Caos e Dinâmica Unidimensionais - PET Matemática

Transcrição

Caos e Dinâmica Unidimensionais
Matheus Augusto Bannack Diniz
Orientador: Professor Dr. José Renato Ramos Barbosa
Universidade Federal do Paraná
01 de Agosto de 2013
Objetivos
Objetivos
i) Apresentar alguns resultados relacionados à dinâmica
unidimensional de mapas;
Objetivos
Objetivos
i) Apresentar alguns resultados relacionados à dinâmica
unidimensional de mapas;
ii) Exibir uma série de resultados relativos à teoria do caos no
âmbito unidimensional.
Conceitos Introdutórios
Iterações de mapas
Definição e exemplo
Definição: Um mapa é uma função f : I → I . (Aqui, I é um
intervalo da reta.)
Definição: Um mapa é uma função f : I → I . (Aqui, I é um
intervalo da reta.)
Observação: A partir de um x0 ∈ I , via um processo iterativo,
denotaremos f (xn ) = xn+1 (n = 0, 1, 2, . . .). A solução desta
equação é uma sequência (x0 , x1 , x2 , . . .) em I , tal que a mesma é
válida para n = 0, 1, 2, . . .. Ao ponto x0 , chamamos de valor inicial.
Exemplo:
Seja f : R → R, onde f (x) = 3x − 1. Suponhamos x0 = 1. Então:
Exemplo:
x0 = 1,
Exemplo:
x0 = 1,
x1 = f (x0 ) = f (1) = 2,
Exemplo:
x0 = 1,
x1 = f (x0 ) = f (1) = 2,
x2 = f (x1 ) = f (2) = 5,
Exemplo:
x0
x1
x2
x3
= 1,
= f (x0 ) = f (1) = 2,
= f (x1 ) = f (2) = 5,
= f (x2 ) = f (5) = 14,
Exemplo:
x0
x1
x2
x3
x4
= 1,
= f (x0 ) = f (1) = 2,
= f (x1 ) = f (2) = 5,
= f (x2 ) = f (5) = 14,
= f (x3 ) = f (14) = 41,
Exemplo:
x0
x1
x2
x3
x4
..
.
= 1,
= f (x0 ) = f (1) = 2,
= f (x1 ) = f (2) = 5,
= f (x2 ) = f (5) = 14,
= f (x3 ) = f (14) = 41,
Exemplo:
x0
x1
x2
x3
x4
..
.
= 1,
= f (x0 ) = f (1) = 2,
= f (x1 ) = f (2) = 5,
= f (x2 ) = f (5) = 14,
= f (x3 ) = f (14) = 41,
xn = f (xn−1 ) = xn−1 + 3n−1 (n-ésima iterada de x0 ).
Pontos fixos
Pontos fixos
Definição: Seja f : I → I um mapa. x ∈ I é ponto fixo de f se
f (x) = x.
Pontos fixos
Pontos fixos
Definição: Seja f : I → I um mapa. x ∈ I é ponto fixo de f se
f (x) = x.
Exemplo
Para encontrar os pontos fixos de g : R → R, onde
g (x) = x 2 − x − 3, devemos encontrar as raı́zes da equação
x 2 − x − 3 = x (que são −1 e 3). Graficamente, os pontos fixos de
g são aqueles cujo gráfico intersecta o gráfico da função
identidade.
Pontos fixos
Figura : Pontos de interseção dos gráficos f (x) = x e g (x) = x 2 − x − 3.
Pontos fixos
Pontos fixos
Classificação dos pontos fixos
Definição: Seja f : I → R diferenciável. Um ponto fixo p de f é
dito:
Pontos fixos
Pontos fixos
dito:
i) Atrator (ou estável) se |f 0 (p)| < 1;
Pontos fixos
Pontos fixos
dito:
ii) Repulsor (ou instável) se |f 0 (p)| > 1;
Pontos fixos
Pontos fixos
dito:
ii) Repulsor (ou instável) se |f 0 (p)| > 1;
iii) Indiferente se |f 0 (p)| = 1.
Órbitas e órbitas periódicas
Definições e exemplos
Definição: Sendo xn+1 = f (xn ), a sequência de iteradas
(x0 , x1 , x2 , . . .) é uma órbita de x0 sobre f .
Definições e exemplos
Definição: Sendo xn+1 = f (xn ), a sequência de iteradas
(x0 , x1 , x2 , . . .) é uma órbita de x0 sobre f .
Exemplo:
Se f : R → R com f (x) = 2x + 1 a órbita de x0 = 1 sobre f é
(1, 3, 7, 15, 31, . . .), seguindo infinitamente.
