resistência dos materiais ii momento de inércia

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
MOMENTO DE INÉRCIA
Prof. Dr. Daniel Caetano
2012 - 2
Objetivos
• Apresentar os conceitos:
–
–
–
–
Momento de inércia
Momento polar de inércia
Produto de Inércia
Eixos Principais de Inércia
• Calcular propriedades
geométricas com relação a
quaisquer eixos
• Determinar os eixos principais e
calcular os momentos principais
de inércia
Material de Estudo
Material
Acesso ao Material
Notas de Aula
http://www.caetano.eng.br/
(Aula 2)
Apresentação
http://www.caetano.eng.br/
(Aula 2)
Material Didático
Resistência dos Materiais (Beer, Johnston, Dewolf),
páginas 728 a 732
Resistência dos
Materiais (Hibbeler)
Biblioteca Virtual, páginas 570 a 576.
RELEMBRANDO:
A FORMA DÁ O TOM
Características das Figuras Planas
•
•
•
•
Perímetro
Área
Momento Estático → cálculo do centróide
Momento de Inércia...
– Mas antes, vamos relembrar um pouco!
Momento Estático
• Cálculo do Momento Estático
𝑆𝑥 =
𝑆𝑦 =
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
𝑥 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
Momentos Estáticos
y
b
h
x
y
𝑏 ∙ ℎ2
𝑆𝑥 =
2
ℎ ∙ 𝑏2
𝑆𝑦 =
2
𝑏 ∙ ℎ2
𝑆𝑥 =
6
ℎ ∙ 𝑏2
𝑆𝑦 =
6
𝑆𝑥 = 𝜋 ∙ 𝑟 3
𝑆𝑦 = 0
b
h
x
y
r
x
Distância ao Centro de Gravidade
y
b
h
x
y
ℎ
𝑦 = 𝑦𝑔 =
2
𝑏
𝑥 = 𝑥𝑔 =
2
ℎ
𝑦 = 𝑦𝑔 =
3
𝑏
𝑥 = 𝑥𝑔 =
3
𝑦 = 𝑦𝑔 = 𝑟
𝑥 = 𝑥𝑔 = 0
b
h
x
y
r
x
Distância ao Centro de Gravidade
y
r
x
4∙𝑟
𝑦 = 𝑦𝑔 =
3∙𝜋
𝑥 = 𝑥𝑔 = 0
4∙𝑟
𝑦 = 𝑦𝑔 =
3∙𝜋
4∙𝑟
𝑥 = 𝑥𝑔 =
3∙𝜋
y
r
x
MOMENTO DE INÉRCIA
Momento de Inércia
• Momento Estático (ou de 1ª Ordem)
–S=A∙d
– Mede ação da distribuição de massa de um corpo
• Momento de Inércia (ou de 2ª Ordem)
– Mede a inércia de um corpo
– Resistência a ser colocado em movimento
– Massa x Momento de Inércia
– I = A ∙ d2
Momento de Inércia
• Cálculo do Momento Retangular de Inércia
𝐼𝑥 =
𝐼𝑦 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
𝑥 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
• Sempre positivos! → Unidade I = [L4]
Momento de Inércia
• Exemplo
y
b
h
dA
dy
y
x
𝐼𝑥 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 =
𝐴
ℎ
0
3
𝑏
∙
ℎ
𝑦 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦 =
3
Momento de Inércia
• Se houvesse duas áreas, resultado igual
y
b
h
A1
A2
x
𝐼𝑥 =
𝑦2
𝐴1
𝑦2
∙ 𝑑𝐴 +
ℎ
∙ 𝑑𝐴 =
𝐴2
𝑏 ∙ ℎ3 𝑏 ∙ ℎ3
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
=
+
=
6
6
𝟑
0
𝑏
2
𝑦 ∙ ∙ 𝑑𝑦 +
2
ℎ
0
𝑦2
𝑏
∙ ∙ 𝑑𝑦 =
2
Momento de Inércia
• Outro Exemplo
y
dA = f(y) ∙ dy
f(y)
h
dA
f(y) = 𝑏
dy
b
𝑏∙𝑦
−
ℎ
x
ℎ
𝑏
∙
𝑦
𝑆𝑥 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑦 2 ∙ (𝑏 −
) ∙ 𝑑𝑦
ℎ
𝐴
0
ℎ
3
3
𝑏
∙
𝑦
𝑏
∙
ℎ
=
(𝑏 ∙ 𝑦 2 −
) ∙ 𝑑𝑦 =
ℎ
12
0
Momento Estático
• E nesse outro caso?
