Cap´ıtulo 7 Pesquisas Eletrônicas, Processadores de Texto e

Transcrição

Capı́tulo 7
Pesquisas Eletrônicas, Processadores de
Texto e Hipertexto
Introdução
O advento das tecnologias digitais abriu novas possibilidades para a produção e veiculação de informação
em larga escala. Tanto as formas de acesso à informação quanto as formas de organização, expressão
e registro do conhecimento como texto escrito vêem se transformando cada vez mais rapidamente – às
vezes mais rapidamente que nossa própria capacidade de adaptação aos novos modelos. Evidentemente,
essas transformações têm impactos importantes na sala de aula, e o ensino de Matemática não é uma
exceção.
Iniciaremos este curso abordando possibilidades de busca e organização de conteúdos matemáticos
oferecidas pelas novas tecnologias computacionais para uso em sala de aula. Assim, este primeiro capı́tulo não enfocará propriamente o uso de recursos computacionais para o ensino de conceitos matemáticos
especı́ficos (que será a tônica dos capı́tulos subseqüentes). Tampouco nos aprofundaremos nas questões
complexas sobre as novas formas produção e veiculação de conhecimento acadêmico. Nosso objetivo
limita-se a apresentar e discutir algumas formas de aproveitar recursos computacionais para elaborar
textos matemáticos (curtos ou não) para uso em sala de aula. A elaboração de pequenos textos (sejam
textos teóricos ou listas de exercı́cios) pelo professor pode se constituir em um enriquecimento importante para os livros didáticos convencionais, pois confere ao professor a autonomia para aprofundar e
complementar a abordagem dos conteúdos com base no conhecimento dos alunos que só ele próprio
pode ter.
7.1
Pesquisas Eletrônicas
Cada vez mais o acesso à Internet permite a qualquer indivı́duo recursos que permitem a procura
por todo o tipo de informações, documentos, notı́cias, aplicativos, sugestões para a sala de aula,
conteúdos matemáticos, livros e praticamente tudo que temos no mundo real está de algum modo
disponı́vel no mundo virtual, além da facilidade de comunicação. A rede mundial de computadores é
por outro lado uma ferramenta para publicação e divulgação de todo o tipo de produção, e por este meio
configura-se um espaço onde podemos disponibilizar ao grande público qualquer produção individual,
sem a necessidade de maiores controles em relação ao que se deseja publicar. E neste cenário de
interação virtual em atividades diversas atuam professores, licenciandos, alunos, a famı́lia, formadores,
pesquisadores dentre outros profissionais.
Os diversos aplicativos e ferramentas possibilitam a formação de comunidades virtuais que por meio
213
214 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRÔNICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO
de trabalho colaborativo ou individual trabalham com o objetivo de prover e trocar os mais diversos
tipos de informações. No ensino de Matemática é usual um grande volume de informações por estes
canais. O professor que busca por pesquisas eletrônicas para atividades educacionais ou para própria
formação necessita cuidado quanto a natureza e alcance destas atividades, uma vez que na maioria
das vezes não existem mecanismos de controle e certificação acadêmica a respeito de muitas das informações disponı́veis nos meio eletrônicos. Mantendo o cuidado em confrontar as informações colhidas
por pesquisas eletrônicas com produções acadêmicas é possı́vel utilizar em diferentes possibilidades de
aprendizagem, bem como em atividades que podem contribuir para o ensino de diversos conteúdos a
partir de valorosas contribuições disponibilizadas na rede.
Dar exemplos de coisas inadequadas na internet.
7.2
Processadores de Texto e Hipertexto
Ao redigir textos matemáticos, enfrentamos comumente algumas dificuldades particulares, no que diz
respeito tanto à forma da redação quanto à organização de seu conteúdo. As dificuldades quanto à
forma devem-se ao fato de a Matemática usar sı́mbolos gráficos próprios, além daqueles que constituem escrita usual (quase como se tratasse de outra lı́ngua, com um alfabeto próprio). Os sı́mbolos
matemáticos não estão disponı́veis (pelo menos de forma adequado) nos editores de texto convencionais. O LATEX é o processador de texto padrão em Matemática, que permite a representação gráfica
de qualquer sı́mbolo matemático, além de dispor de outros recursos importantes para a edição de textos. Quanto à organização de conteúdo, pode ser interessante estabelecer ligações múltiplas entre as
idéias matemáticas que queremos expor, de forma a apontar as relações de um mesmo tópico com
vários outros. Para este fim, pode não ser suficiente organizar o texto em estrutura linear, em que os
tópicos vão simplesmente se sucedendo uns aos outros e cada um deles liga-se diretamente apenas ao
precedente e ao seguinte. Neste caso, pode-se recorrer a uma estrutura em rede, em que cada tópico
não precisa estar ligado somente a um precedente e um seguinte, mas a vários outros. Este tipo de
estrutura chama-se hipertexto.
Editando Textos Matemáticos
Nesta seção, apresentamos apenas uma introdução geral a alguns dos recursos mais básicos do LATEX,
que permita a preparação de pequenos textos teóricos, provas, ou listas de exercı́cios. Para uma
abordagem mais abrangente sobre o LATEX, porém ainda acessı́vel, recomendamos a leitura de [18].
