os conceitos primitivos de geometria plana e o

OS CONCEITOS PRIMITIVOS DE GEOMETRIA PLANA E O
PERPENDICULARISMO PRESENTE NAS LINHAS QUE DEMARCAM
UM CAMPO DE FUTEBOL
Daiane Ferreira da SILVA1
Enoque da Silva REIS2
RESUMO: O presente trabalho tem como objetivo analisar alguns conceitos da Geometria Plana
presentes nas linhas que demarcam um campo de futebol. Tal objetivo nos leva ao seguinte
questionamento: Como podemos utilizar o campo de futebol no ensino de Geometria Plana? Responder
tal questionamento, pode gerar uma forma diferenciada de ensino de alguns elementos da Geometria
Plana. A fonte primária foi o desenho oficial do campo de futebol. Como referencial teórico utilizamos os
conceitos primitivos da Geometria Plana, que são: o ponto, a reta e o plano. Assim como, o conceito e
definição de perpendicularismo. Tais elementos foram pesquisados em livros, periódicos, artigos
científicos e internet. Para esta pesquisa, a metodologia utilizada foi a pesquisa bibliográfica. Os
resultados obtidos foram satisfatórios, pois logo é possível perceber, que se atentarmos para o ensino da
disciplina de Matemática, em particular, o ensino da Geometria Plana têm-se um atrativo diferencial com
a explanação do campo de futebol, pois destacamos a presença de elementos da Geometria como: ponto,
segmento de reta e segmentos perpendiculares.
Palavras-chave: Ensino de Matemática. Geometria Plana. Campo de Futebol.
PRIMEIRAS PALAVRAS
Este trabalho se propõe por meio de uma pesquisa bibliográfica, analisar alguns conceitos
da Geometria Plana presentes nas linhas que demarcam um campo de futebol. Tais conceitos
foram inicialmente estudados, analisados e descritos nesse trabalho, para que em seguida fossem
aplicados, tendo como fonte as linhas do campo de futebol, a fim de observar fatores que possam
1
Graduada em Licenciatura em Matemática pela Fundação Universidade Federal de Rondônia
(UNIR/ campus Ji-Paraná) [email protected]
2
Prof. Me. do Departamento de Matemática e Estatística na Fundação Universidade Federal de
Rondônia (UNIR/ campus Ji-Paraná) [email protected]
contribuir com o processo de ensino e aprendizagem dessa parte da Matemática que é a
Geometria Plana.
Primeiramente, fazemos uma breve abordagem a respeito de como surgiu o futebol.
Logo, trouxemos uma introdução da Geometria Plana, com autores e pesquisadores na linha da
Didática da Matemática que falam sobre este conteúdo em especial. Ainda foram elencadas
algumas definições e conceitos fundamentais da Geometria Plana, essenciais para a compreensão
do que será abordado, com relação à análise de elementos geométricos presentes em nosso objeto
de estudo que é o campo de futebol.
Em seguida, falamos sobre o método e os procedimentos utilizados na pesquisa, que tem
por objetivo específico desenvolver um estudo das linhas que demarcam um campo de futebol. O
método utilizado foi a pesquisa bibliográfica que classificamos como estudo teórico em diversas
fontes encontradas em bibliotecas físicas e virtuais.
Finalmente, apresentamos a análise do nosso objeto de estudo, em que primeiramente
temos a figura do campo com todas as suas formas e detalhes. O primeiro desses detalhes são os
pontos, o segundo os segmentos de reta e por último os segmentos perpendiculares, não
necessariamente nesta ordem. Temos ainda, a realização de alguns cálculos e características
geométricas dos segmentos de reta, e por fim, apresentamos estes juntamente com as demais
análises pertinentes.
1. UMA HISTÓRIA SUCINTA DO SURGIMENTO DO CAMPO DE FUTEBOL
O futebol se tornou o esporte que todos nós conhecemos hoje, com regras e tudo mais, na
Inglaterra. Isso é fato, ninguém discute. Mas até hoje, há dúvidas de quem deu os primeiros
passos no esporte. Por mais que seja diferente do verdadeiro futebol praticado nos dias atuais, foi
o início para desencadear o esporte mais popular do mundo. Há algumas histórias, que dizem que
o atual esporte mais praticado no mundo, teve seus primórdios ou na China Antiga, ou no Japão
Antigo, ou na Grécia e Roma, ou na Itália Medieval. No entanto, não se tem documentos oficiais
que apontam ao certo em qual desses lugares iniciou o esporte. Após este breve relato passamos
então ao contexto matemático, em particular, a Geometria.
