2002 - CMUP

CENTRO DE MATEMÁTICA
da UNIVERSIDADE DO PORTO
DIA ABERTO
15 e 16 de Novembro de 2002
Fac. de Ciências da Universidade do Porto
(Dep. de Matemática Pura)
Anfiteatro 0.03
Rua do Campo Alegre, 687
4169-007 Porto
Programa em:
http://www.fc.up.pt/cmup (em Actividades)
Oradores Convidados:
Filomena d’Almeida (CMUP, FEUP)
Georgui Smirnov (CMUP, FCUP)
Inês Cruz (CMUP, FCUP)
Manuel Delgado (CMUP, FCUP)
Sofia Castro Gothen (CMUP, FEP)
Ana Cannas (IST, Lisboa)
Andrei V. Sarychev (Univ. Aveiro)
Marcelo Viana (IMPA, Brasil)
Marco Mackaay (Univ. Algarve)
Pedro Resende (IST, Lisboa)
O CMUP convida todos os alunos e professores da UP, a
participarem nesta iniciativa.
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O que é o CMUP ?
O CMUP (Centro de Matemática da Universidade do Porto),
foi fundado em 1942 com o objectivo de promover a investigação matemática e a divulgação do conhecimento matemático
em geral. É um organismo integrado no Departamento de
Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade
do Porto.
O CMUP promove regularmente a realização de vários seminários cientı́ficos, entre os quais se destacam: o “Seminário de
Semigrupos”, o “Seminário de Sistemas Dinâmicos”, o “Seminário de
Representações de Álgebras e Geometria”, o “Seminário do Semigrupo
Dinâmico” e o “Seminário de Geometria e Topologia”. O CMUP
apoia ainda regularmente a realização de vários congressos cientı́ficos, dos quais se destacam os “Recent Trends in Dynamics” e
ainda os “Oporto Meetings on Geometry, Topology and Physics”.
O CMUP promove ainda várias actividades de divulgação
matemática, entre as quais se destacam: o “Dia Aberto do Centro de Matemática da Universidade do Porto” e ainda o “Ciclo de
Divulgação Matemática”.
O CMUP, em colaboração com a APM (Associação de Professores de Matemática), tem acessı́vel na página internet do
CMUP, um “Consultório Matemático”, no qual se pretende dar
resposta à curiosidade cientı́fica de todos os interessados em
questões de ı́ndole matemática e ainda promover a discussão
sobre temas dessa mesma ı́ndole.
Todas estas informações estão permanente actualizadas e acessı́veis na página:
http://www.fc.up.pt/cmup
Se deseja manter-se informado sobre as actividades do Centro
de Matemática da Universidade do Porto envie, a partir da sua
conta habitual de correio electrónico, uma mensagem para o
endereço [email protected], cujo único texto seja: subscribe
semcmup. O seu endereço ficará inscrito numa lista de correio
electrónico para a qual serão enviadas todas informações.
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PROGRAMA
Sexta-feira
10h:00 - 10h:10
Abertura
10h:10 - 11h:00
11h:00 - 11h:30
11h:40 - 12h:30
Filomena Dias d’Almeida
Coffee Break(1)
Inês Cruz
12h:45 - 14h:45
15h:00
16h:00
17h:00
17h:40
-
15h:50
16h:50
17h:30
18h:30
Almoço
Sofia Castro Gothen
Georgui Smirnov
Tea Break(1)
Manuel Delgado
20h:00 -
(1)
(2)
15 de Novembro
Jantar do Dia Aberto
(2)
: Coffee e Tea Break: “Bar da Matemática - piso 2”
: Jantar do Dia Aberto: “Restaurante ABADIA, Rua Ateneu Comercial 22, Porto”
Tel: 22-2008757
Se desejar ir ao Jantar do Dia Aberto envie um mail para [email protected]
ou [email protected], até 12 de Novembro.
Sábado
10h:10 - 11h:00
11h:00 - 11h:30
11h:40 - 12h:30
12h:45 - 14h:15
14h:30
15h:30
16h:30
17h:00
-
15h:20
16h:20
17h:00
17h:50
16 de Novembro
Pedro Resende
Coffee Break(1)
Andrei Sarychev
Almoço
Marco Mackaay
Ana Cannas
Tea Break(1)
Marcelo Viana
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Tı́tulos e Resumos
Ana Cannas
[email protected]
(IST, Lisboa):
“Geometria em dimensão 4.”