Definição: Seja f : I → I . O mapa
f n = |f ◦ f ◦ f{z◦ . . . ◦ f}
n vezes
é a n-ésima iterada de f .
f n = |f ◦ f ◦ f{z◦ . . . ◦ f}
n vezes
Exemplo:
No processo de iteração,
x3 = f (x2 ) = f (f (x1 )) = f (f (f (x0 ))) = f 3 (x0 ).
f n = |f ◦ f ◦ f{z◦ . . . ◦ f}
n vezes
Exemplo:
No processo de iteração,
x3 = f (x2 ) = f (f (x1 )) = f (f (f (x0 ))) = f 3 (x0 ).
Para n = 0, 1, 2, . . ., a n-ésima iterada de x0 sobre f é dada por
xn = f n (x0 ).
Definição: x ∈ I é um ponto periódico (de perı́odo n) de f : I → I
se f n (x) = x, para algum n ∈ N. O menor inteiro positivo para o
qual esta igualdade é válida é dito perı́odo primo de x.
Exemplo:
A sequência (x0 , x1 , x2 , . . . , xn , x1 , x2 , . . . , xn , . . .) representa uma
órbita periódica de perı́odo n.
Exemplo:
A sequência (x0 , x1 , x2 , . . . , xn , x1 , x2 , . . . , xn , . . .) representa uma
órbita periódica de perı́odo n.
Se n = 2, como f 2 (x0 ) = x0 , temos que o perı́odo de x0 é 2. Além
disso, o perı́odo primo de x0 também é 2, visto que f (x0 ) 6= x0 .
Ademais, a órbita de x0 é (x0 , x1 , x0 , x1 , . . .), bem como a de x1 é
(x1 , x0 , x1 , x0 , . . .).
Diagrama de teia
Diagrama de teia
Sejam f : I → I e x0 ∈ I . A partir do gráfico de f , podemos obter
a sequência de iteradas (x0 , x1 , x2 , . . .) de x0 sobre f . Para isso, ao
invés de usar x0 para a obtenção de x1 , usaremos (x0 , x0 ) para
obter (x1 , x1 ) e assim por diante.
Diagrama de teia
Figura : Diagrama de teia das iteradas de (x0 , x0 ) sob f.
Diagrama de teia
Dizemos então que a órbita de (x0 , x0 ) é atraı́da pelo ponto fixo
diferente de 0 ou ainda que a órbita converge para tal ponto fixo.
Diagrama de teia
Dizemos então que a órbita de (x0 , x0 ) é atraı́da pelo ponto fixo
diferente de 0 ou ainda que a órbita converge para tal ponto fixo.
Exemplo:
Note que, se g (x) = 0, 5x(1 − x), 0 é ponto fixo de g . Então,
temos que g 0 (x) = 0, 5 − x, donde |g 0 (0)| = 0, 5 < 1. Logo, 0 é
ponto fixo atrator.
Diagrama de teia
Usando o diagrama de teia, também obtemos que 0 é ponto fixo
atrator. De fato,
Diagrama de teia
Usando o diagrama de teia, também obtemos que 0 é ponto fixo
atrator. De fato,
Figura : Pelo diagrama de teia, 0 é ponto fixo atrator.
Famı́lias de mapas e bifurcações
Famı́lias de mapas
Famı́lias de mapas
Definição
Definição: Seja fµ um mapa que depende de um parâmetro µ.
Chamamos de famı́lia de mapas a função µ 7→ fµ que para cada µ,
associa um mapa fµ .
Mapa logı́stico
Mapa logı́stico
Definição
Definição: A famı́lia logı́stica de mapas µ 7→ Qµ é dada por
Qµ (x) = µx(1 − x)
onde x ∈ [0, 1] e µ > 0 ∈ R.
Mapa logı́stico
A figura a seguir mostra os gráficos do mapa logı́stico para quatro
valores diferentes de µ bem como o gráfico da função identidade.
Figura : Os gráficos de Qµ e id.
Mapa logı́stico
Mapa logı́stico
Pontos fixos
Para encontrar os pontos fixos do mapa logı́stico, resolvemos a
equação µx(1 − x) = x.
Mapa logı́stico
Mapa logı́stico
Pontos fixos
µx − µx 2 = x ⇔ µx − µx 2 − x = 0
⇔ x(−µx + µ − 1) = 0
⇔ x = 0 ou − µx + µ − 1 = 0.
Mapa logı́stico
Mapa logı́stico
Pontos fixos
µx − µx 2 = x ⇔ µx − µx 2 − x = 0
⇔ x(−µx + µ − 1) = 0
⇔ x = 0 ou − µx + µ − 1 = 0.
