região n estão as estrelas de
neutrons e caroços de quarks. A linha sólida
químicos); estrelas abaixo de m são estrelas
15
U
15.5
16
3
r
g/cn )
por pontos representa a família de estrelas de um único potencial químico (caso
puros neutrons e na região n-q estão as estrelas de camadas externas de
representa a família de estrelas compactas em equilíbrio
(dois potenciais
de neutrons: estrelas acima de m têm caroços de matéria mista. Fonte: [2J.
61
.16
10
,13
10
01 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Raio (km)
Figura 4.4 A linha tracejada representa uma estrela com um único potencial químico com massa limite da figura anterior.
O caroço é feito de matéria pura de quarks e o exterior de neutrons puros. A curva sólida representa uma estrela no limite
de massa em equilíbrio (3 . O caroço está na fase mista de matéria hadrônica e de quarks. O exterior está na fase de matéria
de estrela de neutrons. O ponto de divisão é dado por m. Fonte: [21.
Os potenciais químicos são usados para expressar as condições de equilíbrio de um
sistema composto por várias c o m p o n e n t e s . As leis de conservação referem-se à quantidade de
cada componente independente ou carga conservada c o m os quais o sistema foi inicialmente
preparado. C h a m a m o s as n cargas ou números de cada componente independente de
( a = a,b,..n).
Q
a
Logo, o potencial químico de todas as substâncias pode ser escrito como u m a
combinação linear de tantos potenciais químicos independentes quanto forem as leis de
conservação. Iremos chamá-los de jl ,fi ,...,p. .
a
h
Os coeficientes na c o m b i n a ç ã o linear se
n
referem ao n ú m e r o de quantidades conservadas que a componente possui. Os números não
são necessariamente inteiros. As cargas elétricas e bariônicas dos quarks são números
fracionários.
U m corpo c o m duas fases distintas. 1 e 2 . pode sofrer u m a transição de fase se e só se
• A s m equações dinâmicas para as estruturas internas
•2)'
({0
,
jPai—,/í„..-,7 )= 0,
J
=
1..../M.
tiverem duas soluções simultâneas distintas
para as variáveis internas,
{()> }=0,,0 ,...,0m '
2
(4.6)
(
de m o d o que
(4.7)
onde
%U
(4.8)
}/í ,...,/i ,r)=o,
B
(1
62
^
({</> }fi ,... fi„j)=0
2
a
(j= h...,m),
t
(4.9)
- A s soluções forem sujeitas às importantes leis de conservação que serão discutidas
em seguida;
- O s critérios d e Gibbs forem satisfeitos.
A distinção entre as fases é tal q u e as variáveis internas {</> } que descrevem o corpo
ocupam regiões diferentes d o espaço interno, e é isso o que se quis dizer c o m a desigualdade
(4.7). Essas variáveis internas, que são soluções das equações dinâmicas, são funções d o
potencial químico e da temperatura. Os critérios de Gibbs para o equilíbrio de fases em u m a
temperatura fixa T quando h á n cargas conservadas é:
AÍ2,„
Aí,,„ =
r, = T
2
(4-10)
= Aí„
= T
}/*a>->Hn>T)=P{{<l>2
\tl ,...,ll ,T)
a
n
A pressão é a m e s m a função nos dois lados d a última equação, m a s é avaliada e m
regiões diferentes, de m o d o q u e os dois lados da equação são funções diferentes do potencial
químico. Essa equação não é suficiente p a r a especificar a pressão e os potenciais químicos n o
equilíbrio de fases. Se ocorrer u m a transição de fase de I ordem, a pressão c o m o função de
um dos potenciais químicos se comportará localmente c o m o se o sistema possuísse apenas u m
componente. Seja este potencial químico fi . Geralmente pensa-se e m variar o volume d o
sistema através de agentes externos a u m a temperatura constante. Isso corresponde a variar as
n densidades das cargas conservadas, Q IV , a = a,b,...,n,t
consequentemente, variar os
a
a
a
potenciais químicos, dentre eles, o \i . E claro que enquanto o sistema está e m u m a fase pura,
a
as razões entre as densidades não se modificam.
As n leis de conservação para as densidades de carga das fases puras 1 e 2 são:
4a({0,}At v..,Aí ,r)=2 /V,
n
a
$ ({02K.-..,jU ,r)
a
B
(4.11)
a
= j2 /V
a
{a = a,...,n)
(4.12)
Seja a fase 1 a fase de baixa densidade. Podemos encontrar as propriedades desta fase
pura escolhendo u m volume ou u m a densidade, por exemplo, q =Q IV
a
sistema de equações (4.8) e (4.11) p a r a as m variáveis internas
volume, e então calcular a pressão
a
e resolvendo o
e os n /is
de cada
p ( { 0 } p , . . . , j U „ , r ) e qualquer outra quantidade de
1
j
interesse. H a v e r á assim m + n equações e o m e s m o n ú m e r o de incógnitas.
63
A igualdade dos potenciais químicos na fase de equilíbrio requer u m e x a m e detalhado.
E m primeiro lugar estudamos as extremidades da fase mista, onde a proporção de u m a das
fases é muito pequena. Então, v a m o s para a região intermediária. C o m e c e m o s c o m o corpo n a
fase 1, e a u m e n t e m o s a pressão. A u m a determinada pressão e volume correspondente V i ,
partes do corpo irão começar a sofrer a transição de fase. O corpo é dito estar n a fase mista. A
u m a pressão imediatamente abaixo as condições de conservação ainda são expressas c o m o
para a fase pura 1 através d a Eq.(4.11) p o r q u e a quantidade de matéria na fase 2 é desprezível.
Neste ponto, as condições d e conservação, as equações dinâmicas (4.8) e os critérios de Gibbs
para a pressão de equilíbrio expressa n a Eq.(4.10), produz as m + n + 1 equações q u e
especificam o v o l u m e V i , os valores d o s n potenciais químicos, e as m variáveis internas
correspondentes ao estado d o corpo n o cenário da transição de fase. D o m e s m o m o d o , a fase
mista pode ser alcançada através d a fase 2. U m sistema equivalente d e equações define a
fronteira entre as fases pura e mista. A Eq.(4.9) substitui a Eq.(4.8) e a Eq.(4.12) substitui a
Eq.(4.11), e elas, juntamente c o m os critérios de Gibbs definem o volume V 2 correspondente
à extremidade superior d a fase mista, juntamente c o m as variáveis internas e potenciais
químicos desta fronteira. T e m o s então dois conjuntos diferentes de equações q u e definem o
estado do sistema nos dois extremos d a fase mista, e as suas soluções V \ i , . . . l
serão
r
a
r
n
diferentes e m geral. Consequentemente, os potenciais químicos e as pressões, apesar de iguais
em cada fase e m equilíbrio, são diferentes nas duas extremidades d a fase mista, como as
densidades das cargas conservadas.
Falta ainda descrever a fase m i s t a para u m a proporção arbitrária das duas fases.
Escolhe-se u m volume V dentro d o limite V, > V > V . Seja 1 - £ a fração do volume
ocupado pela fase 1 e Ç o volume o c u p a d o pela fase 2. As leis de conservação escritas
através das Eqs.(4.11) e (4.12) para as fases puras agora devem ser escritas c o m o u m a única
equação para cada carga que concerne às d u a s fases:
2
(l-Ç)q ({<i)Àrl ,..;rl ,T)+Ç
a
com (a =
a
n
q {{^\rl ,-,rl ,T)=QJV,
a
u
(4.13)
n
a,...,n)
As equações que governam o sistema na fase mista são as 2m, ou melhor, as m
equações dinâmicas (Eqs.(4.8) e (4.9)) p a r a a solução das m variáveis internas
de cada
fase (i = 1,2), as n leis de conservação (Eq.(4.13)), e os critérios de Gibbs para os n potenciais
químicos e a proporção Ç . Logo, h á 2m + n +1 equações simultâneas q u e descrevem o estado
do corpo n a fase mista, incluindo a proporção Ç de fases. Se u m a solução existe para o
volume escolhido ou densidade de cargas, c o m 0 < Ç < 1 e {0,} ^
{0 } ela representa o
2
estado d o corpo n a fase mista.
