Capítulo 01 Medidas, Gráficos e Escalas

Capítulo 01
Medidas,
Gráficos e Escalas
1.1
- MEDIDAS
1..1 - GRANDEZAS FISICAS
A Física tem a natureza por seu objeto de estudo. Esta Natureza, por sua vez, não é estática, onde
apenas uma análise descritiva seria suficiente. Ela é dinâmica no sentido em que as "coisas" acontecem e
se transformam no espaço e no tempo.
Chamamos de FENÔMENO aos acontecimentos, aos eventos ou transformações ocorridas na
Natureza, tendo como cenário o espaço e o tempo. Um fenômeno físico é uma ocorrência que não altera a
natureza dos corpos. Um fenômeno químico altera a natureza dos corpos.
EXEMPLO 1
Seja uma folha de papel
Ao analisarmos um fenômeno físico
acontecendo na Natureza, isolamos para
análise uma parte do Universo, e observamos o
que está ocorrendo com as suas propriedades.
Chamemos esta parte isolada de sistema.
Todas as outras partes do Universo que
interagem com o sistema durante o fenômeno
físico serão chamadas de vizinhança.
EXEMPLO 2
Seja o fenômeno físico aquecimento de um gás
num recipiente fechado, dotado de um pistão.
Pistão
Folha
Cortada
Folha
Queimada
FENÔMENO
FÍSICO
FENÔMENO
QUÍMICO
O papel continua
sendo papel; a
natureza não muda!!!
O papel deixa de ser papel; a
natureza muda
Gás
FENÔMENO FÍSICO : Aquecimento de um gás
SISTEMA = Gás (composto de muitas
moléculas)
VIZINHANÇA = pistão e calor
Este sistema possui muitas propriedades:- Volume (tamanho), Temperatura (quente ou frio),
Pressão(dificuldade de empurrar o pistão), Cor, Cheiro, Sabor, etc.
Algumas destas propriedades podem ser medidas. Quando isto acontece damos a elas o nome de
grandezas. Logo, as GRANDEZAS são propriedades quantitativas (que se pode medir) de um sistema.
Quando um determinado fenômeno ocorre com um sistema, algumas de suas grandezas
características se alteram de valor, e às vezes, podem estar relacionadas entre si durante o evento.
No exemplo acima podemos destacar e analisar as grandezas: Volume V (medido com uma régua),
Pressão P (medida com um manômetro) e a Temperatura T (medida com um termômetro).
Durante o fenômeno físico o sistema interage com a vizinhança e muda o seu ESTADO FÍSICO
(isto é, sua configuração, sua imagem, sua face, sua aparência), pois as grandezas mudam de valor.
Portanto, os valores das grandezas caracterizam ou definem o estado do sistema.
Na geometria analítica representamos os pontos do espaço por meio de uma tripla de números (suas
coordenadas). Podemos, por analogia, representar os estados físicos de um sistema por meio dos valores
Bertolo
2
Física I
de algumas grandezas características. Assim, no nosso exemplo de aquecimento de um gás, o estado do
gás pode ser representado por uma tripla de valores (V, p, T)
T
ESTADO
(P,V,T)
P
V
Chama-se processo ou transformação à sucessão de estados pelos quais o gás passa durante o
evento.
B
A
Dessa maneira criamos um modelo geométrico1 para interpretar um fenômeno. Percebam como
estamos introduzindo a linguagem matemática na descrição de um fenômeno físico.
No exemplo do aquecimento do gás, as grandezas V, p, T estão relacionadas entre si durante o
evento, por meio de uma equação (modelo matemático) chamada equação de estado do gás.
f(V, p, T) = 0
Para um gás especial chamado gás ideal, esta equação é a já famosa equação de Clapeyron:
p. V = n. R.T
onde R é a constante universal dos gases ideais, e n o número de mols do gás.
A relação entre as grandezas, obtidas mediante a observação, experimentação e raciocínios, constitui
uma LEI FÍSICA, cuja representação matemática (algébrica) é no caso chamada equação de estado.
É óbvio, portanto, ao estabelecermos uma lei física, fruto da observação das grandezas físicas, estas
últimas aparecerem, e daí dizermos que são os conceitos fundamentais da física, e devem ser definidas
com clareza e precisão:
DEFINIÇÃO OPERACIONAL DE GRANDEZA FÍSICA
"Um conjunto de operações (matemáticas ou de laboratório) que conduz a um número com uma unidade
de medida"
Este ponto de vista amplamente aceito estabelece que é indispensável ao se definir uma grandeza
física os processos para medi-la. Nesses processos são envolvidas duas fases:
a. A primeira consiste em escolher uma unidade "padrão".
b. A segunda consiste em estabelecer os processos para comparar o padrão com a grandeza a ser medida.
1
Este processo se chama MODELAGEM que são analogias muito comumente feitas pelos Físicos para entender e explicar
melhor um determinado fenômeno. Neste caso o modelo é matemático. Outras vezes o modelo pode ser feito comparando um
fenômeno com outro. Por exemplo, comparar o olho humano com uma câmara de vídeo
Bertolo
3
Física I
EXEMPLO 3
Medida do volume de água contida num jarro.
Após a medição efetuada, podemos escrever:
V = 3,5 . volume de um copo
OBSERVAÇÃO:- Se a unidade utilizada
fosse uma xícara, o valor numérico da
medida do volume (valor da grandeza)
mudaria.
A partir deste exemplo, podemos escrever:
Medida = número x unidade
Em Física, o valor de uma grandeza só tem sentido quando acompanhado pela unidade
"NUNCA ESCREVA A MEDIDA DE UMA GRANDEZA SEM UNIDADE"
Um padrão ideal tem 2 características principais: deve ser acessível e invariável. Estas duas
exigências são muitas vezes incompatíveis e deve-se encontrar um meio termo entre elas.
A fase b implica na necessidade de instrumentos quando vamos fazer a comparação entre a grandeza
e o padrão para associar valores numéricos a elas.
LEITURA SUPLEMENTAR (OPCIONAL)
Os Físicos estão preocupados com DOIS UNIVERSOS:
a. UNIVERSO REAL (EXTERNO) - É aquele
que os Físicos acreditam que tenha uma
realidade objetiva, independente da
presença do homem.
b. UNIVERSO VIRTUAL (INTERNO) - É a imagem do
real, da qual o Físico espera ser um modelo
razoável do universo externo. É como o homem vê a
realidade. Este Universo implica na existência do
homem. Será que os outros animais vêem da mesma
forma o universo real?
O Universo Real (externo) se manifesta ao homem por intermédio de "impressões
sensoriais" acumuladas desde o nascimento (e, realmente mesmo antes) quando o cérebro é
bombardeado com dados resultantes da estimulação dos órgãos sensoriais por este mundo externo
(real).
Os computadores digitais são uma imitação deste processo, onde os dados são impressos
através de mecanismos liga - desliga chave de circuitos na sua memória.
Como os dados ficam armazenados no cérebro?
Primeiro, os dados provenientes dos estímulos dos órgãos sensoriais representam uma
confusão irremediável, mas gradativamente o cérebro CORRELACIONA vários dados e começa a
organizar os "modelos básicos de correlação". Lentamente uma estrutura de correlação se
desenvolve.
EXEMPLO
Um homem coloca uma "venda" nos olhos. Para ele um objeto que com base nos dados
provenientes do sentido do tato é REDONDO e LISO é associado com o "modelo", obtido com o
sentido visual, de uma bola.
A repetição de tais modelos de correlação nos dados sensoriais, gradualmente vem a ser
interpretada como prova de um verdadeiro universo externo real. Quando a adolescência é
atingida, a imagem do universo externo(real) tomou uma tal forma "aparentemente" real e
permanente que é difícil acreditar que é de fato apenas uma imagem.
Bertolo
4
Física I
Esta imagem (interna) ou MODELO do universo real pode, é claro, estar tão mais
condicionada pela natureza da mente humana do que pela natureza do mundo exterior(real). É
claramente afetada pelas limitações dos nossos órgãos sensoriais, e pode também ser afetada
pela forma do cérebro, com o seu mecanismo interruptor liga - desliga.
Os sentidos podem ser ludibriados. Podemos citar os exemplos de ilusão de óptica e a
percepção de quente ou frio com as mãos.
As quatro linhas horizontais são paralelas,
mas não parecem ser
Esta linha reta está dividida em seis
partes iguais, embora dê a impressão de
apresentar partes de tamanhos diferentes
1. Quais traços são mais curtos: os da
direita ou os da esquerda ?
2. Qual elipse é maior: a de baixo ou
a interna superior?
3. Qual distância é maior: entre os
pontos AB ou entre os pontos MN?
4. De quantos modos podemos perceber a
figura ao lado? Quais são eles?
Tanto quanto os sentidos, todos os outros instrumentos da Física são falíveis, mesmo os
mais precisos e sensíveis. Todos têm suas limitações.
Testar as indicações de seus instrumentos faz parte do controle que deve ser incluído em
cada conclusão a que o Físico chega, da mesma forma que deve analisar criticamente as
primeiras impressões fornecidas pelos sentidos. Esta verificação cuidadosa dá-lhe, pois
confiança em seus instrumentos, do mesmo modo que o nosso sentido de tato pode constituir um
valioso teste de confirmação do que vemos.
