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UFABC – NHZ3043 – NOÇÕES DE ASTRONOMIA E COSMOLOGIA – Curso 2016.2
Prof. Germán Lugones
Capítulo 3: Noções de espectroscopia e
fotometria
Hubble Space Telescope
como linha de base.
t=0
Paralaxe
A posição da Lua
em relação
às estrelas distantes é medida dua
em lados
opostos
da Terraé usada
e a paralaxe
metade
da v
A paralaxe
heliocêntrica
para medircorresponde
a distância dasàestrelas
mais
total
na direção
observada
dos dois
lados
opostos
Terra.medir
Essa apa
próximas.
À medida
que a Terra
gira em
torno
do Sol,da
podemos
direção deparalaxe
uma estrela
em relaçãoeàsé estrelas
de por:
fundo quando a Terra está
chamada
geocêntrica
expressa
de um lado do Sol, e tornamos a fazer a medida seis meses mais tarde,
RTerra
Terra
quando a Terra está do outro ladoRdo
Sol. A metade
do desvio total na
p(rad) =
°! d =
posição da estrela corresponde à paralaxe
que é expressa por:
d heliocêntrica,
p(rad)
raio geocêntrica.
da órbita da Terra
1 UA
para p sendo p(rad)
a paralaxe
=
°! d =
d
p(rad)
para p sendo
a paralaxeheliocêntrica
heliocêntrica.
19.1.2
Paralaxe
19.2
19.2.1
Unidades de distâncias astronômicas
Sol
t=3 meses
A unidade astronômica
p
r=1UA
A unidade mais adequada
para medir distâncias dentro do sistema solar é a
d
unidade astronômica (UA), que é a distância média da Terra ao Sol. Em 1 de
t=0
19.2.3
O parsec
Parsec
Um parsec é a distância de um objeto tal, que um observador nesse objeto
veria o raio da órbita da Terra com um tamanho angular de 100 , ou, em outras
palavras, é a distância de um objeto que apresenta paralaxe heliocêntrica de
100 .
1 UA
p = 1"
d = 1 pc
A distância de qualquer objeto, em unidades astronômicas, corresponde
a:
1
d(UA) =
p(rad)
169
Se a distância for 1 parsec, então a paralaxe será 100 . O ângulo de 100 ,
expresso em radianos, vale:
µ ± ∂µ
∂
1
2º rad
00
°6
1 =
=
4,
848
£
10
rad
3600
360±
Logo:
1 pc =
1 UA
= 206 265 U A
°6
4, 848 £ 10
A distância de um objeto, expressa em parsecs, é dada por:
d(pc) =
1
p(00 )
Um parsec, portanto, é igual a 206 265 UA, e é igual a 3,26 AL.
Resumindo as três unidades, para uma estrela com paralaxe heliocêntrica
qualquer, sua distância será:
1
206265
d(UA) =
=
p(rad)
p(00 )
p(00 )
Um parsec, portanto, é igual a 206 265 UA, e é igual a 3,26 AL.
Resumindo as três unidades, para uma estrela com paralaxe heliocêntrica
qualquer, sua distância será:
1
206265
d(UA) =
=
p(rad)
p(00 )
1
d(pc) = 00
p( )
3, 26
d(anos ° luz) = 00
p( )
A estrela mais próxima da Terra, Próxima Centauri, está a uma distância
de 4,3 AL, que é maior do que 1 pc. Logo, mesmo para a estrela mais
próxima, a paralaxe é menor do que 100 (na verdade é 0,7600 ).
Até há poucos anos, com os telescópios de solo disponı́veis na Terra, a
maior distância de estrelas que se podia medir com precisão melhor do que
10% era 20 pc, que corresponde a paralaxes ∏ 0, 0500 . O uso de CCDs e
telescópios dedicados baixou a incerteza das observações feitas em solo para
de 4,3 AL, que é maior do que 1 pc. Logo, mesmo para a estrela mais
próxima, a paralaxe é menor do que 100 (na verdade é 0,7600 ).
Até há poucos anos, com os telescópios de solo disponı́veis na Terra, a
maior distância de estrelas que se podia medir com precisão melhor do que
10% era 20 pc, que corresponde a paralaxes ∏ 0, 0500 . O uso de CCDs e
telescópios dedicados baixou a incerteza das observações feitas em solo para
até 1 milisegundo de arco, similar à incerteza das observações com o satélite
Hipparcos (HIgh-Precison PARallax COllecting Satellite), construı́do para
medir com alta precisão a posição e paralaxe de 120 000 estrelas de nossa
galáxia. É importante notar que 1 milisegundo de arco é o tamanho angular
de uma pessoa na Lua vista da Terra. Para atingir essa precisão, foi necessário fazer a correcção pelo efeito relativı́stico do desvio da luz pelo Sol,
que é de 1,7 segundos de arco na borda do Sol e 4 milisegundos de arco a
90± do Sol.
170
21.1
Intensidade
Grandezas tı́picas
do campo de radiação
21.1
Grandezas tı́picas do campo de radiação
A grandeza mais caracterı́stica de um campo de radiação é uma constante
chamada intensidade
especı́fica
monocromática
I∫ , que
é a energia
uniA grandeza mais
caracterı́stica
de um campo
de radiação
é umapor
constante
dade de área
e por unidade
deespecı́fica
tempo que
está sendo Iemitida
fonte,
chamada
intensidade
monocromática
a energia
porem
uni∫ , que é pela
dade
área e por unidade
de tempo
está sendo
fonte, em
um intervalo
dede
freqüências
d∫, dentro
de umque
ângulo
sólidoemitida
d! = pela
sen µdµd¡,
um intervalo
freqüências
d∫,normal
dentro de
ângulo sólido
d! = ou
senseja:
µdµd¡,
o qual faz um
ângulo µdecom
a direção
à um
superfı́cie
emissora,
o qual faz um ângulo µ com a direção normal à superfı́cie emissora, ou seja:
dE
dE
I∫ = I =
∫ cos µ d! d∫
dt dA
dt dA cos µ d! d∫
S
(21.1)
(21.1)
S
I
θ
θ
dA
P
dA
dω
I
dω
P
A intensidade especı́fica, por sua definição, não depende da distância
da fonte emissora, se não houverem
fontes ou absorsores de radiação ao
dA
P
longo da linha de visada. Geralmente, é medida em J m°2 s°1 sr°1 Hz°1 no
sistema MKS, ou erg cm°2 s°1 sr°1 Hz°1 no sistema cgs. Um sr, chamado de
A intensidade especı́fica, por sua definição, não depende da distância
esferorradiano, é uma unidade de ângulo sólido (d! = sen µdµd¡).
da fonte emissora, se não houverem fontes ou absorsores de radiação ao
Podemos, também, definir a intensidade especı́fica monocromática por
longo da linha de visada. Geralmente, é medida em J m°2 s°1 sr°1 Hz°1 no
intervalo de comprimento
de onda, notando que, por definição:
sistema MKS, ou erg cm°2 s°1 sr°1 Hz°1 no sistema cgs. Um sr, chamado de
esferorradiano, é uma unidadeIde|d∫|
ângulo
= I∏sólido
|d∏|. (d! = sen µdµd¡).
(21.2)
∫
Podemos, também, definir a intensidade especı́fica monocromática por
intervalo
de comprimento
de integrada
onda, notando
que, opor
definição:
A intensidade
especı́fica
em todo
espectro
de freqüências é
dada por:
ZI 1|d∫| = I |d∏|.
Z 1
(21.2)
∫
∏
I=
I∫ d∫ =
I∏ d∏.
(21.3)
o
o
A intensidade especı́fica integrada
em todo
o espectro de freqüências é
Outra
interesse é o fluxo F, que é a energia por
dada
por: quantidade de grande
Z 1
Z 1
unidade de área e por unidade de tempo que chega ao detector, e é o que
I=
I∫ d∫ =
I∏ d∏.
(21.3)
se mede realmente. Formalmente,
o
fluxo
em
uma
certa
freqüência,
em
o
o
um Outra
dado ponto
e em uma
dada interesse
direção, éé ao quantidade
de energia
quantidade
de grande
fluxo F, quelı́quida
é a energia
por
unidade de área e por unidade de tempo que chega ao detector, e é o que
I=
Z
1
Z
1
I∫Fluxo
d∫ =
o
I∏ d∏.
(21.3)
o
Outra quantidade de grande interesse é o fluxo F, que é a energia por
unidade de área e por unidade de tempo que chega ao detector, e é o que
se mede realmente. Formalmente, o fluxo em uma certa freqüência, em
um dado ponto e em uma dada direção, é a quantidade lı́quida de energia
radiante cruzando a unidade de área, por unidade de tempo, e por intervalo
de freqüência, ou seja:
178
dF∫ =
dE
= I∫ cos µd!
dAdtd∫
(21.4)
que integrando nos dá o fluxo em uma freqüência (∫)
F∫ =
Z
I∫ cos µd! =
Z
0
2º
Z
º
2
I∫ cos µsen µdµd¡
(21.5)
0
O fluxo, portanto, significa potência através de uma superfı́cie, e é expresso em erg cm°2 s°1 , ou em watt m°2 . O fluxo integrado no espectro
de freqüências será:
O fluxo, portanto, significa potência através de uma superfı́cie, e é expresso em erg cm°2 s°1 , ou em watt m°2 . O fluxo integrado no espectro
de freqüências será:
Z 1
Z 1
F =
F∫ d∫ =
F∏ d∏.
o
o
Ao contrário da intensidade especı́fica, o fluxo de radiação cai com o quadrado da distância (r), de forma que o fluxo que chega na Terra é muito
menor do que o fluxo na superfı́cie do astro, estando diluı́do por um fator
de r12 .
Para uma estrela esférica de raio R, o fluxo na sua superfı́cie será:
L
F (R) =
4ºR2
(21.6)
onde L é a luminosidade intrı́nseca, que é a energia total emitida por unidade
de tempo em todas as direções.
O fluxo a uma distância r da estrela será:
F (r) =
L
4ºr2
(21.7)
m = °2, 5aparente
log F +
(21.8
expresso em termos da magnitude
m,const.
que por definição é dada por:
Magnitude aparente
mastro
= °2,é5grego
log F +
const.
(21.8)
que oanos
brilho
deoum
medido
em magnitudes?