Então, da segunda igualdade, temos que x =
µ−1
µ .
Mapa logı́stico
Sendo assim, os pontos fixos do mapa logı́stico são
x =0 e x =
µ−1
.
µ
Mapa logı́stico
x =0 e x =
Como x ∈ [0, 1], temos que:
µ−1
.
µ
Mapa logı́stico
x =0 e x =
µ−1
.
µ
i) se µ ≤ 1, x = 0 é o único ponto fixo;
Mapa logı́stico
x =0 e x =
µ−1
.
µ
i) se µ ≤ 1, x = 0 é o único ponto fixo;
ii) se µ > 1, além de x = 0, há um segundo ponto fixo
µ−1
µ .
Mapa da tenda
Mapa da tenda
Definição
Definição: A famı́lia da tenda de mapas µ 7→ Tµ é dada por
Tµ (x) = µ4 (1 − |2x − 1|)
onde x ∈ [0, 1] e µ > 0 ∈ R.
Mapa da tenda
Mapa da tenda
Definição
Definição: A famı́lia da tenda de mapas µ 7→ Tµ é dada por
Tµ (x) = µ4 (1 − |2x − 1|)
onde x ∈ [0, 1] e µ > 0 ∈ R.
A figura a seguir mostra os gráficos do mapa da tenda para quatro
valores diferentes de µ bem como o gráfico da função identidade.
Mapa da tenda
Figura : Os gráficos de Qµ e id.
Mapa da tenda
Mapa da tenda
Pontos fixos
Para que possamos determinar todos os pontos fixos do mapa
logı́stico, basta resolver a equação
µ
(1 − |2x − 1|) = x.
4
Mapa da tenda
Mapa da tenda
Pontos fixos
Para que possamos determinar todos os pontos fixos do mapa
logı́stico, basta resolver a equação
µ
(1 − |2x − 1|) = x.
4
Resolvendo esta equação, percebemos que para µ = 1, 0 é o único
ponto fixo e que, para µ = 2, há infinitos pontos fixos. Para outros
valores de µ, há dois pontos fixos: 0 e um segundo que se
aproxima de 1 conforme aumenta-se o valor de µ.
Diagrama de bifurcação
Uma bifurcação ocorre quando uma pequena alteração no valor de
um parâmetro de um mapa provoca uma alteração súbita e
qualitativa no seu comportamento.
Uma bifurcação ocorre quando uma pequena alteração no valor de
um parâmetro de um mapa provoca uma alteração súbita e
qualitativa no seu comportamento.
Definição: O diagrama de bifurcação para os pontos fixos de uma
determinada famı́lia de mapas µ 7→ fµ é o conjunto dos pares
(µ, x) onde x é ponto fixo de fµ .
Exemplo:
Figura : Diagrama de bifurcação dos pontos fixos do mapa logı́stico.
Referente ao diagrama de bifurcação do mapa logı́stico, podemos
afirmar onde os pontos fixos (0 e µ−1
µ ) são atratores e onde são
repulsores:
repulsores:
i) Em 0, a derivada de Qµ é µ. Então, 0 é atrator se 0 ≤ µ < 1
e repulsor caso µ > 1.
repulsores:
i) Em 0, a derivada de Qµ é µ. Então, 0 é atrator se 0 ≤ µ < 1
e repulsor caso µ > 1.
ii) Em µ−1
µ , a derivada de Qµ é 2 − µ. Então,
1 < µ < 3 e repulsor caso µ > 3.
µ−1
µ
é atrator se
Podemos reapresentar o diagrama de bifurcações como na figura a
seguir.
Podemos reapresentar o diagrama de bifurcações como na figura a
seguir.
Figura : Diagrama de bifurcação dos pontos fixos do mapa logı́stico.
Famı́lias de pontos de perı́odo 2
Os pontos periódicos de perı́odo dois de Qµ são os pontos tais que
Qµ2 (x) = x. Por um lado, temos que alguns dos pontos fixos de Qµ2
são pontos fixos de Qµ . Por outro, os que não são, serão os pontos
de perı́odo primo 2 para Qµ . Construiremos os gráficos de Qµ2 para
µ = 2, 8 e µ = 4 comparando, então, com os gráficos de Qµ para
os mesmos valores.
i) Para 0 ≤ µ < 3, Qµ e Qµ2 têm os mesmos pontos fixos. Para
µ = 2, 8, os pontos fixos dos mesmos mapas são 0 e,
aproximadamente, 0, 64.
i) Para 0 ≤ µ < 3, Qµ e Qµ2 têm os mesmos pontos fixos. Para
µ = 2, 8, os pontos fixos dos mesmos mapas são 0 e,
aproximadamente, 0, 64.
