- PGMEC - Universidade Federal Fluminense
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PGMEC PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Dissertação de Mestrado ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMES FINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM CANAIS DE TROCADORES DE CALOR DIANA NOGUEIRA SETEMBRO DE 2009 DIANA NOGUEIRA ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMES FINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM CANAIS DE TROCADORES DE CALOR Dissertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica da UFF como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF) U NIVERSIDADE F EDERAL F LUMINENSE N ITERÓI , S ETEMBRO DE 2009 ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMES FINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM CANAIS DE TROCADORES DE CALOR Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo: Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.) Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF (Orientador) Maria Laura Martins Costa (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.) Instituto Militar de Engenharia – IME Agradecimentos Primeiramente, gostaria de manifestar meus sinceros agradecimentos ao meu orientador, o Professor Leandro Alcoforado Sphaier, por sua orientação, suporte e grande contribuição, sem os quais a realização deste trabalho não teria sido possível. Gostaria também de agradecer a Professora Maria Laura Martins Costa por seu incentivo e motivação, desde que ingressei no programa de pós-graduação da Universidade Federal Fluminense. Também gostaria de agradecer ao Professor Leonardo Santos de Brito Alves por aceitar o convite para participar do comitê de julgamento deste trabalho. Agradeço especialmente ao Rafael, meu marido e companheiro, por seu apoio, pela compreensão com minha ausência durante os longos períodos de estudos e, por fim, por sua torcida para que eu obtivesse sucesso neste projeto. Agradeço a minha família por me proporcionar as bases necessárias para que eu chegasse até aqui, especialmente aos meus pais. Aos meus colegas da Universidade Federal Fluminense, Marcos José Moraes e Gilberto Risi, agradeço pelas varias vezes que abriram mão de seus fins de semana e feriados para estudarmos. iv Resumo Simulações computacionais têm um papel importante no projeto de trocadores de calor e o estudo da convecção forçada em canais tem uma série de aplicações tanto em recuperadores como em regeneradores. Apesar da relevância para o projeto de trocadores, a grande maioria de simulações, em geral, são baseadas em formulações simplificadas, as quais utilizam valores constantes para o número de Nusselt. O problema é que esta situação hipotética só é válida em regiões onde o escoamento é termicamente desenvolvido; no entanto, existem diversas situações onde o escoamento não pode ser tratado como tal. Neste contexto, o principal objetivo deste trabalho foi estudar a convecção forçada em canais de placas paralelas sem considerar o escoamento termicamente desenvolvido. Para que a análise servisse para recuperadores e regeneradores, ambos regimes permanente e transiente foram considerados. Para atingir este objetivo, as equações de transporte foram resolvidas numericamente, utilizando o Método de Volumes Finitos associado ao Método das Linhas. Grande parte do trabalho desenvolvido foi focado na análise de diferentes estratégias de solução a fim de determinar a alternativa mais adequada para o problema. Os resultados obtidos foram suficientes para gerar uma ferramenta computacional robusta para o cálculo do número de Nusselt em regiões em desenvolvimento térmico permanente e transiente. Esta ferramenta foi utilizada para estudar o comportamento de Nusselt para diferentes números de Péclet, e sua variação com a posição axial e o tempo foram determinadas para condições de temperatura constante na parede. Os resultados mostraram que, para poder entender completamente o comportamento de Nusselt em canais de trocadores, ainda existe a necessidade de investigar o efeito de outras condições de aquecimento. Entretanto, com a ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho, a inclusão de diferentes condições de aquecimento na parede poderão ser facilmente obtidas. Palavras-chave: Trocador de Calor, Simulação Numérica, Volumes Finitos, Escoamento Interno v Abstract Numerical simulations play an important role in heat exchanger design and the study of forced convection within channels have several applications in recuperators as well as regenerators. In spite of the relevance of heat exchanger design, the majority of simulations, in general, are based on simplified formulations, those of which employ constant values for the Nusselt number. The problem with this hypothetical situation is that it is only valid in regions wherein the flow is thermally developed; however, there are several circumstances under which the flow cannot be treated as such. In this context, the main objective of this work was to study the forced convection within parallel plates channels without considering thermal development. In order to make the analysis applicable to recuperators and regenerators, both steady-state and transient regimes were considered. In order to achieve the proposed objective, the transport equations were numerically solved by employing the Finite Volumes Method associated with the Method of Lines. For the sake of determining the most adequate implementation alternative, a large amount of this work was focused on analyzing different solution strategies. The obtained results were sufficient for producing a robust computational tool for calculating Nusselt number in thermally developing regions of steady and transient flows. This tool was employed for studying the behavior of the Nusselt number for different Péclet numbers and its variation with axial position and time were determined for isothermal wall conditions. The results showed that, in order to fully understand the behavior of the Nusselt number in heat exchanger channels, there is still a need for investigating other wall heating conditions. Nevertheless, with the computational tool herein developed, the inclusion of different wall heating conditions can be easily handled. Key-words: Heat Exchanger, Numerical Simulation, Finite Volumes, Internal Flow vi Sumário Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix 1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Aplicações de trocadores de calor recuperativos e regenerativos . . . . 2 1.2 Trocadores de calor recuperativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Trocadores de calor regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Tipos de trocadores regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1.1 Regenerador de matriz fixa . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1.2 Regenerador rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1.3 Trocadores regenerativos com troca de calor latente . 13 Objetivo do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 2.1 Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor . . . . . . . 17 2.1.1 Equações de balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1.1 Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1.2 Balanço de momentum linear . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1.3 Simplificação para desenvolvimento hidrodinâmico . 19 Equações para escoamento em canais de placas paralelas . . . 19 2.2 Coeficiente convectivo e temperatura de mistura . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Condição de contorno na parede sólida . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1.1 21 2.1.2 Temperatura da parede constante . . . . . . . . . . . vii Sumário viii 2.3.1.2 Fluxo de calor constante . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1.3 Armazenamento de energia na parede sólida . . . . . 22 2.3.2 Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3 Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4 Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4.1 Temperatura constante na parede do canal . . . . . . 25 2.3.4.2 Fluxo de calor constante na parede do canal . . . . . 27 2.3.4.3 Armazenamento de energia na parede sólida . . . . . 27 Condição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Adimensionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.5 3.1 Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Variáveis adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Adimensionalização das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.1 Equação da energia para o fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.2 Condição de contorno na parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.2.1 Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . . 32 3.3.2.2 Armazenamento na parede . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . . 34 3.3.4 Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.5 Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.5.1 Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . . 34 3.3.5.2 Armazenamento de energia na parede . . . . . . . . . 35 Condição Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4. Discretização por Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.6 4.1 Discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1.1 Integração das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1.2 Aproximação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1.3 Regras de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Sumário ix 4.1.4 Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão 43 4.1.5 Condições de contorno nas coordenadas do MVF . . . . . . . . 45 4.1.5.1 Entrada do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.5.2 Saída do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.5.3 Centro do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.5.4 Parede do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.6 Equação para os volumes internos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.1.7 Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal . . . . 49 4.1.8 Equação para os volumes adjacentes à parede do canal . . . . . 49 4.1.9 Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal . . . . 49 4.1.10 Equação para os volumes adjacentes à saída do canal . . . . . . 50 4.1.11 Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.12 Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal 51 4.1.13 Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal 51 4.1.14 Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal . 52 4.1.15 Equações para a temperatura da parede . . . . . . . . . . . . . . 52 Discretização unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.1 Discretização transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.2 Discretização axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5. Implementação Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 5.1 5.2 Soluções com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.1 Solução transiente: integração numérica . . . . . . . . . . . . . 58 5.1.2 Solução transiente: integração analítica . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1.3 Solução em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Solução permanente com discretização transversal apenas . . . . . . . 66 5.2.1 Solução com integração numérica em ξ . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.2 Solução numérica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.3 Solução analítica com o método do tiro . . . . . . . . . . . . . . 68 Sumário x 5.2.4 Solução analítica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . 70 Solução com discretização axial apenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Solução com integração numérica em η . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 Cálculo de Nusset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6. Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 5.3.1 6.1 Solução analítica para slug-flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7. Resultados da solução permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.1 Análise de convergência da temperatura no escoamento . . . . . . . . . 82 7.2 Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS . . . . . . . . . . 91 7.2.1 Esquema de diferenças centradas – CDS . . . . . . . . . . . . . 91 7.2.2 Esquema híbrido – HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.2.3 Análise da solução com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3 Resultados para a discretização apenas longitudinal . . . . . . . . . . . 104 7.4 Análise da influência de ξmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.4.1 Resultados com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.4.2 Resultados para demais valores de Péclet . . . . . . . . . . . . . 108 7.5 Evolução de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.6 Verificação da ordem do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8. Resultados para Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.1 8.2 Análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.1.1 Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 2 . . . . . . . . 135 8.1.2 Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 1 . . . . . . . . 140 8.1.3 Número de Nusselt para Péclet 10 e ξmax = 1 . . . . . . . . . . 144 Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt . . . . . . . . . 148 9. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Sumário xi A. Demais resultados para regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 A.1 Slug-Flow com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 A.2 Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional . . . . . . 163 A.3 Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma direção . . . 166 A.4 Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS) . . . . . . . . . . 168 A.5 Resultados de Temperatura para HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 B. Resultados de estudo preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Lista de Figuras 1.1 Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a combustão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 5 Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com escoamento em contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em contra corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Regenerador tipo válvula dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria, 2 Proteção rotativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 10 Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo da matriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Regenerador Rotativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1 Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volumes finitos notação discretizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 37 mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos volumes finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1 Domínio computacional para um mini-canal. . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.1 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 10 e Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 1 e Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 0.1 e Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 xii Lista de Figuras 7.4 xiii Evolução de Nusselt com a posição axial: PeH = 10 (preto), PeH = 1 (azul), PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . 114 7.5 Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre diferentes valores de Péclet (escala menor). . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.6 Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre diferentes valores de Péclet (escala menor ainda). . . . . . . . . . . . . 115 8.1 Variação transiente de Nusselt para PeH grande. . . . . . . . . . . . . . 148 8.2 Variação transiente de Nusselt para PeH = 10. . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.3 Variação transiente de Nusselt para PeH = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.4 Variação transiente de Nusselt para PeH = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . 149 Lista de Tabelas 5.1 Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional. 58 6.1 Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 10, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 1, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 83 Temperatura com PeH = 10 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 81 Temperatura com PeH = 10 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 80 Número de Nusselt para slug-flow com número de PeH grande, discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 78 Número de Nusselt para slug-flow, com número de PeH grande, discretização em duas direções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 77 Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 0.1, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 76 84 Temperatura com PeH = 1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.4 Temperatura com PeH = 1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. 87 7.5 Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 88 Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.7 Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional CDS. 92 7.8 Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional CDS. 93 7.9 Número de Nusselt com PeH = 0.1 para discretização bidirecional CDS. 94 7.10 Valores do parâmetro α para o esquema HDS. . . . . . . . . . . . . . . xiv 96 Lista de Tabelas xv 7.11 Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional HDS. 97 7.12 Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional HDS. 98 7.13 Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional CDS. 100 7.14 Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional HDS. 101 7.15 Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional em diferentes malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.16 Número de Nusselt para PeH grande e discretização bidirecional UDS. 103 7.17 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas. . . . . . . . 104 7.18 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução analítica com exponenciais de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.19 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Péclet grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.20 Número de Nusselt com PeH grande com J = 400. . . . . . . . . . . . . 107 7.21 Número de Nusselt com PeH grande com J = 800. . . . . . . . . . . . . 107 7.22 Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . . 108 7.23 Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. . . . . . . 108 7.24 Número de Nusselt com PeH = 1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . . 109 7.25 Número de Nusselt com PeH = 1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. . . . . . . 109 7.26 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/25 e J = 400. . . . . . . 110 7.27 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/50 e J = 400. . . . . . . 110 7.28 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . 110 7.29 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. . . . . . 110 7.30 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. . . 117 7.31 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. . . 118 7.32 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. . . 119 7.33 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. . . 120 7.34 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. . 121 7.35 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. . 122 7.36 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. . . 123 Lista de Tabelas xvi 7.37 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. . . 124 7.38 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. . . 125 7.39 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. . . 126 7.40 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 127 7.41 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 128 7.42 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 129 7.43 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 130 7.44 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 131 7.45 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 132 7.46 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com discretização em uma direção apenas- HDS. . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 136 8.2 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1. . . . . . . . . . . . . . 137 8.3 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.4 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10. . . . . . . . . . . . . . . 139 8.5 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. . . . . . 140 8.6 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. . . . . . 141 8.7 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1 com ξmax = 1. . . . . . . 142 8.8 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10 com ξmax = 1. . . . . . . 143 8.9 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. . . . . . . 144 8.10 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. . . . . . . . 145 8.11 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 1 com ξmax = 1. . . . . . . . . 146 8.12 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 10 com ξmax = 1. . . . . . . . 147 A.1 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 A.2 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Lista de Tabelas xvii A.3 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 A.4 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 A.5 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1 em η = 0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 A.6 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1, em η = 0, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 A.7 Temperaturas para Slug-Flow em com número de PeH grande, em η = 0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 A.8 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.9 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0.99, discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 A.10 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0, discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.11 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η = 0.99, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 A.12 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η = 0, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 A.13 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 A.14 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A.15 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 A.16 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 B.1 Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 3. . . . . . 177 Lista de Tabelas xviii B.2 Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 5. . . . . . 177 B.3 Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 10. . . . . . 177 B.4 Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 50. . . . . . 178 Nomenclatura A Área superficial cp Calor especifico à pressão constante cs Calor especifico da perede sólida H Distância entre as paredes do canal h Coeficiente de transferência de calor por convecção I Número de volumes na direção axial J Número de volumes na direção transversal k Condutividade térmica k0 Condutividade térmica de referência L Dimensão caracteristica na direção x m, ṁ Massa e taxa de transferência de massa p Pressão termodinâmica P Perímetro do canal x, y, z t Coordenadas cartesianas Tempo tf Tempo característico de referência T Temperatura Tm Temperatura média de mistura u Velocidade escalar na direção de x u Velocidade escalar na direção de y u Velocidade escalar na direção de z ū Velocidade escalar média na direção x V Volume W Largura do canal xix Nomenclatura Vetores e tensores n q̇00 v Vetor normal Fluxo de calor por difusão Velocidade Parâmetros Adimensionais Bi Número de Biot Cr Taxa de de capacidade térmica da matriz C Fo K Nt u taxa de capacidade térmica do fluido Número de Fourier Fração de área entre a parede sólida e o canal Número de unidades de transferência Nu Número de Nusselt Pe Número de Péclet R∗ Razão entre resistências térmicas de condução transversal Símbolos Gregos α Difusividade térmica δ Espessura da parede sólida εm εi Efetividade para transferência de massa Efetividade para transferência de entalpia ou energia η coordenada transversal adimensional Θ temperatura adimensional Θ̂i Temperatura adimensional discretizada µ Viscosidade dinâmica ν Viscosidade cinemática ξ coordenada longitudinal adimensional ξmax Comprimento adimensional máximo do canal xx Nomenclatura τ tempo adimensional Φ Função arbitrária φ Função arbitrária Subscritos H Grandeza baseada no espaçamento entre as paredes do canal in Refere-se a grandeza na entrada do canal m Refere-se à grandeza média out Refere-se a grandeza na saída do canal s Refere-se a superfície sólida 0 Propriedade de referencia ∗ Quantidade adimensional xxi Capítulo 1 Introdução O estudo da transferência de calor por convecção forçada em dutos e canais tem uma série de importantes aplicações em engenharia. Provavelmente a mais importante destas aplicações está relacionada ao projeto de trocadores de calor. Diferentes tipos de trocadores de calor são utilizados de acordo com o tipo de aplicação requerida, podendo haver uma grande variedade de opções. No entanto, as aplicações práticas deste trabalho servirão principalmente para trocadores de contato indireto onde não há mistura entre as correntes, com destaque para os utilizados com a finalidade de recuperação de energia. Mesmo neste grupo restrito, ainda resta uma variedade significativa de trocadores de calor. De uma forma geral, estes podem ser divididos, de acordo com forma que o calor é trocado, em recuperadores e regeneradores [1]. Devido à importância de trocadores de calor para indústria, diversos trabalhos sobre a formulação da transferência de calor em trocadores são encontrados na literatura. Estudos antigos como [2–4] podem ser encontrados. Em especial, o trabalho de Chase Jr. et al. [5] apresenta uma metodologia analítica simplificada para o cálculo de Nusselt em canais de regeneradores. Alguns estudos um pouco mais recentes são também encontrados na literatura. Monte [6] estudou a resposta térmica cíclica de trocadores regenerativos de matrizes fixas em escoamento contra-corrente. Saastamoinen [7] estudou a transferência de calor em regeneradores estacionários de correntes cruza1 1. Introdução 2 das. Scofano-Neto e Cotta [8] utilizaram a técnica das equações integrais acopladas para desenvolver uma formulação para trocadores de calor duplo tubo. Shen e Worek [9] estudaram o efeito da condução axial na matriz de regeneradores, propondo em seguida, uma correlação trocadores regenerativos que levasse em consideração a condução axial [10]. Em [11], os mesmos autores fizeram uma otimização de regeneradores acordo com a segunda lei da termodinâmica, incluindo os efeitos de condução na matriz. 1.1 Aplicações de trocadores de calor recuperativos e regenerativos O drástico aumento dos preços da energia tornou a recuperação de calor mais atrativa ao longo das últimas décadas. Os processos industriais são grandes consumidores de energia e boa parte desta energia é desperdiçada nos gases de exaustão (gases de combustão) à alta temperatura, na forma de calor. A recuperação do calor através de trocadores de calor pode aumentar a eficiência da planta como um todo e serve para reduzir a demanda nacional de energia e preservar as reservas de combustíveis fósseis [12]. Várias aplicações para recuperação de calor podem ser citadas, tais como: a produção de vidro e cimento, a metalurgia primária e secundária, o processamento de petróleo, desumidificadores para aplicações em ar condicionado, processos de separação criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, processo de produção de acetileno e etileno, motores de turbinas a gás veiculares para transporte primários ( locomotivas, navios, aviões a turboélice), geração de vapor, etc. Atualmente, o interesse nos regeneradores do tipo armazenador tem sido renovado devido às suas aplicações em recuperação de calor, armazenamento de calor e problemas relacionados a energia geral. O objetivo desta seção é mostrar os vários tipos de regeneradores, os detalhes construtivos, o projeto térmico e mecânico. Além disso, alguns mecanismos para recuperação de calor industrial e recuperação de calor residual são discutidos. 1. Introdução 3 • Princípio de regeneração Por muitos anos, o princípio de regeneração tem sido aplicado para a recuperação de energia, utilizando pré-aquecedores de ar em alto-fornos e geração de vapor. A regeneração é alcançada forçando a passagem periódica e alternada de uma corrente quente e uma corrente fria através de uma matriz. Durante o período de escoamento da corrente quente, a matriz recebe energia dos gases quentes e durante o escoamento da corrente fria, a matriz transfere a energia para os gases frios, aquecendo-os. O fluxo das duas correntes pode ser paralelo ou contra corrente, entretanto, o fluxo contra corrente é preferido por sua maior efetividade térmica. • Regeneração em ciclos termodinâmicos A inclusão de um pré-aquecedor de ar em uma planta de geração de energia a vapor aumenta a eficiência e o desempenho da planta. Regeneradores são usados como desumidificadores para aplicações em ar condicionado, processos de separação criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, tais como o processo Wisconsin para a fixação de nitrogênio e processos de pirólise de hidrocarbonetos na produção de acetileno e etileno. • Ciclo de turbina a gás com regeneração Uma das áreas importantes na aplicação de regeneradores é em motores de turbinas a gás veiculares. Em 1950, iniciou-se uma intensa pesquisa sobre plantas de geração de energia com turbinas a gás, que incluía regeneradores rotativos. Regeneradores tipo cilindro e disco foram desenvolvidos pela General Motors e outros fabricantes de motores de turbinas a gás. O programa de desenvolvimento destas máquinas trouxe significativos avanços em vários sentidos para a tecnologia de regeneradores, tais como melhoria dos modelos, das superfícies de transferência de calor da matriz, do projeto das selagens e dos materiais empregados. Uma planta simples de turbina a gás consiste apenas de um compressor e uma 1. Introdução 4 câmara de combustão, e a turbina têm a vantagem de ser mais leve e compacta. Entretanto, é conhecida pelo alto consumo específico de combustível, quando comparada com as modernas plantas de geração a vapor e motores de combustão interna. A única melhoria na planta de turbina a gás, que dá um excelente incremento na eficiência térmica da planta, é a adição de um regenerador para transferir a energia térmica dos gases quentes exaustos da turbina para o ar admitido no compressor, especialmente quando é empregado um conjunto de resfriadores intermediários durante a compressão. Esta melhoria resulta em um plano de economia que é altamente desejável para alguns tipos de transporte primário, tais como as locomotivas de turbinas a gás, navios com turbina a gás e os aviões a turboélice. • Aplicações em recuperação de calor residual Substanciais ganhos na eficiência do combustível podem ser obtidos por recuperação de calor contido nos gases de combustão, por estes três meios: processo de aquecimento da carga (matéria-prima) , geração de vapor e preaquecimento do ar para combustão. O preaquecimento da carga é freqüentemente mais apropriado para fornos com escoamento continuo contra-corrente. Aplicações para este método são freqüentemente limitados pelo grande espaço requerido e pelo alto custo de investimento. A geração de vapor é um meio efetivo de recuperação de calor quando a demanda por vapor equivale à disponibilidade dos gases de combustão. Um método típico de geração de vapor inclui um ciclo simples de recirculação forcada e recuperação do calor dos gases exaustos com um economizador, conjugado ou não com um superaquecedor. O preaquecimento do ar para a combustão é o mais adaptável para sistemas de recuperação de calor, porque requer modificações mínimas no sistema existente. Este método aumenta a eficiência do sistema, e os preaquecedores do ar frio para 1. Introdução 5 a combustão reduzem a quantidade de combustível requerido. Na figura 1.1 a economia teórica de combustível, devido ao preaquecimento do ar para a combustão, é exibida em função de três parâmetros: temperatura dos gases exaustos (gases da combustão), temperatura do ar preaquecido para combustão e efetividade do preaquecedor. Fig. 1.1: Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a combustão. 1.2 Trocadores de calor recuperativos O Recuperador é um tipo de trocador de calor de transferência direta onde os dois fluidos são separados por uma parede condutora, através da qual é feita a transferência de calor. Os fluidos escoam simultaneamente e permanecem separados. O recuperador não tem partes móveis. Alguns exemplos de recuperadores de calor são os tubulares, mostrados na figura 1.2, os de placas finas, e trocadores de superfície estendida [13]. Recuperadores de calor são usados quando os gases são limpos e não contaminados. Os recuperadores têm algumas vantagens, tais como: 1. São de fácil construção. 1. Introdução 6 Fig. 1.2: Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com escoamento em contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em contra corrente. 2. São de natureza estacionária. 3. Tem distribuição de temperatura uniforme e, portanto menor choque térmico. 4. Ausência de problemas de selagem. Entretanto, seu uso é limitado pela resistência dos materiais à alta temperatura, devido a radiação dos gases de combustão. Além disso, recuperadores são sujeitos a degradação no desempenho de recuperação de calor pela sujeira proveniente dos voláteis e resíduos (pó) gerados na combustão dos gases. 1.3 Trocadores de calor regenerativos O regenerador consiste em uma matriz, através da qual a corrente quente e a corrente fria escoam periódica e alternadamente. Primeiro o fluido quente cede calor para o regenerador. Depois, o fluido frio escoa pela matriz através da mesma passagem, recebendo o calor armazenado. Desta maneira, pela reversão regular, a matriz é alternadamente exposta às correntes quente e fria, e as temperaturas do conjunto e do gás 1. Introdução 7 oscilam com o tempo, na mesma posição. Do ponto de vista da modelagem de transferência de calor, recuperadores podem ser tratados como estando operando em regime permanente. Já em regeneradores, por mais que as correntes de processo que passam pelo mesmo estejam trocando calor em regime permanente, localmente, o regime de transferência de calor em um regenerador é transiente e periódico, visto que uma corrente passa o calor para a matriz que em seguida passa o calor para a outra corrente na segunda parte do ciclo. 