2000
ano
MaisPor
de 2000
atrás,
astrônomo
Hiparco
inventou um Há
sistema
para
atrás, o grego
Hiparcovisíveis
(160-125
estrelasno
visı́veis
olho nu d
classificar
as estrelas
pora.C.)
seudividiu
brilho asaparente
céu, aatribuindo
Por que o brilho de um astro é medido em magnitudes? Há 2000 anos
acordo com
aparente,
atribuindo
magnitude
1 à seu
maisbrilho
brilhante
e 6 às mais
fracas. magnitude 1 à mais brilhante e 6
atrás, o grego Hiparco (160-125 a.C.) dividiu as estrelas visı́veis a olho nu de
às mais fracas. Em 1856, Norman Robert Pogson (1829-1891) verificou qu
acordo com seu brilho aparente, atribuindo magnitude 1 à mais brilhante e 6
Em
1856,
Norman
Pogson
(1829-1891)
verificou
que o sistema,
baseado
o sistema,
baseado
na1856,
percepção
deRobert
brilhoPogson
do
olho
humano,
é logarı́tmico,
às mais
fracas.Robert
Em
Norman
(1829-1891)
verificou
que
na
debaseado
brilho do
humano,
logarítmico,
emagnitude
o fluxo écorrespondente
a
o percepção
fluxo
correspondente
apercepção
uma
estrela
de
primeira
(m=1) erae 100
o sistema,
naolho
de ébrilho
do olho humano,
logarı́tmico,
uma
estrela
primeira que
magnitude
(m=1)de
eraprimeira
100 vezes
mais
que100
uma
vezes
maisde
brilhante
de
magnitude
6, debrilhante
modo
o fluxo
correspondente
auma
uma estrela
estrela
magnitude
(m=1)que:
era
estrelavezes
de magnitude
6, de que
modo
que:
mais brilhante
uma
estrela de magnitude 6, deµmodo
∂ que:
F1
µ F
∂1
m1 ° m2 = K log F1 °! 1 ° 6 = K log
F1 F
F
2
2
m1 ° m2 = K log
°! 1 ° 6 = K log
F2
F2
°5 = K log(100) °! K = °2, 5
°5 = K log(100) °! K = °2, 5
como
na definição
anterior.
Portanto,
como
na definição
anterior.Logo:
Logo:
FF
22
mm2 2°°m
=
°2,
5
log
m11 = °2, 5 log
FF
11
(21.9
(21.9)
Normalmente, utiliza-se a magnitude aparente
180 da estrela Vega como m = 0.
180
Para comparação:
• Sol: -26.74
• Lua: -2.50 a -12.74
• Vênus: -3.82 a -4.89
• Júpiter: -1.61 a -2.94
• Marte: 1.84 a -2.91
• Mercúrio: 5.73 a -2.45
• Sirius (estrela mais brilhante tirando o Sol): -1.44
• Saturno: 1.47 a -0.49
• objeto mais fraco já observado: ~36
A pupila do olho humano, quando adaptada ao escuro, tem aproximadamente 7
mm. Um telescópio com 7 cm de diâmetro, tem uma área (70 mm / 7 mm)2=100
vezes maior e portanto capta 100 vezes mais fótons. Desta maneira este telescópio
de 7 cm de abertura permite observar 5 magnitudes mais fracas do que o olho
humano, ou seja, até magnitude 6+5=11.
Exercício: Duas estrelas A e B têm luminosidades 6,4 e 0,4 L⊙, respectivamente.
Ambas são observadas com o mesmo brilho (magnitude) aparente. Qual é a estrela
mais distante?
m = C − 2,5 log F
L
F=
4π d 2
LA= 6,4 L⊙ e LB= 0,4 L⊙ ; mA=mB
LA
m A = C − 2,5 log
4π d A2
LB
mB = C − 2,5 log
4π d B2
LA
LB
=
2
4π d A 4π d B2
2
6,4 ⎛ d A ⎞
d
⎟⎟ ⇒ A = 16
= ⎜⎜
0,4 ⎝ d B ⎠
dB
d A = 4d B
absoluta
A magnitude aparente de Magnitude
uma estrela mede
seu brilho aparente, que depen
de sua distância. Por exemplo, será Sı́rius, com m=-1,42, intrinsicamen
A magnitude aparente de uma estrela mede seu brilho aparente, que depende de
mais
brilhantePara
do podermos
que Vega,comparar
com m=0?
Para podermos
os brilh
sua distância.
os brilhos
intrínsecos comparar
de duas estrelas,
intrı́nsecos
de duas
estrelas,
usar uma
brilho
precisamos usar
uma medida
de precisamos
brilho que independa
da medida
distância.de
Para
isso, q
independa
da distância.
isso,(M)
definimos
como
magnitude
absoluta
definimos como
magnitude Para
absoluta
a magnitude
teórica
que a estrela
teria (M
estivesse a 10
parsecsque
de nós.
asemagnitude
teórica
a estrela teria se estivesse a 10 parsecs de nós.
M = °2, 5 log[F (10 pc)] + const.
(21.1
A diferença entre a magnitude aparente e a183
absoluta é dada por:
A diferença entre a magnitude aparente e a absoluta é dada por:
m ° M = °2, 5 log[F (r)] + 2, 5 log[F (10 pc)] = °2, 5 log
Como
F (r)
=
F (10 pc)
F (R)4ºR2
4ºr 2
F (R)4ºR2
4º(10 pc)2
F (r)
(21.13
F (10 pc)
(10 pc)2
100 pc2
=
=
r2
r2
(21.14
mM° =
M °2,
= °2,
5 log[F
(r)]++2,2,55log[F
log[F (10
pc)]
==°2,
5 log
(21.13)
m
°
5
log[F
(r)]
(10
pc)]
°2,
5
log
(21.13)
F
(10
pc)
A diferença entre a magnitude aparente e a absoluta é dada
por:
F (10
pc)
Calculemos:
Como
Como
Como
m°M =
Como
F (R)4ºR22
2
2
F (r)
F (R)4ºR
F
(r)
(10
pc)
100
pc
2
2
2
4ºr
°2, 5 log[F
+F2,
54ºrlog[F
pc)]
5 log
(21.13)
F (r)(r)]
(10
pc)= °2,
100
pc
2 2 (10
==
=
=
(21.14)
(R)4ºR
2
F
(10
pc)
2
2
=
=
(21.14)
2
2
FF(R)4ºR
2
F
(r)
(10
pc)
100
pc
2
2
2
F (10
pc)
r
r
(R)4ºR
4ºr
F (10 pc)=
r
r
=
(21.14)
22 =
4º(10
pc)
4º(10
pc)
2
2
2
F (R)4ºR
F (10 pc)
r
r
4º(10 pc)22
onde
R
é
o
raio
da
estrela,
ou
seja,
F (R)4ºR
onde
R ééooraio
raiodada
estrela,
ou
seja,
onde R
estrela.
Temos
então:
F (r)
(10 pc)2
100 pc2
2
4ºr
onde R é o raio da estrela,=ou seja, 2 =
=
2 pc2
2
(R)4ºR
100
F (10 pc) m °FM
r
r
2
2
°2, 5 log 100
pc
4º(10=pc)
2
r
m ° M = °2, 5 log100 pc2
ou
m °ou
Mseja,
= °2, 5 log
onde
ouR é o raio da estrela,
ou
r2
r2
m ° M = 5 log r ° 5
pc2
(21.14)
(21.15)
(21.15)
(21.15)
(21.16)
100
m
°
M
=
°2,
5
log
(21.15)
m
°
M
=
5
log
r
°
5
o chamado módulo de distância.
Nesta
fórmula
a
distância
da
estrela,
r, (21.16)
2
m ° M = 5 log r ° r5
(21.16)
tem que ser medida em parsecs.
o chamado
módulo
Nestafórmula
fórmulaa distância
a distância
estrela,
Logo,
oouchamado
módulo de
de distância.
distância. Nesta
da da
estrela,
r, r,
m°M
+5
A tem
grandeza
(m
−
M)
é
denominada
módulo
de
distância.
Nesta fórmula(21.16)
a distância
tem
que
ser
medida
em
parsecs.
m
°
M
=
5
log
r
°5
5
r(pc)
=
10
que ser medida em parsecs.
da estrela,
Logo, r, tem que ser medida em parsecs.
Logo,
o chamado módulo de distância. Nestam°M
fórmula
a distância da estrela, r,
+5+5
m°M
21.2.4 Magnitude bolométrica
r(pc)
r(pc)==10
10 5 5
tem que ser medida em parsecs.
Logo,
Se
tivéssemos um equipamento que tivesse 100% de sensibilidade em todos
Logo,
m°M +5
os comprimentos
de onda,
teoricamente
poderı́amos
obter o fluxo em todo
5
21.2.4
Magnitude
bolométrica
r(pc)
=
10
21.2.4 Magnitude bolométrica
o intervalo espectral. A magnitude correspondente ao fluxo em todos os
comprimentos
onda é a magnitude
bolométrica
Se tivéssemos
umdeequipamento
que tivesse
100%mde
bol .sensibilidade em todos
Se tivéssemos um equipamento que tivesse 100% de sensibilidade em todos
Índice de cor
As magnitudes aparentes e absolutas introduzidas antes, são medidas considerando
todos os comprimentos de onda emitidos pela estrela. Elas se denominam
magnitudes bolométricas e serão designadas como mbol e Mbol.
Porém, na prática, os detectores medem o fluxo de uma estrela apenas dentro de um
certo intervalo de comprimentos de onda, definido pela sensibilidade espectral do
do conjunto telescópio + filtro + detector.
A cor de uma estrela pode ser determinada de forma precisa usando filtros que
transmitem a luz da estrela apenas dentro de uma certa banda estreita de
comprimentos de onda.
No sistema fotométrico UBV, a magnitude aparente da estrela é medida através de
três filtros. Temos então três magnitudes:
• U (ultraviolet) medida com um filtro centrado em λ=365 nm com largura de
banda de 68 nm.
• B (blue) medida com um filtro centrado em λ=440 nm com largura de banda
de 98 nm.
• V (visible) medida com um filtro centrado em λ=550 nm com largura de
banda de 89 nm.
• U, B e V representam os brilhos
ou magnitudes aparentes (mU,
mB , mV) nas bandas do
ultravioleta, azul e visível.
• Os sistemas fotométricos
também se estendem para outras
faixas espectrais como o
vermelho (R,I) e o infravermelho
(J, H, K, L, M..)
Em qualquer sistema de magnitudes multicor define-se os índices de cor como a
razão entre os fluxos em duas bandas diferentes, ou equivalentemente, como a
diferença entre duas magnitudes do sistema:
• subtraindo a magnitude V da magnitude B temos o índice de cor B−V, o qual
é dado por: B−V = mB− mV = −2.5 log (FB / FV)
• subtraindo a magnitude B da magnitude U temos o índice de cor U−B, etc.
• Por convenção, fazemos: banda mais azul – banda mais vermelha
Como veremos adiante, os índices de cor são importantes para determinar a
temperatura das estrelas. Os índices de cor têm valores típicos de décimos ou
centésimos de magnitudes.