Figura : Gráficos de Qµ e Qµ2 respectivamente, para µ = 2, 8.
ii) Se 3 < µ ≤ 4, o mapa Qµ2 tem dois pontos fixos extras que
não são pontos fixos de Qµ , sendo, portanto, pontos de
perı́odo primo 2 de Qµ . Sendo µ = 4, temos
ii) Se 3 < µ ≤ 4, o mapa Qµ2 tem dois pontos fixos extras que
não são pontos fixos de Qµ , sendo, portanto, pontos de
perı́odo primo 2 de Qµ . Sendo µ = 4, temos
Figura : Gráficos de Qµ e Qµ2 respectivamente, para µ = 4.
Quando µ = 3, o gráfico da identidade e o gráfico de Qµ2 se
tangenciam em um único ponto fixo (excluindo a origem). Para
valores maiores do que 3, o mapa Qµ2 tem dois pontos fixos
adicionais (além da origem e o ponto fixo dado por µ−1
µ ). Dessa
2
forma, dizemos que os pontos fixos de Qµ bifurcam em µ = 3.
Quando µ = 3, o gráfico da identidade e o gráfico de Qµ2 se
tangenciam em um único ponto fixo (excluindo a origem). Para
valores maiores do que 3, o mapa Qµ2 tem dois pontos fixos
adicionais (além da origem e o ponto fixo dado por µ−1
µ ). Dessa
2
forma, dizemos que os pontos fixos de Qµ bifurcam em µ = 3.
Teorema: Para µ > 3, além do par 0 e µ−1
µ de pontos fixos, o
2
mapa Qµ tem um outro par de pontos fixos dado por
µ+1
x=
±
2µ
p
(µ + 1)(µ − 3)
.
2µ
Figura : Diagrama de bifurcação de Qµ com bifurcação em µ = 1 e
µ = 3. Os pontos representados por linhas tracejadas são instáveis e os
representados por linhas contı́nuas, estáveis.
Exemplo:
Para µ = 3, 84, o mapa logı́stico apresenta uma órbita 3-periódica.
Figura : Zoom do diagrama de bifurcação de Qµ para 3, 6 ≤ µ ≤ 4.
Exemplo:
Figura : Pontos fixos de Q4n para n = 1, ..., 4.
Figura : Diagrama de bifurcação dos pontos fixos de Qµ para µ ≥ 2, 4.
Teorema de duplicação de perı́odo
Para introduzirmos o teorema que rege esse tipo de bifurcação,
definamos
λ(µ) =
∂f
(x(µ), µ).
∂x
definamos
λ(µ) =
∂f
(x(µ), µ).
∂x
Teorema: (Bifurcação de duplicação de perı́odo) Suponha que
fµ (x) é de classe C 3 tal que:
definamos
λ(µ) =
∂f
(x(µ), µ).
∂x
i) f00 (0) = −1,
definamos
λ(µ) =
∂f
(x(µ), µ).
∂x
i) f00 (0) = −1,
ii)
dλ
dµ (0)
> 0,
definamos
λ(µ) =
∂f
(x(µ), µ).
∂x
i) f00 (0) = −1,
ii)
dλ
dµ (0)
iii) 2
∂3f
∂x 3
> 0,
2
∂ f
2
(0, 0) + 3( ∂x
2 (0, 0)) > 0.
Então, existem intervalos não vazios (µ1 , 0) e (0, µ2 ) e um > 0
tais que:
i) Se µ ∈ (µ1 , 0), então fµ tem um ponto fixo repulsivo e uma
órbita atrativa de perı́odo 2 em (−, ) ;
Então, existem intervalos não vazios (µ1 , 0) e (0, µ2 ) e um > 0
tais que:
i) Se µ ∈ (µ1 , 0), então fµ tem um ponto fixo repulsivo e uma
órbita atrativa de perı́odo 2 em (−, ) ;
ii) Se µ ∈ (0, µ2 ), então fµ2 tem um único ponto fixo em (−, )
que ponto fixo atrator de fµ .
Constante de Feigenbaum
Definição: A primeira constante de Feigenbaum (δ) de um
determinado mapa é o limite da razão dos comprimentos de
intervalos definidos pelos pontos λi , (i = 1, 2, 3, 4, . . .) onde
ocorrem as bifurcações de duplicação de perı́odo.
Constante de Feigenbaum
Definição: A primeira constante de Feigenbaum (δ) de um
determinado mapa é o limite da razão dos comprimentos de
intervalos definidos pelos pontos λi , (i = 1, 2, 3, 4, . . .) onde
ocorrem as bifurcações de duplicação de perı́odo.