Chamamos de Física Clássica a maneira de ver a Física antes de 1900, e de Física Moderna
a maneira atual de ver a Física.
Com relação às MEDIDAS devemos ressaltar um aspecto muito importante e interessante
quando a Física é encarada classicamente ou modernamente.
Uma grandeza também é chamada, na Física Moderna, de OBSERVÁVEL. Por exemplo, no caso do
aquecimento do gás, o volume, a pressão, a temperatura. É um parâmetro mensurável do sistema.
A diferença fundamental entre o clássico e o moderno é:
a. MODERNO:- "Nem todos os observáveis
podem ser medidos com precisão
arbitrária ao mesmo tempo".
b. CLÁSSICO:- "Todos os observáveis podem ser medidos
com precisão arbitrária ao mesmo tempo.
O "ato de medir" o valor de qualquer observável perturba o sistema de tal modo que
algum outro observável é alterado no valor. Os efeitos destes distúrbios que acompanham
qualquer medida são inerentemente desconhecidos e inavaliáveis. Já na Física clássica esses
efeitos são avaliáveis e podem serem levados em conta nas predições futuras do sistema. Por
exemplo uma medida da posição de uma partícula introduz uma imprognosticável INCERTEZA na sua
velocidade
Bertolo
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Física I
QUESTIONÁRIO - 01
1. O que você entende por um SISTEMA FÍSICO? E por um FENÔMENO FÍSICO?
2. Para que criamos o conceito de grandeza?
3. As grandezas físicas podem estar relacionadas entre si durante um fenômeno
físico? Cite um exemplo.
4. Quais as grandezas usualmente selecionadas para análise do EVENTO
aquecimento de um gás dentro de um recipiente fechado?
5. O que você entende por ESTADO FÍSICO de um sistema? Como caracterizamos
estes estados físicos?
6. Defina PROCESSO ou TRANSFORMAÇÃO de um gás.
7. O que você entende por equação de estado de um sistema?
8. Defina Grandeza Física do ponto de vista operacional.
9. O que significa medir uma grandeza física?
10. Quais são os instrumentos mais universais do físico?
AS QUESTÕES A SEGUIR SÃO OPCIONAIS !!!!!
11.Faça uma dissertação a respeito dos
dois universos: o real e o imaginário.
(opcional)
12. Os instrumentos do Físico são
infalíveis? Por que?
13. O que você entende por um
observável?
14. Qual a diferença fundamental entre
as teorias clássicas e quânticas?
1.1.2 O TEMPO E SUA MEDIÇÃO
Como cenário dos fenômenos físicos o tempo merece ser estudado em primeiro lugar.
Deitados na cama, viajando de avião, correndo para o trabalho, ou namorando, estamos sempre
seguros de uma coisa: o tempo está passando!
Não definiremos aqui o tempo, pois não saberíamos fazê-lo, apesar de ser um conceito bastante
familiar e fundamental. A nossa experiência cotidiana nos leva a esta idéia, ou seja, sabemos o que vem a
ser o tempo de maneira intuitiva.
O curioso é que sendo o tempo uma idéia fundamental na Física, não possa ser definido exatamente;
temos de aceitá-lo intuitivamente.
Percebemos que existem intervalos de tempo grandes e intervalos de tempo pequenos. Uma das
maiores tarefas de um Físico é achar um meio de falar claramente sobre todos estes intervalos de tempo.
O Físico precisa comparar, usar, predizer esses intervalos, não importa quão grande ou pequeno eles
sejam. O que precisamos é de um padrão de comparação.
Todos conhecemos o segundo, a hora, o dia, a semana, o mês, o ano, o século. Usamos esses
padrões para comparar (medir) intervalos de tempo. O processo usado para essas medidas é a
CONTAGEM (uma operação matemática) desses intervalos padrões num determinado intervalo de
tempo. Por exemplo, contamos 86 400 segundos no intervalo de tempo de um dia.
Para facilitar o processo de contagem usamos o relógio. estes são baseados em fenômenos
periódicos, isto é, fenômenos que se repetem em intervalos iguais de tempo. Por exemplo, o dia e a noite,
os batimentos cardíacos, um pêndulo simples
Podemos ajustar e contar quantas oscilações foram dadas em um segundo. Se, por exemplo,
contarmos 10 oscilações em um segundo (frequência) e durante um outro intervalo contarmos 100
oscilações, diríamos que neste intervalo foram decorridos 10 segundos.
Esse instrumento pode ser aperfeiçoado de modo que a cada oscilação uma engrenagem adiante um
dente. Quando ela adiantar, por exemplo, 10 dentes, o mostrador adiantará 1 segundo.
Foi dessa forma que o jovem estudante de Medicina, Galileu Galilei, em 1581, construiu um método
para se medir intervalos de tempo pequenos. Comparando as oscilações de um candelabro da Catedral de
Pisa com o ritmo de seu pulso, Galileu descobriu o isocronismo das oscilações do pêndulo, ou seja, o
período das oscilações permanecia o mesmo embora a sua amplitude fosse diminuindo. Galileu que
naquela época tinha apenas 17 anos de idade aplicou esse resultado no sentido inverso construindo um
"pulsômetro" (pêndulo com um comprimento padrão) destinado a tomar o pulso de pacientes em
hospitais. Percebendo a importância da matemática mesmo na Medicina e sabendo que no seu curso nada
de matemática era ensinado, abandonou a Medicina.
Em ciências quase todas as contagens de tempo são feitas em segundos. Por que? Não há razão
particular para esta escolha. Qualquer outra unidade poderia ser escolhida. A escolha é completamente
arbitrária. Entretanto, esta não é a questão fundamental.
O importante é que a unidade seja facilmente reproduzível e claramente definida.
DEFINIÇÃO DO SEGUNDO
Até 1956:
"É o intervalo de tempo entre os "tiques" de um relógio que dá 86.400 tiques durante o dia
solar médio"
Bertolo
6
Física I
Dia Solar Médio:- a média durante o ano da duração do dia, de meio-dia a meio-dia
Esta definição de segundo apresenta imprecisão em virtude da irregularidade na rotação da Terra,
das diferenças nas velocidades com que o Sol se movimenta no Céu.
ATUALMENTE:
"O segundo é 9.162.631.770 períodos de oscilações da radiação característica do
Césio-133 que é empregado no relógio atômico”
Os relógios atômicos e os eletrônicos marcam o tempo com uma precisão grande. Só que a precisão
é um problema difícil e profundo. É um problema do que é o tempo em si.
1.1.2.1 - NOTAÇÃO CIENTÍFICA
O intervalo de tempo decorrido desde que os primeiros animais começaram a viver em terra seca
abrange algo como
12.000.000.000.000.000 (doze quatrilhões) de segundos. O tempo que leva um raio de luz para atravessar
uma vidraça é de aproximadamente
1/100.000.000.000 (1 bilionésimo) de segundos. Estes números são extremamente difíceis de se
manipular. Desde que no estudo da Física devemos estar preparados para usar números grandes e
pequenos, devemos encontrar um meio de manejá-los. Este meio é a notação científica.
Qualquer número pode ser escrito como o produto de um número entre 1 e 10 (1 x 10) por outro
que é uma potência de 10.
769 = 7,69 . 100 = 7,69 . 102
0,0043 = 4,3 . 10-3
12.000.000.000.000.000 = 1,2 . 10+16
0,00000000001 = 1,0 .10-11
Os cientistas usam freqüentemente esta notação, pois ela oferece um vantajoso meio de
comunicação.
1.1.2.2 - ORDEM DE GRANDEZA
Para facilitar ainda mais a comunicação, usa - se muitas vezes a ORDEM DE GRANDEZA, que é a
potência de dez mais próxima do número em questão.
137.......102....2 ordens grandezas
A TABELA 02 mostra alguns intervalos de tempo característicos. Observando a tabela constatamos que
um dia é 8 ordens de grandeza maior (isto é, 108 vezes maior) que o tempo empregado por uma mosca
para bater suas asas
O menor intervalo de tempo que podemos perceber diretamente é 10-1 segundos. O tempo de vida é
de 109 segundos.
Acima de 1011 segundos precisamos de métodos indiretos especiais para determinar o tempo, como
por exemplo, espécies fósseis encontradas em formações geológicas. Para mais longe é preciso
intrincados instrumentos. A idade da Terra, por exemplo, é avaliada por meio da radioatividade.
Abaixo de 10-1 segundos até 10-5 segundos temos as mudanças rápidas até as explosões.
Usando elétrons como partes de relógios, podemos chegar a tempos de até 10-10 segundos.
Ainda não paramos de medir o tempo. O prêmio Nobel de Física de 1989 a Ramsey, Dehmelt e Paul
foi para prestigiar os cientistas que se dedicam a aprimorar métodos de medida de grande precisão.
Toda a nossa vida gira em função da diferença entre passado e futuro. Lembramos do passado, mas
não lembramos do futuro. Por que? Em relatividade, podemos fazer o futuro vir antes do passado.
Pasmem!!2
2
Ver os Livros “A Mente Nova do Rei” de Roger Penrose. (Ed. Campus) e Uma breve história do tempo” de Stephen Hawking
(Ed. Rocco)
Bertolo
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Física I
QUESTIONÁRIO - 2
1. Como chegamos ao conceito básico de tempo?
2. Qual a maior tarefa dos Físicos com relação ao tempo?
3. Quais os padrões mais comuns de tempo?
4. Qual o tipo de procedimento matemático usado pelos
Físicos para medir intervalos de tempo? Qual o instrumento
usado?