N a fase mista a Eq.(4.13) é a ú n i c a maneira de expressar as leis de conservação
consistentemente c o m o equilíbrio de fase de Gibbs. Aplicando as Eqs.(4.11) e (4.12)
separadamente aos volumes de cada fase (l - £ )V e Ç V geralmente assegura-se q u e os
potenciais químicos sejam diferentes nas duas fases. A l é m disso, há n condições a mais d o
que variáveis.
a
Para compreender a natureza especial de u m a transição de fase de I ordem de u m
sistema c o m mais de u m a carga conservada, é importante notar que as razões das densidades
de carga Q /V nas fases puras são constantes, u m a vez que o sistema foi preparado c o m u m
número específico de cada tipo de carga. Entretanto a razão entre as cargas ou componentes
a
64
pode ser diferente e m cada u m a das fases n o equilíbrio. Apenas a s o m a das cargas nas duas
fases precisa se conservar (Eq. (4.13)). Assim, compreendemos o papel das forças internas,
incluindo a energia de Fermi, de otimizar as proporções de cargas na fase d e equilíbrio, de
modo a minimizar a energia livre d o sistema. Isto está implícito nas soluções simultâneas da
Eqs.(4.8)-(4.10) e (4.13). Para u m sistema c o m n cargas conservadas, existem n-\
concentrações, ou graus de liberdade q u e as forças internas possuem quando duas fases estão
em equilíbrio. E m particular, n ã o h á tal liberdade para u m sistema q u e só tem uma única
carga conservada ou u m a única c o m p o n e n t e independente. Assim, e m geral, os dois sistemas
de equações descritos acima possuem soluções diferentes, de m o d o q u e a pressão não
permanece constante enquanto o corpo m u d a de u m a fase pura para outra, e d a mesma forma,
todos os potenciais químicos m u d a m . A pressão e os potenciais químicos da fase mista
m u d a m continuamente à m e d i d a q u e a proporção das fases e m equilíbrio m u d a em u m
sistema complexo.
U m a vez q u e as 2m+n+\
equações (Eqs. (4.8)-(4.10) e (4.13)) são resolvidas
simultaneamente, todas as outras quantidades aditivas p o d e m ser calculadas através da regra
expressa aqui para a densidade de carga correspondente à lei de conservação:
^=O-Ck(k}.Aí ,--.,Aí ^)+Ç? (({0:},Aí ,..,Aí„^))
a
n
a
a
(4.14)
C o m o conseqüência d a variação d o potencial químico c o m as proporções de cada fase,
todas as outras propriedades aditivas tais como densidade e densidade de energia também
variam, m a s não necessariamente d e u m a maneira linear c o m a proporção Ç . Comparando as
Eqs. 4.5 e 4.14, percebe-se q u e n a primeira a densidade tem u m valor fixo e m cada fase,
correspondente ao único valor do potencial químico no equilíbrio, enquanto na segunda todas
as densidades de carga variam c o m as proporções das fases. Todos estes aspectos de u m a
transição de fase de I ordem e m u m sistema c o m mais de u m a carga conservada são
diferentes daqueles correspondentes ao sistema de apenas u m a carga conservada c o m exceção
da descontinuidade das densidades através da interface entre as duas fases e m equilíbrio, que
é o que distingue u m a transição de I da de 2 ordem. Entretanto, a magnitude da
descontinuidade n o caso geral varia c o m a proporção das fases e m equilíbrio.
a
a
a
N o caso de u m a carga conservada, a pressão c o m o função d o potencial químico para
esta carga tem a forma conhecida d e u m a curva como a mostrada na Fig.4.1. O ponto de
intercessão corresponde aos valores de equilíbrio da pressão e do potencial químico n u m a
dada temperatura. Imagine agora u m terceiro eixo correspondente a u m potencial químico
adicional, c o m o mostra a Fig. 4.5. P u x e a curva como se fosse u m a folha elástica nessa nova
direção. E claro q u e o deslocamento n ã o t e m que necessariamente ser paralelo e a superfície
terá u m a forma irregular. O ponto de intercessão A, d a pressão nas duas fases puras se torna a
curva A A ; as duas fases e m cada ponto d a curva têm potenciais químicos e pressões iguais,
como exigido pelo equilíbrio, m a s e m geral, eles variam ao longo d a curva. N e m todos os
pontos da curva representam estados fisicamente acessíveis, dadas as leis de conservação.
Para u m a melhor compreensão disso, consideraremos as fases puras h o m o g ê n e a s . As leis de
conservação (Eqs. 4.11 e 4.12) para cada fase pura descreve u m a curva n o plano do potencial
químico parametrizado pelo volume V. A projeção de cada u m a destas curvas sobre a
superfície de pressão da fase correspondente descreve u m a curva e m cada superfície.
Segmentos delas são aO e l b . Nestas curvas, o corpo está nas fases puras 1 e 2
respectivamente, e satisfaz as leis de conservação. Pontos diferentes das curvas correspondem
a diferentes volumes ou densidades d e u m a dada carga. O equilíbrio de fases é possível
apenas quando cada u m a destas curvas cruza a curva de intercessão de pressão, A A .
Devemos compreender que a figura representa a superfície da pressão apenas n a vizinhança
65
de onde ocorre a transição de fase, e deve haver outras regiões do potencial químico onde há
apenas u m a superfície de pressão e apenas u m a fase. Q u a n d o há distinção de fases, os pontos
nos quais as duas curvas definidas pelas leis de conservação cruzam a curva A A em 0 e 1
geralmente não serão coincidentes e definirão os extremos de u m a fase mista. A proporção da
fase 2 no ponto 0 é zero e no p o n t o 1 é total. A proporção varia entre estes valores ao longo da
curva 01. Esta é a curva do equilíbrio de fases. Geralmente, a pressão e os potenciais químicos
variam ao longo dela do m e s m o m o d o que suas densidades de carga correspondentes.
Fig. 4.5 - Esquema da pressão em função de fl i
a
mostrada pela curva a0
}l
b
, no caso mais geral de duas cargas conservadas.
A pressão física é
(fase pura 1), 01 (fase mista) e lb (fase pura 2). Fonte [2]
E claro que e m cada ponto da curva de intercessão, que corresponde à alguma
proporção definida de fases, todas estas quantidades são iguais por todo o corpo, como as
condições de equilíbrio exigem. Esta construção serve para ilustrar o porquê de u m a transição
de fase de I ordem com mais de u m a carga conservada ser tão diferente de u m a com apenas
uma. Quando existe mais de u m a carga conservada, o equilíbrio de fase é possível quando a
pressão como função dos potenciais químicos independentes tem a topologia da forma
genérica ilustrada.
a
A variação da pressão c o m a proporção das fases em equilíbrio é, talvez, a diferença
que traz mais consequências e p o d e levar a estrelas compactas estruturalmente diferentes, nas
quais a transição de matéria hadrônica confinada para matéria de quarks ocorre, das que
seriam obtidas e m aproximações que tratam a estrela c o m o u m sistema simples de apenas
u m a carga conservada (número bariônico).
4.3 Fase de Hádrons
Descreveremos a fase hadrônica usando o modelo de Z i m a n y i - M o s z k o w s k i [3]. Este
modelo sugere u m a m u d a n ç a na forma do acoplamento entre os c a m p o s bariônicos e o campo
escalar cr. A densidade lagrangiana generalizada usada no modelo de Zimanyi-Moszkowski é
dada por:
66
m.
Xv^V-^aVa
A
(4.15)
onde y/ representa o operador de c a m p o bariônico, c o c a m p o escalar, (ü
B
M
o c a m p o vetorial
e p ^ o c a m p o isovetorial. N o capítulo 2 vimos que
PÍXV
x
= àpP
-d Pp-g Pp Pv
v
v
pB
Os léptons são descritos pelos operadores de c a m p o I/a e g ,
a
oB
e g
pB
são as
constantes de acoplamento entre os campos bariônicos e os respectivos c a m p o s mesônicos.
Sabendo que prótons e nêutrons n ã o são os únicos bárions importantes na equação de
estado, faremos a inclusão de todo o octeto bariônico além do quarteto Á levando em conta o
acoplamento entre os c a m p o s bariônicos e os campos mesônicos escalar, vetorial e
isovetorial. Assim, a soma e m B na e q u a ç ã o acima se estende a todas as espécies de bárions
considerados: B = n,p,A,Z",Z°,E ,S",E°,A~.Á°,A ,A
e a soma em X se refere aos
léptons é ? , v , p , v .
+
e
+
++
M
Os campos bariônicos p o d e m ser transformados segundo a relação
1+-
1
(4.16)
B'
m.
o que faz com que a Lagrangiana fique s e m o fator (l + g
aB
lm )
B
e as massas dos bárions
sejam todas substituídas pelas massas efetivas
m
B
gaB<?
' <TB
= 1 +-
(4. 17)
mB •
D a lagrangiana (4.15), obtemos as equações de Euler-Lagrange para os campos, que
resultam nas equações de m o v i m e n t o para todos os operadores hadrônicos de campo.