1.3.1 Tipos de trocadores regenerativos Visto que a matriz é alternadamente aquecida pelo fluido quente e resfriada pelo fluido frio, a matriz deve permanecer estacionária e os gases podem passar através dela alternadamente, ou a matriz deve girar entre as passagens dos gases quentes e dos gases frios. Os regenerados podem ser classificados de acordo com esta condição em dois tipos: Regenerador de Matriz Fixa ou Regenerador Rotativo. 1.3.1.1 Regenerador de matriz fixa O regenerador de matriz fixa, ou tipo armazenador, é um mecanismo de transferência de calor com escoamento periódico, com matriz de alta capacidade térmica, através da qual a corrente de fluido quente e a corrente de fluido frio passam alternadamente. Para alcançar o escoamento contínuo são necessárias pelo menos duas matrizes, como mostrado na figura 1.3. O escoamento através das matrizes é controlado por vávulas. De acordo com o número de matrizes empregadas o regenerador é classificado como matriz simples ou matriz de válvula dupla. Inicialmente, enquanto a matriz A é aquecida pelo fluido quente a matriz B é resfriada pelo fluido frio. Depois de um intervalo de tempo, as válvulas são operadas de forma a inverter o escoamento, então o fluido quente escoa pela matriz B transferindo calor para a mesma, enquanto o fluido frio escoa pela matriz A e é aquecido. A inversão do processo continua periodicamente. Alguns exemplos de aplicações de trocadores de calor recuperativos são os preaquecedores de ar para combustível de auto-fornos, fornos para a indústria de vidro e fornos 1. Introdução 8 de núcleo aberto. Fluido Quente Fluido Frio TQ1 TF1 Matriz TQ2 TF2 Fluido Quente Fluido Frio TF1 e TF2 ʹ Temperatura do Fluido Frio, na entrada e na saída TQ1 e TQ2 ʹ Temperatura do Fluido Quente, na entrada e na saída Fig. 1.3: Regenerador tipo válvula dupla. Abaixo são descritas algumas vantagens dos regeneradores de matriz fixa: 1. Os materiais empregados na matriz não tem expansão térmica, portanto a tensão térmica é baixa. 2. Este tipo de regenerador é facilmente montado, então os materiais da matriz podem ser removidos para a limpeza e remontados. 3. Diferentemente dos recuperadores, a sujeira não reduz a capacidade de troca térmica do regenerador, apenas aumenta a resistência ao escoamento (perda de carga). 4. Ausência de problemas de selagem. A maior desvantagem dos regeneradores de matriz fixa é a complexidade e os custos associados com dispositivo de inversão do processo. 1. Introdução 1.3.1.2 9 Regenerador rotativo O regenerador rotativo consiste em uma matriz rotativa, através da qual as correntes de fluido quente e frio escoam continuamente, como mostrado na figura 1.4. O regenerador rotativo é também chamado de trocador de calor de escoamento periódico, visto que uma parte da matriz, por causa da rotação continua é sempre exposta ao escoamento regular e contínuo das correntes de fluido quente e frio. O principio da regeneração rotativa é alcançado por dois meios: o escoamento através da matriz é revertido periodicamente pela rotação da mesma, ou a matriz é mantida estacionária enquanto os dutos são girados continuamente. Os regeneradores rotativos de escoamento periódico são caracterizados pelos seguintes fatores: 1. São mais compactos. 2. Os poros da matriz promovem uma longa e tortuosa passagem e portanto uma grande área de contato durante o escoamento dos fluidos. 3. Não há uma separação do escoamento com tubos ou placas, mas um sistema de selagem para e evitar a mistura das correntes, devido ao diferencial de pressão. 4. A presença de partes móveis, em vez da abertura e fechamento das válvulas existentes nos regeneradores de matriz fixa. 5. Pode ser obtida alta efetividade, desde que a matriz possa ser aquecida a uma temperatura próxima da temperatura dos gases de combustão. 6. Para alcançar uma efetividade muito alta, a capacidade térmica da matriz deve ser grande, comparada à dos fluidos de trabalho. Este requisito restringe o uso de regeneradores exclusivamente a aplicações gasosas. 7. A selagem entre as correntes fria e quente são um problema. Vazamentos da corrente fria a alta pressão para a corrente quente a baixa pressão podem ocorrer, carreando parte do fluido de uma corrente para a outra. Todavia, o problema de vazamento é menor em desumidificadores para aplicações em ar condicionado. 1. Introdução 10 Fig. 1.4: Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria, 2 Proteção rotativa. 8. Aplicação em altas temperaturas para serviços como turbinas a gás, fornos de fusão e recuperação de calor em plantas de geração de energia a vapor. 9. Aplicações em médias pressões para turbinas a gás, e aplicações em baixas pres- 1. Introdução 11 sões para desumidificação e recuperação de calor residual. 10. Os regeneradores possuem características de auto-limpeza por causa do escoamento das correntes de gases quentes e frios em direções opostas periodicamente, através da mesma passagem. 11. Normalmente prevalece à condição de escoamento laminar, devido ao pequeno diâmetro hidráulico. Regeneradores rotativos são usados em turbinas a gás, fornos de processo em refinarias de petróleo e como desumidficadores em aplicações de ar condicionado. Os dois tipos mais comuns de regeneradores rotativos são o tipo cilindro e o tipo disco, como mostrado na figura 1.5. O regenerador com matriz tipo disco consiste de placas metálicas finas, alternadas entre corrugadas e planas, montadas em torno de um cubo central, ou de material cerâmico prensado em forma de disco. Em circunstâncias ideais sem má distribuição, o projeto com disco único é favorecido pelo menor comprimento da selagem e menor vazamento pela selagem. O regenerador com matriz tipo cilindro consiste de um material condutor de calor montado na forma de cilindro oco. Os gases escoam radialmente através do cilindro. Os custos para a fabricação do regenerador tipo cilindro são muito maiores, comparados ao regenerador tipo disco, portanto o regenerador tipo cilindro não é utilizado em muitas aplicações. A Figura 1.6 ilustra esquematicamente um trocador regenerativo. O rotor (ou matriz rotativa) é ciclicamente exposto a duas correntes de processo. Estas correntes chegam ao regenerador, separadas, através de dois dutos, portanto, dividindo o regenerador em duas seções: uma para a corrente de processo I e a outra para a corrente II. A matriz é composta por inúmeros mini-canais, paralelos ao eixo de rotação. Desta forma, uma fração dos canais está exposta à corrente I enquanto a outra é exposta à corrente II. Dependendo da corrente que chega a um canal em um determinado instante, ele é dito estar no período de operação I ou II. Como a matriz gira constantemente, a posição de cada canal na roda varia fazendo com que este seja alternado entre os períodos I e II. Independente do período de operação do fluido no canal, o mesmo é 1. Introdução 12 Fluxo Axial Fluxo Radial Fluido Frio Fluido Quente Saída gás Aquecido Saída gás Aquecido Entrada gás Quente Entrada gás Quente Matriz estacionaria Matriz Rotativa Saída gás Frio Proteção Rotativa Entrada gás Frio Saída gás Resfriado Entrada gás Frio Fig. 1.5: Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo da matriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo disco. simplesmente referenciado como corrente de processo. seção ω p .................... ... .... ... ... .. .. .. .. .... . . ... ..... ...... .......... seção II ................ .. ..................... ....... ...... ........ .... ..... ...... .... ... .... .... . . . . ... ... .. ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. ... . ......... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. . ... .. .. . .. . ... .... . .. .. . . . .. .. . ... .. ... . .. . . . .. . .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... ... .. .. . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ... .. ... ... ... ... .... .. ... .... .... ... . . . . . . .... .. ..... ....... .... ....... ........... ....... ....................... ................ p αI @@ @@ @ @@ @ * L Fig. 1.6: Regenerador Rotativo. I p p 1. Introdução 13 Para simplificar a análise, a modelagem matemática do problema é feita considerando o transporte de calor (e massa, no caso mais geral) em único canal, o qual é alternado entre as correntes de processo I e II. Desta forma o canal pode ser analisado de forma estacionária, desde que um sistema de coordenadas apropriado, fixo a um canal representativo seja escolhido. O fluido de processo é ar úmido, ou seja, uma mistura de ar e vapor d’água. As paredes de cada canal (parede sólida, na figura 2.1) podem ser compostas por diferentes materiais, dependendo do tipo de trocador. No caso de trocadores de calor sensível, materiais metálicos e ou cerâmicos são comumente utilizados. parede sólida y = H /2 + δ y = H /2 y 6 -x corrente de processo parede sólida Fig. 1.7: Mini-canal de regeneradores. 1.3.1.3 Trocadores regenerativos com troca de calor latente Um caso especial de trocadores regenerativos é o de dispositivos capazes de proporcionar troca de calor sensível e latente entre duas correntes de processo. Estes trocadores são denominados regeneradores de calor e massa, e tem se mostrado importantes em diversas aplicações industriais envolvendo desumidificação e recuperação de energia. A capacidade de trocar calor latente (associado à transferência de vapor d’água), é resultado da utilização de materiais higroscópicos (adsorventes com alta afinidade com vapor d’água) na construção destes trocadores, que são comumente encontrados na forma de rodas entálpicas (possuindo alta velocidade de rotação e baixa quantidade de material adsorvente), ou rodas dessecantes (com baixa velocidade de rotação e alta quantidade de adsorvente). Para projetar estes regeneradores de maneira eficiente, é 1. Introdução 14 necessário ter-se um bom entendimento da transferência de calor e massa acoplada que ocorre durante a operação destes dispositivos. Os mecanismos de transporte presentes em regeneradores de calor e massa, são complexos, envolvem transferência calor e massa acoplada e adsorção física. Portanto, vários estudos relacionados à simulação da transferência de calor e massa foram realizados. Entre aplicações de regeneradores na forma de rodas entálpicas, devem-se mencionar [14–17]. Tratando-se de rodas dessecantes, devem-se mencionar os estudos [18–25]. Embora haja considerável pesquisa dedicada individualmente a rodas dessecantes e rodas entálpicas, formulações unificadas válidas para ambos os tipos de trocadores também foram propostas [26–34]. Apesar do número de formulações propostas para o estudo da transferência de calor e massa, a grande maioria de estudos baseia-se em modelos onde o escoamento através dos canais de regeneradores é tratado de forma global (i.e. utilizando parâmetros concentrados) e coeficientes convectivos (para transferência de calor e massa1 ) constantes. 1.4 Objetivo do trabalho A grande maioria de formulações para trocadores de calor (regenerativos ou recuperativos), sejam estes trocadores de calor sensível apenas ou trocadores de calor sensível e latente, em geral, são baseadas em formulações globais, utilizando velocidades, temperaturas e concentrações médias na seção transversal ao escoamento. Além disto, os coeficientes convectivos utilizados são considerados constantes, o que só seria válido em regiões onde o escoamento é completamente desenvolvido (momentum, temperatura e concentração). Entretanto, existem diversas situações onde o escoamento não pode ser tratado como completamente desenvolvido, e coeficientes convectivos constantes não podem ser utilizados. Em fluidos com número de Prandtl altos (óleos por exemplo) a condição de desenvolvimento térmico é dificilmente atingida em trocadores [35]. Em gases, esta 1 onde naturalmente a transferência de massa (na forma de vapor d’água) só ocorre no caso de regeneradores com materiais higroscópicos 1. Introdução 15 condição também não é atingida para baixos números de Reynolds. Desta forma, em recuperadores, podem existir diversos casos onde coeficientes de transferência de calor por convecção não devem ser considerados constantes. Em regeneradores, os fluidos de processo são em geral gases, o que poderia permitir a utilização de coeficientes convectivos constantes, de acordo com a observação acima, para valores de Reynolds não tão baixos. Todavia, neste tipo de trocadores considerações adicionais devem ser observadas, sendo estas: 1. Não há uma condição de transferência de calor (e/ou massa) uniforme da parede dos canais para o escoamento; 2. Regeneradores operam em um regime semi-estácionário, ou seja, periódicos, de tal forma que haverá sempre uma dependência temporal no problema. Desta forma, mesmo em trocadores regenerativos operando com valores de Reynolds não tão baixos, não se deve automaticamente, assumir que a condição de desenvolvimento térmico está satisfeita. Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho é estudar o problema da convecção forçada em canais sem considerar o escoamento termicamente desenvolvido e considerando regimes transiente e permanente. Para tal, as equações de transporte para escoamento em dutos necessitam ser resolvidas. A solução do problema será abordada de maneira numérica utilizando o Método de Volumes Finitos. A fim de determinar uma solução numérica mais adequada para o problema, grande parte do trabalho será focada no desenvolvimento e avaliação de diferentes estratégias de soluções numéricas, todas estas utilizando o MFV. Uma vez que diferentes soluções forem testadas, o comportamento do coeficiente de transferência de calor por convecção adimensional (número de Nusselt) será avaliado para diferentes valores de Prandtl e Reynolds (para simular a utilização de diferentes fluidos e escoamentos). Ainda, serão consideradas soluções em regime permanente (tendo aplicações em recuperadores) e em regime transiente (tendo aplicação em regeneradores). Todavia, como gases em geral são utilizados em regeneradores, apenas os casos relativos a escoamentos com este tipo de fluido (em geral com valores maiores de Péclet) são analisados. 1. Introdução 16 O desenvolvimento deste trabalho envolverá a produção de uma ferramenta capaz de determinar a variação espacial e temporal do coeficiente de transferência de calor por convecção em canais de trocadores de calor. Com esta será possível determinar se a hipótese da utilização de coeficientes convectivos constantes é válida, e em que condições esta poderia ser considerada. Ainda, esta ferramenta possibilitará, indiretamente, comparar o impacto da utilização de coeficientes convectivos variáveis e constantes sobre os valores das efetividades de trocadores de calor. Deve-se mencionar, que no início do desenvolvimento deste trabalho, um estudo preliminar [36] que apenas considera a variação dos coeficientes convectivos adimensionais (Nusselt e Sherwood) na região de entrada do escoamento nos canais de um regenerador de calor e massa foi conduzido.2 Os resultados indicaram que a influência dos comprimentos de entrada será relevante apenas para razões de aspecto fora do normalmente encontrado em regeneradores rotativos. Todavia, este estudo não é capaz de determinar se o escoamento é de fato termicamente desenvolvido (e conseqüentemente se os coeficientes convectivos serão constantes) após a região de entrada, tornando necessários os desenvolvimentos posteriores feitos nesta dissertação. 2 Resultados deste estudo podem ser encontrados no apêndice B Capítulo 2 Formulação do Problema Neste capítulo são definidas as hipóteses para o escoamento em canais de trocadores de calor e a modelagem matemática do problema a partir do balanço de energia e balanço de momentum. Também neste capítulo, são estabelecidas as condições de contorno e condição inicial para o problema. 2.1 2.1.1 Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor Equações de balanço Para a modelagem do problema de escoamento em canais de trocadores de calor, foram consideradas as hipóteses a seguir: • O fluido de processo é newtoniano e o escoamento é laminar e incompressível; • Não há geração de energia ou aquecimento por dissipação viscosa durante o processo; • Não há mudança de fase do fluido de processo; • A transferência de calor por radiação é desprezada; • A variação de temperatura é tal que variações das propriedades termo-físicas do 17 2. Formulação do Problema 18 fluido são pequenas. Desta foma, as propriedades termo-físicas serão consideradas constantes; • Os fluidos considerados são gases ideais ou líquidos, com propriedades termofí- sicas constantes; • O escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido 2.1.1.1 Balanço de energia O balanço de energia, desprezando efeitos da compressibilidade, dissipação viscosa, e geração de energia é dado por: ρ cp µ ¶ ∂T + v·∇T + ∇·q̇00 = 0 ∂t (2.1) onde v = (u ,v ,w ). O fluxo de calor é obtido a partir da Lei de Fourier: q̇00 = −k ∇T (2.2) onde k é a condutividade térmica do fluido. Substituindo, a equação da energia é escrita na forma: ρ cp 2.1.1.2 µ ¶ ∂T + v·∇T = ∇·(k ∇T ) ∂t (2.3) Balanço de momentum linear O balanço de momentum linear é dado pelas equações de Navier-Stokes (escritas na forma vetorial), considerando o escoamento incompressível e com viscosidade dinâmica constante: ¶ ∂v ρ + v·∇v = − ∇p + µ ∇2 v ∂t µ (2.4) 2. Formulação do Problema 2.1.1.3 19 Simplificação para desenvolvimento hidrodinâmico Como o problema envolve o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em um duto cilíndrico (de área transversal constante), a velocidade v só tem componente na direção axial (u ), e a equação de momentum é simplificada, fornecendo: dp = µ ∇2 u, dx (2.5) e as demais equações de conservação são simplificadas para: ∂u = 0, ∂x ¶ µ ∂T ∂T ρ cp +u = ∇·(k ∇T ) ∂t ∂x 2.1.2 (2.6) (2.7) Equações para escoamento em canais de placas paralelas A figura (2.1) ilustra um mini-canal genérico de um trocador de calor, considerando as hipóteses apresentadas anteriormente, onde o escoamento é simplificado para canais de placas paralelas. O canal ilustrado na figura é simétrico. parede sólida y = H /2 + δ y = H /2 y 6 -x corrente de processo parede sólida Fig. 2.1: Mini-canal de regeneradores. As equações de balanço para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em 2. Formulação do Problema 20 coordenadas cartesianas são escritas na forma abaixo: µ 2 ∂ u dp =µ + dx ∂y 2 µ ¶ µ ¶ ∂T ∂T ∂ ∂T ρc p +u = k + ∂t ∂x ∂x ∂x ¶ ∂2 u , ∂z 2 µ ¶ µ ¶ ∂ ∂T ∂ ∂T k + k ∂y ∂y ∂z ∂z (2.8) (2.9) Em canais de placas paralelas, não há dependência em z : d2 u dp = µ 2, dx dy µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂T ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ρc p +u = k + k ∂t ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y (2.10) (2.11) Considerando a condutividade térmica do fluido constante, a equação (2.11) pode ser simplificada para: µ 2 ¶ ∂T ∂T ∂ T ∂2 T +u =α + ∂t ∂x ∂x 2 ∂y 2 (2.12) Onde α é a difusividade térmica do fluido. A solução para a equação de momentum (2.10) é a tradicional forma de HagenPoiseuille, que resulta no perfil de velocidade parabólico [37]: µ ³ y ´2 ¶ 3 u = 1− , ū 2 H /2 (2.13) onde a velocidade média na seção transversal é dada por: ū = 2.2 1 Ax Z 2 u dA = H Ax Z H /2 u dy (2.14) 0 Coeficiente convectivo e temperatura de mistura O fluxo de calor convectivo na interface entre o fluido e a parede dos canais1 é escrito em função da Lei de Resfriamento de Newton: 00 00 q̇ s→ f = h(T s − Tm ) = − q̇ f →s 1 (2.15) 00 a seta indica o sentido do fluxo de calor, sendo portanto q̇ s→ o fluxo da parede sólida para o fluido. f 2. Formulação do Problema 21 onde T s é a temperatura na parede, Tm a temperatura média de mistrura e h o coeficiente de transferência de calor por convecção, dado por: ³ ´ k ∂T ∂y h= y= H2 (2.16) T s − Tm A temperatura média de mistura para um escoamento incompressível entre placas planas paralelas é dada por: Tm = 1 ū Ax Z 2 T u dA = ū H Ax Z H /2 T u dy (2.17) 0 O número de Nusselt (baseado no diâmetro hidráulico), sendo uma forma adimensional comumente utilizada para o coeficiente de transferência de calor por convecção, é definido como: Nu = 2H h k (2.18) onde 2 H é o diâmetro hidráulico para canais de placas paralelas. 2.3 Condições de contorno 2.3.1 Condição de contorno na parede sólida Existem três possibilidades para esta condição de contorno, descritas a seguir. 2.3.1.1 Temperatura da parede constante A temperatura na parede sólida T0 é conhecida e considerada constante para este caso. T (x, H /2, t ) = T0 (2.19) 2. Formulação do Problema 2.3.1.2 22 Fluxo de calor constante O fluxo de calor fornecido para o fluido pelas paredes solidas , q̇000 é conhecido e constante ao longo do canal. µ 2.3.1.3 ∂T k ∂y ¶ = q̇ 000 (2.20) y=H /2 Armazenamento de energia na parede sólida Esta condição de contorno será relevantes para trocadores de calor regenerativos. Nesta, o fluxo de calor q̇ 00f →s deve ser determinado de uma balanço de energia na parede sólida. ¶ µ ∂T = −q̇ 00f →s k ∂y y=H /2 (2.21) Balanço de energia na parede sólida O balanço de energia na parede sólida é feito em um volume infinitesimal, onde a taxa de calor que entra, menos a taxa de calor que sai, equivale à taxa de variação da energia do volume considerado, resultando na equação abaixo: 00 Ax (q̇ x00 − q̇ x+dx ) + dAs (q̇ 00f →s ) = ρ s c s ∂T s dV ∂t (2.22) Utilizando uma Série de Taylor, tem-se: 00 (q̇ x00 − q̇ x+dx )=− ∂q̇ x00 ∂x dx + · · · (2.23) onde os termos de ordem superior foram desprezados. Pela Lei de Fourier: q̇ x00 = −k s ∂T s ∂x (2.24) Sabe-se também que: dV = Ax dx = δW dx (2.25) dAs = P x dx = 2W dx (2.26) 2. Formulação do Problema 23 onde W é a largura do canal, P x é o perímetro do canal e δ é a espessura da parede do canal. Substituindo na equação (2.22), obtém-se a equação da energia para a temperatura constante na parede: ρs cs 2 ∂T s ∂2 T s = ks + (q̇ 00f →s ) 2 ∂t ∂x δ (2.27) Introduzindo a difusividade térmica da parede sólida: αs = ks ρs cs (2.28) Obtém-se: 1 ∂T s ∂2 T s 2 = + (q̇ 00f →s ) 2 αs ∂t ∂x δ ks (2.29) Condição de contorno resultante Pela equação (2.29), o fluxo de calor q̇ 00f →s é dado por: q̇ 00f →s µ ¶ ∂2 T s δ k s 1 ∂T s − = 2 αs ∂t ∂x 2 (2.30) desta forma µ ¶ µ ¶ ∂2 T s ∂T δ k s 1 ∂T s − k =− ∂y y=H /2 2 αs ∂t ∂x 2 (2.31) Reconhecendo que a temperatura do fluido na parede (em y = H /2) tem que ser igual à temperatura do sólido, tem-se: µ ¶ 1 ∂T δ k s ∂2 T ∂T = − k ∂y 2 ∂x 2 αs ∂t Lembrando que as equações acima são válidas para y = H /2. (2.32) 2. Formulação do Problema 2.3.2 24 Condição de contorno na entrada do canal Na entrada do canal a condição de contorno é dada pela temperatura de entrada (Ti n ): T (0, y, t ) = Ti n 2.3.3 (2.33) Condição de contorno no centro do canal Devido a condição de simetria, a derivada da temperatura no centro do canal é nula. µ ¶ ∂T k =0 ∂y y=0 2.3.4 (2.34) Condição de contorno na saída do canal Assumindo que a condição de desenvolvimento térmico é atingida em uma posição longe da entrada do canal, tem-se: ¶ µ ∂ T − Ts = 0, ∂x Tm − T s x > xeT , (2.35) onde x e T é o comprimento de entrada térmica, e T s é a temperatura da parede, dada por: T s = T (x, H /2, t ) (2.36) Para a saída do canal, considerando a condição de desenvolvimento térmico, serão consideradas três possibilidades para as condições de contorno, as quais dependem da condição de aquecimento na parede dos canais (em y = H /2). Para obter a condição de contorno na saída do canal, faz-se um balanço de energia em regime permanente, para depois estender a análise para o regime transiente: −q̇ 00f →s P x dx = ρ c p ū Ax dTm (2.37) Ax = H W (2.38) Sabe-se que: 2. Formulação do Problema 25 P x = 2W (2.39) Substituindo-se na equação (2.37), tem-se: Rearrumando: ρ c p ū H W dTm = −q̇ 00f →s 2W dx (2.40) 2 q̇ 00f →s dTm =− dx ρ c p ū H (2.41) Introduzindo a difusividade térmica do fluido: α= Obtém-se a equação: 2.3.4.1 k ρ cp (2.42) 2 α q̇ f →s dTm =− dx k ū H 00 (2.43) Temperatura constante na parede do canal Para a temperatura constante na parede do canal, tem-se: T s = T0 (2.44) Considerando a condição de desenvolvimento térmico: µ ¶ ∂ T − T0 = 0, ∂x Tm − T0 para x > xeT (2.45) resultando em: µ ¶ µ ¶ 1 T − T0 dTm ∂T − = 0, 2 ∂x Tm − T0 (Tm − T0 ) dx para x > xeT (2.46) Desta forma, para a região termicamente desenvolvida, tem-se: ¶ µ ∂T T − T0 dTm = , ∂x Tm − T0 dx para x > xeT (2.47) 2. Formulação do Problema 26 Para temperatura constante na parede, o fluxo de calor na parede é dado por: q̇ 00f →s = h (Tm − T0 ) (2.48) Substituindo na equação (2.43), tem-se: dTm 2αh =− (Tm − T0 ), dx k ū H (2.49) Substituindo na equação (2.47), obtem-se a condição de contorno na saída, para o caso com temperatura constante na parede do canal: ∂T 2αh =− (T − T0 ), ∂x k ū H para x > xeT (2.50) A solução para a equação (2.49) fornece uma exponencial negativa: ¶ µ 2 α h̄ 0−x x Tm (x) − T0 = (Ti n − T0 ) exp − k ū H (2.51) onde h̄0−x é o coeficiente de transferência de calor médio da entrada até uma posição x qualquer. Como h̄ 0−x é constante na região termicamente desenvolvida, fica claro que, em regime permanente, Tm → T0 para x → ∞. Em regime transiente, como inicialmente o fluido encontra-se à mesma temperatura da parede, a condição Tm → T0 ocorrerá para valores de x menores que o limite considerado. Em outras palavras, se for considerado que Tm ≈ T0 para um valor grande de x , o caso mais crítico para esta aproximação é o regime permanente. Considerando a aproximação anterior Tm ≈ T0 , a condição na parede pode ser simplificada para: ∂T ≈ 0, ∂x para x > xeT (2.52) onde o valor para a aproximação será exato para x À x e T , ou seja: ∂T = 0, ∂x para x →∞ (2.53) 2. Formulação do Problema 2.3.4.2 27 Fluxo de calor constante na parede do canal Para o fluxo de calor constante na parede do canal (para região termicamente desenvolvida), tem-se: Tm − T s = ct e, x > xeT para (2.54) o que implica em: dTm dT s = , dx dx para x > xeT (2.55) µ ¶ µ ¶ ∂T ∂T s 1 ∂ T − Ts = − =0 ∂x Tm − T s ∂x ∂x Tm − T s (2.56) ∂T dT s = ∂x dx (2.57) resultando em: Sabe-se que o fluxo de calor na interface do canal é dado por: 00 00 −q̇ 00f →s = q̇ s→ f = q̇ 0 (2.58) Substituindo na equação de balanço de energia para o fluido (2.43), tem-se: 2 α q̇ 000 dTm = , dx k ū H (2.59) obtém-se a condição de contorno na saída, para o fluxo de calor constante na parede do canal: 2 α q̇ 000 ∂T dT s = = = ct e, ∂x dx k ū H 2.3.4.3 para x > xeT (2.60) Armazenamento de energia na parede sólida Para a condição de armazenamento de calor na parede sólida, a condição de saída se assemelha à condição utilizada para o caso com temperatura constante na parede, contudo, como a temperatura da parede também varia com o escoamento, se aproximando da temperatura do fluido à medida que x cresce, a consideração de uma derivada axial nula é mais adequada que no caso com temperatura constante na parede. Todavia, para 2. Formulação do Problema 28 este caso, não existirá uma condição de desenvolvimento térmico, como nos casos tradicionais de fluxo e temperatura constante. Apesar disto, pode-se considerar, para um valor razoavelmente grande de x , que a derivada axial é desprezível. Ou seja: µ ∂T ∂x ¶ ≈ 0, (2.61) x À0 A aproximação anterior torna-se exata para o caso assintótico: µ 2.3.5 ∂T ∂x ¶ = 0, (2.62) T (x, y, 0) = T0 (2.63) x →∞ Condição inicial A temperatura inicial é conhecida e constante: Capítulo 3 Adimensionalização Neste capítulo é feita a adimensionalização das equações obtidas no capítulo anterior, a fim de facilitar a solução numérica e a analise do problema. Também são adimensionalizadas as condições de contorno e condição inicial. Para isto, previamente, serão definidos os parâmetros adimensionais e as variáveis dependentes e independentes utilizadas na adimensionalização das equações. 3.1 Parâmetros adimensionais O número de Nusselt, baseado no espaçamento entre as placas, é definido em termos do coeficiente de transferência de calor por convecção (h ), e da condutividade térmica do fluido: hH , k NuH = (3.1) O número de Fourier é definido em termos da espessura da principal direção de condução de calor (H /2), do tempo final (t f ) e da difusividade térmica do fluido (α): Fo = αtf (H /2)2 (3.2) O número de Péclet baseado no espaçamento H , é definido em termos da veloci- 29 3. Adimensionalização 30 dade média (ū ) e da difusividade térmica do fluido: ū H α PeH = (3.3) O número de Fourier para a parede sólida é similar ao do fluido, porém a espessura e a difusividade térmica consideradas são as do sólido: Fos = αs t f (3.4) (δ/2)2 e o número de Biot é definido em termos do coeficiente de transferência de calor por convecção, e da espessura e condutividade térmica da parede sólida: Bi = h (δ/2) ks (3.5) A fração de área transversal entre a parede sólida e o canal (área de escoamento) é dada por: K = δ H (3.6) e a razão entre as resistências térmicas de condução na direção transversal é definida como: R∗ = 3.2 Bi k (δ/2) =2 k s (H /2) NuH (3.7) Variáveis adimensionais As variáveis independentes são as dimensões nos eixos longitudinal e transversal e o tempo: η= y , H /2 ξ= x , L τ= t tf (3.8) onde L é escrito em termos do número de Péclet baseado no espaçamento entre as placas: L= H PeH , 2 (3.9) 3. Adimensionalização 31 Desta forma as seguintes relações podem ser escritas: y =η H , 2 x = ξ L, t = τtf (3.10) A única variável dependente é a temperatura do fluido, adimensionalizada por: Θ= T − Tmin , Tmax − Tmin (3.11) Consequentemente, e a temperatura média de mistura, e as temperaturas inicial e de entrada são adimensionalizadas por: Tm − Tmin , Tmax − Tmin T0 − Tmin , Θ0 = Tmax − Tmin Ti n − Tmin Θi n = , Tmax − Tmin Θm = (3.12) (3.13) (3.14) Onde, naturalmente, se a temperatura mínima for T0 então Θ0 = 0, e se a temperatura máxima for Ti n então Θi n = 1, e assim por diante. Com a adimensionalização utilizada, as seguintes relações podem ser escritas: T = [Θ (Tmax − Tmin ) + Tmin ], Tm = [Θm (Tmax − Tmin ) + Tmin ] (3.15) Lembrando que Tmin e Tmax são constantes e que a temperatura média Tm foi definida pela equação (2.17). 3.3 Adimensionalização das equações Nesta seção as equações governantes, incluindo as condições de contorno são adimensionalizadas. 3.3.1 Equação da energia para o fluido Substituindo as variáveis dependentes na equação (2.12), tem-se: 3. Adimensionalização 32 µ 2 ¶ ∂Θ ∂ Θ ∂2 Θ ∂Θ +u =α + ∂t ∂x ∂x 2 ∂y 2 (3.16) Em seguida, substituindo as variáveis independentes tem-se a equação de energia adimensionalizada: 1 ∂Θ α ∂2 Θ α ∂2 Θ 1 ∂Θ + u ∗ ū = 2 + t f ∂τ L ∂ξ L ∂ξ2 (H /2)2 ∂η2 (3.17) onde a velocidade adimensional é dada por: u∗ = ¢ u 3¡ = 1 − η2 , ū 2 (3.18) Rearrumando, obtém-se: (H /2)2 ∂2 Θ ∂2 Θ (H /2)2 ∂Θ (H /2)2 ū ∗ ∂Θ + u = + α t f ∂τ L α ∂ξ L 2 ∂ξ2 ∂η2 (3.19) Finalmente, introduzindo a definição dos parâmetros adimensionais chega-se à forma: Fo−1 3.3.2 ∂2 Θ ∂2 Θ ∂Θ 1 ∗ ∂Θ + u = Pe−2 + H ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ2 ∂η2 (3.20) Condição de contorno na parede Este seção descreve as diferentes possibilidades (de acordo com as diferentes condições de aquecimento) de condição de contorno na parede, isto é, na interface entre o fluido e a parede dos canais, η = 1. 3.3.2.1 Temperatura constante na parede Para esta condição de contorno tem-se: Θ(ξ, 1, τ) = Θ0 (3.21) 3. Adimensionalização 3.3.2.2 33 Armazenamento na parede Substituindo as variaveis dependentes na equação (2.32), tem-se: µ ¶ ∂Θ δ k s ∂2 Θ 1 ∂Θ k = − ∂y 2 ∂x 2 αs ∂t (3.22) Em seguida, substituindo as variáveis independentes µ ¶ k ∂Θ δ k s 1 ∂2 Θ 1 ∂Θ = − (H /2) ∂η 2 L 2 ∂ξ2 αs t f ∂τ (3.23) k (δ/2) ∂Θ (δ/2)2 ∂2 Θ (δ/2)2 ∂Θ = − k s (H /2) ∂η L 2 ∂ξ2 αs t f ∂τ (3.24) e rearrumando, tem-se: Introduzindo os parâmetros adimensionais: δ2 ∂Θ k (δ/2) ∂Θ ∂2 Θ = 2 Pe−2 − Fo−1 s H 2 k s (H /2) ∂η H ∂ξ ∂τ (3.25) chega-se a forma final da condição de contorno para o caso com armazenamento de energia na parede sólida: R∗ ∂Θ ∂2 Θ −1 ∂Θ = K 2 Pe−2 − Fo s H ∂η ∂ξ2 ∂τ (3.26) lembrando que esta condição de contorno é válida em η = 1. Neste ponto vale comentar a equação anterior. Enquanto o segundo termo do lado direito desta representa o armazenamento de energia na parede, o primeiro termo representa a condução axial ∗ na parede. Note portanto que para casos com K 2 Pe−2 H /R ¿ 1 a condução na parede poderia ser desprezada. 3. Adimensionalização 3.3.3 34 Condição de contorno na entrada do canal Na entrada do canal, conforme já visto, a temperatura é conhecida, e a condição de contorno adimensionalizada é dada por: Θ(0, η, τ) = Θi n 3.3.4 (3.27) Condição de contorno no centro do canal No centro do canal, devido à simetria, a seguinte derivada da temperatura é nula: µ 3.3.5 ∂Θ ∂η ¶ η=0 =0 (3.28) Condição de contorno na saída do canal A condição de contorno na saída do canal dependerá da condição imposta na parede (η = 1). Independente da condição na saída, uma forma generalizada é utilizada: µ ¶ ∂Θ = Φ, ∂ξ para ξ > ξe T (3.29) onde Φ = Φ(η, τ) pode assumir valores diferentes, dependendo da condição imposta na parede. A seguir os valores de Φ são determinados para as diferentes possibilidades de aquecimento na parede. 3.3.5.1 Temperatura constante na parede Para a temperatura constante na parede, a condição de contorno na saída do canal é dada pela equação (2.50): 2αh ∂T =− (T − T0 ), ∂x k ū ∗ H para x > xe Introduzindo as variáveis adimensionais na equação (2.50) e rearrumando, obtém- 3. Adimensionalização 35 se: ∆T ∂Θ − 2 L α h (Θ − Θ0 ) = ∆T, ∂ξ k ū H ξ > ξe T para (3.30) e como L é escrito em função do número de Péclet, tem-se − 2 (H /2) PeH α h (Θ − Θ0 ) ∂Θ = , ∂ξ k ū H ξ > ξe T para (3.31) Introduzindo a definição dos número de Nusselt e número de Péclet, obtém-se: ∂Θ = − 2 NuH (Θ − Θ0 ), ∂ξ ξ > ξe T para (3.32) Desta forma: Φ = − 2 NuH (Θ − Θ0 ) (3.33) Como para x → ∞ a derivada axial tende a zero, de acordo com a equação (2.53), pode-se escrever: ∂Θ = 0, ∂ξ ξ→∞ para (3.34) ou seja, Φ = 0, 3.3.5.2 ξ→∞ para (3.35) Armazenamento de energia na parede Para a condição de armazenamento de calor na parede, a condição de contorno na saída do canal é dada pelas equações (2.61, 2.62). Adimensionalizando estas equações, chega-se a: µ 3.3.6 ∂Θ ∂ξ ¶ µ ξ > ξe T ≈ 0, ∂Θ ∂ξ ¶ ξ→∞ = 0, (3.36) Condição Inicial A condição inicial também é adimensionalizada, fornecendo: Θ(ξ, η, 0) = Θ0 . (3.37) Capítulo 4 Discretização por Volumes Finitos A proposta deste trabalho é resolver as equações de transporte definidas anteriormente, utilizando o método de volumes finitos. Para isso, neste capítulo é feita a discretização bidirecional e unidirecional (transversal e axial) do problema, considerando os regimes permanente e transiente. Inicialmente as equações são discretizadas para fornecer uma equação genérica, válida para todos os volumes do canal. Em seguida, a equação é particularizada para cada volume do canal, considerando suas respectivas condições de contorno e condição inicial. As formas de aquecimento consideradas são a temperatura constante e o armazenamento de energia na parede. O sistema a ser resolvido na forma adimensional, é dado por: • Equação de energia admensionalizada para o fluido (3.20): Fo−1 ∂2 Θ ∂2 Θ ∂Θ 1 ∗ ∂Θ + u = Pe−2 + H ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ2 ∂η2 • Perfil de velocidade do fluido admensionalizado: u∗ = ¢ 3¡ 1 − η2 , 2 • Bem como Condições de Contorno e Condições iniciais. 