Para os que desejem se aprofundar mais, há diversas referências disponı́veis, como por exemplo [31],
além de uma extensa variedade de recursos disponı́veis na internet.
Antes de mais nada, é preciso entender que o LATEX não é um editor de texto convencional, e sim uma
linguagem de programação. Isto significa que os textos não são digitados e visualizados diretamente
(como nos editores convencionais). Os documentos LATEX são programados, por meio de um código
sintaxe especı́fica, e compilados para que o texto seja gerado. As estruturas básicas dessa sintaxe são:
• comandos (identificados pelo sı́mbolo \);
• ambientes (demarcados pelos comandos \begin e \end).
Uma estrutura mı́nima para um documento em LATEX é exemplificado na figura 7.1 a seguir. O texto
propriamente dito deve ser digitado entre os comandos \begin{document} e \end{document} (isto
é, dentro do comando document). Esta é a parte que será visualizada após a compilação do arquivo. A
parte anterior ao comando \begin{document} é chamado preâmbulo e nela devem ser declaradas as
configurações quanto à formatação do documento. A declaração mı́nima no preâmbulo é o comando
7.2. PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO
215
\documentclass, que indica o estilo (que define a formatação geral) e o tamanho de letra padrão para
o documento (no caso do exemplo da figura 7.1, article e 12pt, respectivamente). Há outros estilos
disponı́veis em LATEX (como report e book), e também é possı́vel criar um próprio, porém article é
o mais simples e conveniente para redigir pequenos textos. No preâmbulo também é possı́vel declarar
outras propriedades gerais da formatação do documento, tais como tamanho das páginas e das margins,
estilo de paginação, etc.
\documentclass[12pt]{article}
\begin{document}
\end{document}
Figura 7.1: Estrutura mı́nima para um documento LATEX.
Além disso, em LATEX devemos diferenciar o modo de texto comum do modo matemático, usado
para representar a simbologia matemática. Há duas formas principais de demarcar o modo matemático
em LATEX: $ e $$. A diferença é que o demarcador simples $ gera a simbologia matemática dentro da
própria linha de texto, e faz algumas adaptações de formato para tornar o sı́mbolo menor, enquanto
o demarcador duplo $$ gera a simbologia em destaque, centralizado em uma linha. Esta diferença é
exemplificada nos quadros a seguir, em que mostramos os códigos fonte LATEX e os respecvos resultados
gerados.
Exemplos: Demarcadores de modo matemático.
1. Se tentarmos resolver a equa\c{c}\~ao racional
$$\frac{1}{x^2+1} = 1$$ n\~ao encontraremos
solu\c{c}\~oes reais.
Se tentarmos resolver a equação racional
x2
1
=1
+1
não encontraremos soluções reais.
2. Se tentarmos resolver a equa\c{c}\~ao racional
$\frac{1}{x^2+1} = 1$ n\~ao encontraremos
solu\c{c}\~oes reais.
Se tentarmos resolver a equação racional
x2
1
=1
+1
não encontraremos soluções reais.
Os exemplos acima ilustram ainda alguns aspectos importantes da sintaxe de LATEX:
• Alguns comandos de LATEX dependem de parâmetros que, neste caso, são demarcados por: { }.
Por exemplo, este é o caso do comando \frac, que aparece nos exemplos acima. O comando
serve para representar frações e depende de dois parâmetros, que correspondem ao numerador e
ao denominador.
• Quebras de linha e espaços digitados no código fonte em LATEX não geram quebras de linha e
espaços correspondentemente no resultado gerado. Este é um recurso que permite melhor organização do código fonte, pois as quebras de linha e os espaços podem ser usados para este fim.
Há comandos especı́ficos para gerar espaços horizontais e verticais no modo matemático e no
modo texto.
• A sintaxe para gerar acentos em LATEX segue o padrão: \ acento letra. Com isso, podemos botar
qualquer acento sobre qualquer letra, não apenas as vogais usualmente acentuadas em português.
Por exemplo, os códigos \~n e \^z geram ñ e ẑ, respectivamente. O comando \c gera o sinal de
cedilha, que também pode se posto sob qualquer letra. Por exemplo, \c{s} gera ş. Há editores
de código LATEX que simplificam esta sintaxe, permitindo incluir os acentos como fazemos nos
editores de texto usuais, inclusive com correção ortográfica.
A seguir, veremos como escrever simbologia no modo matemático. Os quadros abaixo, mostram
alguns exemplos genéricos de códigos fonte LATEX, seguidos dos respectivos resultados gerados, em
que procuramos percorrer os sı́mbolos mais usados: sinais da quatro operações elementares; sinais
de diferente, maior ou igual e menor ou igual; ı́ndices inferiores e superiores; frações; letras gregas;
funções trigonométricas; logaritmos; somatórios; limites; integrais; quantificadores e implicações lógicas;
operações e relações entre conjuntos. Em todos os exemplos o modo matemático foi demarcado com
$$. Experimente escrever os exemplos 2, 5, 8, 9 e 11 demarcando com $, e observe as diferenças de
formatação.
Exemplos: Simbologia matemática em LATEX.
