escoamento em meios porosos - PGMEC

Transcrição

PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA
DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Tese de Doutorado
ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS:
EFEITO DA TEMPERATURA A ALTAS
PRESSÕES E BAIXA PERMEABILIDADE;
DEPENDÊNCIA DA
PERMEABILIDADE/POROSIDADE EM
MISTURAS SÓLIDO-FLUIDO
JESÚS ALFONSO PUENTE ANGULO
SETEMBRO DE 2015
JESÚS ALFONSO PUENTE ANGULO
ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS: EFEITO DA
TEMPERATURA A ALTAS PRESSÕES E BAIXA
PERMEABILIDADE; DEPENDÊNCIA DA
PERMEABILIDADE/POROSIDADE EM MISTURAS
SÓLIDO-FLUIDO
Tese de Doutorado apresentada ao
Programa Francisco Eduardo Mourão
Saboya de Pós -Graduação em Engenharia
Mecânica da UFF como parte dos requisitos
para a obtenção do título de Doutor em
Ciências em Engenh aria Mecânica
Orientadores: Maria Laura Martins-Costa (PGMEC/U FF )
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
NITERÓI, 25 DE SETEMBRO DE 2015
ii
ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS: EFEITO DA
TEMPERATURA A ALTAS PRESSÕES E BAIXA
PERMEABILIDADE; DEPENDÊNCIA DA
PERMEABILIDADE/POROSIDADE EM MISTURAS SÓLIDO-FLUIDO
Esta Tese é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de
DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração: Termociências
Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Profª. Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
(Orientador)
Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense
Prof. Luiz Nelio Henderson Guedes de Oliveira (D.Sc.)
Universidade do Estado de Rio de Janeiro
Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama (D.Sc.)
Universidade do Estado de Rio de Janeiro
iii
Agradecimentos
A Deus todo poderoso, pela vida, benção e proteção.
À Professora Maria Laura, pela orientação, paciência, atenção, ensinamentos e
conselhos.
À minha mãe, ao meu pai, meus irmãos e sobrinhos, por me apoiarem em todos os
momentos e me incentivarem a superar as dificuldades.
À Maria Gabriela, pelo amor, paciência e incentivos dados em todos os momentos, em
especial aqueles em que mais necessitava uma palavra de ânimo.
Ao Programa Francisco Mourão Saboya de Pos-Graduação em Engenharia Mecânica,
especialmente aos Professores do Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada (LMTA)
pela formação e ensinamentos.
Aos meus colegas e amigos pelas longas horas de convívio, pela sua amizade,
solidariedade e por permitir a troca de conhecimentos culturais e científicos.
A todas as pessoas que, por diferentes motivos, foram fonte de inspiração e coragem
nessa caminhada e que não é possível identificar.
A todos, o meu muito obrigado!
Jesús Alfonso Puente Angulo
iv
Resumo
Este trabalho estuda teórica e experimentalmente a possibilidade de causar fratura
hidráulica em um meio poroso de baixa permeabilidade devido a pequenas variações de
temperatura. Um modelo preliminar considera um material poroso de baixa
permeabilidade preenchido com água a alta pressão, no qual são induzidas pequenas
variações de temperatura, a fim de provocar alterações na pressão. Estas variações de
pressão são provocadas pela variação da compressibilidade do fluido e pela dependência
da pressão com a temperatura. Observou-se que as variações de pressão podem provocar
o colapso do material poroso, consequentemente, aumentando a sua permeabilidade. Este
fenômeno é explicado teoricamente por uma equação de estado proposta neste trabalho e
os resultados obtidos mostram um comportamento semelhante aos resultados obtidos
experimentalmente. Além disso, este trabalho também analisa o escoamento de um fluido
Newtoniano generalizado através de um canal poroso. Equações de balanço são
postuladas empregando uma abordagem Teoria de Misturas e termos adicionais que
levam em conta a interação entre os constituintes representando o material poroso e o
fluido são introduzidos. Uma equação muito simples para modelar a relação entre a
porosidade e a permeabilidade é postulada. A comparação com os dados encontrados na
literatura indica boa precisão dessa equação proposta. Aproximações numéricas para o
escoamento através do canal foram feitas usando o método de Runge-Kutta de quarta
ordem combinado com uma estratégia de tiro. Os resultados obtidos com o modelo
proposto para o escoamento foram validados pela comparação com alguns casos
particulares com soluções exatas.
Palavras chave: Teoria de Misturas, Relação Permeabilidade-Porosidade, Fluidos
Power-law, Meios porosos com baixa permeabilidade, Fratura Hidráulica.
v
Abstract
This work studies both theoretically and experimentally the possibility of causing
hydraulic fracture in a low permeability porous medium due to small temperature
changes. A preliminar model considers a porous material of low permeability filled with
water at high pressure, to which they are induced small temperature variations in order to
cause changes in pressure. These pressure variations are provoked by the compressibility
of the fluid and the pressure dependence on the temperature. It was observed that the
pressure variations might cause breakdown of the porous material, and therefore
increasing its permeability. This fenomenon is theoretically explained by a state equation
proposed herein and the results obtained therefrom show a behavior similar to the results
obtained experimentally. Besides, this work also analyses the flow of a generalized
Newtonian fluid through a porous channel. Balance equations are postulated employing
a Mixture Theory approach and additional terms that take into account the interaction
between the constituents representing the porous material and the fluid are introduced. A
very simple equation modeling the relationship between the porosity and permeability is
postulated. Comparison with data found in the literature indicates a good accuracy of the
proposed equation. Numerical approximations for the flow through the channel were
made using the Runge-Kutta method of fourth order combined with a shooting strategy.
The results obtained from the proposed model for the flow have been validated by
comparison with some particular cases that have exact solutions.
Key words: Mixture Theory, Permeability-Porosity Relation, Power-law Fluids, Low
Permeability Porosos Media, Hydraulic Fracture.
vi
Sumário
1
Lista de figuras ...................................................................................................... x
2
Lista de Tabelas .................................................................................................. xiii
1
Introdução .............................................................................................................. 1
1.1
1.1.1
Fratura hidráulica .................................................................................... 4
1.1.2
Escoamentos em meios porosos.............................................................. 7
1.2
2
Revisão bibliográfica...................................................................................... 4
Conteúdo do trabalho ................................................................................... 13
Equações de Balanço ........................................................................................... 15
2.1
Cinemática.................................................................................................... 15
2.2
Princípios – Mecânica do Contínuo ............................................................. 17
2.2.1
Princípio de Conservação de massa ...................................................... 17
2.2.2
Balanço de Momentum Linear.............................................................. 19
2.2.3
Balanço de Energia ............................................................................... 20
2.2.4
Segunda Lei da Termodinâmica ........................................................... 22
2.3
Princípios – Teoria de Misturas ................................................................... 28
2.3.1
Balanço de Massa ................................................................................. 28
vii
3
2.3.2
Balanço de Momentum Linear.............................................................. 29
2.3.3
Balanço de Energia ............................................................................... 31
2.3.4
Segunda Lei da Termodinâmica ........................................................... 33
Equações constitutivas ......................................................................................... 36
3.1
Tensor parcial de tensão e fonte de momentum para fluido newtoniano
generalizado ................................................................................................................ 36
4
3.2
Permeabilidade - Porosidade ........................................................................ 42
3.3
Equação de Tait generalizada ....................................................................... 44
Modelo Matemático Proposto ............................................................................. 47
4.1
5
Modelagem do problema .............................................................................. 47
4.1.1
Modelagem para um fluido submetido a grande mudança de pressão . 47
4.1.2
Modelagem para o escoamento através do canal poroso ...................... 52
Resultados............................................................................................................ 58
5.1
Fluido confinado em um poro ...................................................................... 58
5.1.1
Resultados Analíticos............................................................................ 58
5.1.2
Resultados experimentais...................................................................... 62
5.1.3
Comparação de resultados .................................................................... 65
5.2
Fluido escoando através de um meio poroso ............................................... 70
viii
5.2.1
6
7
Permeabilidade e porosidade ................................................................ 70
Conclusões e sugestões ........................................................................................ 91
6.1
Fluido confinado em um poro ...................................................................... 91
6.2
Fluido escoando através de um meio poroso ............................................... 92
6.3
Trabalhos futuros.......................................................................................... 93
Bibliografia .......................................................................................................... 95
ix
1 Lista de figuras
Figura 1.1: Esquema do processo de fratura hidráulica [2] ......................................... 2
Figura 3.1: Curva viscosidade / Taxa de deformação por cisalhamento [59] ............ 38
Figura 4.1: Matrizes porosas com diferente permeabilidade ..................................... 48
Figura 4.2: Poro de um meio poroso.......................................................................... 49
Figura 4.3: Escoamento através de um canal poroso impermeável ........................... 53
Figura 5.1: Variação da densidade com a temperatura .............................................. 59
Figura 5.2: Variação da densidade com a temperatura .............................................. 60
Figura 5.3: Tubo e sistema de controle de temperatura é pressão ............................. 62
Figura 5.4: Detalhes do sistema de controle .............................................................. 63
Figura 5.5: Máquina usada para controlar a temperatura e pressão ........................... 63
Figura 5.6: (a) Variação da pressão no tempo. (b) Variação da ................................ 64
Figura 5.7: Evolução da pressão e da temperatura no tempo .................................... 65
Figura 5.8: Variação da densidade no tempo ............................................................. 68
Figura 5.9: Comparação dos resultados teoricos e experimentais da pressão ........... 69
Figura 5.10: Identificação do parametro a ................................................................. 71
Figura 5.11: Permeabilidade versus porosidade ........................................................ 71
x
Figura 5.12: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Berea. Resultados obtidos
com o modelo postulado por Henderson et. al. [47], resultados experimentais obtidos por
David et. al. [77] e o modelo proposto. .......................................................................... 73
Figura 5.13: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro randômica. Resultados
obtidos com modelo postulado por Henderson et al. [47], resultados experimentais
obtidos por Rodriguez et al. [44] e o modelo proposto. ................................................ 74
Figura
5.14:
Esteiras
de
fibra
de
vidro:
(a)
esteira
costurada.
(b) esteira bidirecional [78] ............................................................................................ 75
Figura 5.15: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro bidirecional. Resultados
obtidos por Yu e Lee [79] e o modelo proposto. ........................................................... 76
Figura 5.16: Permeabilidade vs. Porosidade da esteira de fribra de vidro costurada.
Resultados experimentais obtidos por Shih e Lee [78] e o modelo proposto................ 76
Figura 5.17: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Fontainebleau. Resultados
experimentais obtidos por Doyem [80], resultados obtidos com modelo postulado por
Henderson e. al. [47] e o modelo proposto. ................................................................... 77
Figura 5.18: Variação de 𝜒 com a permeabilidade, para diferentes indices de powerlaw. ................................................................................................................................. 78
Figura 5.19: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.2 ........... 81
Figura 5.20: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.1 ........... 82
Figura 5.21: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.1 .............. 82
xi
Figura 5.25: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para valores
de n ≤ 0 ........................................................................................................................... 85
Figura 5.26: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para valores
de n ≥ 0 ........................................................................................................................... 85
Figura 5.27: Variação da velocidade máxima com o indice power-law .................... 86
Figura 5.28: Curvas de Tensão cisalhante em uma dimensão versus taxa de deformação
cisalhante para diferentes valores de n ........................................................................... 88
Figura 5.29: Perfil de Velocidade Adimensional através do canal poroso para valores
de n ≤ 0 ........................................................................................................................... 89
........................................................................................................................................ 90
xii
2 Lista de Tabelas
Tabela 5.1: Variação das propriedades da agua ......................................................... 59
Tabela 5.2: Parametros materiais médios sugeridospara pressões acima de 100 bar 61
xiii
Capitulo 1
1 Introdução
Processos de extração, refino e distribuição de petróleo têm um papel fundamental nos
preços da energia e dos transportes no mundo todo. Por esse motivo, cientistas,
engenheiros e políticos procuram constantemente meios para diminuir os custos de
produção, extração e transporte de petróleo e gás natural, sendo esta uma das motivações
para o desenvolvimento deste trabalho. Ao longo desta tese serão estudados dois
problemas com objetivo de analisar processos relacionados ao transporte de fluidos
através de meios porosos, estes problemas são: o efeito de uma pequena variação de
temperatura em um meio poroso de baixa permeabilidade (com o objetivo de estudar a
Fratura Hidráulica) e o escoamento através de um meio poroso saturado por um fluido
newtoniano generalizado, modelado via Teoria de Misturas.
A Fratura Hidráulica é uma técnica frequentemente usada em processos de extração
de petróleo e gás de xisto, presentes na rocha sedimentar. A técnica consiste em furar
verticalmente a rocha a uma profundidade de até 3000 metros, em seguida, usando
equipamentos especiais, os operadores conseguem mudar a direção do furo, que a partir
desse momento se estenderá horizontalmente por aproximadamente 600 metros. Após
efetuado o furo, injeta-se fluido a uma pressão muito alta de modo a forçar a fratura da
rocha, aumentando desta forma sua permeabilidade, e permitindo o escoamento do gás
ou de outro fluido [1]. Todo o processo da fratura hidráulica é apresentado na Figura 1.1.
1
Figura 1.1: Esquema do processo de fratura hidráulica [2]
Esta metodologia tem alguns detratores, pois algumas empresas empregam misturas
de fluidos que contem ácidos e outros materiais que podem poluir aguas subterrâneas, o
que consequentemente será um fator contaminante para rios e oceanos. O método
empregado neste trabalho visa substituir o uso de materiais poluentes na fratura
hidráulica. Para isso os métodos experimentais e analíticos que serão propostos visam
provar que é possível aumentar a permeabilidade da rocha mediante o aumento de pressão
que resulta do incremento da temperatura do fluido. Para a solução analítica do problema
serão postuladas as clássicas equações de balanço de massa, momentum, energia (ou
primeira lei da Termodinâmica), e a segunda lei da Termodinâmica empregando a
Mecânica do Contínuo. Estas equações serão combinadas com hipóteses constitutivas
para a energia livre de Helmholtz e uma versão da equação de Tait para a permeabilidade,
a fim obter uma expressão que modele o problema. Em seguida, será mostrado,
empregando a segunda lei da Termodinâmica, que o modelo descreve adequadamente o
processo estudado.
2
Na segunda parte deste trabalho será estudado o escoamento de um fluido newtoniano
generalizado através de um meio poroso. Este tipo de escoamento está presente em
diversos processos como: a extração de gás e petróleo, a indústria de mineração,
tecnologias de sinterização e biomecânica. Na indústria de recuperação de petróleo
especificamente, existe a necessidade de desenvolver técnicas de extração mais eficientes
e métodos de simulação mais avançados a fim de aumentar a produção de petróleo. Além
do petróleo apresentar características de fluido não newtoniano, polímeros injetados
também têm comportamento não newtoniano. Nestes casos a clássica lei de Darcy não é
adequada para modelar estes escoamentos de forma apropriada. Além da lei de Darcy
existem diferentes teorias para estudar escoamentos através de meios porosos, mas a
maioria dos trabalhos que analisam fenômenos de transporte de misturas empregam a
média volumétrica para descrever quantidades como temperatura, pressão, concentração
e componentes da velocidade [3] empregando Mecânica do Contínuo. Esta metodologia
tem sido empregada para analisar diferentes tipos problemas como por exemplo:
escoamentos de fluidos com mudança de fase em meios porosos [4], convecção forçada
em um canal poroso [5] e convecção mista [6], [7] entre outros.
Na análise do problema de escoamento através de um meio poroso saturado,
apresentado neste trabalho, será usada a Teoria Continua de Misturas [8]–[11]. Esta teoria
pode ser considerada uma extensão da Mecânica do Continuo Clássica, com ela é possível
tratar os constituintes de uma mistura como uma superpesição de constituintes contínuos,
cada um de estes elementos ocupando totalmente o volume da mistura. Outra
característica do uso da Teoria de Misturas é que ela permite uma aparente independência
termomecânica entre os constituintes da mistura, por isso requer termos de fonte de
momentum e energia, que promovem o acoplamento termomecânico.
3
A permeabilidade, que é uma propriedade dependente de diversas variáveis como a
estrutura dos poros, o tamanho e a forma dos poros, foi relacionada por muitos anos com
a porosidade apenas por modelos empíricos. Mais recentemente, o método Lattice