Exemplo: O índice de cor
depende da temperatura da
estrela. Para ver isso,
consideremos três estrelas a, b,
c tais que Ta > Tb > Tc .
(a) Estrela quente (30.000 K):
sua intensidade (e fluxo) na
banda azul (B) > banda
visível (V): FB > FV ⇒ B < V
⇒ [B-V] < 0
⇒ é mais
azulada.
(b) T=10.000 K: intensidades em
B e V são iguais.
(c) Estrela fria (3.000 K):
intensidade em B < V. FB < FV
⇒ B > V ⇒ [B-V] > 0 ⇒ é
mais avermelhada.
As cores das estrelas estão relacionadas com a sua temperatura na superfície.
Por exemplo, na constelação de Orion:
• Rigel (β) é azul (T=15000K)
• Betelgeuse (α) é vermelha
(T=3000K)
Extinção atmosférica
Embora a atmosfera seja praticamente transparente na faixa visível (350 nm a 650
nm), ela absorve fortemente no ultravioleta (100 a 350 nm) e em várias bandas do
infravermelho (1 µm a 1 mm), de modo que não podemos medir ultravioleta do
solo, e infravermelho somente acima de 2000 m de altura.
Janelas na Atmosfera Terrestre: na superfície, somente pode ser detectada radiação das janelas
no óptico, em partes do infravermelho e em rádio.
Astronomia Espacial: para os casos em que atmosfera é opaca (raios-gama, raios-X e UV):
detectados com equipamentos em aviões, balões e satélites.
Fig. 3.2. The transparency of the atmosphere at different wavelengths. 100% transmission means that all radiation reaches
the surface of the Earth. The radiation is also absorbed by inter-
stellar gas, as shown in the lowermost very schematic figure.
The interstellar absorption also varies very much depending
on the direction (Chap. 15)
to 1.3 µm. There are some absorption belts caused by
At optical wavelengths (300–800 nm), light is scat-
A transparência da atmosfera em diferentes comprimentos de onda. transmissão 100%
significa que toda a radiação atinge a superfície da Terra. A radiação também é absorvida
pelo gás interestelar, como mostrado na figura mais inferior (muito esquemática).
Na atmosfera, existem vários componentes que difundem a luz em todas as
direções (moléculas, partículas sólidas de poeira e fumaça), causando uma
extinção contínua, em todos os comprimentos de onda.
A extinção é tanto maior quanto maior for a quantidade de ar atravessada pela luz.
É por esse motivo que podemos olhar diretamente para o Sol quando ele está no
horizonte.
Como a atmosfera da Terra afeta as medidas, devemos ajustar as magnitudes
observadas aos valores que teríamos se as observações fossem feitas fora da
atmosfera.
O efeito da atmosfera é o de absorver e espalhar a radiação em outras direções,
processos esses que são descritos por um coeficiente de absorção k, usualmente
medido em cm-1.
por um coeficiente de absorção k, usualmente medido em cm°1 .
observadas
devemem
seroutras
ajustadas
aos valores
que terı́amos
se assão
observações
espalhar
a radiação
direções,
processos
esses que
descritos
fossem
feitas fora
da atmosfera.
O efeito da
atmosfera
de. absorver e
❈ é o°1
por um
coeficiente
de absorção
k, usualmente
medido
I oem cm
Z
espalhar a radiação em outras direções, processos esses que são descritos
°1
❈
por um coeficiente de absorção k,
I o em cm .
Z usualmente medido
❈
Io
Z
x
dx
z
ds
x
x+dx x
dx
dx
z
I
ds
z
ds
(x + dx)Ipróximas
= F (x) °dakF
(x)ds,
Consideremos o fluxo em duasFcamadas
atmosfera:
x+dx
dF = F (x + dx)I° F (x) = °kF (x)ds
F (x + dx) = F (x) ° kF (x)ds,
Para distâncias zenitais F
pequenas,
podemos
aproximar
(x + dx) =
F (x) ° kF
(x)ds, a atmosfera por uma
dFespessura
= F (x + constante
dx) ° F (x) =então,
°kF (x)ds
camada plana de
escrever dx =
dF = F (x + dx) ° F e,
(x) = °kFpodemos
(x)ds
dsdistâncias
cos z !zenitais
dszenitais
= secpequenas,
zdx,
ondepodemos
z épodemos
a distância
zenital,
Para
pequenas,
aproximar
a atmosfera
por camada
uma
Para
distâncias
aproximar
a atmosfera
por uma
Para distâncias zenitais pequenas, podemos aproximar a atmosfera por uma
plana
de espessura
constante
e, então,
podemos
dx=cos(z)ds
⇒ ds=sec(z)dx,
camada
plana de
espessura
constante
e, escrever
então,
podemos
escrever
dx =
=
camada plana de espessuradF
constante
e,
então,
podemos
escrever
dx
=
°k sec z zenital,
dx
onde
z é za distância
zenital,
ds cos
!
ds
=
sec
zdx,
onde
z
é
a
distância
ds cos z ! ds = sec zdx, ondeFz é a distância zenital,
dF dF Fo o fluxo no topo da atmosfera e F o
Sendo H a altura da atmosfera,
= °k
secsec
z dx
= °k
z dx
que chega ao observador. Então:
F F
Z
Z
x+dx
= °k sec z dx
F
Seja H a altura da atmosfera, Fo o fluxo no topo da atmosfera e F o que chega ao
Sendoentão:
H a altura da atmosfera, Fo o fluxo no topo da atmosfera e F o
observador,
que chega ao observador. Então:
Z F
Z H
dF
= °k sec z
dx
Fo F
o
e
ln
F
= °k sec zH °! F = Fo e°k sec z H .
Fo
186
A grandeza k sec(z)H é denominada espessura ótica 𝜏.
Temos,
assim,k sec
a espessura
expressa
da assim,
distância
zenital z. Supondo
O termo
z H é a ótica
espessura
óticaemø .função
Temos,
a espessura
ótica
queexpressa
a atmosfera
formadadapor
camadas zenital
plano-paralelas,
ela pode
seraexpressa
em éfunção
distância
z e, supondo
que
camadapor
at-𝜏 =
𝜏o mosférica
sec(z), ondeé 𝜏formada
a espessura
na direção do ela
zênite.
o = kH épor
camadasótica
plano-paralelas,
pode ser expressa por
ø = øoosec
z, será:
onde øo = kH é a espessura ótica na direção do zênite, e o
Portanto,
fluxo
fluxo será:
F = Fo e°ø = Fo e°øo sec z
(21.19)
Em magnitudes, essa equação fica:
m = °2, 5 log Fo + (2, 5 log e) øo sec z = mo + K · X
F = Fo e°ø = Fo e°øo sec z
Na expressão anterior, aplicamos −2,5 log(…) em ambos lados da equação:
Em magnitudes, essa equação fica:
(21.19)
m = °2, 5 log Fo + (2, 5 log e) øo sec z = mo + K · X
m = mo + 1, 086 øo sec z = mo + 1, 086 ø = mo + K · X
(21.20)
onde K = 1, 086øo é o coeficiente de extinção, e X = sec z é a massa de ar.
exemplo
aplicaçãodedeste
conceito
considerarmos
umamassa
estrela
onde KUm
= 1,086
𝜏o é odecoeficiente
extinção,
e X =é sec(z)
é denominado
observada a uma distância zenital de 45o . Como sec 45o = 1, 41 e usando um
de ar.
coeficiente kH = 0, 46, tı́pico de observações óticas, obtemos F = 0, 52 Fo
ou seja, a atmosfera terrestre absorve 48% da luz da estrela ao observarmos
a 45o do zênite.
o
A diferença
(m °
moestrela
) é a extinção
em zenital
magnitudes
Exemplo:
consideremos
uma
observadaatmosférica
a uma distância
de 45 .e é deter
minada através
de estrelas padrões para as quais mo é conhecido.
o
Como sec 45 = 1,41 e usando um coeficiente kH = 0,46, típico de observações
A constante K é caracterı́stica do meio e depende do comprimento de
óticas, obtemos F = 0, 52 Fo, ou seja, a atmosfera terrestre absorve 48% da luz da
onda, sendo mais correto
escrever
o
estrela ao observarmos a 45 do zênite.
m(∏) = mo (∏) + K(∏) · X.
Para o sistema UBV, e para locais situados acima de 1500 m de altitude
os valores dos coeficientes de extinção são: K(U ) ' 1, 48, K(B) ' 0, 56 e
observada a uma distância zenital de 45 . Como sec 45 = 1, 41 e usando um
observada
a uma
zenitaldedeobservações
45o . Como óticas,
sec 45o obtemos
= 1, 41 e Fusando
um
coeficiente
kH distância
= 0, 46, tı́pico
= 0, 52
Fo ,
A
diferença
(m
m
)
é
a
extinção
atmosférica
em
magnitudes.
Ela
o terrestre
coeficiente
= 0, 46,
tı́pico deabsorve
observações
óticas,
F observarmos
= 0, 52 Fo , é
ou seja, akH
atmosfera
48% da
luz daobtemos
estrela ao
determinada
através de
estrelasabsorve
padrões48%
para da
as quais
o é conhecido.
ouaseja,
a atmosfera
terrestre
luz damestrela
ao observarmos
45o do
zênite.
a 45o A
dodiferença
zênite. (m ° mo ) é a extinção atmosférica em magnitudes e é deter
A diferença
°m
atmosférica
e é detero ) é a extinção
através
de
estrelas
padrões
para
as quaisem
m
é conhecido.
A minada
constante
K é(mcaracterística
do meio
e depende
doomagnitudes
comprimento
de onda.
minada
através
de
estrelas
padrões
para
as
quais
m
é
conhecido.
o
A constante
K é caracterı́stica
do meio e depende
do comprimento de
Portanto,
é mais correto
escrever
A constante
K écorreto
caracterı́stica
onda,
sendo mais
escrever do meio e depende do comprimento de
onda, sendo mais correto escrever
m(∏) = mo (∏) + K(∏) · X.
m(∏) = mo (∏) + K(∏) · X.
Para o sistema UBV, e para locais situados acima de 1500 m de altitude,
o sistema
UBV, e para
situados
acima
de1,1500
de altitude,
osPara
valores
dos coeficientes
de locais
extinção
são: K(U
)'
48, m
K(B)
' 0, 56 e
osK(V
valores
) ' dos
0, 40.coeficientes de extinção são: K(U ) ' 1, 48, K(B) ' 0, 56 e
K(V )No
' 0,
40. exemplo de observarmos uma estrela a 45o do zênite, vemos
nosso
o doo zênite, vemos
Noa nosso
exemplo
de observarmos
estrela
a 45
que
extinção
atmosférica
neste caso uma
equivale
a 1, 46
sec 45
= 2, 09 mag em
o = 2, 09 mag em
o = 0, 79 mag
que
neste
equivale
a o1,=
460,sec
U,a0,extinção
56 sec 45atmosférica
em caso
B e 0,
40 sec 45
5745
mag
em V.
o = 0, 79 mag em B e 0, 40 sec 45o = 0, 57 mag em V.