1. \{ [ (2+3) - 5 ] \times 6 \} \div 7 \neq 1
{[(2 + 3) − 5] × 6} ÷ 7 6= 1
2. \sqrt[4]{ \frac{1}{4} } = \frac{\sqrt{2}}{2}
r
√
2
4 1
=
4
2
3. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \: \forall\, a,b\in\mathbb{R}
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ∀ a, b ∈ R
4. | |a|-|b| | \leq |a+b| \leq |a|+|b| \: \forall\, a,b\in\mathbb{R}
||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ∀ a, b ∈ R
5. \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}
x2
2
1
1
=
−
−1
x−1 x+1
217
6. \sec^2 \theta = 1 - \tan^2 \theta
sec2 θ = 1 − tan2 θ
7. (1+\alpha)^n \geq 1+n\,\alpha \: \forall\,\alpha>0,n\in\mathbb{N}
(1 + α)n ≥ 1 + n α ∀ α > 0, n ∈ N
8. \sum_{j=1}^n a_1\,q^{j-1} = a_1\, \frac{q^j-1}{q-1}
n
X
a1 q j−1 = a1
j=1
qj − 1
q−1
9. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
+∞
X
1
π2
=
n2
6
n=1
10.
\lim_{h\rightarrow0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e
1
lim (1 + h) h = e
h→0
11.
\int_1^e x^k\ln x \,dx =
\frac{e^{k+1}}{k+1} - \frac{1}{k+1} \int_1^e x^k \,dx
Z e
Z e
ek+1
1
k
x ln x dx =
−
xk dx
k
+
1
k
+
1
1
1
12.
\forall\,\varepsilon>0 \: \exists\,\delta>0 \:|\:
0<|x-x_0|<\delta \: \Rightarrow \: |f(x)-a|<\varepsilon
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − a| < ε
13.
2|n \Leftrightarrow 2|n^2
2|n ⇔ 2|n2
14.
\Omega = \{ x\in\mathbb{R} \:|\: x\not\in\mathbb{Q} \} \subset
\mathbb{\R}
Ω = {x ∈ R | x 6∈ Q} ⊂ R
15.
\{ 2\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} \not\supset
\{ 3\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \}
{2 k | k ∈ Z} 6⊃ {3 k | k ∈ Z}
16.
\{ 2\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} \cap
\{ 3\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} =
\{ 6\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \}
{2 k | k ∈ Z} ∩ {3 k | k ∈ Z} = {6 k | k ∈ Z}
17.
(A\cup B) \setminus C = (A\setminus C) \cup (B\setminus C)
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
Cabem algumas observações sobre a sintaxe no modo matemático:
• O comando \mathbb serve para gerar o tipo de fonte que usamos para representar os conjuntos
numéricos N, Z, Q, R e C. Podemos usar este comando para representar qualquer letra neste
tipo de fonte, não somente as que representam usualmente os conjuntos numéricos, por exemplo:
A ou Y.
• O comando \not serve para sobrepor o traço de negação ao sı́mbolo seguinte. Assim, por
exemplo, os códigos \not\exists e \not\subset geram os sı́mbolos 6 ∃ e 6⊂, respectivamente.
• Como comentamos acima, há comandos especı́ficos para gerar espaços entre os sı́mbolos no modo
matemático. Os comandos \, \; \: que aparecem nos exemplos acima têm esta função.
Além disso, comentamos outro aspecto sobre comandos dependendo de parâmetros:
• Observe que, para gerar o sı́mbolo de raiz quarta, empregamos o código \sqrt[4]. A expressão
que aparece entre colchetes corresponde a um parâmetro opcional do comando \sqrt. De
forma geral, os comandos de LATEX podem ter parâmetros obrigatórios e parâmetros opcionais.
Os parâmetros opcionais podem ser omitidos, mas os obrigatórios devem necessariamente ser
incluı́dos no código, caso contrário a compilação indicará um erro. Os parâmetros obrigatórios
aparecem entre chaves, e os opcionais entre colchetes. Por exemplo, o comando \sqrt possui
um parâmetro obrigatório, o radicando, e um parâmetro opcional, o ı́ndice da radiciação. No
caso da omissão do parâmetro opcional, o sı́mbolo gerado será o de raiz quadrada.
Em muitos casos, deseja-se ajustar o tamanho de delimitadores de expressões matemáticas (como
parênteses, colchetes ou chaves) de acordo com o que está dentro. Em LATEX, isto é feito com os
comandos \left e \right. Veja os exemplos a seguir.
Exemplos: Delimitadores em LATEX.
1. \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) \times \frac{7}{8} =
\frac{14}{15}
1 2
3
7
+
× =
2 3
4
8
2. \left[ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \times
\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) \right] - 1 =
-\frac{5}{8}
1 1
1 1
5
+
×
+
−1=−
2 3
4 5
8
219
3. \left] \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} \right[ \subset
\left[ \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} \right[ \subset
\left[ \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} \right]
1
1
1
1
1
1
,
⊂
,
⊂
,
n+1 n
n+1 n
n+1 n
4. \mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \;|\;
\left\{ \frac{m}{n} \;|\;
m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{Z}^\star \right\}
o
nm
| m ∈ Z, n ∈ Z?