δ = lim
i→∞
λi−1 − λi−2
,
λi − λi−1
onde δ vale, aproximadamente, 4, 669202.
Figura : Representação da constante de Feigenbaum.
O caos unidimensional
Condições para existência de caos
Dependência sensı́vel
Definição: f : [0, 1] → [0, 1] apresenta dependência sensı́vel em x
se a seguinte condição é verdadeira para algum δ > 0 : para cada
intervalo J aberto em [0, 1] contendo x, existe um y ∈ J e um
n ∈ N tal que
|f n (x) − f n (y )| ≥ δ.
Dependência sensı́vel
Definição: f : [0, 1] → [0, 1] apresenta dependência sensı́vel em x
se a seguinte condição é verdadeira para algum δ > 0 : para cada
intervalo J aberto em [0, 1] contendo x, existe um y ∈ J e um
n ∈ N tal que
|f n (x) − f n (y )| ≥ δ.
Se tomarmos x0 e y0 em J, a figura a seguir sugere que, após n
iterações, as iteradas se encontram separadas por pelo menos uma
distância δ.
Figura : Gráficos das iterações de x0 e y0 .
Conjunto denso de pontos periódicos
Definição: Seja D ⊆ [0, 1]. D é dito denso em [0, 1] se para cada
intervalo I ⊆ [0, 1], existir um ponto de D que pertence a I .
O que caracteriza a segunda condição para a existência de caos em
um mapa é que o conjunto de pontos periódicos do mapa f deve
ser denso em [0, 1].
Transitividade
Definição: f : [0, 1] → [0, 1] é dito transitivo se, para todo par de
subintervalos I e J de [0, 1], existir um n ∈ N tal que
f n (I ) ∩ J 6= ∅.
Transitividade
Definição: f : [0, 1] → [0, 1] é dito transitivo se, para todo par de
subintervalos I e J de [0, 1], existir um n ∈ N tal que
f n (I ) ∩ J 6= ∅.
Vamos ver as ideias envolvidas com este conceito na figura a
seguir. Sejam I = [0, 1; 0, 1005], J um subintervalo qualquer de
[0, 1] e f uma função qualquer. Para que possamos perceber que
alguma iterada de I intersecta J, plotamos o gráfico da órbita dos
pontos extremos de I sob f .
Figura : Iteradas do intervalo I = [0, 1; 0, 1005].
Figura : Iteradas do intervalo I = [0, 1; 0, 1005].
Assim, dados os intervalos I e J, percebemos que existe um n ∈ N
tal que f n (I ) ∩ J 6= ∅. Nesse exemplo, n = 8.
Iteradas sinuosas
Corcovas de mapas
Para que possamos introduzir o conceito de iteradas sinuosas,
precisaremos definir mapas de uma corcova e mapas de m
corcovas.
Iteradas sinuosas
Corcovas de mapas
Para que possamos introduzir o conceito de iteradas sinuosas,
precisaremos definir mapas de uma corcova e mapas de m
corcovas.
Definição: f é um mapa de uma corcova em [0, 1] se for contı́nuo
e estritamente crescente de f (0) = 0 a f (b) = 1 e estritamente
decrescente de f (b) = 1 a f (1) = 0, onde b ∈ [0, 1].
Definição: f é um mapa de m corcovas em [0, 1] se existirem
m + 1 pontos
0 = x0 < x1 < . . . < xm = 1,
tais que f n é um mapa de uma corcova em cada intervalo
[xi−1 , xi ]. Cada um desses intervalos é chamado de base da i-ésima
corcova de f n .
Iteradas sinuosas
Definição
Definição: f apresenta iteradas sinuosas se:
i) f n é um mapa de 2n−1 corcovas, para cada n ≥ 1;
Iteradas sinuosas
Definição
ii) O comprimento da maior base das corcovas de f n tende a 0
quando n tende para ∞.
Iteradas sinuosas
Definição
ii) O comprimento da maior base das corcovas de f n tende a 0
Exemplo:
Figura : Gráficos de T4 , T42 , T43 e T44 .
Iteradas sinuosas
Teorema: iteradas sinuosas =⇒ caos
Iteradas sinuosas
Lema: Se f : [0, 1] → [0, 1] tem iteradas sinuosas, então f tem
dependência sensı́vel com constante de sensibilidade 12 .
Iteradas sinuosas
Lema: Se f : [0, 1] → [0, 1] tem iteradas sinuosas, então o
conjunto de todos os pontos periódicos de f é denso em [0, 1].