U, 0, 56
sec 45
Como
vemos,
os coeficientes de extinção decrescem de U para V, indiComoque
vemos,
os coeficientesdedeonda
extinção
decrescem
deabsorvidos
U para V, eindicando
os comprimentos
menores
são mais
espacando
que
comprimentos
onda menores
sãoé mais
lhados
doosque
os maiores, edeportanto
a luz azul
mais absorvidos
extinguida edoespaque a
lhados
do que
os maiores,
e portanto
a luz
azul é mais
do que a
vermelha.
Portanto,
a extinção
torna
as estrelas
maisextinguida
avermelhadas.
vermelha. Portanto, a extinção torna as estrelas mais avermelhadas.
propagar em de
quanta
discretos,
ou fótons, cada um com energia E = h∫.
Radiação
corpo
negro
essa quantização da energia, ele pode deduzir teoricamente a intensida
um campo de radiação, como demonstrado a seguir.
A radiação de corpo negro é o
tipo de radiação eletromagnética
emitida por um corpo em
equilíbrio termodinâmico
(radiação em equilíbrio com a
matéria) a uma temperatura T.
A radiação tem um espectro e
intensidade específica que depende
apenas da temperatura do corpo.
Em 1900, Planck postulou que a
energia eletromagnética só pode se
propagar em quanta discretos, ou
fótons, cada um com energia E=h𝜈.
Com essa quantização da energia,
ele deduziu teoricamente a
intensidade de um campo de
radiação.
Lei de Planck
T=10 000K
30
20
T=9000K
10
T=7000K
T=5500K
0
2000
4000
6000
8000
2000
4000
6000
8000
A intensidade
especı́fica
monocromática
(energia
unidade
de compri- de
A intensidade
específica
monocromática
(energia
por por
unidade
de comprimento
mento
onda,de
portempo,
unidade
tempo,depor
unidade
de área, de
e por
unidade
onda,
por de
unidade
porde
unidade
área,
e por unidade
ângulo
sólido) de
ângulo
detemperatura
um corpo que
tem uma
temperatura
uniforme
T que
umde
corpo
que sólido)
tem uma
uniforme
T que
está em equilíbrio
termodinâmico
A equilı́brio
intensidade
especı́fica
monocromática
(energia
por unidade
de compriestá
com seu B
próprio
campo
de radiação,
isto
com
seuem
próprio
campotermodinâmico
de radiação,
é chamada
𝜆(T) e é dada pela Lei de Planck:
por B
unidade
tempo,
porLei
unidade
de área, e por unidade
é, émento
opaco,deé onda,
chamada
é dada
pela
de Planck:
∏ (T ) e de
de ângulo sólido) de um corpo que tem uma temperatura uniforme T que
cE
está em equilı́brio termodinâmico
com
campo de radiação, isto
B∏ (T )d∏ = ° seudnpróprio
b (p),
é, é opaco, é chamada B∏ (T ) e é dada4º
pela Lei de Planck:
onde E é a energia da partı́cula, c é a velocidade
da luz, e dnb (p) é o número
cE
dnb (p),
∏ (T )d∏ =à°
de fótons com momentum p, B
associado
energia
E, e é dado pela distribuição
4º
onde E é a energia da partícula, c é a velocidade da luz.
de momentum p de Bose-Einstein de um gás de bósons de spin s [veja seção
onde E é a energia da partı́cula, c é a velocidade da luz, e dnb (p) é o número
(24.1)]:
A grandeza
dnb(p)
o número dep,fótons
comàmomentum
e é dado
distribuição
de fótons
comé momentum
associado
energia E, ep,
é2 dado
pelapela
distribuição
(2s
+de1)bósons
4ºpspin
dpde
de momentum
de Bose-Einstein
s=1:
de momentum
pdn
deb (p)
Bose-Einstein
de um
gás de de
bósons
= de um gás
, spin s [veja seção
3
exp[(E ° µ)/kT ] ° 1 h
(24.1)]:
(2s + 1)
4ºp2 dp
dnb (p) =
,
exp[(E191
° µ)/kT ] ° 1 h3
sendo µ o potencial químico.
191
resenta odo
número
de de
partı́culas
independenproduto
volume
espaço e(estados
de momentum.
2
o produto
do
volume
espaço
ezero
de
momentum.
2hc
1
esma
energia
E, eque
o termo
h°3deé de
necessário
devido
Para
um
fóton,
é
um
bóson
massa
e
spin
1,
E
=
h∫,
p
=
h∫/c,
B
(T
)
=
Para
um
fóton,
que
é
um
bóson
de
massa
zero
e
spin
1,
E
=
h𝜈,
p
=
h𝜈/c,
𝜆p==c/𝜈
eµ=
∏ e spin 1,5 E hc/∏kT
Para
um
fóton,
que
é
um
bóson
de
massa
zero
=
h∫,
h∫/c,
eza
de
Heisenberg,
proposto
em
1927
por
Werner
Karl
∏
e
°
1
= c/∫ e µ = 0. Com esses valores se pode obter:
Com
valores
pode
obter:da
6), 0.
que
define
o menor
tamanho
possı́vel
célula se
para
∏ =esses
c/∫
eµ=
0.seCom
esses
valores
pode obter:
de espaço e de momentum.
onde2hc
h 2é a constante
de Planck, e k = 1, 38 £ 10°16 ergs/K é a
1
2
B∏e(T
)Boltzmann.
=1, E 5= h∫,
(21.21)
e é um bóson de massa zero
spin
p =2hc
h∫/c,
1
hc/∏kT
∏
e
°
1
B∏ (T ) = 5 hc/∏kT
(21.21)
m esses valores se pode obter:
Para
escrever a lei de Planck em termos de freqüência, preci
∏ e
°1
a equação
(21.2),
e ergs/K é a constante de
de h é a constante
de Planck,
e k = 1, 38
£ 10°16
2
2hc
1
d∫
B∏ (Tonde
) = h5 é ahc/∏kT
constante de Planck, e (21.21)
k = 1, 38 £ 10°16 ergs/K
éca constante de
oltzmann.
=
°
∏ e
°1
-16 ergs/K é a constante
2 Boltzmann.
ondeescrever
h é a constante
de
Planck,
e k=1,38×10
d∏ utilizar
∏de
Para
a lei de Planck
em termos
de freqüência,
precisamos
Boltzmann.
-2 Hz-1 sr-1
tem
de°16
mde
obtendo
equação
aWlei
Planck
em termos
utilizar
𝜆(T) (21.2),
de B
Planck,
ePara
kunidades
= e1,escrever
38 £ 10
ergs/K
é a constante
de de freqüência, precisamos
2
∏
a equação (21.2), e d∫ = ° c
B
=
B
∫
∏
Para escrever a lei de Planckd∏
em
termos
de
frequência, fazemos:
c
∏2 d∫
de Planck em termos de freqüência,
precisamos
utilizar c
=° 2
ou
tendo
d∏
∏
2
d∫
c
∏
2h∫ 3
1
=° 2
B∫ = B∏
obtendo
B
(T
)
=
∫
d∏
∏
c
c2 eh∫/kT ° 1
∏2
B∫ = B∏
2
onde,
em
do csistema internacional:
∏
3 unidades
2h∫
1
ouB∫ = B∏ c B∫ (T ) = 2
(21.22)
°34
c eh∫/kT
°
1
3
h =2h∫constante
Js,
1 de Planck = 6, 63 £ 10
8
°1
Essa intensidade
específica
nãoBdepende
qualquer
propriedade
do10corpo
a, não ser
(21.22)
∫ (T )c ==de2velocidade
da
luz
=
3
£
m
s
2h∫ 3 do sistema
1
h∫/kT
de, em unidades
internacional:
c e termodinâmico
°1
B∫ (T
) = 2 h∫/kT
(21.22)
sua
temperatura.
Qualquer
corpo
em
equilíbrio
emitirá
fótons
comJ K
k = constante de Boltzmann
= 1, 38
£ 10°23
c e
°1
°34 pela Lei de Planck. Esta radiação,
uma onde,
distribuição
de comprimentos
onda
unidades
sistema
internacional:
h = emconstante
dedoPlanck
= de
6,
63
£ 10dada
Js,
sistema
internacional:
8
°1
chamada
de radiação
de da
corpo
negro,
ou m
radiação
térmica,não
não depende
depende da
de pr
Essa
de direção
qualquer
c =
velocidade
luz
= 3 intensidade
£ 10
s , especı́fica
°34
°23£ 10°1 eJs,
h 63=
constante
de Planck
6,
°34
emissão
e=nãoconstante
corpo
ser1, sua
Boltzmann
38 =
£temperatura,
1063
J K . B∫ tem unidades de W m
stante
de kPlanck
=é6,polarizada.
£ 10de
Js, a não =
8
c 8 = °1
velocidade da luz = 3 £ 10 m s°1 ,
21.3.2
Lei de Wien
Lei de Wien
Como podemos ver da figura com a Lei de Planck, a freqüência em que a
intensidade é máxima varia com a temperatura. O máximo (e o mı́nimo) de
qualquer função é dado para o ponto em que a derivada é nula. Derivando
a Lei de Planck B∏ (T ) e igualando a derivada a zero,
logo
dB∏ (T )
10hc2
2hc2 ∏2hckT ehc/∏kT
¢+ 5 °
= ° 6 ° hc/∏kT
¢2 = 0
hc/∏kT
d∏
∏
∏ e
°1
e
°1
hc
ehc/∏kT
°
¢ =5
hc/∏kT
∏kT e
°1
hc
Fazendo-se a substituição de variáveis x ¥ ∏kT
, obtém-se uma equação
transcendental:
1
e°x + x ° 1 = 0
5
que pode ser resolvida numericamente, obtendo-se:
∏max T = 0, 0028978 K m
(21.23)
e o máximo de B∫ (T ) ocorre em
h∫max = 2, 821 k T
(21.24)
h∫max = 2, 821 k T
(21.24)
Note que ∏max não é igual a c/∫max pois B∏ não é igual a B∫ . Essa relação,
encontrada empiricamente por Wilhelm Wien, mostra que, à medida que T
aumenta, ∫max aumenta, ou ∏max diminui. Dessa maneira, se explica porque
quando se aquece uma barra de ferro, ela torna-se primeiro vermelha e depois
esverdeada e azulada.