Q=
n
5. \left| \int_a^b f(x)\:dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\:dx
Z b
Z b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx
a
a
6. \|u\| = \sqrt{ \left[ \sun_{i=1}^n x_i^2 \right] }
v
!
u n
u X
kuk = t
x2i
i=1
7. \left\| \left( \frac{1}{2},\frac{2}{3} \right) \right\|^2 =
\left\langle \left( \frac{1}{2},\frac{2}{3} \right),
\left( \frac{1}{2},\frac{2}{3} \right) \right\rangle =
\frac{25}{36}
1 2 2
1
2
1
2
25
,
=
,
,
,
=
2 3 2 3
2 3
36
Para criar matrizes, tabelas ou para dispor sı́mbolos em arranjo retangular no modo matemático
em LATEX, usa-se o ambiente array. Como veremos nos exemplos a seguir, o número de colunas
e o alinhamento dos sı́mbolos em cada coluna são definidos pelo parâmetro que segue o comando
\begin{array}. Há três formas principais de alinhamento de colunas em arrays: centralizado (c), à
esquerda (l), à direita (r). Por exemplo, \begin{array}{cc} abre um array com duas colunas, todas
centralizadas; \begin{array}{lcr} abre um array com três colunas, sendo a primeira alinhada à
esquerda, a segunda centralizada, e a terceira alinha à direita. No interior de uma ambiente array,
usa-se & para mudar de coluna dentro de cada linha, e \\ para mudar de linha. Para criar arranjos
retangulares fora do modo matemática, usa-se o ambiente tabular, cuja sintaxe é exatamente a mesma
do ambiente array.
Exemplos: Tabelas em LATEX.
1. \det\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] =
ad-bc
a b
det
= ad − bc
c d
2. \left( \begin{array}{rrr}
2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2
\end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c}
2x-y-z \\ -x+2y-z \\ -x-y+2z
\end{array} \right)

   

2 −1 −1
x
2x − y − z
 −1
2 −1  ·  y  =  −x + 2y − z 
−1 −1
2
z
−x − y + 2z
3. \left\{ \begin{array}{lcc}
2x-y-z &=& 0 \\ -x+2y-z &=& 0 \\ -x-y+2z &=& 0
\end{array} \right.

= 0
 2x − y − z
−x + 2y − z = 0

−x − y + 2z = 0
4. (x+y)^n = \sum_{k=0}^n
\left( \begin{array}{c} n \\k
\end{array} \right) x^n y^{n-k}
n X
n
(x + y) =
xn y n−k
k
n
k=0
5. \begin{array}{cccl}
f: & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
& x & \longmapsto & ax^2+bx+c
\end{array}
f : R −→ R
x 7−→ ax2 + bx + c
A partir dos exemplos acima, Cabe uma observação sobre o uso de delimitadores:
• No exemplo três, desejamos delimitar o sistema com chaves à esquerda e sem nada à direita.
Em situações como essa, deve-se fechar a delimitação com o comando \end. para que definir o
tamanho ao qual o delimitador deve se ajustar.
Outra tipo de ambiente muito útil em LATEX são os ambientes tipo lista, que servem para criar listas
de ı́tens, numeradas ou não. Os dois principais tipos de ambiente tipo lista são o itemize, que gera
listas não numeradas, o enumerate, que gera listas numeradas. No interior de um ambiente lista, cada
item é iniciado com o comando item. É possı́vel configurar todos os parâmetros em um ambiente
221
tipo lista, incluindo as distâncias das margens, dos parágrafos anterior e posterior, entre os ı́tens, etc.,
além do tipo de marcador utilizado. É possı́vel também definir novos ambientes tipo lista. Entretanto,
não nos aprofundaremos nesses aspectos neste texto. Os interessados poderão encontrar um descrição
completa dos recursos dos ambientes tipo lista nas referências recomendadas.
Exemplos: Tabelas em LATEX.
1. \begin{enumerate}
\item primeiro item
\begin{enumerate}
\item primeiro subitem
\begin{enumerate}
\item primeiro subsubitem
\item segundo subsubitem
\item terceiro subsubitem
\end{enumerate}
\item segundo subitem
\item terceiro subitem
\end{enumerate}
\item segundo item
\item terceiro item
\end{enumerate}
1. primeiro item
(a) primeiro subitem
i. primeiro subsubitem
ii. segundo subsubitem
iii. terceiro subsubitem
(b) segundo subitem
(c) terceiro subitem
2. segundo item
3. terceiro item
2. \begin{itemize}
\item primeiro item
\begin{itemize}
\item primeiro subitem
\begin{itemize}
\item primeiro subsubitem
\item segundo subsubitem
\item terceiro subsubitem
\end{itemize}
\item segundo subitem
\item terceiro subitem
\end{itemize}
\item segundo item
\item terceiro item
\end{itemize}
• primeiro item
– primeiro subitem
∗ primeiro subsubitem
∗ segundo subsubitem
∗ terceiro subsubitem
– segundo subitem
– terceiro subitem
• segundo item
• terceiro item
Como já comentamos, esta seção visa apenas fornecer uma visão geral sobre o processador de texto
EX, suficiente para começar a utilizá-lo na preparação de pequenos textos para uso em sala de aula,
especialmente apostilas, provas e listas de exercı́cios. Por isso, optamos por não propor exercı́cios
especı́ficos. Procure pensar em exemplos de simbologia matemática que você queira representar e tente
expressá-los em LATEX. Se preferir, [18] contém uma grande quantidade de exercı́cios.