36 4. Discretização por Volumes Finitos 4.1 37 Discretização bidirecional A discretização do problema é feita utilizando o método dos volumes finitos. Para localização dos volumes na malha, será usado o sistema de coordenadas conforme indicado na figura 4.1. N u u u n r u W w r u P r e u E r s u u u S Fig. 4.1: Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volumes finitos notação discretizada. Onde: • P - É o centro do volume analizado, sendo P = P(ξ, η). • N (Norte) - É o centro do volume imediatamente acima do volume analizado; • S (Sul) - É o centro do volume imediatamente abaixo do volume analizado; • E (Leste) - É o centro do volume imediatamente a direita do volume analizado; • W (Oeste) - É o centro do volume imediatamente a esquerda do volume anali- zado; 4.1.1 Integração das equações A equação (3.20) pode ser reescrita na forma conservativa: Fo−1 ∂Θ 1 ∂ ¡ ∗ ¢ ∂2 Θ ∂2 Θ + u Θ = Pe−2 + H ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ2 ∂η2 (4.1) 4. Discretização por Volumes Finitos 38 Integrando no volume, tem-se: Z ηn ηs Z ξe ξw ¶ ¶ µ Z η n Z ξe µ 2 1 ∂ ¡ ∗ ¢ ∂2 Θ −1 ∂Θ −2 ∂ Θ + u Θ dξ dη = + dξ dη Fo PeH ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ2 ∂η2 ηs ξw (4.2) Onde: ∆η , 2 ηn = ηP + 4.1.2 η s = ηP − ∆η , 2 ξe = ξP + ∆ξ , 2 ξ w = ξP − ∆ξ 2 (4.3) Aproximação das integrais Para aproximar os termos da equação (4.2) avaliados nas faces do volume central, as seguintes aproximações de segunda ordem são utilizadas: • Primeiro Termo da Equação O primeiro termo da equação é escrito na forma: Z ηn ηs Z ξe ξw µ ¶ ·Z ηn Z ξe ¸ −1 ∂Θ −1 d Fo dξ dη = Fo Θ dξ dη ∂τ dτ η s ξw (4.4) Utilizando uma aproximação de segunda ordem [38]: ηn Z ηs Z ξe ξw Θ dξ dη ≈ Θ ∆η ∆ξ (4.5) A equação (4.4) é reescrita na forma: Z ηn ηs Z ξe ξw ¶ µ dΘP −1 ∂Θ dξ dη ≈ Fo−1 ∆η ∆ξ Fo ∂τ dτ (4.6) • Segundo Termo da Equação O segundo termo da equação pode ser escrito como: Z ηn ηs Z ξe ξw µ ¶ Z 1 ∂ ¡ ∗ ¢ 1 ηn ∗ ¯¯ξe (u Θ)¯ dη = u Θ dξ dη = 2 ∂ξ 2 ηs ξw Z ηn · ¯ ¯ ¸ 1 ¯ ¯ ∗ ∗ = (u Θ)¯ − (u Θ)¯ dη (4.7) 2 ηs ξe ξw 4. Discretização por Volumes Finitos 39 Onde: ¯ (u ∗ Θ)¯ξe = (u ∗ Θ)e , ¯ (u ∗ Θ)¯ξw = (u ∗ Θ)w (4.8) Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η: ηn Z h ηs ¯ ¯ i £ ¤ (u ∗ Θ)¯ξe − (u ∗ Θ)¯ξw dη ≈ (u ∗ Θ)e − (u ∗ Θ)w ∆η (4.9) A equação (4.7) é reescrita na forma: ηn Z ξe Z ηs µ ξw ¶ i 1h ∗ 1 ∂ ¡ ∗ ¢ u Θ dξ dη ≈ (u Θ)e − (u ∗ Θ)w ∆η 2 ∂ξ 2 (4.10) • Terceiro Termo da Equação O terceiro termo da equação pode ser escrito como: Z ηn ηs Z ξe ξw Pe−2 H µ ¸ ¶ Z ηn · ∂2 Θ ∂Θ ξe −2 dξ dη = PeH dη = ∂ξ2 ∂ξ ξw ηs ¶ ¶ ¸ µ Z ηn ·µ ∂Θ ¯¯ ∂Θ ¯¯ −2 = PeH dη (4.11) ¯ − ¯ ∂ξ ξe ∂ξ ξw ηs Onde: µ ¶ ¶ µ ∂Θ ¯¯ ∂Θ , ¯ = ∂ξ ξe ∂ξ e µ ¶ ¶ µ ∂Θ ¯¯ ∂Θ ¯ = ∂ξ ξw ∂ξ w (4.12) Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η: Z ηn ·µ ηs ¶ µ ¶ ¸ ·µ ¶ µ ¶ ¸ ∂Θ ¯¯ ∂Θ ¯¯ ∂Θ ∂Θ dη ≈ − ∆η ¯ − ¯ ∂ξ ξe ∂ξ ξw ∂ξ e ∂ξ w (4.13) A equação (4.11) é reescrita na forma: Z ηn ηs Z ξe ξw Pe−2 H µ ¶ ·µ ¶ µ ¶ ¸ ∂Θ ∂Θ ∂2 Θ −2 dξ dη ≈ PeH ∆η − ∂ξ2 ∂ξ e ∂ξ w • Quarto Termo da Equação (4.14) 4. Discretização por Volumes Finitos 40 O quarto termo da equação pode ser escrito como: Z ηn ηs Z ξe ξw µ ¶ Z ξe Z η n µ 2 ¶ ∂2 Θ ∂ Θ dξ dη = dη dξ = 2 ∂η ∂η2 ξw η s ¸ ¶ ¶ ¸ µ Z ξe · Z ξe ·µ ∂Θ ηn ∂Θ ¯¯ ∂Θ ¯¯ = dξ = ¯ − ¯ dξ (4.15) ∂η η s ∂η ηn ∂η η s ξw ξw Onde: ¶ ¶ µ ∂Θ ¯¯ ∂Θ , ¯ = ∂η ηn ∂η n µ µ ¶ ¶ µ ∂Θ ¯¯ ∂Θ ¯ = ∂η η s ∂η s (4.16) Utilizando uma aproximação de segunda ordem: Z ξe ·µ ξw ¶ ¶ ¸ ¶ µ ¶¸ µ ·µ ∂Θ ∂Θ ¯¯ ∂Θ ¯¯ ∂Θ − ∆ξ ¯ − ¯ dξ ≈ ∂η ηn ∂η η s ∂η n ∂η s (4.17) A equação (4.15) é reescrita na forma: Z ηn ηs Z ξe ξw µ ¶ ·µ ¶ µ ¶¸ ∂2 Θ ∂Θ ∂Θ dξ dη ≈ − ∆ξ ∂η2 ∂η n ∂η s (4.18) Substituindo as aproximações para as integrais na equação (4.1): ¸ · · ´¸ 1 ³ ∗ ∗ −1 dΘP ∆η ∆ξ + ∆η (u Θ)e − (u Θ)w = Fo dτ 2 µ ·µ µ ¶ ¶ ¸¶ µ ·µ ¶ µ ¶ ¸¶ ∂Θ ∂Θ ∂Θ ∂Θ −2 = PeH ∆η − + ∆ξ − (4.19) ∂ξ e ∂ξ w ∂η n ∂η s e dividindo por ∆ξ ∆η tem-se a equação de energia integrada em um volume finito com as aproximações integrais substituídas: Fo−1 ´ dΘP 1 ³ ∗ + (u Θ)e − (u ∗ Θ)w = dτ 2 ∆ξ ·µ ¶ µ ¶ ¸ ·µ ¶ µ ¶¸ ∂Θ 1 ∂Θ ∂Θ ∂Θ −2 1 − + − (4.20) = PeH ∆ξ ∂ξ e ∂ξ w ∆η ∂η n ∂η s 4. Discretização por Volumes Finitos 41 Todavia, como a velocidade não varia na direção axial pode-se simplificar a equação anterior para: −1 Fo u P∗ ¡ ¢ dΘP + Θe − Θw = dτ 2 ∆ξ ·µ ¶ µ ¶ ¸ ·µ ¶ µ ¶¸ ∂Θ ∂Θ 1 ∂Θ ∂Θ −2 1 = PeH − + − (4.21) ∆ξ ∂ξ e ∂ξ w ∆η ∂η n ∂η s onde u P∗ é o perfil de velocidade discretizado. Esta equação é valida para todos os pontos do mini-canal, conforme ilustrado na figura 4.2. Parede do Canal η=1 7 ··· .. . 4 ··· .. . ··· .. . 1 8 5 .. . ··· .. . ··· 2 9 6 .. . ··· 3 η=0 Fig. 4.2: mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos volumes finitos. Onde os números da figura representam os seguintes volumes: • 1 - Volume adjacente à entrada e ao centro do canal; • 2 - Volumes adjacentes ao centro do canal; • 3 - Volume adjacente à saída e ao centro do canal; • 4 - Volumes adjacentes à entrada do canal; • 5 - Volumes internos do canal; • 6 - Volumes adjacentes à saída do canal; • 7 - Volume adjacente à entrada e à interface da parede do canal; Fluido 4. Discretização por Volumes Finitos 42 • 8 - Volumes adjacentes à interface da parede do canal; • 9 - Volume adjacente à saída e à interface da parede do canal; 4.1.3 Regras de interpolação Para aproximar os termos difusivos (derivadas de segunda ordem) avaliados nas faces do volume central, as seguintes aproximações centradas de segunda ordem, são utilizadas: ¶ ∂Θ ∂η n µ ¶ ∂Θ ∂η s µ ¶ ∂Θ ∂ξ e ¶ µ ∂Θ ∂ξ w µ ΘN − ΘP ∆η ΘP − ΘS ≈ ∆η ΘE − ΘP ≈ ∆ξ ΘP − ΘW ≈ ∆ξ ≈ (4.22) (4.23) (4.24) (4.25) Para calcular quantidades nas faces do volume finito em termos de pontos centrais, e vice-versa, também utilizam-se as seguintes regras de interpolação de segunda ordem: ´ 1³ ´ 1³ ( f )P ≈ ( f )s + ( f )n ≈ ( f )w + ( f )e 2 2 ´ 1³ ( f )P + ( f )N 2 ´ 1³ ( f )s ≈ ( f )S + ( f )P 2 ´ 1³ ( f )e ≈ ( f )P + ( f )E 2 ´ 1³ ( f ) w ≈ ( f )W + ( f )P 2 ( f )n ≈ (4.26) (4.27) (4.28) (4.29) (4.30) Utilizando as relações anteriores, diferenças atrasadas e avançadas podem ser escritas 4. Discretização por Volumes Finitos 43 para determinar quantidades no contorno em função de pontos internos apenas: ´ 1³ 3 ( f )P − ( f )S 2 ´ 1³ ( f )s ≈ 2 ( f )P − ( f )n ≈ 3 ( f )P − ( f )N 2 ´ 1³ ( f )e ≈ 2 ( f )P − ( f )w ≈ 3 ( f )P − ( f )W 2 ´ 1³ ( f )w ≈ 2 ( f )P − ( f )e ≈ 3 ( f )P − ( f )E 2 ( f )n ≈ 2 ( f )P − ( f ) s ≈ (4.31) (4.32) (4.33) (4.34) Relações para calcular pontos no centro de volumes adjacentes em relação a pontos no volume considerado também podem ser escritas: 4.1.4 ( f )E ≈ 2 ( f )e − ( f )P (4.35) ( f )W ≈ 2 ( f )w − ( f )P (4.36) ( f )N ≈ 2 ( f )n − ( f )P (4.37) ( f )S ≈ 2 ( f ) s − ( f )P (4.38) Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão Para aproximar a primeira derivada axial, pode-se utilizar o esquema de diferenças centradas (CDS): ¢ 1¡ ΘP + ΘE 2 ¢ 1¡ ≈ ΘW + ΘP 2 Θe ≈ (4.39) Θw (4.40) Todavia, enquanto esta aproximação é bastante apropriada para termos difusivos, ela pode levar a certas instabilidades numéricas em termos convectivos. Para remediar tal problema existe a opção de aproximar a derivada convectiva utilizando um esquema upwind (UDS), que leva em consideração o sentido da velocidade: Θe ≈ ΘP e Θw ≈ ΘW , para u∗ > 0 (4.41) Θe ≈ ΘE e Θw ≈ ΘP , para u∗ < 0 (4.42) 4. Discretização por Volumes Finitos 44 Uma desvantagem do esquema acima é que este introduz difusão numérica, levando a resultados errôneos, especialmente em malhas pouco refinadas. Uma forma de evitar as instabilidades trazidas pelos esquema CDS e minimizar a difusão numérica introduzida pelo UDS, é a de combinar as duas aproximações, chegando a um esquema híbrido: ¡ ¢ Θe ≈ ΘP + ω ΘE − ΘP (4.43) ¡ ¢ Θw ≈ ΘW + ω ΘP − ΘW (4.44) onde o parâmetro ω dita o tipo de mistura de CDS com UDS utilizada, seguindo a regra abaixo: 0 ≤ ω ≤ 1/2, para u∗ > 0 (4.45) 1/2 ≤ ω ≤ 1, para u∗ < 0 (4.46) Desta forma, quando ω = 1/2 o esquema CDS é obtido, e quando ω = 0 ou ω = 1 o esquema upwind é obtido. Como o esquema híbrido é uma combinação de UDS e CDS a ordem este esquema é superlinear, ou seja, entre 1 e 2. O parâmetro ω é extraído da solução analítica para o problema linear de difusãoconvecção na direção axial apenas [39] 1 ∗ dΘ d2 Θ u = Pe−2 H 2 dξ dξ2 (4.47) ¡ ¢ Θ = c 1 + c 2 exp Pe2H /2 (ξ − ξP ) (4.48) cuja solução fornece: Com isto, as relações Θ(ξE ) = ΘE , Θ(ξW ) = ΘW e Θ(ξP ) = ΘP levam ao seguinte valor para o parâmetro ω: ¡ ¢ exp u ∗ Pe2H /4 − 1 ¡ ¢ ω= exp u ∗ Pe2H /2 − 1 (4.49) 4. Discretização por Volumes Finitos 45 Os limites anteriores são atingidos para u ∗ PeH = 0 (resultando em ω = 1/2) e u ∗ PeH → ±∞ (resultando em ω = 0 para u ∗ > 0 e ω = 1 para u ∗ = 1). Desta forma para valo- res grandes de u ∗ PeH (onde convecção é predominante) um esquema de diferenças upwind será utilizado, enquanto para valores pequenos de u ∗ PeH o esquema de diferenças centrais será utilizado. Levando em consideração que u ∗ varia com η, o parâmetro ω também irá variar verticalmente, contemplando localmente a razão entre os efeitos convectivos e difusivos. De uma forma geral a derivada convectiva é escrita como: i u∗ ³ ´ ∆Θew 1 h ∗ (u Θ)e − (u ∗ Θ)w = P Θe − Θw = u P∗ ∆ξ ∆ξ ∆ξ (4.50) onde ∆Θew será determinado da aproximação híbrida dada pelas equações (4.43) e (4.44). Para pontos em volumes fora do contorno em ξ esta aproximação resulta em: ∆Θew ∆ξ ≈ ¢ 1 ¡ ω ΘE + (1 − 2 ω) ΘP − (1 − ω) ΘW ∆ξ (4.51) para volumes adjacentes à entrada ou saída do canal as condições de contorno devem ser utilizadas. 4.1.5 4.1.5.1 Condições de contorno nas coordenadas do MVF Entrada do canal A condição de contorno para a entrada do canal (ξ = 0) é dada pela equação (3.27), a qual é escrita em termos das coordenadas do MVF como: Θw = Θi n (4.52) Utilizando as regras de interpolação a derivada axial na entrada do canal pode ser escrita em relação à temperatura de entrada: µ ∂Θ ∂ξ ¶ ≈ w ΘP − ΘW ΘP − (2 Θw − ΘP ) Θi n − ΘP =≈ ≈2 ∆ξ ∆ξ ∆ξ (4.53) 4. Discretização por Volumes Finitos 46 No entanto, para determinar a derivada convectiva, o esquema híbrido UDS-CDS, dado pela equação (4.43) é utilizado, levando à: ∆Θew ∆ξ 4.1.5.2 ≈ ¢ 1 ¡ ω ΘE + (1 − ω) ΘP − Θi n ∆ξ (4.54) Saída do canal Para especificar uma condição de contorno para a saída, foi necessário estipular que esta estivesse localizada a uma posição além da entrada térmica (ou ξ À 0 em geral). Foi visto também que para uma posição suficientemente grande uma condição de derivada nula de temperatura acaba sendo atingida. Para especificar a saída do canal de uma maneira geral, é estipulado que a saída estará localizada em uma posição ξ = ξmax . Naturalmente, este valor deve ser escolhido de forma que a uma variação em ξmax não altere a solução. A condição de contorno em ξ = ξmax é dada pela equação (3.29), que em coordenadas do MVF é: µ ∂Θ ∂ξ ¶ = Φe (4.55) e Utilizando a condição de contorno acima, pode-se escrever: ΘE ≈ ΘP + ∆ξ Φe (4.56) Utilizando as regras de interpolação é possível determinar a temperatura para o ponto de saída: 1 3 ΘP − ΘW Θe ≈ 2 ΘP − Θw ≈ 2 ΘP − (ΘW + ΘP ) = 2 2 (4.57) Entretanto, a derivada convectiva, é determinada utilizando a equação (4.44), junto com a condição de contorno acima, levando a: ∆Θew ∆ξ = 1 (1 − ω) (ΘP − ΘW ) + ω Φe ∆ξ (4.58) Observando a equação acima, fica claro que para posições onde a convecção é domi- 4. Discretização por Volumes Finitos 47 nante (ω ≈ 0) a condição de saída não tem influência sobre o problema. 4.1.5.3 Centro do canal No centro do canal (η = 0), devido a condição de simetria, a derivada da temperatura é nula, conforme equação (3.28), desta forma tem-se: µ ∂Θ ∂η ¶ =0 (4.59) s A temperatura na posição central pode ser calculada utilizando as regras de interpolação: 1 3 ΘP − ΘS Θs ≈ 2 ΘP − Θs ≈ 2 ΘP − (ΘS + ΘP ) = 2 2 4.1.5.4 (4.60) Parede do canal Utilizando as regras de interpolação a derivada transversal na parede pode ser escrita em relação à temperatura da parede na forma: µ ∂Θ ∂η ¶ ≈ n (2 Θn − ΘP ) − ΘP Θn − ΘP ΘN − ΘP ≈ ≈2 ∆η ∆η ∆η (4.61) O valor de Θn irá depender da condição de contorno aplicada na parede sólida. Para parede isotérmica, tem-se Θn = Θ0 (4.62) e a equação (4.61) é facilmente modificada. Para armazenamento de calor na parede, a derivada da temperatura é dada em função da equação de armazenamento de energia na parade admensionalizada, conforme a equação (3.26), que em termos das coordenadas do MVF é escrita como: µ ∂Θ ∂η ¶ η=η n · ¸ 2 1 2 −2 ∂ Θ −1 ∂Θ = ∗ K PeH − Fos R ∂ξ2 ∂τ η=ηn (4.63) 4. Discretização por Volumes Finitos 48 Integrando em ξ: Z ξe µ ξw ∂Θ ∂η ¶ · ·µ ¶ µ ¶ ¸ ¶ ¸ Z ξe µ ∂Θ ∂Θ ∂Θ 1 2 −2 −1 dξ = ∗ K PeH − − Fos dξ (4.64) R ∂ξ e ∂ξ w ξw ∂τ η=η n η=η n e utilizando aproximações de segunda ordem para as integrais: µ ∂Θ ∂η · µµ ¶ µ ¶ ¶¸ · µ ¶ ¸ ∂Θ ∂Θ 1 1 2 −2 −1 ∂Θ = K PeH − − ∗ Fos ∆ξ R ∗ ∂ξ ne ∂ξ nw R ∂τ n ¶ n (4.65) Para este caso, a temperatura na coordenada n é uma incógnita, e portanto, modifica-se a notação da última equação, escrevendo: µ ∂Θ ∂η ¶ n · µµ ¶ µ ¶ ¶¸ ∂Θn ∂Θn ∂ΘnP 1 1 2 −2 = K PeH − − ∗ Fo−1 s ∗ ∆ξ R ∂ξ e ∂ξ w R ∂τ (4.66) onde Θn é a incógnita a ser determinada. Introduzindo a equação (4.61) e rearrumando, chega-se à seguinte equação para Θn : ∂ΘnP Fo−1 s ∂τ 2 −2 ΘnP − ΘP K PeH = −2 R + ∆η ∆ξ ∗ µµ ∂Θn ∂ξ ¶ ∂Θn − ∂ξ µ e ¶ ¶ (4.67) w onde, para determinar as derivadas axiais de Θn nas faces e e w utiliza-se as regras de interpolação, e as condições de contorno na entrada e saída, quando necessárias. 4.1.6 Equação para os volumes internos Os volumes internos do canal são representados pelo número 5 na figura (4.2). Substituindo as regras de interpolação na equação (4.21) tem-se a equação discretizada para os volumes internos do canal: −1 Fo ∗ ΘE − 2ΘP + ΘW ΘN − 2ΘP + ΘS dΘP u P ∆Θew + = Pe−2 + H dτ 2 ∆ξ ∆ξ2 ∆η2 (4.68) onde ∆Θew é dado pela equação (4.51), fornencendo: ∆Θew ≈ ω ΘE + (1 − 2 ω) ΘP − (1 − ω) ΘW (4.69) 4. Discretização por Volumes Finitos 4.1.7 49 Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal Os volumes adjacentes ao centro canal são representados pelo número 2 na figura 4.2. Substituindo as regras de interpolação, a condição de contorno e na equação (4.21), obtém-se a equação discretizada para os volumes adjacentes ao centro do canal: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew ΘE − 2ΘP + ΘW ΘN − ΘP + = Pe−2 + H dτ 2 ∆ξ ∆ξ2 ∆η2 (4.70) com ∆Θew sendo dado pela equação (4.69). 4.1.8 Equação para os volumes adjacentes à parede do canal São todos os volumes adjacentes à interface entre o fluido e a parede sólida do canal, e que não estejam na entrada ou na saída do canal, representados pelo número 8 na figura 4.2. Para estes volumes, pontos acima de n não estão disponíveis, de modo que a derivada transversal é dada pela equação (4.61). Utilizando esta relação e as demais regras de interpolação na equação (4.21) fornece: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew ΘE − 2ΘP + ΘW 2 ΘnP − 3ΘP − ΘS + = Pe−2 + H dτ 2 ∆ξ ∆ξ2 ∆η2 (4.71) onde ∆Θew é dado pela equação (4.69). 4.1.9 Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal Os volumes adjacentes à entrada do canal são todos os volumes representados pelo número 4 na figura 4.2. Substituindo as regras de interpolação e a condição de contorno (4.53) na equação (4.21), chega-se à equação discretizada para os volumes da entrada do canal: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew ΘE + 2 Θi n − 3ΘP ΘN − 2ΘP + ΘS + + = Pe−2 H dτ 2 ∆ξ ∆ξ2 ∆η2 (4.72) 4. Discretização por Volumes Finitos 50 onde ∆Θew é dado pela equação (4.54), que fornece: ∆Θew = ω ΘE + (1 − ω) ΘP − Θi n 4.1.10 (4.73) Equação para os volumes adjacentes à saída do canal Os volumes adjacentes à saída do canal são todos os volumes representados pelo número 6 na figura 4.2. Para estes volumes, pontos à direita de e não estão disponíveis, e portanto a equação (4.21) é escrita utilizando as regras de interpolação apenas para as faces n , s e w : −1 Fo µ µ ¶ ¶ ∗ dΘP u P ∆Θew 1 ∂Θ ΘP − ΘW ΘN − 2ΘP + ΘS −2 + = PeH − + 2 dτ 2 ∆ξ ∆ξ ∂ξ e ∆ξ ∆η2 (4.74) A condição de contorno (4.55) é substituída, resultando em: −1 Fo µ ¶ ∗ dΘP u P ∆Θew ΘP − ΘW ΘN − 2ΘP + ΘS −2 Φe + = PeH − + 2 dτ 2 ∆ξ ∆ξ ∆ξ ∆η2 (4.75) onde ∆Θew é dado pela equação (4.58), resultando em: ∆Θew = (1 − ω) (ΘP − ΘW ) + ω Φe ∆ξ 4.1.11 (4.76) Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do canal O volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal é volume representado pelo número 7 mostrado na figura 4.2. Tomando a equação (4.21) e substituindo as regras de interpolação para as faces e e s obtém-se: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew + = dτ 2 ∆ξ = Pe−2 H · µ ¶ ¸ ·µ ¶ ¸ 1 ΘE − ΘP ∂Θ 1 ∂Θ ΘP − ΘS − + − (4.77) ∆ξ ∆ξ ∂ξ w ∆η ∂η n ∆η 4. Discretização por Volumes Finitos 51 Substituindo as equações das condições de contorno (4.53) e (4.61) obtém-se a equação discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew 2 ΘnP − 3ΘP − ΘS ΘE − 3ΘP + 2 Θi n + = Pe−2 + H 2 dτ 2 ∆ξ ∆ξ ∆η2 (4.78) onde ∆Θew é dado pela equação (4.73). 4.1.12 Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal O volume adjacente ao centro e à entrada do canal é o volume 1, mostrado na figura 4.2. Utilizando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas para as faces e e n obtém-se: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew + = dτ 2 ∆ξ = Pe−2 H µ µ · ¶ ¸ · ¶¸ 1 ΘE − ΘP ∂Θ ∂Θ 1 ΘN − ΘP − − + (4.79) ∆ξ ∆ξ ∂ξ w ∆η ∆η ∂η s Substituindo as condições de contorno (4.53) e (4.59), tem-se a equação discretizada para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal: −1 Fo ∗ ΘE + 2 Θi n − 3ΘP ΘN − ΘP dΘP u P ∆Θew + = Pe−2 + H dτ 2 ∆ξ ∆ξ2 ∆η2 (4.80) onde ∆Θew é dado pela equação (4.73). 4.1.13 Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal O volume adjacente à parede e à saída do canal é o volume 9 mostrado na figura 4.2. Tomando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas para as faces w e s chega-se a: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew + = dτ 2 ∆ξ = Pe−2 H 1 ∆ξ ·µ ∂Θ ∂ξ ¶ e ¸ ·µ ¶ ¸ ΘP − ΘW 1 ∂Θ ΘP − ΘS − + − (4.81) ∆ξ ∆η ∂η n ∆η 4. Discretização por Volumes Finitos 52 Substituindo as equações das condições de contorno (4.55) e (4.61) obtém-se a equação discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à saída do canal: −1 Fo µ ¶ ∗ dΘP u P ∆Θew ΘP − ΘW 2 ΘnP − 3ΘP − ΘS −2 Φe + = PeH − + 2 dτ 2 ∆ξ ∆ξ ∆ξ ∆η2 (4.82) onde ∆Θew é dado pela equação (4.76). 4.1.14 Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal O volume adjacente ao centro e à saída do canal é dado pelo volume 3 mostrado na figura 4.2. Utilizando a equação (4.21) substituindo as regras de interpolação apenas para as faces w e n chega-se a: Fo−1 ∗ dΘP u P ∆Θew + = dτ 2 ∆ξ = Pe−2 H 1 ∆ξ ·µ ∂Θ ∂ξ ¶ e µ ¸ · ¶¸ ΘP − ΘW ∂Θ 1 ΘN − ΘP − − + (4.83) ∆ξ ∆η ∆η ∂η s Substituindo as condições de contorno (4.55) e (4.59), tem-se a equação discretizada para os volumes adjacentes ao centro e à saída do canal: Fo−1 µ ¶ ∗ ΘP − ΘW dΘP u P ∆Θew Φe ΘN − ΘP + = Pe−2 − + H dτ 2 ∆ξ ∆ξ ∆ξ2 ∆η2 (4.84) onde ∆Θew é dado pela equação (4.76). 4.1.15 Equações para a temperatura da parede Para a condição de temperatura constante na parede ΘnP é sempre conhecido, sendo dado por pela condição de contorno (4.62). Agora, quando há armazenamento de energia na parede, ΘnP irá variar, e a equação (4.67) é utilizada. Para volumes que não envolvam a entrada ou saída do canal, a equação para a temperatura da parede é dada por: dΘnP Fo−1 s dτ 2 −2 ΘnP − ΘP K PeH = −2 R + (ΘnE − 2 ΘnP + ΘnW ) ∆η ∆ξ2 ∗ (4.85) 4. Discretização por Volumes Finitos 53 Para volumes adjacentes à entrada do canal, a equação para a temperatura da parede é dada pela interpolação (4.61), fornecendo: Fo−1 s 2 −2 dΘnP ΘnP − ΘP K PeH = −2 R ∗ + (ΘnE − 3 ΘnP + 2 Θi n ) dτ ∆η ∆ξ2 (4.86) Para volumes da parede adjacentes à saída do canal, utiliza-se uma condição de contorno de derivada nula que resulta em: Fo−1 s 4.2 2 −2 dΘnP ΘnP − ΘP K PeH = −2 R ∗ + (ΘnW − ΘnP ) dτ ∆η ∆ξ2 (4.87) Discretização unidirecional 4.2.1 Discretização transversal Se apenas a direção transversal (η) for discretizada, as equações resultantes são bem mais simples, como apresentado nesta seção. A equação (3.20) é integrada em um volume de controle de altura ∆η: −1 Fo ∂ ∂τ Z ηn ηs 1 ∂ Θ dη + 2 ∂ξ Z ηn ηs ∗ (u Θ) dη = Pe−2 H ∂2 ∂ξ2 Z ηn ηs ¶¯ ∂Θ ¯¯ηn Θ dη + . ∂η ¯η s µ (4.88) Então, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de segunda ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à seguinte equação: Fo−1 ∂ΘP 1 ∗ ∂ΘP ∂2 ΘP ΘN − 2 ΘP + ΘS + uP = Pe−2 + , H ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ2 ∆η2 (4.89) válida para volumes não conectados com o contorno em η (isto é, o centro do canal e a parede). Para o volume adjacente ao centro do canal (η = 0), tem-se: Fo−1 ∂ΘP 1 ∗ ∂ΘP ∂2 ΘP ΘN − ΘP + uP = Pe−2 + , H ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ2 ∆η2 (4.90) 4. Discretização por Volumes Finitos 54 enquanto para o volume adjacente à parede (η = 1), têm-se: Fo−1 ∂2 ΘP 2 Θn − 3 ΘP + ΘS ∂ΘP 1 ∗ ∂ΘP + uP = Pe−2 + , H ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ2 ∆η2 (4.91) A condição inicial é dada por: ΘP (ξ, 0) = Θ0 (4.92) e as condições de contorno são dadas por: ΘP (0, τ) = Θi n , µ ∂ΘP ∂ξ ¶ =Φ (4.93) ξ=ξmax Para regime permanente, as três equações anteriores tomam a seguinte forma: 1 ∗ 0 ΘN − 2 ΘP + ΘS 00 u P ΘP = Pe−2 , H ΘP + 2 ∆η2 1 ∗ 0 ΘN − ΘP 00 u P ΘP = Pe−2 , H ΘP + 2 ∆η2 2 Θn − 3 ΘP + ΘS 1 ∗ 0 00 u P ΘP = Pe−2 H ΘP + 2 ∆η2 (4.94) (4.95) (4.96) onde Θ0 e Θ00 representam as derivadas dΘ/dξ e d2 Θ/dξ2 . A condição de contorno de armazenamento de energia na parede é uma condição transiente, portanto, para regime permanente considera-se apenas a condição de temperatura constante na parede, onde Θn = Θ0 . 4.2.2 Discretização axial Se apenas a direção axial (ξ) for discretizada, as equações resultantes são bem mais simples. A equação (3.20) é integrada em um volume de controle de altura ∆ξ: −1 Fo ∂ ∂τ Z ξe ξw µ ¶¯ξe Z ¯ ¢¯ξe ∂2 ξe −2 ∂Θ ¯ ¯ + Θ dξ + u Θ ξw = PeH Θ dξ ∂ξ ¯ξw ∂η2 ξw ¡ ∗ (4.97) 4. Discretização por Volumes Finitos 55 Em seguida, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de segunda ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à equação: Fo−1 ∗ ∂ΘP u P ∆Θew ΘE − 2 ΘP + ΘW ∂2 ΘP + = Pe−2 + , H ∂τ 2 ∆ξ ∆ξ2 ∂η2 ∆Θew = α ΘE + (1 − 2 α) ΘP − (1 − α) ΘW (4.98) (4.99) válida para volumes não conectados com o contorno em ξ (isto é, a entrada e a saída). Para o volume adjacente à entrada do canal (ξ = 0), tem-se: −1 ∂ΘP Fo ∂τ + u P∗ ∆Θew ∆ξ 2 = Pe−2 H ΘE + 2 Θi n − 3ΘP ∂2 ΘP + , ∆ξ2 ∂η2 ∆Θew = α ΘE + (1 − α) ΘP − Θi n (4.100) (4.101) enquanto para o volume adjacente à saída (ξ = ξmax ), têm-se: −1 ∂ΘP Fo ∂τ + u P∗ ∆Θew ∆ξ 2 = Pe−2 H µ ¶ ΘP − ΘW Φe ∂2 ΘP − , + ∆ξ ∆ξ2 ∂η2 ∆Θew = (1 − α) (ΘP − ΘW ) + α Φe ∆ξ (4.102) (4.103) A condição inicial é dada por: ΘP (η, 0) = Θ0 (4.104) e as condições de contorno são dadas por: µ ∂ΘP ∂η ¶ η=0 = 0, ΘP (1, τ) = Θn (4.105) Para temperatura constante na parede, Θn é conhecida. Todavia, para armazenamento de energia na parede a temperatura na parede deve ser calculada das equações 4. Discretização por Volumes Finitos 56 discretizadas para a parede: ¶ K 2 Pe−2 ∂Θ H = −R + (ΘnE − 2 ΘnP + ΘnW ) ∂τ ∂η η=1 ∆ξ2 µ ¶ K 2 Pe−2 H −1 ∂ΘnP ∗ ∂Θ Fos = −R + (ΘnE − 3 ΘnP + 2 Θi n ) ∂τ ∂η η=1 ∆ξ2 µ ¶ K 2 Pe−2 H ∗ ∂Θ −1 ∂ΘnP = −R + Fos (ΘnE − ΘnP ) ∂τ ∂η η=1 ∆ξ2 ∂ΘnP Fo−1 s ∗ µ (4.106) (4.107) (4.108) válidas para volumes internos (não adjacentes à entrada e saída), volumes na entrada, e volumes na saída, respectivamente. Para regime permanente apenas a condição de temperatura constante na parede é considerada e as equações discretizadas para o fluido tomam a seguinte forma: u P∗ α ΘE + (1 − 2 α) ΘP − (1 − α) ΘW ΘE − 2 ΘP + ΘW = Pe−2 + Θ00P , H 2 ∆ξ ∆ξ2 u P∗ α ΘE + (1 − α) ΘP − Θi n ΘE + 2 Θi n − 3ΘP = Pe−2 + Θ00P , H 2 ∆ξ ∆ξ2 µ ¶ u P∗ (1 − α) (ΘP − ΘW ) u P∗ Φe ΘP − ΘW −2 Φe +α = PeH − + Θ00P , 2 ∆ξ 2 ∆ξ ∆ξ2 onde Θ00 representa a derivada d2 Θ/dη2 . (4.109) (4.110) (4.111) Capítulo 5 Implementação Computacional Este capítulo apresenta diferentes implementações computacionais, a fim de determinar a melhor alternativa para resolver o problema. Neste capítulo as variáveis discretas são denotadas com acento circunflexo, como por exemplo Θ̂ e û . 5.1 Soluções com discretização bidirecional Utilizando as equações discretizadas do capítulo anterior, esta seção mostra a implementação computacional para a solução do problema utilizando o Método dos Volumes Finitos em ambas as direções. Para poder transcrever as equações na forma apresentada no capítulo anterior para um formato passível de implementação computacional define-se um domínio computacional, baseado em um parâmetro k que numera dentro do domínio físico como mostrado na figura 5.1 Para transformar a notação das equações discretizadas em termos das coordenadas multi-dimensionais cardeais (N , S , E e W ), define-se, de acordo com o domínio computacional, regras de mapeamento, apresentadas na tabela 5.1. A primeira coluna indica o ponto nas coordenadas cardeais, a segunda indica a posição em termos das coordenadas no domínio físico e a terceira representa a relação entre os índices i e j do domínio físico com o índice k do domínio computacional. A última coluna indica a posição relativa, no domínio computacional, de um ponto cardeal em termos do ponto 57 5. Implementação Computacional 58 Parede do Canal η=1 (J − 1)I + 1 (J − 1)I + i ··· .. . ( j − 1)I + 1 .. . ··· .. . jI .. . i ··· IJ .. . ( j − 1)I + i ··· .. . 1 ··· ··· I η=0 Fig. 5.1: Domínio computacional para um mini-canal. central P . Com base nestas regras, as seções seguintes apresentam a implementação computacional utilizada para o problema em regime transiente e permanente, com diferentes metodologias de solução. Tab. 5.1: Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional. ponto (ξ, η) k(i , j ) k(k P ) P N S E W 5.1.1 (ξi , η j ) (ξi , η j +1 ) (ξi , η j −1 ) (ξi +1 , η j ) (ξi −1 , η j ) ( j − 1)I + i ( j − 1)I + i + I ( j − 1)I + i − I ( j − 1)I + i + 1 ( j − 1)I + i − 1 k k+I k−I k +1 k −1 Solução transiente: integração numérica O sistema de equações discretizadas para todos os volumes finitos no fluido pode ser escrito em forma compacta como: Fo−1 dΘ̂k = F k (τ), dτ para k = 1, 2, . . . , K (5.1) onde K = I J é o número de volumes utilizados no domínio do fluido. Para situações onde for necessário determinar a temperatura da parede, inclui-se no sistema anterior, 5. Implementação Computacional 59 mais um conjunto de equações discretizadas: Fo−1 s dΘ̂k = F k (τ), dτ para k = K + 1, K + 2, . . . , K + I (5.2) de modo que as equações para a temperatura da parede são numeradas com k > K para facilitar a implementação computacional. As condições iniciais para o sistema anterior são dadas por: Θ̂k (τ = 0) = Θ0 para k = 1, 2, . . . , K + I (5.3) As funções de discretização, Fk (τ), que carregam toda informação sobre a discretização, são dadas por: • para k = 1 (entrada/centro do canal): F k (τ) = −û P∗ α Θ̂E + (1 − α) Θ̂P − Θi n Θ̂E − 3 Θ̂P + 2 Θi n Θ̂N − Θ̂P + + , (5.4) 2 2 2 ∆ξ ∆η2 ∆ξ PeH • para 1 < k < I (centro do canal): F k (τ) = −û P∗ α Θ̂E + (1 − 2 α) Θ̂P − (1 − α) Θ̂W + 2 ∆ξ Θ̂E − 2 Θ̂P + Θ̂W Θ̂N − Θ̂P + , (5.5) + 2 2 ∆η2 ∆ξ PeH • para k = I (saída/centro do canal): F k (τ) = −û P∗ (1 − α) (Θ̂P − Θ̂W ) −Θ̂P + Θ̂W + 2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H + Θ̂N − Θ̂P ∆η2 , (5.6) • para k = ( j − 1) I + 1 e 1 < j < J (entrada do canal): F k (τ) = −û P∗ α Θ̂E + (1 − α) Θ̂P − Θi n + 2 ∆ξ Θ̂E − 3 Θ̂P + 2 Θi n Θ̂N − 2 Θ̂P + Θ̂S + + , (5.7) 2 2 ∆η2 ∆ξ PeH 5. Implementação Computacional 60 • para k = j I e 1 < j < J (saída do canal): F k (τ) = −û P∗ −Θ̂P + Θ̂W (1 − α) (Θ̂P − Θ̂W ) Θ̂N − 2 Θ̂P + Θ̂S + + , (5.8) 2 2 2 ∆ξ ∆η2 ∆ξ PeH • para k = (J − 1) I + 1 (entrada/parede do canal): F k (τ) = −û P∗ α Θ̂E + (1 − α) Θ̂P − Θi n + 2 ∆ξ Θ̂E − 3 Θ̂P + 2 Θi n 2 Θ̂nP − 3 Θ̂P + Θ̂S , (5.9) + + 2 2 ∆η2 ∆ξ PeH • para k = (J − 1) I + i e 1 < I < I (parede do canal): F k (τ) = −û P∗ α Θ̂E + (1 − 2 α) Θ̂P − (1 − α) Θ̂W + 2 ∆ξ Θ̂E − 2 Θ̂P + Θ̂W 2 Θ̂nP − 3 Θ̂P + Θ̂S + + , (5.10) 2 2 ∆η2 ∆ξ PeH • para k = I J (saída/parede do canal): F k (τ) = −û P∗ −Θ̂P + Θ̂W 2 Θ0 − 3 Θ̂P + Θ̂S (1 − α) (Θ̂P − Θ̂W ) , (5.11) + + 2 2 2 ∆ξ ∆η2 ∆ξ PeH • para todas as demais combinações k = (J − 1) I + i (volumes internos): F k (τ) = −û P∗ α Θ̂E + (1 − 2 α) Θ̂P − (1 − α) Θ̂W + 2 ∆ξ Θ̂E − 2 Θ̂P + Θ̂W Θ̂N − 2 Θ̂P + Θ̂S + + . (5.12) 2 2 ∆η2 ∆ξ PeH As equações anteriores referem-se a pontos no domínio fluido. Para os pontos relativos às temperaturas da parede as funções de discretização são dadas por: • para k = I J + 1 (parede na entrada): F k (τ) = −2 R ∗ Θ̂nE − 3 Θ̂nP + 2 Θi n Θ̂nP − Θ̂P + K2 ∆η ∆ξ2 Pe2H (5.13) 5. Implementação Computacional 61 • para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ): F k (τ) = −2 R ∗ Θ̂nP − Θ̂P Θ̂nE − 2 Θ̂nP + Θ̂nW + K2 ∆η ∆ξ2 Pe2H (5.14) • para k = I J + I (parede na saída): F k (τ) = −2 R ∗ Θ̂nP − Θ̂P Θ̂nP − Θ̂nW − K2 ∆η ∆ξ2 Pe2H (5.15) onde ∆ξ = ξmax /I e ∆η = 1/J . A solução do sistema diferencial ordinário dado pelas equações (5.1), (5.2) e (5.3) pode então ser obtida através de integração numérica. Para tal, a rotina de solução numérica de sistemas de equações diferenciais ordinárias NDSolve do programa Mathematica é utilizada. 5.1.2 Solução transiente: integração analítica Uma solução alternativa para o sistema de equações (5.1, 5.2, 5.3) pode ser feita utilizando integração analítica. Para tal, escreve-se o sistema de equações diferenciais ordinárias na forma: 0 ˆ −1 Fo k Θ̂k (τ) = KX +I M̂ k,l Θ̂l (τ) + b̂ k , para k = 1, 2, . . . , K + I , (5.16) l =1 onde: ˆk= Fo Fo, para 1 ≤ k ≤ K Fos , para K +1 ≤ k ≤ K +I e os coeficientes M̂k,l e b̂k são definidos abaixo: (5.17) 5. Implementação Computacional 62 • para k = 1 (entrada/centro do canal): M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k+1 = −û ∗j αj 2 ∆ξ + (1 − α j ) 2 ∆ξ 1 ∆ξ2 Pe2H b̂ k = û ∗j − 3 ∆ξ2 Pe2H − 1 , ∆η2 M̂ k,k+I = , (5.18) 1 , ∆η2 Θi n 2 Θi n + , 2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H (5.19) (5.20) • para 1 < k < I (centro do canal): (1 − 2 α) 2 1 − − , 2 2 2 ∆ξ ∆ξ PeH ∆η2 αj 1 + M̂ k,k+1 = −û ∗j , 2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H 1 − αj 1 + , M̂ k,k−1 = û ∗j 2 2 ∆ξ ∆ξ Pe2H M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k+I = 1 , ∆η2 (5.21) (5.22) (5.23) b̂ k = 0, (5.24) • for k = I (saída/centro do canal): M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k−1 = û ∗j 1 − αj 2 ∆ξ 1 − αj 2 ∆ξ − 1 ∆ξ2 Pe2H 1 + ∆ξ2 Pe2H − 1 , ∆η2 M̂ k,k+1 = 0, M̂ k,k+I = , 1 , ∆η2 b̂ k = 0, (5.25) (5.26) • para k = ( j + 1) I + 1 e 1 < j < J (entrada do canal): M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k+1 = −û ∗j 1 − αj 2 ∆ξ αj 2 ∆ξ M̂ k,k+I = + 1 , ∆η2 − 3 ∆ξ2 Pe2H 1 ∆ξ2 Pe2H − 2 , ∆η2 M̂ k,k−1 = 0, 1 , ∆η2 (5.28) Θi n 2 Θi n + , 2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H (5.29) M̂ k,k−I = , b̂ k = û ∗j (5.27) 5. Implementação Computacional 63 • para k = j I e 1 < j < J (saída do canal): M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k−1 = û ∗j M̂ k,k−I = 1 − αj 2 ∆ξ 1 , ∆η2 1 − αj − 2 ∆ξ + 1 ∆ξ2 Pe2H 1 ∆ξ2 Pe2H − 2 , ∆η2 M̂ k,k+1 = 0, , 1 , ∆η2 M̂ k,k+I = (5.30) b̂ k = 0, (5.31) (5.32) • para k = (J − 1) I + 1 (entrada/parede do canal): M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k+1 1 − αj − 3 3 , ∆η2 − M̂ k,k−1 = 0, 2 ∆ξ αj 1 + = −û ∗j , 2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H M̂ k,k+I = ∆ξ2 Pe2H 2 , ∆η2 1 , ∆η2 (5.34) 2 Θi n Θi n + , 2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H (5.35) M̂ k,k−I = b̂ k = û ∗j (5.33) • para k = (J − 1) I + i e 1 < I < I (parede do canal): M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k−1 M̂ k,k+1 = −û ∗j αj 2 ∆ξ + 1 − 2 αj − 2 − 3 , ∆η2 (5.36) 2 ∆ξ 1 − αj 1 , = û ∗j + 2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H 1 ∆ξ2 Pe2H M̂ k,k+I = ∆ξ2 Pe2H M̂ k,k−I = , 2 , ∆η2 (5.37) 1 , ∆η2 b̂ k = 0, (5.38) (5.39) • para k = I J (saída/parede do canal): M̂ k,k = −û ∗j M̂ k,k−1 = û ∗j 1 − αj 2 ∆ξ + 1 − αj 2 ∆ξ 1 ∆ξ2 Pe2H M̂ k,k+I = 2 , ∆η2 , − 1 ∆ξ2 Pe2H − 3 , ∆η2 M̂ k,k−I = b̂ k = 0, (5.40) 1 , ∆η2 (5.41) (5.42) 5. Implementação Computacional 64 • e para qualquer outra combinação k = ( j + 1) I + i (volumes internos): M̂ k,k = −û ∗j 1 − 2 αj 2 ∆ξ M̂ k,k−1 = û ∗j 2 − ∆ξ2 Pe2H 2 , ∆η2 (5.43) 1−α 1 + , 2 2 ∆ξ ∆ξ Pe2H (5.44) 1 α + , 2 2 ∆ξ ∆ξ Pe2H (5.45) M̂ k,k+1 = −û ∗j M̂ k,k−I = − 1 , ∆η2 M̂ k,k+I = 1 , ∆η2 (5.46) b̂ k = 0, (5.47) Para os pontos relativos às temperaturas da parede os coeficientes M̂ e b̂ são dados por: • para k = I J + 1 (parede na entrada): M̂ k,k = − 2 R∗ 3K 2 − 2 , ∆η PeH ∆ξ M̂ k,k−I 2 R∗ , = ∆η M̂ k,k+1 = b̂ k = K2 Pe2H ∆ξ 2 K 2 Θi n Pe2H ∆ξ , , (5.48) (5.49) • para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ): M̂ k,k = − M̂ k,k+1 = 2 R∗ 2K 2 − 2 , ∆η PeH ∆ξ K2 Pe2H ∆ξ , M̂ k,k−I = M̂ k,k−1 = 2 R∗ , ∆η K2 Pe2H ∆ξ , b̂ k = 0 (5.50) (5.51) • para k = I J + I (parede na saída): M̂ k,k 2 R∗ K2 =− − , ∆η Pe2H ∆ξ M̂ k,k−I = Os demais coeficientes M̂k,l são nulos. 2 R∗ , ∆η M̂ k,k−1 = b̂ k = 0 K2 Pe2H ∆ξ , (5.52) (5.53) 5. Implementação Computacional 65 Para proceder com a integração analítica, o sistema (5.16) é escrito na forma vetorial abaixo: Θ̂0 (τ) = M̃ Θ̂(τ) + b̃, (5.54) onde M̃ e b̃ são dados por: M̃ = F M̂, b̃ = F b̂ (5.55) e o tensor F é uma matriz diagonal contendo os números de Fourier: F k,l = Fo δk,l F k,l = Fos δk,l 0≤k ≤K, (5.56) K + 1 ≤ k ≤ K + I. (5.57) para para onde δk,l é o Delta de Kronecker. Uma solução analítica para este sistema pode ser escrita na forma: ´ ³ −1 −1 Θ̂(τ) = Ĉ Θ̂0 + M̃ b̃ − M̃ b̃, com Ĉ = Ĉ (τ) = exp(M̃ τ), (5.58) onde Ĉ é uma exponencial matricial [40]. Os coeficientes Θ̂0 são os valores discretos da condição inicial, dados pela equação (5.3). 