21.3.3
Lei de Stefan-Boltzmann
Em 1884, o matemático austrı́aco Josef Stefan (1835-1893) e seu aluno na
época, o também austrı́aco Ludwig Boltzmann (1844-1906), descobriram
193
Lei de Stefan-Boltzmann
Em 1884, Stefan e seu aluno na época, Boltzmann, descobriram
empiricamente que
que oo fluxo
fluxo (energia
(energia por
por unidade
unidade de
de área,
área, por
por unidade
unidade de
de
empiricamente
tempo) de
T éTdado
por por:
tempo)
de um
umcorpo
corponegro
negrodedetemperatura
temperatura
é dado
Z º/2
Z 1
empiricamente que
fluxo (energia
pordµ
unidade
área,
F =o 2º
cos µ senµ
B∫de
(T )d∫
= por
æT 4 unidade de
tempo) de um corpo negro0 de temperatura T0 é dado por:
Z ergs
Z 1
°5
°2 K°4 s°1
º/2
onde
æ
=
5,
67
£
10
cm
= 5,
67Stefan-Boltzmann.
£ 10°8 W4m°2 K°4 é a cons−8
−2
−4
onde 𝜎 = 5,67
×10
Wm
K
é
a
constante
de
F = 2º
cos µEssa
senµ dµ
B∫ser
(T )d∫
= æT
tante de Stefan-Boltzmann.
lei pode
demonstrada
considerando
0
0
que:
Z K1°4 s°1 = 5, 67Z£110°8 3W m°2 K°4 é a consonde æ = 5, 67 £ 10°5 ergs cm°2
2h que: ∫ d∫
EssadeleiStefan-Boltzmann.
pode ser demonstrada
considerando
tante
pode
ser
demonstrada
considerando
B(T ) ¥ Essa
Blei
d∫
=
∫
h∫
2
c
0
0
e kT ° 1
que:
Z 1
Z
h∫
2h 1 ∫ 3 d∫
e definindo-se Æ ¥ kT
,
B(T ) ¥
B∫ d∫ = 2
h∫
µ ∂
c 4 Z 01 e kT
0
1
2h kT
Æ°3 dÆ
h∫
B(T
e definindo-se Æ ¥ kT
, ) = c2
h
eÆ (1 ° e°Æ )
0
" 1 3
#
µ µ ∂4 ∂
Z 1
4
2h 2hkT
Æ
dÆ
X
kT
1
B(T ) = = 2
6
Æ
°Æ
c c2 h h 0 e (1 °
)4
(ne+ 1)
"
#
µ
∂4 X
1 n=0
µ
∂
2h kT
1
4 4
=
6
2h
kT
º
æ
44
(n +T1)
=c2 2 h
=
n=0
cµ ∂
h
15
º
4
e definindo-se Æ ¥
B(T ) ¥
h∫
kT ,
e definindo-se Æ ¥
h∫
kT ,
Z
0
0
1
∫
2Z 1
0
c
2h
B∫ d∫ = 2
c
µ
∂4 Z
0
h∫
e∫ 3kTd∫° 1
h∫
e kT ° 1
2h µkT ∂ Z 1
Æ3 dÆ
4
1
3 dÆ
B(T ) =
2h
kT
Æ
2
Æ
e (1 ° e°Æ )
B(T ) = c 2 h
0
c µ h ∂4 "0 1
eÆ (1 ° e°Æ ) #
X
2h µkT ∂4 " X
1 #
1
2h kT
1
=
6
4
= c2 2 h
6
(n
+
1)
4
c
h
n=0(n + 1)
n=0
µµ ∂
∂4 4
2h
2h kT
kT 4 ºº4
ææ 4 4
== 2
== TT
c c2 hh
15 ºº
15
estrela
é um
corponegro,
negro, pois
pois suas
externas,
de onde
UmaUma
estrela
nãonão
é um
corpo
suascamadas
camadas
externas,
de onde
2
provém
a radiação,
não
estãoexatamente
exatamente em
térmico.
2 Escreveprovém
a radiação,
não
estão
emequilı́brio
equilı́brio
térmico.Escrevemos para o fluxo na fotosfera da estrela:
mos para o fluxo na fotosfera da estrela:
F ¥ æTef44
2
F ¥ æTef
(21.25)
(21.25)
Se o gás frio está na frente da fonte luminosa, não tem uma hora em que depois
ele na
fica frente
quente da
e começa
emitir luz não
também?
O quehora
acontece
com depois
o
Sedeobloquear
gás frioluz
está
fonte aluminosa,
tem uma
em que
equilı́brio
termodinâmico
nessee caso?
de bloquear
luz
ele fica quente
começa a emitir luz também? O que acontece com o
Esse
caso, que ocorrenesse
na atmosfera
equilı́brio
termodinâmico
caso? de uma estrela, é chamado equilı́brio termodinâmico
local. É um conceito importante na teoria de interiores de estrelas e evolução estelar.
Esse caso, que ocorre na atmosfera de uma estrela, é chamado equilı́brio termodinâmico
As camadas mais internas das estrelas são mais quentes e emitem mais radiação que as
local. camadas
É um conceito
importante
interiores
de estrelas
evolução
mais externas.
Assim,naa teoria
luz (ou de
melhor,
a radiação,
pois a emaior
parteestelar.
não é
As camadas
mais
internas
das
estrelas
são
mais
quentes
e
emitem
mais
radiação
que as
visı́vel), sai de uma camada quente mais interna [chamemos de camada (n ° 1)], passa pela
camadas
maisconsiderada
externas. (n)
Assim,
a luz
melhor,
a mais
radiação,
pois
a 1).
maior
camada
e atinge
uma(ou
camada
FRIA
externa
(n +
Paraparte
havernão é
2
Espectroscopia
Espectroscopia é o estudo da luz através de suas cores componentes, que
aparecem quando a luz passa através de um prisma ou de uma rede de difração. A
sequência de cores formada é chamada espectro.
Quase toda informação sobre as propriedades físicas das estrelas são obtidas
direta ou indiretamente de seus espectros, principalmente suas temperaturas,
densidades e composições.
SECTION 4.1 Spectral Lines
Espectro
contínuo e
Interactive FIGURE 4.2 Continuous a
espectro
de emissão:
Emission Spectra
When passed through
slit and split up by a prism, light from a source
continuous radiation (a) gives rise to the famil
rainbow of colors. By contrast, the light from
excited hydrogen gas (b) consists of a series of distin
bright spectral lines called emission lines. (The focus
lenses have been omitted for clarity—see Section 5.
(a) Quando passa
através de um prisma, a
luz de uma fonte de
radiação contínua dá
origem
familiar
arco- the p
found
in theao
gaseous
state. Sometimes
írisofde
cores
(espectro
tern
lines
was fairly
simple, and sometim
itcontínuo).
was complex, but it was always unique to t
Screen
Prism
Hot bulb
(a)
Emission
lines
R
Screen
Prism
Heated
hydrogen gas
(b)
GV
element. Even though the origin of the li
was not understood, researchers quickly re
(b) that
Recipiente
de gás
de
ized
the lines provided
a one-of-a-ki
hidrogênio.
uma
“fingerprint”
of the Após
substance
under investi
tion.
They could
detect thesobre
presence of a p
descarga
elétrica
ticular
atom or molecule
(a group of atoms h
ele (similar
a relâmpago
together by chemical bonds—see Section 4
na atmosfera) o gás é
solely through the study of the light it emitt
aquecido
emite luz.
Scientists
have e
accumulated
extensive catal
ofObserva-se
the specific wavelengths
at which many d
um espectro
ferent
gases emitlinhas
radiation. The particu
comhotpoucas
pattern of light emitted by a gas of a given che
brilhantes superpostas a
ical composition is known as the emission sp
fundo
escuro
trum
of the
gas. The (espectro
emission spectra of so
common
substances are shown in Figure 4.3.
de emissão).
Hydrogen
Sodium
Helium
Neon
Mercury
650
▲
600
550
500
Wavelength (nm)
450
400
350
FIGURE 4.3 Elemental Emission The emission spectra of some well-known elements. In accordance
with the convention adopted throughout this text, frequency increases to the right. Note that wavelengths
Os
espectros de emissão de alguns elementos conhecidos. Note-se que os
shorter than approximately 400 nm, shown here in shades of purple, are actually in the ultraviolet part of the
comprimentos
de onda
curtos
queInstrument
~ 400 nm,
spectrum and thus invisible
to the mais
human eye.
(Wabash
Corp.)mostrados em tons de roxo, estão
na parte ultravioleta do espectro e são invisíveis ao olho humano.
Espectro de absorção:
Quando um gás frio é
colocado entre uma fonte
de radiação contínua e um
detector/tela, o espectro
de cor resultante é
atravessado por uma série
de linhas de absorção
escuras.
Estas linhas são formadas
quando o gás frio absorve
certos comprimentos de
onda do feixe de luz
original.
As linhas de absorção
aparecem precisamente
no mesmo comprimento
de onda que as linhas de
emissão que seriam
produzidas se o gás fosse
aquecido a altas
temperaturas.
SELF-GUIDED TUTORIAL Absorption Spectra
vapor em
just two
589.0 nm
of the sp
◀ FIGURE
visible spe
vertical da
on a brigh
high-resol
a series of
vertically; e
of the ent
The scale
(red) at the
(blue) at th
chapter-o
(AURA)
Espectro solar: O espectro visível do Sol mostra centenas de linhas de absorção
escuras verticais sobrepostas em um espectro contínuo Absorption
brilhante. Este espectro de altaIn
lines
resolução mostra uma série de 48 faixas horizontais. Cada faixa cobre uma pequenaA
parte do espectro (da esquerda para a direita). A escala estende de comprimentos deco
so
onda longos (vermelho) no canto superior esquerdo até comprimentos de onda curta(s
(azul) no canto inferior direito.
detector
Screen
700
600
500
400 nm
c
so
in
(b) The a
shows t
wavelen
emission
(a)
(b)
In
S
700
600
500
400 nm
(a)O espectro
emissão
do sódio:
linhas
brilhantes
emissão
aparecem
na T
spectrum de
is passed
through
someduas
relatively
cool
sodium defaint
emission
lines is seen.
parte
amarela
do espectro.
vapor,
two sharp,
dark absorption lines appear at precisely
lost by the forward beam. If th
the same wavelengths. The emission and absorption spectra
cence, it would produce stron
(b)Espectro de absorção do sódio: as duas linhas escuras aparecem na mesma
of sodium are compared in Figure 4.6, clearly showing the
the same wavelengths.
posição das linhas de emissão.
relation between emission and absorption features.