Aplicando-se a seguir a aproximação de c a m p o m é d i o aos operadores mesônicos de campo
67
presentes nas equações de m o v i m e n t o obtidas (na forma c o m o foi descrito e m capítulo
anterior), todos os c a m p o s mesônicos são substituídos por seus respectivos valores médios
relativos ao estado fundamental do sistema [3;6;7]. Nesta aproximação, a teoria é vista c o m o
uma teoria efetiva onde as constantes de acoplamento são ajustadas a propriedades da matéria
nuclear ou núcleos finitos, m a s não às interações entre nucleons n o vácuo. E m virtude da
simetria de translação e de rotação da matéria nuclear infinita, subsiste para o campo co^
apenas a componente temporal co c o m valor médio não nulo. A n a l o g a m e n t e , para o méson
0
isovetorial p
M
apenas a c o m p o n e n t e temporal p , associada ao méson p neutro possui valor
0
médio não nulo (veja o Capítulo 2 p a r a maiores detalhes). C o m estas aproximações e
simetrias, as equações de m o v i m e n t o p a r a os valores clássicos dos operadores mesônicos
p o d e m ser escritas c o m o :
V
Bm
-
(4. 18)
m
0
co =
2
B
Z^f(v;v }
0
(4. 19)
B
Po3=S!f(W ).
(4. 20)
B
Observemos que as fontes dos c a m p o s mesônicos presentes nas equações acima
dependem explicitamente dos c a m p o s bariônicos, cujas dinâmicas são governadas pela
seguinte equação de m o v i m e n t o :
(4.21)
Aplicando-se a solução de o n d a plana para o operador
apresentada no capítulo 2, às Eqs.4.18-20. obtemos
8gB
> (TB
vV 2J
V
ml
f
l),,3
\
8m_
(4.23)
N
2
m
m
_Tç8 B
n
'
B
m„
•> B
k B
6n
(27 + l )
P
' 03
(4.22)
2n
r
B
bariônico,
2
8WB ( 2 ^ +
_ V
+ 1 ^ r*«
B
ml
B
C0
1+
de c a m p o
(4.24)
3
OK
68
onde
L
2K
6K-
J O
é o número de bárions B por unidade de volume, I
3B
é a projeção do isospin do estado de
carga do bárion 5 , JB O spin e ^ o m o m e n t o de Fermi da espécie bariônica. A tabela 4.1 lista
os números quânticos, as cargas e as m a s s a s dos bárions.
Tabela 4.1 : Números quânticos, massas e cargas de alguns bárions
Bárion
m (MeV)
N
938
A
S
Jb
Y
Yi
1116
Y
1193
i
Y
0
i
I3B
q
+Y
+1
-Y
0
0
0
+1
+1
0
0
-1
-1
+Y
+2
~+Y
X
1232
1318
Y
2
Y
•Y
o
-Y
-1
+Y
o
-Y
-1
Y
2
A equação de m o v i m e n t o para o s operadores de campo dos léptons consiste na
equação de Dirac para férmions livres, d a d a por
(íy"3 -m K=0,
M
A
a qual indica a ausência do acoplamento entre os campos leptônicos e bariônicos. Assim, os
léptons contribuem para a energia do sistema como u m gás ideal de Fermi. C o n t u d o , vínculos
entre os graus de liberdade bariônicos e leptônicos devem ser introduzidos através da
condição de equilíbrio beta e do balanço químico para os canais de interação fraca. Neste
sentido, o primeiro vínculo a ser i m p o s t o é a conservação do n ú m e r o bariônico total do
sistema, que se expressa por
69
p = £ n
(B = «,/?,A,{L}{a}{e})
,
B
(4.25)
B
sendo p
a densidade bariônica total. Outro vínculo diz respeito a neutralidade da carga
elétrica total da matéria estelar, e que se escreve:
0 = jZq n -n -n ,
e
B
e
(4.26)
u
B
o n d e i e a carga elétrica d o bárion. Esta equação estabelece a conservação da carga elétrica
do sistema, vinculando as densidades das partículas c o m estado de carga diferente de zero.
Por fim, o confinamento dos neutrinos [10] antes dos processos de interação fraca
impõem o seguinte vínculo d e conservação das frações leptônicas eletrônica e muônica:
n + n„
=—
-^ = cte,
v
Y
L
(4.27)
n„ — n
__íf
JL = Q
P
V
Y
(4.28)
M
Neste trabalho adotaremos Y
Lf
= 0,4 para o valor da fração leptônica eletrônica, de
acordo c o m resultados de cálculos de colapso gravitacional. Entretanto, o valor exato depende
de vários parâmetros c o m o a taxa de captura eletrônica, opacidade da matéria a neutrinos,
e t c , cujos valores apresentam incertezas.
Notemos q u e as duas equações anteriores nos fornecem
imediatas entre as densidades d o m e s m o setor leptônico:
as seguintes
relações
n =Y -p-n
(4.29)
n
(4.30)
v
u
L
e
= n-
A energia d e Gibbs p o r unidade de volume, para temperatura T = 0 , é dada por
onde P é a pressão d o sistema, p , o potencial químico e n a densidade da /-ézima espécie. A
i
minimização de g à pressão constante resulta em
fc = 5>>,-
=0
(4-32)
70
Usando-se as Eqs. (4.25) e (4.26), esta última equação nos fornece as equações de
balanço químico envolvendo os potenciais químicos das partículas:
l
4
H„=<lBrl -<le(F e-rK,)>
( .33a)
n
onde q
B
e q
são, respectivamente, a carga bariônica e a carga elétrica (em unidades da
e
carga do elétron) do bárion B. Estas equações de balanço correspondem aos seguintes canais
de decaimento para os bárions:
B<r>n-q e~
e
+q V .
t
(4.34)
+v .
(4.35)
t
e~ <-> AT +v
e
M
Observemos que pelas E q s . (4.33) os potenciais químicos dos nêutrons e dos elétrons
podem ser selecionados c o m o os dois únicos potenciais químicos independentes já que o
vínculo de conservação da fração leptônica implica em que os potenciais fi^, pi e ¡1Vr
estejam correlacionados c o m
r
i .
e
Assim, as equações para os c a m p o s mesônicos e bariônicos discutidas anteriormente
fornecem u m a descrição relativística consistente da interação forte entre os constituintes
hadrônicos, que incluem explicitamente, mesmo que de forma efetiva, a interação entre
hádrons do sistema. Por outro lado, e m b o r a o acoplamento entre os c a m p o s bariônicos e
leptônicos não esteja presente na densidade lagrangiana (4.15), as equações de balanço
químico dadas pela Eq. (4.33) são fundamentais, pois permitem descrever de forma
termodinamicamente consistente os processos de interação fraca presentes no sistema.
O potencial químico de cada espécie bariônica B é o autovalor da equação de
movimento para os c a m p o s bariônicos (Eq. 4.21), isto é,
Mb =8coB^ +g P hB+( B+ i)
k2
Q
pB
m
>2
•
m
4
( -
3 6
)
Para os léptons massivos
2
2
LI =(k +M J'
2
(4.37)
e
e para os neutrinos jLí =k
v
v
e FI- = k- . As densidades leptônicas são escritas também em
função dos m o m e n t o s de F e r m i c o m o
71
n =^rk],
(4.39)
N ^ ^ k l ,
(4.40)
n
(4.41)
e
1
= - 7 T <
6N
u
n-
V
"
k! .
=
(4.42)
2
67T
C a b e observar que o critério para que os níveis de Fermi para u m a dada espécie
bariônica c o m e c e m a ser povoados é dado p o r
ql
Br n
> fl (k
B
=0) + q ( p - \l ),
B
e
f
(4.43)
Vt
ou
4 P „ >™ +
B
8 ^ 0
B
+ SPBPOJLB
+
1e
~
4
RK. ) >
( -
4 4
)
enquanto que o decaimento do elétron e m m ú o n s exige que
rl >m^+
^ .
e
(4.45)
N o t e m o s que das E q s (4.22, 4 . 2 3 . 4.24, 4.36, 4.37 e 4.38), os m o m e n t o s de Fermi
dependem das variáveis internas de c a m p o <J,co ,p
e dos dois potenciais químicos
0
independentes
r
i , i
n
r
e
OÍ
para as cargas conservadas bariônica e elétrica, de m o d o que as
expressões para as densidades de carga e densidade bariônica, na fase hadrônica estão de
acordo c o m as dependências citadas na Eq. (4.11). Isto completa a descrição das equações que
definem a solução da lagrangiana para matéria de carga neutra e m equilíbrio, chamada
matéria de estrela de nêutrons.