LAT
Organizando Conteúdos na Forma de Hipertexto
Textos convencionais são organizados em estrutura linear, na qual os tópicos se sucedem uns aos outros
de maneira seqüencial. Entretanto, dependendo de seus objetivos, um texto pode ser consideravelmente
enriquecido se são estabelecidas ligações diversificadas entre as idéias tratadas. Este é o caso de textos
matemáticos com fins didáticos, em que geralmente se deseja estabelecer ligações múltiplas que apontem
para diferentes aspectos de um mesmo conceito e para diferentes conceitos relacionados. Por outro
lado, também é desejável equilibrar essa multiplicidade de ligações, de forma que a linha principal do
texto seja preservada e este não se torne excessivamente disperso ou perca o foco. Evidentemente, em
textos convencionais, essas ligações múltiplas podem ser feitas como referências, a outras partes do
próprio texto ou a outros textos e materiais.
Em um hipertexto, os conteúdos são organizados de forma não seqüencial e não hierárquica. As
ligações (ou hiperlinks) tornam-se mais concretas e acessı́veis, pois o leitor pode, a qualquer momento
223
o leitor pode se desviar ou retornar facilmente à leitura anterior. Assim, a estrutura de hipertexto abre
a possibilidade de criar relações mais dinâmicas entre idéias abordadas e, ao mesmo tempo,
preservar a linha principal do texto. Essa estrutura permite que um mesmo material seja
percorrido de diversas maneiras – neste sentido, um hipertexto incorpora diversas possibilidades de
textos em um único material. Como o próprio leitor pode construir seu percurso através do hipertexto,
essa estrutura pode ser aproveitada pelo professor para contemplar as necessidades e os diferentes
ritmos de aprendizagem de um público diversificado de estudantes. Por exemplo, enquanto
alguns alunos podem se deter mais na revisão de pré-requisitos para um dado conteúdo, outros podem
ficar livres para explorar seus aprofundamentos teóricos.
Além disso, os hiperlinks não precisam apontar apenas para textos escritos, mas também para
materiais em outras mı́dias (tais como imagens, vı́deos, softwares, animações, jogos, etc.), que podem
ser disponibilizados tanto localmente como pela internet (caso haja possibilidade de acesso). Desta
forma, os hipertextos podem ser utilizados em processos de ensino/aprendizagem em Matemática, de
modo a contribuir para o incremento e diversificação das atividades. É claro que o uso de hipertextos
demanda a utilização de tecnologias digitais. Em particular, havendo a possibilidade de acesso à internet,
o uso de hipertextos pode permitir uma expansão do espaço da sala de aula, agregando pesquisas ou de
aprofundamentos relacionados a temas que não estariam necessariamente no contexto usual de aula, e
que, por este meio, podem ser acessados e compartilhados em ambientes virtuais. Os diversos modos
de ensino à distância, que utilizam computadores e internet como meio, fazem uso de hipertextos e
outras mı́dias para formar uma rede que interliga conhecimento. A caracterização do hipertexto, pela
possibilidade de ligação entre um grande número de textos e outros materiais enredados de modo
não seqüencial, permite a criação de diversificadas possibilidades de atividades. A própria internet
está repleta de materiais (com fins educacionais ou não) estruturados em forma de hipertexto (por
exemplo, Wikipedia é um grande hipertexto). Podemos assim propor atividades em disponibilizamos
aos estudantes indicações de hiperlinks a vı́deos, softwares, relações com a história da Matemática,
textos de aprofundamento sobre o conteúdo abordado, e uma série de outros caminhos que podem
compor a atividade e permitir ao aluno maior acesso ao conhecimento abordado.
No planejamento de um hipertexto é importante selecionar os tópicos que serão apontados por meio
de hiperlinks e as mı́dias adequadas para cada um deles, levando-se em conta os objetivos do material e
o público alvo. Estes tópicos podem contemplar diferentes nı́veis de relações: aprofundamentos teóricos,
revisão de pré-requisitos, fundamentação histórica, conexões com outros conceitos, e assim por diante.
É claro que a elaboração do texto deverá levar em conta o fato de que haverá materiais disponı́veis
em hiperlinks, o que também determinará seu conteúdo e sua organização. Portanto, um hipertexto
não precisa necessariamente ser concebido como um texto raiz no qual são “pendurados” hiperlinks,
embora este seja um modelo básico e de mais simples elaboração que pode ser útil em muitas situações.
A concepção dos conteúdos e mı́dias disponı́veis nos diversos hiperlinks articulam-se mutuamente.
Para montar um hipertexto para uso em sala de aula, você poderá utilizar materiais disponı́veis
na internet, desde que não haja violação de direitos autorais. Considere o exemplo do texto a seguir 1 .