Kirchhoff’s Laws
Identifying Starlight
The analysis of the ways in which matter emits and absorbs
radiation is called spectroscopy. One early spectroscopist,
the German physicist Gustav Kirchhoff, summarized the
observed relationships among the three types of spectra—
By the late 19th century, sp
a formidable arsenal of tech
radiation received from spa
that spectral lines were indi
tion, they set about identifyi
Leis de Kirchhoff
Em 1814, Joseph von Fraunhofer obtém o
espectro do Sol e descobre que é composto
de um contínuo e de linhas.
Durante o século 19, linhas de outros
elementos químicos são descobertas nos
laboratórios.
Também são descobertas linhas do
espectro solar desconhecidas nos
laboratórios na Terra. Por exemplo, o
elemento hélio (do grego = sol) foi
descoberto no espectro solar. Detectado na
Terra so em 1895!
Nos anos 1860, Gustav Kirchhoff formula
as leis que resumem as diferentes formas
como matéria emite os 3 tipos de espectro
possíveis.
1. Espectro contínuo: um corpo opaco quente, sólido, líquido ou gasoso, emite
um espectro contínuo. Por exemplo, o filamento de uma lâmpada incandescente
(sólido), a lava de um vulcão (líquido), uma estrela (gás denso).
2. Espectro de emissão: um gás transparente (isto é, pouco denso), produz um
espectro de linhas brilhantes (de emissão). O número e a cor (posição) dessas
linhas depende dos elementos químicos presentes no gás. Por exemplo, uma
lâmpada fluorescente.
3. Espectro de absorção: se um espectro contínuo passar por um gás a
temperatura mais baixa, o gás frio causa a presença de linhas escuras (absorção).
O número e a posição dessas linhas depende dos elementos químicos presentes
no gás. Por exemplo, o sol e sua atmosfera.
(a) A fonte tem fótons de todas as energias (λs), i.e. tem um espectro continuo.
(b) Quando a radiação da fonte passa pelo gás, este só pode absorver fótons com
determinadas energias. Os fótons absorvidos causam transições atômicas no gás e são
removidos do espectro causando linhas escuras de absorção superpostas ao espectro
continuo (da fonte). As linhas escuras não significam ausência de luz, somente o
contraste de menos luz.
(c) Uma visão lateral da nuvem não permite ver claramente o espectro contínuo da
fonte que a ilumina. No entanto, parte da radiação absorvida é reemitida em todas as
direções, produzindo linhas de emissão observadas em uma linha de visada lateral.
ntum number, as we will see, is related to the energy in the hydrogen atom.
Aoforigem
dasenergy
linhas
espectrais:
e!luz
nátomos
! 7-6.
1 If the
!0
R10 !
-5 shows a sketch
the potential
function
of Equation
total
s positive, the electron is not bound to the atom. We are interested here only
início do
os cientistas
começaram
estabelecer
as bases para a
-stateNo
solutions,
forséculo
which XX,
the values
of E are negative.
For athis
case, the pon !in
2thecomeçaram
! !As0 a aprender
R20 !
compreensão
da formação
espectros
à medida
que
eles
nergy
function becomes
greaterdos
than
E for large
r, as shown
figure.
mais sobre
a estrutura
átomos
e a natureza
da luz.
discussed
previously,
fordos
bound
systems
only certain
values of the energy E
well-behaved solutions. These values are found by solving the radial equation,
!!1
R21 !
formed by equating the left side of Equation 7-12 to the constant !(! % 1).
of the
hydrogen
atom,
by Equation
7-6,são
theoradial
equation
is
Hoje
sabemos
quegiven
as linhas
espectrais
resultado
de transições
quânticas dos
n !dos
3 átomos.
!!0
R30 !
elétrons
entrekZe
níveis
de
2 energia discretos
2
U
$R(r)
!(!
%
1)
U2 que
$ acontecem
%
"
a r2
b % c"
d R(r) ! ER(r)
7-24
2
2
r
2#r $r
$r
2#r
!!1
R31 !
al equation
can
be
solved
using
standard
methods
of
differential
equations
Consideremos por exemplo o espectro de átomos hidrogenoides. Resolvendo a
etails
we will
omit de
here,
except to note that (1) we expect a link to appear
seguinte
equação
Schrödinger
the principal quantum number n and the angular momentum quantum
!!2
R32 !
! (since the latter already appears in Equation 7-24) and (2) in order that
tions of Equation 7-24 be well behaved, only certain values of the energy
wed, just as we discovered for the square well and the harmonic oscillator.
obtemos
de energia:
wed
valuesos
of autovalores
E are given by
Z2 E1 where E1 ! (1>2)(ke2>U)2& ! 13.6 eV a
kZe 2 2 #
En ! " a
b
! " 2 on the values n ! 1, 2,
7-25
3, . . ., with the fu
n= 1,2,3,….
U
2n2
n
These energy values are identical to those
zados, já que n=1,2,3,... só assume números inteiros, isso é, assumindo-se
queOs
as níveis
órbitasdesão
quantizadas,
obtém-se
os nı́veis de
são quanenergia
do hidrogênio
sãoque
quantizados,
já energia
que n =1,2,3,...
só
tizados.números
Note que
essa teoria só dá resultados corretos para o hidrogênio.
assume
inteiros.
Para outros átomos, é preciso usar a mecânica quântica completa.
Por conservação de energia, quando um átomo passa de um nı́vel de
energia maior, n1 para outro de energia menor, n2 , há emissão de um fóton
com energia:
Ef óton = E(n1 ) ° E(n2 )
e
hc
Ef óton = h∫ =
(22.7)
∏
de modo que para satisfazer a quantização dos estados, um átomo de hidrogênio só pode emitir fótons com energia:
µ
∂
1
1
h∫ = E(n1 ) ° E(n2 ) = 13, 6 eV
°
(22.8)
n21 n22
ou, em termos de comprimento de onda:
1
13, 6 eV
=
∏
hc
µ
1
1
°
n21 n22
∂
1
=
912 Å
µ
1
1
°
n21 n22
∂
(22.9)
Portanto, um átomo de hidrogênio só pode emitir fótons com certas energias para
que seus elétrons passem de um nível n1 para um nível n2, assim como só podem
absorver fótons dessas energias para o processo inverso.
O sistema é considerado ligado enquanto a energia do nível for En < 0. À medida
que n→ ∞ temos que E → E∞= 0. Quando E > 0, o elétron não fica ligado ao
núcleo, ele é livre.
Além das linhas discretas, um átomo de H também é capaz de espalhar radiação e
fazer a transição de um nível n para o contínuo (n = ∞), e vice-versa (ionização e
recombinação), se o fóton tiver comprimento de onda menor que 912 Å.
• Se um elétron tem uma transição
para um nível com energia menor
emite um fóton que contribui para a
formação de uma linha de emissão.
• Se um fóton é absorvido haverá
transição do elétron para um nível
com energia maior, o qual contribui
para a formação de uma linha de
absorção.
• Um átomo também pode passar a
um estado a outro absorvendo ou
perdendo energia em colisões com
outras partículas.
Para átomos com mais de um elétron, é preciso, ainda, levar em conta o princípio
da exclusão de Pauli, pois os elétrons são férmions, partículas com spin semiinteiro, e não podem ocupar o mesmo estado quântico, com o mesmo spin.
Existem regras de seleção que prevêem as transições mais esperadas entre dois
níveis de energia. As transições permitidas representam as transições que
conservam o momento angular total do sistema.
Outras transições são matematicamente possíveis, mas são consideradas proibidas
porque, nas condições terrestres, antes que um átomo possa irradiar por uma
transição proibida, uma colisão com outro átomo ou molécula irá ocorrer e
desexcitar o átomo colisionalmente. Como no meio interestelar os átomos estão
muito mais distantes entre si do que na Terra, as colisões são muito raras e,
portanto, as transições proibidas são importantes em nuvens de gás e no meio
interestelar.
En = 13.6 a1 -
b eV.
transitions are labeled with Greek letters. An Hα photon (level 3 to
level 2) has a wavelength of 656.3 nm, in the red part of the visible
Séries
de
linhas
do átomo de Hidrogênio
ate (n 5 1) has energy E1 5 0 eV, the first excited
spectrum; Hβ (level 4 to level 2) has a wavelength of 486.1 nm
ergy E2 5 13.6 3 (1 2 1/4) eV 5 10.2 eV, the
(green); Hγ (level 5 to level 2) has a wavelength of 434.1 nm
átomo
de3H,
espectrais
são
dos(especially
diferentes
hasNo
energy
E3 5 13.6
(1 2as
1/9)linhas
eV 5 12.1
eV,
(blue);
anddenominadas
so on. We will use em
thesefunção
designations
Hα
re infinitely
excited
and Hβ) frequently
in later chapters.
The most energetic
Balmer
níveis many
a partir
dostates
qualbetween
se dáthea transição.
Isto introduz
as seguintes
séries de
e energy at which the atom is ionized, crowdseries photons have energies that place them just beyond the blue
linhas:
er together as n increases and En approaches
end of the visible spectrum, in the near ultraviolet.
Bohr’s formula for the energy of each electron
• transições
n = 1: série
de
erse
his reasoning até
and calculate
the energy
ransition
between
any two given states.
Lyman,
denominadas
Lyα,To
rom the first excited state to the second, an
Lyβ Lyγ,…(linhas do UV).
ied with E3 2 E2 5 12.1 eV 2 10.2 eV 5 1.9 eV
10−19 J. Now, from the formula E = hf prewe•find
that this energy
to a photransições
atécorresponds
n = 2: série
de
14
cy of 4.6 3 10 Hz, having a wavelength of
Balmer, denominadas Hα,
in the red portion of the spectrum. (A more
visível).
givesHβ,…(espectro
the value 656.3 nm reported
in the text.)
nying
diagram summarizes the structure
• transições
até n = 3: série de
atom. The increasing energy levels are
denominadas
s ofPaschen,
circles of increasing
radius. ThePα,
elecbetween
these levels (indicated by arrows)
Pβ,…(infravermelho).
grouped into families, named after their
define the terminology used to identify
nes. (Note that the spacings of the energy
n=∞
n=4
Lyman
series
n=3
102.6 nm 97.3 nm
n=2
g
121.6 nm b
a
n=1
13.6
eV
12.8 12.1 10.2 0
eV eV eV eV
Gr
ound stat
e
Fir
st ex
tat
cited s
Se
co
te
nd excited sta
Third
excited stat
Ionization
91.2 nm
Balmer
656.3 nm
series
a
486.1 nm
b
e
n2
e
364.8 nm
4 How does the structure of an atom determine the
es nearly 800 of the Fraunhofer
atom’s emission and absorption spectra?
olar spectrum (Figure 4.4).
ent such as iron can yield many
irst, the 26 electrons of a normal
rmous number of differthe clean orbitals shown here and in other atomic diagrams are really more like fuzzy
ble energy
levels.