As equações de m o v i m e n t o para os campos mesônicos juntamente c o m as equações de
conservação da carga bariônica e da carga elétrica, constituem um sistema de cinco equações
acopladas. Adotando-se c o m o variável independente a densidade bariônica p , o sistema de
equações pode ser resolvido pelo m é t o d o da autoconsistência para um valor fixo de p ,
obtendo-se para esta densidade os valores médios dos campos mesônicos cr, co , p
0
m o m e n t o s de Fermi dos nêutrons e dos elétrons, k
n
e k.
e
0 3
e os
Todas as demais variáveis do
sistema são obtidas usando-se as equações de balanço químico.
Finalmente, conforme foi discutido no capítulo 2, a densidade de energia e a pressão
do sistema são dados pelas seguintes expressões:
72
1
1
2
1
2
(4.46)
-I"
+1
2J
B
2?F
B
2
P = - ^ m
2
2
o -
2
2
+ ^ m >
+ ^ m
0
2
p
2
3
2
+
3 ¿
2^
2
Jo
(4.47)
4
ly2Jj+lft,
fc
(^
2
2
+
m; )
, / :
•dk
y — r
3 AK
2
(k +ML
Existe u m estado de equilíbrio que consiste n u m número igual de neutrons e prótons.
As constantes de acoplamento são ajustadas de m o d o que as propriedades para este estado
correspondam àquelas da matéria nuclear simétrica. Os valores das constantes de acoplamento
do modelo usadas neste trabalho foram tiradas da Ref. [2], os quais valores para elas são
ajustadas pelas seguintes propriedades da matéria nuclear saturada: densidade de saturação
p = 0 . 1 6 f m ~ , energia de ligação por nucleón ElN
= 1 6 M e V , massa efetiva do nucleón
3
0
na
B
densidade
de
saturação
M* = 0.855/rc^
N
e
incompressibilidade
da
matéria
nuclear
saturada K = 225 M e V . Explicitamente, as constantes de acoplamento para os nucléons são
dadas por
SaN
K™*
2
2
: 7.487 f m ,
= 2.615fm ,
y
J
m
*
p S
2
4.774 f m ,
a ,
sendo M„ = 550 M e V , M„ = 7 8 3 M e V e M
= 770 M e V .
A d o t a m o s também neste trabalho, c o m o na referência citada, o m e s m o acoplamento
entre os distintos campos bariônicos e mesônicos (acoplamento universal) ou seja, para
B±N
(N=n,p),
g tüN
> GB
' mB
g pN
' pB
4.4 Fase de Quarks
A grande incerteza teórica na descrição da fase de quarks, até m e s m o para decidir
sobre a sua existência, é, sem dúvida a e q u a ç ã o de estado. Não sabemos c o m o é a equação de
estado n u m intervalo grande de densidades (desde aproximadamente a densidade nuclear p
0
até 1 0 p ) as quais são possivelmente atingidas n u m a estrela de nêutrons. Até hoje,
infelizmente, não existe n e n h u m a teoria q u e cubra esse intervalo de densidades com relação
aos graus de liberdade dos quarks. O m o d e l o mais aplicado hoje é u m a generalização do
modelo de sacola do M.I.T. que inclui efeitos do meio [4]. Nessa referência, usou-se a técnica
0
73
de quasi-partículas tão b e m conhecida e m várias áreas da física, onde é aplicada com grande
sucesso. A interação entre os quarks é implementada através da atribuição aos mesmos de
uma massa efetiva dependente da densidade. Essa aproximação deve fornecer u m a descrição
mais realista da matéria de quarks q u e vai além da aproximação p o r u m gás livre de Fermi
utilizado em nosso trabalho de mestrado [8]. Na literatura, esse modelo [4] é referido como
"modelo de sacola c o m m a s s a efetiva". N a referência [4] mostrou-se q u e os efeitos do meio
aumentam a energia por bárion d a matéria de quarks ( c o m estranheza incluída) tornando
portanto a fase d e quarks m e n o s favorável d o ponto de vista energético. A razão física para
um aumento de energia p o r bárion é a dependência da massa efetiva c o m a densidade
deduzida e m [4]. E l a aumenta c o m o aumento da densidade.
O modelo de sacola c o m massa, é u m a técnica usada e m várias áreas d a Física, desde a
Física do Estado Sólido até a Física Nuclear tradicional e relativística, para descrever de
forma não perturbativa interações c o m p l e x a s e efeitos do meio c o m o m o d o s coletivos e m
sistemas de muitas partículas. A idéia básica é que as partículas de tais sistemas adquirem
u m a massa efetiva devido à interação c o m o resto do sistema. A d o t a n d o o e s q u e m a de quasipartículas, efeitos d o meio foram recentemente incorporados na equação de estado dos quarks
no contexto d o m o d e l o de sacola d o M . I . T . (Apêndice C). Nesse modelo, os quarks são
considerados c o m o quasi-partículas q u e adquirem u m a massa efetiva devido à interação c o m
outros quarks presentes no sistema. A m a s s a efetiva aparece c o m o u m polo d o propagador do
quark iterado (e portanto n ã o perturbativo) para potenciais químicos finitos, o qual é
calculado n a aproximação d e densidade alta. Graficamente os processos q u e contribuem são:
>
+
^ - > W
O resultado desse cálculo é u m a m a s s a efetiva para os quarks dependente do potencial
químico da seguinte maneira:
(4.48)
onde g é a constante de acoplamento forte para o plasma de quarks e glúons, ji
j
potencial químico dos quarks, / =u,d,s
e
m =m
u
d
= 0 e m = \50MeV
s
é o
são as massas
correntes adotadas para os quarks.
Note q u e as massas efetivas aumentam c o m a constante de acoplamento e também
com o potencial químico. Esse é então, dentro deste esquema, o resultado d a s interações. O
último ingrediente d o m o d e l o é a constante de sacola fenomenológica B introduzida da
maneira usual e q u e supostamente simula a influência do confinamento e corresponde à
diferença de energia entre o vácuo perturbativo dentro da fase de quarks desconfinada e o
vácuo verdadeiro fora dela.
As equações d e balanço químico n a fase de quarks são dadas t a m b é m pela equação
(Â = q fi
b
B
n
- q (\i
e
e
- \i
Vt
) c o m B = u,d,s.
Podemos explicitar estas equações c o m o
(4.49)
74
^ = A * , = ^
+ ^ ( j " , - i " v
B
r
(
) -
4
-
5
A o s o m a r m o s estas duas equações, obtemos u m a relação fundamental
potencial químico dos nêutrons e os potenciais químicos dos quarks, dada por
H„=H +2ti .
u
0
)
entre o
(4.51)
d
Em termos dos graus de liberdade d a fase d e quarks, é possível escrevermos também
Aí„ = Hu ~ rí + Aí
e
(4-52)
Vf
Nesta fase, a conservação d a carga bariônica é dada por
P=\(n +n +n ),
u
d
(4.53)
1
enquanto a conservação da carga elétrica se expressa pela equação
^(2n -n
u
-n )-n -
d
s
e
n
t
=0
l
(4.54)
Notemos t a m b é m q u e a conservação da fração leptônica total para a fase de quarks
tem a m e s m a expressão da fase de hádrons.
Finalmente, as expressões da pressão e da densidade de energia para esta fase são
dados por [ 1 ]
P =-B
Q
£
+
^
P
f
+
^ ( p
i
+
P
v
l
) ,
(4.55)
P
Q =~ Q +
(4-56)
onde Pf é a pressão de gás de férmions livres e B é a constante de sacola,
sf=u,d,s.
Neste
trabalho,
B = {\Q0-250)MeV.frn-*
variamos
a
constante
de
sacola
dentro
/ = e~ ,fi~
do
intervalo
.
4.5 Fase Mista
Para descrever a fase mista, a fração volumétrica d a fase hadrônica (H) é representada
por 1 - £ , onde £ é a fração volumétrica ocupada pela fase de quarks (Q) definida por
V
£=
V
q
,0<C<1.
(4-57)
+v
75
As leis de conservação escritas anteriormente para as fases puras de hadrons e quarks,
devem ser escritas agora através de equações envolvendo simultaneamente as duas fases.
Assim, a conservação da carga bariônica total do sistema durante a transição se escreve como
= (l-Z)p Çp ,
p
H+
(4.58)
Q
onde
P„=5>,.
(4-59)
B
P =^(n +n +n ).