Bolzmann permitiu analisar meios porosos com geometrias complicadas, conseguindo
assim simular as equações de Navier-Stokes considerando a permeabilidade [12] [13].
Determinar uma relação que permita relacionar a porosidade e a permeabilidade é uma
tarefa difícil, mas de muita importância cientifica e econômica para diversas industrias,
especialmente a indústria do petróleo. O modelo de Kozeny-Carman [14] é um dos mais
empregados, devido a sua simplicidade. Essencialmente ele relaciona as propriedades da
matriz porosa com a resistência ao escoamento causado pelo meio poroso. Neste trabalho
é postulada uma equação que permite relacionar a permeabilidade com porosidade de
forma simples, num contexto de Teoria de Misturas. Para isto é desenvolvida uma teoria
constitutiva completa que permite obter uma equação fisicamente consistente
relacionando permeabilidade e porosidade. Esta equação depende de dois parâmetros
constitutivos de fácil calculo quando conhecidos pelo menos dois valores de
permeabilidade e porosidade, que podem ser obtidos a partir de pontos dois pontos
experimentais.
1.1 Revisão bibliográfica
1.1.1
Fratura hidráulica
Desde que a fratura hidráulica começou a ser empregada na indústria muitos
pesquisadores vêm dedicando esforços a fim de melhorar sua técnica, compreendê-la e
4
melhorá-la. A maioria dos trabalhos encontrados na literatura trata questões relacionadas
ao tipo de fluidos usados na fratura hidráulica, o material da matriz porosa e o cálculo de
pressões e esforços. Como a fratura hidráulica serve como motivação para uma parte deste
trabalho, será apresentada a seguir uma breve descrição de alguns trabalhos relevantes
para seu desenvolvimento, a maioria com aplicações na indústria do petróleo.
Na prática a fratura hidráulica é usada para aumentar a porosidade de rochedos e poços
ou para aproveitar a energia geotérmica armazenada nas rochas. A técnica mais usada
para conseguir este resultado é o método “Hot dry rock” (HDR). Este método consiste
basicamente em injetar água fria a alta pressão na rocha. As fraturas obtidas são resultado
de esforços gerados pela pressão do fluido, a contração térmica e a resistência mecânica
da rocha. A seguir apresenta-se um pequeno resumo de alguns trabalhos baseados na
técnica de fratura hidráulica ou o método HDR e que foram importantes para o
desenvolvimento deste trabalho.
Em 1961, Perkins e Kern [15], usaram um balanço de energia para calcular a pressão
necessária para fraturar materiais frágeis. O resultado deste cálculo foi usado para provar
que o tamanho das trincas pode ser controlado se a diferença de pressão usada for regulada
de alguma forma. Os resultados analíticos foram obtidos para fluidos newtonianos e não
newtonianos, tanto em escoamentos laminares quanto turbulentos.
Uma análise analítica para estudar as trincas, empregando teorias clássicas de
elasticidade foi feita por England e Green [16]. Eles postularam equações para calcular
os esforços bidimensionais devido às pressões. O objetivo dos autores foi avaliar a troca
de energia interna, devido à abertura das trincas na matriz porosa para os diferentes casos
considerados no trabalho.
5
A técnica de fratura hidráulica massiva na montanha Rocky – nos Estados Unidos –
foi aplicada por Simonson et al. [17], em 1978. No trabalho foram determinados o efeito
das propriedades dos materiais que compõem a montanha, o efeito e as caraterísticas das
variações de esforços e os efeitos dos gradientes de pressão. Os autores concluem que os
resultados do estudo podem ser aplicados em outros problemas envolvendo fratura
hidráulica massiva.
Alguns anos depois Nolte e Smith [18] estudaram como a variação de pressão afeta a
fratura da matriz porosa. Neste estudo experimental, os autores coletaram os dados para
um arranjo de tubos através do qual era bombeado um fluido a uma determinada pressão
capaz de iniciar uma fratura. Os resultados obtidos apresentaram semelhança com os
apresentados por Perkins e Kern [15].
Em 1982, van Eekelen [19] analisou os efeitos da fratura hidráulica e observou que a
formação de trincas pode depender de diversos fatores, como esforços, propriedades
elásticas, tenacidade à fratura, ductilidade e permeabilidade. Mesmo assim, concliu que
existiam outros fatores causados pela rigidez e pelos esforços que modificavam o limite
de penetração da fratura.
Experimentos para determinar os parâmetros de controle da fratura hidráulica foram
realizados por Warpinski et al. [20]. O objetivo do estudo era determinar as condições
capazes de limitar o tamanho da fratura e a direção de propagação. Cinco experimentos
foram realizados, mas mostraram ser insuficientes para determinar o tamanho e a
profundidade das trincas. Mesmo assim, os testes foram capazes de mostrar o
comportamento dos esforços na fratura hidráulica e melhoraram as técnicas de medição
aplicadas na recuperação de óleo e gás natural.
6
Mais recentemente, Weijers et al. [21] testaram em diferentes lugares dos Estados
Unidos um método desenvolvido para calibrar o crescimento das trincas. No estudo foram
consideradas variáveis como fraturas hidráulicas múltiplas, os efeitos da deformação
plástica, a viscosidade do fluido e a formação de micro fraturas. Os autores afirmaram
que, embora a metodologia usada seja moderna e sofisticada, será necessário
compreender melhor a geologia das rochas analisadas para calibrar e controlar o
crescimento da fratura.
Em 2009, Pater e Dong [22] realizaram experimentos em laboratório usando como
materiais porosos misturas de areia e pó de quartzo e de areia e cimento. O objetivo dos
testes realizados era observar a influência da permeabilidade da matriz porosa na
propagação de trincas. No estudo foi empregada uma máquina que permite observar a
geometria e a propagação da fratura. Os resultados experimentais foram comparados com
os resultados numéricos obtidos com o software FLAC, mostrando ser qualitativamente
semelhantes. Os autores concluíram que a propagação de fraturas é menor para altos
valores da permeabilidade.
1.1.2
Escoamentos em meios porosos
Fenômenos de transporte em meios porosos têm atraído muitos pesquisadores devido
a possível aplicação destes processos em diversos campos de Engenharia, como
mineração, tecnologia de sinterização, biomecânica e na indústria de petróleo, resultando
em uma considerável quantidade de trabalhos publicados na área. A maioria dos trabalhos
tratando escoamentos em meios porosos emprega a clássica técnica de média volumétrica
desenvolvida por Whitaker em [3], que já permitiu incontestáveis avanços.
7
Neste trabalho, os escoamentos em meios porosos serão descritos empregando uma
modelagem de Teoria de Misturas, uma generalização da Mecânica do Contínuo clássica,
especialmente desenvolvida para tratar fenômenos multifásicos. No caso de escoamentos
em meios porosos saturados, esta metodologia trata o fluido e a matriz porosa como
constituintes contínuos de uma mistura binária, quimicamente não reagentes, cada um
deles ocupando, simultaneamente, todo o volume da mistura. A Teoria de Misturas leva
a uma aparente independência termomecânica, pois para uma mistura de n constituintes
são permitidas n velocidades e n temperaturas distintas, simultaneamente, em cada ponto
do espaço, que requer a proposição de relações constitutivas termodinamicamente
consistentes para relacionar as variáveis cinemáticas e dinâmicas. Num escoamento
isotérmico, a interação dinâmica é garantida por um termo de fonte de momentum
(análogo ao termo darciano numa descrição via técnica de média volumétrica) e para o
tensor parcial de tensões (análogo ao tensor de cauchy numa descrição via Mecânica do
Contínuo). A seguir são apresentados resumos de algumas pesquisas relacionadas com
este tipo de problema, algumas delas muito importantes no desenvolvimento deste
trabalho.
O primeiro trabalho conhecido no qual foi estudado escoamento através de meios
porosos foi publicado por Henry Darcy em 1856. No livro deste reconhecido cientista
francês, titulado “The public fountains of the city of Dijon” [23], foi postulada a conhecida
lei de Darcy para escoamento da água através de areia. Com esta lei é possível estudar a
porosidade, a vazão da agua e a permeabilidade em aquíferos. Ao longo da história
inúmeros autores publicaram trabalhos empregando a lei de Darcy, dentre os quais podem
ser citados: Sundaravadivelu e Tso [24], que estudaram a influência da viscosidade na
transferência de calor por convecção forçada através de um canal poroso dividido em
8
duas regiões de escoamento com diferentes porosidade, permeabilidade e condutividade
térmica. Os autores estudaram analiticamente o problema empregando a lei de Darcy e
concluíram que o perfil de velocidade é fortemente afetado pela variação das
características da matriz porosa e da viscosidade do fluido.
O problema de convecção forçada através de uma matriz porosa num duto circular
com paredes isotérmicas foi estudado por Ranjbar-Kani e Hooman [25], eles empregaram
o modelo de Darcy para calcular a velocidade. As aproximações numéricas foram
calculadas na região de entrada e na região desenvolvida considerando números de Darcy
altos e baixos usando diferenças finitas.
O modelo Brinkman-Darcy-Forchheimer foi usado por Jiangand Ren [26] para
postular as equações para um fluido bidimensional escoando através de um meio poroso.
O problema foi estudado considerando as condições de contorno postuladas em [13–16]
a fim de calcular aproximações numéricas que permitissem a comparação com resultados
experimentais, permitindo observar que o modelo proposto apresenta boa exatidão.
A Teoria de Misturas foi empregada por R.M. Bowen [10] para apresentar modelos
que descrevem a mistura de sólidos e fluidos. O autor inicia o trabalho com uma descrição
completa da cinemática e das equações de balanço de massa e de momentum. Também é
feita uma análise termodinâmica para os casos de mistura de sólidos elásticos
incompressíveis e fluidos incompressíveis, mistura de sólidos rígidos e fluidos
incompressíveis, onde se verifica que a entropia é maior ou igual a zero, recuperando,
desta forma, a segunda lei da termodinâmica.
O estudo de múltiplos fluidos imiscíveis escoando através de um meio poroso foi
estudado por Wei e Muraleetharan [31], usando a Teoria de Misturas. No modelo a
9
equação que descreve o escoamento é função de um potencial químico e de uma força de
arrasto que está sujeita à energia dissipada no escoamento. Os autores provaram que a
Teoria de Misturas pode ser deduzida a partir do princípio de potências virtuais.
Saldanha da Gama e Martins-Costa [32] simularam a transferência de momentum e de
energia num meio poroso insaturado por um fluido incompressível, modelado via Teoria
de Misturas levando a uma descrição matemática de quarto equações diferenciais não
lineares. A simulação do problema foi feita através da aplicação de um esquema de
Glimm, combinado a uma técnica de fatoração do operador para o problema
hidrodinâmico, que permite transformar um problema simultâneo num sequencial. O
problema homogêneo associado (equações hiperbólicas) é aproximado um esquema de
Glimm e a parte não homogênea é tratada como um termo de fonte. A solução do
problema hidrodinâmico é usada como dado de entrada para o problema térmico,
aproximado via diferenças finitas.
A Teoria de Misturas foi empregada por Ristinmaa M. et al. [33] para estudar o
escoamento em um sólido poroso termoelasto-plástico. No modelo proposto são
considerados a troca de massa entre as fases líquida e vapor. As equações de balanço de
massa, de momentum e também a equação da energia livre de Helmholtz foram
postuladas para cada fase. Foram considerados os efeitos térmicos, os efeitos da
deformação tanto na fase sólida quanto na fase líquida, da difusão e condução, evolução
plástica e a troca de massa. Como resultados, foram obtidas as curvas de equilíbrio
considerando os seguintes casos: que o sólido absorve massa, que o sólido cede massa e
que o sólido nem absorve nem cede massa.
Um modelo para estudar a transferência de calor numa matriz porosa saturada
empregando Teoria de Misturas foi postulado por Martins-Costa et al. [34]. Foi necessário
10
introduzir relações constitutivas as fontes de momentum e de calor relativas à interação
entre o fluido e o sólido. Os resultados numéricos para os perfis de temperatura dos
constituintes fluido e foram obtidos empregando diferenças finitas.
Um modelo local para estudar a transferência de calor num duto dividido em duas
regiões de escoamento foi proposto por Martins-Costa e Saldanha de Gama [35]. No
problema proposto foi empregada a Teoria de Misturas e foi necessário introduzir
equações constitutivas que levassem em conta a interação entre os constituintes e as
condições de compatibilidade na interface para a velocidade, tensão, temperatura e
também para o calor. O sistema de equações que descreve problema foi resolvido
empregando a técnica numérica de volumes finitos.
Hanyga [36] empregou a Teoria de Misturas para estudar o escoamento de dois (ou
mais) fluidos imiscíveis através de uma matriz porosa. Para formular o modelo
matemático foi necessário introduzir algumas equações constitutivas para a energia, o
tensor tensão, o momentum e o fluxo de calor. Efeitos como a capilaridade e as forças de
arrasto responsáveis pelo aumento da difusão foram incluídos na formulação apresentada
para descrever o problema.
Uma formulação da Teoria de Misturas capaz de modelar o crescimento intersticial foi
postulado por Cowin e Cardoso [37]. No caso descrito, os autores modificaram as
equações de balanço para levar em conta possíveis mudanças no desenvolvimento
cinemático e permitir incrementos de massa e momentum na mistura. Entretanto, para o
balanço de entropia os autores consideram a mistura como um todo. O trabalho apresenta
um conjunto de equações de balanço completo, porém não apresenta hipóteses
constitutivas e por tanto nenhum resultado numérico ou experimental permite validar
essas expressões.
11
Um modelo macroscópico, considerando rochas insaturadas e isotérmicas, foi
postulado por Chen e Hicks [38], que usaram a teoria de Biot e elementos de não
equilíbrio termodinâmico para obter um modelo (denominado pelos autores Teoria de
Misturas modificada) onde são consideradas as três fases: sólida, líquida e gasosa. Os
autores afirmam ser possível com este modelo descrever o grau de saturação, a pressão
nos poros, a tensão e a deformação em função do tempo e da distância.
Massoudi [39] explicou a importância das condições de contorno para resolver
problemas empregando a Teoria de Misturas. O trabalho estuda o caso de misturas de um
sólido e um líquido. Condições de simetria foram apresentadas para a velocidade, mas
também para a fração de volumes. O caso de condições de contorno nas paredes sólidas
também foi estudado, sendo introduzida uma velocidade de deslizamento, considerando
que, de fato, alguns fluidos escorregam na parede. O autor afirma que existem outros
casos para os quais é possível obter condições de contorno experimentalmente.
Um trabalho analítico muito interessante publicado por P. D. Kelly [40], apresenta as
tradicionais equações de balanço de massa, momentum, energia e entropia assim como
também são postuladas equações de balanço de carga elétrica e fluxo magnético,
considerando reações químicas. Neste trabalho são introduzidos termos que levam em
conta a interação entre os constituintes existentes antes ou depois dessas reações. O autor
afirma que as equações postuladas por ele são as mais gerais existentes na literatura.
Outra relação que dever ser levada em conta no escoamento através de meios porosos
é a relação entre porosidade e permeabilidade. Na bibliografia encontram-se estudos deste
tipo onde a equação de Kozeny-Carman é empregada [1-4]. Essa expressão que relaciona
a porosidade e a permeabilidade requer uma constante que depende do material e do
tamanho dos grãos que compõem a matriz porosa. Esta constante tem um papel
12
fundamental na aplicação da equação, o valor deste parâmetro muda para cada tipo de
material poroso.
Diferentes versões da equação Kozeny-Carman têm sido postuladas [35–37] com o
objetivo de facilitar o uso da equação. Entre as versões mais recentes da expressão
encontra-se a postulada por Henderson et. al. [47] em 2010. Neste trabalho foi usado um
método indireto numérico-experimental de estimação de parâmetros para calcular as
constantes da equação generalizada de três parâmetros de Kozeny-Carman postulada
pelos autores. Nos resultados numéricos obtidos a partir das observações de estruturas
fractais, foi observado que a equação é capaz de modelar aceitávelmente a permeabilidade
e porosidade de diferentes materiais.
Apesar da maioria dos trabalhos anteriormente referidos apresentar ou propor modelos
matemáticos, apenas alguns deles apresentam resultados numéricos que permitam fazer
comparações de nossos resultados com trabalhos encontrados na literatura.
1.2 Conteúdo do trabalho
Este trabalho é divido em 6 capítulos, sendo o capítulo 1 a Introdução, onde é mostrada
uma visão geral da tese, além disso são feitas definições necessárias para a compreensão
do trabalho. Ainda neste capítulo são postuladas as motivações que originaram as
pesquisas necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.
O capitulo 2 inicia-se com uma introdução à cinemática, onde são feitas algumas
definições necessárias para o desenvolvimento do trabalho. Em seguida, são apresentadas
as equações de balanço de massa, balanço de momentum linear e as equações da primeira
13
lei e da segunda lei da termodinâmica, empregando duas abordagens, a mecânica do
continuo clássica e a teoria de misturas.
No capitulo 3 são apresentadas equações constitutivas necessárias para a solução das
equações de balanço. Entre elas a equação do tensor parcial de tensões, a fonte de
momentum, uma expressão que relaciona a permeabilidade e a porosidade e a equação de
Tait modificada para levar em conta pequenas variações de temperatura.
O capítulo 4 destina-se a descrever os problemas propostos e apresentar os modelos
matemáticos que são usados para analisar os fenomemos de interesse. No
desenvolvimento deste capítulo foi necessário introduzir variáveis e fazer hipóteses que
permitiram obter resultados fisicamente possíveis.
Os resultados obtidos a partir dos modelos propostos são apresentados no capítulo 5.
Neste capítulo também são apresentados o equipamento e o corpo de prova que foi usado
para obter uma parte dos resultados obtidos no desenvolvimento do trabalho.
No capítulo 6 são apresentadas as principais conclusões obtidas neste trabalho e as
sugestões para futuros trabalhos de pesquisa.
14
Capitulo 2
2 Equações de Balanço
Neste capítulo serão apresentadas as equações de balanço de massa, balanço de
momentum linear, a primeira lei da Termodinâmica e a segunda lei da Termodinâmica.
Os dois primeiros princípios serão postulados empregando tanto a Mecânica do Continuo
Clássica quanto a Teoria de Misturas.
As equações obtidas pela Mecânica do Continuo Clássica serão usadas para estudar
analiticamente a expansão de um fluido newtoniano em um poro (caso idealizado), devido
a variação de temperatura. Enquanto que equações obtidas pela Teoria de Misturas serão
usadas para modelar o escoamento isotérmico de um fluido newtoniano generalizado
através de uma matriz porosa. Em ambos os casos será necessário introduzir equações
constitutivas para permitir a solução do problema.
2.1 Cinemática
Em trabalhos de Atkin e Craine [8], Bedford e Drumheller [9], Rajagopal e Tao [11] e
Bowen [48] foi definida a cinemática do movimento dos corpos, quimicamente reagentes
ou não reagentes. Nestas definições um corpo (Bi) é formado por um conjunto de
partículas que podem ser denotadas pelo movimento desta partícula é descrito por um
conjunto de configurações paramétricas χt, onde o tempo t, pertence ao intervalo [0,∞).
15
Supõe-se que em cada instante de tempo t, todo o volume é ocupado, simultaneamente,
por cada um dos componentes da mistura. Supondo uma mistura com componentes (Pi),
sendo Xi a posição da partícula Pi, na configuração de referência, então os movimentos,
supostos biunívucos, contínuos e inversíveis são denotados por
xi = i  Xi , t 
(2.1)
Define-se a derivada material que segue o movimento de um dado constituinte i como
Atkin e Craine [8]
Di  