Átomos
: Second, Remember,
“clouds” of electron energy levels, as shown in Figure 4.9.
d, with some of their 26
removal of electrons alters
–
–
tructure, and the energy
te different from those of
–
Espectros mais complexos
Electron
++
Carbon (a) A helium atom
ons within its lowest-energy
ing two protons and two
s ground state has six
roton, six-neutron nucleus—
orbital and the other four at a
.
0.05 nm
–
Nucleus
++ +
+
–
–
–
(a)
–
(b)
Hélio
Carbono
identify a
all others
8 light-years
Intensity
t
t
t
Molecula
spectral l
example,
simplest m
different
in part (b
Frequency
Helium,
Hydrogen
Oxygen
Helium
Neon
Helium
Hydrogen
R
I
V
electr
ultrav
DIBOH
lines.
DIBOH
in th
small
U
X
G
▲
I
V
U
X
–
G
FIGURE 4.12 Emission Nebula The visible spectrum of hot
–
gases in the Omega Nebula (M17). (The word nebula means “gas
cloud”—one of many places in our Galaxy where new stars are
forming today.) Shining by the light of several very hot stars, the gas
in the nebula produces a complex spectrum of bright and dark lines
(bottom). That same spectrum can also be displayed, as shown here,
as a white graph of intensity versus frequency, spanning the spectrum
from red to blue. (Adapted from ESO)
• transições de elétrons dentro de moléculas
produzem linhas espectrais no visível e no
ultravioleta (as maiores mudanças de
4.4 Molecules
energia).
A molecule is a tightly bound group of atoms held together
by interactions among their orbiting electrons—interactions
that welinhas
call chemical bonds.espectrais
Much like atoms, molecules can
• vibrações produzem
exist only in certain well-defined energy states, and again
like atoms, molecules produce characteristic emission or
infravermelhas.
absorption spectral lines when they make a transition from
one state to another. Because
are more
na molecules
região
decomplex
• rotação produz linhas espectrais
than individual atoms, the rules of molecular physics are
also more complex. Nevertheless, as with atomic spectral
rádio do espectro electromagnético
(as
lines, painstaking experimental work over many
decades has
determined the precise frequencies (or wavelengths) at which
menores mudanças de millions
energia).
of molecules emit and absorb radiation.
In addition to the lines resulting from electron transitions, molecular lines result from two other kinds of change
not possible in atoms: Molecules can rotate, and they can
vibrate. Figure 4.13 illustrates these basic molecular motions.
Molecules rotate and vibrate in specific ways. Just as with
atomic states, only certain spins and vibrations are allowed
(a)
by the rules of molecular physics. When a molecule changes
its rotational or vibrational state, a photon is emitted or
Spectral lines characteristic of the specific kind of
The spectrum above is for molecular hydrogen, H 2 absorbed.
c
molecule result. Like their atomic counterparts, these lines
are unique molecular fingerprints, enabling researchers to
92
CHAPTER 4 Spectroscopy
ANIMATION/V
Moléculas:
um,
rogen
gen
um
n
um
rogen
R
Photon
–
–
–
–
–
+
–
–
–
+
–
–
–
–
Carbon atom
Oxygen atom
(a)
C
C
Slower
vibration
Faster
vibration
O
Photon
O
(b)
Photon
C
C
Faster rotation
O
O
Slower rotation
(c)
▲ FIGURE 4.13 Molecular Emission Molecules can change in
three ways while emitting or absorbing electromagnetic radiation. The
colors and wavelengths of the emitted photons represent the relative
energies involved. Sketched here is the molecule carbon monoxide (CO)
undergoing (a) a change in which an electron in the outermost orbital
of the oxygen atom drops to a lower energy state (emitting a photon of
shortest wavelength, in the visible or ultraviolet range), (b) a change in
vibrational state (of intermediate wavelength, in the infrared), and (c) a
change inmuch
rotational
state (of
in thehydrogen,
radio range).
cthe
simpler
onelongest
belowwavelength,
is for atomic
H.
(b)
650
600
550
500
Wavelength (nm)
450
400
350
Intensidade das linhas espectrais
Intensidade (ou força) de uma linha: proporcional ao número de fótons emitidos
(ou absorvidos) naquela transição.
linha de emissão
linhas de absorção que
se superpõem ao
continuo
and subsequent figures to refer to emission lines, but realize
that the ideas apply equally well to absorption features.
Perfil da Linha
Several processes can broaden spectral lines. The most
important involve the Doppler effect. Imagine a hot cloud of
gas
atoms representa
in random thermal
motion da densidade de fluxo
Ocontaining
perfil deindividual
uma linha
a variação
in every possible direction, as illustrated in Figure 4.17(a).
com o comprimento de onda. Uma linha não é totalmente estreita.
If an atom happens to be moving away from us as it emits
(intensidade)
A forma de uma linha espectral é
chamada de perfil da linha.
(a)
Intensity
Line center
Width
A forma verdadeira da linha reflete
as propriedades da atmosfera da
estrela: temperatura T, pressão P,
gravidade superficial g, densidade ρ
e velocidade das partículas v.
Frequency
(b)
▲
FIGURE 4.16 Line Profile By tracing the changing brightness
Vários processos físicos podem alargar uma linha. Um perfil alargado pode
fornecer características sobre fonte emissora da radiação. Vejamos a seguir.
across a typical emission line (a) and expanding the scale, we obtain a
graph of the line’s intensity versus its frequency (b).
ount of the shift (0.1 percent here) tells us the
ows the blueshift of the same set of lines from
rcent), because the speed has doubled, and in
Alargamento das linhas espectrais
either side. Earlier, we stressed
that photons
are emitted
and
Alargamento
Natural:
Pelo
princípio
da incerteza de Heisenberg, a energia de um
absorbed at very precise energies, or frequencies. Why, then,
determinado
nível narrow,
atômico
(estado)
aren’t spectral lines extremely
occurring
only at spe-não pode ser determinada com precisão maior
cific wavelengths? This line broadening is not the result of
que
ΔE = π/2 (h / Δt).
some inadequacy of our experimental apparatus; rather, it is
caused by the environment in which the emission or absorption occurs—the physical state of the gas or star in which the
line is formed. For definiteness, we have drawn Figure 4.16
and subsequent figures to refer to emission lines, but realize
that the ideas apply equally well to absorption features.
Several processes can broaden spectral lines. The most
important involve the Doppler effect. Imagine a hot cloud of
gas containing individual atoms in random thermal motion
in every possible direction, as illustrated in Figure 4.17(a).
If an atom happens to be moving away from us as it emits
• Energia do elétron (numa orbita) tem incerteza de: E ± ΔE
• Δt tempo de vida daquele nível.
Um grupo de átomos irá produzir uma linha de absorção ou emissão com uma
variação mínima na freqüência ν dos fótons ν ±Δν, onde:
ΔE
1
Δν =
∝
h
Δt
(a)
Line center
Intensity
alargamento natural da linha
Width
Frequency
(b)
Alargamento colisional:
Os níveis de energia de um átomo são também perturbados (ou seja, deslocados)
por partículas vizinhas, principalmente as carregadas como íons e elétrons: por
colisões.
Em um gás, essas perturbações são aleatórias e causam alargamento das linhas
espectrais.
Quanto maior a densidade de partículas (e, portanto, a pressão) do gás, maior a
largura das linhas espectrais.
Esse é o processo mais importante no alargamento de linhas muito intensas
como Hα, Hβ, ... (série de Balmer).
94 CHAPTER 4 Spectroscopy
Alargamento
Doppler térmico
Blueshift
No shift
Redshift
Blueshift
Redshift
Blueshift
Redshift
Observer
Blueshift
Along any line of sight, we see
many emitting atoms—some
coming, some going—that
cause spectral lines
to broaden.
Intensity
(a)
Large
redshift
Large
blueshift
Line center
(“natural” frequency)
(b)
Frequency
their thermal motion would be to smear the lin
O ofmovimento
aleatório
dasthe
a range
wavelengths. The
hotter the gas,
spread
of Doppler do
motions
greater da
the wi
partículas
gás and
(porthecausa
(More Precisely 3-1) By measuring a lin
line.
agitação
térmica) faz com que
astronomers can estimate the average speed of th
l g uthemtemperature
a s p a roft íthe
c ugasl aproducing
s s e it
and a
hence
aproximem
outras
se afastem
Other processes,e such
as rotation
and turbu
produce
similar effects. Consider an astronomi
do observador.
(a star or a gas cloud) that is spinning about
as sketched in Figure 4.18 or that has some ot
Por efeito
as linhas
nal motion,
such asDoppler,
turbulent eddies
or vortices
dasPhotons
partículas
afastam
scales.
emittedque
from se
regions
that hap
moving
toward us are
blueshifted
by the Dopp
se deslocam
para
o vermelho
e
photons emitted from regions moving away fro
as linhas das partículas que se
redshifted. Often the object under study is so sm
se deslocam
para o o
awayaproximam
that our equipment
cannot distinguish,
azul.parts from one another—all the emitt
different
blended together in our detector. In that case,
is a net broadening of the observed spectral l
Isto provoca um alargamento
more rapid the internal motion, the more broad
see. das
Notelinhas.
that this broadening has nothing to do
temperature of the gas producing the lines and is
superimposed on the thermal broadening just di
Still other broadening mechanisms do not d
the Doppler effect at all. For example, if electrons
photons changes slightly, blurring the spectral lines. This
mechanism,
which occurs most often in dense gases where
Alargamento Doppler
rotacional
al broadening.
y the
at the
tomic
onger
hift is
neous
arly, if
nstant
short,
e gas,
erved
those
cloud
have
cases
Only
esult,
more
oduc-
This side
blueshifted
Observer
sees:
Star’s
rotation
This side
redshifted
Intensity
Observed
line
The more rapid a star’s
rotation, the broader its
observed lines.
“Natural
line”
Frequency
Receding
Approaching
side
side
Line
center
Alargamento Zeeman: Quando um átomo se desloca sob a ação de um campo
magnético, cada nível atômico de energia se divide em três ou mais subníveis:
efeito Zeeman.
Se as separações (componentes Zeeman) entre subníveis não são resolvidas (são
tão pequenas que não se pode distingui-las) nos espectros observados, vemos
somente uma linha espectral alargada.
Quando campo magnético B é forte
(e.g. nas manchas solares), a
separação entre as linhas è
mensurável.
É possível deduzir a intensidade de
B pela separação das linhas.
