Versão 05/03/2013 - IEF

Transcrição

Mecânica II
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
23 de maio de 2013
2
Prefácio
Esta apostila começou a ser escrita em 2012, por minha iniciativa. O objetivo era sintetizar um
material de estudo de Mecânica II (o curso de FIS26 do ITA), que pudesse auxiliar o estudante
e que fosse, ao mesmo tempo, desaante e estimulador.
Nesta versão, estes objetivos foram
contemplados em parte, mas ainda não de forma plena. Parafraseando o pessoal de computação, eu diria que esta apostila ainda está numa versão alpha adiantada, mas longe de pronta;
e, provavelmente, o leitor deverá encontrar alguns erros. Entretanto, por questões de praticidade, eu preferi disponibilizar o material da forma como está, em vez de esperar uma revisão
mais profunda para só então lançá-lo.
Para versões futuras, o material deverá aperfeiçoado,
dependendo para tanto do feedback dos leitores (que poderão escrever para
[email protected]).
Os capítulos 3 e 4 foram digitados por Mark Cristhian Matern (T15), e os capítulos 5 e 6,
por Ronaldo Chaves Reis (T15). Gostaria de deixar registrado meus sinceros agradecimentos
por esta cooperação.
SUMÁRIO
3
Sumário
1
2
Introdução Geral
1.1
Breves considerações losócas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Método de Estudo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Algumas Aplicações de FIS26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
Breve Revisão da Física de um Sistema de Partículas
11
. . . . . . . . . . . . . . .
Corpos Rígidos
13
2.1
Rotação em torno de um eixo xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2
Movimento Plano Geral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3
Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.1
Momento Angular: componente ao longo do eixo de rotação
. . . . . . .
18
2.3.2
Momento Angular: caso geral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.4
Dinâmica do Movimento do Corpo Rígido
2.5
Energia Cinética
2.5.1
2.6
3
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Movimento Giroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forças que não realizam trabalho
30
2.6.1
32
Precessão regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Movimento Oscilatório
3.1
3.2
3.3
3.4
Oscilações harmônicas
35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Pêndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.1
Pêndulo de torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.2
Pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.3
Pêndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Oscilações Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3.1
Amortecimento supercrítico (γ
3.3.2
Amortecimento
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.3.3
Amortecimento
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.3.4
O balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Oscilações forçadas
> w0 )
subcrítico (γ < w0 ) .
crítico (γ = w0 ) . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.4.1
Resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.4.2
Resposta a forçantes senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.4.3
Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.5
Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.6
Superposição de dois MHS's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.6.1
57
Mesma direção e frequência
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
SUMÁRIO
3.6.2
Mesma direção e frequências diferentes
3.6.3
Mesma frequências e direções perpendiculares
. . . . . . . . . . . . . . .
57
3.6.4
Frequências diferentes e direções perpendiculares . . . . . . . . . . . . . .
58
61
4.1
Conceitos Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2
Ondas Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.2.1
Equação de Ondas Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.2.2
Ondas Harmônicas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Ondas em cordas
4.3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Interferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.4.1
Ondas no mesmo sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.4.2
Ondas em sentidos opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.4.3
Batimentos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.5
Reexão de Ondas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.6
Modos normais de Vibração
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.7
Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.7.1
73
4.4
Intensidade
Efeito Doppler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gravitação
5.1
75
Lei da Gravitação Universal
5.1.1
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Massa inercial e gravitacional
75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.2
Campo Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.3
Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.4
Campo Central
80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1
Conservação da Energia e do Momento Angular
. . . . . . . . . . . . . .
81
5.4.2
Equação da Trajetória
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.4.3
Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Introdução à Mecânica Analítica
87
6.1
Vínculos e Coordenadas Generalizadas
6.2
Princípio dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6.3
Princípio de D'Alembert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.4
Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6.5
Hamiltoniana
6.6
Princípio de Hamilton
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Momento de inércia de área
B
57
Ondas
4.3
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Momento de inércia de alguns sólidos
88
93
95
99
101
5
Capítulo 1
Introdução Geral
1.1
Breves considerações losócas
Imagino que a primeira pergunta que vem a mente de um estudante quando começa a estudar
uma disciplina é justamente por que estudar esta tal disciplina? nada mais natural. Entretanto, o que eu proponho agora, no início desta apostila, é uma pergunta mais profunda: por
que estudar? isto é, por que estudar num sentido genérico? Creio que uma boa resposta seria
estudar para saber só que isto traria uma nova pergunta, anal o verbo saber é transitivo,
mas saber o quê?, ou de um modo mais radical o que é o saber? saber entendido então
como substantivo e não mais como verbo.
Para responder a esta última pergunta, apelamos ao uso corrente do substantivo saber,
identicando 3 signicados [1]:
1. Saber fazer: entender os procedimentos para projetar uma ponte, ou para fazer um certo
aparelho funcionar, ou para resolver determinado exercício de Física.
2. Saber agir: saber a postura que se deve ter em determinada situação, saber se comportar.
3. Simplesmente saber: conhecer adequadamente, saber se uma coisa é assim ou assado,
saber o que é determinada realidade, saber quem é determinada pessoa ou o homem em
geral.
Estes 3 signicados do saber, podemos dizer, estão em ordem crescente de profundidade. Os
dois primeiros são formas de conhecimento que se desdobram num qualicativo posterior: saber
fazer e saber agir. O terceiro supõe uma radicalidade e uma abertura bem maiores que os
anteriores ele, numa primeira aproximação, não se desdobra em outras coisas: é um saber
por excelência. Isto não signica que possamos desprezar os outros saberes: eles têm sim a sua
legitimidade e sua importância.
Este debruçar-se sobre o saber é uma atividade própria do lósofo.
A Filosoa, que eti-
mologicamente signica amor à sabedoria, é um modo de saber rigoroso e desinteressado que
aspira a conhecer com profundidade o conjunto íntegro da realidade mediante o descobrimento
de seus princípios ou causas últimas, fundamentos daquilo que é enquanto é [1]. O conhecimento losóco, como a amizade, a poesia, o próprio Deus, goza de um valor muito superior ao
do meramente instrumental porquanto esse valor repousa em seu próprio saber, sem requerer
justicação ulterior [1]. Por curiosidade, theoria é uma palavra grega que signica saber por
saber; para os gregos, o theorein, o teorizar, era a mais elevada de nossas operações [1].
6
CAPÍTULO 1.
INTRODUÇÃO GERAL
Pode parecer desconcertante, mas o conhecimento losóco é inútil. Trata-se de um conhecimento desinteressado, que não está subordinado a outro objetivo que não o próprio saber.
O desconcerto se acentua se considerarmos que hoje em dia estamos acostumados com uma
multidão de objetos mais ou menos sosticados dos quais estamos acostumados a tirar vantagens fazê-los funcionar e render, ser ecazes sem conhecer praticamente nada sobre como
são nem qual é sua natureza mais íntima. Nada disso é reprovável, pois se trata de instrumentos e lhes corresponde por natureza serem utilizados. Conhecer os aparelhos não tem especial
relevância, porque neles interessa principalmente a função e não o ser. O perigo surge quando
semelhante sabertende a tornar-se absoluto e se aplica de maneira desconsiderada a todo o
conjunto das realidades, também àquelas cuja natureza não é instrumental [1]. E justamente o
saber losóco se resiste a esta instrumentação.
Mas se a Filosoa é desinteressada de um objetivo prático, o que motiva o estudo losóco?
O que move o estudo losóco essencialmente é o assombro, a admiração, a surpresa [1]. Tratase de uma admiração semelhante à das crianças quando descobrem as coisas, uma admiração
que permite saborear a realidade, sem se revoltar contra ela. Os medievais já diziam omnia
admirabilia sunt delectabilia tudo o que produz assombro, espanto, gera, por si mesmo, um
enorme prazer [1].
Apesar de pretender estudar a realidade última das coisas, a Filosoa constitui uma espécie
de saber que é ignorante; o que é estudado pelo lósofo resultará sempre em algo realmente
conhecido, mas nunca dominado. Todo lósofo genuíno deve possuir em alto grau o sentido do
mistério; ele não se considera sábio, mas simples aspirante ou candidato ao amor perfeito o
que o move a indagar, como resultado da admiração, não é outra coisa senão o afã de chegar a
saber mais e melhor, o amor desinteressado e puro ao conhecimento. Todavia, a humildade do
lósofo não anula o saber por ele atingido: o conhecimento losóco é nito e imperfeito, mas
sem abandonar a sua índole de genuíno conhecimento [1].
Mas o que todas estas considerações de Filosoa têm a ver com FIS26, ou de uma forma
mais geral, o que têm a ver com Ciência? Por um lado, existe certa tendência cientíca de menosprezo para com a Filosoa, como se o único conhecimento verdadeiro fosse o proporcionado
pelas Ciências, aquele que estivesse disponível à vericação experimental. Contudo, a Ciência
não pode sobreviver sem a Filosoa. Para estudar a realidade, partimos do pressuposto de que
a realidade não é caótica (completamente imprevisível), de que existe uma ordem na realidade
este pressuposto não é cientíco, mas sim losóco. Se é verdade que a Filosoa dá suporte à
Ciência, também é verdade que a Filosoa se atualiza à luz dos novos conhecimentos cientícos.
O processo de admiração não é exclusivo do lósofo, ele também aparece no cientista.
Costumamos pensar num cientista como uma pessoa vestida de jaleco branco, fria, impessoal,
isenta de sentimentos, e crítica a tudo que lhe ocorra. Assim pensavam também os próprios
cientistas do século XIX e do começo do século XX. E os cientistas sonhavam que não mais
sonhariam, e imaginavam que a imaginação havia morrido... Com eles, nascia uma nova raça
de indivíduos frios e racionais que diziam para si mesmos:
`Somos reais, inteiramente.
Já
não existe em nós nem crença, nem superstição' (Nietzsche). E eles pensavam que, com eles, a
civilização alcançara um nível nunca antes atingido (Weber). Kant, Comte, Freud, Marx, todos
eles acreditavam no advento de uma ciência livre de emoções. Kant denunciava as paixões como
`cancros da razão pura'.
Comte falava sobre os três estágios, o mais primitivo habitado por
mágicos e sacerdotes e representado pela imaginação, enquanto o último era constituído de
cientistas, sábios o bastante para amordaçar a imaginação. Freud caminha na mesma procissão
e saúda o pensamento cientíco como o que denitivamente abandonou as fantasias e se ajustou
1.2.
MÉTODO DE ESTUDO
7
à realidade. Enquanto isso, no marxismo, a ciência devora antropofagicamente, sua própria mãe,
a ideologia [2]. Mas a verdade é que as grandes evoluções da Ciência não ocorrem seguindo
rigorosamente um método cientíco; Popper dizia que o que faz a Ciência evoluir são ideias
ousadas, especulações infundadas e antecipações injusticadas. A verdadeira descoberta não
é um processo estritamente lógico, não é o produto de uma longa corrente de pensamento
abstrato [2]. Einstein sustentava que não existe nenhum caminho lógico que nos conduza (às
grandes leis do universo). Elas só podem ser atingidas por meio de intuições baseadas em algo
semelhante a um amor intelectual pelos objetos da experiência [2]. Esta armação de Einstein
conrma a estreita relação entre o admirar-se e o fazer ciência: o ato criador depende de
um amor intelectual pelos objetos da experiência.
Estamos longe da assepsia que exigia, do
cientista, uma absoluta neutralidade e indiferença face ao objeto [2].
A humildade intelectual do lósofo também deve estar presente em todo cientista autêntico.
Sócrates tinha uma conança invencível na inteligência e na Ciência, mas em uma inteligência
disciplinada e humilde ante as coisas, e em uma Ciência que conhece seus limites e que progride
com força e segurança na posse do verdadeiro só na medida em que, sentindo-se envolvida na
ignorância, rende homenagem à soberania do real [1]. Precisamos ter coragem de reconhecer
nossa própria ignorância, pois dá medo de fazer isto.
realidade e não o contrário.
A Ciência deve prestar homenagem à
Uma das maiores ingenuidades do homem de hoje, receoso da
razão e ao mesmo tempo envaidecido com a sua própria inteligência, consiste em ter a cândida
pretensão de que, se algo é verdade, tem que me convencer necessariamente, e vice-versa, se
não me convence, posso estar seguro de que não é verdade [1]. Não é a natureza que deve se
adaptar à descrição cientíca e sim o contrário.
A grande tentação do cientista é reduzir a
realidade a um aspecto que ele pode controlar totalmente. Se desejamos controlar a realidade
(num sentido negativo da palavra controlar) é porque nos sentimos inseguros de que ela não nos
obedeça. Mas o fato é que a realidade se resiste a um controle total. Por experiência própria,
sabemos que não é possível controlar tudo, por exemplo, quando precisamos fazer uma escolha,
geralmente não podemos prever meticulosamente todas as consequências desta escolha e é
natural que seja assim: as decisões mais importantes da vida são as que dão menos segurança
na escolha.
1.2
Método de Estudo
Acabamos de sublinhar duas atitudes fundamentais em Ciência: a admiração e a humildade.
No tocante à admiração, alguém poderia confundi-la com um estado de ânimo sentimental,
pensando que só se deve estudar algo quando o o coração estiver ardendo, quando a paixão
estiver batendo no peito ora, isto seria um engano:
sim de empolgação.
está apaixonado?
não se trataria de admiração, mas
Mas o que se deveria fazer para adquirir esta atitude própria de quem
A resposta não é fácil, mas sem dúvida passa por algo como sentir uma
necessidade vital.
Certa vez, no primeiro dia de aula de Metafísica, o professor José de Ortega y Gasset disse
a seus alunos que estudar era uma falsidade: todo estudar é, em geral, uma falsidade. Não
que que estudar fosse inteiramente uma falsidade. É possível que estudar contenha facetas,
aspectos, ingredientes que não sejam falsos. E prosseguia:
As disciplinas, seja a Metafísica ou a Geometria, existem, estão aí, porque alguns homens
as criaram mercê de um grande esforço e, se se esforçaram, é porque necessitavam delas, porque
8
CAPÍTULO 1.
sentiam a sua falta.
INTRODUÇÃO GERAL
As verdades que essas disciplinas contém foram originariamente encon-
tradas por um determinado homem, e depois, repensadas e reencontradas por muitos outros
que adicionaram o seu esforço ao dos primeiros. Se esses homens as encontraram foi porque
as procuraram e, se as procuraram, foi porque necessitavam delas, porque, por uma qualquer
razão, não podiam prescindir delas. Se não as tivessem encontrado, teriam considerado as suas
vidas como fracassadas. Inversamente, se encontraram o que procuravam, é porque isso que encontraram se adequava a uma necessidade que sentiam. [...] Diremos [...] que uma ciência não é
ciência senão para quem empenhadamente a procura; enm, que a Metafísica não é Metafísica
senão para quem dela necessita. Para quem dela não necessita, para quem não a procura, a
Metafísica é uma série de palavras, ou, se se preferir, de ideias; ideias que, embora possamos
julgar tê-las entendido, carecem denitivamente de sentido. Isto é, para entender verdadeiramente algo, e sobretudo a Metafísica, não faz falta ter isso a que se chama talento nem possuir
grandes sabedorias prévias. O que faz falta é uma condição elementar mas fundamental: o que
faz falta é necessitar dela.
Damo-nos conta de que o estudante é um ser humano, masculino ou feminino, a quem a
vida impõe a necessidade de estudar ciências sem delas ter sentido uma imediata e autêntica
necessidade. Se deixarmos de lado alguns casos excepcionais, reconheceremos que, na melhor
das hipóteses, o estudante sente uma necessidade sincera, embora vaga, de estudar `algo', algo
in genere, isto é, de `saber', de se instruir.
Mas o caráter vago deste desejo é revelador da
sua frágil autenticidade. É evidente que este estado de espírito nunca conduziu à criação de
nenhum saber porque o saber é sempre um saber concreto, um saber precisamente isto ou
precisamente aquilo, e, de acordo com a lei que tenho vindo a sugerir a lei da funcionalidade
entre o procurar e o encontrar, entre a necessidade e a satisfação aqueles que criaram um
saber sentiram, não um vago desejo de saber, mas uma concretíssima necessidade de averiguar
uma determinada coisa.
No entanto, como todos compreenderão, não se resolve este problema dizendo: `Pois bem,
se estudar é uma falsidade do homem e, além disso, leva, ou pode levar, a tais conseqüências,
então que não se estude!'. Dizer isto não seria resolver o problema, mas antes ignorá-lo de forma
simplista. Estudar e ser estudante é sempre, e sobretudo hoje, uma necessidade inexorável do
homem.
Quer queira quer não, o homem tem que assimilar o saber acumulado, sob pena
de sucumbir individual e coletivamente.
Se uma geração deixasse de estudar, nove décimos
da humanidade atual morreria fulminantemente. O número de homens que hoje estão vivos só
pode subsistir mercê da técnica superior de aproveitamento do planeta que as ciências tornaram
possível. É certo que as técnicas vivem do saber e, se este não puder ser ensinado, chegará a
hora em que também as técnicas sucumbirão.
A solução para um problema tão cruel e dilacerante decorre de tudo o que se disse atrás.
Ela não consiste em decretar que não se estude, mas em reformar profundamente esse fazer
humano que é estudar e, conseqüentemente, o ser do estudante. Para isso, é necessário virar o
ensino do avesso e dizer: ensinar é primária e fundamentalmente ensinar a necessidade de uma
ciência e não ensinar uma ciência cuja necessidade seja impossível fazer sentir ao estudante.
O dilema do estudar discutido anteriormente por Ortega y Gasset não se restringe ao âmbito
da Metafísica, mas se dá em todo campo de saber humano: a disciplina de FIS26 não é excessão.
Este material tentará ajudar o leitor a encontrar a necessidade de cada assunto abordado no
curso, tentará despertar o processo de admiração que mencionei antes. No entanto, esta sede
de sabedoria não pode ser forçada, mas sugerida, portanto, caberá a você, leitor, a parte mais
difícil desta tarefa motivacional: motivar-se. Uma pergunta (não desprezível) que você se deve
1.2.
MÉTODO DE ESTUDO
9
fazer é: por que eu vou estudar? isto ajudará a que você encontre o sentido que este fazer
humano tem para você.
Mas, algum leitor desconado poderia refutar: ora, se eu não sinto necessidade de estudar,
tentar suscitar esta necessidade não seria um ngimento?. Eu concondo com este pensamento,
mas apenas num primeiro momento. Ora, já dizia o escritor Guimarães Rosa: Tudo se nge,
primeiro; germina autêntico é depois. Seria estranho conceber que algo nascesse já completo
e perfeito: em geral, as coisas se aperfeiçoam com o tempo.
Assim, entendo este desejo de
estudar pode nascer imperfeito, mas com o tempo, com esforço, ele irá se aperfeiçoar. Em
segundo lugar, partindo do que disse Aristóteles todo homem deseja por natureza saber, eu
diria que autenticamente o homem deseja saber, ainda que na prática este desejo se encontre
camuado em seu interior. Com esta ideia, o ngimento seria justamente não-estudar. Assim,
entendemos por que estudar é uma necessidade do homem.
O homem é um ser aberto à
totalidade do real, aberto a se admirar com o que existe na proporção em quem cada realidade
o reclame.
Assim, uma pessoa é tão mais humana quanto mais aprende a contemplar, a se
extasiar no conhecimento do real [1].
Bem, mas o estudar não é somente questão de vontade, não se estuda somente quando se
está a m. Espero ter já apontado motivos racionais sucientes para que se estude; todavia,
para que não faltem argumentos, transcrevo um pensamento de Weber: As ideias nos ocorrem
não quando queremos mas quando elas querem.
As melhores ideias vem à nossa mente, na
verdade, da forma como Ihering o descreve: fumando um charuto no sofá; ou como Helmholtz
relata, com exatidão cientíca: dando uma volta numa rua ligeiramente inclinada.(...) Ideias
não nos vêm quando nós as esperamos, nem quando estamos ruminando e procurando em
nossas escrivaninhas. Por outro lado, elas certamente não teriam vindo às nossas mentes se não
tivéssemos ruminado em nossas escrivaninhas e procurado respostas com devoção apaixonada
[2]. Portanto, para se estudar bem, para fazer render o estudo, eu diria que é preciso tática, é
necessário um método de estudo. Obviamente não se trata de um conjunto de regrinhas mágicas
para se cumprir que garantem um resultado imediato. O método de estudo é algo muito pessoal
e, de certa forma, reete um pouco da personalidade de cada um. O que não pode ocorrer é que
se estude somente quando existe um sentimento agradável: algumas vezes poucas, eu diria
será necessário remar contra a correnteza da preguiça ou de uma cômoda desmotivação.
Estes motivos, geralmente, denotam falta de caráter, e acabam como que justicando para a
própria pessoa o seu desempenho medíocre.
Se é verdade que o método de estudo é muito pessoal, também é verdade que há sim
recomendações muito concretas que qualquer pessoa pode aproveitar. A seguir, eu menciono
algumas:
•
Encare o estudo como um emprego (na minha opinião, efetivamente o trabalho do estudante é estudar).
•
Planeje seu estudo: veja as matérias que precisa estudar, organize um cronograma (o qual
pode ser variável para cada semana, por exemplo).
•
Programe suas atividades extra-curriculares de modo a respeitar seus próprios limites.
•
No seu planejamento, reserve algum tempo para atividades que descansam:
leitura de livros, lmes, reuniões com amigos, etc.
esporte,
10
CAPÍTULO 1.
•
INTRODUÇÃO GERAL
Dedique para cada disciplina o tempo que você precisa dedicar. Um erro muito comum é
se estudar apenas o que se gosta: na verdade é preciso estudar cada matéria de acordo com
o que ela exige algumas vezes, você precisará dedicar mais tempo a algumas matérias
das quais não goste tanto.
•
Periodicamente, revise seu método de estudo e veja o que está funcionando e o que deve
ser melhorado. Mas não se esqueça de que os resultados levam tempo para aparecer, há
que ter paciência para não desistir logo nas primeiras diculdades.
Eu acrescentaria que para formular um bom método de estudo é muito útil pedir conselho a
outras pessoas. Geralmente, não conseguimos ver todos os detalhes de uma situação especíca
e alguém de fora pode muito bem apontar aspectos importantes que estamos desconsiderando.
1.3
Algumas Aplicações de FIS26
Neste curso de FIS26, basicamente, abordaremos os seguintes assuntos:
1. Corpo rígido,
2. Oscilações,
3. Ondas,
4. Gravitação,
5. Mecânica Analítica.
Talvez, neste momento, você se pergunte onde se aplicam estes conhecimentos. Vou exemplicar
alguns:
1. Um avião pode ser considerado num primeiro momento como um corpo rígido. Conhecendo as forças que atuam num certo avião, permite prever o comportamento deste em
termos de movimento de translação e rotação.
2. Uma viga de um prédio pode ser submetida a movimentos oscilatórios em situações de
terremoto. Neste caso, o edifício (não só as vigas, mas toda a estrutura deste) deve ser
projetado de modo que o efeito das oscilações seja minimizado.
3. No lançamento de satélites, os movimentos que serão executados devem ser tais que
coloquem o satélite numa órbita bem determinada. Ora estudaremos órbitas e (um pouco
sobre transferências de órbitas) no capítulo 5.
4. Para se controlar um robô, é preciso conhecer muito bem como ele responde a forças
externas. Com isso, os atuadores elétricos podem atuar de forma a otimizar o desempenho
do robô como um todo. Ora, isto signica justamente possuir um bom modelo mecânico
do robô tarefa que é facilmente conseguida com este curso, particularmente com o
capítulo 6.
1.4.
1.4
BREVE REVISÃO DA FÍSICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
11
Breve Revisão da Física de um Sistema de Partículas
Nesta seção, limito-me a escrever algumas expressões que aparecem com frequência quando se
estuda sistema de partículas
•
N
Centro de Massa (CM) de um sistema de
partículas:
P
~rCM =
•
mi~ri
M
Distribuição linear:
N
X
mi .
i=1
~rdm
=
M
R
~rλdl
.
M
R
~rdm
=
M
R
~rσdA
.
M
R
~rdm
=
M
R
~rρdA
.
M
Distribuição supercial:
~rCM =
•
M=
R
~rCM =
•
sendo
Distribuição volumétrica:
~rCM =
•
Se um corpo possui um eixo de simetria, então o CM está localizado sobre este eixo.
•
Se um sistema de partículas pode ser subdividido em dois subsistemas
~rCM =
•
A
e
B,
então:
mA~rCM,A + mB ~rCM,B
.
mA + mB
Momento linear de um sistema de partículas:
P~ = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mN ~vN = M~vCM .
•
Segunda lei de Newton:
dP~
F~ (ext) =
= M~aCM ,
dt
o CM de um sistema de partículas se move como se a massa total do sistema e todas as
forças estivessem atuando neste ponto.
•
Momento angular de um sistema de partículas:
~ =
L
N
X
~ CM ,
mi~ri × ~vi = M~rCM × ~vCM + L
i=1
onde
•
~ CM
L
é o momento angular do sistema em relação a um referencial no CM.
Torque:
~
dL
,
dt
~ CM
dL
=
.
dt
~τ (ext) =
(ext)
~τCM
12
CAPÍTULO 1.
•
INTRODUÇÃO GERAL
Trabalho e energia:
W (ext) + W (int) = ∆EC ,
se as forças internas são conservativas:
W (ext) = ∆U,
sendo
•
(int)
U = EC + EP
.
Energia cinética:
EC =
2
2
m1 v12 m2 v22
mN vN
M vCM
+
+ ... +
=
+ EC,CM .
2
2
2
2
No caso de duas partículas:
EC,CM =
sendo
µ = (m1 m2 )/(m1 + m2 )
2
µvrel
,
2
a massa reduzida do sistema de duas partículas.
(1.1)
13
Capítulo 2
Corpos Rígidos
Dicilmente, as partículas ocorrem isoladamente na natureza, elas geralmente formam aglomerados, ou melhor, sistemas de partículas. Uma molécula de H2 , por exemplo, pode ser encarada
como um sistema de 4 partículas. Por outro lado, 22,4 l de Ar, nas condições normais de tempe23
ratura e pressão, podem ser vistos como um sistema de 6 × 10
partículas de Ar. Dentre todos
os possíveis sistemas de partículas, uma classe é particularmente útil em diversos problemas de
Engenharia: são os corpos rígidos.
Um corpo rígido é um sistema de partículas no qual a distância entre quaisquer duas partículas não se altera com o tempo. Nesse sentido, são exemplos de corpos rígidos: uma caixa,
as pás da hélice de um ventilador, a roda de um automóvel, a fuselagem de um avião, uma
barra, entre outros.
Embora na prática não existam corpos perfeitamente rígidos (todos os
corpos admitem pequenas deformações), a teoria de corpos rígidos consegue fornecer resultados excelentes para o movimento de muitos corpos (os quais podem ser considerados rígidos,
indeformáveis, numa primeira aproximação).
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2.1: Tipos de movimento plano de um corpo rígido: (a) trajetória de translação retilínea;
(b) trajetória de translação curvilínea; (c) rotação em torno de um eixo xo; (d) movimento
plano geral.
Vamos começar estudando o movimento plano de um corpo rígido. Quando todas as partículas de um corpo rígido se movem ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano
xo, diz-se que o corpo rígido possui um movimento plano. Há 3 tipos de movimento plano de
corpo rígido:
1. Translação: quando cada segmento de linha sobre o corpo rígido permanece, durante o
movimento, paralelo à sua posição original.
14
CAPÍTULO 2.
CORPOS RÍGIDOS
2. Rotação em torno de um eixo xo: quando todas as partículas do corpo rígido (exceto as
que se apoiam sobre o eixo de rotação) se movem em trajetórias circulares.
3. Movimento plano geral: quando há uma combinação dos dois movimentos anteriores.
A Figura 2.1 ilustra estes 3 tipos de movimento plano de um corpo rígido.
O movimento de translação é de análise imediata. Valendo-se da Figura 2.2, tomamos dois
referenciais: um inercial e outro solidário ao corpo rígido. Assim:
~rB = ~rA + ~rB/A .
(2.1)
~vB = ~vA .
(2.2)
Derivando, temos a velocidade:
Note que a derivada do termo
~rB/A
é zero por se tratar de movimento de translação. Por m,
a aceleração é dada por:
~aB = ~aA .
Figura 2.2: Análise do movimento de translação de um corpo rígido.
2.1
Rotação em torno de um eixo xo
O movimento de rotação em torno de um eixo xo, para um corpo rígido, reduz-se a estudar
o movimento circular de um ponto
P
em qualquer seção transversal ao eixo. O sistema tem
um grau de liberdade: a rotação pode ser descrita pelo ângulo de rotação
θ
do ponto
P
nesse
movimento circular (Figura 2.3). Isto signica que, se o eixo de rotação é xo, o movimento de
rotação pode ser completamente caracterizado pela grandeza escalar
θ.
No entanto, isto deixa
de ser verdade para um movimento de rotação mais geral (por exemplo, no movimento de um
pião, o eixo de rotação varia a cada instante). Logo, para caracterizar uma rotação no caso
geral, não basta dar um ângulo de rotação, é preciso dar também uma direção: a direção do
eixo de rotação.
Poderíamos, tentar associar um vetor θ a uma rotação.
grandeza
θ
Porém, é fácil vericar que a
associada a uma rotação nita, embora tenha módulo, direção e sentido, não é um
2.1.
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
15
Figura 2.3: Análise do movimento de rotação de um corpo rígido.
vetor. Entretanto, se tomarmos rotações innitesimais, como na Figura 2.4, estas sim podem
ser caracterizadas como vetores. Para tanto, vamos denir:
δ θ~ :