 vi  grad 
Dt
t
(2.2)
onde vi é a velocidade do constituinte i, e  é uma variável escalar, vetorial ou tensorial
A equação (2.1) está cinematicamente associada aos seguintes parâmetros
vi 
Di i
Dt
(2.3)
ai 
Di vi
Dt
(2.4)
16
Li 
vi
xi
Di 
1
Li  LTi
2
Wi 
1
Li  LTi
2
(2.5)


(2.6)


(2.7)
onde, vi e ai representam a velocidade e a aceleração do constituinte i. Enquanto os
parâmetros Li, Di e Wi representam o tensor gradiente de velocidade sua parte simétrica e
sua parte anti-simétrica respectivamente.
A partir das equações postuladas acima é possível obter as equações tradicionais da
mecânica do continuo clássica, para isso basta não utilizar os índices, considerando um
único constituinte.
2.2 Princípios – Mecânica do Contínuo
2.2.1
Princípio de Conservação de massa
Inicialmente será apresentado o balanço de massa empregando a Mecânica do
Contínuo Clássica. Esta formulação é parte importante na análise de um fluido confinado
em um poro (caso idealizado) que é submetido a mudanças de temperatura ao longo do
tempo. Este problema será explicado em detalhes no próximo capítulo.
17
Seja Ω uma região arbitrária fixada com volume V limitada por uma superfície ∂Ω de
área A na qual a lei de conservação da massa é postulada. Considerando um volume
material de massa m a equação para o balanço de massa tem a seguinte forma
(2.8)
dm
0
dt
Desta forma é possível calcular a massa m, no volume material com a integral
m

 dV
(2.9)
 t 
A quantidade de massa na região arbitraria do volume Ω na configuração atual é dada
por
d
 dV  0 (t)  Bt   ( B, t ) e t  (0, )
dt (t )
(2.10)
Empregando o teorema de transporte de Reynolds [49][50] é possível expressar a
equação (2.10) por
d
 dV    v  n dA  0 
dt (t )
 ( t )
     tr  L  dV  0
(2.11)
 (t )
onde  denota a derivada temporal:   d /dt e L já foi definido anteriormente como
o gradiente de velocidade. Embora, a equação da continuidade acima esteja definida em
18
uma forma geral, neste trabalho será feita uma simplificação da equação acima onde será
desconsiderada a parte antissimétrica do gradiente de velocidade L, permitindo escrever
  D : I  0
(2.12)
Na equação (2.12)  e  representam a massa especifica e a derivada da massa
especifica respetivamente. D é o tensor taxa de deformação e I representa o tensor
identidade.
2.2.2
Balanço de Momentum Linear
A quantidade de movimento linear de um corpo é equivalente à aplicação da segunda
lei de Newton a um volume material. Em outras palavras, a taxa de variação da quantidade
de movimento linear de um corpo é igual à soma das forças externas agindo sobre o corpo
mencionado.
Se o corpo ocupa a região Ω, no instante de tempo t, a taxa de variação de movimento
linear do corpo é calculada a partir da soma de forças externas
(2.13)
d
 v dV   t dA    g dV
dt (t )
 ( t )
 (t )
Considerando a relação entre o vetor tensão t, e o tensor de tensão de Cauchy σ , o
Teorema de Cauchy afirma que o vetor tensão é linear na normal exterior n,
t  x, t ; n   σ  x , t  n , onde σ representa tensor tensão de Cauchy, a equação acima
adquire a seguinte forma
19
(2.14)
d
 v dV   σ  n dA    g dV
dt 


Finalmente, o balanço da quantidade de movimento linear na forma local é obtido
aplicando o teorema de transporte as equações acima, resultando em
 v

    grad v  v   div  σ    g
 t

(2.15)
Ou ainda em uma forma mais geral a equação pode ser expressa como

(2.16)
Dv
 div     g
Dt
onde grad(•) é o gradiente da grandeza (•) e D(•)/Dt representa a derivada material da
grandeza (•).
2.2.3
Balanço de Energia
A equação de conservação de energia estabelece que a soma da variação das energias
cinética e interna, é igual à soma da potência mecânica (potência das forças internas – de
superfície e potência das forças externas – de corpo) e da taxa de troca de calor (fluxo de
calor através da fronteira  e geração de energia sob forma de calor na região  ). A
primeira lei da Termodinâmica pode ser expressa como
20
d
d 1
e d V   v v d V 

dt 
dt  2
  σ n   v d A    g  v d V   q  n d A   q d V



(2.17)

onde g representa a força gravitacional, e representa a energia enterna específica, q é a
geração de energia por unidade de massa e q é o vetor fluxo de calor por unidade de tempo
atravessando a fronteira do corpo, o sinal negativo representa o fluxo de calor que entra
no volume de controle.
Usando as equações de transporte [49], [50] e a equação de continuidade é possível
obter a equação da energia na forma local

D
1
De
Dv


v 
e  v v   
Dt 
2
Dt
Dt

div σ  g

div  σv  + g  v  div q  q
 div σ v+ σ grad v 
(2.18)
De
 σ  grad v   div q  q
Dt
Uma outra forma de escrever a equação de primeira lei da termodinâmica na forma
local, desprezando a geração de energia por unidade de massa q , é apresentada a seguir
[51], [52].
 e  div  q   
(2.19)
Na equação (2.19) 𝑒̇ denota a derivada material da energia interna por unidade de
massa,  representa a massa específica, σ é o tensor de tensões de Cauchy,
21
D = 1 / 2 [ grad ( v ) + grad ( v )T ] é o tensor taxa deformação (sendo
v a velocidade) e q é
o vetor fluxo de calor. É interessante notar que esta equação é uma consequência da
simetria do tensor de Cauchy.
2.2.4
Segunda Lei da Termodinâmica
A segunda lei da Termodinâmica, que pode ser expressa pela desigualdade de
Clausius-Duhem, permite uma distinção entre os processos reversíveis e irreversíveis e
possibilita determinar quais processos são possíveis ou impossíveis, enquanto a primeira
lei da termodinâmica trata da possibilidade de conversão de energia mecânica em calor e
vice-versa. Para definir se o processo analisado é reversível ou irreversível deve-se
verificar se existe alguma fonte de irreversibilidade que produza um incremento de
entropia S. As principais causas de irreversibilidade são transferência de calor com
diferença finita de temperatura, processo com atrito, expansão livre ou parcialmente
resistida e mistura de correntes fluidas.
O cientista alemão Rudolf Julius Emmanuel Claussius definiu a variação de entropia
como [53]
dS
qrev
(2.20)
onde qrev é a variação do fluxo de calor reversível em um sistema fechado e θ é a
temperatura (absoluta) do sistema. Entretanto, é necessário introduzir um novo termo na
22
equação acima a fim de calcular a entropia em um sistema fechado submetido a processos
reversíveis e irreversíveis, desta forma obtém-se.
dS
qrev
diS
(2.21)
Sendo diS=0 para processos reversíveis e diS>0 para processos irreversíveis. A partir
das definições apresentadas acima, é possível expressar a variação de entropia com a
seguinte equação
d
dt
sdV
1
q n dA
q
dV
(2.22)
A equação (2.22) estabelece que a taxa de geração de entropia em um corpo é maior ou
igual ao fluxo de entropia para esse corpo. Sendo que na desigualdade apresentada acima
q é o fluxo de calor atravessando a fronteira do corpo, 𝑞̇ é a variação do fluxo de calor
e
a temperatura.
A equação (2.22) também pode ser escrita na forma local, para isso a expressão acima
deve ser combinada com a equação da continuidade e o teorema da divergência. O
resultado desta operação é a desigualdade conhecida como a desigualdade de ClausiusDuhem, em homenagem aos pesquisadores que a desenvolveram