5. Qual a classe de fenômenos físicos que está associada ao
procedimento de medição do tempo empregados nos
relógios? Dê exemplos.
6. A partir de quando começamos a medir intervalos de
tempo de maneira precisa? Quem foi o pioneiro nesta
empreitada? Que recurso foi utilizado?
7. Qual foi o principal estímulo para se construir relógios
precisos?
8. Qual o padrão mais utilizado para a contagem do tempo?
9. Como era definido o segundo até 1956? E a atual
definição qual é?
10. O que é usado como princípio para a contagem do
tempo nos relógios eletrônicos? E nos atômicos? Esses
relógios são precisos?
12. O que é uma ordem de grandeza?
TABELA 01 - Prefixo das potências de 10
MÚLTIPLO
12
10
9
10
6
10
3
10
2
10
10
10-1
10-2
10-3
10-6
-9
10
-12
10
-15
10
-18
10
PREFIXO
TERA
GIGA
MEGA
KILO
HECTA
DECA
DECI
CENTI
MILI
MICRO
NANO
pico
femto
atto
SÍMBOLO
T
G
M
K
H
D
d
c
m
µ
n
p
f
a
Bertolo
8
Física I
TABELA 02 - Ordens de Grandezas de Tempo
Intervalo de
Tempo
(em segundos)
Acontecimento Associado
1018
Tempo presumível de vida total do Sol como estrela
normal
Idade das rochas mais antigas
Tempo decorrido desde a vida do primeiro fóssil
Tempo decorrido desde o início da vida terrestre
Tempo de revolução do Sol ao redor da Galáxia
Idade dos Montes Apalaches
1017
1016
1015
1014
1013
Tempo decorrido desde os dinossauros até nossos dias
Tempo remanescente de existência das Cataratas do
Niágara
Tempo decorrido desde os primeiros homens
1012
1011
Intervalo de
Tempo
(em
segundos)
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
1010
109
108
Tempo decorrido desde os primeiros cultivos
Tempo decorrido desde as primeiras escritas
Tempo decorrido desde o começo dqa Era Cristã
Tempo decorrido desde a descoberta da América
Tempo de vida de um homem
Tempo decorrido desde que você começou a ir à escola
107
Tempo de revolução da Terra ao redor do Sol (ano)
10-15
106
Um mês
10-20
105
104
103
102
101
100
Tempo de rotação da Terra em torno de seu eixo (dia)
Duração média de um jogo de baseball
Tempo que a luz leva para chegar à Terra
Um minuto
10-22
10-9
10-11
10-12
Acontecimento Associado
Tempo para uma bala (calibre 0,30) percorrer a
extensão de um campo de futebol (100 m)
Tempo de uma volta completa de um ventilador
elétrico
Tempo de uma batida de asas de uma mosca
Tempo gasto por uma bala disparada percorrer o
cano de uma carabina
Tempo de uma vibração do mais alto som audível
Tempo gasto durante a explosão de um petardo
Tempo de uma bala de alta velocidade atravessar
uma letra de máquina de escrever
Tempo empregado por um feixe de elétrons para ir
da fonte à tela no tubo de TV
Tempo que leva a luz para atravessar uma sala
Tempo durante o qual um átomo emite luz visível
Tempo para luz atravessar uma vidraça
Tempo para uma molécula de ar girar em torno de si
mesma
Tempo de revolução do elétron em torno do próton
no átomo de hidrogênio
Tempo de revolução do elétron mais interno em
torno do núcleo no átomo mais pesado
Tempo de uma revolução do próton no núcleo
Tempo entre duas batidas do coração (1 segundo)
EXERCÍCIOS
1. Quantas vezes por segundo deveria um flash se acender para mostrar, com intervalos de 25 centímetros, imagens de um
projétil que se movimenta a 1000 metros por segundo?
2. Um relógio dá 5 "tiques" cada segundo. Expressando apenas a ordem de grandeza de sua resposta, determine quantas vezes
ele bate:
a. durante um dia
b. durante um ano
8
3. Suponha que existam 1,7 . 10 pessoas vivendo num país, e que 7,5 . 106 destas pessoas vivem em uma de suas cidades.
Quantas vivem no resto do país?
4. Resolva o seguinte:
a. 102 . 103 =
e. 10-8/102 =
b. 10-2 . 105 =
f. 103 + 102 =
c. 102/104 =
g. (105)3 =
5. Usando notação científica, resolva o seguinte:
a. 0,00418 . 39,7 =
b. 6000/0,0012 =
d. 105/10-3 =
c. 0,703 . 0,014/280000 =
6. Expresse somente a ordem de grandeza de sua resposta no seguinte:
a. A luz caminha numa ordem de 105 quilômetros por segundos. Que distância ela percorrerá num ano?
b. Calcule o tempo que a luz do Sol leva para percorrer os 150 milhões de quilômetros que separam o Sol da Terra.
c. Sabendo-se a distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 384.000 km, quantas vezes esta distância está contida
naquele entre a Terra e o Sol?
7. a. Quantos períodos de vida humana, isto é, vida de um homem transcorreram desde os primeiros entes humanos?
b. Aproximadamente quantas vezes giraria uma molécula de ar em torno de seu eixo enquanto a Terra revoluciona ao redor
do Sol? Veja a tabela 01
Bertolo
9
Física I
8. A velocidade de obturação de uma câmara é 1/25 de segundos. Que distância percorreria uma bala de rifle enquanto um
estudante tenta fotografá-la com exposição de 1/25 de segundo? (A velocidade da bala é de 1050 metros por segundos). Que
velocidade de obturação seria necessária para limitar o movimento da bala a 2,5 milímetros durante a exposição?
9. I. Transforme em segundos os seguintes intervalos de tempo
a. 4,2 h
b. 420 min
c. 0,2 min
d. 5 h 40 min
e. 20 min 15 s
f. 2 h 10 min 15 s
II. Transforme em horas os seguintes intervalos de tempo:
a. 1800 s
b. 420 min
c. 50 min 45 s
d. 0,5 min
10. A cena de marcação de um gol foi filmada durante 20 segundos com uma máquina que tira 24 fotografias por segundo. Esta
cena foi mostrada com uma máquina que projeta 16 imagens por segundo. Qual o tempo de projeção da cena? Na projeção a
cena se desenvolve a uma velocidade maior ou menor que a do jogo ao vivo? Quantas vezes, na tela, a ação é maior ou menor
que ao vivo?
11. Para filmar um botão de rosa que se desabrocha e se transforma numa rosa aberta, foram tiradas fotografias de 2 em 2
horas. Essas fotos, projetadas à razão de 24 fotos por segundo, mostraram todo o transcurso acima descrito em 2 segundo. Em
quanto tempo ocorreu realmente o desabrochar da rosa?
PRÁTICA DE LABORATÓRIO
Apresentamos a seguir alguns projetos para você realizar em casa.
1. Faça um pêndulo usando um pedaço de barbante e um pequeno peso. Ajuste o comprimento até que o pêndulo leve um
segundo para realizar uma oscilação completa, ida e volta. Qual o erro de seu pêndulo no período de um minuto? Que fração do
tempo total representa este erro
2. Galileu realizou algumas das primeiras experiências importantes com o movimento de corpos que caem, antes da época dos
relógios precisos. Para medir os curtos intervalos de tempo envolvidos em suas experiências, ele usou um relógio simples que
você pode fazer sozinho. Com o auxílio de um prego, faça um pequeno furo no fundo de um vasilhame de lata. Mantenha o
recipiente quase cheio de água, e meça a quantidade de líquido escoado em 10, 20, 30 segundos. Você pode, deste modo,
aprender a ler o relógio em segundos.
3. Galileu, ao observar a oscilação do lustre da Catedral de Pisa, "descobriu que o mesmo número de suas pulsações marcava
cada oscilação, não importando a distância percorrida pelo lustre em cada oscilação". Verifique a exatidão desta proposição,
construindo e marcando o tempo de um pêndulo simples. Se você encontra dificuldade em contar suas pulsações e, ao mesmo
tempo, as oscilações do pêndulo, experimente trabalhar com um companheiro ou usar um relógio (de que Galileu no dispunha).
Quais são as principais fontes de erro neste dispositivo? Pode você reduzir os erros? Lembre que Galileu usou um
relógio análogo na descoberta de alguns dos mais importantes princípios da Física (Veja "Two New Sciences" de Galileu)
1.1.3 - O ESPAÇO E SUA MEDIÇÃO
A seção anterior descreve o tempo como um dos cenários do palco onde se manifestam os
fenômenos físicos. Você, talvez, tenha observado que fomos incapazes de restringir a discussão somente
ao tempo. Falamos, também, do espaço (posições e distâncias), de movimentos, de matéria. Estas são as
noções básicas da Ciência. Cada uma delas está ligada a todas a outras. É impossível tratar de uma sem
tratar das demais.