Iteradas sinuosas
Lema: Se f : [0, 1] → [0, 1] tem iteradas sinuosas, então f é
transitiva.
Iteradas sinuosas
Lema: Se f : [0, 1] → [0, 1] tem iteradas sinuosas, então f é
transitiva.
Teorema: Se f : [0, 1] → [0, 1] tem iteradas sinuosas, então f é
caótico em [0, 1].
Derivada Schwarziana
Corcovas deformadas (“woggles”)
Vamos partir de um exemplo para introduzir o conceito de corcova
deformada.
deformada.
Exemplo
Seja
g (x) =
4x(1 − x)
.
1 + 1000x 2 (x − 0, 5)2 (x − 1)2
deformada.
Exemplo
Seja
g (x) =
4x(1 − x)
.
1 + 1000x 2 (x − 0, 5)2 (x − 1)2
Nos próximos slides, mostraremos o gráfico de g bem como os
gráficos das quatro próximas iteradas de g .
Figura : Gráfico de g (x).
Figura : Duas primeiras iteradas da função g .
Figura : Terceira e quarta iteradas da função g .
Se um mapa apresenta uma corcova deformada, então o mesmo
não tem iteradas sinuosas. Podemos introduzir o seguinte teorema
a fim de definir a Derivada Schwarziana de um mapa:
Se um mapa apresenta uma corcova deformada, então o mesmo
não tem iteradas sinuosas. Podemos introduzir o seguinte teorema
a fim de definir a Derivada Schwarziana de um mapa:
Teorema: Seja f : [0, 1] → [0, 1] um mapa simétrico de uma
corcunda e três vezes diferenciável. Então f não poderá ter uma
corcova deformada em um intervalo I se
f 0 (x)f 000 (x) − c(f 00 (x))2 < 0
em todos os pontos x ∈ I tais quais f 0 (x) 6= 0.
Definição
Definição: Seja f : I → I três vezes diferenciável. A derivada
Schwarziana de f é definida por
Sf (x) = 2f 0 (x)f 000 (x) − 3(f 00 (x))2 ,
para todo x ∈ I tal que f 0 (x) 6= 0.
Exemplo:
Para o mapa Q4 (x) temos que:
Exemplo:
Q40 (x) = 4 − 8x;
Q400 (x) = −8;
Q4000 (x) = 0.
Exemplo:
Q40 (x) = 4 − 8x;
Q400 (x) = −8;
Q4000 (x) = 0.
Então, SQ (x) = 2(4 − 8x).0 − 3(−8)2 = −192, ∀x ∈ I tal que
f 0 (x) 6= 0.
Lema: Se f possuir uma corcova deformada, existe um intervalo
aberto I contido na base da corcova em questão tal que:
i) f 0 > 0 em I ou f 0 < 0 em I , e
i) f 0 > 0 em I ou f 0 < 0 em I , e
ii) Existe um ponto a ∈ I tal que f 0 (a)f 000 (a) ≥ 0 e f 00 (a) = 0.
i) f 0 > 0 em I ou f 0 < 0 em I , e
ii) Existe um ponto a ∈ I tal que f 0 (a)f 000 (a) ≥ 0 e f 00 (a) = 0.
Teorema: Seja f um mapa simétrico de uma corcova. Se f não
tem iteradas sinuosas, então f 0 (0) ≤ 1 ou algum f n tem uma
corcova deformada.
Teorema: Seja f um mapa simétrico de uma corcova. Se
f 0 (0) > 1 e f tem derivada Schwarziana negativa (exceto no ponto
x = 12 ), então f tem comportamento caótico.
Prova: Seja f um mapa simétrico e de uma corcova. Suponha que
f 0 (0) > 1 e que f tem derivada Schwarziana negativa. A contra
positiva do teorema anterior afirma o seguinte:
Prova: Seja f um mapa simétrico e de uma corcova. Suponha que
f 0 (0) > 1 e que f tem derivada Schwarziana negativa. A contra
positiva do teorema anterior afirma o seguinte:
“Se f 0 (0) > 1 e todas as iteradas de f (f n ) não apresentam corcovas
deformadas, então f tem iteradas sinuosas”.
Contudo, pelo lema anterior, podemos afirmar que f n não
apresenta corcovas deformadas. De fato, por hipótese f é um mapa
de uma corcova simétrico com derivada Schwarziana negativa.
Unindo este fato à contra positiva acima explicitada, temos que f
tem iteradas sinuosas. Como vimos, se f tem iteradas sinuosas, f
tem comportamento caótico, como querı́amos demonstrar.
Conjugação topológica
Definição
Definição: Seja f : I → J. Diremos que f é um homeomorfismo
se f é contı́nua e se f −1 : J → I também é.