𝐷𝑠
𝒒
𝑞̇
≥ −𝑑𝑖𝑣 ( ) +
𝐷𝑡
𝜃
𝜃
(2.23)
23
As expressões postulados até agora encontram-se na sua forma mais geral, mas para
analisar o problema proposto neste trabalho é conveniente introduzir uma nova variável
conhecida como a energia livre de Helmholtz.
A energia livre de Helmholtz (chamada assim em homenagem ao pesquisador alemão
Hermann von Helmholtz), ou potencial de Helmholtz, pode ser descrita como quantidade
máxima de trabalho obtido a partir da transformação de calor aplicado a um sistema. Este
conceito e frequentemente usado na análise de processos químicos, térmicos e aplicações
de engenharia. A energia livre de Helmholtz (𝜓) é uma propriedade termodinâmica, como
a energia interna ou a entalpia e pode ser calculada pela seguinte expressão [54] [53].
𝜓 = 𝑒 − 𝜃𝑠
(2.24)
onde 𝑒 é a energia interna por unidade de massa, 𝜃 a temperatura absolura e 𝑠 a entropia
total por unidade de massa.
A energia livre permite calcular o trabalho disponível que pode ser obtido em um
sistema termodinâmico fechado a temperatura constante. A seguir será apresentado um
modelo da energia livre para fluidos compressíveis. Neste trabalho são estudados apenas
fluidos invíscidos embora a teoria possa ser estendida para postular equações
constitutivas para outros casos [55][56].
     , 
(2.25)
A função energia livre para fluidos invíscidos  é uma função diferenciavel da
temperatura absoluta θ, e da densidade ρ.
24
O sistema de equações a seguir representa a dissipação total (d), onde a equação (2.27)
é usada para calcular a dissipação intrínseca no processo (d1), enquanto a equação (2.28)
representa a dissipação devido aos efeitos térmicos (d2).
𝑑 = (𝑑1 + 𝑑2 ) ≥ 0

d1   : D     s
(2.26)

(2.27)
1
𝑑2 = − 𝒒 ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅𝜃
𝜃
(2.28)
Esta versão local da segunda lei da Termodinâmica não exclui possíveis
comportamentos anormais como, por exemplo, a diminuição da temperatura quando calor
é adicionado ao sistema. (É importante observar que, nas equações (2.26)-(2.28), assim

como nas equações a seguir,
( )
denota a derivada material no tempo). A fim de excluir
a possibilidade desses comportamentos acontecerem, garantindo que as equações (2.26)(2.28) sejam satisfeitas uma restrição adicional será imposta
𝑑1 ≥ 0 𝑒 𝑑2 ≥ 0
(2.29)
Garante-se, desta forma, que o fluxo de calor acontecerá sempre da região de maior
temperatura para a região de menor temperatura quando q for paralelo ao gradiente de
temperatura.
Uma relação de parâmetros dissipativos pode ser introduzida a partir do potencial de
dissipação ϕ que é uma função diferenciável, convexa e isotrópica de  e θ. Neste ponto,
25
a dissipação intrínseca d1 e a dissipação térmica d2 são consideradas funções de  e θ
que tem a seguinte forma
d1
(2.30)
1
d2
q q
k
q grad
(2.31)
Sendo o parâmetro k a condutividade térmica e o potencial ϕ dado por
( , );
( , )
0
(
0, )
0
( , )
(2.32)
A equação na segunda linha significa que no caso de a taxa de variação da densidade
ser nula    0  então o potencial ϕ será igual a zero, isto implica que a dissipação devido
à compressibilidade seja também igual a zero (d1 = 0) o que representa um fluido
Pascaliano.
Combinando as equações (2.27) e (2.30) obtém-se
=
:D
s
(2.33)
Esta equação ainda pode ser usada substituindo nela a equação da conservação da
massa na forma local (eq. (2.12)) para obter
26
2
0=
I :D
s
(2.34)
A equação (2.34) tem que ser válida para qualquer processo possível, permitindo
concluir que as seguintes relações constitutivas são sempre válidas
s=
(2.35)
pI
(2.36)
com
p=
2
+
(2.37)
onde a pressão termodinâmica p é apresentada como a soma de suas partes reversível
2
/
, e irreversível
/
. A equação (2.37) é a equação de estado geral
para esta classe de superfluidos compressíveis.
É interessante notar que usando a equação (2.28) e a definição da dissipação térmica
dada pela equação (2.31), a clássica lei de Fourier vem como consequência
q=
k grad
(2.38)
27
2.3 Princípios – Teoria de Misturas
2.3.1
Balanço de Massa
A cada constituinte i da mistura é associada uma densidade mássica ρi, que representa
a densidade média do constituinte i, tomada para um pequeno volume da mistura. A
densidade mássica da mistura como um todo é expressa pelo somatório da densidade
mássica de cada constituinte da mistura ρi
(2.39)
n
   i
i1
Logo a conservação da massa para o constituinte i pode ser expressa como:
(2.40)
d
i dV  0
dt (t )
Empregando o teorema de transporte de Reynolds [49] obtém-se
(2.41)
d
i dV   i vi  n dA  0
dt (t )
 ( t )
Supondo que as funções sejam regulares e considerando que Ω é uma região arbitrária
fixa na mistura, obtém-se a equação da continuidade em forma local para cada um dos
constituintes, sendo i = 1, n
28
di
  i   vi  0
dt
2.3.2
(2.42)
Balanço de Momentum Linear
A conservação de momentum linear é postulada de forma análoga à empregada na
Mecânica do Contínuo clássica, aplicando-se o primeiro axioma de Euler [49] a cada
constituinte da mistura. Além das forças de corpo por unidade massa atuando em cada
constituinte da mistura, fi , os efeitos das forças da superfície dos demais constituintes
da mistura sobre o constituinte i devem ser levados em consideração.
A fim de considerar estes dois efeitos, é introduzido o vetor parcial de tensões
ti  x, t; n  , definido em  e medido por unidade de área de  , que desempenha um
papel análogo ao vetor tensão da Mecânica do Contínuo Clássica. Define-se, ainda, a
força de interação mi , aplicada ao constituinte i pelos demais constituintes da mistura. A
força de interação local mi é um termo de geração de momentum linear, por unidade de
volume [8] e representa a transferência de momentum, devido aos efeitos de interação
entre os constituintes e ao movimento relativo dos constituintes.
Supondo que o vetor parcial de tensões integrado sobre a superfície  seja a
força de contato sobre o constituinte i, o tensor parcial de tensões, que depende
linearmente da orientação do elemento de superfície, além de depender da posição e do
tempo pode ser definido como:
29
ti  xi , t; n   σi  xi , t  n
(2.43)
O vetor parcial de tensões integrado sobre a superfície ∂Ω representa a força de contato
sobre o constituinte i. Neste caso, a conservação da quantidade de momentum linear para
cada constituinte (i =1, n) pode ser postulada como
d
i vi d V   i vi  vi  n  d A 
dt 

 
i
(2.44)
fi  mi  d V 


i
ni d A

No caso de um fluido escoando através de uma matriz porosa, a força de interação
atuando no constituinte sólido pode ser fisicamente interpretada como a soma do arraste
do fluido na matriz e o efeito das forças capilares, que surgem, devido a uma distribuição
não-uniforme do fluido no interior da matriz porosa. Este último efeito está presente
somente em escoamentos insaturados.
A forma local da equação de balanço de momentum linear para cada constituinte (i=1,
n) é dada por
 v

i  i   vi  vi   σi  mi  i fi
 t

(2.45)
A equação apresentada acima descreve o balanço de momento linear para cada
elemento da mistura, já uma expressão válida para a mistura como um todo pode ser
expressa como segue
30
n
m
0
i
(2.46)
i=1
Neste trabalho os tensores parciais de tensão ( σ i ) serão considerados simétricos,
satisfazendo automaticamente o balanço de momentum angular.
2.3.3
Balanço de Energia
Para postular o balanço de energia, denota-se por ei a energia interna específica
do constituinte i, por qi a geração (externa) de calor por unidade de massa e por qi o
vetor fluxo parcial de calor (por unidade de tempo e de área) de tal forma que o fluxo de
calor conduzido para o constituinte i, através da superfície  seja dado por qi  n .
Define-se, ainda, uma função escalar  i representando a geração de energia
relativa ao constituinte i, ou seja, a energia (por unidade de tempo e de volume) fornecida
ao constituinte i, devido a sua interação térmica com os demais constituintes da mistura.
Desta forma, tem-se a energia trocada com os outros constituintes representada por

i
dV .

Considerando as hipóteses anteriormente mencionadas de ausência de reações
químicas entre os constituintes da mistura e simetria do tensor parcial de tensões, o
balanço de energia – correspondendo à Primeira Lei da Termodinâmica – para um dado
constituinte pode ser expresso como
31

1
1




i  ei  v i  v i  dV   i  ei  v i  v i  v i  n dA 

t Ω 
2
2



Ω

Ω
i
dV  i qi   i bi  mi   v i dV 
Ω
 t
i
 vi  qi  n  dA
(2.47)
Ω
onde 1 2  vi  vi  representa a energia cinética por unidade de massa associada ao
constituinte i, os termos i bi  vi e mi  vi representam, respectivamente, as potências das
forças (externas) de corpo e das forças de interação por unidade de volume e ti  vi
representa a potência das forças de contato por unidade de área.
Um procedimento análogo ao empregado anteriormente, considerando ti  σi n ,
permite obter a forma local da conservação de energia para um constituinte
i
di ei
 i qi    qi  i  σ i  Di
dt
i  1, n
(2.48)
A conservação de energia para a mistura, considerando ausência de geração de
massa e tensores parciais de tensão simétricos, é dada por
n
 n
1
1




i ei  vi  vi  dV    i ei  vi  vi  vi  n dA 


t  i 1 
2
2



 i 1
n
    q    b  m   v  dV     t  v  q  n
 i 1
(2.49)
n
i i
i i
i
i
 i 1
Fazendo
32
i
i
i
dA
n
 e   i ei
i 1
n
 q   i qi
i 1
n
q   qi
i 1
n
σ  D   σi Di
(2.50)
i 1
com e denotando a energia interna específica da mistura, q a geração (externa) de calor
por unidade de massa fornecida à mistura, q o vetor fluxo de calor (por unidade de
tempo e de área) associado à mistura, e σ  D a dissipação viscosa, pode-se expressar a
forma local da conservação de energia para a mistura como

de
 q    q  σ  D
dt
(2.51)
Observa-se que a equação (2.51) apresenta a mesma forma do balanço de energia para
um meio contínuo.
Uma forma equivalente de expressar o balanço de energia para a mistura,
considerando as hipóteses simplificadoras descritas anteriormente e a validade da
equação (2.48), é [57]:
n

i 1
2.3.4
i
0
em 
(2.52)
Segunda Lei da Termodinâmica
A expressão da Segunda Lei da Termodinâmica, a noção básica de entropia, sua
definição como grandeza primitiva ou derivada e o significado da temperatura ainda são
debatidos entre diversos autores, mesmo no caso de Mecânica do Contínuo clássica. No
33
caso de misturas, além destes temas controversos, não existe consenso sobre a
necessidade de satisfazer a desigualdade entrópica para cada constituinte ou para a
mistura como um todo [11]. No presente trabalho supõe-se a Segunda Lei da
Termodinâmica dada pela desigualdade de Clausius-Duhen, que deve ser válida
localmente para a mistura como um todo.
A cada constituinte de uma mistura associa-se uma temperatura absoluta  i (por
hipótese positiva) e uma entropia específica si de forma a ter-se a entropia total do
constituinte i, S i , ocupando a região i   num dado instante t dada por

Si 
i si dV
(2.53)
i
Define-se, ainda, a entropia específica de uma mistura como
s
1

n
 s
i 1
(2.54)
i i
A forma global da desigualdade de produção de entropia para a mistura como um todo
é postulada, supondo que o fluxo de entropia devido ao fluxo de calor, qi , seja dado por
qi / i – de forma a ter-se o fluxo de entropia associado à mistura dado por
 q
n
i 1
i
/ i 
e que a geração de entropia devido à presença do termo de geração externa de energia,
qi , seja qi / i , como [11]
34
n
n
n
qi  n
i qii
 n

s
dV


s
v

n
dA

dA

dV




i i
i i i




t Ω i 1
i
i
Ω i 1
Ω i 1
Ω i 1
(2.55)
Observa-se que a desigualdade (2.55) permite que a cada constituinte seja associado
um campo de temperaturas diferente. Sua forma local é dada por
n

 
i 1

i
 q   q
di si
   i   i   0
dt
 i  i 
(2.56)
35
Capítulo 3
3 Equações constitutivas
Para a solução das equações de conservação apresentadas no capítulo anterior será
necessário introduzir hipóteses constitutivas que permitam levar em conta o tipo de
material dos elementos da mistura, a interação entre eles e as vizinhanças assim como
também considerar os efeitos da compressibilidade dos materiais. Estas hipóteses
dependem das condições nas quais o problema é analisado. Neste trabalho são propostas
algumas equações constitutivas com o objetivo de apresentar uma nova opção para
resolver problemas reais de engenharia, mas também serão usadas algumas hipóteses
encontradas na bibliografia e que têm sido usadas na indústria na análise de problemas.
3.1 Tensor parcial de tensão e fonte de momentum para fluido
newtoniano generalizado
A lei de viscosidade de Newton [58], dada pela equação a seguir, impõe que cada
componente do tensor extra de tensões τ, é proporcional ao tensor taxa de deformação D,
na direção normal a essa componente (a taxa de deformação por cisalhamento do fluido,
 ).
36
  