5.1.3 Solução em regime permanente Para regime permanente, o sistema (5.16) é reduzido à forma mais simples: KX +I M̂ k,l Θ̂l (τ) + b̂ k = 0, para k = 1, 2, . . . , K + I , (5.59) l =1 o qual é escrito em forma vetorial como: M̂ Θ̂ + b̂ = 0, (5.60) 5. Implementação Computacional 66 Como para regime permanente a única condição de aquecimento na parede é a de temperatura constante a matriz M̂ é simplificada pois os elementos relativos às temperaturas da parede são dados: M̂ k,l = δk,l k >K. para (5.61) O sistema algébrico (5.60) é resolvido numericamente utilizando a função LinearSolve do programa Mathematica, onde a matriz M̂ é definida como uma matriz esparsa utilizando a função SparseArray. Uma solução direta, em função da inversa da matriz M̂ , também pode ser escrita na forma: Θ̂(τ) = − M̂ −1 b̂. (5.62) Todavia, esta solução também necessitaria de um procedimento numérico para inverter a matriz. 5.2 Solução permanente com discretização transversal apenas Para as soluções em regime permanente a condição de contorno na parede é sempre de temperatura constante, portanto, valerá sempre a relação: Θn = Θ0 5.2.1 (5.63) Solução com integração numérica em ξ Uma solução alternativa para o problema em regime permanente pode ser implementada utilizado discretização apenas na direção η. Discretizando em apenas uma direção, há uma relação direta entre as coordenadas cardinais e o índice j , utilizado para esta direção. Desta forma o sistema discretizado é escrito a partir das equações (4.93), 5. Implementação Computacional 67 (4.94), (4.95) e (4.96) abaixo:1 −Pe−2 H d2 Θ̂ j dξ2 + Θ̂ j (0) = Θi n , 1 ∗ dΘ̂ j û = F j (ξ), 2 j dξ à ! dΘ̂ j = Φe , dξ (5.64) ξ=ξmax Para j = 1, 2, . . . , J . As funções de discretização F , para este caso, são dadas por: • para j = 1 (volume adjacente ao centro do canal): F j (ξ) = Θ̂ j +1 − Θ̂ j ∆η2 , (5.65) • para 1 < j < J (volumes internos): F j (ξ) = Θ̂ j +1 − 2 Θ̂ j + Θ̂ j −1 ∆η2 , (5.66) , (5.67) • para j = J (volume adjacente à parede do canal): F j (ξ) = 2 Θn − 3 Θ̂ j + Θ̂ j −1 ∆η2 Este sistema é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do software Mathematica. 5.2.2 Solução numérica para Péclet grande Para casos com número de Péclet grande, o sistema anterior (5.64) é simplificado pela eliminação do termo envolvendo a segunda derivada. Considerando estes casos, a equação discretizada para todos os volumes é escrita na forma compacta: dΘ̂ j dξ = 2 F j (ξ), û ∗j for Θ̂ j (0) = Θi n , 1 j = 1, 2, . . . , J (5.68) o termo Φe foi incluído aqui seguindo a notação do capítulo anterior; todavia, como também descrito anteriormente, este foi aproximado por zero para as soluções numéricas aqui implementadas. 5. Implementação Computacional 68 Este problema de valor inicial é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do software Mathematica. 5.2.3 Solução analítica com o método do tiro Há outras soluções alternativas para o problema, como por exemplo a solução palo método do tiro, mostrada abaixo. As equações do sistema (5.64) podem ser escritas na forma matricial: 00 0 Θ̂ (ξ) − B Θ̂ (ξ) − D Θ̂(ξ) = − g , Θ̂(0) = Θi n , Θ̂0 (ξmax ) = Φe , (5.69) onde o vetor independente g é dado por: ¢ ¡ g = 0, 0, . . . , 0, 2 Θn /∆η2 , (5.70) ¡ ¢ Θ̂i n = Θi n , Θi n , . . . , Θi n , Θi n , (5.71) o vetor Θ̂i n é dado por e as matrizes B e D são dadas por: B j ,k 1 = Pe2H û ∗j δ j ,k , 2 D j ,k = − Pe2H ∆η2 A j ,k (5.72) onde A j ,k são os coeficientes de uma matriz tri-diagonal, dados por: • para j = 1 (centro do canal): A j , j = −1, A j , j +1 = 1, (5.73) 5. Implementação Computacional 69 • para 1 < j < J (volumes internos): A j , j −1 = 1 A j , j = −2, A j , j +1 = 1, (5.74) • para j = J (parede do canal): A j , j −1 = 1 A j , j = −3, (5.75) e os coeficientes remanescentes são zero. Os coeficientes û ∗j representam o perfil de velocidade discretizado, sendo dados por: û ∗j µ ¢ 3¡ = 1 − η2j , 2 com ¶ 1 η j = j − ∆η. 2 (5.76) O problema de valor de contorno pode ser convertido para um problema de valor inicial de primeira ordem se as condições de contorno em ξmax forem substituídas por uma condição inicial e uma nova variável for introduzida: Θ̂0 (0) = p, Θ̂0 (ξ) = φ̂(ξ), (5.77) produzindo: d φ̂ B = dξ Θ̂ I D φ̂ g − 0 Θ̂ 0 (5.78) onde I é a matriz identidade, e 0 é a matriz zero. Introduzindo a matriz Q : B Q= I D , 0 (5.79) uma solução analítica para as temperaturas discretizadas pode ser obtida em termos de 5. Implementação Computacional 70 uma matriz exponencial: φ̂ Θ̂ =C p Θ̂ − Q −1 in g , com ¡ ¢ C = exp Q ξ (5.80) 0 Com a forma analítica anterior, o Método do Tiro é utilizado para o calcular iterativamente o valor apropriado de p que satisfaça a condição de contorno em ξ = ξmax , dado pela equação (5.69). O Método do Tiro é implementado utilizando a função FindRoot do software Mathematica, que consiste em uma rotina para resolver sistemas de equações algébricas lineares e não lineares (que neste caso utiliza o Método de Newton-Raphson para sistemas de equações algébricas). 5.2.4 Solução analítica para Péclet grande A fim de obter uma solução analítica para o sistema discretizado, a equação (5.68) é escrita na forma matricial, como mostrado abaixo: Θ̂0 (ξ) = Q̂ Θ̂(ξ) + ĝ , (5.81) Θ̂(0) = Θi n , (5.82) onde o vetor independente g é dado por: ¡ ¢ g = 0, 0, . . . , 0, 4 Θn /(∆η2 û ∗J ) , (5.83) e os coeficientes de Q̂ são dados por: • para j = 1 (entrada/centro do canal): Q̂ j , j = − 2 û ∗j ∆η , 2 Q̂ j , j +1 = 2 û ∗j ∆η2 , (5.84) 5. Implementação Computacional 71 • para 1 < j < J (entrada do canal): Q̂ j , j −1 = 2 û ∗j ∆η2 Q̂ j , j = − , 4 û ∗j ∆η2 , Q̂ j , j +1 = 2 û ∗j ∆η2 , (5.85) • para j = J (entrada/parede do canal): Q̂ j , j −1 = 2 û ∗j ∆η2 Q̂ j , j = − , 6 û ∗j ∆η2 , (5.86) E os coeficientes restantes de Q̂ j ,k são zero. A solução analítica para a temperatura adimensional nos pontos discretos, pode ser escrita da seguinte forma: Θ̂(ξ) = Ĉ Θi n + Q̂ 5.3 5.3.1 −1 ĝ , com ¡ ¢ Ĉ = exp Q̂ ξ . (5.87) Solução com discretização axial apenas Solução com integração numérica em η Outra solução para o problema em regime permanente pode ser implementada utilizado discretização apenas na direção ξ. Discretizando em apenas ξ há uma relação direta entre as coordenadas cardinais e o índice i , fazendo com que o sistema discretizado, obtido a partir das equações (4.98; 4.100; 4.102 e 4.105), seja escrito na forma d2 Θ̂i = F i (η), dη2 µ dΘ̂i dη ¶ η=0 = 0, Θ̂i (1) = Θn , (5.88) (5.89) Para i = 1, 2, . . . , I . As funções de discretização F , para este caso, são dadas por: • para i = 1 (entrada/centro do canal): F i (η) = u ∗ α Θ̂i +1 + (1 − α) Θ̂i − Θi n Θ̂i +1 + 2 Θi n − 3Θ̂i − 2 ∆ξ Pe2H ∆ξ2 (5.90) 5. Implementação Computacional 72 • para 1 < i < I (centro do canal): F i (η) = u ∗ α Θ̂i +1 + (1 − 2 α) Θ̂i − (1 − α) Θ̂i −1 Θ̂i +1 − 2 Θ̂i + Θ̂i −1 − 2 ∆ξ Pe2H ∆ξ2 (5.91) • para i = I (saída/centro do canal): µ ¶ u ∗ (1 − α) (Θ̂i − Θ̂i −1 ) u ∗ Φe Θ̂i − Θ̂i −1 −2 Φe F i (η) = +α − PeH − 2 ∆ξ 2 ∆ξ ∆ξ2 (5.92) onde u ∗ é função de η. Este sistema é resolvido numericamente utilizando a função NDSolve do Mathematica. O parâmetro α, como dado pela equação (4.49) também dependerá de η, pois u ∗ depende de η. Isto impossibilita uma solução analítica deste sistema, como feito nas outras soluções fornecidas até agora. Ainda, mesmo com uma solução numérica, ao utilizar o valor de α dado por esta equação, a solução computacional torna-se bem mais complicada, devido ao auto custo computacional necessário para avaliar exponenciais. 5.4 Cálculo de Nusset Usando as soluções encontradas, o número de Nusselt é calculado pela equação NuD H = 4 (∂Θ/∂η)η=1 , R1 Θs − 0 u ∗ Θ dη (5.93) onde as derivada e integrais são calculadas numericamente. As derivadas são calculadas interpolando as soluções obtidas com a função Interpolation do Mathematica (utilizando interpolações lineares) e diferenciando analiticamente os resultados obtidos com a função D. Todas integrações numéricas são feitas utilizando a função NIntegrate. 5. Implementação Computacional 5.5 73 Comentários finais Como comentários finais deve-se dizer que, para todos os casos de soluções apresentadas, soluções simplificadas para slug-flow podem ser obtidas para velocidade u ∗ = 1, pois para o caso com escoamento slug-flow a velocidade é igual a média. Capítulo 6 Validação O objetivo deste capítulo é verificar que a solução calculada pelo algoritmo numérico converge para o valor dado pela solução analítica. 6.1 Solução analítica para slug-flow Para situações onde o escoamento é do tipo slug-flow, soluções analíticas para o problema em regime permanente podem ser encontradas, como descrito em [41]. Para o caso com valores grandes de Péclet, o campo de temperatura adimensional pode ser calculado analiticamente por: Θ(ξ, η) = Θ0 + ¡ ¢ ∞ b̄ exp −2 µ2 ξ Y (η) X n n n N (µn ) n=1 (6.1) onde as autofunções Yn e os autovalores µn , assim como a norma N (µn ), são dados por: Yn (η) = cos(µn η), ¶ 1 µn = n − π, para n = 1, 2, 3, . . . 2 Z 1 1 N (µn ) = Yn2 (η) dη = . 2 0 (6.2) µ 74 (6.3) (6.4) 6. Validação 75 e os coeficientes b̄n são calculados de: Z b̄ n = 0 1 (Θi n − Θ0 ) Yn (η) dη, (6.5) Já para outros valores de Péclet, a solução é dada por: Θ(ξ, η) = ΘF (η) + ∞ Θ̄∗ (ξ) Y (η) X n n n=0 N (µn ) , (6.6) onde as funções Θ̄∗n (ξ) são definidas por: à Θ̄∗n (ξ) = b̄ n exp ! Pe2H ξ 4 βn cosh(βn (ξmax − ξ)) + Pe2H sinh(βn (ξmax − ξ)) 4 4 βn cosh(βn ξmax ) + Pe2H sinh(βn ξmax ) (6.7) e os coeficientes βn são dados por: PeH q 2 PeH + 16 µ2n βn = 4 6.2 (6.8) Resultados A primeira coluna das tabelas indica o número de volumes em que o canal foi dividido em cada uma das direções (ξ e η) para compor a malha necessária para obter a convergência. O grau de convergência é mensurado em termos de número de dígitos convergidos, ou seja, quando os resultados não variam mais até n digitos diz-se ter n digitos convergidos. Esta comparação é feita considerando o refinamento da malha em I e em J . A solução completamente convergida foi calculada pela solução analítica an- teriormente descrita e foi incluída como resultado exato para comparação. As tabelas 6.1 e 6.2 e 6.3 mostram os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para diferentes números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). A tabela 6.4 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para número de Péclet grande. Comparando os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet grande e número PeH = 10 é possivel observar que o comportamento das soluções é 6. Validação 76 Tab. 6.1: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 10, discretização bidirecional. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 144.614 299.720 598.030 1194.67 2387.08 4773.64 140.616 289.916 577.146 1151.69 2300.00 4598.28 134.770 272.773 538.332 1069.81 2132.99 4258.85 128.980 246.909 470.410 918.199 1814.98 3609.37 126.856 221.883 375.093 672.631 1270.65 2470.75 127.669 214.309 298.072 382.843 528.749 830.244 128.793 219.733 294.869 259.234 26.8611 -473.831 129.372 224.467 320.136 353.901 311.740 273.757 267.383 113.466 229.898 454.055 902.511 1799.00 3593.01 79.3671 146.083 275.382 534.677 1053.50 2091.69 44.5090 42.8670 41.0815 39.9545 39.3385 39.0187 37.5839 1.62527 -72.1648 -216.200 -500.757 -1067.70 46.5914 38.4751 33.5345 32.4336 32.4396 32.5771 47.1367 39.4662 35.7842 35.1938 35.0944 35.0712 47.2297 39.3946 35.7538 35.1931 35.0915 35.0680 47.2498 39.3541 35.7211 35.1755 35.0756 35.0524 35.0385 -23.2099 -70.0798 -159.489 -337.928 -694.682 -1407.94 11.0194 10.9712 10.9624 10.9603 10.9598 10.9597 10.8198 10.7881 10.7817 10.7802 10.7798 10.7797 10.7749 10.7453 10.7392 10.7378 10.7374 10.7373 10.7623 10.7332 10.7273 10.7258 10.7255 10.7254 10.7591 10.7302 10.7242 10.7228 10.7224 10.7223 10.7582 10.7294 10.7235 10.7220 10.7217 10.7216 10.7580 10.7292 10.7233 10.7218 10.7215 10.7214 10.7213 9.83306 9.85179 9.86067 9.86513 9.86960 9.86960 9.85949 9.86455 9.86706 9.86834 9.86960 9.86960 9.86677 9.86806 9.86882 9.86924 9.86960 9.86960 9.86909 9.86918 9.86938 9.86949 9.86960 9.86960 9.86979 9.86951 9.86954 9.86957 9.86960 9.86960 9.86998 9.86961 9.86959 9.86959 9.86960 9.86960 9.87003 9.86963 9.86960 9.86961 9.86960 9.86960 9.87005 9.86964 9.86961 9.86961 9.86960 9.86960 9.86960 6. Validação 77 Tab. 6.2: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 1, discretização bidirecional. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 145.868 300.286 596.650 1189.43 2375.14 4746.74 145.627 297.025 582.802 1151.79 2289.91 4566.93 145.715 296.023 570.839 1100.19 2148.96 4247.24 145.832 296.423 567.219 1055.20 1954.31 3715.45 145.909 296.974 569.074 1043.83 1798.21 3032.83 145.951 297.332 571.365 1052.75 1775.45 2585.90 145.972 297.520 572.771 1061.96 1818.64 2637.25 145.980 297.600 573.388 1066.49 1848.64 2800.77 2559.61 126.595 238.568 448.451 868.720 1710.78 3396.01 125.128 213.950 341.543 576.749 1048.73 1998.52 126.447 211.825 282.865 305.040 295.649 282.969 127.653 218.791 299.010 274.021 39.1622 -489.800 128.121 222.296 317.830 351.482 301.340 253.257 128.207 222.898 320.542 358.556 312.456 273.140 128.229 223.048 321.210 360.085 313.304 273.517 128.234 223.086 321.376 360.451 313.380 273.375 264.323 35.106 6.00708 -52.9306 -167.625 -394.107 -845.314 42.9731 36.6179 33.4288 32.7729 32.6544 32.6289 43.3002 36.3833 33.1725 32.6639 32.5736 32.5527 43.4034 36.3752 33.1692 32.6809 32.5918 32.5712 43.4276 36.3634 33.1587 32.6787 32.5905 32.5700 43.4336 36.3598 33.1555 32.6778 32.5898 32.5694 43.4351 36.3589 33.1547 32.6776 32.5897 32.5692 43.4354 36.3586 33.1545 32.6775 32.5896 32.5692 32.5625 10.3237 10.3083 10.3053 10.3046 10.3045 10.3044 10.3399 10.3238 10.3205 10.3197 10.3196 10.3195 10.3433 10.3270 10.3237 10.3229 10.3227 10.3227 10.3442 10.3278 10.3245 10.3237 10.3235 10.3234 10.3444 10.3280 10.3247 10.3239 10.3237 10.3236 10.3444 10.3281 10.3247 10.3239 10.3237 10.3237 10.3444 10.3281 10.3248 10.3239 10.3237 10.3237 10.3444 10.3281 10.3248 10.3239 10.3237 10.3237 10.3237 6. Validação 78 Tab. 6.3: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 0.1, discretização bidirecional. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 147.891 306.429 609.300 1208.440 2394.700 4759.160 147.898 306.482 609.514 1207.610 2376.980 4664.900 147.901 306.512 609.715 1208.470 2374.490 4601.490 147.903 306.528 609.837 1209.280 2378.020 4593.370 147.904 306.537 609.904 1209.770 2381.300 4608.300 147.904 306.541 609.937 1210.040 2383.270 4621.530 147.904 306.543 609.954 1210.17 2384.29 4629.11 147.905 306.544 609.961 1210.22 2384.71 4632.38 25478.1 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 145.804 127.603 60.4202 296.270 218.315 49.0775 566.739 303.887 43.9027 1047.380 303.579 43.1463 1901.140 135.953 43.0066 3536.830 -249.111 42.9741 145.874 127.914 60.7168 296.806 220.587 49.4300 569.179 315.764 44.1403 1044.400 351.967 43.3594 1774.220 309.567 43.2163 2833.960 272.922 43.1830 145.909 127.970 60.7831 297.104 220.968 49.5074 571.220 317.404 44.1917 1054.740 355.283 43.4060 1785.040 309.601 43.2622 2554.190 270.711 43.2288 145.925 127.984 60.7997 297.254 221.064 49.5267 572.353 317.828 44.2044 1062.570 356.235 43.4176 1829.010 309.981 43.2737 2697.330 270.659 43.2402 145.931 127.988 60.8039 297.305 221.088 49.5315 572.754 317.933 44.2076 1065.520 356.466 43.4205 1848.740 310.021 43.2765 2808.970 270.554 43.2431 145.932 127.989 60.8049 297.315 221.094 49.5327 572.831 317.960 44.2084 1066.070 356.523 43.4212 1852.230 310.027 43.2772 2826.350 270.522 43.2438 145.932 127.989 60.8052 297.318 221.095 49.5330 572.850 317.966 44.2086 1066.21 356.538 43.4214 1853.11 310.028 43.2774 2830.66 270.514 43.2440 145.932 127.989 60.8052 297.319 221.095 49.5331 572.855 317.968 44.2086 1066.24 356.541 43.4215 1853.32 310.029 43.2775 2831.74 270.512 43.2440 2556.15 261.653 43.2331 6. Validação 79 muito semelhante e os resultados estão muito próximos, exceto na região da entrada do canal (ξ = 0.001 e ξ = 0.01). Na saída do canal (ξ = 1) os resultados obtidos para Péclet grande e PeH = 10 são iguais a solução exata com 6 digitos. Observa-se também que os valores de Nusselt para Péclet grande são menores que os valores encontrados para PeH = 10 e também são menores que os resultados encontrados para os demais valores de Péclet estudados. Com base nos resultados é possível observar que para o cáculo dos valores de Nusselt para escoamento slug-flow a convergencia melhora a medida em que aumenta o valor de Péclet. A tabela 6.5 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para número de Péclet grande com discretização em uma direção apenas. Os resultados mostram que os valores do número de Nusselt obtidos com número de Péclet grande para discretização em uma direção apenas e discretização em duas direções também são muito semelhantes. 6. Validação 80 Tab. 6.4: Número de Nusselt para slug-flow, com número de PeH grande, discretização em duas direções. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 ξ = 0.01 144.631 113.452 299.849 230.746 598.367 456.493 1195.410 908.081 2388.640 1810.81 4776.840 3617.29 140.351 76.1515 289.937 144.225 577.681 275.824 1153.210 539.407 2303.480 1066.610 4605.670 2121.460 132.804 28.6382 271.374 27.2600 538.117 26.4724 1071.760 26.0465 2138.450 25.8261 4273.270 25.7141 120.257 4.6605 237.229 -35.790 462.927 -110.712 914.906 -258.774 1818.700 -553.969 3627.480 -1143.75 102.931 20.4474 180.788 19.0001 331.837 18.8493 635.789 18.8800 1244.870 18.9179 2463.470 18.9419 86.4928 20.0732 106.103 19.3482 142.241 19.2416 219.119 19.2173 376.358 19.2113 692.820 19.2098 80.5174 19.7942 52.1268 19.1775 -15.6181 19.0792 -143.748 19.0565 -393.184 19.0510 -887.971 19.0496 82.8151 19.7178 67.9506 19.1286 58.3883 19.0328 56.1435 19.0106 55.7555 19.0052 55.7203 19.0038 53.1445 18.9877 ξ = 0.1 ξ=1 -27.0209 -76.2482 -170.360 -358.299 -734.116 -1485.51 10.3346 10.3168 10.3132 10.3124 10.3121 10.3121 10.1253 10.1152 10.1131 10.1125 10.1124 10.1124 10.0700 10.0612 10.0593 10.0588 10.0587 10.0587 10.0546 10.0462 10.0443 10.0439 10.0438 10.0437 10.0507 10.0423 10.0405 10.0400 10.0399 10.0399 10.0497 10.0413 10.0395 10.0391 10.0390 10.0389 10.0494 10.0411 10.0393 10.0388 10.0387 10.0387 10.0386 9.80314 9.83730 9.85340 9.86149 9.86960 9.86960 9.84637 9.85823 9.86389 9.86675 9.86960 9.86960 9.85949 9.86455 9.86706 9.86834 9.86960 9.86960 9.86504 9.86723 9.86840 9.86901 9.86960 9.86960 9.86761 9.86846 9.86902 9.86931 9.86960 9.86960 9.86885 9.86906 9.86932 9.86946 9.86960 9.86960 9.86945 9.86935 9.86946 9.86953 9.86960 9.86960 9.86975 9.86950 9.86954 9.86957 9.86960 9.86960 9.86960 6. Validação 81 Tab. 6.5: Número de Nusselt para slug-flow com número de PeH grande, discretização em uma direção. I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 3 5 10 20 40 80 100 200 250 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 exata 25.5106 38.7817 58.7782 59.5184 54.2935 53.4099 53.3129 53.1862 53.1710 53.1629 53.1549 53.1511 53.1491 53.1478 53.1471 53.1465 53.1461 53.1458 53.1456 53.1454 53.1454 53.1452 53.1451 53.1450 53.1450 53.1449 53.1449 53.1449 53.1448 53.1448 53.1448 53.1447 53.1447 53.1447 53.1446 53.1446 53.1446 53.1446 53.1446 53.1446 53.1446 53.1445 53.1445 53.1445 53.1445 20.6058 22.1256 19.7022 19.1415 19.0251 18.9970 18.9936 18.9892 18.9886 18.9884 18.9881 18.9879 18.9879 18.9878 18.9878 18.9878 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 18.9877 10.2319 10.1079 10.0587 10.0441 10.0400 10.0390 10.0389 10.0387 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 10.0386 9.81047 9.87219 9.87496 9.87161 9.87016 9.86975 9.86977 9.86964 9.86963 9.86962 9.86962 9.86961 9.86961 9.86961 9.86961 9.86961 9.86960 9.86961 9.86961 9.86961 9.86960 9.86961 9.86960 9.86960 9.86960 9.86961 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 9.86960 Capítulo 7 Resultados da solução permanente Neste capítulo são calculados os valores de temperatura e Nusselt para o escoamento tipo Hagen-Poiseuille para regime permanente por diferentes metodos de solução com o objetivo de verificar a solução desenvolvida e determinar o melhor método a ser utilizado para calcular a transferência de calor. Isto também servirá como indicação de qual metodologia será mais apropriada para executar a solução transiente. Para tal, também são apresentadas algumas soluções alternativas para o problema. O resultados apresentados são calculados para diferentes números de Péclet, com discretização bidirecional e em uma direção apenas, para diferentes posições de ξ e η, variando também o comprimento máximo do canal. 7.1 Análise de convergência da temperatura no escoamento A primeira análise feita tem o objetivo de estudar o comportamento da convergência em diferentes posições (longitudinais e axiais) no escoamento. Para fazer esta análise, o campo de temperatura adimensional é calculado utilizando diferentes malhas para diferentes combinações de ξ e η. Para estas comparações iniciais o esquema de diferenças centradas (CDS) é utilizado. As tabelas 7.1 e 7.2 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet PeH = 10 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Em geral, a convergência é pior próximo à 82 7. Resultados da solução permanente 83 entrada do canal. Tab. 7.1: Temperatura com PeH = 10 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.01 0.323176 0.231609 0.603197 0.424877 0.964517 0.674406 1.157220 0.807494 0.964511 0.674353 0.964511 0.674350 0.312743 0.153380 0.581386 0.261229 0.928118 0.401261 1.113050 0.475969 0.928068 0.400869 0.928065 0.400849 0.297607 0.0758945 0.544776 0.0721540 0.864004 0.0693143 1.034250 0.0677701 0.863634 0.0672255 0.863616 0.0671204 0.282343 0.06151090 0.491201 0.00117281 0.757633 -0.0800874 0.899224 -0.1242440 0.755200 -0.0857729 0.755075 -0.0860622 0.276496 0.0839658 0.440418 0.0710265 0.617270 0.0652269 0.704079 0.0646110 0.604448 0.0646999 0.603746 0.0646958 0.278670 0.0856408 0.425533 0.0735890 0.512223 0.0689084 0.513095 0.0681638 0.470897 0.0680051 0.468134 0.0679660 0.281781 0.0859627 0.437144 0.0736990 0.512622 0.0690283 0.462171 0.0682963 0.455905 0.0681376 0.450467 0.0680984 0.283396 0.0860365 0.447126 0.0736903 0.549417 0.0690210 0.526569 0.0682997 0.497948 0.0681423 0.493368 0.0681035 ξ = 0.1 ξ=1 -0.0286699 -0.0712198 -0.1259220 -0.1550900 -0.1259860 -0.1259890 0.0135170 0.0135101 0.0135076 0.0135069 0.0135067 0.0135067 0.0134219 0.0134174 0.0134154 0.0134147 0.0134145 0.0134145 0.0134099 0.0134054 0.0134034 0.0134027 0.0134026 0.0134025 0.0134067 0.0134023 0.0134003 0.0133996 0.0133995 0.0133994 0.0134059 0.0134016 0.0133996 0.0133989 0.0133988 0.0133987 0.0134057 0.0134014 0.0133994 0.0133988 0.0133986 0.0133985 0.0134057 0.0134014 0.0133994 0.0133987 0.0133985 0.0133985 0.000438061 0.000436693 0.000436375 0.000436294 0.000436273 0.000436268 0.000499288 0.000497713 0.000497349 0.000497257 0.000497234 0.000497228 0.000524156 0.000522515 0.000522137 0.000522041 0.000522018 0.000522012 0.000532669 0.000531031 0.000530651 0.000530555 0.000530531 0.000530525 0.000535098 0.000533471 0.000533093 0.000532997 0.000532973 0.000532967 0.000535733 0.000534113 0.000533735 0.000533640 0.000533616 0.000533610 0.000535894 0.000534276 0.000533898 0.000533803 0.000533779 0.000533773 0.000535935 0.000534317 0.000533939 0.000533844 0.000533820 0.000533814 7. Resultados da solução permanente 84 Tab. 7.2: Temperatura com PeH = 10 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.999830 0.999767 0.999753 0.999750 0.999749 0.999749 1.00036 1.00034 1.00034 1.00033 1.00033 1.00033 0.999981 0.999974 0.999972 0.999972 0.999972 0.999972 0.999818 0.999805 0.999803 0.999802 0.999802 0.999802 0.999766 0.999751 0.999748 0.999748 0.999747 0.999747 0.999745 0.999729 0.999726 0.999725 0.999725 0.999725 0.999736 0.999719 0.999716 0.999715 0.999715 0.999715 0.999732 0.999715 0.999712 0.999711 0.999711 0.999711 0.996447 0.995850 0.995718 0.995686 0.995678 0.995676 1.00068 1.00042 1.00036 1.00035 1.00035 1.00035 0.997867 0.997690 0.997655 0.997646 0.997644 0.997644 0.996717 0.996512 0.996470 0.996460 0.996457 0.996456 0.996405 0.996190 0.996145 0.996134 0.996132 0.996131 0.996341 0.996124 0.996079 0.996068 0.996065 0.996065 0.996325 0.996108 0.996063 0.996052 0.996049 0.996048 0.996321 0.996104 0.996059 0.996047 0.996045 0.996044 0.831760 0.828237 0.827449 0.827251 0.827202 0.827190 0.838349 0.834674 0.833848 0.833641 0.833589 0.833576 0.843198 0.839494 0.838660 0.838452 0.838400 0.838387 0.844694 0.840989 0.840154 0.839945 0.839893 0.839880 0.845106 0.841402 0.840568 0.840359 0.840307 0.840294 0.845212 0.841509 0.840675 0.840466 0.840414 0.840401 0.845239 0.841536 0.840702 0.840493 0.840441 0.840428 0.845246 0.841543 0.840709 0.840500 0.840448 0.840435 0.0383709 0.0382961 0.0382793 0.0382751 0.0382740 0.0382738 0.0366945 0.0366167 0.0365991 0.0365947 0.0365936 0.0365934 0.0363713 0.0362925 0.0362747 0.0362702 0.0362691 0.0362688 0.0363031 0.0362241 0.0362063 0.0362018 0.0362007 0.0362004 0.0362878 0.0362089 0.0361910 0.0361865 0.0361854 0.0361851 0.0362842 0.0362052 0.0361874 0.0361829 0.0361818 0.0361815 0.0362833 0.0362043 0.0361865 0.0361820 0.0361809 0.0361806 0.0362830 0.0362041 0.0361862 0.0361818 0.0361806 0.0361804 A tabela 7.1 mostra resultados atípicos em relação aos demais resultados na região próxima a entrada do canal, nas posições de ξ = 0.001 e ξ = 0.01, onde os valores da 7. Resultados da solução permanente 85 temperatura aumentam com J = 100 e depois diminuem, voltando a convergir. Além disso, é observado que os valores da temperatura ficam negativos com I = 100 e voltam a convergir com I = 200. Este comportamento atípico é explicado pela descontinuidade da condição de contorno da entrada do canal, onde a temperatura dá um salto do valor na parede para o valor do esocoamento não em contato com a mesma. As tabelas 7.3 e 7.4 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet PeH = 1 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Na tabela 7.3, os resultados apresentam o mesmo comportamento atípico apresentado na tabela 7.1, onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando a convergir normalmente. Na tabela 7.4, os resultados mostram boa convergência, já na entrada do canal, mesmo com malha grosseira (12×12) apresentando 4 dígitos convergidos. As tabelas 7.5 e 7.6 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet PeH = 0.1 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Na tabela 7.5, os resultados apresentam comportamento atípico nas mesmas regiões que os resultados da tabela 7.1 e também em uma região mais afastada da entrada (ξ = 0.1), onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando a convergir normalmente. Na tabela 7.6, os resultados estão todos convergidos já na entrada do canal com malha grosseira (12 × 12), com 6 dígitos. No entanto, é possível verificar que quase não houve variação dos valores da temperatura em relação a temperatura na entrada do canal. Isto ocorre porque para valores de Péclet muito baixos a difusão axial é predominante em relação a difusão transversal, fazendo com que a informação sobre a temperatura da parede (θ0 = 0) dificilmente chegue à região central do escoamento. Comparando os resultados de temperatura obtidos, de modo geral, a convergencia é melhor na saída do canal e é melhor em η = 0 do que em η = 0.99, quando comparados em relação as posições (ξ e η). Analisando os resultados em relação aos diferentes números de Péclet considerados, os resultados obtidos para PeH = 10 apresentaram melhor convergencia em η = 0.99. No entanto, para valores de Péclet pequenos (PeH = 7. Resultados da solução permanente 86 Tab. 7.3: Temperatura com PeH = 1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.328403 0.608794 0.969774 1.162170 0.969338 0.969316 0.327880 0.602574 0.949850 1.133100 0.947282 0.947134 0.328102 0.600781 0.933970 1.100660 0.925744 0.925108 0.328384 0.601619 0.929809 1.079530 0.919134 0.917555 0.328566 0.602703 0.932631 1.077710 0.930019 0.927696 0.328665 0.603401 0.935809 1.083780 0.938562 0.935035 0.328714 0.603768 0.937728 1.088770 0.940172 0.936399 0.328734 0.603922 0.938567 1.091120 0.940069 0.936649 0.278602 0.475051 0.721531 0.851866 0.717657 0.717457 0.275611 0.429835 0.573377 0.634967 0.553310 0.552161 0.278734 0.426912 0.500145 0.474989 0.449345 0.445563 0.281519 0.440310 0.525291 0.480136 0.471878 0.466378 0.282596 0.446962 0.550929 0.528387 0.500130 0.495539 0.282796 0.448110 0.554710 0.533887 0.504720 0.500129 0.282846 0.448396 0.555642 0.535168 0.505923 0.501339 0.282859 0.448468 0.555874 0.535482 0.506228 0.501647 0.0661544 0.0215595 -0.0388090 -0.0716990 -0.0439599 -0.0442216 0.0809299 0.0698129 0.0651523 0.0642780 0.0640965 0.0640520 0.0816273 0.0696434 0.0649598 0.0642133 0.0640533 0.0640139 0.0818415 0.0696842 0.0650009 0.0642715 0.0641135 0.0640745 0.0818923 0.0696794 0.0649968 0.0642747 0.0641176 0.0640788 0.0819048 0.0696773 0.0649950 0.0642748 0.0641180 0.0640793 0.0819079 0.0696767 0.0649945 0.0642748 0.0641181 0.0640794 0.0819087 0.0696766 0.0649943 0.0642748 0.0641181 0.0640794 0.00926535 0.00924187 0.00923675 0.00923548 0.00923516 0.00923508 0.00932989 0.00930596 0.00930075 0.00929945 0.00929913 0.00929904 0.00934419 0.00932017 0.00931494 0.00931364 0.00931332 0.00931323 0.00934775 0.00932372 0.00931848 0.00931718 0.00931685 0.00931677 0.00934864 0.00932460 0.00931937 0.00931806 0.00931774 0.00931766 0.00934886 0.00932482 0.00931959 0.00931829 0.00931796 0.00931788 0.00934892 0.00932488 0.00931964 0.00931834 0.00931802 0.00931793 0.00934893 0.00932489 0.00931966 0.00931835 0.00931803 0.00931795 0.1) a convergencia é melhor em η = 0, isto também pode ser pelo fato de que nos casos com valores de Péclet pequenos, o problema é predominado pela difusão axial. 7. Resultados da solução permanente 87 Tab. 7.4: Temperatura com PeH = 1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.999417 0.999411 0.999410 0.999409 0.999409 0.999409 0.999412 0.999406 0.999405 0.999404 0.999404 0.999404 0.999409 0.999403 0.999402 0.999401 0.999401 0.999401 0.999408 0.999401 0.999400 0.999400 0.999400 0.999400 0.999407 0.999401 0.999399 0.999399 0.999399 0.999399 0.999406 0.999400 0.999399 0.999399 0.999398 0.999398 0.999406 0.999400 0.999399 0.999398 0.999398 0.999398 0.999406 0.999400 0.999399 0.999398 0.999398 0.999398 0.994141 0.994079 0.994066 0.994062 0.994062 0.994061 0.994090 0.994028 0.994015 0.994011 0.994011 0.994010 0.994061 0.994000 0.993986 0.993983 0.993982 0.993982 0.994047 0.993985 0.993972 0.993968 0.993968 0.993967 0.994042 0.993980 0.993967 0.993963 0.993963 0.993962 0.994041 0.993979 0.993966 0.993962 0.993962 0.993961 0.994041 0.993979 0.993966 0.993962 0.993961 0.993961 0.994041 0.993979 0.993966 0.993962 0.993961 0.993961 0.938956 0.938334 0.938196 0.938162 0.938154 0.938152 0.938840 0.938220 0.938084 0.938050 0.938041 0.938039 0.938826 0.938207 0.938071 0.938037 0.938028 0.938026 0.938823 0.938204 0.938068 0.938034 0.938025 0.938023 0.938822 0.938203 0.938067 0.938033 0.938024 0.938022 0.938821 0.938203 0.938067 0.938033 0.938024 0.938022 0.938821 0.938203 0.938067 0.938033 0.938024 0.938022 0.938821 0.938203 0.938067 0.938033 0.938024 0.938022 0.561877 0.562242 0.562323 0.562344 0.562349 0.562350 0.561569 0.561934 0.562016 0.562037 0.562042 0.562043 0.561501 0.561866 0.561948 0.561968 0.561973 0.561974 0.561483 0.561849 0.561930 0.561951 0.561956 0.561957 0.561479 0.561844 0.561926 0.561946 0.561952 0.561953 0.561478 0.561843 0.561925 0.561945 0.561951 0.561952 0.561478 0.561843 0.561925 0.561945 0.561950 0.561952 0.561478 0.561843 0.561925 0.561945 0.561950 0.561951 7. Resultados da solução permanente 88 Tab. 7.5: Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.333797 0.622661 0.992757 1.187090 0.991782 0.991585 0.333813 0.622763 0.993072 1.187070 0.993257 0.992941 0.333822 0.622822 0.993348 1.187630 0.994088 0.993557 0.333826 0.622853 0.993516 1.188070 0.994253 0.993655 0.333828 0.622870 0.993606 1.188320 0.994240 0.993671 0.333829 0.622878 0.993651 1.188460 0.994210 0.993675 0.333830 0.622882 0.993674 1.18852 0.994192 0.993676 0.333830 0.622883 0.993683 1.18855 0.994184 0.328796 0.602193 0.930493 1.077690 0.921234 0.919438 0.328959 0.603235 0.934014 1.079690 0.933995 0.931328 0.329039 0.603812 0.936814 1.085910 0.939793 0.936020 0.329078 0.604101 0.938351 1.090060 0.940411 0.936767 0.329091 0.604200 0.938894 1.091580 0.940321 0.936925 0.329094 0.604220 0.938999 1.091870 0.940325 0.936964 0.329094 0.604225 0.939025 1.09194 0.940326 0.936974 0.329095 0.604226 0.939032 1.09196 0.940327 0.285552 0.445861 0.539035 0.503526 0.487887 0.482703 0.286265 0.450189 0.555371 0.534002 0.504835 0.500235 0.286393 0.450917 0.557685 0.537011 0.507792 0.503202 0.286426 0.451100 0.558281 0.537823 0.508567 0.503983 0.286434 0.451146 0.55842 0.538024 0.508763 0.504181 0.286436 0.451157 0.558466 0.538074 0.508812 0.504231 0.286436 0.451160 0.558476 0.538086 0.508824 0.504243 0.286436 0.451161 0.558478 0.538089 0.508828 0.1328770 0.1096510 0.1007040 0.0993483 0.0990530 0.0989800 0.1335310 0.1103820 0.1012470 0.0998569 0.0995552 0.0994807 0.1336770 0.1105430 0.1013660 0.0999687 0.0996656 0.0995908 0.1337140 0.1105830 0.1013950 0.0999965 0.0996930 0.0996181 0.1337230 0.1105930 0.1014030 0.1000030 0.0996999 0.0996250 0.1337250 0.1105950 0.1014050 0.1000050 0.0997016 0.0996267 0.133726 0.110596 0.101405 0.100006 0.0997020 0.0996271 0.133726 0.110596 0.101405 0.100006 0.0997022 7. Resultados da solução permanente 89 Tab. 7.6: Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 7. Resultados da solução permanente 90 Com o objetivo de verificação e comparação de resultados, os campos de temperatura para o escoamento tipo slug-flow também foram calculados, e encontram-se nos apêndices A.1, A.2 e A.3. Os resultados mostram que a convergência das soluções para os dois tipos de escoamento é muito semelhante, em relação ao número de Péclet, em relação as diferentes posições no escoamento (dadas pelos valores de ξ e η) e também em relação as malhas utilizadas; todavia a convergência dos campos de temperatura é, em geral, um pouco melhor para o escoamento slug-flow. O mesmo o comportamento atípico apresentado em alguns casos da solução com escoamento Hagen-Poiseuille (anteriormente mencionado) foram obtidos para o caso com slug-flow para os mesmos números de Péclet, mesmas posições e mesmas malhas. Algumas poucas exceções foram observadas como é o caso da tabela A.2, com número de Péclet PeH = 10 em η = 0, onde os resultados apresentaram comportamento atípico para slug-flow em posições e malhas ligeiramente diferentes dos apresentados para Hagen-Poiseuille. Comparando os valores de θ obtidos para slug-flow e Hagen-Poiseuille, é possível observar algumas diferenças na distribuição de temperatura para os diferentes tipos de escoamentos. As temperaturas para o escoamento Hagen-Poiseuille, de modo geral, são ligeiramente maiores que os valores de temperatura para slug-flow na saída do canal. Este resultado está associado à diferença nos perfis de velocidade para os dois tipos de escoamento. Com o perfil de escoamento reto do slug-flow haverá maior transferência de calor junto a parede, fazendo com que a temperatura caia mais rapidamente com a posição axial (ξ), resultando em menores temperaturas na saída. 