módulo:
δθ
direção:
eixo de rotação,

sentido:
regra da mão direita.
(deslocamento angular),
Figura 2.4: Rotação innitesimal de um ponto
Nestas condições, sendo
−→
OP = ~r
e
−−→0
P P = δ~s,
P.
temos:
δ~s = δ θ~ × ~r.
Note que a Eq. (2.3) continua válida mesmo quando
(2.3)
−→
OP
e
−−→0
PP
não estão no mesmo plano,
como se vê na Figura 2.5. Note que, para o caso desta Figura, tem-se
Figura 2.5: Rotação innitesimal de um ponto
P,
δs = ρδθ = r sin ϕ(δθ).
com a origem deslocada.
16
CAPÍTULO 2.
CORPOS RÍGIDOS
Uma vez denido o vetor ângulo (innitesimal), denimos a velocidade angular como:
ω
~ = lim
δt→0
δ θ~
δt
!
,
notando que:
~v = lim
δt→0
Derivando a Eq.
δ~s
δt
= lim
δt→0
δ θ~
δt
!
× ~r = ω
~ × ~r.
(2.4)
(2.4) em relação ao tempo, obtemos a aceleração de um certo ponto
P
do
corpo rígido:
~a =
sendo
2.2
α
~=
d~ω
dt
d~ω
d~r
× ~r + ω
~×
=α
~ × ~r + ω
~ × (~ω × ~r),
dt
dt
a aceleração angular.
Movimento Plano Geral
O movimento plano geral de um corpo rígido pode ser descrito como a combinação de uma
translação e de uma rotação. Para visualizarmos estas componentes de movimento, utilizaremos uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos de eixos ordenados, como na
xy é xo e mede a posição absoluta de dois pontos A e B sobre
x0 y 0 será xada a um ponto A do corpo rígido (um ponto que
0 0
movimento conhecido). Os eixos x y não giram com o corpo, eles podem
Figura 2.6. O sistema de eixos
o corpo. A origem do sistema
geralmente tem um
apenas transladar em relação ao sistema xo.
Figura 2.6: Referenciais para estudar o movimento plano geral de um corpo rígido.
Nestas condições, a posição de
B
é dada pela Eq. (2.1); mas sua velocidade já não pode ser
escrita como a Eq. (2.2), ela é dada por:
~vB = ~vA + ~vB/A .
Como o ponto
B
está sempre à mesma distância de
A,
então seu movimento (em relação a
pode ser caracterizado como uma rotação em torno de um eixo xo que passa por
~vB = ~vA + ω
~ × ~rB/A .
A.
A)
Assim:
2.2.
MOVIMENTO PLANO GERAL
e, a aceleração de
B
17
é igual a:
~aB = ~aA + α
~ × ~rB/A + ω
~ × (~ω × ~rB/A ).
Exemplo 2.1 A barra
inclinados em
A
e
B.
(2.5)
AB mostrada na Figura 2.7 está connada a mover-se ao longo de planos
A tem uma aceleração de 3,00 m/s2 e uma velocidade de 2,00
Se o ponto
m/s ambas direcionadas plano abaixo no instante em que a bara ca na horizontal, determine
a aceleração angular da barra neste instante.
Figura 2.7: Barra
Solução Uma vez que
AeB
AB
estudada.
se movem em trajetórias retilíneas, as velocidades (e acelerações)
destes pontos estão dirigidas ao longo destas direções (Figura 2.8). Como ao longo da barra, o
Figura 2.8: Acelerações da barra
AB
estudada.
B está em repouso relativamente a A (o comprimento da
◦
◦
então vA cos 45 = vB cos 45 , ou seja, vB = vA = 2,00 m/s.
√
(2).(2m/s).( 2/2) = (ω).(10,0 m), ou seja, ω
~ = (0,283 rad/s)ẑ .
ponto
barra não varia com o tempo),
Como
vB/A = ωrB/A ,
temos:
Para determinar a aceleração angular, utilizamos a Eq. (2.5):
(aB cos 45◦ )x̂ + (aB sin 45◦ )ŷ = (aA cos 45◦ )x̂ − (aA sin 45◦ )ŷ + (10,0α)ŷ − (0,283)2 .(10,0)x̂
que conduz ao seguinte sistema de equações:
Substituindo
aA =
aB cos 45◦ = aA cos 45◦ − (0,283)2 .(10,0)
aB sin 45◦ = −aA sin 45◦ + 10,0α
2
3,00 m/s , obtemos
18
CAPÍTULO 2.
α
~ = (0,344
2.3
CORPOS RÍGIDOS
2
rad/s )ẑ
Momento Angular
Já vimos que o movimento plano de um corpo rígido pode ser dividido em 2 partes: rotação
e translação. No que concerne à parte translacional, não há diferenças, em termos de análise,
do movimento do corpo rígido e do movimento de uma partícula. Vamos continuar analisando,
portanto, a parte do movimento referente à rotação.
2.3.1
Momento Angular: componente ao longo do eixo de rotação
Considere um corpo rígido girando em torno de um eixo xo
angular tem uma componente
L∆
O momento
(ao longo do eixo de rotação) dada por:
L∆ =
X
mi (~ri × ~vi ).ê∆ =
i
X
~li .ê∆ .
i
(a)
(b)
Figura 2.9: (a) Trajetória circular de um ponto
deste elemento pontual
∆, como na Figura 2.9.
P
de um corpo rígido; (b) Momento angular ~
li
P.
Mas,
~li .ê∆ = li cos θ = (mi ωdi )ri cos θ = mi ωd2 .
i
Assim:
!
L∆ =
X
mi ωd2i =
X
i
A quantidade
∆
X
mi d2i
i
e representada como
mi d2i
ω.
i
é denominada momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo
I∆ .
Assim:
L∆ = I∆ ω.
Em algumas condições especiais (veremos adiante), como quando o eixo
∆ é um eixo de simetria
do corpo rígido, a identidade anterior pode ser reescrita na forma vetorial:
~ = I~ω ,
L
2.3.
MOMENTO ANGULAR
sendo
I
19
o momento de inércia em relação a este eixo de simetria em torno do qual ocorre a
rotação.
P~ = M~v ,
Por analogia com o momento linear
podemos dizer que
~ = I~ω
L
mostra que o
momento de inércia mede a resitência de um corpo à rotação (I é como se fosse uma massa
para a rotação). De algum modo, o momento de inércia mede como a massa está distribuída
em torno de um eixo de rotação: quanto mais massa houver próximo ao eixo de rotação, menor
será o momento de inércia.
Para um dado corpo rígido, o momento de inércia depende do
eixo considerado, já que a massa pode estar melhor distribuída em torno de um eixo que de
outros. Uma vez que o momento de inércia é uma quantidade essencial no estudo das rotações
de corpos rígidos, vamos explorá-lo mais.
X
Sabemos que
mi d2i . Tomando pequenas porções (do corpo rígido) de massa
i
distâncias em relação ao eixo de rotação sejam ri , temos:
I=
e, no limite em que
X
∆mi → 0:
Z
I=
∆mi
cujas
ri2 ∆mi ,
ri2 dm.
No caso de:
•
distribuição linear de massa:
•
distribuição supercial de massa:
•
distribuição volumétrica de massa:
dm = λdl.
dm = σdA.
dm = ρdV .
Exemplo 2.2 Obter o momento de inércia da haste a seguir com relação ao eixo
(a)
z.
(b)
Figura 2.10: (a) Barra da qual se deseja calcular o momento de inércia; (b) Divisão da barra
em pedaços innitesimais.
Solução Tomando a divisão de massas como na Figura 2.10(b), temos:
Z
I=
0
L
x2 λdx = λ
L3
M L2
=
3
3
20
CAPÍTULO 2.
Exemplo 2.3 Obter o momento de inércia do disco (massa
M
e raio
CORPOS RÍGIDOS
R)
em relação ao eixo de
simentria normal ao seu plano
Figura 2.11: Divisão do disco em pedaços innitesimais.
Solução Considerando a divisão de massas da Figura 2.11:
Z
I=
2
R
Z
2
r2 σrdθdr = σ
(x + y )σdA =
0
OBS
2π
Z
0
M R2
R4
2π =
4
2
2.1 Nos apêndices A e B, mostramos o momento de inércia para diversos objetos com
distribuição uniforme de massa.
Teorema 2.1 Se um corpo rígido pode ser dividido em duas partes
de inércia (em relação a um eixo
∆)
A
e
B,
então seu monento
é igual à soma dos momentos de inércia de
A
e
B
(com
relação ao mesmo eixo).
Prova Basta dividir o domínio de integração em
Z
2
I=
Z
r dm =
S=A+B
Teorema 2.2
2
A
e
B:
Z
r dm +
A
B
(dos eixos paralelos ou de Steiner):
um eixo que passa pelo CM é
ICM ,
r2 dm = IA + IB .
Se o momento de inércia em relação a
então o momento de inércia em relação a qualquer outro
eixo paralelo a este é:
I = ICM + M d2 ,
sendo
d
a distância dos eixos e
M
a massa do corpo rígido.
Prova Considere dois sistemas cartesianos com eixos paralelos, sendo que um dos sistemas está
localizado no CM, como na Figura 2.12. Escrevendo a expressão do momento de inércia
I=
X
ri2 ∆mi .
2.3.
MOMENTO ANGULAR
21
Figura 2.12: Dois sistemas cartesianos com os eixos paralelos.
Mas
~ri = ~rCM + ~ri/CM ,
I =
e portanto,
X
P
∆mi~rCM =
P
o que implica:
X
X
2
∆mi + 2
~rCM · ~ri/CM ∆mi ,
ri/CM
X
+ 2~rCM ·
~ri/CM ∆mi .
2
∆mi +
rCM
= M d2 + ICM
Como
2
2
+ 2~rCM · ~ri/CM ,
+ ri/CM
ri2 = ~ri · ~ri = rCM
~ri ∆mi , tem-se ~0 =
P
P
(∆mi )(~ri −~rCM ) = (∆mi )(~ri/CM ), donde segue
que:
I = ICM + M d2 .
Exemplo 2.4 Determine o momento de inércia da haste da Figura 2.13 em relação ao eixo
Figura 2.13: Haste e eixo
z.
z.
Solução Usando o Exemplo 2.2 e o teorema dos eixos paralelos:
M L2
M L2
= Iz +
.
3
4
Portanto:
Iz =
OBS
M L2
.
12
2.2 Ocasionalmente, o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo
especíco é documentado em manuais através do raio de giração
r
I = M k2
ou
k=
k.
Ele é denido como:
I
.
M
O raio de giração pode ser interpretado como a distância (em relação ao eixo de rotação) na
qual se estivesse concentrada toda a massa
M
produziria o mesmo momento de inércia.
22
CAPÍTULO 2.
Teorema 2.3
inércia
o eixo
(dos eixos perpendiculares):
CORPOS RÍGIDOS
Seja um corpo rígido plano com momentos de
Ix e Iy por dois eixos (perpendiculares entre si) que estão no mesmo plano do corpo.
z é perpendicular a x e a y , então:
Se
Iz = Ix + Iy .
Prova Considere a Figura 2.14.
Figura 2.14: Sistema de 3 eixos perpendiculares.
Pode-se dizer que:
Z
Ix =
Z
Iy =
y 2 dm,
x2 dm.
E, por m,
Z
Iz =
(x2 + y 2 )dm = Ix + Iy .
Exemplo 2.5 Calcule o momento de inércia de um disco por um eixo passando por um diâ-
metro.
Considere o disco ilustrado na Figura 2.15. Por simetria, temos
Solução
Figura 2.15: Disco e eixos
Usando o teorema dos eixos perpendiculares:
Iz = Ix + Iy = 2Ix .
Mas, do Exemplo 2.3,
Iz = M R2 /2.
Portanto:
Ix =
M R2
.
4
x
e
y.
Ix = Iy
2.3.
MOMENTO ANGULAR
2.3.2
23
Momento Angular: caso geral
Já vimos que a componente do momento angular ao longo do eixo de rotação é
L∆ = I∆ ω .
Mas
uma questão surge quando vemos esta expressão: o momento angular é um vetor paralelo ao
eixo de rotação (ou então, a
e
ω
~?
ω
~ )?
A resposta é: geralmente não. Então, qual a relação entre
~
L
Vejamos. Considere a Figura 2.9 (a). Podemos escrever
~ =
L
X
~ri × (∆mi~vi ).
i
Mas, para um eixo xo,
~vi = ω
~ × ~ri .
Assim:
~ =
L
X
(∆mi )~ri × (~ω × ~ri ).
(2.6)
i
Sendo
ω
~ = ωx x̂ + ωy ŷ + ωz ẑ
e
~ri = xi x̂ + yi ŷ + zi ẑ ,
podemos escrever o duplo produto vetorial
como:
~ri × (~ω × ~ri ) = [(yi2 + zi2 )ωx − xi yi ωy − xi zi ωz ]x̂
= [−xi yi ωx + (x2i + zi2 )ωy − yi zi ωz ]ŷ
= [−xi zi ωx − yi zi ωy + (x2i + yi2 )ωz ]ẑ
Tomando o limite em que
∆mi → 0
e reescrevendo a Eq. (2.6) na forma matricial, temos:
~ = I~
˜ω ,
L
onde
(2.7)