Q
u
J
(5.60)
s
A conservação da carga elétrica global é dada por
n
0
= ~
n
e
~
+
0-Ct p
n
-
+
-
z
n
z-
~ " a -
+
n
*
+
l
n
a -
~
n
s
) +
\t(
2
n
«
~
n
J -
n
, )
(4.61)
Por último, a conservação da fração leptônica eletrônica escreve-se agora como
Y
L
=ir^
r
=
c
o
n
s
t
-
(4-62)
E a densidade de energia da fase mista é função da fração volumétrica dos quarks
desconfinados, isto é, e = ( l - £ ) e
Observemos que os vínculos acima reduzem-se
Q
w
+Ç£ -
trivialmente às equações de conservação p a r a as fases puras de hádrons se Ç = 0 e para a de
quarks se Ç = 1.
A l é m dos vínculos de conservação impostos globalmente às duas fases, devemos
impor também as condições de Gibbs, a T = 0 , para os potenciais químicos
p„ =
n + 2p
u
d
,
e a condição de equilíbrio mecânico
p (p)=p (pl
H
e
relacionando as pressões de cada fase.
A primeira condição de Gibbs j á é intrinsecamente satisfeita pelas equações de
balanço químico de cada fase, discutidas nas duas seções anteriores e que continuam válidas
durante o regime de transição. Portanto, a l é m das três equações para os campos mesônicos e
das equações de conservação das cargas bariônica e elétrica, d e v e m o s resolver
76
simultaneamente a equação devida a segunda condição de Gibbs mostrada acima. Temos
assim u m sistema de seis equações acopladas.
A d o t a m o s c o m o variável independente a fração volumétrica ç,
de forma que a
solução do sistema de equações para u m valor fixo de ç (variando no intervalo 0,1) nos
fornece a densidade bariônica p , os valores médios dos campos mesônicos o", ú) , p , e os
0
momentos de Fermi dos nêutrons e dos elétrons, k
n
0
e k . De forma análoga ao procedimento
e
usado para a fase pura de hádrons, todas as demais variáveis do sistema, para as duas fases,
são obtidas usando-se as equações de b a l a n ç o químico.
Frisemos que todas as equações apresentadas nesta e nas duas seções anteriores
continuam válidas se os neutrinos forem considerados ausentes, bastando fazer-se
Para ilustrar os métodos aqui utilizados, mostramos nas Figuras 4.6 e 4.7 o
comportamento da densidade de energia e da pressão e m função da densidade para as três
fases, cobrindo u m largo intervalo de densidade, com o objetivo de comparar o caso não
realístico e m que os neutrinos estão ausentes do sistema com o caso em que eles estão
confinados. E m ambas as figuras a região entre as linhas verticais pontilhadas indica a região
de transição de fase. Observa-se que a pressão e a densidade de energia são funções
monotonicamente crescentes e contínuas d a densidade bariônica. A transição é de 1 ordem,
mas a pressão não permanece constante e m virtude da existência de mais de u m a carga
conservada. Percebe-se ainda que esta faixa é mais estreita para o caso de confinamento de
neutrinos, o que será discutido mais detalhadamente no próximo capítulo.
a
As figuras 4.8 e 4.9 mostram as populações relativas (Y =n l
i
i
p ) em função da
densidade para os m e s m o s casos mostrados nas duas figuras anteriores. Observe que no caso
sem neutrinos, a fase pura de quarks é quase que completamente constituída de hádrons, i.e., é
uma matéria pobre em léptons. Nota-se ainda que o número de quarks das três espécies é
aproximadamente o m e s m o e da ordem de p / 3 . N o caso de confinamento de neutrinos, a
situação m u d a e a fase pura de quarks fica rica em léptons (elétrons e neutrinos eletrônicos).
Note t a m b é m que durante a transição, a medida que a população de quarks u,d e s vai
aumentando em virtude do desconfinamento das espécies bariônicas presentes, as populações
relativas de bárions decrescem.
77
Figura 4.6 : Energia e pressão em função da densidade para as três fases para o caso sem neutrinos.
A região entre as linhas verticais pontilhadas indica a região de transição. < B=150, g=2.5)
—'
r-
l i
l
i
l
L
l i l
i
l i l
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
P (fm- )
3
Figura 4.7 : Energia e pressão em função da densidade para as três fases para o caso de neutrinos confinados. A região
entre as linhas verticais pontilhadas indica a região de transição. ( B=150, g=2.5)
78
1.00
0.10 k
0.01
0.00
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
-3
P (f m"
)
d
Figura 4.8 : Populações relativas ( Y
T
= Tl I Tl )em função da densidade para o caso sem neutrinos. (B=150, g=2.5)
l
h
1.00
0.10 k
0.01 t-
0.00
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
3
P (fnr )
Figura 4.9 : Populações relativas ( Y = Tl I fl )
;
i
h
em função da densidade para o caso de neutrinos confinados.
g=2.5)
79
(B=150.
Capítulo 5
Resultados e Conclusões
O objetivo principal deste trabalho é investigar a possibilidade de formação de um
caroço híbrido n u m cenário de formação d e onda de choque além de estudar as consequências
do confinamento de neutrinos na transição de fase hádrons - quarks durante o processo do
colapso-explosão.
5.1 Discussão dos Resultados
Para descrever as propriedades da matéria estelar desde o colapso até o bounce do
caroço, necessita-se de u m a equação de estado que seja adequada à u m a faixa muito larga de
densidades, desde aproximadamente IO g/cnr até = ( 2 - 5 ) p o n d e p = 2,8x 1 0 g / c m é a
8
14
0
3
0
densidade de saturação da matéria nuclear. Para este propósito, três equações de estado
obtidas para diferentes regimes de densidade serão ligadas em nosso trabalho. Para densidades
até o ponto de gotejamento de nêutrons, = 4.3 x 1 0 g/cm , consideramos que a matéria
estelar fria é composta por u m a rede cristalina de núcleos e u m gás de elétrons livres
relativísticos e degenerados. Neste regime, a equação de estado descrita em [ 1 ] é usada. Para
o regime subnuclear com nêutrons livres, usamos a equação de estado dada e m [2] quando os
neutrinos forem considerados ausentes, e n o caso oposto usamos a equação de estado dada na
Ref. [3] se os neutrinos forem considerados confinados. Para valores de densidades maiores
que a densidade de saturação nuclear, u s a m o s a equação de estado construída no capítulo
anterior.
n
3
As equações de m o v i m e n t o para os raios das duas camadas, R
}
e R , e a massa da
2
camada interna, m,, obtidas no capítulo 3 são resolvidas numericamente para uma caroço
S6
típico de pré-supernova com m a s s a total de 1.45 M composto de núcleos de Fe e um gás de
elétrons livres degenerados ( 7 = 0 ) . A condição inicial é obtida minimizando-se
numericamente a energia total de u m caroço esférico de 1.24 M com duas camadas, por
variações das variáveis /?,, R e m,, visando obter u m a configuração de equilíbrio estático
para o sistema. C o m este procedimento, obtemos os valores inicias dos raios e das massas das
duas camadas do caroço de F e . O colapso gravitacional deste caroço é acionado pela adição
de uma massa residual de 0.21 M à c a m a d a externa, totalizando assim u m a massa total de
1.45 M , e pela m u d a n ç a d a equação de estado de u m gás puro de elétrons degerados para a
equação de estado usada neste trabalho. Estes dois fatores juntos fazem c o m que o equilíbrio
estático seja rompido, dando partida ao colapso do sistema.
s
s
2
5 6
Q
e
E m todas as figuras a seguir, mostraremos dois cenários, u m c o m neutrinos confinados
{Y
u
= 0 . 4 ) , mostrado pelas linhas grossas e o outro sem neutrinos confinados ( F
mostrado pelas linhas finas ou pontilhadas.
80
v
=0),
12.01—I—rri—I—«—I—'
•
I
»
1
»
»
I
I
I
I
I
r
h
i l l
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
3
P(fm' )
Figura 1: Potenciais Químicos dos neutrons e elétrons em função da densidade bariônica
B = 150MeV//m .
g =
2.5 . fração
=0
do neutrino eletrônico}'
p . Os parâmetros
(linhas finas) e fração leptônica
Y
L
usados foram
= 0.4
(linhas
grossas).
N a Figura 1 mostramos os resultados obtidos para os parâmetros independentes, isto é,
os potenciais químicos de neutrons e elétrons como função da densidade bariônica, usando
valores típicos de B = 150MeV / fin* e g = 2.5 . U m a faixa de densidades mais estreita para a
transição de fase mostrada pela parte sombreada na figura é obtida q u a n d o os neutrinos são
confinados, situação b e m diferente de q u a n d o os neutrinos não são confinados. Note que o
valor da densidade de transição para o c a s o sem neutrinos confinados é de aproximadamente
0.6 f m , valor muito m e n o r d o que - 2 . 2 6 fm" , para o caso de neutrinos confinados, e
portanto, dentro de u m a faixa de densidade alcançada durante o colapso gravitacional.