b1
y
b2
h
A1
A2
x
𝟑
𝟑
𝒃𝟏
∙
𝒉
𝒃𝟐
∙
𝒉
𝐼𝑥 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 +
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 =
+
𝟒
𝟏𝟐
𝐴1
𝐴2
EIXO CENTRAL DE INÉRCIA
Eixo Central de Inércia
• Eixo Central de Inércia
– Passa pelo centróide do corpo
• Exemplo
y
b
h/2
dA
x
h/2
ℎ/2
𝐼𝑥 =
dy
𝐴
3
𝑏
∙
ℎ
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑦 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦 =
12
−ℎ/2
O eixo central, dentre
Eixo Central de Inércia
os paralelos a ele, é o
eixo de menor inércia
• Eixo Central de Inércia
– Passa pelo centróide do corpo
• Exemplo
y
b
h/2
dA
x
h/2
ℎ/2
𝐼𝑥 =
dy
𝐴
3
𝑏
∙
ℎ
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑦 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦 =
12
−ℎ/2
MOMENTO POLAR DE
INÉRCIA
Momento Polar de Inércia
• Cálculo do Momento Polar de Inércia
𝐽𝑂 =
𝜌2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
• Inércia relativa a um ponto
• Importante nas torções
• Sempre positivo! → Unidade J = [L4]
Momento de Inércia
• Exemplo
y
dA
ρ
O
𝐽𝑂 =
𝜌2 ∙ 𝑑𝐴 =
𝐴
𝑟
0
dρ
r
x
4
𝜋
∙
𝑟
𝜌2 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜌 ∙ 𝑑𝜌 =
2
Momento Polar de Inércia
• Relação com Momento de Inércia
y
x
ρ
y
O
𝜌2 = 𝑥 2 + 𝑦 2
𝐽𝑂 =
x
(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ∙ 𝑑𝐴
𝐴
Momento Polar de Inércia
• Relação com Momento de Inércia
𝐽𝑂 =
𝐽𝑂 =
(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ∙ 𝑑𝐴
𝐴
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 +
𝐴
𝑥 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
𝑱𝑶 = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
PRODUTO DE INÉRCIA
Produto de Inércia
• Se isso é momento de inércia...
𝐼𝑥 =
𝐼𝑦 =
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
𝑥 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
• O que seria isso?
𝐼𝑥𝑦 =
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
Produto de Inércia
• Produto de Inércia: será usado depois
𝐼𝑥𝑦 =
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
• Pode ser positivo ou negativo → [Ixy] = m4
y
Ixy < 0
Ixy > 0
x
Ixy > 0
Ixy < 0
Quando um dos eixos
Produto de Inércia
é de simetria, o
produto de inércia será
• Produto de Inércia: será usadosempre
depoisZERO!
𝐼𝑥𝑦 =
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
• Pode ser positivo ou negativo → [Ixy] = m4
y
Ixy < 0
Ixy > 0
x
Ixy > 0
Ixy < 0
TRANSLAÇÃO DE EIXO NO
MOMENTO DE INÉRCIA
Translação de Eixos
• Momento de Inércia
y
h
(Ix conhecido)
b
y
x
d
x’
𝐼𝑥′ =
(𝑦 + 𝑑)2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
Translação de Eixos
• Momento de Inércia (Ix conhecido)
𝐼𝑥′ =
𝐼𝑥′ =
(𝑦 + 𝑑)2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
𝑦 2 ∙ 𝑑𝐴 +
𝐴
𝑑 2 ∙ 𝑑𝐴
2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 +
𝐴
𝐴
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝑺𝒙 + 𝒅𝟐 ∙ 𝑨
• Se x era o eixo que passa pelo centróide...
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
Translação de Eixos
• Analogamente, para x e y passando pelo
centróide
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
𝑰𝒚′ = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
• Como Ix e Iy → eixos centrais, d → positivo
• E também... se O é o centróide...
𝑱𝑶′ = 𝑱𝑶 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
Exercício
• Calcular Ix
7
6
4
4
1,5
x
Exercício
• Calcular Ix - medidas em metros
7
A2
6
A1
4
4
A3
5
x
1,5
• Ix = IA1x + IA2x + IA3x
• Ix =
𝑏1∙ℎ13 𝑏2∙ℎ23
+
+𝑏2 ∙ ℎ2 ∙ 𝑑2
3
12
𝑏3∙ℎ33
+
3
• Ix =
1,5∙63
+
3
= 749,3 m4
4∙23
12
3
1,5∙6
∙ 4 ∙ 2 ∙ 52 +
3
TRANSLAÇÃO DE EIXO NO
PRODUTO DE INÉRCIA
Translação de Eixos
• Pode-se demonstrar que se os eixos passam
pelo centróide, isso é válido...
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
𝑰𝒚′ = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
• Da mesma forma deduz-se que...