Definição
Definição: Um mapa f : I → I é topologicamente conjugado a um
mapa g : J → J se existir um homeomorfismo h : I → J tal que
h ◦ f = g ◦ h.
Definição
Definição: Um mapa f : I → I é topologicamente conjugado a um
mapa g : J → J se existir um homeomorfismo h : I → J tal que
h ◦ f = g ◦ h.
Teorema: Suponha que f : [0, 1] → [0, 1] e g : [0, 1] → [0, 1] são
conjugadas topologicamente via h. Se f é caótico em [0, 1], g
também será.
Exemplos de mapas caóticos
Mapa logı́stico
Mostraremos agora que, o mapa logı́stico apresenta caos para
µ = 4. Veremos isso de duas maneiras distintas. A primeira delas
será a prova de que Q4 apresenta iteradas sinuosas. A segunda irá
se basear no cálculo da derivada Schwarziana de Q4 .
Mapa logı́stico
i) Q4 tem iteradas sinuosas:
Mapa logı́stico
i) Q4 tem iteradas sinuosas:
Lema: Se f é um mapa de uma corcova em [0, 1], então f n é
um mapa de 2n−1 corcovas em [0, 1].
Sabemos que Q4 é um mapa de uma corcova em [0, 1]. Logo, Q4n é
um mapa de 2n−1 corcovas no mesmo intervalo. Resta mostrar que
o comprimento da maior base das corcovas de f n tende para 0
Sabemos que Q4 é um mapa de uma corcova em [0, 1]. Logo, Q4n é
um mapa de 2n−1 corcovas no mesmo intervalo. Resta mostrar que
o comprimento da maior base das corcovas de f n tende para 0
Com algumas contas, obtemos que as raı́zes de f n são os números
zk = sen2 (
kπ
),
2n
k ∈ {0, 1, . . . , 2n−1 }.
Então, sendo [zk−1 , zk ] o intervalo base da k-ésima corcova de f n ,
escrevemos
escrevemos
[zk−1 , zk ] = [sen2
(k − 1)π
kπ
, sen2 ( n )].
n
2
2
escrevemos
[zk−1 , zk ] = [sen2
(k − 1)π
kπ
, sen2 ( n )].
n
2
2
Com alguns cálculos, temos que zk − zk−1 → 0, se n → ∞,
mostrando que Q4 tem iteradas sinuosas.
ii) Teste da Derivada Schwarziana
Como já calculado,
Q40 (x) = 4 − 8x;
Q400 (x) = −8;
Q4000 (x) = 0.
Q40 (x) = 4 − 8x;
Q400 (x) = −8;
Q4000 (x) = 0.
Então, SQ (x) = 2(4 − 8x).0 − 3(−8)2 = −192, ∀x ∈ I tal
que f 0 (x) 6= 0.
Q40 (x) = 4 − 8x;
Q400 (x) = −8;
Q4000 (x) = 0.
Então, SQ (x) = 2(4 − 8x).0 − 3(−8)2 = −192, ∀x ∈ I tal
que f 0 (x) 6= 0.
Por outro lado, Q40 (0) = 4 > 1. Logo, Q4 é um mapa
caótico.
Mapa da tenda
Para mostrar que o mapa da tenda é caótico para µ = 4, iremos
levar em consideração que Q4 é caótico e exibiremos uma função f
para a qual tem-se que f ◦ T4 = Q4 ◦ f , ou seja, provaremos que
T4 e Q4 são topologicamente conjugados. Note que podemos
redefinir o mapa da tenda (no intervalo [0, 1]) por
2x
se 0 ≤ x ≤ 21 ,
T (x) =
−2x + 2 se 21 ≤ x ≤ 1.
Defina f (x) = 21 (1 − cos(2πx)).
Mostraremos que f (T4 (x)) = Q4 (f (x)). De fato,
1
f (T4 (x)) = (1 − cos(4πx))
2
= 1 − cos2 (2πx)
1 1
1 1
= 4( − cos(2πx))( + cos(2πx))
2 2
2 2
= Q4 (f (x))
Teorema de Sarkovksy
O teorema
O teorema
Teorema: (Sarkovsky) Se um mapa f apresenta órbitas periódicas
de perı́odo três, esse mapa apresentará órbitas periódicas de todos
os perı́odos.
Referências Bibliográficas
i) Sternberg S., Dynamical Systems. Dover Publications, Inc;
ii) Banks J., Dragan V. e Jones A.; Chaos: A Mathematical
Introduction. Cambridge Univestity Press, 2003;
iii) Barbosa, J.R.R., Recorrências ou Equações a Diferenças
Finitas. 2012.