Ixx

Ixx −Ixy −Ixz
Iyy −Iyz 
I˜ =  −Iyx
−Izx −Izy
Izz
Z
Z
Z
2
2
2
2
= (y + z )dm
Iyy = (x + z )dm
Izz = (x2 + y 2 )dm
Z
Ixy = Iyx = xydm
Z
Ixz = Izx = xzdm
Z
Iyz = Izy = yzdm
I˜ é conhecida como tensor de inércia de um corpo rígido. As grandezas Ixx , Iyy e
Izz são conhecidas como momentos de inércia em relação aos eixos x, y e z , respectivamente; e
as grandezas Ixy , . . . , Izy são conhecidas como produtos de inércia. Note que, para denir bem
o tensor de inércia I˜ é necessário especicar uma origem O e os eixos x, y e z .
Se xamos o ponto O e fazemos uma rotação (de eixos) dada pela matriz de mudança de
base R̃, então:
 
 0 
x
x
 y  = R̃  y 0  .
z
z0
A quantidade
24
CAPÍTULO 2.
~ = R̃L
~0
L
Logo
e
ω
~ = R̃~ω 0 .
CORPOS RÍGIDOS
Substituindo na Eq. (2.7) e usando o fato de que
R̃
é uma matriz
ortogonal, temos:
~ 0 = (R̃T I˜R̃)~ω 0
L
Assim, o tensor de inércia nos novos eixos é:
I˜0 = R̃T I˜R̃.
Uma vez que
y0
e
z0 ,
I˜ é
simétrico, sempre é possível encontrar um conjunto de eixos ortogonais,
x0 ,
em relação ao qual o tensor é diagonal (trata-se de um problema de autovalores e
autovetores). Neste caso, o tensor de inércia estará diagonalizado e pode ser escrito na forma
simplicada:


Ix0
0 0
0 .
I˜ =  0 Iy0
0
0 Iz0
Ix0 , Iy0 e Iz0 são chamados de momentos principais de inércia do corpo rígido (com relação ao
ponto O ). Os eixos x0 , y0 e z0 são chamados de eixos principais de inércia. Quando um corpo
rígido gira em torno de um eixo principal de inércia ∆, podemos dizer que:
~ = I∆ ω
L
~.
A determinação dos eixos principais de inércia é um problema de autovetores (note que
I∆
é um
autovalor associado). Existem muitos casos, entretanto, em que os eixos principais de inércia
podem ser determinados por inspeção (no caso de um eixo de simetria, por exemplo).
OBS
2.3 Dos três momentos principais de inércia, um será o maior e outro será o menor
de todos os momentos de inércia de eixos que passam pelo ponto
O
(daí a vantagem em se
conhecer os eixos principais de inércia).
Exemplo 2.6 Alguns eixos principais de inércia são dados na Figura 2.16.
Figura 2.16: Eixos principais de uma esfera, de um cilindro e de um cubo.
Exemplo 2.7 Determine os eixos principais de inércia com relação ao ponto
mostrado na Figura 2.17 é formado por 4 massas (duas massas
de massas desprezíveis. Considere
M 6= m.
M
e duas
O.
O corpo rígido
m) ligadas por hastes
2.4.
DINÂMICA DO MOVIMENTO DO CORPO RÍGIDO
Figura 2.17: Quatro massas localizadas nos pontos
25
(a, a, 0), (−a, a, 0), (a, −a, 0)
e
(−a, a, 0).
Solução É fácil ver que:
Izz = 4ma2 + 4M a2 = 4a2 (m + M ),
Ixx = 2ma2 + 2M a2 = 2a2 (m + M ) = Iyy ,
Ixy = −2ma2 + 2M a2 = 2a2 (M − m),
Portanto:
Iyz = Ixz = 0.


2a2 (m + M ) 2a2 (m − M )
0
0 ,
I˜ =  2a2 (m − M ) 2a2 (m + M )
2
0
0 4a (m + M )
cujos autovetores são:


0
 0 
1


√1
2
√1
2




√1
2
− √12
0

.
0
Os eixos principais de inércia aparecem na Figura 2.18.
Figura 2.18: Eixos principais
(x0 y0 z0 ) do sólido da Figura 2.17.
Este resultado, de certa forma,
já era esperado, pela simetria do problema.
2.4
Dinâmica do Movimento do Corpo Rígido
Até o momento, estudamos a cinemática do movimento plano do corpo rígido. Vamos, agora,
relacionar o movimento com as causas (forças e torques).
Como o corpo rígido é um caso
particular de sistema de partículas, podemos dizer que:
F~ (ext) = M~aCM .
(2.8)
26
CAPÍTULO 2.
A Eq.
(2.8) geralmente dá conta da parte translacional do movimento.
CORPOS RÍGIDOS
Para tratar a parte
angular, geralmente tomamos um referencial inercial e aplicamos a equação:
~τ (ext) =
~
dL
.
dt
(2.9)
Este referencial inercial pode ser tomado como um ponto externo ao corpo rígido, ou, quando
for possível um próprio ponto do corpo rígido (se este ponto for um referencial inercial). De
qualquer forma, se o eixo de rotação for um eixo principal de inércia, então pode-se dizer que:
~ = I∆ ω
L
~
~τ (ext) = I∆ α
~.
Se isso não for possível, podemos escrever:
~ = M~rCM × ~vCM + L
~ CM ,
L
Esta última equação é válida para qualquer sistema de partículas.
escrever
~ CM = ICM ω
L
~,
Talvez, ainda se possa
caso se trate de um eixo principal de inércia. Uma última possibilidade
é tomar o CM do corpo rígido para analisar a rotação. Para este ponto do corpo rígido, sempre
se pode escrever que:
(ext)
~τCM =
~ CM
dL
,
dt
ainda que o CM não seja um referencial inercial.
Além de estudar a parte de rotação e a parte de translação, para se determinar completamente o movimento do corpo rígido é necessário alguma outra informação adicional, como por
exemplo algum vínculo conectando a translação e a rotação (por exemplo, dizer que o corpo
rígido rola sem deslizar).
Exemplo 2.8 Um corpo de formato circular partiu do repouso e está descendo um plano
inclinado de ângulo
θ.
Quanto tempo este corpo leva para percorrer uma distância
L
(medida
ao longo do plano inclinado)? Considere que não há deslizamento e que o raio de giração em
relação ao CM seja
k.
Solução Na solução deste problema, consideramos que a força de atrito está orientada como
na Figura 2.19. Se adotássemos a orientação contrária, não haveria diferença no resultado nal.
Figura 2.19: Orientação escolhida para a força de atrito.
2.4.
DINÂMICA DO MOVIMENTO DO CORPO RÍGIDO
27
Análise da parte translacional:
M g sin θ − f = M aCM .
Análise da parte rotacional (em relação ao CM):
f R = ICM α = M k 2 α.
Como não há deslizamento, podemos armar que
f = µN ).
aCM =
Como
αR = aCM
(mas não podemos garantir que
Com isso, obtemos a aceleração do CM:
L = aCM t2 /2,
temos, nalmente
s
t=
OBS 2.4 Note que
2
2L 1 + Rk 2
g sin θ
aCM < g sin θ, ou seja, um corpo rígido cai mais devagar que uma partícula.
Exemplo 2.9 Uma esfera maciça de massa
cidade de rotação
g sin θ
2
1 + Rk 2
ω0
M
e raio
R
é colocada no chão apenas com velo-
(Figura 2.20). Determine o instante em que a esfera deixa de deslizar e
começa a rolar. Considere
µC
o coeciente de atrito cinético entre a esfera e o chão.
Figura 2.20: Ilustração da esfera deslizando.
Solução A força
f = µC M g
de atrito (a qual aponta para a direita muito embora assumir
que aponte para a esquerda não seria problemático; tente ver o que mudaria) se relaciona com
a aceleração do CM através de:
f = M aCM ,
o que signica que:
aCM = µC g.
Deste modo, a velocidade varia com o tempo de acordo com:
vCM = µC gt.
Por outro lado, analisando os torques, concluímos que:
f R = −ICM α = −
2M R2
α,
5
28
CAPÍTULO 2.
CORPOS RÍGIDOS
ou seja,
α=−
5µC g
.
2R
Logo, a velocidade angular varia com o tempo de acordo com:
ω = ω0 −
Basta agora obter o tempo
t∗
em que
5µC g
t.
2R
vCM = ωR:
t∗ =
2ω0 R
.
7µC g
Exemplo 2.10 A roda de 30 kg mostrada na Figura 2.21 tem um CM em
giração
kG = 0,15
m.
G
e um raio de
Se a roda está inicialmente em repouso e é abandonada da posição
mostrada, determine sua aceleração angular. Considere que não ocorre deslizamento.
Figura 2.21: Roda desbalanceada.
Solução Marcamos as forças agindo na roda (Figura 2.22).
Figura 2.22:
R = 0,25
Forças agindo na roda desbalanceada.
Estamos considerando
d = 0,10
m e
m.
Escrevendo as equações de forças e torques, temos:
M g − N = M ay ,
f = M ax ,
2
N d − f R = M kG
α.
Note que adotamos como sentido positivo para
baixo. Mas
~aG = ~aO + α
~ × ~r + ω
~ × (~ω × ~r),
α o sentido anti-horário e para ay
aO = αR, temos:
e, como
ax x̂ − ay ŷ = (αR)x̂ − (αd)ŷ.
o sentido para
2.5.
ENERGIA CINÉTICA
Assim:
ax = αR
e
ay = αd.
29
Substituindo nas equações anteriores, chegamos a:
α=
Sendo
g = 9,81
gd
.
2
kG
+ R2 + d2
2
m/s :
α = 10rad/s2 .
2.5
Energia Cinética
Como o corpo rígido é um caso particular de sistemas de partículas, podemos seguramente
armar que a expressão da energia cinética de um corpo rígido é dada pela Eq. (1.1). Vamos
procurar alguma expressão para
EC,CM .
Começamos escrevendo:
EC,CM =
X ∆mi
i
2
2
vi,CM
.
Considerando um eixo de rotação passando pelo CM, como na Figura 2.23, temos
vi,CM = ωri .
Figura 2.23: Corpo rígido girando através de um eixo que passa pelo CM.
Portanto:
EC,CM = ω
2
X (∆mi )r2
i
i
2
ICM ω 2
=
.
2
Assim, a expressão de energia cinética de um corpo rígido é:
EC =
2
M vCM
ICM ω 2
+
.
2
2
(2.10)
Quando um corpo rígido está sujeito à translação (retilínea) ou curvilínea, sua energia cinética
2
é dada simplesmente por EC = M vCM /2. Quando o corpo rígido gira em relação a um eixo
xo passando por um ponto O (não necessariamente o CM), como na Figura 2.24, sua energia
cinética pode ser encontrada através de (2.10). Pode-se, porém, obter uma expressão alternativa
fazendo uso do Teorema dos eixos paralelos, já que
vCM = ωd:
EC = (ICM + M d2 )
ω2
IO ω 2
=
.
2
2
No caso do movimento plano geral, não é possível fazer simplicações à Eq. (2.10). Entretanto, podemos perceber que a energia cinética total do corpo consiste na soma escalar da
2
energia cinética de translação (M vCM /2) do corpo e da energia cinética de rotação em torno
2
de seu CM (ICM ω /2).
30
CAPÍTULO 2.
CORPOS RÍGIDOS
Figura 2.24: Corpo rígido girando através de um eixo xo que passa por um ponto O.
2.5.1
Forças que não realizam trabalho
Como estamos falando em energia cinética, é importante saber que existem algumas forças
externas que não realizam trabalho quando o corpo é deslocado e, portanto, são incapazes
de alterar a energia cinética do corpo rígido.
Essas forças podem atuar tanto sobre pontos
xos do corpo rígido como podem ter a direção perpendicular a seus deslocamentos. Exemplos
destas situações incluem as reações em pinos de apoio em relação aos quais o corpo gira, a
reação normal atuante sobre um corpo que se move ao longo de uma superfície xa e o peso
de um corpo quando seu CM se move em um plano horizontal. A força de atrito estático
f~ (v.
Figura 2.25) atuante sobre um corpo roliço quando ele rola sem deslizar sobre uma superfície
rugosa também não realiza trabalho (quando ocorre deslizamento, a situação é bem diferente).
Isto ocorre porque, durante um intervalo de tempo
dt, f~ atua
sobre um ponto cuja velocidade
Figura 2.25: Força de atrito estático atuando no rolamento de um corpo.
instantânea é zero, logo o trabalho realizado pela força sobre o ponto é nulo, pois o ponto não
é deslocado na direção da força durante esse instante. Uma vez que
pontos sucessivos distintos, o trabalho de
2.6
f~ é
f~
entra em contato com
nulo.
Movimento Giroscópico
O ingrediente básico de um giroscópio é um volante, que é um disco ou roda em rotação rápida,
colocado numa haste que serve como eixo de rotação do volante (é também um eixo de simetria).
Nesse caso, o momento angular é:
~ = I~ω .
L
Se zermos atuar sobre o sistema um torque na mesma direção de
∆L = τ ∆t = I∆ω,
~,
L
então:
2.6.
MOVIMENTO GIROSCÓPICO
31
ou seja, temos uma frenagem ou aceleração do volante.
perpendicular a
Por outro lado, se o torque
~τ
for
~:
L
o que signica que quando
2
~
~ · ~τ = 2L
~ · dL = d(L ) ,
0 = 2L
dt
dt
~ , ele não altera
~τ é perpendicular a L
a magnitude do momento
~v é
∆ϕ:
angular, mas tão somente a sua direção. Como no movimento circular uniforme, em que
perpendicular a
∆~v ,
o vetor
~
L
gira no intervalo de tempo innitesimal
∆t
de um ângulo
∆L = L∆ϕ = τ ∆t.
Portanto:
dϕ
τ
,Ω= .
dt
L
Esta situação aparece ilustrada na Figura 2.26.
Quando o eixo gira
∆ϕ,
o torque
~τ
gira
Figura 2.26: (a) Movimentos de rotação e de precessão de um volante e (b) Grandezas vetoriais
relevantes nestes movimentos.
do mesmo ângulo, mantendo-se constante em magnitude.
~τ ,
procurando alinhar-se com
nunca é alcançado.
~τ ,
mas
~τ
Podemos dizer que
sempre se mantém perpendicular a
~,
L
~
L
persegue
de modo que
Neste caso, o eixo descreve um movimento de precessão em torno da
vertical, ou seja, um movimento circular uniforme com velocidade angular
Ω
(mantendo-se
sempre horizontal).
Vamos, agora, considerar o caso em que o eixo do giroscópio forma um ângulo
com a vertical (Figura 2.27). Neste caso, a magnitude de
~
L
θ
qualquer
se mantém constante, e o vetor
precessa em torno da vertical, descrevendo um cone de ângulo
θ
~
L
de abertura. Podemos dizer
que:
∆L = L sin θ∆ϕ = τ ∆t,
dϕ
τ
,Ω=
,
dt
L sin θ
ou então:
τ = ΩL sin θ.
Este caso generaliza o anterior (em que
θ = 90◦ ).
De forma vetorial, podemos dizer que:
~ × L.
~
~τ = Ω
(2.11)
32
Figura 2.27:
CAPÍTULO 2.
CORPOS RÍGIDOS
θ
com a vertical e (b)
(a) Precessão de um volante cujo eixo faz um ângulo
Grandezas vetoriais relevantes neste movimento.
2.6.1
Precessão regular
A análise anterior não é inteiramente correta, pois não leva em conta que a velocidade angular
de precessão
~
Ω
também contribui para o momento angular total.
Para analisar isto, vamos
~ como na Figura 2.28, em duas componentes, ω1 = Ω cos θ e ω2 = Ω sin θ, de tal
decompor Ω
~
~ é decomposto numa componente ω
modo que Ω = ω
~ 1 +~ω2 . Com isso, Ω
~ 2 (perpendicular à direção
Figura 2.28:
Vetor
~
Ω
decomposto ao longo dos eixos de simetria (autovetores do tensor de
inércia).
instantânea do eixo do giroscópio) e numa componente
ω
~1
na direção do eixo do giroscópio.
Esta última componente se soma à velocidade angular intrínseca
decomposição é vantajosa, pois o eixo do volante e o eixo de
ω
~2
ω
~
(spin ) do volante.
Esta
são eixos principais de inércia.
Assim:
~ = I(~ω + ω
L
~ 1 ) + I2 ω
~ 2,
sendo
I2
o momento de inércia com relação ao eixo de
temos:
~ =I
~τ = (~ω1 + ω
~ 2) × L
Sendo
l
ω
~ 2.
Assim, utilizando a Eq.
ω
+ 1 (~ω1 × ω
~ 2 ) − I2 (~ω1 × ω
~ 2 ).
ω1
a distância do CM do volante ao apoio, temos:
ω
M gl sin θ = I
+ 1 − I2 ω1 ω2 ,
ω1
(2.11),
2.6.
MOVIMENTO GIROSCÓPICO
33
i
ω
+ 1 − I2 Ω2 sin θ cos θ,
Ω cos θ
M gl = IωΩ + (I − I2 ) cos θΩ2 .
h M gl sin θ = I
Para
θ = 90◦ ,
(2.12)
temos
M gl = ΩIω,
que é o resultado classicamente estabelecido para o giroscópio.
◦
Por outro lado, se θ 6= 90 , para encontrar θ é preciso resolver a equação do segundo grau
dada por (2.12).
Usualmente, a precessão é bem mais lenta que a rotação do giroscópio em
torno do próprio eixo. Além disso, o volante normalmente tem um momento de inércia elevado
em relação ao eixo de spin. Com estas simplicações, temos, mais uma vez:
M gl = ΩIω.
34
CAPÍTULO 2.
CORPOS RÍGIDOS
35
Capítulo 3
Movimento Oscilatório
Na maior parte do tempo, não podemos explicar como um sistema dinâmico comum responde a
uma força aplicada externamente porque as equações são não-lineares. À exceção de uns poucos
casos especiais, isto signica que precisamos empregar simulações numéricas para determinar
a resposta do sistema ao longo do tempo para a força aplicada. Existe, contudo uma classe de
problemas para a qual podemos determinar uma solução bem próxima da analítica, uma classe
de problemas que é muito comum e muito importante - os sistemas que vibram.
Isto inclui
carros (um carro vibra por causa do motor e, também, por causa da superfície da estrada),
acionamento de discos de computador, átomos em redes cristalinas, turbo-máquinas, cordas
de violinos, corpos de violinos, uma máquina rotativa (ligeiramente desbalanceada), linhas de
transmissão (vibração induzida pelo vento), as asas de aviões (utter), estruturas de edifícios
(a análise de vibrações assume um papel importante no estudo do compotantemto de estruturas
sujeitas a terremotos). Nesses casos (e em tantos outros), o movimento oscilatório surge como
uma resposta a uma perturbação na presença de forças restauradoras.
Em geral, existem dois tipos de vibrações: livres e forçadas. A vibração livre ocorre quando o
movimento é mantido por uma força restauradora, gravitacional ou elástica, como por exemplo
a oscilação de um pêndulo ou a vibração de uma barra elástica. A vibração forçada é causada
por uma força externa periódica ou intermitente aplicada ao sistema.
Essas duas formas de
vibrações podem ser tanto amortecidas quanto não-amortecidas. As vibrações não-amortecidas
continuam indenidamente, pois os efeitos de atrito são desprezados na análise. Uma vez que
as forças de atrito internas e externas estão sempre presentes, os movimentos oscilatórios são
na realidade amortecidos.
3.1
Oscilações harmônicas
Comecemos tomando um sistema simples: um conjunto massa mola. Se a massa for deslo-
36
CAPÍTULO 3.
cada a uma distância
dade
kx
x
MOVIMENTO OSCILATÓRIO
da posiçao de equilíbrio, aparecerá uma força restauradora de intensi-
e apontando no sentido contrário ao do deslocamento. Aplicando a 2
para a massa
a
lei de Newton
M:
M ẍ = −kx
(3.1)
ou seja,
k
x=0
M
ẍ +
(3.2)
a
A equação do movimento da massa é uma EDOLH de 2
ordem.
Esta mesma equação
poderia ser obtida através do princípio de conservação da energia:
M ẋ2 kx2
+
= cte
2
2
(3.3)
derivando,
M ẍ + kx = 0
portanto,
k
x=0
M
ẍ +
(3.4)
r
A solução geral desta EDO é:
x(t) = a cos(wt) + b sin(wt),
sendo
w=
k
.
M
Esta função pode
ser escrita de forma equivalente como:
x(t) = A cos(wt + ϕ)
ou então
(3.5)