Para estudá-las de modo inteligível é necessário tratar uma após a outra, não obstante não apareçam
dessa forma na Natureza. Devemos ir aperfeiçoando nosso conhecimento de cada uma (mesmo sem ter
um ponto de partida), indo e voltando entre elas, registrando os progressos atingidos e usando-os para
obtenção de novos conceitos. Por exemplo, usamos nossas noções incipientes de espaço para aperfeiçoar
nosso conceito de tempo e vice-versa. Mas cuidado!!!. A Física é indivisível, lida com todo o Universo do
qual fazemos parte. No final devemos reunir todo o conhecimento.
1.1.3.1 - MEDIDA DO ESPAÇO
A medida de tempo dá origem ao que parece ser duas perguntas diferentes:
1. "Qual a duração do fenômeno?”
2."Quando aconteceu o fenômeno?”
As duas são respondidas informando o valor do intervalo de tempo comparando-o com um padrão(
segundo, dia, mês, etc.). O processo de comparação, isto é, a medida, é a operação matemática contagem.
A medida do espaço também se divide em duas questões:
1. "Qual o tamanho dos corpos?
2. "Qual a distância entre os corpos?
Bertolo
10
Física I
Estas duas também são respondidas informando o valor do intervalo de espaço (tamanho e
distância) comparando-o com um padrão (palmos, pés, polegar, etc.). O processo de comparação é
também a operação matemática CONTAGEM.
Existem intervalos de espaço (distâncias) muito grandes e muito pequenos. Veja as tabelas 03 e
04.
O tamanho está relacionado à distância. Por exemplo, o Sol é uma das muitas estrelas que
observamos no Céu, mas parece maior que todas as outras. Uma estrelas pequenina e cintilante talvez seja
maior que o nosso Sol e tão quente quanto ele, mas está muito mais afastada relativamente a nós.
TABELA 03 Ordens de Grandezas de Distâncias
Comprimento em Distância associada
metros
Maior distância mensurável por paralaxe
1018
Distância à estrela mais próxima
1017
Distância de Netuno ao Sol
1013
Distância de Saturno ao Sol
1012
Distância da Terra ao Sol
1011
Distância de Mercúrio ao Sol
1010
Comprimento médio da sombra da Terra
109
e do Raio do Sol
Distância média da Terra à Lua
108
Diâmetro de Júpiter
Raio da Terra
107
Raio da Lua
106
Comprimento do Lago Erie
105
Comprimento
em metros
104
103
102
101
100
10-1
10-2
Distância associada
Largura média do Grand Canyon
Um quilômetro
Comprimento de um campo de futebol
Altura de uma árvore frondosa
Um metro
Largura de sua mão
Diâmetro de um lápis
10-3
Espessura de uma vidraça
10-4
10-5
Espessura de uma folha de papel
Diâmetro de um glóbulo vermelho de sangue
Os padrões usados para medir o intervalo de espaço sofreram alterações através da história. Todos os
povos tiveram uma unidade de comprimento (intervalo de espaço):
PASSO:- adotado por tribos caçadoras
VARA-PADRÃO:- Usada na irrigação pelos agricultores antigos.
CÚBITO:- Distância do cotovelo à ponta do dedo usada no antigo Egito.
ESTADIA:- Passos de medidores profissionais.
POLEGADA, PE, JARDA, BRAÇA, MILHA, LEGUA:- usadas na era medieval
A Revolução Francesa acontecida por volta de 1790 foi contra tudo o que era tradicional e antigo.
Reuniu peritos e construiu um conjunto de unidades.
Nesta época se conhecia a distância do Equador ao Polo Norte. Tomaram então a décima
milionésima parte (10-7) desta distância como unidade, que passou a ser chamado de metro (em grego
significa medir).
Era preciso materializar esta distância. Para isso escolheu-se uma barra de platina iridiada onde se
marcou este intervalo de espaço que passou ser conhecida como metro-padrão. Esta barra está
depositada nas condições normais de temperatura e pressão (C.N.T.P.) no museu de Sèvres em Paris e
muitas cópias foram divulgadas.
O metro - padrão apresenta algumas imperfeições:a. dilatação que não pode ser eliminada.
b. Dificuldade de reprodução
c. Ser destrutível
Em 1960 construiu-se um novo padrão para o metro baseado no comprimento de onda λ da luz
característica (alaranjada) emitida pelo Criptônio-86 (Kr86). Esse elemento é um gás nobre existente na
atmosfera.
1 METRO = 1.650.763,73 λ
Quais os métodos para medida do Intervalo de Espaço?
Bertolo
11
Física I
a. Métodos Diretos:- Usando réguas, trenas, paquímetros, micrômetros, medimos intervalos de 10-4m até
10+5m.
i. microscópio ótico baseado num feixe de luz visível permite medirmos até 10-7 m que é o
comprimento de onde da luz visível.
ii. microscópio eletrônico baseado num feixe de elétrons que tem um comprimento de onda
muito pequeno permite medirmos até 10-8 m que é o tamanho de cadeias moleculares grandes =
vírus, por exemplo.
iii. análise teórica do resultado de raio -X (radiação eletromagnética com = 0,1 A), e
espalhamento de partículas .
Essas medidas só podem ser analisada à luz da mecânica quântica que limita o conceito de
"tamanho".
iv. para medidas de distâncias grandes usamos, às vezes, o método da triangulação
b. Métodos Indiretos:TABELA 04 Distâncias demasiadamente Grandes
Comprimentos
em metros
1025
Distância associada
Distância ao objeto mais distante já
fotografado (uma galáxia)
Domínio das galáxias
Domínio das galáxias
Distância à Grande Nebulosa de
Andrômeda (galáxia mais próxima)
Distância à menor das Nuvens de
Magalhães
Distância do Sol ao centro de nossa
galáxia
Distância ao agrupamento globular
estelar de Hércules
Distância à estrela Polar
1024
1023
1022
1021
1020
10
19
TABELA 05 - Distâncias demasiadamente
pequenas
Comprimento
em metros
10
-6
10-7
10-8
10-9
10-10
10-12
10-14
10-15
Distância associada
Distância média entre colisões de
moléculas no ar de uma sala
Espessura da mais fina bolha de
sabão ainda apresentando cores
Distância média das moléculas de ar
numa sala
Tamanho da molécula de óleo
Distância média entre os átomos de
um sólido cristalino
Distância média entre os átomos
reunidos no centro das estrelas mais
densas
Tamanho do maior núcleo atômico
Diâmetro do próton
LEITURA OPCIONAL:- DIMENSIONALIDADE DO ESPAÇO
Já sabemos medir o espaço. Vamos entender o significado de DIMENSIONALIDADE.
PRIMEIRO CAMINHO
Numa sala retangular localizamos qualquer ponto especificando:
a. sua distância a uma parede (abcissa x)
b. seu afastamento da outra (ordenada y)
c. sua altura do solo (cota z)
Precisamos de 3 medidas distintas para localizar um ponto no espaço. Isto significa
que o espaço é tridimensional.
A localização de ponto nesse espaço tridimensional é, geralmente, feita usando um
Sistema de Coordenadas Cartesiano.
z
Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e uma
tripla de números reais (x,y,z). Aqui está uma descrição algébrica da
P
Geometria idealizada por DESCARTES e conhecida por Geometria Analítica.
y
x
E se a sala fosse circular?
Mesmo assim precisaríamos de 3 números:
Bertolo
12
Física I
r = distância da origem à projeção do ponto
no solo
ϕ = ângulo a partir do eixo x( longitude)
h = cota
Podemos fazer ainda uma outra escolha de coordenadas, dependendo da simetria do
problema
r = distância da origem ao ponto
ϕ = longitude
ψ = latitude
Coordenadas Esféricas de um ponto
no espaço
SEGUNDO CAMINHO
O movimento de ponto GERA uma linha
Posição
Para localizarmos um ponto sobre a linha
basta 1 número s que diz quantos metros
cabem da partida até P. Temos uma dimensão
(unidimensional).
Partida
O movimento de uma linha GERA uma superfície.
Para localizarmos um ponto sobre a superfície bastam 2
números:
a. posição do limpador
b. posição ao longo do limpador. Temos duas dimensões
(bidimensional).
O movimento de uma superfície GERA um volume.
Para localizarmos um ponto sobre o volume bastam 3
números:
a. dois sobre a superfície
b. um indicando a posição da superfície. Temos três dimensões
(tridimensional).
Quando damos o passo seguinte: um volume GERA outro volume. Esgotamos as dimensões!!!
TERCEIRO CAMINHO
LINHA:- podemos nos mover sobre ela sem interrupção de ponto para ponto (sem levantar o
lápis). A remoção de um ponto CORTA a linha.
SUPERFÍCIE:- a remoção de um ponto sobre uma superfície não nos embaraça!!!!. Podemos
contornar a falha. Agora uma linha CORTA uma superfície.
VOLUME:- Uma superfície CORTA um volume.
Um volume corta outro volume indicando que o espaço é TRIDIMENSIONAL.
QUESTIONÁRIO 03
1. Quais são as noções básicas da Ciência? Elas estão desvinculadas entre si?
2. Como devemos agir para irmos adquirindo cada vez maior conhecimento a respeito das noções básicas da Ciência?
3. Quais são as duas grandes divisões ou intervalos de espaço? Elas estão ligadas entre si?
Bertolo
Física I
13
4. Qual a distância que separa a Terra do Sol se a luz do Sol viajando a 300.000 Km por segundo leva 8 minutos para nos
atingir?