Finitas. 2012.
Finitas. 2012.
Lemas Introdutórios
Lema A: Seja I = [a, b] um intervalo compacto e suponha que
I ⊂ f (I ). Então, f tem um ponto fixo em I .
Lema A: Seja I = [a, b] um intervalo compacto e suponha que
I ⊂ f (I ). Então, f tem um ponto fixo em I .
Lema B : Se J e K = [a, b] são intervalos compactos com
K ⊂ f (J), então existe um subintervalo compacto L ⊂ J tal que
f (L) = K .
Demonstração
Demonstração
Prova: Suponha que f tenha órbita periódica de perı́odo 3,
a 7→ b 7→ c 7→ a 7→ . . .
com a < b < c.
Demonstração
Demonstração
Prova: Suponha que f tenha órbita periódica de perı́odo 3,
a 7→ b 7→ c 7→ a 7→ . . .
com a < b < c.
Sejam I0 = [a, b] e I1 = [b, c]. Então, como f (a) = b e f (b) = c,
temos que
f (I0 ) ⊃ I1 ,
f (I1 ) ⊃ I0 ∪ I1 .
Demonstração
Como f (I1 ) ⊃ I1 , pelo lema B, existe um intervalo compacto
A1 ⊂ I1 com f (A1 ) = I1 . Novamente pelo lema B, como
f (A1 ) = I1 ⊃ A1 , existe um subintervalo compacto A2 ⊂ A1 com
f (A2 ) = A1 .
Demonstração
Como f (I1 ) ⊃ I1 , pelo lema B, existe um intervalo compacto
A1 ⊂ I1 com f (A1 ) = I1 . Novamente pelo lema B, como
f (A1 ) = I1 ⊃ A1 , existe um subintervalo compacto A2 ⊂ A1 com
f (A2 ) = A1 .
Então, A2 ⊂ A1 ⊂ I , ou seja, f 2 (A2 ) = I1 .
Demonstração
Intuitivamente, temos que
An−2 ⊂ An−3 ⊂ . . . ⊂ A2 ⊂ A1 ⊂ I1 ,
com
f n−2 (An−2 ) = I1 .
Demonstração
Intuitivamente, temos que
An−2 ⊂ An−3 ⊂ . . . ⊂ A2 ⊂ A1 ⊂ I1 ,
com
f n−2 (An−2 ) = I1 .
Como f (I0 ) ⊃ I1 ⊃ An−2 , temos que existe um intervalo An−1 ⊂ I0
com f (An−1 ) = An−2 . Finalmente, como f (I1 ) ⊃ I0 , obtemos que
existe An ⊂ I1 com f (An ) = An−1 . Com isso temos que
An 7→ An−1 7→ . . . 7→ A1 7→ I1 .
Demonstração
Pelo Lema A, f n possui um ponto fixo, x, em An .
Demonstração
Pelo Lema A, f n possui um ponto fixo, x, em An . De fato,
An ⊂ I1 = f n−2 (An−2 )
= f n−2 (f (An−1 ))
= f n−1 (An−1 )
= f n−1 (f (An ))
= f n (An ).
Porém, f (x) está em I0 e todas as iteradas até n estão em I1 .
Então, o perı́odo não pode ser menor do que n.
Demonstração
Com efeito, por um lado f (x) ∈ I0 visto que x ∈ An e
f (An ) = An−1 ⊂ I0 . Por outro lado, se f i (x) = x ∈ A ⊂ I1 para
algum ı́ndice 1 < i < n, então f i+1 (x) = f (x) ∈ I0 .
Demonstração
Com efeito, por um lado f (x) ∈ I0 visto que x ∈ An e
f (An ) = An−1 ⊂ I0 . Por outro lado, se f i (x) = x ∈ A ⊂ I1 para
algum ı́ndice 1 < i < n, então f i+1 (x) = f (x) ∈ I0 .
Isso é um absurdo, visto que f 2 (x), . . . , f n (x) ∈ I1 . Logo, o
perı́odo de f não pode ser menor do que n. Sendo assim, existe
um ponto periódico de qualquer perı́odo n ≥ 3. Como f (I1 ) ⊃ I1 ,
existe um ponto fixo em I1 e levando em consideração que
f (I0 ) ⊃ I1 e f (I1 ) ⊃ I0 , então existe um ponto fixo de perı́odo 2 em
I0 que não é ponto fixo de f . Logo, se f tem órbitas periódicas de
perı́odo 3, f apresentará órbitas periódicas de todos os perı́odos.

Caos e Dinâmica Unidimensionais - PET Matemática

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