ϕ
z }| {
π

x(t) = A sin(wt + φ) = A cos wt + φ − 
2

(3.6)
Como vimos, a solução da equação de movimento é uma função periódica. A massa
indenidamente em torno da posição de equilíbrio
x = 0.
ao passo que a frequência é
As constantes
A
e
φ
r
oscila
O movimento de um oscilador (como
este) se chama movimento harmônico simples (MHS). O período do MHS é:
1
w
1
f= =
=
T
2π
2π
M
2π
T =
= 2π
w
r
M
,
k
k
.
M
dependem das condições iniciais:
x(0) = x0 ,
ẋ(0) = v0
(3.7)
portanto,
r
A=
x20 +
v 2
0
(3.8)
w
x0
v0
e φ é tal que sin φ =
e cos φ =
. A constante A fornece a amplitude de oscilação do MHS.
A
wA
Por outro lado, o termo wt + φ é chamado de fase do MHS. Em t = 0, a fase é o próprio φ (que
pode, por isso, ser chamado de fase inicial)
3.2.
PÊNDULOS
37
A energia cinética da massa (ao longo do tempo) vale:
Ec =
M v2
M A2 w 2
=
cos(wt + φ)
2
2
(3.9)
enquanto que a energia potencial é:
Ep =
kx2
kA2
M A2 w 2
=
sin2 (wt + φ) =
sin2 (wt + φ)
2
2
2
(3.10)
já a energia mecânica (que é constante) vale:
Emec =
M A2 w 2
2
(3.11)
Além do valor instantâneo da energia cinética e da energia potencial, é interessante também
obter um valor médio. No caso de uma grandeza periódica
f
f (t),
denomina-se o valor médio de
o valor:
1
f¯ =< f >=
T
Z
t0 +T
f (t)dt
(3.12)
t0
Para a energia cinética e potencial, pode-se mostrar que:
Ēc = Ēp =
3.2
M A2 w 2
Emec
=
4
2
(3.13)
Pêndulos
Além do sistema massa-mola, os pêndulos compõem outra classe de sistemas que oscilam em
MHS. Vamos estudar alguns.
3.2.1
Pêndulo de torção
Consideremos uma barra horizontal suspensa em equilíbrio por um o vertical. Se deetimos
a barra no plano horizontal de um pequeno ângulo em relação à posição de equilíbrio, a lei de
38
CAPÍTULO 3.
Hooke para a torção do o diz que ele reage com um torque restaurador proporcional ao ângulo
de torção:
τ = −kϕ
(3.14)
onde k é o módulo de torção do o, que depende do seu comprimento, diâmetro e material,
e o sinal negativo indica que o torque é no sentido de trazer o sistema de volta à posição de
equilíbrio.
Se
I
é o momento de inércia da barra em relação ao eixo vertical, a equação de movimento
é:
− kϕ = I ϕ̈
(3.15)
portanto,
k
ϕ̈ + ϕ = 0
I
logo,
r
w=
k
I
(3.16)
Sistemas deste tipo são empregados em instrumentos de laboratório muito sensíveis, como
o galvanômetro e a balança de torção utilizada na experiência de Cavendish.
3.2.2
Pêndulo simples
O pêndulo simples consiste numa massa M suspensa por um o ou haste de comprimento
L
e massa desprezível. Utilizando coordenadas polares para resolver o problema:
−M g sin θ = M Lθ̈
g
θ̈ + sin θ = 0
L
(3.17)
Esta é a equação de movimento do pêndulo simples. Infelizmente, não há solução analítica
para esta equação (note que a EDO é não-linear). Uma aproximação muito comum, válida para
ângulos pequenos, consiste em fazer
subsectionθ ∼
= θ.
θ̈ +
g
θ=0
L
Nesse caso:
(3.18)
3.2.
PÊNDULOS
39
cuja solução é bem conhecida. Pode-se reconhecer que:
w=
pg
L
e
T = 2π
q
L
. Esta solução
g
é válida para pequenas oscilações (pequenas amplitudes de oscilação). No caso de grandes
amplitudes, o movimento não é harmônico. Mas vejamos como obter o período nesses casos.
Suponhamos que o pêndulo é abandonado (do repouso) de um ângulo
θ0 .
Usando conser-
vação de energia, temos:
− M gL cos θ0 = −M gL cos θ +
T
até
, podemos dizer que
4
q
1
θ̇ = − 2g
(cos θ − cos θ0 ) 2 .
L
T
s
Z4
dt = −
θ0
T =2
L
g
sin α =
portanto,
(cos θ − cos θ0 ) 2
Zθ0
dθ
(sin2 ( θ20 )
0
sendo
dθ
1
0
s
(3.19)
Logo
Z0
L
2g
M L2 θ̇2
2
(3.20)
1
− sin2 ( 2θ )) 2
sin( 2θ ) ∆ sin( 2θ )
=
k
sin( θ20 )
2k cos αdα
cos( 2θ )
dθ =
(3.21)
π
s
T =4
L
g
Z2
1
0
como
− 21
(1 − k 2 sin2 α)
dα
(1 − k 2 sin2 α) 2
.
(3.22)
= 1 + 12 k 2 sin2 α + 38 k 4 sin4 α + . . .
substituindo na integral, temos:
s
T = 2π
3.2.3
9
L
1 2 θ0
4 θ0
+
sin
+ ...
1 + sin
g
4
2
64
2
(3.23)
Pêndulo físico
Qualquer corpo rígido suspenso de um ponto
O
de tal forma que possa girar livremente (sem
atrito) em torno de um eixo horizontal passando pelo ponto de suspensão
pêndulo sico (também chamado de pêndulo composto). Seja
O
constitui um
s a distância do CM a O.
Assim:
τ = −M g sin θs
τ = I θ̈
logo,
θ̈ +
M gs
sin θ = 0
I
(3.24)
40
CAPÍTULO 3.
I
. Por
Ms
e alinhado com o CM e O ) é chamado de centro de oscilação
Note que o pêndulo composto equivale a um pêndulo simples de comprimento
isso, o ponto
C
(distando
l
de
O
l=
do pêndulo físico.
Exemplo 3.1 Calcule o período de pequenas oscilações do pêndulo
Solução: Considerando um ângulo
θ:
(4M a2 )θ̈ = −M g(2a) sin θ − ka2 sin θ
subsectionθ ∼
= θ,
g
k
θ̈ +
+
2a 4M
− 12
k
g
T = 2π
+
2a 4M
Exemplo 3.2 Considere uma barra delgada de comprimento
hemisferio xo de raio
r.
L
que se encontra sobre um
Determine o periodo de pequenas oscilções da barra.
Solução: Considerando uma pequena perturbação do equilíbrio
3.2.
PÊNDULOS
41
Ep = mgycm
ycm = yA + θr sin θ
ycm = r cos θ + θr sin θ
Ec =
2
Icm θ̇2 mvcm
+
2
2
mas
ycm = r cos θ + θr sin θ
xcm = r sin θ − θr cos θ
2
2
vcm
= ẏcm
+ ẋ2cm = (rθ cos θ)2 θ̇2 + (θr sin θ)2 θ̇2 = (θr)2 θ̇2
Portanto:
m
Ec =
2
Assim:
Para
θ
m
2
e
θ̇
L2
2 2
+ θ r θ̇2
12
L2
2 2
+ θ r θ̇2 + mg(r cos θ + θr sin θ) = cte
12
2
L
2 2
+ θ r θ̇θ̈ + θr2 θ̇3 + gθr cos θθ̇ = 0
12
pequenos,
L2
θ̈ + grθ = 0
12
Portanto,
θ̈ +
12gr
θ=0
L2
42
CAPÍTULO 3.
s
∴ T = 2π
Exemplo 3.3 Um bloco de
disco de
5,00kg.Como
10,0kg
L2
πL
=√
12gr
3gr
esta suspenso por uma corda enrolada em torno de um
na gura seguinte. Se a mola tem uma rigidez
o período natural de vibração do sistema.
Solução:
M ẋ2 I0
+
Ec =
2
2
Mas
2
ẋ
r
mr2
2
2 m
ẋ
M+
∴ Ec =
2
2
1
Ep = k(x + x20 ) − M gx
2
I0 =
Assim:
E=
Derivando em relação a
Fazendo a mudança
ẋ2 m 1
M+
+ k(x + x0 )2 − M gx
2
2
2
t:
m
0 = ẋẍ M +
+ k(x + x0 )ẋ − M g ẋ
2
m
M+
ẍ + k(x + x0 ) − M g = 0
2
Mg
y = x + x0 −
k
m
M+
ÿ + ky = 0
2
Portanto:
s
w0 =
k
M+
T =
m
2
= 4,00
2π
= 1,57
w0
s
rad/s
k = 200N/m,
determine
3.3.
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
3.3
43
Oscilações Amortecidas
As oscilações harmônicas simples estudadas anteriormente, ocorrem em sistemas conservativos.
Na prática, sempre existe dissipação de energia.
oscilações se amortecem devido à
Por exemplo, no caso de um pêndulo, as
resistência do ar (além do atrito no suporte). Geralmente,
consideramos a força de amortecimento proporcional à
velocidade designada como força de
atrito viscoso (já que a resistência de um uido ao deslocamento de um obstáculo é proporcional
à velocidade - para velocidades sucientemente pequenas).
Para um oscilador unidimensional, a inclusão de um atrito viscoso (do tipo
f = −ρv ) resulta
na seguinte equação de movimento:
M ẍ = −kx − ρẋ
Portanto
ẍ + 2γ ẋ + w02 x = 0
Sendo
ρ
γ=
2M
r
e
w0 =
k
M
Esta EDO possui a seguinte equação característica:
λ2 + 2γλ + w02 = 0
Cujo discriminante é
∆ = 4(γ 2 − w02 )
E dependendo do sinal do
∆,
teremos soluções qualitativamente bem diferentes para a EDO.
De forma geral:
• ∆>0
(supercrítico): soluções são exponenciais
• ∆<0
(subcrítico): soluções são oscilatórias com amplitude decrescente
• ∆=0
(crítico): solução exponencial
Vamos estudar cada um desses casos.
3.3.1
Amortecimento supercrítico (γ > w0 )
Nesse caso, a equação característica admite duas soluções reais e distintas:
q
λ1 = −γ + γ 2 − w02
q
λ2 = −γ − γ 2 − w02
Note que:
λ1 < λ2 < 0
A solução geral da EDO é:
x(t) = aeλ1 t + beλ2 t = e−γt (a∗ cosh wd∗ t + b∗ sinh wd∗ t)
44
CAPÍTULO 3.
wd∗ =
q
γ 2 − w02
a e b determinados a partir das condições iniciais. É interessante notar que para t → ∞,
x → 0, ou seja, o sistema tende a permanecer em repouso na posição de equilíbrio após um
sendo
tempo sucientemente grande.
γ > w0
3.3.2
Além disso, o sistema nem sequer chega a oscilar, ou seja,
representa uma situação de elevado amortecimento. Gracamente:
Amortecimento subcrítico (γ < w0 )
Nesse caso, as soluções da equação característica são duas raízes complexo-conjugadas:
λ1 = −γ + iwd
λ2 = −γ − iwd
Sendo
p
wd = w02 − γ 2
A solução geral da EDO é:
x(t) = e−γt (a sin wd t + b cos wd t)
= Ae−γt cos(wd t + ϕ) = Ae−γt sin(wd t + φ)
esta é uma solução que oscila com amplitude decrescente.
Td :
período das oscilações amortecidas ou pseudo-período ou simplesmente período.
É interessante analisar qual fração da energia é dissipada em cada ciclo do oscilador. Para
tanto, consideremos (de forma aproximada) como um ciclo a ocorrência de dois máximos na
amplitude.
x1 = Ae−γt1
3.3.
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
45
x2 ∼
= Ae−γt1 −γTd = x1 e−γTd
Energia armazenada
Energia dissipada
=
kx21
2
2
kx21
−2γTd ∼ kx1
∼
(1
−
e
)
(2γTd )
=
=
2
2
Nesse sentido, pode-se denir o fator de qualidade do oscilador como:
Q = 2π
Energia armazenada
Energia dissipada num ciclo
Q∼
=
Note que, quanto maior o
Q,
1
M wd
wd
∼
=
=
= 2π
2γTd
2γ
ρ
w0
2γ
menor o amortecimento (menor perda de energia).
Estas últimas deduções são válidas quando o amortecimento é pequeno, ou seja, quando
γ << w0 .
3.3.3
Amortecimento crítico (γ = w0 )
A equação característica, neste caso, tem uma raiz dupla
λ = −γ
A solução geral da EDO é
x(t) = e−γt (a + bt)
que decai mais rapidamente (para tempos grandes) que a solução supercrítica. De forma geral,
a solução com amortecimento crítico é aquela que retorna ao equilíbrio mais rapidamente.
46
CAPÍTULO 3.
Exemplo 3.4 A barra tem uma massa de
3,00
kg.
Se a rigidez da mola é
o amortecedor tem um coeciente de amortecimento
k = 120
c = 1,00 kN.s/m, determine a equação
θ de rotação da barra. Além disso,
diferencial que descreve o movimento em termos do ângulo
qual deveria ser o coeciente de amortecimento para um movimento amortecido?
Solução: Considerando um pequeno deslocamento angular
Analisando os torques em relação ao ponto
Com a mudança
θ.
C:
−k(θ−θ0 )L2 − C θ̇b2 − M g
N/m e
L
M L2
=
θ̈
2
3
M L2
L
θ̈ + cb2 θ̇ + k(θ − θ0 )L2 + M g = O
3
2
M gL
α = θ − θ0 +
2kL2
3.4.
OSCILAÇÕES FORÇADAS
47
M L2
α̈ + cb2 α̇ + kL2 α = 0
3
3cb2
3k
α̈ +
α̇ + α = 0
2
ML
M
2 4
9c b
4.3.k
=
M 2 L4
M
Substituindo:
α̈ + 360α̈ + 120α = 0 → amortecimento
supercrítico
Para amortecimento crítico:
r
ccr = 2
3.3.4
Mk
3
2
L
= 60,9Ns/m
b
O balanço de energia
Já vimos que a equação de oscilador amortecido é:
M ẍ + ρẋ + kx = 0
Multiplicando por
ẋ:
M ẋẍ + kxẋ = −ρẋ2
onde
M ẋẍ + kxẋ =
ρẋ2
Note que
3.4
dEM EC
< 0,
dt
dEM EC
dt
,
, e
é a potência da força de atrito viscoso
= Fv
isto é, a energia mecânica sempre diminui.
Oscilações forçadas
Até agora, consideramos apenas oscilações livres, em que o oscilador recebe uma certa energia
inicial e depois é solto, evoluindo livremente. Vamos estudar agora o efeito produzido sobre o
oscilador por uma força externa
F (t).
Estudaremos dois casos para
F (t) = F0 → degrau
de amplitude
F (t):
F0
F (t) = F0 sin wt
O primeiro caso é bastante simples de ser analisado, mas tem uma importância capital em
projetos de controladores. No segundo caso a força externa é periódica com frequência angular
w,
que pode coincidir ou não com a frequência natural do próprio oscilador.
A EDO de um oscilador forçado é:
M ẍ + ρẋ + kx = F (t)
Note que se trata de uma EDOL não homogênea de 2
a
ordem.
(3.25)
48
CAPÍTULO 3.
3.4.1
Se
Resposta ao degrau
F (t) = F0 = kx0 ,
então a resposta do oscilador será:
x(t) = x0 + xH (t)
(3.26)
ou seja, a solução completa é a mesma do caso homogêneo, a menos de um deslocamento
(shift) de
x0
(a posição de equilíbrio é transladada de zero para