(3.1)
A partir desta lei é possível traçar a curva   que será uma linha reta para fluidos
newtonianos, e todos os fluidos cuja curva não seja linear ou não passe pelo origem do
sistema de coordenadas serão chamados de fluidos não-newtonianos. Esta classificação,
em oposição ao comportamento newtoniano, foi originada quando as propriedades dos
fluidos não-newtonianos eram consideradas anômalas. Hoje em dia, a tendência é
considerar os fluidos não-newtonianos como um caso especial de uma categoria mais
geral de fluidos: os chamados fluidos newtonianos generalizados.
Os fluidos newtonianos generalizados são considerados fluidos inelásticos. Estes
fluidos têm a capacidade de acumular energia interna por deformação de suas moléculas
para devolvê-la ao escoamento posteriormente, devido a alguma mudança de
características. A principal propriedade dos fluidos não-newtonianos é a viscosidade
viscométrica ou de cisalhamento. Esta propriedade é definida como
 

(3.2)

O comportamento da viscosidade viscométrica com a variação da taxa de deformação
por cisalhamento é observado na Figura 3.1. Nesta curva é possível notar que para baixos
valores da taxa de deformação por cisalhamento do fluido  , a viscosidade viscométrica
η é constante. Logo, para valores médios de  a curva decresce aproximando-se a uma
linha reta, e finalmente para valores mais altos da viscosidade viscométrica observam-se
valores de η constantes. Em outras palavras, quando o fluido tem alta viscosidade
37
viscométrica o fluido não pode escoar facilmente e o contrário acontece quando a
viscosidade viscométrica do fluido é baixa.
Existem diferentes modelos que permitem relacionar a viscosidade viscométrica com
a taxa de deformação por cisalhamento. Alguns dos modelos mais usados são: o Bingham
e o power-law, este ultimo empregado no desenvolvimento deste trabalho.
.
Figura 3.1: Curva viscosidade / Taxa de deformação por cisalhamento [59]
O modelo de Ostwald-de Waele, também chamado power-law é capaz de modelar
fluidos newtonianos, pseudoplásticos ou dilatantes. Neste modelo, descrito pela equação
(3.3) [60], τ representa a tensão cisalhante aplicada ao fluido, κ é o índice de consistência
do material, m o índice de power-law e  representa a taxa de cisalhamento.
38
     
m1
D
(3.3)
Por conveniência, estes índices serão redefinidos como η = 2(m−1)/2κ e n = (m−1)/2.
Neste caso valores de n negativos (n < 0), representarão um comportamento
pseudoplástico, valores positivos (n > 0), um comportamento dilatante e quando for zero
(n = 0) o fluido representado terá comportamento newtoniano.
A partir desta breve revisão sobre fluidos newtonianos generalizados, serão
considerados fluidos power-law, num contexto de Teoria de Misturas. Neste sentido,
serão apresentadas equações constitutivas não apenas para o tensor tensão σ , mas para o
tensor parcial de tensões σF , atuando no constituinte fluido de uma mistura sólido-fluido
que modela um escoamento isotérmico em um meio poroso saturado pelo fluido. Como
a matriz porosa é suposta rígida, apenas as equações para o constituinte fluido necessitam
ser solucionadas. As equações constitutivas que caracterizam o escoamento de uma classe
particular de fluidos não-newtonianos através de um meio poroso são propostas a seguir
σ F   pI  2
mF 
2
vF
K

DF
  0  0
(3.4)



K  Kˆ  ,
, vF 
 DF

(3.5)
onde ω é uma função escalar diferenciável, estritamente convexa e positiva, DF é o tensor
taxa de deformação atuando sobre o constituinte fluido da mistura m F é a fonte de
momentum, responsável pelo acoplamento mecânico, K
39
é uma função estritamente
positiva, φ representa a porosidade, e v F é a velocidade constituinte fluido da mistura.
As equações constitutivas (3.4) e (3.5) podem ser obtidas empregando os mesmos
princípios usados por Costa Mattos et al. [61] e são suficientes para garantir que uma
versão local da segunda lei da Termodinâmica seja sempre satisfeita.
A função ω para um fluido newtoniano generalizado tem a seguinte forma particular
[55]
  DF     DI  ; DI  DF  DF
1


K
DI

F
  p I  2 2

DF
DI
(3.6)
com     , , n, K 

d
2
m F   
vF   vF
dDI
K
(3.7)
2
O termo  d dDI  normalmente é denominado viscosidade dinâmica. Ele permite
modelar a dependência da viscosidade da taxa de deformação (e da temperatura nos
processos não isotérmicos). Por outro lado,  é uma função estritamente positiva da
porosidade φ, da viscosidade η, de um índice relacionado ao coeficiente power-law n e
da permeabilidade do meio poroso K. Enquanto esta permeabilidade K depende apenas
da matriz porosa, K depende também do escoamento do constituinte fluido (velocidade
material, velocidade local, e gradiente de velocidade). É importante observar que a
porosidade e permeabilidade estão conectadas, dependendo uma da outra. Porém a
porosidade é estática, mas a permebilidade pode ser aumentada.
40
A fim de postular o tensor de Cauchy de forma adequada para analisar o problema de
escoamentos através de meios porosos serão introduzidas as definições das funções
ˆ (DI ) e ˆ( , , n, K ) a serem utilizadas neste trabalho [30], [36, 37]
ˆ (DI )
2n
(DI ) n
n 1
1
(3.8)
(3.9)
ˆ ( , , n, K )
4n
3 K 2n
4n
3 K 2n
3
1
3
1
2n 1
2n 1
n
6K
vF
2n
(3.10)
n
(3.11)
6K
Combinando as equações (3.8) a (3.11) com as equações do tensor parcial de tensões
e a fonte de momentum, definidos nas expressões (3.4) e (3.5) respectivamente, obtémse as novas equações para o Tensor parcial de tensões σ F e a fonte de momentum m F .
σF
p I 2
2
mF
K
(DI )n D
4n 3
2n 1
2n 1
1
3 6K
(3.12)
n
vF
2n
vF
41
vF
2n
vF
(3.13)
3.2 Permeabilidade - Porosidade
A permeabilidade pode ser calculada conhecendo-se a distribuição de tamanho dos
poros, a distribuição de tamanho dos grãos e a área superficial interna. Destas
propriedades a distribuição de tamanho de grãos é a mais complexa a ser relacionada com
a permeabilidade [65]. Para a simulação de escoamento de um fluido não-newtoniano
através de meios porosos, é importante que se tenha um modelo para determinar a
permeabilidade que seja função de propriedades macroscópicas de fácil obtenção.
A porosidade é dada por   F /  , onde  F representa a densidade mássica do
constituinte fluido na mistura (definida como a razão entre a massa do constituinte fluido
e a massa total de mistura) e  representa densidade mássica do fluido (massa
específica), sob um ponto de vista de Mecânica do Contínuo.
Muitas pesquisas têm realizado esforços para estabelecer relações entre porosidade e
permeabilidade tanto para escoamentos de fluidos newtonianos quanto para escoamentos
de fluidos não-newtonianos através de meios porosos. Neste trabalho sugere-se uma
expressão, simples, mas eficaz, para relacionar a permeabilidade K com a porosidade φ.
O modelo proposto neste trabalho tem como objetivo simplificar o cálculo da
permeabilidade. A principal hipótese empregada é que a permeabilidade K depende
apenas da porosidade e de dois parâmetros denotados por a e b, sendo dada por
a b
K
1  a
(3.14)
42
na qual os parâmetros a e b são positivos e dependentes da temperatura, e podem,
eventualmente, variar também com a pressão. Estes parâmetros refletem características
microscópicas da matriz porosa como por exemplo: a forma do poro e como os poros
estão distribuídos.
Uma interpretação física da equação (3.14), num contexto de Teoria de Misturas
pode ser obtida usando as equações constitutivas (3.15) à medida que a porosidade cresce
a permeabilidade cresce e a força de interação torna-se desprezível; enquanto a força de
interação cresce e a permeabilidade torna-se desprezível à medida que a porosidade
decresce, como explicitado a seguir
0 
K 0
mF  
 1 
K 
mF  0
(3.15)
Os parâmetros a e b podem ser facilmente obtidos de uma curva experimental K × φ.
Também é possível obter os valores das variáveis usando dois valores experimentais de
permeabilidade e porosidade (K1, φ1) e (K2, φ2). Para fazer o cálculo procede-se da
seguinte forma
1a b
K1 
1  1a
a2 b
K2 
1  a2
(3.16)
A partir da equação (3.16) é possível escrever
43
K1  1a  1  2a 



K 2  1  1a  2a 
(3.17)
O valor do parâmetro a será a raiz da função f (x) definida a seguir
f  x 

