3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 3.1. O que

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AGOSTO - 2005
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3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
3.1. O que são grandezas inversamente proporcionais?
Você, certamente, já ouviu (ou já usou) frases do tipo:
− Quanto mais depressa o ônibus viajar, menos tempo se gasta na viagem.
− Quanto menor a distância da minha mão a uma lâmpada no teto, maior a sombra projetada
no chão (verifique!).
Este tipo de relacionamento, em que quanto maior o valor de uma variável, menor o
valor da outra, ocorre em muitos fenômenos físicos. Estamos particularmente interessados
em analisar, neste texto, uma situação que pode ser caracterizada da seguinte maneira:
QUANDO O VALOR DE UMA GRANDEZA AUMENTA, A OUTRA
DIMINUI, NA MESMA PROPORÇÃO.
Vamos a um exemplo concreto. Suponha que se vá pressionando gradativamente o ar
contido numa seringa e que não haja vazamento deste ar. Dá pra perceber de início que,
quanto maior a pressão que exercemos, menor o volume do ar. Vamos verificar se a relação
existente entre a pressão e o volume é do tipo que estamos analisando.
Efetuando medidas destas grandezas, utilizando as unidades:
− para a pressão (p): atmosfera (atm)
− para o volume (V): centímetro cúbico (cm3),
eu obtive os seguintes pares de valores:
p (atm) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
V (cm3) 12,0 6,0 4,0 3,0 2,4
Observe que:
− quando p = 1,0 atm, o volume vale 12,0 cm3;
− quando p = 2,0 atm, (ou seja, torna-se 2 vezes maior), o volume fica reduzido à
metade (V = 12,0/2 = 6,0 cm3);
− quando p = 3,0 atm, (ou seja, torna-se 3 vezes maior), o volume fica reduzido à terça
parte (V = 12,0/3 = 4,0 cm3)
e assim por diante.
Num esquema, teríamos:
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Esta é a característica de uma proporção inversa. Dizemos, neste caso, que:
O VOLUME DO AR É INVERSAMENTE PROPORCIONAL À PRESSÃO QUE
ELE SUPORTA
Exercício 1
Analisando os valores da tabela a seguir, verifique se as grandezas X e Y são inversamente proporcionais.
X
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
Y
90,0
45,0
30,0
22,5
18,0
Exercício 2
Analisando os valores da tabela a seguir, verifique se as grandezas A e B são inversamente proporcionais.
A
5,0
10,0
15,0
20,0
B
60
50
40
30
Exercício 3
Complete a tabela a seguir, admitindo que Z seja inversamente proporcional a W.
W
10
Z
30
20
30
40
50
3.2. Como se expressa matematicamente uma proporção inversa?
Utilizando o já conhecido símbolo de proporcionalidade (α), podemos escrever, para
uma proporção inversa entre duas grandezas Y e X, que:
Observe que, como X está no denominador, quando seu
valor aumenta, o de Y diminui, na mesma proporção.
Introduzindo uma constante (a) de proporcionalidade, teremos então:
onde a constante de proporcionalidade (a) pode ser obtida
pelo produto (a = X . Y) de dois valores correspondentes
das grandezas envolvidas.
Explicando melhor: repetimos ao lado a
tabela do exemplo pressão versus volume de ar
na seringa, da página anterior.
p (atm) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
V (cm3) 12,0 6,0 4,0 3,0 2,4
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Observe que, como o volume diminui na mesma proporção em que a pressão aumenta,
o produto pV permanece constante (no caso, pV = 12,0, qualquer que seja o par de valores
que você escolher. Verifique!). Portanto, a = 12,0 e podemos escrever que
.
Exercício 4
Utilize a expressão acima, que relaciona a pressão e o volume do ar, e determine o volume quando a pressão
for de 10 atm.
Exercício 5
Considerando os dados da tabela do exercício 1, podemos escrever que:
A) Y = 180 X
B) Y = 45 X
C)
D)
E)
3.3. A representação gráfica
O gráfico I abaixo foi construído a partir dos valores da tabela p x V que estamos
usando como exemplo. É uma curva denominada hipérbole. Você a obterá sempre que
representar graficamente uma proporção inversa.
figura I
figura II
Exercício 6
No par de eixos da figura II acima, construa o gráfico correspondente aos valores do exercício 1, aqui repetidos.
X
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
Y
90,0
45,0
30,0
22,5
18,0
3.4. Uma confusão muito comum. Não caia nela!!
É muito comum se confundir a proporção inversa com a variação linear decrescente.
Através de exemplos que possuem os mesmos valores iniciais e finais, colocamos, lado a
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lado, cada uma delas. Analise com cuidado as diferenças entre elas!
A variação linear decrescente
A proporção inversa
X
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
X
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
Y
60
30
20
15
12
Y
60
48
36
24
12
Respostas
1. Sim, são.
2. Não são.
3.
W
10
Z
30
6.
20
30
40
50
15
10
7,5
6,0
4. V = 1,2 cm3.
5. D
Luiz Alberto Guimarães