Intensidade das linhas espectrais
A intensidade das linhas é
proporcional ao número de
átomos que estão no estado de
energia a partir do qual ocorrem
as transições
As transições para um dado
nível (espontâneas ou
colisionais) dependem de T (pois
energia cinética relaciona-se a T)
Como determinar o n. de átomos
que estão em dado nível de
excitação?
A equação de Boltzmann
Os átomos de um gás ganham e perdem energia quando eles colidem. Como
resultado, a distribuição das velocidades dos átomos que colidem produz uma
distribuição definida dos elétrons entre nos orbitais atómicos.
Esta distribuição de elétrons é regida por um resultado fundamental da mecânica
estatística: Orbitais de maior energia tem menos probabilidade de serem ocupados
pelos elétrons.
Seja sa um conjunto de números quânticos que identifica um estado de energia Ea
em um sistema de partículas. Da mesma forma, seja sb o conjunto de números
quânticos que identifica um estado de energia Eb.
Logo, a razão entre a probabilidade P(sb) de que o sistema se encontre no estado sb
e a probabilidade P(sa) de que o sistema se encontre no estado de sa é dada por:
A grandeza exp(-E/kT) é conhecida como fator de Boltzmann.
Se os níveis de energia Ea e Eb. possuem degenerescências ga e gb respectivamente,
então devemos reescrever a relação anterior na forma:
Os sistemas astrofísicos (e.g. uma atmosfera estelar) contém um grande número de
átomos, de modo que a razão entre das probabilidades é indistinguível da razão
entre o número de átomos. Assim, para os átomos de um dado elemento num
estado de ionização específico, a razão entre o número Nb de átomos com energia
Eb e o número Na de átomos com energia Ea em um estado de excitação diferente,
é dado pela equação de Boltzmann:
Exemplo: equação de Boltzmann
Para um gás de átomos de hidrogênio neutro, em que temperatura será igual
número de átomos com elétrons no estado fundamental (n=1) e no primeiro estado
excitado (n=2)?
Lembrar de Física Quântica que a degenerescência do nível de energia de ordem n
no átomo de hidrogénio é gn = 2n2. Portanto:
N2 g2 (E2 E1 )/kT
= e
N1 g 1
2(2)2 [( 13.6eV /22 ) ( 13.6eV /12 )]/kT
1=
e
2
2(1)
10.2eV
= ln(4)
kT
10.2eV
T =
= 8.54 ⇥ 104 K
k ln(4)
Altas temperaturas (~ 85000 K) são necessárias para que um número significativo
de átomos de hidrogênio possuam elétrons no primeiro estado excitado.
A fração de átomos de hidrogênio com elétrons no primeiro estado excitado em relação
ao total, pode ser obtida por:
N2
N2 /N1
=
N1 + N2
1 + N2 /N1
onde o N2/N1 é dado por:
N2 2(2)2
=
e
2
N1 2(1)
[( 13.6eV /22 ) ( 13.6eV /12 )]/kT
Dessa forma obtemos a seguinte figura:
j
i
= e(Ej Ei )/kT
Njátomos
/Ni no primeiro estado excitado é igual a 1%
A que temperatura o número de
Ej Ei
do número de átomos no estado fundamental?
T =
k ln[(gj /gi )/(Nj /Ni )]
N2/N1 = 0.01 ⇒ T ≈ 20000 K
Subbing in the statistical weights and energy levels for n=1 (ground state) an
A que temperatura o número de átomos no primeiro estado excitado é igual
a
excited state), (N2 /N1 ) = 0.01, and Boltzmann’s constant (k=8.617⇥10 5 eV K
10% do número
de átomos no estado fundamental?
= 1.97⇥104 K (⇠20,000K).
N2/N1 = 0.1 ⇒ T ≈ 32000 K
B) Following the same procedure with (N2 /N1 ) = 0.1 yields T= 3.21⇥104 K (⇠3
Quando T se aproxima do infinito, qual é a 2distribuição de elétrons em cada
C) For N = N2 , Nj /Ni = 1, and gn = 2(n) and T=85,386 K (hot!). The ener
orbital de1 acordo
com a equação de Boltzmann? Essa distribuição pode
to excite an electron from n=1 to n=2 is E2 - E1 = -3.4eV + 13.6eV = 10.2 eV.
realmente ocorrer? Justificar.
D) Consider the limit as T! 1; in this case, the exponential term approache
Quando T → ∞, o termo exponencial na equação de Boltzmann fica e0 = 1,
the population ratio approaches the ratio of the statistical weights, independent
portanto temos:
n2j
Nj
gj
!
= 2 for Hydrogen
Ni
gi
ni
this distribuição
will not be the
that actually
occurs as
T!ficará
1 beca
No However,
entanto, esta
nãodistribution
pode realmente
ocorrer porque
o gás
high temperatures
all ofde
the
ionizado
com o aumento
T. hydrogen atoms will have ionized.
A equação de Saha
Imagine um átomo de imerso em um campo de radiação. A absorção de um fóton
com energia maior que a energia de ionização deixa um íon e ejeta um elétron
livre no gás.
No processo inverso, de recombinação, um elétron é capturado por um íon, e o
átomo retorna a um estado neutro ou com ionização inferior.
Se o gás se encontra em equilíbrio termodinâmico, a fotoionização equilibra
exactamente a recombinação. A reação química pode ser escrita na forma:
Ai +
! Ai+1 + e
Quando o equilíbrio químico é alcançado devemos ter:
µi = µi+1 + µe
onde 𝜇i e 𝜇i+1 e 𝜇e são os potenciais químicos dos ions Ai, Ai+1, e dos elétrons.
A partir da condição de equilíbrio químico é possível obter (Saha 1921):
equação de Saha
onde:
• 𝜒i é a energia de ionização necessária para remover um elétron de um
átomo ou íon no estado fundamental, alterando a sua ionização de i para i+1.
Por exemplo, a energia de ionização de hidrogénio, a energia necessária para
convertê-lo de HI (hidrogênio atómico neutro) para HII (hidrogênio atómico
ionizado), é 𝜒i = 13,6 eV.
• Zi é a função de partição do íon Ai definida por
onde (Ej - E1) é a energia do nível j em relação ao estado fundamental E1; e gj
é a degenerescência do nível j.
Às vezes, a pressão dos elétrons livres, Pe, é usada no lugar da densidade de
número de elétrons. Ambas estão relacionados pela lei dos gases ideais
Pe = ne k T
Portanto, a equação de Saha adota a forma alternativa:
A pressão dos elétrons varia aproximadamente de 0.1Nm-2 na atmosfera de
estrelas frias até 100 Nm-2 na atmosfera de estrelas quentes.
Exemplo: a intensidade das linhas de Balmer
Problema: Analise o estado de ionização na atmosfera de uma estrela no
intervalo de temperaturas entre 5000 e 25000 K. Suponha que a atmosfera é
composta totalmente por hidrogênio. Por simplicidade considere que a pressão
adota o valor constante 20 N m-2.
• Vamos usar a equação de Saha para calcular a fracção de átomos que estão
ionizados.
• Para isso, devemos determinar antes as funções de partição ZI e ZII. Um íon
hidrogênio é apenas um próton e portanto não tem degenerescência; i.e. ZI = 1.
• A energia do primeiro estado excitado do hidrogênio é 10,2 eV acima da
energia do estado fundamental. Por outro lado, T entre 5000 e 25000 K
significa que kT ~ (0,5−2 eV).
[1 eV ≈ 11600 K].
• Como 10,2 eV ≫ kT para o regime de temperatura sob consideração, o fator de
Boltzmann exp[−(E2−E1)] / kT ≪1.
• Quase todos os átomos HI estão, portanto, no estado fundamental (lembre-se
do exemplo anterior), e a função de partição simplifica para ZI ≈ gl =2(1)2 = 2.
Substituindo na equação de Saha e usando 𝜒i = 13,6 eV obtemos:
NII
kT
=
NI
Pe
✓
2⇡me kT
h2
◆3/2
exp
✓
13.6 eV
kT
◆
Esta expressão é usada para obter a fração de hidrogênio ionizado NII/Ntotal:
Usando as expressões acima, podemos fazer uma figura de NII/Ntotal em função da
temperatura.
•
•
•
•
Quando T = 5000 K, quase nenhum átomo de hidrogênio está ionizado.
A ~ 8300 K, aproximadamente 5% dos átomos estão ionizados.
Metade do hidrogénio está ionizado a uma temperatura de 9600 K.
Quando T ≈ 11,300 K, 95% do hidrogénio está na forma de HII.
Assim, a ionização do H realiza-se dentro de um intervalo de temperatura de
cerca de 3000 K.
Esta faixa de T é bastante limitada em comparação com as temperaturas de
dezenas de milhões de graus normalmente encontradas dentro das estrelas.
A faixa estreita dentro de uma estrela na qual o hidrogênio está parcialmente
ionizado é chamada de zona de ionização parcial do hidrogênio e tem uma
temperatura característica de ~10000 K para uma vasta gama de parâmetros
estelares.
Por esse motivo se observa que as linhas de Balmer (transições até o primeiro
estado excitado, n=2) atingem a sua máxima intensidade a T= 9520 K, em vez de
a T = 85000 K requerida para excitar os elétrons até o nível de energia do
hidrogênio com n=2.
A intensidade das linhas de Balmer depende de N2 / Ntotal, i.e. a fração de átomos de
hidrogênio no primeiro estado excitado em relação a todos os átomos (i.e. no
denominador devem ser incluídos tanto os átomos ionizados quanto os não
ionizados).
Essa grandeza é encontrada combinando os resultados das equações de Boltzmann e
de Saha. Como praticamente todos os átomos de hidrogênio neutro estão no estado
fundamental ou no primeiro estado excitado, podemos usar a aproximação
N 1 + N 2 = N I.
Portanto:
onde N2/N1 é dado pela equação de Boltzmann e NII/NI pela equação de Saha.
• N2 / Ntotal para o hidrogênio considerando Pe = 20 N m-2. O gás produz as linhas de
Balmer mais intensas à temperatura de 9900 K, em boa concordância com as
observações.
• A diminuição da intensidade das linhas de Balmer a temperaturas maiores é devida à
rápida ionização do hidrogênio acima de 10,000 K.
Para estrelas com temperaturas baixas (e.g. no Sol) o H da atmosfera está no estado
fundamental (n=1) e poucas colisões são energéticas o suficiente para excitar o H
até n=2.
Para estrelas com temperaturas muito altas, o H está quase todo ionizado devido às
frequentes colisões e poucos átomos podem ser excitados até n=2.
As linhas de Balmer são fracas em estrelas muito quentes ou muito frias apesar do
hidrogênio ser o elemento mais abundante nas estrelas !
emissão
(fundamental)
absorção
(fundamental)