K1  1x  1  2x 



K 2  1  1x  2x 
K  a  1  a
f  a   1   1 a  a 2
K 2  1  1  2

0

(3.18)
Uma vez calculado o valor de a, é possível obter facilmente o valor de b usando uma
das relações proposta na equação (3.16). Empregando estas expressões também é possível
provar a existência de uma relação linear entre log (φ) e log(K).
3.3 Equação de Tait generalizada
O matemático e físico escocês Peter Guthrie Tait participou de uma expedição
científica onde conseguiu coletar dados que permitiram mais tarde postular a equação que
leva o seu nome. O resultado das observações de Tait permite fazer uma análise
comparativa da compressibilidade em gases, líquidos e sólidos para diferentes valores de
temperatura [66].
A equação de estado de Tait para fluidos compressíveis (ou equação de estado de
Murnaghan no contexto de um sólido elástico [67]–[69]) modela líquidos barotrópicos
como uma função que depende apenas da densidade e parâmetros relacionados à pressão.
44
Esta equação apresenta um comportamento altamente não linear, envolvendo apenas
pressão e densidade como variáveis [70]
p
p0
B
B
(3.19)
0
onde p e
denotam a pressão e a densidade, respectivamente, p0 e
e a densidade num estado de referência e B e
0
são a pressão
são parâmetros positivos.
A equação de Tait generalizada considera aspectos termodinâmicos como
comportamentos dissipativos e pequenas mudanças de temperatura em relação a uma
temperatura de referência. (Ao contrário dos itens anteriores deste capítulo, que
consideraram equações constututivas para um constituinte fluido de uma mistura binária
sólido-fluido, neste item apresenta-se uma equação num contexto de Mecânica do
Contínuo). Neste caso, os potenciais de energia livre de Helmholtz
e de dissipação
devem ter a seguinte forma:
( , )
(po
B)
1
1
1
1
(
o)
1
B
1
;
0
(3.20)
o
onde p0 e ρ0 são a pressão termodinâmica e a densidade no estado de referencia e B, γ e η
são parâmetros positivos. É necessário frisar que a equação a (2.20) é valida apenas para
pequenas mudanças de temperatura, (    0 )
45
Esta equação pode ser escrita em função da pressão termodinâmica a partir da equação
(2.37) obtendo-se desta forma a versão generalizada da equação de Tait [71] que será
usada neste trabalho
p
(po
B)
1
(
o)
1
B
o
o
p
po
46
B
B
(3.21)
1/
1
(
o)
Capítulo 4
4 Modelo Matemático Proposto
4.1 Modelagem do problema
Nos capítulos anteriores foram introduzidas as equações de balanço de massa e de
balanço de momento linear usando tanto a Teoria de Contínuo Clássica como a Teoria de
Misturas. Também foram postuladas as equações de primeira e segunda lei da
Termodinâmica para um contínuo. Contudo, apenas estas equações não são suficientes
para conseguir resolver os problemas propostos, por causa disto foram introduzidas
hipóteses constitutivas necessárias para conseguir modelar e consequentemente resolver
as equações que descrevem os problemas escolhidos. Neste capítulo serão melhor
descritos os problemas a serem resolvidos e ao mesmo tempo as equações básicas da
mecânica serão combinadas com equações constitutivas postuladas no capítulo anterior.
4.1.1
Modelagem para um fluido submetido a grande mudança de pressão
Nos capítulos anteriores foram apresentadas as equações da mecânica do contínuo e
as equações constitutivas que serão consideradas na análise do problema proposto. No
capítulo relativo a equações constitutivas observou-se a existência de uma relação entre
a porosidade e a permeabilidade. Contudo, existem casos onde dois materiais possuem a
47
mesma porosidade, mas a permeabilidade pode ser muito diferente. Um desses casos é
representado na Figura 4.1, na qual os dois meios porosos possuem a mesma quantidade,
tamanho e distribuição de poros (representados pelos círculos) – portanto a mesma
porosidade, porém diferentes permeabilidades. Observa-se que na matriz da direita
existem trincas de volume desprezível e, portanto, o valor da porosidade não é alterado,
embora o escoamento de fluidos possa ser facilitado devido às fissuras que conectam os
poros.
Figura 4.1: Matrizes porosas com diferente permeabilidade
Nesta seção será analisada a possibilidade da criação de trincas numa matriz porosa
devido às mudanças de pressão do fluido contido nos poros. A variação de pressão será
resultado de pequenas mudanças de temperatura no fluido que é considerado
compressível.
A fim de simplificar o problema será considerada uma matriz porosa composta por
apenas um poro, como é mostrado na Figura 4.2, permitindo a utilização das equações da
mecânica do continuo clássica.
48
Figura 4.2: Poro de um meio poroso
Anteriormente foi introduzido na segunda lei Termodinâmica o potencial de
dissipação (ϕ), permitindo escrever as equações da dissipação intrínseca d1 e da
dissipação térmica d2, dados pelas equações (2.30)-(2.32), possibilitando determinar que
d1=0 quando
0 . Lembrando que este termo representa a taxa de dissipação de
energia devido à compressibilidade sempre que
div(v) .
Combinando o
princípio de conservação de massa com a equação (2.33), obtem-se a equação (2.34) que
pode ser empregada para qualquer processo possível. A pressão termodinâmica p é
modelada pela equação constitutiva (2.37), uma equação de estado para superfluidos
compressíveis, constutuída por um termo representando a parte reversível da pressão
termodinâmica e o outro sua parte irreversível.
Considerando os fluidos Pascalianos anterioremente definidos, o acoplamento
termomecâncico pode ser muito importante. Após a escolha adequada de expressões para
a energia livre (
) e o potencial de dissipação (ϕ), as equações constitutivas (2.35)-
(2.38) combinadas aos princípios de conservação de massa, energia e momentum,
formam um conjunto completo de equações que descreven o escoamento do fluido.
49
Alguns pontos relevantes sobre a equação de calor merecem ser melhor comentados,
o que será feito a seguir. A partir da definição da energia livre (
e
s ) e da
dissipação intrínseca (d1), pode-se obter uma forma local alternativa para a primeira lei
da termodinâmica – o princípio da conservação de energia numa forma local, dada por
div q = d1
thc
(4.1)
sendo a definição na termodinâmica clássica do calor específico (
) para processos
irreversíveis dada por
2
(4.2)
2
Por outro lado, o termo de acoplamento thc, que pode ser considerado como uma fonte
de calor na equação de energia, tem a seguinte forma
thc
2
(4.3)
Os termos d1 e thc, são responsáveis pelo acoplamento termomecânico na equação de
energia, funcionando como fontes ou sumidouros na equação de energia, de acordo com
seu sinal. É necessário frisar que, o termo d1 é sempre não negativo enquanto o termo thc
pode ser positivo ou negativo durante um processo. Caso não exista acoplamento entre a
temperatura e a densidade, no potencial de energia livre, denotado por
50
: ˆ( , )
onde
m
e
m(
th
)
th (
)
(4.4)
são as partes mecânica e térmica da equação da energia livre,
respectivamente; então o termo thc será nulo.
As definições anteriormente apresentadas possibilitam reescrever a equação da energia
postulada para este problema na forma local – que será denominada equação do calor,
esclarecendo o papel dos termos responsáveis pelo acoplamento termomecânico.
div(k grad( ))= d1
thc
(4.5)
As hipóteses constitutivas propostas no capítulo 2, dada pelas equações (2.35)-(2.38),
formam um conjunto completo de equações constitutivas termodinamicamente
admissíveis. A seguir serão propostas condições suficientes para assegurar que a segunda
lei da Termodinâmica (equações (2.26)-(2.28)) será satisfeita para qualquer conjunto de
equações obtidas através da metodologia empregada neste trabalho, seja qual for o
processo.
É importante notar que a equação (2.32) explicita as duas condições suficientes para
garantir a validade das equações postuladas para a descrição do nosso problema
( , )
0
( , )e (
0, )
0.
A equação (2.32) está garantida pois o potencial ϕ é uma função convexa e
diferenciável de
. Já o resultado clássico da análise convexa [72], [73], apresentado a
seguir, permite concluir que, para todos os processos, d1 ≥ 0.
51
0,
(4.6)
A fim de analisar o comportamento do fluido combinam-se as equações de balanço de
momento linear e a equação constitutiva do tensor tensão (2.36) com a equação (2.37),
obtendo-se a seguinte equação para o fluido
1
v
grad
2
b
(4.7)
onde b é a força de corpo externa aplicada sobre o fluido. Desta forma completa-se o
conjunto de equações necessárias para estudar o comportamento do fluido.
Neste ponto é necessário escolher expressões para os potenciais
e ϕ, o qual será
feito a partir da equação de Tait generalizada [70]. No caso em análise, (fluido
compressível submetido a pequenas mudanças de temperatura), esta equação tem um
papel muito importante uma vez que com ela é possível considerar pequenas variações da
temperatura (θ) em relação a uma temperatura de referência (θ0). A equação foi
explicitada no capítulo anterior ((3.20)-(3.21)). Após a definição dos potenciais
e ϕ,
eles serão substituídos na equação (2.27) para obter a expressão final que será usada para
calcular a pressão termodinâmica, dada pela equação (3.21).
4.1.2
Modelagem para o escoamento através do canal poroso
Um dos problemas analisados neste trabalho é o escoamento de um fluido nãonewtoniano através de uma matriz porosa. O fluido do tipo power-law é considerado
incompressível e o escoamento totalmente desenvolvido. Uma matriz porosa limitada por
52
duas placas paralelas é saturada pelo fluido, obtendo-se desta forma uma fração
volumétrica igual à porosidade. Na vizinhança das placas paralelas a velocidade será
considerada igual a zero, recuperando-se desta forma as clássicas condições de não
deslizamento no contorno. O esquema do problema é apresentado na figura a seguir
Figura 4.3: Escoamento através de um canal poroso impermeável
Na Figura 4.3 observa-se que o canal com altura 2H está preenchido por um material
poroso, através do qual o fluido escoa.
Nos capítulos anteriores foram apresentadas as equações básicas de conservação
(balanço de massa e de movimento linear) empregando a Teoria de Misturas. Usando a
mesma metodologia foram também postuladas as equações constitutivas que serão
combinadas com as equações de conservação para resolver o problema. Vale a pena frisar
que a equação de conservação de movimento angular não foi postulada já que os tensores
parciais de tensão são supostos simétricos.
Considerando as hipóteses expostas acima obtém-se o modelo matemático que será
usado para analisar o problema.
53
 F
   ( F vF )  0
t
 v