5. Qual o nome da galáxia a qual pertencemos?
6. Quando comparamos intervalos de espaço, qual o processo matemático utilizado?
7. Cite todas as unidades de comprimento que você já ouviu falar.
8. Como foi definido o padrão de unidade de comprimento logo após a Revolução Francesa? E após 1960?
9. Até quantas ordens de grandezas usamos o processo direto de medição do intervalo de espaço?
10. Dê exemplos de distâncias pequenas e longas e os seus métodos de medição.
11. Por que dizemos que o espaço é tridimensional?
12. O volume é gerado através do quê?
13. Apresente 3 maneiras distintas de encarar a tridimensionalidade do espaço.
EXERCÍCIOS
1. Uma reta de 5,0 cm de comprimento gira em um plano ao redor de um dos seus extremos. Qual é a área varrida por este
movimento?
2. Uma reta de 20 cm de comprimento é movida para uma nova posição paralela, e a 10 cm de sua posição original. Qual é a
área da superfície abrangida na movimentação da reta?
3. Um círculo de 5,0 cm2 se move ao longo do seu eixo até uma nova posição, paralela ao plano original. Se ele foi deslocado
10 cm, qual o volume gerado por este movimento?
4. Um pedaço de cartão, de dimensões 12,0 cm por 8,0 cm, gira de um ângulo de 90º , ao redor do bordo de 8,0 cm. Que
volume foi varrido por este movimento?
5. No corpo humano encontramos medidas extremamente pequenas e também extremamente grandes. O artigo seguinte mostra
isso:
“Um adulto possui de 5 a 6 de sangue, ou seja, de 5 a 6 milhões de milímetros cúbicos, que vão dar 25 trilhões de glóbulos
vermelhos. Colocados lado a lado , em seus infinitesimais 0,007 mm de diâmetro, esses glóbulos vermelhos de uma pessoa formariam uma
linha de mais de 160.000 km, capaz de dar quatro vezes a volta na Terra. Através de sua superfície, esses glóbulos vermelho absorvem e
espalham oxigênio. Por serem tão pequenos, vão a toda parte no corpo humano ; e por serem tão numerosos, cobrem uma área muito maior
do que esse corpo.”
(Barco, Luiz. A magia dos grandes números. Superinteressante, ano 2, nº 1, janeiro/1988. P. 26)
Com base neste artigo:
a. escreva as medidas que representam volume e as que representam comprimento;
b. expresse todas as medidas em notação científica;
c. dê a ordem de grandeza de todos os números que aparecem no texto;
d. explique como uma quantidade tão grande de glóbulos vermelhos pode caber no corpo humano.
PRÁTICA DE LABORATÓRIO
1. Determine a altura de uma árvore, ou de um edifício, em um dia ensolarado. Os dados que você necessita são o comprimento
de sua sombra , a da árvore e sua própria altura. Partindo, destes dados, pode ser encontrada a altura da árvore, usando-se
semelhança de triângulos. A posição do Sol modifica os seus resultados?
2. Supondo que a Lua está a 3,8.105 Km da Terra, você pode determinar o seu diâmetro pelo seguinte método. Prenda, numa
vidraça, duas tiras de fita adesiva opaca, distanciadas de 2 cm. Perfure um cartão com um alfinete e, então, observe a Lua
através do orifício e entre as duas tiras. Meça a distância do cartão à janela, afastando-se da mesma, até que a Lua preencha
exatamente o espaço entre as duas tiras. Usando geometria de triângulos semelhantes, calcule o diâmetro da Lua. NAO repita
este procedimento para medir o diâmetro do Sol, pois o seu brilho será prejudicial a sua vista. Pode este método ser utilizado
para determinar o tamanho de uma estrela?
3. Podemos medir facilmente a largura ou o comprimento da folha de um livro ou de um caderno. Entretanto, encontraríamos
dificuldades para medir a sua espessura. Experimente medir usando uma régua milimetrada, a espessura da folha do seu
caderno. Você consegue? Um simples artifício nos permite resolver satisfatoriamente este problema. Meça a espessura de 100
folhas. A partir do valor encontrado calcule a espessura de uma delas.
Com um procedimento semelhante determine a massa de um grão de feijão, e o volume que sai de um conta -gotas.
1.1.4 - A PRECISÃO DAS MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Fundamentamos todas nossas medições num esquema simples. Para medir o tamanho de alguma
grandeza física primeiro escolhemos uma unidade. Então para medir um intervalo maior que a unidade,
apenas "colocamos" a unidade tantas vezes quantas ela couber no intervalo em questão. Isto é o que
fazemos comumente com uma régua ao medirmos um comprimento. Para aquilo que ultrapassa a
contagem, ou para medir uma quantidade menor que a unidade, simplesmente dividimos a unidade em
partes menores e iguais, você pode chamá-las de sub-unidades, e toma-se delas, então, tantas quantas
forem necessárias para inteirar a grandeza dada.
EXEMPLO
Bertolo
Física I
14
Medimos a altura de uma pessoa, e verificamos ser de 170 cm e um pouco mais. Dividindo nossa unidade de centímetro em
décimos, verificamos que a parte que sobrara contém três destas subunidades; dizemos, então, que a pessoa tem 170,3 cm de
comprimento.
Não é difícil perceber que este método funcionará para qualquer comprimento que queiramos medir.
Assim, podemos fazer divisões sempre menores até que a irregularidade na aresta da caixa que medimos,
ou nas marcações de nossa régua, limitem a PRECISÃO de nossas medidas.
O
B
S
E
R
V
A
Ç
Ã
O
C
U
I
D
A
D
O
Algumas medidas não se prestam ao processo de subdividir sempre mais para aumentar a precisão. A
contagem do número de pessoas numa sala, por exemplo, tem uma unidade natural: o indivíduo. Neste caso, é
inaplicável subdividir cada vez mais. Contrariamente ao tempo e ao espaço, a matéria tem unidades naturais
conhecidas. Por exemplo, o elétron. Esta é a essência real da física moderna. As unidades naturais da matéria
são seus blocos fundamentais de construção, os átomos e suas poucas partes que se combinam de tantos modos
para a construção do conjunto do mundo material - estrelas e mar, lápis e papel, pele e osso. Não sabemos se o
espaço e o tempo tem ou não tais unidades naturais. Sabemos apenas que não as atingimos. Até que
encontremos tais unidades (se é que o faremos) usaremos livremente qualquer subdivisão de nossa unidade
arbitrária de medida para representar o tempo e o espaço.
Acabamos de ver os problemas envolvidos no método básico de medir pela contagem. Em muitas medidas reais surge
um segundo tipo de problema. Uma medida feita por um método indireto baseia-se sempre em hipóteses especiais.
Medindo a espessura de uma folha, por exemplo, supusemos que o papel era uniforme. A medida de grandes distâncias
por triangulação envolve, também, uma hipótese - com a qual estamos bem familiarizados na vida diária. Supomos que a
linha de visão - isto é, a linha percorrida pela luz, do objeto ao olho - é uma reta. Somente se isto for verdadeiro, poderá
funcionar o nosso método de triangulação visual. Comumente testamos a forma reta de uma tábua olhando ao longo dela.
PARECE QUE ACEITAMOS SER RETA A TRAJETÓRIA DA LUZ. Naturalmente isto pode nos ludibriar, muitas
vezes o faz. A aura de calor que você vê sobre um radiador aquecido, ou sobre uma superfície aquecida pelo Sol, diz-lhe
da existência de trajetos da luz que não são retos, e estão variando constantemente. Se desejamos uma resposta digna de
confiança quando medimos grandes distâncias por triangulação, precisamos evitar olhar através do ar quente perturbado.
Não podemos medir, por estes meios, a distância a uma estrela numa noite em que ela cintila muito em conseqüência das
mutáveis correntes de ar vindas da superfície quente da Terra. Desejamos uma noite límpida e calma, com a estrela bem
alta no céu. Outra hipótese envolvida na medida de triangulação é que as leis da geometria são corretas. Elas não podem
ser tomadas com certezas, entretanto. Devem ser testadas todas as suposições que fazemos ao medir. Os resultados da
geometria e a trajetória reta das linhas de visada foram muito bem testadas, principalmente pelo sucesso da imagem
global que podemos construir. Precisamos, entretanto, estar sempre atentos, especialmente ao usar métodos indiretos para
medir coisas afastadas da experiência cotidiana, para ver se as hipóteses tradicionais são ainda dignas de confiança.
Todos os métodos indiretos de medidas apresentam limitações, e nenhum deles serve para todos os casos.
Na Física existem limitações para a precisão das medidas que por sua vez, limitam o uso dos
números que registram a medida. Assim, quando para o raio da Terra escrevemos 6,37 . 106 m e não
6,374 . 106 m ou 6,370 . 106 m, estamos dizendo que estamos razoavelmente seguros do terceiro
algarismo, mas não fazemos idéia do valor do quarto. O número de algarismos sobre os quais estamos
razoavelmente seguros é chamado número de ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. É claro que quanto
maior for a precisão de nossas medidas, maior é o número de algarismos significativos que podemos usar.