2. GEOMETRIA
A Geometria quando bem articulada pode possibilitar ao aluno uma integração com sua
realidade, pois oferece oportunidades de relacionar a teoria com a prática de forma
compreensível, partindo de observações para elaborações e formulações conceituais mais sólidas.
Nesta perspectiva, torna-se relevante mostrar aos estudantes a importância da Geometria para o
processo de aprendizagem da Matemática como um todo, e também ir além das explicações orais
e da memorização de regras e conceitos, uma vez que estas, não possibilitam a compreensão
adequada do conteúdo abordado. É necessário trabalhar com conceitos que estejam presentes no
cotidiano dos estudantes.
Esta perspectiva do estudo geométrico está presente em autores como Lorenzato, quando
ele se refere à geometria:
A Geometria está por toda parte..., mas é preciso conseguir enxerga - lá..., mesmo não
querendo, se lida no cotidiano com as ideias de paralelismo, perpendicularismo,
semelhança, proporcionalidade, medição (comprimento, área, volume), simetria: seja
pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão, na comunicação oral,
cotidianamente se está envolvido com a geometria (LORENZATO, 1995, p.5).
Diante da necessidade de levar o conhecimento adquirido em sala de aula e aplicá-lo ao
nosso dia a dia, temos que abusar da criatividade, inventar e falar a linguagem que o aluno
consiga entender de forma fácil, prazerosa e interessante.
Lorenzato (1995) diz que a Geometria tem função essencial na formação dos indivíduos,
pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente
de ideias e uma visão mais equilibrada da Matemática. Já Hershkowitz citado por Fainguelernt
(1999), diz que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a
Matemática como um recurso, ou seja, a Geometria é a ponte, a ligação do conteúdo teórico e o
conteúdo prático.
Pretende-se assim, com este trabalho, ilustrar uma Geometria mais aplicada, mais prática,
mostrando que se pode visualizar a Geometria Plana em parceria com um esporte que é uma
paixão nacional, o futebol. Segundo (FILLOS, 2006), a Geometria está em todos os lugares,
principalmente nos campos e nas quadras de futebol. Já Morelli citado por Corrêa (2001), fala
sobre a Geometria da bola e seu formato, formada por um icosaedro truncado. Silva (2004), fala
sobre a Geometria aplicada no campo de futebol e algumas curiosidades interessantes, como área
do campo de jogo, área do círculo central, as figuras geométricas encontradas no campo, e ainda
mostra vários esquemas de times de todo o mundo e as figuras geométricas formadas por estes
esquemas. Como se pode observar, os três autores falam dos conceitos matemáticos aplicados ao
futebol e algumas curiosidades, que muitas vezes não são notadas. Deste modo é possível tornar
o ensino da Matemática, ou seja, da Geometria mais atraente, mais útil, mais interessante e
instigante ao aluno. Aprendendo Geometria e ao mesmo tempo descobrindo os encantos de um
esporte que é a paixão da maioria dos brasileiros.
Com isso, aproveitou-se a oportunidade para abordá-los de forma diferenciada, em um
contexto que provoca muito interesse nos alunos, em outras palavras, no futebol, que é um
esporte muito praticado na escola e no cotidiano dos educandos. Assim passamos então as
noções primitivas da Geometria que nos dará suporte para as observações das linhas do campo
de futebol.
2.1. NOÇÕES PRIMITIVAS DE GEOMETRIA
Iniciamos com os três conceitos primitivos da Geometria Plana, são eles: ponto, reta e
plano. Estes três conceitos são considerados “primitivos”, pois não possuem uma definição
rigorosa, porém são de fácil compreensão, além de ser a base para o estudo da Geometria Plana.
Desse modo, aqui propõe especialmente a conhecer tais conceitos, pois serão elementos
necessários para alcançarmos o objetivo de nossa análise das linhas que demarcam um campo de
futebol.
Conforme Dolce (2005), a Geometria é construída a partir de três ideais: a de ponto, de
reta e de plano, ou seja, os conceitos primitivos, pois são adotadas sem definição, e neste caso, os
matemáticos aceitam tais conceitos sem tentar defini-las.
Figura 01: Representação de ponto.
Vide: http://www.pedagogia.com.br/artigos/geometriafutebol/index.php?pagina=2 Acesso em: 22 mai. 2015.
Observe que o ponto é representado por uma letra maiúscula latina: A, B, C, ...