Entretanto, o valor da densidade no final d a fase mista é menos afetado pela inclusão ou não
de neutrinos. Esta é u m a consequência direta do maior endurecimento da equação de estado
na fase hadrônica se c o m p a r a d a à fase de quarks quando os neutrinos são confinados. Note
que o confinamento de neutrinos leva ao endurecimento da equação de estado em ambas as
fases. Entretanto, c o m o os quarks u, d e s são partículas relativísticas leves, a pressão
leptônica adicional é mais representativa n a fase hadrônica do que na fase de plasma quando
os neutrinos são confinados.
3
3
81
Figura 2: Densidades máximas em unidades de p
o
para as duas fases possíveis (hádrons e quarks) em função da constante
de sacola B. Os quadrados representam a densidade máxima alcançada pelo caroço interno no bounce no caso de
confinamento de neutrinos e os triângulos têm a mesma representação para o caso sem neutrinos.
Nas Figuras 2(a,b,c,d) mostramos a influência da constante de sacola B nos limites das
fases, considerando para a fase de plasma d e quarks e glúons alguns valores para a constante
de acoplamento forte g. E m cada figura, as duas linhas superiores mostram as densidades
bariônicas (em unidades da densidade de saturação nuclear p ) nas quais a fase pura de
0
quarks se inicia. As duas linhas inferiores mostram as densidades que separam a fase
hadrônica pura da fase mista. C o m o p o d e m o s ver, o confinamento de neutrinos provoca dois
efeitos: o deslocamento das coordenadas d o ponto de transição para valores mais elevados da
densidade bariônica e diminui a largura da faixa de densidades da fase mista se comparada ao
caso sem neutrinos confinados. A o m u d a r m o s os valores de B e da constante de acoplamento,
obtemos resultados qualitativamente semelhantes. Os quadrados representam a densidade
m á x i m a alcançada pelo caroço interno durante o bounce no caso de confinamento de
neutrinos e os triângulos têm a m e s m a representação para o caso sem neutrinos. Isto ainda
será discutido mais a frente.
82
Observa-se nas quatro figuras que c o m p õ e m a Fig.2, que quanto maior a constante de
acoplamento g, maiores se tornam as densidades limiares para o início d a transição para o
caso dos neutrinos confinados. L e m b r a m o s também que a o usarmos a equação d e estado d o
modelo d e sacola do M.I.T., c o m a inclusão de efeitos d o meio, a interação entre os quarks é
descrita dando a eles massas dependentes do potencial químico e da constante d e acoplamento
¿. Devido ao a u m e n t o destas massas, a energia por bárion d a matéria de quarks é aumentada,
o q u e faz c o m q u e esta fase seja energeticamente m e n o s favorável se comparada com a
aproximação de gás livre de Fermi.
A Figura 3 ilustra o colapso adiabático para um caroço de massa total igual a 1.45 M ,
onde a evolução temporal d o s raios d o s caroços interno ( R i ) e e x t e m o (R2) é mostrada.
Observe que após o primeiro bounce d o caroço interno u m a forte onda d e choque é gerada
causando u m evento de explosão representado p o r u m a reversão súbita n a velocidade d a
camada externa, levando à sua expansão. U m objeto compacto é formado d e raio mínimo e m
"¿orno de 8.5 k m para o caso sem neutrinos e de 9.6 k m para o caso de neutrinos confinados.
Podemos notar t a m b é m , que para o caso d e neutrinos confinados, o bounce ocorre um pouco
depois d o que para o outro caso, pois a equação de estado é mais dura d o que a d o caso sem
neutrinos. As densidades centrais d o caroço alcançadas n o instante d o bounce, para ambos os
casos, são mostradas na Fig.2 ( B = 1 5 0 M e V . f m ° ) , onde p o d e m o s observar que, para nenhum
dos casos, a densidade de transição é alcançada, fazendo com que o sistema permaneça na
fase pura de hádrons. E m outras palavras, c o m este modelo, o caroço remanescente, a protoestrela d e nêutrons, é formada por matéria hadrônica pura não importando se a equação de
estado usada é a de neutrinos confinados ou não, para estes valores de B e d e g.
s
800
0.20
0.21
0.22
tempo (s)
0.23
0.24
Figura 3: Raios dos caroços interno e externo em função do tempo para os casos de neutrinos confinados (linhas grossas) e
,r.res (linhas finas). Os parâmetros
usados foram
B=
\50MeV I fm
83
, g -
2.5 , Y = 0
v
e
Y = 0.4.
K
A massa final do caroço interno é u m parâmetro crucial para a estabilidade e estrutura
de u m a estrela c o m p a c t a formada. Os valores obtidos para os dois casos (com e sem neutrinos
confinados) são compatíveis c o m os d a d o s observacionais para estrelas de nêutrons. A
evolução temporal da massa d o caroço interno é mostrada na Figura 4 , onde os resultados dos
cálculos são mostrados para os dois c a s o s . Podemos ver que a massa da proto-estrela de
nêutrons formada é u m p o u c o m e n o r para o caso de neutrinos ausentes. Entretanto, da Figura
3 . notamos que, u m a vez que a e q u a ç ã o de estado do caso de neutrinos confinados é mais
dura, o raio do caroço interno no primeiro bounce é maior do que na situação sem neutrinos
confinados. A densidade do bounce d o caroço interno para o caso sem neutrinos é maior do
que no caso c o m neutrinos confinados, c o m o mostra a Figura 2 . Este cenário se repete e m
todos os casos analisados obtidos para várias configurações de massa inicial e parâmetros B e
? da equação de estado.
1.4
1.2 -
J
0.6
0.0
'
1
'
0.1
1
'———'
0.2
0.3
t e m p o (s)
Figura 4: Evolução temporal da massa do caroço central para o caso de neutrinos confinados (linha grossa) e sem neutrinos
imliafina) com B = 150MeVI fm , g = 2.5, Y = 0 Y = 0.4.
v
L
A Figura 5 mostra a evolução temporal das energias totais, i.e., a s o m a das energias
cinética, gravitacional e interna dos caroços interno (Hi) e externo ( H ) . O sucesso da
explosão depende da potência da o n d a de choque gerada no bounce. V e m o s que a camada
externa do caroço é ejetada devido à transferência de energia do caroço interno para o externo
durante os bounces. Após o d e s a c o p l a m e n t o entre as camadas, a c a m a d a externa fica com a
energia total positiva (energia cinética s o m a d a a energia interna maior do que a gravitacional),
2
84
51
da ordem de 20 foe (\FOE = IO e r g ) , caracterizando um sistema não ligado, ao contrário da
camada interna com a energia gravitacional maior do que a soma das outras duas. O caso que
considera os neutrinos confinados é m e n o s energético do que o que considera os neutrinos
não confinados.
40
5
Figura 5:Evolução temporal da energia total dos caroços interno e externo dados emfoe - 1 foe = 10 ' erg.
As duas figuras a seguir m o s t r a m as velocidades relativas à velocidade do som no
meio no referencial da interface entre as duas camadas, dadas por w, = (v, ( / ? , ) - ^ , ) / c , e
u-_= ( v ( / ? , ) - / ? , ) / c . A velocidade d o som num meio líquido ou gasoso é dada por
C = TJK/P
onde K = xpé o m ó d u l o de compressibilidade e p é a pressão do gás não
perturbado e x , o expoente adiabático, é a razão entre os calores específicos Cp/C . Para haver
formação de u m a onda de choque, é necessário que esta velocidade relativa à c a m a d a interna
seja menor que 1 e a relativa à c a m a d a externa seja maior do que 1, ou seja, o fluxo deve ser
subsónico para a c a m a d a interna e supersônico para a extema. A Figura 6 mostra um fluxo
subsónico para a camada interna e a F i g u r a 7. um fluxo extremamente supersônico para a
camada externa. E m ambos os casos os picos nas curvas correspondem ao primeiro bounce.
Observe também que, para o caso sem neutrinos, o fluxo do material da c a m a d a extema é
mais supersônico durante o bounce do que para o caso com neutrinos confinados.
2
2
v
85
0.40
0.30
0.20
-
0.10
-
0.226
0.228
0.230
0.232
t e m p o (s)
Figura 6: Velocidade de matéria em relação à superfície do caroço interno no cenário do bounce, mostrando um fluxo
subsónico para a camada interna (u¡<l).