λ1 t
λ2 t

Ae + Be ,
xH (t) = Ae−γt sin(wd t + φ),

 −γt
e (A + Bt),
x0 ).
amortecimento supercrítico
amortecimento subcrítico
amortecimento crítico
É interessante estudar esse caso porque ele aparece muito em problemas de engenharia. Os
sistemas físicos, por mais complexos que pareçam, comumente admitem um modelo simplicado
de sistema massa-mola. Quando é necessário controlar um sistema físico, geralmente se aplica
uma força
conforme
F (t) (ou uma corrente I(t), ou uma tensão E(t), ou algum outro mecanismo atuador,
o caso) para que ele se comporte como desejado. O caso em que F (t) = kx0 é muito
comum. Nesses casos, geralmente deseja-se que o sistema (considerado inicialmente em repouso
na posição
x = 0)
atinja a posição
x0
(a nova posição de equilíbrio) o mais rápido possível e
aí permaneça. Vamos vislumbrar como isso é possível para o caso subcrítico (o mais comum).
Nas hipóteses de condições iniciais nulas, a solução é:
sin(wd t + β)
x(t) = x0 1 − e
sin β
argumento do complexo −γ + iwd .
β
sendo
o suplementar do
Para esta situação, a resposta
• Mp :
x(t)
−γt
aparece plotada na gura seguinte
overshoot (mede o quanto o primeiro pico se afasta, percentualmente de
Mp = e−π cot β
• tr :
tempo de subida (rise time)
tr =
• ts :
(3.27)
π−β
wd
tempo de estabilização (settling time)
3
ts ∼
=
γ
(para
± 5%)
x0 )
3.4.
3.4.2
49
Resposta a forçantes senoidais
Vamos nos concentrar agora no caso
F (t) = F0 sin(wt)
(3.28)
Temos:
M ẍ + ρẋ + kx = F (t)
Aplicando a transformada de Laplace nos dois membros:
(M s2 + ρs + k)X(s) =
X(s) = G(s)
F0 w
s2 + w 2
F0 w
as + b
A
B
=
+
+
2
2
+w
M s + ρs + k s + iw s − iw

as + b


= Xt (s)
2
M s + ρs + k

 A + B = Xe (s)
s + iw s − iw
s2
(3.29)
o primeiro termo representa a solução da parte homogênea da EDO. Como vimos, esta
solução tende a zero em um tempo da ordem de
1
.
γ
Esta parte da solução é conhecida como
termo transiente. Uma vez que este termo tende a zero rapidamente, vamos ignorá-lo (isto
é, não iremos calcular sua transformada inversa, tampouco as constantes a e b)
A = lim X(s)(s + iw) = −G(−iw)
s→−iw
F0
F0
= −G∗ (iw)
2i
2i
F0
s→iw
2i
F0
G∗ (iw) G(iw)
Xe (s) =
−
+
2i
s + iw
s − iw
B = lim X(s)(s − iw) = G(iw)
G(iw)
é um número complexo. Substituindo
G(iw) = reiθ
sin θ s
cos θ w
Xe (s) = F0 r 2
+
s + w 2 s2 + w 2
(3.30)
(3.31)
(3.32)
50
CAPÍTULO 3.
∴ xe (t) = (F0 r)[sin θ cos wt + cos θ sin wt]
ou então usando a notação
xe (t) = (F0 r) sin(wt + θ)
(
r = |G(iw)|
θ = arg(G(iw))
xe (t) = F0 |G(iw)| sin(wt + arg(G(iw)))
(3.33)
O resultado apresentado na equação 3.33 é bastante geral, apesar de ter sido deduzido
para o caso de um oscilador: ele se aplica a uma vasta classe de sistemas físicos (que podem
ser caracterizados pela função G(s) - chamada de função de transferência) impulsionados por
excitações senoidais. De forma geral, podemos tirar duas conclusões sobre a resposta de sistemas
físicos a excitações senoidais:
1. A resposta é composta de uma parte transiente (que tende a zero rapidamente) e de uma
parte estacionária. Após um certo tempo, a resposta terá somente a parcela de regime
estacionário.
F0 |G(iw)| e deslocada de
φ =arg(G(iw)).
2. Em regime estacionário a resposta é senoidal com amplitude de
fase (em relação à excitação de entrada) de um ângulo
Para o oscilador harmônico:
1
+ ρs + k
1
∴ G(iw) =
2
−M w + iwρ + k
G(s) =
∴ G(iw) =
M (w02
M s2
1
1/M
= 2
2
− w ) + iwρ
w0 − w2 + 2wγi
G(iw) =
w02
1
2
2
(w0 − w ) + 2wγi k
(3.34)
ou ainda:
G(iw) =
1
(1 −
α2 )
1
+ iα/Q k
(3.35)
sendo

w
α =
w0
Q = w 0
2γ
Assim, a amplitude de oscilação é dada por:
A=
e a fase é:
F0
1
s
k
α2
(1 − α2 )2 + 2
Q
(3.36)
3.4.
51
arg(G(iw))
= − arctan
Exemplo 3.5 O ventilador tem uma massa de
25,0kg
α/Q
1 − α2
(3.37)
e está xo à extremidade de uma viga
horizontal que tem uma massa desprezível. A pá do ventilador está montada excentricamente
no eixo de tal maneira que ela é equivalente a uma massa desequilibrada de
a
100mm
do eixo de rotação. Se a deexão estática da viga é de
50,0mm,
3,50kg
localizada
como resultado do
peso do ventilador, determine a amplitude da vibração de estado estacionário do ventilador se
a velocidade angular da pá do ventilador é
10rad/s.
Se a deformação estática é 50,0mm,
Mg
então kxe = M g ∴ k =
= 4950 N/m. O ventilador desequilibrado corresponde a uma
xe
2
massa de 3,50kg a 100mm do eixo → F = mw r . Isto faz com que a reação normal da viga
Solução: Podemos substituir a viga por uma mola.
52
CAPÍTULO 3.
varie com o tempo da forma
N = N0 + F sin wt.
Assim o sistema massa-mola (na verdade,
ventilador-viga) é excitado por uma força senoidal. Sua amplitude de vibração, em regime, é:
X = F |G(iw)|
sendo
G(s) =
1
M s2
+k
. Logo:
mw2 r
|k − M w2 |
X=
como
m = 3,50kg, r = 100mm, w = 10rad/s
e
M = 25,0kg:
X = 14,6mm
30,0kg mostrado na gura seguinte é suportado por 4 molas,
200N/m. Se o rotor é desequilibrado de tal maneira que seu
efeito é equivalente a 4,00kg de massa localizados a 60,0mm do eixo de rotação, determine a
amplitude de vibração quando o rotor está girando a w0 = 10,rad/s. O fator de amortecimento
c
= 0,150.
é
ccr
Exemplo 3.6 O motor elétrico de
cada uma com elasticidade de
Solução: O motor desequilibrado é modelado por uma massa de m = 4,00kg a r = 60,0mm
2
do eixo de rotação. Isto corresponde a uma força F0 = mw r . Logo, a normal que o motor
troca com a plataforma é:
N = N0 + F0 sin(wt)
A excitação senoidal causa, em regime, uma deformação com amplitude:
X = F0 |G(iw)|
G(s) =
M s2
1
+ cs + 4k
3.5.
OSCILADORES ACOPLADOS
Como
ccr =
√
16kM = 309,84
G(iw) =
Como
Ns/m
53
⇒ c = 46,48
Ns/m
1
1
=
∴ |G(iw)| = 4,448 × 10−4 m/N
2
4k − M w + icw
−2200 + 464,8i
F0 = 24N,
X = 10,7mm
3.4.3
Ressonância
Consideremos o caso anterior em que um oscilador é excitado por uma perturbação periódica de
frequência angular
w
w.
Já vimos que a resposta do oscilador é periódica com frequência angular
e com amplitude igual:
F0
1
s
k
α2
(1 − α2 )2 + 2
Q
A=
A questão que levantamos é: para qual valor de
w, o oscilador vibra com amplitude máxima?
Para responder a esta questão devemos minimizar o denominador:
1
1 − 2 − 2 α2 + α4
Q
o que ocorre para
r
αr =
1−
1
2Q2
1
2
2γ 2
∴ wr = w0 1 − 2
w0
esta é a frequência angular de ressonância. As curvas de
(3.38)
A(w) apresentam um pico neste valor,
pico este que é tão mais estreito quanto maior for o fator de qualidade.
O valor
wr
é conhecido como frequência de ressonância de amplitude. É possível ocorrer
ressonância na velocidade mas para um valor de
em regime:
w
diferente de
wr .
Vejamos:
ẋ(t) = A(w)w cos(wt + θ)
Logo, a velocidade (em regime permanente) varia senoidalmente no tempo com amplitude
F0
w
s
k
α2
(1 − α2 )2 + 2
Q
Fazendo a maximização encontramos
de velocidade.
αv = 1,
ou seja, para
w = w0 ,
temos máxima amplitude
54
CAPÍTULO 3.
3.5
Osciladores acoplados
Consideremos dois sistemas massa-mola idênticos acoplados entre si por uma terceira mola de
constante elástica
q.
Aplicando as leis de Newton para obter a equação de movimento:
(
M ẍ1 = −kx1 − qx1 + qx2
M ẍ2 = −kx2 + qx1 − qx2
(
ẍ1 = −(w02 + w12 )x1 + w12 x2
ẍ2 = w12 x2 − (w02 + w12 )x2
sendo
w02 =
k
M
e
w12 =
q
.
M
O sistema de EDO's acima não parece, em princípio, simples de se resolver. Isso porque as
oscilações do corpo 1 afetam o corpo 2 e vice-versa e este fato aparece claramente no SEDO
acima. Seja, pois, a seguinte matriz:
X=
x1
x2
O sistema pode então ser reescrito como:
Ẍ = AX ,
sendo
A=
−(w02 + w12 )
w12
w12
−(w02 + w12 )
Assim sendo, procuremos fazer uma mudança de variáveis da forma
X = MY ,
sendo
M
uma matriz de mudança de base.
M Ÿ = AM Y ∴ Ÿ = (M −1 AM )Y
De todas as matrizes M que podemos escolher, é conveniente tomar aquelas que tornam
−1
diagonal M
AM , ou seja, estamos encarando um problema de autovetores.
•
2
Autovalor de A: −w0 e autovetor associado
•
2
Autovalor de A: −w0
Tomamos
M=
Assim:
Ÿ =
ü
v̈
1 1
1 −1
=
−
1
1
2w12 e autovetor associado
e denimos
u
v
u
v
Y =
−w02
0
0
−w02 − 2w12
1
−1
= M −1
x1
x2
3.5.
OSCILADORES ACOPLADOS
55
ou seja,
(
ü = −w02 u
v̈ = −(w02 + 2w12 )v
que são duas equações de MHS desacopladas e admitem as soluções gerais:
(
u = A1 sin(w0 t + φ1 )
v = A2 sin(w2 t + φ2 )
Voltando às coordenadas
x1
as 4 constantes arbitrárias (A1 ,
e
sendo
q
w2 = w02 + 2w12
x2 :
(
x1 (t) = u(t) + v(t)
x2 (t) = u(t) − v(t)
A2 , φ1 , φ2 )
devem ser determinadas pelas condições iniciais.
Vemos que as soluções não correspondem em geral a MHS para
x1
e
x2 :
os deslocamentos
são superposições de oscilações com frequências diferentes. Entretanto, há duas coordenadas
u
v , combinações lineares de x1 e x2 , que oscilam harmonicamente. Essas coordenadas chamamu e v admitem uma interpretação física muito simples: u
é o deslocamento do CM e 2v é o deslocamento relativo das massas. Nas coordenadas normais,
e
se coordenadas normais. Neste caso,
o sistema se desacopla.
Para condições iniciais apropriadas:
(
A2 = 0
A1 = 0
(
x1 (t) = x2 (t) = A1 sin(w0 t + φ1 )
∼
x1 (t) = −x2 (t) = A2 sin(w2 t + φ2 )
Nestes dois casos, as partículas oscilam harmonicamente com uma frequência bem denida
e estão sempre em fase ou em oposição de fase. Cada solução com estas características chamase modo normal de vibração, e para um sistema com dois graus de liberdade pode haver (no
máximo) dois modos normais de vibração.
No primeiro modo, temos
x1 (t) = x2 (t)
e ele é chamado de modo simétrico. A mola que
liga as duas massas não é nem comprimida nem esticada: é como se ela não existisse e cada
massa se move com frequencia angular
No segundo modo, temos
x1 = −x2
w0 .
e ele é chamado de modo anti-simétrico. A frequencia
de oscilação é maior que no caso anterior pois há uma forma restauradora que não havia antes:
a da mola do meio.
A solução geral pode ser considerada como uma superposição superposição dos modos normais de vibração. Quando, porém, as condições iniciais excitam apenas um modo normal, o
sistema oscila neste modo para sempre e não chega a manifestar o outro modo.
É interessante analisar a situação em que as massas partem do repouso, mas somente uma
delas é deslocada da posição de equilíbrio. As condições iniciais são:
x1 (0) = a, x2 (0) = 0, x˙1 (0) = x˙2 (0) = 0
o que implica:
a
[cos w0 t + cos w2 t]
2
a
x2 (t) = [cos w0 t − cos w2 t]
2
x1 (t) =
56
CAPÍTULO 3.
o que pode ser reescrito como:
x1 (t) = a cos
x2 (t) = a sin
∆wt
2
∆wt
2
cos(w̄t)
sin(w̄t)

∆w = w2 − w0
w + w0
w̄ = 2
2
Se considerarmos o caso em que o acoplamento é pequeno (i.e.
w2
temos: w̄ ∼
= w0 e ∆w ∼
= 1.
w0
q k
Temos então uma situação típica de batimentos, modulados por
a sin
∆wt
2
a cos
e logo
∆wt
2
w1 w0 ),
para
x1
e por
para
x2 ,
ou seja, a modulação das amplitudes está em quadratura: os máximos
de uma correspondem aos zeros da outra.
Este processo de transferência alternativa de energia entre as duas massas pode ser interpretado em termos das oscilações forçadas. A oscilação da massa 1, transferida para a massa 2
através da mola que liga as duas, atua sobre a massa 2 como uma força externa, colocando-a
em oscilação forçada. Como as duas massas tem mesma frequência natural de oscilação livre
w0 ,
o processo é ressonante: devido à ressonancia, a amplitude de oscilação da massa 2 cresce
rapidamente. Como a energia total se conserva, a amplitude de oscilação da massa 1 tem de
ir diminuindo, o que limita o crescimento da amplitude 2 e acaba levando aos batimentos em
quadratura.
3.6
Superposição de dois MHS's
Há inúmeras situações em que MHS's se superpõem gerando um movimento resultante. Exemplo: 2 diapasões vibrantes produzem tons musicais puros (que correspondem a MHS's) que
atingem simultaneamente o tímpano de nosso ouvido, fazendo-o vibrar com uma combinação
de 2 MHS's.
ocorrer.
Vamos analisar agora algumas formas possíveis de como a superposição pode
3.6.
SUPERPOSIÇÃO DE DOIS MHS'S
3.6.1
57
Mesma direção e frequência
x(t) = A1 cos(wt + ϕ1 ) + A2 cos(wt + ϕ2 )
= Re A1 e(wt +ϕ1 )i + A2 e(wt +ϕ2 )i
= Re eiwt A1 eiϕ1 + A2 eiϕ2
= A cos(wt + β)
Aeiβ = A1 eiϕ1 + A2 eiϕ2
sendo
3.6.2
Mesma direção e frequências diferentes
x1 (t) = A1 cos(w1 t + ϕ1 ) e x2 (t) = A2 cos(w2 t + ϕ2 )
A diferença de fase θ = (w2 − w2 )t + (ϕ2 − ϕ1 ) varia com o tempo de modo que podemos
tomar por t = 0 o instante em que a diferença de fase é multipla de 2π , o que equivaleria a
considerar:
ϕ1 = ϕ2 = 0
x(t) = x1 (t) + x2 (t) não será em geral
sequer um movimento periódico (para ser periódico, w1 e w2 precisam ser comensuráveis).
Um caso especialmente importante é quando w1 e w2 são muito próximas, nesse caso ocorre
um fenômeno chamado de batimento. Supondo A1 = A2 = A.
∆wt
x(t) = 2A cos
cos(w̄t)
2
|
{z
}
Para
w1
e
w2
quaisquer, o movimento resultante
a(t)
como
∆w << w̄, podemos
|a(t)|.
supor que
x(t)
é regido pelo
cos w̄t
com uma amplitude que varia
no tempo como
3.6.3
Mesma frequências e direções perpendiculares
x(t) = A cos(wt + ϕx )
y(t) = B cos(wt + ϕy )
58
CAPÍTULO 3.
Rearranjando:
y
x
= cos (wt + ϕx + ϕy − ϕx ) = cos(ϕy − ϕx ) − sin(wt + ϕx ) sin(ϕy − ϕx )
B
A
hy
i2
x
x2
2
2
− cos(∆ϕ) = sin (wt + ϕx ) sin (ϕx − ϕy ) = 1 − 2 sin2 (∆ϕ)
B A
A
x2
y2
2xy
cos(∆ϕ) = sin2 (∆ϕ)
+
−
2
2
A
B
AB
(3.39)
Esta curva geralmente representa uma elipse, exceto em alguns casos particulares. A curva
pode ser construída geometricamente pelo método dos círculos perpendiculares.
3.6.4
Frequências diferentes e direções perpendiculares
Nesse caso, observam-se as curvas de Lissajous, cuja construção pode ser feita usando o método
dos círculos de referência.
Figura 3.1: Figuras de Lissajous
Se
w1
e
w2
são comensuráveis, a trajetória é periódica e, por isso, a curva é fechada. Do
contrário, a trajetória não é periódica e nunca se fecha.
3.6.
SUPERPOSIÇÃO DE DOIS MHS'S
Figura 3.2: Períodos incomensuráveis
59
60
CAPÍTULO 3.
61
Capítulo 4
Ondas
O estudo das ondas é de suma importância em Física e em Engenharia. Elas estão mais
presentes em nosso meio do que se pode imaginar. Por exemplo, o sinal da televisão chega a
nós através de uma onda eletromagnética - o mesmo vale para o rádio. A lasanha é aquecida
no microondas através de ondas infra-vermelhas que entram em ressonância com as moléculas
de água. Os terremotos que podem destruir diversas edicações são consequência direta das
ondas sísmicas. E mesmo o som - de um violino, piano e até a nossa voz - é uma onda que
se propaga no ar. Os elétrons - presentes no processamento de dados nos transistores de um
computador - podem ser modelados como ondas de matéria através da sua função de onda
ψ.
Daí se nota a importância deste capítulo para um estudante de Engenharia.
4.1
Conceitos Iniciais
Num sentido bastante amplo, uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto
a outro de um meio com velocidade denida. Em geral, fala-se de onda quando a transmissão
do sinal ocorre sem que haja transporte direto de matéria de um ponto a outro.
transporta energia e momento, mas não matéria.
A onda
Há vários exemplos de ondas: ondas num
lago, numa mola, numa corda, ondas eletromagnéticas e ondas sísmicas. Em geral, as ondas
podem ser classicadas como longitudinais ou transversais (dependendo da relação entre a
direção de propagação e a direção em que ocorre a perturbação). Para uma onda longitudinal,
a perturbação transmitida tem lugar ao longo da direção de propagação (as ondas sonoras na
atmosfera são um exemplo). Por outro lado, numa onda transversal a perturbação transmitida
ocorre numa direção perpendicular à transmissão (as ondas eletromagnéticas TEM são um
exemplo desse tipo). Há, no entanto, ondas que não são nem longitudinais nem transversais
(como as ondas sísmicas e as ondas na superfície da água).
As ondas também podem ser classicadas de acordo com a natureza em:
•
Ondas Mecânicas: Precisam de um meio material para se propagar (Ex: som).
•
Ondas Eletromagnéticas: provêm das oscilações dos campos elétrico e magnético e não
exigem um meio material para se propagar (Ex: luz, ondas de RF).
•
Ondas de Matéria: na Mecânica Quântica, a matéria pode ter um comportamento ondulatório descrito pela Equação de Schrödinger
62
CAPÍTULO 4.
•
ONDAS
Ondas Gravitacionais: decorrem da perturbação do espaço-tempo na Relatividade Geral,
mas até hoje não há evidências direta de que existam.
4.2
Ondas Unidimensionais
Vamos iniciar o estudo das ondas considerando o caso simples nas ondas transversais
numa corda. Consideremos, portanto, uma perturbação que se propaga ao longo do eixo
sentido positivo. Num certo
outro instante
0
t,
t
(xado),
y(x, t)
o aspecto será o mesmo de
terá o aspecto de uma certa função
f (x),
f (x).
x,
no
Num
porém deslocado para a direita, de modo
que podemos armar que:
0
0
y(x, t ) = f (x − v(t − t))
Ou seja, de forma geral, podemos dizer que:
∆
y(x, 0) = f (x)
e
y(x, t) = f (x − vt)
Esta onda que estudamos se chama onda progressiva para a direita, que se propaga com
velocidade
v,
v.
No caso de uma onda progressiva que se propaga para a esquerda com velocidade
temos analogamente:
y(x, t) = g(x + vt).
Ora, numa corda, é possível que coexistam tanto ondas progressivas para a direita como
para a esquerda, de modo que a solução geral é:
y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
4.2.1
Equação de Ondas Unidimensionais
Dada a semelhança entre as ondas e o MHS, esperamos que a equação de onda seja de 2
ordem, com a diferença de que a equação de onda é uma EDP, já que
y
depende de
x e t.
a
Num
primeiro momento, faremos uma dedução intuitiva desta EDP (depois ela será obtida a partir
das leis da Mecânica). Assim:
y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∂y
0
0
= f (x − vt) + g (x + vt)
∂x
∂ 2y
00
00
= f (x − vt) + g (x + vt)
2
∂ x
∂y
0
0
= −vf (x − vt) + vg (x + vt)
∂t
4.3.
ONDAS EM CORDAS
63
h 00
i
∂ 2y
00
2
= v f (x − vt) + g (x + vt)
∂ 2t
Ou seja:
1 ∂ 2y
∂ 2y
=
∂ 2x
v2 ∂ 2t
4.2.2
Ondas Harmônicas
Um caso particular de solução da equação de ondas é quando a função
f (x)
tem a forma
cossenoidal, digamos
f (x) = A cos
2πx
+δ
λ
∆
= A cos(kx + δ)
Nesse caso:
y(x, t) = A cos(kx − kvt + δ)
Ou então:
y(x, t) = A cos(kx − wt + δ)
Este tipo de solução é conhecido como onda harmônica, ou então onda monocromática (uma
única frequência). No caso, consideramos uma onda harmônica que se propaga para a direita.
Também é possível ter uma onda harmônica se propagando para a esquerda. Nesse caso:
y(x, t) = A cos(kx + wt + δ)
2π
k=
λ
w e k:
A grandeza
relação entre
é conhecida como número de onda, e
w = kv
ou ainda
2πf =
w
é a frequência angular. Há uma
2π
v
λ
∴ v = λf
O argumento do cosseno
δ
ϕ(x, t) = kx − wt + δ
(4.1)
é conhecido como fase da onda, ao passo que
é chamada de constante de fase.
A função
y(x, t)
também pode ser escrita na forma complexa como:
y(x, t) = Re Aei(kx−wt+δ)
(4.2)
64
CAPÍTULO 4.
4.3
ONDAS
Ondas em cordas
Consideremos uma corda esticada sujeita a uma tensão
mento (de largura
a
Aplicando a 2
∆x)
T,
e tomemos um pequeno ele-
que foi deslocado ligeiramente da posição de equilíbrio (suposta
lei de Newton para este elemento e tomando a direção
y = 0).
y:

T sin θ(x +
∆x) − T sin
θ(x) = (∆m)ay
2
∂ y
∆x
ay = 2 x +
,t
∂t
2
Considerando
θ
pequeno (dentro da hipótese de ligeiro deslocamento):
∂y
sin θ(x) ∼
(x, t)
= tan θ(x) =
∂x
∂y
sin θ(x + ∆x) ∼
(x + ∆x, t)
= tan θ(x + ∆x) =
∂x
∂y
∂y
Se chamarmos de µ a densidade linear, então ∆m = µ∆x e T
(x + ∆x, t) −
(x, t) =
∂x
∂x
∆x
∂ 2y
, t).
(µ∆x) 2 (x +
∂t
2
No limite em que ∆x → 0, temos:
que é uma equação de ondas
∂ 2y
µ ∂ 2y
(x, t) =
(x, t)
∂x2
T ∂t2
r
T
unidimensional com v =
µ
Vamos, então, obter a solução geral de (4.3). Para tanto, consideremos a mudança:
(
r = x − vt
s = x + vt
∂y
∂y ∂r ∂y ∂s
∂y
∂y
=
+
=
(−v) +
(+v)
∂t
∂r ∂t ∂s ∂t
∂r
∂s
∂ 2y
∂ 2 y ∂r
∂ 2 y ∂s
∂ 2 y ∂r ∂ 2 y ∂s
= (−v)
+
+ (v)
+
∂t2
∂r2 ∂t ∂r∂s ∂t
∂r∂s ∂t ∂s2 ∂t
Analogamente:
∂ 2y
∂ 2y
∂ 2y
∂ 2y
=
+
2
+
∂x2
∂r2
∂r∂s ∂s2
(4.3)
4.3.
ONDAS EM CORDAS
65
Substituindo em (4.3), chegamos a:
∂ 2y
∂ ∂y
=0 ∴
=0
∂r∂s
∂r ∂s
Z
∂y
∴
= G(s) ∴ y = G(s)ds + f (r) = g(s) + f (r)
∂s
ou seja, a solução geral é:
y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
(4.4)
como já tínhamos visto antes de forma intuitiva.
Esta solução geral pode ser particularizada mediante as condições iniciais:
Estas condições iniciais

y(x, 0) = y0 (x)
∂y
 (x, 0) = y1 (x)
∂t
especicam f (x) e g(x) a menos,
possivelmente de uma constante
aditiva.
Exemplo 4.1 Suponha que a corda sofra um deslocamento inicial
y0 (x) e seja solta do repouso.
Solução:
f (x) + g(x) = y0 (x)
− f 0 (x) + g 0 (x) = 0
∴ g(x) = f (x) + C
∴ 2f (x) + C = y0 (x) ∴ f (x) =
y(x, t) =
4.3.1
y0 (x) C
−
2
2
∴ g(x) =
y0 (x) C
+
2
2
1
[y0 (x − vt) + y0 (x + vt)]
2
(4.5)
Intensidade
Já sabemos que uma onda transporta energia. Vamos então obter a taxa com que a energia é transportada. Consideremos que um agente externo esteja transferindo energia a corda
através da movimentação de um elemento de massa na posição
x.
Supondo que estejam sendo
produzidas ondas progressivas, a potência transferida é:
P = Fy
∂y
∂y ∂y
= −T
∂t
∂x ∂t
(4.6)
No caso de uma onda harmônica
P = wkT A2 sin2 (kx − wt + δ) = uvw2 A2 sin2 (kx − wt + δ)
(4.7)
66
CAPÍTULO 4.
Em geral, mais importante que o valor instantâneo de
médio, que é chamado de intensidade
I
P,
ONDAS
é mais importante saber o valor
da onda (unidimensional).
0
I = P̄ =
1
T
tZ+T
P (x, t)dt
t0
I=
4.4
uvw2 A2
2
Interferência
Como a equação de ondas é linear, qualquer superposição de ondas (que são solução
da EDP) também é uma solução válida. A superposição de ondas é um fenômeno conhecido
como interferência.
Vamos, então, estudar esse fenômeno para o caso de ondas progressivas
harmônicas.
4.4.1
Ondas no mesmo sentido
Consideremos duas ondas progressivas se propagando para a direita:
y1 = A1 cos(kx − wt + δ1 ) = Re A1 eikx e−iwt eiδ1
y2 = A2 cos(kx − wt + δ2 ) = Re A2 eikx e−iwt eiδ2
A superposição destas duas ondas resulta em:
y = Re ei(kx−wt) (A1 eiδ1 + A2 eiδ2 )
A1 eiδ1 + A2 eiδ2
é um número complexo que podemos escrever como
A2 = (A1 eiδ1 + A2 eiδ2 )(A1 e−iδ1 + A2 e−iδ2 )
A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(δ1 − δ2 )
Assim:
y(x, t) = Re Aei(kx−wt+δ)
= A cos(kx − wt + δ)
Quanto a intensidade da onda resultante, temos
I = I1 + I2 + 2
p
I1 I2 cos(δ1 − δ2 )
Aeiδ
4.4.
INTERFERÊNCIA
67
Note que nem sempre a intensidade de duas ondas em processo de interferência é igual a soma
das intensidades individuais. A intensidade é máxima quando:
δ1 − δ2 = 2mπ
m = 0, ±1, ±2, ...
p
p
Imax = ( I1 + I2 )2
Nesse caso, a interferência é dita ser construtiva. Do contrário, a intensidade é mínima (interferência destrutiva) quando
δ1 − δ2 = (2m + 1)π
m = 0, ±1, ±2, ...
p
p
Imin = ( I1 − I2 )2
Para valores intermediários de
4.4.2
δ1 − δ2 ,
a intensidade varia conforme a gura seguinte.
Ondas em sentidos opostos
Consideremos agora o caso de ondas de mesma amplitude se propagando em sentidos
opostos
y1 = A cos(kx − wt)
y2 = A cos(kx + wt)
A superposição destas duas ondas resulta em:
y = 2A cos kx cos wt
que é uma solução que não se propaga (onda estacionária). As ondas componentes tem uxos
de energia iguais e contrário, que se cancelam na resultante, de modo que o uxo médio de
energia se anula neste caso.
4.4.3
Batimentos
Suponhamos, agora, que as ondas se propagam no mesmo sentido e têm mesma amplitude,
mas frequências ligeiramente diferentes.
y1 = A cos(k1 x − w1 t)
68
CAPÍTULO 4.
ONDAS
y2 = A cos(k2 x − w2 t)
Podemos escrever a superposição destas ondas como:
y(x, t) = a(x, t) cos(k̄x − w̄t)
a(x, t) = 2A cos
∆w
∆k
x−
t
2
2
Temos um fenômeno de batimentos: podemos considerar que uma onda de frequência elevada
w̄
é modulada por uma onda
a(x, t)
de frequencia
∆w
bem menor.
Este é o exemplo mais
simples de grupo de ondas.
A fase da onda se move com a velocidade de fase:
vϕ =
w̄
k̄
Por outro lado, o grupo de ondas se move com a velocidade da envoltória
∆w
dw
=
.
∆k
dk
vg =
A velocidade de grupo é a velocidade de propagação da energia.
4.5
Reexão de Ondas
Consideremos uma corda presa a um suporte em
x = 0,
de modo que
y(0, t) = 0.
Nesse caso:
f (−vt) + g(vt) = 0
Portanto:
f (−w) = −g(w)
ou
f (w) = −g(−w)
logo:
y(x, t) = g(x + vt) − g(vt − x)
(4.8)
x = 0,
re-
tornando invertidas (a reexão numa extremidade xa produz uma defasagem de 180 ).
A
Isso signica que as ondas que se propagam para a esquerda sofrem reexão em
o
razão física deste resultado é que, ao atingir a origem, o pulso iria provocar um determinado
deslocamento, para permancer xa, a extremidade tem de reagir produzindo um deslocamento
igual e contrário, que gera o pulso reetido.
4.6.
MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO
69
Podemos considerar, por outro lado, o caso em que a extremidade da corda é livre em vez
de ser xa, ou seja, não atua sobre ela nenhuma força transversal. Nesse caso:
Fy (0, t) = −T
Portanto:
∂y
(0, t) = 0
∂x
∂y
(0, t) = 0
∂x
0
0
f (−vt) + g (vt) = 0
0
0
f (w) = −g (−w)
Ignorando a constante:
f (w) = g(−w)
Portanto:
y(x, t) = g(vt − x) + g(x + vt)
Isso signica que o pulso reetido nesse caso não sofre mudança de fase.
4.6
Modos normais de Vibração
Vamos agora considerar uma corda de comprimento
L
presa nas duas extremidades. As
condições que exprimem esse fato (de a corda permanecer xa nas duas extremidades) são
dadas pelas condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Não é conveniente expressar as ondas em termos de ondas progressivas. Vamos voltar à equação
de onda
∂ 2y
1 ∂ 2y
= 2 2
∂ 2x
v ∂t
E, com base na expressão obtida para ondas estacionárias, supomos:
y(x, t) = F (x)G(t)
Esse método se chama método de separação de variáveis e, apesar de parecer simplicado e
sem devido rigor, é capaz de produzir a solução exata. Substituindo
00
F (x)G(t) =
1
00
F (x)G (t)
2
v
F (x)G(t)
na EDP:
70
CAPÍTULO 4.
Portanto:
00
ONDAS
00
F (x)
G (t)
= 2
F (x)
v G(t)
Uma força que só depende de
x
é igual a outra força que só depende de
quando as forças são constantes
00
t:
isso só é possível
00
F (x)
G (t)
= 2
=λ
F (x)
v G(t)
•
Caso
λ = σ2 > 0
Portanto:
Como
•
Caso
F (x) = A sinh σx + B cosh σx
F (0) = F (L) = 0 ⇒ B = A = 0,
logo este caso não convém.
λ=0
F (x) = Ax + B
Como
•
Caso
F (0) = F (L) = 0 ⇒ B = A = 0,
logo este caso não convém.
λ = −k 2 < 0
F (x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Como
F (0) = 0 ⇒ B = 0
F (L) = 0 ⇒
o único modo de
w2 G(t) = 0, w = kv .
A
não ser zero é se
k=
G(t) = cos(wt + δ).
Portanto:
nπ
,
L
por outro lado:
00
G (t) −
Assim:
yn (x, t) = A sin
nπx L
cos
nπvt
+δ
L
o que pode ser escrito como:
yn (x, t) = sin
nπx L
an cos
nπvt
L
+ bn sin
nπvt
L
(4.9)
este é conhecido como um modo normal de vibração da corda. Trata-se de uma onda estacionária de frequência bem denida:
fn =
nv
2L
(4.10)
e também com um comprimento de onda bem denido:
λn =
ou seja, no n-ésimo modo normal, cabem
n
2L
n
(4.11)
semicomprimentos de onda na corda.
O movimento geral da corda é dado por uma superposição de todos os modos normais:
y(x, t) =
∞
X
n=1
sin
nπx L
an cos
nπvt
L
+ bn sin
nπvt
L
(4.12)
4.7.
ONDAS SONORAS
As constantes
an
e
bn
71
podem ser obtidas através das condições iniciais
y(x, 0) = y0 (x)
e
∂y
(x, 0) = y1 (t).
∂t

nπx ∞
P

y
(x)
=
a
sin
 0
n
L
n=1
∞
P nπv
nπx 
y1 (x) =
bn
sin
L
L
n=1
ZL
y0 (x) sin
mπx L
dx =
∞
X
ZL
an
n=1
0
sin
nπx L
mπx L
dx
0
|
2
∴ am =
L
sin
ZL
y0 (x) sin
{z
L
δmn
2
mπx L
dx
}
(4.13)
0
Analogamente:
2
∴ bm =
mπv
ZL
y1 (x) sin
mπx L
dx
(4.14)
0
4.7
Ondas sonoras
O fato de que corpos em vibração produzem sons é familiar na experiência quotidiana.
Para que o efeito atinja nossos ouvidos, ele precisa ser transmitido através de um meio material. Oscilações harmônicas podem produzir sons audíveis pelo ouvido humano somente num
intervalo limitado de frequência, aproximadamente entre 20Hz e 20kHz.
Um uido como a atmosfera não pode produzir tensões tangenciais, de modo que as ondas
sonoras na atmosfera são ondas longitudinais, associadas a variações de pressão, ou seja, a
compressões e rarefações.
Para modelar a propagação do som, vamos tomar, por simplicidade, o caso de propagação
unidimensional.
Consideremos uma porção de ar de largura
pequenos deslocamentos de
u(x)
e
u(x + ∆x).
∆x.
Nas extremidades dessa porção de ar, há
Assim:
72
CAPÍTULO 4.
•
Volume inicial:
•
Volume nal:
a
Aplicando a 2
ONDAS
V = A∆x
V + ∆V = A∆x + A∆u
∴ ∆V = A∆u
lei de Newton:
∂ 2u
∂p
ρ0 A∆x 2 = −A(p(x + ∆x) − p(x)) = −A∆x ,
∂t
∂x
sendo
p
a pressão
Por outro lado, supondo um processo adiabático:
p̄(V + ∆V )γ = p0 V γ
sendo
1
∆x
∼
p̄ = [p(x + ∆x) + p(x)] = p x +
2
2
a pressão média e
p0
a pressão inicial (antes da
onda de compressão/rarefação).
−γ
−γ
∆V
∂u
∂u
∼
p̄ = p0 1 +
= p0 1 +
= p0 1 − γ
V
∂x
∂x
Assim, como
∆x → 0,
∂ p̄
∂p
=
∂x
∂x
∂p
∂ 2u
∂ 2u
∴
= −γp0 2 = −γp0 2
∂x
∂x
∂x
logo:
ρ0
para um gás ideal:
∂ 2u
∂ 2u
=
+γp
0
∂t2
∂x2
m
RT
p0
RT
p0 V
= M
=
=
ρ0
m
m
M
Logo:
∂ 2u
M ∂ 2u
=
∂x2
γRT ∂t2
ou seja, a velocidade do som no ar é:
r
v=
γRT
M
(4.15)
No caso do ar, tem-se:
(
γ∼
= 1,40
M∼
= 0, 0289kg/mol
∴ v∼
= 347m/s
a
T = 27
◦
C
4.7.
ONDAS SONORAS
4.7.1
73
Efeito Doppler
O Efeito Doppler é uma mudança no comprimento de onda recebido quando uma fonte
emissora (e/ou um receptor) estão em movimento.
O movimento é dito ser em relação ao
referencial de repouso da atmosfera, em relação ao qual o som se propaga com velocidade
Supomos, em princípio, que a velocidade da fonte e do observador são menores que
Se a fonte está em repouso (no referencial
O)
vsom .
vsom .
e o observador se movimenta na direção da
fonte (aproximando-se desta), ele cruza com as frentes de onda em intervalos de tempo menores
que o período. Assim, as ondas emitidas pela fonte, são caracterizadas por:
Mas no referencial em movimento,
Assim, para o referencial
O0
u = u0 cos(kx − wt + δ)
(
+ : afastamento
x = x0 + x0 ± vobs t
− : aproximação
em movimento:
u = u0 cos(kx0 ± kvobs t − wt + δ ± kx0 )
A nova frequência é:
w0 = w ∓ kvobs
2πf 0 = 2πf ∓
∴ f0 = f
vobs
1∓
vsom
2πf
vobs
vsom
(
− : afastamento
+ : aproximação
Quando fonte e observador se movimentam:
vobs 