 F  F   v F  v F    
 t

(4.8)
F
 mF   F g
(4.9)
onde  F é a massa especifica do constituinte fluido, dada por  F   , sendo φ a
porosidade e  a massa especifica do fluido (considerando um ponto de vista de
Mecânica do Contínuo). Além disso, v F representa a velocidade do constituinte fluido e
F
é o tensor parcial de tensões associado ao constituinte fluido, e 𝒎𝐹 representa uma
fonte de momentum que considera a força de interação entre o constituinte fluido o
constituinte sólido, que representa a matriz porosa [64] .
Neste ponto é necessário combinar as equações acima com as hipóteses constitutivas
para o tensor parcial de tensão (Eq. (3.12)) e a fonte de momentum (Eq. (3.13)) a fim de
construir o modelo matemático do problema, o que resulta no seguinte sistema de
equações.
vF
p I
vF
(4.10)
0
0 em y
(D F D F ) n D F
2
vF
2n
vF
Fg
0
(4.11)
(4.12)
H
54
Na descrição do problema foi ressaltado que o escoamento é considerado laminar,
totalmente desenvolvido e, portanto, é possível desprezar os efeitos da força
gravitacional. Esta consideração permite escrever a velocidade do fluido da seguinte
forma v F
vF i , e o modulo da velocidade será v F
w , e consequentemente o sistema
composto pelas equações (4.10) a (4.12) é expresso como segue
dp
dx
w
2n 1
22 n
0
dp
dx
wmax
em
2
2n
dw
dy
y
d dw
dy dy
1 dp
dx
2n
d 2w
dy 2
w
2n
w
0
H
y
H
H
2n
dw
dy
(4.13)
(4.14)
w
2n
w
(4.15)
1
2n 1
(4.16)
onde wmax a velocidade máxima do fluido e dp/dx é a queda de pressão no canal.
Na análise de muitos problemas da engenharia são frequentemente usadas as equações
adimensionais. Para realizar este tipo análise no problema estudado é conveniente
introduzir os seguintes parâmetros
55
x*
x
H
y*
y
H
w*
w
wmax
p
p*
wmax / H
2n 1
(4.17)
Na equação (4.17) os parâmetros 𝑥 ∗, 𝑦 ∗ , 𝑤 ∗ e 𝑝∗ representam as componentes
adimensionais do comprimento do canal na direção x, do comprimento do canal na
direção y, da velocidade do fluido e a pressão adimensional respectivamente. Usando
estas variáveis a perda de pressão no canal poroso é expressa pela seguinte equação
adimensional
dp*
1 d dw*
=
dx* 22 n dy* dy*
2n
dw*
dy*
H 2n
2
w*
2n
w*
(4.18)
1/
w*  0
em
y*  1
(4.19)
Na equação acima é possível definir um termo que caracteriza os efeitos combinados
da porosidade e da permeabilidade. Este termo será denominado como 1 ⁄ 𝜒, e para a sua
definição é necessário utilizar as expressões postuladas no capítulo 3, onde foram
introduzidos os parâmetros α e β. Desta forma 𝜒 é expresso por
1
H 2n
K
2
4n
2n
3
1
2n 1
1
3 6K
n
(4.20)
Sendo a inversa desta equação dada por
56
K
H 2n
2
2n
4n
1
3
2n 1
3
6K
n
3
H 2n
2
2n
4n
1
3
2n 1
6
n
Kn
1
(4.21)
A equação da permeabilidade K (Eq. (3.14)) obtida no capítulo 3 pode ser combinada
com a equação (4.21) a fim de determinar uma expressão para o parâmetro 𝜒, em função
da porosidade e de outras propriedades tanto do fluido como do próprio canal.
a
3
H 2n
2
1
b
a
2n 1
4n 3
2n 1
6(
1
a 1
b)
n
(4.22)
a
A expressão do número adimensional 𝜒, apresentada anteriormente, foi postulada para
modelar o escoamento de um fluido newtoniano generalizado através de uma matriz
porosa. Note-se que para fluidos newtonianos (n=0) a expressão seria reduzida a uma
função do parâmetro  , da altura do canal H e da permeabilidade K.
57
Capítulo 5
5 Resultados
5.1 Fluido confinado em um poro
5.1.1
Resultados Analíticos
Nesta seção serão apresentados resultados obtidos a partir da modelagem matemática
postulada nos capítulos anteriores. Deve ser frisado que para o problema estudado supõese um líquido compressível, barotrópico cuja massa específica é função da pressão.
Empregando a equação (3.21), podem ser levadas em conta pequenas variações de
temperatura a partir da temperatura de um estado de referência. Apesar dos parâmetros B
e γ dependerem da pressão, para os cálculos feitos foram empregadas as seguintes
aproximações para esses parâmetros presentes na equação de Tait [74]: B = 2.9 ×10 3bar
e γ = 7.15 .
A Tabela 5.1 mostra os valores da densidade e o módulo de compressibilidade da agua
para uma pressão de 1 atmosfera. Observa-se na tabela que a temperatura da água aumenta
de 10 em 10 graus Celsius (ºC) até os 100 ºC, o que provoca um decréscimo na densidade.
Já o módulo de compressibilidade tem um comportamento diferente, aumentando nas
primeiras cinco medições e diminuindo nas medições restantes.
O comportamento da densidade em relação à temperatura pode ser observado melhor
na Figura 5.1 e na Figura 5.2.
58
Tabela 5.1: Variação das propriedades da agua
a pressão de 1 atm
Temperatura θ
(K)
Densidade ρ
(kg/m3)
Modulo de
Compressibilidade K
(bar)
283.15 (10ºC)
1000
19900
293.15 (20ºC)
998
22100
303.15 (30ºC)
996
22600
313.15 (40ºC)
992
22900
323.15 (50ºC)
988
22900
333.15 (60ºC)
983
22800
343.15 (70ºC)
978
22400
353.15 (80ºC)
972
22000
363.15 (90ºC)
965
21400
373.15 (100ºC)
958
20700
Figura 5.1: Variação da densidade com a temperatura
59
Figura 5.2: Variação da densidade com a temperatura
As curvas acima, além de mostrar o comportamento de densidade em relação à
temperatura, permitem também identificar a importância do parâmetro η, usado na
equação (3.21). O valor deste parâmetro no problema analisado é η = 0.00065 K-1 uma
vez que a curva da Figura 5.2 pode ser aproximada pela equação linear
( /
0)
1
( / 0 ) . Para os cálculos feitos com esta equação foram usados os
parâmetros de referência 0 = 353.15K (80ºC) e
a curva
0
= 972 kg/m3. Deve ser ressaltado que
tem um comportamento não linear, contudo, ela pode ser aproximada a
uma função linear para valores de temperatura (θ), próximos da temperatura de referência
( 0 ).
Note-se que na equação (3.21) os parâmetros
0,
0,
η e γ foram definidos acima,
faltando apenas definir o valor de B. Este valor pode ser obtido experimentalmente a partir
60
dos valores mostrados na Tabela 5.1, combinados com a definição do modulo de
compressibilidade K, postulado na equação a seguir.
K
p
(p 0
B)
1
(
0
0)
1
(5.1)
Desta forma, é possível obter B = 3075 bar, que é bastante aproximado ao valor
sugerido por Farhat et al. [74]. Deve ser ressaltado que os valores destes parâmetros são
suscetíveis a mudanças de pressão, portanto é recomendado o uso de corretores médios
de valores para pressões muito elevadas. Na Tabela 5.1, encontra-se o valor sugerido para
o parâmetro B que deve ser usado quando o fluido está sob pressões acima de 100 bar.
Tabela 5.2: Parametros materiais médios sugeridospara pressões acima de 100 bar
(K-1)
B (bar)
2.9 × 103
Entre 5 e 6
6.5 × 10-4
Uma vez que todos os parâmetros da equação (3.21) estejam definidos será possível
obter resultados analíticos da pressão para alguns valores limites do parâmetro γ. Para os
cálculos foi suposto que ρ/
0
≈ 1. Esta aproximação está desprezando variações da
densidade da água, mesmo para pressões muito altas. Baseado nestas hipóteses foram
plotadas as curvas apresentadas na próxima seção.
61
5.1.2
Resultados experimentais
Ensaios hidrostáticos de longa duração foram feitos a fim de observar o
comportamento da densidade da água e da pressão quando o fluido é submetido a
pequenas mudanças de temperatura. Estes ensaios foram feitos usando o sistema Flutrol
FLUASF100-MS7, conectado a um compressor Schulz de 7,5 kW. A precisão do
transdutor de pressão (tanto o erro estático quanto o de banda) é de 0.5 bar. O corpo de
prova usado para estes experimentos foi feito a partir de um tubo de aço Schedule 80 API
5L, grau B de 2” (50.8 mm) de diâmetro, ao qual foi enroscado um sistema de controle
de temperatura e pressão em uma das extremidades. O tubo e os controles de temperatura
do líquido e de pressão no interior do tubo são feitos pelo dispositivo mostrado na Figura
5.3. O sistema de controle é composto pela resistência elétrica, um termopar do tipo J
com precisão de ±0, 75% × temp (K) . A resistência elétrica enroscada a uma
extremidade do cilindro (corpo de prova) está conectada tanto ao pressurizador de água
quanto ao termostato, como mostrado na Figura 5.4, na qual o número 1 indica o
pressurizador de água, número 2 o termostato e o número 3 a resistência elétrica.
Figura 5.3: Tubo e sistema de controle de temperatura é pressão
62
Figura 5.4: Detalhes do sistema de controle
A resistência elétrica é ligada a uma extremidade do corpo de prova e é conectada ao
compressor de água e ao termostato. A massa de fluido no interior do corpo de prova é
constante (o duto permanece firmemente fechado) e a variação de volume do cilindro é
muito pequena (a deformação do tubo é desprezível). Tanto a pressão quanto a
temperatura são registradas simultaneamente. A máquina usada nos ensaios é mostrada
na Figura 5.5.
Figura 5.5: Máquina usada para controlar a temperatura e pressão
63
Para iniciar o experimento coloca-se água no interior do tubo e enrosca-se na
extremidade do duto o sistema de controle de temperatura e pressão. A linha de pressão
e o fio que conduz a energia elétrica são conectados à máquina a qual foi previamente
programada para permitir uma variação de temperatura de até 6 K. O dispositivo de
controle é monitorado por um computador que registra a temperatura e a pressão a cada
segundo. Com os dados obtidos a partir destes experimentos é possível plotar as curvas
de variação de temperatura e pressão com o tempo, que são mostradas a seguir.
Figura 5.6: (a) Variação da pressão no tempo. (b) Variação da
temperatura no tempo
Empregando os dados obtidos da forma descrita anteriormente foi plotado o gráfico
mostrado a seguir. Nesta figura observa-se com maior detalhe a evolução da temperatura
e da pressão com o tempo. A importância deste gráfico deve-se principalmente ao fato de
que nele é mostranda a variação dos três parâmetros (t, p e θ).
64
θ(K)
P(Bar)
t(s)
Figura 5.7: Evolução da pressão e da temperatura no tempo
5.1.3
Comparação de resultados
A fim de testar a precisão do modelo proposto nas seções anteriores será feita uma
comparação entre os resultados analíticos e os resultados experimentais, provando-se
desta forma que as hipóteses feitas têm sentido físico e fornecem a informação necessária
para aplicações em problemas de Engenharia.
No desenvolvimento do modelo matemático proposto neste trabalho supõe-se que a
variação da densidade é desprezível, em outras palavras, a razão entre a densidade a uma
determinada temperatura e a densidade referência é aproximadamente igual a 1
65
1 . Esta hipótese pode ser validada a partir dos valores de pressão registrados
0
nos ensaios e as equações de mecânica dos sólidos apresentadas a seguir.
Para uma determinada temperatura a relação
0
pode ser resumida a uma relação
de volumes internos em relação à pressão
0
V (p 0 )
V (p )
(5.2)
No caso de corpos cilíndricos com raio interno a, raio externo b e comprimento L, o
volume pode ser aproximado pela seguinte expressão.
V
R)2 (L
(a
L)
(5.3)
Sendo ∆R a variação do raio interno e ∆L a variação de cumprimento para uma
determinada pressão. Supondo que o cilindro deforma elasticamente, o tensor de tensão
é dado por
rr
zz
p ˆrr (r )
(5.4)
p ˆ (r )
(5.5)
p ˆzz
(5.6)
com
66
a2
ˆrr (r )
b2
a2
a2
ˆ (r )
ˆzz
1
b2
1
a2
b2
(5.7)
r2
b2
(5.8)
r2
a2
b2
(5.9)
a2
As expressões (5.7) - (5.9) podem ser combinadas com as equações de deformação a
seguir
ur
r
zz
1
[
E
uz
z
1
[
E
{
zz
rr }]
zz
{
}]
rr
onde E é o módulo de Young e
(5.10)
(5.11)
o coeficiente de Poisson. Estas equações possibilitam
postular as equações de variação de raio interno e de comprimento em função da pressão
p.
R(p)
pa
[ˆ (a )
E
L(p)
L
[ˆ (a )
E zz
{ˆ zz (a )
ˆ rr (a )}]
{ˆ rr (a ) + ˆ (a )}]
(5.12)
(5.13)
67
Com isto a equação (5.2) pode ser reescrita como
0
V (p0 )
V (p)
(R
(R
R(p0 ))2 (L
2
R(p)) (L
L(p0 ))
(5.14)
L(p))
Uma vez conhecidos o módulo de Young e o coeficiente de Poisson do material que
contém o líquido, no caso estudado aço API 5L grado B, com 50.8 mm (2”) de diâmetro
e 5.54 mm de espessura, é possível plotar a curva (ρ / ρ0 )× p através do tempo. As
propriedades do tubo de aço usado no experimento são E=182 GPa,
0.3
Figura 5.8: Variação da densidade no tempo
Observa-se, no gráfico acima, que a hipótese que permite desprezar a variação de
densidade é aceitável.
Os seguintes gráficos permitem validar o modelo teórico proposto nas seções
anteriores. Para facilitar a comparação dos resultados foram plotadas as curvas obtidas
tanto pelo método experimental quanto pelo modelo teórico proposto. Os valores das
68
variáveis teóricas usadas para plotar as figuras apresentadas a seguir foram:
B = 2.9 × 10 3 , η = 6.5 × 10-4 para o gráfico da esquerda γ = 5 e para o gráfico da direita
γ=6
Figura 5.9: Comparação dos resultados teoricos e experimentais da pressão
Nestes gráficos é possível observar que os resultados analíticos são bastante próximos
aos resultados obtidos experimentalmente. Como é de esperar existe uma pequena
divergência que poderia ser resultado das hipóteses simplificadoras. Mesmo assim, os
resultados mostram que o modelo é valido podendo ser de muita utilidade em aplicações
de engenharia.
69
5.2 Fluido escoando através de um meio poroso
5.2.1
Permeabilidade e porosidade
Nos capítulos anteriores foram postuladas equações referentes a permeabilidade e
porosidade que podem representar uma solução rápida e eficiente para a solução do
problema apresentado neste trabalho. Do mesmo modo, foi ressaltada a necessidade da
introdução de equações constitutivas requeridas para resolver o problema proposto neste
trabalho.
Neste ponto são apresentados os resultados obtidos principalmente a partir das
equações (3.14) a (3.18), que modelam o comportamento da permeabilidade e da
porosidade. Para os cálculos foram usados valores de referência. A escolha destes valores
foi baseado no fato de que no Litoral do Golfo nos Estados Unidos a variação da
porosidade está entre 10% e 30% e que algumas bacias do interior podem apresentar
porosidades entre 5 e 15% [75]. Portanto, serão usados os seguintes valores bastante
razoáveis: ϕ1=0.2, ϕ2=0.3, K1=1000μD e K2=10000μD.
A partir dos valores de referência e as equações indicadas anteriormente é possível
obter dados importantes para continuar com os cálculos requeridos na solução do
problema. No caso particular mencionado anteriormente, empregando as equações (3.16)
e (3.17) obtem-se: a=5.68 e b=9334759 μD. O valor de a, é igual ao valor da raiz da
equação (3.18), cujo comportamento pode ser observado na Figura 5.10, que mostra a
identificação do parâmetro a.
70
Figura 5.10: Identificação do parametro a
Figura 5.11: Permeabilidade versus porosidade
Na Figura 5.11 observa-se o comportamento da permeabilidade em função da
porosidade. As tendências de permeabilidade e porosidade sâo observadas na Figura
5.11(a), enquanto na Figura 5.11(b) o gráfico log-log associado é apresentado. Nota-se
que, como era previsto, quanto maior o valor da porosidade maior o valor da
71
permeabilidade. Outro ponto importante é que para valores pequenos de porosidade a
permeabilidade é próxima de zero, ou seja, quando a permeabilidade é muito baixa
qualquer fluido estará praticamente impedido de escoar através da matriz porosa.
A fim de validar o modelo proposto que relaciona a porosidade com a permeabilidade
serão comparadas a seguir curvas de permeabilidade versus porosidade, obtidas a partir
do modelo proposto neste trabalho com curvas obtidas a partir da extensão da equação de
Kozeny-Carman proposta por Henderson et. al. [47] para meios porosos analisados com
geometria fractal e alguns dados experimentais encontrados na literatura. A equação de
Kozeny-Carman é uma relação tradicional entre permeabilidade e porosidade muito
utilizada em escoamentos em meios porosos. Henderson et. al. [47] deduziram uma
equação de Kozeny-Carman a três parâmetros a partir da estrutura fractal, capaz de
generalizar diversos modelos analíticos.
A comparação foi feita para varios materiais, os primeiros casos apresentados são os
da fibra de vidro e o arenito de Berea (Berea sandstone em ingles). O arenito de Berea é
um material poroso composto por quarzo e sílica encontrado em reservatórios de petróleo
no estado de Ohio nos Estados Unidos [76]. Na Figura 5.12 são apresentadas as curvas
de permeabilidade contra porosidade para o arenito de Berea. Os parâmetros a e b
presentes nas equações (3.14) a (3.18) foram calculados como foi explicado
anteriormente e os valores obtidos neste caso foram a=1.01266, b= 0.00907613 μm2. A
curva obtida pelo modelo proposto neste trabalho esta próxima dos resultados
experimentais representados por pontos na Figura 5.12, além disso, a curva também
apresenta um comportamento similar ao mostrado pelo resultado obtido a partir do
modelo postulado por Henderson et al. [47]. Apesar da pequena divergência observada
nas curvas, os resultados apresentam boa precisão.
72
Uma comparação similar à mostrada anteriormente foi feita considerando fibra de
vidro. Neste caso, para obter os resultados a partir do modelo proposto foram usados os
parâmetros a=1.19833 e b=0.118249 μm2 e obsevou-se que a permeabilidade aumenta
de forma exponencial com o incremento da porosidade tanto no modelo usado para
compração [47], quanto no modelo proposto neste trabalho e que ambas as curvas de
porosidade versus permeabilidade obtidas para a fibra de vidro apresentam boa
concordância com os resultados experimentais obtidos por Rodriguez et al. [44].
Figura 5.12: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Berea. Resultados obtidos
com o modelo postulado por Henderson et. al. [47], resultados experimentais obtidos
por David et. al. [77] e o modelo proposto.
73
Figura 5.13: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro randômica. Resultados
obtidos por Rodriguez et al. [44] e o modelo proposto.