CM
0.226
0.227
0.228
0.229
0.230
0.231
t e m p o (s)
Figura 7 Velocidade de matéria em relação à superfície do caroço interno no cenário do bounce, mostrando um fluxo
extremamente supersônico para a camada externa (u >l).
2
86
A existência de u m a fase mista dentro do caroço interno no m o m e n t o do bounce
depende fortemente do confinamento ou não dos neutrinos e dos parâmetros usados na
descrição de cada urna das fases. N a figura 2, c o m o vimos, os quadrados representam a
densidade m á x i m a alcançada pelo caroço interno durante o primeiro bounce no caso de
jonfinamento de neutrinos e os triângulos têm a m e s m a representação para o caso sem
neutrinos. Estes pontos foram obtidos usando-se os cálculos dinâmicos discutidos no capítulo
?. Note que para o caso com neutrinos confinados, o bounce do caroço interno sempre ocorre
em densidades m e n o r e s d o que a densidade mínima necessária para a transição de matéria
pura de hádrons para a fase mista. A p e n a s n o caso não realístico sem neutrinos, a densidade
i a matéria do caroço interno pode alcançar valores dentro dos limites da fase mista, para
valores baixos da constante de sacola B.
5.2 Conclusões
Analisamos neste trabalho a ocorrência de transição de fase quark-hádron durante o
colapso gravitacional de u m a caroço de pré-supernova, usando um cálculo adiabático
simplificado da dinâmica do caroço de supernova. O colapso gravitacional foi descrito a partir
de u m a lagrangiana efetiva do sistema, c o m o caroço sendo dividido e m duas camadas
nomogêneas, c o m massas t a m b é m dependentes do tempo.
Investigamos t a m b é m o papel do confinamento de neutrinos sobre a transição de fase
i a matéria estelar hadrônica para o plasma de quarks e glúons num cálculo estático. A fase de
hádrons foi descrita por u m a teoria de c a m p o s covariante efetiva, optando-se pelo modelo de
Z i m a n n y i - M o s z k o w s k y apresentado no capítulo 4 , enquanto que a fase de quarks foi descrita
usando-se o m o d e l o de sacola c o m efeitos de interação do meio. O regime de transição entre
as duas fases foi construído obedecendo-se às condições de Gibbs juntamente com os vínculos
de conservação das cargas bariônica, elétrica e leptônica, esta última para o caso de
confinamento de neutrinos. Estes modelos nos permitiram construir duas equações de estado
para o regime de densidade supranuclear, u m a incluindo o confinamento de neutrinos e a
outra não, as quais foram usadas nos cálculos dinâmicos de colapso gravitacional.
Os cálculos dinâmicos de colapso gravitacional mostraram que a explosão de
supernova pode ser vista c o m o u m evento de duas c a m a d a s . Após o colapso gravitacional do
caroço, u m a parte do sistema é ejetada c o m velocidade característica de u m a explosão de
supernova, enquanto que na região central do sistema subsiste u m caroço remanescente
oscilante, gravitacionalmente ligado, com raio médio, massa e densidade características de
uma estrela de nêutrons.
M o s t r a m o s que, de acordo com esses modelos, o confinamento de neutrinos inibe
fortemente a formação de u m caroço híbrido remanescente nos instantes finais do colapso
gravitacional, pois as densidades limiares para a transição de fase não são e m geral atingidos
durante o colapso gravitacional. Entretanto, frisamos que após o processo de resfriamento da
proto-estrela de nêutrons, q u a n d o então, os neutrinos j á terão abandonado o sistema e a
equação de estado tiver se tornado mais m o l e , passará a existir a possibilidade desta estrela se
cornar híbrida.
5.3 Perspectivas
Acreditamos que esse modelo simplificado tem o principal mérito de incluir a física
essencial do processo da explosão de supernovas e relacionar o m e s m o c o m a formação de
u m a estrela de nêutrons, o que, até onde p u d e m o s investigar, nunca foi feito. Por outro lado.
algumas das simplificações feitas são drásticas, como por exemplo, a simulação do caroço em
87
apenas duas carnadas, quando sabemos q u e essa separação é suave. U m a perspectiva para o
futuro é a inclusão de mais camadas e a investigação do limite hidrodinámico. U m outro
^onto importante, sobre o qual, infelizmente, temos m e n o s controle são as equações de estado
utilizadas tanto para os hádrons c o m o para os quarks. Elas são deduzidas de modelos efetivos
e ainda assim, consideradas apenas na aproximação de c a m p o médio. A obtenção de urna
equação de estado a partir de primeiros princípios (em sonhos, a QCD!!!), é um objetivo
difícil, porém altamente desejável. O que p o d e ser feito em curto prazo, é considerar modelos
efetivos que, pelo menos, retenham a l g u m a s das simetrias da teoria fundamental como, por
exemplo, a simetria quiral, que sabidamente, tem um papel crucial na descrição dos hádrons
eves. U m a possibilidade seria o m o d e l o de N a m b u - J o n a Lasinio e suas extensões. Apesar
disto, acreditamos que as características globais do processo não devem depender muito
destas questões.
88
APÊNDICE A
O Equilíbrio Hidrostático
A energia total da estrela, na ausência de m o v i m e n t o macroscópico, é dada por:
M
Mf
n
^ " im
E=] (S,p)dm-]
E]
oV '
/
A
2
onde m = j47ür p
dr é a massa dentro da esfera de raio r e p é a densidade. O I
o
termo se
o
refere à energia interna e o 2
o
à gravitacional.
U s a n d o a identidade termodinâmica para a
pressão P:
P= -
a
onde S é a entropia, p o d e m o s então calcular a I variação da energia total:
SE = +^y
5pdm +
G^jlmôr
(A.l)
a
Transformamos a 1 integral em:
J
5pdm = -jPÕ
\
r
I
— im =
-\põUnr
P)
89
dm
im
M j
= -[SnP—rôrdmdm
M
2
\Anr PÔ
J
J
M
M
Jm
dr
= - í 8nP — rôrdm + í An
J
dm
J
M
r
-
SnP\
Jo
(dr_~\
d
—(Pr
dm
rim
r.
Anr'
)Srdm
Ur ^
t
J dP\
:
>-õrdm + Anr
brdm + \Sn Pr
5rdm
d m
dm j
J
J
\ rim
)
\ rim J
M
( dr\
M
2
D
M
2
dm
j
M
K
,(dP\
—
8rdm
dmj
y
F
M
JAnr
o
V
dP
Anr
dP
pdr
drdm
5rdm
pdr )
Substituindo em (A. 1) e fazendo õE = 0 . temos:
ou seja:
dP
Gmp
+
dr
n
= 0
7 ^
2
r
ou ainda:
dP
dr
Gmp
r
2
que é a equação de equilíbrio hidrostático.
90
APÊNDICE B
O Limite De Chandrasekhar
Consideremos u m a estrela c o m p o s t a de matéria fria (T=0). S u p o n h a m o s que a
equação de estado do gás de elétrons livres possa ser representada pela equação de estado de
um gás politrópico, onde a pressão é d a d a pela relação
P =
r
Kp
(B.l)
onde p é a densidade de m a s s a do meio, K é uma constante e T é o índice adiabático definido
Dor
r=
dlnP
(B.2)
d lnp
6
Se p « 1 0
3
g/cm , o gás de elétrons está no domínio não-relativístico, e o índice
adiabático é 5/3. Neste caso, a pressão é d a d a por
P = 1.0036x10
13
_P
erg I cm'
(B.3)
onde FI é o peso molecular m é d i o por elétron definido c o m o
E
(B.4)
^
A
Z , , Ai, Xi são respectivamente o n ú m e r o atômico, o número de massa e a fração em massa do
elemento i.