Nele, indicamos (em azul), alguns trechos que podem ser vinculados a hiperlinks apontando para outros
materiais. Em seguida, discutipos que tipo de materiais seriam esses e alguns critérios de seleção.
Representação Decimal dos Números Reais
Na escola, lidamos frequentemente com números racionais representados na forma decimal.
De fato, este tipo de representação se aplica ao conjunto dos reais como um todo. São sempre ensinados alguns fatos importantes sobre este conteúdo, tais como: toda fração pode
ser representada como um decimal finito ou uma dı́zima periódica [1]; e, reciprocamente,
1
Adaptado de ProfMat – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Sociedade Brasileira de Matemática, roteiros para a disciplina Números, Conjuntos e Funções Elementares, 2011.
toda dı́zima periódica pode ser representada na forma de fração [2]. Uma consequência
imediata deste fato é que um número é racional se, e somente se, sua representação decimal
é finita ou periódica. Algumas questões importantes relacionadas a esta propriedade têm
merecido pouca ênfase no ensino básico de Matemática.
Em primeiro lugar, escrever um número real positivo em representação decimal significa
expressá-lo como uma soma cujas parcelas são produtos de algarismos entre 0 e 9 por
potências de 10, de expoentes inteiros, positivos e negativos. Esta é a generalização da
representação decimal para números naturais [3], em que aparecem apenas expoentes positivos. Entretanto, quando se tratam de números reais, as somas podem ter uma quantidade
infinita de parcelas com expoentes negativos. Assim, um número real positivo a se escreve
na forma
a = a0 + a1 10−1 + a2 10−2 + · · ·
(7.1)
sendo a0 um número natural e os ai , i > 0, algarismos entre 0 e 9.
Neste caso, não se tratam mais de simples somas no sentido algébrico, que teriam necessariamente que ser finitas, mas sim, de somas infinitas, o que é representado pelo sı́mbolo
de reticências. Isto é, tratam-se de séries [4].
Mas, o que é uma série? Bem, a princı́pio uma série pode ser pensada simplesmente como
uma soma formal com infinitas parcelas
S = x0 + x1 + x2 + · · · + x n + · · · .
Porém, calcular o “resultado” desta soma não é o mesmo que calcular o resultado de uma
soma finita. A soma de uma série deve ser encarnada como o limite de uma seqüencia [5].
Assim, dizemos que a série S converge quando a seqüencia de suas somas parciais
S0 = x 0 , S1 = x 0 + x 1 , S2 = x 0 + x 1 + x 2 , . . . , Sn = x 0 + x 1 + · · · + x n , · · ·
for convergente. O fato, que se assume tacitamente, de que as séries como em (7.1) são
sempre convergentes – o que equivale a dizer que o conjunto dos números reais é completo
[6]. Na verdade pode-se demonstrar, assumindo a completude de R que estas séries são
convergentes por meio de uma comparação com séries geométricas [7] convergentes.
Portanto, ao fazermos operações com dı́zimas periódicas para obter frações geratrizes,
estamos na verdade efetuando operações com limites – que só são legı́timas porque sabemos
de antemão que as séries envolvidas são convergentes.
Para entender dı́zimas periódicas como limites, é fundamental compreender bem a igualdade
1 = 0, 9999 . . . [8], que é fonte de muitas dúvidas. Muitos estudantes concebem esta
igualdade como não exata, ou como uma aproximação. Talvez estas concepções estejam
relacionadas com certa confusão entre os termos de uma seqüencia e seu limite. Não é
incomum ouvirmos comentários do tipo “o limite da seqüencia tende a x”. O limite de uma
seqüencia é um número fixo, portanto, não pode tender a lugar algum! O correto é dizer
que “o limite da seqüencia é igual a x”, ou então que “a seqüencia tende a x”. Neste caso,
os termos da seqüencia se aproximam indefinidamente de seu limite. No caso da igualdade
1 = 0, 9999 . . ., observamos que o sı́mbolo 0, 9999 . . . representa o limite da seqüencia cujos
termos são x1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999, e assim por diante. Podemos mostrar que
esta seqüencia tende a 1 [9]. Assim, podemos dizer que os termos x 1 = 0, 9, x2 = 0, 99,
x3 = 0, 999, . . . se aproximam de 1, mas o limite 0, 9999 . . . é igual a 1!
225
Para converter dı́zimas periódicas em frações, usamos o procedimento que envolve multiplicações por potências de 10 e adições. Como já comentamos, esse procedimento envolve
operações com limites. Reciprocamente, para converter frações em representações decimais, empregamos divisões sucessivas. Como há uma quantidade finita de restos possı́veis
e, a partir da primeira vez que um resto se repetir todos os algarismos do quociente se repetirão, obtemos necessariamente uma dı́zima periódica. Em particular, se aparecer um resto
0, temos um decimal finito. Tais procedimentos, se devidamente organizados, constituemse em um prova matemática rigorosa para o fato de que um número real é racional se, e
somente se, sua representação decimal é finita ou periódica [10].