Para termos a ideia de reta podemos imaginar um fio, sem começo nem fim, bem esticado. Uma
reta é um conjunto de pontos infinitos, e é sempre representada por uma letra minúscula latina: a,
b, c...
Figura 02: Representação de reta.
Vide: http://www.pedagogia.com.br/artigos/geometriafutebol/index.php?pagina=2 Acesso em: 22 mai. 2015.
Quando existe um ponto de origem, pertencente à reta, ou seja, sabe-se onde começa a
reta, mas não sabemos o fim, chamamos de semirreta.
Figura 03: Representação de semirreta.
Vide: http://www.pedagogia.com.br/artigos/geometriafutebol/index.php?pagina=2 Acesso em: 22 mai. 2015 .
Agora, se considerarmos apenas um pedaço dessa reta, com origem e fim, teremos a ideia
de segmento, ou seja, segmento de reta AB.
Figura 04: Representação de segmento de reta.
Vide: http://www.pedagogia.com.br/artigos/geometriafutebol/index.php?pagina=2 Acesso em: 22 mai. 2015.
Um outro conceito primitivo é o plano, o tampo de uma mesa é um plano, o chão da sala,
imaginando que sempre prolonga, não tem fim. Para traçar um plano são necessários pelo menos
três pontos não alinhados. Podemos concluir também que dado um plano, nele existem infinitos
pontos e infinitas retas pertencentes a este plano.
Figura 05: Representação de plano.
Fonte: http://www.pedagogia.com.br/artigos/geometriafutebol/index.php?pagina=2 Acesso em: 22 mai. 2015.
Após a explicitação dos conceitos primitivos de Geometria Plana, passamos então para
o conceito não primitivo: a Perpendicularidade.
2.2. PERPENDICULARIDADE
Conforme Dolce (2005), duas retas r e s são perpendiculares se, e somente se, são
concorrentes e formam ângulos “retos”.
Figura 06: são concorrentes.
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/perpendicularidade.htm Acesso em: 18 mai.2015.
Indicamos se são paralelas da seguinte forma:
2.2.1. Retas e planos perpendiculares
Uma reta concorrente com um plano, num determinado ponto, é perpendicular ao plano
quando é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto determinado.
Figura 07: determinado ponto.
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/perpendicularidade.htm (acesso em: 18 mai.2015).
Indicaremos que r é perpendicular a α por r
┴
α ou por α
┴
r. Se uma reta a é
perpendicular a duas retas, b e c, concorrentes de um plano α, então ela é perpendicular ao plano.
3. PROCEDIMENTOS DA PESQUISA
O presente trabalho foi realizado por meio de pesquisa bibliográfica. Tal pesquisa teve
como fontes, livros, periódicos, artigos científicos encontrados na biblioteca da Universidade
Federal de Rondônia, biblioteca Pública Municipal da cidade de Ji-Paraná/RO, em acervo
particular e também em sites.
Nosso objetivo geral, que trata, especificamente de analisar alguns conceitos da
Geometria Plana presentes nas linhas que demarcam o campo de futebol. E para alcançá-lo,
realizamos primeiramente uma pesquisa bibliográfica em livros, que nos deu base para
caracterizar os conceitos de: Ponto, Reta, Plano e Perpendicularismo.
Para dar continuidade ao trabalho que também tem por objetivo específico desenvolver
um estudo da criação do campo de futebol realizamos um segundo momento que classificamos
como um breve estudo teórico em sites, periódicos e artigos científicos. Para analisar aspectos
referentes ao futebol mais especificamente a história, começamos então, a leitura do material
para a obtenção de respostas para nosso problema, na identificação das informações e para
analisar a consistência das informações e dados apresentados pelos autores.
Após ter feito a pesquisa e estudo sobre as características de algumas figuras planas e a
criação do campo de futebol, finalizamos com nossa análise abordando se os elementos
geométricos estudados existem no campo de futebol.
4. IDENTIFICAÇÃO E ANÁLISE DO PONTO, DA RETA, DO PLANO E DO
PERPENDICULARISMO PRESENTES NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE
FUTEBOL
Como nosso referencial teórico nos fornece uma base matemática para trabalharmos
geometria plana a partir das linhas que demarcam um campo de futebol, iniciamos nossa análise
construindo a figura do campo utilizando elementos geométricos. Um deles é o ponto
(representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino), e outro os segmentos de reta.
Figura 08: O campo e suas medidas oficiais.
Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun. 2015.