Os cálculos descritos anteriormente foram feitos também para esteiras de fibra de vidro
bidirecional e esteiras de fibra de vidro costuradas. A principal diferença entre estas
esteiras é a maneira em que os fios de fibra de vidro são tramados para construir a forma
desejada. A Figura 5.14 mostra como estas como esteiras são tecidas. Do lado esquerdo
observa-se a esteira de fibra de vidro costurada, neste caso empregas-se um fio de nylon
para unir as fitas de fibra de vidro. Do lado direito é mostrada a esteira de fibra de vidro
bidirecional. Esta esteira é fabricada com fitas de fibra de vidro entrelaçadas em duas
direções.
74
(a)
(b)
Figura 5.14: Esteiras de fibra de vidro: (a) esteira costurada.
(b) esteira bidirecional [78]
Os resultados para os casos mencionados anteriormente são apresentados na Figura
5.15 e na Figura 5.16 respectivamente. Nas curvas obtidas no gráfico de permeabilidade
contra a porosidade para a fribra de vidro bidirecional não é possível observar uma
divergência entre os resultados teóricos e os obtidos com o modelo proposto, o modelo
de Henderson et al. [47] e os pontos experimentais. Nota-se que ambas as curvas (curva
do modelo proposto e do modelo de Henderson et al.) crescem exponencialmente à
medida que aumenta o valor da porosidade. Os parâmetros usados para obter os resultados
numéricos calculados usando o modelo proposto foram os seguites a=10.1406,
b=70.6487 μm2.
Na análise para esteiras de fibra de vidro costuradas foram obtidos os seguintes valores
para os parâmetros numéricos da equação postulada neste trabalho foram, a=9.21362 e
b=46.9601 μm2.
75
Figura 5.15: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro bidirecional. Resultados
obtidos por Yu e Lee [79] e o modelo proposto.
Figura 5.16: Permeabilidade vs. Porosidade da esteira de fribra de vidro costurada.
Resultados experimentais obtidos por Shih e Lee [78] e o modelo proposto.
76
O gráfico apresentado a seguir, o ultimo usado para verficar o modelo proposto, foi
comparado com os resultados analíticos de Henderson et al. [47] e os resultados
experimentais obtidos por Doyen. P. M. [80]. O material testado neste caso foi o arenito
de Fontainebleau, este material é composto por um grão muito fino de quarzo bem
organizado e pode ser encontrado na França a uma profundidade de até 100 metros [81].
As curvas que relacionam a permeabilidade e a porosidade do arenito de Fontainebleau
são apresentadas na Figura 5.17. Observa-se neste caso, que é analisado apenas para
baixas porosidades, que a curva obtida empregando o modelo proposto não apresenta uma
diferença apreciável comparada com os resulados experimentais obtidos por Doyen [80].
Observando-se as curvas obtidas pelos modelos analíticos propostos neste trabalho é no
de Henderson e colaboradores [47], verifica-se que os resultados são muito próximos para
os valores de porosidade analisados. Como o arenito de Fontainebleau tem um grão muito
fino sempre terá uma porosidade muito baixa. Os parâmetros obtidos para calcular os
valores numéricos da permeabilidade foram a=0.581305 e b=0.0080932 μm2.
Figura 5.17: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Fontainebleau. Resultados
experimentais obtidos por Doyem [80], resultados obtidos com modelo postulado por
Henderson e. al. [47] e o modelo proposto.
77
A partir das equações adimensionalisadas para o parâmetro 𝜒, apresentado no capítulo
anterior, obtiveram-se as seguintes curvas para diferentes índices power-law. No gráfico
da Figura 5.18 é possível observar que o valor do número adimensional 𝜒, cresce com
aumento da permeabilidade. Para os cálculos foi considerada uma altura de canal H=1,
porosidade ϕ=0.5 e foram usados valores do índice de power-law entre n=-0.4 e n=0.5.
Observa-se que as curvas crescem com o aumento da permeabilidade e que o valor
máximo que elas atingem depende do índice de pawer-law usado. Esse comportamento
pode ser resultado da dificuldade que os fluidos pseudoplásticos têm para escoar, mesmo
em dutos sem materiais porosos, como foi mostrado por Martins-Costa et al. [62].
Figura 5.18: Variação de 𝜒 com a permeabilidade, para diferentes indices de powerlaw.
O modelo proposto é definido no sistema formado pelas equações (4.13) a (4.16), que
descrevem o escoamento analisado neste trabalho, estas equações representam um
problema de valor de contorno. A aproximação numérica do sistema será feita
78
transformando-se, inicialmente, o problema de valor de contorno em um problema de
valor inicial. Isto permitirá empregar o método numérico selecionado, que neste trabalho
foi o método de Runge-Kutta de quarta ordem [82]. Por conveniência, são introduzidas
as seguintes variáveis, para tratar o problema expresso pelas equações (4.13)-(4.14):
z1
w
(5.15)
z2
dw
dy
(5.16)
Desta forma o problema pode ser reescrito da seguinte forma
dz 2
dy
dz 1
dy
z1(y
22n
2n 1
z2
2n
dp
dx
(5.17)
z2
(5.18)
H)
0
e
z1(y
H)
0
(5.19)
Embora o sistema que descreve o problema tenha sido simplificado, ele continua sendo
um problema de valor de contorno. Requerer-se então o cálculo da derivada da velocidade
e para isto será empregado o método do Tiro. A aproximação é feita pelo cálculo da raiz
da função escalar
:R
R; t
z1 y
H ,t
para todo 𝑡 ∈ R, que
representa uma estimativa inicial. A solução do seguinte problema de valor inicial
fornecerá o valor da derivada da velocidade z 1 no ponto inicial
79
dz 2
dy
dz 1
dy
z1
z2
z2
0
t
22n
2n 1
z2
em
H
em
em
y=
2n
y
dp
dx
em
H
y
H
H
(5.20)
(5.21)
H
(5.22)
y= H
(5.23)
O procedimento de iteração, descrito anteriormente, é usado para estimar o valor t, que
no caso analisado representa o valor da derivada da velocidade no ponto inicial, é
conhecido como o método do tiro. Como era necessário um método incondicionalmente
convergente para o cálculo do valor da raiz da função Φ, neste problema foi usado o
método da bisseção [83] e o cálculo da velocidade foi feito pelo método de Runge-Kutta
de quarta de ordem [82]. É necessário frisar que o procedimento de mudança de variáveis
descrito é adequado apenas se 𝑧2 ≠ 0. No caso do problema em questão, z 2
y
0 em
0 , porém o valor da velocidade pode ser calculado analiticamente.
A fim de ter uma estimativa do valor da raiz 𝑧2 , foi feita uma análise do
comportamento da função Φ. Esta análise possibilitou observar a forma não linear da
função, característica que era esperada devido à forma das equações que descrevem o
problema, e, ao mesmo tempo, obter o intervalo de valores onde o método da bisseção
será usado. As figuras 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23 e 5.24 mostram as curvas da derivada
da velocidade do escoamento do fluido power-law considerado através da matriz porosa
80
saturada. Nestas curvas é possível notar que para valores negativos do índice power-law,
o valor da raiz é próximo de zero e que o valor da raiz cresce quando o valor de n aumenta.
As curvas obtidas fornecem informação valiosa não apenas para determinar o intervalo
que será usado para calcular a raiz da função mas, também para ter uma estimativa da
ordem de grandeza do passo (Δ𝑦), que deve ser usado na aplicação do método da bisseção
em cada caso. Por exemplo para valores de 𝑛 ≥ 0,2 o calculo da raiz requer um valor de
Δ𝑦 muito baixo uma vez que as curvas da derivada aproximam-se a pontos de sela. Este
comportamento dificultaria a obtenção das raízes da função Φ, se o método numérico
implementado não fosse incondicionalmente convergente.
Figura 5.19: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.2
81
Figura 5.20: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.1
Figura 5.21: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.1
82
83
Uma vez determinadas as condições de contorno necessárias para a solução do
problema descrito pelas equações (5.17) a (5.19), é possível utilizar um método numérico
(no caso o método Runge-Kutta de quarta ordem), para calcular a aproximação numérica
da velocidade do fluido escoando através do meio poroso. Os cálculos foram feitos
empregando os seguintes parâmetros: dp/dx=10-2 Pa/m, 𝜂 = 10−3 Pa.sn,
𝜑 = 0.5,
  1 ,    = 0.5 × 10−3 Pa.sn e K= 10−3 . 𝑚−2 . Os resultados obtidos permitiram
plotar os perfis de velocidade mostrados nas figuras 5.25 e 5.26. Na primeira figura foram
plotados os perfis de velocidade calculados usando o parâmetro 𝑛 ≤ 0 enquanto a
segunda mostra os perfis de velocidade (w), para 𝑛 ≥ 0. Em ambos os casos as curvas
que representam as velocidades do fluido no canal tendem a um perfil “achatado” e o
valor máximo de w se aproxima de zero à medida que o valor de n diminui. O
comportamento destas curvas pode ser resultado de duas características do escoamento;
em primeiro lugar a presença da matriz porosa, que dificulta o escoamento do fluido, e
84
em segundo lugar as características do fluido não-newtoniano considerado que muda suas
propriedades segundo o valor do parâmetro n, sendo que quando n < 0, o fluido apresenta
características pseudoplástico e quando n > 0, o fluido se comporta como dilatante.
Figura 5.25: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para
valores de n ≤ 0
Figura 5.26: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para
valores de n ≥ 0
85
No capítulo anterior foram apresentadas as equações que descrevem o comportamento
do fluido escoando através um canal poroso. Apesar deste problema não apresentar
solução analítica, é possível apenas para calcular o valor da velocidade máxima (𝑤𝑚𝑎𝑥 )
que é expressa por
wmax =
1 dp
α dx
1
2n+1
(5.24)
A partir desta equação pode ser plotada a curva da variação da velocidade máxima
contra o índice power-law, apresentada a seguir. Nota-se que o valor da velocidade
máxima aumenta exponencialmente enquanto n cresce. Observa-se também que para
valores de n menores que zero a velocidade é muito baixa, atingindo valores próximos de
zero quando 𝑛 < −0.1.
Figura 5.27: Variação da velocidade máxima com o indice power-law
86
Para o problema analisado neste trabalho o tensor parcial de tensões, para o
constituinte fluido, definido na equação (3.12) tem a seguinte forma
σF =
-pφ
τ
0
τ
-pφ
0
0
0
-pφ
(5.25)
onde a tensão de cisalhamento pode ser expressa como
η dw
τ=
2 n dy
2n+1
(5.26)
A partir da equação anterior é possível obter as curvas τ × dw / dy , considerando
diferentes valores do índice power-law, como mostra a Figura 5.28. O comportamento
das curvas muda com o incremento da taxa de deformação ( dw / dy = γ ) e do valor de
n. Observa-se por exemplo, que para valores de n > 0 e taxas de deformação pequenas os
valores da tensão de cisalhamento são menores que para fluidos newtonianos (n = 0). O
contrário é observado para valores de n < 0, nestes casos os valores da tensão de
cisalhamento são maiores que para o fluido newtoniano. Nota-se também na figura que
as curvas tendem a τ = 1× 10-3 , quando dw / dy = 1 . A partir deste ponto, à medida
que a taxa de deformação cresce a tensão de cisalhamento tem um comportamento inverso
ao mostrado para baixos valores de γ . Outra característica das curvas da Figura 5.28 é
que os fluidos com n < 0, precisam de uma pressão maior para escoar através da matriz
porosa. Nota-se que para pequenos valores da taxa deformação (dw / dy = γ) o valor da
tensão de cisalhamento tende à infinito se n < 0 e a zero se n > 0.
87
Figura 5.28: Curvas de Tensão cisalhante em uma dimensão versus taxa de
deformação cisalhante para diferentes valores de n
O cálculo da velocidade adimensional para o fluido escoando através do canal plano
apresentado na Figura 4.3 foi feito a partir da equação postulada nas seções anteriores
sendo apresentada novamente na equação (5.27).
w* =
w
(5.27)
wmax
Esta expressão permite obter os valores numéricos para plotar os perfis de velocidade
adimensional do constituinte fluido na mistura. Os resultados numéricos da velocidade
foram obtidos para diferentes valores do índice power-law, considerando os seguintes
parâmetros presentes nas equações que descrevem o problema: dp/dx=10-2 Pa/m,
η = 10 3 Pa.s n , 𝜑 = 0.5,
1,
0.5
10 3 Pa.s n e K
10 3.m
2
. As
curvas mostradas na Figura 5.29 e a Figura 5.30 representam os perfis de velocidade
adimensional do fluido para 𝑛 < 0 e 𝑛 > 0, respectivamente. Observa-se que todas estas
88
curvas apresentam uma forma plana ou “achatada”, e este comportamento fica ainda mais
definido para valores de n pequenos. Esta característica, como foi comentado
anteriormente, é causada principalmente pela resistência oferecida pelo meio poroso ao
movimento do fluido. Contudo, as propriedades do fluido têm um papel fundamental nas
curvas apresentadas. Note-se, por exemplo, que nos perfis de velocidade obtidos com
valores do índice power-law negativos (Figura 5.29) as velocidades são praticamente
constantes ao longo do canal, apresentando uma pequena variação nas vizinhanças do
contorno, o suficiente apenas para satisfazer a condição de não deslizamento.
de n ≤ 0
89
de n ≥ 0
90
Capitulo 6
6 Conclusões e sugestões
Como foi observado ao longo deste trabalho, dois problemas foram analisados de
forma independente. Um deles empregando uma abordagem de Mecânica do Continuo
Classica e o outro empregando a Teoria de Misturas. Neste capítulo serão apresentadas
as principais conclusões obtidas a partir dos estudos feitos e para um melhor entendimento
elas serão apresentadas de forma similar ao feito nos capítulos anteriores. Primeiro serão
apresentadas as conclusões para o problema do fluido confinado em um poro e
seguidamente as conclusões para o escoamento do fluido newtoniano generalizado
através de uma matriz porosa.
6.1 Fluido confinado em um poro
Um dos problemas propostos neste trabalho foi motivado pela necessidade que existe
em diferentes áreas da indústria, especialmente na indústria do petróleo, de provocar
fraturas no material poroso. Neste trabalho foi modelado um fluido confinado em um poro
fechado e foram postuladas equações de balanço de massa, balanço de momentum linear,
a primeira e a segunda lei da Termodinâmica, numa abordagem de Mecânica do Contínuo.
Estas equações foram combinadas com uma generalização da equação de Tait proposta
neste trabalho para permitir a resolução numérica de um problema no qual um fluido
pascaliano está sujeito a altas pressões e uma pequena variação de temperatura. Também
91
foi comprovado, empregando a Segunda Lei da Termodinamica, em que tipos de
processos este modelo é valido. É necessário frisar que a pressão no interior do tubo pode
gerar variações de volume, sendo a variação de densidade da agua através do tempo
estimada através da Mecânica dos Sólidos Elásticos, verificando-se uma variação
desprezível de densidade. Experimentalmente foi empregado um tubo fechado,
preenchido com água para modelar um poro fechado. O controle da temperatura foi feito
com ajuda de uma resistência elétrica e um termopar, enquanto a pressão foi controlada
por um compressor e uma máquina usada especialmente para ensaios hidrostáticos.
Os resultados obtidos tanto teoricamente quanto experimentalmente permitem
observar que o modelo analítico proposto pode fornecer informações importantes para
solução de problemas de fratura hidráulica. Com isto é provado que existe uma alternativa
para minimizar o uso de produtos químicos em processos de fratura hidráulica, o que
poderia diminuir a poluição de fontes de agua subterrânea proximas lugares de extração
de gas natural.
6.2
Fluido escoando através de um meio poroso
Para o estudo do problema de um fluido newtoniano generalizado escoando através de
um canal poroso limitado por duas placas planas foi empregada uma abordagem de Teoria
de Misturas. Baseado nesta teoria foram postuladas as equações básicas da mecânica
(Balanço de Massa, Balanço de Momentum Linear, Primeria e Segunda leis da
Termodinâmica). Posteriormente foram empregadas algumas hipóteses constitutivas que
permitem levar em conta a interação entre o fluido e o meio poroso. Ainda neste trabalho,
foi postulada uma equação que relaciona a permeabilidade e a porosidade da matriz
92
porosa que depende apenas de dois parâmetros escalares que podem ser calculados
facilmente a partir de alguns dados experimentais.
Os resultados obtidos a partir da expressão proposta para relacionar a permeabilidade
e porosidade foram comparados com resultados obtidos na bibliografia observando-se
boa concordância entre eles. A partir das equações diferenciais que modelam o
escoamento foram determinados os perfis de velocidade do fluido escoando através da
matriz porosa. Para fazer a aproximação numérica foi necessário empregar o método de
Runge-Kutta de quarta ordem combinado com o método do tiro. Os resultados obtidos
neste trabalho mostram que a metodologia proposta fornece informações validas e
importantes para a solução de problemas práticos, além de ter baixo custo computacional
e ser de fácil aplicação.
6.3 Trabalhos futuros
A seguir apresentam-se algumas sugestões uteis para dar continuação ao
desenvolvimento de trabalhos futuros:

Projetar um experimento de longa duração que possibilite a completa validação
do modelo apresentado para água liquida submetida a pequenas mudanças
de temperatura.

Testar experimentalmente a equação de Tait generalizada, proposta neste
trabalho, usando um material poroso.

Empregar a teoria de misturas no escomanto através de uma matriz porosa para
investigar os efeitos de um gradiente de temperatura devido à dissipação
viscosa.
93

Analisar um fluido escoando em um meio poroso considerando transferência
de calor.

Empregar métodos numéricos alternativos para obter a aproximação da solução
dos problemas.
94
Capitulo 7
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escoamento em meios porosos - PGMEC

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