Resumo: As variedades de dimensão 4 têm um máximo interesse geométrico, além de serem centrais
em Fı́sica. Far-se-á um breve levantamento do mundo dim 4, com ênfase na trilogia de estruturas que
têm permitido avançar a exploração deste mundo: simpléctica, riemanniana e complexa. Explicar-seá a existência, em todas as variedades de dim 4 orientáveis, de uma estrutura simpléctica dobrada,
relacionada com a matéria-prima para os invariantes mais populares.
Andrey Sarychev
[email protected] (Univ. Aveiro):
“High-order averaging and stability of time-varying systems.”
Resumo: We study the questions of stability and asymptotic stability for time-varying systems
described by ODE’s with periodic (in particular with fast oscillating) right-hand sides. The systems
of this kind are interesting for their own sake; they are also essential for studying stabilizing effect of
vibration and for design of time varying stabilizing feedback laws for the systems which can not be
stabilized by time-invariant feedback. Systems with a deficit of control” are natural examples of this
kind.
Verifiable criteria for (asymptotic) stability are often lacking even for linear time-varying systems.
Main approach to the stability study - Lyapounov direct method - encounters difficulties, especially
when dealing with fast oscillations.
Our approach is a kind of high-order averaging procedure which is based and makes use of the
tools of chronological calculus developed in 70’s. The method is coordinate-invariant - the high-order
averagings are computed via Lie algebraic brackets of vector fields involved in the right-hand sides.
We apply these high-order averaging methods to study stability for both the linear and nonlinear
systems. In particular we derive conditions of stability for the second and third order linear differential
equations with periodic fast-oscillating coefficients, study output-feedback control stabilization of bilinear systems, consider averaging procedures of stabilization of nonholonmic (control-linear) systems
by means of time-varying feedbacks.
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Filomena Dias d’Almeida
[email protected]
(CMUP, FEUP):
“Aplicação de álgebra linear numérica no tratamento de um problema
integral fracamente singular.”
Resumo: Vamos tratar da aproximação numérica da solução de uma equação integral de Fredholm de
2.a espécie fracamente singular. O problema será tratado no espaço de Banach das funções integráveis,
no sentido de Lebesgue, num intervalo finito I. O núcleo do operador integral faz intervir a primeira
função exponencial integral. A aproximação numérica baseia-se numa sucessão de projecções sobre
subespaços de dimensão finita gerados por n funções parcelarmente constantes em cada subintervalo
do intervalo I determinado por uma partição não uniforme de n + 1 pontos de I. Para obter soluções
com uma precisão equivalente ao método de projecção sobre um subespaço de grande dimensão sem
resolver o sistema linear a ela correspondente, descreveremos fórmulas de refinamento iterativo de
soluções aproximadas de pequena dimensão. Além disso usaremos técnicas de processamento paralelo
e matrizes esparsas para acelerar os cálculos. O exemplo de aplicação a apresentar diz respeito a uma
equação de transporte radiativo que ocorre em Astrofı́sica.
Georgui Smirnov
[email protected]
(CMUP, FCUP):
“Teoria matemática da moagem.”
Resumo: Consideram-se modelos que descrevem vários processos de moagem e de formação de pó.
Os modelos contêm operadores integrais, chamados operadores integrais de moagem, e podem ser
utilizados para estudar, controlar e optimizar as distribuições dos tamanhos das partı́culas do pó
obtido como resultado da moagem. A maior atenção será dada à dedução da forma dos operadores
integrais de moagem, a partir de modelos geométricos de partição das partı́culas.
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Inês Cruz
[email protected]
(CMUP, FCUP):
“Estruturas de Poisson singulares.”
Resumo: Serão apresentados os exemplos clássicos de variedades de Poisson: variedades simplécticas
e duais de álgebras de Lie. Usar-se-á o Teorema da Decomposição de Weinstein para reduzir o estudo
local destas estruturas ao caso singular. Serão apresentados alguns casos interessantes no domı́nio de
estruturas de Poisson singulares e respectivas formas normais (caso existam). Dar-se-á especial ênfase
ao caso de existência de formas normais lineares.
Marcelo Viana
[email protected]
(IMPA, Brasil)
“Rumo a uma teoria de sistemas dinâmicos caóticos”
Resumo: No inı́cio do século vinte, a mecânica quântica propôs que no nı́vel das partı́culas
subatómicas a evolução do universo é regida por leis probabilı́sticas, que deixam espaço para a incerteza e imprevisibilidade. Um novo ataque, bem mais profundo, aos princı́pios básicos do determinismo occorreu a partir dos anos 60, com a descoberta de que mesmo sistemas com leis de evolução
simples e determiniı́stica podem ser amplamente imprevisı́veis, devido a que a sua evolução depende
dramàticamente do estado inicial, que nunca é conhecido com precisão total. O desafio de desenvolver
uma teoria matemática deste fenómeno e dos sistemas dinâmicos em que ele ocorre tem conduzido a
importantes avanços, dos quais tentarei dar uma breve panorâmica.