Ao medimos o comprimento de um lápis utilizando uma régua dividida em milímetros, obtemos a
medida da seguinte forma
Essa medida tem 3 algarismos significativos, sendo que
o último (5) é chamado ALGARISMO DUVIDOSO
= 4,85
Nesta mesma régua, teríamos
Bertolo
15
Física I
EXEMPLOS
1,27 : 3 algarismos significativos
0,002 : 1 algarismo significativo (zeros à esquerda não são significativos)
2 000 : 4 algarismos significativos (zeros à direita são significativos)
OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Os algarismos pequenos são duvidosos. Qualquer operação que envolva um algarismo duvidoso tem
resultado DUVIDOSO.
2,23
Observe que o algarismo 7 já é duvidoso; portanto, o algarismo 3 não é
+ 1,5
significativo. A resposta correta é 3,7.
3,73
Assim devemos também proceder na subtração.
Observe que a partir do algarismo 4 os algarismos já não fazem mais sentido. A
5,40
resposta correta é 14, sendo o 4 algarismo duvidoso
x 2,7
3780
1080
14580
QUESTIONÁRIO 04
1. O que devemos em primeiro lugar escolher para medir uma grandeza física?
2. Como fazemos para medir uma grandeza cujo tamanho é menor que a unidade de medida?
3. Quais são as unidades naturais da matéria? E do tempo? e espaço?
4. Qual o segundo problema que surge no método básico de medir pela contagem?
5. Os métodos indiretos de medidas são universais e ilimitados?
6. Há limitações nos números que registram nossas medidas? Por que?
7. O que é algarismo significativo?
EXERCÍCIOS
1. Resolva:
a. (1,4 . 103)/(2,6 . 105)
b. 3,7 . (6,27 . 10-2)
c. 46,7 - 10,04
d. (8,34 . 0,659)/12,03
Faça as contas tomando em consideração os algarismos significativos.
2. Um estudante mede um bloco de madeira, e registra os seguintes resultados: o comprimento = 6,3 cm; a largura = 12,1 cm;
altura = 0,84 cm
a. Qual o volume deste bloco?
b. Suponha que as medidas de comprimento e largura sejam corretas; entretanto, você pode ver que a medida de altura pode
apresentar um afastamento de 0,01 cm, para mais ou para menos. Como isto afetaria a resposta? Que fração do volume isto
representa?
1.2 - REPRESENTAÇÃO DAS RELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS FÍSICAS
Muitas leis Físicas são expressas de modo útil por meio de relações matemáticas, que mostram
como uma grandeza depende de outras, durante um fenômeno físico. Vamos discutir algumas dessas
relações.
1.2.1 - PROPORÇÃO DIRETA
Uma das relações mais simples entre duas grandezas é chamada PROPORÇÃO DIRETA. Vejamos,
por exemplo, a relação existente entre o volume de um pedaço de ferro e sua massa. Medindo as massas
de blocos de ferro de diversos volumes, encontramos os seguintes resultados:
V1 = 1 cm3 tem massa M1 = 8 g
V3 = 3 cm3 tem massa M3 = 24 g
V2 = 2 cm3 tem massa M2 = 16 g
V4 = 4 cm3 tem massa M4 = 32 g
e, assim sucessivamente.
Este tipo de relação, na qual, duplicando o volume, a massa duplica, triplicando o volume a massa
triplica, etc., é o que entendemos por PROPORÇÃO DIRETA. Você encontrará muitos casos de
Bertolo
16
Física I
proporção direta em Física, e é bom, portanto, entender as várias maneiras de descrever esta relação.
Podemos dizer que a massa "é proporcional ao" volume do ferro, ou, que a massa "varia diretamente com"
o volume do ferro. Ambos os modos significam a mesma coisa: dobro de volume, massa dupla; dez vezes
o volume, dez vezes a massa, e assim por diante.
Podemos escrever por meio de símbolos a relação na forma mais simples:
M∝V,
onde M é a massa do pedaço de ferro, V, seu volume, e o símbolo ∝ significa "é proporcional a".
Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos que:
M1 8g
g
=
3 =8
V1 1cm
cm 3
M 3 24 g
g
=
3 =8
V3 3cm
cm3
M 2 16 g
g
=
3 =8
V 2 2 cm
cm 3
etc.
Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa M também varia, mas o quociente entre M e
V permanece constante ( igual a 8 g/cm3). Podemos escrever:
M
=k
V
onde k é a constante de proporcionalidade entre M e V e vale k=8 g/cm3 . Assim, quando duas grandezas
são diretamente proporcionais, o quociente entre elas permanece constante e este quociente é denominado
constante de proporcionalidade entre as grandezas.
No exemplo citado, o valor da constante de proporcionalidade era 8 g/cm3. Evidentemente, em
outros exemplos teremos valores diferentes para k, característico para cada exemplo.
M
Da expressão
= k , vem que M = k .V. Chegamos, assim, à conclusão:
V
Se M ∝ V podemos escrever M = k .V
Observe que M = k .V é muito semelhante a M ∝ V. Efetivamente, se não conhecemos o valor
numérico de k, é exatamente o mesmo. Mas quando k é conhecido, M = k .V, nos diz mais; é uma
equação que nos dá a relação numérica entre M e V.
Até agora, representamos a relação entre M e V por meio de equações. Outro modo de analisar a
dependência entre duas grandezas é o método gráfico. Para traçar o gráfico que representa a relação entre
M e V ( ou, como se diz M versus V, M x V), reproduziremos na tabela seguinte, os valores dessas
grandezas já referidas anteriormente.
V(cm3)
M(g)
1
8
2
16
3
24
4
32
Tracemos duas retas perpendiculares (o uso de papel quadriculado ou milimetrado facilita o trabalho)
como mostra a figura abaixo. Sobre uma delas representamos os valores tabelados do volume (eixo dos
volumes) e, sobre a outra, os valores da massa (eixo das massas). Para isso devemos escolher escalas
apropriadas, isto é, devemos escolher um determinado comprimento, sobre o eixo, para representar um
dado valor da grandeza. Por exemplo, no eixo dos volumes vamos escolher a seguinte escala: cada 1,5 cm
para representar 1 cm3. Com esta escala, marcamos na figura, as divisões correspondentes a 1 cm3, 2 cm3,
etc. No eixo das massas usaremos uma escala diferente: cada 1 cm representa 5 gramas. Observe a figura
abaixo, as divisões correspondentes a 5 gramas, 10 gramas, 15 gramas, etc.
Bertolo
O gráfico que representa uma grandeza variando em
proporção direta com outra é uma reta passando pela
origem.
Após a escolha das escalas dos eixos passaremos a
lançar os pontos no gráfico. Cada par de valores da
tabela apresentada corresponderá a um ponto do
gráfico. Por exemplo: o ponto A, na figura, foi obtido
com os valores V = 1 cm3 e M = 8g; o ponto B com os
valores V = 2 cm3 e M = 16g, etc. Lançados os pontos
A,B,C, e D e verificando que eles estão alinhados,
podemos uni-los por uma reta obtendo assim o gráfico
de M em função de V. Observe que a reta passa pela
origem O, isto é, quando V=0, temos também M=0.
Relação entre Massa e Volume de
um pedaço de Ferro
35
30
M (gramas)
17
Física I
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
V (cm3)
M (gramas)
Já vimos, na equação M = k .V, que a constante de proporcionalidade k é uma característica
importante da proporção direta. Vejamos como podemos obter o seu valor através do gráfico da relação.
Na figura abaixo
consideremos dois pontos quaisquer como, por exemplo, os
pontos A e C. O ponto A corresponde a um volume VA = 1
cm3 e a massa correspondente MA = 8g. Para o ponto C,
temos VC = 3 cm3 e MC = 24g. Portanto, no gráfico, ao
35
passarmos de A para C, observamos uma variação no volume
30
e uma correspondente variação na massa. A variação no
25
volume será representada por ∆V, onde o símbolo ∆ significa
20
15
uma variação, isto é, ∆V = VC - VA . Do mesmo modo, ∆M
10
representa a variação da massa, isto é, ∆M = MC - MA. Na
5
figura estão indicadas estas variações do volume e da massa.
0
A INCLINAÇÃO DA RETA é definida pela seguinte
0
1
2
3
4
relação:
V (cm3)
inclinação da reta = (∆M/∆V)
Verifica-se que, quanto maior for o quociente (∆M/ ∆V) para uma dada reta, maior será o ângulo
que ela forma com o eixo dos volumes. Justifica-se, assim, a denominação de inclinação para este
quociente. Por exemplo: na figura abaixo, que mostra o gráfico M x V para os elementos químicos ferro
Fe e mercúrio Hg, observamos que o gráfico do Hg apresenta maior inclinação do que o do Fe.
M
Hg
Fe
(∆M/∆V)Hg > (∆M/∆V)Fe
V
Voltemos a penúltima figura e calculemos o valor da inclinação da reta. Observando, naquela
figura, que:
3
3
3
∆V = VC - VA = 3 cm - 1 cm
∆M = MC - MA = 24 g - 8 g
ou
ou
V = 2 cm .
M = 16 g.
temos, a inclinação da reta igual a :
inclinação da reta = (∆M/∆V) = (16g/2cm3) = 8 g/cm3.
Como já foi visto, a constante de proporcionalidade k, da equação M = k .V, vale também 8 g/cm3. Isto
acontece todas as vezes que estivermos tratando com uma proporção direta, isto é, a inclinação da reta
fornece o valor da constante de proporcionalidade, ou seja, o k no gráfico é a inclinação da reta.