7. Resultados da solução permanente 7.2 91 Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS O objetivo desta seção é comparar os resultados das soluções com a discretização baseada no esquema de diferenças centradas (CDS) com a discretização baseada no esquema de diferenças híbrido (HDS), para o cálculo do número de Nusselt com o escoamento Hagen-Poiseuille. 7.2.1 Esquema de diferenças centradas – CDS Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente, utilizando discretização em duas direções, considerando a condição de contorno de temperatura constante na parede do canal. O esquema de discretização baseado em diferenças centradas para o termo convectivo (CDS) foi utilizado. O número de Nusselt foi calculado para diferentes posições e diferentes valores de número de Péclet. As tabelas 7.7, 7.8 e 7.9 mostram os valores de Nusselt, para diferentes números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). Os resultados apresentam um comportamento atípico na região da entrada do canal (ξ = 0.01), onde resultados começam a apresentar convergência, porém quando a malha é refinada para I = 100 os resultados ficam negativos e voltam a convergir ao refinar a malha para I = 200. Este comportamento é observado para número de PeH = 1 e PeH = 10. Comparando os resultados em diferentes posições axiais, verifica-se que a convergência é muito pior nas posições próximas da entrada do canal (pequenos valores de ξ). Além disso, a redução do número de Péclet diminui a convergência, como observado na tabela 7.9 e 7.8. Para menores valores de Péclet (PeH = 0.1 e PeH = 1), nenhum dígito apresenta convergência, mesmo para malha mais refinada utilizada, próximo à entrada do canal (ξ = 0.001). 7. Resultados da solução permanente 92 Tab. 7.7: Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 142.762 297.397 594.589 1188.880 2377.440 4754.480 138.154 286.594 571.951 1142.620 2283.950 4566.560 131.320 268.013 530.943 1056.990 2109.230 4213.780 124.318 240.174 460.594 902.173 1786.320 3555.260 121.577 213.013 362.802 655.213 1242.910 2421.900 122.538 204.593 283.688 365.713 508.964 804.824 123.951 210.603 280.516 242.552 14.2330 -475.662 124.687 215.905 307.048 338.681 298.107 261.858 107.173 219.275 434.854 866.008 1728.32 3452.93 70.5440 133.459 255.049 498.577 985.823 1960.41 33.5192 32.1138 30.9288 30.2176 29.8355 29.6383 26.3604 -7.20932 -74.3350 -205.750 -465.961 -984.789 37.0201 30.6256 26.9930 26.2346 26.2734 26.3936 37.7968 31.9331 29.2716 28.8534 28.7825 28.7659 37.9440 31.9672 29.3177 28.9124 28.8384 28.8212 37.9775 31.9558 29.3076 28.9122 28.8392 28.8221 -20.8444 -57.1762 -126.822 -266.010 -544.336 -1100.96 8.25530 8.25791 8.25796 8.25787 8.25783 8.25782 8.16864 8.17273 8.17298 8.17295 8.17293 8.17293 8.15113 8.15516 8.15541 8.15538 8.15536 8.15535 8.14622 8.15028 8.15054 8.15051 8.15049 8.15049 8.14498 8.14906 8.14932 8.14929 8.14927 8.14926 8.14467 8.14875 8.14901 8.14898 8.14897 8.14896 8.14459 8.14868 8.14894 8.14891 8.14889 8.14888 7.73673 7.75869 7.76699 7.77077 7.77431 7.77433 7.77968 7.79041 7.79382 7.79521 7.79638 7.79640 7.77186 7.77924 7.78115 7.78184 7.78225 7.78226 7.75112 7.75768 7.75912 7.75952 7.75971 7.75973 7.73862 7.74506 7.74637 7.74670 7.74680 7.74682 7.73378 7.74022 7.74150 7.74181 7.74189 7.74191 7.73227 7.73872 7.73999 7.74029 7.74037 7.74039 7.73185 7.73829 7.73957 7.73987 7.73995 7.73996 7. Resultados da solução permanente 93 Tab. 7.8: Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 144.438 298.694 594.554 1186.24 2369.72 4736.78 144.190 295.355 580.491 1148.14 2283.56 4555.12 144.287 294.343 568.416 1096.25 2142.07 4234.42 144.413 294.764 564.791 1051.16 1947.31 3702.74 144.495 295.336 566.692 1039.82 1791.34 3021.41 144.540 295.707 569.023 1048.82 1768.74 2575.70 144.562 295.902 570.452 1058.09 1812.00 2627.15 144.572 295.984 571.079 1062.65 1842.04 2790.44 123.545 233.484 439.571 852.247 1679.08 3333.82 122.079 208.840 333.474 563.546 1025.35 1954.67 123.483 206.831 275.704 296.966 287.711 275.353 124.753 213.912 291.872 266.854 37.1027 -479.736 125.246 217.470 310.593 343.126 294.025 247.072 125.338 218.081 313.298 350.119 304.978 266.582 125.361 218.234 313.963 351.632 305.826 266.967 125.366 218.272 314.129 351.995 305.906 266.832 30.9689 4.57372 -48.4931 -151.747 -355.683 -762.009 38.4667 32.7172 29.8808 29.2981 29.1925 29.1697 38.7984 32.5424 29.6815 29.2280 29.1471 29.1283 38.9017 32.5456 29.6871 29.2510 29.1711 29.1525 38.9261 32.5376 29.6798 29.2509 29.1718 29.1533 38.9321 32.5350 29.6775 29.2505 29.1716 29.1532 38.9336 32.5343 29.6769 29.2504 29.1716 29.1532 38.9340 32.5342 29.6767 29.2504 29.1716 29.1532 8.45042 8.43917 8.43693 8.43643 8.43637 8.43634 8.46242 8.45054 8.44809 8.44750 8.44737 8.44734 8.46474 8.45274 8.45025 8.44964 8.44949 8.44946 8.46529 8.45326 8.45076 8.45015 8.44999 8.44996 8.46542 8.45338 8.45088 8.45027 8.45012 8.45008 8.46545 8.45341 8.45091 8.45030 8.45015 8.45011 8.46546 8.45342 8.45092 8.45030 8.45015 8.45011 8.46546 8.45342 8.45092 8.45031 8.45015 8.45012 7. Resultados da solução permanente 94 Tab. 7.9: Número de Nusselt com PeH = 0.1 para discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 146.666 305.317 608.178 1207.17 2393.08 4756.75 146.674 305.371 608.396 1206.34 2375.35 4662.39 146.678 305.402 608.599 1207.21 2372.87 4598.96 146.679 305.419 608.724 1208.02 2376.42 4590.87 146.680 305.428 608.791 1208.52 2379.72 4605.83 146.681 305.432 608.825 1208.79 2381.70 4619.08 146.681 305.434 608.842 1208.92 2382.71 4626.68 146.681 305.435 608.849 1208.97 2383.14 144.444 125.215 57.0132 294.738 214.366 46.1014 564.566 298.058 41.2032 1043.77 297.429 40.4846 1894.82 133.074 40.3514 3525.30 -244.069 40.3204 144.518 125.538 57.3048 295.289 216.654 46.4417 567.046 309.837 41.4341 1040.86 345.046 40.6923 1768.21 303.355 40.5558 2824.14 267.417 40.5241 144.554 125.595 57.3701 295.595 217.038 46.5165 569.112 311.466 41.4841 1051.27 348.321 40.7378 1779.14 303.409 40.6007 2545.35 265.268 40.5688 144.571 125.610 57.3864 295.748 217.135 46.5351 570.258 311.887 41.4965 1059.13 349.261 40.7491 1823.14 303.787 40.6118 2688.30 265.222 40.5799 144.577 125.614 57.3904 295.801 217.159 46.5398 570.663 311.992 41.4996 1062.09 349.489 40.7520 1842.86 303.827 40.6146 2799.73 265.120 40.5827 144.578 125.614 57.3915 295.811 217.165 46.5409 570.741 312.018 41.5003 1062.65 349.546 40.7527 1846.36 303.833 40.6153 2817.09 265.089 40.5834 144.579 125.615 57.3917 295.814 217.166 46.5412 570.761 312.025 41.5005 1062.78 349.560 40.7529 1847.23 303.835 40.6155 2821.39 265.081 40.5835 144.579 125.615 57.3918 295.815 217.167 46.5413 570.766 312.026 41.5006 1062.82 349.564 40.7529 1847.45 303.835 40.6155 ξ = 0.1 ξ=1 7. Resultados da solução permanente 95 Comparando os resultados obtidos nesta seção com os obtidos na validação com o escoamento slug-flow (tabelas 6.1 , 6.2 e 6.3), observa-se que a convergência é melhor para slug-flow. Para este tipo simplificado de escoamento é obtida uma convergência com seis dígitos, com malhas relativamente grosseiras, na posição ξ = 1, para valores de PeH = 1 e PeH = 10. Já para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, é necessário um refinamento muito maior da malha para obter a mesma precisão obtida em posições similares para slug-flow. De fato, para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, em nenhum caso foi obtida a convergência com seis dígitos. Entretanto, para posições próximas da entrada do canal e para número de Péclet PeH = 0.1, não foi observada convergência superior para o escoamento slug-flow. Comparando os valores de número de Nusselt obtidos para os dois de tipos de escoamento é possível observar que o comportamento das soluções é muito semelhante e os resultados estão muito próximos, sendo que os valores do número de Nusselt para slug-flow são um pouco maiores que os valores obtidos para Hagen-Poiseuille. Este resultado pode estar associado à diferença dos perfis de velocidade para os dois tipos de escoamento, onde o perfil de velocidade reto do slug-flow contribui para a melhor transferência de calor junto a parede, conforme mencionado anteriormente. 7. Resultados da solução permanente 7.2.2 96 Esquema híbrido – HDS Esta seção apresenta os resultados para a solução HDS em regime permanente, discretizada em duas direções, com o objetivo de comparar os resultados obtidos para solução numérica CDS desenvolvida, considerando a condição de contorno de temperatura constante na parede do canal. Antes de apresentar resultados calculados com o esquema de diferenças híbrido HDS (combinação de diferenças centradas e upwind) valores do parâmetro ω em função do número de Péclet são avaliados e mostrados na tabela 7.10. u ∗ PeH ω Tab. 7.10: Valores do parâmetro α para o esquema HDS. 0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 5.0 10 0.5000 0.4994 0.4844 0.4378 0.3630 0.2689 0.0019 0.0000 Como pode-se observar desta tabela, para valores de Péclet ≤ 0.1 os valores de ω (ω ≈ 0.5) estarão resultando num esquema praticamente apenas CDS. Portanto, resultados para HDS com Péclet igual a 0.1 não serão apresentados, pois estes levariam a praticamente aos mesmos resultados calculados com o esquema CDS. Para PeH = 10 pode-se dizer que o esquema é praticamente UDS, todavia, como perto da parede a velocidade cai para zero, nestas posições a difusão é dominante e o esquema aproxima-se do CDS. O número de Nusselt foi calculado para diferentes posições longitudinais (ξ = 0.001, 0.01, 0.1 e 1) variando o valor de número de Péclet (PeH = 10 e PeH = 1). A critério de verificação, valores de Nusselt com PeH = 0.1 foram também calculados com o esquema HDS, todavia, como esperado os mesmos resultados obtidos com o esquema CDS foram obtidos. As tabelas 7.11 e 7.12 mostram os valores de Nusselt obtidos para diferentes números de Péclet.1 Comparando os valores de Nusselt obtidos para os dois esquemas, CDS E HDS, é possível observar que o comportamento das soluções é muito semelhante e os resultados estão muito próximos, sendo que em alguns casos os resultados são exatamente iguais para os dois esquemas, tanto para PeH = 10 1 Valores para as temperaturas adimensionais em diferentes posições no escoamento também foram calculados pelo esquema HDS, e são apresentadas no apêndice A.5. 7. Resultados da solução permanente 97 quanto para Pe H = 1. Tab. 7.11: Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional HDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 143.068 298.060 595.937 1191.60 2382.90 4765.42 138.430 287.207 573.213 1145.18 2289.10 4576.91 131.489 268.412 531.786 1058.73 2112.74 4220.85 124.380 240.359 460.996 903.017 1788.05 3558.76 121.570 213.081 362.942 655.497 1243.49 2423.09 122.520 204.615 283.736 365.772 509.053 804.979 123.952 210.616 280.542 242.573 14.2337 -475.701 124.698 215.922 307.066 338.698 298.123 261.874 109.340 223.938 444.315 885.064 1766.57 3529.56 71.6251 135.776 259.762 508.091 1004.94 1998.74 33.6142 32.1817 30.9765 30.2558 29.8691 29.6696 26.4031 -7.31182 -74.7231 -206.685 -467.977 -988.958 37.2120 30.7628 27.1298 26.3749 26.4146 26.5349 37.9217 32.0247 29.3654 28.9489 28.8783 28.8616 38.0151 32.0195 29.3711 28.9667 28.8928 28.8756 38.0153 31.9836 29.3359 28.9409 28.8679 28.8509 -22.8937 -61.9008 -136.672 -286.103 -584.909 -1182.50 8.44427 8.44838 8.44861 8.44852 8.44848 8.44847 8.29824 8.30302 8.30332 8.30328 8.30325 8.30324 8.22668 8.23106 8.23133 8.23129 8.23127 8.23126 8.18668 8.19092 8.19118 8.19115 8.19113 8.19112 8.16586 8.17002 8.17028 8.17025 8.17023 8.17022 8.15527 8.15939 8.15965 8.15962 8.15960 8.15959 8.14993 8.15403 8.15429 8.15426 8.15425 8.15424 7.61721 7.63479 7.64027 7.64245 7.64430 7.64432 7.67078 7.68227 7.68532 7.68638 7.68714 7.68716 7.70338 7.71196 7.71398 7.71459 7.71492 7.71494 7.71720 7.72452 7.72608 7.72650 7.72667 7.72669 7.72266 7.72951 7.73089 7.73124 7.73134 7.73136 7.72603 7.73268 7.73400 7.73432 7.73441 7.73443 7.72842 7.73497 7.73626 7.73657 7.73665 7.73667 7.72992 7.73642 7.73770 7.73801 7.73808 7.73810 7. Resultados da solução permanente 98 Tab. 7.12: Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional HDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 144.439 298.695 594.556 1186.24 2369.73 4736.80 144.190 295.355 580.492 1148.14 2283.57 4555.13 144.287 294.343 568.417 1096.25 2142.08 4234.42 144.413 294.765 564.792 1051.16 1947.31 3702.74 144.495 295.336 566.692 1039.82 1791.34 3021.41 144.540 295.707 569.023 1048.82 1768.74 2575.70 144.562 295.902 570.452 1058.09 1812.00 2627.15 144.572 295.984 571.079 1062.65 1842.04 2790.44 123.549 233.491 439.585 852.274 1679.14 3333.92 122.080 208.843 333.478 563.554 1025.37 1954.70 123.483 206.832 275.706 296.967 287.712 275.354 124.754 213.913 291.872 266.854 37.1027 -479.736 125.246 217.470 310.593 343.126 294.025 247.072 125.338 218.081 313.298 350.119 304.978 266.582 125.361 218.234 313.963 351.632 305.826 266.967 125.366 218.272 314.129 351.995 305.906 266.832 30.9700 4.57483 -48.4919 -151.746 -355.682 -762.007 38.4660 32.7168 29.8806 29.2979 29.1923 29.1695 38.7978 32.5420 29.6813 29.2278 29.1469 29.1281 38.9014 32.5454 29.6870 29.2508 29.1709 29.1524 38.9260 32.5375 29.6797 29.2508 29.1717 29.1532 38.9321 32.5349 29.6775 29.2505 29.1716 29.1532 38.9336 32.5343 29.6769 29.2504 29.1715 29.1532 38.9340 32.5341 29.6767 29.2504 29.1715 29.1532 8.44801 8.43679 8.43456 8.43406 8.43400 8.43397 8.46127 8.44941 8.44697 8.44638 8.44625 8.44621 8.46416 8.45217 8.44969 8.44908 8.44893 8.44889 8.46500 8.45297 8.45048 8.44987 8.44971 8.44967 8.46528 8.45324 8.45074 8.45013 8.44997 8.44994 8.46538 8.45334 8.45084 8.45023 8.45008 8.45004 8.46543 8.45339 8.45089 8.45027 8.45012 8.45008 8.46545 8.45341 8.45090 8.45029 8.45014 8.45010 7. Resultados da solução permanente 99 Os resultados apresentados mostram que a convergência das soluções para os dois esquemas é muito semelhante em relação ao número de Péclet, em relação às coordenadas (ξ e η) e em relação as malhas utilizadas. O mesmo o comportamento atípico apresentado em alguns casos da solução para CDS foram obtidos para HDS, para os mesmos números de Péclet, mesmas coordenadas e mesmas malhas. Os resultados mostram que aparentemente a convergência para CDS é melhor do que para HDS. É muito provável que a ordem do erro esteja influenciando na convergência, visto que para CDS o erro é da ordem de ∆ξ2 enquanto que para UDS (diferença avançada ou atrasada) o erro é da ordem de ∆ξ. Porém, o tempo computacional também deve ser comparado. Tal comparação é apresentada no final desta seção, na tabela 7.15. 7.2.3 Análise da solução com Péclet grande Com o objetivo de verificar importância da difusão axial, a solução com Pe → ∞ é calculada. As soluções com discretização bidirecional CDS e HDS são utilizadas. As tabelas 7.13 e 7.14 mostram os valores de Nusselt obtidos para diferentes malhas para a discretização CDS e HDS, respectivamente. Como pode-se observar, os resultados obtidos são muito semelhantes aos resultados obtidos para a solução com número de PeH = 10. O mesmo o comportamento atípico apresentado em alguns casos da solução para número de PeH = 10 foram obtidos também para a solução com número de Péclet grande, nas mesmas coordenadas e nas mesmas malhas, tanto para a discretização CDS quanto para HDS. Valores para a temperatura adimensional também foram calculados com a discretização CDS, em diferentes posições, e são apresentados no apêndice A.4, mostrando um comportamento, em geral, similar ao de Nusselt. Comparando os valores de temperatura obtidos para número de Péclet grande e número PeH = 10, é possível observar que o comportamento das soluções é muito semelhante e os resultados estão muito próximos. 7. Resultados da solução permanente 100 Tab. 7.13: Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional CDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 142.783 107.121 -23.9407 7.48260 297.551 220.177 -61.7740 7.51716 594.989 437.504 -134.483 7.52975 1189.770 872.107 -279.890 7.53541 2379.300 1741.290 -570.701 7.54066 4758.280 3479.630 -1152.32 7.54069 137.816 66.6339 7.74537 7.50868 286.610 131.117 7.75708 7.52968 572.583 255.190 7.75905 7.53602 1144.440 503.336 7.75945 7.53855 2288.130 999.622 7.75954 7.54066 4575.430 1992.190 7.75956 7.54069 128.642 14.1349 7.65403 7.51766 266.067 13.9271 7.66508 7.53398 530.244 13.8901 7.66698 7.53817 1058.530 13.8821 7.66738 7.53963 2115.060 13.8803 7.66747 7.54066 4228.120 13.8799 7.66749 7.54069 111.802 -13.5763 7.62853 7.52162 227.498 -48.8065 7.63942 7.53588 450.116 -115.994 7.64129 7.53912 895.337 -250.266 7.64170 7.54010 1785.770 -518.788 7.64178 7.54066 3566.590 -1055.83 7.64180 7.54069 83.4941 11.9306 7.62141 7.52349 160.456 12.0700 7.63224 7.53677 309.350 12.0930 7.63411 7.53957 607.277 12.0969 7.63451 7.54032 1203.150 12.0976 7.63459 7.54066 2394.900 12.0978 7.63462 7.54069 44.2133 12.0230 7.61958 7.52440 62.4122 12.0846 7.63039 7.53721 100.5570 12.0921 7.63226 7.53978 177.4140 12.0931 7.63266 7.54043 331.2370 12.0932 7.63274 7.54066 638.9060 12.0932 7.63277 7.54069 13.0182 11.9694 7.61912 7.52485 -21.8185 12.0281 7.62993 7.53742 -82.0234 12.0353 7.63180 7.53989 -201.189 12.0362 7.63220 7.54048 -439.274 12.0363 7.63228 7.54066 -915.396 12.0364 7.63230 7.54069 25.4184 11.9540 7.61900 7.52507 25.1331 12.0119 7.62981 7.53753 25.3401 12.0190 7.63168 7.53994 25.3787 12.0199 7.63208 7.54051 25.3846 12.0201 7.63216 7.54066 25.3855 12.0201 7.63218 7.54069 7. Resultados da solução permanente 101 Tab. 7.14: Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional HDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 143.211 298.477 596.872 1193.56 2386.92 4773.55 138.356 287.804 575.033 1149.40 2298.11 4595.46 129.202 267.387 533.029 1064.24 2126.65 4251.41 112.199 228.677 452.808 901.056 1797.53 3590.47 83.3424 160.904 310.973 611.260 1211.86 2413.05 42.9604 61.3214 99.7686 177.260 332.358 642.579 10.8804 -24.0756 -84.7076 -204.673 -444.349 -923.650 26.2917 25.1710 25.3752 25.4206 25.4277 110.202 226.828 451.013 899.327 1795.94 3589.12 68.7065 135.733 264.703 522.642 1038.52 2070.25 13.7268 13.5027 13.4629 13.4545 13.4526 13.4521 -14.8794 -51.0801 -120.100 -258.033 -533.873 -1085.55 12.1301 12.2729 12.2993 12.3037 12.3045 12.3047 12.1550 12.2264 12.2352 12.2363 12.2365 12.2365 12.0560 12.1199 12.1278 12.1288 12.1290 12.1290 12.0029 12.0636 12.0710 12.0720 12.0721 -27.5848 -69.8078 -150.950 -313.222 -637.760 -1286.84 7.90618 7.91869 7.92070 7.92109 7.92118 7.92120 7.75764 7.76894 7.77081 7.77119 7.77128 7.77130 7.68727 7.69821 7.70006 7.70044 7.70053 7.70055 7.65258 7.66342 7.66527 7.66566 7.66574 7.66576 7.63559 7.64641 7.64826 7.64866 7.64874 7.64876 7.62723 7.63804 7.63990 7.64030 7.64038 7.64040 7.62308 7.63389 7.63575 7.63615 7.63624 7.50786 7.52929 7.53582 7.53845 7.54066 7.54069 7.51766 7.53398 7.53817 7.53963 7.54066 7.54069 7.52162 7.53588 7.53912 7.54010 7.54066 7.54069 7.52349 7.53677 7.53957 7.54032 7.54066 7.54069 7.52440 7.53721 7.53978 7.54043 7.54066 7.54069 7.52485 7.53742 7.53989 7.54048 7.54066 7.54069 7.52507 7.53753 7.53994 7.54051 7.54066 7.54069 7.52519 7.53758 7.53997 7.54052 7.54066 7. Resultados da solução permanente 102 Comparando os valores de apresentados para o número de Nusselt, observa-se que o caso com Péclet grande aproxima-se de PeH = 10, em posições longe da entrada do canal. Os resultados são notavelmente diferentes próximo a entrada do canal; porém, os valores de Nusselt são sempre maiores para o caso com PeH = 10. Este fenômeno, novamente, deve-se ao fato de haver mais difusão axial em PeH = 10 (de fato, para a aproximação com Péclet grande não existe difusão axial). Para completar a comparação dos esquemas HDS e CDS, o tempo computacional (em segundos) associado à solução do problema para diferentes malhas e diferentes valores de Péclet é apresentado na tabela 7.15. Como pode ser observado, o tempo computacional com o esquema HDS é notadamente menor do que com o esquema CDS, principalmente para PeH = 1, onde o tempo computacional gasto para HDS é menos que a metade do CDS. Tab. 7.15: Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional em diferentes malhas. PeH → ∞ I 50 200 100 50 25 400 200 100 50 25 400 200 100 50 200 J CDS HDS 50 8 6 25 35 23 50 37 25 100 38 25 200 39 26 25 161 91 50 172 112 100 186 120 200 186 125 400 196 124 50 920 599 100 791 561 200 955 601 400 1027 659 200 4113 2947 PeH = 10 PeH = 1 PeH = 1/10 CDS HDS CDS HDS CDS HDS 9 8 9 6 6 6 42 35 43 35 25 25 38 33 39 25 26 25 42 36 43 25 25 25 55 49 49 25 26 25 231 194 229 105 108 103 206 168 204 101 104 101 214 181 211 105 110 107 246 215 245 114 108 111 294 261 255 108 120 114 1003 878 1052 470 506 472 1001 886 995 480 504 488 1080 919 1183 527 546 524 1100 928 1095 458 454 457 4361 2965 4437 2276 2394 2360 Também foram calculados os resultados com a discretização baseada exclusivamente no esquema UDS (diferença avançada ou atrasada) para comparação com os resultados obtidos anteriormente. Estes resultados estão na tabela 7.16. Os resultados não mostraram diferenças significativas em relação aos demais resultados obtidos com valores de Péclet grande. 7. Resultados da solução permanente 103 Tab. 7.16: Número de Nusselt para PeH grande e discretização bidirecional UDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 143.211 298.477 596.872 1193.56 2386.92 4773.55 138.356 287.804 575.033 1149.40 2298.11 4595.46 129.202 267.387 533.029 1064.24 2126.65 4251.41 112.199 228.677 452.808 901.056 1797.53 3590.47 83.3424 160.904 310.973 611.260 1211.86 2413.05 42.9604 61.3214 99.7686 177.260 332.358 642.579 10.8804 -24.0756 -84.7076 -204.673 -444.349 -923.650 26.2917 25.1710 25.3752 25.4206 25.4277 25.4287 110.202 226.828 451.013 899.327 1795.94 3589.12 68.7065 135.733 264.703 522.642 1038.52 2070.25 13.7268 13.5027 13.4629 13.4545 13.4526 13.4521 -14.8794 -51.0801 -120.100 -258.033 -533.873 -1085.55 12.1301 12.2729 12.2993 12.3037 12.3045 12.3047 12.1550 12.2264 12.2352 12.2363 12.2365 12.2365 12.056 12.1199 12.1278 12.1288 12.1290 12.1290 12.0029 12.0636 12.0710 12.0720 12.0721 12.0721 -27.5848 -69.8078 -150.950 -313.222 -637.760 -1286.84 7.90618 7.91869 7.92070 7.92109 7.92118 7.92120 7.75764 7.76894 7.77081 7.77119 7.77128 7.77130 7.68727 7.69821 7.70006 7.70044 7.70053 7.70055 7.65258 7.66342 7.66527 7.66566 7.66574 7.66576 7.63559 7.64641 7.64826 7.64866 7.64874 7.64876 7.62723 7.63804 7.63990 7.64030 7.64038 7.64040 7.62308 7.63389 7.63575 7.63615 7.63624 7.63626 7.50786 7.52929 7.53582 7.53845 7.54066 7.54069 7.51766 7.53398 7.53817 7.53963 7.54066 7.54069 7.52162 7.53588 7.53912 7.54010 7.54066 7.54069 7.52349 7.53677 7.53957 7.54032 7.54066 7.54069 7.52440 7.53721 7.53978 7.54043 7.54066 7.54069 7.52485 7.53742 7.53989 7.54048 7.54066 7.54069 7.52507 7.53753 7.53994 7.54051 7.54066 7.54069 7.52519 7.53758 7.53997 7.54052 7.54066 7.54069 7. Resultados da solução permanente 7.3 104 Resultados para a discretização apenas longitudinal Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente utilizando discretização em apenas uma direção, com o objetivo de testar um forma alternativa de resolver o problema, considerando a condição de contorno de temperatura constante na parede do canal. O numero de Nusselt é calculado para diferentes posições axiais (ξ) e diferentes valores de número de Péclet. A tabela 7.17 mostra os valores de Nusselt obtidos para diferentes números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). A primeira coluna das tabelas indicam o número de volumes em que o canal foi dividido. Como mostram os resultados a solução numérica falha para número de Péclet maiores. Tab. 7.17: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas. I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 PeH = 10 3 ξ=1 erro de solução PeH = 1 3 6 12 15 35.7757 72.5352 144.574 34.8488 27.0978 9.05009 67.9371 37.3617 8.52423 125.368 38.9341 8.46468 erro de solução 3 6 12 25 50 100 200 35.8745 73.0238 146.681 305.435 608.851 1208.99 35.8198 35.3016 72.6188 68.8247 144.579 125.615 295.815 217.167 570.767 312.027 1062.83 349.565 erro de solução PeH = 0.1 32.8593 52.0686 57.3918 46.5413 41.5006 40.7529 Com o objetivo de contornar as dificuldades numéricas encontradas na solução cujos resultados foram apresentados anteriormente (tabela 7.17), os resultados foram recalculados utilizando uma rota alternativa. A solução analítica envolvendo exponenciais de matrizes, dada pelas equações 5.80, junto com o método do tiro foram utilizados para obter os valores de Nusselt. Os resultados são apresentados na tabela 7.18. Como pode-se observar, com esta alternativa, é possível obter resultados para casos anteriormente inviáveis. Esta tabela também apresenta as colunas SWP e MWP. Estes valores representam o número de casas decimais necessárias para executar a solução. MWP é valor utilizado para o cálculo das matrizes exponenciais e SWP é o 7. Resultados da solução permanente 105 valor utilizado para o método do tiro. Tab. 7.18: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução analítica com exponenciais de matrizes. I SWP MWP ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 PeH = 10 3 6 12 16 16 16 45 75 80 34.8909 67.8090 27.3693 8.27696 7.45751 36.7766 8.11875 7.69144 erro de solução PeH = 1 3 6 12 25 – 16 16 16 16 – 16 16 16 30 – 35.7757 72.5352 144.574 296.005 3 6 12 25 50 – 16 16 16 16 16 – 16 16 16 16 16 – 35.8745 73.0238 146.681 305.435 608.851 34.8488 27.0978 67.9371 37.3617 125.368 38.9341 218.285 32.5341 erro de solução 9.05009 8.52423 8.45597 8.45334 PeH = 0.1 35.8198 35.3016 72.6188 68.8247 144.579 125.615 295.815 217.167 570.767 312.027 erro de solução 32.8593 52.0686 57.3918 46.5413 41.5006 Em seguida, as soluções para o caso aproximado sem difusão axial, representando os casos com valores grandes de Péclet são apresentados. A tabela 7.19 mostra os valores de Nusselt obtidos para diferentes malhas transversais calculados em diferentes posições axiais. Os resultados mostram que os valores de Nusselt obtidos com número de Péclet grande com discretização em apenas uma direção são muito próximos dos resultados obtidos com discretização em duas direções. Para este caso, como o problema é reduzido a um problema de valor inicial, a solução numérica é realizada sem nenhum problema, podendo facilmente serem calculados valores de Nusselt para malhas muito refinadas. 7. Resultados da solução permanente 106 Tab. 7.19: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Péclet grande. I 3 5 10 20 40 80 100 120 140 160 180 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800 900 1000 1500 2000 2500 ξ = 0.001 ξ = 0.01 22.7720 29.7022 24.5340 24.7082 24.6923 24.6892 24.6888 24.6886 24.6884 24.6884 24.6884 24.6883 24.6883 24.6883 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 14.1417 12.0181 12.0401 12.0206 12.0160 12.0149 12.0147 12.0147 12.0146 12.0146 12.0146 12.0146 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 ξ = 0.1 ξ=1 7.53344 7.61568 7.63233 7.63279 7.63239 7.63222 7.63225 7.63220 7.63217 7.63217 7.63216 7.63217 7.63216 7.63216 7.63216 7.63216 7.63216 7.63215 7.63215 7.63215 7.63215 7.63215 7.63215 7.63215 7.63215 7.63215 7.36294 7.49827 7.53491 7.53989 7.54058 7.54068 7.54074 7.54071 7.54069 7.54069 7.54069 7.54070 7.54071 7.54071 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070 7.54071 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070 7. Resultados da solução permanente 107 Análise da influência de ξmax 7.4 O objetivo desta seção é verificar a influência do comprimento máximo do canal (ξmax ) nos valores de Nusselt. São apresentados resultados calculados com discretização bidirecional baseada no esquema de diferenças híbrido HDS para o cálculo do número de Nusselt. Os casos com a aproximação de Péclet grande são calculados com a solução com discretização longitudinal apenas. 7.4.1 Resultados com Péclet grande Os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet grande para diferentes valores de ξmax = (1 2, 4, 8) são apresentados nas tabelas 7.20 e 7.21. Como o desempenho da solução unidirecional foi muito superior para este caso, apenas esta alternativa foi utilizada para estes resultados. Comprando os valores apresentados é possível observar que o valor de ξmax não influencia os valores de Nusselt, tanto na entrada quanto na saída do canal. Para a malha com 400 divisões longitudinais percebe-se alguma flutuação para ξ > 1; todavia, estas desaparecem quando a malha é refinada para 800, confirmando o que o aumento de ξmax além de ξ = 1 não influencia a solução para este caso. Isto também confirma o fato que para este caso, o desenvolvimento térmico é atingido para ξmax ≈ 1. ξmax 1 2 4 8 ξmax 1 2 4 8 Tab. 7.20: Número de Nusselt com PeH grande com J = 400. ξ = 0.001 ξ = 0.01 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 ξ = 0.1 7.63214 7.63214 7.63214 7.63214 ξ=1 ξ=2 ξ=4 Tab. 7.21: Número de Nusselt com PeH grande com J = 800. ξ = 0.001 ξ = 0.01 24.6882 24.6882 24.6882 24.6882 12.0145 12.0145 12.0145 12.0145 ξ = 0.1 7.63215 7.63215 7.63215 7.63215 ξ=8 7.54069 — — — 7.54069 7.54069 — — 7.54069 7.54069 7.53692 — 7.54069 7.54069 7.50788 7.54070 ξ=1 ξ=2 ξ=4 ξ=8 7.54070 — — — 7.54070 7.54070 — — 7.54070 7.54070 7.54070 — 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070 7. Resultados da solução permanente 7.4.2 108 Resultados para demais valores de Péclet As tabelas 7.22 e 7.23 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de PeH = 10 para diferentes valores de ξmax . Para calcular os resultados para valores de Péclet iguais a 10 e menores, a solução com discretização bidirecional foi utilizada. Os resultados para número de PeH = 10 apresentam um comportamento parecido ao observado para Péclet grande, com o valor de ξmax (acima de 1) tendo pouca influência sobre os valores de Nusselt. Como para estes casos soluções com discretização axial foram utilizadas, naturalmente o aumento do valor de ξmax influencia a necessidade de refinamento da malha para obtenção da convergência. Em outras palavras, quando o valor de ξmax é dobrado, é necessário o dobro do número de volumes para obter a mesma convergência e os mesmos valores, ou valores muito próximos, para Nusselt. Devido a este fato, os resultados para diferentes valores de ξmax foram apresentados fixando-se o tamanho do espaçamento da malha axial ∆ξ = ξmax /I . Tab. 7.22: Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. ξmax ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 ξ=4 1 2 4 3558.76 3558.76 3558.76 -988.958 8.23126 7.72669 — — -988.958 8.23126 7.56840 7.72669 — -988.958 8.23126 7.56840 7.56840 7.72669 ξ=8 — — — Tab. 7.23: Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. ξmax 1 2 4 ξ = 0.001 ξ = 0.01 2423.09 2423.09 2423.09 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 ξ=4 26.5349 8.19112 7.73136 — — 26.5349 8.19112 7.56884 7.73136 — 26.5349 8.19112 7.56884 7.56884 7.73136 ξ=8 — — — Analisando os valores de Nusselt para posições ξ ≥ 1 percebe-se que, similar ao caso com Péclet grande, que o desenvolvimento térmico também é atingido para ξmax ≈ 1, onde os valores de Nusselt não mudam para ξ > 1. Entretanto, o valor na saída do canal (onde a condição de contorno de derivada nula é aplicada) é sempre um pouco diferente dos valores anteriores. Isto mostra que a condição de contorno na saída mascara o resultado dos valores de Nusselt nesta posição. Desta forma, para obter o resultado em uma determinada posição ξ, o ideal é calcular os valores de Nusselt 7. Resultados da solução permanente 109 também em uma posição a frente, ou seja um ξmax maior, para minimizar a influencia da condição de contorno na saída do canal. As tabelas 7.24 e 7.25 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de PeH = 1 para diferentes valores de ξmax . Diferente do que foi observado para os casos anteriores, os valores de Nusselt são alterados para valores ξmax > 1. Todavia, esta alteração é cada vez menor, mostrando que haverá um valor de ξmax não muito maior que ξ = 1 acima do qual não haverá mais mudanças nos valores de Nusselt. Outra observação que pode ser feita é que o valor de ξmax tem mais influência sobre os valores de Nusselt calculados em posições próximas à saída do canal. Desta forma, para calcular valores de Nusselt próximos à entrada do canal, valores de ξmax não tão elevados poderão ser utilizados. Tab. 7.24: Número de Nusselt com PeH = 1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. ξmax ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 1 2 4 8 3702.74 3703.03 3703.04 3703.04 -479.736 -480.127 -480.144 -480.144 29.1524 29.3415 29.3498 29.3498 ξ=1 ξ=2 ξ=4 ξ=8 8.44967 — — — 8.26176 8.06121 — — 8.25709 7.93031 8.04556 — 8.25708 7.92976 7.91624 8.04553 Tab. 7.25: Número de Nusselt com PeH = 1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. ξmax 1 2 4 8 ξ = 0.001 ξ = 0.01 3021.41 3021.65 3021.66 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 ξ=4 247.072 29.1532 8.44994 — — 247.262 29.3423 8.26180 8.06136 247.271 29.3506 8.25712 7.93044 8.04571 ξ=8 — — Finalmente, as tabelas de 7.26 até 7.29 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de PeH = 0.1 para diferentes valores de ξmax . De maneira similar ao observado para valores de PeH = 1, o valor de ξmax influencia os valores de Nusselt. Entretanto, para estes casos, esta influência é muito maior, mostrando que o valor adequado de ξmax que deve ser utilizado para calcular o Nusselt será muito maior que ξ = 1. Da mesma forma, o escoamento só atingirá o desenvolvimento térmico para valores de ξmax notavelmente superiores à unidade. 7. Resultados da solução permanente 110 Tab. 7.26: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/25 e J = 400. ξmax ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 1 2 4 8 16 32 4662.39 4662.50 4662.68 4662.89 4662.98 4662.99 2824.14 2824.77 2825.88 2827.13 2827.71 2827.76 267.417 267.297 268.176 269.327 269.868 269.919 40.5241 29.4560 28.4050 29.2117 29.7118 29.7606 — 21.1022 16.3414 16.7101 17.1834 17.232 ξ=4 ξ=8 ξ = 16 ξ = 32 — — — — — — — — 12.1468 — — — 10.8357 8.87788 — — 11.2207 8.75216 8.16318 — 11.2683 8.79449 8.14524 8.11000 Tab. 7.27: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/50 e J = 400. ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξmax 1 2 4 8 16 4598.96 4599.07 4599.25 4599.45 4599.55 2545.35 2545.91 2546.91 2548.03 2548.55 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 265.268 265.143 266.013 267.155 267.691 40.5688 29.4559 28.4050 29.2116 29.7117 ξ=4 ξ=8 — — — — 21.1077 — — —16.3413 12.1475 — — 16.7101 10.8356 8.87795 — 17.1834 11.2207 8.75215 8.16318 Tab. 7.28: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξmax 1 2 4 8 4590.87 4590.98 4591.16 4591.37 2688.30 2688.90 2689.95 2691.14 ξ = 0.1 265.222 265.096 265.966 267.108 ξ=1 ξ=2 ξ=4 ξ=8 40.5799 — — — 29.4559 21.1091 — — 28.4049 16.3413 12.1477 — 29.2116 16.7101 10.8356 8.87796 Tab. 7.29: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. ξmax 1 2 4 8 ξ = 0.001 ξ = 0.01 4605.83 4605.94 ξ = 0.1 ξ = 16 ξ=1 ξ=2 2799.73 265.120 40.5827 — 2800.35 264.994 29.4559 21.1095 ξ=4 ξ=8 — — — — 7. Resultados da solução permanente 7.5 111 Evolução de Nusselt O objetivo desta seção é comparar graficamente os resultados obtidos para Nusselt, calculados com diferentes números de Péclet. São apresentados gráficos com resultados calculados com discretização bidirecional baseada no esquema de diferenças híbrido HDS. Para calcular os resultados para valores de Péclet igual a 10 e menores, a solução com discretização bidirecional foi utilizada. Os casos com a aproximação de Péclet grande são calculados com a solução com discretização longitudinal apenas. No figura 7.1 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos para número de Péclet grande e PeH = 10, utilizando o valor de ξmax = 1.1 para para PeH = 10.2 Analisando os valores de Nusselt percebe-se que o desenvolvimento térmico é atingido para ξmax ≈ 0.3, onde os valores de Nusselt praticamente não mudam para ξ > 0.3, tanto para número de Péclet grande quanto para PeH = 10. O gráfico também mostra como a escolha de ξmax = 1 é adequada para a solução. Nu 14 12 10 8 Ξ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Fig. 7.1: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 10 e Péclet grande (tracejado). No gráfico da figura 7.2 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos para número de Péclet grande e PeH = 1. Para a solução com PeH = 1 foi utilizado um valor de ξmax = 2.5. Diferente do que foi observado para o caso anterior, os valores de 2 A solução utilizada para Péclet grande não requer a escolha de um valor para ξmax . 7. Resultados da solução permanente 112 Nusselt são alterados para valores ξ > 1. No entanto, esta alteração é cada vez menor, aproximando-se do desenvolvimento térmico, o qual aparenta, graficamente, ser atingido e torno de ξ = 2. A curva dos resultados para número de PeH = 1 aproxima-se da curva para Péclet grande, somente com o valor de ξmax (acima de 1). Comparando os gráficos para PeH = 10 e PeH = 1, observa-se que a redução do número de Péclet requer um comprimento maior do canal para que o desenvolvimento térmico seja atingido. Além disso, observa-se uma diferença significativa dos valores do número de Nusselt nas posições junto à entrada do canal (ξmax ≤ 1). Nu 20 18 16 14 12 10 8 Ξ 0.5 1.0 1.5 2.0 Fig. 7.2: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 1 e Péclet grande (tracejado). Na figura 7.3 é apresentada a evolução do número de Nusselt obtido para PeH = 0.1, juntamente com o resultado anterior para Péclet grande. Utilizou-se o valore de ξmax = 9 para calcular a solução com Péclet pequeno. Conforme esperado, de maneira similar ao observado para valores de PeH = 1, o valor de ξmax influencia os valores de Nusselt. Entretanto, para estes casos, a influência é muito maior, mostrando a necessidade um valor de ξmax bem maior que ξ = 2 para calcular o Nusselt. Mesmo para valores de ξmax = 8, apesar de estar próximo do desenvolvimento térmico, os valores Nusselt ainda apresentam uma pequena variação com ξ para PeH = 0.1. Nos gráficos de 7.4 até 7.6 é apresentada a evolução dos números de Nusselt ob- 7. Resultados da solução permanente 113 Nu 40 35 30 25 20 15 10 Ξ 2 4 6 8 Fig. 7.3: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 0.1 e Péclet grande (tracejado). tidos para diferentes números de Péclet, sendo: PeH = 10 (preto), PeH = 1 (azul), PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). Nestes gráficos a escala do valor de Nusselt varia de modo a facilitar a visualização e a comparação dos valores de Nusselt para os diferentes números de Péclet. Como já observado nos gráficos anteriores, a posição axial no canal não influencia nos resultados do número Nusselt para valores de PeH ≥ 10, sendo o valor de ξmax ≈ 1 suficiente para atingir o desenvolvimento térmico. Já para valores de Péclet pequenos a influencia é ainda grande, sendo necessário um canal notavelmente maior para atingir o desenvolvimento térmico. Os gráficos apresentados nesta seção ilustram de forma clara o que foi mostrado nas tabelas da seção anterior, ratificando alguns comentários apresentados anteriormente. 7. Resultados da solução permanente 114 Nu 40 35 30 25 20 15 10 Ξ 2 4 6 8 Fig. 7.4: Evolução de Nusselt com a posição axial: PeH = 10 (preto), PeH = 1 (azul), PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). Nu 25 20 15 10 Ξ 2 4 6 8 Fig. 7.5: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre diferentes valores de Péclet (escala menor). 7. Resultados da solução permanente 115 Nu 14 12 10 8 Ξ 2 4 6 8 Fig. 7.6: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre diferentes valores de Péclet (escala menor ainda). 7. Resultados da solução permanente 7.6 116 Verificação da ordem do erro O objetivo desta seção é comparar o erro percentual dos resultados obtidos nas seções anteriores, com diferentes métodos de discretização, para diferentes posições e diferentes valores de número de Péclet. Para comparação foram calculados os erros considerendo o refinamento da malha em J e também o erro considerando o refinamento da malha em I . Naturalmente, como não há solução exata, o erro calculado toma como valor “exato” o valor mais próximo do convergido. O erro global é calculando tomando-se o melhor valor obtido (com a malha mais refinada, tanto em I quanto em J ). O erro local compara a evolução do erro em cada conjunto de malhas (fixando-se I ou J ). As tabelas de 7.30 até 7.35 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização baseada no método de diferenção centradas - CDS, com números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). As tabelas de 7.36 até 7.39 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização baseada no método hibrido - HDS, com números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1). As tabelas de 7.40 até 7.43 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização baseada nos métodos CDS e HDS, com número de Péclet grande. Já as tabelas 7.44 e 7.45 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização baseada no método UDS, com número de Péclet grande. E finalmente a tabela 7.46 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização em apenas uma direção, baseada no método HDS, com número de Péclet grande. 7. Resultados da solução permanente 117 Tab. 7.30: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 45.48 97.00 13.57 93.74 127.07 87.49 354.02 74.99 807.91 50.00 1715.67 0.00 47.24 96.97 9.45 93.72 118.42 87.48 336.35 74.98 772.21 49.99 1643.91 0.00 49.85 96.88 2.35 93.64 102.76 87.40 303.65 74.92 705.49 49.94 1509.19 0.00 52.52 96.50 8.28 93.24 75.89 87.04 244.53 74.62 582.17 49.76 1257.71 0.00 53.57 94.98 18.65 91.20 38.55 85.02 150.22 72.95 374.65 48.68 824.89 0.00 53.20 84.77 21.87 74.58 8.34 64.75 39.66 54.56 94.37 36.76 207.35 0.00 52.66 126.06 19.57 144.28 7.13 158.97 7.37 150.99 94.56 102.99 281.65 0.00 52.38 52.38 17.55 17.55 17.26 17.26 29.34 29.34 13.84 13.84 0.00 0.00 ERRO % global local 271.84 96.90 660.79 93.65 1408.75 87.41 2904.67 74.92 5896.51 49.95 11880.15 0.00 144.76 96.40 363.04 93.19 784.91 86.99 1629.84 74.57 3320.37 49.71 6701.76 0.00 16.30 13.09 11.42 8.35 7.31 4.35 4.84 1.95 3.52 0.67 2.83 0.00 8.54 102.68 125.01 99.27 357.91 92.45 813.86 79.11 1716.68 52.68 3516.78 0.00 28.44 40.26 6.26 16.03 6.35 2.27 8.98 0.60 8.84 0.46 8.43 0.00 31.14 31.39 10.79 11.01 1.56 1.76 0.11 0.30 0.14 0.06 0.19 0.00 31.65 31.65 10.91 10.92 1.72 1.72 0.31 0.32 0.06 0.06 0.00 0.00 31.77 31.77 10.87 10.87 1.68 1.68 0.31 0.31 0.06 0.06 0.00 0.00 ERRO % global local 355.79 98.11 801.64 94.81 1656.31 88.48 3364.37 75.84 6779.89 50.56 13610.57 0.00 1.31 0.03 1.34 0.00 1.34 0.00 1.34 0.00 1.34 0.00 1.34 0.00 0.24 0.05 0.29 0.00 0.30 0.00 0.30 0.00 0.30 0.00 0.30 0.00 0.03 0.05 0.08 0.00 0.08 0.00 0.08 0.00 0.08 0.00 0.08 0.00 0.03 0.05 0.02 0.00 0.02 0.00 0.02 0.00 0.02 0.00 0.02 0.00 0.05 0.05 0.00 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.04 0.48 0.24 0.20 0.35 0.09 0.40 0.05 0.44 0.00 0.44 0.00 0.51 0.21 0.65 0.08 0.70 0.03 0.71 0.02 0.73 0.00 0.73 0.00 0.41 0.13 0.51 0.04 0.53 0.01 0.54 0.01 0.55 0.00 0.55 0.00 0.14 0.11 0.23 0.03 0.25 0.01 0.25 0.00 0.26 0.00 0.26 0.00 0.02 0.11 0.07 0.02 0.08 0.01 0.09 0.00 0.09 0.00 0.09 0.00 0.08 0.11 0.00 0.02 0.02 0.01 0.02 0.00 0.02 0.00 0.03 0.00 0.10 0.10 0.02 0.02 0.00 0.01 0.00 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.10 0.10 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 118 Tab. 7.31: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 45.48 14.50 47.24 10.80 49.85 5.32 52.52 0.30 53.57 2.49 53.20 1.72 52.66 0.59 52.38 0.00 13.57 37.74 9.45 32.74 2.35 24.13 8.28 11.24 18.65 1.34 21.87 5.24 19.57 2.46 17.55 0.00 127.07 93.65 118.42 86.27 102.76 72.92 75.89 50.01 38.55 18.16 8.34 7.61 7.13 8.64 17.26 0.00 354.02 251.03 336.35 237.37 303.65 212.09 244.53 166.38 150.22 93.46 39.66 7.98 7.37 28.38 29.34 0.00 807.91 697.51 772.21 666.15 705.49 607.54 582.17 499.22 374.65 316.93 94.37 70.73 94.56 95.23 13.84 0.00 1715.67 1715.67 1643.91 1643.91 1509.19 1509.19 1257.71 1257.71 824.89 824.89 207.35 207.35 281.65 281.65 0.00 0.00 ERRO % global local 271.84 182.20 144.76 85.75 16.30 11.74 8.54 30.59 28.44 2.52 31.14 0.48 31.65 0.09 31.77 0.00 660.79 586.18 363.04 317.64 11.42 0.49 125.01 122.56 6.26 4.16 10.79 0.07 10.91 0.04 10.87 0.00 1408.75 1383.76 784.91 770.25 7.31 5.53 357.91 353.64 6.35 7.90 1.56 0.12 1.72 0.03 1.68 0.00 2904.67 2895.30 1629.84 1624.45 4.84 4.52 813.86 811.64 8.98 9.26 0.11 0.20 0.31 0.00 0.31 0.00 5896.51 5892.95 3320.37 3318.34 3.52 3.45 1716.68 1715.72 8.84 8.90 0.14 0.20 0.06 0.00 0.06 0.00 11880.15 11880.15 6701.76 6701.76 2.83 2.83 3516.78 3516.78 8.43 8.43 0.19 0.19 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 355.79 355.93 1.31 1.36 0.24 0.30 0.03 0.08 0.03 0.02 0.05 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 801.64 801.66 1.34 1.34 0.29 0.30 0.08 0.08 0.02 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1656.31 1656.30 1.34 1.34 0.30 0.30 0.08 0.08 0.02 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3364.37 3364.36 1.34 1.34 0.30 0.30 0.08 0.08 0.02 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6779.89 6779.88 1.34 1.34 0.30 0.30 0.08 0.08 0.02 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13610.57 13610.57 1.34 1.34 0.30 0.30 0.08 0.08 0.02 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.04 0.06 0.51 0.62 0.41 0.52 0.14 0.25 0.02 0.09 0.08 0.02 0.10 0.01 0.10 0.00 0.24 0.26 0.65 0.67 0.51 0.53 0.23 0.25 0.07 0.09 0.00 0.02 0.02 0.01 0.02 0.00 0.35 0.35 0.70 0.70 0.53 0.54 0.25 0.25 0.08 0.09 0.02 0.02 0.00 0.01 0.01 0.00 0.40 0.40 0.71 0.71 0.54 0.54 0.25 0.25 0.09 0.09 0.02 0.03 0.00 0.01 0.00 0.00 0.44 0.44 0.73 0.73 0.55 0.55 0.26 0.26 0.09 0.09 0.02 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.44 0.44 0.73 0.73 0.55 0.55 0.26 0.26 0.09 0.09 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 119 Tab. 7.32: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 94.82 96.95 89.30 93.69 78.69 87.45 57.49 74.96 15.08 49.97 69.75 0.00 94.83 96.83 89.42 93.52 79.20 87.26 58.85 74.79 18.16 49.87 63.24 0.00 94.83 96.59 89.45 93.05 79.63 86.58 60.71 74.11 23.24 49.41 51.75 0.00 94.82 96.10 89.44 92.04 79.76 84.75 62.33 71.61 30.21 47.41 32.69 0.00 94.82 95.22 89.42 90.23 79.69 81.24 62.74 65.58 35.80 40.71 8.28 0.00 94.82 94.39 89.40 88.52 79.61 77.91 62.41 59.28 36.61 31.33 7.70 0.00 94.82 94.50 89.40 88.74 79.56 78.29 62.08 59.72 35.06 31.03 5.85 0.00 94.82 94.82 89.39 89.39 79.53 79.53 61.92 61.92 33.99 33.99 0.00 0.00 ERRO % global local 53.70 96.29 12.50 93.00 64.74 86.81 219.39 74.44 529.26 49.63 1149.41 0.00 54.25 93.75 21.73 89.32 24.98 82.94 111.20 71.17 284.27 47.54 632.55 0.00 53.72 55.15 22.49 24.89 3.32 0.13 11.29 7.85 7.82 4.49 3.19 0.00 53.25 126.00 19.83 144.59 9.38 160.84 0.01 155.63 86.10 107.73 279.79 0.00 53.06 49.31 18.50 11.98 16.40 25.71 28.59 38.88 10.19 19.00 7.41 0.00 53.03 52.98 18.27 18.19 17.41 17.52 31.21 31.34 14.30 14.40 0.09 0.00 53.02 53.04 18.21 18.25 17.66 17.60 31.78 31.71 14.61 14.56 0.05 0.00 53.02 53.02 18.20 18.20 17.73 17.73 31.92 31.92 14.64 14.64 0.00 0.00 ERRO % global local 6.23 104.06 84.31 100.60 266.34 93.64 620.52 80.09 1320.05 53.32 2713.81 0.00 31.95 31.87 12.23 12.16 2.50 2.44 0.50 0.44 0.13 0.08 0.06 0.00 33.08 33.20 11.63 11.72 1.81 1.90 0.26 0.34 0.02 0.06 0.09 0.00 33.44 33.44 11.64 11.64 1.83 1.83 0.34 0.34 0.06 0.06 0.00 0.00 33.52 33.52 11.61 11.61 1.81 1.81 0.34 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 33.54 33.54 11.60 11.60 1.80 1.80 0.33 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 33.55 33.55 11.60 11.60 1.80 1.80 0.33 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 33.55 33.55 11.60 11.60 1.80 1.80 0.33 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 ERRO % global local 0.00 0.17 0.13 0.03 0.16 0.01 0.16 0.00 0.16 0.00 0.16 0.00 0.15 0.18 0.00 0.04 0.02 0.01 0.03 0.00 0.03 0.00 0.03 0.00 0.17 0.18 0.03 0.04 0.00 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 120 Tab. 7.33: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 94.82 0.09 94.83 0.26 94.83 0.20 94.82 0.11 94.82 0.05 94.82 0.02 94.82 0.01 94.82 0.00 89.30 0.92 89.42 0.21 89.45 0.55 89.44 0.41 89.42 0.22 89.40 0.09 89.40 0.03 89.39 0.00 78.69 4.11 79.20 1.65 79.63 0.47 79.76 1.10 79.69 0.77 79.61 0.36 79.56 0.11 79.53 0.00 57.49 11.63 58.85 8.04 60.71 3.16 62.33 1.08 62.74 2.15 62.41 1.30 62.08 0.43 61.92 0.00 15.08 28.65 18.16 23.97 23.24 16.29 30.21 5.71 35.80 2.75 36.61 3.98 35.06 1.63 33.99 0.00 69.75 69.75 63.24 63.24 51.75 51.75 32.69 32.69 8.28 8.28 7.70 7.70 5.85 5.85 0.00 0.00 ERRO % global local 53.70 1.45 54.25 2.62 53.72 1.50 53.25 0.49 53.06 0.10 53.03 0.02 53.02 0.00 53.02 0.00 12.50 6.97 21.73 4.32 22.49 5.24 19.83 2.00 18.50 0.37 18.27 0.09 18.21 0.02 18.20 0.00 64.74 39.93 24.98 6.16 3.32 12.23 9.38 7.09 16.40 1.13 17.41 0.26 17.66 0.05 17.73 0.00 219.39 142.12 111.20 60.10 11.29 15.63 0.01 24.19 28.59 2.52 31.21 0.53 31.78 0.10 31.92 0.00 529.26 448.89 284.27 235.18 7.82 5.95 86.10 87.87 10.19 3.88 14.30 0.30 14.61 0.03 14.64 0.00 1149.41 1149.41 632.55 632.55 3.19 3.19 279.79 279.79 7.41 7.41 0.09 0.09 0.05 0.05 0.00 0.00 ERRO % global local 6.23 20.46 31.95 1.20 33.08 0.35 33.44 0.08 33.52 0.02 33.54 0.00 33.55 0.00 33.55 0.00 84.31 85.94 12.23 0.56 11.63 0.03 11.64 0.04 11.61 0.01 11.60 0.00 11.60 0.00 11.60 0.00 266.34 263.40 2.50 0.69 1.81 0.02 1.83 0.04 1.81 0.01 1.80 0.00 1.80 0.00 1.80 0.00 620.52 618.79 0.50 0.16 0.26 0.08 0.34 0.00 0.34 0.00 0.33 0.00 0.33 0.00 0.33 0.00 1320.05 1319.28 0.13 0.07 0.02 0.08 0.06 0.00 0.06 0.00 0.06 0.00 0.06 0.00 0.06 0.00 2713.81 2713.81 0.06 0.06 0.09 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.00 0.18 0.15 0.04 0.17 0.01 0.18 0.00 0.18 0.00 0.18 0.00 0.18 0.00 0.18 0.00 0.13 0.17 0.00 0.03 0.03 0.01 0.04 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.16 0.17 0.02 0.03 0.00 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.16 0.16 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.16 0.16 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.16 0.16 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 121 Tab. 7.34: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 93.85 96.92 87.19 93.58 74.48 87.21 49.35 74.62 0.42 49.69 99.60 0.00 93.85 96.85 87.19 93.45 74.47 86.95 49.38 74.13 0.33 49.05 95.64 0.00 93.85 96.81 87.18 93.36 74.46 86.77 49.34 73.75 0.43 48.40 92.98 0.00 93.85 96.80 87.18 93.35 74.46 86.74 49.31 73.69 0.28 48.24 92.64 0.00 93.85 96.82 87.18 93.37 74.45 86.78 49.29 73.76 0.14 48.33 93.27 0.00 93.85 96.82 87.18 93.39 74.45 86.82 49.28 73.83 0.06 48.44 93.82 0.00 93.85 96.83 87.18 93.40 74.45 86.84 49.27 73.87 0.02 48.50 94.14 0.00 93.85 93.85 87.18 87.18 74.45 74.45 49.27 49.27 0.00 0.00 ERRO % global local 92.18 95.90 84.05 91.64 69.44 83.99 43.50 70.39 2.56 46.25 90.82 0.00 92.18 94.88 84.02 89.54 69.31 79.92 43.66 63.14 4.29 37.39 52.87 0.00 92.18 94.32 84.00 88.39 69.19 77.64 43.10 58.70 3.70 30.10 37.78 0.00 92.17 94.62 83.99 89.00 69.13 78.79 42.67 60.60 1.32 32.18 45.51 0.00 92.17 94.84 83.99 89.43 69.11 79.62 42.51 62.06 0.25 34.18 51.55 0.00 92.17 94.87 83.99 89.50 69.11 79.74 42.48 62.28 0.06 34.46 52.49 0.00 92.17 94.88 83.99 89.52 69.11 79.77 42.47 62.33 0.01 34.53 52.72 0.00 92.17 92.17 83.99 83.99 69.11 69.11 42.47 42.47 0.00 0.00 ERRO % global local 58.79 151.30 29.45 187.83 1.90 222.12 2.11 221.86 56.20 154.52 180.33 0.00 58.68 53.06 28.69 18.98 1.98 15.86 13.56 29.03 0.16 13.44 11.99 0.00 58.66 52.65 28.57 18.18 2.51 17.42 14.64 31.31 0.14 14.38 12.69 0.00 58.66 52.64 28.54 18.13 2.65 17.59 14.95 31.69 0.02 14.54 12.71 0.00 58.66 52.62 28.53 18.09 2.68 17.68 15.03 31.82 0.00 14.60 12.74 0.00 58.66 52.61 28.53 18.08 2.69 17.70 15.04 31.86 0.00 14.62 12.75 0.00 58.66 52.61 28.53 18.08 2.70 17.71 15.05 31.87 0.00 14.62 12.75 0.00 58.66 58.66 28.52 28.52 2.70 2.70 15.05 15.05 0.00 0.00 ERRO % global local 40.37 41.40 13.51 14.34 1.45 2.19 0.32 0.41 0.65 0.08 0.73 0.00 41.09 41.41 14.34 14.60 2.02 2.25 0.19 0.42 0.15 0.08 0.23 0.00 41.25 41.41 14.53 14.66 2.14 2.26 0.30 0.42 0.04 0.08 0.11 0.00 41.29 41.42 14.57 14.68 2.17 2.26 0.33 0.42 0.01 0.08 0.09 0.00 41.30 41.42 14.59 14.68 2.18 2.26 0.34 0.42 0.00 0.08 0.08 0.00 41.30 41.42 14.59 14.68 2.18 2.26 0.34 0.42 0.00 0.08 0.08 0.00 41.30 41.42 14.59 14.68 2.18 2.26 0.34 0.42 0.00 0.08 0.08 0.00 41.31 41.31 14.59 14.59 2.18 2.18 0.34 0.34 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 122 Tab. 7.35: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 96.83 0.01 96.83 0.00 96.83 0.00 96.83 0.00 96.83 0.00 96.83 0.00 96.83 0.00 96.83 0.00 93.40 0.04 93.40 0.02 93.40 0.01 93.40 0.01 93.40 0.00 93.40 0.00 93.40 0.00 93.40 0.00 86.85 0.11 86.85 0.07 86.85 0.04 86.84 0.02 86.84 0.01 86.84 0.00 86.84 0.00 86.84 0.00 73.91 0.15 73.93 0.22 73.91 0.15 73.89 0.08 73.88 0.04 73.87 0.01 73.87 0.00 73.87 0.00 48.28 0.42 48.66 0.33 48.71 0.43 48.64 0.28 48.57 0.14 48.52 0.06 48.50 0.02 48.49 0.00 2.81 2.81 0.77 0.77 0.60 0.60 0.77 0.77 0.45 0.45 0.16 0.16 0.00 0.00 ERRO % global local 94.88 0.09 94.88 0.04 94.88 0.02 94.88 0.01 94.88 0.00 94.88 0.00 94.88 0.00 94.88 0.00 89.55 0.36 89.53 0.18 89.52 0.07 89.52 0.02 89.52 0.00 89.52 0.00 89.52 0.00 89.52 0.00 79.99 1.09 79.90 0.65 79.83 0.29 79.79 0.09 79.77 0.02 79.77 0.00 79.77 0.00 79.77 0.00 63.01 1.79 63.11 2.07 62.74 1.09 62.46 0.35 62.36 0.07 62.34 0.02 62.33 0.00 62.33 0.00 32.84 2.56 37.33 4.29 36.94 3.70 35.38 1.32 34.68 0.25 34.56 0.06 34.53 0.01 34.52 0.00 24.95 24.95 0.10 0.10 9.78 9.78 4.72 4.72 0.77 0.77 0.15 0.15 0.00 0.00 ERRO % global local 52.76 0.32 52.64 0.06 52.62 0.02 52.61 0.00 52.61 0.00 52.61 0.00 52.61 0.00 52.61 0.00 19.13 1.29 18.27 0.24 18.12 0.06 18.09 0.01 18.08 0.00 18.08 0.00 18.08 0.00 18.08 0.00 12.44 4.48 16.88 0.70 17.50 0.18 17.66 0.04 17.70 0.01 17.71 0.00 17.71 0.00 17.71 0.00 12.20 14.91 30.17 1.29 31.40 0.36 31.76 0.09 31.84 0.02 31.86 0.01 31.87 0.00 31.87 0.00 49.80 56.20 14.44 0.16 14.46 0.14 14.60 0.02 14.62 0.00 14.62 0.00 14.62 0.00 14.62 0.00 192.07 192.07 0.88 0.88 0.07 0.07 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 40.48 0.66 41.20 0.15 41.36 0.04 41.40 0.01 41.41 0.00 41.42 0.00 41.42 0.00 41.42 0.00 13.60 0.95 14.43 0.21 14.62 0.05 14.67 0.01 14.68 0.00 14.68 0.00 14.68 0.00 14.68 0.00 1.53 0.72 2.10 0.16 2.22 0.04 2.25 0.01 2.26 0.00 2.26 0.00 2.26 0.00 2.26 0.00 0.24 0.66 0.27 0.15 0.38 0.04 0.41 0.01 0.42 0.00 0.42 0.00 0.42 0.00 0.42 0.00 0.57 0.65 0.07 0.15 0.04 0.04 0.07 0.01 0.08 0.00 0.08 0.00 0.08 0.00 0.08 0.00 0.65 0.65 0.15 0.15 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 123 Tab. 7.36: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 45.37 97.00 13.82 93.75 127.57 87.49 355.03 74.99 809.94 50.00 1719.74 0.00 47.14 96.98 9.67 93.72 118.89 87.48 337.30 74.98 774.12 49.99 1647.75 0.00 49.79 96.88 2.50 93.64 103.07 87.40 304.29 74.92 706.78 49.95 1511.79 0.00 52.50 96.50 8.22 93.25 76.04 87.05 244.83 74.63 582.79 49.76 1258.96 0.00 53.58 94.98 18.63 91.21 38.59 85.02 150.31 72.95 374.84 48.68 825.29 0.00 53.21 84.78 21.87 74.58 8.35 64.75 39.67 54.56 94.39 36.76 207.39 0.00 52.67 126.06 19.57 144.27 7.13 158.97 7.37 150.99 94.56 102.99 281.65 0.00 52.38 52.38 17.55 17.55 17.26 17.26 29.34 29.34 13.84 13.84 0.00 0.00 ERRO % global local 278.98 96.90 676.19 93.66 1440.04 87.41 2967.72 74.92 6023.10 49.95 12133.80 0.00 148.26 96.42 370.61 93.21 800.36 87.00 1661.09 74.58 3383.22 49.72 6827.83 0.00 16.51 13.30 11.54 8.47 7.37 4.40 4.87 1.98 3.53 0.67 2.84 0.00 8.48 102.67 125.34 99.26 359.00 92.44 816.39 79.10 1722.05 52.68 3527.82 0.00 28.98 40.24 6.63 15.93 5.97 2.24 8.58 0.60 8.44 0.45 8.03 0.00 31.44 31.39 11.00 10.96 1.78 1.75 0.34 0.30 0.09 0.06 0.04 0.00 31.76 31.65 10.98 10.89 1.80 1.72 0.40 0.32 0.15 0.06 0.09 0.00 31.76 31.76 10.86 10.86 1.68 1.68 0.31 0.31 0.06 0.06 0.00 0.00 ERRO % global local 380.76 98.06 859.12 94.77 1776.09 88.44 3608.64 75.81 7273.07 50.54 14601.66 0.00 3.56 0.05 3.61 0.00 3.61 0.00 3.61 0.00 3.61 0.00 3.61 0.00 1.77 0.06 1.82 0.00 1.83 0.00 1.83 0.00 1.83 0.00 1.83 0.00 0.89 0.06 0.94 0.00 0.95 0.00 0.94 0.00 0.94 0.00 0.94 0.00 0.40 0.05 0.45 0.00 0.45 0.00 0.45 0.00 0.45 0.00 0.45 0.00 0.14 0.05 0.19 0.00 0.20 0.00 0.20 0.00 0.20 0.00 0.20 0.00 0.01 0.05 0.06 0.00 0.07 0.00 0.07 0.00 0.07 0.00 0.07 0.00 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 1.56 0.35 1.34 0.12 1.26 0.05 1.24 0.02 1.21 0.00 1.21 0.00 0.87 0.21 0.72 0.06 0.68 0.02 0.67 0.01 0.66 0.00 0.66 0.00 0.45 0.15 0.34 0.04 0.31 0.01 0.30 0.00 0.30 0.00 0.30 0.00 0.27 0.12 0.18 0.03 0.16 0.01 0.15 0.00 0.15 0.00 0.15 0.00 0.20 0.11 0.11 0.02 0.09 0.01 0.09 0.00 0.09 0.00 0.09 0.00 0.16 0.11 0.07 0.02 0.05 0.01 0.05 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 0.13 0.11 0.04 0.02 0.02 0.01 0.02 0.00 0.02 0.00 0.02 0.00 0.11 0.11 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 124 Tab. 7.37: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 45.37 14.73 47.14 11.01 49.79 5.45 52.50 0.26 53.58 2.51 53.21 1.75 52.67 0.60 52.38 0.00 13.82 38.04 9.67 33.01 2.50 24.31 8.22 11.32 18.63 1.32 21.87 5.24 19.57 2.46 17.55 0.00 127.57 94.07 118.89 86.67 103.07 73.18 76.04 50.13 38.59 18.20 8.35 7.60 7.13 8.64 17.26 0.00 355.03 251.82 337.30 238.11 304.29 212.59 244.83 166.61 150.31 93.53 39.67 7.99 7.37 28.38 29.34 0.00 809.94 699.30 774.12 667.84 706.78 608.68 582.79 499.77 374.84 317.11 94.39 70.75 94.56 95.23 13.84 0.00 1719.74 1719.74 1647.75 1647.75 1511.79 1511.79 1258.96 1258.96 825.29 825.29 207.39 207.39 281.65 281.65 0.00 0.00 ERRO % global local 278.98 187.62 148.26 88.41 16.51 11.58 8.48 30.55 28.98 2.11 31.44 0.25 31.76 0.00 31.76 0.00 676.19 600.17 370.61 324.52 11.54 0.62 125.34 122.86 6.63 3.82 11.00 0.13 10.98 0.11 10.86 0.00 1440.04 1414.58 800.36 785.47 7.37 5.59 359.00 354.72 5.97 7.52 1.78 0.10 1.80 0.12 1.68 0.00 2967.72 2958.18 1661.09 1655.62 4.87 4.54 816.39 814.16 8.58 8.87 0.34 0.03 0.40 0.09 0.31 0.00 6023.10 6019.50 3383.22 3381.17 3.53 3.47 1722.05 1721.10 8.44 8.50 0.09 0.04 0.15 0.09 0.06 0.00 12133.80 12133.80 6827.83 6827.83 2.84 2.84 3527.82 3527.82 8.03 8.03 0.04 0.04 0.09 0.09 0.00 0.00 ERRO % global local 380.76 380.91 3.56 3.61 1.77 1.82 0.89 0.94 0.40 0.45 0.14 0.20 0.01 0.07 0.05 0.00 859.12 859.14 3.61 3.61 1.82 1.83 0.94 0.94 0.45 0.45 0.19 0.20 0.06 0.07 0.00 0.00 1776.09 1776.07 3.61 3.61 1.83 1.83 0.95 0.94 0.45 0.45 0.20 0.20 0.07 0.07 0.00 0.00 3608.64 3608.63 3.61 3.61 1.83 1.83 0.94 0.94 0.45 0.45 0.20 0.20 0.07 0.07 0.00 0.00 7273.07 7273.06 3.61 3.61 1.83 1.83 0.94 0.94 0.45 0.45 0.20 0.20 0.07 0.07 0.00 0.00 14601.66 14601.66 3.61 3.61 1.83 1.83 0.94 0.94 0.45 0.45 0.20 0.20 0.07 0.07 0.00 0.00 ERRO % global local 1.56 1.46 0.87 0.77 0.45 0.34 0.27 0.16 0.20 0.09 0.16 0.05 0.13 0.02 0.11 0.00 1.34 1.31 0.72 0.70 0.34 0.32 0.18 0.15 0.11 0.09 0.07 0.05 0.04 0.02 0.02 0.00 1.26 1.26 0.68 0.68 0.31 0.31 0.16 0.15 0.09 0.09 0.05 0.05 0.02 0.02 0.01 0.00 1.24 1.23 0.67 0.67 0.30 0.30 0.15 0.15 0.09 0.09 0.05 0.05 0.02 0.02 0.00 0.00 1.21 1.21 0.66 0.66 0.30 0.30 0.15 0.15 0.09 0.09 0.05 0.05 0.02 0.02 0.00 0.00 1.21 1.21 0.66 0.66 0.30 0.30 0.15 0.15 0.09 0.09 0.05 0.05 0.02 0.02 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 125 Tab. 7.38: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 94.82 96.95 89.30 93.69 78.69 87.45 57.49 74.96 15.08 49.97 69.75 0.00 94.83 96.83 89.42 93.52 79.20 87.26 58.85 74.79 18.16 49.87 63.24 0.00 94.83 96.59 89.45 93.05 79.63 86.58 60.71 74.11 23.24 49.41 51.75 0.00 94.82 96.10 89.44 92.04 79.76 84.75 62.33 71.61 30.21 47.41 32.69 0.00 94.82 95.22 89.42 90.23 79.69 81.24 62.74 65.58 35.80 40.71 8.28 0.00 94.82 94.39 89.40 88.52 79.61 77.91 62.41 59.28 36.61 31.33 7.70 0.00 94.82 94.50 89.40 88.74 79.56 78.29 62.08 59.72 35.06 31.03 5.85 0.00 94.82 94.82 89.39 89.39 79.53 79.53 61.92 61.92 33.99 33.99 0.00 0.00 ERRO % global local 53.70 96.29 12.50 93.00 64.74 86.81 219.40 74.44 529.29 49.63 1149.45 0.00 54.25 93.75 21.73 89.32 24.98 82.94 111.20 71.17 284.28 47.54 632.56 0.00 53.72 55.15 22.49 24.89 3.33 0.13 11.29 7.85 7.83 4.49 3.19 0.00 53.25 126.00 19.83 144.59 9.38 160.84 0.01 155.63 86.10 107.73 279.79 0.00 53.06 49.31 18.50 11.98 16.40 25.71 28.59 38.88 10.19 19.00 7.41 0.00 53.03 52.98 18.27 18.19 17.41 17.52 31.21 31.34 14.30 14.40 0.09 0.00 53.02 53.04 18.21 18.25 17.66 17.60 31.78 31.71 14.61 14.56 0.05 0.00 53.02 53.02 18.20 18.20 17.73 17.73 31.92 31.92 14.64 14.64 0.00 0.00 ERRO % global local 6.23 104.06 84.31 100.60 266.33 93.64 620.51 80.09 1320.04 53.32 2713.80 0.00 31.94 31.87 12.22 12.16 2.50 2.44 0.50 0.44 0.13 0.08 0.06 0.00 33.08 33.20 11.62 11.72 1.81 1.90 0.26 0.34 0.02 0.06 0.09 0.00 33.44 33.44 11.64 11.64 1.83 1.83 0.33 0.34 0.06 0.06 0.00 0.00 33.52 33.52 11.61 11.61 1.81 1.81 0.33 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 33.54 33.54 11.60 11.60 1.80 1.80 0.33 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 33.55 33.55 11.60 11.60 1.80 1.80 0.33 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 33.55 33.55 11.60 11.60 1.80 1.80 0.33 0.33 0.06 0.06 0.00 0.00 ERRO % global local 0.02 0.17 0.16 0.03 0.18 0.01 0.19 0.00 0.19 0.00 0.19 0.00 0.13 0.18 0.01 0.04 0.04 0.01 0.04 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 0.17 0.18 0.02 0.04 0.00 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.18 0.18 0.03 0.04 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.18 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 126 Tab. 7.39: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 94.82 0.09 94.83 0.26 94.83 0.20 94.82 0.11 94.82 0.05 94.82 0.02 94.82 0.01 94.82 0.00 89.30 0.92 89.42 0.21 89.45 0.55 89.44 0.41 89.42 0.22 89.40 0.09 89.40 0.03 89.39 0.00 78.69 4.11 79.20 1.65 79.63 0.47 79.76 1.10 79.69 0.77 79.61 0.36 79.56 0.11 79.53 0.00 57.49 11.63 58.85 8.04 60.71 3.16 62.33 1.08 62.74 2.15 62.41 1.30 62.08 0.43 61.92 0.00 15.08 28.65 18.16 23.97 23.24 16.29 30.21 5.71 35.80 2.75 36.61 3.98 35.06 1.63 33.99 0.00 69.75 69.75 63.24 63.24 51.75 51.75 32.69 32.69 8.28 8.28 7.70 7.70 5.85 5.85 0.00 0.00 ERRO % global local 53.70 1.45 54.25 2.62 53.72 1.50 53.25 0.49 53.06 0.10 53.03 0.02 53.02 0.00 53.02 0.00 12.50 6.97 21.73 4.32 22.49 5.24 19.83 2.00 18.50 0.37 18.27 0.09 18.21 0.02 18.20 0.00 64.74 39.94 24.98 6.16 3.33 12.23 9.38 7.09 16.40 1.13 17.41 0.26 17.66 0.05 17.73 0.00 219.40 142.13 111.20 60.10 11.29 15.63 0.01 24.19 28.59 2.52 31.21 0.53 31.78 0.10 31.92 0.00 529.29 448.91 284.28 235.19 7.83 5.95 86.10 87.87 10.19 3.88 14.30 0.30 14.61 0.03 14.64 0.00 1149.45 1149.45 632.56 632.56 3.19 3.19 279.79 279.79 7.41 7.41 0.09 0.09 0.05 0.05 0.00 0.00 ERRO % global local 6.23 20.46 31.94 1.20 33.08 0.35 33.44 0.08 33.52 0.02 33.54 0.00 33.55 0.00 33.55 0.00 84.31 85.94 12.22 0.56 11.62 0.02 11.64 0.03 11.61 0.01 11.60 0.00 11.60 0.00 11.60 0.00 266.33 263.40 2.50 0.69 1.81 0.02 1.83 0.03 1.81 0.01 1.80 0.00 1.80 0.00 1.80 0.00 620.51 618.78 0.50 0.16 0.26 0.08 0.33 0.00 0.33 0.00 0.33 0.00 0.33 0.00 0.33 0.00 1320.04 1319.28 0.13 0.07 0.02 0.08 0.06 0.00 0.06 0.00 0.06 0.00 0.06 0.00 0.06 0.00 2713.80 2713.80 0.06 0.06 0.09 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.02 0.21 0.13 0.05 0.17 0.02 0.18 0.01 0.18 0.00 0.18 0.00 0.18 0.00 0.18 0.00 0.16 0.20 0.01 0.05 0.02 0.01 0.03 0.01 0.04 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.18 0.19 0.04 0.05 0.00 0.01 0.00 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.19 0.19 0.04 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.19 0.19 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.19 0.19 0.05 0.05 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 127 Tab. 7.40: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 462.46 97.00 1072.13 93.75 2243.81 87.50 4586.81 75.00 9272.67 50.00 18644.09 0.00 442.89 96.99 1029.03 93.74 2155.55 87.49 4408.24 74.99 8913.53 49.99 17923.79 0.00 406.75 96.96 948.11 93.71 1988.77 87.46 4069.82 74.96 8231.76 49.98 16555.65 0.00 340.42 96.87 796.17 93.62 1673.12 87.38 3426.96 74.90 6934.61 49.93 13949.71 0.00 228.90 96.51 532.08 93.30 1118.61 87.08 2292.22 74.64 4639.52 49.76 9334.13 0.00 74.17 93.08 145.86 90.23 296.12 84.26 598.88 72.23 1204.83 48.16 2416.81 0.00 48.72 101.42 185.95 97.62 423.11 91.04 892.54 78.02 1830.41 52.01 3705.98 0.00 0.13 0.13 0.99 0.99 0.18 0.18 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 791.18 96.92 1731.74 93.67 3539.77 87.43 7155.41 74.94 14386.49 49.96 28848.43 0.00 454.35 96.66 990.81 93.42 2023.03 87.19 4087.45 74.73 8216.25 49.82 16473.82 0.00 17.59 1.84 15.87 0.34 15.56 0.07 15.49 0.02 15.48 0.00 15.47 0.00 212.95 98.71 506.04 95.38 1065.00 89.01 2182.06 76.30 4416.00 50.86 8883.87 0.00 0.74 1.38 0.42 0.23 0.61 0.04 0.64 0.01 0.64 0.00 0.65 0.00 0.02 0.58 0.54 0.07 0.60 0.01 0.61 0.00 0.61 0.00 0.61 0.00 0.42 0.56 0.07 0.07 0.13 0.01 0.13 0.00 0.13 0.00 0.14 0.00 0.55 0.55 0.07 0.07 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 413.68 97.92 909.39 94.64 1862.05 88.33 3767.24 75.71 7577.56 50.47 15198.18 0.00 1.48 0.18 1.64 0.03 1.66 0.01 1.67 0.00 1.67 0.00 1.67 0.00 0.29 0.18 0.43 0.03 0.46 0.01 0.46 0.00 0.46 0.00 0.46 0.00 0.05 0.17 0.09 0.03 0.12 0.01 0.12 0.00 0.13 0.00 0.13 0.00 0.14 0.17 0.00 0.03 0.03 0.01 0.03 0.00 0.03 0.00 0.03 0.00 0.17 0.17 0.02 0.03 0.00 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.17 0.17 0.03 0.03 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.17 0.17 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.77 0.77 0.31 0.31 0.15 0.15 0.07 0.