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Marco Mackaay
[email protected]
(Universidade do Algarve):
“Teoria das representações categóricas.”
Resumo: Inspirados por ideias na Teoria Quântica Topológica do Campo, Kapranov e Voevodsky
(1991) desenvolveram uma teoria de Álgebra linear categórica, em que em vez de conjuntos com uma
estrutura linear, i.e. espaços vectoriais, consideram categorias com uma estrutura linear, a que deram
o nome de 2-espacos vectoriais. Tambem definiram representações categóricas para categorias com
”um produto” (categorias monoidais), i.e. ”categorificaram” a teoria de representações de grupos e
Álgebras. No entanto não estudaram nenhum exemplo concreto de uma representação categórica.
Em colaboração com John Barrett estudei as representações categóricas de grupos categóricos, que
são categorias com um produto functorial que satisfaz os axiomas de grupo a menos de isomorfismos
naturais. Conseguimos uma classificação total das representações categóricas, mais os ”intertwiners”.
Na minha apresentação darei alguns factos básicos sobre grupos categóricos e alguns exemplos, e
depois explicarei os nossos resultados acima mencionados.
Manuel Delgado
[email protected]
(CMUP, FCUP):
“Núcleos Abelianos e Semigrupos Solúveis.”
Resumo: O núcleo Abeliano KAb (S) de um semigrupo S consiste de elementos de S que de algum
modo estão relacionados com o elemento neutro de qualquer grupo Abeliano finito. Pode provar-se
que se trata de uma generalização do conceito de subgrupo derivado de um grupo. Por analogia com o
caso dos grupos em que o conceito de grupo solúvel se pode definir considerando iterados do operador
“subgrupo derivado”, usamos iterados do operador KAb para definir semigrupo solúvel.
Falarei numa caracterização dos semigrupos solúveis cujos idempotentes comutam (obtida em
colaboração com V. H. Fernandes) e de algumas generalizações (obtidas em colaboração com V. H.
Fernandes, S. Margolis e B. Steinberg).
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Pedro Resende
[email protected]
(IST, Lisboa):
“Quantales em geometria não comutativa”
Resumo: Um quantale é um reticulado completo equipado com uma multiplicação associativa que
preserva supremos em ambas as variáveis. Um exemplo de quantale é a topologia de um espaço
topológico, com multiplicação definida pela intersecção de conjuntos abertos, ou o reticulado completo
de todos os subgrupos aditivos de um anel, com multiplicação definida por:
X · Y = {x1 y1 + · · · + xn yn : xi ∈ X, yi ∈ Y }
Por exemplo, a topologia de Zariski de um anel comutativo é uma imagem homomorfa deste último
quantale. Para uma k-álgebra topológica o conjunto dos k-submódulos fechados também forma um
quantale e mostrarei nesta palestra que, no caso de uma C ∗ -álgebra complexa com unidade, um teorema de Giles e Kummer (1971) permite-nos reconstruir completamente a C ∗ -álgebra a partir do
quantale, o que confere algum legitimidade à ideia de que este é o “espectro não comutativo” da
álgebra. Discutirei também algumas dificuldades que persistem quando comparamos com o caso comutativo, e exemplos com a ajuda dos quais se procura contorná-las, como o do espaço não comutativo
das pavimentações de Penrose.
Sofia Castro
[email protected]
(CMUP, FEP):
“Simetria em Problemas de Bifurcação.”
Resumo: Um problema de bifurcação é caracterizado por uma variação nas suas soluções em
função de, pelo menos, um parâmetro. Vamos considerar problemas de bifurcação descritos por
equações diferenciais ordinárias (EDO) e referir algumas maneiras de lidar com simetria existente no
problema. Se o problema tiver alguma simetria, essa informação deve transparecer na EDO que o
representa, sendo essencial para a construção de formas normais para o problema. A simetria pode
(e deve) ser usada para simplificar o problema, podendo ser obtida grande quantidade de informação
através do reticulado de subgrupos de isotropia do grupo de simetria do problema. É possı́vel usar
a simetria para reduzir o espaço de fase sem perda de informação, o que facilita a procura de ciclos
heteroclı́nicos caracterı́sticos de um comportamento dinâmico complicado.