Bertolo
18
Física I
Embora o nosso estudo se restringiu a relação entre massa e o volume de um pedaço de ferro,
existem muitos outros exemplos de grandezas ligadas por uma proporção direta. Consideremos duas
grandezas quaisquer, que designaremos, de maneira geral, por Y e X (poderiam ser, por exemplo, a
massa, o volume, ou a pressão e a temperatura de um gás, ou a distância percorrida e a velocidade de um
carro), podemos dizer, então que se Y ∝ X temos que o gráfico Y versus X é uma reta, Y = a .X, onde a é
a constante de proporcionalidade, e vem dado pela inclinação da reta.
Resolva os exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 para você fixar melhor os conceitos.
Já vimos que na proporção direta, cuja equação é Y = a .X, quando X = 0 temos Y = 0 e, assim, o
gráfico de Y x X é uma reta que passa pela origem. Entretanto, há casos em que isto não acontece, isto é,
quando X = 0 temos Y≠ 0. Sempre que isto acontecer a reta não irá passar pela origem, e diremos que as
duas variáveis estão relacionadas por uma variação linear.
Para obtermos a relação matemática entre Y e X nestas circunstâncias procedemos do seguinte
modo: desloquemos todos os pontos da reta para baixo de modo que ela passe pela origem. Daí
determinamos a como anteriormente e obtemos a relação intermediária Y = a . X. A seguir adicionamos a
esta equação o valor subtraído anteriormente para baixarmos a reta, b, por exemplo. Temos, então, a
relação final entre Y e X, onde b é o valor inicial de Y, isto é, o seu valor quando X = 0.
Y = a .X + b
1. Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira,
obtém o seguinte: em 5 segundos recolhe 15 litros; em 10 s
recolhe 30 l; em 30 s recolhe 90 l, etc.
a. Podemos dizer que há uma proporção direta entre o volume
recolhido e o tempo empregado na operação?
b. Qual o valor da constante de proporcionalidade entre estas
grandezas?
c. Designando o volume recolhido por V e o tempo
correspondente por t, como poderemos expressar a relação entre
estas grandezas?
2. Abandonando um corpo de uma certa altura obtivemos os
seguintes dados para as distâncias percorridas após 1s, 2s, 3s de
queda:
em um tempo t1 = 1s percorreu a distância d1 = 5 m.
em um tempo t2 = 2s percorreu a distância d2 = 20 m.
em um tempo t3 = 3s percorreu a distância d3 = 45 m.
Podemos dizer que a distância percorrida d, é diretamente
proporcional ao tempo de queda?
3. Considerando o exercício 1 acima construa o gráfico V x t,
tomando como escala o seguinte: 1 cm representa 5s e no outro
eixo 1 cm representa 10 litros.
Calcule a inclinação do gráfico V x t.
4. Quando uma pessoa compra um tecido (de largura constante),
ela paga o preço P que depende de seu comprimento L
adquirido. Suponha que 1 m de determinado tecido custe Cr$
5,00
a. Faça uma tabela com os valores de P correspondentes a 1m,
2m, 3m, 4m.
b. Ao duplicar o valor de L (comprimento), o valor de P
duplicou?
c. E ao triplicar o valor de L?
d. Então, que tipo de relação existe entre P e L?
5. Considere a tabela do exercício anterior.
a. Divida cada valor de P pelo correspondente valor de L. O
quociente P/L varia ou é constante?
b. Qual o valor da constante de proporcionalidade k entre P e L?
c. Como podemos expressar matematicamente a relação entre P e
L?
6. Como você sabe, o volume de um balão de borracha é tanto
maior quanto maior for o seu raio. Medindo os valores de V e R
para diversos balões, encontramos que:
quando R = 10 cm, temos V = 4,2 l
quando R = 20 cm, temos V = 33,4 l
quando R = 30 cm, temos V = 113,0 l
a. Se o raio do balão é duplicado, o seu volume duplica?
b. Se o raio do balão é triplicado, o seu volume triplica?
c. Então, podemos dizer que V ∝ R?
7. Faça o gráfico para o exercício 4 considerando a escala 1 cm
representando 1 m, no outro eixo 1 cm representando 5,00
cruzeiros.
8. Usando o gráfico que você construiu no exercício anterior,
responda:
a. Qual preço que se deve pagar por 3,5 m do tecido?
b. Você esperava este resultado? Por que?
9. Assinale dois pontos A e B no gráfico do exercício 7,
correspondendo a L = 1m e L = 4m.
a. Trace, no gráfico, o segmento L que indica a diferença entre os
comprimentos correspondentes aos pontos A e B.
b. Trace também o segmento que representa a variação P para
estes pontos.
c. Quais são estes valores de L e P?
d. Compare este valor da inclinação com o valor de k obtido no
exercício 5.
10. Uma pessoa verificou que entre duas grandezas X e Y existe a seguinte relação matemática: Y = 4X.
a. Podemos dizer que Y X?
b. Se o valor de X passar de X = 2 para x = 10, por que fator será multiplicado o valor de Y?
c. Qual o valor da constante de proporcionalidade a entre Y e X?
d. Qual a forma do gráfico Y x X ?
e. Qual o valor da inclinação deste gráfico?
Bertolo
19
Física I
11. Considere uma mola cujo comprimento na posição de equilíbrio é 6 cm. Dependurando na extremidade uma massa M, e fixando a
outra extremidade no teto, o comprimento C da mola aumenta.
A tabela abaixo apresenta os valores de C para diversos valores de M, obtidos através de uma experiência:
M(g) 0 100 200 300 400
C(cm) 6 9 12 15 18
a. Usando esta tabela construa o gráfico C x M.
b. Quanto vale C quando M = 0?
c. Quando o valor da massa M pendurada na mola é duplicado, o valor do comprimento C, da mola, duplica?
d. E quando o valor de M é triplicado, C triplica?
e. Então podemos dizer que C ∝ M?
f. Por que podemos afirmar que C NAO é proporcional a M?
g. Como se denomina a relação entre C e M?
h. Escolha dois pontos quaisquer do gráfico. Determine, para estes pontos, os valores de ∆X e de ∆Y e calcule a inclinação do
gráfico.
i. Qual o valor da constante a ? e o de b?
j. Escreva a relação matemática entre Y e X.
EXERCÍCIOS
1.2.2 - VARIAÇÃO COM A SEGUNDA E TERCEIRA POTÊNCIAS
Você já sabe que a área A de um quadrado é dada por A = L2, onde L é o lado do quadrado. Então,
teremos:
para L = 1m........A = 1 m2
para L = 2m........A = 4 m2.
Observe que, ao dobrarmos o lado L do quadrado, sua área A não foi apenas duplicada, tendo-se
tornado 4 vezes maior (não é proporção direta). A figura abaixo ilustra este fato.
Facilmente percebemos que se L é
multiplicado por 2, a área A é multiplicada
por 22; se L é multiplicado por 3, a área A é
multiplicada por 32, etc. Isto é, "a área A de
um quadrado é proporcional ao quadrado
de seu lado L". Escrevemos
A ∝ L2
Como outro exemplo de variação com o quadrado, consideremos um disco de área A e raio R.
Como é do conhecimento de todos, temos A = πR2. Aqui, também, temos A α R2, como mostra a
figura abaixo:
Duplicando R temos A quatro vezes maior;
triplicando R temos A nove vezes maior. Esta
variação com o quadrado é observada sempre que
estivermos tratando com áreas: ao ampliarmos
uma figura, isto é, ao multiplicarmos todas as suas
linhas por um fator, verificamos que a área desta
figura fica multiplicada pelo quadrado deste fator.
Tomemos a tabela seguinte que mostra os valores já citados de A e L para um quadrado:
L(m) 1 2 3 4
A(m2) 1 4 9 16
Bertolo
20
Física I
Com estes valores podemos traçar o gráfico de A em função de L (gráfico de A x L). Para isto, conforme
mostra a figura abaixo:
Esta variação com o cubo é observada sempre que
estivermos tratando com volumes: ao ampliarmos
o corpo, isto é, ao multiplicarmos todas as suas
linhas por um certo fator, verificamos que o
volume deste corpo fica multiplicado pelo cubo
deste fator.
Aparecem freqüentemente em Física relações nas quais uma grandeza é proporcional a uma
potência, como o quadrado, o cubo, etc., de outras. Elas são chamadas leis de potências.
Além das leis de primeira, segunda e terceiras potências, tais como M = k V; A = kL2 e V = L3, que
aqui discutimos, encontramos, também, leis de potências inversas, como veremos adiante.
Quando traçamos uma curva contínua ligando os pontos como fizemos anteriormente somos então
capazes de encontrar valores de Y para um X qualquer - não somente para os valores de X que medimos.