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.42 0.42 0.15 0.15 0.06 0.06 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.31 0.31 0.09 0.09 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.25 0.06 0.06 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.23 0.23 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.22 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 128 Tab. 7.41: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 462.46 461.73 442.89 442.19 406.75 406.10 340.42 339.85 228.90 228.48 74.17 73.94 48.72 48.78 0.13 0.00 1072.13 1083.90 1029.03 1040.37 948.11 958.63 796.17 805.17 532.08 538.43 145.86 148.33 185.95 186.81 0.99 0.00 2243.81 2248.01 2155.55 2159.59 1988.77 1992.51 1673.12 1676.30 1118.61 1120.79 296.12 296.83 423.11 423.69 0.18 0.00 4586.81 4588.07 4408.24 4409.45 4069.82 4070.94 3426.96 3427.91 2292.22 2292.86 598.88 599.07 892.54 892.75 0.03 0.00 9272.67 9273.01 8913.53 8913.85 8231.76 8232.06 6934.61 6934.86 4639.52 4639.68 1204.83 1204.87 1830.41 1830.47 0.00 0.00 18644.09 18644.09 17923.79 17923.79 16555.65 16555.65 13949.71 13949.71 9334.13 9334.13 2416.81 2416.81 3705.98 3705.98 0.00 0.00 ERRO % global local 791.18 796.11 454.35 457.42 17.59 18.24 212.95 213.57 0.74 0.20 0.02 0.58 0.42 0.13 0.55 0.00 1731.74 1732.99 990.81 991.56 15.87 15.94 506.04 506.32 0.42 0.48 0.54 0.61 0.07 0.13 0.07 0.00 3539.77 3540.10 2023.03 2023.22 15.56 15.57 1065.00 1065.09 0.61 0.62 0.60 0.61 0.13 0.14 0.01 0.00 7155.41 7155.53 4087.45 4087.52 15.49 15.49 2182.06 2182.10 0.64 0.64 0.61 0.61 0.13 0.14 0.00 0.00 14386.49 14386.49 8216.25 8216.25 15.48 15.48 4416.00 4416.00 0.64 0.64 0.61 0.61 0.13 0.13 0.00 0.00 28848.43 28848.43 16473.82 16473.82 15.47 15.47 8883.87 8883.87 0.65 0.65 0.61 0.61 0.14 0.14 0.00 0.00 ERRO % global local 413.68 414.22 1.48 1.66 0.29 0.46 0.05 0.13 0.14 0.03 0.17 0.01 0.17 0.00 0.17 0.00 909.39 909.64 1.64 1.67 0.43 0.46 0.09 0.13 0.00 0.03 0.02 0.01 0.03 0.00 0.03 0.00 1862.05 1862.17 1.66 1.67 0.46 0.46 0.12 0.13 0.03 0.03 0.00 0.01 0.00 0.00 0.01 0.00 3767.24 3767.28 1.67 1.67 0.46 0.46 0.12 0.13 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 7577.56 7577.58 1.67 1.67 0.46 0.46 0.13 0.13 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 15198.18 15198.18 1.67 1.67 0.46 0.46 0.13 0.13 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.77 0.56 0.42 0.22 0.31 0.10 0.25 0.05 0.23 0.02 0.22 0.01 0.21 0.00 0.21 0.00 0.31 0.27 0.15 0.10 0.09 0.05 0.06 0.02 0.05 0.01 0.05 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.15 0.14 0.06 0.05 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.07 0.07 0.03 0.03 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 129 Tab. 7.42: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 463.21 97.00 1073.83 93.75 2247.33 87.50 4593.94 75.00 9287.09 50.00 18673.03 0.00 444.12 96.99 1031.85 93.74 2161.44 87.49 4420.27 74.99 8937.82 49.99 17972.65 0.00 408.12 96.96 951.56 93.71 1996.25 87.46 4085.36 74.97 8263.52 49.98 16619.60 0.00 341.25 96.88 799.32 93.63 1680.77 87.39 3443.60 74.90 6969.18 49.94 14020.31 0.00 227.76 96.55 532.79 93.33 1122.97 87.11 2303.91 74.67 4665.90 49.78 9389.85 0.00 68.95 93.31 141.16 90.46 292.36 84.47 597.11 72.41 1207.07 48.28 2427.08 0.00 57.21 101.18 194.68 97.39 433.13 90.83 904.92 77.84 1847.50 51.89 3732.46 0.00 3.40 3.40 1.01 1.01 0.21 0.21 0.03 0.03 0.00 0.00 ERRO % global local 812.87 96.93 1778.94 93.68 3635.99 87.43 7349.63 74.94 14776.78 49.96 29630.70 0.00 469.13 96.68 1024.35 93.44 2092.68 87.21 4229.34 74.75 8502.65 49.84 17049.05 0.00 13.71 2.04 11.85 0.38 11.52 0.08 11.45 0.02 11.44 0.00 11.43 0.00 223.25 98.63 523.13 95.29 1094.86 88.94 2237.43 76.23 4522.37 50.82 9092.22 0.00 0.48 1.42 1.66 0.26 1.88 0.04 1.92 0.01 1.93 0.00 1.93 0.00 0.69 0.67 1.28 0.08 1.35 0.01 1.36 0.00 1.36 0.00 1.36 0.00 0.13 0.60 0.40 0.08 0.46 0.01 0.47 0.00 0.47 0.00 0.47 0.00 0.57 0.57 0.07 0.07 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 461.24 97.86 1014.16 94.58 2076.76 88.27 4201.78 75.66 8451.75 50.44 16951.75 0.00 3.53 0.19 3.70 0.03 3.73 0.01 3.73 0.00 3.73 0.00 3.73 0.00 1.59 0.18 1.74 0.03 1.76 0.01 1.77 0.00 1.77 0.00 1.77 0.00 0.67 0.17 0.81 0.03 0.84 0.01 0.84 0.00 0.84 0.00 0.84 0.00 0.21 0.17 0.36 0.03 0.38 0.01 0.39 0.00 0.39 0.00 0.39 0.00 0.01 0.17 0.13 0.03 0.16 0.01 0.16 0.00 0.16 0.00 0.16 0.00 0.12 0.17 0.02 0.03 0.05 0.01 0.05 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 0.17 0.17 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.43 0.44 0.15 0.15 0.06 0.06 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.31 0.31 0.09 0.09 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.25 0.06 0.06 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.23 0.23 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.22 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 130 Tab. 7.43: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 115.50 444.70 114.98 426.23 113.99 391.42 112.15 326.75 109.02 216.99 104.65 63.40 101.18 58.62 102.85 0.00 132.31 1085.80 131.16 1043.40 128.95 962.28 124.76 808.49 117.42 539.24 106.64 143.62 97.39 195.65 102.73 0.00 164.62 2252.19 162.26 2166.12 157.71 2000.59 149.02 1684.45 133.67 1125.50 110.80 293.17 90.83 433.82 102.75 0.00 229.22 4595.25 224.44 4421.53 215.22 4086.53 197.55 3444.59 166.18 2304.59 119.19 597.31 77.84 905.15 102.75 0.00 358.42 9287.09 348.81 8937.82 330.24 8263.52 294.61 6969.18 231.20 4665.90 135.98 1207.07 51.89 1847.50 102.75 0.00 616.81 616.81 597.53 597.53 560.28 560.28 488.73 488.73 361.25 361.25 169.57 169.57 0.00 0.00 ERRO % global local 808.58 818.13 466.46 472.42 13.17 14.36 222.68 223.97 0.01 1.06 0.21 1.27 0.60 0.44 1.04 0.00 1770.13 1780.27 1019.08 1025.15 11.33 11.93 521.14 523.42 1.19 1.73 0.80 1.35 0.08 0.47 0.54 0.00 3618.47 3636.34 2082.40 2092.88 11.00 11.53 1090.19 1094.95 1.40 1.89 0.88 1.36 0.01 0.47 0.48 0.00 7314.68 7349.69 4209.03 4229.37 10.93 11.45 2227.41 2237.45 1.44 1.92 0.88 1.36 0.00 0.47 0.47 0.00 14706.99 14776.78 8462.29 8502.65 10.91 11.44 4501.62 4522.37 1.45 1.93 0.89 1.36 0.00 0.47 0.47 0.00 29491.23 29491.23 16968.60 16968.60 10.91 10.91 9050.04 9050.04 1.45 1.45 0.89 0.89 0.00 0.00 ERRO % global local 461.04 461.86 3.48 3.71 1.53 1.77 0.61 0.84 0.16 0.39 0.06 0.16 0.17 0.05 0.23 0.00 1013.67 1014.45 3.64 3.73 1.68 1.77 0.76 0.84 0.30 0.39 0.08 0.16 0.03 0.05 0.09 0.00 2075.68 2076.89 3.67 3.73 1.71 1.77 0.78 0.84 0.33 0.39 0.10 0.16 0.01 0.05 0.06 0.00 4199.55 4201.83 3.67 3.73 1.71 1.77 0.79 0.84 0.33 0.39 0.11 0.16 0.00 0.05 0.06 0.00 8447.21 8451.75 3.67 3.73 1.71 1.77 0.79 0.84 0.33 0.39 0.11 0.16 0.00 0.05 0.05 0.00 16942.57 16942.57 3.68 3.68 1.71 1.71 0.79 0.79 0.33 0.33 0.11 0.11 0.00 0.00 ERRO % global local 0.44 0.23 0.31 0.10 0.25 0.05 0.23 0.02 0.22 0.01 0.21 0.00 0.21 0.00 0.21 0.00 0.15 0.11 0.09 0.05 0.06 0.02 0.05 0.01 0.05 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.06 0.06 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.03 0.03 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 131 Tab. 7.44: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 463.19 97.00 1073.78 93.75 2247.24 87.50 4593.75 75.00 9286.72 50.00 18672.29 0.00 444.09 96.99 1031.81 93.74 2161.35 87.49 4420.09 74.99 8937.47 49.99 17971.94 0.00 408.10 96.96 951.52 93.71 1996.17 87.46 4085.19 74.97 8263.19 49.98 16618.94 0.00 341.23 96.88 799.29 93.63 1680.70 87.39 3443.46 74.90 6968.90 49.94 14019.75 0.00 227.75 96.55 532.77 93.33 1122.92 87.11 2303.82 74.67 4665.72 49.78 9389.47 0.00 68.94 93.31 141.15 90.46 292.35 84.47 597.09 72.41 1207.02 48.28 2426.98 0.00 57.21 101.18 194.68 97.39 433.12 90.83 904.89 77.84 1847.43 51.89 3732.31 0.00 3.39 3.39 1.01 1.01 0.21 0.21 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 812.87 96.93 1778.94 93.68 3635.99 87.43 7349.63 74.94 14776.78 49.96 29630.70 0.00 469.13 96.68 1024.35 93.44 2092.68 87.21 4229.34 74.75 8502.65 49.84 17049.05 0.00 13.71 2.04 11.85 0.38 11.52 0.08 11.45 0.02 11.44 0.00 11.43 0.00 223.25 98.63 523.13 95.29 1094.86 88.94 2237.43 76.23 4522.37 50.82 9092.22 0.00 0.48 1.42 1.66 0.26 1.88 0.04 1.92 0.01 1.93 0.00 1.93 0.00 0.69 0.67 1.28 0.08 1.35 0.01 1.36 0.00 1.36 0.00 1.36 0.00 0.13 0.60 0.40 0.08 0.46 0.01 0.47 0.00 0.47 0.00 0.47 0.00 0.57 0.57 0.07 0.07 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 461.23 97.86 1014.16 94.58 2076.75 88.27 4201.77 75.66 8451.73 50.44 16951.70 0.00 3.53 0.19 3.70 0.03 3.72 0.01 3.73 0.00 3.73 0.00 3.73 0.00 1.59 0.18 1.74 0.03 1.76 0.01 1.77 0.00 1.77 0.00 1.77 0.00 0.67 0.17 0.81 0.03 0.84 0.01 0.84 0.00 0.84 0.00 0.84 0.00 0.21 0.17 0.36 0.03 0.38 0.01 0.39 0.00 0.39 0.00 0.39 0.00 0.01 0.17 0.13 0.03 0.16 0.01 0.16 0.00 0.16 0.00 0.16 0.00 0.12 0.17 0.02 0.03 0.05 0.01 0.05 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 0.17 0.17 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ERRO % global local 0.44 0.44 0.15 0.15 0.06 0.06 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.31 0.31 0.09 0.09 0.03 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.25 0.06 0.06 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.23 0.23 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.22 0.05 0.05 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.21 0.21 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 132 Tab. 7.45: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. I J 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 25 50 100 200 400 800 1600 12 12 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 400 400 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ERRO % global local 463.19 444.70 444.09 426.23 408.10 391.42 341.23 326.75 227.75 216.99 68.94 63.40 57.21 58.62 3.39 0.00 1073.78 1085.80 1031.81 1043.40 951.52 962.28 799.29 808.49 532.77 539.24 141.15 143.62 194.68 195.65 1.01 0.00 2247.24 2252.19 2161.35 2166.12 1996.17 2000.59 1680.70 1684.45 1122.92 1125.50 292.35 293.17 433.12 433.82 0.21 0.00 4593.75 4595.25 4420.09 4421.53 4085.19 4086.53 3443.46 3444.59 2303.82 2304.59 597.09 597.31 904.89 905.15 0.03 0.00 9286.72 9287.09 8937.47 8937.82 8263.19 8263.52 6968.90 6969.18 4665.72 4665.90 1207.02 1207.07 1847.43 1847.50 0.00 0.00 18672.29 18672.29 17971.94 17971.94 16618.94 16618.94 14019.75 14019.75 9389.47 9389.47 2426.98 2426.98 3732.31 3732.31 0.00 0.00 ERRO % global local 812.87 818.13 469.13 472.42 13.71 14.36 223.25 223.97 0.48 1.06 0.69 1.27 0.13 0.44 0.57 0.00 1778.94 1780.27 1024.35 1025.15 11.85 11.93 523.13 523.42 1.66 1.73 1.28 1.35 0.40 0.47 0.07 0.00 3635.99 3636.34 2092.68 2092.88 11.52 11.53 1094.86 1094.95 1.88 1.89 1.35 1.36 0.46 0.47 0.01 0.00 7349.63 7349.69 4229.34 4229.37 11.45 11.45 2237.43 2237.45 1.92 1.92 1.36 1.36 0.47 0.47 0.00 0.00 14776.78 14776.78 8502.65 8502.65 11.44 11.44 4522.37 4522.37 1.93 1.93 1.36 1.36 0.47 0.47 0.00 0.00 29630.70 29630.70 17049.05 17049.05 11.43 11.43 9092.22 9092.22 1.93 1.93 1.36 1.36 0.47 0.47 0.00 0.00 ERRO % global local 461.23 461.86 3.53 3.71 1.59 1.77 0.67 0.84 0.21 0.39 0.01 0.16 0.12 0.05 0.17 0.00 1014.16 1014.45 3.70 3.73 1.74 1.77 0.81 0.84 0.36 0.39 0.13 0.16 0.02 0.05 0.03 0.00 2076.75 2076.89 3.72 3.73 1.76 1.77 0.84 0.84 0.38 0.39 0.16 0.16 0.05 0.05 0.01 0.00 4201.77 4201.83 3.73 3.73 1.77 1.77 0.84 0.84 0.39 0.39 0.16 0.16 0.05 0.05 0.00 0.00 8451.73 8451.75 3.73 3.73 1.77 1.77 0.84 0.84 0.39 0.39 0.16 0.16 0.05 0.05 0.00 0.00 16951.70 16951.70 3.73 3.73 1.77 1.77 0.84 0.84 0.39 0.39 0.16 0.16 0.05 0.05 0.00 0.00 ERRO % global local 0.44 0.23 0.31 0.10 0.25 0.05 0.23 0.02 0.22 0.01 0.21 0.00 0.21 0.00 0.21 0.00 0.15 0.11 0.09 0.05 0.06 0.02 0.05 0.01 0.05 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.06 0.06 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.03 0.03 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7. Resultados da solução permanente 133 Tab. 7.46: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com discretização em uma direção apenas- HDS. ERRO REAL % I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 3 5 10 20 40 80 100 120 140 160 180 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800 7.76 20.31 0.62 0.08 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 17.71 0.03 0.21 0.05 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.29 0.22 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.36 0.56 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Capítulo 8 Resultados para Regime Transiente Este capítulo apresenta resultados do número de Nusselt para o regime transiente. Valores em diferentes posições e tempos são calculados e apresentados, inicialmente, em tabelas, para analisar a convergência das soluções e determinar as malhas mais adequadas para cada caso. A solução HDS (com discretização bidirecional) foi escolhida devido ao menor custo computacional. Mesmo assim, cada um dos casos transientes calculados requer um tempo de computação uma ordem de grandeza acima do gasto para um caso de regime permanente equivalente (mesma malha e mesmo Péclet). Além disto, o tempo computacional investido nas soluções permanentes também foi considerável. Devido as estes fatores, apenas os casos com temperatura constante na parede foram calculados. Para os casos com temperatura constante na parede o número de Fourier pode ser incorporado ao tempo adimensional, definindo uma nova variável τ∗ = τ Fo. Desta forma os resultados podem ser analisados em função de τ∗ ao invés de τ e o efeito do número de Fourier estaria automaticamente incorporado aos resultados. Portanto, todos os resultados transientes são apresentados em termos de τ∗ . 134 8. Resultados para Regime Transiente 8.1 8.1.1 135 Análise de convergência Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 2 As tabelas de 8.1 até 8.4 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt em diferentes posições de ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10) utilizando diversas malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξmax = 2. Os resultados mostram que, em geral, a mesma tendência observada para as soluções permanentes se repetem aqui, com a convergência sendo pior em posições próximas à entrada do canal. Entretanto, agora há um efeito adicional: a convergência é também pior para tempos mais curtos. As tabelas apresentam posições (longe da entrada) onde, principalmente para tempos mais curtos, não existe transferência de calor. Nestas posições o cálculo do número de Nusselt gera erros numéricos; porém o valor exato para o Nusselt não é bem definido pois este eqüivaleria a calcular a razão entre dois zeros. Para resolver o problema atribui-se o valor nulo para Nusselt em regiões onde não há transferência de calor. Esta escolha esta de acordo com o comportamento do Nusselt, pois este tende a zero a medida que se aproxima-se da região sem transferência de calor. Isto pode ser claramente observado nos gráficos no final deste capítulo. 8. Resultados para Regime Transiente 136 Tab. 8.1: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01. I J ξ = 0.001 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 12 146.809 306.292 612.785 1225.67 2451.40 4902.80 146.455 305.524 611.222 1222.52 2445.07 4890.11 145.127 302.641 605.354 1210.68 2421.28 4842.46 140.302 292.120 583.903 1167.38 2334.28 4876.87 125.021 258.542 515.231 1028.55 2055.15 4108.34 89.3282 178.665 350.758 694.987 1383.45 2760.36 38.2695 59.2454 2.82568 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 145.711 235.557 0.123486 0.000000 303.913 498.653 0.0967044 0.000000 607.947 1004.02 0.0941777 0.000000 1215.91 2014.47 0.0941515 0.000000 2431.81 4035.26 0.142685 ERRO 4863.55 8076.67 0.21938 ERRO 141.126 190.304 0.000000 0.000000 293.976 400.372 0.000000 0.000000 587.732 803.985 0.000000 0.000000 1175.15 1611.04 0.000000 0.000000 2349.96 3225.07 ERRO ERRO 4699.50 6453.02 ERRO ERRO 119.245 0.671390 0.000000 0.000000 246.480 0.760498 0.000000 0.000000 491.059 0.779693 0.000000 0.000000 980.157 0.783964 0.000000 0.000000 1958.32 0.784884 ERRO ERRO 3914.64 0.785087 ERRO ERRO 10.6652 0.577069 0.000000 0.000000 10.5428 0.617776 0.000000 0.000000 10.5187 0.629075 0.000000 0.000000 10.5139 0.631975 0.000000 0.000000 10.5128 0.632635 ERRO ERRO 9.91855 0.011872 ERRO ERRO -134.028 0.02846260 0.000000 0.000000 -302.458 0.00909083 0.000000 0.000000 -626.141 0.01020310 0.000000 0.000000 -1273.53 0.00714442 0.000000 0.000000 -2568.34 0.01366060 ERRO ERRO -5157.96 -0.00228826 ERRO ERRO 0.467197 0.000000 0.000000 0.000000 1.10113 0.000000 0.000000 0.000000 1.23530 0.000000 0.000000 0.000000 1.26223 0.000000 0.000000 0.000000 1.26779 ERRO ERRO ERRO 1.26901 ERRO ERRO ERRO 0.429905 0.000000 0.000000 0.000000 0.444452 0.000000 0.000000 0.000000 0.10175 0.000000 0.000000 0.000000 8. Resultados para Regime Transiente 137 Tab. 8.2: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 12 146.120 304.802 609.755 1219.56 2439.14 4878.22 144.142 300.501 600.996 1201.89 2403.64 4807.07 139.273 289.828 579.184 1157.81 2315.00 4629.38 129.501 268.080 534.476 1067.20 2132.60 4263.40 112.224 228.747 452.961 901.376 1798.19 3591.79 83.3421 160.905 310.976 611.267 1211.87 2413.08 42.9604 61.3214 10.8804 138.443 -58.6168 288.193 -137.009 575.993 -287.699 1151.50 -589.079 2302.49 -1191.84 4604.41 -2397.38 117.613 -91.2382 242.937 -205.575 483.832 -425.500 965.560 -865.384 1928.99 -1745.16 3855.82 -3504.75 73.2941 4.96474 145.949 5.04668 285.723 5.06141 565.264 5.06459 1124.34 5.06533 2242.48 5.06550 13.4621 3.33672 13.2502 3.41033 13.2126 3.42420 13.2047 3.42726 13.2029 3.42796 13.2025 3.42813 -15.2632 1.90107 -51.6969 1.94683 -121.187 1.95619 -260.065 1.95828 -537.798 1.95876 -1093.26 1.95887 12.0794 0.850070 12.2281 0.858976 12.2556 0.861960 12.2603 0.862666 12.2611 0.862817 12.2613 0.862852 12.1482 0.279718 12.2209 0.265442 12.0554 0.0637647 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 3.20561 -0.545651 3.27796 1.35982 3.29169 0.525253 3.29473 0.792128 3.29542 ERRO 3.29537 ERRO 0.478727 0.000000 0.488348 0.000000 0.565440 0.000000 0.475902 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 8. Resultados para Regime Transiente 138 Tab. 8.3: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 12 145.376 303.192 606.483 1212.96 2425.89 4851.68 143.026 298.072 596.046 1191.90 2383.55 4766.83 138.356 287.804 575.033 1149.40 2298.09 4595.46 129.202 267.387 533.029 1064.24 2126.64 4251.41 112.199 228.677 452.808 901.056 1797.53 3590.47 83.3424 160.904 310.973 611.260 1211.86 2413.05 42.9604 61.3214 10.8804 131.248 272.639 544.379 1087.78 2174.55 4348.02 108.470 223.046 443.294 883.739 1764.60 3526.31 68.7065 135.733 264.703 522.642 1038.51 2070.25 13.7268 13.5027 13.4629 13.4545 13.4526 13.4521 -14.8794 -51.0801 -120.100 -258.033 -533.875 -1085.55 12.1301 12.2729 12.2993 12.3037 12.3045 12.3047 12.1550 12.2264 12.056 ξ = 0.1 ξ=1 ξ=2 -15.381 7.08807 9.96236 -43.7871 7.11093 9.21549 -98.3457 7.11525 8.98337 -207.447 7.11621 7.95748 -425.645 7.11642 8.63361 -862.042 7.11648 8.6314 -22.2014 6.62691 43.0894 -58.0687 6.65851 20.4034 -126.999 6.66447 16.5387 -264.848 6.66583 9.83527 -540.543 6.66614 13.9505 -1091.93 6.66623 14.8736 7.90617 5.85298 -0.06 7.91869 5.89624 ERRO 7.92069 5.90445 ERRO 7.92108 5.90632 ERRO 7.92117 5.90675 ERRO 7.92119 5.90688 ERRO 7.75764 4.6738 0.000000 7.76894 4.72735 0.000000 7.77081 4.73765 0.000000 7.77119 4.73998 ERRO 7.77128 4.74053 ERRO 7.77130 4.73755 ERRO 7.68727 3.16711 0.000000 7.69821 3.21946 0.000000 7.70006 3.2298 0.000000 7.70045 3.28313 0.000000 7.70053 3.23265 ERRO 7.70055 3.23226 ERRO 7.65258 1.66551 0.000000 7.66342 1.69843 0.000000 7.66527 1.70526 0.000000 7.66565 1.70590 0.000000 7.66574 2.21727 ERRO 7.66576 1.70921 ERRO 7.63559 0.756369 0.000000 7.64641 4.84818 0.000000 7.62723 9.03929 0.000000 8. Resultados para Regime Transiente 139 Tab. 8.4: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 12 145.374 303.189 606.477 1212.95 2425.87 4851.64 143.026 298.072 596.046 1191.90 2383.55 4766.83 138.356 287.804 575.033 1149.40 2298.09 4595.46 129.202 267.387 533.029 1064.24 2126.64 4251.41 112.199 228.677 452.808 901.056 1797.53 3590.47 83.3424 160.904 310.973 611.260 1211.86 2413.05 42.9604 61.3214 10.8804 131.236 272.612 544.325 1087.67 2174.32 4347.58 108.470 223.045 443.292 883.734 1764.59 3526.29 68.7065 135.733 264.703 522.642 1038.51 2070.25 13.7268 13.5027 13.4629 13.4545 13.4526 13.4521 -14.8794 -51.0801 -120.100 -258.033 -533.875 -1085.55 12.1301 12.2729 12.2993 12.3037 12.3045 12.3047 12.1550 12.2264 12.056 -15.3217 -43.6597 -98.0869 -206.926 -424.599 -859.944 -22.1952 -58.0557 -126.973 -264.796 -540.438 -1091.72 7.90618 7.91869 7.92070 7.92109 7.92118 7.92120 7.75764 7.76894 7.77081 7.77119 7.77128 7.77130 7.68727 7.69821 7.70006 7.70044 7.70053 7.70055 7.65258 7.66342 7.66527 7.66565 7.66574 7.66576 7.63559 7.64641 7.62723 ξ=1 ξ=2 7.52443 7.4826 7.53758 7.51716 7.54003 7.52975 7.54058 7.5352 7.54070 7.54066 7.54074 7.54069 7.52438 7.50868 7.53753 7.52968 7.53998 7.53602 7.54054 7.53697 7.54066 7.54066 7.54069 7.54069 7.52438 7.51766 7.53753 7.53398 7.53998 7.53817 7.54054 7.54544 7.54066 7.54066 7.54069 7.54069 7.52438 7.52162 7.53753 7.53588 7.53998 7.53912 7.54054 7.54289 7.54066 7.54066 7.54069 7.540690 7.52438 7.52349 7.53753 7.53677 7.53998 7.53957 7.54054 7.54169 7.54066 7.54066 7.54069 7.54069 7.52438 7.52440 7.53753 7.53721 7.53998 7.53978 7.54054 7.54110 7.54066 7.54066 7.54069 7.54069 7.52438 7.52485 7.53753 7.53742 7.52438 7.52507 8. Resultados para Regime Transiente 8.1.2 140 Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 1 As tabelas de 8.5 até 8.8 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10) utilizando diversas malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξmax = 1. Tab. 8.5: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 800 800 800 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 12 25 50 12 25 ξ = 0.001 ξ = 0.01 146.490 141.621 305.601 295.048 611.380 589.913 1222.83 1179.55 2445.71 2358.79 4891.39 4717.21 145.127 119.245 302.641 246.480 605.354 491.059 1210.68 980.157 2421.28 1958.32 4842.46 3914.64 140.302 10.6652 292.12 10.5428 583.903 10.5187 1167.38 10.5139 2334.28 10.5128 4668.07 10.5126 89.3282 0.467197 178.665 1.10113 350.758 1.2353 694.987 1.26223 1383.45 1.26779 2760.36 1.26901 38.2695 0.429905 59.2454 0.444452 101.17 0.450525 185.372 0.45245 2.82568 0.101750 -31.5621 0.0533346 -93.782 0.0490972 19.5390 0.015766 20.3105 0.00234701 ξ = 0.1 ξ=1 188.612 396.755 796.671 1596.33 3195.58 6393.96 0.67139 0.760498 0.779693 0.783964 0.784884 0.785087 0.577069 0.617776 0.629075 0.631975 0.632634 0.632696 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 8. Resultados para Regime Transiente 141 Tab. 8.6: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 800 800 800 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 12 25 50 12 25 144.317 300.884 601.776 1203.46 2406.80 4813.41 139.273 289.828 579.184 1157.81 2315.00 4629.38 129.501 268.080 534.476 1067.20 2132.60 4263.40 83.3421 160.905 310.976 611.267 1211.87 2413.08 42.9604 61.3214 99.7685 177.260 10.8804 -24.0756 -84.7076 26.2917 25.1710 119.406 -111.015 246.841 -248.472 491.789 -512.863 981.622 -1041.69 1961.26 -2099.37 3920.50 -4214.76 73.2941 4.96474 145.949 5.04668 285.723 5.06141 565.264 5.06459 1124.34 5.06533 2242.48 5.06550 13.4621 3.33672 13.2502 3.41033 13.2126 3.4242 13.2047 3.42726 13.2029 3.42796 13.2025 3.42813 12.0794 0.850070 12.2281 0.858976 12.2556 0.861960 12.2603 0.862666 12.2611 0.862817 12.2613 0.862851 12.1482 0.279718 12.2209 0.265442 12.2300 0.264197 12.2312 0.263970 12.0554 0.0637647 12.1196 0.0491908 12.1275 0.0475619 12.0029 0.0100628 12.0636 0.00441478 ξ = 0.1 ξ=1 0.717806 0.724995 0.723766 0.700985 0.665786 0.926832 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ERRO ERRO 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 8. Resultados para Regime Transiente 142 Tab. 8.7: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1 com ξmax = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 800 800 800 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 12 25 50 12 25 143.211 298.477 596.872 1193.57 2386.9 4773.56 138.356 287.804 575.033 1149.4 2298.09 4595.46 129.202 267.387 533.029 1064.24 2126.64 4251.41 83.3424 160.904 310.973 611.260 1211.86 2413.05 42.9604 61.3214 99.7686 177.26 10.8804 -24.0756 -84.7076 26.2917 25.1710 110.203 226.829 451.016 899.334 1795.94 3589.14 68.7065 135.733 264.703 522.642 1038.51 2070.25 13.7268 13.5027 13.4629 13.4545 13.4526 13.4521 12.1301 12.2729 12.2993 12.3037 12.3045 12.3047 12.155 12.2264 12.2352 12.2363 12.0560 12.1199 12.1278 12.0029 12.0636 ξ = 0.1 ξ=1 -27.5936 6.47887 -69.8263 6.53724 -150.987 6.55542 -313.296 6.56287 -637.909 6.56918 -1287.14 6.56926 7.90617 5.72723 7.91869 5.78796 7.92069 5.80429 7.92108 5.81003 7.92117 5.81464 7.92119 5.81476 7.75764 4.59051 7.76894 4.65532 7.77081 4.67114 7.77119 4.69416 7.77128 4.67964 7.7713 4.67998 7.65258 1.64546 7.66342 1.68135 7.66527 1.68967 7.66565 1.69853 7.66574 1.82281 7.66576 1.69384 7.63559 0.7685 7.64641 ERRO 7.64826 ERRO 7.64865 ERRO 7.62723 ERRO 7.63804 0.00000 7.6399 ERRO 7.62308 -0.06015 7.63389 ERRO 8. Resultados para Regime Transiente 143 Tab. 8.8: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10 com ξmax = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 800 800 800 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 12 25 50 12 25 143.211 298.477 596.872 1193.56 2386.90 4773.55 138.356 287.804 575.033 1149.40 2298.09 4595.46 129.202 267.387 533.029 1064.24 2126.64 4251.41 83.3424 160.904 310.973 611.260 1211.86 2413.05 42.9604 61.3214 99.7686 177.26 10.8804 -24.0756 -84.7076 26.2917 25.1710 110.202 226.828 451.013 899.328 1795.93 3589.12 68.7065 135.733 264.703 522.642 1038.51 2070.25 13.7268 13.5027 13.4629 13.4545 13.4526 13.4521 12.1301 12.2729 12.2993 12.3037 12.3045 12.3047 12.155 12.2264 12.2352 12.2363 12.0560 12.1199 12.1278 12.0029 12.0636 -27.5848 -69.8078 -150.95 -313.222 -637.76 -1286.84 7.90618 7.91869 7.92070 7.92109 7.92118 7.92120 7.75764 7.76894 7.77081 7.77119 7.77128 7.77130 7.65258 7.66342 7.66527 7.66565 7.66574 7.66576 7.63559 7.64641 7.64826 7.64865 7.62723 7.63804 7.6399 7.62308 7.63389 7.50786 7.52929 7.53582 7.53846 7.54066 7.54069 7.51766 7.53398 7.53817 7.53958 7.54066 7.54069 7.52162 7.53588 7.53912 7.54008 7.54066 7.54069 7.52440 7.53721 7.53978 7.54034 7.54066 7.54069 7.52485 7.53742 7.53989 7.54081 7.52507 7.53753 7.53994 7.52519 7.53758 8. Resultados para Regime Transiente 8.1.3 144 Número de Nusselt para Péclet 10 e ξmax = 1 As tabelas de 8.9 até 8.12 apresentam os valores calculado para o número de Nusselt em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10) utilizando diversas malhas, para o caso com PeH = 10, utilizando ξmax = 1. Tab. 8.9: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 12 25 12 146.392 305.314 610.738 1221.49 2442.93 4885.82 144.455 300.552 600.587 1200.60 2400.61 4800.61 138.072 283.197 562.241 1120.52 2237.20 4470.67 128.456 249.151 478.668 938.467 1859.09 3701.01 124.763 219.291 374.030 676.099 1283.20 2501.16 125.523 210.168 291.714 376.260 523.922 126.906 216.194 127.641 140.480 291.683 582.349 1163.65 2326.24 4651.41 113.022 224.379 439.078 869.002 1729.17 3449.65 46.6545 44.6367 42.4754 41.1443 40.4232 40.0498 30.4826 -23.2386 -131.598 -343.858 -764.172 -1602.24 46.3542 36.9209 31.4225 30.2809 30.3454 30.5309 47.3436 38.7832 34.7945 34.1742 34.0700 47.595 38.8588 47.6965 206.095 442.235 895.279 1800.65 3611.04 7231.52 4.02497 4.10936 4.15317 4.16097 4.16215 4.16236 -16.9799 -15.9002 -15.8535 -15.8406 -15.8359 -15.8346 0.450009 0.500491 0.512441 0.514922 0.515409 0.516901 0.914592 0.954889 0.967025 0.969210 0.969994 0.948303 1.11033 1.15137 1.16246 1.16701 1.16082 1.4824 1.52701 1.91184 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO 0.000000 0.000000 ERRO ERRO ERRO ERRO ERRO ERRO 8. Resultados para Regime Transiente 145 Tab. 8.10: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 12 25 12 143.931 299.936 599.760 1199.31 2398.39 4796.48 138.908 288.255 575.354 1149.51 2297.79 4594.35 131.750 268.983 532.950 1061.08 2117.47 4230.34 124.555 240.729 461.733 904.492 1791.00 3564.66 121.707 213.345 363.413 656.372 1245.17 2426.40 122.641 204.839 284.058 366.196 509.654 124.066 210.833 124.809 116.309 239.017 474.980 946.898 1890.74 3778.40 74.1654 141.092 270.431 529.479 1047.78 2084.47 34.1029 32.6391 31.4031 30.6636 30.2667 30.0619 26.5699 -7.80524 -76.5509 -211.127 -477.595 -1008.90 37.5063 30.9553 27.2616 26.4942 26.5345 26.6570 38.1925 32.2095 29.5089 29.0860 29.0143 38.2707 32.1903 38.2628 ξ = 0.1 ξ=1 -68.7992 1.03353 -163.125 1.03612 -344.059 1.03543 -705.702 1.00734 -1428.87 1.10466 -2875.15 0.796429 6.96433 ERRO 7.01787 ERRO 7.02700 ERRO 7.02875 ERRO 7.02910 ERRO 7.02918 ERRO 6.34931 ERRO 6.40702 ERRO 6.41685 ERRO 6.41883 ERRO 6.41926 ERRO 6.41936 ERRO 6.01842 ERRO 6.07524 ERRO 6.08503 ERRO 6.08704 ERRO 6.08749 ERRO 6.08759 ERRO 5.83758 ERRO 5.89347 ERRO 5.90314 ERRO 5.90514 ERRO 5.90559 ERRO 5.90569 ERRO 5.74581 ERRO 5.80096 ERRO 5.81052 ERRO 5.81250 ERRO 5.81295 ERRO 5.70051 ERRO 5.7552 ERRO 5.6782 ERRO 8. Resultados para Regime Transiente 146 Tab. 8.11: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 1 com ξmax = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 12 25 12 143.068 298.060 595.939 1191.60 2382.90 4765.43 138.430 287.207 573.213 1145.18 2289.09 4576.91 131.489 268.412 531.786 1058.73 2112.74 4220.85 124.380 240.359 460.996 903.017 1788.05 3558.76 121.570 213.081 362.942 655.497 1243.48 2423.08 122.520 204.615 283.736 365.772 509.053 123.952 210.616 124.698 109.342 223.942 444.324 885.082 1766.61 3529.63 71.6253 135.777 259.763 508.092 1004.94 1998.74 33.6142 32.1817 30.9765 30.2558 29.8691 29.6696 26.4031 -7.31182 -74.7231 -206.685 -467.975 -988.959 37.2120 30.7628 27.1298 26.3749 26.4146 26.5349 37.9217 32.0247 29.3654 28.9489 28.8783 38.0151 32.0195 38.0153 -22.9104 -61.9373 -136.746 -286.253 -585.211 -1183.10 8.44397 8.44810 8.44833 8.44824 8.44820 8.44818 8.29811 8.30290 8.30320 8.30316 8.30313 8.30312 8.22662 8.23100 8.23127 8.23123 8.23121 8.23120 8.18665 8.19088 8.19115 8.19112 8.19110 8.19109 8.16583 8.16999 8.17025 8.17022 8.17020 8.15525 8.15937 8.14991 6.97235 7.01331 7.02606 7.03115 7.03546 7.03552 6.78643 6.82078 6.8299 6.83294 6.83537 6.83542 6.58400 6.61525 6.62253 6.62453 6.62619 6.62605 6.39981 6.43004 6.43640 6.44053 6.44149 6.43886 6.27196 6.30230 6.30925 6.31063 6.31026 6.31033 6.20154 6.23237 6.23806 6.23973 6.24007 6.16722 6.19791 6.15095 8. Resultados para Regime Transiente 147 Tab. 8.12: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 10 com ξmax = 1. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 800 800 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 12 25 12 143.068 298.060 595.937 1191.60 2382.90 4765.42 138.430 287.207 573.213 1145.18 2289.09 4576.91 131.489 268.412 531.786 1058.73 2112.74 4220.85 124.380 240.359 460.996 903.017 1788.05 3558.76 121.570 213.081 362.942 655.497 1243.48 2423.08 122.520 204.615 283.736 365.772 509.053 123.952 210.616 124.698 109.340 223.938 444.315 885.064 1766.57 3529.56 71.6251 135.776 259.762 508.091 1004.94 1998.74 33.6142 32.1817 30.9765 30.2558 29.8691 29.6696 26.4031 -7.31182 -74.7231 -206.685 -467.975 -988.958 37.2120 30.7628 27.1298 26.3749 26.4146 26.5349 37.9217 32.0247 29.3654 28.9489 28.8783 38.0151 32.0195 38.0153 -22.8937 -61.9008 -136.672 -286.103 -584.909 -1182.50 8.44427 8.44838 8.44861 8.44852 8.44848 8.44847 8.29824 8.30302 8.30332 8.30328 8.30325 8.30324 8.22668 8.23106 8.23133 8.23129 8.23127 8.23126 8.18668 8.19092 8.19118 8.19115 8.19113 8.19112 8.16586 8.17002 8.17028 8.17025 8.17023 8.15527 8.15939 8.14993 7.61721 7.63479 7.64027 7.64246 7.64430 7.64432 7.67078 7.68227 7.68532 7.68635 7.68714 7.68716 7.70338 7.71196 7.71398 7.71457 7.71492 7.71494 7.7172 7.72452 7.72608 7.72643 7.72667 7.72669 7.72266 7.72951 7.73089 7.73141 7.73134 7.73136 7.72603 7.73268 7.73400 7.73437 7.73441 7.72842 7.73497 7.72992 8. Resultados para Regime Transiente 8.2 148 Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt Esta seção tem o objetivo de analisar o comportamento transiente para os diferentes números de Nusselt. As figuras de 8.1até 8.4 mostram a evolução de Nusselt para diferentes valores de número de Péclet e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10), para diferentes tamanhos de canal (ξmax = 1, 2, 10). Nu 14 12 Τ=¥ 10 Τ = 1.0 8 Τ = 0.5 6 Τ = 0.1 Τ = 0.05 4 2 Ξ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fig. 8.1: Variação transiente de Nusselt para PeH grande. Nu 14 12 Τ=¥ 10 Τ = 1.0 8 Τ = 0.5 Τ = 0.1 6 Τ = 0.05 4 2 Ξ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fig. 8.2: Variação transiente de Nusselt para PeH = 10. Comparando a evolução do número de Nusselt com Péclet grande e com PeH = 10, ambos em regime transiente, observa-se que apesar do comportamento em regime permanente ser próximo, o comportamento transiente é bastante diferente. Para valores muito pequenos de τ∗ (0.05 e 0.1), o número de Nusselt atinge a região onde não há 8. Resultados para Regime Transiente 149 Nu 25 Τ=¥ 20 Τ = 1.0 15 Τ = 0.5 Τ = 0.1 10 Τ = 0.05 5 Ξ 0.5 1.0 1.5 2.0 Fig. 8.3: Variação transiente de Nusselt para PeH = 1. Nu 40 Τ=¥ 30 Τ = 1.0 Τ = 0.5 20 Τ = 0.1 Τ = 0.05 10 Ξ 0 2 4 6 8 Fig. 8.4: Variação transiente de Nusselt para PeH = 0.1. transferencia de calor1 logo no início do canal. Observa-se também nos resultados uma semelhança entre PeH = 10 e Péclet grande, onde os valores de Nusselt transientes são sempre menores que os valores atingidos em regime permanente. Todavia, comparando a evolução do número de Nusselt para PeH = 1 PeH = 0.1 este comportamento se inverte, e os valores de Nusselt obtidos para regime transiente são maiores que os valores obtidos para regime permanente. Os resultados também mostram que, à medida que o número de Péclet é reduzido, os valores de Nusselt atingem mais rapidamente o desenvolvimento térmico. Isto pode ser observado pelos gráficos, onde curvas para PeH = 1 e PeH = 0.1 om τ∗ = 1 e τ∗ = 0.1 estão praticamente sobrepostas às curvas 1 ou seja, onde o número de Nusselt é nulo. 8. Resultados para Regime Transiente 150 para o regime permanente (τ∗ infinito). Também observa-se que para valores de PeH = 0.1 a independência em relação à posição do canal (ξ) é atingida antes do regime permanente. Isto pode ser visto observando as curvas para PeH = 0.1 e notando que em todos os tempos a derivada em relação à ξ é aparentemente nula próximo à saída. O mesmo não ocorre para PeH = 1 e para nenhum outro caso de Péclet. Capítulo 9 Bibliografia [1] R. K. Shah e D. P. Sekulic. Fundamentals of Heat Exchanger Design. John Wiley & Sons, New York, NY, 2002. [2] A. J. Willmott. The regenerative heat exchanger computer representation. International Journal of Heat and Mass Transfer, 12:997–1014, 1969. [3] F. W. Larsen. 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Apêndice A Demais resultados para regime permanente A.1 Slug-Flow com discretização bidirecional Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para o escoamento tipo Slug-flow com diferentes valores para número de Péclet, usando a discretização bidirecional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ) e diferentes posições para a coordenada transversal η. As tabelas A.1 e A.2 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 10 e valores de η = 0 e η = 0.99. As tabelas A.3 e A.4 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 1 e valores de η = 0 e η = 0.99. As tabelas A.5 e A.6 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 0.1 e valores de η = 0 e η = 0.99. 156 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 157 Tab. A.1: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 0.323506 0.234550 -0.0246250 0.000191525 0.603496 0.427536 -0.067577 0.000190531 0.964798 0.676910 -0.122477 0.000190308 1.157490 0.809920 -0.151740 0.000190253 0.964780 0.676752 -0.122669 0.000190239 0.964779 0.676744 -0.122678 0.000190236 0.313819 0.161820 0.0143742 0.000218889 0.582364 0.268895 0.0142953 0.000217770 0.929028 0.408400 0.0142799 0.000217520 1.113920 0.482830 0.0142761 0.000217457 0.928929 0.407633 0.0142752 0.000217442 0.928924 0.407594 0.0142749 0.000217438 0.300328 0.0923806 0.0141140 0.000230015 0.547375 0.0877456 0.0140552 0.000228845 0.866393 0.0836811 0.0140429 0.000228584 1.036510 0.0814039 0.0140398 0.000228519 0.865849 0.0805958 0.0140391 0.000228502 0.865822 0.0804405 0.0140389 0.000228498 0.287448 0.0795208 0.0140549 0.000234249 0.497030 0.0193569 0.0139987 0.000233060 0.763064 -0.0632814 0.0139869 0.000232795 0.904254 -0.1084400 0.0139839 0.000232728 0.760073 -0.07034220 0.0139832 0.000232712 0.759919 -0.07070180 0.0139830 0.000232708 0.282922 0.0973508 0.0140382 0.000235622 0.450401 0.0817739 0.0139828 0.000234427 0.627618 0.0743719 0.0139710 0.000234160 0.713525 0.0734473 0.0139681 0.000234094 0.613442 0.0734997 0.0139674 0.000234077 0.612662 0.0734838 0.0139672 0.000234073 0.284838 0.0984785 0.0140339 0.000236019 0.437251 0.0835771 0.0139787 0.000234823 0.527126 0.0775711 0.0139670 0.000234556 0.527153 0.0766086 0.0139641 0.000234489 0.484009 0.0764050 0.0139634 0.000234473 0.481107 0.0763547 0.0139632 0.000234468 0.287375 0.0986767 0.0140328 0.000236127 0.447776 0.0834937 0.0139776 0.000234930 0.527411 0.0775398 0.0139659 0.000234663 0.477041 0.0766073 0.0139631 0.000234596 0.469591 0.0764062 0.0139623 0.000234580 0.464023 0.0763566 0.0139622 0.000234575 0.288678 0.0987204 0.0140325 0.000236155 0.456693 0.0834350 0.0139774 0.000234958 0.561951 0.0774923 0.0139657 0.000234691 0.538682 0.0765753 0.0139628 0.000234624 0.509260 0.0763764 0.0139621 0.000234607 0.504563 0.0763273 0.0139619 0.000234603 0.511806 0.0762989 0.0139618 0.000234611 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 158 Tab. A.2: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0, discretização bidirecional. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 0.999368 0.999313 0.999301 0.999298 0.999297 0.999297 1.00004 1.00003 1.00002 1.00002 1.00002 1.00002 0.999689 0.999678 0.999676 0.999676 0.999676 0.999676 0.999507 0.999492 0.999489 0.999489 0.999488 0.999488 0.999440 0.999423 0.999420 0.999419 0.999419 0.999419 0.999409 0.999392 0.999389 0.999388 0.999388 0.999387 0.999395 0.999378 0.999374 0.999373 0.999373 0.999373 0.999390 0.999372 0.999368 0.999368 0.999367 0.999367 0.999366 0.991733 0.991209 0.991093 0.991064 0.991057 0.991055 0.997061 0.996824 0.996775 0.996763 0.996760 0.996759 0.994283 0.994101 0.994064 0.994054 0.994052 0.994051 0.992955 0.992749 0.992705 0.992694 0.992692 0.992691 0.992560 0.992346 0.992300 0.992289 0.992286 0.992285 0.992481 0.992266 0.992220 0.992208 0.992205 0.992205 0.992462 0.992246 0.992200 0.992188 0.992185 0.992185 0.992457 0.992241 0.992195 0.992183 0.992180 0.992180 0.992178 0.781316 0.778264 0.777581 0.777410 0.777367 0.777356 0.785136 0.781935 0.781215 0.781036 0.780991 0.780979 0.788608 0.785369 0.784641 0.784459 0.784414 0.784402 0.789553 0.786305 0.785575 0.785392 0.785347 0.785335 0.789803 0.786553 0.785822 0.785639 0.785594 0.785582 0.789866 0.786616 0.785885 0.785702 0.785656 0.785645 0.789882 0.786631 0.785901 0.785718 0.785672 0.785661 0.789886 0.786635 0.785904 0.785722 0.785676 0.785665 0.785662 0.0168394 0.0167870 0.0167752 0.0167723 0.0167715 0.0167713 0.0154258 0.0153743 0.0153627 0.0153598 0.0153591 0.0153589 0.0151086 0.0150574 0.0150459 0.0150430 0.0150423 0.0150421 0.0150293 0.0149781 0.0149667 0.0149638 0.0149631 0.0149629 0.0150095 0.0149583 0.0149469 0.0149440 0.0149433 0.0149431 0.0150046 0.0149534 0.0149419 0.0149390 0.0149383 0.0149381 0.0150033 0.0149522 0.0149407 0.0149378 0.0149371 0.0149369 0.0150030 0.0149518 0.0149404 0.0149375 0.0149368 0.0149366 0.0149364 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 159 Tab. A.3: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0.99, discretização bidirecional. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 0.328472 0.608877 0.969852 1.162240 0.969408 0.969385 0.327963 0.602716 0.950006 1.133250 0.947417 0.947268 0.328182 0.600947 0.934207 1.100890 0.925958 0.925320 0.328458 0.601778 0.930076 1.079830 0.919402 0.917822 0.328636 0.602852 0.932885 1.078020 0.930283 0.927958 0.328733 0.603541 0.936044 1.084060 0.938801 0.935272 0.328781 0.603904 0.937952 1.089030 0.940396 0.936622 0.328801 0.604056 0.938785 1.091380 0.940287 0.936867 0.936781 0.279226 0.475796 0.722234 0.852516 0.718286 0.718082 0.276324 0.430995 0.574643 0.636129 0.554411 0.553253 0.279391 0.428127 0.501750 0.476537 0.450784 0.446987 0.282116 0.441380 0.526735 0.481584 0.473215 0.467702 0.283170 0.447956 0.552208 0.529622 0.501286 0.496683 0.283366 0.449091 0.555963 0.535091 0.505850 0.501247 0.283415 0.449374 0.556889 0.536365 0.507047 0.502451 0.283427 0.449445 0.557120 0.536678 0.507351 0.502758 0.501235 0.0678804 0.0232298 -0.0372672 -0.0702377 -0.0425278 -0.0427951 0.0822786 0.0708876 0.0660971 0.0651981 0.0650115 0.0649659 0.0829426 0.0706704 0.0658633 0.0650969 0.0649327 0.0648922 0.0831471 0.0706977 0.0658936 0.0651454 0.0649834 0.0649434 0.0831956 0.0706895 0.0658867 0.0651460 0.0649850 0.0649453 0.0832075 0.0706865 0.0658842 0.0651455 0.0649848 0.0649451 0.0832105 0.0706857 0.0658835 0.0651454 0.0649847 0.0649450 0.0832112 0.0706855 0.0658833 0.0651453 0.0649847 0.0649450 0.0649318 0.00918419 0.00915747 0.00915172 0.00915029 0.00914993 0.00914985 0.00925074 0.00922343 0.00921756 0.00921610 0.00921574 0.00921565 0.00926561 0.00923818 0.00923228 0.00923082 0.00923045 0.00923036 0.00926934 0.00924188 0.00923597 0.00923451 0.00923414 0.00923405 0.00927027 0.00924280 0.00923690 0.00923543 0.00923507 0.00923498 0.00927051 0.00924304 0.00923713 0.00923566 0.00923530 0.00923521 0.00927057 0.00924309 0.00923719 0.00923572 0.00923536 0.00923526 0.00927058 0.00924311 0.00923720 0.00923574 0.00923537 0.00923528 0.00923525 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 160 Tab. A.4: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0, discretização bidirecional. I J 12 12 12 25 12 50 12 100 12 200 12 400 25 12 25 25 25 50 25 100 25 200 25 400 50 12 50 25 50 50 50 100 50 200 50 400 100 12 100 25 100 50 100 100 100 200 100 400 200 12 200 25 200 50 200 100 200 200 200 400 400 12 400 25 400 50 400 100 400 200 400 400 800 12 800 25 800 50 800 100 800 200 800 400 1600 12 1600 25 1600 50 1600 100 1600 200 1600 400 exata ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 0.999360 0.999355 0.999353 0.999353 0.999353 0.999353 0.999357 0.999351 0.999350 0.999350 0.999350 0.999350 0.999355 0.999349 0.999348 0.999348 0.999348 0.999348 0.999354 0.999348 0.999347 0.999347 0.999347 0.999347 0.999353 0.999348 0.999346 0.999346 0.999346 0.999346 0.999353 0.999347 0.999346 0.999346 0.999346 0.999346 0.999353 0.999347 0.999346 0.999346 0.999346 0.999346 0.999353 0.999347 0.999346 0.999346 0.999345 0.999345 0.999345 0.993582 0.993524 0.993512 0.993509 0.993508 0.993508 0.993549 0.993492 0.993479 0.993476 0.993475 0.993475 0.993529 0.993472 0.993459 0.993456 0.993455 0.993455 0.993519 0.993462 0.993449 0.993446 0.993445 0.993445 0.993516 0.993458 0.993445 0.993442 0.993441 0.993441 0.993515 0.993457 0.993445 0.993441 0.993441 0.993440 0.993515 0.993457 0.993444 0.993441 0.993440 0.993440 0.993515 0.993457 0.993444 0.993441 0.993440 0.993440 0.993440 0.934157 0.933573 0.933445 0.933413 0.933405 0.933403 0.934113 0.933532 0.933403 0.933372 0.933364 0.933362 0.934112 0.933531 0.933403 0.933371 0.933363 0.933361 0.934112 0.933531 0.933403 0.933371 0.933363 0.933361 0.934112 0.933531 0.933403 0.933371 0.933363 0.933361 0.934112 0.933531 0.933403 0.933371 0.933363 0.933361 0.934112 0.933531 0.933403 0.933371 0.933363 0.933361 0.934112 0.933531 0.933403 0.933371 0.933363 0.933361 0.933360 0.550016 0.550323 0.550392 0.550409 0.550414 0.550415 0.549682 0.549989 0.550057 0.550075 0.550079 0.550080 0.549606 0.549913 0.549982 0.550000 0.550004 0.550005 0.549588 0.549895 0.549964 0.549981 0.549985 0.549986 0.549583 0.549890 0.549959 0.549976 0.549980 0.549981 0.549582 0.549889 0.549958 0.549975 0.549979 0.549980 0.549581 0.549888 0.549957 0.549975 0.549979 0.549980 0.549581 0.549888 0.549957 0.549975 0.549979 0.549980 0.549980 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 161 Tab. A.5: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1 em η = 0.99, discretização bidirecional. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.333798 0.622662 0.992759 1.18709 0.991784 0.991587 0.333814 0.622765 0.993074 1.18707 0.993260 0.992943 0.333822 0.622823 0.993351 1.18763 0.994091 0.993559 0.333826 0.622855 0.993518 1.18807 0.994256 0.993657 0.333829 0.622871 0.993608 1.18832 0.994242 0.993674 0.333830 0.622879 0.993654 1.18846 0.994213 0.993678 0.333830 0.622883 0.993676 1.18853 0.994194 0.993679 0.333830 0.622885 0.993685 1.18855 0.994186 0.993679 0.328802 0.602208 0.930519 1.07772 0.921260 0.919464 0.328965 0.603249 0.934038 1.07972 0.934019 0.931353 0.329045 0.603825 0.936836 1.08593 0.939815 0.936042 0.329084 0.604113 0.938373 1.09008 0.940432 0.936788 0.329097 0.604213 0.938915 1.09161 0.940342 0.936946 0.329099 0.604232 0.939020 1.09190 0.940346 0.936985 0.329100 0.604237 0.939046 1.09197 0.940347 0.936995 0.329100 0.604238 0.939053 1.09199 0.940348 0.936997 0.285600 0.445957 0.539164 0.503654 0.488005 0.482820 0.286312 0.450279 0.555489 0.534116 0.504942 0.500341 0.286440 0.451006 0.557802 0.537123 0.507897 0.503306 0.286472 0.451190 0.558398 0.537935 0.508672 0.504087 0.286480 0.451235 0.558546 0.538135 0.508868 0.504284 0.286482 0.451247 0.558583 0.538185 0.508917 0.504334 0.286482 0.451250 0.558593 0.538198 0.508929 0.504346 0.286482 0.451250 0.558595 0.538201 0.508932 0.504349 0.1329640 0.1097210 0.1007590 0.0994011 0.0991053 0.0990323 0.1336180 0.1104520 0.1013020 0.0999101 0.0996079 0.0995333 0.1337640 0.1106130 0.1014210 0.1000220 0.0997184 0.0996435 0.1338010 0.1106530 0.1014510 0.1000500 0.0997459 0.0996709 0.1338100 0.1106630 0.1014580 0.1000570 0.0997528 0.0996777 0.1338120 0.1106650 0.1014600 0.1000580 0.0997545 0.0996795 0.133813 0.110666 0.101461 0.100059 0.0997549 0.0996799 0.133813 0.110666 0.101461 0.100059 0.099755 0.099680 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 162 Tab. A.6: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1, em η = 0, discretização bidirecional. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente A.2 163 Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para o escoamento tipo Slug-flow com valores de Péclet grande, usando a discretização bidirecional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e diferentes posições para a coordenada transversal η. As tabelas A.7 e A.8 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet grande e valores de η = 0 e η = 0.99. Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 164 Tab. A.7: Temperaturas para Slug-Flow em com número de PeH grande, em η = 0.99, discretização bidirecional. I 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 J ξ = 0.001 12 0.323310 25 0.603315 50 0.964625 100 1.157330 200 0.964613 400 0.964613 12 0.312641 25 0.581277 50 0.928009 100 1.112940 200 0.927957 400 0.927955 12 0.294682 25 0.541948 50 0.861380 100 1.031750 200 0.861184 400 0.861174 12 0.266001 25 0.472670 50 0.740429 100 0.883252 200 0.739705 400 0.739668 12 0.227724 0.362644 25 50 0.538675 100 0.632514 200 0.536185 400 0.536060 12 0.192438 0.222490 25 50 0.259645 100 0.278877 200 0.252293 400 0.251922 12 0.179991 25 0.124563 50 0.0368335 100 -0.0119355 200 0.0222429 400 0.0215038 12 0.185005 25 0.153065 50 0.136309 100 0.133101 200 0.132530 400 0.132380 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 0.232798 0.425916 0.675363 0.808410 0.675255 0.675250 0.152567 0.260366 0.400386 0.475091 0.399990 0.399970 0.0586520 0.0555483 0.0538815 0.0530558 0.0527710 0.0527154 0.0136333 -0.0491604 -0.1266640 -0.1679020 -0.1283290 -0.1284130 0.0429532 0.0402603 0.0400324 0.0401008 0.0401397 0.0401456 0.0421483 0.0406611 0.0404276 0.0403726 0.0403590 0.0403556 0.0415851 0.0402956 0.0400784 0.0400268 0.0400141 0.0400109 0.0414301 0.0401910 0.0399786 0.0399281 0.0399155 0.0399124 -0.0275879 -0.0703548 -0.1251620 -0.1543790 -0.1252930 -0.1252990 0.0128519 0.0128139 0.0128059 0.0128039 0.0128034 0.0128033 0.0125790 0.0125509 0.0125447 0.0125432 0.0125428 0.0125427 0.0125058 0.0124794 0.0124737 0.0124723 0.0124719 0.0124718 0.0124853 0.0124594 0.0124538 0.0124524 0.0124520 0.0124519 0.0124800 0.0124543 0.0124487 0.0124473 0.0124469 0.0124468 0.0124787 0.0124530 0.0124474 0.0124460 0.0124456 0.0124455 0.0124784 0.0124527 0.0124470 0.0124456 0.0124453 0.0124452 0.000100969 0.000100338 0.000100198 0.000100162 0.000100154 0.000100151 0.000121234 0.000120493 0.000120328 0.000120287 0.000120276 0.000120274 0.000132028 0.000131229 0.000131050 0.000131006 0.000130995 0.000130992 0.000138169 0.000137338 0.000137153 0.000137107 0.000137095 0.000137092 0.000141474 0.000140627 0.000140437 0.000140390 0.000140378 0.000140375 0.000143191 0.000142335 0.000142144 0.000142096 0.000142084 0.000142081 0.000144067 0.000143206 0.000143014 0.000142966 0.000142954 0.000142951 0.000144509 0.000143646 0.000143454 0.000143406 0.000143394 0.000143391 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 165 Tab. A.8: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0, discretização bidirecional. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.999659 0.999582 0.999565 0.999561 0.999560 0.999559 1.00175 1.00171 1.00171 1.00171 1.00171 1.00170 1.00118 1.00124 1.00125 1.00125 1.00125 1.00125 0.999909 0.999931 0.999936 0.999937 0.999938 0.999938 0.999960 0.999954 0.999952 0.999951 0.999951 0.999951 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.994059 0.993336 0.993175 0.993135 0.993125 0.993122 1.01070 1.01031 1.01023 1.01021 1.01020 1.01020 1.00731 1.00746 1.00751 1.00752 1.00752 1.00753 1.00154 1.00167 1.00171 1.00172 1.00172 1.00172 1.00020 1.00023 1.00024 1.00025 1.00025 1.00025 1.00002 1.00002 1.00002 1.00002 1.00002 1.00002 1.00001 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00001 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.765126 0.761624 0.760838 0.760641 0.760592 0.760580 0.769355 0.765493 0.764623 0.764405 0.764351 0.764337 0.775222 0.771141 0.770221 0.769990 0.769933 0.769918 0.777069 0.772905 0.771965 0.771730 0.771671 0.771657 0.777592 0.773403 0.772458 0.772221 0.772162 0.772147 0.777727 0.773532 0.772585 0.772348 0.772289 0.772274 0.777761 0.773564 0.772617 0.772380 0.772321 0.772306 0.777770 0.773572 0.772625 0.772388 0.772329 0.772314 0.0108836 0.0108420 0.0108326 0.0108303 0.0108297 0.0108296 0.00959247 0.00955231 0.00954331 0.00954106 0.00954049 0.00954035 0.00930439 0.00926459 0.00925567 0.00925344 0.00925288 0.00925274 0.00923249 0.00919278 0.00918387 0.00918165 0.00918109 0.00918095 0.00921452 0.00917483 0.00916593 0.00916371 0.00916315 0.00916302 0.00921003 0.00917034 0.00916145 0.00915923 0.00915867 0.00915853 0.00920891 0.00916922 0.00916033 0.00915810 0.00915755 0.00915741 0.00920863 0.00916894 0.00916005 0.00915782 0.00915727 0.00915713 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente A.3 166 Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma direção Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para o escoamento tipo Slug-flow com valores de Péclet grande, usando a discretização em uma direção apenas, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e diferentes posições para a coordenada transversal η. As tabelas A.9 e A.10 mostram os valores de temperatura obtidos para Slug-Flow, para número de Péclet grande. Tab. A.9: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0.99, discretização em uma direção. I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 3 0.0578972 0.0432279 0.0129178 0.000160839 5 0.0907101 0.0465760 0.0125846 0.000149776 10 0.139480 0.0414004 0.0124781 0.000145303 20 0.141326 0.0402177 0.0124537 0.000144204 40 0.128886 0.0399728 0.0124476 0.000143929 0.125849 0.0398845 0.0124451 0.000143850 80 100 0.125761 0.0398818 0.0124451 0.000143844 120 0.125790 0.0398827 0.0124452 0.000143841 140 0.125840 0.0398842 0.0124452 0.000143840 160 0.125772 0.0398821 0.0124452 0.000143838 180 0.125684 0.0398793 0.0124451 0.000143836 200 0.125665 0.0398786 0.0124451 0.000143835 250 0.125716 0.0398803 0.0124451 0.000143835 300 0.125647 0.0398781 0.0124451 0.000143833 350 0.125675 0.0398790 0.0124451 0.000143833 400 0.125641 0.0398779 0.0124451 0.000143833 500 0.125638 0.0398778 0.0124451 0.000143833 600 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832 700 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832 800 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.000143832 900 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.000143832 1000 0.125634 0.0398777 0.0124451 0.000143832 1100 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1200 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1300 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1400 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1500 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1600 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1700 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1800 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832 1900 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832 2000 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 167 Tab. A.10: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0, discretização em uma direção. I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 3 1.000150 1.00990 0.852989 0.01134460 5 1.00000 1.00076 0.802948 0.00991931 1.00000 1.00002 0.780156 0.00934493 10 20 1.00000 0.999999 0.774285 0.00920383 40 1.00000 0.999999 0.772806 0.00916871 80 1.00000 0.999999 0.772435 0.00915992 100 1.00000 0.999999 0.772391 0.00915889 120 1.00000 0.999999 0.772367 0.00915831 140 1.00000 0.999999 0.772352 0.00915797 160 1.00000 0.999999 0.772342 0.00915775 180 1.00000 0.999999 0.772336 0.00915759 200 1.00000 0.999999 0.772331 0.00915748 250 1.00000 0.999999 0.772324 0.00915731 300 1.00000 0.999999 0.772320 0.00915721 350 1.00000 0.999999 0.772318 0.00915717 400 1.00000 0.999999 0.772317 0.00915713 500 1.00000 0.999999 0.772315 0.00915709 600 1.00000 0.999999 0.772314 0.00915707 700 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915705 800 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915704 900 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915703 1000 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915704 1100 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915703 1200 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915703 1300 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915701 1400 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702 1500 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702 1600 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702 1700 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702 1800 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702 1900 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702 2000 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente A.4 168 Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS) Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discretização bidirecional CDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e diferentes posições para a coordenada transversal η. As tabelas A.11 e A.12 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet grande e valores de η = 0 e η = 0.99. Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 169 Tab. A.11: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η = 0.99, discretização bidirecional CDS. I 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 J ξ = 0.001 12 0.322946 25 0.602985 50 0.964313 100 1.157020 200 0.964313 400 0.964313 12 0.311277 25 0.580048 50 0.926854 100 1.111820 200 0.926853 400 0.926853 12 0.290205 25 0.537927 50 0.857639 100 1.028160 200 0.857635 400 0.857635 12 0.252235 25 0.460259 50 0.729009 100 0.872358 200 0.728996 400 0.728995 12 0.189405 0.327293 25 50 0.506508 100 0.602151 200 0.506463 400 0.506461 12 0.103442 0.135514 25 50 0.181119 100 0.205647 200 0.180981 400 0.180975 12 0.0359742 25 -0.0272886 50 -0.0999449 100 -0.138257 200 -0.100229 400 12 0.0627006 25 0.0620691 50 0.0623053 100 200 400 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 0.229554 0.422978 0.672586 0.805712 0.672584 0.672584 0.141916 0.250763 0.391363 0.466357 0.391356 0.391355 0.0323090 0.0318852 0.0318125 0.0317970 0.0317933 0.0317924 -0.0244231 -0.0831922 -0.1583010 -0.1983240 -0.1583300 -0.1583310 0.0274512 0.0276882 0.0277182 0.0277217 0.0277224 0.0277225 0.0276068 0.0276999 0.0277061 0.0277058 0.0277056 0.0277056 0.0274793 0.0275678 0.0275736 0.0275734 0.0275732 -0.0318745 -0.0742265 -0.1288330 -0.1579550 -0.1288350 -0.1288350 0.0121157 0.0121258 0.0121271 0.0121273 0.0121273 0.0121274 0.0119729 0.0119825 0.0119838 0.0119840 0.0119841 0.0119841 0.0119323 0.0119417 0.0119430 0.0119432 0.0119433 0.0119433 0.0119208 0.0119301 0.0119315 0.0119317 0.0119318 0.0119318 0.0119179 0.0119272 0.0119285 0.0119287 0.0119288 0.0119288 0.0119171 0.0119264 0.0119277 0.0119280 0.0119280 0.000295746 0.000294880 0.000294668 0.000294613 0.000294599 0.000294595 0.000343813 0.000342851 0.000342615 0.000342553 0.000342538 0.000342534 0.000368822 0.000367813 0.000367565 0.000367500 0.000367484 0.000367480 0.000382413 0.000381381 0.000381127 0.000381061 0.000381044 0.000381040 0.000389530 0.000388487 0.000388230 0.000388163 0.000388146 0.000388142 0.000393175 0.000392126 0.000391867 0.000391800 0.000391783 0.000391779 0.000395020 0.000393968 0.000393709 0.000393641 0.000393624 0.0274428 0.0275300 0.0275357 0.0119169 0.0119262 0.0119275 0.000395948 0.000394895 0.000394635 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 170 Tab. A.12: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η = 0, discretização bidirecional CDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 200 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.999909 0.999823 0.999804 0.999800 0.999799 0.999798 1.00138 1.00133 1.00132 1.00132 1.00132 1.00132 1.00090 1.00095 1.00096 1.00097 1.00097 1.00097 0.999938 0.999971 0.999978 0.999980 0.999980 0.999980 0.999967 0.999965 0.999962 0.999962 0.999961 0.999961 1.00001 1.00001 1.00001 1.00001 1.00001 1.00001 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.996912 0.996111 0.995933 0.995889 0.995878 0.995875 1.00856 1.00808 1.00798 1.00795 1.00795 1.00795 1.00563 1.00569 1.00572 1.00573 1.00573 1.00574 1.00122 1.00131 1.00135 1.00136 1.00136 1.00136 1.00019 1.00021 1.00022 1.00022 1.00023 1.00023 1.00003 1.00002 1.00002 1.00002 1.00002 1.00002 1.00002 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.815561 0.811611 0.810725 0.810504 0.810448 0.810435 0.818938 0.814663 0.813698 0.813457 0.813396 0.813381 0.823537 0.819056 0.818043 0.817789 0.817726 0.817710 0.824959 0.820402 0.819371 0.819113 0.819049 0.819033 0.825359 0.820779 0.819744 0.819484 0.819419 0.819403 0.825463 0.820877 0.819840 0.819580 0.819515 0.819499 0.825489 0.820902 0.819864 0.819604 0.819539 0.0301440 0.0300770 0.0300620 0.0300582 0.0300573 0.0300570 0.0283127 0.0282445 0.0282292 0.0282254 0.0282244 0.0282242 0.0278990 0.0278306 0.0278152 0.0278113 0.0278104 0.0278101 0.0277954 0.0277270 0.0277116 0.0277077 0.0277068 0.0277065 0.0277695 0.0277011 0.0276857 0.0276818 0.0276809 0.0276806 0.0277631 0.0276946 0.0276792 0.0276754 0.0276744 0.0276742 0.0277615 0.0276930 0.0276776 0.0276737 0.0276728 0.999999 1.00002 0.825495 0.0277611 0.999999 1.00000 0.820908 0.0276926 0.999999 0.999999 0.819870 0.0276772 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente A.5 171 Resultados de Temperatura para HDS Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discretização bidirecional HDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e diferentes posições para a coordenada transversal η. As tabelas A.13 e A.14 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet PeH = 10 e valores de η = 0.99 e η = 0 As tabelas A.15 e A.16 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet PeH = 1 e valores de η = 0.99 e η = 0. Os resultados calculados para PeH são idênticos aos calculados utilizando a solução CDS e portanto não são apresentados. Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 172 Tab. A.13: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS. I J 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 0.323120 0.231113 -0.0294420 0.000693614 0.603141 0.424378 -0.0719938 0.000692248 0.964461 0.673907 -0.126697 0.000691912 1.15717 0.806995 -0.155864 0.000691824 0.964455 0.673854 -0.126760 0.000691802 0.964455 0.673851 -0.126763 0.000691796 0.312650 0.152664 0.0136122 0.000629350 0.581291 0.260503 0.0136065 0.000627835 0.928024 0.400533 0.0136040 0.000627473 1.11295 0.475241 0.0136032 0.000627380 0.927973 0.400140 0.0136030 0.000627356 0.927970 0.400121 0.0136029 0.000627350 0.297475 0.0751927 0.0135955 0.000590325 0.544641 0.0714306 0.0135916 0.000588736 0.863866 0.0685816 0.0135895 0.000588362 1.034110 0.0670363 0.0135888 0.000588267 0.863497 0.0664915 0.0135886 0.000588243 0.863478 0.0663865 0.0135885 0.000588237 0.282186 0.0613421 0.0135392 0.000566098 0.491055 0.000991529 0.0135351 0.000564489 0.757480 -0.0802790 0.0135330 0.000564112 0.899070 -0.124437 0.0135324 0.000564016 0.755046 -0.0859661 0.0135322 0.000563992 0.754921 -0.0862555 0.0135322 0.000563986 0.276332 0.0843161 0.0134829 0.000551954 0.440303 0.0712923 0.0134788 0.000550341 0.617144 0.0655010 0.0134767 0.000549964 0.703950 0.0648880 0.0134761 0.000549868 0.604318 0.0649771 0.0134759 0.000549845 0.603616 0.0649730 0.0134759 0.000549839 0.278564 0.0858978 0.0134470 0.000544210 0.425463 0.0737901 0.0134428 0.000542596 0.512158 0.0691156 0.0134408 0.000542219 0.513023 0.0683722 0.0134401 0.000542123 0.470825 0.0682136 0.0134400 0.000542100 0.468061 0.0681744 0.0134399 0.000542094 0.281758 0.0861150 0.0134270 0.000540147 0.437130 0.0738186 0.0134228 0.000538531 0.512615 0.0691507 0.0134208 0.000538154 0.462161 0.0684194 0.0134201 0.000538059 0.455895 0.0682606 0.0134200 0.000538035 0.450457 0.0682214 0.0134199 0.000538029 0.283414 0.0861188 0.0134165 0.000538065 0.447150 0.0737549 0.0134123 0.000536448 0.549441 0.0690869 0.0134102 0.000536071 0.526594 0.0683658 0.0134096 0.000535976 0.497973 0.0682085 0.0134094 0.000535952 0.493394 0.0681697 0.0134094 0.000535946 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 173 Tab. A.14: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0, discretização bidirecional, solução HDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.997187 0.997120 0.997105 0.997102 0.997101 0.997101 0.998613 0.998562 0.998551 0.998548 0.998547 0.998547 0.999268 0.999237 0.999230 0.999229 0.999228 0.999228 0.999517 0.999494 0.999489 0.999488 0.999487 0.999487 0.999630 0.999610 0.999606 0.999605 0.999605 0.999605 0.999684 0.999666 0.999662 0.999661 0.999661 0.999661 0.999710 0.999692 0.999689 0.999688 0.999688 0.999688 0.999722 0.999705 0.999701 0.999700 0.999700 0.999700 0.972497 0.971870 0.971731 0.971697 0.971688 0.971686 0.985825 0.985333 0.985227 0.985201 0.985195 0.985193 0.992079 0.991753 0.991684 0.991667 0.991663 0.991662 0.994555 0.994296 0.994242 0.994228 0.994225 0.994224 0.995553 0.995320 0.995271 0.995259 0.995256 0.995255 0.995956 0.995732 0.995685 0.995674 0.995671 0.995670 0.996143 0.995922 0.995876 0.995865 0.995862 0.995862 0.996233 0.996013 0.995968 0.995957 0.995954 0.995953 0.772749 0.769541 0.768824 0.768645 0.768600 0.768589 0.817369 0.814066 0.813325 0.813140 0.813094 0.813082 0.834814 0.831371 0.830598 0.830405 0.830357 0.830345 0.841436 0.837888 0.837089 0.836890 0.836840 0.836827 0.843778 0.840159 0.839345 0.839141 0.839090 0.839077 0.844635 0.840976 0.840152 0.839946 0.839894 0.839881 0.844974 0.841293 0.840464 0.840257 0.840205 0.840192 0.845119 0.841428 0.840596 0.840388 0.840336 0.840323 0.0550133 0.0549405 0.0549241 0.0549200 0.0549189 0.0549187 0.0454781 0.0454002 0.0453826 0.0453781 0.0453770 0.0453768 0.0410239 0.0409450 0.0409272 0.0409227 0.0409216 0.0409213 0.0387067 0.0386278 0.0386099 0.0386055 0.0386043 0.0386041 0.0375099 0.0374310 0.0374132 0.0374087 0.0374076 0.0374073 0.0369004 0.0368215 0.0368037 0.0367992 0.0367981 0.0367978 0.0365927 0.0365138 0.0364959 0.0364915 0.0364903 0.0364901 0.0364381 0.0363592 0.0363413 0.0363368 0.0363357 0.0363354 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 174 Tab. A.15: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.328403 0.608794 0.969774 1.162170 0.969338 0.969316 0.327880 0.602574 0.949850 1.1331 0.947282 0.947134 0.328102 0.600781 0.933970 1.10066 0.925744 0.925108 0.328384 0.601619 0.929809 1.079530 0.919134 0.917555 0.328566 0.602703 0.932631 1.07771 0.930019 0.927696 0.328665 0.603401 0.935809 1.08378 0.938562 0.935035 0.328714 0.603768 0.937728 1.08877 0.940172 0.936399 0.328734 0.603922 0.938567 1.09112 0.940069 0.936649 0.278602 0.475051 0.721531 0.851865 0.717657 0.717456 0.275611 0.429835 0.573377 0.634967 0.553310 0.552161 0.278734 0.426912 0.500145 0.474989 0.449345 0.445563 0.281519 0.440310 0.525291 0.480136 0.471878 0.466378 0.282596 0.446962 0.550929 0.528387 0.500130 0.495539 0.282796 0.448110 0.554710 0.533887 0.504720 0.500129 0.282846 0.448396 0.555642 0.535168 0.505923 0.501339 0.282859 0.448468 0.555874 0.535482 0.506229 0.501647 0.0661569 0.0215620 -0.0388066 -0.0716965 -0.0439574 -0.0442191 0.0809322 0.0698152 0.0651547 0.0642804 0.0640989 0.0640544 0.0816287 0.0696448 0.0649612 0.0642148 0.0640548 0.0640153 0.0818423 0.0696850 0.0650017 0.0642723 0.0641143 0.0640753 0.0818927 0.0696798 0.0649972 0.0642751 0.0641180 0.0640793 0.0819050 0.0696775 0.0649952 0.0642750 0.0641182 0.0640795 0.0819080 0.0696768 0.0649946 0.0642749 0.0641182 0.0640795 0.0819087 0.0696766 0.0649944 0.0642748 0.0641182 0.0640795 0.00928047 0.00925702 0.00925191 0.00925064 0.00925032 0.00925024 0.00933745 0.00931353 0.00930832 0.00930702 0.00930670 0.00930662 0.00934804 0.00932403 0.00931880 0.00931750 0.00931717 0.00931709 0.00934969 0.00932566 0.00932043 0.00931913 0.00931880 0.00931872 0.00934962 0.00932558 0.00932035 0.00931904 0.00931872 0.00931864 0.00934935 0.00932531 0.00932008 0.00931878 0.00931845 0.00931837 0.00934916 0.00932512 0.00931989 0.00931859 0.00931826 0.00931818 0.00934906 0.00932501 0.00931978 0.00931848 0.00931815 0.00931807 Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 175 Tab. A.16: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0, discretização bidirecional, solução HDS. I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ=1 12 12 12 12 12 12 25 25 25 25 25 25 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 200 400 400 400 400 400 400 800 800 800 800 800 800 1600 1600 1600 1600 1600 1600 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 400 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 12 25 50 100 200 400 0.999413 0.999407 0.999406 0.999406 0.999405 0.999405 0.999410 0.999404 0.999403 0.999402 0.999402 0.999402 0.999408 0.999402 0.999401 0.999400 0.999400 0.999400 0.999407 0.999401 0.999400 0.999399 0.999399 0.999399 0.999407 0.999400 0.999399 0.999399 0.999399 0.999399 0.999406 0.999400 0.999399 0.999398 0.999398 0.999398 0.999406 0.999400 0.999399 0.999398 0.999398 0.999398 0.999406 0.999400 0.999399 0.999398 0.999398 0.999398 0.994107 0.994045 0.994031 0.994028 0.994027 0.994027 0.994075 0.994014 0.994000 0.993997 0.993996 0.993996 0.994056 0.993995 0.993981 0.993978 0.993977 0.993977 0.994046 0.993984 0.993971 0.993968 0.993967 0.993966 0.994042 0.993981 0.993967 0.993964 0.993963 0.993963 0.994041 0.993908 0.993966 0.993963 0.993962 0.993962 0.994041 0.993979 0.993966 0.993962 0.993962 0.993961 0.994041 0.993979 0.993966 0.993962 0.993961 0.993961 0.938944 0.938321 0.938184 0.938150 0.938142 0.938139 0.938877 0.938258 0.938121 0.938087 0.938079 0.938077 0.938852 0.938234 0.938097 0.938063 0.938055 0.938053 0.938838 0.938219 0.938083 0.938049 0.938040 0.938038 0.938830 0.938211 0.938075 0.938041 0.938030 0.938030 0.938826 0.938207 0.938071 0.938037 0.938028 0.938026 0.938823 0.938205 0.938069 0.938035 0.938026 0.938024 0.938822 0.938204 0.938068 0.938034 0.938025 0.938023 0.562974 0.563342 0.563424 0.563445 0.563450 0.563451 0.562117 0.562484 0.562566 0.562586 0.562591 0.562593 0.561779 0.562145 0.562227 0.562247 0.562253 0.562254 0.561624 0.561989 0.562071 0.562092 0.562097 0.562098 0.561550 0.561915 0.561997 0.562017 0.562024 0.562024 0.561513 0.561879 0.561960 0.561981 0.561986 0.561987 0.561495 0.561861 0.561942 0.561963 0.561968 0.561969 0.561487 0.561852 0.561934 0.561954 0.561959 0.561960 Apêndice B Resultados de estudo preliminar Neste apêndice, os resultados do estudo preliminar desenvolvido em [36] são exibidos. Como mencionado, é pouco provável que o complexo processo de transferência de calor e massa acoplado nos mini-canais de regeneradores, resulte em coeficientes convectivos constantes. Desta forma, uma formulação que aborde o problema de transporte nos canais localmente torna-se necessária para obter-se resultados mais acurados para simulações em regeneradores de calor e massa. Como o parâmetro de maior interesse prático em regeneradores é a medida de sua eficiência, a influência da utilização de coeficientes variáveis sobre a eficiência foi investigada. A eficiência de regeneradores é medida por meio de duas efetividades, para transferência de massa e para transferência de entalpia (ou energia), respectivamente definidas por: εm = CI Ȳout ,I − Ȳout ,I I Cmin Ȳi n,I − Ȳi n,I I εi = CI ı̃¯out ,I − ı̃¯out ,I I Cmin ı̃¯i n,I − ı̃¯i n,I I (B.1) Onde a barra indica a média no tempo dentro de cada processo e o til representa propriedades (entalpia no caso) em base seca. Os resultados apresentados consistem em valores das efetividades do regenerador rotativo para diferentes valores de unidades de transferência (utilizando Ntu igual para transferência de calor e massa) e da razão de taxas de capacidades térmicas C∗r . Os resultados utilizando coeficientes convectivos constantes (resultando em Nhtu constante) são comparados, com os valores de Nhtu calculados com a equação abaixo: Nhtu,x = Nhtu µ ∗ ¶−1/2 Nux h α0 −1 x = Ntu K Nu Nu r RePr (B.2) Onde a razão de aspecto entre o diâmetro hidráulico de um canal e seu comprimento 176 Apêndice B. Resultados de estudo preliminar C∗r = 1 C∗r = 2 177 C∗r = 5 Kr εm εi εm εi εm εi 0,000 0,001 0,010 0,100 0,0981 0,0981 0,1005 0,1427 0,3126 0,3126 0,3140 0,3387 0,2904 0,2904 0,2947 0,3676 0,4490 0,4490 0,4510 0,4878 0,6218 0,6218 0,6222 0,6218 0,6661 0,6661 0,6652 0,6473 C∗r = 10 εm εi 0,7146 0,7146 0,7118 0,6664 0,7261 0,7261 0,7229 0,6735 Tab. B.1: Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 3. Kr 0,000 0,001 0,010 0,100 C∗r = 1 m ε 0,0873 0,0873 0,0896 0,1338 0,3328 0,3328 0,3342 0,3575 ε i C∗r = 2 m ε 0,2836 0,2836 0,2883 0,3721 0,4733 0,4733 0,4755 0,5142 ε i C∗r = 5 m ε 0,6812 0,6812 0,6818 0,6759 0,7342 0,7342 0,7330 0,7014 ε i C∗r = 10 ε εi m 0,7935 0,7935 0,7897 0,7148 0,8069 0,8069 0,8024 0,7216 Tab. B.2: Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 5. Kr é gradativamente variada. Os resultados obtidos são apresentados nas tabelas seguintes. A tabela B.1 apresenta os resultados para Nhtu = 3, e as seguintes, para os demais valores do número de unidades de transferência utilizados (Nhtu = 5, 10 e 50). A análise dos resultados obtidos nas simulações mostra que houve grande variação das efetividades quando foi utilizado valor de Kr = 0, 1 na formulação, o qual corresponde a uma situação exagerada de razão de aspecto comparado aos valores reais encontrados em regeneradores. Entretanto os valores simulados para Kr = 0, 01 mostraram alguma mudança. Levando em consideração que estes são resultados de um estudo preliminar, existe necessidade de uma investigação mais extensiva. Em relação aos valores obtidos para Kr = 0, 001, estes apresentaram os mesmos valores que os obtidos sem considerar a variação dos coeficientes (correspondentes ao valor Kr = 0). C∗r = 1 C∗r = 2 C∗r = 5 Kr εm εi εm εi εm εi 0,000 0,001 0,010 0,100 0,0768 0,0768 0,0793 0,1256 0,3531 0,3531 0,3546 0,3783 0,2784 0,2784 0,2832 0,3786 0,4960 0,4960 0,4985 0,5436 0,7438 0,7438 0,7444 0,7344 0.8017 0,8017 0,8004 0,7542 C∗r = 10 εm εi 0,8721 0,8721 0,8677 0,7538 0,8847 0,8847 0,8794 0,7558 Tab. B.3: Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 10. Apêndice B. Resultados de estudo preliminar C∗r = 1 C∗r = 2 178 C∗r = 5 Kr εm εi εm εi εm εi 0,000 0,001 0,010 0,100 0,0701 0,0701 0,0728 0,1234 0,3758 0,3758 0,3776 0,4133 0,2936 0,2936 0,2989 0,4165 0,5266 0,5266 0,5302 0,6817 0,8334 0,8334 0,8318 0,7337 0,8853 0,8853 0,8839 0,8845 C∗r = 10 εm εi 0,9632 0,9632 0,9587 0,6883 0,9691 0,9691 0,9641 0,7989 Tab. B.4: Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 50. Isto se deve ao fato de, durante as simulações, o valor utilizado para os coeficientes convectivos em cada ponto da malha computacional ser o valor local. Nestes casos, Kr menores , o comprimento de entrada (térmica e hidrodinâmica) é menor que o es- paçamento utilizado para a malha computacional e, portanto, o algoritmo calcula os coeficientes como sendo constantes (referentes à região completamente desenvolvida) no domínio inteiro. Para evitar isto, um valor médio local pode ser utilizado para cada ponto da malha computacional.