vsom 
f0 = 
vf onte  f
1±
vsom

1∓
(
sinal superior: afastamento
sinal inferior: aproximação
(4.16)
Quando o movimento se dá numa direção diferente daquela que une fonte e observador, na
expressão do efeito Doppler, é preciso tomar a componente da velocidade que contribui para a
aproximação ou o afastamento.
0
f =
vobs cos θ
1+
vsom
f
Suponhamos agora que a fonte se mova com velocidade supersônica
(vf onte
> vsom ).
Neste caso, a fonte chega num ponto antes da frente de onda emitida.
(4.17)
74
CAPÍTULO 4.
Após um tempo
t,
a frente de onda gerada em
geradas pela fonte entre
F0
e
F
F0
tem raio
F0 F = vf onte t.
ONDAS
Todas as ondas
cam contidas dentro de um cone com vértice em
F
e eixo
F0 F
cujas geratrizes são as envoltórias das frentes de onda e cujo ângulo de abertura é:
sin α =
Este cone chama-se cone de Mach ;
α
vsom
vf onte
(4.18)
é o ângulo de Mach e
de Mach.
As ondas emitidas nas vizinhanças de
F0
chegam a
P
vf onte
>1
vsom
é o chamado número
no mesmo instante de tempo.
Na
região perpendicular à superfície do cone de Mach, a acumulação das frentes de onda que
chegam simultaneamente a
P
produz uma onda de choque (este é um efeito bem conhecido no
caso de um avião que atinge a velocidade supersônica).
75
Capítulo 5
Gravitação
Um dos problemas fundamentais da Dinâmica, o qual tem intrigado o homem desde o
início da civilização, é o do movimento dos corpos celestes. Os gregos admitiam que a Terra
ocupava o centro geométrico do Universo e que os corpos celestes moviam-se em torno dela.
A primeira hipótese a respeito dos movimentos dos corpos celestes era de que eles descreviam
trajetórias circulares concêntricas tendo a Terra como centro comum. Tal hipótese, entretanto,
não concordava com as observações, e a geometria dos movimentos se tormou cada vez mais
complexa com a introdução da Teoria dos Epiciclos, formulada por Ptolomeu. Essa descrição
foi aceita como correta até que, no século XVI, o monge polonês Nicolau Copérnico propôs que
o movimento dos planetas, incluido a Terra, fosse feito relativamente ao Sol, que estaria no seu
centro. A ideia não era nova: havia sido proposta por Aristarco no século III a.C. Essencialmente, o que Copérnico propunha era um novo sistema de referência - ligado ao Sol - em vez do
convencional sistema de referência ligado à Terra. O Sol, maior corpo celeste do nosso sistema
planetário, coincide praticamente com o centro de massa do sistema e se move muito mais
lentamente que qualquer outro planeta. Isso justica tomá-lo como centro de referência, pois
ele é praticamente um referencial inercial. A hipótese de Copérnico auxiliou Kepler a descobrir
as leis do movimento planetário. O passo seguinte, na história da Astronomia, foi a discussão
da dinâmica de movimento planetário e a interação responsável por tal movimento. Foi nesse
ponto que Isaac Newton deu sua notável contribuição, a Lei da Gravitação Universal. Esta lei
foi formulada por Newton em 1666, mas não foi publicada até 1687, quando apareceu como um
capítulo da obra Principia .
5.1
Lei da Gravitação Universal
Depois de sua formulação das leis de movimento, a segunda, e talvez a maior, contribui-
ção de Newton ao desenvolvimento da Mecânica foi a descoberta da interação gravitacional.
Podemos formular a Lei da Gravitação Universal de Newton do seguinte modo:
A interação gravitacional entre dois corpos pode ser expressa por uma força central, atrativa, proporcional às massas dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre eles.
76
CAPÍTULO 5.
Matematicamente:
GRAVITAÇÃO
0
Gmm
F~ = − 2 ûr
r
(5.1)
Esta é a expressão matemática para a força de atração entre duas massas puntiformes.
Se uma delas estiver distribuída numa linha, numa superfície ou num volume, teremos, respectivamente:
Z
λdl
ûr
rZ2
~ = −Gm σdA ûr
Supercial: F
2
Z r
~ = −Gm ρdv ûr
Volumétrica: F
r2
Linear:
5.1.1
F~ = −Gm
Massa inercial e gravitacional
Quando se estuda a Dinâmica, introduz-se o conceito de massa como uma medida de
inércia de um corpo. A esta massa chamamos de inercial.
Agora, introduzimos uma interação particular chamada Gravitação. Para caracterizar a
intensidade dessa interação, atribuímos a cada porção de matéria uma carga gravitacional ou
massa gravitacional
mg .
Deveríamos ter escrito, então, (5.1) na forma:
F~ = −
Gmg m0g
ûr
r2
(5.2)
Agora, se considerarmos que a gravitação é uma propriedade universal, podemos supor
que a massa gravitacional é proporcional à massa inercial e, portanto, a razão
K=
massa gravitacional
massa inercial
(5.3)
deve ser a mesma para todos os corpos. Com uma escolha apropriada das unidades para
mg ,
podemos fazer essa razão ser igual a um e utilizar o mesmo valor para a massa gravitacional
e inercial. Isto foi feito implicitamente no valor de G. A constância de
constância de
G,
K,
que é equivalente à
foi vericada experimentalmente para diversos tipos de corpos, com bastante
precisão, e pode ser considerada uma hipótese sólida.
5.2.
5.2
CAMPO GRAVITACIONAL
77
Campo Gravitacional
Este conceito é análogo ao de campo elétrico, dependendo apenas de 1 corpo, diferente-
mente da força (que depende de dois corpos). É denido como a razão entre a força gravitacional
e a massa (de um corpo de teste).
~g =
F~
Gm
= − 2 ûr
0
m
r
(5.4)
O sinal de menos indica que o campo gravitacional é dirigido sempre para a massa que o produz.
De maneira mais abstrata, podemos dizer que
m
produz no espaço em torno de si uma
situação física - que chamamos de campo gravitacional - que é percebida através da força que
m exerce sobre outra massa m0 que colocada nessa região. Se existe algo no espaço vazio em
0
torno de m, mesmo quando não usamos uma massa m como teste para vericar o campo, é
algo que apenas podemos especular e, de certo modo, é uma questão irrelevante, pois notamos
o campo gravitacional somente quando trazemos um segunda massa.
Suponha agora que temos diversas massas
m1 , m2 , m3 , · · · ,
cada uma produzindo o seu
próprio campo gravitacional. A força total sobre uma partícula de massa
F~ = m~g1 + m~g2 + m~g3 + · · · = m(~g1 + ~g2 + ~g3 + · · · )
m
posta em P é:
(5.5)
de forma que o campo resultante nesse ponto é:
~g = ~g1 + ~g2 + ~g3 + · · · = −G
X mi
i
ri2
ûri
(5.6)
De forma análoga ao campo elétrico, um campo gravitacional pode ser representado por
linhas de força. Uma linha de força é uma linha tal que, em cada ponto, a direção do campo é
tangente. As linhas de força desenhadas de modo que a densidade de linhas seja proporcional
à intensidade do campo. As guras seguintes mostram isso.
78
CAPÍTULO 5.
GRAVITAÇÃO
O campo gravitacional também admite uma lei análoga à Lei de Gauss para o campo
elétrico. No caso gravitacional:
I
~ = − G mint (S)
~g dA
4π
(5.7)
S
Esta expressão é particularmente útil para determinar o campo gravitacional para formas
simétricas (esferas, cilindros, planos). No caso de uma esfera, a lei de Gauss é útil para mostrar
o seguinte teorema.
Teorema 5.1 A interação gravitacional entre uma massa de forma arbitrária M e uma massa
puntiforme
m
é igual à interação entre
M
e um corpo esférico homogêneo de massa
que o centro do corpo esférico coincida com a posição da massa puniforme.
Demonstração: Exercício.
Teorema 5.2 A força gravitacional entre duas esferas homogêneas é:
m,
desde
5.3.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
79
GM m
F~ = − 2 r̂
r
5.3
(5.8)
Energia Potencial Gravitacional
Teorema 5.3 Toda força radial cuja intensidade depende exclusivamente da posição relativa
(de 2 partículas) é conservativa.
Demonstração: Por hipótese,
suciente provar que
~ × F~ = ~0.
∇
F~ = F (r)r̂.
Como
F (r) é
uma função bem comportada, é
Em coordenadas esféricas:
r̂
rθ̂ r sin θφ̂
1 ∂
∂
∂
~ × F~ =
∇
2
r sin θ ∂r ∂θ
∂φ
F (r) 0
0
= ~0
Como a Força Gravitacional entre duas partículas satisfaz as condições do Teorema 5.3, concluímos que ela é conservativa.
A mesma conclusão se aplica no caso de um
sistema de partículas. Então, podemos associar uma energia potencial (gravitacional) de modo
que:
~ p
F~ = −∇E
0
Como
Gmm
F~ = − 2 r̂
r
e
~ p = ∂Ep r̂ + ∂Ep θ̂ + ∂Ep φ̂
∇E
∂r
∂θ r
∂φ r sin θ
∂Ep
Gmm0
=− 2
∂r
r
Tomando
Ep (∞) = 0
e integrando de
∞
a
Ep = −
r,
temos:
Gmm0
r
Para um sistema de mais de duas partículas que interagem gravitacionalmente, a energia potencial total é:
Ep = −G
X mi mj
rij
pares
80
CAPÍTULO 5.
N
GRAVITAÇÃO
N
G X X mi mj
Ep = −
2 i=1 j=1 rij
Analogamente ao que foi feito para a denição do campo gravitacional, pode-se denir o
conceito de potencial gravitacional. Fixada uma certa massa
ponto
P
distanciado
r
m,
o potencial gravitacional num
0
desta é tal que, se neste ponto for posta uma massa m , a Ep será:
Ep = m0 V
V =−
Gm
r
(5.9)
É fácil ver que:
~
~g = −∇V
5.4
(5.10)
Campo Central
Estamos interessados, agora, em estudar as trajetórias de astros de pequena massa se
movendo sob a ação de astros com massa muito maior (como é o caso de planetas girando
em torno do Sol, ou de satélites orbitando ao redor da Terra). Sempre podemos encarar estas
situações como problemas de 2 corpos.
restante do universo,
P~
Fext = ~0,
Se considerarmos que estes corpos estão isolados do
e o CM terá aceleração nula, sendo portanto, um referencial
inercial. Se as partículas tiverem movimento relativo não radial, então elas estarão girando em
torno do CM. Entretanto, o movimento pode não ser circular e tampouco uniforme. A energia
mecânica é:
E=
Sendo
v
mv12 M v22 GM m
+
−
2
2
r
(5.11)
a velocidade relativa das partículas, podemos reescrever a equação (5.11) como:
E=
µv 2 GM m
−
2
r
ou seja, do ponto de vista da dinâmica interna (i.e, no referencial inercial do CM), o sistema de
2 partículas pode ser simplicado para o sistema de 1 partícula de massa
a uma distância
r
do CM com velocidade
o CM) de intensidade
M ea
µ ≈ m,
GM m
.
r
Quando
v
µ
se movimentando
- sob a ação de uma força central (apontando para
M >> m,
a posição do CM acaba coincidindo com a
posição de
trajetória desta partícula ctícia acaba sendo igual à trajetória da massa
(note que
neste caso).
m
De qualquer forma, vemos que o problema gravitacional de 2 corpos pode ser estudado,
de um modo mais fácil, como um problema de 1 partícula sujeita a uma força central
Entretanto, há situações em que
f (r)
f (r).
tem expressão diferente da força gravitacional - como
as forças intermoleculares de Van der Walls.
Vamos, assim, estudar inicialmente algumas
propriedades gerais dos campos centrais e depois vamos particularizar para o caso gravitacional.
5.4.
CAMPO CENTRAL
5.4.1
81
Conservação da Energia e do Momento Angular
Já vimos que toda força central é conservativa. Isso signica que a energia mecânica de
um corpo se movendo nesta condição é conservada. Por outro lado, se a força é central, seu
torque em relação à origem é nulo e por conseguinte, o momento angular também é conservado.
Assim, são duas constantes de movimento:


µv 2
+ Ep (r)
2

L = µr2 θ̇
mas
v = ṙ2 + r2 θ̇2 = ṙ +
L2
,
µ2 r 2
E=
(5.12)
ou seja:
E=
µṙ2
L2
+
+ Ep (r)
2
2µr2
{z
}
|
Ep,ef
Esta é uma expressão muito parecida com a que se obtém para o movimento retilíneo, com
velocidade
dr
,
dt
quando supomos que, no que ao movimento radial, a partícula se move sob a
ação de uma energia potencial efetiva:
Ep,ef (r) =
L2
+ Ep (r)
2µr2
de modo que:
E=
µṙ2
+ Ep,ef (r)
2
(5.13)
L2
é chamado de Energia Potencial Centrífuga já que a força associada a ele é
2
2µr
2 ∂
L
L2
Fc = −
e está dirigida para fora da origem. Na verdade, nenhuma força
=
∂r 2µr2
µr3
centrífuga está agindo, exceto possivelmente a que pode resultar de Ep (r). A força centrífuga
Fc é, portanto, apenas um conceito matemático útil.
O termo
Antes de prosseguirmos com uma abordagem matemática mais aprofundada, vamos analisar uma ferramenta útil para a análise qualitativa: as curvas de energia potencial.
Consideremos, inicialmente, um caso unidimensional em que
Ep (r)
é a energia potencial cuja dependência em relação a
x
x
é a variável de posição e
aparece na gura seguinte:
82
CAPÍTULO 5.
A força que a partícula sofre é:
Quando
dEp
= 0,
dx
F =−
dEp
dx
GRAVITAÇÃO
e o sentido da força aparece desenhado no gráco.
temos um ponto de equilíbrio que ser estável (caso dos pontos
instável (caso do ponto
M2 ).
Se a energia total da partícula é
E,
M1
M3 )
e
ou
então a partícula só pode se
mover em pontos que respeitam a condição:
Ep (r) ≤ E
E = E1 ,
Quando
já que
Ec ≥ 0
e
E = Ep + Ec
A
o movimento da partícula está restrito ao intervalo entre
A partícula oscila entre esses dois extremos.
e
B.
Nestes pontos, a velocidade reduz-se a zero e
a partícula inverte o sentido do movimento (eles são chamados de pontos de retorno ou de
reversão).
Quando
oscila entre os
E = E2 , a partícula tem 2 possíveis regiões
pontos C e D e na segunda, entre G e H .
de movimento.
Na primeira, ela
Entretanto, se estiver numa das
regiões, ela nunca poderá saltar para a outra, pois ela teria de passar pela região
DG,
onde a
energia cinética é negativa. Dizemos que as duas regiões estão separadas por uma barreira de
potencial.
Finalmente, quando
entre o ponto
k
E = E3 ,
o movimento deixa de ser oscilatório e a partícula se move
e o innito.
Voltando, agora, para o caso de forças centrais, consideremos o movimento na direção
radial. Pelas leis de Newton:
µr̈ − µrθ̇2 = −
∂Ep
L2
∂
µr̈ = −
+ 3 =−
∂r
µr
∂r
assim, num gráco de
Ep,ef
em função de
gráco seguinte mostra o caso em que
Se
de
r.
Se
E = E1 ,
E = E2 ,
há apenas um
r
r,
∂Ep
∂r
L2
Ep +
2µr2
=−
∂
Ep,ef (r)
∂r
podemos tirar as mesmas conclusões anteriores. O
Ep = −
k
.
r
admissível: nesse caso, a trajetória é circular com este valor
o raio da órbita oscila entre
r1
e
r2 .
Vemos também que se
E ≥ 0,
a órbita
não é limitada e a partícula vem do innito até um ponto de máxima aproximação e depois
regressa denitivamente para o innito.
5.4.
CAMPO CENTRAL
5.4.2
83
Equação da Trajetória
As equações (5.13) são satisfeitas para se determinar a trajetória. Isolando
θ̇
e
ṙ:
r
2
(E − Ep,ef (r))
ṙ = ±
µ
L
θ̇ = 2
µr
(5.14)
(5.15)
ṙ
dr
= , chegamos a:
dθ
θ̇
q
dr
r2
=±
2µ(E − Ep,ef (r))
dθ
L
dividindo as equações e lembrando que
(5.16)
Separando as variáveis e integrando:
Zr
Ldr
p
r2 2µ(E − Ep,ef (r))
± (θ − θ0 ) =
r0
Essa expressão que relaciona
r
com
θ
(5.17)
dá a equação da trajetoria em coordenadas polares.
Inversamente, se conhecemos aa equação da trajetória, podemos
e com isso a força.
dr
dθ
e, por (5.16), obter a
Ep (r)
Considerando, em (5.17), o problema gravitacional que vínhamos estudando, temos:
Ep,ef =
Zr
±(θ − θ0 ) =
Ldr
L2
GM m
2µ E −
+
2µr2
r
s
r2
r0
fazendo a substituição de variável
GM m
L2
−
2
2µr
r
u=
1
,
r
camos com:
Zu
∓(θ − θ0 ) =
Ldu
s
u0
L2 2
2µ E −
u + GM mu
2µ
A solução da integral acima é um pouco trabalhosa. Vamos descrever alguns passos:
(1) Completar os quadrados:

√
2
 L

L2 2
2µ
G2 M 2 m2 µ


√
u−
u + GM mu = − 
GM m +
2µ
2L
2L2
2µ
|
{z
}
ω
84
CAPÍTULO 5.
GRAVITAÇÃO
√
2µ
ω
dω
1
L
s =
arccos
L
A
G2 M 2 m2 µ
2
2µ E −
−
ω
2L2
Z
∓θ + cte =
onde
A2 = E +
G2 M 2 m2 µ
.
2L2
(2) Voltar às variáveis originais.
r=
p
1 + cos θ
(Equação de uma cônica em coordenadas polares). Sendo:
2
p
= semi lactus rectum =
L
GM mµ
s
= excentricidade da órbita =
Todos os casos possíveis para
= 0 : circunferência
0 < < 0 : elipse
= 1 : parábola
> 1 : hipérbole
Por convenção, θ = 0 no
2E
1+
µ
L
GM m
são:
ponto de máxima aproximação.
Recordando alguns parâmetros das cônicas.
Elipse:
2c : distância focal
a : semi-eixo maior
b : semi-eixo menor
c
=
a
Hipérbole:
2
(5.18)
5.4.
CAMPO CENTRAL
85
2c : distância focal
a : semi-eixo maior
b : semi-eixo menor
c
>1
(b pode ser maior que a) =
a
Parábola:
c
= =1
a
V F = c = distnciaf ocal
5.4.3
Leis de Kepler
Encerrando este capítulo, vamos enunciar e demosntrar as 3 leis de Keplerdo movimento
planetário.
(1) Lei das Órbitas: Os planetas descrevem órbitas elípticas com o sol num dos focos.
(2) Lei das Áreas:
Uma linha que liga o planeta ao sol descreve áreas iguais em tempos
iguais.
(2) Lei dos Períodos: O quadrado do período de revolução de um planeta é diretamente
proporcional ao cubo de sua distância média ao sol. Prova:
(1) Decorre imediatamente do que foi demonstrado em olhar a referência nas notas de aula
na página 73 e do fato de
MSol Mplaneta .
(2) Decorre da conservação do momento angular:
L = µr2 θ̇
86
CAPÍTULO 5.
dt =
µ
∆t =
L
Zθ0
GRAVITAÇÃO
µ 2
r dθ
L
µ
r2 dθ = 2 A(∆θ)
L
θi
(3) Vamos obter:
Z2π
µ
T =
L
r2 dθ
0
| {z }
2x área da elipse
µ
T = 2 πab
L
T 2 = 4π 2 a2 a2 (1 − 2 )
mas, na máxima aproximação, temos
a−c=
a2 (1 − 2 )
logo
T2 =
4π 2 3
a.
GM
µ2
L2
p
p
p
⇒ a − a =
⇒a=
.
1+
1+
1 − 2
µ2
µ2
µ
1
=
p
=
≈
2
2
L
L
GM m
GM
Então:
87
Capítulo 6
Introdução à Mecânica Analítica
No estudo da Mecânica Clássica conduzido até agora, cou clara a importância das leis
de Newton. Usando a 2
a
Lei de Newton e dadas as condições iniciais, somos capazes de obter
as equações de movimento de um sistema e descrever seu movimento.
No entanto, a leis de
Newton só podem ser usadas se todas as forças agindo num sistema são conhecidas, isto é, se
as condições dinâmicas são conhecidas.
Em muitas situações, não é fácil resolver o problema por condições dinâmicas e iniciais,
por exemplo, no caso de uma particula sujeita a se mover numa superfície esférica. Nesse sentido, dois métodos foram desenvolvidos para facilitar a solução dos problemas: as equações de
Lagrange e as equações de Hamilton.
Estes métodos não são resultados de novas teorias na
Mecânica, mas sim são derivados das leis de Newton. Suas principais vantagens são:
Uso de coordenadas generalizadas: não há preferência alguma por coordenadas retangulares
x, y, z ,
mas sim as que forem mais convenientes. E, nesse sentido, podem ser coordenadas
generalizadas, um ângulo, uma posição, uma velocidade, um momento angular, ou um comprimento ao quadrado, etc - desde que obedeçam a algumas exigências. Isso mostra a enorme
exibilidade permitida.
Uso de grandezas escalares em vez de vetoriais: essencialmente, estes são métodos baseados numa formulação de energia. Isso evita muitas confusões que uma formulação baseada
em vetores pode ter (como sentido positivo do movimento).
A Mecânica Analítica, além disso, pode ser considerada a base das formulações de Mecânica Estatística e Mecânica Quântica. Gracamente, podemos representar assim a relação:
88
CAPÍTULO 6.
6.1
INTRODUÇÃO À MECÂNICA ANALÍTICA
Vínculos e Coordenadas Generalizadas
Relembrando a equação de movimento de uma partícula que faz parte de um sistema de
partículas:
mi
sendo
F~ji
a força da partícula
j
X
d2~ri
~i = F~ (ext) +
=
F
F~ji
i
dt2
j
sobre a partícula
(6.1)
i (F~ii , ~0).
A equação (6.1), de certa forma, assume que a partícula pode movimentar em qualquer
lugar do espaço.
Isto nem sempre é verdade francamente, isto nunca é verdade, o espaço
livre é uma idealização. Por exemplo, o trem de um parque de diversões (felizmente) tem seu
movimento restringido aos trilhos, as bolhas de bilhar se movem estritamente na superfície de
uma mesa de sinuca. Nos casos em que o movimento é restrito por alguma imposição externa,
dizemos que o sistema possui vínculos (que são dados pela própria imposição externa). Para
expressar a restrições impostas pelos vínculos, escrevemos algumas equações matemáticas que
relacionam as coordenadas entre si. Os vínculos podem ser holonômicos, quando a restrição
tem a forma:
f (~r1 , ~r2 , · · · , t) = 0
(6.2)
ou então, não-holonômico, caso não seja possível encontrar uma equação como (6.2). Exemplos
de vínculos holonômicos.
Partícula se movendo no plano xy
Corpo rígido: (~
ri − ~rj )2 − c2ij = 0.
: z = 0.
Exemplos de vínculos não-holonômicos:
Quando a restrição envolve desigualdades, como
z ≥ 0.
d~ri
.
dt
Quando a restrição depende de derivadas
Os vínculos são um conceito clássico idealizado: nenhum movimento segue uma restrição
perfeita na Mecânica Quântica (devido ao Princípio da Incerteza).
pode envolver uma força que assume valores até
∞
Um vínculo holonômico
- se for o caso; na realidade, as coisas são
mais suaves.
Um vínculo holonômico (que é o que iremos considerar no curso) reduz o número de
variáveis independentes em 1. Por exemplo, se
z = 0, então só estão livres x e y .
De uma forma
geral:
f (~r1 , ~r1 , · · · , t) = 0
ou seja,
x1
implica
x1 = g(y1 , z1 , ~r2 , ~r3 , · · · , t)
é dependente das demais coordenadas, assim basta encontrar
que automaticamente
x1 (t) ca determinado.
y1 (t), z1 (t), ~r2 (t), · · ·
Às vezes, conforme o vínculo, pode ser interesante
realizar uma mudança de coordenadas, como
x2 + y 2 + z 2 = R 2
seria uma boa escolha mudar para
θ
e
φ
(como coordenadas independentes).
O conjunto de coordenadas independentes capazes de especicar completamente o problema é
chamado de coordenadas generalizadas.
Em princípio, na ausência de força, todos os sistemas de coordenadas são iguais (x, y, z é
o mais simples). No entanto, as forças quebram essa simetria: alguns sistemas de coordenadas
funcionam melhor que outros. As coordenadas generalizadas oferecem uma maneira natural de
6.2.
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
89
lidar com sistemas sob a ação de tais forças.
Para descrever completamete um sistema de partículas podem ser necessárias
3N
coor-
k vínculos holonômicos, o número de coordenadas (generan = 3N − k .
Esse número n é chamado de número de graus de liberdade e as coordenadas generalizadas
denadas. No entanto, se existirem
lizadas) cai para
são representadas por:
q1 , q2 , q3 , · · · , qn
A seguir, veremos como encontrar a equação de evolução temporal de cada coordenadas
generalizadas.
6.2
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Existe um método de estudar o equilíbrio de um sistema material que dispensa o cálculo
das reações vinculares, trazendo simplicidade à solução de problemas de Estática, posto que
reduz consideravelmente o número de forças a serem calculadas (e também o número de equações a serem resolvidas). Esse método está apoiado num princípio - conhecido como Princípio
dos Trabalhos Virtuais - que foi imaginado por Aristóteles e aperfeiçoado por Galileu e Stevin,
mas que só foi enunciado de forma geral em 1717 pelo matemático suíço Johanm Bernoulli. Foi
Lagrange, no entanto quem colocou o Princípio dos Trabalhos Virtuais na posição singular que
ainda hoje ocupa de princípio básico para todas as Mecânicas Avançadas.
Comecemos, então, denindo o conceito de deslocamento virtual. Trata-se de um deslocamento elementar (innitesimal) que se pudesse imprimir a um sistema e que se fosse compatível
com os vínculos a que o sistema esteja submetido. Veja que o deslocamento virtual é hipotético
(isto é, apenas pensado, não realizado) e que, por isso mesmo, é concebido sem que o tempo
passe (ou seja, é um deslocamento imaginário a tempo congelado que respeita os vínculos).
Para fazer distinção entre um deslocamento virtual e um deslocamento real, é costume
escrever
δ~r
para o primeiro e
Se um sistema de
1, · · · , n),
N
d~r
para o segundo.
partículas é descrito com
n
coordenadas generalizadas
qj (j =
então:


~r1 = ~r1 (q1 , q2 , · · · , qn , t)


 ~r2 = ~r2 (q1 , q2 , · · · , qn , t)
.
.

.


 ~r = ~r (q , q , · · · , q , t)
N
N 1 2
n
Imaginando, então, que cada partícula recebeu sofreu um ligeiro deslocamento virtual e sua
posição passou de
~ri
para
~ri + δ~ri ,
onde temos:
n
X
∂~ri
δqj
δ~ri =
∂qj
j=1
Note a ausência de
Sendo
F~i
∆t.
a força total que age na partícula
que o trabalho virtual de
F~i
i
durante o deslocamento virtual, então dizemos
é:
δWi = F~i .δ~ri
90
CAPÍTULO 6.
O trabalho total realizado sobre o sistema é:
δW =
N
X
F~i .δ~ri
i=1
Vamos agora separar
F~i
em duas partes:
(a)
F~i = F~i + f~i
sendo
f~i
a soma de todas as forças de vínculos agindo na partícula
i
e
(a)
F~i
as demais forças
i.
(não vinculares) agindo em
OBS.: quando uma força não é vincular, ela é chamada de força aplicada.
As forças de vínculos holonômicos realizam trabalho virtual nulo (geralmente porque são
normais ao deslocamento ao deslocamento virtuais realizados). Assim:
δW =
N
X
(a)
F~i .δ~ri =
i=1
N X
n
X
i=1
ri
(a) ∂~
δqj
F~i .
∂q
j
j=1
Agora, já estamos em condições de enunciar o princípio dos trabalhos virtuais:
A condição necessária e suciente para que um sistema permaneça em equilíbrio é que
seja nula a soma dos trabalhos virtuais das forças aplicadas ao sistema, num deslocamento
reversível qualquer.
A demonstração de que é condição necessária é simples. Por outro lado, a demonstração de que
é condição suciente é complicada e, por isso, omitiremos. Veja que a condição de equilíbrio
implica
(a)
F~i = ~0 = F~i + f~i
Assim,
δW =
N
P
F~i .δ~ri = 0.
i=1
O princípio dos trabalhos virtuais leva a: Nisso se nota a vantagem de usar esse princípio para obter o equilíbrio, já que as forças de vínculo não aparecem nas equações, somente
aperecem força aplicadas (que, em geral, são conhecidas).
6.3
Princípio de D'Alembert
O Princípio dos Trabalhos Virtuais fornece uma ferramenta útil para se determinar o
equilíbrio de um sistema.
No entanto, há diversos casos práticos em que os sistemas estão
se movendo de forma acelerada e, portanto, estão onge de um equilíbrio dinâmico ou estático.
Então, como aproveitar a elegância do formalismo desenvolvido anteriormente para sistemas em
movimento? A resposta é dada pelo Princípio de D'Alembert. Aplicando a 2
para cada partícula de um sistema.
d~pi
F~i =
dt
o que implica
d~pi ~
F~i −
=0
dt
a
Lei de Newton
6.4.
LAGRANGIANA
91
ou seja, a partícula estaria sob equilíbrio se à força
inércia
d~pi
− .
dt
F~i
que age nela acrescentarmos a força de
Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, temos:
N X
d~
p
i
(a)
F~i −
.δ~ri = 0
dt
i=1
Assim
para
N X
d~pi ∂~ri
(a)
~
.
=0
Fi −
dt
∂q
j
i=1
j = 1, 2, · · · , n.
O Princípio de D'Alembert permite obter as equações dinâmicas do movimento sem que
seja necessário calcular as forças de vínculo - daí concluímos sua vantagem em relação a uma
aplicação seca das leis de Newton. Vale a pena mencionar que o Princípio de D'Alembert e
as leis de Newton são equivalentes, ou seja, fornecem as mesmas equações de movimento.
6.4
Lagrangiana
Chegamos, enm, a um dos pontos mais interessantes desse capítulo. Vamos agora obter
uma função
L conhecida como Lagrageana,
baseada numa descrição em termos de energia, que
permite obter as equações de movimento de um sistema. Começamos retomando o Princípio
de D'Alembert:
N X
d~pi ∂~ri
(a)
~
Fi −
.
=0
dt
∂qj
i=1
reescrevendo o primeiro termo e denominando-o
Qj =
N
X
i=1
para
j = 1, · · · , n
Qj
ri
(a) ∂~
F~i .
∂qj
(6.4)
esse termo é conhecido como força generalizada associada à coordenada generalizada
porque o trabalho virtual total é:
δW =
(6.3)
n
X
qj .
Isso
Qj δqj
j=1
Note que
Qj
não necessariamente tem dimensão de força, mas
Qj qj
tem sempre dimensão de
trabalho.
Desenvolvendo, agora, o segundo termo de (6.3):
N
N
N
X
d~pi ∂~ri X d2~ri ∂~ri X
∂~ri
.
=
mi 2 .
=
mi~ai .
dt ∂qj
dt ∂qj
∂qj
i=1
i=1
i=1
Por outro lado, como
~ri = ~ri (q1 , q2 , · · · , qn , t),
então:
n
X
∂~ri
∂~ri
~vi =
q̇k +
∂qk
∂t
k=1
92
CAPÍTULO 6.
Denindo a quantidade
Θi =
~vi .~vi
,
2
temos
∂~vi
∂Θi
= ~vi .
∂qj
∂qj
e, por outro lado:
∂~vi
∂~ri
∂Θi
= ~vi .
= ~vi .
∂ q̇j
∂ q̇j
∂qj
derivando essa equação em relação ao tempo, temos:
" n
#
X ∂ 2~ri
d ∂Θi
∂~ri
∂ 2~ri
= ~ai .
+ ~vi .
q̇k +
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qk ∂qj
∂t∂qj
k=1
|
{z
}
∂~vi
∂qj
d ∂Θi
∂~ri
∂~vi
∂~ri ∂Θi
= ~ai .
+ ~vi .
= ~ai .
+
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj
∂qj
∂qj
Assim:
N
X
d~pi ∂~ri
.
dt
∂qj
i=1
N
X
mi d ∂~vi2
∂~vi2
=
−
2
dt
∂
q̇
∂qj
j
i=1
=
d ∂T
∂T
−
dt ∂ q̇j
∂qj
Retornando a (6.3), tem-se:
d ∂T
∂T
−
= Qj
dt ∂ q̇j
∂qj
supondo que
(a)
(a)
(a)
F~i = F~i,cons. + F~i,n.cons.
e que
Qj = Qj,n.cons. −
N
X
i=1
(6.5)
(a)
~ iV ,
F~i,cons. = −∇
temos:
~ i V. ∂~ri = Qj,n.cons. − ∂V
∇
∂qj
∂qj
substituindo em (6.5):
d ∂T
∂T
∂V
−
= Qj,n.cons. −
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj
sendo
L=T −V
e supondo que
∂V
= 0, (j = 1, · · · , n),
∂ q̇j
temos:
d ∂L
∂L
−
= Qj,n.cons.
dt ∂ q̇j
∂qj
e, para sistemas conservativos:
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇j
∂qj
(6.6)
6.5.
HAMILTONIANA
93
que é conhecida como a Equação de Lagrange para o movimento.
A hipótese
mos:
∂V
= 0, (j = 1, · · · , n)
∂ q̇j
é exigente e pode ser revista. De fato, se considerar-
Qj = Qj,extra +
sendo
U = U (qj , q̇j , t)
∂U
d ∂U
−
dt ∂ q̇j
∂qj
(6.7)
o potencial generalizado ou potencial dependente da velocidade.
Então, a Equação de Lagrange se reduz a:
d ∂L
∂L
−
= Qj,extra = 0
dt ∂ q̇j
∂qj
(essa última igualdade ocorre normalmente). Nesse caso,
L = T (q, q̇, t) − U (q, q̇, t).
U de modo que:
Os sistemas que admitem um potencial generalizado
Qj = −
d ∂U
∂U
+
∂qj dt ∂ q̇j
são chamadas de sistemas monogênicos (sistema com força de Lorentz são um exemplo desse
tipo). Um sistema monogênico é conservativo se, e só se,
U = U (q).
OBS.1: As equações de Lagrange, por terem sido derivadas das leis de Newton, fornecem as
mesmas equações de movimento que elas. A diferença é, essencialemente, está na abordagem
do problema. Usando o formalismo lagrangiano, escapamos do cálculo das forças de vínculo,
fazemos uso de uma linguagem completamente escalar e podemos fazer pleno uso das simetrias
do problema mediante uma escolha acertada das coordenadas generalizadas.
OBS.2: A formulação lagrangiana tem outra vantagem em relação à newtoniana: a exibilidade.
0
Note que, dada uma lagrangiana L, podemos denir L como:
L0 = L +
onde
dF
∂F
∂F
(q, t) =
+
q̇ ,
dt
dt
dq
dF
(q, t)
dt
que as equações do movimento cam inalteradas. De fato:
d ∂L0 ∂L0
∂ dF
d ∂L
∂L
d ∂ ∂F
−
=
−
+
−
=0
dt ∂ q̇j
∂qj
dt ∂ q̇j
∂qj dt ∂ q̇j ∂t
∂qj dt
6.5
Hamiltoniana
Seja
f (x, y)
uma função diferenciável. Denotando
u=
∂F
∂x
e
v=
∂F
,
∂y
podemos escrever:
df = udx + vdy
Vamos encontrar uma trasformação que mude
e
v.
f
para uma função que dependa só de
Sendo:
g = f − yv
temos:
dg = udx + vdy − ydv − vdy
= udx − ydv
x
94
CAPÍTULO 6.
o que mostra que
g
é uma função de
x
e de
v , g(x, v),
∂g
∂f
=u=
∂x
∂x
e
de tal sorte que
∂g
= −y
∂v
Este processo de transformação chama-se Transformação de Legendre e é útil para denir a
hamiltoniana a partir da lagrangiana.
Começamos denindo a quantidade:
∂L
∂ q̇j
pj :=
como um momento generalizado (momento canônico ou conjugado).
A Hamiltoniana é denida como:
H(qj , pj , t) :=
n
X
pj q̇j − L(qj , q̇j , t)
(6.8)
j=1
com o sinal invertido em relação à transformação de Legendre. De fato:
n X
∂L
∂L
∂L
dqj −
dq̇j −
dH =
pj dq̇j + q̇j dpj −
∂qj
∂ q̇j
∂t
j=1
n X
∂L
∂L
=
q̇j dpj −
dqj −
∂qj
∂t
j=1
ou seja:
(6.9)
(6.10)
H = H(qj , pj , t). Além disso:

Qj =0


z }| {

∂H
∂L
d
∂L


=−
= Qj −
= Qj − ṗj = −ṗj


∂qj
dt ∂ q̇j

 ∂qj
∂H
= q̇j


∂pj





∂H
∂L


=−
∂t
∂t
sist. monogênicos:
(6.11)
(6.12)
O conjunto de equações acima é conhecido como Equações de Hamilton para o movimento.
Note que a Lagrangiana era função de
mantivemos as coordenadas
qj ,
qj , q̇j
e
t.
Para construir a Hamiltoniana,
mas substituímos a dependência para com
dência em relação aos momentos conjugados
pj .
para uma depen-
Além disso, no formalismo de Lagrange, para
cada grau de liberdade, obtíamos uma EDO de 2
a
q̇i
a
ordem. Agora no formalismo de Hamilton,
2n EDO's de 1 ordem (ou um SEDO de 2n equações). O espaço 2n-dimensional
(q1 , q2 , · · · , qn , p1 , p2 , · · · , pn ) é chamado do espaço de fases e cada ponto do espaço de fases é
obtemos
um estado do sistema.
OBS.:Para as demais demonstrações seguintes consideremos sistemas monogênicos.
Consideremos a derivada temporal da Hamiltoniana:
n
dH X
=
dt
j=1
∂H
∂H
q̇j +
ṗj
∂qj
∂pj
n
∂H X
∂H
+
=
(−ṗj q̇j + q̇j ṗj ) +
∂t
∂t
j=1
6.6.
PRINCÍPIO DE HAMILTON
95
∂H
dH
=
,
∂t
dt
ou seja, a Hamiltoniana é conservada se não depende explicitamente do tempo
t. H
pode ser
ou não a energia total do sistema: se for, isto signica que a energia é conservada, do contrário
H
ainda é uma constante de movimento.
Quando
H
não depende explicitamente do tempo, dizemos que o sistema apresenta uma
simetria temporal, o que é quase um sinônimo de dizer que a energia se conserva.
Consideremos, agora, uma única coordenada que não aparece explicitamente na Lagrangiana (esta coordenada recebe o nome de cíclica ou ignorável ). Neste caso, por construção, a
coordenada também não aparecerá na expressao da Hamiltoniana, pois:
H(q, p, t) = pq̇ − L(q, q̇, t)
Vemos que isso implica:
ṗ = −
∂H
=0
∂q
ou seja, o momento conjugado de uma coordenada cíclica é conservado.
denada não aparece explicitamente em
H,
Quando uma coor-
dizemos que há uma simetria em relação a esta
coordenada.
OBS.: Quando a Hamiltoniana é igual a energia total? Quase sempre. No caso de sistemas
conservativos de vínculos que não dependem do tempo, a resposta é sempre. Nestes casos, em
H usando a expressão pq̇ − L, podemos escrever direto a expressão de H como a
energia total T + V . Entretanto quando o potencial é dependente da velocidade (ex.: partícula
vez de calcular
carregada num campo magnético), isso já não é mais verdade.
6.6
Princípio de Hamilton
Derivamos as equações de Lagrange a partir das leis de Newton usando um princípio di-
ferencial (o Princípio de D'Alembert usa deslocamentos innitesimais). No entanto, é possível
chegar no mesmo resultados usando um princípio integral: o princípio de Hamilton.
Sabemos que as coordenadas generalizadas
q1 , q2 , · · · , qn descrevem completamente a con-
guração de um sistema num dado momento. Denimos, então, um espaço de congurações
como um espaço n-dimensional em que cada ponto
(q1 , q2 , · · · , qn )
correspondente a uma con-
guração do sistema. A evolução temporal do sistema poderia ser entendida como uma curva
no espaço de congurações.
Considere um sistema se movendo de acordo com
qj = qj (t),
a Lagrangiana do sistema é
Fixados
t1
e
t2 ,
para
j = 1, · · · , n
L(q, q̇, t) = L(q(t), q̇(t), t).
denimos a ação, ou a integral de ação, como:
Zt2
Ldt
I=
t1
(6.13)
96
CAPÍTULO 6.
A ação depende do caminho entre
t1
e
t2 :
a escolha de coordenadas não importa (a ação é
invariante sob a mudança de coordenadas).
Nesses termos, o Princípio de Hamilton arma que:
A integral de ação de um sistema físico é estacionária com relação ao caminho real.
Este princípio leva às equações de Lagrange, vamos mostrar isso. Antes, porém, vamos recordar
as 3 formulações equivalentes da Mecânica:
(1) Equações de Newton: dependem explicitamente das coordenadas
x, y, z .
(2) Equações de Lagrange: é a mesma para quaisquer coordenadas generalizadas.
(3) Princípio de Hamilton: que não menciona coordenada alguma (tudo está na integral de
ação). Nesse sentido, o Princípio de Hamilton é mais fundamental (abrangente) que os outros.
Vamos, então, desenvolver o Princípio de Hamilton:
Zt2
L(q, q̇, t)dt
I=
t1
fazendo uma variação
q → q + δq
e
I → I + δI ,
temos:
Zt2
L(q + δq, q̇ + δ q̇, t)dt
I + δI =
t1
Zt2
Zt2
L(q, q̇, t)dt +
=
t1
∂L
δqdt +
∂q
Zt2
∂L
δ q̇dt
∂ q̇
t1
t1
t2 t2 Rt2 ∂L
Rt2 ∂L d
R d ∂L
∂L
mas
δ q̇dt =
(δq)dt =
δq −
δqdt.
∂ q̇
∂ q̇
t1 ∂ q̇
t1 ∂ q̇ dt
t1 dt
t1
Impondo
δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0,
temos:
Zt2 δI =
d ∂L
∂L
−
∂q
dt ∂ q̇
δqdt
(6.14)
t1
para ser estacionária
δI = 0.
Como
δq
é arbitrário, temos:
∂L
d ∂L
−
=0 ∂q
dt ∂ q̇
OBS.:
(6.15)
Este princípio às vezes é chamado de Princípio da Mínima Ação (embora não seja
obrigatóriamente mínima). A técnica tem aplicações mais amplas, como por exemplo, encontrar
a função
f
que extremiza integral.
Zx2
J=
f (y, y 0 , x)dx
x1
equivale a resolver:
∂f
d ∂f
−
=0
∂y dx ∂y 0
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
97
Referências Bibliográcas
[1] T. Melendo. Iniciação à Filosoa Razão, Fé e Verdade. Ed.: Inst. Bras. Filosoa Ciência
Raimundo Lúlio.
[2] R. A. Alves. Filosoa da ciência: introdução ao jogo e suas regras. Edições Loyola, São
Paulo, 2007.
98
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
99
Apêndice A
Momento de inércia de área
Figura A.1: Momento de inércia de área para objetos planos com massa distribuída uniformemente pela área.
100
APÊNDICE A.
MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA
101
Apêndice B
Momento de inércia de alguns sólidos
Figura B.1: Momento de inércia de para sólidos com massa distribuída uniformemente pelo
volume.

Versão 05/03/2013 - IEF

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