Se p » 1 0
g/cm" , os elétrons estão no regime ultra relativístico de energia, V
assume o valor 4 / 3 , e a equação de estado é dada por
P = 1.2435X10
15
(B.5)
y
erg I cm
A equação de equilíbrio hidrostático ( l . D pode ser escrita na forma:
91
\_d_ fr^dP"
2
r
P dr
dr
- -AnGp
(B.6)
t
Introduzindo-se as variáveis 0 e èj, definidas de m o d o a que tenhamos
p
(B.7)
=P e"
e
(B.8)
= a£
onde
1/2
—i
(* + i)gp;
a =
(B.9)
4^Gp
o.- é a densidade central e n é o índice politrópico d a d o pela relação
(B.10)
r =i+n
P o d e m o s expressar a Eq. B.6 na forma adimensional conhecida c o m o equação de
L a n e - E m d e m para u m politropo de índice n
(B.ll)
Este formalismo permite determinar o raio, a m a s s a m á x i m a e o perfil de densidade de
u m a esfera c o m p o s t a de u m gás politrópico em equilíbrio, p o d e n d o ser aplicado em u m a
análise aproximada da estrutura de anãs brancas da seguinte maneira:
Aplicando as seguintes condições de contorno para o centro da esfera
0 ( r = O) = l
(B.12)
— (r = 0) = 0
(B.13)
A condição B.12 vem diretamente de B.7 e a equação B.13 vem do fato
m(r)~
3
4np r /3
p r ó x i m o do centro de m o d o que pela Eq. 1.1 (Equilíbrio Hidrostático),
c
dP(p)Ldr
= 0 = dp Idr
P(
r
=
de
R) = p (
J
r
no centro. E para r = R. sendo R o raio da esfera politrópica
=
j R
) o,
=
s=é,,
e(s,)
= o
p o d e m o s integrar n u m e r i c a m e n t e a e q u a ç ã o de L a n e - E m d e m , c o m e ç a n d o e m £ = 0 com as
condições de contorno B.12 e B . 1 3 . Se n < 5, i.e., T > 6/5, as soluções
92
decrescem
monotonicamente até o zero e m Ç =Ç ,: 0 ( 1 , ) = 0 . Este ponto corresponde a superfície da
estrela onde P = p - 0 . O b t e m o s assim a seguinte expressão para o raio da esfera:
R = aÇ =
\-n_
72
'(n + l)K
(B.14)
i
4KG
2
M =
J4NR pdr
i
M
2
n
=4NA p jÇ 6 dÇ
c
Eliminando 0" na equação acima através de B.7 e usando B.l 1:
de
í-
í
M = -47TA p
c
Usando-se a Eq B.9 para eliminar a na equação anterior, obtemos
M
\n + \)K
-,3/
'2
=4K
3-n
2
P"
AKG
(B.15)
2
É, |e-fé.)|
Eliminando-se p através das Eqs. B.14 e B.15, chegamos à seguinte relação entre a
massa e o raio de u m a esfera politrópica
c
3-n
M
1
=4TÜR -"
{n + \)K
4KG
n-l
^ ,
2
(B.16)
0 ' ( £ , )
Soluções para dois casos particulares nos interessam, especificadas pelos seguintes
narâmetros:
Gás de elétrons não relativísticos presente e m u m a anã branca c o m baixa densidade
central:
r = |,
n = | ,
£ ,= 3.65375,
2
£ |é> {q , ) | = 2.71406
(B.17)
b) Gás de elétrons extremamente relativísticos presente em anãs brancas com alta
densidade central:
93
r =|,
2
« = 3,^=6.89685,
£ \0
(B.18)
, )| = 2.01824
N o primeiro caso, o raio e a m a s s a total para as configurações de equilíbrio são dados
pelas expressões
Y
Pc
R = l. 1 2 2 x 1 0 '
IO g / cm
6
T
(
R
M = 0.7011
J0 km
4
l / 6 ^
y
5
/
6
(B.19)
/cm
3
v
M
(B.20)
2
)
N o segundo caso obtemos
-1/3
R = 3.347x10' í
v
M = M
Ch
A
IO
6
g/
]
3
cm ,
l
= 1.457
4
10 Â:m
2
2
(B.21)
J
(B.22)
M.
E m resumo, quando s u p o m o s o limite extremamente relativístico para o gás de
elétrons, obtemos u m a expressão para a massa que é independente de R e p . O valor
encontrado é justamente o limite de Chandrasekhar que fornece o valor m á x i m o possível para
a massa de u m a A n ã Branca. O valor desse limite depende do número relativo dos elétrons e
dos nucleons. Quanto maior a proporção dos elétrons, maior a pressão eletrônica, e maior é a
massa limite. Observe t a m b é m que a dependência do limite de Chandrasekhar com a
composição química da estrela está inteiramente embutida no peso molecular médio por
elétron, fl . Assim, para u m a estrela c o m p o s t a de núcleos relativamente leves, para os quais fL
- 2 , temos que
c
e
JÍ
C
A
«1.46
e
M
0
5 6
Para u m caroço totalmente sintetizado a F e , c o m o se presume existir nos instantes
que precedem o colapso gravitacional de u m a gigante vermelha, M
~ 1.24M .
Ch
94
S
APÊNDICE C
O Modelo de Sacola do M.I.T.
Introdução
Apresentaremos brevemente o m o d e l o de sacola do M.I.T, que foi u s a d o no nosso
trabalho de mestrado. Nesse trabalho de doutorado, usaremos u m a variação desse modelo
para o cálculo da equação de estado.
Espera-se que a transição para matéria de quarks ocorra quando a matéria nuclear for
comprimida tanto, que seus constituintes hadrônicos se sobrepõem uns aos outros. Nestas
circunstâncias, quarks em diferentes h á d r o n s podem se intercambiar livremente e os graus de
liberdade da matéria ficam sendo os dos quarks. A matéria fica então m e l h o r descrita por
quarks que constituem os hádrons, do que por hádrons. D e v e m o s enfatizar que a densidade de
matéria nuclear ( l x l O ) é só u m p o u c o menor que a da matéria hadrônica ( 2 . 8 x l 0 ) .
Hádrons no núcleo estão quase se s o b r e p o n d o e basta u m a pequena c o m p r e s s ã o para que a
transição ocorra.
1 4
1 4
O Modelo de S a c o l a
A teoria de quarks e glúons, a cromodinâmica quântica, ou Q C D , contém dois
aspectos fundamentais: liberdade assintótica e confinamento. Esses dois aspectos são
incorporados ao m o d e l o de sacola da seguinte maneira:
- dentro da sacola as interações n ã o são consideradas (ou são tratadas com teoria de
perturbação de ordem mais baixa)
-fora da sacola quarks são proibidos de existir c o m o partículas livres. Isto é alcançado,
dando-se ao vácuo u m a densidade de energia constante B que m a n t é m quarks e glúons
confinados em pequenas regiões do e s p a ç o .
Está-se considerando os hádrons c o m o sacolas com quarks e glúons dentro. A energia
de u m hádron é então composta de duas partes: a energia associada ao volume da sacola
devida à densidade de energia finita do v á c u o e a energia devida à energia cinética dos quarks
dentro da sacola.
O modelo de sacola tem sido u s a d o para descrever a matéria de quarks e glúons não
apenas dentro dos hádrons, c o m o t a m b é m e m qualquer volume fechado finito. É por isso que
usamos este m o d e l o nas estrelas de nêutrons. A diferença de energia entre o estado
fundamental do vácuo físico até o vácuo Q C D dentro da sacola é alcançado adicionando-se o
termo.
95
N o modelo de sacola, as equações d e estado para o plasma de quarks e glúons são
dadas por [12]:
P = i(e-4B)
N N,
C
K'
4
4
4
2
2
—n T +-n T ii-+^
60
2
A
2
9
4
+ — Nn T
15 "
4
onde Nf é o n ú m e r o de sabores de quarks leves, N
glúons no plasma. T e a temperatura.
96
c
+B
o número de cores e N g o número de
Apêndice D
Notações e Convenções
Os quadrivetores contravariantes q u e aparecem no texto são definidos c o m o :
9
M
-
=•
dx'
-V
E os quadrivetores covariantes por:
p \i = (£>-p)
,V
9„ =•
dx'
dt
Com essa norma, o tensor métrico é dado por
(\
0
0
-
0
1
0
0 ^
0
v
g" =g
0
0 - 1 0
0
0
0
-1
Se a e b são dois quadrivetores, então o produto escalar entre eles fica escrito:
a.b = a b^
u
v
=a^g^ b
v
=a°b°
-a.b,
e. de forma análoga
97
Os índices gregos a s s u m e m valores d e 0 a 3 enquanto que os índices latinos assumem
valores de 1 a 3.
As matrizes de Dirac o b e d e c e m às seguintes regras de comutação:
Observe ainda que
2
(r°) =i
2
(rV) =i
{v°,y<}=0
f
y/i
~
A
A
rVr
s
V.
A matriz y
5
y 5 =
)
é definida por
f
= i r ° r
]
r
2
r
3
Os espinores de Dirac satisfazem as relações:
(i'y a"
-m)u(k,h)=0
M
(iy^d*
+m)
u { k , X ) ( i y ^ *
a ( k , x f i y ^ d ^
u (k,X)u{k.?C)=
a(k,X)=0
-m)=0
+m)=0
a {k,X]u-{k.X')—
8...
m
u(k, X)u{k.X' )= v-{k, À,)v(k.A.' )= ô.
2
2 11
(k
+m ) '
98
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