A prova de que R não é enumerável [11], argumento conhecido como Diagonal de Cantor
[12], também se baseia na representação decimal (ou na representação binária [13]) para
os números reais. Como Q é enumerável [14], uma consequência direta deste fato é que o
conjunto dos números irracionais também é não enumerável. Assim, em um certo sentido,
existem muito mais números irracionais do que racionais. Este fato é surpreendente e pode
parecer anti-intuitivo, pois na escola, em geral, os alunos têm muito mais contato com
exemplos diversos de racionais do que de irracionais. No entanto, se pensarmos mais uma
vez na representação decimal, como os racionais são dı́zimas periódicas e os irracionais, não,
poderemos verificar, de um ponto de vista intuitivo, o seguinte: se pudéssemos formar uma
expressão decimal infinita, sorteando ao acaso dı́gito por dı́gito de 0 a 9, a probabilidade
de obtermos um irracional é muito maior que a de obtermos um racional. Isto seria como
jogarmos um dado (honesto) infinitamente e esperar que os dı́gitos obtidos aleatoriamente
se repetissem em um mesmo padrão para sempre! De fato, a probabilidade de obtermos
um número racional com este processo é igual a zero [15].
Para conceber um hipertexto no qual o texto acima esteja inserido, dois aspectos importantes devem
ser considerados:
• o público alvo, que neste caso constitui-se de professores de Matemática do ensino básico;
• os objetivos centrais, que neste caso podem ser resumidos como discutir a estrutura da representação decimal para números reais, sua importância e suas aplicações.
Basicamente, os hiperlinks selecionados neste exemplo referem-se a três tipos de relações com o
conteúdo do texto: revisões de pré-requisitos básicos (no caso de [1], [2], [3], [7], [13]); aprofundamentos
de conteúdos avançados relacionados (no caso de [4], [5], [6], [14]); aprofundamentos do próprio
conteúdo (no caso de [8], [9], [10], [11], [12], [15]). Essa classificação leva em conta o público
alvo e os objetivos destacados acima. Assim, aprofundamentos teóricos do próprio conteúdo do texto
referem-se diretamente aos objetivos centrais do hipertexto. Os revisões de pré-requisitos básicos e
os aprofundamentos de conteúdos avançados relacionados levam em conta o conhecimento esperado
do público alvo. Devemos observar que também que a linguagem empregada foi concebida para ser
compatı́vel com o público alvo, e os materiais selecionados para o hiperlinks devem ser preferencialmente
também coerentes com esta linguagem. Lembramos ainda que os materiais vinculados aos hiperlinks
não precisam se limitar a textos, e podem se incluir mı́dias diversas. Por exemplo, no caso dos hiperlinks
[3], [4], [5] e [7], é possı́vel encontrar softwares e animações. A estrutura de hipertexto permite organizar
o material de forma que as idéias principais fiquem concentradas e suas relações e aprofundamentos
ramifiquem-se em estrutura de rede.
Atividades
1. Selecione materiais em diversas mı́dias na internet, que possam ser vinculados aos hiperlinks
marcados no texto Representação Decimal dos Números Reais acima. Leve em conta os critérios
discutidos na seção anterior.
2. Considere o texto a seguir2 . Suponha que você queira inseri-lo como parte de um material em
forma de hipertexto.
(a) Escolha trechos que possam ser vinculados a hiperlinks apontando para outros materiais.
Explique e justifique seus critérios de escolha, levando em conta o público alvo e os objetivos
do hipertexto.
(b) Selecione materiais em diversas mı́dias na internet, que possam ser vinculados a cada um dos
hiperlinks escolhidos. Leve em conta os critérios discutidos na seção anterior, certificando-se
que cada informação disponibilizada seja correta.
Trigonometria no Triângulo e no Cı́rculo
A trigonometria é certamente um dos tópicos cuja abordagem no Ensino Médio é mais
artificialmente mistificada. Em primeiro lugar, observamos que, em geral, a abordagem de trigonometria em livros didáticos é fortemente calcada por uma quantidade
excessiva de fórmulas (em muitos casos redundantes) e procedimentos memorizados,
apresentados com interpretação geométrica insuficiente.
Um segundo problema está relacionado com os dois contextos matemáticos fundamentais em que a trigonometria é desenvolvida: a trigonometria no triângulo retângulo e a
trigonometria no chamado cı́rculo trigonométrico. No triângulo retângulo, o seno e o
cosseno de um ângulo agudo são definidos como razões entre comprimentos de lados.