4.1.PONTO E SEGMENTOS DE RETA NAS LINHAS QUE DEMARCAM O
CAMPO DE FUTEBOL
Observa-se que na figura 08 é possível destacar 25 pontos que denotamos pelas letras de
A a Z, desses pontos apenas 2 não são pertencentes a um segmento de reta, são eles X e W. Se
considerarmos que conforme a geometria euclidiana um ponto é um conceito primitivo, e ainda,
um segmento de reta é definido por infinitos pontos colineares contendo um ponto inicial assim
como um ponto final, destaca-se na respectiva figura uma gama de segmentos com tais
propriedades como pode ser visto a seguir.
Com referência aos segmentos pertencentes as linhas que demarcam o campo de futebol,
juntamente com suas medidas oficiais destacamos os seguintes elementos: quanto aos segmentos
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅ podemos observar que eles formam a lateral do campo. Considerando que as
medidas oficiais de um campo podem variar em sua lateral, indo de 90 a 120 metros, neste
trabalho utilizaremos como referência para os cálculos sempre o número maior. Logo, ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
. Já os segmentos ̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ formam as linhas de fundo ambos com medidas JA = HC = 90
metros. Observe que os segmentos supracitados, são todos referentes as linhas limitadoras do
campo. No entanto, temos os segmentos internos, são eles: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
.
.
̅̅̅̅̅
̅̅̅
Os
segmentos ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Temos ainda como segmentos internos,̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅
Sendo assim é possível perceber que as linhas que demarcam o campo, podem ser
divididas
em
51
segmentos
distintos,
são
eles: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅ . Apesar de termos 51 segmentos, pode-se
observar que em questão de medidas aparecem somente 14 medidas distintas.
Figura 09: Exemplo de Segmentos de reta nas linhas que demarcam o campo de futebol
Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun. 2015.
Grifo nosso.
4.2. PERPENDICULARISMO NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE
FUTEBOL
No que tange a perpendicularidade, em sua definição temos: duas retas são
perpendiculares se, e somente, se são concorrentes e formam ângulo reto, assim, analisando tal
definição podemos dizer que dois segmentos de reta são considerados perpendiculares se, e
somente se, estão contidos em retas perpendiculares, tendo um ponto em comum e formando
ângulo reto (DOLCE, 2005). A partir dessa definição podemos observar e elencar os seguintes
segmentos de reta perpendiculares contidos nas linhas que demarcam um campo de futebol.
São eles:
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
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̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
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̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
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̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
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̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
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̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
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̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Figura 10: Exemplo de Segmentos de reta perpendiculares nas linhas que demarcam o campo de futebol.
Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun. 2015.
Grifo nosso.
Como por definição temos que, se
então,
, dessa forma, destacamos a
utilização dessa propriedade para não sermos redundantes na escrita, sendo assim, se
inicialmente explicitamos que ̅̅̅̅
̅̅̅ posteriormente se encontrarmos ̅̅̅
̅̅̅̅ não
escrevemos novamente.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Haja vista, a existência milenar de tal esporte, o futebol, que é praticado em um campo
delimitado por diversos segmentos de reta, elemento esse definido pela Geometria Plana, em
nossa análise, destacamos após uma infindável busca e estudo dessa parte da matemática, a
presença significativa de pontos, segmentos de reta e segmentos perpendiculares, ambos visíveis
nas linhas que demarcam um campo de futebol.
A presença desses fundamentos da Geometria nas linhas que demarcam o campo de
futebol, torna-se um elemento em que o professor de matemática possa utilizar para exemplificar
a existência, aplicação e a importância desses conceitos geométricos, uma vez que, estão
presentes em um dos ícones esportivos do Brasil, por que não dizer nas linhas que demarcam o
campo de futebol, que é esporte mais praticado entre os brasileiros e conhecido mundialmente.
Em outras palavras, esporte que certamente encontra-se presente da vida do educando.
Destaco que gostaríamos de aprofundar cada vez mais nesta temática e por falta de
tempo não foi possível tal ação, deixo ao caro leitor dois pontos que dariam continuidade a nossa
pesquisa, o primeiro trata exclusivamente das táticas e jogadas presentes nesse esporte que em
seu campo nos mostram diversos elementos de reta para serem estudados; e o segundo, a
construção de um material didático físico composto por segmentos, pontos, circunferência, arco
e corda em formato de quebra-cabeça para que o aluno monte, e no final tenha o desenho de um
campo de futebol.
Em suma, em nossa pesquisa observamos que se trabalhado a Geometria Plana de forma
consciente e com material apropriado, tendo como base o campo de futebol, o professor
certamente proporcionará a seus alunos uma aula diferenciada e significativa.
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