O processo de encontrar, por meio deste gráfico, novos valores situados entre os medidos, é chamado
INTERPOLAÇÃO. Tal processo tem significado e é útil quando existem boas razões para crer que a
curva é válida para valores situados entre os medidos. Obtém-se, pois, uma informação que não é
disponível imediatamente a partir das medidas feitas, principalmente se não conhecemos a fórmula que
relaciona Y com X, e ficamos na dependência de valores experimentais apenas. O traçado de uma curva
contínua expressa, então, nossa crença de que as coisas variam de modo contínuo na natureza. A
interpolação sempre traz consigo algum risco de erro. Mesmo que as coisas variem de forma contínua,
precisamos conseguir valores experimentais muito próximos, se quisermos saber como o gráfico se
Existem casos em que duas grandezas, X e Y, estão
relacionadas de tal modo que duplicando X, Y torna-se 8
vezes maior; triplicando X, Y torna-se 27 vezes maior;
quadruplicando X, Y torna-se 64 vezes maior, etc. Isto é, Y
está crescendo com uma proporção maior do que a anterior,
ou seja quando X é multiplicado por um fator, Y é
multiplicado pelo cubo daquele fator. Quando isto acontece,
dizemos que "Y é proporcional ao cubo de X". Observando a
figura ao lado vemos algo feito da maneira anterior
mas devemos observar que o gráfico não é uma parábola,
pois apresenta uma inclinação mais pronunciada, à medida
que L cresce.
comporta em qualquer região de curvatura acentuada. A interpolação de forma alguma pode ser usada
para gráficos de funções que não podem ser representadas por curvas contínuas.
A EXTRAPOLAÇÃO, estendendo o gráfico além do intervalo de dados, é ainda mais arriscada. O
erro pode surgir, então, mais facilmente, mas as descobertas também.
EXERCÍCIOS
1. Construa a tabela com os valores das áreas dos quadrados cujos lados são indicados por L(m) = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a. Duplicando o valor de L, por qual fator fica multiplicada a área?
b. Triplicando o valor de L, por qual fator fica multiplicada a área?
c. Que tipo de relação existe entre A e L?
2. a. Se duplicarmos o raio de um disco, quantas vezes maior torna-se sua área?
Bertolo
21
Física I
b. Então, se a área de um disco é de 30 cm2, qual será a área de outro disco de raio duas vezes maior?
3. A relação matemática entre duas grandezas X e Y é Y = 2X2.
a. Qual o valor da constante de proporcionalidade a entre Y e X2.
b. Se o valor de X for multiplicado por 5, quantas vezes maior torna-se o valor de Y?
c. Faça uma tabela considerando para X os valores: 0, 1, 2, 3, 4
d. Faça o gráfico da função considerando a seguinte escala:
abcissa 1 cm : 1 unidade de X
ordenada 1 cm : 5 unidades de Y.
e. Como se denomina a curva que você obteve?
4. Suponha que entre duas grandezas X e Y exista a seguinte relação matemática: Y = 0,1 X3.
a. Se o valor de X for multiplicado por um certo número, por que valor Y ficará multiplicado?
b. Considerando a equação faça uma tabela para X : 1, 2, 3, 4. , e a seguir construa um gráfico usando a mesma escala nos
eixos ou seja 1 cm representa 1 unidade.
c. A curva que você obteve é uma parábola?
1.2.3 RELAÇÕES INVERSAS
No estudo da proporção direta, da variação com o quadrado e da variação com o cubo, vimos que a
grandeza Y aumenta à medida que X aumenta. Entretanto, há casos de relações entre duas variáveis em
que o aumento de uma acarreta redução de outra. Em outras palavras, quando X aumenta, Y diminui.
Vamos estudar duas situações em que isto ocorre: a proporção inversa e a variação com o inverso do
quadrado
Consideremos duas grandezas, X e Y, tais que duplicando X, Y fica reduzido à metade, isto é,
dividido por 2; triplicando X, Y fica dividido por 3; quadruplicando X, Y fica dividido por 4, etc. Quando
isto ocorre dizemos que "Y É INVERSAMENTE PROPORCIONAL A X". Podemos, portanto, escrever
1
e introduzindo a constante de proporcionalidade a , temos:
Y∝
X
Y=a.(
1
)
X
Y=(
a
)
X
O gráfico ao lado é construído com base no exercício 2 é um exemplo de
proporção inversa.
Vejamos agora, uma situação em que, quando X aumenta, Y diminui em uma proporção maior do
que o caso estudado acima. Suponhamos que duplicando X, Y torna-se 4 vezes menor; triplicando X, Y
torna-se 9 vezes menor; quadruplicando X, Y torna-se 16 vezes menor, etc. Quando isto ocorre dizemos
que "Y É INVERSAMENTE PROPORCIONAL AO QUADRADO DE X". Podemos escrever
Y∝
1
e, introduzindo a constante de proporcionalidade a, vem:
X2
1
Y=a.( 2 )
X
Bertolo
22
Física I
Y=(
a
)
X2
A figura abaixo mostra uma pequena lâmpada enviando luz em todas as direções.
Interceptando o feixe luminoso, por meio de uma folha de papel,
colocada a uma certa distância d da lâmpada, teremos, sobre a folha
de papel, uma certa intensidade luminosa I. Esta intensidade luminosa
pode ser medida por meio de um instrumento chamado fotômetro.
Afastando a folha da lâmpada, observamos uma diminuição na
intensidade luminosa, que é acusada pelo fotômetro. Em uma
experiência, colocando a folha de papel a diversas distâncias, d , da
lâmpada, obtivemos, no fotômetro, para cada posição, as leituras
seguintes:
para d = 10 cm......I = 72
para d = 20 cm......I = 18
para d = 30 cm......I = 8
para d = 40 cm......I = 4,5, etc.
O gráfico desta experiência está mostrado abaixo:
Este gráfico é semelhante a uma hipérbole, como o anterior
o é.
Existem muitas outras relações entre duas grandezas, além
destas que apresentamos nesta seção. O que foi visto, entretanto,
será suficiente para que você tenha condições de analisar e
entender praticamente a totalidade dos fenômenos físicos que
serão estudados em nosso curso.
EXERCÍCIOS
1. Em uma experiência, colocando a folha de papel a diversas distâncias d da lâmpada, obtivemos, no fotômetro, para cada
posição, as leituras seguintes:
para d = 10 cm.....I = 72
os demais valores estão mostrados no texto acima. Faça o gráfico você mesmo.
2. Suponhamos que uma pessoa, em um automóvel, faça uma viagem entre duas cidades, distanciadas de 180 Km. Seja X a
velocidade do carro e Y o tempo gasto na viagem. É fácil concluir que:
se X = 30 Km/h temos Y = 6 h
se X = 60 km/h temos Y = 3 h
se X = 90 Km/h temos Y = 2 h, etc.
a. Construa o gráfico Y x X, para a escala das abcissas como sendo 1 cm representando 20 Km/h e a escala das ordenadas 1
cm representando 1 hora.
b. Como se chama a curva obtida?
c. O que acontece com Y se duplicarmos o valor de X? E se triplicarmos ?
3. Sabe-se que entre duas grandezas X e Y existe a seguinte relação matemática: Y = 144/X2.
a. Considerando esta relação, faça a tabela dos valores de Y, considerando para X: 2, 4, 6.
b. O que acontece com Y, quando X for duplicado?
c. O que acontece com Y, quando X for triplicado?
d. Que tipo de relação existe entre Y e X?
e. Se construíssemos um gráfico Y x X, obteríamos uma hipérbole?
Bertolo
23
Física I
BIBLIOGRAFIA
Penrose, Roger, A Mente Nova do Rei (Computadores , Mentes e Leis Físicas), Editora Campus, Rio de
Janeiro 1993.
Brito Cruz, C. H., Guia para Física Experimental - Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros,
IFGW/Unicamp, 1997. Esta é uma apostila eletrônica que pode ser obtida gratuitamente por “dowload” na página da
Biblioteca do IFGW. O endereço é: http://www.ifi.unicamp.br.80/~library
Cameron, J. R., Skofronick, J.G., Medical Physics, John Wiley & Sons, New York, 1978
Cameron, J. M., “Statistics”, in “Fundamental Formulas of Physics,” edited by D.H. Menzel, Vol. 1, ch.
2, Dover, New York, 1960.
Camac, C. N. B., Classics of Medicine and Surgery, Dover, New York, 1959.
Clendening, L. - Source Book of Medical History, Hoeber, New York, 1942
Cromer, A. H., Physics for the Life Sciences, USA,McGraw-Hill, 1977
Fuller, H. Q., Fuller, R. M. & Fuller, R. G., Physics Including Human Applications, Harper & Row, 1978
Schmidt-Nielsen, K., Fisiologia Animal, Brasil, EDUSP, 1972
Schmidt-Nielsen, K., How Animals Work, Great Britain, Cambridge University Press, 1972
Smith, J. M., Mathematical Ideas in Biology, Cambridge University Press, 1972
Stibitz, G. R., Mathematics in Medicine and Life Sciences, Year Book, Chicago, 1966
Thompson, D. W., On Growth and Form, Cambridge, U. P., London, 1961.
Tustin, A., “Feedback”, Sci. Amer., 186-187, 48-55 (1952)
APÊNDICE 1
Quando você sabe
Multiplique
Para encontrar
Polegadas
Pés
Jardas
Milhas
Libras
Quartos
25,4
0,3048
0,9144
1,609
0,454
0,946
Milímetros
Metros
Metros
Quilômetros
Quilogramas
Litros
Milímetros
Metros
Metros
Quilômetros
Quilogramas
Litros
0,039
3,281
1,094
0,621
2,205
1,056
Polegadas
Pés
Jardas
Milhas
Libras
Quartos