𝑰𝒙𝒚′ = 𝑰𝒙𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝒙 ∙ 𝒅𝒚
Exercício
• Calcular Ixy
y
250mm
x
400mm
100mm
Exercício
• Calcular Ixy
y
Y’
A
1
X’
250mm
A2
x
A
3
400mm
100mm
• IA2xy = 0
• IA1xy = IA1x’y’ +A1∙dx∙dy
= 0 + 300 ∙100 ∙ (-250) ∙200 = -1,5 ∙109 mm4
• IA3xy = IA3x’’y’’ +A3∙dx∙dy
= 0 + 300 ∙100 ∙ 250 ∙(-200) = -1,5 ∙109 mm4
Exercício
• Calcular Ixy
y
Y’
A
1
X’
250mm
A2
x
A
3
400mm
100mm
• Ixy = IA1xy +IA2xy +IA3xy =
= 0 -1,5 ∙109 -1,5 ∙109 = -3,0 ∙109 mm4
ROTAÇÃO DE EIXOS DE
INÉRCIA
Rotação de Eixos
•
•
•
•
•
•
Conhecidos Ix, Iy e Ixy
Como calcular Ix’, Iy’ e Ix’y’?
x’ = x.cos θ + y.sen θ
y’ = y.cos θ - x.sen θ
dIx’ = y’2.dA
dIy’ = x’2.dA
y
• Realizando a integral de dIx’ e dIy’...
dA
θ
x
y
Rotação de Eixos
dA
• Relações:
θ
x
𝑰𝒙′
𝑰𝒚′
𝑰𝒙 + 𝑰𝒚 𝑰𝒙 − 𝑰𝒚
=
+
∙ cos 𝟐𝜽 − 𝑰𝒙𝒚 ∙ sin 𝟐𝜽
𝟐
𝟐
𝑰𝒙 + 𝑰𝒚 𝑰𝒙 − 𝑰𝒚
=
−
∙ cos 𝟐𝜽 + 𝑰𝒙𝒚 ∙ sin 𝟐𝜽
𝟐
𝟐
𝑰𝒙′𝒚′
𝑰𝒙 − 𝑰𝒚
=
∙ sin 𝟐𝜽 + 𝑰𝒙𝒚 ∙ cos 𝟐𝜽
𝟐
Jo permanece o mesmo!
EIXOS PRINCIPAIS E
MOMENTOS PRINCIPAIS
Eixos Principais e Momentos Principais
• Para um dado centro de inércia O...
• ...existem infinitos pares de eixos
• Um deles: máximo e mínimo momentos Ix e Ix
y
O
x
Eixos Principais e Momentos Principais
•
•
•
•
Para um dado centro de inércia O...
...existem infinitos pares de eixos
Um deles: máximo e mínimo momentos Ix e Ix
Em geral: considera-se o O no centróide
y
O
x
Eixos Principais e Momentos Principais
• Um desses pares: momento máximo x mínimo
• Podemos achar esse par de eixos
• Basta derivar dIx’/dθ = 0
𝑰𝒙 + 𝑰𝒚 𝑰𝒙 − 𝑰𝒚
𝑰𝒙′ =
+
∙ cos 𝟐𝜽 − 𝑰𝒙𝒚 ∙ sin 𝟐𝜽
𝟐
𝟐
• Chegando à seguinte equação:
𝟐 ∙ 𝑰𝒙𝒚
tan 𝟐𝜽𝒑 =
𝑰𝒚 −𝑰𝒙
Eixos Principais e Momentos Principais
• Essa equação:
𝟐 ∙ 𝑰𝒙𝒚
tan 𝟐𝜽𝒑 =
𝑰𝒚 −𝑰𝒙
• Tem duas raizes:
𝑰𝒎𝒂𝒙/𝒎𝒊𝒏
𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
=
±
𝟐
• Momentos Principais
𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝑰𝒙𝒚
𝟐
Eixos Principais e Momentos Principais
• E o ângulo pode ser calculado por:
𝟐 ∙ 𝑰𝒙𝒚
𝒂𝒕𝒂𝒏
𝑰𝒚 −𝑰𝒙
𝜽𝒑 =
𝟐
• Se eixos cruzam no centróide, Ixy = 0!
• Nesse caso, eixos principais ≡ eixos centrais...
EXERCÍCIO
Exercício (Em Dupla)
• Calcule o Ix, o Iy e o Ixy no centróide
• Verifique se esses já são os eixos principais
• Se não forem, calcule-os
y
8
7
4
x
4
2
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa
• Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 578 e 579
• Mínimos:
– Exercícios A.2 a A.6
– Exercício A.11
• Extras:
– Exercícios A.7 a A.10, A.12 a A.15 e A.17
CONCLUSÕES
Resumo
•
•
•
•
•
•
Momento de Inércia e Momento Polar de Inércia
Produto de Inércia
Eixos Centrais de Inércia
Translação de Eixos
Rotação de Eixos
Eixos Principais de Inércia
• Exercitar
– Exercícios Hibbeler / Material Didático
Próxima Aula
• E a resistência?
– Esforços Axiais
– Tração e Compressão
PERGUNTAS?
BOM DESCANSO
A TODOS!