Portanto, neste contexto, falamos de seno e cosseno de ângulos, definidos como razões
trigonométricas. No contexto do cı́rculo trigonométrico, tomamos como referência um
cı́rculo unitário C, com centro na origem de um sistema de eixos cartesianos e consideramos os ângulos centrais que possuem um dos lados no eixo horizontal e o outro
definido por um segmento OB, em que B é um ponto sobre a circunferência. Se B
está no primeiro quadrante, os ângulos determinados são agudos e tudo ocorre como
no contexto das razões trigonométricas no triângulo retângulo. Como as hipotenusas
dos triângulos medem uma unidade, o seno e o cosseno corresponderão às medidas
das suas projeções sobre os eixos cartesianos. Existe uma correspondência entre os
ângulos centrais e os arcos correspondentes determinados por este ângulos. Portanto,
podemos pensar que o seno e o cosseno dependem apenas do comprimento desses
arcos – por isso, o radiano aparece como um unidade natural no contexto das funções
trigonométrica. Agora, podemos mover livremente o ponto B sobre a circunferência,
obtendo ângulos obtusos, dando mais de uma volta completa no cı́rculo e andando no
sentido negativo (horário). Desta forma, os conceitos inicialmente construı́dos, tendo
o triângulo retângulo como referência, são estendidos e, assim, passamos a tratar de
seno e cosseno de números reais. Isto nos possibilita definir as funções trigonométricas,
com domı́nio em R. O problema é que esses dois contextos são tratados de forma completamente estanque, sem que as relações entre eles sejam explicitadas e devidamente
esclarecidas. Isto pode até mesmo causar nos alunos a impressão de que, quando falamos de seno e cosseno no triângulo retângulo, ou no cı́rculo trigonométrico, ou nas
2
Adaptado de ProfMat – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Sociedade Brasileira de Matemática, roteiros para a disciplina Números, Conjuntos e Funções Elementares.
227
funções trigonométricas, estamos nos referindo a conceitos matemáticos inteiramente
desconectados, que talvez “por acaso” tenham o mesmo nome.
Antes de mais nada, é importante observar a importância do conceito de semelhança
para a boa definição das razões trigonométricas no triângulo retângulo. De fato, se
dois triângulos retângulos possuem um ângulo agudo em comum, então estes serão
necessariamente triângulos semelhantes. Portanto, as razões entre seus lados correspondentes serão iguais. Isto nos garante que o seno e o cosseno fiquem bem definidos,
isto é, que seus valores dependam apenas do ângulo, e não do triângulo retângulo
escolhido. De forma geral, ao ler esta seção, procure atentar para o fato de que todas as relações entre razões trigonométricas são na verdade expressões algébricas de
propriedades geométricas envolvendo os triângulos retângulos, seus lados e ângulos.
Por exemplo, o fato de que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar é uma conseqüência direta da Lei Angular de Tales e das próprias definições
das razões trigonométricas. Chamar atenção para essas interpretações geométricas,
dando significado às relações algébricas, deve ser uma atitude permanente no ensino
de trigonometria na Educação Básica.
A construção do cı́rculo trigonométrico pode ser feita por meio da função de Euler
E : R → C, que enrola a reta no cı́rculo a partir do ponto (1, 0) = E(0). Observe
como o radiano surge naturalmente neste contexto como uma unidade de medida linear
de comprimento de arco. Como já observamos, o seno e o cosseno são representados
geometricamente pelas projeções do raio do cı́rculo nos eixos coordenados. A partir daı́,
suas principais propriedades apresentam representações geométricas simples no cı́rculo
trigonométrico. O cı́rculo trigonométrico é a base para a construção das funções trigonométricas.
3. Suponha que você queira elaborar um pequeno resumo, em formato de hipertexto, empregando
referências de sites encontrados na internet, para introduzir o conceito de logaritmo para alunos
do Ensino Médio.
(a) Elabore uma lista de tópicos relacionados que você incluiria no corpo do texto principal e
como hiperlinks. Explique e justifique seus critérios de escolha, levando em conta o público
alvo e os objetivos do hipertexto.
(b) Selecione materiais em diversas mı́dias na internet, que possam ser vinculados a cada um dos
hiperlinks escolhidos. Leve em conta os critérios discutidos na seção anterior, certificando-se
que cada informação disponibilizada seja correta.
(c) Elabore a estrutura geral para o hipertexto, utilizando os tópicos e hiperlinks relacionados
nos ı́tens anteriores.
4. Considere um problema abaixo3 . Suponha que você queira propor a seus alunos um roteiro de
estudos para a solução do problema, que forneça diversas possibilidades para exploração. O roteiro
deve ser baseado em pesquisa eletrônica e utilização de hipertexto.
Se dois paralelepı́pedos têm uma base comum e suas bases superiores pertencem a
um mesmo plano, paralelo ao plano da base comum, então esses dois paralelepı́pedos
possuem o mesmo volume.
(a) Escreva o problema proposto e o roteiro que os alunos devem executar.
3
Proposição VII do Livro VI dos Elementos de Geometria de Adrien Marie Legendre [46].
(b) Acrescente ao roteiro hiperlinks para:
i. informações históricas pesquisadas na internet;
ii. formas de representações ou simulações para o problema, tais como aplets, construções
com geometria dinâmica, softwares de representação 3D.
iii. textos que reproduzam a solução do problema, que possam ser consultados pelos alunos.
Ao selecionar o conteúdo desses hiperlinks, leve em conta os critérios discutidos na seção
anterior, certificando-se de sua correção.
(c) Peça que cada estudante apresente uma solução para o problema e que utilize as diversas
formas de representação fornecida pelo editor e os hiperlinks fornecidos.
5. Desenvolva o exercı́cio 4 em dois modelos:
(a) utilizando links remotos cujo acesso é obtido por internet;
(b) modo reúna todo material possı́vel em um diretório local, de modo que o problema pode
ser desenvolvido como atividade em local onde não há disponibilidade de acesso à internet.

Cap´ıtulo 7 Pesquisas Eletrônicas, Processadores de Texto e

Transcrição

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