Álgumas palavras sobre as Equações de Navier

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos
(SEM0403)
Álgumas palavras sobre as Equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes foram derivadas inicialmente
por M. Navier em 1827 e por S.D. Poisson em 1831,
baseando-se num argumento envolvendo considerações de
forças intermoleculares. Mais tarde as mesmas equações
foram derivadas sem o uso de nenhuma dessas hipóteses
por B. de Saint Vernant em 1843 e por G.G. Stokes em
1945. Suas derivações foram baseadas na hipótese de que
as tensões normais e cisalhantes são funções lineares da
taxa de deformação, em conformidade com a mais antiga lei
da viscosidade de Newton.
Considerando que a hipótese da linearidade é
evidentemente completamente arbitrária (chute mesmo), não
é “a priori” certo que as equações de N-S oferecem uma
descrição verdadeira do movimento de um fluido. É
necessário, conseqüentemente, verificá-las
experimentalmente. As enormes dificuldades matemáticas
encontradas quando resolvendo as eqs. de N-S tem até o
presente nos impedido de obter uma solução analítica única
na qual os termos convectivos interagem genericamente com
os termos viscosos (The Millennium Problems, prêmio:
1 milhão de dólares, Mathematics Institute of Cambridge,
Massachusetts). Entretanto, soluções conhecidas, tais como
escoamento laminar através de duto circular, bem como
escoamentos de camada limite, concordam tão bem com os
experimentos que a validade geral das equações de N-S mal
pode ser posta em dúvida
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Equação Diferencial da Conservação
da Quantidade de Movimento
Aplica-se a 2a lei de Newton a uma partícula de fluido
infinitesimal de massa dm.
Recapitulando: a 2a lei de Newton para um sistema finito
é dada por:
dP
F=
dt
sistema
onde a q.d.m. do sistema é dada por:
Psistema =
∫ Vdm
massa
( sistema )
Então, para um sistema de massa infinitesimal, dm, a 2a
lei de Newton pode ser escrita:
dV
dF = dm
dt
sistema
Utilizando a derivada substancial, podemos escrever
a 2a lei de Newton em um campo de velocidades da
seguinte forma:
 ∂V
DV
∂V
∂V ∂V 
dF = dm
= dm u
+v
+w
+
 (1)
Dt
∂y
∂z ∂t 
 ∂x
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Forças atuando em uma partícula fluida
Tipos de forças:
• forcas de campo, FB
•forças de superfície, Fs:
•Forças normais,
σ
•Forças Tangenciais,
τ
Vamos considerar a componente x da força atuando num
elemento diferencial de massa, dm, e volume, dxdydz. As
tensões no centro do elemento diferencial são tomadas
σ
τ
τ
como xx , yx , zx. As tensões agindo na dir. x em
cada face do elemento são mostradas na Fig.
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Tensões na direção x atuando em uma
partícula de fluido
(quadro negro)
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Equação diferencial da quantidade de
movimento para qualquer fluido que satisfaça
a hipótese do contínuo
(2)
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Equação da Quantidade de Movimento
para Fluidos Newtonianos:
Para fluido Newtoniano, a tensão viscosa é proporcional à taxa
de deformação angular; para coordenadas retangulares, as
equações constitutivas são dadas por:
Obs.: para placas planas,
paralelas, infinitas, a superior
movendo-se com velocidade
constante:
du
τ yx = µ
dy
Obs.: Num sistema
hidrostático, ou seja, o
fluido estando em
descanso:
σ xx = σ yy = σ zz = − p
sendo p a pressão
termodinâmica
As equações acima constituem uma afirmação geral da Lei
de Newton da Viscosidade, aplicadas para situações de
escoamento complexas com o fluido escoando em todas as
direções
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Substituindo as expressões para as tensões na equação
diferencial da quantidade de movimento (Eq. 2) , temos:
Estas são as equações gerais diferenciais da quantidade de
movimento para fluido Newtoniano ou equações de NavierStokes para fluido com densidade e viscosidade variáveis.
Estas equações, juntamente com a equação da continuidade,
a equação de estado, a equação da energia e conhecendo-se
a lei empírica da viscosidade e as condições de contorno e
condições iniciais, determinam completamente a pressão,
densidade, temperatura, viscosidade e componentes da
velocidade em um escoamento de um fluido (7 eqs. para 7
incógnitas: u, v, w, p, ρ, T, µ).
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Escoamento incompressível e viscosidade dinâmica
constante
As equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas quando
ρ = cte. ( ∇ ⋅ V = 0 ) e µ = cte. (variação da viscosidade
desprezível). Nestas condições as equações ficam sendo:
(Obs.: juntamente com a continuidade são 4 eqs. para 4 incógnitas: u, v, w e p):
Em notação vetorial, as equações de Navier-Stokes
assumem a seguinte forma:
DV
ρ
Dt
massa por unidade
de volume vezes
aceleração
(termos convectivos
ou de transporte de q.d.m.)
=
ρ
g
,
força gravitacional
por unidade de
volume
(força de campo)
−
∇
,p
+
força de pressão
por unidade de
volume
(força de superfície)
µ
V
∇
2
força viscosa por
unidade de
volume
(termo de difusão de
q.d.m.)
Para escoamentos invíscidos (µ = 0), chega-se à famosa equação de
Euler, derivada em 1755: DV
= ρg − ∇p
ρ
Dt
E da equação de Euler, chega-se à eq. de Bernoulli.
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Exemplo 1
Simplifique a equação de Navier-Stokes para a
componente x para um escoamento permanente em um
canal horizontal e retangular, supondo todas as linhas de
corrente paralelas às paredes. considere a direção x
como a direção do escoamento (Fig.)